1

887110 Introduction to discrete structure

บทท่ี 4ฟงัก์ชนั (Function)

2

ภาพรวมเน้ือหา• ความหมายของฟงัก์ชนั• การกำาหนดฟงัก์ชนั• ตรวจสอบการเป็น/ไมเ่ป็นฟงัก์ชนั• คำาศัพท์เก่ียวกับฟงัก์ชนั• คณุสมบติัของฟงัก์ชนัจาก A ไป B

– ฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึงจาก A ไป B– ฟงัก์ชนัจาก A ไปทัว่ถึง B– ฟงัก์ชนัสมนัยหน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไป B

• ฟงัก์ชนัผกผัน• ฟงัก์ชนัคอมโพสทิ• พชีคณิตของฟงัก์ชนั

ความหมายของฟงัก์ชนั• ฟงัก์ชนั คือ ความสมัพนัธซ์ึ่งสองคู่อันดับใดๆ ของความ

สมัพนัธน์ัน้ ถ้าสมาชกิตัวหน้าเหมอืนกันแล้ว สมาชกิตัวหลังต้องไมต่่างกัน แทนด้วย f

• เขยีนเป็นภาษาคณิตศาสตรไ์ด้เป็นถ้า (x1,y1) r และ (x1,y2) r แล้ว y1 = y2

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} และ B = {0,1,2,3,4} ขอ้ใดเป็นฟงัก์ชนัจาก A ไป B– f = {(1,0) , (2,1) , (3,2) , (4,3)}– g = {(1,1) , (2,0) , (3,2) , (4,1) , (2,4)}– h = {(1,4) , (2,2) , (3,0)}

ไมเ่ป็นเป็น

ไมเ่ป็น

3

4

การกำาหนดฟงัก์ชนั1 .กำาหนดโดยเซตแบบแจกแจงสมาชกิ2. กำาหนดโดยการบอกเง่ือนไขของสมาชกิในความสมัพนัธ ์

r เชน่f = {( x , y ) R x R | y = 2x + 1}

3. กำาหนดโดยตารางคู่อันดับ เชน่x 1 2 3y a b c

5

การกำาหนดฟงัก์ชนั (ต่อ)4. กำาหนดโดยแผนภาพแสดงการจบัคู่ระหวา่งสมาชกิใน

เซตA B1 a2 b3 c

5. กำาหนดโดยกราฟ

6

หลักในการพจิารณาวา่ความสมัพนัธเ์ป็นฟงัก์ชนัหรอืไม่

1 .ถ้าความสมัพนัธอ์ยูใ่นรูปแจกแจงสมาชกิ ใหด้วูา่ตัวหน้าของคู่อันดับซำ้ากันหรอืไม ่ถ้าสมาชกิตัวหน้าของคู่อันดับซำ้ากัน แสดงวา่ความสมัพนัธนั์น้ไมเ่ป็นฟงัก์ชนั

2. ถ้าความสมัพนัธน์ัน้อยูใ่นรูปของการกำาหนดเง่ือนไขสมาชกิ r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ใหแ้ทนค่าแต่ละสมาชกิของ x ลงในเง่ือนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้าม ีx ตัวใดท่ีใหค่้า y มากกวา่ 1 ค่า แสดงวา่ความสมัพนัธน์ัน้ไมเ่ป็นฟงัก์ชนั

3. พจิารณาจากกราฟของความสมัพนัธ ์โดยการลากเสน้ตรงขนานกับแกน y ถ้าเสน้ตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสมัพนัธ์มากกวา่ 1 จุด แสดงวา่ความสมัพนัธนั์น้ไมเ่ป็นฟงัก์ชนั

7

หลักในการพจิารณาวา่ความสมัพนัธเ์ป็นฟงัก์ชนัหรอืไม ่(ต่อ)

• ตัวอยา่งการพจิารณาจากกราฟความสมัพนัธ์

8

กิจกรรมท่ี 1• จงพจิารณาวา่ความสมัพนัธต่์อไปนี้เป็นฟงัก์ชนั

หรอืไม ่เพราะเหตใุด1. y = x2

2. |y| = x

9

คำาศัพท์ในเรื่องฟงัก์ชนักำาหนดให ้f เป็นความสมัพนัธจ์าก A ไป B โดยท่ี f A x

B ถ้า (x,y) f จะได้วา่• เซต A คือ โดเมน (Domain) ของ f • เซต B คือ โคโดเมน (Co-Domain) ของ f • เรยีก y วา่ อิมเมจ (image) ของ x• เรยีก x วา่ พรอิีมเมจ (pre-image) ของ y• พสิยั (range) คือ เซตของค่าในโคโดเมนท่ีสมาชกิจาก

