93508704 pitanja i odgovori modeliranje ispit
DESCRIPTION
aaaTRANSCRIPT
Osnovna literatura:
Jurković, M.: Matematičko modeliranje inženjerskih procesa i sistema, Tehnički fakultet,
Bihać, 1999.
Jurković, M.:Matematičko modeliranje i optimizacija obradnih procesa, Sveučilište u Rijeci,
Rijeka, 2000.
Jurković, M., Reinženjering proizvodnih poduzeća-razvoj i modernizacija proizvodnje,
Tehnički fakultet, Bihać, 2011.
Seminsrski računsko grafički rad: Modeliranje i simulacija procesa, mentor prof.dr. M.
Juroković, Tehnički fakultet, Bihać, 2002.
Jurković, M.: Eksperimentalna analiza naprezanja i deformacija / Eksperimentalne metode,
17. poglavlje, str. 279-347. u knjizi Doleček, V., Karabegović, I. , Martinović, D., Jurković,
M., Blagojević, D., Bogdan, Š., Bijelonja, I., Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.
1. Kako koristiti teorijska znanja u praktične svrhe?
Matematičko modeliranje inženjerskih procesa i sistema ima veliko značenje u širokom
području tehničkih znanosti i praksi, kao i u svim drugim oblicima kvantitativnih istraživanja.
Moderna se znastvena misao temelji na uvjerenju da teorijske podloge i koncepti imaju realnu
osnovu ako se izražavaju u obliku kvantitativnih pokazatelja.. Tada je moguće teorijska
znanja efikasno koristiti u praktične svrhe.
2. Kako implementirati znanje u konkretan proizvod, proces ili sistem?
Teži se definiranju procesa i sistema u obliku matematičkog modela kako bi se ustanovio
kvantitativni odnos izmeĎu ulaznih i izlaznih varijabli obradnog procesa ili sistema. Ovo
otvara niz mogučnosti da se efekti kao izlazi iz procesa ili sistema mogu predstaviti na osnovi
promjene ulaznih varijabli u process ili sistem.
3. Što obuhvaća modeliranje i gdje se može implementirati?
Modeliranje u širem smislu obuhvaća sva područja čovjekova rada i stvaranja. Moguće
implementiranje je u optimizaciji obradnih procesa u području proizvodnog strojastva, a
moguća je implementacija i u drugim znastveno-stručnim područjima kao što su:
Procesna tehnika,
Energetika
Strojogradnja
Metalurgija
Elektrotehnika
Hidraulika
Termodinamika i dr.
4. Šta se podrazumijeva pod modeliranjem i šta je rezultat modeliranja?
Pod modeliranjem se podrazumijeva definiranje matematičkih modela i drugih prikaza koji su
neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju i upravljanje procesima i sistemima.
Modeliranje isto podrazumijeva poznavanje matematičkog modela procesa, što je prvi uvjet i
plazište za inoviranje i revitalizaciju procesa ili sistema.
Rezultat modeliranja i optimizacije obradnih procesa i sistema je jeftinija, kvalitetnija i
profitabilnija proizvodnja.
5. Koji su ciljevi modeliranja?
Ciljevi modeliranja su:
Povećanje proizvodnosti,
Povećanje Ekonomičnosti,
Povećanje Ukupne kvalitete proizvoda ili pojedinih segmenata kvalitete
Te smanjenje utroška materijala, energije, vremena obrade I troškova obrade po
jedinici proizvoda.
6. Koje su teškoće u primjeni analitičkih modela?
Kod analitičkog modela definiranje dovoljno pouzdanih matematičkih modela je vrlo složeno
i zahtijeva puno aproksimacija, a teškoća leži u tome što na kraju utiče na tačnost dobivenog
rezultata.
7. Zašto se izvodi modeliranje i šta je svrha?
Osnovna svrha modeliranja je definiranje matematičkih modela koji će u odgovarajućem
stupnju točnosti adekvatno opisati proces ili sistem u cilju: simulacije varijantnih rješenja,
analize i prognoziranja stanja procesa još u fazi projektiranja definiranja matematičkih modela
koji su neophodni za optimizaciju procesa i iznalaženje optimalnih rješenja izgradnje modela
upravljanja za dati sistem, odnosno objekt optimizacije znanstvenih istraživanja ili praktične
primjene u realnim procesima. (Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 6, 1.1 Svrha i cilj
modeliranja)
8. Šta prethodi tehnološkoj i ekonomskoj optimizaciji procesa?
Tehnološko oblikovanje i projektiranje modernih procesa obrade zahtjeva analizu svih
tehničko-tehnoloških parametara procesa i primjenu znanstvenih metoda u cilju modeliranja i
definiranja optimalnih uvjeta obradnih procesa i sistema, u cilju optimizacije, ekonomičnosti,
smanjenja utroška materijala itd. Da bi se navedeni ciljevi ostvarli potrebno je djelovati u
pravcu:
implementiranja novih i usavršavanje postojećih metoda i postupka obrade
projektiranja i primjene visokoproizvodnih postupaka obrade i obradnih sistema
primjene znanja u procesu projektiranja i optimizacije postupka obrade, što zahtjeva
definiranje pouzdanih matematičkih modela
razvoja i primjene eksperimentalnih metoda revitalizacije proizvodnih tehnologija i
proizvoda
stalnog inoviranja i revitalizacije proizvodnih tehnologija i proizvoda
definiranja empirisko-analitičkih i drugih modela potrebnih za optimizaciju i
simulaciju procesa i sistema u fazi projektovanja
(Knjiga Matematičko modeliranje...,strana 5, 1 Uvod)
9. Zašto su potrebni pouzdani matematički modeli?
Zbog sve veće tržišne konkurencije svaki proizvod treba proizvesti kvalitetno, jeftino i na
vrjeme, što zahtjeva definiranje i realiziranje optimalnog procesa obrade, a ne bilo kakvog.
Zato primjeni optimalne tehnologije u datom procesu obrade uvjek treba predhoditi izgradnja
dovoljno točnoga i pouzdanoga matematičkog modela, jer je to uvjet postojanja skupa
viševarijantnih rješenja iz kojih je moguće definirati optimalno. (Knjiga Matematičko
modeliranje...,strana 7, 1.2 Značenje izgradnje pouzdanih matematičkih modela)
10. Koja je razlika između klasičnog i modernog procesa rada?
Razlika izmeĎu klasičnog i modernog procesa obrade-rada prikazana je na slici, kod klasičnog
procesa obrade izostavljena je optimizacija i modeliranje, a tehno-ekonomska karakteristika
ne mjenja se, dok kod modernog-savremenog procesa obrade dolazi do optimizacije i
modeliranja procesa obrade a tehno-ekonomska karekteristika teži jedinici.
Slika Procesi obrade, a. konvencionalni, b. suvremeni-optimizirani
11. Kako se mogu unaprijediti klasični-konvencionalni procesi rada i koje su koristi od toga?
Tehnologije obrade koje se primjenjuju niz godina u odreĎenom konvencionalnom-
standardnom obliku mogu se primjenom odgovarajućih metoda modeliranja inovirati bez
znatnijih financiskih ulaganja, ali uz korištenje znanja i informatičkih tehnologija. (Knjiga
Matematičko modeliranje...,strana 7, 1.2 Značenje izgradnje pouzdanih matematičkih modela)
12. Koje su osnovne metode modeliranja?
Osnovne metode modeliranja mogu biti determinističke i stohastičke.
Kod determinističkog procesa obrade postoji jednoznačna ovisnost izlaznih (upravljanih)
veličina od ulaznih veličina tako da deterministički matematički model ne sadrži
poremećejne veličine (poremećajnu veličinu ) pa model procesa
ili sistema ima oblik:
Blok shema determinističkog modela
Deterministički model često predstavlja približan i pojednostavljen matematički opis realnog
procesa, meĎutim osnovna obilježija svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro
redovito stohastička.
Stohastički modeli dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj
nekontroliranih- poremećajnih slučajnih faktora .
Blok shema stohastičkog modela
U analizi istraživanja procesa i sistema mogu biti primjenjene neke od sljedećih metoda
modeliranja:
Analitičko
Stohastičko
Dimenzionalno
Numeričko
Računalno-grafičko
Fizikalno
Analogno
Misaono
13. Koja je razlika između determinističkog i stohastičkog modela (prikazati)?
Kod determinističkog procesa obrade postoji jednoznačna ovisnost izlaznih veličina od
ulaznih veličina , tako da deterministički model ne sadrži poremećajne veličine .
Model procesa ili sistema ima oblik:
Blok shema determinističkog modela
( ) uz ograničenje:
( )
ili u eksplicitnom obliku uz isto ograničenje : ( ).
Deterministički model često predstavlja približan i pojednostavljen matematički opis realnog
procesa. MeĎutim, osnovna obilježja svakog realnog objekta ili procesa obrade su skoro
redovito stohastička. To znači, ako se želi dobiti i tačan matematički opis nekog realnog
procesa ili sistema, mora se opis definirati u obliku stohastičkog modela.
Prema tome, deterministički model može se koristiti, samo, kada se stohastička obilježja u
realnom procesu ili sistemu manjeg intenziteta ili kada se želi približan ili pojednostavljen ali
dovoljno tačan matematički opis stohastičkog procesa ili sistema.
Stohastički modeli (empirijsko-statistički) dolaze u obzir kada u procesu obrade ili sistemu
postoji znatan utjecaj nekontroliranih-poremećajnih slučajnih faktora .
Tako opći matematički model stohastičkog procesa glasi:
( ) uz ograničenje:
( )
ili u eksplicitnom obliku: ( ).
Blok shema stohastičkoga modela
14. Kako se izražava deterministički model?
Deterministički model se izražava pomoću različitih matematičkih struktura, kao što su:.
algebarske
obične diferencijalne,
parcijalne,
integralne i dr. jednačine.
15. O kakvom se matematičkom modelu radi kad neobuhvaćeni parametri ne utječu na izlazne parametre i kada svakom skupu ulaznih parametara odgovara jednoznačno skup izlaznih parametara?
Ako neobuhvaćeni parametri ne utječu na izlazne parametre procesa (varijanta kada se u
pravilu može razmatrati kao čisto hipotetički skup) i ako svakom konkretnom skupu
obuhvaćenih ulaznih parametara odgovara jednoznačno odreĎeni skup izlaznih parametara,
tada se govori o determinističkom matematičkom modelu procesa.
16. Koje sve postoje metode modeliranja procesa i sistema?
17. Koji je glavni značaj stohastičkog modeliranja?
Stohastičko modeliranje koristi eksperimentalne rezultate i metode matematičke statistike.
Ovakvi su modeli veoma korisni u mnogim inženjerskim i znanstvenim istraživanjima
(procesi obrade, obradni sistemi, tribološki procesi, tačnost i kvaliteta obrade, minimizacija
utroška energije, materijala i vremena obrade, procesno inženjerstvo, toplinski procesi itd).
Suvremeni pristup modeliranju temelji se na povezivanju teorije i eksperimenta. Osnovna
karakteristika stohastičkog modela je visok stupanj pouzdanosti i tačnosti uz znatne troškove
modeliranja, radi potrebne pripreme i realizacije eksperimenta.
18. Kako se dobiju matematički modeli dimenzionalnim modeliranjem?
Dimenzionalno modeliranje se koristi u mnogim područjima kao što su: hidrotehnika,
aerotehnika, hemijska i procesna tehnika, termodinamika, procesi obrade itd. Teorija
dimenzionalnosti, iako ima prostu proceduru primjene, još uvijek je nedovoljno iskorištena u
modeliranju i analizi procesa, posebno kod proizvodni procesa i sistema. Dimenzionalnim
modeliranjem se dobiju matematički modeli sastavljeni od bezdimenzionalnih veličina i
eksponenata koji se obrade korištenjem eksperimentalnih rezultata. Dakle i kod modeliranja
primjenom teorije dimenzionalnosti eksperimentalno je istraživanje osnova za definiranje
matematičkih modela u obliku koji će biti pogodan za praktičnu primjenu.
METODE MODELIRANJA
Analitičke Numeričke Stohastičke Računalno -
grafičke Dimenzional
ne Fizikalne Analogne Misaone
19. Gdje i zašto se koristi numeričko modeliranje?
Numeričko modeliranje se koristi za:
- modeliranje naprezanja i deformacija u području elastičnih, elasto-plastičnih i
plastičnih deformacija,
- proračun sila opterećenja sistema i alata,
- simulaciju procesa i
- izbor optimalne konstrukcije ili varijante procesa obrade.
Uz pomoć ove metode moguće je definirati matematičke modele i izvesti simulacije rješenja
bez provedbe eksperimentalnih istraživanja i izrade prototipnih sistema, što znatno skraćuje
vrijeme proračuna, analize, projektiranja procesa i pojeftinjuje poslove koji prethode
aplikaciji.
20. Šta je osnovni cilj modeliranja, šta se definira modeliranjem i kako se prikazuju ovisnost parametara?
Osnovni cilj modeliranja je definiranje matematičkih modela i drugih prikaza koji su
neophodni za optimizaciju, simulaciju, revitalizaciju i upravljanje procesima i sistemima.
Ili drugim riječima, osnovni je cilj izgradnja matematičkih modela koji će u odgovarajućem
stanju tačnosti adekvatno opisati process ili sistem, u cilju:
- Simulacije varijantnih rješenja, analize i prognoziranja stanja procesa još u fazi
projektiranja,
- Definiranja matematičkih modela koji su neophodni za optimizaciju procesa i
iznalaženje optimalnih rješenja,
- Izgradnje modela upravljanja za dati sistem, tj. objekt optimizacije,
- Znanstvenih istraživanja i/ili praktične primjene u realnim procesima.
21. Koji su glavni koraci algoritma razvoja matematičkog modela?
Opći algoritam razvoja matematičkog modela
POČETAK
Formalizirano opisivanje
procesa
Identifikacija mikro procesa
Analiza ulazno-izlaznih parametara
UtvrĎivanje skupa Xi Zi Yi
i=1,2,3,...
Definiranje granice parametara
Matematičko opisivanje
procesa
Formiranje matematičkog modela
mikro procesa
Sinteza matematičkih modela mikro
procesa
Analiza adekvatnosti i pouzdanosti
matematičkog modela
Definiranje algoritma
Ispitivanje toka funkcije
Rješavanje sistema jednadžbi
Računalo
Računalo
22. Šta podrazumjeva matematičko opisivanje realnog procesa ili sistema?
Matematičko opisivanje realnog procesa obrade podrazumijeva matematičko opisivanje svih
elementarnih procesa prikazanih u obliku funkcija i jednadžbi (funkcija postojanosti alata,
funkcija istrošenosti alata, funkcija otpora u procesu obrade, funkcija kvalitete obraĎene
površine,…), sintezu matematičkih modela pojedinih elementarnih procesa u jedinstveni
matematiki model te njihovo povezivanje definiranjem dodatnih punkcija.
23. Kako se izvodi identifikacija parametara procesa?
Identifikacija parametara procesa i sistema izvodi se analizom procesa na temelju poznatih
teorijskih podataka o konkretnom procesu ili sličnom procesu kada je konkretni proces
nedovoljno poznat.
Identifikacija parametara procesa može se izvesti i eksperimentalnim putem kada se iz
ukupnog skupa identificiranih utjecajnih parametara izabere jedan broj parametara koji se
definiraju kao nezavisno promjenjive ulazne veličine (Xi), a ostali se parametri, iako mogu
biti nezavisno promjenjive veličine u postupku modeliranja, tretiraju kao konstante.
