ล ำดับ และอนุกรม - trueplookpanya...ล ำด บ และอน...

ล ำดบ และอนกรม

24 Oct 2016

สารบญ

ล ำดบ ........................................................................................................................................................................................ 1

ล ำดบเลขคณต ......................................................................................................................................................................... 6

ตวกลำงเลขคณต .................................................................................................................................................................. 16

ล ำดบเรขำคณต ..................................................................................................................................................................... 18

ตวกลำงเรขำคณต ................................................................................................................................................................. 28

ล ำดบเวยนเกด ...................................................................................................................................................................... 31

อนกรม ................................................................................................................................................................................... 35

สญลกษณซกมำ.................................................................................................................................................................... 38

อนกรมเลขคณต .................................................................................................................................................................... 43

อนกรมเรขำคณต................................................................................................................................................................... 53

ล ำดบ และอนกรม 1

ล ำดบ

ล ำดบ คอ กำรน ำสงตำงๆ (ซงมกจะเปนตวเลข) มำเรยงอยำงมล ำดบ เชน 8 , 3 , 4 , 1 , 3 , 12

โดยเรำจะเรยกแตละตวในล ำดบวำ “พจน” เชน ล ำดบ 5 , 2 , 10 , 12 , 8 จะม พจนท 1 คอ 5 , พจนท 2 คอ 2 , พจนท 4 คอ 12 เปนตน

และ เรำนยมใชตวแปร 𝑎 แทนแตละพจนในล ำดบ โดย พจนท 1 จะแทนดวย 𝑎1

พจนท 2 จะแทนดวย 𝑎2

…

พจนท 𝑛 จะแทนดวย 𝑎𝑛

เชน ล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะม 𝑎1 = 5 , 𝑎2 = 7 , 𝑎5 = 13 , 𝑎8 = 19

บำงท เรำอำจเจอล ำดบทมพจน “ตอไปเรอยๆ ไมมทสนสด” เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …

ล ำดบพวกน จะม “…” ตอทำยเพอบอกวำมพจนตอทำยไปเรอยๆ

เรำจะเรยกล ำดบประเภทนวำ “ล ำดบอนนต” แตถำในล ำดบ มจ ำนวนพจน เปนจ ำนวนจ ำกด เรำจะเรยกวำเปน “ล ำดบจ ำกด” เชน 1 , 2 , 3 , 4 , … เปนล ำดบอนนต 3 , 5 , 7 เปนล ำดบจ ำกด

2 , 4 , 6 , … , 200000 เปนล ำดบจ ำกด

ในกรณทตวเลขในล ำดบเรยงอยำงมระเบยบ เรำมกจะสำมำรถเดำ “สตร” ส ำหรบหำพจนทเรำตองกำรได

โดยเรำจะเรยกสตรดงกลำววำ “สตรพจนทวไป” เชน ล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 จะมสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3

ถำมสตรน เรำจะหำพจนไหนทตองกำรกได เชน 𝑎5 = (2)(5) + 3 = 13 𝑎8 = (2)(8) + 3 = 19

𝑎1 = (2)(1) + 3 = 5 𝑎2 = (2)(2) + 3 = 7 ในท ำนองกลบกน เรำใชสตรพจนทวไป หำวำตวเลขทก ำหนด เปนพจนทเทำไหรได โดยกำรแกสมกำรยอนกลบ

เชน ล ำดบ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 ถำอยำกรวำ 29 เปนพจนทเทำไหร ใหแกสมกำร

ถำอยำกรวำ 19 เปนพจนทเทำไหร ใหแกสมกำร

ถำอยำกรวำล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , … , 41 มกพจน ใหแกสมกำร

29 = 2𝑛 + 3 26 = 2𝑛 13 = 𝑛

19 = 2𝑛 + 3 16 = 2𝑛 8 = 𝑛

41 = 2𝑛 + 3 38 = 2𝑛 19 = 𝑛

2 ล ำดบ และอนกรม

บำงท เรำนยมเขยนล ำดบเปน เซตของคล ำดบ (𝑥, 𝑦) โดยให 𝑥 แทน “ล ำดบท” และให 𝑦 แทน “พจน” เชน ล ำดบ 2 , 4 , 6 , 8 , … สำมำรถเขยนอกแบบไดเปน { (1, 2) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 8) , … }

หรอเขยนเปนแบบบอกเงอนไขไดเปน { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ I+ ∧ 𝑦 = 2𝑥} ดงนน บำงทเรำอำจกลำววำ “ล ำดบ คอ ควำมสมพนธทมโดเมนเปนจ ำนวนเตมบวก” กได

แบบฝกหด

1. จงหำ 4 พจนแรกของล ำดบ ซงมสตรพจนทวไปดงตอไปน

1. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 2. 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1

3. 𝑎𝑛 = 𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)2

5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 6. 𝑎𝑛 = 10𝑛

2. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 5𝑛 − 3 จงหำวำ 32 เปนพจนทเทำไรของล ำดบน

3. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 4𝑛 + 3 จงหำวำล ำดบน มบำงพจนเทำกบ 29 หรอไม

4. ถำพจนสดทำยของล ำดบ 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 2 มคำ 56 จงหำวำล ำดบนมกพจน


