825ean, aljabr w al muqabalah izeneko tratatua al … · 2011-04-13 · 825ean, aljabr w'al...

825ean, ALJABR W'AL MUQABALAH izeneko tratatua argitaratu zuen Bagdadeko AL-KHWÂRIZMÎ matematikariak (Al-Khowarizmi, 800-847).

Tratatu horretan pausuz pausu azaltzen da buruketak ebazteko eragiketen prozesu ordenatua.

Egilearen izenetik algoritmo hitza geratu zaigu; eta tratatuaren izenburutik, ordea, hizkuntza guztietara pasatu da aljebra izena.

Al-jabr hitzak bildu, batu edo berrezarri (kentzen dagoena) nahi du adierazi, eta al-muqabalah hitzak kendu edo aurre egin (batzen dagoenari.

a x + 2b = x2 + a x - b

al-jabr = kentzen dagoena berrezarri b

a x + 3b = x2 + a x

al-muqabalah = batzen dagoenari aurre egin a x

3b = x2

Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA

LAGUNTZA NEURRIAK: 2.EBALUAZIOA 2

LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK Ebatzi ondoko lehen mailako ekuazioak:

1. 18

2x59

1x312

1x2 −=

++

−

85

x5x8

344x10x12x64x104x123x6

)2x5(2)1x3(4)1x2(3:36)18,9,12(mktbider

−=⇒−=

+−−=−+−=++−

−=++−=

Soluzioa: 85

x−

=

2. )2x3(2x53

9x6−=+

−

1x33

x3x3

912x18x15x612x18x159x6

)2x3(6x159x6:3bider

−=⇒−

=⇒−=

+−=−+−=+−−=+−

Soluzioa: 1x −=

3. 2

2x124

x35 −=

−

31

x279

x9x27

54x24x34x24x35

)2x12(2x35:4bider

=⇒−−

=⇒−=−

−−=−−−=−−=−

Soluzioa: 31

x =

4. 5

5x101

420x8

26x2 −

+=−

++

2x2040

x40x20

10060x4040x40x2020x4020100x4060x20

)5x10(420)20x8(5)6x2(10:20bider

=⇒=⇒=

+−=−+−+=−++

−+=−++

Soluzioa: 2x =


DBH3 MATEMATIKA


5. ( )31

31x4

1x25 −−

=−

( )

21

x2613

x13x26

152x4x302x415x30

11x41x215:3bider

=⇒=⇒=

+−=−−=−

−−=−

Soluzioa: 21

x =

6. 2125

74x5

31x3

=−

−+

1x6x612725x15x212512x157x21

25)4x5(3)1x3(7:21bider

=⇒=−−=−=+−+=−−+

Soluzioa: 1x =

BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK Ebatzi ondorengo bigarren mailako ekuazioak:

1. 02x3x5 2 =−−

52

104

1073

x

110

73x

1073

10493

104093

x

2

1

−=

−=

−=

=+

=

=±

=±

=+±

=

Soluzioa: 52

x1x 21−

==

2. ( ) 03x2 2 =−

23

x3x203x2 =⇒=⇒=−

Soluzioa: 23

x =

3. 0x21x7 2 =−

3x

0x0)3x(x0x3x

2

12

=

=⇒=−⇒=−

Soluzioa: 3x0x 21 ==


DBH3 MATEMATIKA


4. ( ) 0755x3 2 =−−

10x

0x0)10x(x

0x10x0x30x307575x30x3075)25x10x(3

2

1

2222

=

=⇒=−

=−⇒=−⇒=−+−⇒=−+−

Soluzioa: 10x0x 21 ==

5. 015x3 2 =−

5x

5x5x5x05x

2

122

−=

=⇒±=⇒=⇒=−

Soluzioa: 5x5x 21 −==

6. ( )151

5xx3

53

1x2x2

+−

=+−

( )

( )

