a = a.a...a≠0 için −1= 1 dır. 1 22 1 4+ 1 1 = 1 4 1 4+ = 1 4 1+4 4 = 1 4. 4 1+4 = 1 1+4 =1 13...
TRANSCRIPT
a≠ 0 için 𝑎−1 =1
𝑎 dır.
122
14 +
11𝑚
=
14
14 + 𝑚
=
14
1 + 4𝑚4
=1
4.
4
1+4𝑚=
1
1+4𝑚=
1
13
1+4m=13, 4m=12, m=3
0,2=2
10 , 0,4 = 4
10 a3 = a.a.a
2.(0,2)3 + (0,4)3 = 2.(2
10)
3+ (
4
10)
3
= 2.8
1000+
64
1000=
16 + 64
1000=
80
1000
= 0,08
İkinci kesrin paydasını karekökten kurtaralım.
(Paydayı rasyonel yapalım)(Pay ve paydayı
paydanın eşleniği ile çarpalım)[(1-√𝑎)(1+√𝑎)=1-a]
1 + √𝑎
1 − 𝑎−
𝑎
1 − √𝑎=
1 + √𝑎
1 − 𝑎−
𝑎(1 + √𝑎)
(1 − √𝑎)(1 + √𝑎)
=1 + √𝑎
1 − 𝑎−
𝑎 + 𝑎√𝑎
1 − 𝑎=
1 + √𝑎 − 𝑎 − 𝑎√𝑎
1 − 𝑎
=1−𝑎+√𝑎(1−𝑎)
1−𝑎=
(1−𝑎)(1+√𝑎)
1−𝑎= 1 + √𝑎
1+√𝑎 =5
3 , √𝑎 =
5
3− 1 =
2
3 , a=
4
9
Sayıları çözümleyelim:
(100A+10B+D)-(100B+10B+C)=294
100(A-B)+D-C=294
D-C farkı 94 olamayacağından:
A-B=3 VE D-C=-6 DIR.
10A+C-(10B+D)=10(A-B)+C-D
= 10.3+6=36
a2 – a = b2- b
a2 – b2 = a – b
(a – b)(a + b) = a – b
a + b = 1 İki tarafın karesini alalım.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = 12
a2 + 2(-1) + b2 = 1
a2 + b2 = 3
2x = (2.3)x+y-1 = 2x+y-1.3x+y-1
2x = 2x.2y-1.3x.3y-1
3x.2y-1.3y-1 = 1
3x.(2.3)y-1 = 1
3x.6y-1 = 1
3x = 1
6𝑦−1 = 61-y
x + y < 0 < x < y + z eşitsizliğinde;
x + y < x ve y < 0
x + y < y + z ve x < z
0 < x dır.
Bu üç eşitsizlik birleştirildiğinde;
y < x < z bulunur.
a+b = 𝑥
𝑥−𝑦+ 𝑦
𝑥+𝑦= 𝑥(𝑥+𝑦)+𝑦(𝑥−𝑦)
(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)
= 𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2
𝑥2−𝑦2
a+b-1=𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2
𝑥2−𝑦2− 1
= 𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2−𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2
= 2𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
a.b=𝑥
𝑥−𝑦.
𝑦
𝑥+𝑦=
𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
𝑎+𝑏−1
𝑎.𝑏=
2𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
=2𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2.
𝑥2−𝑦2
𝑥𝑦= 2
[(𝑛+1)!]2+(𝑛!)2
[(𝑛+1)!]2−(𝑛!)2=
[(𝑛+1)𝑛!]2+(𝑛!)2
[(𝑛+1).𝑛!]2−(𝑛!)2
=(𝑛 + 1)2(𝑛!)2 + (𝑛!)2
(𝑛 + 1)2(𝑛!)2 − (𝑛!)2
=(𝑛!)2((𝑛 + 1)2 + 1)
(𝑛!)2((𝑛 + 1)2 − 1)
=𝑛2+2𝑛+2
𝑛2+2𝑛=
61
60
n2 + 2n -120 = 0
(n – 10)(n +12) = 0
n = 10
|x-y|=|y-x| Mutlak değer özelliği.