ULAZNE KARAKTERISTIKE IZLAZNE
KARAKTERISTIKE PROCESA KARAKTERISTIKE
Sl. Analiza i identifikacija parametara procesa obrade
OBRADAK
(materijal, stanje
oblik)
ALAT
(materijal, vrsta,
geometrija)
STROJ
(tačnost, snaga,
pogon, upravljanje)
TRIBOLOGIJA
(sredstvo za
hlaĎenje i
podmazivanje)
VRSTA PROCESA
OBRADE (tokarenje, glodanje, bušenje,
izvlačenje, istiskivanje,
zavarivanje, ...)
UVJETI PROCESA
OBRADE (brzina, posmak, dubina,
temperatura, deformacija,
postojanost, trenje,...)
Dinamika procesa (ukupne i
specifične sile, momenti)
Energetika procesa (utošak, stupanj
iskoristivosti)
Otpornost trošenju (temperatura,
trenje, trajnost)
Geometrija obraĎene površine i
tačnost oblika
Kvaliteta obraĎene površine,
hrapavost
Otpadak materijala, oblik, stupanj
iskoristivost, poteškoće
Vrijeme obrade, troškovi direktnog
i indirektnog živog rada
24. Prikaži identifikaciju ulaznih i izlaznih parametara procesa određenom blok šemom.
Identifikacija parametara procesa obrade skidanjem strugotine
Blok shema ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju istraživanja i
složenosti pretpostavljenog modela.
25. O čemu ovisi blok šema procesa?
Blok shema procesa ovisi o vrsti procesa obrade, broju utjecajnih parametara, cilju
istraživanja i složenosti pretpostavljenog modela. Izlaznih parametara procesa može biti više
ili samo jedan, što ovisi od postavljenog cilja modeliranja.
26. Kako se vrši izbor tipa modela i koji su modeli najbolji?
Do modela se može doći na različite načine , meĎutim osnovno je pitanje u kojoj mjeri taj
odabrani model adekvatno opisuje stanje procesa obrade.
Osnovni tipovi matematičkih modela su deterministički i stohastički.U smislu odabira
osnovnog tipa matemtičkog modela izbor zavisi o omjeru utjecaja slučajnih varijabli.
PROCES
A
g
v
s
a
γ
α
κ
λ
ε
r
O
Elementi
režima
obrade
G
B, T
Fi(i=1, 2, 3)
A
Ra
θ
OS
S M SHP
Konstante
Za
visn
o p
rom
jen
jive
izl
azn
e ve
liči
ne
Nez
avi
sno
pro
mje
nji
ve
ula
zne
veli
čin
e
Pri izboru modela za aproksimaciju eksperimentalnih rezultata traže se modeli koji najbolje
opisuju realni proces ili sistem. Funkcija modela može biti, prava linija, parabola drugog ili
trećeg reda, hiperbola, logaritamska funkcija
Za izbor tipa modela ne postoji opšte pravilo već da za svaki istraživački proces ili sistem
treba izabrati model a zatim izvršiti provjeru njegove tačnosti i adekvatnosti u odnosu na
realni proces.
Sliku 2.7 primjeri izbora matematičkog modela ovisno o grupiranju eksperimentalnih
rezultata.
27. Šta je induktivni, a što deduktivni put u razradi matematičkih modela?
Postoji više načina da se izgradi model sistema, od kojih su najznačajniji sljedeći pristupi:
1. Deduktivni pristup (polazi od opšteg ka posebnom).
2. Induktivni pristup (za razliku od prethodnog, polazi od posebnog da bi se došlo do
opšteg).
Deduktivni pristup: Ovaj pristup pretpostavlja primjenu opštih iskustava koja su stečena
prilikom modeliranja različitih specifičnih procesa. Uz to, pristup koristi i prethodno znanje o
razmatranom procesu, koje se zasniva na poznavanju fizičkih zakona koji definišu
matematičke relacije izmeĎu relevantnih varijabli u idealizovanom modelu procesa sa
idealizovanim fizičkim komponentama. Na primer, u idealizovanim fizičkim komponentama
tijelo odgovarajuće mase se tretira kao tačkasto, uz zanemarivanje njegovih dimenzija, protoci
su laminarni, koncentracije su homogeno raspodeljene u rezervoaru, mješavine su idealne i
sl. Fizički zakoni se obično izražavaju u obliku algebarskih i/ili diferencijalnih jednačina.
Induktivni pristup: U opštem slučaju se ne raspolaže sa dovoljno apriornog znanja da bi se
parametri u usvojenoj strukturi modela procenili adekvatno. U takvim situacijama koriste se
tehnike parametarske identifikacije sistema, koje koriste mjerenja ulaza i izlaza sistema da bi
estimirale (procijenile) vrijednosti parametara u modelu. Postupak identifikacije zasniva se i
na nekim dodatnim pretpostavkama, kao što su, na primjer, klasa linearnih modela, selekcija
ulazno/izlaznih varijabli, red modela i sl. Sam postupak pribavljanja informacija o sistemu
naziva se indukcija. U navedenom slučaju postavlja se prirodno i pitanje izbora kriterijuma za
poreĎenje različitih modela u uslovima kada su mjerenja na procesu prisutna.
Ponekad je moguće da se model sistema izvede samo na osnovu deduktivnog pristupa,
koristeći odgovarajuće fizičke zakone i procenjene vrijednosti parametara, na bazi fizičkih
gabarita. Takav model naziva se “bijeli” model ili “white-box” model.
U nekim slučajevima ne postoji adekvatno apriorno znanje o realnom procesu, te model
mora da se postavi na osnovu raspoložive mjerne informacije o ulazu i izlazu sistema, ne
posjedujući adekvatnu informaciju o internoj strukturi i internim relacijama u sistemu. Tako
izveden model naziva se “crni model” ili “black-box” model. IzmeĎu ova dva granična
slučaja nalazi se model u formi sive kutije ili “gray-box” model, koji je u sebe uključio svu
moguću raspoloživu apriornu informaciju o realnom procesu.
28. Pri definiranju analitičkog matematičkog modela šta je izvor informacija i što prethodi opisivanju procesa?
Kod analitičkog modeliranja i definiranja analitičkih matematičkih modela (AMM) polazni
objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, već neka apstrakcija u vidu
integralnog ili asimptotskog matematičkog modela. Tačnost AMM se može prihvatiti samo
poreĎenjem dobivenih analitičkih i eksperimentalnih vrijednosti istraživanih parametara
procesa ili sistema. Matematičkom opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije tj.
uprošćivanja stvarnog procesa.
29. Koje su osnovne faze analitičkog opisivanja procesa?
Analitičko modeliranje je postupak definiranja jednadžbi stanja procesa ili sistema u obliku
matematičkih formulacija s primjenom nužnih aproksimacija I pojednostavljenja kako bi se
process modeliranja doveo do cilja I dobio prikladan model za inženjersko-tehničku praksu.
Osnovni koraci su:
- definiranje ulaznih tehnoloških parametara,
- podjela ulaznih tehnoloških parametara na obuhvaćene i neobuhvaćene
- podjela obuhvaćenih tehnoloških parametara na promjenjive i konstante u okviru
promatranog modela,
- definiranje jednadžbe veze ulazno-izlaznih parametara procesa,
- izbor i primjena konkretnih analitičkih i fizikalnih zakona koji odreĎuju jednadžbu
veze
- rješenje sistema jednadžbi veze
- ispitivanje i provejra tačnosti i pouzdanosti modela.
30. Šta sadrži blok šema algoritma razrade analitičkog modela?
Algoritam razrade analitičkog modela sadrži:
1. Početak
2. Informacije o općim zakonima procesa obrade i informacije prethodnih istraživanja
i intuitivni zaključci.
3. Skup utjecajnih ulaznih tehnoloških faktora
4. Blok formiranih varijabli i konstanti, odnosno izabrani faktori
5. Jednadžbe veze ulaznih i izlaznih faktora, izbor odgovarajućih fizikalnih i
konkretnih zakona
6. Sumu ulaznih fizikalnih faktora
7. Znanstvena informacija o metodama realiziranja
8. Rješenje sistema jednadžbi
9. Empiričke informacije i razvijanje modela (konkretni analitički zakon)
10. Provjera tačnosti (pouzdanosti) modela
11. Ispis modela
12. Kraj
31. Kako nastaje analitički model?
Analitičko modeliranje je postupak definiranja jednadžbi stanja procesa ili sistema u
obliku matematičkih formulacija s primjenom nužnih aproksimacija i pojednostavljenja
kako bibse proces modeliranja doveo do cilja i dobio prikladan model za inžinjersko –
tehmičku primjenu.
Kod analitičkog modeliranja i definiranja analitičkih matematičkih modela (AMM)
polazni objekt promatranja i izvor informacija nije uvijek realni proces, već neka
apstrakcija u vidu integralnog ili asimptotskog matematičkog modela. Matematičkom
opisivanju svakog procesa prethodi faza idealizacije, tj. uprošćivanja stvarnog procesa.
Ipak, kao i svaki model, i matematički model treba što bolje održavati realni ili
pretpostavljeni proces, s tim da s matematičkog stajališta bude upotrebljiv. Osnovni su
koraci matematičkog opisivanja procesa obrade:
- Definiranje ulaznih tehnoloških parametara
- Podjela ulaznih tehnoloških parametara na obuhvaćene i neobuhvaćene
- Podjela obuhvaćenih tehnoloških parametara na promjenljive i konstantne u okviru
promatranog modela
- Definiranje jednadžbe veze ulazno – izlaznih parametara procesa
- Izbor i primjena konkretnih analitičkih i fizikalnih zakona koji odreĎuju jednadžbu
veze
- Rješenje sistema jednadžbi veze
- Ispitivanje i provjera tačnosti i pouzdanosti modela
32. Šta se koristi za linearizaciju matematičkog analitičkog modela i kako se to izvodi?
Za odreĎivanje lineariziranog matematičkog modela koriste se prvi članovi Taylorova ili
Mac-Laurinova reda. Pretpostavka je da su ispunjeni uvjeti za linearizaciju funkcije sile
rezanja F, tj. da je funkcija f(x) = f(F) neprekinuta i diferencijabilna u odgovarajućem
području.
Mac- Laurinov red:
( ) ( ) ( )
( )
( )
odnosno Taylorov red:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
33. Šta je empirijsko – statističko modeliranje?
Radi dobijanja pouzdanog matematičkog modela vrši se statistička obrada
eksperimentalnih podataka. Kada se u modelu koriste empirijski podaci kao rezultat se
dobiva eksperimentalni matematički model, odnosno stohastički model.
Procesi obrade su kao i drugi procesi u tehnici stohastičkog karaktera pa se koristi
empirijsko – statističko modeliranje, koje daje tačnije rezultate u odnosu na druge metode
modeliranja. Stohastički ili empirijsko – statistički model polazi od opće funkcije izlazne
karakteristike procesa:
( ) ( )
34. Kako izgleda funkcija signifikantnih i nesignifikantnih parametara i šta su oni?
Prethodna funkcija se nakon selekcije poremećajnih (nesignifikantnih) dijelova → može
rastaviti na dvije funkcije:
( ) ( )
ili
( ) ( )
( ) - funkcija kontroliranih (signifikantnih) parametara
( ) - funkcija nekontroliranih (nesignifikantnih) parametara
Definira i slučajnu grešku eksperimentalnog ispitivanja, odnosno slučajnu
grešku mjerenja.
35. Šta sadrži šema razrade stohastičkog modela?
Šema razrade stohastičkog modela sadrži:
- Informacije o objektu istraživanja
- Eksperiment
- Matematičku teoriju plana eksperimenta
- Slučajne eksperimentalne podatke
- Matricu eksperimenta
- Realizaciju
- Analizu i obradu rezultata
- Definiranje modela
- Provjeru adekvatnosti
- Ispis modela
36. Postupak razrade stohastičkog matematičkog modela (od početka do ispisa modela).
- Identifikacija skupa svih parametara ( )
procesa ili sistema
- Iz ( )
izdvajaju se promjenljivi parametri , a oni se dijele na
– regulirani
parametri i na - neregulirani parametri
- OdreĎuju se granice variranja parametara u uvjetima realnog procesa ili sistema
- Nakon toga se odlučuje o metodi izvoĎenja eksperimenta (pasivni ili aktivni)
- Ako se promjena izvodi po unaprijed utvrĎenom planu, onda je eksperiment aktivni
- Slučajne oscilacije na granicama
ne utječu na
- Ako nije moguća realizacija matrice eksperimenta, koriste se slučajni eksperimentalni
podaci, pri čemu se nesistematski izvodi kombinacija promjenljive veličime i .
Tada je dobro smanjiti tehnološke zahtjeve, te dopustiti oscilacije parametara u
širim granicama, nego je to slučaj u realnom procesu.
- Postupak se završava obradom prikupljenih eksperimentalnih podataka i provjerom
adekvatnosti dobivenog modela.
(Šema je prikazana u knjizi prof. dr. Jurkovića, str. 45.)
37. Šta su slučajne varijable, koje su njihove osobine i kako se uključe u model?
Slučajne varijable su nekontrolirani poremećajni faktori koji se javljaju u procesu ili
sistemu.
Stohastički model dolazi u obzir kada u procesu obrade ili sistemu postoji znatan utjecaj
tih faktora.
Slučajne varijable se nazivaju još i stohastičke varijable.
38. Kakav može biti eksperiment za formiranje stohastičkog modela i koja je razlika između njih?
Razrada stohastičkog modela temelji se na statističkoj obradi eksperimentalnih podataka.
Metode definiranja stohastičkih modela mogu biti utemeljene na obradi slučajnih
eksperimentalnih podataka koada uvjeti eksperimenta nisu programirani (pasivni eksperiment)
i na obradi podataka kada su uvjeti eksperimenta programirani primjenom matematičke teorije
planiranja eksperimenta (aktivni eksperiment).
Prednost prve metode je mogućnost razrade matematičkog modela procesa bez
promjene postojećeg režima rada sistema ili procesa. Pasivni eksperiment se obično
primjenjuje za determinirane pojave, gdje model vrlo često predstavlja približan opis realnog
procesa. Kvaliteta aproksimacije podataka pasivnog eksperimenta uglavnom ovisi od izbora
tipa jednadžbe aproksimacije. Ovako dobivene aproksimativne jednadžbe često ne
zadovoljavaju usvojene kriterije tačnosti modela. Zbog toga se znatno više koriste aktivni
eksperimenti.
Drugom metodom se definira tačni matematički model s minimalnim brojem
eksperimentalnih podataka, što se postiže programiranom promjenom ulaznih parametara s
unaprijed utvrĎenim granicom variranja u uvjetima realnog procesa.
39. Kako se izvodi identifikacija parametara za formiranje stohastičkog modela (prikazati korak po korak)?
Definiranje stohastičkog modela počinje identifikacijom skupa svih parametara .
Iz tog skupa ( ) izdvajaju se promjenljivi parametri , a oni se dijele na regulirani
parametri i na - neregulirani parametri.
Zatim se odreĎuju se granice variranja parametara u uvjetima realnog procesa ili sistema
Nakon toga se odlučuje o metodi izvoĎenja eksperimenta (pasivni ili aktivni)
40. Postupak obrade rezultata eksperimenta.
Obrada rezultata eksperimenta je završni dio eksperimentalnog istraživanja, a sastoji seiz
provjere podataka, odreĎivanja greške eksperimenta ili njenog mjerila, provjere hipoteze
isreĎivanje rezultata u obliku u kome će biti prikazani. Pri ovome se teži da se iz
rezultatadobije što više informacija i da su one što vjerodostojnije.U inženjerskim
eksperimentima se najčešće zahtijeva kvantitativno prikazivanje rezultatau obliku funkcije ili
grafikona, što omogućuje savremena računarska tehnika.
41. Postupak obrade rezultata stohastičkog eksperimenta.
Slika obrade rezultata stohastičkog eksperimenta, dr. prof. M. Jurković, str. 46.