โดเมนจบัคู่ไปยงัค่านัน้จรงิ (เอาเฉพาะโคโดเมนท่ีถกูจบัคู่)

10

ตัวอยา่ง• กำาหนด f เป็นฟงัก์ชนัจากเซต A ไปยงั B

แผนภาพความสมัพนัธแ์สดงดังน้ีA B1 a2 b3 c4 d5

โดเมน{1,2,3,4,5}

โคโดเมน{a,b,c,d}

b เป็น อิมเมจของ 22 เป็น พรอิีมเมจของ b

พสิยั คือ {a,b,c}

11

กิจกรรมท่ี 2-11 .กำาหนดฟงัก์ชนั f: PC โดยกำาหนดให้P = {Linda, Max, Kathy, Peter}C = {Boston, New York, Hong Kong,

Moscow}f(Linda) = Moscowf(Max) = Bostonf(Kathy) = Hong Kongf(Peter) = Moscowจงหาพสิยัของฟงัก์ชนันี้

LindaMaxKathyPeter

BostonNew YorkHong KongMoscow

12

กิจกรรมท่ี 2-22 .กำาหนดให ้f : ZR ท่ีกำาหนดโดย f(x) = x2

a) โดเมน และ โคโดเมนของฟงัก์ชนันี้b) อิมเมจของ -3c) พรอิีมเมจของ 3d) พสิยัของ f(z)

13

ฟงัก์ชนัจาก A ไป B• ฟงัก์ชนัจาก A ไป B

f จะเป็นฟงัก์ชนัจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟงัก์ชนัท่ีมีโดเมนคือเซต A และเรนจเ์ป็นสบัเซตของเซต B เขยีนแทนด้วย f : A B

14

คณุสมบติัของฟงัก์ชนั• ฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B• ฟงัก์ชนัจาก A ไปทัว่ถึง B• ฟงัก์ชนัสมนัยหน่ึงต่อหนึ่งจาก A ไป B

15

ฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึง (injective function)

• ฟงัก์ชนัหน่ึงต่อหนึ่งจาก A ไป Bf เป็นฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึงจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f

เป็นฟงัก์ชนัจาก A ไป B ซึ่งถ้า y Rf แล้วม ีx Df เพยีงตัวเดียวเท่านัน้ท่ีทำาให ้(x,y) f

หรอืกล่าวได้วา่ f เป็น 1-1 จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ สมาชกิทกุตัวในพสิยัมพีรอิีมเมจเพยีงตัวเดียว

16

ตัวอยา่ง• เราสามารถพจิารณาคณุสมบตัิ 1-1 ของฟงัก์ชนัได้โดย

การพจิารณาจากกราฟแบบมทิีศทาง ดังน้ี

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. .

เป็น 1-1 ไมเ่ป็น 1-1

17

กิจกรรมท่ี 3• จงพจิารณาวา่ฟงัก์ชนัต่อไปนี้มคีณุสมบติัเป็น 1-

1 หรอืไม่1 .กำาหนด f ดังน้ีf(Linda) = Moscow , f(Max)

= Bostonf(Kathy) = Hong Kong , f(Peter)

= Boston

2 .กำาหนด g ดังน้ีg(Linda) = Moscow , g(Max)

= Bostong(Kathy) = Hong Kong , g(Peter) =

New York

18

ฟงัก์ชนัท่ัวถึง (surjection function)

• ฟงัก์ชนัจาก A ไปท่ัวถึง Bf เป็นฟงัก์ชนัจาก A ไปทัว่ถึง B ก็ต่อเมื่อทกุ y B ม ีx A จบัคู่อยู ่หรอืกล่าวได้วา่ ฟงัก์ชนั f จะเป็นฟงัก์ชนัทัว่ถึง ก็ต่อเมื่อ พสิยัเท่ากับ โคโดเมน

19

ตัวอยา่ง• เราสามารถพจิารณาคณุสมบติั onto ของ

ฟงัก์ชนัได้โดยการพจิารณาจากกราฟแบบมีทิศทาง ดังนี้

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. .onto ไม่ onto

20

ฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึงทั่วถึง (Bijection function)

• ถ้า f เป็นฟงัก์ชนัท่ีมคีณุสมบติัของการเป็นฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึง และ เป็นฟงัก์ชนัทัว่ถึง เราจะกล่าวได้วา่ f เป็นฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึงทัว่ถึง

• เมื่อ f เป็นฟงัก์ชนัหนึ่งต่อหน่ึงทัว่ถึง เราจะสามารถหาฟงัก์ชนัผกผัน (Inverse function) ของ f ได้ เขยีนแทนด้วย f-1

21

ตัวอยา่ง• เราสามารถพจิารณาคณุสมบติั bijection ของ

ฟงัก์ชนัได้โดยการพจิารณาจากกราฟแบบมีทิศทาง ดังนี้. . . .. . . .. . .