y - |x-y| = y - |y-x| = y -|1| = y – 1 = 2
y = 3
y – x = 1 ⇒ 3 – x = 1 ⇒ x = 2
x + y = 2 + 3 = 5
OKEK(2,3,5) = 2.3.5 = 30
2x = 3y = 5z = 30k
x = 15k, y = 10k, z = 6k
x + y+ z = 15k + 10k + 6k = 31k < 100
k = 3 için; x+ y + z = 31.3 =93
A = 13+26+39+ … +169
= 13(1+2+3+ … + 13)
1+2+3+ … + 13 =𝑛(𝑛+1)
2=
13(13+1)
2
= 13.14
2= 13.7
A = 13.13.7 0lur ki A’yı tam bölen
asal sayılar 13 ve 7 dir. 13+7 = 20
Ardışık tek sayılar: 2x+1 , 2x+3 , 2x+5 ,
(2x-5)+(2x-3)+(2x-1)+(2x+1)+(2x+3)
+(2x+5) = 12x
12x = 4.(2x+5) , 12x = 8x + 20,
4x =20, x = 5
2x + 5 = 2.5 + 5 = 15
√3 + √5 ≠ √8 p≡ 0, Yanlış
√5 + √3 ≠ √2 q≡ 0, Yanlış
√3. √5 = √15 r≡ 1, 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢
p⇒ (𝑞⋀𝑟) ≡ 0 ⇒ (0⋀1) ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1
p∧ (𝑟 ∨ 𝑞) = 0 ∧ (1 ∨ 0) = 0 ∧ 1 = 0
(p∨ 𝑞) ∧ 𝑟 = (0 ∨ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0
r⇒ (𝑝 ∧ 𝑞) = 1 ⇒ (0 ∧ 0) = 1 ⇒ 0 = 0
p∧ (𝑟 ⇒ 𝑞) = 0 ∧ (1 ⇒ 0) = 0 ∧ 0 = 0
Olabilecek sıralamalar:
2 < 6 < a < 9 < b b = 10, ….
2 < 6 < a < b < 9 b = 8
2 < b < a < 6 < 9 b = 3, 4
b < 2 < a < 6 < 9 b = 1
b , 5 olamaz.
EBOB (a,b) = d ise
a = d.x ve b = d.y dir.
d, a ve d yi böler.
a2 = d2.x2 ; d2 sayısı, a2 sayısını böler.
a2+b=d2.x+d.y=d(d.x+y) ; d2 sayısı,
a2+b sayısını bölmez.
a2 + b2=d2.x+d2.y=d2(x2+y2) ; d2 sayısı
a2 + b2 sayısını böler.
I ve III her zaman doğrudur.
Toplamın en büyük olması için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+4+5+6=18
(en büyük, farklı dört değer)
Toplamın en büyük olması için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+4=10
(en küçük, farklı dört değer)
18 -10 = 8
4∆1 ≠ 1 △ 4 1 ∉ 𝑀(4)
4∆2 = 2 △ 4 = 4 2 ∈ 𝑀(4)
4∆3 ≠ 3∆4 3 ∉ 𝑀(4)
4∆4 = 4∆4 = 3 4 ∈ 𝑀(4)
4∆5 = 5∆4 = 2 5 ∈ 𝑀(4)
M(a)={b∈A | a∆𝑏 = 𝑏∆𝑎}
M(4) = {2, 4, 5}
İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99
x – y = 65 ⇒ x = 65 + y
y’ nin en küçük değeri: 10
x = 65 + 10 =75
x’ in en küçük değeri: 75
75 ≤ 𝑥 ≤ 99
x’in alabileceği doğal sayı değerleri
99 – 75 + 1 = 25 tanedir.
