73485202-metode-statistika.pdf
TRANSCRIPT
DIKTAT KULIAH
METODE STATISTIKA
Dr. I MADE SUMERTAJAYA, M.Si
GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA, S.Si, M.Si
ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ......................................................................................................................... ii1 PENDAHULUAN........................................................................................................... 1
1.1 Pengertian Statistika ........................................................................................ 11.2 Beberapa Istilah dalam Statistika................................................................... 21.3 Peranan statistika dan Perkembangannya .................................................... 41.4 Latihan Soal ........................................................................................................ 5
2 PENYAJIAN DATA ....................................................................................................... 62.1 Pendahuluan ....................................................................................................... 62.2 Penyajian Data untuk Peubah Kategorik ....................................................... 62.3 Penyajian Data untuk Peubah Numerik ......................................................... 92.4 Latihan Soal ...................................................................................................... 12
3 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA .................................................. 133.1 Pendahuluan ..................................................................................................... 133.2 Ukuran pemusatan .......................................................................................... 133.3 Ukuran Penyebaran ......................................................................................... 183.4 Kemiringan distribusi data ............................................................................. 213.5 Keruncingan distribusi data ........................................................................... 213.6 Penyajian data dengan diagram kotak garis (boxplot) ............................. 223.7 Latihan Soal ...................................................................................................... 24
4 KONSEP DASAR PELUANG ....................................................................................... 254.1 Pendahuluan ..................................................................................................... 254.2 Ruang Contoh dan Kejadian........................................................................... 254.3 Operasi Kejadian ............................................................................................. 264.4 Cara Menghitung Ukuran Ruang Contoh ...................................................... 274.5 Peluang Suatu Kejadian.................................................................................. 304.6 Peluang Bersyarat............................................................................................ 314.7 Kaidah Bayes .................................................................................................... 334.8 Latihan Soal ...................................................................................................... 34
5 KONSEP DASAR PEUBAH ACAK............................................................................... 365.1 Pengertian Peubah Acak ................................................................................ 365.2 Sebaran Peluang Diskret................................................................................. 375.3 Sebaran Peluang Kontinu ............................................................................... 385.4 Nilai Harapan Peubah Acak............................................................................ 395.5 Ragam Peubah Acak ........................................................................................ 405.6 Sifat Nilai harapan Dan Ragam...................................................................... 405.7 Latihan Soal ...................................................................................................... 41a. Peluang semua tv yang terbeli tidak ada yang rusak. .............................. 41b. Peluang ada satu tv yang rusak..................................................................... 41c. Tentukanlah nilai X ......................................................................................... 41d. Carilah fungsi sebaran peluang X ................................................................. 41e. Hitunglah nilai tengah dan ragam X. ........................................................... 41
iii
6 SEBARAN PELUANG TEORITIS ................................................................................ 426.1 Sebaran Binom ................................................................................................. 426.2 Sebaran Hipergeometrik ................................................................................ 446.3 Sebaran Poisson ............................................................................................... 466.4 Sebaran Seragam ............................................................................................. 476.5 Sebaran Normal ............................................................................................... 486.6 Latihan Soal ...................................................................................................... 51
7 SEBARAN PERCONTOHAN ....................................................................................... 547.1 Contoh Acak...................................................................................................... 547.2 Teori Pengambilan Contoh............................................................................. 547.3 Sebaran Contoh dari Rataan (Mean) ............................................................ 557.4 Sebaran contoh dari (n-1)S2/ 2 .................................................................. 567.5 Sebaran t-student............................................................................................ 567.6 Sebaran F .......................................................................................................... 577.7 Sebaran Contoh Bagi Beda Dua Nilaitengah ............................................... 577.8 Latihan Soal ...................................................................................................... 58
8 PENDUGAAN PARAMETER ....................................................................................... 598.1 Penduga Paramater ......................................................................................... 598.2 Pendugaan Nilai tengah.................................................................................. 608.3 Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah Populasi ............................................... 618.4 Pendugaan Proporsi......................................................................................... 638.5 Pendugaan Beda Dua Proporsi....................................................................... 648.6 Latihan Soal ...................................................................................................... 65
9 PENGUJIAN HIPOTESIS ............................................................................................ 679.1 Hipotesis Statistik............................................................................................ 679.2 Pengujian Hipotesis......................................................................................... 68Keadaan yang sesungguhnya .................................................................................... 689.3 Uji Satu Arah Dan Dua Arah ........................................................................... 719.4 Uji Rataan Populasi ......................................................................................... 729.5 Latihan Soal ...................................................................................................... 77
10 ANALISIS REGRESI DAN KORELASI...................................................................... 7810.1 Regresi Linear Sederhana ........................................................................... 7810.2 Pendugaan Koefisien Regresi ..................................................................... 7910.3 Pengujian Hipotesis Bagi Koefisien Regresi ............................................ 8010.4 Peramalan / Pendugaan Bagi Y ................................................................. 8210.5 Kesesuaian Model ......................................................................................... 8310.6 Korelasi .......................................................................................................... 8410.7 Latihan Soal .................................................................................................. 89
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................... 90
1 PENDAHULUAN
1.1 Pengertian Statistika
Statistika merupakan suatu cabang ilmu yang mempelajari berbagai teknik
perancangan, pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan pembuatan kesimpulan
berdasarkan data yang dimiliki. Data yang dimiliki seringkali tidak lengkap sehingga dalam
pengambilan keputusan tentunya akan menimbulkan ketidakpastian, dengan kata lain ada
peluang kesalahan dalam pengambilan keputusan. Dengan statistika diharapkan peluang
kesalahan yang terjadi sekecil mungkin.
Berdasarkan cara pengolahan datanya, statistika dibagi ke dalam dua kelompok besar,
yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif merupakan bidang
statistika yang mempelajari cara atau metode mengumpulkan, menyederhanakan dan
menyajikan data serta meringkas data sehingga bisa memberikan informasi yang jelas dan
mudah dipahami. Dalam statistika deskripsi belum sampai pada upaya menarik suatu
kesimpulan, tetapi baru sampai pada tingkat memberikan suatu bentuk ringkasan data
sehingga khalayak/masyarakat awam statistika pun dapat memahami informasi yang
terkandung dalam data. Beberapa teknik statistika yang termasuk dalam kelompok ini seperti
distribusi frekuensi, ukuran pemusatan dan penyebaran data. Sedangkan statistika inferensia
merupakan bidang statistika yang mempelajari cara atau metode penarikan kesimpulan
berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakteristik atau ciri dari
suatu populasi.
Gambaran penarikan kesimpulan dari data dengan menggunakan analisis statistika
secara ringkas disajikan pada bagan berikut ini:
Gambar 1. Tahapan analisis statistika
2
1.2 Beberapa Istilah dalam Statistika
Beberapa istilah yang sering dijumpai dalam statistika, diantaranya adalah:
1. Populasi dan contoh
Populasi adalah suatu keseluruhan pengamatan atau obyek yang menjadi perhatian
kita. Sedangkan Sampel adalah bagian dari suatu populasi. Jadi jika dikaitkan dengan Teori
Himpunan, populasi adalah himpunan semesta/ruang contoh, sedangkan sampel adalah
himpunan bagian. Populasi bersifat ideal atau teoritis, sedangkan sampel bersifat nyata
atau empiris.
Meskipun gambaran tentang populasi sangat ideal, namun sangat jarang digunakan
untuk penelitian, pada umumnya yang dipakai adalah sampel, dengan alasan :
Waktu yang diperlukan untuk mengumpulkan data lebih singkat.
Dana yang digunakan lebih sedikit
Dengan Statistika Inferensia dapat diperoleh generalisasi. Artinya hasil perhitungan
yang diperoleh dari sampel, dapat digunakan untuk menyimpulkan karakteristik dari
populasi.
2. Parameter dan statistik
Parameter adalah nilai besaran atau karakteristik yang dihitung/diukur dari seluruh
unsur yang ada dalam populasi, sedangkan statistik adalah nilai besaran atau karakteristik
yang dihitung dari sampel.
3. Peubah/Variabel
Peubah merupakan suatu karakteristik dari suatu objek. Beberapa contoh variabel
antara lain seperti: nama, umur, tinggi badan, berat badan, asal SMA, dan jenis kelamin
merupakan karakteristik peserta mata kuliah metode statistika.
Berdasarkan nilai-nilainya, peubah bisa dikelompokkan dalam dua kelompok, yaitu
numerik dan kategorik. Suatu peubah dikatakan numerik jika nilai dari peubah itu
merupakan bilangan yang mencerminkan nilai yang sesungguhnya, bukan hanya sebuah
kode. Misalnya tinggi badan 176 cm, merupakan peubah numerik karena 176 merupakan
nilai hasil pengukuran yang sebenarnya. Berbeda dengan kalau hanya sebuah kode
misalnya pendidikan diberi kode 1 untuk SD, 2 untuk SMP dan seterusnya. Yang seperti
terakhir itu adalah kategorik.
a. Peubah Kategorik, terdiri atas dua jenis lagi :
1. Peubah Nominal, yaitu jenis peubah yang penggolongannya atau pengkategoriannya
hanya berupa nama saja (lambang), tidak ada urutan yang memberikan makna
tertentu. Yang termasuk dalam peubah ini, misalnya
- jenis kelamin : laki-laki, perempuan
- warna : merah, kuning, ungu, hijau, dsb
3
Tidak ada alasan tertentu kategori mana yang disebut di awal dan mana yang di
akhir.
2. Peubah Ordinal, yaitu jenis peubah yang pengkategoriannya bisa diurutkan
berdasarkan kriteria tertentu yang bermakna. Yang termasuk dalam jenis peubah
ini, misalnya :
- pendidikan : SD, SMP, SMA, Diploma, S1, S2, S3. Urutan tersebut merupakan
urutan pendidikan rendah ke tinggi.
- tingkat kesetujuan : sangat tidak setuju, tidak setuju, netral, setuju, sangat
setuju. Urutan tersebut dari tingkat yang paling tidak setuju hingga setuju.
b. Peubah Numerik dibagi lagi menjadi dua jenis, yaitu:
1. Peubah Selang (interval), yaitu peubah yang nilai-nilainya numerik tapi tidak bisa
dirasiokan satu dengan lainnya. Hal ini karena nilai 0 pada peubah ini bukan nilai
nol mutlak, tapi merupakan kesepakatan saja. Misalnya suhu (dalam derajat
celcius), merupakan peubah selang karena 0 pada peubah ini adalah kesepakatan
orang yaitu suhu ketika air membeku pada tekanan 4 atm. Jika ada sebuah benda
bersuhu 5oC dan benda lain bersuhu 100oC, tidak bisa dikatakan bahwa benda kedua
suhunya 20 kali benda pertama.
2. Peubah Nisbah (rasio), yaitu peubah yang nilai-nilainya numerik dan bisa dirasiokan
satu dengan lainnya. Hal ini terjadi karena nilai 0 pada peubah ini bersifat mutlak.
Yang termasuk peubah ini adalah :
- Produksi gabah (dalam ton/ha), merupakan peubah rasio karena kalau
produksinya 0 berarti tidak ada gabah yang dihasilkan. Jika produksi gabah
petani A sebesar 4 ton/ha dan petani B sebesar 8 ton/ha, maka petani B
memperoleh gabah 2 kali lebih banyak dari petani A.
- Berat (dalam kg), merupakan peubah rasio karena kalau beratnya 0 itu berarti
bendanya tidak ada, serta juga dapat dirasiokan.
Peubah dalam skala pengukuran rasio ataupun selang bisa dinyatakan sebagai peubah
dalam skala pengukuran ordinal maupun nominal, setelah dikategorikan terlebih dahulu.
Misalnya pendapatan per bulan sebuah keluarga. Jika diukur dalam satuan rupiah maka itu
merupakan peubah rasio, namun jika peubah yang sama kemudian nilai-nilainya
dikelompokkan menjadi misalnya :
- < 1 juta
- 1 juta s/d 2 juta
- 2 juta s/d 5 juta
- > 5 juta
maka yang terakhir menjadi peubah ordinal.
4
Atau kalau misalnya yang diukur adalah diameter ujung bolpoin pada suatu
pemeriksaan pengendalian mutu produk (diukur dalam mm). Kemudian dikategorikan
seperti berikut :
- < 1 mm atau > 2 mm dinyatakan tidak memenuhi syarat
- 1 mm s/d 2 mm dinyatakan memenuhi syarat
Pada akhirnya diameter bolpoin dinyatakan menjadi dua kategori : memenuhi syarat dan
tidak memenuhi syarat, dan ini adalah peubah nominal.
Pengetahuan tentang jenis peubah ini sangat perlu untuk diketahui karena menyangkut
analisis yang digunakan dan ketajaman analisisnya. Setiap analisis hanya bisa untuk jenis
peubah tertentu, tidak sembarangan. Jadi perlu diperhatikan benar analisis apa yang bisa
untuk data kita.
4. Data
Data adalah semua bentuk keterangan yang berhubungan dengan variabel tertentu yang
dicatat dari objek yang sedang menjadi perhatian. Dilihat dari rentang waktu
pengumpulannya, data dapat dibedakan ke dalam tiga kelompok, yaitu data runtun waktu,
data cross section, dan data panel. Data runtun waktu adalah hasil pengukuran pada satu
atau lebih variabel yang pengamatannya dilakukan secara teratur sepanjang periode
tertentu. Data cross section adalah data yang tersusun dari satu atau lebih variabel yang
dikumpulkan dari banyak objek pada satu masa tertentu. Sedangkan data panel adalah
data yang tersusun dari satu atau lebih variabel yang berasal dari banyak objek yang
dicatat secara teratur sepanjang periode tertentu.
1.3 Peranan statistika dan Perkembangannya
Istilah STATISTIKA (statistics) berasal kata STATE, karena pada awalnya pengumpulan
data diperuntukkan oleh perumus kebijakan negara, misalnya saja pemungutan pajak, data
kelahiran, data kematian, potensi sumberdaya, dan kebutuhan tenaga militer. Perkembangan
pesat statistika didominasi pada perkembangan di bidang pertanian dan psikologi
Dewasa ini statistika memegang peranan yang sangat penting dalam berbagai bidang.
Penggunaan statistika bisa dikatakan telah diterapkan oleh seluruh bidang, antara lain:
Medis: pendeteksian penyebab timbulnya penyakit, pencarian hubungan teknik pengobatan
dan penyembuhan, penentuan dosis dan komposisi obat
Pertanian: pencarian galur tanaman dengan produksi terbesar (pemuliaan), pencarian
teknik pemupukan, penentuan faktor pendukung keberhasilan produksi tanam
Bisnis: segmentasi pasar, peningkatan citra merek produk, peningkatan kualitas produk
5
Industri: perencanaan desain produk yang bisa diterima pasar, pemilihan bahan baku yang
sesuai
Sosial: penentuan faktor-faktor demografi yang mempengaruhi keberhasilan pembangunan,
penentuan strategi penyuluhan, penentuan strategi peningkatan motivasi
Ekonomi: hubungan antar peubah ekonomi, pemodelan ekonometrika
Percepatan penerapan statistika menjadi semakin berkembang secara luas dengan
adanya kemajuan di bidang komputer dan tekhnologi software. Dengan adanya komputer
penghitungan statistik menjadi semakin cepat, teliti, dan akurat, sehingga peranan statistika
menjadi semakin berkembang di berbagai bidang kehidupan terutama dalam analisis data dan
keperluan perencanaan. Beberapa contoh paket program statistika antara lain:
SAS (Statistics Analysis System)
SPSS (Statistics Program Science For Social)
MINITAB
1.4 Latihan Soal
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan :
a. statistik b. statistika
c. statistika deskriptif d. statistika inferensia
e. data numerik f. data kategorik
g. data diskret h. data kontinu
2. Data apa kiranya akan dicatat seorang kepala desa untuk mengukur:
a. produktivitas lahan sawah di desanya
b. tingkat penghasilan penduduk di desanya
c. potensi tenaga kerja di desanya
d. keberadaan kepala keluarga di desanya
e. kemajuan pelayanan kesehatan ibu dan anak di desanya
3. Seorang petugas keamanan jalan raya lintas cepat mencatat setiap peristiwa kecelakaan
lalu lintas yang terjadi di jalan raya itu. Yang dicatat adalah:
a. jenis kendaraan bermotor yang mengalami kecelakaan
b. warna kendaraan bermotor itu
c. umur pengemudi
d. panjang batas tapak mengerem di jalan raya sebelum kendaraan tersebut bertabrakan
e. ruas jalan tempat kecelakaan itu terjadi
f. Jalur alan tempat kecelakaan terjadi
manakah dari data yang dicatat tersebut menghasilkan:
(i) data numerik
(ii) data kategorik berskala nominal
(iii) data kategorik berskala ordinal
6
2 PENYAJIAN DATA
2.1 Pendahuluan
Data yang telah dikumpulkan, baik dari populasi maupun dari sampel, perlu ditata atau
diorganisir, diolah dan disajikan secara sistematis dan rapi sehingga mudah dan cepat dipahami
dan dimengerti.
Teknik penyajian data umumnya disesuaikan dengan jenis peubah yang akan disajikan.
Namun secara garis besar ada dua cara penyajian data, yaitu tabel dan grafik/gambar. Ada
beberapa bentuk tabel yang biasanya digunakan, seperti tabel frekuensi. Sedangkan beberapa
bentuk gambar, seperti diagram batang, diagram lingkaran, diagram dahan daun, histogram,
diagram kotak garis dan scater plot. Penggunaan beberapa teknik penyajian data tersebut
disesuaikan dengan tipe peubahnya.
2.2 Penyajian Data untuk Peubah Kategorik
Peubah kategorik merupakan suatu peubah yang nilainya hanya berupa sebuah kode.
Tehnik penyajian data dari peubah jenis ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel
frekuensi atau gambar.
Untuk lebih memahami teknik penyajian data, berikut ini diberikan data karakteristik
anggota koperasi simpan pinjam “HARMONI”.
Tabel Karakteristik Anggota Koperasi simpan pinjam “HARMONINo Jenis kelamin Tinggi (cm) Berat (kg) Agama Pendidikan1 0 175 65 1 02 0 154 50 1 03 1 167 59 1 14 1 169 60 2 05 0 149 48 1 26 0 162 53 1 27 1 163 55 2 18 1 170 69 3 19 0 165 63 1 110 1 166 58 1 211 0 168 53 4 212 1 172 56 1 313 1 161 53 3 314 0 159 50 1 115 0 155 46 2 216 1 165 57 5 317 0 160 51 4 318 1 170 61 1 419 1 162 51 1 420 1 164 58 3 2
Keterangan:Jns Kel. : 0 =Perempuan; 1=Laki-lakiAgama : 1=Islam; 2=Kristen; 3=Katholik; 4=Hindu; 5=BudhaPdd : 0=Tidak sekolah; 1=SD; 2=SLTP; 3=SLTA; 4=S0/S1/S2/S3
7
Dari peubah-peubah yang diamati, yang termasuk peubah kategorik adalah jenis kelamin,
agama dan pendidikan. Penyajian data dari ketiga peubah tersebut dapat dilakukan dengan:
1. Tabel frekuensi
Tabel atau daftar merupakan kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori
data. Tabel frekuensi merupakan gambaran frekuensi atau banyaknya objek menurut
kategori yang ada. Selain menyajikan frekuensi data, untuk memudahkan interpretasi
biasanya dalam tabel juga disajikan persentase dari masing-masing kategori yang
merupakan rasio dari frekuensi masing-masing kategori terhadap total objek yang ada. Ada
tiga jenis tabel frekuensi berdasarkan banyaknya peubah yang terdapat pada tabel, yaitu
tabel satu arah, dua arah dan multi arah.
a. tabel satu arah yaitu tabel yang hanya terdiri dari satu kategori atau peubah
misalnya akan disajikan tabel banyaknya anggota koperasi menurut jenis kelamin, maka
tabel yang diperoleh adalah:
Jenis Kelamin Frekuensi Persentase
Perempuan 9 0.45
Laki-laki 11 0.55
Total 20 1Dari tabel di atas kita dapat mengetahui bahwa anggota koperasi sebagian besar adalah
laki-laki.
b. tabel dua arah, yaitu tabel yang terdiri dari dua kategori atau dua peubah
misalnya akan disajikan tabel banyaknya anggota koperasi menurut jenis kelamin dan
tingkat pendidikan, maka tabel yang diperoleh adalah:
Jenis KelaminPendidikan *)
TotalData 0 1 2 3 4
perempuan N 2 2 4 1 9
% Baris 22.2% 22.2% 44.4% 11.1% 0.0% 100.0%
% Kolom 66.7% 40.0% 66.7% 25.0% 0.0% 45.0%
% Total 10.0% 10.0% 20.0% 5.0% 0.0% 45.0%
Laki-laki N 1 3 2 3 2 11
% Baris 9.1% 27.3% 18.2% 27.3% 18.2% 100.0%
% Kolom 33.3% 60.0% 33.3% 75.0% 100.0% 55.0%
% Total 5.0% 15.0% 10.0% 15.0% 10.0% 55.0%
Total N 3 5 6 4 2 20
% Baris 15.0% 25.0% 30.0% 20.0% 10.0% 100.0%
% Kolom 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0%
% Total 15.0% 25.0% 30.0% 20.0% 10.0% 100.0%
Keterangan: *) 0=Tidak sekolah; 1=SD; 2=SLTP; 3=SLTA; 4=S0/S1/S2/S3
8
2. Gambar
Penyajian data dengan gambar/grafik adakalanya lebih efektif dalam menyajikan
informasi/karakteristik suatu data. Pesan visual yang diberikan oleh gambar selain lebih
menarik untuk dilihat juga lebih memudahkan dalam melakukan pembandingan.
