9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1( 27 ธ.ค. 2558)
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
1/42
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
2/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 1 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ตอนท 1 แบบระบายตัวเลขท เปนคาตอบ จานวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1. ให S = { x | x เปนจานวนเตมท สอดคลองกับอสมการ 6 x 3 5x }จานวนสมาชกของ S เทากับขอใดตอไปน 1. 14 2. 15
3. 16 4. 17
5. 18
2. กาหนดให P(x) = 5ax bx cx d เม อ a, b, c และ d เปนคาคงตัว ถา x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10 และ x หาร P(x) เหลอเศษ 6แลว x + 1 หาร P(x) เหลอเศษเทากับขอใดตอไปน 1. –10 2. –6
3. 2 4. 4
5. 6
3. ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกัดฉาก 3 มต
โดยท u 5 และ v 3 แลว 2 2u v u v เทากับขอใดตอไปน
1. 15 2. 5 3
3. 8 4. 5 3 3 5
5. 15
4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถา แลว เทากับขอใดตอไปน
1. 2.
3. 4. 10
5. 20
2alog b 5 2b
log a
1
20
1
10
1
5
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
3/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 2 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
5. ถา S เปนเซตของจานวนจรง a ซ งทาใหระบบสมการ ax + 2y – 2z = –1
x + y – z = 0
2x + y + 2z = 2
มคาตอบเพยงคาตอบเดยว แลว S คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( ,1) (1, ) 2. ( , 1) (0, )
3. ( ,2) (2, ) 4. ( , 2) ( 2, )
5. { 2, 1,1, 2}
6.3
tan[ arcsin( )]4 5
มคาเทากับขอใดตอไปน
1. 17
2. 19
3.1
9 4.
1
7
5. 9
7. ตารางแจกแจงความถ สัมพัทธของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนกล มหน งเปนดังน
คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ 0 – 19 0.1
20 – 39 0.1
40 – 59 0.3
60 – 79 0.3
80 – 99 0.2
คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบของนักเรยนกล มน เทากับขอใดตอไปน 1. 57.5 คะแนน 2. 58.5 คะแนน 3. 60.5 คะแนน 4. 62.5 คะแนน 5. 63.5 คะแนน
8. พจารณา2x 2
2 1 8lim
x 2 x 2 x 4
ขอใดตอไปนเปนจรง
1. หาคาไมได 2. มคาเทากับ 34
3. มคาเทากับ 1
4
4. มคาเทากับ 1
4
5. มคาเทากับ 34
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
4/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 3 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
9. ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต โดยท 1a 96 และ 4a 12
แลว nn 1
a
เทากับขอใดตอไปน
1. 120 2. 128
3. 144 4. 192
5. 288
10. ถา2
2
(x 1) 5 x 1
f(x) 5 1 x 1
(x 1) 5 x 1
แลว (f f) (2) เทากับขอใดตอไปน 1. –12 2. –8
3. 0 4. 8
5. 12
ตอนท 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลอก เลอก 1 คาตอบท ถกท สด จานวน 20 ขอ ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. กาหนดให 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง ถา 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 โดยท 1z 2 และ 3 1z z แลว 2 3z z เทากับขอใดตอไปน
1. 1 3 i 2. 1 3 i
3. 1 3 i 4. 2 2 i
4. 2 2 i
12. เศษเหลอท ไดจากการหาร 11111 ดวย 1,210 เทากับขอใดตอไปน 1. 1 2. 11
3. 111 4. 121
5. 211
เม อ เม อ เม อ
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
5/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 4 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
13. ถา a และ b เปนคาคงตัว ซ งอสมการ มเซตคาตอบคอ ชวง (1, )
แลว a + b เทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1
3. 0 4. 1
5. 2
14. กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัวซ งมดาน AB = ACถามม A = o150 และดาน BC ยาวเทากับ 16 หนวยแลว พ นท สามเหล ยม ABC เทากับขอใดตอไปน
1. ตารางหนวย 2. ตารางหนวย
3. ตารางหนวย 4. 64 ตารางหนวย
5. 64(2 3) ตารางหนวย
15. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต พจารณาขอความตอไปน
ก. (u v) w u (v w)
ข. (u v) w u (v w) ค. 2 2(u v) (u v) u v ง. (u v) (u v) 2(u v)
จานวนขอความท ถกตอง เทากับขอใดตอไปน 1. 0 (ไมมขอความใดถก) 2. 13. 2 4. 3
5. 4
2
x a0
(x b)
64
364(2 3)
32(3 2)
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
6/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 5 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
16. ให s เปนวงกลมท อย ในควอดรันตท 1 ซ งสัมผัสแกน X และ แกน Yและเสนตรง ซ งมสมการเปน 3x 4y 24 0 ถา C เปนจดศนยกลางของวงกลม s และ P เปนจดท วงกลม s สัมผัสเสนตรง แลวสมการเสนตรงท ผานจด C และจด P คอขอใดตอไปน 1. 4x + 3y – 28 = 0 2. 4x + 3y – 32 = 0
3. 4x + 3y – 40 = 0 4. 3x + 4y – 28 = 0
5. 3x + 4y – 32 = 0
17. กาหนดให A เปนเมทรกซมต 3 3 ซ ง [A : I] [I : P]
โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณมต 3 3 และ P =
1 2 00 1 21 0 1
ถา1 a
A 2 b3 c
แลว a มคาเทากับขอใดตอไปน
1. –17 2. –5
3.17
5 4. 5
17
5. 17
5
18. ผลบวกของคาตอบของสมการ log x log x9 10(3 ) 9 0 เทากับขอใดตอไปน 1. 11 2. 99
3. 101 4. 111
5. 1001
19. กาหนดให S x 0 x 2 และ 24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25 S เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปน
1. 3 5 10 12 14, , , , ,8 8 8 8 8 8
2. 2 4 7 8 9, , , , ,6 6 6 6 6 6
3. 2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4
4.
5.
