9. bÖlÜm

9. BÖLÜM9. BÖLÜM

DİFERANSİYEL AKIŞ DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİANALİZİ

9. DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ9. DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ

• 9.1. GİRİŞ9.1. GİRİŞ

• 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU – SÜREKLİLİK DENKLEMİ9.2. KÜTLENİN KORUNUMU – SÜREKLİLİK DENKLEMİ

• 9.3. AKIM FONKSİYONU9.3. AKIM FONKSİYONU

• 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU – CAUCHY DENKLEMİ9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU – CAUCHY DENKLEMİ

• 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ

• 9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ

9.1. GİRİŞ9.1. GİRİŞ

• Kontrol hacmi tekniği, kontrol hacmine giren ve kontrol hacminden çıkan kütlesel debiler veya cisimler üzerine uygulanan kuvvetler gibi bir akışın genel özellikleri ile ilgilendiğimizde yararlıdır.

• Hava hızı bilinirse çanak anten üzerindeki net tepki kuvveti hesaplanabilir.


• Diferansiyel analizDiferansiyel analiz, , akışkan hareketinin akışkan hareketinin diferansiyel diferansiyel denklemlerinin akış denklemlerinin akış bölgesi olarak bölgesi olarak adlandırılan bir bölge adlandırılan bir bölge boyunca boyunca akış alanındaki akış alanındaki her noktayaher noktaya uygulanmasını gerektirir.uygulanmasını gerektirir.

• Bu teknikte Bu teknikte tüm akış tüm akış bölgesi boyunca her bir bölgesi boyunca her bir noktadakinoktadaki hız, yoğunluk, hız, yoğunluk, basınç vb. hakkında basınç vb. hakkında detaylı bilgi elde edilir. detaylı bilgi elde edilir.


• Üç boyutlu sıkıştırılamaz akış için Üç boyutlu sıkıştırılamaz akış için - dört bilinmeyen (u, v, w ve P)- dört bilinmeyen (u, v, w ve P)

ve ve - - dört denklem (kütlenin dört denklem (kütlenin

korunumu ve korunumu ve x, y, z x, y, z yönündeki yönündeki Newton’un ikinci Newton’un ikinci yasası)yasası)

vardır.vardır.


•Akışın diferansiyel analizi karmaşık Akışın diferansiyel analizi karmaşık ve zordur:ve zordur:– Bağlı denklemler,Bağlı denklemler,– Diferansiyel denklem takımı dört Diferansiyel denklem takımı dört

değişken için birlikte çözülmeli,değişken için birlikte çözülmeli,– Sınır şartları belirtilmeli,Sınır şartları belirtilmeli,– Akış daimi olmayabilir. Akış daimi olmayabilir.

9.2. KÜTLENİN KORUNUMU9.2. KÜTLENİN KORUNUMU

• Reynolds transport teoremiReynolds transport teoreminden:nden:

• Diverjans (Gauss) teoremiDiverjans (Gauss) teoremi kullanılırsa (Alman kullanılırsa (Alman Matematikçi Gauss (1777-1855)) Matematikçi Gauss (1777-1855))

elde edilir. elde edilir.


• Bir yüzeyden geçen Bir yüzeyden geçen kütlesel debikütlesel debi; ; – yoğunluk, yoğunluk, – yüzün merkezindeki yüzün merkezindeki

hızın normal bileşeni hızın normal bileşeni veve

– yüzey alanının yüzey alanının çarpımına eşittir. çarpımına eşittir.


• Süreklilik denklemi:Süreklilik denklemi:


• Süreklilik denkleminin alternatif formuSüreklilik denkleminin alternatif formu

• Bu denklem, akış alanı boyunca bir akışkan elemanını izlerken Bu denklem, akış alanı boyunca bir akışkan elemanını izlerken (buna maddesel eleman denir) değeri değiştiğinde, bu (buna maddesel eleman denir) değeri değiştiğinde, bu akışkan elemanının yoğunluğunun değiştiğini göstermektedir. akışkan elemanının yoğunluğunun değiştiğini göstermektedir.