Gambar/grafik yang biasanya digunakan untuk data dengan peubah kategorik adalah:
a. diagram batang. Diagram ini berupa batang-batang yang menggambarkan nilai dari
masing-masing kategori. Untuk membuat diagram batang, data yang diambil biasanya
diambil setelah dalam bentuk tabel frekuensi atau tabel kontingensi. Pada contoh di
atas, jika frekuensi jenis kelamin anggota koperasi disajikan dalam bentuk grafik akan
berupa:
0
2
4
6
8
10
12
Perempuan Laki-laki
Jenis Kelamin
Fre
ku
en
si
Sedangkan jika frekuensi jenis kelamin dan tingkat pendidikan dari anggota koperasi
disajikan dalam bentuk grafik akan berupa:
0
1
2
3
4
5
perempuan Laki-laki
Jenis Kelamin
Fre
ku
en
si
0 1 2 3 4
Pendidikan:
b. Diagram lingkaran. Diagram ini berupa lingkaran yang terbagi-bagi dalam beberapa
bagian. Masing-masing bagian merupakan representasi dari berbagai kategori, dan luas
dari bagian itu berdasarkan persentase masing-masing kategori. Jika frekuensi anggota
9
koperasi menurut jenis kelamin disajikan dalam bentuk diagram lingkaran, maka
langkah-langkah pembuatannya adalah:
- hitung luas masing-masing kategori:
Perempuan = 360o x 45% = 162o
Laki-laki = 360o x 55% = 198o
- gambarkan masing-masing kategori berdasarkan besar luasannya
2.3 Penyajian Data untuk Peubah Numerik
Peubah numerik merupakan suatu peubah yang nilainya merupakan bilangan yang
mencerminkan nilai yang sesungguhnya, bukan hanya sebuah kode. Tehnik penyajian data dari
peubah jenis ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel frekuensi atau gambar. Beberapa
teknik penyajian data yang biasanya digunakan pada data dengan peubah numerik adalah:
1. diagram dahan daun
Diagram dahan daun digunakan untuk mendapatkan gambaran pemusatan data dan
perkisaran data. Diagram ini terdiri atas sebuah “dahan” yang dilekati “daun-daunan”.
Dahan terdiri atas buku-buku yang melambangkan satuan terbesar, sedangkan daun
melambangkan satuan berikutnya. Misalnya dibuat diagram dahan daun untuk peubah
tinggi badan anggota koperasi, hasilnya adalah:
Stem-and-leaf of Tinggi N = 20Leaf Unit = 1.0
1 14 92 15 44 15 5910 16 01223410 16 5567894 17 0021 17 5
10
Sedangkan untuk peubah berat badan adalah:
Stem-and-leaf of Berat N = 20Leaf Unit = 1.01 4 62 4 86 5 00119 5 33310 5 510 5 678 5 8895 6 013 6 32 6 51 61 6 9
2. tabel distribusi frekuensi
Dengan tabel frekuensi, karakteristik penting suatu data dapat diketahui melalui
pengelompokan data ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya
pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Adapun langkah-langkah dalam menyusun
tabel frekuensi adalah:
a. tentukan rentang data yaitu selisih dari nilai terbesar dengan nilai terkecil suatu data
b. tentukan banyaknya kelas yang digunakan. Ada suatu kaidah yang dapat digunakan
untuk menentukan banyaknya kelas (c) yang ditentukan oleh ukuran kumpulan data n
yaitu kaidah Sturge, dimana:
250log3.31
2509
nuntukn
nuntukc
c. Hitung lebar selang kelas yaitu rasio antara rentang data dengan banyaknya kelas
d. Hitung banyaknya pengamatan pada setiap kelas
e. Hitung frekuensi relatif tiap-tiap kelas yang merupakan rasio antara frekuensi kelas
dengan total pengamatan (n).
Misalnya akan dibuat tabel frekuensi untuk peubah tinggi badan. Bentuk tabelnya adalah:
SelangNilai
tengahkelas
Frekuensifrekuensi
relatif
148.5 - 151.5 150 1 0.05
151.5 - 154.5 153 1 0.05
154.5 - 157.5 156 1 0.05
157.5 - 160.5 159 2 0.10
160.5 - 163.5 162 4 0.20
163.5 - 166.5 165 4 0.20
166.5 - 169.5 168 3 0.15
169.5 - 172.5 171 3 0.15
172.5 - 175.5 174 1 0.05
Total 20 1.00
11
3. Histogram
Histogram merupakan grafik dari tabel distribusi frekuensi. Histogram digambarkan pada
sistem salib sumbu X-Y. Kelas-kelas selang diletakkan pada sumbu X, sedangkan frekuensi
kelas diletakkan pada sumbu Y. Misalkan tabel frekuensi tinggi badan dibuat dalam bentuk
histogram, akan diperoleh gambar seperti berikut ini.
Berdasarkan histogram yang terbentuk, dapat diketahui bentuk sebaran dari data tinggi
badan. Bentuk histogram ini dapat mengalami perubahan tergantung banyaknya kelas dan
lebar selang. Dengan adanya komputer, berbagai histogram dengan lebar selang yang
berbeda-beda dapat dibuat. Dari berbagai hasil itu kemudian dapat dipilih histogram yang
memberikan gambaran yang diinginkan.
Selain menggunakan data dari tabel distribusi frekuensi, histogram juga dapat dibuat
berdasarkan tabel distribusi frekuensi relatif. Bentuk histogramnya sama, yang berbeda
hanya skala pada sumbu Y.
4. Scatter Plot
Plot ini merupakan grafik yang digunakan untuk melihat hubungan antara dua buah peubah
numerik. Misalkan kita ingin tahu hubungan antara tinggi badan dengan berat badan.
Grafik yang diperoleh mungkin akan berupa grafik sebagai berikut :
12
0
10
20
30
40
50
60
70
80
145 150 155 160 165 170 175 180
Tinggi badan (cm)
Be
rat
bad
an
(kg)
2.4 Latihan Soal
1. a. Mengapa data perlu disajikan dengan menggunakan tabel dan grafik, jelaskan!
b. Dalam hal tertentu mengapa penyajian data dengan grafik lebih baik daripada dengan
tabel ?
2. a. sebutkan beberapa cara penyajian data dengan tabel
b. sebutkan beberapa cara penyajian data dengan grafik
3. buatlah disain tabel :
a. tabel satu arah mengenai data pendidikan yaitu jumlah mahasiswa menurut fakultas .
b. tabel dua arah mengenai data pembelian barang yaitu banyaknya barang yang dibeli
oleh perusahaan menurut jenis barang dan harga.
c. Tabel tiga arah mengenai data investasi menurut negara asal, lokasi usaha dan jenis
usaha.
4. Buatlah contoh grafik garis, batang, dan lingkaran untuk menggambarkan suatu
karakteristik data tertentu.
13
3 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA
3.1 Pendahuluan
Pada setiap upaya pengumpulan data untuk menjawab suatu masalah, selalu diperoleh
hasil pengukuran atau pencacahan berupa angka-angka yang cukup banyak. Oleh karena itu
setiap kegiatan pengumpulan data diikuti oleh suatu kegiatan meringkas data sehingga
mendapatkan bentuk yang lebih mudah dipahami. Peringkasan data dimaksudkan untuk
mencari sesederhana mungkin informasi dari data yang dikumpulkannya tapi memiliki
pengertian yang dapat menjelaskan data secara keseluruhan. Untuk keperluan ini dalam
statistika dikenal istilah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran.
3.2 Ukuran pemusatan
Ukuran pemusatan merupakan suatu gambaran (informasi) yang memberikan
penjelasan bahwa data memiliki satu (mungkin lebih) titik dimana dia memusat atau
terkumpul.
Ukuran-ukuran pemusatan yang sering digunakan antara lain modus, median, kuartil,
desil, persentil, rata-rata (aritmatic mean), geometric mean, dan harmonic mean.
Modus
Suatu nilai data yang paling sering terjadi atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.
Suatu kumpulan data mungkin saja mempunyai modus lebih dari satu buah.
Contoh 3.1
Berikut ini adalah data sampel rata-rata pendapatan 25 rumah tangga desa A per bulan (dalam
juta rupiah).
1.5 0.9 0.5 1.3 1.0 1.2 1.5 1.4 1.7 1.8 1.2 1.0 1.9
2.0 2.0 2.4 3.0 2.2 1.5 1.6 1.6 1.5 1.0 0.8 1.5
Berdasarkan data di atas, maka modusnya adalah 1.5.
Median
Median adalah suatu nilai data yang membagi dua sama banyak kumpulan data yang
telah diurutkan. Apabila banyaknya data ganjil, median adalah data yang tepat ditengah-
tengah, sedangkan bila banyaknya data genap, median adalah rata-rata dua data yang ada
ditengah.
Langkah-langkah yang dapat digunakan untuk mencari nilai median cara sebagai berikut:
Urutkan data amatan mulai amatan terkecil sampai data amatan terbesar
14
Posisi median (nmed) = (n+1)/2
Jika posisi median bernilai bulat maka median adalah X[(n+1)/2] sedangkan jika bernilai
pecahan maka median adalah rata-rata dari X[n/2] dan X[n/2+1]
Contoh 3.2
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai mediannya dapat dihitung dengan tahapan:
1. urutkan data menggunakan diagram dahan daun:
Stem-and-leaf of C1 N = 25Leaf Unit = 0.10
1 0 51 03 0 896 1 0009 1 223
(6) 1 45555510 1 6677 1 895 2 003 2 22 2 41 21 21 3 0
2. posisi median (nmed) = (n+1)/2 = 26/2 = 13
3. karena nmed bernilai bulat, maka median (m) = X[13] = 1.5
Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang menyekat gugus data menjadi empat kelompok data yang
masing-masing terdiri dari 25% amatan. Nilai-nilai yang menyekat data menjadi empat
kelompok data tersebut dikenal dengan sebutan kuartil 1 (Q1), kuartil 2 (Q2) dan kuartil 3 (Q3).
Kuartil 1 (Q1) adalah nilai data yang menyekat kumpulan data yang telah diurutkan
sehingga banyaknya data yang lebih kecil dari Q1 adalah 25 % dan yang lebih besar dari Q1
adalah 75 %.
Kuartil 2 (Q2) sama dengan median yang merupakan nilai pembatas 50% data disebelah
kiri Q2 dan 50% data disebelah kanan Q2.
Kuartil 3 (Q3) adalah nilai data yang menyekat kumpulan data yang telah diurutkan
sehingga banyaknya data yang lebih kecil dari Q3 adalah 75 % dan yang lebih besar dari Q3
adalah 25 %.
Langkah-langkah perhitungan yang dapat digunakan sebagai pedoman dalam menentukan nilai-
nilai kuartil adalah sebagai berikut:
Urutkan data mulai data amatan terkecil sampai data amatan yang terbesar
Hitung posisi kuartil 2 (nq2), caranya sama dengan perhitungan posisi median, nq2 = (n+1)/2
15
Jika posisi kuartil 2 bernilai bulat maka kuartil 2 adalah X[(n+1)/2] sedangkan jika bernilai
pecahan maka kuartil 2 adalah rata-rata dari X[n/2] dan X[n/2+1]
Hitung posisi kuartil 1 dan 3 dengan menggunakan rumus berikut:
nq1 = (posisi kuartil 2 terpangkas +1) / 2 = (nq2* + 1) = nq3
Penetapan nilai kuartil 1 dan kuartil 3 prinsipnya sama dengan penentuan kuartil 2. Nilai
kuartil 1 posisi dihitung mulai pengamatan terkecil sedangkan nilai kuartil 3 dihitung dari
pengamatan terbesar.
Contoh 3.3
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai kuartilnya dapat dihitung dengan tahapan:
1. urutkan data
0.5 0.8 0.9 1 1 1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5 1.51.5 1.5 1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2 2.2 2.4 3
2. hitung q2:
a. nq2 = (n+1)/2 = 26/2 = 13
b. q2 = X[13] = 1.5
3. hitung q1:
a. nq1 = (nq2* +1)/2 = (13+1)/2 = 7
b. q1 = X[7] = 1.2
4. hitung q3:
a. nq3 = (n+1) – nq1 = (25+1) – 7 =19
b. q3 = X[19] = 1.8
Selain dengan cara seperti di atas, untuk mencari nilai kuartil dapat juga dilakukan dengan
cara interpolasi, yaitu dengan tahapan sebagai berikut:
1. urutkan data
2. tentukan posisi kuartil, nqi = i(n+1)/4; dengan i = 1, 2, 3
3. jika nqi bulat, maka qi = x[nqi]
4. jika nqi tidak bulat, maka
qi = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x[nilai bulat+1] – x[nilai bulat])
Contoh 3.4
Misalkan untuk menentukan nilai kuartil pada contoh 3.3 digunakan cara interpolasi, maka
hasilnya adalah:
1. posisi kuartil:
16
a. nq1= (n+1)/4 = 26/4 = 6.5
b. nq2= 2(n+1)/4 = 26/2 = 13
c. nq3= 3(n+1)/4 =3(26)/4 = 19.5
2. nilai kuartil:
a. q1 = x[6] + 0.5(x[7] – x[6]) = 1.0 + 0.5(1.2 – 1.0) = 1.1
b. q2 = x[13] = 1.5
c. q3 = x[19] + 0.5(x[20] – x[19]) = 1.8 + 0.5(1.9 – 1.8) = 1.85
Desil
Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama. Nilai-
nilai pembaginya ada 9, dilambangkan dengan D1, D2, …, D9, mempunyai sifat bahwa 10% data
jatuh di bawah D1, 20% jatuh di bawah D2, …, dan 90% jatuh di bawah D9.
Dengan cara interpolasi seperti dalam penentuan kuartil, maka tahapan dalam menentukan
desil adalah:
1. urutkan data
2. tentukan posisi desil, ndi = i(n+1)/10; dengan i = 1, 2, ..., 9
3. jika ndi bulat, maka di = x[ndi]
4. jika ndi tidak bulat, maka
di = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x[nilai bulat+1] – x[nilai bulat])
Contoh 3.5
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai desil ke-3 dapat dihitung dengan tahapan:
1. urutkan data (hasil seperti contoh 3.3)
2. posisi desil-3: nd3 = 3(n+1)/10 = 3(26)/10 =7.2
3. nilai d3:
d3 = x[7] + 0.2(x[8] – x[7]) = 1.2 + 0.2(1.2 – 1.2) = 1.2
Persentil
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama.
Nilai-nilai pembaginya ada 99, dilambangkan dengan P1, P2, …, P99, bersifat bahwa 1% dari
seluruh data terletak di bawah P1, 2% terletak di bawah P2, …, dan 99% terletak di bawah P99.
17
Dengan cara interpolasi seperti dalam penentuan desil, maka tahapan dalam menentukan
persentil adalah:
1. urutkan data
2. tentukan posisi persentil, npi = i(n+1)/100; dengan i = 1, 2, ..., 99
3. jika npi bulat, maka pi = x[npi]
4. jika npi tidak bulat, maka
pi = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x[nilai bulat+1] – x[nilai bulat])
Contoh 3.6
Nilai persentil 10 dan 90 Dari data pada contoh 3.1, dapat dicari dengan tahapan perhitungan
sebagai berikut:
1. urutkan data (hasil seperti contoh 3.3)
2. posisi persentil:
a. np10 = 10(n+1)/100 = 10(26)/100 =2.6
b. np90 = 90(n+1)/100 = 90(26)/100 = 23.4
3. nilai persentil:
a. p10 = x[2] + 0.6(x[3] – x[2]) = 0.8 + 0.6(0.9 – 0.8) = 0.86
b. p90 = x[23] + 0.4(x[24] – x[23]) = 2.2 + 0.4(2.4 – 2.2) = 2.28
Rata-rata
Rata-rata sering juga disebut dengan nilai tengah. Nilai ini merupakan ukuran pemusatan data
yang menimbang data menjadi dua kelompok data yang memiliki massa yang sama. Dengan
kata lain nilai tengah merupakan titik keseimbangan massa dari segugus data. Apabila x1, x2,
...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka nilai tengah populasinya
adalah:
1
NXi
i 1
N
sedangkan jika x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka nilai tengah contoh
tersebut adalah:
x1
nXi
i 1
n
18
Contoh 3.7
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai rata-ratanya adalah:
52.125
38)5.1...9.05.1(
25
1X
n
1x
n
1i
i
Rata-rata terpangkas
Karena dalam menentukan nilai rata-rata suatu data mempertimbangkan seluruh nilai
pengamatan, maka sifat nilai rata-rata tidak “kekar” (unrobust) artinya nilai rata-rata
terpengaruh oleh nilai ekstrim. Jika ada nilai ekstrim besar, maka rata-rata akan bergeser ke
kanan (ke nilai besar). Sebaliknya jika ana nilai yang ekstrim kecil, rata-rata akan bergeser ke
kiri 9 ke nilai kecil). Dengan demikian diperlukan kehati-hatian dalam menggunakan rata-rata.
Untuk mengatasi keberadaan data ekstrim sering disarankan untuk menggunakan rata-rata
terpangkas (trimmed mean). Misalkan rata-rata terpangkas 5%, artinya kita menghitung rata-
rata setelah membuang 5% data terkecil dan 5% data terbesar.
Contoh 3.8
Berdasarkan data pada contoh 3.1, jika akan dihitung rata-rata terpangkas 5%, maka
tahapannya adalah:
1. urutkan data
0.5 0.8 0.9 1 1 1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5 1.51.5 1.5 1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2 2.2 2.4 3
2. buang 5% nilai pengamatan terkecil dan 5% terbesar (25 x 5% = 1.25 1). Jadi nilai yang
dibuang adalah 0.5 dan 3.
3. hitung nilai rata-rata dari 23 data lainnya (tanpa 0.5 dan 3)
5.123
34.5)4.2...9.08.0(
23
1X
n
1*x
*n
1i
i*
3.3 Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dalam
kumpulannya. Dengan ukuran penyebaran kita dapat melihat seberapa jauh data-data
menyebar dari titik pemusatannya.
Ukuran penyebaran yang sering digunakan antara lain :
Wilayah (Range)
Ukuran penyebaran data yang paling sederhana adalah mencari selisih pengamatan terkecil
dengan pengamatan terbesar.
w = xmax-xmin
19
Ukuran ini cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai
pengamatannya menyebar merata. Tetapi ukuran ini akan menjadi tidak relevan jika nilai
pengamatan maksimum dan minimum merupakan data-data ekstrem.
Contoh 3.9
Berdasarkan data pada contoh 3.1, wilayah dari data tersebut adalah: W=3.0 – 0.5 = 2.5
Jangkauan antar Kuartil (Inter Quartil Range)
Jangkauan antar kuartil mengukur penyebaran 50% data ditengah-tengah setelah data diurut.
Ukuran penyebaran ini merupakan ukuran penyebaran data yang terpangkas 25% yaitu dengan
membuang 25% data yang terbesar dan 25% data terkecil. Ukuran ini sangat baik digunakan
jika data yang dikumpulkan banyak mengandung data pencilan. Jangkaun antar kuartil dihitung
dari selisih antara kuartil 3 (Q3) dengan kuartil 1 (Q1), atau dapat dirumuskan sebagai berikut:
Jak = Q3 -Q1
Contoh 3.10
Jangkauan antarkuartil dari data pada soal 3.1 adalah: JAK=q3 – q1 = 1.8 – 1.2 = 0.6
Ragam (Variance)
Ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah ragam. Ragam merupakan ukuran
penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik
pusat (rataan). Apabila x1, x2, ...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N,
maka ragam populasinya adalah:
2 2
1
NX i
i 1
N
( )
dan apabila x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka ragam contoh
tersebut adalah:
n
1i
2i
2 )X(1-n
1xs
Bentuk rumus di atas dapat diuraikan menjadi lebih sederhana untuk memudahkan perhitungan
yaitu:
)1(1
)(
2n
1i1
2n
1i
22
2
nn
xxn
n
xnx
si
n
iii
Akar dari ragam dikenal dengan simpangan baku yang dinotasikan dengan , sedangkan
simpangan baku contoh dilambangkan dengan s.
20
Contoh 3.11
Ragam dari data pada soal 3.1 adalah:
299.0600
1444)94.64(25
)125(25
38)5.1...9.05.1(25
)1(
2222
2n
1i1
2
2
nn
xxn
si
n
ii
Sedangkan simpangan bakunya adalah:
547.0299.02 ss
Koefisien keragaman
Ukuran penyebaran data seperti jangkauan, ragam, simpangan baku, dan jangkauan antar
kuartil merupakan keragaman mutlak. Ukuran keragaman ini tidak dapat dipakai untuk
membandingkan penyebaran dua kelompok data atau lebih. Untuk tujuan tersebut, ukuran
keragaman yang dipakai merupakan keragaman relatif. Salah satu ukuran keragaman relatif
yang sangat terkenal adalah koefisien keragaman (KK) yang dirumuskan sebagai berikut :
%100x
SKK
Contoh 3.12
Koefisien keragaman dari data pada contoh 3.1 adalah:
KK = (0.547/1.52) x 100% = 35.97%
Perlu diketahui bahwa sebagian besar data (sekitar 70%) berada pada kisaran sx . Gabungan
informasi dari kedua nilai tersebut akan lebih berguna dalam menyajikan informasi mengenai
data dibandingkan hanya nilai rata-rata saja.