6052812

6067214412

x08x12x21019x3x15x9x30

1x3x99x15x301)xx3(39xx215

:15bider151

5xx3

53

1x2x

222

2222

2

−±=

−±=⇒=+−⇒=−++−−

+−=+−⇒+−=+−

+−

=+−

Soluzioa: Ez du soluziorik

7. ( ) ( )3

1x2x64

11xx−

+=+−

12

022

442x

01x2x02x4x2x2x446x6x6

)xx2(246)xx(6

:6bider

2222

22

=±

=−±

=

=+−⇒=+−⇒−+=+−

−+=+−

Soluzioa: 1x =


DBH3 MATEMATIKA


8. ( ) ( )51

23x

49x

52x 222

++

=−

−+

( ) ( ) ( )

32

24x

12

24x

224

244

23·1·444

x

03x4x033x44x11

04904516x60x16x10x5x4

490x60x1045x516x16x4

4)9x6x(10)9x(5)4x4x(4

43x109x52x4

:20bider

2

12

22

222

222

222

222

−=−−

=

−=+−

=

=±−

=±−

=−±−

=

=++⇒=−−−

=−−++−+−−

+++=+−++

+++=−−++

++=−−+

Soluzioa: 3x1x 21 −=−=

9. x313x

x3

2x +

=+

34

68

6102

x

26102

x

6102

69642

x08x2x326x218x3

)13x(·23·6x·x3:x6)x3,x,2(mktbider

2

122

−=

−=

−=

=+

=

=±

=+±

=⇒=−−⇒+=+

+=+=

Soluzioa: 34

x2x 21−

==

10. 1x8x221

x3.21

x3 2 −=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

21

84

848

x

23

812

848

x

848

848648

x

03x8x404x32x81x364x32x81x36

:4bider

1x8x241

x91x8x221

)x3(

2

1

22222

2222

2

==−

=

==+

=

=±

=−±

=⇒

⇒=+−⇒=+−−−⇒−=−−

−=−−⇒−=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

Soluzioa: 21

x23

x 21 ==


DBH3 MATEMATIKA


11. ( )1

23x2 2

−=+

( )

baitaezerreala,egindaezin8

32128

17614412x

011x12x429x12x423x2 222

−±−=

−±−=⇒

=++⇒−=++⇒−=+

Soluzioa: Ez du soluziorik

EKUAZIO SISTEMAK Ebatzi ondoko ekuazio-sistemak:

1. ⎩⎨⎧

=+−=−−

⇒⎩⎨⎧

=+−−=−−

⇒⎩⎨⎧

=−−−=−

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

−=−

25yx135yx3

25yx2x155yx3

25)yx2(x155x5yx2

55

yx2x3

1x5

yx2

1y1y5y6:ordezkatuzekuazioan.1

2x20/x1025yx13

5yx3:batuzekuazioakbi

−=⇒=−⇒−=−−

=⇒=⎩⎨⎧

=+−=−−

Soluzioa: 1y2x −==

2. ⎩⎨⎧

=−=

⇒⎩⎨⎧

=−=

⇒⎩⎨⎧

=−=+−+

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

−+

8y2x2y

8y2x4y2

8y2x4yxyx

:5zati:2bider

40y10x5

22

yx2

yx

Bigarren ekuazioan ordezkatuz: x – 4 = 8 ⇒ x = 12 Soluzioa: 2y12x ==

3. 1x4y1x4y1yx4

17y5x2+=⇒−−=−⇒⎩

⎨⎧

−=−−=+

1.an ordezkatuz: 2x + 5(4x+1) = -17 ⇒ 2x + 20x + 5= -17 ⇒ 22x = -22 ⇒ x = -1 2.ean ordezkatuz: y = 4(-1) + 1 ⇒ y =-3

Soluzioa: 3y1x −=−=

4. 41

y1y4y21y62:berdinduzy21xy62x

1y2x2y6x:2bider

1y2x

1y32x

=⇒−=−⇒−=−⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎩⎨⎧

=+=+

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

21

21

141

·21x:ordezkatuzean.2 =−=−=

Soluzioa: 41

y21

x ==


DBH3 MATEMATIKA


5.