1. Početak
2. Izbor oblika matematičkih modela i proračun koeficijenata regresije
3. Proračun disperzije paralelnih eksperimenata
4. Provjera homogenosti disperzija po kriteriju Cochran-a:
Ukoliko uvjet homogenosti disperzija nije ispunjen, vraćamo se na 2.
Ukoliko je uvjet homogenosti disperzija ispunjen, prelazimo na 5.
5. Izračunavanje greške eksperimenta
6. Proračun disperzije koeficijenata regresije
7. Provjera značajnosti b, po kriteriju tudenta:
Ukoliko uvjet po Studentu nije ispunjen, vraćamo se na 2.
Ukoliko je uvjet po Studentu ispunjen, prelazimo na 8.
8. Provjera disperzije adekvatnosti i kriterija Fisher-a
9. Provjera adekvatnosti modela po kriteriju Fisher-a:
Ukoliko uvjet po Fisheru nije zadovoljen, vraćamo se na 2.
Ukoliko je uvjet po Fisheru zadovoljen, prelazimo na 10.
10. Model je adekvatan
11. Kraj.
42. Šta je homogenost disperzije eksperimenta, kako se ispituje i koji su potrebni podaci?
Provjera homogenosti disperzije eksperimenta se izvodi nakon eksperimenta.
Ponavljanjem eksperimenta pri konstantnim vrijednostima ulaznih parametara može se
utvrditi razlika u dobivenim numeričkim izlaznim vrijednostima.
Promjenom vrijednosti ulaznih parametara i ponavljanjem eksperimenta dobije se matrica
rezultata izlaznih vrijednosti.
Provjera homogenosti disperzije za odreĎeni nivo pouzdanosti izvodi se po Cochranovu
kriteriju:
∑
( )
- tablična vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode .
- stupanj slobode
– broj ponavljanja u uzorku, N – broj uzoraka
43. Što je provjera homogenosti disperzije eksperimenta i kako se izvodi? Provjera homogenosti disperzije eksperimenta izvodi se pomoću Cochranova i Fisherova
kriterija.
Cochranov kriterij:
Kh = max Sj² / 1j
Nsj² ≤ Kt (fj,N) gdje je:
Kt – tablična vrijednost po Cochranovu kriteriju za stupnjeve slobode fj i N
fi – stupanj slobode (fj = nj – 1)
nj – broj ponavljanja u uzorku
N – broj uzoraka
Fisherov kriterij:
F = S1² / S2² ≤ Ft (f1,f2) ili F = S2² / S1² ≤ Ft (f2,f1)
Ft – tablična vrijednost po kriteriju Fishera za stupnjeve slobode f1 i f2 ili f2 i f1
f1 = (n1-1) – stupanj slobode prvog uzorka
f2 = (n2-1) – stupanj slobode drugog uzorka
44. Pomoću čega se provjerava homogenost varijanci i kako? Provjera homogenosti varijanci se izvodi pomoću Fisherovog kriterija za distribucije koje su
približno normalne. Po ovom kriteriju usporeĎuju se disperzije za dvije serije mjerenja i za
slučaj da su dobiveni rezultati slučajni, nezavisni i normalno rasporeĎene veličine. Ako je
disperzija prve serije σ1², a druge serije σ2², odnosno varijance S1² i S2² tada je za F-razdiobu
i stupnjeve slobode (n1-1) i (n2-1):
F =
22
2
2
2
1
2
1
S
S
= 22
21
S
S
45. Kako se odredi stupanj slobode eksperimenta ako je broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome pokusu? Ukupni stupanj slobode fE greške eksperimenta ovisi o načinu ponavljanja pokusa. Tako za
procjenu greške eksperimenta za broj pokusa od 1...N i ako su po tri ponavljanja u svakome
pokusu ide:
2. JEDNAKO PONAVLJANJE MJERENJA n1 = n2 = ... = nj = nN
suma kvadrata: 2
1 1
)(
N
j
n
ijji yy
ukupan stupanj slobode fE = N(n-1)
Za naš primjer bi bilo n=3 » fE = N(n-1) = N(3-1) = 2N
46. Kako se izvodi ocjena greške eksperimenta?
Standardna devijacija ili kako se još naziva standardna greška služi za računsku ocjenu
tačnosti obavljenih mjerenja:
σ = 2
1
)(1
yyn
n
ii
47. Kakva sve mogu biti ponavljanja mjerenja i zašto se izvode?
Pri izvoĎenju eksperimenta broj ponavljanja mjerenja i može biti jednak ili različit u svih j
uzoraka, što ovisi o planu eksperimenta. Tako imamo:
1. različito ponavljanje mjerenja n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nj ≠ nN
2. jednako ponavljanje mjerenja n1 = n2 = ... = nj = nN
3. ponavljanje samo u jednoj tački eksperimenta j=1
4. ponavljanje u jednoj tački (i) puta
Izvodi se zbog odreĎivanja sume kvadrata i ukupnog stupnja slobode fE.
48. Kako se odredi varijanca greške (proračun greške) eksperimenta? Varijanca greške mjerenja eksperimenta određuje se izrazom:
S² =
E
N
j
n
ijji
f
yy 2
1 1
)(
σ2n
49. Šta je područje pouzdanosti i šta znače granice pouzdanosti (prikazati ćemu)?
Područje pouzdanosti je područje izmeĎu granica pouzdanosti. Granice pouzdanosti
podrazumijevaju granicu, unutar koje se može s odabranom statističkom vjerovatnošću P i uz
pretpostavku normalne razdiobe grešaka, očekivati stvarna vrijednost izmjerene veličine.
Šematski se može prikazati:
Grafički se može prikazati na sljedeći način:
50. Objasniti i prikazati metodu najmanjih kvadrata i njenu primjenu!
Metoda najmanjih kvadrata jedna je od metoda teorije grešaka koja se koristi za
ocjenu nepoznatih veličina na temelju rezultata mjerenja. Može se koristiti i za približno
predstavljanje unaprijed zadane funkcije ili analizu eksperimentalnih podataka.
Regresijska analiza ima zadatak da pronaĎe metodu za odreĎivanje vrijednosti
koeficijenata β0 i β1 regresijske funkcije υ(x) prave linije: yi = β0 + β1xi + εi, za i = 1, 2, ... n, a
osigurava optimalnu aproksimaciju promjene veličine X pomoću funkcije υ(x). Odnosno
traži se ona linija koja najbolje aproksimira eksperimantalne rezultate iz grupe mogućih
regresijskih pravih linija.
To se može prikazati:
Granice pouzdanosti
STATISTIČKA VJEROVATNOĆA
P
RAZDIOBA GREŠAKA Područje
pouzdanosti (95%, 99%,
99,9%)
95% 99%
99,9%
f(x) f(x) f(x)
1,96σ 1,96σ
y
3,29σ 3,29σ
y
2,58σ 2,58σ
y
Graf predstavlja metodu najmanjih kvadrata, i ona se koristi za odreĎivanje b1 i b0.
Uvjet je dasuma kvadrata vertikalnih odstupanja empirijskih vrijednosti yi od regresijske
prave ŷi bude minimalna. Što znači da je:
∑
∑
→ → →
∑
∑(
)
Cilj je da se regresijska funkcija po pretpostavki (yi) i po realnom poklapaju, da bi
greške bile što manje. Sa ovom metodom se može izraditi model, ali jednostavni.
51. Za poznatu funkciju y = b + ax prikazati numeričku obradu rezultata!
Ako je funkcija y = b + ax, a ako pretpostavimo da je apsolutna greška Δy = y – yt,
metodom najmanjih kvadrata sljedi:
∑( ) →
gdje su:
yN – rezultati nezavisno promjenljivih veličina
xN – nivo nezavisno promjenljivih faktora
yt - tačna vrijednost zavisnoo promjenljive veličine za odreĎeni nivo x
y – stvarno izmjenjena vrijednost koja sadrži i slučajnu grešku
yi
y
x xi
yi = β0 + β1xi + εi
ŷ = yR = b0 + b1x1 + ei
M(xi, yi) ei εi
52. Za nepoznatu funkciju prikazati numeričku obradu rezultata!
Na osnovu eksperimentalnih rezultata može se na više načina odrediti funkcija. Ako
se nacrta grafičko rješenje tako da suma kvadrata odstojanja svih tačaka od prve crte bude
minimalna. Tada se po Gaussovu principu ( metodi najmanjih kvadrata) uzima odstojanje b,
jer je lakše za računanje.
Pa je suma razlike kvadrata za jednadžbu regresijske prave: y = k + bx. Treba da
bude minimalna što znači:
∑(
) →
Zamjenom vrijednosti za k, ako je k = ӯ – , sljedi da je:
( )
I vidimo da pravac jednadžbe prolazi kroz tačku ( ).
53. Koji se koristi kriterij za ocjenu linearnosti funkcije regresije?
Za ocjenu linearnosti funkcije, provjera se vrši disperznom analizom. Provjerava se
vrši na taj način da se odredi ukupno rasipanje q koje se sastoji od rasipanja srednjih
vrijednosti ӯi oko regresijske prave q1 i rasipanja vrijednosti unutar grupe q2, tako da je
q = q1 + q2.
Kriterij koji se koristi za ocjenu linearnosti je fisherov kriterij:
( )
Ako je FL < Ft tada je regresijska prava linearna.
Gdje su:
Ft- tablična vrijednost
n – parovi vrijednosti r grupa s istom vrijednošću x
r – broj grupe sa istom vrijednosti za x
yj
y
x x
bxj + k
a b
p
54. Kako se sa dovoljno tačnosti može prihvatiti polinom za aproksimaciju neke funkcije?
Za svaku neprekidnu funkciju y=f(x) u zadanom intervalu x (x0, x1) može se s
dovoljno tačnosti aproksimirati polinom n-tog reda, za dovoljno veliko n i dovoljno tačno
odreĎene koeficijente polinoma.
Kada se eksperimentalni podaci n parova (xi, yi), za i= 1, 2, ... n, predstave u ravnini,
odredi se krivulja koja najbolje aproksimira dati skup. Traži se krivulja koja je najbliža svakoj
tački na dijagramu rasipanja. Što je raspršenost podataka veća, ima i više grešaka.
55. Šta je teorijska krivulja polinoma, a što empirijska i kakva je njihova usaglašenost?
Teorijska krivulja polinoma je krivulja dobivena pomoću teorijskog matematičkog
modela koji najbliže pokazuje prirodu procesa ili pojave dok je empirijska krivulja ona
nastala spajanjem dovoljnog broja vrijednosti dobivenih eksperimentom.
Ukoliko je dobra usaglašenost polinoma kao matematičkog modela i vrijednosti dobivenih
eksperimentom postiže se veći broj koeficienata koji polinom definiraju.
Ali treba pomenuti da usaglašenost teorijske krivulje sa empirijskom ne znači u isto
vrijeme i usalašenost sa funkcijom regresije. Dakle ima slučajeva kada povećanjem
stupnja polinoma postižemo suprotan efekat od traženog tj. udaljenje od linije regresije.
56. Kako se traži polinom (model) koji će najbolje aproksimirati dati proces (navesti metode)?
Polinom (model) koji će najbolje aproksimirati dati proces traži se tako da se
eksperimentalni podaci n parova ( , ), i=1,2,3,...,n predstave u ravnini, te se onda prema
obliku krivulje koju formiraju te tačke odredi model koji najbolje odražava zakonitosti
statističke razdiobe dobivenih empirijskih rezultata.(slika 4.8)
Kako ne postoji jedinstvena metoda za izbor oblika analitičke funkcije, preporuka je da se
u svakom konkretnom slučaju traži matematički model (polinom) koji će na što manje
parametara bolje aproksimirati dati proces ili sistem.
Metode su:
- Experimentalna (empirijska) metoda: polazi od eksperimentalnih podataka gdje se
iz dovoljno velikog broja eksperimentalnih rezultata može dovoljno tačno uočiti tip
polinoma koji najbolje opisuje funkciju regresije.
- Teorijska metoda: polazi od toga da su eksperimentalni podaci matematičke veličine
u kojima se izražavaju odreĎeni konkretni fizikalni procesi ili pojave, te se služi
podacima ranijih istraživanja sličnih procesa ili pojava.
57. Koja su tri osnovna koraka u definiranju matematičkog modela?
Tri su osnovna koraka u definiranju funkcije, odnosno matematičkog modela:
-izbor regresijskog modela
- izračunavanje parametara j za izabrani model metodom najmanjih kvadrata
-provjera tačnosti i adekvatnosti regresijskog modela.
58. Prikazati teorijske i grafički realne koeficijente regresijskog modela?
Kada je mehanizam procesa nepoznat matematički model prikazujemo u obliku
polinoma:
Y= ∑ + ∑
+ ∑
+ ∑
U ovom matematičkom modelu teorijski koeficienti regresijskog modela su:
koficienti linijskog utjecaja, koeficient kvadratnog utjecaja, –dvofaktorne
interakcija, - višefaktorne interakcije funkcije regresije.
Ŷ= ∑ + ∑
+ ∑
+ ∑
U ovom matematičkom modelu realni koeficienti regresijskog modela su:
, , ,
59. Ako polinom aproksimira određeni proces na što se svodi rješavanje datog problema?
Npr ukoliko je polinom trećeg reda:
y = + + + + +
+ +
+
+
Ukoliko polinom aproksimira odreĎeni proces rješavanje se svodi na izračunavanje
koeficienta bi.
60. Koji su kriteriji pri izboru nezavisnih promjenljivih varijabli u blok šemu?
Izbor utjecajnih faktora procesa ili sistema izvodi se na osnovu prethodnog poznavanja
istraživanog područja, literaturnih podataka o datom procesu i iskustvo istraživača, takoĎe
vrsta procesa cilju modeliranja, eksperimentu, intuiciji istraživača, posjedovanju
odgovarajuće opreme.
Kriteriji kod izbora nezavisnih promjenjivih variabli u blok šemu su:
-najprije se nabroje svi utjecajni faktori koji imaju utjecaj na izlazne parametre procesa
-zatim se taj broj smanji (reducira, optimizira) na one koji imaju najveći utjecaj.
-njihov broj ovisi o vrsti obradnog procesa (bušenje, brušenje, glodanje tokarenje itd)
Identifikacija parametara procesa i sistema se izvodi analizom procesa na temelju
poznatih teorijskih podataka o konkretnom procesu ili sličnom kada je konkretni proces
nedovoljno poznat.
61. Koje postoje metode kodiranja fizikalnih varijabli?
Postoje dvije metode kodiranja fizikalnih varijabli:
a) aritmetičko i
b) logoritamsko kodiranje.
Aritmetičko kodiranje
Prilikom kodiranja uzimaju se varijable x koje sami izaberemo ili ih uzmemo po preporuci
nekog stručnjaka koji je kompetentan iz tog područja.
Kodirane vrijednosti varijabli, bez obzira na njihovu fizikalnu mjernu jedinicu (m/s, N/mm2,
m, i sl.) izražene su s dvjema vrijednostima +1 i -1. Maksimalnim vrijednostima dajemo
vrijednost +1 dok minimalnim dajemo -1. U situaciji kada imamo srednji nivo, kodirana
vrijednost je nula. Kodiranje se u ovom slučaju (aritmetičko) izvodi pomoću izraza:
iX=
i
oii
ii
oii
x
xx
xx
xx
2
min
gdje su:
Xi – kodirana vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli, gdje je i-broj nezavisno
promjenljivih
varijabli ( i = 1,2,3..),
xi – fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli na gornjem ili donjem nivou,
x0 i – fizikalna vrijednost nezavisno promjenljivih varijabli u centru plana, tj. nulta srednja
vrijednost,
∆xi– interval granice fizikalnih vrijednosti varijabli od srednje tačke do maksimalne odnosno
minimalne vrijednosti varijable.