Perhatikan hasil ringkasan terhadap data pendapatan rumah tangga (juta rupiah per bulan) dari
dua desa berikut ini:
Desa rata-rata ( x ) simpangan baku (s)
A 1.5 0.547
B 1.4 0.214
Jika kita hanya menyajikan nilai rata-rata saja dari kedua desa, maka dapat dinyatakan bahwa
rumah tangga di kedua desa memiliki pendapatan yang relatif sama. Penjelasan yang lebih
banyak akan diperoleh jika kita melihat nilai simpangan bakunya. Desa A memiliki simpangan
baku yang lebih besar daripada desa B. Artinya pendapatan rumah tangga di desa A lebih
heterogen dibanding di desa B.
21
3.4 Kemiringan distribusi data
Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data. Salah satu
cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah rumus pearson,
yaitu :
s
x mod atau
s
medx )(3
dengan : derajat kemiringan pearson
x : rata-rata hitung
mod : modus
s : standar deviasi
med : median
Jika :
kanankejulurmiring/mendatadistribusi0
kirikejulurmiring/mendatadistribusi0
simetrisdatadistribusi0
Semakin besar nilai || maka distribusi data akan semakin miring artinya semakin tidak
simetris.
Contoh 3.13
Berdasarkan data pada contoh 3.1, derajat kemiringan dari distribusi datanya adalah:
165.0547.0
)5.152.1(3)(3
s
medx
Karena nilai > 0, maka distribusi data menjulur ke kanan (seperti yang terlihat pada diagram
dahan daun pada contoh 3.2)
3.5 Keruncingan distribusi data
Keruncingan distribusi data merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu
distribusi data terhadap distribusi normalnya. Keruncingan distribusi data disebut juga dengan
kurtosis. Ada tiga jenis kurtosis :
1. leptokurtis yaitu distribusi data yang puncaknya relatif tinggi
2. mesokurtis yaitu distribusi data yang puncaknya normal
3. platikurtis yaitu distribusi data yang puncaknya relatif rendah
Untuk mengukur kurtosis digunakan koefisien kurtosis persentil (k) dengan rumus :
22
1090
1321
1090
)(
pp
pp
JAKk
dengan k : derajat kurtosis
q1 : kuartil 1
q3 : kuartil 3
p10 : persentil ke-10
p90 : persentil ke-90
Ada tiga kriteria untuk menentukan keruncingan distribusi data, yaitu:
1. jika k = 0.263, maka distribusinya mesokurtis
2. jika k < 0.263, maka distribusinya platikurtis
3. jika k > 0.263, maka distribusinya leptokurtis
Contoh 3.14
Derajat keruncingan distribusi dari data pada contoh 3.1 adalah:
528.042.1
75.0
86.028.2
)1.185.1()( 21
1090
1321
pp
qqk
Karena nilai k > 0.263, maka distribusi datanya leptokurtis yaitu data yang memiliki puncak
relatif tinggi.
3.6 Penyajian data dengan diagram kotak garis (boxplot)
Untuk menggambarkan letak relatif berbagai statistik secara menyeluruh dapat dirancang
suatu bagan yang disebut diagram kotak garis. Dinamakan demikian karena bentuknya terdiri
atas kotak persegipanjang yang berekor ke kiri dan kanan. Penyajian informasi dalam bentuk
boxplot, lebih meringkaskan informasi walaupun data asli tidak ditampilkan. Informasi yang
dapat diperoleh dengan penyajian boxplot antara lain :
Kesimetrikan penyebaran data, dapat dilihat dari apakah box (kotak) terbagi dua oleh garis
median sama besar atau tidak dan apakah ‘ekor’ kiri (bawah) dan ‘ekor’ kanan (atas) sama
panjang atau tidak.
Keanehan data, jika data pengamatan berada di luar batas BB1 dan BA1 disebut pencilan
minor dan jika data pengamatan berada di luar batas BB2 dan BA2 disebut data ekstrem.
23
Bagan kotak garis dapat digambarkan sebagai berikut:
+
BB2 BB1 Q1 Q2 Q3 BA1 BA2
keterangan: Q1, Q2, Q3 adalah nilai kuartil 1, 2 dan 3;
BA1=Q3+3/2(Q3-Q1);
BA2=Q3+3(Q3-Q1);
BB1=Q1-3/2(Q3-Q1);
BB2=Q1-3(Q3-Q1)
Diagram Kotak Garis juga dapat digunakan untuk perbandingan sebaran.
Contoh 3.15
Bentuk diagram kotak garis dari data pada contoh 3.1 dapat dibuat dengan tahapan sebagai
berikut:
1. tentukan nilai kuartil (k1= 1.1, k2 = 1.5, dan k3 = 1.85)
2. hitung batas bawah dan batas atas:
a. batas bawah: BB1 = q1 – 3/2(q3-q1) = 1.1 – 3/2(1.85 – 1.1) = -0.025, untuk BB2 tidak
perlu dihitung karena sudah tidak ada nilai pengamatan yang kurang dari nilai BB1.
b. Batas atas : BA1 = q3 + 3/2(q3-q1) = 1.85 + 3/2(1.85 – 1.1) = 2.975
BA2 = q3 + 3(q3-q1) = 1.85 + 3(1.85 – 1.1) = 4.10
3. grafiknya adalah:
24
3.7 Latihan Soal
1. Berikut ini adalah 40 data nilai MK. Metode Statistika I, program studi D3 Statistika
semester 1 :
40 21 54 26 98 74 54 35 46 65
54 23 47 85 75 78 65 34 23 20
56 55 40 41 75 65 26 63 51 50
74 25 45 54 65 35 35 36 39 46
a. Buatlah diagram daun untuk data di atas, bagaimana pola sebaran datanya?
b. Tentukan nilai rata-rata dan ragam dari data di atas
c. Tentukan nilai kuartil dan jangkauan antar kuartilnya
d. Buatlah tabel distribusi frekuensi kemudian buat histogramnya.
e. Buatlah diagram kotak garisnya. Apakah ada data ekstrim?
2. Pemerintah ingin mengevaluasi besarnya subsidi minyak yang akan disalurkan kepada
masyarakat pedesaan dan perkotaan. Untuk mengevaluasi besarnya subsidi yang disalurkan,
pemerintah melimpahkan tugas ini kepada suatu lembaga riset. Penelitian dilakukan pada
10 desa/kelurahan yang berstatus pedesaan dan 15 desa/kelurahan yang berstatus
perkotaan. Data konsumsi minyak tanah (liter) per kapita diperoleh sebagai berikut:
Pedesaan:
0.20 0.16 0.17 0.15 0.11 0.13 0.14 0.15 0.17 0.28
Perkotaan:
0.10 0.26 0.27 0.15 0.18 0.19 0.15 0.19 0.21 0.25 0.18 0.15 0.16 0.21 0.33
a. Buatlah diagram dahan daun untuk kedua gugus data tersebut!
b. Hitunglah rata-rata dan ragam konsumsi minyak tanah pada masing-masing daerah
c. Buatlah diagram kotak garis untuk kedua gugus data tersebut. Apakah mengandung
data ekstrim?
d. Berdasarkan diagram kotak garis yang Anda buat, apakah ada indikasi bahwa konsumsi
minyak tanah di daerah perkotaan lebih besar daripada di daerah pedesaan? Jelaskan!
25
4 KONSEP DASAR PELUANG
4.1 Pendahuluan
Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang pengumpulan dan analisis data dengan tujuan
untuk menarik kesimpulan/inferensia mengenai populasi. Bila data telah terkumpul, kita dapat
menggunakan inferensia statistika untuk memilih di antara berbagai model alternatif yang
tersedia. Proses penarikan inferensia ini sangat bergantung pada teori peluang.
Bila statistika pada hakekatnya merupakan suatu penalaran induktif (yaitu dari hal
khusus/sampel yang diketahui ke hal umum/populasi yang tidak diketahui), maka teori peluang
bekerja dalam arah sebaliknya, yaitu bersifat deduktif (dari hal umum/populasi yang diketahui
ke hal khusus/sampel yang tidak diketahui).
Deduksi menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti: Bila populasinya diketahui, bagaimana sifat-
sifat sampel yang akan ditarik dari populasi tersebut? Apakah sampelnya akan dapat mewakili
populasi? Hanya bila masalah-masalah deduktif ini teratasi, maka kita dapat membalik
argumentasi dan mengajukan pertanyaan: Seberapa tepatkah kita dapat mendeskripsikan suatu
populasi yang tidak diketahui berdasarkan data sampel yang teramati?
Teori peluang memberi kerangka dan model-model bagi statistika. Model pada hakekatnya
adalah suatu mekanisme acak dan teori peluang mempelajari model ini untuk mengetahui
konsekuensinya. Model-model ini didasar kepada asumsi tertentu. Statistika memilih satu atau
lebih model untuk menganalisis data/sampel yang diambil dari populasi dengan cara tertentu
(acak). Bila model sesuai terhadap data, maka model dapat digunakan untuk menganalisis data.
Bila model tidak sesuai, maka harus dicari model lain yang sesuai.
4.2 Ruang Contoh dan Kejadian
Untuk mempelajari peluang, kita membutuhkan konsep percobaan acak. Percobaan diartikan
sebagai suatu tindakan yang dapat diulang-ulang di bawah kondisi tertentu. Bila percobaan
yang diulang-ulang itu selalu memberi hasil (outcome) yang sama, percobaan dikatakan
deterministik, bila tidak demikian maka percobaan dikatakan acak atau stokastik. Dalam
kerangka ini, teori peluang digunakan untuk meramal atau memprediksi hasil suatu percobaan
acak.
Perhatikan sebuah percobaan acak sederhana berupa pelemparan sebuah dadu bersisi enam
yang seimbang. Hasil yang mungkin diperoleh dari percobaan ini ialah munculnya sisi 1, 2, 3, 4,
5, atau 6. Percobaan ini termasuk acak karena kita tidak bisa memastikan sisi apa yang akan
26
muncul. Dengan menggunakan konsep himpunan, suatu himpunan/gugus yang memuat semua
hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel
(sample space). Sedangkan unsur-unsur dari suatu ruang sampel disebut titik sampel.
Ruang sampel dapat dipandang sebagai himpunan semesta bagi permasalahan yang dihadapi.
Ruang sampel dilambangkan dengan S. Dengan demikian, ruang sampel dari percobaan di atas
ialah S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ruang kejadian adalah himpunan bagian (anak gugus) dari ruang sampel, yang memiliki
karakteristik tertentu. Ada dua jenis kejadian, yaitu kejadian dasar dan kejadian majemuk.
Kejadian dasar hanya terdiri dari satu unsur, sedangkan kejadian majemuk minimal terdiri dari
satu unsur. Dengan demikian, suatu kejadian dasar juga merupakan kejadian majemuk. Suatu
kejadian dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ..., dan seterusnya).
Sebagai contoh, kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat
dinyatakan sebagai A = {hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S={hati,
sekop, klaver, wajik}. Jadi A adalah kejadian sederhana. Kejadian B yaitu terambilnya kartu
merh merupakan kejadian majemuk, karena B = {hati wajik} = {hati, wajik}. Perhatikan
bahwa gabungan atau paduan beberapa kejadian sederhana menghasilkan kejadian majemuk
yang tetap menjadi himpunan bagian ruang contohnya.
Suatu kejadian mungkin saja berbentuk himpunan bagian yang meliputi seluruh ruang contoh S.
demikian juga sebaliknya, suatu kejadian dapat berbentuk himpunan bagian dari S yang tidak
mengandung satu pun anggota yang disebut dengan ruang nol atau himpunan kosong dan
biasanya dilambangkan dengan . Sebagai contoh, bila A menyatakan kejadian menemukan
suatu organisme mikroskopis dengan mata telanjang dalam suatu percobaan biologi maka A =
.
4.3 Operasi Kejadian
Suatu keuntungan dari penggunaan notasi himpunan bagi kejadian adalah kita dapat melakukan
operasi himpunan terhadap kejadian. Beberapa operasi himpunan yang dapat dilakukan untuk
kejadian:
Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur S yang tidak
termasuk A, biasanya dinotasikan dengan lambang Ac.
27
Contoh 4.1
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,3,5}, maka Ac = {2,4,6}
Irisan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B,
dinotasikan dengan lambang A B.
Contoh:
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B = {2}
Gabungan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung semua unsur yang
termasuk A atau B atau keduanya, yang dinotasikan dengan lambang A B.
Contoh 4.2
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B ={1,2,3,4,6}.
Kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutually exclusive) bila A dan B tidak memiliki
unsur persekutuan (bila A B =)
Contoh 4.3
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,3,5} dan B = {2,4,6}, maka A dan B saling terpisah, karena A B =.
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas bila A dan B tidak saling mempengaruhi.
Contoh 4.4
Pada pelemparan dua uang logam, kejadian munculnya sisi muka dari uang logam
pertama dan uang logam kedua saling bebas
4.4 Cara Menghitung Ukuran Ruang Contoh
Dalam menghitung peluang suatu kejadian, kita tidak perlu mendaftar unsur-unsur dari suatu
kejadian dan ruang sampelnya, tetapi cukup dengan menghitung banyaknya titik sampel suatu
kejadian dan ruang sampel tersebut.
Berdasarkan banyaknya unsur suatu ruang sampel, ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua
jenis yaitu ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Suatu ruang sampel dikatakan
diskret jika banyaknya unsur dari ruang sampel tersebut berhingga atau tidak berhingga
28
terhitung (countable). Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu jika ruang sampel memuat
semua bilangan dalam suatu interval tertentu.
Jika ruang contoh suatu percobaan terdiri atas kejadian dasar yang diskret terhingga, ada tiga
kaidah dasar cara menghitung banyaknya ukuran ruang contoh, yaitu:
1. pengisian tempat yang tersedia
ada dua kaidah yang dapat digunakan untuk pengisian tempat yang tersedia, yaitu kaidah
penggandaan dan kaidah penjumlahan. Pada kaidah penggandaan, misalnya n1 adalah
banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua
setelah tempat pertama terisi dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah
(k-1) tempat-tempat sebelumnya terisi, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang
tersedia adalah:
n1.n2. ... .nk
Contoh 4.5
Pada sebuah dealer motor tersedia 4 merk sepeda motor. Masing-masing merk
menyediakan 3 jenis kapasitas silinder. Masing-masing sepeda motor dikeluarkan dengan 2
macam warna. Jika seorang pengojek hendak membeli sepeda motor baru, berapa macam
pilihan yang dapat dilakukan olehnya?
Pikiran pengojek sewaktu memilih merk bercabang empat, sewaktu memilih kapasitas
silinder bercabang tiga dan sewaktu memilih warna bercabang dua. Jadi, pilihannya ada
4 x 3 x 2 = 24 macam
Kaidah penjumlahan digunakan jika dalam mengisi tempat kedua setelah tempat pertama
terisi tidak dapat dilakukan menggunakan benda-benda yang digunakan sebagai pilihan
untuk mengisi tempat pertama. Jadi, misalnya n1 adalah banyaknya cara mengisi tempat
pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua dan nk adalah banyaknya cara
mengisi tempat ke-k, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah:
n1 + n2 + ... + nk
Contoh 4.6
Dari Jakarta kita dapat pergi ke Bogor menggunakan kendaraan bermotor melalui (1)
Parung, (2) jalan lama Cibinong, atau (3) jalan tol Jagorawi. Dari Bogor kita dapat ke
Bandung melalui (1) Sukabumi atau (2) Cianjur. Dari Jakarta kita juga dapat ke Bandung
melalui (1) jalan tol Cikampek atau (2) jalan lama Bekasi lewat Purwakarta. Hanya ada satu
jalan raya dari Purwakarta menuju Bandung. Ada berapa pilihan untuk pergi ke Bandung
dari Jakarta?
29
Jika melalui Bogor ada 3x2 pilihan dan jika melalui Purwakarta ada 2x1 pilihan. Jadi,
banyaknya pilihan ada 3x2 + 2x1 = 8 macam
2. permutasi
Pemilihan benda-benda dari suatu gugus benda-benda S = {e1, e2, …, en} dapat dilakukan
dengan permutasi. Permutasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih
diperhatikan. Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi,
dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih
menempati posisi wakil ketua.
Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!
Contoh 4.8
Banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata “LATIH”
adalah 5! = 120
Banyaknya permutasi n benda berlainan jika diambil r benda sekaligus (r<n) adalah:
)!(
!
rn
nPrn
Contoh 4.9
Dari 5 orang kandidat akan dibentuk susunan pengurus (Ketua, Wakil, Bendahara)
N(S) = P53 = 5!/(5-3)! = 60
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
Contoh 4.10
Dalam suatu ruangan diskusi dengan bentuk meja melingkar, akan berlangsung diskusi yang
akan diikuti 6 peserta. Banyaknya cara keenam orang tersebut duduk pada 6 kursi yang
disusun melingkar adalah (6 – 1)! = 5! = 120 cara.
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2
berjenis kedua, …, nk berjenis ke k adalah:
!!!
!
21 knnn
n
30
Contoh 4.11
Banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata “CACAH”
adalah 5!/(2!2!1!) = 30
Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 unsur
dalam sel pertama, n2 dalam sel kedua, …, adalah:
,!!!
!
,,, 2121 rr nnn
n
nnn
n
dengan n1+n2+…+nr = n
Contoh 4.12
Ada suatu kelas yang terdiri atas 12 orang. Banyaknya cara untuk membagi kelas tersebut
dalam tiga kelompok yang terdiri atas 5, 4, dan 3 orang adalah 12!/(5!4!3!)=27720
cara
3. kombinasi
Selain permutasi, Pemilihan benda-benda dari suatu gugus benda-benda S = {e1, e2,
…, en} juga dapat dilakukan dengan cara kombinasi . Kombinasi merupakan kejadian dimana
susunan objek yang terpilih tidak diperhatikan. Misalkan memilih sejumlah orang untuk
menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi
perhatian. Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:
!!0...)1()(
!0...)2()1(
!)!(
!
xrxxrnxrn
xxnxnnx
rrn
nC n
r
Contoh 4.13
Dari 5 orang akan dibentuk tim cepat tepat yang beranggotakan 3 orang.
N(S) = C53 = 5!/(5-3)!3! = 10
4.5 Peluang Suatu Kejadian
Ada tiga pendekatan yang dapat dilakukan untuk menentukan peluang suatu kejadian.
Pendekatan tersebut adalah:
1. secara intuitif kita mungkin merasa, atau didukung oleh percobaan, bahwa dari k hasil
percobaan mempunyai kemungkinan sama untuk muncul;
31
2. peluang suatu kejadian dapat dihitung berdasarkan kepada frekuensi relatif yang
teramati dari serangkaian percobaan;
3. peluang suatu kejadian ditentukan secara subyektif berdasarkan pandangan pribadi.
Jika A adalah suatu kejadian sembarang, terdapat tiga aksioma peluang:
1. 0 P(A) 1
2. P(S) = 1
3. P(Ai Aj) = P(Ai) + P(Aj), asalkan Ai Aj =
Berdasarkan aksioma (3), misalnya, kita dapat menentukan peluang suatu kejadian sebagai
jumlah peluang masing-masing titik sampel yang menjadi anggota kejadian tersebut.
Beberapa sifat peluang:
1. untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian S, maka
peluang paduan dua kejadian tersebut adalah:
P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB)
2. untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian S berlaku:
P(B) = P(BA) + P(BAc)
3. untuk setiap kejadian A berlaku:
P(A) = 1 - P(Ac)
4. Jika A dan B saling bebas, maka P(AB) = P(A) + P(B)
5. Jika A1, A2, ..., An saling bebas, maka
P(A1A2...An)= P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
4.6 Peluang Bersyarat
Seringkali di dalam penerapan kita tertarik pada peluang yang terkait dengan sebagian dari
populasi (ruang sampel). Di sini kita berkepentingan dengan kendala tambahan yang
dikenakan oleh sebagian dari populasi yang mungkin saja tidak berlaku bagi populasi
keseluruhan. Peluang yang terkait dengan subpopulasi ini dinamakan peluang bersyarat
(conditional probability).
Contoh 4.14
Jika sebuah dadu seimbang digulirkan, maka ruang contohnya adalah S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Jika A adalah kejadian munculnya dadu yang bersisi genap, maka P(A)=P{2, 4, 6} = ½. Bila
ada informasi tambahan bahwa sisi yang muncul lebih besar dari 3, maka ruang sampelnya
adalah S*={4, 5, 6}, sehingga peluang memperoleh sisi genap dengan adanya informasi ini
adalah P(A)=P{4, 6} = 2/3.
32
Dari teladan di atas terlihat bahwa informasi tambahan berakibat ruang contohnya
menyempit dari S={1, 2, 3, 4, 5, 6} menjadi S*={4, 5, 6}, dan pada gilirannya akan
mengubah nilai peluang.
Permasalahan peluang seperti tersebut di atas disebut peluang bersyarat. Jika A dan B dua
kejadian, peluang bersyarat bagi A setelah B dilambangkan oleh P (A|B) didefinisikan
sebagai
)(
)()|(
BP
BAPBAP
, asalkan P(B) 0
Dari definisi di atas, kita memperoleh kaidah penggandaan berikut, yang penting untuk
menentukan peluang irisan dua atau lebih kejadian.
P(AB) = P(A)P(B|A)
P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|(AB))
Contoh 4.15
Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa
pemulihan. Tentukanlah:
a. peluang kedua bola yang terambil berwarna merah!
b. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan biru pada
pengambilan kedua!
Jawab
Karena bola hanya dibedakan menurut warna, maka sebagai ruang sampelnya adalah:
S={M1M2, M1B2, B1M2, B1B2}, dengan M1M2 artinya terambilnya bola merah pada pengambilan
pertama dan merah pada pengambilan kedua.