213

x23

5x523

x

14

2yx

=⇒+=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

+

1.an ordezkatuz:

20y42y26:4bider14

2y213

=⇒=−+⇒=−

+

Soluzioa: 20y213

x ==

6. ⎩⎨⎧

−=+−=−

−⇒

⎩⎨⎧

=−=−

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

24y3x1224y3x2

)3(bider8yx424y3x2

24y

2x

42y

3x

8y24y30:ordezkatuzekuazioan.1

0x0/x1024y3x12

24y3x2:batuzekuazioakbi

−=⇒=−

=⇒=−⎩⎨⎧

−=+−=−

Soluzioa: 8y0x −==

7. 21

y7y14:batuzbiak5y12x3

2y2x35y12x3

2y2x3

35

y4x

2y2x3−=⇒=−⇒

⎩⎨⎧

=−−=−

⇒⎩⎨⎧

−=+=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

1.an ordezkatuz: 31

x1x3221

·2x3 =⇒=⇒=+

Soluzioa: 21

y31

x−

==

8. ⎩⎨⎧

=−+=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−−→=−−−→=−

−−

+=

8y6x41y2x

159y62x415)3y2(3)1x2(225

23y2

31x2

1y2x

2.ean ordezkatuz: 4(2y+1) - 6y = 8 ⇒ 8y +4 - 6y = 8 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2 1.an ordezkatuz: x = 4 + 1 ⇒ x = 5

Soluzioa: 2y5x ==


DBH3 MATEMATIKA


BURUKETAK

1. Laukizuzen baten oinarria altuera baino 15m handiagoa da. Perimetroak 70m ditu. Kalkulatu laukizuzenaren aldeen luzera.

Ebazpena: Altuera: x m Oinarria: x+15 m Perimetroa: 70m P = 70 P = 2x + 2 (x + 15) 2x + 2x + 30 = 70 4x = 40 ⇒ x = 10 Altuera: 10m Oinarria: 25m

Soluzioa: altuera 10m eta oinarria 25 dira laukizuzenaren aldeen luzera.

2. Praka pare bat eta zapata pare bat erosteagatik, 126€ ordaindu ditut. Praken prezioa %14 igoz gero, zapaten prezioaren %75 izango litzateke. Zenbat balio izan dute prakek eta zapatek?

Praken prezioa: x euro Zapaten prezioa: y euro

x126yy75,0x14,1

126yx −=→

⎩⎨⎧

==+

1,14x = 0,75 · (126 - x) ⇒ 1,14x = 94,5 – 0,75x ⇒ 1,89x = 94,5 ⇒ 5075,05,94

x ==

x= 50 ⇒ y = 126 – 50 = 76 Beraz, prakek 76 euro balio izan dute, eta 50 zapatek

3. Gaur egun ama baten adina alabaren hirukoitza da eta duela sei urte boskoitza zen. Zenbat urte du bakoitzak?

Duela 6 urte gaur

Amaren adina 3x - 6 3x

Alabaren adina x - 6 x

3x – 6 = 5(x – 6)

3x – 6 = 5x – 30

3x – 5x = – 30 + 6 ⇒ –2x = –24 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 12

3x = 36

Beraz, 12 urte ditu alabak, eta 36 amak

4. Telebista batek eta bideo batek 1080 € balio dute. Telebista %20 beheratuz gero, prezio bera edukiko lukete tresna biek. Zein da bakoitzaren prezioa?

Telebistaren prezioa: x euro bideoaren prezioa: y euro

⎩⎨⎧

==+

yx8,01080yx

⇒ x + 0,8x = 1080 ⇒ 1,8x = 1080 ⇒ 6008,1

1080x ==

y = 0,8 · 600 = 480 Beraz, 600 euro balio du telebistak, eta 480 bideoak


DBH3 MATEMATIKA


5. Orain dela 10 urte, pertsona baten adina beste batena baino bi bider handiagoa zen, eta

16 urte geroago, lehenengoaren adina bigarrenaren 34

zen. Kalkulatu pertsona horien

adina.