37 + 2 = 39 = 3.13
59 + 2 = 61
67 + 2 = 69 = 3.23
73 + 2 = 75 = 3.25
83 + 2 = 85 = 5.17
73 Chen asalı değildir.
I. f(a+b)=2(a+b)=2a+2b
f(a)=2a, f(b)=2b, f(a).f(b)=2a.2b
2a + 2b ≠2a.2b
II. f(a+b)=2a+b=2a.2b
f(a)=2a, f(b)=2b , f(a).f(b)=2a.2b
2a+b = 2a.2b YALNIZ II
III. f(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2
f(a)=a2, f(b)=b2 , f(a).f(b)=a2.b2
a2+2ab+b2 ≠ a2.b2
A + 𝐷2 Ahmet’in zamlı maaşı
A + 𝐷
2 + D = 2.A
𝐷
2 + D =2.A – A
3𝐷
2= 𝐴
2.A = 3.D
2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde
ettiği karlar sırasıyla x, y ve z olsun.
2012 yılında: z + z.25
100 =
5𝑧
4
İlk ortalama = 𝑥+𝑦+𝑧
3 =4
x+y+z=12
İkinci ortalama = 𝑥+𝑦+𝑧+
5𝑧
4
4= 4,5
12+
5𝑧
4
4= 4,5 ⇒ 12 +
5𝑧
4= 18
5𝑧
4= 6 ⇒ z = 4,8
Erkek farelere günde: 24:12=2 adet,
2.0,5=1 gram ilaç,
Dişi farelere günde: 24:8=3 adet,
3.1=3 gram ilaç verilmiş.
x tane erkek fare ve y tane dişi fare;
x.1 + y.3 = 85
x.2 + y.3 = 95 taraf tarafa çıkarırsak
x = 10, 10 +3y = 85 , y =25
x + y = 10 + 25 = 35 fare.
Sınıfa getirilen malzeme sayısı;
36+36+36=108
Sınıfta bulunan öğrenci sayısı = x olsun
Dağıtılan malzeme sayısı;
3x+2x+x=6x
6x +42 = 108, x = 11 öğrenci var.
11.2=22 kalemtraş dağıtılmış.
36 – 22 = 14 kalemtraş artmış.
20-08-2008 den sonraki
ilk simetrik gün 20-09-2009 dur.
Bir yıl, bir ay sonraki tarih.
10.36 =360 gün =1 yıl
36 gün = 1 ay
360 +36 =396 gün sonra olur.
Ali: A+B den B yi, B+D den D yi ve
A+B+C den de C yi bulur.
Banu: A+B den A yı, B+D den D yi ve
A+B+C den de C yi bulur.
Can; A+B+C den A+B yi bulur. Başka bir
şey bulamaz.
Doğa: B+D den B yi, A+B den A yı ve
A+B+C den de C yi bulur.
Paylaşım şu şekillerden biri ile olur.
1-1-3 :C(5,1).C(4,1).C(3;3)=5.4.1=20
1-2-2 :C(5,1).C(4,2).C(2,2)=5.6.1=30
1-3-1 :C(5,1).C(4,3).C(1,1)=5.4.1=20
20 + 30 + 20 = 70 Farklı şekilde.
Olabileceklerin kümesi (Örnek uzayı)
E ={(5,10),(6,9),(7,8),(8,7),(9,6),(10,5)}
İstenenlerin kümesi (Olay)
A ={(7,8),(8,7)}
Olasılık: P(A) = 𝑠(𝐴)
𝑠(𝐸)=
2
6=
1
3
Çubuklara takılan toplam boncuk sayısı:
1+2+3+4+5+6+7+ … +n = 𝑛(𝑛+1)
2 dir.
n = 20 için; 20.(20+1)
2= 210 olur.
Çubuk sayısı 5 olduğundan,
20:5 = 4 tam turda 20 boncuk
V. çubuğa takılır.
220 – 210 = 10 kalan boncuk sayısı.
O boncuklar da I. çubuğa takılır.
SORU İPTAL EDİLDİ…
Her turda V. Çubuğa takılan boncuk
sayısının bir fazlası I. çubuğa takılarak
denmeli idi.
