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CONCEPTOSDE MATEMATICA

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La teoría de conjuntos.

Temas de trigonometría.

Dificultades de la geometría.

La lógica en términos de conjuntos.

La noción de ángulo y el sentidoen el plano.

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DE MATEMATICAAno 3 Enero - Febrero - Marzo 1969 N° 9

€< CARTA AL LECTORCONCEPTOSDE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL Redacción y Administración:Güomes 4629, Piso 8?, Dopto. B. Depósito:

Fernández Blanco 2045 - Buonos Airese Iniciamos, con él número 9 de CONCEPTOS DE MATEMATICA, su tercer año de vida. Lo hacemos con el entusiasmo de siempre, seguros de aportar nuestro granito de arena al problema de la enseñanza de la matemática, y seguros, también, de contar con el apoyo de los docentes latinoamericanos de la especialidad, a los cuales les pedimos un esfuerzo más: que las escuelas y bibliotecas públicas a las que estén vinculados, se suscriban a la revista, facilitando así nuestra acción.

NOVEDADES Director - EditorJOSÉ BANFI♦Asesores: José Babini, Juan I. Blaquier,

Frédérique Papy, Georgcs Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio Da Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Atilio Piona, Elsa Sabbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Bonfi.

Dibujante: Arquitecto Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina S 900;

Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales O sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

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6 Los docentes argentinos están preocupados por los planes presentados por la Secretaría de Cultura y Educación que anuncian una escuela primaria de cinco años, un primer ciclo secundario de cuatro años, un ciclo secundario superior y, finalmente, la enseñanza universitaria. Las inquietudes que se han manifestado con mayor frecuencia se refieren, en primer término, a los planteles educativos que se emplearían en esta estructuración y, en segundo término, a los programas de ense-! ñanza, sobre los cuales poco o nada se ha dicho y cuyo conocimiento es de suma urgencia, especialmente para los autores de los futuros libros de texto, que deberían poder trabajar con el menor apremio posible, y para los editoriales que, necesariamente, habrán de exponer crecidas sumas para presentar las nuevas obras de acuerdo con los nuevos programas, las modernas técnicas pedagógicas y las modernas formas de impresión. Espe

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EL PANORAMALA SEMBLANZA

estabecer programas de matemáticas?Dr. (luego profesor) Whitehead, un hombre

lo mostraron sus siguientes tra- : PAUL KREE (Francia)

que, comobajos, estaba poseído de esa penetración y profundidad espiritual tan notoriamente ausentes en Russell; pues la argumentación de Russell, ingeniosa y clara como es, igno-

consideraciones más altas que trascienden la mera lógica.

Esta falta de profundidad espiritual se volvió penosamente evidente durante k Primera Guerra Mundial» cuando Russell, aunque (para hacerle justicia) nunca minimizó el error cometido por Bélgica, perversamente sostuvo que, siendo la guerra una maldad, el designio de los conductores del barco- debía ser el de terminar la guerra tan rápido como fuera posible, lo que se hubiera logrado con la neutralidad británica y la victoria germana. Debe suponerse que los estudios matemáticos fueron los que le hicieron tomar una errónea visión cuantitativa, que ignoraba la cuestión de principios implicada. Durante la guerra, continuó urgiendo que se la concluyera, no importa en qué términos. El Trinity College, muy oportunamente, lo excluyó de su cátedra, y durante algunos meses de 1918 estuvo

i

Nos proponemos analizar la influencia de los factores que pueden ser tomados en consideración para la elaboración de programas de matemática desde los comienzos de la iniciación matemática hasta las facultades; en efecto, nos parece importante desentrañar los principios sobre los que debiera basarse toda reforma de la enseñanza antes de proponer tal o cual reforma.

tercer año: el cálculo algebraico; al nivel de las clases finales, el estudio de las funciones; al nivel de los primeros ciclos de la facultad, el álgebra lineal y la integración.

ra esas

Me parece que la importancia que se debe asignar al establecimiento de los programas debe, en general, ser motivada por las aplicaciones y no por razones solamente comprensibles para un matemático; así, soy partidario de introducir un poco de álgebra lineal en las últimas clases de los colegios nacionales, pues hay aplicaciones que ya están al alcance de un bachiller (resolución de sistemas lineales del álgebra lineal para las otras teorías matemáticas).

El rigor y la simplicidad lógica. Se podría estar tentado a enseñar la matemática en un orden "lógico”. Por otra parte, se tienen proposiciones de programas de clases de los colegios nacionales basados en la progresiva introducción de conjuntos, operaciones, relaciones, grupos, anillos y cuerpos. Yo no pienso que ello sea esencial en la enseñanza secundaria. Se puede demostrar mediante ejemplos en las últimas clases de los colegios nacionales, cómo se puede construir la matemática a partir de los números naturales, pero no es necesario, por causa de tal maravilla de coherencia lógica, despreciar el aporte de las situaciones reales en la elaboración de los razonamientos matemáticos.

Argumentos pedagógicos. Recuerdo cuánto me irritaba de pequeño que, durante cuatro años seguidos, los profesores nos repitieran los casos de igualdad de triángulos, el teorema de Tales. Para la mayoría de los alumnos, esas repeticiones son, sin embargo, necesarias y permiten, en cada oportunidad, un desarrollo suplementario de la teoría.

1. FACTORES QUE PUEDEN SER TOMADOS EN CONSIDERACION

A causa de la muerte del tercer Earl Russell (o Bertrand Russell, como prefería llamarse), a la edad de 90 años, se ha cortado un enlace con un pasado muy distante. Su abuelo, Lord John Russell, primer ministro Victoriano, visitó a Napoleón en la isla de Elba; su abuela materna fue amiga de la viuda del joven pretendiente. Durante su juventud, hizo trabajos de importancia en lógica matemática, pero su excéntrica actitud durante la Primera Guerra Mundial reveló falta de juicio equilibrado, lo que infectó cada vez más sus escritos posteriores. Acaso esto sea atribuible, por lo menos en parte- ai hecho de que no gozara de una educación escolar pública, sino que fuera nado en su hogar, por medio de preceptores, hasta los 18 años de edad en que ingreso en el Trinity College, Cambridge, resultando 7? de su promoción en matemática en 1893, y egresando en 1895. Durante los 15 años siguientes produjo los libros sobre los que se basó su reputación en el mundo de la enseñanza: The Foundations of Geometry, The Philosophy of Leibniz, The Principies of Mathematics, y (en colaboración con el Dr. A. N. Whitehead) Principia Mathematica. El último trabajo* que fue de gran importancia en su tiempo, debe indubitablemente 'mucha de su superioridad al

La arquitectura de la matemática. Entiendo por arquitectura a las relaciones entre las diferentes estructuras definidas y estudiadas en matemática. Evidentemente, en un época dada se pueden imaginar diferentes arquitecturas de la matemática según el punto de vista: por ejemplo, ellas dependerán de dónde se ubique la separación entre la matemática y las aplicaciones. Además, una arquitectura no dura más de veinte años (por ejemplo, la teoría de conjuntos parecía fundamental para los matemáticos de hace 20 años o, incluso, para ITadamard, en el Congreso de Zurich, en 1898; hoy, ya no lo es).

Todo esto muestra que no se pueden elaborar programas de acuerdo con una concepción de conjunto de la matemática (pues una concepción tal es forzosamente subjetiva y momentánea).

Las partes fundamentales de los cursos de matemática. Ciertos capítulos de los cursos de matemática son fundamentales por dos tipos de razones: — razones internas (su importancia con respecto a las otras partes de la matemática); — razones externas (su importancia para las aplicaciones a otras ciencias).

Por ejemplo, al nivel de las clases de

preso.En 1918 realizó una breve visita a Rusia-

cuyo gobierno no le impresionó favorablemente, y una visita más larga a China donde disfrutó del racionalismo de la civilización tradicional, en el que sobrevive el saber del siglo XVII. En los años siguientes, disipó sus energías en escritos defendiendo al socialismo, la reforma educacional y un código moral menos rígido para el matrimonio. A veces, sin embargo, retornó a sus temas específicos. Sus escritos históricos, por su estilo y su agudeza, callan a los lectores negligentes la superficialidad del racionalismo anticuado que él profesó hasta el final.

No tomó parte pública en la Segunda Guerra Mundial, habiendo escapado a un

ense-

(Sigüe en la pág. 39)4 5

examinados. Me parece que hay en esto razones esenciales. La enseñanza se compone de ciclos que terminan en tercer año, en las clases finales de la escuela secundaria, al finalizar el primer ciclo de las facultades o de las clases preparatorias. Cada ciclo tiene cierto número de fines que se pueden evaluar. A esos fines corresponde una formación óptima que se debe poder definir (quehacer de los psicólogos y educadores). En función de esta formación óptima y de las evidentes consideraciones culturales, se deben elaborar todos los programas y en particular los de matemática).

Sugiero que el ministro nombre comisio- (una para cada ciclo de enseñanza)

para atacar este problema, pues toda reforma efectuada sin considerar los objeti-

es ilusoria. Naturalmente, en esas

DEn lo que concierne a la enseñanza de la geometría con ayuda de un marco cartesiano y de los vectores, por ejemplo, me parece que el estudio del ritmo a seguir en el ciclo básico tiene una importancia muy grande. Es muy posible que, sin sabias repeticiones, la mayoría de los alumnos

comprenda nada de esta nueva geometría. Esto no está en contradicción con la posibilidad de enseñar no importa qué a no importa qué edad. (¿Algunos señan los anillos a niños de 12 años? ¡Seguramente deben tener algunos métodos de acceso para lograrlo!)

En efecto: queremos no considerar aquí las experiencias y los casos particulares, y no deseamos razonar más que sobre el conjunto de los profesores y de los alumnos.