Dengan demikian,
a. P(M1M2) = P(M1)P(M2|M1) =(2/5)(1/4) = 2/20
b. P(M1B2) = P(M1)P(B2|M1) =(2/5)(3/4) = 6/20
Penerapan penting dari peluang bersyarat adalah pada masalah kebebasan antar dua kejadian.
Di dalam bahasa sehari-hari, dua kejadian dikatakan bebas bila kejadian yang satu tidak ada
kaitannya dengan kejadian yang lain. Namun, secara tepat dalam pengertian statistik,
pengertian kebebasan antar dua kejadian adalah:
1. dua kejadian A dan B dikatakan bebas (stokastik) bila P(A|B) = P(A)
2. berdasarkan kaidah penggandaan untuk irisan dua atau lebih kejadian, dua kejadian A
dan B dikatakan bebas bila P(AB) = P(A)P(B)
33
4.7 Kaidah Bayes
Penerapan menarik lainnnya dari peluang bersyarat adalah apa yang disebut peluang pasterior;
hal ini diberikan oleh Kaidah Bayes. Pada teladan di atas, dengan mudah kita dapat menjawab
pertanyaan berapa peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua, bila pada ambilan
pertama terambil bola merah?
Karena pada ambilan pertama diperoleh merah, maka di dalam kotak masih ada 1 merah dan 3
biru, sehingga peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua bila pada ambilan pertama
terambil bola merah adalah ¾. Sekarang pertanyaannya dibalik. Bila pada ambilan kedua
terambil bola biru, berapa peluang pada ambilan pertama terambil bola merah, P(M1|B2)?
Menurut rumus peluang bersyarat,
)(
)()|(
2
2121
BP
BMPBMP
Akan tetapi,
P(M1B2) = P(M1)P(B2|M1)
Dan
P(B2) = P(M1B2) + P(B1B2)
= P(M1)P(B2|M1) + P(B1)P(B2|B1)
Sehingga
2
1
)4/2)(5/3()4/3)(5/2(
)4/3)(5/2(
)|()()|()(
)|()()|(
121121
12121
BBPBPMBPMP
MBPMPBMP
Perhatikan bahwa informasi terjadinya B2 telah mengubah peluang awal dari P(M1)=2/5 menjadi
P(M1|B2)=1/2.
Contoh di atas mengilustrasikan teorema berikut yang dikenal sebagai Kaidah Bayes:
Bila kejadian-kejadian B1, B2, ..., Bk merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0
untuk i = 1, 2, ..., k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0,
kjBAPBPBAPBPBAPBP
BAPBPABP
kk
jj
j ,,2,1;)|()()|()()|()(
)|()()|(
2211
34
4.8 Latihan Soal
1. Suatu kesebelasan sepak bola memiliki:
a. kaus oblong biru, kuning, merah dan hijau
b. celana pendek putih dan hitam
c. kaus kaki putih, hitam dan hijau
Berapa macam kombinasi warna seragam kesebelasan yang dapat disusun?
2. Ada berapa banyak cara 6 orang dapat didudukkan pada sebuah sofa jika yang tersedia
hanya 4 tempat duduk?
3. Ada berapa banyak cara 7 buku dapat disusun pada rak jika:
a. sembarang susunan dimungkinkan
b. 3 buku tertentu harus selalu berdiri berdampingan
c. 2 buku tertentu harus menempati ujung-ujung?
4. Dari 4 apel merah, 5 hijau, dan 6 kuning, berapa banyak kemungkinan pilihan yang terdiri
atas 9 apel bila setiap warna harus diambil 3?
5. Agen penjual komputer ECS Pentium IV mempunyai stock barang sebanyak 5 buah, dua
diantaranya dalam kondisi rusak. Seorang mahasiswa membeli tiga buah komputer,
hitunglah:
a. Berapa banyaknya kemungkinan komputer yang terpilih
b. Berapa banyak kemungkinan dua komputer yang terpilih dalam keadaan rusak
c. Berapa banyak kemungkinan ketiganya dalam kondisi baik?
6. Dari 5 buah bilangan yaitu 1,2,3,4,5 diambil 3 bilangan secara serentak.
a. Berapakah banyak kemungkinan bilangan yang terpilih ketiganya ganjil
b. Berapakah banyak kemungkinan bilangan yang terpilih dua genap dan satu ganjil
c. Jika ketiga bilangan terpilih disusun menjadi sebuah bilangan, ada berapa kemungkinan
bahwa bilangan tersebut bernilai ganjil.
7. Dari 5 orang sarjana ekonomi dan 7 orang sarjana tehnik akan dibentuk suatu tim yang
terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana tehnik. Ada berapa banyak tim itu dapat
dibentuk jika:
a. Setiap sarjana ekonomi dan tehnik boleh ikut dalam tim.
b. Seorang sarjana tehnik tertentu harus masuk tim
c. Dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu.
8. Dua kartu diambil secara acak (satu-satu) dari sekumpulan 52 kartu Bridge yang dikocok
dengna baik. Tentukan probabilitas untuk memperoleh 2 kartu as jika :
a. pengambilan kartu pertama dikembalikan
35
b. pengambilan kartu kedua tidak dikembalikan
9. Satu kantong berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Satu kantong yang lain lagi berisi 4 bola
4 bola putih dan 5 bola merah. Jika dari setiap kantong diambil sebuah bola, tentukan
peluang kejadian terambilnya :
a. dua bola itu putih
b. keduanya merah
c. satu putih dan satu merah
10. Dalam suatu penelitian menunjukkan bahwa setiap 100 produk yang dihasilkan suatu pabrik
pada siang hari (S) 2 diantaranya cacat (C), dan setiap 100 produk yang dihasilkan pada
malam hari (M) 5 diantaranya cacat. Selama 24 jam kerja, 100 produk dihasilkan pada siang
hari, dan 60 produk dihasilkan pada malam hari. Dengan rumus bayes, hitunglah peluang
bahwa suatu produk cacat yang dipilih secara acak dari 160 ptoduk yang dihasilkan selama
24 jam :
a. diproduksi pada malam hari
b. diproduksi pada siang hari
11. Sejumlah kelereng berwarna dimasukkan ke dalam tiga kotak yang tidak dapat dibedakan
sebagai berikut :
Warna Kotak 2 Kotak 1 Kotak 3
Merah 2 4 3
Putih 3 1 4
Biru 5 3 3
Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil
secara acak sebuah kelereng
a. hitung peluang terambilnya kelereng putih
b. bila diketahui kelerengnya putih, berapa peluang bahwa kelereng itu berasal dari kotak
2
36
5 KONSEP DASAR PEUBAH ACAK
5.1 Pengertian Peubah Acak
Istilah percobaan atau percobaan statistik telah digunakan untuk menjelaskan
sembarang proses yang menghasilkan satu atau lebih ukuran bagi factor kebetulan. Sering kali
kita tidak tertarik pada keterangan rinci setiap titik contoh, namun hanya pada suatu
keterangan numeric hasil percobaan. Misalnya, ruang contoh yang rinci bagi percobaan
pelemparan uang logam sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai :
S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}.
Bila kita hanya tertarik pada berapa kali sisi gambar muncul, maka nilai numeric 0, 1, 2, atau
3, dapat diberikan pada setiap titik contoh.
Bilangan-bilangan 0, 1, 2, dan 3 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan oleh
hasil percobaan. Nilai-nilai itu dapat dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh
suatu peubah acak atau variable acak X tertentu, yang dalam hal ini menyatakan berapa kali
sisi gambar muncul bila sekeping uang logam dilempar tiga kali.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak adalah suatu fungsi yang
nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Kita
dapat menggunakan huruf kapital, misalnya X, untuk melambangkan suatu peubah acak, dan
huruf kecil, dalam hal ini x, untuk menyatakan salah satu di antara nilai-nilainya.
Dari ilustrasi pelemparan uang logam di atas, kita lihat bahwa peubah acak X bernilai 2
untuk semua unsure dalam himpunan bagian
E = {GGA, GAG, AGG}
ruang contoh S. Jadi setiap kemungkinan nilai X menyatakan kejadian yang merupakan
himpunan bagian ruang contoh S bagi percobaannya.
Ada 2 macam ruang contoh :
1. Ruang Contoh Diskret
Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga banyaknya.
2. Ruang Contoh Kontinu
Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang tak terhingga banyaknya
Sehingga peubah acak pun ada 2, yaitu peubah acak diskret (peubah acak yang didefinisikan di
atas ruang contoh dikret) dan peubah acak kontinu (peubah acak yang didefinisikan di atas
ruang contoh kontinu.
Dalam prakteknya peubah acak kontinu digunakan untuk data yang diukur. Misalnya
tinggi, bobot, suhu, jarak, atau umur. Sedangkan peubah acak diskret digunakan untuk data
yang berupa hitungan atau cacahan. Contohnya banyaknya produk yang cacat, banyaknya
kecelakaan pertahun di suatu kota dan banyaknya kelereng merah yang diambil pada suatu
percobaan .
37
Contoh 5.1
Pada pelemparan tiga uang logam, bila X menyatakan banyaknya muncul sisi angka, tentukan :
a. nilai-nilai peubah acak X
b. Sebaran peluang X
Penyelesaian :
Pelemparan tiga uang logam mempunyai ruang contoh :
S={(AAA), (AAG),(AGA),(GAA),(GGA),(GAG),(AGG),(GGG)}
a. Karena X menyatakan banyaknya muncul sisi angka, pada S, maka nilai-nilai dari X adalah :
X={0, 1, 2, 3}
X=0, artinya tidak ada sisi angka yang muncul
X=1, artinya ada satu sisi angka yang muncul
X=2, artinya ada dua sisi angka yang muncul
X=3, artinya ketiganya muncul sisi angka
b. Peluang dari nilai-nilai X adalah :
P(X=0)=P(GGG)=1/8
P(X=1)=P(GGA)+P(GAG)+P(AGG)=1/8+1/8+1/8=3/8
P(X=2)=P(AAG)+P(AGA)+P(GAA)=1/8+1/8+1/8=3/8
P(X=3)=P(AAA)=1/8
Sehingga sebaran peluang X adalah :
X=x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
5.2 Sebaran Peluang Diskret
Yaitu sebuah table atau rumus yang mencamtumkan semua kemungkinan nilai suatu
peubah acak diskret beserta peluangnya. Pada peubah acak diskret, setiap nilainya dikaitkan
dengan peluang tertentu. Misalnya pelemparan uang logam sebanyak 3 kali. Peubah acak X
menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul. Dengan mengasumsikan peluang yang sama
untuk setiap kejadian sederhana, maka semua kemungkinan nilai X berikut peluangnya adalah
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Perhatikan bahwa nilai-nilai X mencakup semua kemungkinan sehingga total peluangnya sama
dengan 1
Seringkali, suatu peluang peubah acak dinyatakan dalam sebuah rumus, yang
merupakan fungsi nilai-nilai x. Biasanya dilambangkan dengan f(x), g(x), r(x) dan sebagainya.
38
Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut fungsi peluang atau sebaran peluang bagi
peubah acak X.
Sifat-sifat peubah acak diskret :
a. f(x)=P(X=x)
b. f(x) 0
c. x
xf 1)(
5.3 Sebaran Peluang Kontinu
Untuk memahami pengertian sebaran peluang kontinu, perhatikan ilustrasi berikut:
Suatu peubah acak menyatakan tinggi badan semua orang yang berusia di atas 21 tahun. Antara
2 nilai sembarang, misalnya 163.5 dan 164.5, terdapat tak terhingga banyaknya tinggi badan.
Dan sangat sulit sekali untuk mencari tinggi badan yang tepat 164 cm.Tetapi tidak demikian,
bila kita membicarakan peluang terambilnya seseorang yang tingginya antara 163 sampai 165.
Dalam hal ini kita berhadapan dengan sebuah selang nilai peubah acak, dan bukan tepat satu
nilai peubah acak.
Sehingga sebaran peluang peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk
tabel, tetapi sebaran ini dapat disajikan dalam bentuk rumus. Rumus ini merupakan fungsi
nilai-nilai peubah acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai kurva kontinu. Fungsi
peluang yang digambarkan dengan kurva disebut fungsi kepekatan peluang atau fungsi
kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan dalam analisis satistika bersifat kontinu untuk semua
nilai X, dan luas daerah menyatakan besarnya peluang.Karena nilai peluang positif, maka fungsi
kepekatan seluruhnya terletak di atas sumbu x. Fungsi kepekatan peluang dibuat sedemikian
rupa sehingga luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1.Sehingga dapat
disimpulkan bahwa Fungsi Kepekatan Peluang peubah acak kontinu X adalah fungsi peluang
yang digambarkan dengan sebuah kurva, dengan luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu
x sama dengan 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b, menyatakan
peluang X terletak antara a dan b, P(a<X<b).
Sifat-sifat peubah acak kontinu :
a. P(a<X<b)= b
a
dxxf )(
b. f(x) 0
c. 1)(
dxxf
39
5.4 Nilai Harapan Peubah Acak
Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya
dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.
Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
kontinup.aXjika,)(
diskretp.aXjika),(
)(1
dxxfx
xpx
X
ii
n
iix
Ε
Contoh 5.2
Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X sebagai berikut:
Nilai peubah Acak XX 0 1 2 3 4 5
P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Contoh 5.3
Ruang contoh untuk percobaan dua buah uang logam adalah
S = {GG, GA, AG, AA}
Karena keempat titik contoh berpeluang sama untuk terjadi, peluang-peluang tersebut dapat
dipandang sebagai frekuensi relatif bagi kejadian-kejadian itu dalam jangka panjang. Sehingga
jika seseorang melemparkan dua uang logam yang setimbang berulang-ulang kali, maka rata-
rata ia akan memperoleh 1 sisi gambar perlemparan adalah 1, yang didapat dari
= E(Y) = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1
Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret dengan sebaran peluang
X X1 X2 ……. Xn
P(X=x) F(x1) F(x2) ……. F(xn)
40
Maka nilai tengah atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah
n
iiixg xfxgXgE
1)( )()())((
5.5 Ragam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(X-E(X))2
= E(X2) – [E(X)]2
Contoh 5.4
Untuk contoh sebelumnya, ragam dari peubah acak X adalah:
V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2
= 55/6 - 225/36 = 105/36
5.6 Sifat Nilai harapan Dan Ragam
a. Bila a dan b konstanta, maka
baba xbaX
b. Nilai harapan jumlah atau selisih dua atau lebih peubah acak sama dengan jumlah atau
selisih nilai harapan masing-masing peubah.
YXYX dan YXYX
c. Nilai harapan hasilkali dua atau lebih peubah acak yang bebas satu sama lain sama
dengan hasilkali nilai harapan masing-masing peubah acak. Jadi jika X dan Y bebas,
maka
YXXY
d. Bila X suatu peubah acak dan b konstanta, maka
222 XbX
e. Bila X peubah acak dan a adalah konstanta, maka
22222 aa XaX
f. Ragam jumlah atau selisih dua atau lebih peubah acak yang bebas sama dengan jumlah
ragam masing-masing peubah acak. Jadi bila X dan Y bebas, maka
222YXYX dan
222YXYX
41
5.7 Latihan Soal
1. Dalam suatu gudang terdapat 7 pesawat televisi. Dua diantaranya rusak. Sebuah hotel
membeli secara acak 3 dari ketujuh televisi tersebut. Bila X menyatakan banyaknya
televisi yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukanlah :
a. Peluang semua tv yang terbeli tidak ada yang rusak.
b. Peluang ada satu tv yang rusak
c. Tentukanlah nilai X
d. Carilah fungsi sebaran peluang X
e. Hitunglah nilai tengah dan ragam X.
2. Suatu peubah acak diskret X mempunyai sebaran peluang
3,2,1,03
)(3
43
41
xuntuk
xxf
xx
Tentukan nilai tengah X
3. Tentukan nilai harapan banyaknya kaset jazz, bila 4 kaset diambil secara acak dari
sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 kaset klasik dan 3 kaset polka.
4. Misalkan sebuah peubah acak X memiliki sebaran peluang sebagai berikut
X 0 1 2 3
P(X=x) 8/27 4/9 2/9 1/27
Tentukan nilaitengah X
5. Dengan menanamkan modalnya dalam suatu stock tertentu, seseorang dapat menerima
keuntungan $4000 setahun dengan peluang 0.3 atau kerugian $1000 setahun dengan
peluang 0.7. Tentukan nilai harapan penerimaan orang ini dari stock tersebut.
6. Misalkan X menyatakan hasil bila sebuah dadu setimbang dilemparkan. Tentukan
43)(, 2)( XXgbilaXg
7. Untuk soal nomor 4, hitunglah2
)( )12()(, XXgbilaXg
8. Dari soal nomor 4, tentukan simpangan baku X.
9. Peubah acak X yang menyatakan banyaknya potongan coklat dalam sebuah kue
mempunyai sebaran peluang sebagai berikut :
X 2 3 4 5 6
P(X=x) 0.01 0.25 0.4 0.3 0.04
Hitunglah ragam X
42
6 SEBARAN PELUANG TEORITIS
Secara garis besar, sebaran peluang teoritis dapat dibedakan atas sebaran diskret dan
sebaran kontinu. Sebaran diskret adalah fungsi peluang dari peubah-peubah acak diskret,
seperti Bernoulli, Binomial, Hipergeometrik, Poisson, dan lain-lain. Sedangkan sebaran kontinu
adalah fungsi peluang peubah-peubah acak kontinu, antar lain Seragam , Normal, dan lain-lain.
Berikut ini akan diuraikan beberapa jenis sebaran peluang diskret dan sebaran peluang
kontinu.
6.1 Sebaran Binom
Peubah X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam n ulangan suatu percobaan
binom disebut peubah acak binom, dan sebaran peluang bagi peubah acak binom disebut
sebaran binom.
Ciri-ciri percobaan binom :
a. percobaannya terdiri atas n ulangan
b. dalam setiap ulangan, hasil percobaannya hanya ada 2, yaitu sukses atau gagal
c. peluang sukses, dilambangkan dengan p, dan untuk setiap ulangan besarnya peluang
sama, tidak berubah-ubah
d. ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang sukses p dan peluang gagal q = 1-p, maka sebaran
peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya kesuksesan dalam n ulangan yang bebas,
adalah
,),;( xnx qpx
npnxb
untuk x = 0, 1, 2,…….,n
Nilai sebaran di atas diperoleh dari uraian berikut ini :
1. pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. Karena ulangan
semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda dapat digandakan. Tiap sukses
terjadi dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan
tersebut adalah pxqn-x.
2. tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x
yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n
hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya,
n-x hasil, pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan dengan
x
n .
43
3. karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x sukses diperoleh dari
hasil penggandaan
x
n dengan pxqn-x.
Nilai tengah dan ragam bagi sebaran binom b(x;n,p) adalah npqdannp 2
Sebaran Binomial Kumulatif
Ada kalanya perhitungan peluang sebaran binomial lebih mudah dilakukan dengan memakai
sebaran kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka
sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(Xr), dengan r<n, adalah:
n
rx
pnxb
pnnbpnrbpnrbrXP
),,(
),,(),,1(),,()(
Untuk memperoleh nilai peluang binomial kumulatif dapat menggunakan tabel sebaran
binomial.
Contoh 6.1
Dari hasil kajian akademik diperoleh bahwa peluang dosen hadir dalam kegiatan belajar
mengajar sebesar 90%. Jika proses belajar mengajar per semester dilakukan sebanyak 14 kali,
hitunglah :
a. peluang dosen hadir dalam kegiatan belajar mengajar sebanyak 10 kali !
b. peluang dosen hanya tidak hadir satu kali !
c. peluang dosen hanya tidak hadir pada pertemuan ke 14 !
d. peluang dosen hanya hadir pada pertemuan pertama !
Penyelesaian :
X = banyaknya dosen mengajar dalam satu semester
p = 0.9, n = 14
,),;( xnxqpx
npnxb
sehingga ,1.09.0
14)9.0,14;( 14 xx
xxb
x=0, 1, 2, …, 14
a. P(X=10)= 035.049.3)1001(1.09.0!)1014(!10
!141.09.0
10
14 5410101410
Atau dengan melihat tabel binom :
P(X=10) = P(X10) – P(X9)
=
9
0
10
0
)9.0,14;()9.0,14;(xx
xbxb = 0.0441- 0.0092 = 0.0349
44
b. Jika dosen tidak hadir sekali, maka ada 14 kemungkinan dosen tersebut tidak hadir dari 14
pertemuan. Dengan demikian peluangnya :
356.0)254.0)(1.0(149.01.01
14 1141
c. Karena sudah ditentukan bahwa dosen tidak hadir pada pertemuan ke 14, maka peluangnya
:
0254.0)254.0)(1.0(9.01.01141
d. Karena sudah ditentukan bahwa dosen hanya hadir pada pertemuan pertama, maka
peluangnya :
09)1)(9.0(1.09.0 14131141
Contoh 6.2
Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak akibat truk yang
membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang membeli barang dagangan itu
sebanyak 10 buah, tentukan :
a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak
b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang yang rusak
c. rata-rata dan simpangan baku barang yang rusak
penyelesaian
Misalkan X = banyaknya barang yang rusak
p = 0.25, n = 10
a. P(X =5) =P(X5) – P(X4) = 0.9803 – 0.9219 = 0.0584
b. P(3X<7)=P(3X6) = P(X6) – P(X2) =0.9991-0.6778 = 0.3213
c. µ = n.p = 10x0.25 = 25, = n.p.(1-p) = 10x0.25x0.75 = 1.875
6.2 Sebaran Hipergeometrik
Ciri-ciri percobaan hipergeometrik :
a. suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N
b. k dari N benda diklasifikasikan sebagai sukses dan N-k benda diklasifikasikan sebagai
gagal
Banyaknya kesuksesan X dalam suatu percobaan hipergeometrik disebut peubah acak
hipergeometrik,dan sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik disebut sebaran
hipergeometrik.