YOL = HIZ x ZAMAN
İkizkenar üçgenin dik kenar
uzunluklarını birer birim alısak;
Ayça: 1+1=2 br.
Barış: √12 + 12 = √2 br.
Cem: √2
2. 𝜋 br. yol alır.
Ayça: 2/4 = 1/2 saatte,
Barış: √2/2 saatte,
Cem: √2
2. 𝜋: 3 saatte yarışı bitirir.
1
2<
√2
2<
√2𝜋
6
Olduğundan;
Ayça, Barış, Cem varış sırasıdır.
Ayşe ile Kemalin boylarına x dersek;
Bora, Kemal’den 2 cm. kısa: x – 2
Mehmet, Ayşe’den 3 cm. uzun: x + 3
Elif, Mehmet’ten 6 cm. uzun: x+3 + 6
x + 9 = 174 Elif.
x = 165 Ayşe ile Kemal.
x + 3 = 168 Mehmet.
x – 2 = 163 Bora.
Ortalama =163+165+165+168+174
5
= 167
ABCD yamuğunda: 70o+2y=180o
Y = 55o
BCDE paralelkenarında: 55o + x = 180o
x = 125o
Azalan kısım: A(EOF)=𝑥𝑥
2= 18 br2
x = 6 br.
Sondan başa gidelim:
K3 karesinin bir kenar uzunluğu 27 br.
ise, küçük karelerinden birinin boyu:
27:3 = 9 br. dir.
2. şekilde; K2 nin kenarı 4’e
ayrıldığından, K2 nin kenarı: 4.9=36 br.
olur.
K2 de küçük karelerden birinin boyu:
36:3 = 12 br. dir.
1. şekilde; K1 in kenarı 4’e ayrıldığından,
K1 in kenarı: 4.12 =48 br. olur.
48 :3 =16 br. küçük karelerin boyu.
16.4 = 64 = a
VEYA: 𝑎
4. 3 =
3𝑎
4 , K1 için.
3𝑎
4
4 .3=
9𝑎
16 , K2 için ve
9𝑎
16
4. 3 =
27𝑎
64 K3 için.
27𝑎
64= 27 a = 64 br. bulunur.
OT⊥PT Teğet, yarıçapa değme
noktasında diktir.
OTP dik üçgeninde Pisagordan;
42 + |TP|2 =62
|TP|2 =20
|TP| = 2√5 cm.
Silindirin hacmi = 𝜋𝑟2ℎ
5 dakikada akan su miktarı = 𝜋32. 2
1 dakikada akan su miktarı = 18𝜋/5
x dakikada: x.(18𝜋/5) = 𝜋.22.h
x.(18𝜋/5) = 𝜋. 32.(h-2)
Taraf tarafa eşitlersek;
4𝜋. ℎ = 9𝜋(ℎ − 2)
4h = 9h – 18, h = 18/5
Yerine yazılırsa;
x.(18𝜋/5) = 4𝜋. (18/5)
x = 4 dakika.
BCD, 30o-120o-30o ikizkenar üçgeni: |BD|=4√3 = |PL|
KPL dik üçgeninde pisagordan: x2 = 12 +(4√3)2 , x2 =49 , x = 7 cm.
İki nokta arasındaki uzaklık:
√(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
|OB|=√(8 − 0)2 + (4 − 0)2 = √64 + 16 = √80 = 4√5
|AC|=√(5 − 3)2 + (0 − 4)2 = √4 + 16 = √20 = 2√5
|OB|+|AC| = 4√5 + 2√5 = 6√5
TH⊥AB çizildiğinde; |TH|=|OC|=1
COA≅THA (AKA)
|AH|=|OA|=2
ATB dik üçgeninde Öklid bağıntısından:
|TH|2=|AH|.|HB|
12 = 2.|HB|
|HB|=1/2
B noktasının apsisi= |OA|+|AH|+|HB|
= 2 + 2 + ½ = 9/2
LYS’ DE BAŞARILAR…