5. จงหำวำ พจนสดทำยทมคำนอยกวำ 100 ของล ำดบ 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 คอพจนทเทำใด

6. ล ำดบหนง มสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) จงหำวำ ล ำดบนมกพจนทมคำนอยกวำ 110

7. จงหำวำล ำดบ 𝑎𝑛 = 35 − 2𝑛 มกพจนทมำกกวำ 0

8. จงหำวำใน 20 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 𝑛 + 2 มกพจนทเปนเลขค

9. จงหำวำใน 30 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 มกพจนทเปนจ ำนวนเตมบวก


10. จงหำวำใน 40 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 𝑛 + (−1)𝑛 มกพจนทเปนเลขค

11. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน

1. 1 , 2 , 3 , 4 , … 2. 3 , 3 , 3 , 3 , …

3. 1 , 4 , 9 , 16 , … 4. 4 , 9 , 16 , 25 , …

5. 2 , 4 , 8 , 16 , … 6. −1 , 1 , −1 , 1 , …

7. 10 , 100 , 1000 , 10000 , … 8. 9 , 99 , 999 , 9999 , …

12. ถำ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1

3𝑛−2 แลวขอใด ผด [O-NET 58/22]

1. 𝑎1 = 1 2. 𝑎2 = 3

4 3. 𝑎3 = 1

4. 𝑎4 = 7

10 5. 𝑎5 =

31

13


13. ถำ 𝑎𝑛 = 2−(−1)𝑛𝑛

2𝑛+3 แลวขอใดถก [O-NET 57/19]

1. 𝑎1 = 1

5 2. 𝑎2 =

4

7 3. 𝑎3 = −

1

9 4. 𝑎4 =

2

11 5. 𝑎5 =

7

13

14. ใน 40 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = 3 + (−1)𝑛 มกพจน ทมคำเทำกบพจนท 40 [O-NET 53/21]

15. พจนท 8 ของล ำดบ 4

5 , 8

9 , 16

13 , 32

17 , 64

21 , … เทำกบเทำใด [O-NET 59/20]


ล ำดบเลขคณต

ล ำดบเลขคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลดอยำงคงท โดยกำรบวก

ตวอยำงล ำดบเลขคณต เชน 5 , 8 , 11 , 14 , 17 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , 3

4 , 1 , −2 , −5 , −8 1

3 ,

2

3 , 1 ,

4

3 ,

5

3 , 2

แต 2 , 4 , 8 , 16 ไมเปนล ำดบเลขคณต เพรำะบวกเพมไมคงท

เรำเรยกคำคงท ทน ำมำบวก วำ “ผลตำงรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑑 เชน 5 , 8 , 11 , 14 → 𝑑 = 3 1 , 3 , 5 , 7 → 𝑑 = 2

5 , 3 , 1 , −1 → 𝑑 = −2 5 , 5 , 5 , 5 → 𝑑 = 0

1 , 3

2 , 2 ,

5

2 → 𝑑 =

1

2

จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเลขคณต มำลบกน (พจนขวำ ลบ พจนซำย) จะไดผลลพธเทำกบ 𝑑 เสมอ เชน ล ำดบเลขคณต 5 , 8 , 11 , 14 , … จะเหนวำ 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3 = 𝑑

ตวอยำง ถำล ำดบ 𝑥 , 2𝑥 − 1 , 𝑥 + 8 เปนล ำดบเลขคณตแลว จงหำผลตำงรวมของล ำดบน วธท ำ เนองจำกล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ดงนน พจนทอยตดกน ลบกน ตองเทำกนทกค

จะได

แทนคำ 𝑥 ลงในล ำดบ จะได 5 , 9 , 13 ดงนน ผลตำงรวม (𝑑) = 9 − 5 = 4 #

ตวอยำง ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 9 และ 15 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน

วธท ำ ขอน เรำจะใชวธสมมต 𝑥 สรำงสมกำร แลวแกสมกำร ในโจทยประเภทน เรำนยมใชเทคนค “สมมตให 𝑥 แทนพจนกลำง” เพอควำมสมดลในกำรตดเลข

แตละพจนในล ำดบเลขคณต ตองหำงกน 𝑑 ดงนน จะไดสำมพจนน คอ 𝑥 − 𝑑 , 𝑥 , 𝑥 + 𝑑 สำมพจนแรก บวกกนได 9 ดงนน

แทนคำ 𝑥 จะได สำมพจนน คอ 3 − 𝑑 , 3 , 3 + 𝑑

สำมพจนน คณกนได 15 ดงนน

แทนคำ 𝑑 = 2 จะได สำมพจนน คอ 1 , 3 , 5

𝑑 = −2 จะได สำมพจนน คอ 5 , 3 , 1 (ม 2 ค ำตอบ) #

(2𝑥 − 1) − (𝑥) = (𝑥 + 8) − (2𝑥 − 1) 2𝑥 − 1 − 𝑥 = 𝑥 + 8 − 2𝑥 + 1 2𝑥 = 10 𝑥 = 5

(𝑥 − 𝑑) + (𝑥) + (𝑥 + 𝑑) = 9 3𝑥 = 9 𝑥 = 3

(3 − 𝑑)(3)(3 + 𝑑) = 15 9 − 𝑑2 = 5 4 = 𝑑2 2 , −2 = 𝑑


สตรแรกทตองจ ำใหขนใจ คอ สตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต

ตวอยำง จงหำพจนท 21 ของล ำดบเลขคณต 100 , 97 , 94 , 91 , … , 10 และจงหำวำล ำดบนมกพจน วธท ำ จำกล ำดบทให จะเหนวำ 𝑎1 = 100 และ 𝑑 = −3