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom:
2
minmax ii
oi
xxx
Primjer kodiranja varijabli ( ovo pretpostavljam da neće trebati ali eto nek se nađe)
x1=σ1= 500 N/mm2-maksimalna veličina i 300 N/mm
2-minimalna veličina iz izraza
2
minmax ii
oi
xxx
→ da je srednja vrijednost 400
2
300500
srx
N/mm2 pa → da je
kodirana vrijednost 1X =
1100
100
2
300500
400500
za slučaj jednog pokusa u drugom slučaju
1X =
1100
100
2
300500
400300
ovo je bio slučaj gdje imamo dvije izmjerene vrijednosti od kojih smo jednu uzeli za
maksimalnu 500 N/mm2 a drugu za minimalnu. U ovom slučaju matrica plana eksperimenta
ima sljedeći oblik:
Broj pokusa
N=2n=4
Fizikalne vrijednosti Kodirane vrijednosti
x1= σ1 x2= υ (deform.) X1 X2
1 500 1.0 +1 -1
2 300 1.0 -1 -1
3 500 2.5 +1 +1
4 300 2.5 -1 +1
Logoritamsko kodiranje
Ako imamo polinomski matematički model poznat i iskazan općim modelom:
R=21
21
ffC
tada se logaritmiranjem dobije izraz
2211 lnlnlnln ffCR
gdje su : f1, f2 –nezavisno promjenljivi parametri
21 ,, C nepoznati koeficijenti.
Ako se izrazu 2211 lnlnlnln ffCR izvrši zamjena
pa umjesto ,ln Ry 1ln1
fx , 22 ln fx i
Co ln tada se dobiva polinom sljedećeg
oblika; 2211 xxxy oo
Za i-ti nezavisni parametar ii fx ln ili .maxln ixioi fx
odnosno minln ixioi fx ili
minmaxln2 iixi ff zamjenom u jednačini iX
=
i
oii
ii
oii
x
xx
xx
xx
2
min
dobiva se izraz za
kodiranje u sljedećem obliku iX= minmax
max
lnln
lnln21
ii
ii
ff
ff
za vrijednost:
fi = fimax dobiva se Xi=+1, fi=fimin dobiva se Xi=-1 i fi=fisr dobiva se Xi=0
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom maxmin
2
iiisr fff
Sve fizikalne vrijednosti varijabli procesa prevode se u kodirane vrijednosti bez obzira što
značenja fizikalnih varijabli mogu biti različita (N/mm2,mm,m/s itd.). Prema tome, područje
variranja nezavisno promjenljivih veličina xi zavisi od vrste procesa, svrhe i cilja modeliranja
i zahtjeva koje je postavio istraživač.
62. Prikazati osnovnu matricu kodiranja i položaj tačaka pokusa matrice?
Kad se god pravi plan eksperimenta onda se pored matrice napravi i prikaz
eksperimentalne tačke matrice plana kao što je prikazano na sljedećoj slici:
Slika. Shema kodiranja i položaj tačaka matrice plana 2
k s baznom tačkom (0,0)
Ovo je najjednostavniji plan gdje su varijable x1 i x2 i ispod imamo četiri tačke 1,2,3,4 i u
sredini tačka nula. Sve ovo s koordinatnog sistema s gornje slike bilo bi prikazano i u matrici
koja bi izgledala ovako.
Osnovna matrica kodiranja Nj-broj
mjerenja
i pokusa
Kodirne vrijednosti Prirodne vrijednosti yj-izmjerene veličine
x1 x2 v (m/s)
mi uzimamo
s (m)
mi uzimamo
v (m/s)
s (m)
tačka 1 -1 -1 50 1000 y11 y12
tačka 2 +1 -1 100 1000 Y21 Y22
tačka 3 -1 +1 50 2000 Y31 Y32
tačka 4 +1 +1 100 2000 Y41 Y42
y11 - prvi red prvo mjerenje, y12 - prvi red drugo mjerenje,
Ovdje postoje dvije mogućnosti jedna da ponavljanje eksperimenta izvodimo u vrhovima
kvadrata i u tom slučaju matrica bi izgledala kao što je gore prikazano.
U slučaju da ponavljanje eksperimenta izvodimo u sredini plana tj. u nultoj tačci mi bi u
matricu morali dopisati 5 i 6 pa bi ona izgledala ovako;
Nj-broj
mjerenja
i pokusa
Kodirne vrijednosti Prirodne vrijednosti yj-izmjerene veličine
x1 x2 v (m/s)
mi uzimamo
s (m)
mi uzimamo
v (m/s)
s (m)
tačka 1 -1 -1 50 1000 y11 y12
tačka 2 +1 -1 100 1000 y21 y22
tačka 3 -1 +1 50 2000 y31 y32
tačka 4 +1 +1 100 2000 y41 y42
5. pokus*
0 0 75 1500
6. pokus 0 0 75 1500
*- mjerenje izvodimo u nultoj tačci plana tj. sredini plana
Šta ovo u stvari znači, to znači da ako bi brzina bila npr. 50 m/s (x1) to je -1 a ako bi bila 100
m/s (drugi slučaj) to bi bilo +1 pa bi nula bila 75 m/s (srednja vrijednost) i ako stavimo da je
put 1000 m pa je u prvom slučaju (- i -) 1000 m a recimo u četvrtom mjerenju (+ i +) 2000 m
tada bi nula bila 1500 m.
U slučaju da ponavljanja izvodimo u vrhovima kvadrata imali bi više ponavljanja u gornjem
dijelu matrice npr. y11 y12.......... i matrica bi izgledala kao u što je već prikazana na prednjoj
strani odgovora a u slučaju da ponavljanje vršimo u nultoj tački onda bi u gornjem dijelu
imali samo jedno mjerenje jer nam je ponavljanje u sredini plana i matrica bi izgledala kao što
je gore prikazano.
63. Kako se iz analitičkog izraza koji je praktično neupotrebljiv:
4321 bbbb
kasvCF može dobiti odgovarajući upotrebljivi
matematički model ?
Odgovarajući upotrebljivi model može se dobiti logoritmiranjem izraza, i nakon će biti;
4321 bbbb
kasvCF nakon logoritmiranja dobija se sljedeći izraz;
kbabsbvbCF lnlnlnlnlnln 4321
gdje su : v,s,a i k –nezavisno promjenljivi parametri
4321 ,,,, bbbbC
nepoznati koeficijenti.
Ako se na izrazu kbabsbvbCF lnlnlnlnlnln 4321
izvrši zamjena
pa umjesto ,ln Fy vx ln
1
, sx ln2 ,ax ln3
, kx ln4 i Cbo ln
tada se dobiva
polinom sljedećeg oblika; 44332211 xbxbxbxbxby oo
Za i-ti nezavisni parametar ii xx ln ili .maxln ixioi xx
odnosno minln ixioi xx ili
minmaxln2 iixi xx zamjenom u jednačini iX
=
i
oii
ii
oii
x
xx
xx
xx
2
min
dobiva se izraz za
kodiranje u sljedećem obliku iX= minmax
max
lnln
lnln21
ii
ii
xx
xx
za vrijednost:
xi =xfimax dobiva se Xi=+1, xi=ximin dobiva se Xi=-1 i xi=xisr dobiva se Xi=0
Srednji nivo fizikalne vrijednosti odredi se izrazom maxmin
2
iiisr xxx
64. Šta su modeli prvog reda i kako se mogu prikazati?
Za definiranje linearnih modela primjenjuje se plan eksperimenta prvog reda. Najviše
korišten plan je potpuni faktorni plan eksperimenta (PFE) u kojem se svaki nivo jednog
faktora kombinira sa svim nivoima ostalih faktora (varijabli). Za dobijenje linearnog modela
minimalan broj nivoa variranja je r = 2. U tom slučaju matrica potpunog faktornog plana
eksperimenta ima oblik N = rk
= 22 = 4, gdje je k broj nezavisno promjenjivi faktora
(varijabli), a N broj redova matrice eksperimenta koji odgovara broju pokusa.
Dvofaktorni matematički model (dvofaktorna matrica)
Za dvofaktorne matematičke modele izvode se dvofaktorini eksperimenti s brojem pokusa N
= 22 = 4. U narednoj tablici prikazana je matrica dvofaktornog eksperimenta s djelovanjem
interakcija X1,X2. Matrica bez djelovanja interakcija spada u grupu jednostavnih
eksperimenata i modela.
Matrica plana eksperimenta 22
Broj pokusa Nj
Kodirane vrijednosti faktora
Vektor izlaza
yJ
X0 X1 X2 X1 X2
1 +1 -1 -1 +1 Y1
2 +1 +1 -1 -1 Y2
3 +1 -1 +1 -1 Y3
4 +1 +1 +1 +1 Y4
Koeficijenti
b0
xij
↑
b1
xmj
↑
b2
xij xmj
↑
b12
Matematički
model
y = b0+x0+b1+x1+b2x2
y = b0+x0+b1+x1+b2x2+b12+x1x2
Položaj tačaka dvofaktornog plana eksperimenta 22 s baznom tačkom (0,0) prikazan je na
sljedećoj slici;
Slika. Shema kodiranja i položaj tačaka matrice plana 2k s baznom tačkom (0,0)
U općem slučaju je :
ꞈ
yj = b0x0j + b1x1j+b2x2j za j = 1,2,.....,N.
Za odreĎivanje koeficijenata b0, b1, b2 može se koristiti metoda najmanji kvadrata, gdje je
potrebno
ꞈ
odrediti sumu kvadrata odstupanja teoretskih vrijednosti yj od stvarnih yj
Za ostatak formula iz knjige koje se vežu na ovaj dio, profesor je na predavanju održanog
22.12. 2011. godine rekao da ne treba učiti napamet, i tom prilikom kao važno spomenuo
formulu 4.70 str. 86. u knjizi iz tog razloga što se ona direktno veže za model y =
b0+x0+b1+x1+b2x2 . Na osnovu te formule mi možemo odrediti koeficijente b0, bi, i b12 pa sam
je i ja stavio kao bitan element u odgovoru na ovo pitanje a ona glasi;
N
j
jj
N
j
j YN
YXN
b11
00
11
jer je uvijek X0j = 1
,1
1
j
N
j
ij YXN
bi
za i = 1,2,
,1
1
12 jmj
N
j
ij YYXN
b
za 1 ≤ i < m ≤ k = 2
gdje je jj yy aritmetička sredina eksperimentalnih rezultata mjerenja u pojedinim tačkama
plana kada postoji ponavljanje pokusa, odnosno kada ponavljanja pokusa nama i jj yy .
65. Kako izgleda matrica eksperimenta sa tri varijable?
Broj
pokusa
Nj
Kodirane vrijednosti faktora – matrica plana
Vektor
izlaza
yj
X0
X1
X2
X3
X1
X2
X1 X3
X2 X3
X1 X2 X3
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y5
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y8
Koef.
višestruke
regresije
b0
b1
b2
b3
b12
b13
b3
b123
Matematički
model
y = b0x0 + b1x1 +
b2x2 + b3x3
y = b0x0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 +
b123x1x2x3
66. Prikazati grafički i matrično funkciju Yj = Yj(X1, X2, X3) ako se ponavljanje za procjenu greške eksperimenta izvodi u baznoj tački (0,0) eksperimenta?
Za trofaktorni matematički model (k=3) ortogonalna plan matrica je sastavljena od
N=2k+n=2
3+4=8+4=12 pokusa.
Matrica plana eksperimenta
Bro
j
po
ku
sa N
j
Kodirane vrijednosti faktora – matrica plana
Vek
tor
iz
laza
Yj
X0
X1
X2
X3
X1X2
X1X3
X2X3
X1X2X3
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y5
6 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 y6 7 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 y7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y8 9 +1 0 0 0 0 0 0 0 y9 10 +1 0 0 0 0 0 0 0 y10 11 +1 0 0 0 0 0 0 0 y11 12 +1 0 0 0 0 0 0 0 y12
Koef
icij
enti
viš
estr
uke
refr
esij
e
b0
b1
b2
b3
b12
b13
b23
b123
Mat
emat
ički
model
y=
b0x0+b1x1+b2x2+b3x3
y= b0x0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b123x1x2x3
67. Šta treba provjeriti da bi određeni matematički model bio prihvatljiv?
Da bi odreĎeni matematički model bio prihvaćen mora se provjeriti signifikantnost njegovih
koeficijenata i adekvatnost samog modela. Prilikom provjere signifikantnosti koeficijenata
polinoma, svi faktori Xi uz koje se nalaze nesignifikantni koeficijenti se isključuju iz modela.
Signifikantnost se provjerava na osnovu kriterija Studenta (t-test) ili Fishera (F-test).
Adekvatnost se provjerava testom Fishera.
68. Koje su osobine ortogonalnih planova?
Ortogonalni planovi moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:
- Uvjet simetričnosti – prema kojem su sve nezavisno promjenjive veličine simetrično
rasporeĎene u odnosu na centar eksperimenta:
∑
- Uvjet normativnosti – prema kojem je suma kvadrata elemenata za sve stupce
matrice jednaka broju pokusa N.
∑
- Uvjet ortogonalnosti
∑
69. Koja je karakteristika ortogonalnih u odnosu na druge planove?
Ortogonalni planovi u odnosu na druge planove imaju sljedeća obilježja:
- raspored eksperimentalnih tačaka u eksperimentalnom prostoru je optimalan,
- broj eksperimentalnih tačaka je minimalan, što daje manje troškove i kraće vrijeme
ispitivanja,
- količina dobivenih informacija je maksimalna,
- matematička obrada eksperimentalnih rezultata je jednostavna.
70. Kako se ispituje značajnost koeficijenata modela?
a) Ponavljanje pokusa u centralnoj tački plana
Za ispitivanje značajnosti koeficijenata modela se koriste kriteriji Studenta (t-test) i Fishera
(F-test).
F-kriterij je odreĎen uvjetom:
( ) ( )
Procjena greške koeficijenata modela:
( )
Stepen slobode koeficijenata je , pa slijedi:
( )
Procjena greške u centralnoj tački plana eksperimenta se dobije iz izraza:
∑ ( )
gdje je:
- – stepen slobode u centralnoj tački plana,
- ∑
– aritmetička sredina rezultata mjerenja eksperimentalnih vrijednosti
u nultoj tački plana.
Prema odreĎenim stepenima slobode, i , kao i na osnovu odabranog praga
značajnosti ( , gdje je P pouzdanost modela), odredi se veličina ( )
( ), te uporedi sa .
Drugi način provjere signifikantnosti koeficijenata modela je Studentov t-kriterij.
Opći uvjet glasi:
| | ( )
√
ili:
| | ( )
√
| | ( )
√
| | ( )
√
gdje je:
- ( ) – tablična vrijednost za stepen slobode i odabrani prag značajnosti
- – područje pouzdanosti koeficijenata modela ili greška u ocjeni koeficijenata
b) Ponavljanje jednog broja pokusa
Provjera signifikantnosti koeficijenata modela s ponavljanjem jednog broja pokusa se
odreĎuje prema t-kriteriju Studenta.
Provjerava se uvjet:
| |
| |√
( )
ili
| | ( ) ( )
√
Varijanca greške se dobija prema izrazu:
∑ ∑ ( )
gdje je:
∑ ( ) ( ) – ukupni stupanj slobode
– broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja
71. Kako se ispituje adekvatnost modela?
a) Ponavljanje pokusa u centralnoj tački plana
U općem slučaju, adekvatnost modela se provjerava usporedbom eksperimentalno dobivenih
vrijednosti i vrijednosti izračunatih iz modela
. Uvjet adekvatnosti je odreĎen
F–kriterijem:
- ako je
( ) ( )
- ako je
( ) ( )
Ako se dobije da je , tada matematički model adekvatno opisuje analizirani obradni
proces.