Orain dela 10

urte 16 urte geroago

1.pertsonaren adina 2x 2x + 16

2.pertsonaren adina x x + 16

8x16x264x448x6)16x(34

16x234

·)16x(16x2 =⇒=⇒+=+⇒+=+⇒+=+

Beraz, 8 urte zituen lehenengoak duela 10 urte, eta 2x = 16 urte bigarrenak.

Gaur 18 urte izango ditu lehenengo pertsonak, eta 26 bigarrenak

6. Fruta salerosle batek hainbat sagar kaxa erosi eta 1600€ ordaindu ditu guztira. 30 kaxa gehiago erosi balitu, eta kaxa bakoitza 1€ merkeago, 1610€ ordainduko zuen. Zenbat kaxa erosi zituen, eta zenbatetan kaxa bakoitza?

Kaxa kopurua: x Kaxa baten prezioa: y

Kaxa

kopurua Kaxa baten

prezioa Prezio guztira

Erositakoa x y 1600

Erosi balitu x + 30 y - 1 1610

⎩⎨⎧

−=→=−+−→=−+−→=−+=

40y30x1610x160030y301610xxy30y301610)1y)(x30(1600y·x

1.an ordezkatuz:

(30y-40) y = 1600 ⇒ 30y2 – 40y – 1600 =0 ⇒ 3y2 – 4y – 160 =0 ⇒

640

6444

y

86444

y

6444

619364

61920164

y

−=−

=

=+

=±

=±

=+±

=

y = 8 ⇒ 2008

1600y

1600x ===

320

y −= ez du balio, prezioa ezin baita izan negatiborik.

Beraz, erosi zituen 200 kaxa, 8 eurotan bakoitza.

7. Lagun batzuek belaontzia alokatu dute eta 800€ ordaindu. Hiru gehiago izan balira, bakoitzak 60€ gutxiago ordainduko zuen. Zenbat lagun ziren? Zenbat ordaindu zuen bakoitzak?

Lagun kopurua: x lagun Lagun bakoitzak ordaindutakoa: y euro

⎩⎨⎧

=+−→=−+−→=−+−→=−+=

180y3x60800180y3x60800800180y3x60xy800)60y)(3x(800y·x


DBH3 MATEMATIKA


⎩⎨⎧

+=→=+−=

⇒⎩⎨⎧

=+−=

x2060y60yx20800y·x

180y3x60800y·x

1.an ordezkatuz: x (60+20x) = 800 ⇒ 60x + 20x2 = 800 ⇒ 20x2 + 60x – 800 = 0 ⇒ x2 + 3x – 40 = 0

⇒

82

133x

52

133x

2133

216093

x

2

1

−=−−

=

=+−

=

=±−

=+±−

=

x = 5 ⇒ 1605

800x

800y === , besteak ez du balio.

Beraz 5 lagun ziren, eta bakoitzak 160 euro ordaindu zuen.

8. 40kg-ko pisura arteko paketeen banaketan diharduen enpresa batek ondoko tarifa taula du, pisuaren arabera:

Paketearen pisua Prezioa 10kg baino txikiago 5€ 10kg eta 25kg bitartekoa 0,5€/kg 25 eta 40 kg bitartekoa 12,5+2,5€/kg 25 kg-tik

gorako kilogramo bakoitzeko Zein da funtzioaren adierazpen grafikoa? Irudikatu prezio funtzioa.

