ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Дискретная математика с элементами математической логики» входит в

математический и общий естественнонаучный цикл основной профессиональной образовательной

программы и является частью программной подготовки специалистов среднего звена в

соответствии с ФГОС СПО по специальности 09.02.07 Информационные системы и

программирование.Знания, полученные при изучении данной дисциплины, являются необходимыми при работе с

компьютером, что в современном мире является неотъемлемой частью при получении

профессионального образования и дальнейшей работы выпускников колледжа.Основное назначение дисциплины «ЕН.02 Дискретная математика с элементами

математической логики» в средних профессиональных образовательных учреждениях состоит в

формировании у студентов общих компетенций. Содержание дисциплины предусматривает повторение и систематизацию знаний, полученных в средней общеобразовательной школе, формирование общих компетенций.

Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая

выполнение обучающимися заданий самостоятельно и под руководством преподавателя. Дидактическая цель практических работ - формирование у обучающихся профессиональных и

практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также

подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.

3

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ

Цель работы: научиться формализовывать высказывания, строить таблицы истинности для

формул логики, упрощать формулы логики с помощью равносильных преобразованийДля выполнения работы необходимо знать основные формулы алгебры высказываний,

методы минимизации алгебраических преобразований; необходимо уметь формулировать задачи

логического характера и применять методы математической логики для их решения.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория и методические рекомендации

Формулой алгебры логики называется всякое составное высказывание, содержащее

логические переменные и знаки логических операций. Для записи составного высказывания на

формальном языке нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: равносильные формулы; основные равносильности и основные тавтологии алгебры высказываний; элементарные дизъюнкции и конъюнкции.

Основные равносильности алгебры высказываний1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

4

18.

19.

Используя вышеприведенные равносильности, можно часть формулы или формулу

заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются

равносильными. Они используются для доказательства равносильностей, для приведения формул

к заданному виду, для упрощения формул.

Пример 1. С помощью равносильных преобразований упростите высказывание

Решение.

Пример 2. Упростить формулу (А В) (А С).Решение.

Раскроем скобки: (А В) (А С) = A A A C B A B C;

По закону идемпотентности A A =A, следовательно, A A A C B A B C = A A C B A B C;

В высказываниях А и А C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1 = 1, получим

A A C B A B C = A (1 C) B A B C = A B A B C;

Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А. A B A B C = A (1 B) B C = A B C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных

высказываний – все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 3. Упростить выражения так, чтобы в полученных

формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.Решение:

5

Задания практической работы

Задание 1. Упростите формулы

1)

2)

3)

Задание 2. Запишите формулы в приведенном виде (содержащем только операции над

переменными)

1)

2)

Задание 3. Пользуясь законами алгебры логики, упростить следующие логические

выражения:

ВСВА а)

ААА

ВАВ

в)

; б)

Задание 4. Преобразовать формулы к виду, не содержащему символы : и

у ха)

; б) АВСВА ZXY

СВА

X г)

в)

Задание 5. Доказать равносильность двух данных формул:�(�,�,�)≡ � ∨ ((� ∨ �)→��)�(�,�,�)≡ (� ∨ � ∨ �) ∧ � ∧ � ∧ �)Задание 6. Установить, является формула тождественно истинной или тождественно ложной:� ≡ (�→�) ∧ (�→�) ∧ (�→�)Задание 7. С помощью равносильных преобразований упростите формулу.

Контрольные вопросы:

1. Какая логическая связка соответствует дизъюнкции?2. Какая логическая связка соответствует эквивалентности?3. Дайте определение понятию «Рассуждение»4. Какие формулы называются равносильными?5. Какие формулы называются тавтологиями? Приведите пример тавтологии.

6

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2. ПРИВЕДЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ К ДНФ, КНФ С

ПОМОЩЬЮ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Цель работы: научиться определять ДНФ и КНФ.Для выполнения работы необходимо знать основные формулы алгебры высказываний,

методы минимизации алгебраических преобразований.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: приведенная нормальная форма; дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Краткая теория и методические рекомендации

С помощью равносильных преобразований формулу логики можно привести к

дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме (ДНФ и КНФ).Формула называется тождественно-истинной (тавтологией), если для любых наборов

переменных она принимает значение И.Формула называется тождественно тождественно-ложной, если для любых наборов

переменных она принимает значение Л.В алгебре высказываний используют две нормальные формы: дизъюнктивную и

конъюнктивную нормальные формы формулы (ДНФ и КНФ). Формулу, состоящую только из конъюнкций литер, назовём элементарной конъюнкцией.

А СA B

Формулу, состоящую только из дизъюнкций литер, назовём элементарной дизъюнкцией.

А СA B

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) назовём формулу, состоящую из дизъюнкций

элементарных конъюнкций.F1…Fn, n1, k, Fk – элементарная конъюнкция.Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) назовём формулу, состоящую из конъюнкций

элементарных дизъюнкций.F1…Fn, n1, k, Fk – элементарная дизъюнкция.Теорема. Любую формулу можно привести к ДНФ (КНФ).Дадим набросок алгоритма, осуществляющего такой перевод.шаг 1: избавиться от и

FG (FG)(GF)

FG GF

шаг 2: отнести отрицание к переменным, избавившись от двойного отрицания

F, , F GF F G GF GF7

шаг 3: используя дистрибутивность (и другие законы), получить КНФ (ДНФ)F(GH) (FG)(FH) – для получения КНФ (дистрибутивно-распределительный закон)

F(HG) (FG)(FH) – для получения ДНФ.

Пример: привести к ДНФ: (P )R.Q

(P )R R ( )R ( Q)R.Q QP QP P

Пример: привести к КНФ: (P(QR))S.

(P(QR))S S ( ( ))S ( (Q ))S (( Q)( ))S ()RQ(P P RQ P R P P R

QS)( S)P P R

Замечание: понятно, что ДНФ (КНФ) определяются неоднозначно

( Q)R ( QR)( Q )RP P P R

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике – нормальная форма, в

которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула

может быть приведена к ДНФ. Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де

Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для

автоматического доказательства теорем.Формулы в ДНФ:

Формулы не в ДНФ:

Алгоритм построения ДНФ1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их

основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя

равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства

дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример 1: Приведем к ДНФ формулу: Выразим логические операции → и ↓ через:

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:8

Используя закон дистрибутивности, приводим формулу к ДНФ:

Пример 2: привести к ДНФ: (P )R.Q

(P )R R ( )R ( Q)R.Q QP QP P

Пример 3: привести к КНФ: (P(QR))S.

(P(QR))S S ( ( ))S ( (Q ))S (( Q)( ))S ()RQ(P P RQ P R P P R

QS)( S)P P R

Замечание: понятно, что ДНФ (КНФ) определяются неоднозначно

( Q)R ( QR)( Q )RP P P R

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) в булевой логике – нормальная форма, в

которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная

нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула

может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания, закон де

Моргана, дистрибутивность.Формулы в КНФ:

Формулы не в КНФ:

Алгоритм построения КНФ1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их

основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя

равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства

дистрибутивности и формулы поглощения.Пример:Приведем к КНФ формулу

Преобразуем формулу F к формуле не содержащей → :

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:9

По закону дистрибутивности получим КНФ:

Задания практической работы

Задание 1. Определить дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы1) Найти ДНФ для формул: a) (xy&z)&(xz)

b) х (xy)�̅�2) Найти КНФ для формулы: a) yxx�̅�̅b) xyz�̅�̅ �̅Задание 2. Запишите формулы в ДНФ

a)

b)

Задание 3. Приведите данные формулы равносильными преобразованиями к ДНФ:

1.

2.

Задание 4. Приведите данные формулы равносильными преобразованиями к КНФ:

1.

2.

Задание 5. Равносильными преобразованиями приведите формулу к ДНФ и КНФ.

a)

b)

c)

d)

Контрольные вопросы1. Какие законы логики Вы использовали при представлении булевой функции в виде ДНФ и

КНФ?2. Что такое ДНФ?3. Что такое КНФ?4. Правила построения ДНФ?5. Правила построения КНФ?6. Логические операции над высказываниями.