Disperzija adekvatnosti se odreĎuje iz izraza:
∑ (
)
∑ ( )
ili
∑
∑
gdje je:
- – broj stepeni slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti
- – izračunata vrijednost iz formiranog matematičkog modela,
-
( )(
) – suma
kvadrata koeficijenata
- ∑ ( )
– suma kvadrata, odnosno greška pokusa
- ( ) – tablična vrijednost F-razdiobe za odreĎenu vrijednost greške
o ako je
, tada je i
o ako je
, tada je i
b) Ponavljanje jednog broja pokusa
Adekvatnost modela je odreĎena F-kriterijem:
- ako je
( ) ( )
- ako je
( ) ( )
Vrijednost disperzije adekvatnosti odreĎuje se prema izrazu:
∑ (
)
gdje je:
- – stepen slobode koji se odnosi na disperziju adekvatnosti
-
∑ ∑ ( )
– varijanca greške pokusa,
- ∑ ( ) ( ) – ukupan stepen slobode
- – broj ponavljanja pokusa u j-tom redu matrice, kada je isti broj ponavljanja
72. Koji je najznačajniji kriterij za izbor matematičkog modela i kako se primjenjuje?
Najznačajniji kriterij za izbor matematičkog modela je koeficijent višestruke regresije. Kada
dva ili više modela dobro opisuju proces, odluka o najboljem modelu se donosi na osnovu
vrijednosti koeficijenta višestruke regresije. Ovaj koeficijent je dodatni pokazatelj za ocjenu
adekvatnosti modela. Ovo posebno važi kod pokusa kod kojih je rasipanje rezultata pokusa u
centralnoj tački plana razmjerno veliko ili razmjerno malo, pa se na temelju F-testa ne može
donijeti valjana odluka o adekvatnosti modela.
a) Ponavljanje u centralnoj tački pokusa
Za ispitivanje veze izmeĎu zavisno promjenjivih veličina i nezavisno promjenjivih veličina
se koristi koeficijent višestruke regresije:
√ ∑ (
)
∑ ( )
gdje je:
- – vrijednosti eksperimentalnih rezultata
- – izračunate vrijednosti iz dobivenih modela
- ∑
– aritmetička sredina svih eksperimentalnih rezultata
Vrijednost ovog koeficijenta se uvijek nalazi u granicama . Ako je R=1, onda
model u potpunosti opisuje rezultate eksperimenta, a ako je R=0, onda izmeĎu varijabli i
ne postoji nikakva meĎusobna povezanost. Kvadrirana vrijednost odreĎuje kvalitetu i
pouzdanost modela. Ako je , to znači da se varijabiliteta pripisuje
djelovanju varijable .
b) Ponavljanje jednakog broja pokusa
Koeficijent višestruke regresije se računa prema izrazu:
√ ∑ (
)
∑ ( )
gdje su:
-
∑
∑
– aritmetička sredina vrijednosti eksperimentalnih
rezultata u j-toj tački plana pokusa, odnosno u j-tom redu matrice
- ∑
- aritmetička sredina svih eksperimentalnih rezultata pokusa
73. Kako se određuje područje pouzdanosti modela?
ZA PONAVLJANJE POKUSA U CENTRALNOJ TAČKI PLANA:
Područje pouzdanosti modela odredi se općim izrazom:
ii bb ≤
'
ib ≤ ii bb
; i = 0,1,2,...,k ili
N
Stbb
N
Stb tit
0
0
'0
0
odnosno
0
0'
0
0
nN
Stbb
nN
Stb tiiti
; i = 0,1,2,...,k gdje su:
''
0 , ibb - nepoznati keoficijenti početnog modela, koji aproksimira konačni model, odnosno
koeficijenti aproksimiranog modela ( 0
'
0 bb , odnosno ii bb '
kada greška mjerenja 0 )
ZA PONAVLJANJE JEDNAKOG BROJA POKUSA:
Izračunavanje područja pouzdanosti modela:
ii bb ≤
'
ib ≤ ii bb
; i = 0,1,2,...,k ili
Nn
Stbb
Nn
Stb
y
ti
y
t 0
'
0
gdje je:
),( yftt - tablična vrijednost t-kriterija
74. Šta je koeficijent determinacije i šta opisuje?
Koeficijent determinacije odreĎuje kvalitetu i pouzdanost modela. Koeficijent
determinacije označava se sa R = r2, gdje je R pokazatelj zajedničkih faktora - udjela kod dva
obilježja X i Y koja su uključena u korelacijsku analizu. Npr. r = 0,32= 0,09 = R, ili npr.
r = 0,62= 0,36 = R–koeficijent determinacije. Što je korelacija manja npr. ± 0,3 koeficijent
determinacije je značajno manji nego kad je korelacija veća npr. ± 0,6 ( R = 9%, odnosno
36% ). Ako je , to znači da se 96,5% varijabiliteta pripisuje djelovanju varijabli
Xi.
75. Koji su potrebni podaci za određivanje adekvatnosti modela? Podaci koji su potrebni za odreĎivanje adekvatnosti modela su izračunata vrijednost iz
formiranog matematičkog modela, odnosno i vrijdnost koja je dobivena eksperimentalno,
odnosno . Dakle, u općem slučaju adekvatnost modela se provjerava usporedbom
eksperimentalno dobivenih vrijednosti i vrijednosti izračunatih iz modela
76. Kakve su parcijalne ortogonalne matrice i što se s njima postiže?
Primjenom nepotpunog ortogonalnog plana (NFE) moguće je smanjiti broj potrebnih pokusa
u potpunom planu prvog reda, a da se pri tome zadrže svojstva ortogonalnosti i normalnosti
matrice plana. Rastavljanjem potpunog plana k2 na paran broj blokova pokusa n=2, n=4 ili
n=8 dobiju se parcijalni ortogonalni planovi prvog reda, tako da je broj eksperimenta tačaka:
k
nN 2
1
77. Kako se formira parcijalna matrica 2^(k-1) ?
Postupak formiranja parcijalne matrice počinje s potpunim planom , dakle, ako je
k=3, počinjemo s potpunim planom . Pošto je k=3, potrebna su nam 3 faktora, ali u planu
imamo samo 2. Stoga se uvodi smjena jedne od kolona plana . Obično se odabire neki
od meĎusobnih interakcija glavnih faktora.
1 -1 -1 1
2 -1 1 -1
3 1 -1 -1
4 1 1 1
U ovom slučaju, smjena će biti , mada je takoĎer mogla i biti - .
Novi plan koji je parcijalni faktorni plan glasi:
1 -1 -1 1
2 -1 1 -1
3 1 -1 -1
4 1 1 1
Odnos predstavlja generator plana. Kontrast J=1 se dobije kada odnos pomnožimo
s (jer je ), gdje ćemo dobiti J=1= .
78. Koja je metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana?
Metodologija formiranja parcijalnog ortogonalnog plana sastoji se u definiranju generirajućih
odnosa, tako se za plan 23-1
mogu napisati dva moguća odnosa:
i .
Množenjem sa dobiva se:
Kako je , to je , te je odnosno
ova veličina se definira kao kontrast koji odreĎuje dvojnost efekta, odnosno njihovu
povezanost. Tako se množenjem prethodne jednačine s dobiva:
Što znači da je utjecaj od povezan s utjecajem itd. Kontrast uvijek ima vrijednost J=1.
TakoĎer važi:
→
⇨ →
→ .
79. Treba prikazati matricu parcijalnog plana za slučaj da je PFP: N = 2^6, dok je NFP(parcijalni ili nepotpuni plan) N=2^(k-p), gdje je p = 3.
Počinjemo od potpunog plana eksperimenta za 3 varijable, s 23 eksperimenata:
1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
4 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
5 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
6 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1
7 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
U ovom slučaju imamo 3 varijable, a treba nam 6, te stoga moramo dodati 3 nove varijable.
Nove varijable postaju kolone u kojima su odnosi više varijabli. U ovom slučaju,
stavit ćemo da je , i . Ovo su generatori plana. Pored ovih
generatora su se mogli iskoristiti i negirane vrijednosti, dakle, , i
.
Novi plan eksperimenta(samo glavne varijable) izgleda ovako:
1 1 -1 -1 -1 1 1 1
2 1 1 -1 -1 -1 -1 1
3 1 -1 1 -1 -1 1 -1
4 1 1 1 -1 1 -1 -1
5 1 -1 -1 1 1 -1 -1
6 1 1 -1 1 -1 1 -1
7 1 -1 1 1 -1 -1 1
8 1 1 1 1 1 1 1
Ne znam treba li ova daljnja analiza, al' neka ima ako zatreba.
Cijena voĎenja eksperimenta po parcijalnom planu je nemogućnost razlikovanja efekata dvaju
ili više varijabli. Naprimjer, efekat varijable može biti spojen s efektom . Stoga se
mora izvesti analiza tih veza.
Generatori gornje matrice su: , i . Iz njih se dobijaju
kontrasti J.
Kvadrat svake varijable je 1, dakle .
Pošto imamo 3 generatora, moramo izvršiti njihovu kombinaciju množenjem i tako dobiti
grupu konačnih kontrasta:
Na osnovu kontrasta možemo odrediti koji efekti odreĎuju vrijednost pojedinačnih
koefijenata.
Gornji plan eksperimenta s osnovnim/glavnim efektima i meĎusobnim vezama izgleda ovako:
...
1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1
Da
lje željene
ko
mb
ina
cije ovih
6
va
rijab
li
2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1
3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1
4 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1
5 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1
6 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
7 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1
8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Svaka od ovih kolona bi se trebala izraziti na osnovu kontrasta. Postupak se sastoji u množenju kontrasta s kolonom.
Npr. za , množimo konstraste s
Prema ovome uz bi trebao biti sljedeći koeficijent:
→
Vidimo da je on isprepleten s koeficijentima višeg reda. Tako bi se trebali preći sve kolone gornje tabele, s tim da se analizom jedne kolone,
automatski analiziraju i druge kolone. Npr., gornjom analizom za smo pokrili i kolone . Obično se koeficijenti koji idu uz faktore višeg reda (umnožak više od 3 varijable) odbacuju kao vrlo mali.
80. Kada se sve uvode varijable višeg reda?
Model višega reda se koriste kada je poznato da istraživani problem neće moći biti
predstavljen linearnom funkcijom ( ) ili kada dobiveni linearni model ne zadovoljava
provjeru adekvatnosti, odnosno kada je potrebna veća tačnost matematičkog modela
istraživanog procesa. Tada se uvode varijable višeg reda suglasno stepenu zakrivljenosti
površine funkcije reagiranja i razvija se optimalna struktura plana višeg reda.
81. Šta je značajno za faktorne planove drugog reda?
Izbor optimalnih planova pri definiranju modela drugog reda znatno je složeniji nego kod
linearnih modela. Ovi planovi ne odgovaraju važnim kriterijima optimalnosti. Ako se ispuni
uvjet ortogonalnosti kod planova drugog reda se istovremeno narušavaju načela normalnosti i
rotatabilnosti. Za planove drugog reda kriterij rotatabilnosti je više značajan jer dopušta
minimiziranje sistemske greške koja je vezana za neadekvatno predstavljanje rezultata
eksperimenta modelima drugog reda.
Ipak, u svakom konkretnom slučaju treba uzeti u obzir stvarne uvjete procesa i na osnovu njih
definirati kriterij optimalnosti i izabrati odgovarajući plan pokusa.
82. Kako izgleda matrica i model drugoga reda za k=2?
1 -1 -1 1 1 1
2 1 -1 -1 1 1
3 -1 1 -1 1 1
4 1 1 1 1 1
5 α 0 0 α2
0
6 - α 0 0 α2 0
7 0 α 0 0 α2
8 0 - α 0 0 α2
9 0 0 0 0 0
83. Kakva je povezanost između planova i modela prvog i drugog reda?
Modeli drugog reda sadrže bazni 2k dio eksperimetnta koji se koristi i kod linearnog modela,
ali s tim da se na osnovni dio plana dodaju nove tačke koje su simetrično postavljenje oko
centra eksperimenta.
IzmeĎu planova prvog i drugog reda postoji odreĎena veza, koja se može iskazati činjenicom
da se planovi drugog reda nadograĎuju na planove prvog reda, tako da se već postojeći skup
tačaka iz plana prvog reda koristi u planu drugog reda. Dakle, ako matematički model prvog
reda od 2k
ne zadovoljava, koriste se dodatni pokusi na novim nivoima koji će se iskoristiti za
izračunavanje utjecaja drugog reda.
84. Obrazložiti ukupan broj pokusa N = ? za rotatabilni plan koji ma k = 3 varijable.
Rotatabilni plan sadrži bazni dio plana , simetrično postavljene tačke i tačke
ponavljanja u centru plana . Vrijednost broja ponavljanja u centralnoj tački eksperimenta
se isčitava iz tabele parametara za rotatabilne planove. Za k=3, može imati vrijednost
6 ili 9. Dakle, ukupan broj pokusa N za rotabilni plan s k=3 varijable iznosi:
Za , , dok je za , broj tačaka iznosi: .
85. Koja je osnovna osobina modeliranja pomoću centralnog kompozicijskog plana?
Osnovna osobina modeliranja pomoću centralnog kompozicijskog plana je što faktori imaju
samo dva nivoa, tako da se lako nastavljaju na linearni model. Ukupan je broj potrebnih
pokusa . Dakle, za k=2 faktora plan ima pokusa i za
podudara se potpunim faktornim planom s jednom centralnom tačkom. Svi
ovi planovi imaju osnovu plana 2k, osim za k=5, gdje je osnova plana polublok 2
5, tj. plan se
dobiva iz 24 uz dodavanje stupaca
86. Prikazati geometrijsku interpretaciju centralnog kompozicijskog plana?
Ovo je geometrijski prikaz centralnog kompozicijskog plana drugog reda za k=2 faktora.
87. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana drugog reda, ako je Yj = Yj(X1,X2).
Ako je N= 2k+2k+n0; sljedi da je N=9, jer je k=2, a n0=1.
Nj X0 X1 X2 X1X2 X12 X2
2 yj
1 1 1 1 1 1 1 y1
2 1 -1 1 -1 1 1 y2
3 1 1 -1 -1 1 1 y3
4 1 -1 -1 1 1 1 y4
5 1 α 0 0 α2 0 y5
6 1 - α 0 0 α2 0 y6
7 1 0 α 0 0 α2 y7
8 1 0 - α 0 0 α2 y8
9 1 0 0 0 0 0 y9
88. Prikazati matricu centralnog kompozicijskog plana za k=3 i n0 = 1.
Budući da je N= 2k+2k+n0 , N=15
Nj X0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X12 X2
2 X3
2 yj
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y1
2 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 y2
3 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 y3
4 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 y4
5 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 y5
6 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 y6
7 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 y7
8 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 y8
9 1 α 0 0 0 0 0 α2
0 0 y9
10 1 -α 0 0 0 0 0 α2
0 0 Y10
11 1 0 α 0 0 0 0 0 α2
0 Y11
12 1 0 -α 0 0 0 0 0 α2
0 Y12
13 1 0 0 α 0 0 0 0 0 α2
Y13
14 1 0 0 -α 0 0 0 0 0 α2
Y14
15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y15
Prikazana matrica plana nije ortogonalna, jer je:
∑
∑
( )
Str 123
89. Šta znači veličina α u centralnom kompozicijskom planu modeliranja?
Veličina α, u centralnom kompozicijskom planu modeliranja, znači simetrične tačke. Kod tih
tačaka su u tablicama nulte tačke, zbog matrice, kada se pomoću α i α2 matrica proširuje. Kod
interakcija nema α (kod npr. X1X2 u tablici), ali se α2 javlja kod kvadrata (npr. X1
2).