• Koordinat dönüşümleriKoordinat dönüşümleri

• Silindirik koordinatlarda Silindirik koordinatlarda

süreklilik denklemi:süreklilik denklemi:

Süreklilik Denkleminin Özel Süreklilik Denkleminin Özel DurumlarıDurumları

• Daimi sıkıştırılabilir akışDaimi sıkıştırılabilir akış


• Sıkıştırılamaz akışSıkıştırılamaz akış


• Sıkıştırılamaz akışSıkıştırılamaz akış alanının bir alanının bir bölümünde hız alanı bölümünde hız alanı değiştiğinde, akış alanının geri değiştiğinde, akış alanının geri kalan kısmı süreklilik denklemini kalan kısmı süreklilik denklemini tüm zamanlarda sağlayacak tüm zamanlarda sağlayacak şekilde kendini ayarlar.şekilde kendini ayarlar.

• Sıkıştırılabilir akıştaSıkıştırılabilir akışta ise akışın ise akışın bir bölümündeki tedirginlik, bir bölümündeki tedirginlik, biraz ötedeki akışkan tanecikleri biraz ötedeki akışkan tanecikleri tarafından ses dalgası bu tarafından ses dalgası bu noktaya ulaşıncaya kadar noktaya ulaşıncaya kadar hissedilmez. hissedilmez.

Örnek 9.3Örnek 9.3

9.3. AKIM FONKSİYONU9.3. AKIM FONKSİYONU

• xy düzleminde xy düzleminde iki-boyutlu basit sıkıştırılamaz akışiki-boyutlu basit sıkıştırılamaz akış için süreklilik denklemi:için süreklilik denklemi:

• Kartezyen koordinatlarda, Kartezyen koordinatlarda, sıkıştırılamaz, iki boyutlu sıkıştırılamaz, iki boyutlu akım fonksiyonu:akım fonksiyonu:


• Süreklilik denklemi Süreklilik denklemi sağlanırsağlanır..

düzgün bir fonksiyondüzgün bir fonksiyon olmalıdır yani hem kendisi hem olmalıdır yani hem kendisi hem de türevi sürekli olmalıdır.de türevi sürekli olmalıdır.

• İki değişkenin (u, v) yerini İki değişkenin (u, v) yerini tek tek bir değişkenbir değişken ( () almıştır. ) almıştır.

• Sabit Sabit eğrileri eğrileri akışın akım akışın akım çizgileridir.çizgileridir.


• Bir akım çizgisinden diğerine Bir akım çizgisinden diğerine değerleri arasındaki fark, değerleri arasındaki fark, birim genişlik başına bu birim genişlik başına bu iki akım çizgisi arasından iki akım çizgisi arasından geçen hacimsel debiyegeçen hacimsel debiye eşittir.eşittir.

• Hiçbir akış, akım çizgisini Hiçbir akış, akım çizgisini geçemezgeçemez..


• Akım çizgileri Akım çizgileri birbirinden uzaklaştıkça birbirinden uzaklaştıkça hız vektörlerinin hız vektörlerinin büyüklükleri azalır. büyüklükleri azalır. – Akım çizgileri birbirine Akım çizgileri birbirine

yaklaştıkça aralarındaki yaklaştıkça aralarındaki ortalama hız artar. ortalama hız artar.

• Akım fonksiyonu Akım fonksiyonu ’nin ’nin değeri xy-düzleminde değeri xy-düzleminde akış yönünün soluna akış yönünün soluna doğru artar.doğru artar.

Silindirik Koordinatlarda Akım Silindirik Koordinatlarda Akım FonksiyonuFonksiyonu

• Düzlemsel akışDüzlemsel akış (r, (r, ) )

– süreklilik denklemi süreklilik denklemi

– sıkıştırılamaz, düzlemsel akış sıkıştırılamaz, düzlemsel akış fonksiyonufonksiyonu


• Eksenel simetrik akımEksenel simetrik akım (r, z) (küreler, mermiler, (r, z) (küreler, mermiler, kanatları hariç torpido, kanatları hariç torpido, füzeler etrafındaki akış)füzeler etrafındaki akış)– süreklilik denklemi süreklilik denklemi

– sıkıştırılamaz, eksenel sıkıştırılamaz, eksenel simetrik akım fonksiyonusimetrik akım fonksiyonu

Sıkıştırılabilir Akım Sıkıştırılabilir Akım FonksiyonuFonksiyonu

• Süreklilik denklemiSüreklilik denklemi

• Daimi, sıkıştırılabilir akım fonksiyonuDaimi, sıkıştırılabilir akım fonksiyonu

• Bir akım çizgisinden diğerine akım Bir akım çizgisinden diğerine akım fonksiyonunun değerindeki değişim, fonksiyonunun değerindeki değişim, birim birim genişlik başına kütlesel debiyegenişlik başına kütlesel debiye eşittir. eşittir.