ดงนน สตรพจนทวไปของล ำดบน คอ

ดงนน พจนท 21 = 𝑎21 = −3(21) + 103 = −63 + 103 = 40

และ ถำตองกำรหำวำล ำดบนมกพจน ตองแกสมกำร

ดงนน ล ำดบนม 31 พจน #

ตวอยำง ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎4 = 20 และ 𝑎10 = 38 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน วธท ำ จำกสตร 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

แทน 𝑛 = 4 จะได 𝑎4 = 𝑎1 + (4 − 1)𝑑 20 = 𝑎1 + 3𝑑 (1)

แทน 𝑛 = 10 จะได 𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1)𝑑 38 = 𝑎1 + 9𝑑 (2)

(2) − (1) : 38 − 20 = (𝑎1 + 9𝑑) − (𝑎1 + 3𝑑)

18 = 𝑎1 + 9𝑑 − 𝑎1 − 3𝑑

18 = 6𝑑

𝑑 = 3

แทน 𝑑 = 3 ใน (1) 20 = 𝑎1 + 3(3)

𝑎1 = 20 − 9 = 11 ดงนน จะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = 11 + (𝑛 − 1)(3)

= 11 + 3𝑛 − 3 = 8 + 3𝑛 #

ตวอยำง จงหำวำตงแต 100 ถง 500 มจ ำนวนทหำรดวย 7 ลงตว ทงหมดกจ ำนวน วธท ำ ตวแรกตงแต 100 ขนไป ทหำรดวย 7 ลงตว คอ 105 ตวถดไปคอ 112 , 119 , 126 , …

และตวสดทำยทหำรดวย 7 ลงตว คอ 497

ค ำตอบของขอน คอ “จ ำนวนพจน” ในล ำดบ 105 , 112 , 119 , 126 , … , 497 จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ม 𝑎1 = 105 และ 𝑑 = 7

ดงนน จะไดสตรพจนทวไปของล ำดบน คอ 𝑎𝑛 = 105 + (𝑛 − 1)(7)

= 105 + 7𝑛 − 7

= 98 + 7𝑛

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎𝑛 = 100 + (𝑛 − 1)(−3) = 100 + −3𝑛 + 3 = −3𝑛 + 103

10 = −3𝑛 + 103 3𝑛 = 93 𝑛 = 31


เรำสำมำรถหำวำล ำดบนมกพจน โดยกำรหำวำตวสดทำยของล ำดบน คอพจนทเทำไหร

โดยกำรแทน 𝑎𝑛 ดวย 497 แลวแกหำคำ 𝑛 : 497 = 98 + 7𝑛

399 = 7𝑛

𝑛 =399

7= 57

จะไดวำ 497 คอพจนท 57 ดงนน ล ำดบนม 57 พจน

นนคอ ตงแต 100 ถง 500 มจ ำนวนทหำรดวย 7 ลงตวทงสน 57 จ ำนวน #


1. จงพจำรณำวำ ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเลขคณต พรอมทงหำผลตำงรวม

1. 3 , 5 , 7 , 9 , … 2. 1 , 4 , 9 , 16 , …

3. 3 , 6 , 9 , 12 , … 4. 12 , 22 , 32 , 42 , …

5. 3 , 1 , −1 , −3 , … 6. −3 , 5 , −7 , 9 , …

7. 1 , 2 , 3 , 2 , 1 , 2 , 3 , … 8. 1

3 ,

2

3 , 1 ,

4

3 , …

9. 2 , 4 , 8 , 16 , … 10. 1 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , …

11. 𝑥 , 𝑥 + 2 , 𝑥 + 4 , … 12. 𝑎 , 2𝑎 , 3𝑎 , 4𝑎 , …

2. ถำล ำดบ 𝑥 + 1 , 2𝑥 + 1 , 4𝑥 − 2 เปนล ำดบเลขคณตแลว จงหำคำ 𝑥


3. ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวก 3 พจนแรก เทำกบ 3 และผลคณ 2 พจนแรก เทำกบ −2 จงหำผลตำงรวม

4. ล ำดบเลขคณตชดหนง มผลบวก 5 พจนแรก เทำกบ 20 ถำพจนทส มำกกวำพจนทสอง อย 6 จงหำพจนท 4

5. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 3 , 5 , 7 , 9 , …

6. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 3 , 5

2 , 2 ,

3

2 , …

7. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต 16 ,

1

3 ,

1

2 , …


8. จงหำพจนท 30 ของล ำดบ 1 , 4 , 7 , 10 , …

9. จงหำวำล ำดบ 2 , 6 , 10 , … , 42 มกพจน

10. จงหำวำล ำดบ 100 , 97 , 94 , 91 , … มกพจน ทเปนจ ำนวนเตมบวก

11. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎1 = 5 และ 𝑎5 = 13 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน

12. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎3 = 11 และ 𝑎8 = 21 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน


13. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎2 = 1 และ 𝑎5 = 10 จงหำคำของ 𝑎8

14. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎5 − 𝑎2 = 30 จงหำคำผลตำงรวม

15. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎15 − 𝑎4 = 22 ถำ 𝑎10 = 21 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบชดน

16. จงหำวำ ระหวำง 200 กบ 300 มกจ ำนวนท

1. หำรดวย 3 ลงตว 2. หำรดวย 5 ลงตว


3. หำรดวย 3 และ 5 ลงตว 4. หำรดวย 3 หรอ 5 ลงตว

5. หำรดวย 3 ไมลงตว 6. หำรดวย 5 เหลอเศษ 2

17. จงหำวำ ตงแต 150 ถง 450 มจ ำนวนทหลกหนวยลงทำยดวย 8 ทงหมดกจ ำนวน

18. นำยด ำก เงนมำจ ำนวนหนง โดยจำยคนเดอนแรก 200 บำท และในเดอนถดไป นำยด ำตองจำยเพมขนทกๆเดอน โดยจะตองจำยคนมำกขนเดอนละ 50 บำท หลงจำกช ำระหมด พบวำในเดอนสดทำย นำยด ำจำยคน 950 บำท จงหำวำนำยด ำ จำยเงนคนทงสน กเดอน


19. นำย ก มเงนในกระปก 20 บำท และจะหยอดกระปกวนละ 3 บำททกๆวน นำย ข มเงนในธนำคำร 300 บำท และจะฝำกเพมวนละ 20 บำททกๆวน ในวนท นำย ก มเงนในกระปก 44 บำท นำย ข จะมเงนในธนำคำรเทำไร

20. ล ำดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบำงพจนเทำกบ 40 [O-NET 52/17]

1. 𝑎𝑛 = 1 − 2𝑛 2. 𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛

3. 𝑎𝑛 = 2 − 2𝑛 4. 𝑎𝑛 = 2 + 2𝑛

21. ก ำหนดให 32 , 1 ,

1

2 , … เปนล ำดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และ พจนท 42 เทำกบเทำใด

[O-NET 53/20]

22. พจนท 31 ของล ำดบเลขคณต −1

20, −

1

30, −

1

60, … เทำกบเทำใด [O-NET 51/13]


23. ล ำดบ –24 , –15 , –6 , 3 , 12 , 21 , … , 1776 มกพจน [O-NET 56/21]

24. ก ำหนดให 𝑥 เปนจ ำนวนจรง ถำ 5 − 7𝑥 , 3𝑥 + 28 , 5𝑥 + 27 , … , 2𝑥3 − 3𝑥 + 1 เปนล ำดบเลขคณต

แลวล ำดบนมกพจน [O-NET 57/21]

25. ให 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเลขคณต ถำ 𝑎4 = 5𝑎1 และ 𝑎10 = 39 แลว 𝑎1 เทำกบเทำใด [O-NET 59/21]

26. ถำพจนท 5 และ พจนท 10 ของล ำดบเลขคณตเปน 14 และ 29 ตำมล ำดบ แลวพจนท 99 เทำกบเทำใด

[O-NET 56/20]


27. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณต ซง 𝑎30 − 𝑎10 = 30 แลว ผลตำงรวมของล ำดบเลขคณตน มคำเทำกบเทำใด [O-NET 50/12]

28. ถำผลบวกและผลคณของสำมพจนแรกของล ำดบเลขคณตทม 𝑑 เปนผลตำงรวม เทำกบ 15 และ 80 ตำมล ำดบ แลว 𝑑2 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 49/1-12]

29. ล ำดบเลขคณต −43, −34, −25, … มพจนทมคำนอยกวำ 300 อยกพจน [O-NET 54/31]

30. ปำจ เรมขำยขนมครกในวนท 3 มกรำคม ในวนแรกขำยไดก ำไร 100 บำท และในวนตอๆไปจะขำยไดก ำไรเพมขนจำกวนกอนหนำวนละ 10 บำททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกรำคมทปำจขำยไดก ำไรเฉพำะในวนนน 340 บำท [O-NET 49/1-11]


ตวกลำงเลขคณต

“ตวกลำงเลขคณต” ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 หำไดจำกสตร 𝑎+𝑏

2

จะเหนวำ ถำ 𝑥 เปนตวกลำงเลขคณตระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลว จะไดวำ ล ำดบ 𝑎 , 𝑥 , 𝑏 เปนล ำดบเลขคณตเสมอ

เชน ตวกลำงเลขคณต ระหวำง 23 กบ 91 คอ

ซงจะเหนวำ 23 , 57 , 91 เรยงกนเปนล ำดบเลขคณต ทมผลตำงรวม คอ 34

ตวกลำงเลขคณต “𝑘 จ ำนวน” ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 คอ ตวเลข 𝑘 ตว ทแทรกระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลวไดล ำดบเลขคณต