45
Bila dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label sukses dan N-k benda
lainnya diberi label gagal maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam contoh acak berukuran n, adalah
,),,;(
n
N
xn
kN
x
k
knNxh untuk x = 0,1,2,…..,k
Nilaitengah dan ragam bagi sebaran hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah
N
k
N
kn
N
nNdan
N
nk1..
12
Contoh 6.3
Dalam suatu kantong terdapat 10 bola merah dan 5 bola putih. Bila diambil 3 bola secara acak,
tentukan peluang untuk memperoleh 0, 1, 2, dan 3 bola merah!
Penyelesaian :
Misalkan :
N1 : banyaknya bola merah =10
N2 : banyaknya bola putih=5
N : banyaknya bola = N1 + N2 = 10+5=15
n : banyaknya sampel yang diambil
X : banyaknya bola merah yang diperoleh
Kombinasi bola merah yang diperoleh adalah
k
10
Kombinasi bola putih yang diperoleh adalah
k3
5
Kombinasi semua sampel yang diperoleh adalah
3
15
Maka peluang untuk memperoleh banyaknya bola merah X=k dalam sampel tersebut adalah :
,
3
15
3
510
)(
kk
kXP k=0, 1, 2, 3
Dengan demikian :
46
455
10
3
15
3
5
0
10
)0(
XP ,455
100
3
15
2
5
1
10
)1(
XP
455
225
3
15
1
5
2
10
)2(
XP ,455
120
3
15
0
5
3
10
)3(
XP
Perhatikan bahwa P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=1
6.3 Sebaran Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya
hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu
disebut percobaan poisson. Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam
suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran
poisson.
Sebaran peluang bagi peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil
percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah
,!
);(x
exp
x
untuk x = 1, 2, …..
sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu
atau dalam daerah yang dinyatakan, dan e = 2.71828….
Sebaran poisson cocok digunakan untuk n besar dan p kecil sekali, sedangkan binom cocok
untuk n kecil dan p besar.
npdannp 2
Contoh 6.4
Bila variabel acak X mempunyai sebaran binom denagn n=100, p=0.005, hitunglah P(X=15)!
Jawab :
f(x)=P(X=x)= xx
x
100995.0005.0
100, x= 0, 1, 2, ……, 100
maka :
f(15)=P(X=15)= 8515995.0005.0
15
100
47
Peluang ini sulit dihitung karena n=100 adalah besar dan p=0.005 adalah kecil. Oleh karena itu
kita pakai pendekatan sebaran poisson, yaitu :
np =100(0.005)=0.5
,!
);(x
exp
x
!
5.0)(
5.0
x
exXp
x
, x= 0, 1, 2, ……, 100
Maka
00000.0
!15
5.0)15(
155.0
e
Xp
6.4 Sebaran Seragam
Sebaran peluang seragam adalah suatu bentuk sebaran peluang dimana untuk setiap titik
pengamatan pada suatu selang nilai tertentu mempunyai peluang yang sama.
Sebaran peluang seragam untuk data diskrit dapat dituliskan sebagai berikut:
P(X=x) = 1/n : x = 1, 2, ..., n
sedangkan sebaran peluang seragam untuk data kontinu dituliskan sebagai berikut:
ab
1)(
xf ; a x b
Nilai harapan peubah acak X adalah:
b
a
b
a
b
a
abab
abx
abdx
abxdxxxfXE )(
2
1
)(
)(
2
1
2
1
)(
1
)(
1)()(
22
Ragam peubah acak X adalah:
2
2
2
23
2
2
2
222
)(12
1)(
2
1)(
3
1)(
2
1
)(3
1)(
)(2
1
)(
1)(
2
1)()()()(
ababababa
b
ab
xXV
abdxab
xabdxxfxXEXEXVb
a
b
a
48
6.5 Sebaran Normal
Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk genta disebut peubah acak
normal. Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilaitengah dan ragam2 , maka
persamaan kurva normalnya adalah
2
2
1
2
1),;(
x
exn , untuk - < x <
sedangkan dalam hal ini = 3.14159…. dan e = 2.71828….
Bila nilai-nilai dan diketahui, maka kurva normal itu telah tertentu dengan pasti.
Misalkan bila = 50 dan =5, maka ordinal-ordinat n(x;50,5) dengan mudah dapat dihitung
untuk berbagai nilai x, dan kemudian kurvanya dapat digambar.
Sifat-sifat kurva normal :
a. Modusnya hanya satu dan terletak di x =
b. Kurvanya simetris/setangkup terhadap garis tegak x =
c. Grafik selalu berada di atas sumbu x atau f(x)>0
d. Kurvanya mendekati sumbu x secara asimtotik dalam dua arah, jika semakin menjauhi
nilaitengahnya
e. Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1
Kurva sembarang sebaran peluang kontinu atau fungsi kepekatan dibuat sedemikian
rupa sehingga luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 sama dengan
peluang bahwa peubah acak X mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2. Untuk menghitung nilai
peluang sebaran normal, dari kalkulus integral sangatlah rumit. Sehingga untuk menghindari hal
itu digunakan table kenormalan atau table normal baku, yaitu dengan mentransformasikan
setiap pengamatan dari peubah acak normal X menjadi suatu nilai peubah acak normal Z
dengan nilaitengah nol dan ragam satu. Transformasi normal baku atau transformasi Z yang
dimaksud adalah
XZ
Nilaitengah Z adalah nol, karena
0)(1
)(1
)(
XEZE
sedangkan ragamnya adalah
49
11
2
22
2
222
XXXZ
Sehingga sebaran normal baku adalah sebaran peubah acak normal dengan nilaitengah nol dan
simpangan baku 1.
Bila X berada di antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z akan berada di antara
nilai-nilai padanannya.
1
1
XZ , dan
2
2
XZ
Karena semua nilai X yang jatuh antara x1 dan x2 mempunyai nilai z padanannya antara z1 dan
z2, maka luas daerah di bawah kurva X sama dengan luas daerah di bawah kurva Z. Dengan
demikian
P(x1<X<x2) = P(z1<Z<z2)
b
a
xb
a
dxedxxfbxaP
2
2
1
2
1)()(
2
1
22
1
2
1
212
1)()(
z
z
zz
z
dzedzzfzZzP
Contoh 6.5
Untuk sebaran normal dengan = 50 dan = 10, hitunglah peluang bahawa X mengambil
sebuah nilai antara 45 dan 62.
Jawab :
Diketahui
x1 = 45 dan x2 = 62
= 50 dan = 10
Ditanyakan P(45<X<62) = …….?
Nilai X harus ditransformasi ke nilai Z, yaitu
1
1
XZ dan
2
2
XZ
5.010
50451
Z dan 2.1
10
50622
Z
Dengan demikian
P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)
= P(Z<1.2) – P(Z<-0.5)
= 0.8849 - 0.3085
= 0.5764
50
Contoh 6.6
Untuk sebaran normal dengan = 300 dan = 50, hitunglah peluang peubah acak X mengambil
nilai yang lebih besar dari 362.
Jawab :
Diketahui
= 300 dan = 50
Ditanyakan P(X>362) = …..?
XZ
50
300362 Z = 1.24
P(X>362) = P(Z>1.24)
= 1 – P(Z<1.24)
= 1 – 0.8925
= 0.1075
Contoh 6.7
Suatu penelitian yang dilakukan oleh seorang mahasiswa menyebutkan bahwa secara rata-rata
seorang pengunjung mengeluarkan uang belanja di suatu pusat perbelanjaan adalah Rp
247.000,00 dengan simpangan baku Rp 84.600,00. Jika diasumsikan sebaran normal, berapakah
:
a. peluang orang itu mengeluarkan uang belanja paling sedikit Rp 300.000,00
b. peluang orang itu mengeluarkan uang belanja antara Rp 200.000,00 sampai Rp 400.000,00
c. jika diasumsikan banyaknya pengunjung mencapai 200 orang setiap hari, berapa banyaknya
orang yang diperkirakan mengeluarkan uangnya untuk berbelanja sebanyak-banyaknya Rp
150.000,00
penyelesaian
Misalkan X = besarnya pengeluaran uang belanjaan setiap pengunjung suatu pusat perbelanjaan
dalam ribuan rupiah.
6,84,247 , n = 200
a. P(X300) = ….?
Nilai X harus ditransformasi ke nilai Z, yaitu
xz 63.0
6,84
247300
z
dengan demikian
P(X300) = P(Z0.63) = 1 – P(Z<0.63) = 1 – 0.7357 = 0.2643
b. P(200X400) = ….?
51
1
1
xz 56.0
6,84
2472001
z
2
2
xz 81,1
6,84
2474002
z
P(200X400) = P(-0,56 Z 1,81) = P(Z1,81) – P(Z-0,56) = 0.9649 – 0.2877 = 0.6722
c. misalkan m =banyaknya pengunjung yang mengeluarkan uang paling banyak Rp 150.000,00
m = nP(X150)P(X150) = P(Z-1,15) = 0.1251Jadi m = 200(0.1251) = 25 orang
Contoh 6.7
Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai sebaran normal dengan rata-rata
=34 dan simpangan baku =4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah
batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada di bawah Xo ?
Penyelesaian :
Diketahui = 34 dan = 4
XZ
4
34
XZ
P(XXo)=0.1 1.04
34
4
34
XoXP P(ZZo) = 0.1
Dari tabel sebaran normal kumulatif diperoleh Zo=-1.282
Maka
Xo=34+(-1.282)4=28.87
Jadi batas atas nilai untuk 10% kelompok mahasiswa yang mendapat nilai terendah adalah
28.87
6.6 Latihan Soal
1. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang
diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa
a. sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh
b. ada 3 sampai 8 orang yang sembuh
c. 5 orang yang sembuh
2. Pupuk urea yang ditawarkan kepada petani ada dua jenis yaitu urea tablet dan urea
biasa. Dari hasil survey diketahui 3/5 petani menggunakan pupuk urea tablet dan 2/5
petani menggunakan pupuk urea biasa. Jika empat petani dikunjungi ke lapangan,
hitunglah :
52
a. peluang tidak ada petani yang menggunakan pupuk urea tablet.
b. peluang tiga petani menggunakan pupuk urea tablet.
c. paling banyak dua petani menggunakan urea tablet.
3. Menurut teori genetika, suatu persilangan kelinci percobaan akan menghasilkan
keturunan warna merah, hitam, dan putih dalam perbandingan 8:4:4. Hitunglah
peluang bahwa diantara 8 keturunan ada 5 yang berwarna merah, 2 hitam, dan 1 putih.
4. Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu brigde, berapa peluang
diperoleh 3 kartu hati
5. Putri hendak menanami halaman depan dan samping rumahnya dengan tanaman bunga.
Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip, 4 umbi daffodil, dan 3 umbi hyacinth, ia
mengambil 5 umbi secara acak untuk ditanam di halaman depan dan 5 umbi sisanya di
halaman samping. Berapa peluang ketika musim bunga tiba di halaman depan
berbunga tulip, 2 daffodil dan 2 hyacinth
6. Misalkan bahwa secara rata-rata 1 orang di antara 1000 orang adalah pecandu alcohol.
Hitung peluang bahawa dalam suatu contoh acak 8000 orang terdapat kurang dari 7
pecandu alcohol.
7. Sebuah restoran menyediakan salad yang rata-rata mengandung 5 macam sayuran.
Hitunglah peluang bahwa salad yang disediakan mengandung lebih dari 5 macam
sayuran
a. pada suatu hari tertentu
b. pada 3 diantara 4 hari berikutnya
c. pertama kali dalam bulan April pada tanggal 5 April
8. Misalkan secara rata-rata 1 di antara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam
melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara acak dan
diperiksa, berapa peluang ada 6, 7, atau 8 formulir yang mengandung kesalahan
9. Pada ujian statistika, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12%
diantara peserta ujian akan diberi nilai A, dan nilai itu mengikuti sebaran normal,
berapakah batas terendah bagi A dan batas nilai tertinggi bagi nilai B
10. Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 4.1
cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya lebih dari
35 cm, bila tinggi menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun.
11. untuk soal nomor 9, hitunglah
a. nilai tertinggi D, bila 10% nilai terendah mendapat nilai E
b. nilai tertinggi B bila 5% mahasiswa mendapat nilai A
53
c. nilai terendah B bila 10% mendapat nilai B, dan 25% mendapat nilai C
12. Di suatu daerah diketahui 10% penduduknya tergolong kaya. Suatu sampel acak terdiri
dari 400 penduduk telah diambil. Tentukan peluang :
a. paling banyak 30 orang yang tergolong kaya
b. antara 30 sampai 50 orang yang tergolong kaya
c. 55 orang atau lebih yang tergolong kaya
13. Krisis moneter menyebabkan tingkat penjualan rumah mengalami penurunan. Dari
seluruh developer di Kota tertentu diketahui tingkat penjualan rata-rata 1 milyar
dengan simpangan baku 0.2 milyar. Jika diasumsikan tingkat penjualan menyebar
normal :
a. hitunglah peluang sebuah developer mempunyai tingkat penjualan minimal 1.2
milyar
b. Jika di daerah tersebut terdapat 50 developer, estimasikan jumlah developer
yang mempunyai tingkat penjualan 0.5 sampai 1 milyar.
54
7 SEBARAN PERCONTOHAN
7.1 Contoh Acak
Hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik ataupun huruf.
Bila sepasang dadu dilantumkan dan jumlah mata dadu yang terjadi merupakan hal yang ingin
diselidiki, sehingga hasilnya dicatat dalam bentuk numerik.
Suatu POPULASI terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi pusat perhatian.
Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan UKURAN populasi. Tiap pengamatan dalam
populasi merupakan satu nilai dari suatu peubah acak (X) dengan suatu sebaran peluang f(x).
Oleh karena itu, sering kita mendengar tentang istilah populasi binomial, populasi normal,
atau secara umum disebut sebagai populasi f(x). Istilah tersebut sebenarnya mengacu pada
harga peubah acak X yang memiliki sebaran binomial, normal atau sebaran peluang f(x).
Hal pokok yang menjadi pusat perhatian seorang statistikawan adalah menarik
kesimpulan tentang parameter populasi yang tidak diketahui. Pada populasi normal, misalnya,
parameter µ dan 2 mungkin tidak diketahui dan hendaknya ditaksir berdasarkan keterangan
yang diperoleh dari contoh yang mewakili suatu populasi. Contoh yang mewakili suatu populasi
disebut contoh acak, apabila setiap anggota populasi mempunyai peluang yang sama untuk
dipilih sebagai contoh. Dengan demikian dasar teori pengambilan contoh perlu dipelajari
dengan baik.
Misalkanlah x1, x2, x3, ...., xn merupakan n peubah acak bebas yang masing-masing memiliki
sebaran peluang f(x). Gugus x1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai contoh acak berukuran n
dari populasi f(x) dan sebaran peluang gabungannya ditulis sebagai:
f(x1,x2,x3,...,xn) = f(x1)f(x2)f(x3)...f(xn).
7.2 Teori Pengambilan Contoh
Tujuan utama menarik contoh adalah untuk mendapatkan keterangan mengenai
parameter populasi yang tidak diketahui. Misalkan kita ingin menarik kesimpulan mengenai
proporsi penduduk Indonesia yang menyukai kopi robusta. Sangatlah tidak efesien jika kita
menanyai seluruh penduduk Indonesia dan kemudian menghitung parameter yang
menggambarkan proporsi sebenarnya. Tetapi sebagai pendekatannya akan diambil contoh acak
yang cukup besar dan kemudian dihitung proporsi yang menyukai kopi robusta. Nilai ini
kemudian dipakai untuk menarik kesimpulan mengenai proporsi sesungguhnya.
Suatu nilai yang dihitung dari contoh disebut statistik. Karena banyak contoh acak yang
mungkin diambil dari suatu populasi yang sama maka statistik yang diperoleh akan berlainan
dari contoh ke contoh. Karena itu, statistik merupakan peubah acak yang hanya tergantung
pada contoh acak yang diamati.
55
7.3 Sebaran Contoh dari Rataan (Mean)
Sebaran contoh yang penting untuk dibahas adalah rataan ( x ). Misalkan contoh acak
berukuran n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan µ dan simpangan baku
(). Tiap pengamatan xi, i=1,2,...,n adalah contoh acak yang memiliki sebaran normal yang
sama dengan populasi yang menjadi pusat pengambilan contoh.
Rataan contoh mengikuti sebaran normal dengan rataan dan ragam adalah sebagai
berikut:
nx
xE
x /)var(
)(22
Teorema Limit Pusat:
Jika contoh acak diambil dari populasi sembarang dengan rataan µ dan simpangan baku
, maka sebaran dari rataan ( x ) dapat dihampiri normal jika n cukup besar, dengan
rataan µ dan galat baku / n. Dengan kata lain,
)1,0(~/
Nn
xZ
Pertanyaan yang sering muncul akibat teorema di atas adalah seberapa banyak n yang
harus diambil dan berapa batasan n yang dapat dikatakan cukup besar ? Untuk menjawab
pertanyaan ini tentunya diperlukan hampiran n yang cukup baik. Berdasarkan pengalaman
diketahui bahwa jika n>30 maka sudah cukup digunakan sebagai pendekatan teorema limit
pusat.
Untuk data pengamatan yang mengikuti sebaran Binomial juga dapat dihampiri dengan
sebaran normal dan tidak bertentangan dengan teorema limit pusat. Untuk memahami
permasalahan ini, kita kembalikan lagi pada sebaran Bernoulli:
xi=1, jika percobaan sukses
xi=0, jika percobaan gagal
Peubah acak x1, x2, ..., xn adalah saling bebas, dan setiap pengamatan memiliki sebaran
peluang sebagai berikut:
x 0 1----------------------------------
f(x) (1-p) pdengan rata-rata p dan ragam p(1-p).
Akibat dari teorema limit pusat maka sebaran contoh dari rataan adalah mendekati
normal dengan rataan p dan ragam p(1-p)/n jika n besar. Dengan demikian proporsi contoh
dari kejadian sukses dalam percobaan Bernoulli mengikuti sebaran;
56
)1,0(~/)1(
Nnpp
ppZ
7.4 Sebaran contoh dari (n-1)S2/ 2
Bila contoh acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan rataan µ dan
simpangan baku , maka diperoleh suatu nilai statistik S yang merupakan simpangan baku
contoh. Sebaran contoh S2 hanya sedikit kegunaannya dalam praktek, oleh karena itu akan
dibahas sebaran dari peubah acak (n-1)S2/ 2. Dengan menjumlahkan semua kuadrat dari
pengamatan dikurangi rataan contoh mudah terlihat bahwa:
212
2
21
2
1
2
~)1(
~)(
ndb
ndb
n
ii
Sn
xx
dengan demikian diperoleh bahwa (n-1)S2/
2menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1.
Teorema berikut tidak ditunjukkan dengan bukti yang lengkap.
Teorema :
Bila S2 ragam contoh acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan ragam 2,
maka peubah acak,
2 = (n-1)S2/ 2
menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1.
7.5 Sebaran t-student
Dalam prakteknya jarang sekali orang begitu beruntung mengetahui ragam populasi
yang digunakan sebagai acuan dalam pengambilan contoh acak. Untuk contoh acak berukuran
n 30, taksiran 2 yang baik adalah statistik S2. Apa yang terjadi dengan ( x -µ)/( / n)
bila diganti dengan S ?
Selama S2 merupakan taksiran yang baik bagi 2 dan tidak berubah dari contoh ke
contoh dan untuk n 30 maka nilai tersebut masih baik dihampiri dengan normal baku Z.
Tetapi bila ukuran contoh kecil (n<30), nilai S berubah cukup besar dari contoh ke contoh dan
nilai tersebut tidak lagi menyebar normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi sebaran
statistik yang akan disebut dengan t-student.
ns
xt
/
dimana nilai ini adalah peubah acak yang menyebar t-student dengan derajat bebas n-1.
57
7.6 Sebaran F
Salah satu sebaran yang terpenting dalam statistika terapan adalah sebaran F. Statistik
F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang saling bebas, masing-masing
dibagi dengan derajat bebasnya. Misal peubah acak U dan V menyebar khi-kuadrat dengan
derajat bebas v1 dan v2 dimana U>V maka sebaran F dapat ditulis sebagai berikut:
F = (U/v1) / (V/v2),
Teorema :
Bila S12 dan S2
2 adalah ragam contoh acak berukuran n1 dan n2 yang diambil dari
populasi normal masing-masing dengan 12 dan 2
2, bila S12 S2
2 maka,
menyebar F dengan derajat bebas v1=n1-1 dan v2=n2-1
7.7 Sebaran Contoh Bagi Beda Dua Nilaitengah
Bila contoh-contoh bebas berukuran n1 dan n2 diambil dari dua populasi yang besar
atau takhingga, masing-masing dengan nilaitengah 1 dan 2 ragam21 dan
22 , maka beda
kedua nialitengah contoh, 21 XX , akan menyebar menghampiri sebaran normal dengan
nilaitengah dan simpangan baku
danXX 21
21
2
22
1
21
21 nnXX
Dengan demikian
)/()/(
)()(
2221
21
2121
nn
xxz
merupakan nilai normal baku Z
Bila dua peubah acak X dan Y bebas dan masing-masing menyebar normal dengan
nilaitengah x dan y dan ragam2x dan
2y maka beda X-Y menyebar normal dengan
nilaitengah yxYX dan ragam222YXYX .
