第 8章 粘性流体の力学－レイノルズ方程式

第8章 粘性流体の力学－レイノルズ方程式

8.1 概要

N-S方程式は流体の運動を表す厳密な方程式であると言われている。この時点で我々は運動方程式としてのN-S方程式と連続式という粘性流体を解析するために必要な式 (道具)

を手に入れていることになる。日常で我々が目にする流れのほとんどは乱流状態である。乱流には様々な乱れ成分が含まれている。しかし、この乱れ成分は工学的に必要とされる物理量には含まれない。

N－ S方程式は乱流に対しても有効であるので、この乱れ成分も含んだ解を我々に与えることになる。その解の大部分の情報は乱れ成分を表すために費やされている。このような乱れ成分に関する詳細な情報を省き、工学的に必要な情報のみを取り出すためにはN-S

方程式はあまりに厳密すぎる式 (道具)であると考えられている。工学的に必要な物理量のみを求めることができ、実用的な式 (道具)が必要である。主な対象とされる日常目にする流れ性質を利用することにより、乱れ成分を取り除いた方程式を求める努力が続けられ、レイノルズ方程式が得られた。

8.2 流れの一例

次の図は河川洪水時の流速観測結果を示したものである。流速は 10秒ごとに観測され、24時間分のデータがある。図－ 8.1 (a)はこのデータを示したものである。洪水は t=－ 2

時頃から始まり、t=5時ごろまで続いている。洪水前後の平常時の流速は 0.5m/s程度であり、洪水時の最大流速は大体 1.5m/sであることがこの図より分かる。最も流速の早いt=１時ごろのデータは流速を示す線が太くなっており、非常に短時間に早くなったり遅くなったりしているものと考えられる。図－ 8.1 (b)はこのデータから t=0時を中心に±２時間分のデータを横方向に拡大して示したものである。この程度の時間軸拡大でも流速のデータが太く表れている様子には大きな変化がない。続いて図－ 8.1 (c)、図－ 8.1 (d)はそれぞれ t=0時を中心に± 0.5時間分（計１時間分）、および± 0.1時間分（計６分間分）に引き伸ばして示したものである。図－ 8.1 (d)の６分間分の図を見ると流速が短時間で微小な変化を繰り返しており、こ

れが乱流の特性である乱れ成分である。この乱れ成分は 30秒から１，２分の間にいくつもの大小の変動が生じている。つまり、乱れ成分の時間スケールは１，２分より短いと判断できる。また、この 6分程度の間では河川流の流速 uの大体の値には変化が無く (データが時間軸にほぼ平行で)、流速 uは平均流速 uに乱れ成分 u′が加えられたものと考えることができる。一方、工学的に必要な洪水時の流速変化は 6時間ほどの間にその変化が終了し、下の平常時の流速に戻っている。このことから、工学的に必要とされる流速としては、乱流の乱れ成分が変動する時間スケールより十分長く、かつ、現象 (この例では洪水)の変動する時間スケールより十分に短い時間 T を考え、この時間内の平均流速 uを考える。この平均流速 uは現象を表すよ

都市デザイン工学科　 2006年度 32

流れの科学 講義ノート

-10 -5 0 5 100.250.5

0.751

1.251.5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.40.250.5

0.751

1.251.5

-0.04 -0.02 0 0.02 0.040.250.5

0.751

1.251.5

-10 -5 0 5 100.250.5

0.751

1.251.5

-1 0 1 20.250.5

0.751

1.251.5

図 8.1 : 河川乱流の観測例

2006年度　第 9週 33

第 8章 粘性流体の力学－レイノルズ方程式

うな時間スケール (この例では 6時間)から見ると時間的に変化することになる。ここではT=12分間として、その間の平均流速uを求め、元の 24時間の時間スケールで

描いたものが図－ 8.1 (e)である。この図から得られる工学的な情報、つまり何時頃から流速が早くなり、何時頃最大流速 1.3m/sが生じ、その後どのように流速が遅くなり、いつ頃平常時の流速に戻るか、などの情報は図－ 8.1 (a)から得られる情報とほとんど変化がない。工学的には図－ 8.1 (e)の情報が得られれば十分でありことが分かる。詳しい観測をして得られた図－ 8.1 (a)のような情報には乱流の乱れ成分が含まれているために、かえって必要な情報が見えにくくなることも起こりうる。