โดยแตละคทอยตดกน จะมผลตำงรวม 𝑑 =𝑏−𝑎

𝑘+1

เชน ถำจะหำตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 23 กบ 91 จะไดแตละตวตำงกน 𝑑 = 91−23

3+1 = 17

ดงนน ตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 23 กบ 91 คอ 40 , 57 , 74

ซงจะเหนวำ 23 , 40 , 57 , 74 , 91 เปนล ำดบเลขคณต ทมผลตำงรวม คอ 17


1. จงหำตวกลำงเลขคณต ระหวำง 12 และ 38

2. จงหำตวกลำงเลขคณต ระหวำง −3 และ 9

3. ถำตวกลำงเลขคณตระหวำง 2 กบ 𝑥 คอ 13 แลว จงหำคำ 𝑥

4. จ ำนวนคหนง มตวกลำงเลขคณตคอ 10 ถำจ ำนวนคนหำงกน 6 แลว จงหำจ ำนวนคน


5. จงหำตวกลำงเลขคณต 4 จ ำนวน ระหวำง 17 กบ 32

6. จงหำตวกลำงเลขคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 1 กบ 25

7. จงหำตวกลำงเลขคณต 4 จ ำนวน ระหวำง −8 กบ 17

8. ถำตวกลำงเลขคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 12 และ 20 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏


ล ำดบเรขำคณต

ในหวขอทแลว เรำเรยนล ำดบเลขคณต ซงเปนล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “บวก” ในหวขอน จะพดถง ล ำดบเรขำคณต ซงเปนล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “คณ” ตวอยำงล ำดบเรขำคณต เชน 2 , 6 , 18 , 54

3 , −6 , 12 , −24

10 , 5 , 5

2 ,

5

4 , …

แต 1 , 4 , 9 , 16 ไมใชล ำดบเรขำคณต เพรำะคณเพมไมคงท

เรำเรยกคำคงท ทน ำมำคณ วำ “อตรำสวนรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑟 เชน 2 , 6 , 18 , 54 → 𝑟 = 3 3 , −6 , 12 , −24 → 𝑟 = −2

5, 5, 5, 5 → 𝑟 = 1 10, 5, 5

2 ,

5

4 → 𝑟 = 1

2

1, √2 , 2 , 2√2 → 𝑟 = √2

จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเรขำคณต มำหำรกน

โดยเอำพจนขวำเปนตวตง หำรดวย พจนซำยทอยตดกน จะไดผลลพธเทำกบ 𝑟 เสมอ เชน ในล ำดบเรขำคณต 2 , 6 , 18 , 54 , … จะเหนวำ 6

2 =

18

6 =

54

18 = 3 = 𝑟

ตวอยำง ปจจบน คนสำมคน มอำย 5 , 17 , 47 ป จงหำวำอกกป อำยของคนทงสำมจงจะเรยงเปนล ำดบเรขำคณต วธท ำ เมอผำนไป 𝑥 ป อำยของคนทงสำม จะกลำยเปน 5 + 𝑥 , 17 + 𝑥 , 47 + 𝑥 ป ตำมล ำดบ

ล ำดบนจะเปนล ำดบเรขำคณต เมอ

นนคอ อก 3 ป อำยของคนทงสำมจงจะเรยงเปนล ำดบเรขำคณต #

ตวอยำง ล ำดบเรขำคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 13 และ 27 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน

วธท ำ ขอน เรำจะใชวธสมมต 𝑥 สรำงสมกำร แลวแกสมกำร ในโจทยประเภทน เรำนยมใชเทคนค “สมมตให 𝑥 แทนพจนกลำง” เพอควำมสมดลในกำรตดเลข

แตละพจนในล ำดบเรขำคณต ตองหำงกนเปนทวคณของ 𝑟 ดงนน จะไดสำมพจนน คอ 𝑥𝑟 , 𝑥 , 𝑥𝑟

สำมพจนแรก คณกนได 27 ดงนน

แทนคำ 𝑥 จะได สำมพจนน คอ 3𝑟 , 3 , 3𝑟

(𝑥

𝑟) (𝑥)(𝑥𝑟) = 27

𝑥3 = 27 𝑥 = 3

17+𝑥

5+𝑥 =

47+𝑥

17+𝑥

(17 + 𝑥)(17 + 𝑥) = (47 + 𝑥)(5 + 𝑥)

289 + 34𝑥 + 𝑥2 = 235 + 52𝑥 + 𝑥2

54 = 18𝑥

3 = 𝑥


สำมพจนน บวกกนได 13 ดงนน

แทนคำ 𝑟 = 3 จะได สำมพจนน คอ 1 , 3 , 9

𝑟 = 1

3 จะได สำมพจนน คอ 9 , 3 , 1 (ม 2 ค ำตอบ) #

สตรถดมำทตองจ ำใหขนใจ คอ สตรพจนทวไปของล ำดบเรขำคณต

ตวอยำง จงหำพจนท 10 ของล ำดบเรขำคณต 1 , √2 , 2 , 2√2 , …

วธท ำ จะเหนวำล ำดบนม 𝑎1= 1 และ 𝑟 = √2 ดงนน สตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = (1)∙ (√2)𝑛−1