10

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ

СДНФ И СКНФ, МИНИМАЛЬНОЙ ДНФ И КНФ

Цель работы: научиться представлять булевы функции в виде СДНФ и СКНФ, научиться

минимизировать булевы функции с помощью равносильных преобразований и графическим

методом карт Карно.Для выполнения работы необходимо знать основные формулы алгебры высказываний,

методы минимизации алгебраических преобразований.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: приведенная нормальная форма; дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Краткая теория и методические рекомендацииДизъюнктивная нормальная форма называется совершенной дизъюнктивной нормальной

формой (СДНФ), если элементарные конъюнкции, составляющие эту ДНФ, содержат все

переменные или их отрицание и только один раз.Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной конъюнктивной нормальной

формой (СКНФ), если элементарные дизъюнкции, составляющие КНФ, содержат все переменные

или их отрицание и только один раз.Замечание. Предполагается, что дублирование самих элементарных конъюнкций или

дизъюнкций так же отсутствует в совершенных формах.Известно, что любую форму можно привести к совершенному виду.Пример: привести ДНФ к СДНФ

(P )R ( Q)R ( Q)(R )R ( QR)( Q )R(Q ) ( QR)(Q P P R P P R Q P

Q )(RQP)(RQ )(R P)(R )P R P Q Q P

СКНФ дает тождественно истинную формулу тогда и только тогда, когда в каждой

элементарной дизъюнкции содержится какая-либо переменная с отрицанием.СДНФ дает тождественную ложь тогда и только тогда, когда в каждой элементарной

конъюнкции содержится какая-либо переменная с ее отрицанием.Т.е., получив совершенную формулу можно механической проверкой добиться необходимого

результата.Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это такая ДНФ, которая

удовлетворяет трём условиям: в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций; в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв; каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из

входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

11

Пример нахождения СДНФ:Для того чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности.

х40 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

В ячейках результата отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных при

которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.

Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх переменных, это:

Нулевые значения – тут все переменные представлены нулями – записываются в конечном

выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так:

Переменные второго члена:

в этом случае будет представлен без инверсии:

Таким образом анализируются все ячейки . Совершенная ДНФ этой

функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).Совершенная ДНФ этой функции:

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это такая КНФ, которая

удовлетворяет трём условиям: в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций; в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных; каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из

входящих в данную КНФ пропозициональных букв.Пример нахождения СКНФ:Для того чтобы получить СКНФ функции, требуется составить её таблицу истинности.

х4

0 0 0 0 1

12

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

В ячейках строки́ отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние нуля.

Четвёртая строка содержит 0 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх

переменных, это:

В дизъюнкцию записывается переменная без инверсии, если она в наборе равна 0, и с

инверсией, если она равна 1. Первый член СКНФ рассматриваемой функции выглядит так:

Остальные члены СКНФ составляются по аналогии.Нормальная форма называется минимальной, если она включает минимальное число

символов по сравнению со всеми другими эквивалентными ей нормальными формами. Минимальная нормальная форма получается из СДНФ (СКНФ) удалением некоторых

элементарных конъюнкций (дизъюнкций). Тупиковой нормальной формой называется ДНФ

(КНФ), из которой нельзя удалить ни одной элементарной конъюнкции (дизъюнкции) так, чтобы

сохранить булеву функцию неизменнойПример 1. Пусть булева функция задана таблицей истинности. а) составить СДНФ для данной функции; б) минимизировать СДНФ; в) построить логическую

схему, реализующую данную функцию.

x y z F(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Решение. а) Найдем элементарные конъюнкции и составим СДНФ:F(x,y,z) = yzxy xyz�̅ �̅б) Минимизируем СДНФ с помощью равносильных преобразований:F(x,y,z) = yzxy xyz =( yzxyz) xy = yz( x) xy = yzxy = y(zx ) = y(zx)(z ) = �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅

y(zx)

в) Данную функцию реализует следующая логическая схема:

13

Одним из наиболее удобных способов минимизации булевых функций является графический

метод карт Карно. Карты Карно – это таблицы, состоящие из 2n клеток (n – количество

переменных). В каждой клетке находится двоичное значение (0 или 1) булевой функции из таблицы истинности или из СДНФ.

При n = 3 карты Карно имеют вид таблицы с 23 = 8 клетками: 00�̅�̅ 10 �̅� 11�� 01��̅

z 1

0�̅При n = 4 карты Карно имеют вид таблицы с 24 = 16 клетками.�̅�̅ d�̅ zd z�̅�̅�̅�̅�

хy��̅Пример 2. Дана функция F(x,y,z) = y yzxy xyz. Построить минимальную нормальную �̅ �̅ �̅ �̅

форму данной функции.Решение1 способ: с помощью равносильных преобразованийF(x,y,z) = y yzxy xyz = ( y yz)(xy xyz) = y( z) xy( z) = y xy = y( x) = y�̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅ �̅2 способ: с помощью карт Карно

1. Функция задана в виде СДНФ. Нанесем единицы на карту Карно (единицы соответствуют

слагаемым в СДНФ): 00�̅�̅ 10 �̅� 11�� 01��̅

z 1 0 1 1 0

0�̅ 0 1 1 0

2. Обведем единицы попарно двумя контурами.3. В первом контуре не меняются переменные , во втором – переменные .�̅� ��4. Объединим получившиеся конъюнкции дизъюнкцией: F(x,y,z) = xy = y.�̅�В этой задаче можно рассмотреть весь квадрат из четырех единиц:

00�̅�̅ 10 �̅� 11�� 01��̅z 1 0 1 1 0

0�̅ 0 1 1 0

В этом квадрате для всех единиц неизменной остается только переменная y, следовательно, F(x,y,z) = y.

Ответ: минимальная нормальная форма: F(x,y,z) = y.

14

или иx

y

z

z

zxF = y(zx)

Пример 3. Построить минимальную форму для булевой функции, заданной таблично.x y z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Решение

1. Нанесем на карту Карно единицы в соответствии со значениями последнего столбца

таблицы: 00�̅�̅ 10 �̅� 11�� 01��̅

z 1 1

0�̅ 1 1 1 1

2. Обведем единицы в два контура.3. В первом контуре, состоящем из четырех единиц не меняется переменная z, во втором –

переменные .��4. Объединим получившиеся результаты дизъюнкцией: F(x,y,z) = xy.�Ответ: F(x,y,z) = xy.�Кроме рассмотренных методов минимизации существуют также метод Куайна, метод

диаграмм Вейча. Минимальную нормальную форму удобно использовать при построении

логических схем.

Задания практической работы

Задание 1. Найдите СДНФ для данной формулы c помощью таблицы истинности:

ABBA )(_______

Задание 2. Применяя равносильные преобразования, найдите СДНФ для данной формулы:

a)

b)

Задание 3. Найдите СКНФ для данной формулы c помощью таблицы истинности:

ABBA )(_______

Задание 4. Применяя равносильные преобразования, найдите СКНФ для данной формулы:

a)

b)

15

Задание 5. Построить таблицу истинности, найти СНДФ, найти минимальную ДНФ для

высказывания: ._______

( )A B A

A B

Контрольные вопросы:1. Что такое СДНФ.2. Правила построения СДНФ.3. Логические операции над высказываниями.4. Законы равносильности.5. Что такое СКНФ.6. Правила построения СКНФ.7. Что такое МДНФ.8. Что такое МКНФ.9. Алгоритм нахождения МДНФ.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4. ПРОВЕРКА БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ НА

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ К КЛАССАМ Т0, Т1, S, L, M. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВ

Цель работы: научиться проверять принадлежность булевых функций к основным

замкнутым классам.Для выполнения работы необходимо знать основные замкнутые классы, понятие полноты

множества.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: Замыкания множества Основные замкнутые классы.

Краткая теория и методические рекомендации

Пусть дано множество функций F={f1, f2, …}. Замыканием этого множества называют множество [F], полученное из данного с помощью операции суперпозиции.

Множество функций К называют замкнутым классом, если K=[K].