90. Šta je rotatabilni plan modeliranja i šta mu je bazni dio plana?
Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo često
primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s više varijabli.
Ovi planovi pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za
optimizaciju obradnih procesa, sistema, alata, itd.
Ovaj plan, kao i centralni kompozicijski plan, sadrži bazni dio plana , simetrično
postavljene tačke oko centra plana i tačke ponavljanja u centru plana.
91. Čime su određeni rotatabilni planovi?
Rotatabilni planovi matematički su odreĎeni sljedećim vrijednostima:
Uvjet rotatabilnosti:
odnosno:
∑
∑
( )
ili
Iz uvjeta rotatabilnosti dobijaju se koordinate točaka na centralnim osama.
92. Šta je polazište (od čega se polazi) kod rotatabilnih planova za određivanje veličina: α, p, N i n0?
Ukupan broj pokusa N i n0 ovisi o broju varijabli k, veličine α i veličine p, (p=0,1,2).
Broj pokusa iznosi:
Parametar p odreĎuje da li radimo s potpunim ili parcijalnim faktornim planom.
Parametar se odreĎuje iz jednakosti:
Za lakše pronalaženje vrijednosti N, n0 i α koristi se tabela u kojoj za odreĎenu vrijednost k i
p se može naći pripadajuća vrijednost N, n0 i α, kao i parametara i koji služe za izračun
koeficijanata modela regresije .
93. Prikazati grafik i matricu rotatabilnog plana za k=2 i n0 = 1.
Ne postoji rotatabilni plan za k = 2 i n0=1, stoga dajem grafik i matricu rotatabilnog plana za
k = 2 i n0=5. Ukupan broj pokusa:
1 Matrica eksperimenta
1 1 -1 -1 1 1 1
2 1 1 -1 1 1 -1
3 1 -1 1 ¸1 1 -1
4 1 1 1 1 1 1
5 1 0 0 0 0 0
6 1 0 0 0 0 0
7 1 0 0 0 0 0
8 1 0 0 0 0 0
9 1 0 0 0 0 0
10 1 1.414 0 2.0 0 0
11 1 -1.414 0 2.0 0 0
12 1 0 1.414 0 2.0 0
13 1 0 -1.414 0 2.0 0
1 Grafik plana
94. Koja je glavna razlika u određivanju koeficijenata polinoma rotatabilnog plana i ostalih planova modeliranja?
OdreĎivanjem koeficijenata modela dobiva se podatak o utjecaju parametara Xi na izlaznu
večinu Y razmatranog procesa.
Kod ortogonalnih višefaktornih planova dobije se dijagonalna matrica gdje su svi regresijski
koeficienti nezavisni jedan od drugoga.
Za odreĎivanje koeficienta modela regresije koristimo sljedeće izraze:
= ∑ + ∑ ∑
= ∑ , i=1,2,3,...
= ∑ , 1≤ i < m ≤ k
= ∑
+ ∑ ∑
∑
i=1,2,3,...
Jedna od razlika je parametar koji ovisi o broju variabli k i broju ponavljanja pokusa
95. Grafički prikazati rotatabilni plan za varijable X1 i X2.
96. Kako se provjerava signifikantnost koeficijenata bi bim bii matematičkog modela rotatabilnog plana?
Provjera signifikantnosti koeficijenata bi, bim, bii se vrši prema t-kriteriju Studenta.
Izračunavaju se greške u ocjeni koeficjenata βi, , te se provjerava da li koeficijenti
pripadaju području pouzdanosti:
Dakle, koeficijent je signifikantan ako je zadovoljen uvjet:
| | ( )√
odnosno:
| | ( )√
| | ( )√
| | ( )√
| | ( )√
gdje je:
– približna vrijednost greške pokusa,
– dijagonalni i nedijagonalni elementi korelacijske matrice ili matrice grešaka
( ) , koji se odrede iz tablice 4.18, tablice parametara za rotatabilne planove
tt - tablična vrijednost t-kriterija Studenta
97. Kako se provjerava adekvatnost matematičkog modela rotatabilnog plana?
Adekvatnost matematičkog modela prema F- kriteriju Fishera odreĎena je uvjetom:
( )
( )
Za ocjenu adekvatnosti uzima se prema prethodnom izrazu veća izračunata vrijednost Fa.
Vrijednost Ft(fa, fo) odredi se iz tablice F – kriterija za stupnjeve sobode fa i fo ili fo i fa.
Disperzija odredi se prema izrazu:
∑ (
) ∑ ( )
Stupanj slobode se u ovom slučaju odredi prema:
fa= N – 0,5 (k+2) (k+1) – f0 (Fornula 4.155)
Vrijednost fa može se odrediti i prema izrazu:
fa = N - f0 - k´, (Formula 4.156)
gdje je: k´ - broj signifikantnih koeficijenata dobivenog modela, odnosno broj
koeficijenata u modelu po kojem se izračunava vrijednost .
Dakako, obično su vrijednosti fa izračunate prema izrazima (4.155) i (4.156) različite.
98. Kako se ispituje adekvatnost matematičkog modela (prikazati moguća rješenja)?
Za ispitivanje adekvatnosti matematičkog modela potrebno je izvesti disperzijsku analizu, što
zahtijeva ponavljanje pokusa – mjerenja u pojedinim tačkama plana. Ponavljanje se pokusa
izvodi po odreĎenom sistemu, tako da može biti:
Ponavljanje pokusa samo u centralnoj tački ortogonalnog plana (n0),
[Opširnije-Strana 93.u knjizi]
Ponavljanje jednakog broja pokusa u svakoj tački ortogonalnog plana
(n1 = n2 = n2 = ... = nN)
[Opširnije-Strana 97.u knjizi]
Ponavljanje različitog broja pokusa (n1 ≠ n2 ≠ n3 ≠ ... nN) u tačkama ortogonalnog plana
99. Kada i gdje se koriste rotatabilni matematički planovi drugog reda?
Rotatabilni plan je specijalni oblik centralnog kompozicijskog plana koji se vrlo često
primjenjuje u modeliranju i adaptivnom upravljanju u procesima s više varijabli. Ovi planovi
pored aplikativnih osobina imaju i svojstva optimalnosti, tako da su pogodni za optimizaciju
obradnih procesa, sistema, alata, itd.
100. Na čemu se zasniva teorija dimenzionalnosti?
Teorija dimenzionalnosti se zasnima na Buckinghamovoj teoremi, gdje svaka jednačina koja
opisuje neko fizikalno stanje mora biti dimenzionalno homogena, tako da se on za jednu
pojavu može napisati u obliku:
f (P, R, X, Y) = 0,
odnosno pomoću model polinomskog tipa:
∑ 1 C2
101. Koji je postupak određivanja dimenzionalnih grupa?
Dimenzionalna homogenost za prvi član ima oblik:
P = C
Ako je broj jednadžbi veći ili jednak broju nepoznatih eksponenata dobiju se rješenja:
a = α, b = β, g = γ,
odnosno P = C .
MeĎutim, ako je broj nepoznatih eksponenata veći od broja jednadžbi, tada se dvije nepoznate
izraze trećom:
a = α1+β1 g, b = α2+β2 g,
te je P = C .
102. Kako se određuju bezdimenzionalne grupe kod modeliranja primjenom teorije dimenzionalnosti (postupak – procedura)?
1. Sastavi se pregled svih utjecajnih parametara (x1, x2, ..., xn) na proces ili sistem. Ako se
uključe parametri koji nemaju utjecaj na proces dimenzionalna analiza će pokazati da oni ne
spadaju ni u jednu niti u više dimenzionalnih grupa ili će eksperiment pokazati da su
parametri slučajni. Neka su parametri: F, v, ϭ, V, ρ, tj. n=5.
2. Izabere se odnovni mjerni sistem fizikalnih veličina: M (masa), L (dužina), i T (vrijeme).
Tako će biti:
za brzinu v =
,
za silu F =
= ML [kgm ],
za volumen V = LLL = [ ],
za gustoću ρ = , itd.
3. Izvrši se izbor dimenzija nezavisnih parametara, npr. sila F ( ), brzina v ( ),
naprezanje ϭ ( ), volumen V ( ), gustoća ρ ( ).
4. Izaberu se ponavljajući parametri m = 3, tako da ovaj broj mora biti jednak broju dimenzija
r, koji izmeĎu sebe ne mogu dati dimenzionalnu grupu, npr. F, ϭ, V.
5. Odredi se broj bezdimenzionalnih grupa n – m = 2 i postavi se dimenzionalna jednačina
kombiniranjem parametara izabranih u četvrtom koraku.
6. Provjeri se je li svaka dobivena grupa bezdimenzionalna.
103. Koji su osnovni mjerni sistemi fizikalnih veličina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju?
Osnovni mjerni sistemi fizikalnih veličina koji se koriste u dimenzionalnom modeliranju su :
M (masa), L (dužina) i T (vrijeme) pa je :
za brizinu 11 msLT
T
L
t
sv
,
za silu ,22
2
kgmsMLTT
MLF
za volumen 33 msLLLLV ,
za gustoću 31 msML itd.
104. Prikazati strukturnu vezu ulaznih i izlaznih veličina kod dimenzionalnog modeliranja.
Plastično tečenje metala u procesu valjanja ovisi od niza utjecajnih faktora, što se pomoću
pokazatelja širenja Kbfmože predstaviti strukturnom vezom ulazno – izlaznih veličina, pri
čemu je:
Kbf =f ( P1, P2, P3, ..., Pn), odnosno
Kbf =f ( d, h1, l, D (R), ∆h, ε, έs, v1, T, , m, S, i j).
Proces deform
iranja
Povratna veza
d
h1
l
D (R)
h
ε
έs
v1
T
m
S
I j
Kb
Slika: Strukturna veza ulazno – izlaznih veličina
Promjer obratka d, izlazna debljina valjanog komada h1, kontaktna dužina l, promjer valjaka
D idreĎuju zonu deformacije. Mehaničke karakteristike m i kemijski sastav S definiraju
osnovni materijal, dok apsolutna deformacija ∆h, relativni stupanj deformacije ε, srednja
brzina deformacije έs, brzina valjanja v1 i temperatura T odreĎuju termomehaničke faktore
koji detaljnije opisuju tehnološki proces plastične obrade. Parametri i i j odreĎuju stanje na
kontaktnoj površini i napregnuto stanje u radnoj zoni obratka.
105. Šta je rang matrice r =? kod dimenzionalnog modeliranja?
Rang matrice r je minimalni broj varijabli čijim se jedinicama mogu izraziti jedinice svih n
varijabli, odnosno r je najveći broj dimenzionalnih varijabli od n koje izmeĎu sebe ne mogu
dati dimenzionalne grupe.
Kod primjera matematičkog modela procesa plastičnog tečenja, rang matrice je dimenzije
r=2, tako da je broj nezavisnih grupa m=n-r=9-2=7.
106. Prikazati primjer određivanja bezdimenzionalnih grupa i kako se određuju eksponenti ovih grupa.
Faktorski pokazatelj plastičnog tečenja: ( )
√ Pokazatelj plastičnog tečenja:
∑
Osnovne fizikalne veličine za masu M, dužinu L i vrijeme T odreĎuju jedinicu brzine valjanja
v(LT1), brzinu deformacije (
) i komponenti glavnih naprezanja ( ) Imajući u vidu Buckinghamov teorem da se svaka dimenzionalna homogena funkcija od n-
dimenzionalnih varijabli može iskazati preko (n-r) bezdimenzionalnih grupa moguće je
postaviti dimenzionalnu matricu homogenog sistema jednadžbi:
ai ei gi fi ii mi pi si ui
d D v1
M 0 0 0 0 0 1 1 1 1
L 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1
T 0 0 0 -1 -1 -2 -2 -2 -2
Rang matrice: r=2
Broj nezavisnih grupa: m=n-r=9-2=7.
Homogeni sistem linearnih jednadžbi:
Za → Za → Za → Za
slijedi odnosno te je
tako je:
∑
∑ (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Koeficijenti odreĎuju se analitičkim putem iz eksperimentalnih rezultata.
107. Značaj i zašto služe eksperimentalne metode?
Eksperimentalne metode se uglavnom razvijaju za rješavanje nelinearnih problema u
mehaničkim konstrukcijama. Eksperimentalne metode omogućuju analizu naprezanja,
deformacija, pomaka (izduženja) i sila opterećenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od
analitičkih i numeričkih metoda koje uvijek polaze od odgovarajućih pretpostavki i
aproksimacija što utječe na točnost i pouzdanost dobivenih rezultata. Eksperimentalne metode
omogućuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti, stabilnosti, lokalne koncentracije
naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja, optimizacije oblika i uštede materijala s
obzirom na stanje rasporeda deformacija i naprezanja.Eksperimentalne metode imaju posebno
značenje u analizi složenih problema kada su znatne teškoće u primjeni analitičkih ili
numeričkih metoda, što se obično javlja u konstrukcijama gdje su izražene koncentracije
naprezanja usljed zareza, djelovanja koncentriranih sila, ekstremne promjene geometrijskog
oblika elementa konstrukcije itd.
108. Klasfikacija eksperimentalnih metoda.
Važnije eksperimentalne metode su:
• fotoelasticimetrija
• tenzometrija
• metoda krhkih lakova
• optičke metode: holografija,interferometrija ..
• metoda analogije
• metoda akustičke emisije
• metoda rendgenskog zračenja.
109. Na čemu se temelji metoda elektrootpornih mjernih traka?
Metoda elektrootpornih mjernih traka temelji se na metodama eksperimentalne analize
naprezanja i deformacija, a gdje se dobije niz podataka bitnih za analizu konstrukcje,
tehničkog sistema ili bilo kojeg objekta izloženog djelovanju opterećenja.
110. Gdje se primjenjuju metode eksperimentalne analize?
Metode eksperimentalne analize se primjenjuju na :
· stvarnim – realnim objektima ili sistemima,
· modelima u laboratorijskim uvjetima i
· kombinirano, ovisno o realnim mogućnostima.
111. Kriteriji za izbor mjerne metode eksperimentalne analize.
Eksperimentalne metode omogućuju analizu naprezanja, deformacija, pomaka (izduženja) i
sila opterećenja u realnim uvjetima prakse, za razliku od analitičkih i numeričkih metoda
koje uvijek polaze od odgovarajućih pretpostavki i aproksimacija što utječe na točnost i
pouzdanost dobivenih rezultata. Dakako, usavršene su analitičke i posebno numeričke
metode, tako da su te razlike u odnosu na rezultate dobivene eksperimentom sve manje.
MeĎutim, eksperimentalne metode su nezamjenjive i to je sigurna dopunska mogućnost da
se doĎe do pouzdanih podataka o stanju deformacija, naprezanja ili pomaka, koji su bitni
za cjelovitu analizu konstrukcije. Jedna od navedene tri veličine dobivene eksperimentalno
je dovoljna da se na temelju poznatih jednadžbi iz Teorije elastičnosti odrede ostale dvije
veličine, uz uvjet poznavanja mehaničkih osobina materijala.
Eksperimentalne metode omogućuju analizu konstrukcije po pitanju njene nosivosti,
stabilnosti, lokalne koncentracije naprezanja, mehanizma loma, napregnutih stanja,
optimizacije oblika i uštede materijala s obzirom na stanje rasporeda deformacija i
naprezanja.
112. Metodologija izrade plana i priprema ispitivanja.
113. Osnovni princip rada mjerne trake.
Elektrootporne mjerne trake rade na principu električnog otpora struje koja kroz njih
protiče, gdje pod utjecajem sile, odnosno mehaničkog opterećenja, dolazi do promjene
električnog otpora. Mjerenja deformacija, odnosno
izduženja, su stalno prisutna u inženjerskoj praksi, posebno u širokom području
konstrukcijskih elemenata (čelični, betonski i drugi), strojogradnji, mostogradnji, industriji
prevoznih sredstava (industrija automobila, željezničkih vagona), procesnoj industriji itd.