8.3 渦の構造

一つの渦が平均流速に乗って流れているときに、渦の中心とともに移動しながら渦の様子を観察した場合、渦は図に示すような流速分布を示す。円で示されている内部では渦の中心は流速が 0で中心から離れるとともに流速が中心からの距離に比例して早くなる。この円の内部は流体が凍結され、円盤が回転しているかのような流速分布になる。円の外側では流速は中心から離れるにつれ、距離の逆数に比例し小さくなる。円の内部を強制渦、外側を自由渦と呼ぶ。しかし、実際に流体粒子が回転しているのは内部の強制渦の部分だけで、自由渦の部分では流体粒子は角変形のみで変形し、回転はしていない。流体粒子が渦の周りを円運動することと流体粒子自体が回転することとは別の運動である。渦の大きさは円の直径で表され、渦の強さ ξは円の内部の流速の勾配で与

x

z

w

u

図 8.2 : 渦の基本的構造と流速分布

都市デザイン工学科　 2006年度 34

流れの科学 講義ノート

えられる。例えば x軸上では∂w

∂xとなり、z軸上では−∂u

∂zとなる。通常は平均値として

ξ =1

2

(∂w

∂x− ∂u

∂z

)が渦の強さ (渦度)として用いられる。これは、流体粒子の回転を表す

量と同じである。つまり、渦度があることは流体粒子が回転していることと同じである。逆に、円の外側では回転がないので、ξ = 0が成り立つ。このような渦の構造から渦の中心から見た流速は中心周りに対称な流速分布を持っていることが分かる。

8.4 乱流の平均量と乱れ成分

乱入の内部では大小、強弱様々な渦が流れの平均流速に乗って流れていると考えることで乱流の基本的な特性を説明することができる。一つの渦はその他の渦が作る流れによっても移動するので、渦の流れの中の相対的な位置は絶えず変化し続ける。それぞれの渦が作る流速は平均流速に加えられるので、乱流中の実際の流速 uは平均流速 uと渦による乱れ成分 u′の和で与えられる。これは鉛直方向流速wや圧力 pについても同じである。

u = u + u′

w = w + w′

p = p + p′

(8.1)

ここで図－ 8.1 を考えると、平均量 (uや wなど)は図－ 8.1 (e)の 12分間の平均値に相当する。つまり乱れ成分（渦による流速の変化）はその変化の時間的なスケール（この場合は時間の長さ）は十分短く、その時間スケールより十分長い時間 T の平均を求めれば渦による乱れ成分の影響を取り除くことができる。もし、観測しようとする物理現象の時間的な変動のスケールがこの T より長ければ、平均量は時間的に変動することになる。図－ 8.1 の例では洪水という物理現象の時間的な変動のスケールは数時間の時間の長さを有し、T = 12分間から見れば十分に長い。したがって、洪水現象の時間スケールから見れば平均量は時間的に変化すると考えることに何ら問題はない。

乱れの時間スケール¿ T ¿物理現象の時間スケール

となる時間スケール T は多くの工学的に重要な流れに対して見つけられており、このような時間スケールに対して以下のような式が成り立つ。もちろん、wや pも同様である。

u =1

T

∫ t+T

t

udt ,

∫ t+T

t

u′dt = 0 (8.2)

2006年度　第 9週 35

第 8章 粘性流体の力学－レイノルズ方程式

8.5 レイノルズ方程式

N-S方程式は乱れ成分も含めて厳密に流れを表現できる方程式である。この方程式が乱流を含めて簡単に解けるようになれば1図－ 8.1 (a)のデータを計算で求めることができる。これが求まれば図－ 8.1 (e)の形にすることは容易い作業である。しかし現実的には不可能に近い。そこで、前節の時間スケール T を用いて、N-S方程式を平均量の方程式に変換することが試みられ、Reynolds(レイノルズ)方程式と呼ばれる式が求められている。レイノルズ方程式をつくる目的は N-S方程式中に含まれる乱れ成分を取り除き、平均量のみで方程式を表すことである。