Например, класс {0,1} – замкнут. Замкнуты классы: {0,1,x}, xx, , множество всех

функций булевой алгебры. Незамкнуты классы: .|,,,0, yxxxx

Классы Т0, Т1, L, S, МКласс Т0. Будем говорить, что функция f{х1, х2, …, хn} сохраняет ноль, если f(0,0,…,0)=0.

В класс Т0 включим все функции, сохраняющие ноль. Чтобы выяснить, принадлежит ли

функция классу Т0, нужно убедиться, что значение этой функции на нулевом наборе равно нулю.Теорема. Класс Т0 замкнут.

16

Сохраняют ноль функции: 0, х, yxyxyx ,&, .

Не сохраняют ноль функции: 1, yxyxyxyxx ,|,,, .

Класс Т1. Будем говорить, что функция f{х1, х2, …, хn} сохраняет единицу, если f(1,1,…,1)=1.

В класс Т1 включим все функции, сохраняющие единицу. Чтобы выяснить, принадлежит ли

функция классу Т1, нужно убедиться, что значение этой функции на единичном наборе равно

единице.Теорема. Класс Т1 замкнут.

Сохраняют единицу функции: 1, х, yxyxyxyx ,,&, .

Не сохраняют ноль функции: 0, yxyxyxx ,,|, .

Класс L. В класс L включим все функции булевой алгебры, для которых полиномы

Жегалкина не содержат произведения переменных, то есть полином Жегалкина имеет вид:

а0+а1х1+а2х2+…+аnxn, 1,0ia

. Чтобы выяснить вопрос принадлежности заданной функции

классу L, нужно построить полином Жегалкина и посмотреть, имеет ли он нужный вид.Теорема. Класс L замкнут.

Принадлежат данному классу L: 1, 0, yxyxxx ,,, .

Не принадлежат данному классу: yxyxyxyxyx ,,|,,& .

Класс S. Функция f называется самодвойственной, если она равна своей двойственной: f=f*.

В класс S включим все самодвойственные функции. Алгоритм проверки принадлежности функции к классу S состоит в нахождении функции,

двойственной к данной (этот алгоритм был рассмотрен ранее) и проверке равенства f=f*.

Теорема. Класс S замкнут.

К самодвойственным функциям относятся: х, yzxzxyyzxzxyx ,, . А функции: 0, 1,

yxyxyxyx ,,,| , yxyxyx ,,& не являются таковыми.

Класс М. На множестве всех двоичных наборов введем частичный порядок. Будем говорить,

что набор )...,,,(~

21 n предшествует набору

)...,,,(~

21 n (т.е. ~~ ), если

nn ...,,, 2211 .

Функция f(x1, x2, …, xn) является монотонной, если для любых наборов )...,,,(~

21 n и

)...,,,(~

21 n из того, что ~~ следует, что )

~()~( ff .

В класс М включим все монотонные функции.Теорема. Класс М замкнут.Алгоритм выяснения факта монотонности некоторой функции неэффективен. Но если указать

на два набора ~~ , для которых )~

()~( ff , то можно сделать вывод, что заданная функция

не монотонна.

Принадлежат данному классу M: 1, 0, yxyxx ,&, .

Не принадлежат данному классу: yxyxyxyxyxx ,|,,,, .

17

Мы рассмотрели пять предполных замкнутых классов булевых функций Т0, Т1, S, L, M.

Отметим важное обстоятельство: для каждой упорядоченной пары (P, Q) различных классов из этих пяти существует функция, входящая в P, но не входящая в Q. Таблица 1 содержит такие

примеры: каждая функция таблицы входит в класс, соответствующий строке и не входит в класс, соответствующий столбцу. Например, входит в M, но не входит в S функция-константа 0; входит в

S, но не входит в L функция Б(X, Y, Z). Из этого замечания и свойства замкнутости можно сделать

важный вывод: никакой из пяти классов не входит целиком ни в какой из остальных четырех.

Таблица 1

Q

PТ0 Т1 S L M

Т0 * 0 0 X & Y X Y

Т1 1 * 1 X & Y X Y

S X X * Б(X, Y, Z) X

L X X X Y * X Y

M 1 0 0 X & Y *

С другой стороны, неверно, что никакой из пяти предполных классов не содержится в

объединении остальных четырех. Классы Т0, Т1, S обладают этим свойством, а классы L, M не

обладают: L Т0 Т1 S, M Т0 Т1.

Теорема ПостаВозникает вопрос, можно ли с помощью определенного набора логических элементов

реализовать требуемую схему? На языке алгебры логики эту задачу можно сформулировать

следующим образом: можно ли любую функцию выразить через имеющиеся или существует ли

минимальный набор функций, с помощью которого можно выразить любую функцию? Эту задачу

в 1921 году решил Пост.Теорема. Система булевых функций F полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя

бы одну функцию, не сохраняющую ноль, хотя бы одну функцию, не сохраняющую единицу, хотя

бы одну не самодвойственную функцию, хотя бы одну не монотонную функцию и хотя бы одну

нелинейную функцию.

Пример. Выясните, полна ли система функций zyxyx , ?

Решение данной задачи будем оформлять в виде таблицы.В соответствующей ячейке будем ставить *, если функция не принадлежит указанному

классу.Т0 Т1 L S M

yx * - * * *

zyx * * * * *

Получили, что в каждом столбце есть хотя бы одна звездочка, т.е. нашлась хотя бы одна

функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая единицу, хотя бы одна не

18

самодвойственная функция, хотя бы одна не монотонная функция и хотя бы одна нелинейная

функция. Следовательно, по теореме Поста, система функций полна.

Для проверки конкретной системы на полноту можно заполнить для функций системы

таблицу, которую можно назвать таблицей Поста: см. таблицу 2, в которой исследуется система{X Y, X Y, 1} (знаками «+» и «–» показана принадлежность функции данному предполному

классу).

Таблица 2

Т0 Т1 S L M

X Y + – – + –

X Y + + – – +

1 – + – + +

Принадлежность трех данных функций классам Т0, Т1 и S проверяется по их таблицам очень

просто. Также несложно проверить принадлежность их классу М (заметим, что если f Т1 и не

равна 0 тождественно, то она не монотонна). Очевидно также, что X Y L. Далее, (X Y)

нелинейна, так как ее многочлен Жегалкина содержит произведение. Легко проверяется также

заполнение последней строки в таблице – для функции-константы 1: она линейна и монотонна. Наконец, согласно теореме Поста для полноты системы в каждом столбце таблицы Поста должен

быть хотя бы один минус. Для исследуемой системы это выполняется, значит, система полна.Замечание. Можно установить полноту данной системы непосредственно, выразив ее

средствами всех функций какой-нибудь известной полной системы. Так, X 1 = X; (X Y) X

Y = [используя представление дизъюнкции многочленом Жегалкина] =

= (X & Y X Y) X Y = X & Y. Система {X, X Y, X & Y} – полная. Еще один пример – система функций {X Y, X Y, X Y Z}. Нас интересует наличие знака

«–» в каждом столбце. Заполнение первой строки таблицы 3 совпадает со второй строкой

предыдущей таблицы. Принадлежность эквивалентности классу S отвергается равенством

значений на противоположных наборах: 0 0 = 1 1. Немонотонность функции X Y Z

устанавливается сравнением значений на наборах 001 и 011: на первом она равна 1, а на втором

равна 0. Однако все три функции сохраняют единицу: (1 1) = (1 1) = (1 1 1) = 1. Значит, система неполна. Никакую функцию, не принадлежащую классу Т1, например сумму X Y,

невозможно выразить суперпозициями функций данной системы.

Таблица 3

Т0 Т1 S L M

X Y + + – – +

X Y – + – + –

X Y Z + + + + –

В таблице 4 для каждого из пяти рассмотренных выше классов Т0, Т1, S, L, M знаками «+» и

«–» показана принадлежность ему ряда известных функций: всех четырех функций одной

переменной, шести функций двух переменных и двух функций трех переменных. В отличие от предыдущей таблицы функции здесь представлены столбцами. Заметим, что в каждой строке

таблицы имеется знак «–»; другими словами, для каждого из пяти классов есть не принадлежащая

19

ему функция из данных двенадцати. Следовательно, как уже отмечено выше, ни один из них не

совпадает с множеством P2 всех логических функций, а каждый является частью P2.