Posibilidades de ejemplos ilustrativos importantes y de aplicaciones. Pienso que

importantes consideraciones como las siguientes: la introducción de una estructura abstracta no está justificada más que si existen, por lo menos, tres o cuatro ejemplos naturales de tales estructuras. Así, por ejemplo, me he opuesto a la introducción de los anillos y de los ideales en la enseñanza secundaria, pues no hay más que dos ejemplos naturales. Pero, estoy en favor de una teoría de la medida (en forma adecuada y simplificada), pues hav (n + 1) ejemplos.

Sobre los manuales existentes y la información del personal docente. Es necesario representarse las condiciones de trabajo del personal docente (número considerable de horas de clase y de hojas para corregir). Por ejemplo, la reforma efectuada hace cinco años en las clases preparatorias, ha requerido por lo menos dos años para ser establecida. Es necesario comprender que la reforma de los programas en los colegios nacionales es mucho más importante.

El problema consiste en ofrecer al personal docente posibilidades reales de información (tiempo y documentos) y que los plazos para la aplicación de las reformas sean suficientes para que se puedan editar manuales convenientes. Estos plazos para comenzar la aplicación permitirán, a lar vez, informar a los maestros y una experimentación previa de los nuevos programas y los nuevos métodos.

Sobre las necesidades de otros docentes, el desarrollo de la cultura y las soluciones

reparación aei docenteMARSHALL H. STONE

(Estados Unidos)

Se considera a este problema como la llave maestra para realizar cualquier reforma sustancial. Me refiero, naturalmente, a la preparación de maestros fesores para las escuelas primarias cundarias. Lo exue puede hacersd para mejorar las escuelas depende en último término de la actitud y capacidad de los mismos maestros. Es poco útil que crítica o público exhorten a los maestros a realizar tales o cuales cambios si éstos no creen que la tarea que Ies proponen es la correcta. Si el maestro piensa que los temáticos o los pedagogos están pidiendo que se enseñe un tipo de matemática que no es el que corresponde, acaso ceda a la imposición de una serie de nuevos

secuencia de ello, los programas para la preparación de maestros tienen tanta nece-

no

sidad de ser revisados, reformados y aún *''revolucionados” con urgencia como los co-y pro-

y seno en-

rrespondientes de las escuelas 'secundarias y primeros años universitarios. El momento ha llegado en que ya no podemos postergar la consideración de este problema con nuestra máxima atención. Asimismo, debemos investigar nuevamente qué sita conocer el profesor para cumplir una tarea de primera categoría en la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria. Tenemos que proporcionarle un conocimiento de matemática y también de pedagogía que lo convierta en un profesor mejor preparado y con mayor entusiasmo por su quehacer. Debemos comprender que hay que comenzar a realizar esa tarea ahora, de una vez por todas. Si miramos hacia el futuro comprenderemos que el tipo de cambio que debemos comenzar a realizar ahora es sólo el primero de una serie interminable de cambios que deberán realizarse para mantenerlo actualizado, de acuerdo con el desarrollo de la matemática y sus aplicaciones. A consecuencia del progreso científico y matemático nos veremos forzados continuamente a modificar nuestros programas de enseñanza de la matemática. Esto significa que los que enseñen la materia a cualquier nivel, sea primario, secundario, universitario o de curso de graduados, deberán poseer mentes flexibles y capacidad para ampliar sus conocimientos y aprovechar todas las novedades pedagógicas importantes. No podemos, por ejemplo, esperar que una vez que hayamos enseñado a una nueva generación de profesores la geometría que creemos debe ser incluida en los programas secundarios, ésta, necesariamente permanecerá inalterable para las generaciones futuras. No debemos dejar que el profesor crea que puede, sin riesgo, ignorar los adelantos que puede haber en la geometría después de haber completado su preparación formal en las escuelas de profesorado. En poco

(Sigue en pág. 11).

nes nece-

vos,comisiones habría mayoría de profesores, pero también habría personas (representantes de las administración, de las ciencias, de Jas artes, de las letras, de la industria) que colaborarían con los profesores para determinar el perfil medio del estudiante que termina tal ciclo de enseñanza. Teniendo en cuenta ese perfil, los profesores establecen los programas.

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gramas, pero enseñará sin ningún entusiasmo y comunicará ineludiblemente a los alumnos esa falta de entusiasmo. En condiciones puede fallar el mejor de los programas. En ese aspecto, precisamente, los cursos de verano y los del año académico tienen influencia provechosa puesto que el resultado práctico evidente de los cursos organizados ha sido que muchos maestros revisaran sus ideas sobre la enseñanza de la matemática, sobre los temas que se deberían enseñar y sobre la forma en que dichos temas deberían presentarse. Así han adquirido entusiasmo para ubicarse al frente de una reforma que ellos mismos han llegado a consids- rar como totalmente necesaria.

Pero el entusiasmo sólo es base insuficiente para fundar la reforma. El maestro que desee mejorar su tarea en lo que concierne a la introducción de la nueva matemática y ayudar a sus alumnos a entenderla, se sentirá impotente si no respalda su entusiasmo en un profundo y correcto conocimiento de la materia. Infortunadamente, ha habido muchos luga-

donde la preparación de los maestros ha sido guiada por la filosofía de igno-

la preparación específica en la materia de que tratan para concentrarse, en cambio, en una instrucción en pedagogía y psicología de carácter teórico. Como con-

esas

2. EJEMPLOS RELATIVOS A LA MATEMATICA

Al finalizar las clases de tercer año, me parece que el alumno medio debe saber resolver un sistema cuadrado lineal con 1, 2 ó 3 incógnitas, saber dibujar una figura, saber manejar los números algebraicos, saber qué es un conjunto y una relación de equivalencia.

Al finalizar el ciclo secundario, el alumno debe saber utilizar las coordenadas cartesianas, debe saber usar (en casos simples) el cálculo diferencial y el cálculo integral y saber emplear el cálculo de probabilidades. Al término de las clases preparatorias, el alumno debe tener clara idea sobre las aplicaciones de la matemática (algebra lineal, métodos iterativos, integración, funciones derivables). Evidentemente, en algunos cursos convendrá examinar una formación un poco más especializada y orientada hacia la matemática llamada pura.

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(Sigue en la pág. 26)

67

ble retomar cuestiones muchas sueltas, plantear problemas usados por generaciones de bachilleres; aquí es preciso desconfiar de la rutina, por otra parte bravamente apoyada por la ignorancia. De otro lado, esta riqueza de la geometría no carece de inconvenientes; entre la multitud de "bellos teoremas" ¿cómo seleccionar los que verdaderamente deben recordarse? Hay teoremas-piezas de museo, que honran el talento de sus descubridores, pero que obstruyen bastante inútilmente el espíritu de nuestros alumnos: pequeñas maravillas de relojería como el teorema de Feuer^ach para conservarlos debajo de campanas de cristal, pero ya no deben estorbar en los manuales.

Por tanto, es necesario elegir y disponer, en consecuencia, de criterios para ello. Si la geometría ha de servir, es necesario abrir perspectivas que permitan al aficionado gustar de sus bosquecillos, su arbolado, sus montes. . .

En fin, no olvidemos que la geometría ha dado su lenguaje a toda la matemática. Y esto no es solamente una consecuencia de la tradición o de la historia. Reemplazar la expresión "regla de tres" por "homote- cia" es un cambio de vocabulario que resulta útil pedagógicamente.

Por consiguiente, aquí no se trata de suprimir la enseñanza de la geometría sino de hacerla con orden. Y justamente por tratarse de una enseñanza cargada de tradiciones hay que llevar firmemente las tijeras de podar: hay ramas muertas, hay ramas parásitas que frenan el ascenso de la nueva savia. Después de Ronsard, todo leñador es considerado por la gente simple como un asesino; visión simplista: hay leñadores que explotan las selvas para hacer prosperar a los árboles más bellos y a los retoños jóvenes.

secundario superior (alumnos de 16 a 19 años). Distinción valedera para toda la enseñanza de la matemática, pero especialmente en lo que concierne a la geometría.

La misma iniciación se cumplirá según modos y ritmos muy diversos. Se conoce el lugar del juego en toda primera iniciación; ¿no podrían buscarse recursos en él más a menudo en lo que sigue? Sin duda, aquí deberán tenerse en cuenta trabajos como los del profesor Dienes que, muy justamente, insiste en la importancia de la motivación.

veces re-ORIENTACION

Dificultades de la geometríaEste articulo ha sido ,n,blicado cu CUANTIEOS

de la ASSOCIATION DES PROFESSEURS DE MATIIEMATIQUES DE LLASL/GAL- MENT PUBLIC (N. de R.)-

Puro descubrimiento, en los comienzos, sin inquietudes de justificación sino solamente de evidencia, la geometría se irá poco a poco volviendo más organizada, las definiciones se depurarán e incluso, como lo ha dicho el profesor Choquet, se formarán pequeños islotes deductivos y tenderán, como las colonias romanas, a extenderse, a tratar de reunirse y a "federarse".

Sin embargo, en el momento de la iniciación, el primer cuidado no ha de ser el organizar la exposición siguiendo un orden deductivo estricto. Por eso, dicha geometría ha sido a veces llamada intuitiva, expresión usada a menudo por los colegas belgas e italianos; ello ha desconcertado a ciertos críticos que han creído que esta geometría se limitaba a la observación, a verificaciones. Una concepción semejante de la geometría intuitiva sería muy peligrosa para los estudios ulteriores, mientras que está en su lugar cuando representa el indispensable trabajo de descubrimiento y exploración que hace que los mismos alumnos deseen la organización rigurosa de la teoría. Esto es lo que se logrará mediante la elección de una axiomática y un desarrollo coherente de las consecuencias.