2/}/)1{(
1/}/)1{(
222
22
122
11
vSn
vSnF
58
7.8 Latihan Soal
1. Sejenis tambang dibuat dengan kekuatan regangan rata-rata 70 kg dan simpangan
baku 5 kg. Dengan mengasumsikan populasinya takhingga, bagaimana galat baku
nilatengahcontoh itu berubah bila ukuran contohnya
a. dinaikkan dari 64 menjadi 196
b. diturunkan dari 784 menjadi 49
2. Tinggi 1000 mahasiswa menghampiri sebaran normal dengan nilaitengah 160 cm dan
simpangan baku 5 cm. Bila 200 contoh acak masing-masing berukuran 25 ditarik dari
populasi ini, dan nilai tengah contohnya diukur sampai satuan sentimeter terdekat,
tentukan :
a. nilaitengah dan simpangan baku sebaran penarikan contoh bagi X
b. banyaknya nilaitengah contoh yang jatuh antara 158 dan 162 cm
c. banyaknya nilaitengah contoh yang jatuh di bawah 158 cm
3. Hitunglah :
a. 14025.0 vbilat
b. 7995.0 vbilat
c. P(T<2.365) bila v = 7
d. P(-1.356<T<2.179) bila v = 12
e. P(T>-2.567) bila v = 17
f. P( )01.0005.0 tTt
g. P( )( 025.0tT
4. Diberikan sebuah contoh acak berukuran 24 yang ditarik dari suatu populasi normal,
tentukan k bila
a. P(-2.069<T<k) = 0.965
b. P(k<T<2.807) = 0.095
c. P(-k<T<k) = 0.9
5. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa rokok yang diproduksinya mempunyai
kandungan nikotin rata-rata sebesra 1.83 mg perbatang. Bila diambil contoh acak 8
batang rokok jenis tersebut, dengan kandungan nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0,
dan 1.6 mg, apakah Anda setuju dengan pernyataan perusahaan tersebut ?
59
8 PENDUGAAN PARAMETER
8.1 Penduga Paramater
Dalam Statistika dikenal adanya istilah parameter dan statistik. Parameter adalah nilai
penciri dari suatu data populasi, diantaranya nilai tengah populasi (), ragam populasi (2),
proporsi populasi (P) dan lain-lain. Sedangkan statistik adalah nilai penciri dari suatu data
contoh, diantaranya nilai tengah contoh ( x ), ragam populasi (s2), proporsi populasi (p) dan
lain-lain.
Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai populasi, maka statistik yang
dipakai untuk menduga parameter haruslah merupakan penduga yang baik, yaitu penduga
yang mempunyai tiga ciri :
a. merupakan penduga tak bias dari , yaitu E( ) = , artinya harapan penduga , sama
dengan .
b. merupakan penduga yang efisien, artinya bila ada lebih dari satu penduga, maka penduga
yang efisien adalah penduga yang mempunyai variansi paling kecil
c. merupakan penduga yang konsisten, artinya bila sampel yang diambil makin besar, maka
nilai akan semakin mendekati nilai .
Sebuah nilai bagi suatu statistik disebut suatu nilai dugaan bagi parameter
populasi . Misalnya nilai x bagi statistik X , yang dihitung dari suatu contoh berukuran n,
merupakan nilai dugaan bagi parameter populasi . Begitu pulan
xp ˆ merupakan suatu nilai
dugaan bagi proporsi sebenarnya p dalam suatu percobaan binom.
Ada dua jenis penduga parameter yaitu:
a. Penduga titik
Bila nilai parameter dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik
dari sampel yang diambil dari populasi tersebut, maka statistik disebut pendugaan
titik.
Contoh :
a. x merupakan penduga titik bagi parameter populasi .
b.2S merupakan penduga titik bagi
2
c.n
xp ˆ merupakan penduga titik bagi proporsi sebenarnya p
60
b. Pendugaan selang
Suatu dugaan selang bagi parameter populasi adalah suatu selang yang berbentuk
21ˆˆ , dengan 21
ˆˆ dan bergantung pada nilai statistik untuk suatu contoh
tertentu dan juga pada sebaran penarikan contoh bagi .
Bila P( 21ˆˆ ) = 1 - , untuk 0<<1, maka kita mempunyai peluang 1- untuk
memperoleh suatu contoh acak yang menghasilkan suatu selang yang mengandung . Selang
21ˆˆ , yang dihitung dari contoh yang terpilih, disebut selang kepercayaan (1-
)100%, nilai 1-, disebut koefisien kepercayaan atau derajat kepercayaan , dan kedua
titik ujungnya, 21ˆˆ dan , masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan
sebelah bawah.
8.2 Pendugaan Nilai tengah
Bila x adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi
dengan ragam2 diketahui, maka selang kepercayaan (1-)100%, bagi adalah
nzx
nzx
2/2/ ,
sedangkan 2/z adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku
adalah /2.
Galat baku pendugaan , bila x digunakan untuk menduga , kita percaya (1-)100%,
bahwa galatnya tidak melebihin
z
2/ . Ukuran Contoh bagi pendugaan , bila x digunakan
untuk menduga , kita boleh percaya (1-)100%, bahwa galatnya tidak melebihi suatu niali
tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar n =
2
2/
e
z
Bila x dan s adalah nilaitengah dan simpangan baku contoh acak berukuran n<30, yang
diambil dari suatu populasi berbentuk genta dengan ragam2 tidak diketahui, maka selang
kepercayaan (1-)100%, bagi adalah
n
stx
n
stx 2/2/ ,
sedangkan 2/t adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang di sebelah kanannya
terdapat daerah seluas /2.
61
Contoh 8.1
Dari data contoh berukuran 15 diperoleh nilai tengah contoh dan ragam contoh sebagaiberikut:
x = 10.366s2 = 1.946
Penduga bagi parameter nilai tengah populasi adalah sebagai berikut:
.....15/395.1/
366.10
2
nss
x
x
Sedangkan penduga selang untuk nilai tengah populasi dengan tingkat kepercayaan 95 %adalah:
x – t(0.025;db=14) s/n x + t(0.025;db=14) s/n10.366 – 2.145 x 1.395/15 10.366 + 2.145x 1.395/1510.366 – 0.773 10.366 + 0.7739.593 11.139
8.3 Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah Populasi
Bila 1x dan 2x masing-masing adalah nilaitengah contoh acak bebas berukuran n1 dan
n2 yang diambil dari populasi dengan ragam22
21 dan yang diketahui, maka selang
kepercayaan (1-)100%, bagi 21 adalah :
2
22
1
21
2/21 )(nn
zxx
< 21 <
2
22
1
21
2/21 )(nn
zxx
,
sedangkan dalam hal ini 2/z adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah
kanannya sebesar /2.
Bila 1x dan 2x masing-masing adalah nilaitengah contoh acak bebas berukuran kecil n1
dan n2 yang diambil dari dua populasi yang hampir normal dengan ragam sama22
21 yang
tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1-)100%, bagi 21 adalah :
21
2/21
11)(
nnstxx p < 21 <
21
2/21
11)(
nnstxx p ,
sedangkan dalam hal ini sp adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi, dan
2/t adalah nilai t dengan v = n1+n2-2 derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya
sebesar /2.
62
2
)1()1(
21
222
2112
nn
snsns p
Contoh 8.2
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa
produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk
mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10
lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya
adalah :
Perusahaan A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40
Perusahaan B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55
a. Hitunglah rataan dan ragam dari kedua data perusahaan tersebut.
Jawab
66.94
10(9)
(565)-32525)(10
)1(5,56
10
556050
106.9410(9)
(425)-19025)(10
)1(5,42
10
403530
222
2222
222
1211
nn
xxnsx
nn
xxnsx
i
i
b. Buatlah selang kepercayaan 90% bagi selisih rataan perusahaan B dengan perusahaan A,
dengan mengasumsikan ragam kedua populasi sama.
Jawab
23,2177,6
)17,4(734,114)17,4(734,114
10/110/132,9)5,425,56(10/110/132,9)5,425,56(
)/1()/1()()/1()/1()(
12
12
)18;05,0(12)18;05,0(
12),2
(121212),2
(12
tt
nnstxxnnstxx pdbpdb
catatan : karena ragam sama, maka :
1) db = n1 + n2 – 2
2) ragam gabungan : 86.9418
)94,66(9)94,106(9
2
)1()1(
21
222
2112
nn
snsns p
Bila 1x dan21s , dan 2x dan
22s masing-masing adalah nilaitengah dan ragam contoh
acak bebas berukuran kecil n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi yang mendekati normal
dengan ragam tidak sama22
21 yang tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1-
)100%, bagi 21 adalah :
63
2
22
1
21
2/21 )(n
s
n
stxx < 21 <
2
22
1
21
2/21 )(n
s
n
stxx ,
sedangkan dalam hal ini 2/t adalah nilai t dengan derajat bebas
)]1/()/[()]1/()/[(
)//(
22
2221
21
21
22
221
21
nnsnns
nsnsv
yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2.
Contoh 8.3
Jika pada contoh 8.2 ingin diduga selang kepercayaan 90% bagi selisih rataan perusahaan B
dengan perusahaan A, dengan mengasumsikan ragam kedua populasi berbeda, maka dugaan
selangnya adalah:
26,2174,6
)17,4(74,114)17,4(74,114
10/94,10610/94,66)5,425,56(10/94,10610/94,66)5,425,56(
)/()/()()/()/()(
12
12
)17;05,0(12)17;05,0(
1212
22),
2(12121
212
22),
2(12
tt
nsnstxxnsnstxxdbdb
ingat : karena ragam tidak sama, maka :
1710,179/)10/8.18(9/)10/10.34(
)10/8.1810/10.34(
)1/()/()1/()/(
)//(2222
222
22
2221
21
21
22
221
21
nnsnns
nsnsdb
8.4 Pendugaan Proporsi
Bila p adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak berukuran n, dan q =1-
p , maka selang kepercayaan (1-)100%, bagi parameter binom p adalah :
n
qpzp
ˆˆˆ
2/ <p<n
qpzp
ˆˆˆ
2/ ,
sedangkan dalam hal ini 2/z adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah
kanannya sebesar /2.
Bila p digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi p, maka kita dapat percaya (1-)100%,
bahwa galatnya tidak lebih besar darin
qpz
ˆˆ2/
64
Bila p digunakan untuk menduga p, maka kita dapat percaya (1-)100%, bahwa
galatnya tidak melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar
2
22/
ˆˆ
e
qpzn
Contoh 8.4
Suatu perusahaan mempunyai 1250 karyawan. Pihak manajemen ingin mengetahui besarnya
proporsi yang merasa kurang puas dengan jaminan sosial yang mereka terima. Untuk maksud itu
diambil sampel sebanyak 100 orang dan dari hasil wawancara ternyata ada 10 orang yang
menyatakan kurang puas dengan jaminan sosial yang diterimanya.
a. Bila manajer perusahaan itu dalam memperkirakan menggunakan interval kepercayaan
99%, maka dugalah interval proporsi karyawan di perusahaan tersebut yang kurang puas
dengan jaminan sosial yang mereka terima.
Jawab :
1,0100/10/ˆ nxp
18,002,0
)03,0(565,21,0)03,0(565,21,0
100/)9,0(1,01,0100/)9,0(1,01,0
/)ˆ1(ˆˆ/)ˆ1(ˆˆ
005,0005,0
22
p
p
zpz
nppzppnppzp
b. Berapa banyak sampel yang harus diambil agar kita bisa percaya 99% bahwa proporsi dalam
sampel paling jauh berjarak 0.03 dari proporsi populasinya.
182856,1827)03,0(4
565,2
4 2
2
2
22/
g
zn
8.5 Pendugaan Beda Dua Proporsi
Bila 1p dan 2p masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak
berukuran n1 dan n2, serta 1q =1- 1p dan 2q =1- 2p , maka selang kepercayaan (1-)100%, bagi
selisih antara dua parameter binom p1 dan p2 adalah :
2
22
1
112/21
ˆˆˆˆ)ˆˆ(
n
qp
n
qpzpp <p1-p2<
2
22
1
112/21
ˆˆˆˆ)ˆˆ(
n
qp
n
qpzpp
sedangkan dalam hal ini 2/z adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah
kanannya sebesar /2.
65
8.6 Latihan Soal
1. Jelaskan kriteria-kriteria penduga yang baik ?
2. Diketahui suatu populasi mahasiswa berukuran 500 orang. Dari populasi tersebut diambil
sampel acak sebanyak 100 orang, kemudian diukur berat badannya. Ternyata rata-rata
berat badan mahasiswa adalah 60 kg dengan simpangan baku 10 kg.
a. buatlah interval kepercayaan 90%
b. berapa interval kepercayaannya agar rata-rata populasi terletak antara 58<<62
c. berapa sampel yang diperlukan agar kita percaya 90% bahwa rata-rata sampel berjarak
paling banyak 5 kg dari rat-rata sebenarnya ?
3. Untuk menduga dinamika migrasi penduduk dalam penerapan otonomi daerah, sebuah
konsultan mensurvei daerah BOTABEK (Bogor, Tangerang, Bekasi) dan menemukan 12% dari
sampel acak sebanyak 2300 keluarga akan keluar dari BOTABEK ke daerah asal. Jika
perkiraan populasi keluarga di BOTABEK sebanyak 7.800.000 keluarga, bentuklah dugaan
interval kepercayaan 95% atas jumlah keluarga yang akan keluar dari BOTABEK ke daerah
asal
4. Pada tahap pemasaran perumahan baru, sebuah developer akan memperoleh imagenya
melalui perbaikan sarana umum yang ada di perumahan yang lama (seperti perbaikan jalan,
taman, dst). Dari sampel 50 yang diambil secara acak sebelum ada perbaikan sarana umu
diketahui ada 10 responden yang mempunyai image kurang baik terhadap developer
tersebut. Setelah dilakukan perbaikan sarana umum, ternyata masih terdapat 7 dari 48
responden yang mempunyai image kurang baik terhadap developer. Dengan tingkat
kepercayaan 95%, buatlah pendugaan proporsi untuk image developer sebelum dan setelah
perbaikan sarana umum. Dari pendugaan tersebut, apakah bisa dikatakan ada peningkatan
image bagi developer
5. Suatu perusahaan mempunyai 1250karyawan. Pihak manajemen ingin mengetahui besarnya
proporsi yang merasa kurang puas dengan jaminan social yang mereka terima. Untuk
maksud itu diambil sampel sebanyak 100 orang dan dari hasil wawancara ternyata ada 10
orang yang menyatakan kurang puas dengan jaminan social yang diterimanya.
a. Bila manajer perusahaan itu dalam memperkirakan menggunakan interval kepercayaan
99%, maka berapa proporsi seluruh karyawan di perusahaan tersebut yang kurang puas
dengan jaminan social yang mereka terima
b. Berapa banyak sampel yang harus diambil agar kita bisa percaya 99% bahwa proporsi
dalam sampel paling jauh berjarak 0.03 dari proporsi populasinya.
6. Suatu perusahaan rokok menghasilkan dua jenis rokok, yaitu filter dan kretek. Pimpinan
perusahaan itu mengatakan bahwa penjualan rokok filter lebih besar 8% daripada rokok
kretek. Dari sampel diperoleh bahwa ternyata 42 diantara 200 perokok lebih menyukai
66
filter dan 18 di antara 150 perokok lebih menyukai kretek. Buatlah interval kepercayaan
95% untuk perbedaan persentase penjualan dua jenis rokok tersebut. Simpulkan apakah
selisih sebesar 8% yang dinyatakan pimpinan perusahaan tersebut bisa diterima ?
7. Suatu sampel acak sebanyak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai rata-rata kadar
nikotin 3.5 mg dan simpangan baku 1 mg. Buatlah interval kepercayaan 99% untuk rata-rata
nikotin yang sesungguhnya rokok merk itu, bilamana diasumsikan kadar nikotin tersebut
menyebar normal
8. Dari sampel acak 12 mahasiswi suatu perguruan tinggi, diperoleh bahawa rata-rata uang
saku bulanannya adalah Rp 500.000,00 denag simpangan baku Rp 50.000,00. Bila
diasumsikan uang saku menyebar normal, buatlah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata
uang saku mahasiswi tersebut.
9. Data berikut menunjukkan masa putar (dalam puluhan menit) film yang diproduksi dua
perusahaan
Perusahaan A 11 9 10 7 15 12 8 10 13 14
Perusahaan B 10 9 12 9 8 7 9 6 8 15
Buatlah interval kepercayaan 95% untuk beda rata-rata masa putar film yang diprodukasi
oleh dua perusahaan tersebut, jika di asumsikan masa putar film mempunyai sebaran
normal dengan ragam tidak sama.
67
9 PENGUJIAN HIPOTESIS
9.1 Hipotesis Statistik
Sering permasalahan yang kita hadapi tidak hanya menyangkut pendugaan parameter
suatu populasi, tetapi juga menyangkut cara pengambilan keputusan berdasarkan data yaitu
pengujian hipotesis.
Hipotesis merupakan suatu asumsi atau anggapan yang bisa benar atau bisa salah
mengenai suatu hal dan dibuat untuk menjelaskan suatu hal tersebut sehingga memerlukan
pengecekan lebih lanjut. Bila hipotesis yang dibuat itu secara khusus berkaitan dengan
parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Jadi hipotesis statistik
adalah suatu asumsi atau anggapan atau pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih
populasi.
Langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan
apakah kita menerima atau menolak hipotesis mengenai parameter populasi disebut pengujian
hipotesis. Jadi pada pengujian hipotesis kita ingin mengetahui atau menguji apakah parameter
satu populasi, yaitu sama dengan nilai tertentu yaitu 0 atau tidak. Kalau kita mempunyai
dua populasi masing-masing dengan parameter 1 dan 2, kita ingin menguji apakah 1 = 2, dan
sebagainya.
Untuk suatu hipotesis yang dibuat, hanya dua kemungkinan yang akan kita putuskan,
yaitu kita akan menolak hipotesis atau kita akan menerima hipotesis, setelah kita manghitung
statistik dari sampel. Menolak hipotesis artinya kita menyimpulkan bahwa hipotesis tidak
benar, sedangkan menerima hipotesis artinya tidak cukup informasi/bukti dari sampel untuk
menyimpulkan bahwa hipotesis harus kita tolak. Artinya walaupun hipotesis itu kita terima,
tidak berarti bahwa hipotesis itu benar. Sehingga dalam membuat rumusan pengujian hipotesis,
hendaknya selalu membuat pernyataan hipotesis yang diharapkan akan diputuskan untuk
ditolak. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipotesis nol yang
ditulis H0. Penolakan hipotesis nol akan menjurus pada penerimaan hipotesis alternatif atau
hipotesis tandingan yang ditulis H1 atau Ha .
Contoh 9.1
1. Pengujian hipotesis bahwa suatu jenis obat baru lebih efektif untuk menurunkan berat
badan. Maka rumusan hipotesisnya adalah :
H0 : obat baru = obat lama
H1 : obat baru lebih baik dari obat lama
2. Pengujian hipotesis bahwa teknologi baru dapat meningkatkan kualitas buah-buahan.
H0 : teknologi baru = teknologi lama
H1 : teknologi baru teknologi lama
68
3. Seorang dokter menyatakan bahwa, lebih dari 60% pasien yang menderita sakit paru-
paru di suatu rumah sakit adalah karena merokok.
H0 : p = 0.6
H1 : p 0.6
9.2 Pengujian Hipotesis
Dalam membuat rumusan pengujian hipotesis, hendaknya kita selalu membuat
pernyataan hipotesis yang diharapkan akan diputuskan untuk ditolak. Hipotesis yang
dirumuskan dengan harapan akan ditolak biasanya disebut sebagai hipotesis nol/awal, yang
dilambangkan dengan 0H . Ini menyatakan bahwa setiap hipotesis yang ingin diuji dinyatakan
dengan H0. Penolakan 0H mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif atau hipotesis
tandingan yang dilambangkan dengan 1H . Suatu H0 mengenai suatu parameter populasi akan
selalu dinyatakan sedemikian rupa sehingga parameter tersebut nilainya tertentu (satu nilai),
sedangkan H1 memungkinkan beberapa nilai.
Ada beberapa dasar yang dapat digunakan untuk merumuskan hipotesis, antara lain (1)
berdasarkan pengetahuan yang diperoleh dari teori, (2) berdasarkan hasil penelitian
terdahulu, (3) berdasarkan pengalaman, atau (4) berdasarkan ketajaman berpikir.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa kebenaran atau ketidakbenaran suatu
hipotesis tidak pernah diketahui secara pasti. Dengan adanya faktor ketidakpastian ini
mengakibatkan timbulnya suatu resiko/kesalahan yang harus ditanggung oleh pembuat
keputusan itu sendiri. Dalam pengujian hipotesis dikenal dua jenis kesalahan, yaitu kesalahan
jenis I (galat I) dan kesalahan jenis II (galat II). Galat I adalah kesalahan akibat menolak
hipotesis nol, padahal hipotesis nol benar. Sedangkan galat II adalah kesalahan akibat
menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol tersebut salah.
Peluang melakukan galat I disebut taraf nyata uji dilambangkan dengan , sedangkan
peluang melakukan galat II dilambangkan dengan .
