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8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker

8. Drehbewegungen

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung8.2 Drehung ausgedehnter Körper8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels8 5 Ki ti h E i d R t ti8.5 Kinetische Energie der Rotation8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten8 7 Steiner‘sche Satz8.7 Steiner sche Satz8.8 Das Drehmoment8 9 Drehimpuls8.9 Drehimpuls8.10 Rotierende Bezugssysteme

Doris Samm FH Aachen


8 D ehbe eg ngen8 Drehbewegungen

Drehung der Erde Drehung der ElementarteilchenDrehung der Erde- Tag/Nacht- Großwetterlage

Drehung der Elementarteilchen- magnetische Eigenschaften- Aufbau der Materieg

- Jahreszeiten - Wechselwirkungen

Stabilisierung von- Raketen

Schiffen- Schiffen- Fahrrädern (aber wenig)



8 1 Gl i hfö i K i b8.1 Gleichförmige KreisbewegungWir hatten: Kreisbewegung einer Punktmasse

>Zentripetalbeschleunigung a = azp erzwingtKreisbahn

Für Betrag gilt:r

Vektoriell gilt:

Allgemein gilt:radiale Beschleunigung

Punktmasse erfährt radiale + tangentiale Beschleunigung



8.2 Drehung ausgedehnter Körper

Idealisierung starrer Körper

Besteht aus n ( unendlich) Punktmassen, deren gegenseitigeAbstände immer konstant bleiben

Dennoch Problem zur Beschreibung

Für einzelne Punktmasse gilt:

Mögliche, aber unpraktische Beschreibung



Besser Beschreibung über Drehgrößen (zunächst skalar)g g ( )

Beschreibung über:h k l ( d ) ϕDrehwinkel (in Radiant) ϕ

Man definiertMan definiert Winkelgeschwindigkeit ω

Man definiert Winkelbeschleunigung αg g



Spezialfälle

1. Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant.

2. Winkelbeschleunigung α ist konstant.



8.3 Beziehung Translation - DrehungTangentialgeschwindigkeit

im Abstand r

Winkelgeschwindigkeit

8.4 Vektornatur des Drehwinkels

Für infinitesimal kleine Drehungen wird Drehung durch g gDrehvektor dϕ beschrieben

Def : dϕ parallel zur DrehachseDef.: dϕ parallel zur Drehachse,Richtung durch Rechte-Hand-Regel



Es gilt:

Drehsinn DrehsinnDrehsinn

ω

Drehsinn

r

vr

v

Flash Movie

ω



8.5 Kinetische Energie der Rotation

Wir hattenWir hatten

Ekin über vtan gegeben

Falls Punktmasse im Abstand r

Für n (diskrete)Für n (diskrete) Punktmassen

da starrer Körper

T ä h it t

Für kontinuierliche

(Massen)Trägheitsmoment= Definition

Massenverteilung

Kinetische Energie bei Rotation für ausgedehnte Körper


g


8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten(nur für symmetrische Körper analytisch berechenbar)

I von 3-dim Körpern wird über Volumenintegral berechnet

Beispiel: Stab konstanter Dichte (1-dim Massenverteilung)

Mit L >> Lz und L >> Lyz y mit Liniendichte λ = m/L

dm = λ dx



8.7 Steiner‘sche SatzProbleme:

1 Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen1. Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen2. Bei Änderung der Drehachse muss Rechnung

wiederholt werden

Steiner‘sche Satz erlaubt einfache Berechnung von I bezüglichder Achse, die parallel zur Schwerpunktsachse verschoben ist, p p

Is Trägheitsmoment umSchwerpunktsachseSchwerpunktsachse

mges Gesamtmassed Abstand der Drehachsen



Steinersche Satz:Jede Drehung ist zerlegbar in Translation des Schwerpunktes der g g pGesamtmasse und Drehung der Masse um die Schwerpunktsachse.

= +



Beweis Steiner‘sche Satz (in zwei Dimensionen)

0



?



8.8 Das Drehmoment

Frage: Ursache von Drehungen?Frage: Ursache von Drehungen? Antwort: Ursache ist Kraft !

Aber! Nur Komponente der Kraft F senkrecht r bewirkt Drehung.p g

Def.: Drehmoment

Spezialfall: F senkrecht r Kraft mal Hebelarm

Massenverteilung



8 9 D hi l8.9 DrehimpulsKraft = Änderung des Impulses L

Def.: Drehmoment

Def.: Drehimpuls L

D h t Ä d

I l k ht

Drehmoment = Änderung des Drehimpulses

System von Punktmassen

Impuls p senkrecht zu r

[Animation]

System von Punktmassen

Drehimpulserhaltung !!


[Animation]e pu se a tu g !!


dZunächst 2-dim. Betrachtung

8.10 Rotierende Bezugssysteme

Rotierendes System P kt i P kt PInertialsystem ruhend

Rotierendes Systemω = konstant Punktmasse im Punkt P

Geschwindigkeit der Punktmasse

Beschleunigung der Punktmasse



Falls x´= y´= 0 gilt :(Masse ruht im rotierenden System)

Inertialbeobachter sieht beschleunigte Bewegung

In 3 Dimensionen gilt:(ohne Beweis)

oder umgeformt:

In rotierenden Bezugssystemen treten zwei Trägheitskräfte aufg y g

Corioliskraft:

Z t if lk ft

FC =

FZentrifugalkraft:

Man kann mit Hilfe einer Messung feststellen, ob man in einem

Fzf =


Rotierenden Bezugssystem ist


8.10.1 Zetrifugalkraft

E ibt hi d S h ib iEs gibt verschiedene Schreibweisen für Zentrifugalkraft

Was wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe:I t ti lb b htIntertialbeobachter: Es wirkt Zentripetalkraft

Rotierender Beoabchter: Es wirkt ZentrifugalkraftEs wirkt Zentrifugalkraft



8.10.2 Corioliskraft Geschwindigkeit der Masse im rotierenden System

Im rotierenden Bezugssystem wirktCorioliskraft

Merke!Corioliskraft ist unabhängig von r- Corioliskraft ist unabhängig von r

- Corioliskraft tritt nicht auf, falls

W i d b b ht t? B i i l ti d S h ibWas wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe:


Inertialbeobachter Rotierende Beobachter


8.10.3 Erde als rotierendes Bezugssystem

Auf Masse in A auf Erde muss Zentripetalbeschleunigung wirkenZentripetalbeschleunigung wirken

itmit

und Tangential-geschwindigkeit

folgt für λ = 0o



Messung der Erdrotation mit Foucault`schen Pendel

Prinzip:p

Pendel behält Schwingungsebene bei (Inertialsystem)während sich Erde dreht mit

Pendel

Erde

Äquator



Für rotierenden Beobachter giltN

V Auf A wirkt ZentrifugalbeschleunigungA

g0D

λ

r

Ä t EbC

mit

Äquator-Ebene

Beschleunigung durch Gravitation g0 wird vermindert



Geographische B it l

Beschleunigungi / 2Breite l g in m/s2

90o N d l

9,8321Nordpol

0o Äquator

9,7799Äquator

48o 50´(Paris (F))

9,8094( ( ))


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