3 3 8 7, , , , ,6 4 6 4 6 4
2 3 5 7
, , , , ,3 4 3 4 3 4
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
7/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 6 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
20. ความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน152 , 153 , 155 , 158 , 159 , 160 , 162 , 166 , 175
ถาส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตขงความสงของเดก กล มนเทากับขอใดตอไปน
1.3
84 2.
5
42
3. 5
28 4. 5
15
5.25
42
21. มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10ถาส มเลขโดดนมา 4 จานวน แลวความนาจะเปนท ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนไมเปนจานวนลบเทากับขอใดตอไปน
1.47
126 2.
70
126
3. 41
63 4. 47
63
5.56
63
22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนหองหน งมการแจกแจงปกต ถาผลตางของคะแนนท เปอรเซนไทล 67 และเปอรเซนไทลท 33 เทากับ 11 คะแนนแลว สวนเบ ยงเบนมาตรฐานคอ ขอใดตอไปน เม อกาหนดตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกต
z 0.17 0.33 0.44 0.67
พนท ใตเสนโคง 0.066 0.13 0.17 0.25
1. 9.5 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 12.5 คะแนน 4. 14 คะแนน 5. 15.5 คะแนน
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
8/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 7 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
23. ให 1 2 3 11x , x , x , ... , x เปนขอมล 11 จานวน ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต
ถาผลคณ 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3 แลวมัธยฐานของขอมลชดน เทากับขอใดตอไปน
1. 36 2. 723. 144 4. 216
5. 426
24. ถาลาดับ
n(n 2)
2
n 2n
1a dx
x
แลวn
n 1
a
n
มคาเทากับขอใดตอไปน
1.1
4 2.
1
2
3.3
4 4. 1
5.5
4
25. กาหนดให f(x) เปนฟังกชันพหนาม ซ ง2
f (x) 3x 6x
และx 5
G(x)
f(x)
ถา G(x) ตอเน องท x = –1 แลว f มคาต าสดสัมพัทธเทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1
3. 2 4. 3
5. 4
26. ผลการสอบวชาประวัตศาสตรซ งมคะแนนเตม 20 คะแนนของนักเรยน 10 คน เปนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y
ถาคาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนนแลวมัธยฐานของคะแนนสอบเทากับขอใดตอไปน 1. 10 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 11.5 คะแนน 4. 12 คะแนน 5. 12.5 คะแนน
เม อ x < – 1
เม อ x – 1
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
9/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 8 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
27. ถา f(x) =100 2k 1
k 1
k x
แลว 1 f ( 2)
2 มคาเทากับขอใดตอไปน
1. 991 99 2 2. 991 100 2
3. 992 99 2 4. 1001 99 2
4. 1001 100 2
28. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 155} และ i เปนจานวนเชงซอน ซ ง 2i 1
ถา 2x 5 x 21 iB x A ( ) i1 i
แลวจานวนสมาชกของ B เทากับขอใดตอไปน
1. 19 2. 20
3. 35 4. 38
5. 39
29. กาหนดใหcos sin
3 3Asin cos
3 3
และ S = {1, 2, 3, ..., 100}ถาส มสมาชก 1 ตัวจาก S แลวความนาจะเปนท จะไดจานวนนับ k
ซ ง kA I โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณ เทากับขอใดตอไปน
1.9
100 2.
16
100
3. 18
100 4. 24
100
5.29
100
30. กาหนดให P(x) เปนพหนามซ งมสัมประสทธ เปนจานวนเตมบวก ถา P(1) = 10 และ P(10) = 2,116แลว P(–1) เทากับขอใดตอไปน 1. 4 2. 10
3. 51 4. 106
5. 1,053
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
10/42
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
11/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 10 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ตอนท 1 แบบระบายตัวเลขท เปนคาตอบ จานวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1. ให S = { x | x เปนจานวนเตมท สอดคลองกับอสมการ 6 x 3 5x }จานวนสมาชกของ S เทากับขอใดตอไปน 1. 14 2. 15
3. 16 4. 17
5. 18
เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด
จากอสมการ 6 x 3 5x ... (1)จะได 5x 0 x > 0ยกกาลังสองทังสองขางของ (1) จะได
2 2
2 26 x 3 (5x)
(6 x 18) (5x)
2 2(6 x 18) (5x) 0
[(6 x 18) 5x ][(6 x 18) 5 x ] 0
(x 18)(11x 18) 0
เซตคาตอบของอสมการ 6 x 3 5x คอ 18 ,1811
ดังนัน S = {2, 3, 4, 5, ... , 17}แสดงวาจานวนสมาชกของ S เทากับ 16
1818
11
เง อนไข x > 0
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
12/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 11 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
2. กาหนดให P(x) = 5 3ax bx cx d เม อ a, b, c และ d เปนคาคงตัว ถา x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10 และ x หาร P(x) เหลอเศษ 6
แลวx + 1
หารP(x)
เหลอเศษเทากับขอใดตอไปน
1. –10 2. –6
3. 2 4. 4
5. 6
เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด
จาก P(x) =5 3
ax bx cx d โดยท x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10
จะได P(1) = 10 5 3a(1) b(1) c(1) d 10 a + b + c + d = 10 ... (1)
โดยท x หาร P(x) เหลอเศษ 6
จะได P(0) = 6 5 3a(0) b(0) c(0) d 6 d = 6
แทนd = 6
ใน(1)
จะไดa + b + c + 6 = 10
a + b + c = 4 ... (2)
โดยท P(–1) = 5 3a( 1) b( 1) c( 1) d = –a – b – c + d
= –(a + b + c) + d
= –4 + 6
= 2
ดังนัน x + 1 หาร P(x) เหลอเศษ 2
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
13/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 12 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
3. ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกัดฉาก 3 มต
โดยท u 5
และv 3
แลว
2 2u v u v
เทากับขอใดตอไปน
1. 15 2. 5 3
3. 8 4. 5 3 3 5
5. 15
เฉลย ตัวเลอก 5.แนวคด
จากสมบัต u v u v cos และ u v u v sin และโจทยกาหนดให u 5 และ v 3
จะได u v u v cos 5 3 cos 15 cos
และ u v u v sin 5 3 sin 15 sin
ดังนัน
2 22 2
2 2
2 2
2 2
u v u v 15 cos 15 sin
15 cos 15 sin
15 cos sin
15 1 [ cos sin 1]
15
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
14/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 13 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถา 2
a
log b 5 แลว 2b
log a เทากับขอใดตอไปน
1.1
20 2.