Paketearen pisua: x kg Prezioa: y euro Prezioa, pisuaren arabera:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−<<<<

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−+<<<<

=40x2550x5,225x10x5,010x0x5

y40x25)25x(5,25,12

25x10x5,010x0x5

y

Funtzioaren grafikoa:


DBH3 MATEMATIKA


9. Mendiko pista bateko teleferikoa goizeko 9etatik arratsaldeko 4etara dabil martxan, eta ondoko ibilbidea egiten du:

Irteeratik pistara joateko, 1200m, 15minutu behar ditu. Pistan, 15 minutu ematen ditu geldirik. Behera heltzeko, 10 minutu behar ditu. 20 minutu geldi egon ondoren, berriro hasten du bere bidea.

a. Marraztu igogailuak adieraziko lukeen grafikoa? Denbora 9etatik aurrera hasiko gara zenbatzen. O unean, 9ak dira. Igogailua dago martxan 6 orduz, hau da 360 minutu

b. Funtzio periodikoa da? Zein da periodoa? Periodikoa da. Periodoa: ordu bat = 60 min

c. Non egongo da igogailua 12:30ean? Eta 13:20an? 12:30ean: pasatu dira 3 ordu eta 30min. Beraz, goian dago jaisteko zorian. 13:20an: pasatu dira 4 ordu eta 20min. Beraz, pistan dago.


DBH3 MATEMATIKA


FUNTZIOAK

1. Grafiko honetan, sei mutilen pisua eta altuera adierazi ditugu.

a. Nortzuek daukate pisu bera? D eta C, E eta F

b. Zein da mutilik altuenaren pisua? 70Kg

c. Zein da pisurik txikiena duenaren altuera? 125cm

d. Pisua altuera funtzioaren grafikoari ote dagozkio puntu horiek? Ez da funtzioa

2. Grafiko hauetatik, zein ez dagokio funtzio bati? Zergatik?

a. Ez da funtzioa. Irudian bi funtzio daude. b. Funtzio bat da.

c. Funtzio bat da. d. Ez da funtzioa.

Funtzio batean, x-ren balio bakoitzari y-ren balio bakarra dagokio. a eta d ataletan adierazita dauden grafikoetan, x balio bakoitzerako bi dira y-renak.


DBH3 MATEMATIKA


3. Hartu kontuan ondorengo hau: grafiko honetan, autobus linea bateko bidazti kopuruak gorantz egin du goizeko 6etatik 8ak arte.

a. Funtzioaren hazkundea berdina ote da 6etatik 7etara eta 7etatik 8etara bitartean? Ez da berdina. [6,7] tarteko hazkundea:

201

2040=

−bidaiari orduko

[7,8] tarteko hazkundea:

601

40100=

− bidaiari orduko

b. Adierazi zein zatitan den beherakorra funtzioa. (9, 12) eta (16, 18) tarteetan. Goizeko 9etatik 12ak arte eta arratsaldeko 4retatik 6rak arte.

c. Zein zatitan ez da aldatu bidaiari kopurua? Nolakoa ote da funtzioa zati horretan? (12, 14) tartean. Funtzioa konstantea da.

d. Zein dira funtzio horren maximoak? Goizeko 8ak 100 bidaiariekin, eta arratsaldeko 4rak 80rekin.

4.

Zein grafikoarekin lotuko zenuke ondoko enuntziatu bakoitza?

a. Ez du maximorik ez minimorik. II eta III grafikoak

b. Maximo bat du (1, 5) puntuan. I grafikoa

c. (4,1) puntua minimo bat da. I grafikoa

d. Definizio eremu osoan gorakorra da. II grafikoa

e. Definizio eremu osoan beherakorra da. III grafikoa

f. Koordenatu jatorritik pasatzen da. II grafikoa

g. x-ri balio handia emanez gero, y-rena ere oso handia da. I grafikoa, eta II grafikoa


DBH3 MATEMATIKA


5. Adierazi ondoko funtzio bakoitzean:

a. D=R, jarraitua da.

(-h, -2) beherakorra, (-2, 0) gorakorra eta (o, +h) beherakorra.

P1(-2, 1) minimoa da, eta P2(0, 4) maximoa.

b. D=[-4, 3], jarraitua da bere definizio eremuan.

(-4, -1) gorakorra, (-1, 1) beherakorra eta (1, 3) gorakorra.

