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RESISTENCIA DE MATERIALES II Mag. Ing. ALEJANDRO CRISPÍN GÓMEZ

INTRODUCCION

Una columna es un elemento sometido a comprensión, lo suficientemente delgado

respecto de su longitud; para que bajo la acción de una carga gradualmente

creciente rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho mayor que la

necesaria para romperla por aplastamiento.

En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual aunque

esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque

no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna; se suele

considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de

diez veces la dimensión menor de su sección transversal.

Las columnas se dividen es dos grupos, a veces los elementos cortos a compresión

se consideran como un tercer grupo dentro de las columnas.

Estos son:

Columnas Largas: rompen por pandeo o flexión lateral.

Columnas Intermedias: rompen por combinación de aplastamiento y

pandeo.

Elementos Cortos: rompen por aplastamiento.

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TEORIA DE LA COLUMNA

Fig. Nº 01

R = radio de giro de la sección recta con respecto a un eje de su centro de gravedad.

L = longitud efectiva de la columna.

Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección constante generalmente,

inicialmente recta y sometida a una carga axial de compresión. Sin embargo las

columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de

fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la

carga.

Todo esto se representa en la figura Nº 01, donde su presentación es muy

exagerada.

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La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga da lugar a una

excentricidad indeterminada “e”, respecto del centro de gravedad en una sección

cualquiera m-n.

Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto la flexión lateral es

despreciable y la flexo-compresión es insignificante comparada con el esfuerzo de

compresión directa.

Con un valor pequeño de la carga P y una excentricidad máxima, puede producirse

una tensión de flexión grande, acompañada de una tensión de compresión

despreciable.

Así pues, una columna corta soporta fundamentalmente la tensión directa de

comprensión; y una columna larga esta sometida principalmente a la tensión de

flexión.

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FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS

En el año 1757 el matemático suizo Leonhar Euler hizo un análisis teórico de la

carga crítica para columnas; basada en la ecuación diferencial de la elástica:

Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo por compresión directa es despreciable

en la columna y que esta nunca debe estar sometida a una carga mayor que aquella

bajo la cual se iniciara la acción de pandeo. A esta carga, se le llama carga crítica.

Esta teoría de pandeo formulada por Euler, se refiere a aquellas columnas en las

cuales se cumplen las siguientes limitaciones:

1. El material el homogéneo o isotópico.

2. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud.

3. La tensión máxima es inferior a la correspondiente al límite elástico del

material, el cual obedece la ley de Hooke.

La formula de Euler demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo no

depende de la resistencia del material sino de sus dimensiones y su limite elástico.

Por este motivo dos barras de idénticas dimensiones una de acero de alta

resistencia y otra de acero suave, pandearan bajo la misma carga critica, ya que sus

resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así

pues para aumentar la resistencia al pandeo interesa aumentar lo más posible el

momento de inercia de la sección.

1. COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO

a = flecha máxima.

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M = - P.x

EI d 2 x = - Px d 2 x = - P.x dy2 dy2 EI

d (dx/dy ) = - P.x dy EI

Multiplicando a cada miembro por (dx):

dx.d(dx/dy) = - Px.dx dy EI

Esta expresión se asemeja a la solución de la siguiente expresión:

∫um.du = u m+1 + C1

m+1

Integrando se obtiene:

(dy/dx)2 = - Px2 + C1

2 2EI

(dy/dx)2 = - Px 2 + C1

EI

Cuando y = L se tiene: x = a → dx/dy = 0

- Pa 2 + C1 = 0 → C1 = Pa 2 EI EI

(dx/dy)2 = -Px2 + Pa 2 EI EI

Separando variables

Integrando se tiene:

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Cuando y = 0 se tiene que: x = 0 → C2 = 0

Esta ecuación viene a ser la ecuación de la curva elástica de la columna en función

de la flecha máxima siendo dicha curva según se puede observar es una curva

sinusoidal.

Cuando: x = xmax. = a → y = L

Entonces:

Puesto que se ha determinado el mínimo valor de P para producir pandeo entonces

la expresión será la siguiente (el menor de todos)

2. COLUMNA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS

3. COLUMNA CON SUS EXTREMOS ARTICULADOS

4. COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO

PROB.- Determinar la carga crítica de pandeo de una columna redonda de acero, de 2 pulgadas de diámetro y 10 pies de longitud.

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SOLUCIÓN:Se calcula las cargas de pandeo para los cuatro casos, a fin de comparar las cargas críticas de pandeo.

Articulado – articulado:

Empotrado – articulado:

Empotrado – empotrado:

Empotrado – libre:

NOTA.- Para una sección asimétrica, el momento de inercia I, debe tomarse con respecto al eje, alrededor del cual ocurre el pandeo.

En caso que la sección transversal fuese rectangular y no hubiera apoyos intermedios que impidieran el pandeo, alrededor del eje más débil, el pandeo ocurrirá alrededor del eje Y de la siguiente figura.

Problemas

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Determinar la relación de esbeltez con respecto a los ejes X y Y de una columna de

20 pies de longitud articulada en la parte superior y empotrada en la base cuya

sección transversal se muestra en la figura.

N L = relación se esbeltez datos R N = 0.71 L = 240 pulg. R2 = I/A

A = 3(2 x 8) A = 48 pulg2

Remplazando en la relación de esbeltez

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Utilizando la formula de Euler determinar las dimensiones de la sección cuadrada de

una columna de extremos articulados de madera de roble de 7.20 m de longitud para

que resista una carga axial de seguridad de 790 Kg. utilizar un factor de seguridad

de 8 y considerar E = 105500 Kg/cm2. Justifíquese el uso de la formula de Euler

demostrando que el esfuerzo en el limite de proporcionalidad de madera de roble es

inferior al esfuerzo de fluencia cuyo valor es 302 Kg/cm2

Roble

E = 105500 Kg/cm2

1) formula para columna articulada en sus extremos:

P = carga critica

l = longitud total de la columna

Nl = (1)(l) = l

P = 8Ps P = 7900(8) P = 63200 Kg

Calculo de I

I = Ix = Iy =

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Remplazando valores

2)

Luego:

Determinar la mínima relación de esbeltez para que pueda usarse la formula de

Euler en una columna articulada en ambos extremos la columna es de acero cuya

limite de proporcionalidad es 2531 Kg/cm2 y un E = 2.1 x 106 Kg/cm2, si los extremos

fuera uno empotrado y el otro articulado

Extremos articulados ; E = 2.1 x 106 Kg/cm2

Remplazando

Pero:

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