1
10
3.1
5 4. 10
5. 20
เฉลย ตัวเลอก 1.แนวคด
จากท กาหนดให 2alog b 5
จะได a1
log b 52
[ n aa1
log b log bn
]
alog b 10 ...(1)
ดังนัน 2 bb1
log a log a2
[ n aa1
log b log bn
]
a
1 1
2 log b
[b
a
1log a
lo g b
]
1 1
2 10
[จาก (1) a: log b 10 ]
1
20
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
15/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 14 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
5. ถา S เปนเซตของจานวนจรง a ซ งทาใหระบบสมการ ax + 2y – 2z = –1
x + y – z = 0
2x + y + 2z = 2
มคาตอบเพยงคาตอบเดยว แลว S คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( , 1) (1, ) 2. ( , 1) (0, )
3. ( , 2) (2, ) 4. ( , 2) ( 2, )
5. { 2, 1,1, 2}
เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด
จากระบสมการax + 2y – 2z = –1
x + y – z = 0
2x + y + 2z = 2
ใหa 2 2 x 1
A 1 1 1 , X y , B 0
2 1 2 z 2
จะไดระบบสมการดังกลาวสมมลกับสมการเมทรกซ AX = B 1X A B
ซ งสมการดังกลาวนจะมคาตอบเพยงคาตอบเดยวเม อ 1A สามารถหาได นั นคอ det A 0
a 2 2
1 1 1 0
2 1 2
[ 2a + (–4) + (–2) ] – [ –4 + 4 + (–a)] 0
3a – 6 0
a 2
ดังนัน S = (–, ) – {2} = (–, 2)(2, )
คาตอบเดยวนั นคอ 1X A B
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
16/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 15 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
6.3
tan[ arcsin( )]4 5
มคาเทากับขอใดตอไปน
1. 17 2. 1
9
3.1
9 4.
1
7
5. 9
เฉลย ตัวเลอก 4.แนวคด
ให 3A arcsin( )5 3sinA5
จะได 3tanA4
ดังนัน 3tan[ arcsin( )]4 5
= tan[ A]4
=
tan tan A4
1 tan tan A4
[ tan A tan B
tan(A B) 1 tan A t an B
]
=
31 ( )
43
1 (1)( )
=1 4
4 7
=1
7
35
A4
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
17/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 16 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
7. ตารางแจกแจงความถ สัมพัทธของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนกล มหน งเปนดังน
คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ 0 – 19 0.1
20 – 39 0.1
40 – 59 0.3
60 – 79 0.3
80 – 99 0.2
คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบของนักเรยนกล มน เทากับขอใดตอไปน 1. 57.5 คะแนน 2. 58.5 คะแนน 3. 60.5 คะแนน 4. 62.5 คะแนน 5. 63.5 คะแนน
เฉลย ตัวเลอก 1.แนวคด
สมมตให N แทนจานวนนักเรยนกล มน
โดย ความถ สัมพัทธ =ความถ ของอันตรภาคชัน
จานวนขอมลทังหมด =if
N เม อ i = 1, 2, 3, 4, 5
จะได if N ความถ สัมพันธ
คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ ความถ if
จดก งกลางชัน ( ix )มาก+นอย
2 i
i
x 49.5d
20
i if d
0 – 19 0.1 0.1N 0 192 9.5 –2 –0.2N
20 – 39 0.1 0.1N20 39
2
29.5–1 –0.1N
40 – 59 0.3 0.3N40 59
2
49.5 0 0
60 – 79 0.3 0.3N60 79
2
69.51 0.3N
80 – 99 0.2 0.2N80 99
2
89.5 2 0.4N
5i i
i 1
f d = 0.4N
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
18/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 17 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนันคาเฉล ยเลขคณต =
5
i ii 1
f d0.4N
20 49.5 20 49.5 57.5N N
8. พจารณา 2x 2 2 1 8lim x 2 x 2 x 4 ขอใดตอไปนเปนจรง
1. หาคาไมได 2. มคาเทากับ 34
3. มคาเทากับ 14
4. มคาเทากับ 14
5. มคาเทากับ 34
เฉลย ตัวเลอก 5.
แนวคด
2x 2 x 2
x 2
x 2
x 2
2 1 8 2 x 2 1 x 2 8lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2)x 4
(2x 4) (x 2) 8lim
(x 2)(x 2)
3x 6lim
(x 2)(x 2)
3 (x 2)lim
(x 2)
x 2
(x 2)
3lim
x 2
3
4
หมายเหต การตรวจสอบร ปแบบท ไมกาหนด
x 2
x 2
x 2
2 2
lim x 22 0lim
x 2 2 2lim
x 2 0
2x 2
2x 2
2x 2
8 8
lim8 x 4 0lim
8 8x 4 limx 4 0
และx 2
1 1lim
x 2 4
ดังนัน เม อ x 2 จะได2
x 2
2 1 8 1lim ( )
x 2 x 2 4x 4
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
19/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 18 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
เม อ x 2 จะได2
x 2
2 1 8 1lim
x 2 x 2 4x 4
แสดงวา2x 2
2 1 8lim
x 2 x 2 x 4
เปนรปแบบท ยังไมกาหนด(Indeterminate Form)
9. ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต โดยท 1a 96 และ 4a 12
แลว nn 1
a
เทากับขอใดตอไปน
1. 120 2. 128
3. 144 4. 192
5. 288
เฉลย ตัวเลอก 4.แนวคด
โดยท 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต และม 1a 96 , 4a 12
จะได 3 34 13
a a r 12 96 r
1r
8
1r2
และจะไดn 1
n 1n 1
1a a r 96
2
ดังนันn 1
nn 1 n 1
n 1
2 11 1 1 1
1a 96
2
1 1 196 1 ... ( ) ...