Таблица 4

0 1 Х X &X Y X Y X Y X Y X Y |X Y X Y Z Б( , , )X Y Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Т0 + - + - + + - - + - + +

Т1 - + + - + + + + - - + +

S - - + + - - - - - - + +

L + + + + - - - + + - + -

M + + + - + + - - - - - +

Задания практической работыЗадание 1. Даны функции. Принадлежат ли заданные функции классам Т0, Т1, L, S, M?

a) f=(1,1,0,1,1,1,1,0);

b) )( 2121 xxxx ;

c) f=(0,1,1,1,1,1,1,1);

d) 31221 ))(( xxxxx .

Задание 2. Принадлежат ли функции классам 1001101010 ,,\,\,, TTTTTTTTTT ?

a) )())(( yzzyyx

b) ))(())|()(( xzyyzxyx

Задание 3. С помощью таблицы 4 установите, какие из нижеследующих систем является

функционально полными:а) {X Y, X→Y};

б) {X Y, X→Y};

в) {X, Б(X, Y, Z)};

г) {1, Б(X, Y, Z)};

д) {1, X, X Y Z};

е) {X & Y, X Y, X Y};

ж) {0, X Y, X Y};

з) {0, 1, Б(X, Y, Z)};

и) {X Y, X→Y};

к) {X Y, X Y, X Y Z};

л) {X & Y, X Y, Б(X, Y, Z)}.

Контрольные вопросы1. Понятия класс функций, замкнутый класс. Примеры.

20

2. Класс функций, сохраняющих ноль: Понятия, примеры функций, сохраняющих и не

сохраняющих ноль, алгоритм проверки на принадлежность функции данному классу. Теорема о

замкнутости данного класса.3. Класс функций, сохраняющих единицу: Понятия, примеры функций, сохраняющих и не

сохраняющих единицу, алгоритм проверки на принадлежность функции данному классу. Теорема

о замкнутости данного класса.4. Класс самодвойственных функций: Понятия, примеры функций, принадлежащих и не

принадлежащих данному классу, алгоритм проверки на принадлежность функции данному классу. Теорема о замкнутости данного класса.

5. Класс линейных функций: Понятия, примеры функций, принадлежащих и не

принадлежащих данному классу, алгоритм проверки на принадлежность функции данному классу. Теорема о замкнутости данного класса.

6. Класс монотонных функций: Понятия, примеры функций, принадлежащих и не

принадлежащих данному классу, алгоритм проверки на принадлежность функции данному классу. Теорема о замкнутости данного класса.

7. Теорема Поста. Пример её применения для определения полноты системы функций, для

нахождения базиса данной системы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5. МНОЖЕСТВА И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД

НИМИ

Цель работы: определить понятие множества, познакомиться со способами задания

множеств, научиться выполнять операции над множествами, овладеть навыками выполнения

действий над множествами.Для выполнения работы необходимо знать понятие множества, способы задания множеств,

основные операции над множествами.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: Определение множества Способы задания множеств Основные операции над множествами

Краткая теория и методические рекомендации

Понятие множества является первичным, то есть не выражается через другие понятия. Это

фундаментальное неопределяемое понятие математики. Можно сказать, что множество – это

любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются

его элементами.Обычно множество обозначают: А, В, С …, а его элементы: a, b, c …

21

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М и

обозначают хМ. В противном случае, говорят, что х не принадлежит М и обозначают хМ.Множество, не содержащее элементов, называется пустым. Пустое множество обозначают .

Универсальным множеством называется множество U, которое содержит все всевозможные

элементы.Мощностью множества называется количество элементов в нем.Перечислим способы задания множеств:Перечислением элементов, если множество конечное, например {a, b, c }.

Заданием характеристического свойства, например {х| х-блондины}.Пример. Задайте множество А={x | х – целое неотрицательное и х+2=5} другим способом.Решение: корень уравнения х+2=5 равен 3. Это число целое неотрицательное, следовательно,

является элементом данного множества.Ответ: А={3};

Отношения между множествамиРавенство множеств А и В. Множества А и В называют равными, если каждый элемент одного из них является элементом

другого и обозначаются А=В.Включение множеств.

Говорят, что множество А включается в множество В, если каждый элемент множества А

является элементом множества В и обозначают АВ. Множество А называют подмножеством

множества В, а множество В называют надмножеством множества А.Если А подмножество В и АВ, то А называют собственным подмножеством множества В.Свойства:А.АА.Если АВ и ВС, то АС.Если АВ и ВА, то А=В.Пример 1. Выясните, равны ли множества:a) А={1, 2, 3}; В={2, 3, 1}.

b) А – множество всех равносторонних треугольников; В – множество всех равноугольных

треугольников. c) А={1, 5, 8}; В={2, 8}.

d) А={0, 1}; В={{0, 1}}.

Решение.

a) А={1, 2, 3}; В={2, 3, 1}. Множества состоят из одних и тех же элементов, следовательно, А=В.

b) А – множество всех равносторонних треугольников; В – множество всех равноугольных

треугольников. Т.к. в равностороннем треугольнике все углы равны, то А=В.c) А={1, 5, 8}; В={2, 8}. АВ, т.к. в этих множествах различное количество элементов.d) А={0, 1}; В={{0, 1}}. АВ, так как первое – двухэлементное, а второе - одноэлементное.Пример 2. Даны множества N, Z, R. Укажите, какие из них являются подмножествами.Решение: NZ, где N-множество натуральных чисел, а Z- целых чисел.Z R, где R- множество действительных чисел.

22

Операции над множествамиОбъединением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех и только тех

элементов, которые содержатся хотя бы в одном их множеств А или В. Объединение множеств

обозначают АВ.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые

содержатся как во множестве А, так и во множестве В. Пересечение множеств обозначают АВ.Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые

содержатся в множестве А и не содержатся в множестве В. Разность множеств А и В обозначают как А\В.

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые содержатся в одном из этих множеств и не содержатся в другом. Симметрическую

разность обозначают АВ.Из определения симметрической разности множеств следует, что А∆В=(А\В) (В\А) и

А∆В=(АВ) \ (АВ).Дополнением множества А называется универсальное множество, не включающее элементы

исходного множества. Дополнение множества А обозначают Ā. По определению Ā=U\А.Пример 1. Заданы два множества. Выполните над ними все известные операции.А=x| xR и 1x3, B=x| xR и 2x4.

Решение: AB=x|xR и 1x4;

AB=x|xR и 2x3;

A\B=x|xR и 1x<2;

A∆B=x|xR и 1x<2 и 3<x4;

Ā=x|xR и x<1 и x>3;

Пример 2. Пусть А – множество всех женщин, универсальное множество U – множество всех

людей. Тогда Ā – это множество всех мужчин.

Основные свойства операцийТеорема: для любых множеств А, В, С выполняются следующие равенства:1. АА=А; АА=А;2. АВ=ВА; АВ=ВА;3. А(ВС)=(АВ)С; А(ВС)=(АВ)С;4. А(ВС)=(АВ)(АС); А(ВС)=(АВ)(АС);5. А(АВ)=А; А(АВ)=А;6. А=А; А=;

7. АU=U; AU=A;

8. А А=U; A А=;

9. А=А;

10. ВА = А В ; ВА = А В – законы де Моргана.Один из алгоритмов доказательства любого тождества А=В состоит в следующем:1). Доказать, что АВ, то есть любой элемент из А принадлежит В.

23

2). Доказать, что ВА то есть любой элемент из В принадлежит А.Пример. Доказать, что А(АВ)=А.Решение: А(АВ)= (АU)(АВ)=А(BU)=AU=A.

Прямое произведение множествПрямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется совокупность всех

упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй принадлежит В. Обозначают АВ.

Говоря об упорядоченной паре, имеют ввиду, что два объекта расположены в определенном

порядке. Один из них считается первым, другой – вторым.Декартово произведение множества само на себя (случай когда А=В) обозначают А2.

В общем случае, АВВА. Но если А=В или одно из множеств пусто, то АВ=ВА.Декартовым (прямым) произведением множеств А, В, С называется совокупность всех

упорядоченных троек, первый элемент которых берется из А, второй из В, третий из С.То есть АВС=(a,b,c)|aA, bB, cC.