9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY KORUNUMU (CAUCHY

DENKLEMİ)DENKLEMİ)

• Kartezyen koordinatlardaKartezyen koordinatlarda

Cauchy Denklemi:Cauchy Denklemi:

9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY KORUNUMU (CAUCHY

DENKLEMİ)DENKLEMİ)• Cauchy Denklemi:Cauchy Denklemi:

9.5. NAVIER-STOKES 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİDENKLEMİ

• Cauchy denklemi olduğu haliyle bizim için Cauchy denklemi olduğu haliyle bizim için pek kullanışlı değildir. pek kullanışlı değildir. – Çünkü gerilme tensörü Çünkü gerilme tensörü ijij altısı bağımsız altısı bağımsız

(simetriden ötürü) olmak üzere (simetriden ötürü) olmak üzere toplam dokuztoplam dokuz bileşen barındırmaktadır. bileşen barındırmaktadır.

– Yoğunluk ve hızın üç bileşenine ilaveten altı Yoğunluk ve hızın üç bileşenine ilaveten altı bilinmeyen daha vardır ve toplamda bilinmeyen bilinmeyen daha vardır ve toplamda bilinmeyen sayısı sayısı onon olur. olur.

– Sadece dört denklem – Sadece dört denklem – süreklilik (bir süreklilik (bir denklem)denklem) veve Cauchy denklemi (üç denklem)Cauchy denklemi (üç denklem) vardır.vardır.

– Altı denkleme daha ihtiyaç vardır ve bunlara Altı denkleme daha ihtiyaç vardır ve bunlara bünye denklemleribünye denklemleri denir. denir.

– Bünye denklemleri gerilme tensörü bileşenlerini, Bünye denklemleri gerilme tensörü bileşenlerini, hız alanıhız alanı veve basınç alanıbasınç alanı cinsinden verir. cinsinden verir.


• Akışkan Akışkan durgun durgun haldehalde ise herhangi ise herhangi bir akışkan bir akışkan elemanının herhangi elemanının herhangi bir yüzeyine etkiyen bir yüzeyine etkiyen tek gerilmetek gerilme– Daima yüzeyin Daima yüzeyin

normali normali doğrultusunda ve içeri doğrultusunda ve içeri doğru etkiyen doğru etkiyen yerel yerel hidrostatik basınç hidrostatik basınç P’dir.P’dir.


• P hidrostatik basıncı, P hidrostatik basıncı, termodinamik basınçtermodinamik basınçtır. tır.

• P basıncı, bir çeşit P basıncı, bir çeşit hal denklemihal denklemi (örneğin ideal (örneğin ideal gaz yasası) yardımıyla yoğunluk ve sıcaklık ile gaz yasası) yardımıyla yoğunluk ve sıcaklık ile ilişkilendirilir. ilişkilendirilir.

• Bu durum, sıkıştırılabilir bir akış analizini daha da Bu durum, sıkıştırılabilir bir akış analizini daha da zorlaştırır. zorlaştırır. – Çünkü bu durumda analize bir bilinmeyen daha dahil Çünkü bu durumda analize bir bilinmeyen daha dahil

olacaktır. Bu yeni bilinmeyen, bir başka denklemi – olacaktır. Bu yeni bilinmeyen, bir başka denklemi – enerji denkleminin diferansiyel formunuenerji denkleminin diferansiyel formunu - gerektirir. - gerektirir.