2 4 2
a1 196 [ a a r a r ... , a 1, r ]
1 1 r 21
2
192
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
20/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 19 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
10. ถา2
2
(x 1) 5 x 1
f(x) 5 1 x 1
(x 1) 5 x 1
แลว (f f) (2) เทากับขอใดตอไปน 1. –12 2. –8
3. 0 4. 8
5. 12
เฉลย ตัวเลอก 1.แนวคด
เพราะวา (f f) (2) f (f(2)) f (2)
หา f(2) , f (2)
เม อ x > 1 จะได f(x) = 2(x 1) 5
f (x) 2(x 1)
ดังนัน f(2) = 2(2 1) 5 = –4และ f (2) = 2(2 – 1) = 2
หา f (f(2)) f ( 4)
เม อx < 1
จะไดf(x) = 2(x 1) 5
f (x) 2(x 1)
ดังนัน f ( 4) = 2(–4 + 1) = –6นั นคอ f (f(2)) 6
จากขางตนเราไดวา f (2) 2 และ f (f(2)) 6
เม อ เม อ เม อ
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
21/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 20 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนัน (f f) (2) f (f(2)) f (2)
6 2
12
ตอนท 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลอก เลอก 1 คาตอบท ถกท สด จานวน 20 ขอ ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. กาหนดให 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง ถา 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 โดยท 1z 2 และ 3 1z z แลว 2 3z z เทากับขอใดตอไปน
1. 1 3 i 2. 1 3 i
3. 1 3 i 4. 2 2 i
4. 2 2 i
เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด 1
1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง และ 1z 2 จะได 2 3z z 2
และผลตางของอารกวเมนทของ 1 2 3z , z , z เทากับo
o360 1203
สมมตให 1z 2 cos i sin
จะได o o2z 2 cos( 120 ) isin( 120 ) และ o o3z 2 cos( 240 ) isin( 240 ) แตโจทยกาหนดวา 3 1z z
ดังนัน
o o
o o
2 cos( 240 ) i sin( 240 ) 2 cos i sin
2 cos( 240 ) i sin( 240 ) 2 cos( ) i sin( )
แสดงวา cos( 240) cos( ) และ sin( 240) sin( )
ดังนัน
o o
o o
o o
o
o
cos( ) sin( 240 ) sin( ) cos( 240 )
cos sin( 240 ) sin cos( 240 )
cos sin( 240 ) sin cos( 240 ) 0
sin ( 240 ) 0
sin 2 240 0
แต o o0 90 ดังนัน o o o2 240 360 60 จะได o o o o2z 2 cos( 120 ) isin( 120 ) 2 cos 180 isin 180 2( 1 0i) 2
1z
3z
2z
y
x
ถา z r(cos i sin ) จะได z r(cos( ) i sin( ))
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
22/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 21 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
o o o o3 1 3z 2 cos( 240 ) isin( 240 ) 2 cos 300 ) isin 300 2( i) 1 3i2 2
ดังนัน2 3z z 2 (1 3 i) 1 3 i
11. กาหนดให 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง ถา 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 โดยท 1z 2 และ 3 1z z แลว 2 3z z เทากับขอใดตอไปน
1. 1 3 i 2. 1 3 i
3. 1 3 i 4. 2 2 i
4. 2 2 i
เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด 2
สมมต 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง จะได3 3 31 2 3
z z z
ให 1z x yi จะได 3 1z z x yi
จาก3 3
1 3z z 3 3
(x yi) (x yi) 3x 2 2 3 33x (yi) 3x(yi) (yi) x 2 2 3
2 2
3x (yi) 3x(yi) (yi)
3x y i 3x y
3 2 2y i 3x y i 3x y 3
2 3
2 2
y i
6x y i 2 y i 0
2y(3 x y ) i 0
2y( 3 x y)( 3 x y) i 0
ดังนัน y = 0 หรอ y 3x หรอ y 3x แต 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 จะไดวา y 3x
จะพบวา ytan 3x
เม อ 1Arg(z )
จะได o60
โดยท 1z 2 จะไดo o
1z 2(cos 60 isin 60 )
ดังนันo o
2z 2(cos(120 60) isin(120 60)) 2(cos180 is in180 ) 2
1z
3z
2z
y
xo60o120
o
o360 1203
o120
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
23/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 22 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
o o3
1 3z 2(cos(120 180) isin(120 180)) 2(cos 300 i sin 300 ) 2( i) 1 3 i
2 2
ดังนัน 2 3z z 2 (1 3 i) 1 3 i
12. เศษเหลอท ไดจากการหาร 11111 ดวย 1,210 เทากับขอใดตอไปน 1. 1 2. 11
3. 111 4. 121
5. 211
เฉลย ตัวเลอก 4.