ดงนน พจนท 10 = 𝑎10 = (1)∙ (√2)10−1

= (√2)9

= 16√2 #

ตวอยำง ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 2 และ 𝑎7 = 2592 จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบน วธท ำ จำกสตร 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1 แทน 𝑛 = 3 จะได

แทน 𝑛 = 7 จะได (2) ÷ (1) :

แทน 𝑟 = ±6 ใน (1) :

ดงนน สตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 1

18∙ 6𝑛−1 กบ 𝑎𝑛 =

1

18∙ (−6)𝑛−1 (สองค ำตอบ) #

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1

3

𝑟+ 3 + 3𝑟 = 13

3 + 3𝑟 + 3𝑟2 = 13𝑟 3𝑟2 − 10𝑟 + 3 = 0 (𝑟 − 3)(3𝑟 − 1) = 0

𝑟 = 3 , 1

3

𝑎3 = 𝑎1𝑟3−1 2 = 𝑎1𝑟2 (1)

𝑎7 = 𝑎1𝑟7−1 2592 = 𝑎1𝑟6 (2)

2592

2 =

𝑎1𝑟6

𝑎1𝑟2

1296 = 𝑟4

±√12964

= 𝑟 ±6 = 𝑟

8 ) 1296 9 ) 162 9 ) 18

2

1296 = 8 × 9 × 9 × 2 = 23 × 32 × 32 × 2 = 24 × 34

√12964

= √24 × 344

= 2 × 3 = 6

2 = 𝑎1(±6)2

𝑎1 = 2

36 =

1

18


ตวอยำง ลกบอลตกจำกทสง 6400 เมตร เมอตกถงพน ลกบอลจะกระดอนกลบขนไปไดสงเปนครงหนงของควำมสงทตกลงมำเสมอ ถำปลอยใหลกบอลกระดอนตอไปเรอยๆ จงหำวำหลงจำกกำรตกถงพนครงท 10 ลกบอล จะกระดอนกลบขนไปไดสงเทำไหร

วธท ำ ในกำรกระดอนครงแรก ลกบอลจะขนไปไดสง 3200 เมตร ในกำรกระดอนครงทสอง ลกบอลจะขนไปไดสง 1600 เมตร ในกำรกระดอนครงทสำม ลกบอลจะขนไปไดสง 800 เมตร จะเหนวำ ควำมสงของลกบอลกระดอนกลบ เรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต ทม 𝑎1 = 3200 และ 𝑟 =

1

2

จะไดสตรพจนทวไปของล ำดบน คอ 𝑎𝑛 = 3200∙ (1

2)

𝑛−1

ดงนน ครงท 10 ลกบอลจะกระดอนสง = 3200∙ (1

2)

10−1 =

3200

29 = 6.25 เมตร #


1. จงพจำรณำวำ ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเรขำคณต พรอมทงหำอตรำสวนรวม

1. 2 , 4 , 6 , 8 , … 2. 1 , 4 , 16 , 64 , …

3. 1 , 10 , 100 , 1000 , … 4. 625 , 125 , 25 , 5 , …

5. 0.8 , 0.08 , 0.008 , … 6. 5 , 5 , 5 , 5 , …

7. √1 , √2 , √3 , √4 , … 8. 1 , −1 , 1 , −1 , …

9. 24 , 8 , 8

3 ,

8

9 , … 10. 3 , 3√3 , 9 , 9√3

11. 81 , −27 , 9 , −3 12. 8 , −4√2 , 4 , −2√2

13. 𝑥 , 2𝑥 , 3𝑥 , 4𝑥 , … 14. 𝑥 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … เมอ 𝑥 ≠ 0

2. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน

1. 5 , 15 , 45 , … 2. 48 , 24 , 12 , …

3. 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , … 4. 1 , −1

2 ,

1

4 , −

1

8 , …


3. จงหำพจนท 7 ของล ำดบ 2 , 4 , 8 , …

4. ก ำหนดล ำดบ 162 , −54 , 18 , … จงหำคำของ 𝑎7

5. ก ำหนดล ำดบ 1

27 ,

1

9√3 ,

1

9 ,

1

3√3 , … จงหำคำของ 𝑎10

6. จงหำวำ 243 เปนพจนทเทำไร ของล ำดบ 1 , √3 , 3 , …

7. จงหำวำล ำดบ 5 , 5√2 , 10 , … , 40 มกพจน

8. ล ำดบเรขำคณตชดหนง มผลบวกและผลคณของสำมพจนแรก เทำกบ 6 และ −64 ตำมล ำดบ จงหำสำมพจนแรกของล ำดบน


9. ถำล ำดบ 𝑥 − 1 , 𝑥 + 3 , 2𝑥 เปนล ำดบเรขำคณต แลว จงหำคำ 𝑥

10. เดก 3 คน มอำย 1 , 5 และ 13 ป จงหำวำอกกป อำยของเดกทงสำมจงจะเรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต

11. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎5 = 24 และ 𝑎7 = 96 จงหำ 𝑟

12. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎1 = 2 และ 𝑎3 = 50 จงหำสตรพจนทวไป

13. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม พจนท 10 มคำเปน 9 เทำของพจนท 6 ถำ 𝑎3 = 3 แลว จงหำ 𝑎5


14. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎4 = 24 และ 𝑎7 = −192 จงหำสตรพจนทวไป

15. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎2 = 15 และ 𝑎7 = 3645 จงหำสตรพจนทวไป

16. เลยงแบคทเรยชนดหนงไว 10 ตว พบวำเมอใหอำหำร แบคทเรยจะเพมจ ำนวนเปน 2 เทำ ทกๆนำท (เชน นำทท 1 เพมเปน 20 ตว , นำทท 2 เพมเปน 40 ตว , นำทท 3 เพมเปน 80 ตว) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณจ ำนวนแบคทเรย เมอเวลำผำนไป 𝑘 นำท พรอมทงหำจ ำนวนแบคทเรย เมอเวลำผำนไป 5 นำท

17. ลกเหมนกอนหนง หนก 1000 กรม พบวำลกเหมนจะระเหดเลกลง 10% ทกๆ 1 นำท (เชน นำทท 1 เหลอ 900 กรม , นำทท 2 เหลอ 810 กรม , นำทท 3 เหลอ 729 กรม เปนตน) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณน ำหนกของลกเหมน หลงผำนไป 𝑘 นำท


18. เลยงไวรสชนดหนงไว 1000 ตว พบวำเมอใหอำหำร ไวรสจะเพมจ ำนวนขน 10% ทกๆนำท (เชน นำทท 1 เพมเปน 1100 ตว , นำทท 2 เพมเปน 1210 ตว , นำทท 3 เพมเปน 1331 ตว) จงหำสตรส ำหรบค ำนวณจ ำนวนไวรส เมอเวลำผำนไป 𝑘 นำท

19. ฝำกเงน 1000 บำท กบธนำคำรแหงหนง ซงใหดอกเบย 10% ตอปแบบทบตน จงหำสตรส ำหรบค ำนวนจ ำนวนเงนฝำกเมอเวลำผำนไป 𝑘 ป

20. ล ำดบเรขำคณตในขอใดตอไปน มอตรำสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) [O-NET 49/1-8]

1. 3, 5

4,

25

48, … 2. 2,

4

3,

8

9, …

3. 4, 3, 9

4, … 4. 5, 4,

16

5, …

21. ล ำดบในขอใดตอไปน เปนล ำดบเรขำคณต [O-NET 50/13]

1. 𝑎𝑛 = 2𝑛 ∙ 32𝑛 2. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 4𝑛

3. 𝑎𝑛 = 3𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (2𝑛)𝑛


22. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เปนล ำดบเรขำคณต โดยท 𝑎1 = 2 และ 𝑎3 = 200

ถำ 𝑎2 คอคำในขอใดตอไปนแลว ขอดงกลำวคอขอใด [O-NET 52/18]

1. −20 2. −50 3. 60 4. 100

23. พจนท 10 ของล ำดบเรขำคณต √3 , √6 , … ตรงกบเทำใด [O-NET 57/24]

24. พจนท 16 ของล ำดบเรขำคณต 1

625,

1

125√5,

1

125, … เทำกบเทำใด [O-NET 50/31]

25. ถำพจนท 4 และพจนท 7 ของล ำดบเรขำคณตเปน 54 และ 1458 ตำมล ำดบ แลว พจนแรกเทำกบเทำใด

[O-NET 56/38]

26. ถำพจนท 5 และ พจนท 8 ของล ำดบเรขำคณตเปน 12 และ − 1

16 ตำมล ำดบ แลวพจนท 4 เทำกบเทำใด

[O-NET 57/23]


27. ล ำดบเรขำคณตล ำดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตำมล ำดบ ถำ 𝑟 เปนอตรำสวนรวม

ของล ำดบนแลว 𝑟 + 1

𝑟 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 54/16]

28. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณตและผลตำงรวมไมเปนศนย แลว ขอใดผด [O-NET 57/20] 1. |𝑎10 − 𝑎11| = |𝑎21 − 𝑎20|

2. 𝑎9 + 𝑎14 = 𝑎11 + 𝑎12

3. 𝑎15−𝑎12

𝑎7−𝑎4 = 1

4. ถำ 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 − 5 ทกๆ 𝑛 แลว 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … เปนล ำดบเลขคณต

5. ถำ 𝑐𝑛 = 5𝑛𝑎𝑛 ทกๆ 𝑛 แลว 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … เปนล ำดบเรขำคณต

29. ถำ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต แลว ขอใด ผด [O-NET 58/21]

1. 5𝑎1 , 5𝑎2 , 5𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต

2. 𝑎12 , 𝑎2

2 , 𝑎32 , … เปนล ำดบเรขำคณต

3. 𝑎1 , 𝑎22 , 𝑎3

3 , … เปนล ำดบเรขำคณต

4. 𝑎1𝑎2 , 𝑎2𝑎3 , 𝑎3𝑎4 , … เปนล ำดบเรขำคณต

5. 𝑎1

𝑎2 , 𝑎2

𝑎3 , 𝑎3

𝑎4 , … เปนล ำดบเรขำคณต

30. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเรขำคณต

จงพจำรณำวำล ำดบในขอใดตอไปนเปนล ำดบเรขำคณต [O-NET 51/28]