• Bir akışkan hareket ederken, basınç Bir akışkan hareket ederken, basınç yine etki eder, ancak bunun yanında yine etki eder, ancak bunun yanında viskoz gerilmelerviskoz gerilmeler de bulunabilir: de bulunabilir:

ijij: viskoz gerilme tensörüdür: viskoz gerilme tensörüdür


• Bünye denklemleri, Bünye denklemleri, ijij’yi ’yi hız alanıhız alanı ve ve viskoziteviskozite gibi ölçülebilir akışkan gibi ölçülebilir akışkan özellikleri cinsinden ifade etmeye yarar. özellikleri cinsinden ifade etmeye yarar.

• Bünye ilişkilerinin gerçek formu Bünye ilişkilerinin gerçek formu akışkanın tipineakışkanın tipine bağlıdır. bağlıdır.


• Eğer akışkan sıkıştırılamaz ise hiçbir hal Eğer akışkan sıkıştırılamaz ise hiçbir hal denklemi yoktur (hal denkleminin yerini denklemi yoktur (hal denkleminin yerini =sabit denklemi alır) ve artık P =sabit denklemi alır) ve artık P termodinamik basınç olarak tanımlanamaz.termodinamik basınç olarak tanımlanamaz.– P mekanik basınç olarak tanımlanır:P mekanik basınç olarak tanımlanır:

– Mekanik basınçMekanik basınç, bir akışkan elemanı üzerinde , bir akışkan elemanı üzerinde içe doğru etkiyen ortalama normal gerilmedir. içe doğru etkiyen ortalama normal gerilmedir.

– Buna Buna ortalama basınçortalama basınç da denir. da denir.


• Sıkıştırılamaz akışlarıSıkıştırılamaz akışları çözümlerken basınç çözümlerken basınç değişkeni P daima değişkeni P daima mekanik basınç Pmekanik basınç Pmm olarak olarak düşünülür.düşünülür.

• Sıkıştırılabilir akışlarSıkıştırılabilir akışlar için P basıncı için P basıncı termodinamik basınçtermodinamik basınçtır. tır.

• Bir akışkan elemanının yüzeyinde hissedilen Bir akışkan elemanının yüzeyinde hissedilen ortalama normal gerilmenin P ile aynı olması ortalama normal gerilmenin P ile aynı olması zorunlu değildir (zorunlu değildir (basınç değişkeni P, basınç değişkeni P, mekanik basınç Pmekanik basınç Pmm’ye eşit olmak zorunda ’ye eşit olmak zorunda değildirdeğildir). ).

Newton Tipi ve Newton Tipi Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan AkışkanlarOlmayan Akışkanlar

• Akmakta olan akışkanların Akmakta olan akışkanların deformasyonunu inceleyen deformasyonunu inceleyen bilim dalına bilim dalına reolojireoloji denir. denir.

• Newton tipi akışkan: Kayma Newton tipi akışkan: Kayma gerilmesi şekil değiştirme gerilmesi şekil değiştirme hızıyla hızıyla doğrusal olarakdoğrusal olarak değişen akışkanlardır. değişen akışkanlardır.


• Newton tipi akışkanlarNewton tipi akışkanlar elastik katılara benzerdir elastik katılara benzerdir (Hook yasası: gerilme (Hook yasası: gerilme şekil değiştirme ile şekil değiştirme ile orantılıdır).orantılıdır).

• Örnekler: Örnekler: – hava ve diğer gazlarhava ve diğer gazlar– susu– gazyağıgazyağı– benzinbenzin– bazı yağ-bazlı sıvılarbazı yağ-bazlı sıvılar


•Newton tipi olmayan Newton tipi olmayan akışkanlarakışkanlar::– İnce çamurumsu İnce çamurumsu

karışımlarkarışımlar– Peltemsi Peltemsi

süspansiyonlarsüspansiyonlar– Polimer çözeltileriPolimer çözeltileri– KanKan– MacunMacun– Cıvık kek hamuruCıvık kek hamuru


• Bazı Newton tipi olmayan Bazı Newton tipi olmayan akışkanlarda kayma akışkanlarda kayma gerilmesi sadece şekil gerilmesi sadece şekil değiştirme hızına değil değiştirme hızına değil aynı zamanda aynı zamanda gerilmenin önceki gerilmenin önceki değişimlerinedeğişimlerine de de bağlıdır. bağlıdır.