Hubungan antara hipotesis nol, keputusan, jenis kesalahan, dan peluang melakukan
jenis kesalahan secara ringkas disajikan pada tabel berikut.
Tabel Jenis kesalahan dalam menolak dan menerima hipotesis nol
KeputusanKeadaan yang sesungguhnya
Hipotesis nol (H0) benar Hipotesis nol (H0) salah
Menolak H0 Galat I, = P(Galat I) Keputusan tepat, K=1-
Menerima H0 Keputusan tepat, 1 - Galat II, =P(Galat II)
69
Oleh karena menyatakan peluang menolak H0 yang benar, maka kita mengharapkan
nilai sekecil mungkin. Sebab tidaklah pantas sesuatu yang sesungguhnya benar kita tolak.
Demikian juga dengan yang menyatakan peluang menerima H0 yang salah, kita mengharapkan
nilainya juga sekecil mungkin, karena tidak pantas juga sesuatu yang salah kita terima. Namun
dalam kenyataannya memperkecil atau membuat dan sekecil mungkin secara sekaligus
tidaklah mungkin, karena ternyata ada hubungan antara dengan , yaitu memperkecil nilai
akan mengakibatkan membesarnya nilai , demikian juga sebaliknya. Usaha untuk memperkecil
nilai dan dapat dilakukan dengan memperbesar ukuran contoh.
Dalam praktek pengujian hipotesis, nilai yang sering digunakan adalah 0,05 dan 0,01.
Jika yang digunakan adalah 0,05, dapat diartikan bahwa kira-kira sebanyak 5 dari setiap 100
kasus bahwa kita akan menolak Ho yang benar. Dengan kata lain, ada keyakinan 95% bahwa kita
telah mebuat keputusan atau kesimpulan yang benar.
Untuk setiap pengujian dengan memakai nilai tertentu, kita dapat menghitung nilai
. Ternyata bahwa nilai ini tergantung pada nilai parameter populasi, yaitu , sehingga
dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi, yaitu (), yang disebut fungsi ciri operasi (CO). Nilai K
= 1 - disebut kuasa uji. Kuasa uji adalah peluang menolak Ho bilai suatu tandingan tertentu
benar. Jika K() = 1 - (), maka K() disebut fungsi kuasa.
Beberapa sifat penting dalam pengujian hipotesis :
- Galat I dan galat II saling berhubungan. Menurunnya peluang yang satu akan menaikkan
peluang yang lain.
- Ukuran wilayah kritik, yang berarti juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat
diperkecil dengan mengubah nilai kritiknya.
- Peningkatan ukuran contoh n akan memperkecil dan secara bersama-sama.
- Bila hipotesis nolnya salah, nilai akan sangat besar bila nilai parameternya dekat
dengan nilai yang dihipotesiskan. Semakin besar jarak antara nilai yang sesungguhnya
dengan nilai yang dihipotesiskan, maka semakin kecil nilai .
Contoh 9.2
Suatu jenis deterjen baru diduga dapat mencuci bersih 70% dari bercak pada pakaian. Untuk
menguji dugaan ini, deterjen ini digunakan pada 12 bercak yang dipilih secara acak. Bila
kurang dari 11 bercak yang hilang maka dugaan kemampuan deterjen tersebut dalam mencuci
70% dari bercak pakaian diterima.
a. hitunglah galat I dengan menganggap bahwa p = 0,7
b. hitunglah galat II jika ternyata p = 0,9
JawabHipotesis : Ho : p = 0,7 vs H1 : p > 0,7
70
X = banyaknya bercak pakaian yang berhasil dicuci
Nilai kritis : 11
085.0915.01)7.0,12;(1)7.0,12;(
)7,0|11()(.10
0
12
11
xx
xbxb
pXPIgalatPa
341.0)9.0,12;()9,0|11()(.10
0
x
xbpXPIIgalatPb
Contoh 9.3
Suatu contoh acak 400 pemilih di suatu kota ditanya apakah mereka mendukung kenaikan 4%
tarip listrik untuk penerangan jalan yang amat diperlukan. Bila lebih dari 220 tapi kurang dari
260 pemilih yang mendukung kenaikan tarip maka disimpulkan bahwa 60% pemilih mendukung.
a. cari peluang melakukan galat I bila 60% pemilih yang mendukung kenaikan tarif.
b. Berapa peluang melakukan galat II dalam prosedur pengujian ini bila sesungguhnya hanya
48% dari pemilih yang mendukung kenaikan tarif listrik ?
JawabHipotesis : Ho : p = 0,6 vs H1 : p 0,6
Nilai kritis : 220 < X < 260
Karena n besar, maka untuk menghitung galat I dan galat II digunakan hampiran normal.
a. menghitung
= np = 400(0.6) = 240
= (npq) = {400(0.6)(0.4)} = 9.80
nilai kritis menjadi : 220.5 < X < 259.5
0366.0)0183.0(2)09.2(2)09.2()09.2(
)80.9
2405.260()
80.9
2405.219(
)240|5.260()240|5.219(
)6.0|260()6.0|220()(
ZPZPZP
XP
XP
XPXP
pXPpXPIgalatP
b. menghitung
= np = 400(0.48) = 192
= (npq) = {400(0.48)(0.52)} = 9.99
003.0997.01)75.2()86.6(
)86.675.2()99.9
1925.260
99.9
1925.219(
)192|5.2595.220()48.0|260220()(
ZPZP
ZPX
P
XPpXPIIgalatP
71
9.3 Uji Satu Arah Dan Dua Arah
Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu-arah, seperti
1. ooH : dan 01 : H atau 2. ooH : dan oH :1
disebut uji satu-arah. Wilayah kritik bagi bagi hipotesis alternatif > 0 terletak seluruhnya di
ekor kanan sebaran tersebut, sedangkan wilayah kritik bagi hipotesis alternatif < 0 terletak
seluruhnya di ekor kiri. Dalam pengertian ini, tanda ketaksamaan menunjuk ke arah wilayah
kritiknya.
Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti
ooH :
oH :1
disebut uji dua arah, karena wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di
masing-masing ekor sebaran statistik ujinya. Hipotesis alternatif 0 menyatakan bahwa <0 atau > 0.
Hipotesis nol, H0, akan selalu dituliskan dengan tanda kesamaan sehingga
menspesifikasi suatu nilai tunggal. Dengan cara demikian, peluang melakukan galat I dapat
dikendalikan. Apakah kita harus menggunakan uji satu-arah atau dua-arah, bergantung pada
kesimpulan yang akan ditarik bila H0 ditolak. Sebagai contoh, sebuah peusahaan rokok
menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5
miligram. Pernyataan dari perusahaan tersebut dapat ditolak jika rata-rata () lebih besar dari
2,5 miligram dan dapat diterima jika lebih kecil atau sama dengan 2,5 miligram. Dengan
demikian kita akan menguji
H0 : = 2,5
H1 : > 2,5
Meskipun kita menuliskan hipotesis nol-nya dengan tanda sama dengan, namun itu harus
dipahami sebagai mencakup semua nilai yang tidak dicakup oleh hipotesis alternatifnya.
Akibatnya, menerima H0 tidak boleh diimplikasikan bahwa tepat sama dengan 2,5 miligram,
namun harus diartikan bahwa kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk mendukung H1.
Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis:
1. Tuliskan hipotesis yang akan diuji
Ada dua jenis hipotesis:
a. Hipotesis sederhana
Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu
H0 : = 0 vs H1 : = 1
H0 : 2 = 02 vs H0 : 2 = 1
2
H0 : P = P0 vs H0 : P = P1
72
b. Hipotesis majemuk
Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentu
b.1. Hipotesis satu arahH0 : 0 vs H1 : < 0
H0 : 0 vs H1 : > 0
b.2. Hipotesis dua arahH0 : = 0 vs H1 : 0
2. Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll)
3. Hitung statistik ujinya
Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga
parameter yang diuji. Misalnya
H0: = 0 maka x maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z)
ns
xth
/
0 ataun
xzh
/
0
4. Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1). Misalnya,
H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db)(tabel)H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db)(tabel)H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)(tabel)
5. Tarik kesimpulan
9.4 Uji Rataan Populasi
Berikut ini adalah pengujian rataan populasi untuk satu populasi
No Bentuk hipotesis Statistik uji Daerah kritis(Daerah penolakan H0)
1 H0 : = 0 vsH1: 0
a. Contoh kecil & ragam poptidak diketahui
ns
xth
/
0
b. Contoh besar atau ragampop diketahui
n
xzh
/
0
|th | > t(/2; db=n-1)(tabel)
|zh | > z(/2)(tabel)
73
2 H0 : 0 vsH1 : < 0
Sda th < -t(; db=n-1)(tabel)
zh < -z()(tabel)
3 H0 : 0 vsH1 : > 0
Sda th > t(; db=n-1)(tabel)
zh > z()(tabel)
Contoh 9.4
Pemerintah berencana untuk melaksanakan sebuah program peningkatan mutu siswa. Dari
sebuah sekolah diketahui bahwa sebelum dilaksanakan program tersebut, rata-rata nilainya
adalah 7,1. Untuk melaksanakan program tersebut, sebanyak 40 siswa secara acak dipilih dari
sekolah tersebut. Data baru yang diperoleh memiliki rata-rata 7,3 dengan simpangan baku
0,15. Berhasilkah program tersebut (gunakan alpha 5%) ?
JawabKarena yang ingin diketahui apakah ada peningkatan mutu pendidikan setelah diadakan
program tersebut, maka :
- hipotesisnya : H0 : = 7.1 vs H1 : > 7.1.
- titik kritis : Z0,05 = 1,645 (digunakan uji Z karena n relatif besar , n = 40)
- Stat. Uji : 43,840/15,0
3,71,7
x
ohitung
s
XZ
- Karena Zhitung > 1,645 maka tolak H0, artinya ada peningkatan rata-rata nilai setelah
diadakan program peningkatan mutu siswa tersebut sehingga dapat dikatakan bahwa
program tersebut berhasil dilaksanakan.
Contoh 9.5
Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50
ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh
petugas pemerintah untuk menentukan apakah layak perusahan tersebut diberikan ijin.
Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan,
rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan
perusahaan tersebut mendapat ijin ?
Jawab- Hipotesis H0 : = 50 vs H1 : > 50
- titik kritis : t(0,05;19) = 1,729
- Stat. Uji : 91,1020/05,2
5055
xs
Xt
- Karena thitung > 1,729 maka tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang
akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh
pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak untuk memperoleh ijin untuk
memasarkan mobilnya.
74
Contoh 9.6
Seorang pelamar untuk jabatan salesmen menyatakan bahwa dia sanggup melakukan penjualan
minimal 7 unit barang sehari. Untuk membuktikan hal itu, manajer personalia memberikan
waktu selama 12 hari. Hasil penjualan selama tes tersebut adalah sebagai berikut : 4, 5, 8, 3,
6, 4, 4, 8, 7, 3, 4, 5. Ujilah apakah pernyataan orang tersebut didukung oleh data (gunakan
alpha 10%).
JawabUntuk menguji pernyataan salesman bahwa dia sanggup menjual minimal 7 unit barang
sehari , maka : Hipotesis H0 : >= 7 vs H1 : < 7
- titik kritis 10% : t(0,10;11) = 1,363, gunakan titik kritis –1,363
- 08,512
5...54
n
xx
i;
174,311
)08,5(12)5...54(
1
)( 222222
2
n
xnxs
i
- Stat. Uji : 73,312/78,1
708,50
xs
xt
- Karena thitung < -1,363 maka tolak H0, artinya rata-rata penjualan barang oleh salesmen
tersebut tidak lebih dari 7 unit barang per hari tetapi kurang dari 7 unit.
Untuk menguji perbedaan dua nilai tengah populasi dapat dibedakan menjadi dua kasus
yaitu kasus saling bebas dan kasus berpasangan.
Berikut ini uji ipotesis untuk dua contoh saling bebas.
No Bentukhipotesis
Statistik uji Daerah kritis(Daerah penolakan H0)
1 H0 : 1-2 = 0
vs
H1: 1-2 0
a. Contoh kecil & ragam pop tidakdiketahui
)(
021
21
)(
xx
hs
xxt
dimana:
22
21
2
22
1
21
22
21
21
;
;11
21
n
s
n
s
nns
s
g
xx
b. Contoh besar atau ragam popdiketahui
)(
021
21
)(
xx
h
xxz
|th | > t(/2; db)(tabel)
22
21
22
21
;
;221
efektifdb
nndb
|zh | > z(/2)(tabel)
75
2 H0 : 1-2 0
vsH1 : 1-2 < 0
Sda th < -t(; db)(tabel)
zh < -z()(tabel)
3 H0 : 1-2 0
vsH1 : 1-2 > 0
Sda th > t(; db)(tabel)
zh > z()(tabel)
Sedangkan berikut ini adalah uji hipotesis untuk dua contoh yang berpasangan
No Bentuk hipotesis Statistik uji Daerah kritis(Daerah penolakan H0)
1 H0 : D = 0 vsH1: D 0
c. Contoh kecil & ragam poptidak diketahui
ns
dth
/
0
d. Contoh besar atau ragampop diketahui
n
dzh
/
0
|th | > t(/2; db=n-1)(tabel)
|zh | > z(/2)(tabel)
2 H0 : D 0 vsH1 : D < 0
Sda th < -t(; db=n-1)(tabel)
zh < -z()(tabel)
3 H0 : D 0 vsH1 : D > 0
Sda th > t(; db=n-1)(tabel)
zh > z()(tabel)
Kedua kasus tersebut dibedakan oleh metode pengambilan contohnya. Dua contoh dikatakan
saling bebas jika pemilihan unit-unit contoh pertama tidak tergantung pada bagaimana unit-
unit contoh kedua dipilih dan sebaliknya. Sedangkan dua contoh dikatakan berpasangan jika
pengambilan unit-unit contoh pertama memperhatikan bagaimana unit-unit contoh kedua
dipilih. Keterkaitan kedua contoh pada kasus berpasangan ditentukan oleh suatu peubah
kontrol (control variable) misal lokasi, kemiringan lahan, tingkat pendidikan, kondisi sosial
ekonomi dan lain-lain.
Contoh 9.7
Dua jenis program manajemen pemasaran diterapkan pada sebuah perusahaan retail untuk
mengkaji program mana yang lebih efisien meningkatkan penjualan mingguan. Kedua program
tersebut dievaluasi dengan cara mencatat penjualan selama 9 minggu. Program pertama
mampu memberikan rata-rata nilai penjualan mingguan sebesar 230 juta dengan simpangan
baku 10 juta, sedangkan program kedua rata-ratanya 210 juta dengan simpangan baku 9 juta.
76
Jika diasumsikan kedua kondisi sama, ujilah apakah kedua program memberikan hasil yang
berbeda ? (gunakan 5%)
JawabUntuk mengkaji program mana yang lebih efisien,
Hipotesisnya : H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
- titik kritis untuk = 5% : t(0,025;16) = 2,120 (ingat : kondisi sama ragam sama,
sehingga db = n1+n2-2)
- ragam gabungan : 5,9016
)81(8)100(8
2
)1()1(
21
222
2112
nn
snsns p
- Stat. Uji : 46,49/19/151,9
0210230
)/1()/1(
)(
2
021
1
nns
dxxt
p
- Karena |thitung| > 2,120 maka tolak H0, artinya ada perbedaan dalam tingkat efesiensi
peningkatan penjualan mingguan antara program pertama dan yang kedua, di mana
program yang lebih efisien adalah program yang pertama.
Contoh 9.8
Seorang mahasiswa Budidaya Pertanian ingin membandingkan produksi dari dua varietas kacang
tanah. Kemudian kedua varietas kacang tanah tersebut ditanam pada delapan lokasi yang
berbeda tetapi setiap varietas ada pada setiap lokasi. Data produksi (ton perhektar) kedua
varietas tersebut diperoleh sebagai berikut :
Varietas\lokasi 1 2 3 4 5 6 7 8
Var 1 6.25 5.30 7.10 6.45 6.00 4.83 5.40 6.80
Var 2 5.50 5.80 6.00 7.50 6.25 4.85 5.00 6.50
ujilah apakah kedua varietas memberikan hasil yang berbeda, jika berbeda mana yangmenurut anda lebih baik? (gunakan 5%)
JawabKasus di atas termasuk kasus pengamatan berpasangan, sehingga perlu dicari beda dari
varietas 1 dan varietas 2, yaitudi : 0.75, -0.5, 1.1, -1.05, -0.25, -0.02, 0.4, 0.3
- Hipotesis H0 : d = 0 vs H1 : d 0
- titik kritis : t(0,025;7) = 2,365
- nilai statistik :
694.0482.07
)091.0(84379.3
1
)(
091.08
3.0...)5.0(75.0
2222
di
d
i
sn
dnds
n
dd
- Stat. Uji : 371.08/694.0
0091.0
/
ns
dt
d
d
- Karena thitung < 2,365 maka terima H0, artinya belum cukup bukti untuk menyimpulkan
bahwa kedua varietas kacang tanah tersebut memberikan hasil produksi yang berbeda.
77
9.5 Latihan Soal
1. Jelaskan istilah berikut :
a. hipotesis b. hipotesis statistik c. pengujian hipotesis statistik
d. hipotesis nol e. hipotesis alternatif f. kesalahan jenis I
g. kesalahan jenis II h. taraf signikansi i. uji satu arah
j. uji dua arah k. niali kritis l. nilai kritis
m. satistik uji n. statistik hitung
2. Suatu perusahaan memproduksi lampu listrik yang umurnay mendekati sebaran normal
dengan nilai rata-rata 80 jam dan simpangan baku 40 jam. Dengan menggunakan sampel
acak sebanyak 30 lampu ternyata rata-rata umur lampu hanya 775 jam. Ujilah hipotesis
bahwa = 800 dan lawan alternatifnya 800 jam, denagn memakai taraf signifansi =
0.01
3. Seorang pimpinan perusahaan ingin meningkatkan kualitas sumber daya karyawannya di
bidang produksi. Dia berharap setelah mereka mengikuti kursus, cacat produksi bisa
berkurang 10%. Pada suatu saat tertentu setelah para karyawan mengikuti kursus diketahui
bahwa dari sampel sebanyak 20 produk yang diambilsecara acak ternyata terdapat 3 produk
yang cacat. Dengan menganggap distribusi menyebar normal, apakah harapan pimpinan itu
terbukti dalam sampel tersebut. Gunakan = 10%
4. Suatu perusahaan garmen ingin mengembangkan produksi kemeja. Pimpinan perusahaan
menyatakan bahwa bila paling sedikit sebanyak 30% yang berminat membeli kemeja
tersebut, maka perusahaan akan memperluas usahanya. Untuk itu diadakan penelitian yang
melibatkan 200 responden dan ternyata terdapat 70 responden yang tertarik membeli
kemeja tersebut. Dengan taraf = 1%, ujilah pernyataan pimpinan tersebut, apaakh ia
akan memperluas usahanya atau tidak, dengan asumsi populasi menyebar normal.
5. Sebuah sampel yang terdiri atas 100 kendaraan bermotor masing-masing telah dipilih dari
populasi kendaraan bermotor yang ada di Bekasi dan Bandung. Di Bandung ditemukan
sebanyak 72 kendaraan yang telah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di Bekasi hanya 66
kendaraan saja yang telah melunasi pajak kendaraan. Ujilah perbedaan proporsi kendaraan
yang telah melunasi pajak di dua kota tersebut dengan memakai = 1%
78
10 ANALISIS REGRESI DAN KORELASI
Dalam penelitian ada kalanya dilakukan pengamatan terhadap lebih dari satu ciri
terhadap tiap-tiap anggota contoh. Hubungan antara ciri-ciri yang diamati itu sering menarik
perhatian, sehingga timbullah masalah korelasi dan regresi.
Pada masalah korelasi dibicarakan keeratan hubungan antara dua ciri atau lebih,
sedangkan pada masalah regresi kita menduga bentuk hubungan antara ciri-ciri tersebut.
10.1 Regresi Linear Sederhana
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita ingin melihat hubungan antar peubah.
Umumnya suatu peubah bersifat mempengaruhi peubah lainnya, peubah pertama ini disebut
peubah bebas sedangkan peubah yang kedua disebut peubah tak bebas. Secara kuantitatif
hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak bebas dapat dimodelkan dalam suatu
persamaan matematik, sehingga kita dapat menduga nilai suatu peubah tak bebas bila nilai
peubah bebas diketahui. Persamaan matematik yang menggambarkan hubungan antara peubah
bebas dengan peubah tak bebas sering disebut persamaan regresi.
Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan
antara satu peubah bebas (x) dan satu peubah tak bebas (y), di mana hubungan keduanya dapat
digambarkan sebagai suatu garis lurus. Sehingga hubungan kedua peubah tersebut dapat
dituiskan dalam bentuk persamaan :
Yi = + Xi ……………(1)
dengan :
Yi = peubah tak bebas
Xi = peubah bebas
= intersep / perpotongan dengan sumbu tegak
= kemiringan garis / gradien
Dalam praktek, seringkali kita tidak dapat mengamati seluruh anggota populasi,
sehingga hanya mengamati n buah contoh acak dan diperoleh pengamatan berukuran n serta
dapat dilambangkan dengan {(xi, yi), I = 1, 2, …, n}.
Persamaan yang kita peroleh adalah dugaan dari persamaan (1) dan dapat dituliskan :
ii bXaY ˆ ……..(2)
dengan a adalah penduga bagi dan b adalah penduga bagi .