ไมเ่ป็น bijection bijection

22

กิจกรรมท่ี 4• ใหพ้จิารณาฟงัก์ชนัที่กำาหนดใหต่้อไปนี้วา่มี

คณุสมบติัเรื่องใดบา้ง1. F : Z R กำาหนดโดย f(x) = x2

2. F : Z Z กำาหนดโดย f(x) = 2x3. F : R R กำาหนดโดย f(x) = x3

4. F : Z N กำาหนดโดย f(x) = |x|

23

ฟงัก์ชนัผกผัน (Inverse Function)

• ถ้า f เป็นฟงัก์ชนัท่ีแทนความสมัพนัธจ์าก A ไป B ฟงัก์ชนัผกผันของ f เขยีนแทนด้วย f-1 จะเป็นความสมัพนัธจ์าก B ไป A

• เขยีนแทนด้วย f-1 = {(y,x) | (x,y) f }• การหาฟงัก์ชนัผกผัน– ท่ีใดม ีx แทนด้วย y และท่ีใดม ีy แทนด้วย x– พยายามทำาใหอ้ยูใ่นรูป y = f(x)

24

ตัวอยา่ง• กำาหนดฟงัก์ชนัดังนี้ จงหา f-1

f(Linda) = Moscowf(Max) = Bostonf(Kathy) = Hong Kongf(Peter) = Sidneyf(Helena) = New York

เนื่องจากฟงัก์ชนันี้เป็น bijections ดังนัน้ เราสามารถหาฟงัก์ชนัผกผันได้

f-1 (Moscow) = Lindaf-1 (Boston) = Max

f-1 (Hong Kong) = Kathyf-1 (Sidney) = Peter

f-1 (New York) = Helena

25

กิจกรรมท่ี 5 1. กำาหนดให ้f: ZZ และ f(x) = x + 1 จง

แสดงวา่ f หาฟงัก์ชนัผกผันได่หรอืไม ่ถ้าหาได้ จงหา f-1

2 .กำาหนดให ้f: ZZ และ f(x) = x2 จงแสดงวา่ f หาฟงัก์ชนัผกผันได่หรอืไม ่ถ้าหาได้ จงหา f-1

26

ฟงัก์ชนัคอมโพสทิ (Composite function)

• เป็นการกระทำาตัง้แต่ 2 ฟงัก์ชนัขึ้นไป โดยมลัีกษณะเหมอืนกับการนำาฟงัก์ชนันัน้มาเชื่อมกัน

• กำาหนดให ้f เป็นฟงัก์ชนัจาก A ไป และ g เป็นฟงัก์ชนัจาก B ไป C เราสามารถสรา้งฟงัก์ชนัจาก A ไป C ได้โดยเขยีนแทนด้วย gof(x) = g(f(x))

• เราจะสรา้ง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ โคโดเมนของ f ต้องเป็นสบัเซตของโดเมน g

27

ตัวอยา่ง• กำาหนดให ้f เป็นฟงัก์ชนัจาก A ไปยงั A โดยท่ี A =

{a,b,c} ซึ่ง f(a) = b, f(b) = c และ f(c) = a และ g เป็นฟงัก์ชนัจาก A = {a,b,c} ไปยงั B = {1,2,3} ซึ่ง g(a) = 3, g(b) = 2 และ g(c) = 1 จงหา gof

วธิทีำา gof(a) = g(f(a)) = g(b) = 2 gof(b) = g(f(b)) = g(c) = 1 gof(c) = g(f(c)) = g(a) = 3

แต่เราไมส่ามารถหา fog ได้ เนื่องจากพสิยัของ g ไมเ่ป็นสบัเซตของโดแมนของ f

28

กิจกรรมท่ี 6• กำาหนดให ้f และ g เป็นฟงัก์ชนัจากเซต Z ไปยงั

Z ซึ่งกำาหนดโดย f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา fog และ gof

29

Repeated Composition• เมื่อเซตของโดเมนและโคโดเมนเท่ากัน ฟงัก์ชนันัน้

อาจประกอบเขา้กับตัวเองได้ การประกอบกันของฟงัก์ชนัตัวเดียวซำ้าๆจะเขยีนอยูใ่นรูปของการยกกำาลังของฟงัก์ชนั