Abramos aquí un paréntesis. Puesto que el deseo del matemático moderno es exponer claramente, abiertamente, los axiomas sobre los cuales basa su teoría, puesto que la elección de los axiomas es relativamente libre y que, por tanto, no es obligatorio plegarse a la elección más o menos feliz debida a Euclides, se ha opuesto axiomati- zación franca de la geometría al justo respeto que se debe a la enseñanza de Eucli- des. Hay en ello cierto abuso polémico pues si la obra del sabio griego ha tenido tanta importancia y tanta longevidad, es justamente porque representó, para su época y para los siglos siguientes, un notable es-

sonvigorosa, no se ha recordado más que

la invectiva y no se ha leído la exposición de Dieudonné en favor de la enseñanza renovada de la geometría. Y, puesto que la costumbre hace ver en Euclides tan solo

geómetra (menospreciando su obra en aritmética) se ha dicho: los partidarios de la modernización de la enseñanza quieren "matar" la geometría o, en todo caso, suprimirla en la enseñanza elemental. Ante una amenaza de tal magnitud se comprende que la gente común, que ha gustado de las alegrías de la bella geometría, haya reaccionado apasionadamente algunas veces. Pero elevar así el tono del debate no contribuye necesariamente a aclararlo. Trataremos, pues, de analizar con mayor calma el pro y el contra.

La geometría clásica (por tanto, euclidia- na) es una buena descripción del espacio en que vivimos, el que se emplea en la mayor parte de la física elemental y la mecánica. La cultura de un individuo sería bastante incompleta si se ignorara del todo dicha estructura. Es verdad, por lo contrario, que la mecánica y la física nos han constreñido a considerar otros espacios, y que las ciencias humanas en su desarrollo actual hacen un gran consumo de estructuras bastante diferentes de las de nuestro "buen" espacio euclidiano. Pero ¿cómo abordar todas esas geometrías sin aprender primero las propiedades de la más familiar, la de los juegos infantiles?

Otro argumento en favor de esta enseñanza es la gran riqueza de las diversas estructuras contenidas en la gran estructura general del espacio euclidiano. Todos saben qué mina de problemas variados es la geometría elemental. No es asombroso que la pedagogía haya explotado ese filón, y a veces nos preguntamos cómo es posi-

La enseñanza de la geometría presenta muchas dificultades aparte de las que se encuentran en toda la enseñanza de la matemática. Interesa investigar las razones mucho más allá de las apasionadas polémicas sobre el tema.

Es necesario apreciar en su justo valor los argumentos favorables a la enseñanza de la geometría, es decir, tener en cuenta las críticas razonables que se ha conquistado esa enseñanza.

Pero, puesto que la conclusión es que es necesario enseñar geometría, el verdadero problema es el de mejorar su presentación; resultará entonces casi evidente que el estudio de los espacios vectoriales da su lugar a la geometría en una enseñanza adaptada a las condiciones actuales de la ciencia y del mundo.

1. El pro y el contra

La enseñanza de la geometría está cargada de tradiciones. Antiguamente, quien decía matemático decía geómetra, y la sección de matemática en la Academia de Ciencias, todavía es denominada de geometría. Considerada como la parte más noble, más rica, de la matemática, la costumbre ha hecho de ella el capítulo más importante de la enseñanza elemental y también aquél donde el peso de los hábitos se hace sentir más rudamente. De allí a que la geometría- constituya un obstáculo para la modernización de nuestra enseñanza no había ni un paso, y eso es lo que ha ocurrido a menudo, en nombre de un respeto más verbal que real, por la obra inmortal de Euclides.

Ello explica, por reacción, la famosa invectiva del profesor Jean Dieudonné, con motivo de un coloquio realizado en 1959: "Abajo Euclides". Puesto que la expresión

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i 2. Distinguir etapas

Antes de examinar las elecciones de orden puramente matemático, se debería, sin duda, distinguir dos etapas esenciales desel punto de vista pedagógico. En efecto, hay gran interés en no confundir la enseñanza de iniciación, que se extenderá durante unos diez años, desde el jardín de infantes hasta la finalización del ciclo básico (alumnos de 5 a 15 años), y la enseñanza de formación, que será la del ciclo

;

8 9

Como, por otra parte, el binario ilimitado, desemboca en los reales, estamos en condiciones de establecer el teorema de Tales y, en consecuencia, de definir las homo- tecias.

El plano afín está ahora constituido. Elijamos un punto particular O y llamemos plano puntuado (P,0) al conjunto así estructurado: a todo punto M del plano está asociado el vector OM; a todo vector corresponde un punto del plano. En él, las traslacio- nnes tienen estructura de grupo conmutativo y han sido definidas las homotecias: tenemos una estructura de espacio vectorial.

campó y, en ese aspecto, la geometría afín, más desnuda, parece un buen ejercicio para el aprendizaje del método deductivo por el hecho de que el número de axiomas es menor en ella.

El debate, sin embargo, queda abierto y es bueno, sin duda, que así ocurra, que cada uno ensaye sucesivamente las diversas presentaciones posibles; eso no podrá más que robustecer los estudios geométricos.

considerado como un conjunto infinito de puntos. Las rectas son subconjuntos del plano definidas por cierlo número de axiomas (toda recta es un subconjunto en sentido estricto, vale decir, que hay puntos fuera de una recta; lodo par de puntos distintos está incluido en une recta).

29 La estructura afín del plano está dada por la introducción de las paralelas. La noción de dirección nos conduce a la proposición: toda dirección es una partición del plano. Se puede definir la equipolencia de los pares de puntos. Un vector es una clase de equipolencia. A cada vector le corresponde una aplicación del plano sobre sí mismo, una traslación.

De paso, se ha considerado al paralelo- gramo, la propiedad de sus diagonales (cortarse en su punto medio no es una propiedad métrica; pues ella es conservada por la proyección paralela).

39 Estas proyecciones paralelas son la clave del estudio del orden, a menudo demasiado descuidado en nuestra enseñanza; toda recta está provista de dos órdenes, totalmente recíprocos, sus órdenes naturales. De tres puntos alineados, hay uno que está ubicado entre los otros dos. Lo que conduce al teorema de Pasch: "si una recta que no contiene ningún vértice de un triángulo, corta uno de los lados de ese triángulo, entonces dicha recta corta1 a uno y sólo uno de los otros dos lados". Sin duda, momento de los estudios, se tendrá interés, sin duda, en desligarse del todo de la noción de convexidad: el conjunto E

fuerzo de axiomatización, un verdadero modelo.

Pero si Euclides puede ser considerado a justo título como el padre del método axiomático, es necesario reconocer que su construcción no carece de fallas. Su modelo fue perfectible, como lo ha demostrado Hilbert hace unos 70 años. En Euclides hay axiomas sobrentendidos, e implícitos. Por tanto, es necesario agregar axiomas, no creer que todo se resume en el célebre axioma de Euclides, el de las paralelas, que no merece más que los otros ser considerado como el único axioma formulado por Euclides. En efecto, en la axiomatización renovada, tal como salió de las manos de Hilbert, hay toda una cohorte de axiomas en la que se basa, bastante pesadamente, la geometría. Pero ese es el precio con el cual se habrá asegu.ado la validez de las demostraciones. Por lo contrario, en la enseñanza tradicional, que pretende ser fiel a Euclides y que, más bien, lo es a la multitud de sus comentadores más fieles, cuántos casos en los que se cree demostrar mientras solo se juega con las palabras [es superfluo volver aquí sobre la "demostración" (?) de los casos de igualdad de triángulos por movimientos y superposición . . . ]

Por otra parte, la elección de los axiomas es acaso infortunada en Euclides. Ocurre que mezcla diversas subestructuras y usa propiedades métricas para demostrar propiedades afines. Cerca de 100 años después del célebre discurso de Félix Klein en Erlangen, no podemos continuar mezclando así los géneros.

Dejemos para otra ocasión las cuestiones planteadas por la enseñanza de iniciación. Hay bastante que decir sobre la enseñanza de formación (alumnos de 16 a 18 años). El El problema está netamente circunscrito: elegir una axiomática. ¡Ello no significa que esté resuelto!

3. La geometría afín

Partimos, pues, de la idea que hay inte- terés en distinguir diversos dominios en geometría, lo que el profesor Bouligand llamaba dominios de causalidad. A cada dominio corresponde un grupo de transformaciones que dejan invariantes las propiedades específicas de ese dominio.

1? El plano (limitémonos a él aquí) es

.:

i

6. A manera de conclusión

Todo lo que precede es demasiado panorámico. Es necesario no ver en ello más que una entrada en materia. El estudio de los espacios vectoriales nos dará medios para retomar, hasta en detalles, la presentación de la geometría (pues es en los detalles donde las dificultades deben ser superadas). Entonces, se percibirá que, lejos de eliminar la geometría, la matemática viva de hoy la coloca en su lugar entre los diversos dominios de su actividad, sabiendo usar de sus recursos para explorar nuevos dominios para enriquecer más esta buena vieja geometría, siempre joven, a la que debemos tanto.

4. Geometría métrica

! La introducción de una distancia y, a manera de consecuencia, la definición del producto escalar dota al plano afín de una estructura más rica, la estructura métrica. No citaremos más que un ejemplo: en geometría afín, habrá sido definido el baricentro de un conjunto de puntos y, en ese asunto, se habrán presentado diversos sistemas de coordenadas. Se podrá a continuación hacer intervenir al producto escalar y obtener el teorema de Leibniz.

'o menos

¡5. De las formas de presentación

Si la necesidad de separar bien la exposición de las propiedades afines de la de las propiedades métricas parece generalmente admitida por los matemáticos pedagogos, el acuerdo es mucho menos unánime acerca de la prioridad que es necesario acordar a una o a otra de las dos estructuras fundamentales.

Puede parecer más eficaz, desde el punto de vista pedagógico, ir de lo simple a lo más complicado y, por consiguiente, comenzar por la geometría afín. Pero, se objeta que los alumnos están más familiarizados con las propiedades métricas, y que es necesario no olvidar, en geometría, el aporte de la intuición.

No es necesario, ya, dejarle demasiado

Notas bibliográficas

Señalemos a PAPY; su axiomática es empleada en la presentación escolar que da en su libro Matomática Mo- de-na I (EUDEBA, Bs. As., 1968).