แนวคด 1 เพราะวา 111 2 10911 11 11 และ 1210 = 211 10
พจารณา 109 10911 (10 1)
โดยทฤษฎบททวนามจะได เศษของการหาร 10911 ดวย 10 จากเศษของการหาร 1091 ดวย 10 ซ งมเศษเหลอเทากับ 1
ดังนันจะม จานวนเตม q ซ ง 10911 10q 1 2 109 2
111
11 11 11 (10 q 1)
11 1210q 121
โดย q เปนจานวนเตม
แสดงวา 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121
แนวคด 2
เพราะวา 111 3 37 37 3711 (11 ) (1331) (1210 121)
โดยทฤษฎบททวนามจะได เศษของการหาร 11111 ดวย 1210 จากเศษของการหาร 37121 ดวย 1210 โดยอปนัย ดังน 1121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 1212121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 1213121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121
ดังนัน 37121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121
นั นคอ 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
24/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 23 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
แนวคด 3 แนวคดน ตองระวังเร องการหารในระบบจานวนเตม เก ยวกับเศษของการหาร109111 2 109 109 (10 1)11 11 11 11 1 121
10q 10q1210 121 10 10 10 10 1210
เม อ q เปนจานวนเตม
ดังนัน 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121
13. ถา a และ b เปนคาคงตัว ซ งอสมการ2
x a0
(x b)
มเซตคาตอบคอ ชวง (1, )
แลว a + b เทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1
3. 0 4. 1
5. 2
เฉลย ตัวเลอก 1.แนวคด
เพราะวา 2(x b) 0 เม อ x –b
ดังนันจากท โจทยกาหนดให2
x a0
(x b)
แสดงวาเม อ x –b คาของ x + a 0x –a
ทาใหเซตคาตอบคอ [–a, ) – {–b}
แตโจทยกาหนดใหเซตคาตอบคอ (1, )แสดงวา –a = 1 และ –a ไมเปนคาตอบของอสมการ แสดงวา –a = –bดังนัน a = –1 และ a = bนั นคอ a = –1 และ b = –1
ดังนัน a + b = –2
a
1
b
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
25/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 24 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
14. กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัวซ งมดาน AB = AC
ถามม A = o150 และดาน BC ยาวเทากับ 16 หนวยแลว พ นท สามเหล ยม ABC เทากับขอใดตอไปน
1.64
3 ตารางหนวย 2. 64(2 3) ตารางหนวย
3. 32(3 2) ตารางหนวย 4. 64 ตารางหนวย
5. 64(2 3) ตารางหนวย
เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด
กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัว
ซ งมดาน AB = AC และมม A = o150
จะได o oABC 15 , ACB 15
แนวคดท จะหาพนท น จะหาจาก 1 ˆAB AC sinBAC2
จงตองหา AB และ AC โดยอาศัย Law of Sines : AB AC BCˆ ˆ ˆsin ACB sin ABC sin BAC
พจารณาAB BC
ˆ ˆsin ACB sin BAC
o o
AB 16
sin 15 sin 150
o
o
16AB sin 15
sin150
o o
o
16AB sin(45 30 )
sin150
o o o oo
16AB sin 45 cos 30 cos 45 sin 30
sin150
16 2 3 2 1AB
1 2 2 2 2
2
AB 8 2 3 1
จะได AB AC 8 2 3 1
B C
A
o150
o15 o15
16
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
26/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 25 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนัน พ นท สามเหล ยม ABC = 1 ˆAB AC sinBAC2
= o1
8 2( 3 1) 8 2( 3 1) sin1502
=
1 1
8 2( 3 1) 8 2( 3 1)2 2 = 64(2 3) (ปาลม Keep Onรวมแสดงแนวคด)
15. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต พจารณาขอความตอไปน
ก. (u v) w u (v w) ข. (u v) w u (v w)
ค.2 2
(u v) (u v) u v ง. (u v) (u v) 2(u v)
จานวนขอความท ถกตอง เทากับขอใดตอไปน 1. 0 (ไมมขอความใดถก) 2. 13. 2 4. 3
5. 4
เฉลย ตัวเลอก 4แนวคด
ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต ก. โดยท (u v) w (v w) u u (v w)
ดังนัน ก. ถก
ข. กาหนดให u v 2 i j และ w k จะพบวา u v 0 ทาให (u v) w 0 w 0
แต
i j k
v w 2 1 0 i 2 j0 0 1 ทาให
i j k
u (v w) 2 1 0 5k1 2 0
จะพบวาถา u v 2 i j และ w k (u v) w u (v w) ดังนัน ข. ผด
ค. โดยท (u v) (u v) u u v u u v 2 2
v v
u v
ดังนัน ค. ถก
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
27/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 26 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ง. โดยท (u v) (u v) u u v u u v v v0 u v u v 0
2(u v)
ดังนัน ง. ถก
ดังนันมขอความท ถกตอง 3 ขอความ
16. ให s เปนวงกลมท อย ในควอดรันตท 1 ซ งสัมผัสแกน X และ แกน Yและเสนตรง ซ งมสมการเปน 3x 4y 24 0 ถา C เปนจดศนยกลางของวงกลม s และ P เปนจดท วงกลม s สัมผัสเสนตรง
แลวสมการเสนตรงท ผานจด C และจด P คอขอใดตอไปน 1. 4x + 3y – 28 = 0 2. 4x + 3y – 32 = 0
3. 4x + 3y – 40 = 0 4. 3x + 4y – 28 = 0
5. 3x + 4y – 32 = 0
เฉลย ตัวเลอก 1 แนวคด
เน องจากวงกลม s สัมผัสแกน x และแกน yดังนัน h = k = รัศมวงกลม(r) ...(1)และเน องจากเสนตรง 3x 4y 24 0 สัมผัสวงกลม sดังนัน รัศมวงกลม = ระยะทางจากจด (h, k) ไปยัง
นั นคอ r = 2 23h 4k 24
3 ( 4)
r =3h 4k 24
5
...(2)
จาก (1) และ (2) จะได 3h 4h 24
h5
5h = |24 – h|
5h = 24 – h หรอ 5h = h – 24
h = 4 หรอ h = –6แต h > 0 ดังนัน h = 4 ทาใหจดศนยกลางวงกลม s คอ C(4, 4)
y
x
: 3x 4y 24 0
C
P
(h, k)
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
28/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 27 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
เน องจากเสนตรง 3x – 4y + 24 มความชันเทากับ 34
ดังนันเสนตรงท ผานจด P และ C ซ งตังฉากกับเสนตรง มความชันเทากับ 43
จะไดสมการเสนตรงท ผานจด P และ C คอ 4
y 4 (x 4)3
4x + 3y – 28 = 0
17. กาหนดให A เปนเมทรกซมต 3 3 ซ ง [A : I] [I : P]
โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณมต 3 3 และ P =1 2 00 1 21 0 1
ถา1 a
A 2 b3 c
แลว a มคาเทากับขอใดตอไปน
1. –17 2. –5
3.17
5 4. 5
17
5.17
5
เฉลย ตัวเลอก 5. แนวคด
จากท กาหนดให [A : I] [I : P] จะไดวา 1A P
และ1 a
A 2 b3 c
จะได 11 a2 A b3 c
1 a2 P b
3 c
1 1 2 0 a2 0 1 2 b3 1 0 1 c
โดยการแกระบบสมการวธการของคราเมอร(Cramer’s Rule)
a + 2b = 1
–b + 2c = 2
a – c = 3
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
29/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 28 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
จะได
1 2 0
2 1 2
3 0 1 (1 12 0) (0 4 0) 17a
1 2 0 (1 0 4) (0 0 0) 5
0 1 2
1 0 1
18. ผลบวกของคาตอบของสมการlog x log x