Можно определить декартово произведение любого числа множеств: А1А2…Аn=(х1,х2,…,хn)| хiAi, i=1,2,…,n.

Рассмотрим множество действительных чисел R. Известно, что точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат. Тогда декартово произведение RR=R2 определяет плоскость координат. Если А и В подмножества множества R (т. е. АR и ВR), то АВ можно

изобразить на плоскости.Примеры.

1. Даны множества А=1, 2; В=a, b. Найдите АВ, ВА.Решение: АВ=(1,a), (1,b), (2,a), (2,b).

ВА=(a,1), (b,1), (a,2), (b,2).

2. Изобразить на плоскости декартово произведение множеств А и В.А=xR| x[1,2]; В=yR| y[2,3].

Решение:

АВ=(x,y)R2| xA, yB

24

0 x

y

21

2

3

Рис. 1

x

y

z

1

1

1

Рис. 2

3. Даны числовые множества:А=[0,1], В=[0,1], С=[0,1]. Изобразите декартово произведение АВС.Решение: АВ=(x,y,z)R3|xA,yB,zC .

Любую тройку можно представить точкой пространства.

Задания практической работыЗадание 1. Сколько элементов в множестве {1,{1},2,{1,{2,3}},}?

Задание 2. Перечислите элементы следующих множеств:А={x | хZ и 10х17};

C={x | хZ и 6х2+x-1=0};B={x | хZ и х2<24};D={x | хR и 6х2+x-1=0}.

Задание 3. Даны три множества А={0, 1}, B={{0,1}, С={{{0,1}, 2}, 3}. Верно ли, что:АВ, BC, но АС?

Задание 4. Пусть А1 – множество четных натуральных чисел; А2 – множество, состоящее из числа 10 и всех нечетных натуральных чисел, не делящихся на 5; А3 – множество натуральных

чисел, делящихся на 5. Найдите: А1А2А3.

Задание 5. Пусть А={x | х – целое четное число и 1х12}; В={x | х – целое число, кратное 3 и

1х12}. Убедитесь, что BABA .

Задание 6. Дано два множества А={x,y} и В={1,2,3}. Найдите декартовы произведения: АВ, ВА, ВВ, АА, ВАВ, АВА.

Задание 7. Изобразите на плоскости декартовы произведения множеств: АВ, ВА, ВВ.a) А={x | x[0;1]}; B={y | y(-1;1)};

b) A={ x | xR и x2>1}; B={y | yR и y[1; )}.

Задание 8. Постройте множество А2, если:a) А= {0, 1};

b) A={x, y, z};

c) A={0, 2, 4, 6, 8};

d) A={1, 3, 5, 7};

e) A={день, ночь};f) A={a, b, c, d}.

Контрольные вопросы1. Понятия множества, пустого и универсального множества. Отношение принадлежности

элемента множеству, равенство множеств. Примеры.

25

2. Операции над множествами, определения, примеры. Теорема о пяти положениях. 3. Свойства операций над множествами. Примеры.4. Понятие декартово произведение множеств. Примеры.5. Способы задания множеств. Примеры

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6. РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКЕ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕДИКАТАМИ

Цель работы: овладеть навыками решения задач по математической логике, связанных с

предикатами, научиться решать логические задачи, уметь применять кванторы всеобщности и

существования.Для выполнения работы необходимо знать понятие предиката, операции над предикатами,

применение предикатов к решению задач.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: Понятие предиката Операции над предикатами Кванторы

Краткая теория и методические рекомендации

Понятие предикатаВ математике и других науках наряду с высказываниями приходится иметь дело с

различными утверждениями (предложениями), зависящими от одной или нескольких переменных. В логике их называют предикатами.

Уравнения и неравенства также являются такого рода предложениями.Предикаты будем обозначать A(n), B(x), C(x,y) и т.д. Для каждого предложения должно быть

указано, на каком множестве оно рассматривается или, как еще говорят, на каком множестве оно

определено или задано. A(n), B(x) будем называть одноместными предикатами, а C(x,y) –

двуместным.Предложение А(х), хМ, не является высказыванием, если оно рассматривается на всем

множестве М. Но если А(х) рассмотреть при некотором конкретном значении х=х0, то

утверждение А(х0) будет либо истинно, либо ложно, т.е. будет высказыванием.Множество М, на котором задано предложение А(х), можно разбить на два подмножества.

Одно содержит те элементы М, для которых А(х) истинно. Оно называется множеством

истинности предиката А(х). Будем обозначать его М+. Другое подмножество содержит те и только

те элементы М, для которых А(х) ложно. Обозначим его М- и очевидно, что

М+М-=М, а М+М-=.

26

Примеры решения задач1. Приведите примеры предикатов.Решение.

1) Неравенство x-2>0 можно рассматривать как предложение, зависящее от переменной x.

Истинность или ложность этого предложения зависит от того, какое именно значение переменной

x выбрать. Если x=3, то предложение истинно, если х=0, то ложно.2) Уравнение x+y=1 является предложением, зависящим от двух переменных x и y. При

x=y=½ предложение x+y=1 истинно, при x=y=0 оно, очевидно, ложно.2. Дан предикат А(х): «х2-х<0». Найдите его множество истинности.Решение. М=R, М+=(0;1), М-=(-;0][1;+).

Операции над предикатамиДва предложения А(х) и В(х), заданные на одном и том же множестве, называются

равносильными, если их множества истинности совпадают.Для предикатов, как и для высказываний, можно ввести логические операции. Отрицанием

предиката А(х), хМ, называется предикат, определенный на том же множестве М и

обращающийся в истинное высказывание для тех и только тех значений х, для которых А(х) ложно.

Отрицание А(х) обозначается )(хА . Ясно, что если М+ множество истинности А(х), то

множеством истинности )(хА будет М-.Аналогично определяются и другие логические операции.Примеры решения задач1) Даны два предиката А(х): х-2>0, B(x): x+20, зависящие от переменной х, хR. В чем

заключаются предикаты А(х)В(х) и А(х)В(х)?Решение. Предикат А(х)В(х) заключается в том, что верно по крайней мере одно из двух

данных неравенств. Очевидно, что множеством истинности А(х)В(х) является промежуток [-

2;+).

Для импликации А(х)В(х) М+=R.2) Являются ли равносильными следующие предикаты?Решение. Предикаты «х2(х-1)>0» и «х-1>0» равносильны, так как множеством истинности

каждого из них является промежуток (1;+).

КванторыС предложениями, зависящими от переменной, связаны два вида часто встречающихся

утверждений.1. Предикат А(х), хМ, обращается в истинное высказывание для всех элементов множества

М.2. Предикат А(х), хМ, обращается в истинное высказывание хотя бы для одного элемента

множества М, другими словами, существует элемент х0М, для которого А(х0) – истинное

высказывание.В математике принято записывать такие утверждения кратко, используя для этого

специальные знаки: квантор общности (перевернутая первая буква английского слова All -

27

все) и квантор существования (перевернутая первая буква английского слова Exists -

существует).Используя кванторы общности и существования, утверждения 1 и 2 можно записать

следующим образом:

1. ( х)А(х), 2. (х)А(х), хМ.В этих формулах подформула А называется областью действия квантора по х.Обычно связки и кванторы упорядочивают по приоритету следующим образом: Лишние

скобки при этом опускают. Переменные, к которым относится квантор, называются связанными, остальные переменные – свободными.

Формула, не содержащая свободных вхождений переменных, называется замкнутой.

Необходимо подчеркнуть, что для того, чтобы опровергнуть высказывание вида ( х)А(х), хМ, достаточно указать только один элемент хМ (контрпример), для которого А(х) ложно.

Пример решения задачДан предикат А(х): х2>0, хR. Оцените истинность высказываний ( х)А(х) и (х)А(х).

Решение. Высказывание ( х)А(х) ложно, т.к. при х=0 высказывание ложно. А высказывание (

х)А(х) истинно, например, х=5.