• Uygulanan gerilme Uygulanan gerilme kaldırıldığında baştaki asıl kaldırıldığında baştaki asıl şekline (tamamen ya da şekline (tamamen ya da kısmen) dönen akışkana kısmen) dönen akışkana viskoelastikviskoelastik denir.denir.


• İncelen akışkanlar (sanki-plastik İncelen akışkanlar (sanki-plastik akışkanlar)akışkanlar):: Ne kadar hızlı şekil değişimine Ne kadar hızlı şekil değişimine uğrarlarsa o denli az viskoz duruma gelirler: uğrarlarsa o denli az viskoz duruma gelirler:

• BoyaBoya


• Bingham plastik akışkanlarBingham plastik akışkanlar:: Harekete Harekete geçirebilmek için akma gerilmesi denilen sonlu bir geçirebilmek için akma gerilmesi denilen sonlu bir gerilmenin uygulanmasına ihtiyaç vardır:gerilmenin uygulanmasına ihtiyaç vardır:

• Cilt kremiCilt kremi• Diş macunuDiş macunu


• Kalınlaşan akışkanlar (Kalınlaşan akışkanlar (kabaran kabaran akışkanlar veya dilatant akışkanlarakışkanlar veya dilatant akışkanlar)):: Gerilme veya şekil değiştirme hız arttıkça Gerilme veya şekil değiştirme hız arttıkça akışkan daha viskoz hale gelir: akışkan daha viskoz hale gelir:

• Bataklık kumuBataklık kumu

Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış Sıkıştırılamaz, İzotermal Akış İçin Navier-Stokes Denklemleriİçin Navier-Stokes Denklemleri

• Newton tipi akışkan, sıkıştırılamaz ve Newton tipi akışkan, sıkıştırılamaz ve izotermal akışlar için viskoz gerilme izotermal akışlar için viskoz gerilme tensörü: tensörü:

ijij şekil değiştirme hızı şekil değiştirme hızı tensörütensörüdür. dür.


• Viskoz gerilme tensörü:Viskoz gerilme tensörü:


• Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemiSıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemi

• Fransız Mühendis Fransız Mühendis Louis Marie Henri NavierLouis Marie Henri Navier (1785-1836)(1785-1836)

• İngiliz matematikçisi İngiliz matematikçisi Sir George Gabriel Sir George Gabriel StokesStokes (1819-1903) (1819-1903)


• NS denklemleri akışkanlar NS denklemleri akışkanlar mekaniğinin mekaniğinin köşe taşıköşe taşıdır.dır.

• NS denklemleriNS denklemleri– Daimi olmayanDaimi olmayan– Doğrusal olmayanDoğrusal olmayan – İkinci mertebedenİkinci mertebeden– Kısmi diferansiyel Kısmi diferansiyel

denklemlerdenklemlerdir. dir.


• Çok basit akış alanlarıÇok basit akış alanları dışında NS dışında NS denklemlerinin analitik çözümleri elde denklemlerinin analitik çözümleri elde edilemez.edilemez.

• Pek çok araştırmacı tüm kariyerini NS Pek çok araştırmacı tüm kariyerini NS denklemlerini çözmeye çalışmakla tüketmiştir. denklemlerini çözmeye çalışmakla tüketmiştir.

• Dört bilinmeyenDört bilinmeyen (üç hız bileşeni ve basınç) (üç hız bileşeni ve basınç) veve– dört denklemdört denklem (süreklilik ve üç NS denklemi) (süreklilik ve üç NS denklemi)

Kartezyen Koordinatlarda Kartezyen Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Süreklilik ve Navier-Stokes

DenklemleriDenklemleri

Silindirik Koordinatlarda Silindirik Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Süreklilik ve Navier-Stokes


Silindirik Koordinatlarda Silindirik Koordinatlarda Süreklilik ve Navier-Stokes Süreklilik ve Navier-Stokes


• Silindirik koordinatlarda viskoz Silindirik koordinatlarda viskoz gerilme tensörü:gerilme tensörü:

9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN 9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİDİFERANSİYEL ANALİZİ