La bibliografía referente a la enseñanza de la geometría es muy abundante. Recordemos solamente a:J. DIEUDONN'E: Fondaments de l'analyse moderne (GAU-

THIER-VILLARS). Obra de alta calidad recomendada los profesores con el nivel de una buena licenciatura.

G. CHOQUET. L'enseignement de la géomótrie (HER- AAANN). Presentación de una axiomática apropiada para una enseñanza elemental de la geometría.

E. ARTIN: Algebre geómétrique (Gauthier-Villars), versión francesa.

KEREKJARTO: Les fondaments de la géométrie eucli- dícnne (Gauthier-Villars). Retoma una exposición muy cercana a la de Hilbert.

R. BRISAC: Exposó élémentaire des principes de la géométrie euclidienne (Gauthier-Villars). Fundamenta la geometría en el grupo de los movimientos.

en ese

es convexo cuando, para todo par de puntos a y b, que pertenecen a E, todo punto ubicado entre a y b es también elemento de E; el teorema "la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo", es fácil.

4? Sin recurrir a los números reales, pero usando la numeración binaria ilimitada, Papy llega a formular el axioma de Arquímedes: cualquiera sea el punto M sobre la recta AB, hay dos puntos F y G, definidos por AF = nAB y AG = (n + 1)AB tales que M está situado sobre el segmento FG, es decir, existe un entero racional n tal que:

-i der lo que está ocurriendo en las distintas ramas de la matemática y de mantenerse en contacto permanente con los adelantos en el arte de la enseñanza.

n.AB< AM

están en el origen de la teoría de juntos.

Hacia 1870 se emplearon métodos juntistas para definir los números reales a partir de los números racionales por medio de agregados, o de cortaduras o de sucesiones fundamentales. Esas definiciones liberaron al análisis del empleo de la recta numérica (correspondencia biunívoca tre los puntos de una recta y los números reales) introducida por la algebrización cartesiana de la geometría. El sueño de unificación de las diversas ramas matemáticas comenzaba a realizarse. Es la fase que se denomina a menudo aritmetización del análisis, donde todo es reducido a la noción de número natural. KRONECKER dijo: “El buen Dios hizo los números turales; todo lo demás es obra de los hombres”. Agregó: “Es necesario que todos los resultados matemáticos sean expresables bajo las simples formas de las propiedades de los números naturales”. Esta aritmetización fue favorablemente acogida, cíe modo que Poincaré pudo decir en el Congreso de 1900. “Hoy no quedan en análisis más que números enteros o sistemas finitos o infinitos de números enteros, vinculados entre sí por una red de relaciones de igualdad o desigualdad. Las matemáticas, como se ha dicho, se han aritmetizado”.

Cuando se habla aquí de conjuntos infinitos, no se trata del infinito potencial del método de los límites, sino más bien de conjuntos concluidos que tienen un número infinito de elementos. De ese modo, el infinito actual se había escurrido de manera no percibida en las creaciones matemáticas. Aún en 1831, Gauss había expresado su horror por el infinito actual y había afirmado que el infinito no era más que una forma de hablar, que el infinito ele la teoría de límites no concierne más que a una posibilidad de variación y representa números finitos tan grandes como se quiera. Antes de él, Galileo había adoptado el mismo punto de vista y Cau- chy, en 1S33, no lo cita más que para aprobarlo.

Mediante la introducción de los conjuntos infinitos actuales, Cantor ha agrandado de manera osada el dominio de los entes matemáticos. Ya en 1874 demostró que el conjunto de los números reales no puede ser puesto en correspondencia biunívoca con el de los números naturales. La rique-

La teoría de con untos za de elementos del primer conjunto es, pues, mucho más grande que la del segundo. Esta era la primera indicación que dejaba entrever que diversos conjuntos infinitos pueden distinguirse de manera profunda.

Si se dice que la aritmetización elimina la intuición geométrica y que los números naturales se han convertido en el fundamento de las ramas matemáticas, se olvidan los conjuntos finitos e infinitos y los métodos conjuntistas que se han empleado para definir las fracciones, los números racionales, las cortaduras, los números reales y complejos a partir de los números naturales. Estos últimos no son, pues, el único fundamento, pero desempeñan su papel en combinación con la teoría de conjuntos. ¿Cuál es la relación entre esas dos teorías? Por más que muchas personas se hayan esforzado en reducir los números naturales a entes de naturaleza más simple, una primera respuesta coherente fue dada por DEDEKIND en sus meditaciones de 1872-78. Muestra cómo las nociones primitivas y los principios para los números naturales pueden obtenerse como nociones conjuntistas derivadas. De ese modo, la creación de Cantor se convierte en el único fundamento del análisis y el álgebra clásicos. Ya en 1882, Cantor expresa su convicción de que su teoría domine, y lógicamente preceda, al resto de la matemática; abraza los dominios de la aritmética, la teoría de funciones y la geometría. Al lado de este papel de fundamento, la teoría de conjuntos contiene también una serie de temas nuevos, por ejemplo, la aritmética transfinita de los números cardinales y ordinales.

Hagamos ahora un rápido inventario de las principales nociones primitivas y derivadas de la teoría de Cantor.

Se parte de la noción de conjunto y de la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto. Se define la inclusión y el concepto de subconjunto. Entre los conjuntos elementales está el conjunto vacío, el conjunto constituido por un solo elemento cualquiera, el par de dos conjuntos, el par ordenado. En este punto, es posible definir las nociones de relación, de función y de correspondencia. Partiendo de un conjunto dado se puede formar el subconjunto de lodos sus elementos que tienen una propiedad dada, y también el conjunto de

con-

con-

A. BORCERS (Bélgica)

en el principio de comprensión que permite reunir en un conjunto todos los objetos que tienen una propiedad dada. El desarrollo de la teoría ha mostrado que ese principio no da tan sólo los conjuntos legítimos sino también antinomias.

Se ve que la noción de conjunto tiene una aplicación muy larga. Desde que se dice “todos los objetos que...” se tiene un conjunto. Se tiene el conjunto de todos los libros, de todos los sueños, de todos los números primos, de todos los números algebraicos, de todos los puntos de un triángulo. La noción de conjunto es muy cercana a la extensión de un concepto dado.

Asombra, a primera vista que sea posible edificar una teoría con una noción tan vaga como punto de partida.

Se ha comprobado que, históricamente, las matemáticas clásicas del siglo anterior han evolucionado, necesariamente, hacia la teoría de Cantor o hacia alguna teoría que pudiera prestar los mismos servicios. Cau- chy y otros lograban éxitos adoptando buenas definiciones que ponían término a las discusiones sobre la naturaleza' de los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes, y sobre la noción de integral como suma infinita de magnitudes infinitamente pequeñas. En la segunda mitad del siglo XVIII aparecieron esos entes matemáticos sorprendentes que son las curvas sin tangentes y las curvas que llenan cuadro.

Si se puede considerar la axiomatiza- ción como la primera fase de la autonomía de la matemática, la teoría de conjuntos constituye la última fase de dicha evolución. Entre esos extremos se ubica, como segunda fase, la algebrización de la geometría por Descartes, en la cual el razonamiento sintético es reemplazado por una técnica operativa sobre números y expresiones algebraicas. En tercer lugar, se ubica la aritmetización del análisis por la reducción de las diversas nociones de número a la de número natural. En cuarto lugar se tendrá la lógica formalizada, y finalmente la teoría de conjuntos, de la que nos ocuparemos aquí.

A manera de definición provisoria se puede decir, con Zermelo, que la teoría de conjuntos es la rama de la matemática en la que se vuelven a estudiar los conceptos fundamentales de número, orden y función en su simplicidad primitiva y, por eso mismo, a desarrollar las bases lógicas de toda la aritmética y el análisis.

La teoría de los conjuntos es una osada creación de GEORG CANTOR a partir de 1873. Este autor propuso muchas definiciones de la noción de conjunto. Un conjunto es la totalidad que reúne todos los objetos que poseen un atributo determinado, mediante el cual pueden ser reconocidos como elementos de ese conjunto.

O también: un conjunto es la reunión en un todo de los objetos determinados y distintos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento.

Un conjunto de elementos está bien definido si, sobre la base de su definición y, en consecuencia, del principio lógico del tercero excluido, se lo debe considerar como intrínsecamente determinado, y, lo mismo si un objeto cualquiera perteneciente a la misma esfera conceptual forma parte del conjunto o no, e igualmente si son idénticos dos objetos del conjunto a pesar de las diferentes formas en que son dados.

Desde el punto de vista de la formación de conjuntos, esas definiciones se resumen

cu

li a-

un

El mismo Cantor no comenzó sus investigaciones sobre conjuntos abstractos sino después de haber examinado ciertos subconjuntos de un intervalo de números reales. En 1870 demostró el teorema de la unicidad de la representación de una función mediante una serie trigonométrica.

Los matemáticos de esa época se ocupaban, sin saberlo, de entes matemáticos cuya definición era

;

demasiado imprecisa para poder soportar el peso de construcciones matemáticas y la complejidad de los razonamientos. La necesidad del análisis y el estudio de las funciones de variable real

.

1213

jor conocidos por la matemática clásica. No es sorprendente leer, en la historia, que el método conjuntista no ha dejado de suscitar creciente malestar en ciertos medios en los años finiseculares. Sin embargo, mediante el trabajo de investigadores entusiastas, ha llegado a conquistar el mundo matemático. Este éxito es debido en parte al hecho de que la teoría de Cantor parte de un mínimo ele hipótesis y a que ofiece

para toda la matemática que se vuelve así verdaderamente autónoma. Los datos de diferentes ramas clásicas son reproducidos en capítulos más tensos de la teoría de conjuntos, que resulta, de esta manera, el coronamiento de la gran revisión lógica de la matemática clásica después de 150 ó 200 años. Esta teoría engloba también ramas totalmente

la topología y el álgebra moderna. Continúa estando en boga la opinión de que una disciplina matemática no está bien axiomatizada hasta el momento en que ha llegado a formulársela en términos conjuntistas. El gran tratado de BOURBAKI puede servir de prueba para este alegato.