114. Fizikalni princip rada mjerne trake.
Mjernu traku čini tanka žica koja je savijena nekoliko puta i zaljepljena kvalitetnim
ljepilom na noseći elemenat, koji može biti od sintetičke mase, metalne folije, papira, itd.
Mjerna traka je naljepljena na konstrukciju tako da se deformacije konstrukcije prenose na
osjetljivi dio mjerne trake (slika 17.2). Princip mjerenja deformacija temelji se na osobini žice
da mjenja električni otpor proporcionalno promjeni dužine. Deformacija konstrukcije prenosi
se na osjetljivi žičani dio mjerne trake, pri čemu se rad mjerne trake temelji na linearnom
odnosu izmeĎu promjene električnog otpora i mehaničke dilatacije (izduženja).
115. Prikazati odnos izduženja i promjene električnog otpora.
- specifični otpor žice
L – dužina žice
CD2 – poprečni presjek
Ako se provodnik optereti aksijalnom silom svaka veličina u predhodno navedenom izrazu
mjenja svoju veijednost što se može u općem slučaju prikazati:
2
LR
CD
2
2 2
( ) 2
( )
CD Ld dL CD LdDdR
CD
Dijeljenjem izraza dobija se:
/ / /1 2
/ / /
dR R dD D d
dL L dL L dL L
Odnosno
/
/
dR R
dL L prestavlja reletivnu promjenu električnog otpora provodnika njegovim
relativnim izduženjem.
116. Šta je faktor mjerne trake?
Faktor trake je funkcija dizajna mjerne trake, kao i legure korištene za izradu mreže
mjerne trake, njene termo mehaničke osobine, i u manjoj mjeri temperature mjerenja.
117. O čemu ovisi koeficijent osjetljivost mjerne trake Kt?
Koeficjent osjetljivosti Kt ovisi o prvobitnom otporu R i izmjeni promjena otpora ∆R.
118. Ako je deformacija ε = 1‰=1000μD i E = 2,1 * 10^5 N/((mm)^2) , koliko je naprezanje σ=?
5 12,1 10 210
1000E x x MPa
119. Kako se kompenzira utjecaj toplinske deformacije pri mjerenju?
Za kompenzaciju naprezanja uslijed savijanja i izvijanja ili za kompenzaciju toplotnih
dilatacija na elastični element se postavljaju četiri kompenzacione mjerne trake
dijametralno suprotno i spojene naizmjenično. Ovako se osigurava potpuna kompenzacija i
povećava osjetljivost pretvarača.
120. Kakve postoje standardne mjerne trake?
Standardne mjerne trake:
A=1,4 – 20 mm (obično 10 mm),
B=1,4 – 10 mm (obično 5-6 mm),
C= 6 – 33 mm ( obično 20 – 25 mm),
D= 5- 15mm ( obično 10 mm)
121. Koje su specijalne mjerne trake?
Specijalne mjerne trake se koriste kada se mjere izduženja preko granice razvlačenja, a mogu
se upotrijebiti samo jedanput, jer prelaze iz elastičnog u plastično stanje. Specijalne mjerne
trake su:
a) Mjerna traka za velika izduženja,
b) Čelična traka za niske i povišene temperature,
c) Temperaturno-samokompenzirajuća mjerna traka,
d) Temperaturno vanjski kompenzirana mjerna traka,
e) Mjerna traka za visoke temperature sa termootporom,
f) Membranska mjerna traka.
122. Koji su uvjeti za izbor mjernih traka?
Uvjet za izbor mjerne trake je da se one primjenjuje za mjerenje manjih otpora. Osim toga
uvjet je da omogućava da se deformacije konstrukcije prenose na osjetljivi dio mjerne trake.
Standardne mjerne trake se mogu primjeniti kada se mjere izduženja maksimalno do 2%, jer
se do tada ponašaju elastično. Ako se mjere izduženja od 8% do 15% primjenjuju se
specijalne mjerne trake. Treba znati da dio strukture na kome se lijepe trake mora imati
linearnu karakteristiku.
123. Objasni označavanje mjerne trake koja ima oznaku: L Y 11 – 3/120.
Mjerna traka za eksperimentalnu analizu različitih oblika.
L – jednostruka traka,
Y – serija (materijal trake poliamid/constantan),
1 – vrsta i položaj veze,
1 – materijal na koji idu trake – feritni čelik,
3 – dimenzija trake(A),
120 – otpor R=120 Ω
124. Koji je zadatak Vitsonovog mosta?
Zadatak Vitsonovog mosta jeste mjerenje promjene otpora pomoću instrumenta koji je
konstruiran na osnovu Vitsonovog mosta, a koji se napaja jednosmjernom strujom.
125. Prikaz i opis Vitsonovog mosta.
Vitsonov most je pogodan za mjerenje manjih veličina električnog otpora, čime je ispunjen
uvjet za primjenu u tehnici pomoću mjernih traka. U granama mosta su otpori R1, R2, R3 i R4,
gdje se u postupku mjerenja nalaze mjerne trake. Kada je mjernih traka manje od četiri, tada u
granama mosta gdje nema mjernih traka dolaze pasivni otpornici. Za slučaj uravnoteženog
Vitsonovog mosta otpori u granama mosta su podešeni tako da je napon UAC=0, te je protok
struje iAC=0, pa je:
R1R3=R2R4 ili
Navedeni odnos koristi nultu metodu za mjerenje promjene otpora. Pri promjeni otpora
mjerne trake R1 za ΔR1 nastaće neuravnoteženje mosta. Za uravnoteženje mosta treba
promjeniti otpor R4 za ΔR4. Prije opterećenja most je bio u ravnoteži tj.
R1R3=R2R4 odnosno
Mjerenjem vrijednosti ΔR4 i za poznati odnos R2/R3 odredi se vrijednost ΔR1, odnosno
dilatacija na mjestu gdje je priljepljena mjerna traka.
UE – napajanje mosta
UA – izlazni napon
UA =0 – uravnoteženi Vitsonov most
Rg – otpor galvanometra
Vitsonov most
126. Kako se određuje-registruje izlazni napon na Vitsonovom mostu?
U općem slučaju opterećenja odnos izlaznog napona i napona napajanja mosta glasi:
( )( )
Za slučaj: R1=R2=R3=R4 ili R1 : R2=R4 : R3 : (UA/UE) = 0
a i za uvjet da ΔRi<<Ri, što je slučaj sa mjernim trakama. Kada se zanemare članovi višeg
reda , dobije se odnos:
[
]
Odnosno:
( )
Gdje je:
ε-deformacija, R1...R4-otpornici (mjerne trake), UE-napajanje mosta, UA-izlazni napon mosta,
Kt – faktor mjerne trake.
127. Kako se očituju stvarna izduženja (dilatacije)?
Stvarno izduženje (dilatacija) materijala se odredi prema izrazu :
gdje su :
n – broj aktivnih mjernih traka,
Kt – faktor mjerne trake,
K0 – faktor instrumenta,
Ck – korektivni faktor zbog omskog otpora trake,
ak - korektivni faktor zbog dužine provodnika,
e - očitana vrijednost deformacije ( e = Dl / l).
128. Kako se odredi stvarno naprezanje?
Naprezanje se odredi po izrazu :
Kod savremenih ureĎaja za tenzometrijska ispitivanja rezultat se direktno očitava na
računalu, pa nema potrebe za ovim računanjem.
129. Šta je pretvarač, kakav ima zadatak i na kome principu radi?
Pretvarač ili elastični element je prvi član mjernog sistema koji prima mehaničko opterećenje
i pretvara fizikalnu (mehaničku) veličinu u električnu. Na elastičnom elementu pretvarača se
lijepe mjerne trake koje preuzimaju dilatacije elastičnog elementa i preko promjene
električnog otpora registruju električni signal. Osnovna karakteristika svakog mjernog
elementa, kao elastične strukture, sastoji se u tome da dio strukture na kome se lijepe trake
mora imati linearnu karakteristiku.
130. Koja je granica opterećenja mjernog davača?
Za vrijeme mjerenja opterećenja elastični element treba biti u području elastičnosti (σ σe)
kako ne bi pretrpio plastične deformacije jer bi tada bio neupotrebljiv, a dobiveni rezultati ne
bi odgovarali stvarnom stanju.
131. Kako davač prima i prenosi mjerenu veličinu? Pretvarač ili elastični element je prvi član mjernog sistema koji prima mehaničko opterećenje
i pretvara fizikalnu (mehaničku) veličinu u električnu. Na elastičnom elementu pretvarača se
lijepe mjerne trake koje preuzimaju dilatacije elastičnog elementa i preko promjene
električnog otpora registruju električni signal. Osnovna karakteristika svakog mjernog
elementa, kao elastične strukture, sastoji se u tome da dio strukture na kome se lijepe trake
mora imati linearnu karakteristiku.
132. Preopterećenje i dozvoljeno opterećenje pretvarača.
Praksa pokazuje da je najveći broj pretvarača oštećen zbog preopterećenja. Obično se dopušta
preopterećenje do 150% u odnosu na nominalno opterećenje.
133. Prikazati šemu pretvarača i šemu spajanja mjernih traka. Mjerna traka sa Wheatstonovim mostom se koristi za mjerenje el.otpora i to za dvije situacije:
za mjerenje apsolutnog iznosa otpora, poreĎenjem s poznatim otporom i
za mjerenje relativne promjene električnog otpora.
Šema pretvarača mjerne trake
Na slici 2.0 je prikazana šema spajanja mjerne trake. U tačkama 2 i 3 se spajaju grane za
napajanje mosta VS jednosmjernim ili naizmjeničnim naponom. U tačkama 1 i 4 se skida
izlazni napon Vo koji predstavlja mjerni signal.
Šema spajanja mjerne trake
Omogućava mjerenje promjene otpora u granicama 10-4
do 10-7
sa odličnom tačnošću. Četiri
grane mosta se formiraju od otpornika R1 do R4
134. Koliko je naprezanje u elastičnom elementu pretvarača, ako je modul elastičnosti materijala E = 2,1 * 105 N/((mm) 2) , faktor mjerne trake Kt=2, Poissonov koeficijent v=0.35 i izlazni signal koji se mjeri Ua/Ub=0.0015?
=233,33 MPS
135. Pri izračunavanju elestičnog elementa što treba usvojiti? Pri izračunavanju elestičnog elementa treba usvojiti slijedeće:
Aktivne mjerne trake aplicirane na objekat ispitivanja ili mjerni pretvarač,
Kompenzacione mjerne trake (pasivni elementi koji služe za kompenzaciju uticaja
temperature ili drugih efekata) i
Metalni (folijski) otpornici velike tačnosti i stabilnosti.
Dopuna:
Treba usvojiti:
- očekivanu maksimalnu silu (F=Fmax),
- deformaciju u granicama e = (0,05, 0,1%), odnosno (0,0005 ¸ 0,001),
- modul elastičnosti i
- jednu od dimenzija elastičnog elementa dv ili du ovisno o raspoloživom prostoru za
lokaciju pretvarača.
136. Koje su dobre osobine elektrootpornih pretvarača s mjernim trakama? Mjerne trake su jedan od najčešće korištenih mjernih pretvarača.
Mjerna traka je kao otpornički pretvarač jeftina, neznatne je krutosti i male dužine. Može se
koristiti za mjerenja statički i dinamički opterećenih konstrukcija.
137. Prikazati strukturu mjernog sistema s opisom.
Slika. Struktura mjernog sistema
Davač (pretvarač) je najosjetljiviji elemenat mjernog lanca. Pretvarač pretvara mehaničku
veličinu u električni oblik.Preklopnik omogućava odabir odgovarajućeg davača. Pojačalo
služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača. Pojačalo može da
ima mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanje nule (početno stanje se odredi kao nulta
vrijednost). Izlazni signal iz pojačala može biti struja ili napon srazmjeran mjerenoj
mehaničkoj veličini i digitalni broj koji opisuje vrijednost mjerene veličine. Pretvarač služi za
pretvaranje dobivenih veličina pogodnih za računarsku obradu, i osnovne karakteristike
mjernog pretvarača su : linearnost ulaza i izlaza idinamičkih veličina koje se mjere.U
suvremenim mjernim sistemima računar služi za prikaz i obradu mjerenih rezultata, a pisač
služi za ispis rezultata obrade.
138. Zadatak mjernog pojačala?
Pojačalo služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača.. Ima
mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanja nule.Izlazni signal iz pojačala može biti
struja ili napon srazmjeran mjerenoj mehaničkoj veličini i digitalni broj koi opisuje vrijednost
mjerene veličine.
Davači Preklopnik Pojačalo Pretvarač Računar
Pisač 1
2
3
A
D
139. Koje mogućnosti ima pojačalo?
Pojačalo služi za pojačavanje slabog električnog signala dobivenog od pretvarača.
Pojačalo može da ima mogućnost podešavanja linearnosti i podešavanje nule (početno stanje
se odredi kao nulta vrijednost). Izlazni signal iz pojačala može biti struja ili napon srazmjeran
mjerenoj mehaničkoj veličini i digitalni broj koji opisuje vrijednost mjerene veličine.
140. Prikazati osnovne slučajeve opterećenja (1/4; ½; 1/1 most) sa skicom Vitstonovog mosta i MT-a.
1. Normalno naprezanje (jednoosno stanje naprezanja)
a) Veza 1/4 most
uzdužno naprezanje:
poprečno naprezanje:
izlazni napon:
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal proporcionalan je sili ili naprezanju,
- kompenzacija temperature nije postignuta (to znači da uticaj temperature unosi grešku
u mjerenje),
- superponirano savijanje (ukoliko postoji) manifestira se kao greška mjerenja.
b) Veza u 2/4 most
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal dvostruko je veći nego u slučaju (a),
- kompenzacija temperature nije postignuta (tj. uticaj temperature unosi grešku
- u mjerenje),
- superponirano savijanje ne manifestira se kao greška jer se kompenzira.
c) Veza 1/2 most
( )
( )
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal za 30% je veći nego u slučaju (a),
- kompenzira se utjecaj temperature,
- superponirano savijanje (ukoliko postoji) manifestira se kao greška mjerenja.
d) Veza 1/1 most
( )
( )
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal je za faktor 2,6 veći nego u slučaju (a),
- kompenzira se uticaj temperature,
- superponirano savijanje (ukoliko postoji) se kompenzira.
2. Savijanje
a) Veza u 1/4 most
( )
- Mjerni signal proporcionalan je veličini momenta ili naprezanja.
- Kompenzacija uticaja temperature nije postignuta, odnosno uticaj temperature
- unosi greške u mjerenje.
- Superponirano normalno naprezanje (ukoliko postoji) manifestira se kao
- greška u mjerenju.
b) Veza 1/2 most
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal je dvostruko veći u odnosu na slučaj (a),
- uticaj temperature je kompenziran,
- superponirano normalno opterećenje je kompenzirano.
c) Veza u 1/1 most
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal je četiri puta veći u odnosu na slučaj (a),
- uticaj temperature je kompenziran,
- superponirano normalno opterećenje je kompenzirano.
3. Smicanje
Smicajna naprezanja τ ili kut smicanja γ nije moguće neposredno mjeriti putem mjernih
traka. Mjerljive su deformacije koje proističu iz normalnih naprezanja. Normalna
naprezanja javljaju se i kod smicanja.