9 10(3 ) 9 0
เทากับขอใดตอไปน 1. 11 2. 993. 101 4. 111
5. 1001
เฉลย ตัวเลอก 3แนวคด
จากสมการlog x log x
9 10(3 ) 9 0 กาหนดให logxA 3
จะได log x 2 log x log x 2 29 (3 ) (3 ) A
จัดสมการใหมไดเปน 2A 10A 9 0 (A – 9)(A – 1) = 0
A = 9 หรอ A = 1
ดังนันlogx
3 9 หรอlogx
3 1 log x 23 3 หรอ log x 03 3
log x = 2 หรอ log x = 0
x = 210 หรอ x = 010x = 100 หรอ x = 1
เซตคาตอบของสมการคอ {100, 1}
ผลบวกของคาตอบเทากับ 100 + 1 = 101
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
30/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 29 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
19. กาหนดให S x 0 x 2 และ 24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25
S เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปน
1. 3 5 10 12 14, , , , ,8 8 8 8 8 8
2. 2 4 7 8 9, , , , ,
6 6 6 6 6 6
3. 2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4
4. 3 3 8 7, , , , ,
6 4 6 4 6 4
5. 2 3 5 7, , , , ,3 4 3 4 3 4
เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด
24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25
2 2
2 2
22
22
2 2
2 2
4(2 cos x 1) 4 cos x
4(2 cos x) 4 4 cos x
4(2cos x)4 cos x
4
24 cos x4 cos x
24 cos x 4 cos x
24 cos x 4 cos x
125 5 4 5 25
125 5 4 5 25
5125 4 5 25
5
54 5 25
5
5 20 5 125
5 20 5 125 0
ให24cos xA 5 ; 2A 20A 125 0
(A – 25)(A + 5) = 0
A = 25, –5
แต A > 0 ดังนัน A = 25
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
31/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 30 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
24 cos x 25 5 24 cos x 2 2 2cos x
4
1cosx2
2cosx
2
ดังนัน x = 3 5 7, , ,4 4 4 4
นั นคอ S = 3 5 7, , ,4 4 4 4
2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4
20. ความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน152 , 153 , 155 , 158 , 159 , 160 , 162 , 166 , 175
ถาส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตของความสง ของเดกกล มนเทากับขอใดตอไปน
1.3
84 2.
5
42
3.5
28 4.
5
15
5. 2542
เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด
คาเฉล ยของความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน
= 152 153 155 158 159 160 162 166 175
9
= 160 เซนตเมตร
การทดลองส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน จะได n(S) = 9 39 !
C 843 !6 !
ให E แทนเหตการณส มเลอกเดกกล มน มา 3 คนมความสงเตยกวาคาเฉล ยเลขคณต โดยท มนักเรยน 5 คน ท มความสงเตยกวาคาเฉล ยเลขคณต
ดังนัน n(E) =5
3
5 !
C 2 ! 3 ! = 10
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
32/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 31 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนัน
ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตของความสงของเดกกล มน = 1084
=5
42
21. มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10ถาส มเลขโดดนมา 4 จานวน แลวความนาจะเปนท ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนไมเปนจานวนลบเทากับขอใดตอไปน
1.47
126 2.
70
126
3.41
63 4.
47
63
5.56
63
เฉลย ตัวเลอก 4.แนวคด
มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10
การทดลองส มเลขโดดนมา 4 จานวน จะได n(S) = 9 49 !
C 1264 ! 5 !
ให E แทนเหตการณส มเลอกเลขมา 4 จานวน ผลคณของเลขโดด 4 จานวนน ไมเป นจานวนลบ E แทนเหตการณส มเลอกเลขมา 4 จานวน ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนเป นจานวนลบ
[ตอไปจะหา n(E ) ]
โดยท จานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ เม อ กรณท 1 : ใน 4 จานวนนันเปนจานวนบวก 1 จานวน เป นจานวนลบ 3 จานวน
เลอกจานวนบวก 1 จานวนจากจานวนบวก 4 จานวน ม 4 1C 4 วธ
เลอกจานวนลบ 3 จานวนจากจานวนลบ 4 จานวน ม 4 3C 4 วธดังนันเลอกจานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ ม 4 4 16 วธ
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
33/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 32 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
กรณท 2 : ใน 4 จานวนนันเปนจานวนบวก 3 จานวน เป นจานวนลบ 1 จานวน
เลอกจานวนบวก 3 จานวนจากจานวนบวก 4 จานวน ม 4 3C 4 วธ
เลอกจานวนลบ 1 จานวนจากจานวนลบ 4 จานวน ม 4
1C 4 วธดังนันเลอกจานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ ม 4 4 16 วธ
ดังนัน n(E ) 16 16 32 นั นคอ n(E) n(S) n(E) 126 32 94
P(E) = 5 394 47
C126 63
22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนหองหน งมการแจกแจงปกต ถาผลตางของคะแนนท เปอรเซนไทล 67 และเปอรเซนไทลท 33 เทากับ 11 คะแนนแลว สวนเบ ยงเบนมาตรฐานคอ ขอใดตอไปน เม อกาหนดตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกต
z 0.17 0.33 0.44 0.67
พนท ใตเสนโคง 0.066 0.13 0.17 0.25
1. 9.5 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 12.5 คะแนน 4. 14 คะแนน 5. 15.5 คะแนน
เฉลย ตัวเลอกแนวคด
ให 1 2z , z เปนคะแนนมาตรฐานของคะแนนท ตรงกับเปอรเซนไทลท 67 และ 33 ตามลาดับ
พจารณาคะแนนท เปอรเซนไทล 67พ นท ทางซายของคะแนนนเทากับ 0.67ดังนันพ นท ระหวางคามาตรฐาน 0 และ 1z เทากับ 0.67 – 0.5 = 0.17จากตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกตท กาหนด จะได 1z 0.44 ...(1)
พจารณาคะแนนท เปอรเซนไทล 33พ นท ทางซายของคะแนนนเทากับ 0.33
0.33
0.5 0.33 0.17
0.67
0.67 0.5 0.17
0 1z
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
34/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 33 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนันพ นท ระหวางคามาตรฐาน 0 และ 2z เทากับ 0.5 – 0.33 = 0.17จากตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกตท กาหนด
จะได 2z 0.44 ...(2)จาก xz
และโจทยกาหนดให 66 33P P 11
ดังนันจาก (1) และ (2) จะได 661 66P
z 0.44 P
...(3)
332 33
Pz 0.44 P
...(4)
(3) – (4);66 33
110.88 P P 12.5
0.88
23. ให 1 2 3 11x , x , x , ... , x เปนขอมล 11 จานวน ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต
ถาผลคณ 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3 แลวมัธยฐานของขอมลชดน เทากับขอใดตอไปน
1. 36 2. 72
3. 144 4. 216
5. 426
เฉลย ตัวเลอก 2.