• Diferansiyel hareket Diferansiyel hareket denklemleri (süreklilik ve denklemleri (süreklilik ve NS denklemleri) iki tür NS denklemleri) iki tür problemde kullanılır:problemde kullanılır:– Bilinen bir hız alanı için Bilinen bir hız alanı için

basınç alanının basınç alanının hesaplanmasıhesaplanması

– Bilinen geometri ve sınır Bilinen geometri ve sınır şartları için şartları için hem hız hem hem hız hem de basınç alanlarının de basınç alanlarının hesaplanmasıhesaplanması

Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Bilinen Bir Hız Alanı İçin Basınç Alanının HesaplanmasıAlanının Hesaplanması

• Süreklilik denkleminde basınç bulunmadığından, hız Süreklilik denkleminde basınç bulunmadığından, hız alanı teorik olarak sadece kütlenin korunumuna alanı teorik olarak sadece kütlenin korunumuna dayanarak oluşturulabilir.dayanarak oluşturulabilir.

• Hız, hem süreklilik hem de NS denkleminde Hız, hem süreklilik hem de NS denkleminde bulunduğundan bulunduğundan bu iki denklem bağlıdırbu iki denklem bağlıdır. .

• Basınç NS denkleminin her üç bileşeninde de yer alır ve Basınç NS denkleminin her üç bileşeninde de yer alır ve böylece böylece hız ve basınç alanları da bağlıdırhız ve basınç alanları da bağlıdır. .

• Böylece bilinen bir hız alanı için basınç alanı Böylece bilinen bir hız alanı için basınç alanı hesaplanabilir. hesaplanabilir.


• Sıkıştırılamaz bir akışınSıkıştırılamaz bir akışın hız alanı, hız alanı, basıncın mutlak büyüklüğünden değil basıncın mutlak büyüklüğünden değil sadece basınç farklarından etkilenir. sadece basınç farklarından etkilenir.


• ““Sıkıştırılamaz bir akışın hız alanı, basıncın Sıkıştırılamaz bir akışın hız alanı, basıncın mutlak büyüklüğünden değil sadece mutlak büyüklüğünden değil sadece basınç farklarından etkilenir” ifadesi P’nin basınç farklarından etkilenir” ifadesi P’nin mekanik basınç olmaktan çıkıp mekanik basınç olmaktan çıkıp termodinamik basınç olmasından dolayı termodinamik basınç olmasından dolayı sıkıştırılabilir akışlarsıkıştırılabilir akışlar için geçerli için geçerli değildir. değildir. – Bu durumda P bir hal denklemiyle yoğunluk ve Bu durumda P bir hal denklemiyle yoğunluk ve

sıcaklıkla ilişkilendirilir ve sıcaklıkla ilişkilendirilir ve basıncın mutlak basıncın mutlak büyüklüğü önemli olurbüyüklüğü önemli olur. .

– Bu durumda kütle ve momentumun korunumu Bu durumda kütle ve momentumun korunumu denklemlerinin yanında denklemlerinin yanında hal denklemihal denklemi de de dikkate alınmalıdır. dikkate alınmalıdır.

Süreklilik ve NS Süreklilik ve NS Denklemlerinin Tam ÇözümleriDenklemlerinin Tam Çözümleri


• Sınır şartları (Sınır şartları (Kaymama koşuluKaymama koşulu ve ve arayüz sınır arayüz sınır şartlarışartları): ): – Kaymama koşulu:Kaymama koşulu: Katı çeper ile temas halinde olan Katı çeper ile temas halinde olan

akışkan hızı, çeper hızına eşittir:akışkan hızı, çeper hızına eşittir:

• Durağan haldeki çepere bitişik akışkanın hızı sıfırdır.Durağan haldeki çepere bitişik akışkanın hızı sıfırdır.

• Akışkan sıcaklığı çeper sıcaklığına eşittir.Akışkan sıcaklığı çeper sıcaklığına eşittir.

• Kaymama koşulu, uzay gemilerinin atmosfere girişleri sırasında Kaymama koşulu, uzay gemilerinin atmosfere girişleri sırasında ve çok küçük tanecik (mikron altı) hareketlerinin incelenmesinde ve çok küçük tanecik (mikron altı) hareketlerinin incelenmesinde olduğu gibi olduğu gibi seyrek gaz akışlarındaseyrek gaz akışlarında geçerli değildir. Bu tür geçerli değildir. Bu tür akışlarda hava çeper boyunca kayabilir. akışlarda hava çeper boyunca kayabilir.