Maksimalne vrijednosti normalnih naprezanja javljaju se pod kutom ± 45º u odnosu na
pravac smicanja, pa važi sljedeća relacija:
Kod čistog smicanja, naprezanja smicanja su glavna naprezanja, a pravci glavnih
naprezanja leže pod kutom od ±45º na pravac smicanja:
a) Veza u 1/4 most
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal proporcionalan je naprezanju smicanja τ,
- uticaj temperature nije kompenziran,
- uticaji savijanja, kao posljedica djelovanja sila iz ostalih pravaca, kao i uticaji
- normalnih naprezanja nisu kompenzirani.
b) Veza u 1/2 most
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal dvostruko je veći u odnosu na slučaj (a),
- uticaj temperature je kompenziran,
- uticaji savijanja, kao posljedica djelovanja sile iz ostalih pravaca, kao i uticaji
- normalnih naprezanja su kompenzirani.
4. Torzija
U slučaju uvijanja, kao i u slučaju smicanja, vrši se mjerenje dilatacije pod kutom ±45º, tj.
u pravcu glavnih naprezanja. Za taj slučaj važe slijedeće relacije:
gdje je: L – dužina vratila, d – prečnik vratila, - kut torzije
a) Veza u 1/2 most
( )
( )
Karakteristike povezivanja:
- mjerni signal proporcionalan je maksimalnom smicajnom naprezanju, ili
- obrtnom momentu,
- uticaj temperature je kompenziran,
- uticaj superponiranih normalnih napona je kompenziran,
- uticaj savijanja u x i y pravcu je kompenziran.
b) Veza u 1/1 most
( )
( )
141. Navesti nekoliko primjera primjene mjernih traka.
Možemo razlikovati nekoliko vrsta mjernih traka:
- Standardne mjerne trake
- Specijalne mjerne trake
- Mjerna traka za velika izduženja
- Čelična mjerna traka za niske i povišene temperature
- Temperaturno – samokompenzirajuća mjerna traka
- Temperaturno vanjski kompenzirana mjerna traka
- Mjerna traka za visoke temperature sa termootporom
- Membranska mjerna traka
142. Što se sve može mjeriti mjernim trakama?
Mjernu traku čini tanka žica koja je savijena nekoliko puta i zaljepljena kvalitetnim
ljepilom na noseći elemenat, koji može biti od sintetičke mase, metalne folije, papira, itd.
Mjerna traka je naljepljena na konstrukciju tako da se deformacije konstrukcije prenose na
osjetljivi dio mjerne trake.
Mjerimo naprezanja i deformacije pri različitim vrstama naprezanja kao što su : aksijalna sila,
savijanje, torzija,....
Analiza napona u konstrukcijama:
jednoosno naponsko stanje
ravansko naponsko stanje
zaostali naponi
termički naponi
gradijenti napona
Konstrukcija mjernih pretvarača za mjerenje mehaničkih veličina:
mjerenje dilatacija i napona
mjerenje sile i mase
mjerenje obrtnog momenta
mjerenje pritiska
mjerenje pomjeranja
mjerenje vibracija
statička, kvazistatička i dinamička mjerenja na konstrukcijama
143. Šta je kalibracija mjernih pretvarača, kako se izvodi, prikazati pravac linearnosti kalibracije?
144. Prikazati šemu veze mjernih traka i mjernih pretvarača.
145. Prikazati šemu veze mjernih pretvarača u mjerni sistem.
MeĎusobnim povezivanjem elemenata mjernog sistema dobije se osnovni mjerni lanac koji
ima:
- davač (pretvarač),
- pojačalo i
- registrator.
U modernim sistemima, računari se koriste za prikaz i obradu rezultata mjerenja:
146. Šta se podrazumijeva pod polarizaciono.optičkom metodom mjerenja tzv. fotoelastična metoda?
Fotoelasticimetrija ili fotoelastičnost, kako se ranije zvala, temelji se na osobini nekih
providnih materijala da mjenjaju optičke osobine pri napregnutom stanju. Fotoelastičnost se
javlja u optički osjetljivim materijalima kada se svijetlosni zrak pri prolasku dijeli u dvije
zrake koje se kreću po pravcima glavnih naprezanja različitim brzinama. Njihova brzina
ovisi od veličine glavnih naprezanja.
Dakle, optička promjenljivost u materijalu odražava se preko naprezanja i razlike
naprezanja, čiji intenzitet ovisi o vrijednosti opterećenja modela i geometrijskih
karakteristika konstrukcije.
147. Šta su foto osjetljivi materijali i zašto se koriste?
Fotoelasticimetrija ili fotoelastičnost, kako se ranije zvala, temelji se na osobinama nekih
providnih materijala koje nazivamo fotoelestičnim. Fotoelastični materijali imaju osobinu da
mjenjaju optičke osobine pri napregnutom stanju. Fotoelastičnost se javlja u optički
osjetljivim materijalima kada se svijetlosni zrak pri prolasku dijeli u dvije zrake koje se kreću
po pravcima glavnih naprezanja različitim brzinama. Njihova brzina ovisi od veličine glavnih
naprezanja.
Fotoelastično odreĎivanje naprezanja i deformacija najprije je primjenjeno pri rješavanju
ravninskih problema (modeli konstrukcija izraĎeni od ploča fotoelastičnog materijala), a
zatim prostornih modela. Fotoelastični materijali u napregnutom stanju postaju optički
dvolomni (optički anizotropni).
148. Metoda fotoelastične osjetljive obloge.
Direktno odreĎivanje naprezanja na površini konstruktivnog elementa se postiže ljepljenjem
tanke obloge modelskog materijala debljine 1,0 – 2,5 mm na površinu ispitivane konstrukcije.
Ljepljenje modelskog materijala se izvodi obično dvokomponentnim ljepilom. Pri
deformiranju konstrukcije, deformacije se prenose na fotoelastičnu oblogu, tako da su
deformacije površine konstrukcije i fotoelastične obloge jednake, a moduli elastičnosti i
Poasonovi koeficijenti različiti, pa i naprezanja moraju biti različita (slika 17.36).
Razlika glavnih naprezanja u oblizi iznosi:
gdje su:
- N – red izohrome
- – fotoelastična konstanta
- – debljina obloge(2 radi dva prolaska kroz oblogu)
Da bi se izračunalo naprezanje u modelu, potrebno je uspostaviti odnos glavnih naprezanja u
modelu i
i reda izohrome. Veza izmeĎu naprezanja u oblozi i deformacija je
odreĎen Hukovim zakonom:
(
)
(
)
Deformacije obloge i modela su jednake,
i
, pa ih je moguće zamijeniti:
(
)
(
)
Primjenimo li Hukov zakon na model:
(
)
(
)
Uvrštavanjem izraza za
u izraze za naprezanja u oblozi, i
, dobije se:
( )
( )(
)
Iz datog izraza, nakon sreĎivanja dobijemo razliku glavnih naprezanja u modelu/konstrukciji:
( )
( )
gdje su :
- Poasonov koeficijent materijala konstrukcije i fotoelastične obloge,
- modul elastičnosti materijala konstrukcije i materijala obloge.
149. Metoda zamrzavanja naprezanja
Fotoelasticimetrijsko ispitivanje 3D modela je složenije nego kod jednoosnih i ravno
napregnutih stanja, jer se prostorno mjenjaju pravci glavnih naprezanja. Za ispitivanje
naprezanja i deformacija kod prostornih modela najviše se primjenjuje metoda zamrzavanja
naprezanja, zbog mogućnosti primjene i umjerenih troškova ispitivanja. Ovu metodu je prvi
opisao Opel (Oppel) 1936. godine izvodeći eksperimente na polimernim materijalima.
Nakon toga opća teorijska analiza ove metode dana je 1955. godine, ali primjena je radi
loših svojstava fotoelastičnih materijala uslijedila tek u posljednjih trideset godina.
Osnovna karakteristika ove metode je što model izraĎen od fotoelastičnog materijala nakon
obavljenog zagrijavanja na temperaturi 100˚ do 150˚ C, a zatim hlaĎenja zadržava
naprezanja i deformacije na sobnoj temperaturi i nakon prestanka opterećenja. Na ovaj način
su «zamrznute» deformacije pa se model može razrezati na tanke ploče radi nastavka
ispitivanja kao dvodimenzionalnog modela. Proces «zamrzavanja» deformacija je
reverzibilan, pa ponovnim zagrijavanjem na kritičnu temperaturu model dolazi u stanje koje
je postojalo prije opterećenja. Dakle fotoelastični efekat nestaje.
Metoda zamrzavanja naprezanja primjenjuje se kod kružnih ploča nejednake debljine,
kvadratnih ploča oslonjenih na rubove i izloženih na savijanje, kod strojnih elemenata
(osovine, zupčanici, noseće strukture,…), opterećenih na pritisak, savijanje ili složeno
opterećenje, te kod elemenata gdje su koncentrisana dinamička opterećenja.
Metoda zamrzavanja naprezanja
Model za odreĎivanje naprezanja metodom zamrzavanja naprezanja izradi se lijevanjem,
zatim se strojno obradi, uz uvjet da se obradom ne unesu toplinska naprezanja koja mogu da
potpuno promjene sliku izohroma, a potom zagrije na kritičnu temperaturu i optereti nakon
čega se temperatura polagano snizuje do sobne temperature. Nakon rasterećenja model se reže
u ploče debljine 1 do 3 mm za promatranje u polariskopu.
Kod simetričnih elemenata uz uvjet da je opterećenje simetrično javljaju se maksimalna
naprezanja u ravnini simetrije.
Ispitivanjem simetričnog sloja u polariskopu dobija se slika izohroma sa dva glavna
naprezanja i te je:
gdje je:
– fotoelastična konstanta naprezanja pri kritičnoj temperaturi
h – debljina sloja
N – red izohrome.
Kako je treće naprezanje, okomito na ravninu sloja, te je prolazak svijetlosti paralelan s
pravcem tog naprezanja, tada je , pa je red izohrome:
( )
Pojedinačna naprezanja se mogu odrediti pomoću metode kosog osvjetljavanja.
Ploča se rotira u odnosu na polarizator, te tada dolazi do kosog prolaska svjetla kroz ploču.
Debljina ploče sada je ⁄ , a naprezanje , pa je red izohrome:
⁄
( )
(
⁄ )
Razlika naprezanja:
⁄
gdje je - red izohrome dobiven kosim osvjetljevanjam.
Ako se uzmu odnosi:
tada se izrazi za red izohroma pretvore u :
te:
Nakon sreĎivanja dobijemo:
( )
)
Pomoću Tardijeva ili Senarmonova kompenzatora dobiju se redovi izohroma, te se na osnovu
godnjih formula mogu dobiti i vrijednosti naprezanja i .
150. Šta je fotoelastična konstanta foto osjetljivih materijala?
Fotoelastična svojstva materijala se opisuju fotoelastičnom konstantom. Ovaj
koeficijent se odreĎuje za specifičnu talasnu dužinu i temperaturu. Za izračunavanje razlike
glavnih naprezanja u modelu, potrebno je znati fotoelastičnu konstantu modela.
Ova konstanta je povezana s brojem rubova koji će nastati po jedinici opterećenja. Ona
odreĎuje osjetljivost fotoelastičnog materijala. Što je ona niža, to je materijal osjetljiviji.
Modul elastičnosti E i fotoelastična konstanta se mjenjaju za isti materijal i više od 10%
ovisno o izradi i termičkoj obradi. Zbog toga, uz svaki fotoelastični model potrebno je ove
veličine baždariti. Baždarenje se provodi za dvodimenzionalni model na štapu opterećenom
na zatezanje ili za trodimenzionalni model na gredi opterećenoj na čisto savijanje.
Fotoelastična konstanta fσ pokazuje koliko je osjetljiv materijal i ona treba da bude niža u
odnosu na modul elastičnosti E (E / fσ ). Što znači: što je veći odnos izmeĎu E / fσ materijal je
fotoelastično osjetljiviji, odnosno materijal je bolji. OdreĎivanje vrijednosti fotoelastične
konstante mora se vršiti na probnom uzorku od istog materjiala od koga je napravljen model.
151. Šta se izrađuje od fotoosjetljivih materijala i kakva se izvode ispitivanja? Od fotoosjetljivih materijala izraĎuju se tanke modelske obloge 1-2,5mm koje se ljepe
dvokomponentinim ljepilom na površinu ispitivane konstrukcije, a izvode se ispitivanja
deformacije i naprezanja na ravninskim i prostornim modelima.
Od fotoosjetljivih materijala se izraĎuju konstrukcijski modeli koji se izlažu naprezanju tj
podvrgavaju različitim silama te se ovi modeli promatraju u jednostavnim ili složenim
polariskopima, zatim bilježe rezultati promatranja u vidu slika.
Izgled slike ovisi o obliku modela, stanju naprezamja, optičkim karakteristikama materijala
modela, temperaturi itd.
Polariskop je optički ureĎaj u kome se izvodi analiza napregnutog modela uz odreĎivanje
stanja naprezanja.
Izokline su interferacijske linije dobivene povezivanjem tamnih tačaka tj ove linije spajaju
mjesta na modelu u kojima pravci glavnih naprezanja čine jednak kut sa nekom izabranom
osom. Izokline su linije u čijim točkama su pravci glavnih naprezanja jednaki, odnosno to su
linje duž kojih glavna naprezanja imaju stalan pravac.
Izohrome su linije duž kojih su razlike glavnih naprezanja konstante, tj. σ1 – σ2 = const.
Red izohrome se odredi pomoću fotografije, pri čemu se prvo traži izohroma nultog reda od
koje se broje izohrome redom. Izohromu nultog reda najlakše je odrediti ako na konturi
modela postoji ispupčenje kao u točki A, gdje su i najmanja naprezanja (slika 17.33). Ako se
model posmatra u bijelom svjetlu, izohroma nultog reda se lako odredi, jer je nulta izohroma
uvijek crna dok su ostale izohrome bijele.
Slika 17.32 Primjer izokline Slika 17.33 OdreĎivanje reda
izohrome na modelu
Pomoću slike izoklina se odrede pravci glavnih naprezanja, dok se poznavanjem reda
izohrome odredi njihova razlika (σ1 - σ2).
Izvode se ispitivanja:
- ispitivanje ravninskog stanja naprezanja ( naprezanje po dubini ne mijenja)
- metoda kosog osvjetljavanja (ova metoda se koristi za dopunske informacije o
izohromi kada su potrebne pojedinačne vrijednosti glavnih naprezanja koje se ne
mogu odrediti na temelju fotoelastičnih snimaka izohroma i izoklina,
- metode ispitivanja prostornog stanja naprezanja:
metoda fotoelastične obloge, odreĎivanje naprezanja na površini
konstruktivnog elementa
metoda zamrzavanja naprezanja, najviše se primjenjuje zbog mogućnosti
primjene i umjerenih troškova ispitivanja.( Osnovna karakteristika ove metode je
što model izraĎen od fotoelastičnog materijala nakon obavljenog zagrijavanja na
temperaturi 100˚ do 150˚ C, a zatim hlaĎenja zadržava naprezanja i deformacije na
sobnoj temperaturi i nakon prestanka opterećenja. Na ovaj način su «zamrznute»
deformacije pa se model može razrezati na tanke ploče radi nastavka ispitivanja
kao dvodimenzionalnog modela. Proces «zamrzavanja» deformacija je
reverzibilan, pa ponovnim zagrijavanjem na kritičnu temperaturu model dolazi u
stanje koje je postojalo prije opterećenja.
metoda ugraĎenog refleksijskog sloja slično metodi fotoelastične obloge
metoda višeslojnog modela model se ovdje izraĎuje iz više paralelnih slojeva od
kojih je svaki sloj iz drugog fotoelastičnog materijala različite fotoelastične
konstante
metoda raspršenog svjetla primarno svjetlo koje prolazi kroz prozirni koloidni
medij izaziva pri sudaru sa česticama medija sekundarno svjetlo, koje se raspršuje
u svim pravcima ravnine okomite na primarnu zraku svjetla.