9. 交流における直列接続及び並列接続...9....
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9. 交流における直列接続及び並列接続9. Series Connection and Parallel Connection in Alternating Current
講義内容
1. 回路要素の直列接続2. 回路要素の並列接続3. インピーダンスとアドミタンス
回路要素の直列接続：R-L直列回路 2
抵抗 R とインダクタンス L の直列接続
R
L
I
V
RV
LV
R L
R
L
V V V
V RI
V jωLI
= +
= =
( )R LV V V R jωL I= + = +
Im
I
V
Re0
RV
LV
Vθ
Iθ
オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい
第 １ 象限
回路要素の直列接続： R-C直列回路 3
抵抗 R とキャパシタンス C の直列接続
R
C
I
V
RV
CV
R C
1V V V R j I
ωC
= + = −
R C
R
C
1 1
V V V
V RI
V I j IjωC ωC
= +
=
= = −Im
I
V
Re0
RV
CV
Vθ
Iθ
オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい
第 ４ 象限
インピーダンス 4
R – C 直列回路
R – L 直列回路
( )V R jωL I= +
1V R j I
ωC
= −
( )22 1
RL Tan [Ω]ωL
Z R jωL R ωLR
−= + = + V ZI=
2
2 1
RC
1 1 1Tan [Ω]Z R j R
ωC ωC ωCR
− = − = +
：インピーダンスZ 左辺：複素数 表示，右辺：極 (座標)表示
V
I
Z
インピーダンスの詳細 5
インピーダンス [Ω]X Z R j= +
リアクタンス
抵抗( レジスタンス )
RLZ R jωL= +
R – L 直列回路 抵抗：R
リアクタンス： X ωL=
R – C 直列回路
RC
1Z R j
ωC= −
抵抗：R
リアクタンス：1
XωC
= −
リアクタンスの符号が 正：誘導性 リアクタンス
L と C で構成されるエネルギを消費 しない 疑似的な抵抗
リアクタンスの符号が 負：容量性 リアクタンス
アドミタンスとその詳細 6
アドミタンス2 2 2 2
1 1 R XY j G j
Z R jX R X R X= = = − = +
+ + +[S]B
サセプタンス
コンダクタンス
RLZ R jωL= +
R – L 直列回路
( ) ( )RL 2 22 2
R ωLY j
R ωL R ωL= −
+ +
サセプタンスの符号が 負：誘導性 サセプタンス
インピーダンスの 逆数
R – C 直列回路
RC
1Z R j
ωC= −
RC 2 2
2 2
1
1 1
R ωCY j
R RωC ωC
= +
+ +
サセプタンスの符号が 正：容量性 サセプタンス
インピーダンス図，アドミタンス図 7
R – L 直列回路
RLZ R jωL= +
( ) ( )RL 2 22 2
R ωLY j
R ωL R ωL= −
+ +
R – C 直列回路
RC
1Z R j
ωC= −
RC 2 2
2 2
1
1 1
R ωCY j
R RωC ωC
= +
+ +
R
jωLRLZ
ZθRLY
( )22
R
R ωL+
( )22
ωLj
R ωL−
+
Yθ
R
1jωC
−Zθ
RCZYθ
RCY
2
2 1
R
RωC
+
2
2
1
1
ωCj
RωC
+
及び は矢印 を用いて表さない ことに注意！Z Y
各種タンスのまとめ 8
[Ω]Z R jX= +
リアク タンスレジス タンスインピー ダンス
[S]Y G jB= +
サセプ タンスコンダク タンスアドミ タンス
( )0Z X
誘導性 リアク タンス
誘導( L )性 インピー ダンス
( )0Z X
容量性 リアク タンス
容量( C )性 インピー ダンス
( )0Y B
誘導性 サセプ タンス
誘導性 アドミ タンス
( )0Y B
容量性 サセプ タンス
容量性 アドミ タンス
インダク タンス
キャパシ タンス
回路要素の並列接続：R-L並列回路 9
抵抗 R とインダクタンス L の並列接続
R L
R
L
I I I
VI
R
V VI j
jωL ωL
= +
=
= = −
R L
1 1I I I j V
R ωL
= + = −
オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい
第 ４ 象限
R
I
V L
RI LI
Im
Re0
Vθ
Iθ
V
I
RI
LI
回路要素の並列接続：R-C並列回路 10
抵抗 R とキャパシタンス C の並列接続
R C
R
C
I I I
VI
R
I jωCV
= +
=
=
R C
1I I I jωC V
R
= + = +
オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい
第 １ 象限
R
I
V
RI CI
CIm
V
I
Re0
RI
CI
Vθ
Iθ
インピーダンスとその詳細 11
インピーダンス2 2 2 2
1 1 G BZ j R j
Y G jB G B G B= = = − = +
+ + +[Ω]X
リアクタンス
抵抗
RL
1 1Y j
R ωL= −
R – L 並列回路RL 2 2 2 2
11
1 1 1 1
ωLRZ j
R ωL R ωL
= +
+ +
リアクタンスの符号が 正：誘導性 リアクタンス
アドミタンスの 逆数
R – C 並列回路
RC
1Y jωC
R= + ( ) ( )
RC 2 22 2
1
1 1
ωCRZ j
ωC ωCR R
= −
+ +
リアクタンスの符号が 負：容量性 リアクタンス
インピーダンス図，アドミタンス図 12
R – L 並列回路
( ) ( ) ( ) ( )RL 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
R ωLZ j
R ωL R ωL= +
+ +
RL
1 1Y j
R ωL= −
R – C 並列回路
( ) ( ) ( ) ( )RC 2 2 2 2
1
1 1
R ωCZ j
R ωC R ωC= −
+ +
RC
1Y jωC
R= +
RLZ
Zθ
RLY
( ) ( )2 2
1
1 1
ωLj
R ωL+ Yθ
Zθ
RCZ
Yθ
RCY
及び は矢印 を用いて表さない ことに注意！Z Y
( ) ( )2 2
1
1 1
R
R ωL+
1jωL
−
1
R
( ) ( )2 2
1
ωCj
R ωC−
+
( ) ( )2 2
1
1
R
R ωC+
1
R
jωC
例題： R-L直列回路，R-L並列回路 13
R = 40[Ω] L = 0.1[H]
a b図のようなR-L直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-L並列回路の R’ および L’ を求めよ
RLS 40 10 [Ω]Z R jωL j π= + = +
R – L 直列回路のインピーダンスは
R – L 直列回路のアドミタンスは
( ) ( ) ( ) ( )RLS 2 2 2 22 2 2 2
1 40 10 40 10[S]
40 10 40 10 40 10
R jωL j π πY j
R jωL R ωL π π π
− −= = = = −
+ + + + +
a bR’
L’
例題： R-L直列回路，R-L並列回路 14
R = 40[Ω] L = 0.1[H]
a b
a bR’
L’
図のようなR-L直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-L並列回路の R’ および L’ を求めよ
実部と虚部を取り出して，
( )
( )
22
22
1 40
' 40 10
1 10
' 40 10
R π
π
ωL π
=
+ = +
R – L 並列回路のアドミタンスは
RLP
1 1[S]
' 'Y j
R ωL= −
( )
( )
22
22
40 10'
40
40 10'
10
πR
πωL
π
+=
+=
( )
( )
22
22
40 10' 64.47 Ω
40
40 10' 0.262[H]
10 2 50
πR
πL
π π
+= =
+= =
例題： R-C直列回路，R-C並列回路 15
R = 400[Ω] C = 10[μF]
a b図のようなR-C直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-C並列回路の R’ および C’ を求めよ
RCS
1 1000400 [Ω]Z R j
jωC π= + = −
R – C 直列回路のインピーダンスは
R – C 直列回路のアドミタンスは
RCS 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1000 1000400
1 400[S]
1 1 1000 1000 1000400 400 400
R j jωC π πY j
R j RωC ωC π π π
+ +
= = = = + − + + + +
a bR’
C’
例題： R-C直列回路，R-C並列回路 16
R = 400[Ω] C = 10[μF]
a b図のようなR-C直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-C並列回路の R’ および C’ を求めよ
a bR’
C’
R – C 並列回路のアドミタンスは
RCP
1'[S]
'Y jωC
R= +
実部と虚部を取り出して，
( )
( )
22
22
1 400
' 400 1000
1000'
400 1000
R π
πωC
π
=
+ = +
( )
( )
22
22
400 1000' 653.30[Ω]
400
1000' 3.877[μF]
400 1000 2 50
πR
πC
π π
+= =
= = +