• Seçilen referans koordinat Seçilen referans koordinat sistemine göre kaymama koşulunu sistemine göre kaymama koşulunu tayin ederken dikkatli olmak tayin ederken dikkatli olmak gerekir.gerekir.

• Durağan bir referans koordinat Durağan bir referans koordinat sisteminesistemine göre silindire bitişik göre silindire bitişik akışkan durgun, hareket halindeki akışkan durgun, hareket halindeki pistona bitişik akışkan ise: pistona bitişik akışkan ise:

VVakışkanakışkan = V = Vçeperçeper = V = Vpp

• Pistonla hareket eden bir Pistonla hareket eden bir referans koordinat sistemine referans koordinat sistemine göregöre pistona bitişik akışkanın hızı pistona bitişik akışkanın hızı sıfır, ancak silindire bitişik akışkan sıfır, ancak silindire bitişik akışkan hızı:hızı:

VVakışkanakışkan = V = Vçeperçeper = -V = -Vpp


• Sınır şartları: Sınır şartları: – Arayüz sınır şartları: Arayüz sınır şartları:

• Arayüzde iki akışkan Arayüzde iki akışkan hızı eşittir.hızı eşittir.

• Arayüze paralel Arayüze paralel doğrultuda arayüze doğrultuda arayüze bitişik bir akışkan bitişik bir akışkan parçacığına etkiyen parçacığına etkiyen kayma gerilmesi iki kayma gerilmesi iki akışkan arasında aynıakışkan arasında aynı olmalıdır. olmalıdır.


• Arayüzdeki basınçArayüzdeki basınç için ne söylenebilir? için ne söylenebilir?

• Yüzey gerilim etkileri önemsiz veya arayüz yaklaşık Yüzey gerilim etkileri önemsiz veya arayüz yaklaşık olarak düz ise olarak düz ise PPAA= P= PBB’dir.’dir.

• Arayüz kılcal bir boruda yükselen sıvı Arayüz kılcal bir boruda yükselen sıvı menisküsünde olduğu gibi menisküsünde olduğu gibi keskin kıvrımlıkeskin kıvrımlı ise, ise, arayüzün bir yanındaki basınç diğer yanındakinden arayüzün bir yanındaki basınç diğer yanındakinden önemli ölçüde farklı olabilir.önemli ölçüde farklı olabilir.

• Bir arayüzdeki basınç sıçraması, yüzey gerilimi Bir arayüzdeki basınç sıçraması, yüzey gerilimi etkilerinin bir sonucu olarak arayüzün etkilerinin bir sonucu olarak arayüzün eğrilik eğrilik yarıçapıyla ters orantılıdır.yarıçapıyla ters orantılıdır.


• Yüzeydeki Yüzeydeki hava hava veve su su hızlarıhızları ile yüzeydeki su ile yüzeydeki su parçacığını etkiyen parçacığını etkiyen kayma gerilmesikayma gerilmesi, , yüzeyin tam üzerindeki yüzeyin tam üzerindeki bir hava parçacığına bir hava parçacığına etkiyen kayma etkiyen kayma gerilmesine eşit gerilmesine eşit olmalıdır: olmalıdır:


• Suyun mutlak viskozitesi Suyun mutlak viskozitesi havanınkinin 50 katıhavanınkinin 50 katı büyüklüğündedir. büyüklüğündedir.

• Kayma gerilmelerinin eşit Kayma gerilmelerinin eşit olabilmesi için (olabilmesi için (∂∂u/u/∂∂y)y)havahava ((∂∂u/u/∂∂y)y)susu‘dan 50 kat büyük ‘dan 50 kat büyük olmalıdır.olmalıdır.

• Buna göre suyun yüzeyine Buna göre suyun yüzeyine etkiyen kayma gerilmesi, suyun etkiyen kayma gerilmesi, suyun içindeki herhangi bir yerdeki içindeki herhangi bir yerdeki kayma gerilmesine oranla kayma gerilmesine oranla ihmal edilebilir derecede ihmal edilebilir derecede küçükküçük kabul edilebilir. kabul edilebilir.