79
Untuk peubah bebas xi, nilai pengamatan yi tidak akan selalu tepat berada pada garis
persamaan (1) untuk garis regresi populasi atau pada persamaan (2) untuk garis regresi contoh.
Dengan demikian akan terdapat simpangan sebesar i untuk populasi atau ei untuk contoh,
sehingga diperoleh persamaan :
Yi = + Xi + i (persamaan regresi populasi) ……..(3)
Yi = a + bXi + ei (persamaan regresi contoh) ….…(4)
Untuk melihat pola hubungan antara X dan Y pertama-tama kita plotkan nilai
pengamatan (xi, yi) pada bidang kuadran dua. Jika hasil plot menunjukkan pola titik-titik yang
menyerupai garis lurus, maka penggunaan regresi linear sederhana untuk melihat pola
hubungan antara kedua peubah tersebut sudah tepat.
10.2 Pendugaan Koefisien Regresi
Untuk menduga parameter dan terdapat bermacam-macam metode yang dapat
digunakan, salah satu diantaranya adalah metode kuadrat terkecil (MKT). Prinsip dasar dari
MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat (JKG) antara data aktual (data yang
diperoleh dari hasil pengamatan) dengan data dugaan. Secara matematik dapat dijabarkan
sebagai berikut :
Yi = + Xi + i dan ii bXaY ˆ
Sehingga diperoleh dugaan galat sebesar :
iiii YYe ˆˆ dan misalkan
n
iieq
1
2
maka untuk mendapatkan penduga kuadrat terkecil dari parameter regresi adalah dengan
meminimumkan nilai q, nilai q ini disebut juga JKG. Dengan menggunakan bantuan pelajaran
kalkulus maka nilai dugaan parameter regresi dapat diperoleh sebagai berikut :
2
11
2
1 11
1
2
1
))((
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
iiii
n
ii
n
iii
xxn
yxyxn
xx
yyxx
b dan xbya
besaran nilai a dan b dapat diinterpretasikan sebagai berikut : pada saat x bernilai nol maka
besarny nilai dugaan y adalah sebesar a, sedangkan nilai b menunjukkan besarnya perubahan
nilai y jika terjadi perubahan pada nilai x satu-satuan.
80
10.3 Pengujian Hipotesis Bagi Koefisien Regresi
Seperti halnya dalam pendugaan nilai tengah, maka penilaian tentang tingkat
keyakinan terhadap hasil dugaan b memerlukan informasi tentang ragam dari b, atau lebih
tepatnya adalah informasi tentang pola sebaran b. Untuk dapat mengetahui informasi ini, kita
terlebih dahulu membuat beberapa asumsi mengenai model regresi.
Berdasarkan persamaan (3), beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu i adalah bebas
terhadap sesamanya dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam 2 [i (0, 2)].
Berdasarkan model (3) di atas, dengan konstanta dan sebagai parameter regresi dan xi
bukan sebuah peubah acak, maka yi adalah suatu peubah acak yang menyebar normal dengan
E(yi) = + xi dan Var(yi) = 2 untuk semua i.
Nilai a dan b merupakan dugaan bagi parameter dan . Dengan pengambilan contoh
acak berulangkali dapat diperoleh nilai dugaan yang berbeda bagi dan . Nilai-nilai dugan
tersebut dapat dipandang sebagai nilai-nilai peubah acak A dan B. nilai-nilai A dan B tersebut
tergantung pada keragaman nilai peubah acak Y1, Y2, …, Yn.
Penduga koefisien b adalah kombinasi linear dari peubah acak yi, yaitu berupa
n
inn
n
iiiiin
ii
n
iii
ywywywywyyw
xx
yyxx
b1
22111
1
2
1 )(
))((
dengan
;
)(
1
2
n
ii
ii
xx
xxw dan karena ,0
1
n
iiw maka 0
1
ywn
ii
dengan demikian b adalah peubah acak dengan nilai harapan
i
n
iii
n
ii
n
iii
n
ii
n
iiii
n
ii xwxwwxwyEwywEbE
111111
)()()()(
karena nilai 01
n
iiw maka 0
11
xwwxn
ii
n
ii
sehingga 1)(1111
xxwxwxwxw i
n
ii
n
iii
n
iii
n
ii
jadi b merupakan penduga tak bias bagi karena E(b) = .
81
Ragam dari b adalah
n
ii
n
ii
n
iin
ii
n
iii
n
iii
xxxx
xx
wyVarwywVarbVar
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
22
1
2
1 )()(
)(
)()()(
selanjutnya untuk nilai dugaan xbya kita peroleh
xxbExyExbyEaE )()()()( dan
n
ii
n
ii xx
x
nxx
x
nbVarxyVarxbyVaraVar
1
2
22
1
2
2222
)(
)(1
)(
)()()()()()(
karena Y1, Y2, …, Yn bebas dan menyebar normal, maka A dan b juga menyebar normal dengan
nilai tengah dan ragam seperti di atas.
Karena ragam dari A dan B mengandung parameter 2 yang umumnya nilainya tidak
diketahui, maka perlu dilakukan pendugaan untuk nilai tersebut. Parameter 2 merupakan
ragam galat pada model yang menggambarkan keragaman acak dari keragaman galat percobaan
di sekitar garis regresi. Penduga tak bias bagi 2 adalah s2, yaitu
2222
2
1
2
2
n
JbJ
n
bJJ
n
e
n
JKGs
xxyyxyyy
n
ii
dengan :
n
xn
ii
n
iixx
n
ii
xxxJ
2
1
1
2
1
2)(
;n
yn
ii
n
iiyy
n
ii
yyyJ
2
1
1
2
1
2)(
n
yxn
iii
n
iiixy
n
ii
n
ii
yxyyxxJ
11
11
))((
Untuk menguji hipotesis apakah intersep bernilai tertentu (miaslnya k) dapat diuji
dengan menggunakan statistik uji t, di mana hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut :
H0 : = k lawan H1 : k
Statistik ujinya dapat dirumuskan sebagai berikut
82
a
hitungs
ka
aVar
kat
)(
nilai statistik uji ini mengikuti sebaran t-student dengan derajat bebas n-2. Jika |t-hitung| >
t(/2, db=n-2) atau jika peluang nyata lebih kecil dari nilai taraf nyata yang ditetapkan maka
hipotesis nol ditolak.
Selang kepercayaan (1 - )100% bagi parameter adalah :
a - t/2, (n-2) sa a + t/2, (n-2) sa
dari selang kepercayaan ini dapat kita lihat kisaran nilai intersep yang dapat diyakini dengan
tingkat keyakinan sebesar (1 - )100%.
Untuk melihat apakah peubah X berpengaruh terhadap peubah Y juga dapat diuji
dengan menggunakan uji t-student. Misalkan ingin diuji apakah perubahan setiap X satu-satuan
akan mengakibatkan Y akan berubah sebesar k satuan, naka hipotesis dari pertanyaan ini dapat
dituliskan sebagai berikut :
H0 : = k
H1 : k
Statistik ujinya dapat dirumuskan sebagai berikut
b
hitungs
kb
bVar
kbt
)(
nilai statistik uji ini mengikuti sebaran t-student dengan derajat bebas n-2. Jika |t-hitung| >
t(/2, db=n-2) atau jika peluang nyata lebih kecil dari nilai taraf nyata yang ditetapkan maka
hipotesis nol ditolak.
Selang kepercayaan (1 - )100% bagi parameter adalah :
b - t/2, (n-2) sb b + t/2, (n-2) sb
10.4 Peramalan / Pendugaan Bagi Y
Dalam analisis regresi peubah X bersifat tetap. Untuk suatu contoh acak yang
berukuran n pada nilai x yang sama kita mungkin mendapatkan nilai y yang bervariasi. Dengan
kata lain nilai yi dalam pasangan (xi, yi) merupakan nilai suatu peubah acak Y dengan nilai
tengah y dan ragam y2.
83
Persamaan Yi = a + bXi dapat digunakan untuk menduga y dari beberapa nilai y pada
nilai x tertentu dan dapat pula digunakan untuk menduga nilai tunggal y0 bila x = x0. Bila y0 = a
+ bx0 maka y0 akan menyebar normal dengan nilai tengah y0 sama dengan y pada x = x0 dan
2
2
02ˆ
)1(
)(10
x
ysn
xx
n, dengan
n
iix xx
ns
1
22 )(1
1
Penduga bagi2ˆ0y adalah
2ˆ0ys . Untuk memperoleh nilai dugaan ini 2 diduga dengan s2.
Adapun selang kepercayaan (1 - )100% bagi y untuk x = x0 adalah :
2ˆ)2(,2/0
2ˆ)2(,2/0 00
ˆˆynyyn stysty
Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi sembarang nilai tunggal y0 dari peubah Y0, maka
kita perlu menduga ragam selisih antara nilai 0y yang diperoleh dari garis regresi bila
pengambilan contohnya dilakukan berulang-ulang pada x=x0 dengan y0 yang sesungguhnya.
Kita dapat memandang 00ˆ yy sebagai nilai peubah acak 00
ˆ YY , yang sebaran penarikan
contohnya menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam sebagai berikut :
0)ˆ( 00ˆ 00
YYEyy
dan 2
2
202
ˆ )1(
)(11
00
x
yy sn
xx
n
Penduga bagi2ˆ 00 yy adalah
2ˆ 00 yys . Agar nilai dugaan ragam ini diperoleh, maka 2 diduga
dengan ragam contoh (s2).
Selang kepercayaan (1-)100% bagi nilai tunggal y0 bila x=x0 adalah
2ˆ)2(,2/00
2ˆ)2(,2/0 0000
ˆˆyynyyn styysty
10.5 Kesesuaian Model
Ada beberapa petunjuk yang dapat digunakan untuk melihat kesesuaian dari model
yang diperoleh, diantaranya :
1. koefisien determinasi (R2) yaitu suatu ukuran yang digunakan untuk melihat
kemampuan model dalam menerangkan keragaman nilai peubah Y. Kisaran nilai R2
mulai dari 0 sampai 100%. Semakin besar nilai R2 berarti model semakin mampu
menerangkan perilaku peubah Y. Sebagai contoh, ingin diketahui pola hubungan antara
biaya iklan yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan dengan banyaknya produknya yang
84
terjual, diperoleh nilai R2 sebesar 80%, ini berarti bahwa model regresi yang kita
peroleh menunjukkan bahwa 80% keragaman dari produk yang terjual sudah dapat
diterangkan oleh faktor biaya iklan yang dikeluarkan, sedangkan 20% lainnya keragaman
dari produk yang terjual dipengaruhi oleh faktor lain. Adapun rumus untuk menghitung
R2 adalah
2
222 1
y
x
s
sb
JKT
JKGR
2. Kuadrat tengah galat (KTG). Semakin kecil nilai KTG maka model regresi yang diperoleh
akan lebih baik dalam menggambarkan pola hubunagn antara peubah bebas dan peubah
tak bebas. Namun penggunaan KTG sering kali menemui masalah yaitu seberapa besar
nilai KTG agar model dikategorikan sebagai model yang baik. Permasalahan ini timbul
karena mengingat KTG tidak memiliki batasan yang jelas. Tetapi jika terdapat
beberapa model yang dibangun, maka penggunaan KTG sebagai alat untuk memilih
model terbaik akan cukup efektif.
3. membuat plot antara nilai sisaan, ei, dengan xi atau dengan iy . Perilaku ei yang
dianggap layak akan terlihat apabila nilai-nilai tersebut membentuk suatu pita yang
mendatar di sekitar garis e = 0. Jika tebaran nilai-nilainya berbentuk corong dapat
memberi petunjuk adanya keheterogenan ragam dan jika tebaran nilainya melengkung
menunjukkan kekurangtepatan dari model regresinya. Berdasarkan plot sisaan kita
juga dapat mendeteksi kemungkinan adanya pencilan dengan memeriksa apakah ada
nilai/titik yang memencil atau jauh dari nilai-nilai sisaan yang lain.
10.6 Korelasi
Ukuran korelasi linear antara dua peubah yang paling banyak digunakan adalah
koefisien korelasi contoh (r). Koefisien korelasi ini menggambarkan tingkat keeratan hubungan
linear antara dua peubah atau lebih. Besaran dari r tidak menggambarkan hubungan sebab
akibat antar dua peubah atau lebih tetapi semata-mata menggambarkan keterkaitan linear
antar peubah. Nilai dari r berkisar antara –1 sampai 1 (-1 r 1). Nilai r yang mendekati 1 atau
–1 menunjukkan semakin erat hubungan linear antara kedua peubah tersebut. Sedangkan nilai r
yang mendekati atau sama dengan nol menggambarkan tidak ada hubungan linear antara kedua
peubah tersebut, tetapi mungkin saja mempunyai hubungan yang tidak linear.
Koefisien korelasi antara peubah X dan Y dapat dirumuskan sebagai berikut :
y
x
yx
xy
yyxx
xy
s
sb
ss
s
JJ
Jr
22
85
dengan )1/(),1/(),1/( 22 nJsnJsnJs yyyxxxxyxy
Koefisien korelasi contoh, r, merupakan sebuah nilai yang dihitung dari n pengamatan
contoh. Contoh acak berukuran n yang lain tetapi diambil dari populasi yang sama biasanya
akan menghasilkan nilai r yang berbeda. Dengan demikian kita dapat memandang r sebagai
suatu nilai dugaan bagi koefisien korelasi linear populasi, . Bila r dekat dengan nol, kita
cenderung menyimpulkan = 0. Tetapi jika nilai r mendekati –1 atau 1 disarankan agar kita
menyimpulkan 0. Masalahnya sekarang adalah bagaimana mendapatkan suatu uji yang akan
mengatakan kepada kita kapan suatu nilai r berada cukup jauh dari suatu nilai tertentu 0,
agar kita mempunyai cukup alasan untuk menolak hipotesis nol bahwa = 0 dan menerima
alternatifnya. Hipotesis alternatifnya, H1, biasanya salah satu diantara < 0, > 0, atau
0.
Uji terhadap hipotesis nol = 0 didasarkan pada besaran
r
r
1
1ln
2
1
yang merupakan suatu nilai peubah acak yang menyebar menghapiri normal dengan nilai
tengah (0,5)ln[(1+)/(1-)] dan ragam 1/(n-3). Jadi statistik ujinya adalah menghitung
)1)(1(
)1)(1(ln
2
3
1
1ln
2
1
1
1ln
2
1
2
3
0
0
0
0
r
rn
r
rnZ hitung
jika taraf nyata yang digunakan sebesar , maka keputusan akan menolak H0 jika:
a. Zhitung < Z, untuk H1 : < 0
b. Zhitung > Z, untuk H1 : > 0
c. |Zhitung| > Z/2, untuk H1 : 0
Secara intuisi, koefisien korelasi dapat ditafsirkan dalam dua cara, yaitu:
1. sebagai arah hubungan antara dua ukuran yang berarti mereka cenderung untuk
meningkat atau menurun bersama-sama (berhubungan secara positif), yang satu
meningkat yang lain menurun (berhubungan secara negatif), atau pergerakan mereka
terpisah (tidak berkorelasi).
2. sebagai suatu kekuatan asosiasi yang berarti bahwa jika nilai absolut korelasi bergerak
menjauhi nol maka dua ukuran berasosiasi semakin kuat.
86
Contoh
Sebuah penelitian dilakukan oleh seorang pengusaha untuk menentukan hubungan antara biaya
pemasangan iklan per minggu dan hasil penjualan produknya (dalam jutaan rupiah). Data yang
diperoleh adalah sebagai berikut :
Biaya iklan 6 2 1 2 1 7 6 3 5 4 2 8 4 3 5
Penjualan 57 40 33 37 34 58 54 43 49 49 38 62 47 45 51
a. Tentukan persamaan garis regresinya
b. Benarkah pernyataan pengusaha mengatakan bahwa dengan peningkatan biaya/
iklan per juta akan meningkatkan penjualan sebesar 5 juta rupiah ?
c. Dugalah besarnya penjualan mingguan bila pengeluaran untuk biaya iklan
sebesar 4,5 juta !
d. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi penjualan mingguan rata-rata jika biaya
iklannya sebesar 2,5 juta !
e. Buatlah selang kepercayaan 90% bagi nilai dugaan penjualan mingguan bila
biaya iklan yang dikeluarkan sebesar 3 juta.
f. Bagaimana kesesuaian model regresi yang anda peroleh ?
g. Hitunglah koefisien korelasinya.
Jawab:
No.Biaya
iklan (x)Penjualan
(y)x2 y2 xy
16 57
36 3249 342
22 40
4 1600 80
31 33
1 1089 33
42 37
4 1369 74
51 34
1 1156 34
67 58
49 3364 406
76 54
36 2916 324
83 43
9 1849 129
95 49
25 2401 245
104 49
16 2401 196
112 38
4 1444 76
128 62
64 3844 496
134 47
16 2209 188
143 45
9 2025 135
155 51
25 2601 255
59 697 299 33517 3013
87
a.
06,41004
4072
)59()299(15
)697(59)3013(1522
11
2
1 11
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
iiii
xxn
yxyxn
b
50,3015
5906,4
15
697
n
xb
n
yxbya
ii
Interpretasi : Jika tidak ada biaya yang dikeluarkan untuk iklan, maka rata-rata hasil penjualan
produk perminggu mencapai 30,5 juta rupiah. Jika biaya untuk iklan mengalami kenaikan satu juta, maka hasil penjualan akan
mengalami perubahan sebesar 4,06 juta rupiah.
b. pengujianHipotesis :H0 : = 5 vs H1 : ≠ 5Nilai = 5%, t(0,025,13) = 2,160
bb
hitungs
b
s
bt
50
dimana
n
ii
b
xx
s
1
2
2
)(
;2
ˆ
2
22
n
JbJs
xxyy dengan n
yn
iiyy
n
ii
yJ
2
1
1
2
dan n
xn
iixx
n
ii
xJ
2
1
1
2
04,213
)93,66()06,4(73,1129
93,6615
)59(29973,1129
15
)697(33517
22
22
s
JJ xxyy
Sehingga 18,093,66
04,2bs
Dengan demikian
22,518,0
506,4
hitungt
karena |thitung| > 2,160 maka tolak H0, artinya tidak benar pernyataan pengusaha yang
mengatakan bahwa dengan peningkatan biaya/ iklan per juta akan meningkatkan penjualan
sebesar 5 juta rupiah.
c.Penjualan = 30.5 + 4.06 Biaya iklan
= 30.5 + 4.06(4.5)
= 48.77
88
d. alpha 5%untuk x = 2.5, maka y = 30.5 + 4.06(2.5) = 40.65
2ˆ)2(,2/0
2ˆ)2(,2/0 00
ˆˆynyyn stysty
dengan 20.004.293.66
)93.35.2(
15
1)(1 22
202
ˆ0
s
J
xx
ns
xx
y
SK 5% :40.65 -2.16(0.2) ≤ y ≤ 40.65 + 2.16(0.2)40.22 ≤ y ≤ 41.08
e. alpha 10%untuk x = 3, maka y = 30.5 + 4.06(3) = 42.68
2ˆ)2(,2/00
2ˆ)2(,2/0 0000
ˆˆyynyyn styysty
dengan 20.204.293.66
)93.33(
15
11
)(11
22
202
ˆ 00
ssxx
yy J
xx
n
SK 10% :42.68 -1.771(0.2) ≤ y0 ≤ 42.68 + 1.771(0.2)42.33 ≤ y ≤ 43.03
f. Kesesuaian modeluji apakah biaya iklan berpengaruh nyata
Keakuratan model :
%66,97%10073,1129
)93,66()06,4(1
22
2
222 x
J
Jb
s
sb
JKT
JKGR
yy
xx
y
x
g. Koefisien Korelasi
99,0977,02 Rr
Dengan menggunakan tabel sidik ragam alpha=5%:
Sumberkeragaman
Derajatbebas
Jumlah kuadrat(JK)
Kuadrat tengah(KT)
F-Hitung F-Tabel
Regresi 1 JKR=b2Jxx KTR=JKR/1 KTR/KTG F(1,n-2)
Galat n-2 JKG=JKT-JKR KTG=JKG/(n-2)Total n-1 JKT=Jyy
Sumberkeragaman
Derajatbebas
Jumlah kuadrat(JK)
Kuadrat tengah(KT)
F-Hitung F-Tabel
Regresi 1 1103.25 1103.25 540,81 F0,05(1,13)= 4,67Galat 13 26,48 2,04Total 14 1129,73
89
10.7 Latihan Soal
Berikut ini disajikan data mengenai laju pertumbuhan sektor ekonomi dan sektor industri
(dalam %) dari tahun 1994 sampai dengan tahun 2003.
Tahun
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Laju pertumbuhansektor ekonomi
2 4 7 3 6 5 6 8 7 7
Laju pertumbuhansektor industri
1 2 12 5 9 11 12 14 13 10
a. Menurut Anda, manakah yang tepat sebagai variabel X dan variabel Y ? Jelaskan alasannya !
b. Buatlah plot dari data di atas ! Bagaimana pola penyebarannya (linear atau tidak) ?
c. Dugalah persamaan regresi linear sederhana y = a + bx. Interpretasikan model dugaan yang
Anda peroleh.
d. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah laju pertumbuhan sektor industri berpengaruh positif
terhadap laju pertumbuhan sektor ekonomi ?
e. Dugalah nilai koefisien korelasi antara kedua variabel tersebut !
f. Apakah antara kedua variabel tersebut mempunyai hubungan yang positif ? uji pada taraf
nyata 1%.
g. Hitunglah koefisien determinannya! Apakah model regresi yang Anda peroleh pada point
(c ) cukup akurat ? Jelaskan !
90
DAFTAR PUSTAKA