Формулы логики предикатовФормулой называется выражение (слово), составленное из переменных предикатов с

помощью логических операций и кванторов и обращающееся в конкретный предикат при

подстановке вместо переменных конкретных предикатов.Формула исчисления предикатов называется тавтологией если при подстановке вместо

переменных предикатов любых конкретных предикатов она всегда обращается в тождественно

истинный предикат.Значение формулы логики предикатов определено тогда, когда задана какая-то интерпретация

входящих в нее символов.При заданной интерпретации считают, что переменные пробегают множество М, а логические

символы и символы кванторов имеют свой обычный смысл.Говорят, что формулы Z и F равносильны в данной интерпретации, если они принимают

одинаковые значения на любом наборе значений свободных переменных.Рассмотрим правила перехода от одних формул к другим, им равносильным (во всех

интерпретациях).1. Перенос квантора через отрицание. Пусть Ф(х) — формула, содержащая свободную

переменную х. Тогда справедливы равносильности:

2. Вынос квантора за скобки. Пусть Ф(х) — формула, содержащая свободную переменную х, а

формула В не содержит переменной х; Ф(х) и В удовлетворяют третьему правилу создания

формул. Тогда справедливы равносильности:

28

.)()())()((;)()())()((

;)()())()((;)()())()((

ВхФхВхФхВхФхВхФхВхФхВхФхВхФхВхФх

).()()()(

,)()()()(

хФххФх

хФххФх

,,,,,,

3. Перестановка одноименных кванторов. Имеем

4. Переименование связанных переменных. Заменяя связанную переменную формулы Ф

другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора

получим формулу, равносильную Ф.

Примеры решения задач

1.Дана формула . Является ли она замкнутой?)),()()()(( yxQyxPx

Решение. Рассмотрим формулу и её подформулы. В подформулу )),()()()(( yxQyxPx

переменная х входит свободно, а оба вхождения переменной у связаны (квантором

существования). Таким образом, эта подформула не замкнута. С другой стороны, то же самое

вхождение переменной х в подформулу Q(x,y) является связанным вхождением в исходной

формуле. В ней все вхождения всех переменных связаны, а потому формула замкнута.

2. Дана формула Является ли она замкнутой?),(),())(( 21221121 xxAxxAxx

Решение. Выражение не является формулой.

Задания практической работыЗадание 1. Найдите множество истинности предиката «x делится на 3», заданного на

указанных множествах:a. М=1,2,3,4,5,6,7,8,9;

b. М=3,6,9,12;

c. М=2,4,8.

Задание 2. Даны два предложения: А(х): х-2>0, B(x): x+2 0, зависящие от переменной х,

хR. В чем заключаются предикаты

а) А(х)В(х);b) А(х)В(х).

Задание 3. Обозначим через х слово «кошка», а через Р(х) предикат «у х есть усы». Запишите

каждое из высказываний в символьной форме:a) «усы есть у всех кошек.»;b) «найдется кошка без усов»;c) «не бывает кошек с усами».

Задание 4. Пусть А(х) означает «х высокий», а В(х) – «х - толстый», где х – какой-то человек.

Прочитайте высказывание . Найдите его отрицание среди следующих ))()(( хВихАх

утверждений:а) «найдется некто короткий и толстый.»;b) «нет никого высокого и худого.»;

29

).,())((),())((

);,())((),())((

ухФхуухФухухФхуухФух

c) «найдется некто короткий или худой.».

Задание 5. Даны предикаты на множестве всех четырехугольников плоскости: Р1(х): “четырехугольник является параллелограммом”;Р2(х): “четырехугольник является ромбом”;Р3(х): “четырехугольник является квадратом”;Р4(х): “четырехугольник является прямоугольником”.Найдите значения утверждений: а). (х) (Р2(х) Р1(х)); b). (х) (Р3(х) Р2(х)); c). (х) (Р3(х) Р4(х)).

Задание 6. Какие из следующих формул тождественно истинны?

a) ));()(())()(( xPxxxxPxx

b) ));()(())()(( xPxxxxPxx

c) ));()(())()(( xPxxxxPxx

d) ));()(())()(( xPxxxxPxx

e) )).()(())()(( xPxxxxPxx

Контрольные вопросы:1. Понятие предиката. Операции над предикатами, их определения. Примеры.2. Понятие множество истинности предиката. Примеры.3. Виды кванторов. Определения. Примеры.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ БИНАРНЫХ

ОТНОШЕНИЙ

Цель работы: овладеть навыками составления матриц и графов бинарного отношения, изображения матриц и графов отношения эквивалентности и порядка.

Для выполнения работы необходимо знать понятие бинарного отношения, свойства

бинарных отношений.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: Понятие бинарного отношения Свойства бинарных отношений

Краткая теория и методические рекомендации

30

Понятие бинарного отношения ведено для строгого математического описания любых

связей между элементами двух множеств. Такие бинарные отношения, как отношение

эквивалентности и частичного порядка часто появляются как в математике, так и в информатике. Отношения между элементами нескольких множеств задаются в виде таблиц данных. N-арные

отношения применяются для описания простой системы управления базами данных. Бинарным отношением называется множество упорядоченных пар. Если – некоторое

отношение и пара <x,y> принадлежит этому отношению, то наряду с записью <x,y>

употребляется запись xy. Элементы x и y называются координатами отношения .

Областью определения бинарного отношения называется множество D={x|существует

такое y, что xy}.

Областью значений бинарного отношения называется множество R={y|существует такое

x, что xy}.

Бинарное отношение между конечными множествами может быть задано одним из следующих способов:

• словами (с помощью подходящих предикатов);• как множество упорядоченных пар;• как орграф;• как матрица.Отношение можно изобразить соответствующей ему прямоугольной таблицей (матрицей). Ее

столбцам отвечают первые координаты, а срокам – вторые координаты. На пересечении

І-го столбика и J-ой сроки ставится единица, если выполнены соотношения ХіYі, и ноль, если

соотношение не выполняется.Пусть, например: Х={x1, x2, x3, x4, x5}; Y={y1, y2, y3, y4}

1. ={(x1, y1), (x1, y3), (x2, y1), (x2, y3), (x2, y4), (x3, y1), (x3, y2), (x3, y4), (x4, y3), (x5, y2),

(x5, y4)}

Матрица отношений :

x1 x2 x3 x4 x5

y1 1 1 1 0 0

y2 0 0 1 0 1

y3 1 1 0 1 0

y4 0 1 1 0 1

Отношение можно также изобразить с помощью ориентированного графа. Вершины графа

отвечают элементам множеств X и Y, а дуга, которая направлена из вершины Xi к Yi, означает, что XiYi.

Граф отношения (1).

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

31

Свойства бинарных отношенийСимметрическим (обратным) отношением для называется отношение

-1={<x,y>|<y,x>}.

Композицией отношений 1 и 2 называется отношение

21={<x,z>|, существует y такое, что <x,y>1 и <y,z>2}.

Матрица отношения 21 получается путем умножения матрицы 1 на матрицу 2. Чтобы

получить граф композиции 21 надо к графу отношения 1 достроить граф отношения 2 и

включить вершины множества Y, заменив маршруты, которые проходят через них из множества Х

в Y одной дугой.1. (-1)-1=;

2. (21)-1=1-1 2

-1.

Отношение на множестве Х называется рефлексивным, если для любого элемента хХ

выполняется хх.Отношение на множестве Х называется симметричным, если для любых х,уХ из ху

следует ух.Отношение на множестве Х называется транзитивным, если для любых х,у,zХ из ху,

yz следует xz.

Отношение на множестве Х называется антисимметричным, если для любых x,y X из xy и yx следует x=y.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется

отношением эквивалентности на множестве Х.Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции

объединения, пересечения и т.д.Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением

частичного порядка на множестве Х и обозначается <.

Отношение частичного порядка на множестве Х, для которого любые две элемента сравнимы, т.е. для любых х,уХ, х<y или y<x, называется отношением линейного порядка.