P1(-4, 0) minimoa da, P2(-1, 3) maximoa, P3(1, 1) minimoa, eta P4(3, 2) maximoa.

c. D=[-3, +h], x=1 puntuan ez da jarraitua jauzi bat baitago. Jarraitua da [-3, +h]-{1}

multzoan; hau da: puntu guztietan, x=1 puntuan izan ezik.

(-3, 1) gorakorra, (1, +h) konstantea.

P1(-3, -2) minimoa da, P2(1, 2) maximoa, eta x=1 puntutik aurrera puntu guztiak minimoak dira.

d. D=[-1, 5], jarraitua da bere definizio eremuan.

(-1, 2) beherakorra, (2, 5) gorakorra.

P1(-1, 3) maximoa da, P2(2, 0) minimoa, eta P3(5, 3) maximoa.


DBH3 MATEMATIKA


e. D=(-h, 5], x=-1 eta x=2 puntuetan ez da jarraitua. Jarraitua da (-h, 5]-{-1, 2}

multzoan.

(-h, -1) konstantea da funtzioaren balioa y= 2 tarteko puntu guztiak maximoak dira,

(-1, 2) konstantea da funtzioaren balioa y= -1 tarteko puntu guztiak minimoak dira, (2, 5) konstantea da funtzioaren balioa y= 3 tarteko puntu guztiak maximoak dira.

f. D={1,2,3,4,5}, ez da jarraitua. Gorakorra da. P1(1, 1) minimoa da, eta P2(5, 5) maximoa.

6. Aurkitu honako funtzio hauetako malda eta ekuazioa:

Malda: m=25

−

Ekuazioa: y=25

− x

Malda: m=41

−

Ekuazioa: y=41

− x

Malda: m=-1

Ekuazioa: y=-x

7. Lotu zuzen bakoitza ondoko

ekuazio batekin: Zein dira funtzio gorakorrak, eta zein beherakorrak?

a. r3: x4y −= beherakorra

b. r5: x32

y = gorakorra

c. r2: x34

y −= beherakorra

d. r1: x2,0y −= beherakorra

e. r4: x5,2y = gorakorra


DBH3 MATEMATIKA


8. Begiratu funtzio hauei, eta osatu taula:

MALDA ORDENATUA JATORRIAN

EKUAZIOA

r 2 1 y=2x+1

s 2 -2 y=2x-2

t 32

2 x32

y = +2

u -1 1 y=-x+1

9. Zuzen hauek y = m x + n funtzioaren kasu bereziak dira, m edo n berdin 0 direnean. Esan zein den m eta n-ren balioa euretariko bakoitzean, eta idatzi ekuazioa.

m n EKUAZIOA

r1 -2 0 y=-2x

r2 21

0 y=21

x

r3 0 4 y=4

r3 0 -2 y=-2

10. Idatzi ondoko zuzen bakoitzaren ekuazioa:

a. (1, 2) puntutik pasatzen da, eta bere malda 4 da. y = yo + m (x - xo) y = 2 + 4 (x - 1) ⇒ y = 4x - 2


DBH3 MATEMATIKA


b. Bere malda 32

da, eta (0, 3) puntutik pasatzen da.

y = yo + m (x - xo)

y = 3 + 32

(x - 0) ⇒ y = 32

x + 3

c. Bere malda -3 da, eta (7, 0) puntutik pasatzen da. y = yo + m (x - xo) y = 0 - 3 (x - 7) ⇒ y = -3x + 21

d. Bere malda 0 da, eta (2, -3) puntutik pasatzen da. y = yo + m (x - xo) y = -3 + 0 (x - 2) ⇒ y = -3

e. Bere malda 32

da, eta (0, 0) puntutik pasatzen da.

y = yo + m (x - xo)

y = 0 + 32

(x - 0) ⇒ y = 32

x

f. Aurrekoaren paraleloa da, eta (-1, 1) puntutik pasatzen da.