Tras el éxito del método axiomático, se ha planteado poco después de 1900 el problema de axiomatizar y formalizar la teoría de Cantor, con el fin de reemplazarla por un sistema formal perfectamente definido. Un sistema tal se había vuelto absolutamente necesario por la amenaza de las antinomias descubiertas algunos años antes y después de 1900. La antinomia de Russcll (1903) ya es bien conocida. Fue precedida, históricamente, por la del mayor número cardinal y otras, que operan con las nociones avanzadas de la aritmética trasfinita.

De este modo, se ha podido pensar que las antinomias se manifiestan solamente en las regiones periféricas de la matemática que son inaccesibles a la intuición y a la experimentación. La antinomia de Russell ha disipado esta opinión y mostrado que la noción ingenua de conjunto es insostenible. Por la relación entre conjuntos y la e.\tensión de las propiedades, se ve que la lógica cotidiana también está desacreditada. En un artículo sobre La méthode axio- matique et la logique symbolique, he mostrado cómo salir de esas dificultades mediante la lógica usual. Pero, puesto que la aritmética trasfinita también origina an

tinomias que no son de naturalezatodos esos subconjuntos, y el conjunto unión (o suma). Dados dos conjuntos se puede formar su producto directo o cartesiano. La correspondencia biunívoca conduce por abstracción a los números cardinales, los que permiten distinguir los diferentes grados de infinitud de los conjuntos. Por medio de relaciones de orden y de buen orden se llega a los tipos de- orden y a los números cardinales. Estos son los medios para la clasificación de los conjuntos finitos. Los números naturales son, al mismo tiempo, números cardinales y ordinales, y la aritmética ordinaria es un capítulo especial de la aritmética trasfinita. El principio de inducción completa es

particular de toda una serie de principios de inducción trasfinita. Entre los principios de formación de conjuntos figura un postulado, empleado implícitamente por Cantor y otros, llamado axioma de elección o también axiotna de Zermelo (1904). Según la idea subyacente en este axioma, se puede, para toda familia z de conjuntos i/, “elegir’ un elemento re en y y reunir todos esos x en un conjunto-selección s cuando y recorre la z dada. De manera más precisa, el axioma se anuncia así: Sea z un conjunto no vacío de conjuntos y que son no vacíos y sin elementos comunes dos a dos; entonces un conjunto s que tiene un elemento x y sólo uno en común con cada conjunto y que pertenece a z. Este axioma de Zermelo ha sido inmediatamente el tema de vivas controversias porque, a menudo, se han equivocado acerca de su carácter puramente existencial. Permite probar que para todo conjunto existe un buen orden, pero no dice como se debe construirlo. Después se ha llegado a ver más claro en esta situación.

Sobre la base de esta manera de ver, es fácil creer que la teoría de Cantor es muy abstracta y con pocas nociones cercanas a la realidad. La noción de colección nos parece clara cuando se trata de objetos concretos y en pequeño número. El conjunto de todos los libros es, desde luego, mucho más confuso. Para el conjunto de todos los números naturales se puede imaginar una ruta indefinida, jalonada en todo lo que la vista alcanza por una sucesión de árboles. Ciertamente, es posible concretizar teoremas conjuntistas valiéndonos de conjuntos finitos o numerables, o especializándolos mediante conjuntos me

que el primero; una dificultad análoga se presenta para el conjunto de los números reales y también para conjuntos todavía más ricos. La idea de desterrar los conjuntos “demasiado grandes” recibió un enunciado preciso de un axioma de VON NEUMAN que implica que el conjunto de todos los conjuntos y los conjuntos que tienen la misma riqueza de elementos, figuran entre los conjuntos “demasiado grandes”. Estos últimos no son excluidos radi- calmente por Von Neumann, pero han sido heridos por una especie de inmovilización, que los vuelve inofensivos y les impide figurar como elementos de conjuntos.

La axiomática de Von Neumann fue simplificada en 1929-1930 por BERNAYS en un sistema (publicado en una serie de artículos desde 1937 a 1954) que consideraremos ahora. En ese sistema, los conjuntos “demasiado grandes” no existen entre los conjuntos legítimos, pero figuran entre las clases de conjuntos. Play, pues, una nueva categoría de entes que se denominan clases. Por tanto, ese sistema de Ber- nays comporta una serie de axiomas para los conjuntos y otra para las clases, y una tercera para fijar las relaciones entre los conjuntos y las clases. A la teoría de los conjuntos de conjuntos, Bernays debía, pues, superponer la de las clases de conjuntos. Para ese fin, ha podido inspirarse en la lógica de clase de individuos y de las relaciones entre individuos que estuvo entre las primeras conquistas de la lógica moderna desde 1847 (en los trabajos de Boole, De Morgan, Peirce, Schroeder, Russell (1901) y otros). Si se piensa que también debía vincular ese todo a la lógica de los predicados, se puede comprender por qué la axiomatización y la formaliza- eión de la teoría de conjuntos (por tanto, h edificación del correspondiente sistema formal) han tomado casi tres décadas.

En el sistema de Bemays, se pueden emplear ciertas antinomias de la crisis de 1900 para demostrar que ciertas clases no son conjuntos y para evitar así las antinomias conocidas. Un conjunto se distingue por una riqueza “limitada” de elementos que permite “comprimir’ esa totalidad en un todo que puede presentarse como elemento de otros conjuntos. De lo dicho resulta que, de alguna manera, las antinomias están reducidas al mismo papel

puramente lógica, su reconstrucción consistente es más compleja.

En un examen crítico de los procedimientos intuitivos de formación de conjuntos se puede buscar un principio de solución a las dificultades de la crisis de 1900. Una primera faena era la axiomatización siguiendo el ejemplo dado por Hilbert para la geometría, dejando a un lado, provisoriamente, las cuestiones de orden lógico. En lugar de plantear una nueva definición a prior i, Zermelo obtuvo en 1908 una definición implícita examinando los mientos y resultados que tenemos Este autor parte de la teoría históricamente existente y busca los principios que necesarios para su fundamentación. Hace un trabajo de explicitación y de limitación a la vez: se trata de restringir suficientemente los principios para excluir las antinomias, conservando, no obstante, la parte de la teoría de Cantor cuyo valor había sido reconocido por el mundo matemático. Zermelo fue el primero que propuso un tal sistema de axiomas. Luego, la teoría de Cantor fue denominada teoría ingenua o intuitiva de los conjuntos por oposición a las formas axiomatizadas. Después de 1908, se han hallado más axiomas todavía. En lugar de enumerar todos esos postulados, digamos solamente que todos los conjuntos y todos los procesos de formación de conjuntos mencionados más arriba en el inventario, están garantizados por Jos axiomas o por sus consecuencias inmediatas. Subrayemos especialmente que un axioma especial postula la existencia de por lo menos un conjunto infinito, lo que era claro desde el punto de vista ingenuo. Permite demostrar que los números naturales constituyen un conjunto.

Agreguemos una palabra sobre un artificio para la resolución de las antinomias.Es natural sospechar que el error de las paradojas reside en el empleo de conjuntos ricos en elementos, como, por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos o el de todos los números cardinales. La desdicha reside en que, para lanzar una sugestión semejante, es necesario ser muy prudente. Si se destierra, por ejemplo, el conjunto de todos los números cardinales, no se puede disponer del conjunto de todos los números naturales, a menos que se establezca que el segundo es menos rico

un marco

o menos ex- razona- a mano.

'sonun caso

nuevas comoi

i

.14 15

■

I

emas de rigonometríasistema formal, que engloba la teoría •de números, debe recurrir a procedimientos de prueba que trascienden los fuertes medios de convicción a los que Hilbert tenía la intención de limitarse al principio. Teniendo en cuenta los poderes englobantes, conocidos y desconocidos, de la teoría de conjuntos, del teorema de GÜDEL se deduce que la no contradicción del sistema de Bernays es indemostrable.

La solución negativa de ese problema de consistencia absoluta no disminuye el interés de las investigaciones sobre la consistencia relativa de los diversos sistemas. Es fácil de comprender que esos trabajos

extraordinariamente arduos. Los teoremas obtenidos, de alcance matemático general, no son muy numerosos, y siempre necesitan un aparato demostrativo estrechamente ligado al problema en cuestión. Lo mismo ocurre con las cuestiones de independencia y otros problemas matemáti- mos que se pueden plantear en una teoría axiomática formal de los conjuntos. Limitémonos a mencionar un corolario importante de un resultado de Godel (L93S-40), que dice que el axioma de elección no puede ser la causa de una eventual antinomia en un sistema como el de Bernays. Para muchos, ese corolario permitiría no ocuparse de las controversias suscitadas por dicho axioma.

que el desempeñado por las contradicciones ordinarias, tan preciosas en los razonamientos por el absurdo. Pero siempre hay esa diferencia fundamental por la cual las antinomias han dejado su marca sobre la entera teoría reconstruida.

A pesar del hecho de que la antigua libertad de los procedimientos ingenuos de formación de conjuntos está fuertemente amputada en el sistema de Bernays, éste último resulta todavía demasiado fuerte para continuar englobando toda la matemática existente. Dispone de un modo de traducción que le permite transcribir no importa qué tratado matemático del pasado, del presente y, presumiblemente, del futuro. En un sistema de ese género, se puede ver un resultado notable de los esfuerzos conjugados de las diferentes fuerzas para autonomizar la matemática y el coronamiento de tres cuartos de siglo de investigaciones sobre los fundamentos de la matemática.