Множество Х с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично

(линейно) упорядоченным.Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде схемы, в которой

каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если у покрывает х, то точки х и у

соединяют отрезком, причем точку, соответствующую х, располагают ниже у. Такие схемы

называют диаграммами Хассе.Различные сортирующие процедуры требуют, чтобы элементы сортируемых множеств были

линейно упорядочены. В этом случае они могут выдавать упорядоченный список. Другие

приложения используют частичный порядок, предполагая, что в любом частично упорядоченном

множестве найдется минимальный элемент (не имеющий предшественников) и максимальный (не

имеющий последующих элементов). Если на множестве А заданное отношение эквивалентности, то это отношение индуцирует

единичное разбиение и наоборот: если на множестве задано разбиение, то ему отвечает единое

отношение эквивалентности.

32

Матрицу отношения эквивалентности всегда можно привести к такому виду, в котором

единичные элементы матрицы образуют квадраты, которые не пересекаются, и диагонали которых

располагаются на главной диагонали матрицы. Граф отношения эквивалентности – это несвязный

граф, который состоит из полных компонент.Разбиением множества Х называется совокупность попарно непересекающихся подмножеств

Х таких, что каждый элемент множества Х принадлежит одному и только одному из этих

подмножеств.Пример:1. Множество R={(х,у):х – делитель у} определяет отношение на множестве А={1, 2, 3, 4, 5,

6}. Найдите все упорядоченные пары, ему принадлежащие. Изобразите граф, представляющий

отношение R.

Решение: R состоит из пар: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3,

6), (4, 4), (5, 5) и (6, 6). Ориентированный граф будет иметь шесть вершин (рис.1):

Рис. 1. Отношение R на множестве А.

2. Отношение R на множестве А = {а, b, с, d} задается матрицей:

0011

0010

1100

0110

порядок строк и столбцов в которой соответствует порядку выписанных элементов множества А. Назовите упорядоченные пары, принадлежащие R.

Решение: Отношение R содержит упорядоченные пары: (а, b), (а, с), (b,с), (b, d), (с, b), (d, а), (d, b).

3. Дано, что отношение «...делитель...» определяет частичный порядок на множестве А = {1, 2,

3, 6, 12, 18}. Составьте таблицу предшественников и непосредственных предшественников, после

чего постройте соответствующую диаграмму Хассе.Решение: Таблица и диаграмма приведены ниже.

33

Рис. 2. Диаграмма Хассе.

Частично упорядоченное множество из примера обладает одним минимальным элементом, а

именно, числом 1. С другой стороны, в нем есть два максимальных: 12 и 18. В этом множестве

содержится несколько линейно упорядоченных подмножеств. Каждое из них соответствует

цепочке ребер на диаграмме Хассе. Например, множество {1, 2, 6, 18} линейно упорядочено

относительно отношения «... делитель...».

Задания практической работыЗадание 1. Даны два множества Х и Y и бинарное отношение . Для данного отношения :

а) записать области определения и область значений;б) записать матрицу и начертить граф;в) определить обратное отношение.X={x1, x2, x3, x4, x5}; Y={y1, y2, y3, y4, y5};

A={(x1, y1), (x1, y5), (x2, y1), (x2, y3), (x2, y5), (x3, y2), (x3, y4), (x4, y1), (x4, y2), (x5, y1), (x5,

y3)};

Задание 2. Какие свойства имеют бинарные отношения, заданные в некотором множестве

людей Х и выраженные соотношением (Хі, Xj X)? (Доказать) «Хі весит большее чем Хj»

Задание 3. Записать композицию С = В о А отношений А и В. Проверить результат с

помощью операций над матрицами и графами заданных отношений:А={(x1, y1), (x2, y2), (x2, y3), (x2, y4), (x3, y2) , (x4, y1)};

B={(y1, x2), (y2, x1), (y2, x3), (y3, x1)};

Задание 4. Докажите, что отношения будут отношениями эквивалентности:«принадлежать к одной семье» в множестве людей.

34

Контрольные вопросы1. Привести частные случаи отношений в Х.2. Как составляется матрица бинарного отношения?3. Как изображается граф бинарного отношения?4. Что такое композиция отношений?5. Что такое отношение эквивалентности?6.Что такое отношение порядка?7. Дайте характеристику матрице и графу отношения эквивалентности и порядка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8. ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ И АЛГЕБРА

ПОДСТАНОВОК.

Цель работы: овладеть основными понятиями теории отображений и алгебры подстановок, научиться применять полученные знания при решении задач.

Для выполнения работы необходимо знать понятие отображения, основные понятия алгебры

подстановок.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Перед началом выполнения практической работы необходимо повторить следующие понятия: Понятие отображения Основные понятия алгебры подстановок

Краткая теория и методические рекомендации

Определение функции (отображения)Пусть заданы множества А и В. Рассмотрим некоторое бинарное отношение АВ. Говорят,

что задана функция (отображение) с областью определения А и областью значений В, если

каждому элементу аА ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент bB и записывают :АВ или (a,b)f или bf(a). При этом элемент b будем называть образом

элемента a, а элемент a прообразом элемента b.

Иногда для обсуждения этих вопросов удобно пользоваться диаграммами.Примеры решения задач1. Даны множества А=1, 2, 3, 4; В=3, 4, 6, 7. Укажите отношения 1 и 2, одно из которых

было бы функцией, а другое нет.Решение: 1=(1,3), (2,3), (3,3), (4,3) - функция,2=(1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (4,3) - не является функциональным.

35

2. Какие из данных отношений являются отображениями?

Решение: Отношение , изображенное на рис. 2, является функциональным по определению. Отношение на рис. 1 не является отображением, т.к. не для всех элементов множества А имеются

образы. Отношение на рис. 3 не является отображением, т.к. один из элементов множества А

имеет два образа.

Обратное отображениеПусть некоторое отображение из А в В (АВ). Построим симметричное отношение *

такое, что *=(b,a)| aA, bB и (а,b) .

Говорят, что отображение обратимо, если симметричное ему отношение так же является

отображением. Если обратимо, то симметричное отображение обозначают *=-1 и называют обратным отображением или обратной функцией для .

Алгоритм построения симметричного отображения для y=f(x):

1. Выразить x через y.

2. Заменить в полученной формуле x на y, а y на x.

Алгоритм определения обратимости отображения f: АВ:1. Определить А и В, если они не заданы.2. Построить f*: ВА.3. Выяснить, является ли f* - функцией.4. Если да, то f обратима и обратная функция -1=*. Если нет, то f обратной не имеет.Примеры решения задачНа рис. 4 представлены три отображения: 1:АВ, 2:CD и 3:EF. Какие из них являются

обратимыми?

Решение: 1 является обратимым, для него существует 1-1. 2 и 3 не являются обратимыми,

так как 2* и 3

* не являются отображениями.

36

Рис. 3Рис. 1 Рис. 2

А В А ВА В

А В С D E F

Рис. 4

А

С

В

g○g

Рис.5

Композиция отображенийПусть дана функция :АВ и функция g:ВС. Тогда композицией этих функций называется

функция =○g с областью определения А и областью значений С такая, что для любого aA

g((а))=с, сС.Таким образом, =○g= g((а)) не что иное, как сложная функция.

Пример решения задачРассмотрим две функции: f: RR, f(x)=sin x и g: RR, g(x)=x+1. Вычислить g○f.

Решение: g○f= (g(a))=sin (x+1).

Виды отображенийОтображение из множества А в множество В называется сюръективным, если для любого

элемента bB существует элемент аА и (а)=b.

Отображение из множества А в множество В называется инъективным, если различным

элементам из А соответствуют различные элементы из В. То есть, если (а1)=b и (а2)=b, то а1=а2.

Отображение из множества А в множество В называется биективным, если оно является

инъекцией и сюръекцией.Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она является биекцией.Алгоритм определения сюръективности:1. Возьмем любой у из области значений.2. Запишем равенство f(x)=у.3. Выразим х через у.4. Если х существует в множестве А для любого у из множества В, то вывод: f сюръективна,

иначе – нет.Алгоритм определения инъективности:1. Возьмем любые х1, х2 и предположим, что х1≠х2.2. Найдем f(x1) и f(x2).

3. Запишем равенство f(x1)=f(x2) и упростим его.4. Если получим х1=х2, то вывод: f инъективна, иначе – нет.Чтобы доказать, что отображение не является инъективным или сюръективным, достаточно

привести контрпример.