Paraleloak badira, bere malda 32

da.

y = yo + m (x - xo)

y = 1 + 32

(x + 1) ⇒ y = 1 + 32

x + 32

⇒ y = 32

x + 35

11. Idatzi ondoko puntuetatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa:

a. P(1, 0), Q(-5, 6)

16

615

06m −=

−=

−−−

=

y = yo + m (x - xo)

y = 0 - (x - 1) ⇒ y = -x +1

b. P(3, 0), Q(0, -4)

34

34

3004

m =−−

=−−−

=

y = yo + m (x - xo)

y = 0 - 34

(x - 3) ⇒ y = -34

x +4

c. P(5, -2), Q(-3, 1)

83

83

53)2(1

m −=−

=−−−−

=


DBH3 MATEMATIKA


y = yo + m (x - xo)

y = -2 83

− (x - 5) ⇒ y = -2 83

− x +815

⇒ y = 83

− x -81

d. P(23

− , 1), Q(-1, 41

)

23

46

21

:43

2143

23

1

43

23

1

141

m −=−=−=−

=+−

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−

−=

y = yo + m (x - xo)

y = 1 -23

(x + 23

) ⇒ y = 1 -23

x -49⇒ y = -

23

x -45

e. P(4,5; 8), Q(-2, 4)

138

6540

5,64

5,4284

m ==−−

=−−−

=

y = yo + m (x - xo)

y = 4 + 138

(x + 2) ⇒ y = 4 + 138

x +1316

⇒ y = 138

x + 1368

f. P(125, 50), Q(200, 25)

31

7525

1252005025

m −=−

=−−

=

y = yo + m (x - xo)

y = 25 + 31

(x - 125) ⇒ y = 25 + 31

x - 3

125 ⇒ y =

31

x - 350

12. Idatzi ondoko zuzenen adierazpen orokorra:

Zuzenaren adierazpen orokorra: a x + b y + c = 0

a. A(1, 2) puntutik pasatzen da, eta bere malda 73

da.

y = yo + m (x - xo)

y = 2 + 73

(x - 1) ⇒ y = 2 + 73

x - 73

⇒ y = 73

x - 711

⇒ 7 y = 3x – 11

3x – 7y - 11 = 0

b. A(-2, -3) eta Q(1,5) puntuetatik pasatzen da.

38

)2(1)3(5

m =−−−−

=

y = yo + m (x - xo)

y = -3 + 38

(x + 2) ⇒ y = -3 + 38

x + 3

16 ⇒ 3y = -9 + 8x + 16

8x – 3y +7 = 0

c. Malda 32

− da eta ordenatua jatorrian 25

.

y = m x + n ⇒ y = 32

− x + 25

⇒ 6y = -4x + 15 ⇒ 4x + 6y -15 = 0

d. Ardatzak (-3, 0) eta (0, 4) puntuetan ebakitzen ditu.


DBH3 MATEMATIKA


m = 34

; n = 4 ⇒ y = m x + n ⇒ y = 34

x +4 ⇒ 3y = 4x + 12

4x - 3y + 12 = 0

e. y = 3x – 1 zuzenaren paralelo da, eta (2, -5) puntutik pasatzen da. m = 3 y = yo + m (x – xo) y = – 5 + 3 (x – 2) ⇒ y = – 5 + 3x – 6 ⇒ 3x – y – 11 = 0

f. 2x – 7y = 0 zuzenaren paralelo da, eta (0, 4) puntutik pasatzen da. 2x – 7y + k = 0 0 – 28 + k = 0 ⇒ k = 28 2x – 7y + 28 = 0

13. Ebatzi grafikoki ondoko ekuazio-sistemak

a. ⎭⎬⎫

=−=+

2yx13yx2

Solución: x = 5; y = 3

b. ⎭⎬⎫

=+−=+3y2x2yx4

Solución: x = -1; y = 2


DBH3 MATEMATIKA


c. ⎭⎬⎫

=+=−

10y2x32y4x5

Solución: x = 2; y = 2

d. ⎭⎬⎫

=−−=+1y4x4y2x3

Solución: x = -1; y = -0,5

825ean, aljabr w al muqabalah izeneko tratatua al … · 2011-04-13 · 825ean, aljabr w'al...

Documents