Evidentemente, la comprobación de que las antinomias conocidas son evitadas mediante un sistema formal, no garantiza, de ningún modo, la inexistencia de otras antinomias insospechadas. Poincaré dijo: “Si se ha cerrado bien el redil, no estamos seguros de no haber encerrado al lobo”. Muchas veces, Hilbert insistió sobre el problema de la no contradicción, en particular en la teoría de conjuntos, a la que considera como una de las ramas más fértiles y vigorosas de la matemática. Una solución positiva de ese problema, significaría, después de Hilbert, que es imposible echamos del paraíso que Cantor creó para nosotros. Después de la transformación de la teoría de Cantor en un sistema formal, el problema de la no contradicción (y muchos otros), pueden plantearse en términos precisos. Esto resulta de un teorema de GODEL (1931) acerca de la in- completitud de la aritmética, por el cual una demostración de no contradicción de

un

JORGE A MILLER (Argentina)

0. Introducción.0.1. El empleo de vectores libres se

vuelve cada vez más necesario con el avance de la matemática. Para familiari-

con ellos al alumno de la escuelas de enseñanza técnica, se sugiere el siguiente desarrollo de los temas fundamentales de trigonometría, el que, por otra parte, evita el auxilio excesivo de la geometría en demostraciones importantes.

0.2. Se suponen adquiridos por el alumno los conceptos de vector libre (como

gmento orientado), versor, suma y resta de vectores, producto de un vector por un número real, coordenadas cartesianas en el plano, proyecciones y componentes de un vector, generación de ángulos con lado fijo Ox, sistemas de medidas de ángulos y distancia entre dos puntos en función de las coordenadas de los mismos.

0. 3. Emplearemos las siguientes notaciones: A: vector, A; a: módulo de A; ax y ay y componente de A según los ejes de abscisas y ordenadas, respectivamente; U: versor U; u: módulo de U; ux y uy: componentes de U.1. Definición de razones trigonométricas.

1. Sea el sistema (0;xy) de coordenadas ortogonales y U de origen 0.

II) a = 90’ =>Uy = u = > sen 90° = 1

(ux = 0 — > eos 90° = 0

III) oc = 180° = > uy = 0 = > sen ISO3 = 0

[ux = u = > eos 180° = —1

->zar

{= >son

IV) a = 270° = > uy = —u = > sen 270° = —1

(ux = 0 = > eos 270° = 0 V) Se observa, además, que todos los

ángulos que difieren con a en un número entero de giros están representados por el mismo versor y, por tanto, les corresponden los mismo ux y uv.

= >i;

Figura 2 i T

BIBLIOGRAFIA Luego: Vk/k 6IN se tiene:sen ( oc -|- 2k*) = sen ce eos ( cc -f- 2k'7r) = eos oc

VI) Pueden definirse también sen cc v eos cc en función de componentes y módulo de un vector de origen 0.

La semejanza de triángulos (fig. 3) permite probar que:

PAUL R. HALMOS. Naive Set Tlieory, Van Mustian, Princeton, N. J., 1960.

A. FRANKEL y Y. BAR ÍIILLEL, Foundations HoIIand Pubishing Compmv, Amsterdam, 1953.

A. FRAENKEL y Y. BAR IIILLEL, Foundations of Sel Theonj, Nqrth-IIolland Publishing Com- pany, Amsterdam, 1958.

P. SUPPES, Axiomatic Set Theonj, Van Nostrand, Princeton, N. J.. 1960.

N. BOURBAKI, Thcorie des ensembles, Eléments de Mathémqtique, l9 parte, L. I. Cap. I y II. Ilermann, París, 1954.

P. BERNAYS, Axiomatic Set Theonj, North- Holland Publishing Company, Amsterdam, 1958.

>

"orza Figura 1(C

X

A,Definición 1.1: sena == uv Definición 1.2: cosa = ux Consecuencia. Siendo u = l resulta (fi

gura 1).

1 u Figura 31•oc jT*}C X

l = Uy2 + Ux2Luego: =>r= a. ux = > us = ax/a1 = sen2 a -j- eos2 a Casos particulares.¿No ha renovado su suscripción?

Hágalo sin, demora

A = a. U|^ay = a. uy = > Uy = ay/a

eos a = ax/a sen a = ay/a

I) a =0° =>Uy = 0 = > sen 0° = 0 Por tanto:í| = >

(ux =* u = > eos0° = 1

1716

Sean ios vectores Á y B y los sistemas (0; xy) y 0';x* y*) coplanares con aquellos. Téngase presente que, por tratarse de vectores libres, siempre podremos encontrar representantes de los mismos de origen común 0. Entonces, sólo interesan los cambios de coordenadas que conservan ese origen.

Para el sistema (0;xy), la distancia entres los puntos ni y n se expresa:

d2=(x2-Xl)2 + (y2- yO2

Se cuenta con el concepto de distancia como invariante, obtenida mediante las propiedades de ¡a perpendicularidad y el teorema de Pitágoras, conocidos por el alumno.

Siendo x0«= 0, y„ = 0 resulta: x2 - xi— (x2 - x0) - (Xl - x0) =

= ax - bxy2 -yi = (y2 - y0) - (yi - y0) =

= ay - by

A. B = a eos oc b eos p a sen a b senp

A. B = ab (eos oc cos(3 + sen ex sen(3) [I]

Como, por (2.1) el producto escalar es independiente del sistema de coordenadas elegidos, consideramos el (0;x’y')

Definición 1.3 : tg oc = sen a/ eos oc

Definición 1.4 : cotg oc = eos oc/sen oc

Definición 1.5 : sec a = 1/cos oc

eos (3 + sen « senp para ángulos oc y p positivos y menores que un giro. Si oc y P son positivos y mayores que un giro, existen oc' y 0’ positivos y menores que un giro, tales que:

Definición 1.6 : cosec oc = 1/sen ocA las seis razones definidas las llama

remos razones trigonométricas.Nota 1.6. Al representar gráficamente

el seno y el coseno, se puede hablar de función seno y de función coseno. Si bien en las escuelas técnicas no se estudia el concepto de relación y función, puede mencionarse sin inconvenientes que las funciones seno y coseno son conjuntos de pares ordenados en los cuales el primer elemento es un ángulo y el segundo, el seno y coseno de esé ángulo, respectivamente.

oc = cc ’ 2k'“

P=P’ + 2A-*-*‘t Vk/kGIN

Por tanto':

eos ( oc — p) = eos [(oc’ + 2fc*-) —

- a»;+»*)']COS ( OC — P) = eos [ oc ’ -f- 2k“ — P’ —

-2 fcr]

Figura 6

tal que B esté incluido en el semieje positivo de abscisas.

!En este caso: p = 0o y

Reemplazando en [1]:A. B = ab [eos ( oc — p) eos 0o -j- sen

( oc — p) sen 0o]A.B = abcos ( cc — p)Luego el producto escalar entre A y B

es también el producto-entre los módulos y el coseno del ángulo comprendido por ellos.

2.3. Igualando [I] y [II] se obtiene la expresión del coseno de la diferencia de dos ángulos:

eos ( cc — p) = eos oc cosp -f sen a senp

2.4. Aplicando [2,1] resulta:

ex -Poc =cos ( cc - P) =C0S [( cc’ - P’) ± Zksr]

y por (l.V)sCOS ( CC — P) =* COS ( cc’ — P’)

COS ( CC — p) = eos OC * cosp’ -f-

-f- sen oc * sen p’

2. Producto escalar o interno.2.1. Consideremos el sistema (0;xy) y

los vectores A y B del plano del mismo.Definición 2.1. El producto escalar o

interno de dos vectores es la suma de los productos de las componentes homónimas:

Luego: d2 = (ax - bx)2 + (ay - by) til]

Análogamente, para el sistema (0;xy) resulta

i.ÁV.

A. B -= ax bx + ay byEs indispensable destacar que el núme

ro axbx + ayby es el mismo cualquiera el sistema de ejes ortogonales elegido en el plano de los vectores.

Si bien esta particularidad es consecuencia de la dependencia lineal de vectores, es conveniente otra forma de justificación a nivel elemental.

cos ( oc — p) = cos ( oc — 2fcr) cos

sen ( oc — 2k*) send2=(a’x-b’x)2lf (a’y-b’y)2

(P - 2**) (P - 2k¡r)

seaIgualando y efectuando operaciones:

ax2 - 2ax b bx2 -|- ay2 — 2av by -f- by2 =*

— a’x2 - 2axbx + b*8 + ay2 -2a’ybV +

X TCOS ( oc — P) = COS oc COS p +

sen oc senpEn forma similar se prueba su validez

p^fa

' !

' :

3.5. Coseno de la diferencia de dos ángulos.

Por (3.3):

COS ( a + P) = -COS riS(T -( OC + (3) J

COS (ce -f- P) = —COS [(180° — OC ) — PJ

COS ( OC + P) = - [eos (ISO0 - OC ) COSp -f- sen (180 — oc) senp]

COS ( OC + p) = — [ - COS ce eosp -f- -|-senoc senp]

eos ( a + P) = eos oc eos p — sen oc senp

3.6. Angulos opuestos.

sen ( — oc) = sen (0o — a)

sen ( — oc) = sen 0o eos oc — eos 0o sen oc

sen (— oc) = 0 . eos oc — 1 sen oc

sen (— a ) = — sen oceos ( — oc ) = eos (0o — oc )

eos ( — oc ) = eos 0° eos a -|" sen 0° sen acos (— ce) = 1 eos oc 0 sen oc

eos ( — a ) = COS a

De estas identidades, se obtienen las relaciones entre las restantes razones trigonométricas, por ejemplo:

sen (90° — a)noción ánguo

el olanoCOSa

tg (90° - « ) = eneos (90° — a ) sen a= eotg a

3.2. Seno de la suma de dos ángulos.

Por (3.1):

sen ( a -f- P) = cos [90° — (a + p) J

sen ( cc -f P) = eos [(90° — a) — p]sen ( a -f- p) = cos (90° — a) cos p

-f- sen (90° — a ) sen psen ( a -{- p) = sen a cos p -j-

-f- eos a sen p3.3. Angulos suplementarios.

CESAR POLCINO MILIES (Uruguay)

INTRODUCCION la orientación a partir de los "verdaderos triángulos" de Choquet [3], [4], aunque al final de la exposición se muestra una relación entre éstos y la obtenida en el texto.