37

Рис. 60 x

y

Примеры решения задач1. Пусть А=R=(-;+), xA. B=[0; +), yB. Зададим отношение =(x,y)| y=x2, АВ.

Является ли данное отношение сюръекцией?Решение: Данное отношение является отображением. Кроме того для любого y>0 существует x такой, что х2=y. Следовательно, заданное

отображение является сюръекцией.2. Какого вида отображения изображены на рис. 7-9?

Решение:

АВ – инъективное отображение (см. рис. 7), но не сюръекция, так как один из элементов

множества В не имеет прообраза;CD – отображение, но не инъективное, т.к. различным элементам из C соответствует один и

тот же элемент из D (см. рис. 8) и не сюръективное;EF – данное отношение не является отображением (см. рис. 9).

3. Пусть заданы множества А=(-/2; /2), xA и

В=R=(-;+), yB. Зададим отношение =(x,y)| y=tg x, АВ

(рис. 10). Является ли оно биекцией?Решение:

Данное отношение является биективным отображением, так

как оно является инъекцией и сюръекцией.

38

Рис. 10

/2-/2 0 x

y

Понятие алгебры. Алгебра подстановокПусть дано некоторое непустое множество А.Бинарной операцией на множестве А называется любое отображение декартова квадрата

множества А в себя, т. е. : ААА.Иначе говоря, любой паре (a,b), принадлежащей А2, ставится в соответствие единственный

элемент с из А. Обозначают a b=c.

Пусть М – конечное множество а1, а2, … аn. Любую биекцию удобно задавать следующей

таблицей:

.

)(...)()(

...

21

21

n

n

aaa

aaa

Такая таблица называется подстановкой степени n множества М.Часто М записывают в виде номеров, если оно конечно, т.е. М=1,2,…,n. Тогда

.

)(...)2()1(

...21

n

n

Если аргументы расположены в порядке возрастания, запись подстановки такого вида

называют канонической и записывают =(1, 2, …n). Переставляя столбцы (при этом сама

подстановка не меняется), можно верхнюю строку привести к упорядоченному виду.Число подстановок n-ой степени определяется формулой |Sn|=n!.

Подстановка вида =(1, 2, …, n)= e называется тождественной, так как аМ, е(х)=х.Под алгеброй понимают упорядоченную пару <А,О>, где А – непустое множество (носитель

алгебры), а О – некоторое множество операций, заданных на этом множестве А.Рассмотрим на этом множестве операцию композиции: =2◦1=2(1). Данная операция

будет являться бинарной на этом множестве. Т.е. какие бы два элемента множества Sn мы не

взяли, их композиция окажется элементом этого множества. Sn=<Sn, ○> - алгебра подстановок.Натуральной степенью подстановки называется подстановка n =◦◦ … ◦1,

т.е. произведение п функций, каждая из которых есть . Очевидно, что степень подстановки не

зависит от порядка множителей.Свойства композиции подстановок.1.Умножение выполняется только для подстановок одинаковой степени.2.2◦1≠1◦2.

3.1◦(2◦3)=(1◦2)◦3.

4.◦е=е◦=.

5.Поскольку любая подстановка — биекция, для нее существует единственная обратная

функция -1 , тоже являющаяся подстановкой, т.е. ◦ -1= -1◦=е= 0.

6.е-1=е; en=e, nZ.

7. m◦ n= m+n, m,nZ; mn=( m)n=( n)m, m,nZ.

Для нахождения обратной подстановки необходимо верхнюю строку поменять с нижней и

привести её к каноническому виду.Порядком подстановки назовем наименьшее натуральное число , такое что =е.Инверсией подстановки называется перемещение (рокировка) двух соседних значений в

нижнем ряду канонической записи. При этом подстановка меняется.

39

Пусть n - число инверсий, приводящих подстановку к единичной. Тогда функция :=(-1)n

называется четностью (знаком) подстановки. Если ()=1, то подстановка называется четной, если

()=-1, то подстановка называется нечетной.

Примеры решения задач1. Пусть А множество натуральных чисел, А=N. Рассмотрим операцию “+” и “-”. Являются ли

они бинарными?Решение: (5,7)12, т. е. 5+7=12, 12N. Известно, что при сложении двух натуральных чисел

получим натуральное число, следовательно операция бинарная. Операция “-” не является

бинарной операцией на множестве А=N, т. к. 5-7=-2, а -2N.

2. Рассмотрим множество М=1,2,3. Сколько на этом множестве можно задать биективных

функций, отображающих М в М. Решение: Это множество всех подстановок третьего порядка S3.

S3=

2

3

13

21,

1

3

23

21,

1

3

32

21,

3

3

12

21,

2

3

31

21,

3

3

21

21.

3.Даны две подстановки: 1 и 2. Приведите подстановки к канонической записи и найдите их

композицию 1◦2 и 2◦1.

.

13452

54321,

14253

2345121

Решение: Вторая подстановка записана в каноническом виде, а первая- нет. Поэтому в

верхней строке запишем числа от 1 до 5, а в нижней 1(1) = 3, 1(2) = 1, 1(3)=4, 1(4)=2, 1(5)

= 5. Итак,

52413

543211

Найдем 2◦1. Сначала выполняется первая подстановка 1(1) = 3, а затем вторая 2(3)=4

и т.д. Получим следующую матрицу: .

15324

5432112

Аналогично найдем 1◦2: 2(1) = 2, а 1(2) = 1, и т. д. В итоге получим

.34251

543211221

4. Найдите число инверсий и четность подстановки

521346

654321

Решение:

.654321

654321

564321

654321

546321

654321

543621

654321

534621

654321

534261

654321

532461

654321

523461

654321

523416

654321

523146

654321

521346

654321

1098

87654

4321

Получили n=10, поэтому =(-1)10=1, т.е. подстановка четная.

40

Задания практической работы1. Определите, какие из следующих отношений между множествами A={a,b,c} и B={1,2,3}

являются функциями из множества A в B.

a) f={(a,1), (a,2), (b,3), (c,2)};

b) g={(a,1), (b,2), (c,1)};

c) h={(a,1), (c,2)}.

2. Какие из функций, изображенных на рис. 11 обратимы?

3. Пусть R – отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное перечислением пар: R={(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}. Кроме того, S – отношение между множествами {1,2,3,4} и {1,2},

состоящее из пар: S={(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}. Вычислите R-1, S-1 SR. Проверьте, что (SR)-

1=R-1S-1.

4. Найдите 1-1, 2

-2, 1◦2 и 2◦1, 13, 2

4, 155, 2

-99, порядок, число инверсий и четность

каждой из подстановок:

;13245

54321,

42531

54321);

53421

54321,

35142

54321)

;45123

54321,

34521

54321);

12345

54321,

12345

54321)

;35214

54321,

45312

54321);

43215

54321,

45312

54321)

2121

2121

2121

fc

eb

da

Вопросы для повторения:

1. Понятие отношения. Примеры.2. Свойства отношений. Примеры.3. Понятие отношение эквивалентности. Алгоритм задания отношения эквивалентности с

помощью графа и матрицы. Примеры.4. Понятия класс эквивалентности и фактор-множество. Примеры.5. Понятие отношение порядка. Алгоритм задания отношения порядка с помощью графа и

матрицы. Примеры.6. Понятие бинарного отношения на множестве. Примеры.7. Понятие отображения. Примеры.8. Виды отображений. Определения. Примеры.

41

a aa a

b

bbb

ccc

1111

2222

333a

b c d

Рис.11

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

Печатное издание

1. Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика: учебник. – 3-е изд. - М.: ОИЦ

«Академия». 2018. - 368 с. ISBN 978-5-4468-6797-4

Дополнительные источники

1. Гашков, С. Б. Дискретная математика : учебник и практикум для среднего

профессионального образования / С. Б. Гашков, А. Б. Фролов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва :

Издательство Юрайт, 2019. — 448 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-

11558-1. — Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/diskretnaya-matematika-445631

2. Палий, И. А. Дискретная математика : учебное пособие для среднего профессионального

образования / И. А. Палий. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 352

с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06292-2. — Режим доступа :

www.biblio-online.ru/book/diskretnaya-matematika-441865

42