แนวคดกาหนดให 1 2 3 11x , x , x , ... , x ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต
จาก 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3
จะได 4 5 33 226 6 6 6 65 4x x
x (x r )(x r ) 2 3r r
11 3 2 116x (2 3 )
6x 72
ตาแหนงมัธยฐานเทากับ 1 (11 1) 62
ถา r 1
จะไดวา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x x x x x x x x x x x ทาใหมัธยฐานเทากับ 6x 72 ตรงกับตัวเลอกท 2
ถา 0 < r < 1
จะไดวา 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1x x x x x x x x x x x
ทาใหมัธยฐานเทากับ 6x 72 ตรงกับตัวเลอกท 2
เปล ยนทกคาในรปของ 6x
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
35/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 34 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.ถา –1 < r < 0
เน องจาก 6x 72 0 ดังนัน 1x 0 จะไดวา 1 3 5 7 9 11 10 8 6 4 2x x x x x x x x x x x
ทาใหมัธยฐานเทากับ 11x < 0
แตในตัวเลอกไมมคาใดนอยกวา0
ถา r –1
เน องจาก 6x 72 0 ดังนัน 1x 0 จะไดวา 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10x x x x x x x x x x x ทาใหมัธยฐานเทากับ 1x < 0 แตในตัวเลอกไมมคาใดนอยกวา 0
24. ถาลาดับn(n 2)
2
n 2n
1a dx
x
แลว nn 1
a
n
มคาเทากับขอใดตอไปน
1.1
4 2.
1
2
3.3
4 4. 1
5. 54
เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด
n(n 2)
2
n 2n
n(n 2)
2
n
1a dx
x
1
x
1 1
n(n 2) n
2
2 1
n(n 2) n
n
2 (n 2)a
n(n 2)
n
n(n 2)
n
n (n 2)
1
n 2
ดังนัน
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
36/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 35 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
n
n 1 n 1
n 1
n
n
a 1
n n(n 2)
1 1 1
2 n n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
2 1 3 2 4 3 5 4 6 n 1 n 1 n n 2
1 1 1 1 1lim
2 1 2 n 1 n
1 1 10 0
2 1 2
3
4
25. กาหนดให f(x) เปนฟังกชันพหนาม ซ ง 2f (x) 3x 6x
และx 5
G(x)
f(x)
ถา G(x) ตอเน องท x = –1 แลว f มคาต าสดสัมพัทธเทากับขอใดตอไปน
1. –2 2. –13. 2 4. 3
5. 4
เฉลย ตัวเลอก 5.แนวคด
เน องจาก G(x) ตอเน องท x = –1 จะได x 1
G( 1) lim G(x)
x 1f ( 1) lim G(x)
x 1f( 1) lim (x 5)
f( 1) 1 5
f( 1) 4
จาก 2f (x) 3x 6x จะได 2f(x) (3x 6x) dx 3 2
3
3x 6xc
3 2
x 3x c
เม อ x < – 1
เม อ x – 1
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
37/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 36 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
แต f(–1) = 4 จะได 3 2( 1) 3( 1) c 4 c = 8
ดังนัน f(x) = 3 2x 3x 8 และ 2f (x) 3x 6x
หาคาวกฤต ให 2f (x) 0 ; 3x 6x 0
3x(x 2) 0
x 0, 2
จากกราฟทดสอบฟังกชันเพ มลด จะไดf(0) เปนคาสงสดสัมพัทธ
f(2) เปนคาต าสดสัมพัทธ ซ งเทากับ f(2) = 32 – 23(2) + 8 = 4
26. ผลการสอบวชาประวัตศาสตรซ งมคะแนนเตม 20 คะแนนของนักเรยน 10 คน เปนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y
ถาคาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนนแลวมัธยฐานของคะแนนสอบเทากับขอใดตอไปน 1. 10 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 11.5 คะแนน 4. 12 คะแนน 5. 12.5 คะแนน
เฉลย ตัวเลอก 5.แนวคด
จากคะแนนของนักเรยน 10 คน มคะแนนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y
คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนน
จะได x 16 8 12 13 7 9 11 18 y 12.710
x y 94 12.7 10
x y 94 127
x y 33
เน องจากคะแนนเตมเทากับ20
คะแนน
ดังนัน ถามคา x หรอ y คาใดคาหน งเทากับ 20 อกคาหน งเปน 13
0 2f (x)
f เพ ม f ลด f เพ ม
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
38/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 37 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
แสดงวา 13 x 20 และ 13 y 20
จากคะแนนของนักเรยน 10 คน เรยงคะแนนจากนอยไปหามากไดดังน
7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 16 , 18
ตาแหนงมัธยฐาน คอ 10 1 5.52
ดังนัน มัธยฐาน เทากับ 12 13 12.52
27. ถา f(x) =100 2k 1
k 1
k x
แลว 1 f ( 2)
2 มคาเทากับขอใดตอไปน
1. 991 99 2 2. 991 100 2
3. 992 99 2 4. 1001 99 2
4. 1001 100 2
เฉลย ตัวเลอก 4.แนวคด
100 2k 1
k 1
3 5 7 9 199
k x
f(x) x 2x 3x 4x 5x ... 100x ...(
f(x)
1)
xf(x); 2 3 5 7 9 11 201x f(x) x 2x 3x 4x 5x ... 100x ...(2)
(1) – (2); 2 3 5 7 9 199 201f(x) x f(x) x x x x x ... x 100x