• แทนด้วยสญัลักษณ์ fn(x) = f f f … f(x) ซึ่งหมายความวา่ f(x) ประกอบกัน n ครัง้

n

30

ตัวอยา่ง1 .กำาหนดให ้f : ZZ , f(x) = x2 จงหา f4

f4(x) = x(2*2*2*2) = x16

2 .กำาหนดให ้g : ZZ , g(x) = x + 1 จงหา gn

gn(x) = x + n

31

การเท่ากันของฟงัก์ชนั• ถ้า f และ g เป็นฟงัก์ชนัเราจะกล่าววา่ f = g ก็ต่อ

เมื่อ – โดเมนของ f กับโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกัน และ– โคโดเมนของ f กับ โคโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกัน และ – f(x) = g(x) ทกุ ๆ x ในโดเมน

• ตัวอยา่ง ให ้f = {(x,y) | x,y R และ y – x = 1} และ g = {(x,y) | x,y จำานวนเต็มบวก และ y – x = 1} จงหาวา่ f = g หรอืไม่

วธิทีำา เนื่องจากโดเมนและ โคโดเมนของ f เป็นจำานวนจรงิ แต่ โดเมน และ โคโดเมนของ g เป็นจำานวนเต็มบวก เราจะเหน็วา่ เซตสองเซตนี้มโีดเมน และ โคโดเมนต่างกัน ดังนัน้ f g

32

พชีคณิตของฟงัก์ชนั• คือ การนำาฟงัก์ชนัตัง้แต่ 2 ฟงัก์ชนัขึ้นไปมาบวก ลบ คณู

หาร กันเพื่อใหไ้ด้ฟงัก์ชนัใหม่• การหาผลลัพธข์องพชีคณิตฟงัก์ชนั ทำาได้โดยการนำาโค

โดเมนของคู่อันดับของฟงัก์ชนัท่ีมโีดเมนเหมอืนกันมา บวก ลบ คณู หาร กัน

• นิยาม กำาหนดให ้f และ g เป็นฟงัก์ชนัในเซตของจำานวนจรงิ– f + g = {(x,y) | y = f(x) + g(x) และ x Df Dg

– f – g = {(x,y) | y = f(x) - g(x) และ x Df Dg

– f . g = {(x,y) | y = f(x) . g(x) และ x Df Dg

– f / g = {(x,y) | y = f(x) / g(x) และ x Df Dg และ g(x) 0

33

ตัวอยา่ง• กำาหนด f = {(1,2), (3,8), (5,6), (7,9)} และ g =

{(1,6), (2,5), (3,4), (7,3)}จงหา f + g , f – g, f .g และ f/gวธิทีำา f+g = {(1,2+6), (3,8+4), (7,9+3)} =

{(1,8),(3,12),(7,12)}f-g = {(1,2-6), (3,8-4), (7,9-3)} =

{(1,-4),(3,4),(7,6)}f . g={(1,2 6),(3,8 4),(7,9 3)} =

{(1,12),(3,32),(7,27)}f /g = {(1,2/6),(3,8/4),(7,9/3)} =

{(1,1/3),(3,2),(7,3)}

สรุป พชีคณิตของฟงัก์ชนั คือ การนำาตัวหลังของคู่อันดับท่ีมตัีวหน้าเหมอืนกันมา บวก ลบ คณู หารกัน แต่ต้องระวงั กรณีการหารต้องไมใ่หตั้วหารเป็นศูนย์

34

ตัวอยา่ง 2• นิยามฟงัก์ชนั h = f.g = {(x,y) | y = f(x) . g(x)

สำาหรบัทกุจำานวนจรงิ x >1} ถ้า f(x) = และ h(x) = จงหาค่าของ g(5)

วธิทีำา จาก h(x) = f(x) . g(x) จะได้วา่ g(x) = h(x) / f(x)

จะได้วา่ g(5) = h(5) / f(5)เนื่องจาก h(5) = 1 / 24 และ f(5) = 5/

ดังนัน้ g(5) = h(5) / f(5) = =

24

524.

241

12024

35

ฟงัก์ชนัปัดเศษลง (Floor)• ฟงัก์ชนัปัดเศษลงของ x เขยีนแทนด้วย x หมายถึง

จำานวนเต็มท่ีมากท่ีสดุท่ี x • ตัวอยา่งเชน่ – 2.3 = 2– 2 = 2– 0.5 = 0– -3.5 = -4

36

ฟงัก์ชนัปัดเศษขึน้ (Ceiling)• ฟงัก์ชนัปัดเศษขึ้นของ x เขยีนแทนด้วย x หมายถึง

จำานวนเต็มท่ีน้อยท่ีสดุท่ี x • ตัวอยา่งเชน่– 2.3 = 3– 2 = 2– 0.5 = 1– -3.5 = -3