N-S方程式と連続式が流体運動の基礎式であるので、これを運動量方程式の形式で示した次式から出発する。ここでは洪水流のようなほぼ１次元的な流れを対象として説明する。

∂u

∂x+

∂w

∂z= 0 (8.3)

∂u

∂t+

∂uu

∂x+

∂uw

∂z= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂z2

)(8.4)

次にこれらの方程式の時間 T の間の時間平均を求める。まず連続式の左辺は次のようになる。

1

T

∫ t+T

t

(∂u

∂x+

∂w

∂z

)dt =

1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

udt +1

T

∂

∂z

∫ t+T

t

wdt

=∂u

∂x+

∂w

∂z= 0

空間的な微分 (∂/∂xや ∂/∂zは時間に関する積分と独立なので（関係がないので）素直に計算の順序を入れ替えることができる。この結果連続式 (8.3) は乱れを含んだ流速 (u,w)

を平均流速 (u, w) に置き換えるだけの式が得られる。次に、N－ S方程式について考える。先ほどと同様の計算を行うと、式 (8.4)の左辺第

１項と右辺は連続式と同じく、乱れを含んだ物理量 (u, p)が平均量 (u, p) に置き換わる。

1

T

∫ t+T

t

(∂u

∂t

)dt =

∂u

∂t

1

T

∫ t+T

t

(∂p

∂x

)dt =

∂p

∂x

1

T

∫ t+T

t

(∂2u

∂x2

)dt =

∂2u

∂x2

1

T

∫ t+T

t

(∂2u

∂z2

)dt =

∂2u

∂z2

しかし、左辺第２項と第３項は注意が必要である。2

1

T

∫ t+T

t

(∂uu

∂x

)dt =

1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

uudt =1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

(u + u′)2dt

=1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

(u2 + 2uu′ + u′u′)dt

1かなり実際的な問題がパソコン等で解けるようになって来ている。しかし、水槽内の現象が大半で、洪水や津波など実現象にはまだまだ時間が掛かりそうです。

2計算の途中で式 (8.1)を用いる方がわかり易いと思う。

都市デザイン工学科　 2006年度 36

流れの科学 講義ノート

uは時間 T の間は一定と考えてよいので、さらに次のように変形できる。

1

T

∫ t+T

t

(∂uu

∂x

)dt =

1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

u2dt +1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

2uu′dt +1

T

∂

∂x

∫ t+T

t

u′u′dt

=∂uu

∂x+

∂u′u′

∂x

ここでは式 (8.2)を用いて整理している。同様に第３項は

1

T

∫ t+T

t

(∂uw

∂z

)dt =

∂uw

∂z+

∂u′w′

∂z

となる。したがって、N-S方程式を時間平均することで求められるレイノルズ方程式は以下のような形式となる。

∂u

∂t+

∂uu

∂x+

∂uw

∂z= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂z2

)−

(∂u′u′

∂x+

∂u′w′

∂z

)(8.5)

レイノルズ方程式をつくる目的は乱れ成分を N-S方程式から無くし、平均量のみで方程式を作り上げることであった。しかし、式 (8.5)には右辺第３項に乱れ成分に関わる項が残り、当初の目的は達成できていない。以後の乱流力学の発展は、このレイノルズ方程式に残された乱れ成分の項をどのように理解し、どのように扱うかが焦点となる。

注意レイノルズ方程式中の uu と uuとは別の量である。uuは平均量 uの２乗であり、uuは u2の

平均値である。諸君はすでに計画学の中で同様な事柄を学んでいるはずです。例えば、確率変数 xの平均値（期

待値）xの２乗値 x2 と x2の期待値 x2は同じ値ではなく x2 6= x2 である。分散 (x− x)2、すなわち確率変数の平均値からの変動量 (x− x) の 2乗平均値は

(x− x)2 = (x2 − 2xx + x2) = x2 − 2xx + x2 = x2 − 2x2 + x2 = x2 − x2

となる。

2006年度　第 9週 37