2 1002 201
2
1 (x )(1 x )f(x) x 100x
1 x
...(3)
แทน x = 2 ใน (3) ;
x y
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
39/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 38 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
2 1002 201
2
1002 100
100 100
100 100
100 100
100
1 (( 2) )(1 ( 2) )f( 2) 2 100( 2)
1 ( 2)
1 2(1 2)f( 2) 2 100 2(( 2) )
1 2
( 1)f( 2) 2 1 2 100 2 (2 )
f( 2) 2 1 2 100 2 (2 )
f( 2) 2 2(2 ) 100 2 (2 )
f( 2) 2 99 2(2 )
ดังนัน1 1
f( 2)2 2 2 99 2 100
100
(2 )
1 99(2 )
28. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 155} และ i เปนจานวนเชงซอน ซ ง 2i 1
ถา 2x 5 x 21 iB x A ( ) i
1 i
แลวจานวนสมาชกของB เทากับขอใดตอไปน
1. 19 2. 20
3. 35 4. 38
5. 39
เฉลย ตัวเลอก 5.แนวคด
จากสมการ2x 5 x 21 i
( ) i1 i
จะได2x 5
x 21 i 1 i i1 i 1 i
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
40/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 39 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
2x 5x 2
2 2
2x 5x 2
2x 5 x 2
2x 5
x 2
x 3
1 2i 1i
1 1
2ii
2
i i
i1
i
i 1
โดยท ni 1 เม อ n หารดวย 4 ลงตัว ดังนัน x – 3 มคาเปน 0, 4, 8, 12, 16, ..., 152
x มคาเปน 3, 7, 11, 15, 19, ... , 155
แสดงวา B = {3, 7, 11, 15, 19, ..., 155}โดยสมาชกใน B มคาเรยงเปนลาดับเลขคณต มพจนท 1 เทากับ 3 มผลตางรวมเทากับ 4ดังนัน พจนทั วไป n(a ) = 3 + (n – 1)4
= 4n – 1
ถาให na 155 จะได 4n 1 155 n = 39
แสดงวาสมาชกในเซต B ม 39 จานวน
29. กาหนดใหcos sin
3 3Asin cos
3 3
และ S = {1, 2, 3, ..., 100}
ถาส มสมาชก 1 ตัวจาก S แลวความนาจะเปนท จะไดจานวนนับ k
ซ ง kA I โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณ เทากับขอใดตอไปน
1.9
100 2.
16
100
3.18
100 4.
24
100
5.29
100
เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
41/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 40 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
เพราะวา1 3
cos sin3 3 2 2A
3 1sin cos3 3 2 2
พบวา 21 3 1 3 1 32 2 2 2 2 2A3 1 3 1 3 1
2 2 2 2 2 2
3 2
1 3 1 31 0
2 2 2 2A AA0 13 1 3 1
2 2 2 2
4 3
1 3 1 31 0
2 2 2 2A AA0 13 1 3 1
2 2 2 2
5 4
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2A AA3 1 3 1 3 1
2 2 2 2 2 2
6 5
1 3 1 31 0
2 2 2 2A AA I0 13 1 3 1
2 2 2 2
n(S) = 100
E ={ k S | kA I } = {6, 12, 18, ..., 96} 96 6n(E) 1 166
ดังนัน P(E) = 16100
30. กาหนดให P(x) เปนพหนามซ งมสัมประสทธ เปนจานวนเตมบวกถา P(1) = 10 และ P(10) = 2,116 แลว P(–1) เทากับขอใดตอไปน 1. 4 2. 10
3. 51 4. 106
5. 1,053
เฉลย ตัวเลอก 1แนวคด 1
สาหรับจานวนนับ n
กาหนดใหพหนามn n 1
n n 1 1 0P(x) a x a x ... a x a
เม อ 0 1 2a ,a ,a , . . . เปนจานวนเตมบวก
โดยท P(10) = 2,116
เม อคณตอไปเร อยๆจะพบวา A = 7 13A A ...
2 8 14A A A ... 3 9 15A A A ... 4 10 16A A A ... 5 11 17A A A ... 6 12 18A A A ... I
แนวคด 2
เน องจาก 3 22116 (2 10 ) (1 10 ) (1 10) 6
ถากาหนด 3 2P(x) 2x x x 6 จะพบวา P(1) = 10 และ P(10) =2116 ตามท กาหนด ดังนัน P(–1) = 4
-
8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)
42/42
รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 41 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.
ดังนัน n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116
จะพบวา ถา n > 3 จะทาให n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116
ถา n < 3 จะทาให n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116
แสดงวา n = 3ดังนันจาก P(10) = 2,116 จะไดวา 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 ...(1)จากสมการ (1)
ถา 3a 3, 4, 5,... จะทาให 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 ถา 3a 1 จะทาให 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 แสดงวา 3a 2
จากสมการ (1) และ 3a 2
จะได 2 1 02000 100a 10a a 2116 2 1 0100a 10a a 116 ...(2) จะพบวา ถา 2a 2, 3, 4, ... จะทาให 2 1 0100a 10a a 116 แสดงวา 2a 1
จากสมการ (2) และ 2a 1 จะได 1 0100 10a a 116 1 010a a 16 ...(3)จะพบวา ถา 1a 2, 3, 4,... จะทาให 1 010a a 16 แสดงวา 1a 1
จากสมการ (3) และ 1a 1 จะได 010 a 16 0a 6 ดังนัน 3 2 1 0a 2 , a 1 , a 1 , a 6
นั นคอ 3 2P(x) 2x x x 6 ซ งสอดคลองกับ P(1) = 10
ดังนัน P(–1) = 3 22( 1) ( 1) ( 1) 6 4