Ugo Amaldi ha señalado [1] los diferentes significados atribuidos a la palabra "ángulo". En trabajo más reciente [2] se señalan como posibles acepciones de esta palabra las siguientes:

i) Conjunto de puntos que se "encuentran entre" dos semirrectas.

i¡) Conjunto de semirrectas que se "encuentran entre" dos semirrectas dadas.

iií) Un par ordenado de semirrectas.En [1] se adopta finalmente la acepción

señalada en ¡i), lo que conduce a una exposición bastante natural del sentido en el plano, pero no permite obtener una definición razonable de "suma" de ángulos.

En [2] se opera fundamentalmente con la estructura vectorial del plano.

En este trabajo se adopta una definición que mantiene, en cierto sentido, la ¡dea intuitiva ya señalada por Euclides: "ángJo es la inclinación mutua de dos rectas en el plano", y ello permite una definición de suma, con la cual, el conjunto de los ángulos constituye un grupo abeliano.

A partir de esta definición se introducen las nociones de sector angular, sector radial y, fundamentalmente, el sentido en el plano.

La mayor parte del material utilizado en este trabajo se encuentra en los artículos de Choquet [3], [4] y Merklen [5], que en cierto modo, inspiraron el método de trabajo.

El objetivo fundamental ha sido obtener una exposición que permita sumar ángulos con naturalidad y, sobre todo, obtener una orientación del plano y los ángulos que se acerque en lo posible a las nociones más intuitivas y pueda adaptarse a la enseñanza media. En este sentido, hemos evitado

Para la geometría plana que se desarrollará, utilizaremos la siguiente axiomática, fuertemente inspirada en Choquet [3] y Merklen [5], en la que no se espera independencia lógica.

Consideramos un conjunto, x, que llamaremos plano, cuyos elementos llamaremos puntos. Dicho conjunto contiene una familia de subconjuntos llamados rectas, tales que:

En

cos (a — p) = cosa cos p -f- sen a senp

hacemos a = 180°:

cos (180° — p) = cos 180° cos p -f- + sen 180° sen p

cos (180° — p) = — 1 cos p + 0 sen p

cos (180° — p) = —cosp

Además:

sen (180° - p) = sen [(90° - p) -f 90o]

sen (180° - p) = sen (90° - p) cos 90’ + cos (90° - p) sen 90°

sen (180° — p) = cos p . 0 -f sen p . 1sen (180° — p) = senp.

3.4. Seno de la diferencia de dos ángulos. Por (3.3):sen ( a — p) = sen [180° — ( oc — p)]

sen (a — p) = sen [(180° — a) -f p]

sen ( a — p) = sen (180° — a ) cos p -\- + eos (180° — oc) sen p

sen ( a — p) = sen a cosp -f* ( — cos a ) sen p

sen (a — p) = sen a cosp — cosa senp

Axioma 1. Dados dos puntos pi y p2, existe una única recta R PifiRpiP- y P^6Rpjp2 (brevemente, dos puntos determinan una recta, a la que pertenecen).

Se demuestra fácilmente que, si Rj y R.j son dos rectas de x, una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

¡) Ri = R2;¡i) Rt f| Ro = 0;

# ¡i¡) R1 n R2 = MDefinición: Si i) o ii) son verdaderas, diremos que Ri y R2 son rectas paralelas, y escribiremos Ri || R2. Si iii) es verdadera, diremos que las rectas son secantes.

Axioma 2. Dado un punto p y una recta R, existe una única recta R' tal que:

i) p Ó R'Ü) R I! R'

Axioma 3. Entre los puntos de una recta, puede definirse una relación de orden total, que anotaremos por -*■.Observación: La relación definida en la

tal queni p2/

3.7. Angulos que difieren en '77\

sen (^ + a ) = sen*77- cos a -|- eos'77 sen a

sen (^-j- oc) = 0 cosa -|- (— 1)

sen (w

eos (77 -|-

IR

¡i

::pares distintos, (a,a') y (b,b'), el origen común de a y a' no coincide necesariamente

el origen común de b y b\Sea a el conjunto de pares ordenados

de semirrectas en esas condiciones. Definición (1). Diremos que dos pares

(a,a') y (b,b') son directamente congruentes si existe una ¡sometría positiva f tal que f(a) = b y f(a') = b'. Notaremos: (a,a')Teorema (1). La congruencia directa es

una relación de equivalencia.Refleja. Es inmediata, observando que la

identidad es una ¡sometría positiva.Simétrica. La ¡nve.-sa de una ¡sometría

positiva es también una ¡sometría positiva. Si (a,a') ^ (bM existe f tal que f(a) = b y f(a') = b' Pero, entonces fKb)

y b\ luego (b,b') ^ (a,a').Transitiva. Sean (a,a') ^ (b,b'); (b,b')

(c,c') y f y g las isometrías correspondientes.Como la composición de isometrías po

sitivas es una ¡sometría positiva, y además g0 f(a) = cyg„ f(a') =: c# resulta (a,a') ¿=r(c,c').Definición (2). Llamaremos ángulos a los

elementos del conjunto cociente A=al~- En lo que sigue notaremos con letras griegas los elementos de /[.La notación (a,a') indicará: clase de equi

valencia del par (a,a').Si a = (3,3') diremos que acs es el án

gulo de las" semirrectas a y a', y diremos que el par ordenado (a,a') es un representante de dicho ángulo.

Teorema (3). Dada una semirrectaipq = -j x£jt: x£R p-* x-*q j- -* es el orden de R,,q en que p-*q. Definición: Dada una recta R y un punto p£R, llamaremos semirrecta de origen p, a cada uno de los ¡guientes conjuntos:

s' =-jx£R: x-*p[- s" = •{x£R:

La recta R se llama sostén de ambas semirrectas.Definición: Llamaremos figura a todo subconjunto de ;t:Definición: Una figura F se dice convexa si:

tiene a a7. Del mismo modo, sean C y C" los semiplanos determinados por la recta sostén de a', y de ellos C" el que contiene a a.Definición (4). Llamaremos región angular

convexa determinada por el par (a,a') al conjunto de puntos del plano:

___ s' yun ángulo «=(a,a') existe un único par de la forma (s,s') tal que también a=(S/S/).

En efecto, basta considerar la ¡sometría positiva f tal que f(a)=s y definir s'=f(a').

Entonces (a,a') — (s,s') y ci=(s,s').

con

Definición (3). Sean a=(a,a') y P=(b,b'), tales que a'= b. Llamaremos suma de a y [1 al ángulo a+1=(^b#).

Observación. La definición es completamente general. En efecto, si a'=’rb

A(a,a') = S'flC"

(b,b'). Definición (5). Llamaremos región angular cóncava determinada por el par (a,a') al conjunto de puntos del plano:se pue

de elegir un representante de P, de la forma (a'b'j) en virtud del teorema (3).

Teorema (4). La suma, así definida, es una ley de composición interna en /[.

En efecto, bastará demostrar que dados«=(a,a') y P=(b,b') existe un único co tal que 0) = a + f}.

Supongamos entonces que también a=(c,c') y P=(d,d'), con c==d.

De acuerdo con nuestra definición co'=

p£F](a,a') - S" 11 C'

A V!y => pq C F

qÓFjTeorema (5). fa,a')l J(a,a') = x

A VTeorema (6). (a,a')f](a,a') = a [Ja'Las demostraciones son triviales.Observación. Hemos empleado la pala

bra scmiplano en el sentido de "semiplano cerrado", es decir, incluyendo en él los puntos de la recta que lo determina. Si se prefiere trabajar con "semiplanos abiertos", los resultados anteriores deben cambiarse por:

Axioma 4. Cada recta R determina una partición de ^ en dos subconjuntos, que llamaremos semiplanos, S' y S", tales que = a

i) S' y S" son figuras convexas ¡i) S' I ) S" = R ¡i¡) p6S'l

}=> pq \] R = = 0 =(c,d') es también la suma de a y P.Sean f y g las isometrías tales que f(a)=

=c, f(a')=c', g(b)~d y g(b')=d'.Pero a'=b y c'=d implican g(a/=c', y

como existe una única ¡sometría positiva que transforma una semirrecta dada en otra semirrecta, también dada, resulta f = g. Por lo tanto: f(a)=c y f(b')=d\

Entonces: (a,b') ^ (c.d') y (a,bl)=(c,d'), luego (0= (o\

Teorema (4). (//, + ) es un grupo abe- liano.

Asociativa. Trivial.Neutro. Definimos 0=(a,a) y se verifica

fácilmente que es neutro.Opuesto. Dado a=(a,a'), — a=(a',aj es

su opuesto.Conmutativa. Trivial.

P

A'x Demostrameros, en primer término, que A

si C(s0,s.j)Para ello mostraremos que, dado qi6si,

Aqi£(s0/Sj; como s, £S,

GR, a = (So/) es tal que «P («) = (s0,s). 2?) Es inyectiva. Obviamente, por defini

ción de ángulo. Dos ángulos distintos no pueden tener un mismo representante.

Teorema 10. Si (s,„s) es el representante canónico de a y (s0,s) el representante canónico de —«, entonces s' es simétrica de s respecto de sft.

De acuerdo con nuestras definiciones del teorema (4) es también — a — (s,s0).

Existe entonces una ¡sometría positiva que transforma s en s„ y s„ en s'. Como deja un punto fijo —O— será una rotación que representaremos por R.

Sean, además, S la simetría axial que transforma s0 en s', y S0 la simetría axial de eje s0.

Teorema (14). Si (surSi) no es comparable

con (s,„s..) en la relación < y (s0,s2 =_____ 'x A

= — (s0,s'2), entonces (s,.,si) y (s ,s._.) son'

comparables en esa relación.A e A

De acuerdo con el teorema (13), si (s0,Si)

y (s„,s_) no son comparebles en la relación

í, A ^ A-, —

Ci = i (s0/s) : s C (sn,sP)¡-

, A A -= *j(s0,s) : S noC (s,i,So

convexa asociada al representante canónico de (s,$0) lo es.