• Hareket eden su, Hareket eden su, kendisiyle beraber havayı kendisiyle beraber havayı önemli ölçüde bir dirençle önemli ölçüde bir dirençle karşılaşmadan sürüklerken, karşılaşmadan sürüklerken, hava bu esnada suyu fark hava bu esnada suyu fark edilir biçimde yavaşlatmaz. edilir biçimde yavaşlatmaz.

• Yüzey gerilim etkilerinin Yüzey gerilim etkilerinin önemsiz olduğu önemsiz olduğu bir sıvı ile bir sıvı ile bir gazın arayüzündebir gazın arayüzünde serbest yüzey sınır şartları: serbest yüzey sınır şartları:

• Diğer sınır şartları Diğer sınır şartları problemin problemin kurulumuna bağlı kurulumuna bağlı olarak ortaya çıkar:olarak ortaya çıkar:– Giriş Giriş sınır şartlarısınır şartları– ÇıkışÇıkış sınır şartları sınır şartları– SimetriSimetri sınır şartları sınır şartları– BaşlangıçBaşlangıç sınır şartları sınır şartları

(genellikle t = 0)(genellikle t = 0)



• Couette akışıCouette akışı çözümünün çok iyi çözümünün çok iyi bir yaklaştırım olduğu birkaç bir yaklaştırım olduğu birkaç pratik akış vardır. pratik akış vardır.

• Böyle bir akış Böyle bir akış dönel dönel viskozimetreviskozimetre denilen ve denilen ve viskozite ölçümünde kullanılan bir viskozite ölçümünde kullanılan bir tür düzenek içerisinde gerçekleşir. tür düzenek içerisinde gerçekleşir.

• Böyle bir viskozimetrede içteki Böyle bir viskozimetrede içteki silindire bitişlk bulunan akışkan silindire bitişlk bulunan akışkan elemanı üzerine etkiyen elemanı üzerine etkiyen viskoz viskoz kayma gerilmesikayma gerilmesi yaklaşık olarak: yaklaşık olarak:


• Torkun ve açısal hızın Torkun ve açısal hızın ölçülmesiyle viskozite belirlenir.ölçülmesiyle viskozite belirlenir.


• Bu bölümde çözülen örneklerde Bu bölümde çözülen örneklerde sıkıştırılamaz sıkıştırılamaz laminer akışlarlaminer akışlar dikkate alındı. dikkate alındı.

• Aynı diferansiyel denklem takımı Aynı diferansiyel denklem takımı (sııkıştırılamaz süreklilik ve Navier-Stokes (sııkıştırılamaz süreklilik ve Navier-Stokes denklemleri) denklemleri) sıkıştırılamaz türbülanslı sıkıştırılamaz türbülanslı akışlarakışlar için de geçerlidir. için de geçerlidir.

• Bununla birlikte akışkanı karıştıran rastgele, Bununla birlikte akışkanı karıştıran rastgele, daimi olmayan ve üç-boyutlu girdaplar daimi olmayan ve üç-boyutlu girdaplar bulunduğundan, bulunduğundan, türbülanslı akış çözümleri türbülanslı akış çözümleri çok daha karmaşıktırçok daha karmaşıktır. .


• Ayrıca bu girdaplar büyüklük bakımından Ayrıca bu girdaplar büyüklük bakımından birkaç mertebe farklı bir boyut birkaç mertebe farklı bir boyut aralığındaaralığında olabilir. olabilir.

• Türbülanslı bir akış alanında denklemlerde Türbülanslı bir akış alanında denklemlerde yer alan yer alan hiçbir terimhiçbir terim (bazı durumlarda (bazı durumlarda yerçekimi terimi hariç) yerçekimi terimi hariç) ihmal edilemezihmal edilemez ve ve bir çözüm elde etmek için tek umut bir bir çözüm elde etmek için tek umut bir bilgisayarda bilgisayarda sayısal hesaplamasayısal hesaplama yapmaktır. yapmaktır.

• Bu durumda Bu durumda Hesaplamalı Akışkanlar Hesaplamalı Akışkanlar DinamiğiDinamiği (HAD) kullanılır. (HAD) kullanılır.

ÖZETÖZET

9. bÖlÜm

Documents