I LO DIDACTICO\lA A- / s - s„\C2iii) (s,„s0) < (s0,s0).

Las demostraciones de ¡i) y iii) se obtienen de modo análogo a las dadas para los teoremas (14) y (15). La demostración de i) es trivial.

Observemos ahora que, una vez elegido uno de los posibles correspondientes del par (s0#s0) el conjunto R puede dividirse en dos clases: el conjunto de todos los elementos de R comparables, en la relación XCA 0 B

5’ AUBDA ; AUBDB6’ XDAAXDB => XDAUB

Finalmente, se presentan las propiedades que relacionan la unión, la intersección y la inclusión con el pasaje al complemento. Así, tenemos, cualquiera sea el conjunto A en el universo U.

7. A H C A = 0 y A U C A = U

Esta propiedad, que resulta inmediatamente de la definición de QA, pudo, a su

5. AÍ1BCA ;

1

<

ma

'

(Sigue en pág. 31).2726

*•

::;

riles o enestos riesgos, la lógica matemática procura construir un lenguaje más preciso y nos sujeto a equívocos que el lenguaje común. En este sentido, para obtener mayor claridad y objetividad, se adopta preferentemente el punto de vista de la extensión.

13. Intersección o unión de conjuntos ele una familia (lacla. Los conceptos de intersección y de unión se extienden, naturalmente, a más de dos conjuntos. Así, la intersección de tres conjuntos A, B y C, que se representa con A 0 B 0 C, será el conjunto de todos los elementos a los tres conjuntos, en tanto que la unión de A, B y C, que se representa con A U B U C, será el conjunto de todos los elementos que satisfacen la condición de pertenecer a uno, por lo menos, de los conjuntos A, B y C.

callejones sin salida. Para evitarlenguajes, que a veces se contradicen, por lo menos en apariencia, pudiendo originar equívocos.

Por ejemplo, se dice que la condición de ser hombre implica la condición de ser mortal; en otras palabras, la propiedad de ser mortal está contenida en la de ser hombre (o también, es una de las propiedades que caracterizan a la especie humana) Por eso, se usó durante mucho tiempo el signo "D” en lugar de " => ” para expre-

la implicación. Así, se escribía: hombre D ser mortal

Pero, pasando del punto de vista de la comprensión al de la extensión (esto es, pasando del lenguaje de las propiedades al de los conjuntos) se tiene:

conjunto de los hombres C conjunto de los mortales

Esta dualidad de lenguaje, se extiende a las operaciones lógicas. Por ejemplo, juntando varias propiedades, se obtiene, generalmente, una propiedad nuís compleja que las primeras, la cual, por eso mismo, es verificada por un conjunto menor de individuos. De ese modo, el conjunto de los cuerpos azules y redondos es menor que el conjunto de los cuerpos azules y que el conjunto de los cuerpos redondos (es su intersección). Este hecho, en la filosofía tradicional, se expresa diciendo que la extensión (esto es, el número de individuos) disminuye cuando la comprensión (esto es, el número de propiedades) aumenta, y viceversa.

Por otra parte-, obsérvese que:Conjunto de los cuerpos azules o redon

dos = conjunto de los cuerpos azules y de los cuerpos redondos.

De modo general, en lenguaje común, los adjetivos expresan propiedades, en tanto que los sustantivos comunes se refieren a individuos de un conjunto. La palabra "sustantivo” proviene de "sustancia”, esto es, el soporte de las propiedades —o aún el individuo, sin el cual no se manifestarían las propiedades que residen en

Análogamente, la unión de todos los intervalos [3 ,x], tales que 3 < x < 5, es intervalo [3,5[, lo que se expresa escribiendo

Itomada como definición de C^:vez, seres el conjunto disjunto de A, cuya unión con A es el universo. me-

U [3, x] = [3,5[3 < x < 5 L 1

Otros ejemplos:I. Las rectas son conjuntos de puntos.

La unión de todas las rectas que pasan por un punto P y son paralelas a un plano a es el plano que pasa por P y es paralelo a a. La intersección ele las mismas rectas es -jP}-.

II. La unión de todas las rectas perpendiculares a un plano y que lo cortar, en puntos de una circunferencia, es una superficie cilindrica de revolución. La intersección de las mismas rectas es un conjunto vacío.

III. La unión de todos los cuadrados de un plano es dicho plano. La intersección de dichos cuadrados es el conjunto vacío.

En cada uno de estos ejemplos se considera un conjunto infinito de conjuntos (conjunto de intervalos, conjunto de rectas, etc.). Muchas veces, para evitar la repetición de la palabra "conjunto”, se dice "clase de conjuntos” o "familia de conjuntos”.

Pero, obsérvese bien:Una cosa es una familia de conjuntos y

otra cosa distinta es la unión de esos conjuntos.

Por ejemplo, los conjuntos

¡2,3^ , -¡5,7,10}- y ¡3,S,9^

pueden ser tomados como elementos de un nuevo conjunto (de tipo 2), que se designa por

■¡■¡2,3}- , ^5,7,10J- y -{3,8,9}- }-

Pero la reunión de esos conjuntos, es el conjunto de tipo 1

sarLas primeras leyes de De Morgan for

man ahora esta forma.

8. C(A O B) = CAUCB ;

C (AUB) = ca n qb

esto es: la complementación transforma a la intersección en la unión de los complementos, y a la unión en la intersección de los complementos.

Por ejemplo, el complementario del conjunto de los estudiantes mencres de 18 años es la unión del conjunto de los no estudiantes con el conjunto de los no menores de 18 años.

A su vez, se tiene:

9. ACB 5. Es evidente que la intersección de todos estos intervalos (esto es, el conjunto de los puntos comunes a todos ellos) es el propio intervalo [3,5]. Este hecho se expresa escribiendo.

O [3,x] = [3,5] x > 5

-¡2, 3, 5, 7, 10, 8, 9¡-

Análogamente, la familia de las rectas perpendiculares a un plano cc y que la cortan en puntos de una circunferencia, es un conjunto de tipo 2 (sus solos elementos son rectas y, por tanto, son conjuntos

él.Consideraciones de este tipo conducen

a la rama de la filosofía denominada me- tafísica, volviéndose necesario tener mucho cuidado para no caer en juegos esté-

5

2928

V fe

;

la solución única del sistema deecuaciones x + y = 4 ; x — y = 2.

Hasta aquí hemos considerado sólo pares ordenados de números. Sea, ahora, la

condición

X es un alumno del grupo y Esta será verificada por ciertos, pero no

por todos los pares ordenados pertenecientes a A X T. Tal condición determina, por consiguiente, un conjunto contenido en A X T, Ese conjunto de pares ordenados es denominado una relación definida por la condición “x es un alumno del grupo y*.

Veamos otros ejemplo. Supongamos que las letras P, E, I, L, M, R designen, respectivamente, a Portugal, España, Italia, Lisboa, Madrid y Roma, y consideremos los conjuntos:

A X B = -j (x, y): XfA Ay

!

VELOCIDAD RADIAL

Movimientos de las estrellas de la estrella E; Vtí la velocidad tangencial o sea la velocidad perpendicular a la visual; d, la distancia de la estrella al Sol; p, la paralaje de la estrella y af el semieje mayor de la órbita terrestre. Se ve que si n es el número de segundos en un año, se obtienen las siguientes expresiones:

La velocidad radial de una estrella es la velocidad en la dirección de la visual; puede

de alejamiento (positiva) o de acerca-i serALEJANDRO FEINSTE1N .

(Obsero. Astronómico, La Plata)

E¡ corrimiento de cada estrella en el cielo es mu.' pequeño, y, por lo tanto, la determinación de dicho movimiento sólo se puede realizar mediante mediciones muy cuidadosas. El descubrimiento de este fenómeno se debe al astrónomo inglés Edmund Halley, quien en 1718, al comparar las coordenadas en esa época de dos estrellas de primera magnitud, Sirio y Arturo, con las posiciones correspondientes a la época de Ptolomeo (125 a. J. C.), mostró diferencias

notables que sólo podían explicarse por los movimientos propios de las mismas.

Velocidad

del Sol

i^ VP

-X—INTRODUCCION

!remotas las estrellas oDesde épocas muy

fueron consideradas como fijas en el cielo, y de ese modo se suponía que las diversas constelaciones que se habían trazado sobre la base de las distintas configuraciones estelares, debían conservar la misma for-

el transcurso del tiempo. Sin em-

-Xi V< 10s km

n = 31 600 000 s = 3,16 X 107 s/año se tiene:

a

E ti"Vi = 4,72 — (3)--------jí p-I VELOCIDAD TANGENCIALi

El resultado está dado en kilómetros por segundo.En la figura 4, ji es el movimiento propioFigura \

■

32 33

i

Una vez conocido para una estrella el movimiento propio en segundos de arco (»i") y su paralaje (p"), el cálculo provee inmediatamente la velocidad tangencial de acuerdo con (3). Se obtiene de esta forma la velocidad de la estrella en dirección perpendicular a la visual.

Al componer la velocidad radial y la velocidad tangencial, resulta la velocidad espacial V,.:

gitud galáctica de la estrella (I = 0° en dirección al centro galáctico; I = 90° en sentido de rotación de la galaxia). La discusión de los valores de las velocidades radiales de las estrellas que se alejan o se acercan, se puede realizar teniendo en cuenta esta fórmula. Así, en el primer cuadrante (0o a 90)" la velocidad radial es positiva (se aleja), en el segundo cuadrante la velocidad radial es negativa (se acerca), y así sucesivamente.

La gran mayoría de las estrellas cerca- ai Sol tiene velocidad similar y, por

tanto, es válida la discusión de los movimientos que acabamos de presentar. Sus órbitas son circulares, pero hay, sin embargo, unas pocas estrellas que tienen velocidades muy distintas. Sus órbitas son elípticas, con diver