1. 𝑎1 + 𝑎3, 𝑎2 + 𝑎4, 𝑎3 + 𝑎5, …

2. 𝑎1𝑎2, 𝑎2𝑎3, 𝑎3𝑎4, …

3. 1

𝑎1,

1

𝑎2,

1

𝑎3, …


31. พจำรณำล ำดบของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำวดำนละ 1 หนวยตอไปน

พนทของบรเวณแรเงำในรปท 10 มคำเทำกบกตำรำงหนวย [O-NET 58/25]

32. ก ำหนดให 𝑎 , 𝑎𝑟 , 𝑎𝑟2 , … , 𝑎𝑟𝑛−1 เปนล ำดบเรขำคณตทม 𝑛 พจน ซงผลรวมของ 3 พจนสดทำยเปน 4 เทำของผลรวมของ 3 พจนแรก ถำพจนท 3 คอ 22 แลว พจนสดทำยมคำเทำใด [O-NET 59/22]

33. บรษทแหงหนงซอเครองจกรมำในรำคำ 𝐴 บำท คดคำเสอมรำคำคงท 15% ตอป กลำวคอ รำคำเครองจกรจะลดลง 15% ของมลคำคงเหลอในแตละปทกป ถำใชเครองจกรผำนไป 𝑡 ป แลว มลคำคงเหลอของเครองจกรนเทำกบเทำใด [O-NET 59/23]

1 1 1 1

, รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4

, , , …


ตวกลำงเรขำคณต

ตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 หำไดจำกสตร ±√𝑎𝑏 ซงถำ 𝑥 เปนตวกลำงเรขำคณตระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลว จะไดวำ ล ำดบ 𝑎 , 𝑥 , 𝑏 เปนล ำดบเรขำคณตเสมอ เชน ตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 7 กบ 175 คอ ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 175 = ±√7 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7

= ±35

ซงจะเหนวำ 7 , ±35 , 175 เรยงกนเปนล ำดบเรขำคณต ทมอตรำสวนรวม คอ 5 และ −5

ตวกลำงเรขำคณต 𝑘 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 คอ ตวเลข 𝑘 จ ำนวน ทแทรกระหวำง 𝑎 กบ 𝑏 แลวไดล ำดบเรขำคณต

โดยล ำดบเรขำคณตดงกลำว จะมอตรำสวนรวมสอดคลองกบสมกำร 𝑟𝑘+1 =𝑏

𝑎

สงทตองระวงในกำรแกสมกำรหำ 𝑟 คอ ถำ 𝑘 + 1 เปนเลขค จะหำ 𝑟 ไดเฉพำะกรณท 𝑏𝑎

≥ 0 เทำนน

และ ถำ 𝑘 + 1 เปนเลขค คำ 𝑟 จะเปนไดทงบวกและลบ (เพรำะ บวก หรอ ลบ ยกก ำลงค กไดบวกเทำกน)

ตวอยำง จงหำตวกลำงเรขำคณต 5 จ ำนวน ระหวำง 4 กบ 108 วธท ำ ตองหำจ ำนวน 5 จ ำนวน ทแทรกระหวำง 4 กบ 108 แลวไดล ำดบเรขำคณต

กอนอน หำ 𝑟 โดยแกสมกำร

ดงนน ตวกลำง 5 จ ำนวนนน คอ 4 , 4√3 , 12 , 12√3 , 36 , 36√3 , 108

หรอ 4 , −4√3 , 12 , −12√3 , 36 , −36√3 , 108 กได #

แบบฝกหด 1. จงหำตวกลำงเรขำคณตระหวำงจ ำนวนตอไปน

1. 4 และ 36 2. −5 และ −20

3. 15 และ 45 4. 𝑎 และ 𝑎5

2. ถำตวกลำงเรขำคณต ระหวำง 3 กบ 𝑥 คอ ±15 แลว จงหำคำ 𝑥

𝑟5+1 = 108

4

𝑟6 = 27

𝑟6 = 33

𝑟 = ±√336 = ±3

(3

6) = ±3

(1

2) = ±√3


3. จ ำนวนคหนง มตวกลำงเรขำคณตคอ ±10 ถำจ ำนวนคนหำรกนได 4 แลว จงหำจ ำนวนคน

4. จงหำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 6 กบ 48

5. จงหำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 8 และ 27

6. จงหำตวกลำงเรขำคณต 3 จ ำนวน ระหวำง −5 กบ −405

7. จงหำตวกลำงเรขำคณต 4 จ ำนวน ระหวำง 3 กบ 384√2


8. ถำตวกลำงเรขำคณต 3 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 2 , 4 , 8 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏

9. ถำตวกลำงเรขำคณต 2 จ ำนวน ระหวำง 𝑎 และ 𝑏 คอ 6 และ 9 แลว จงหำ 𝑎 และ 𝑏


ล ำดบเวยนเกด

ในหวขอกอนหนำ เรำไดรจกค ำวำ “สตรพจนทวไป” ไปแลว

สตรพจนทวไป คอ สตรทใชค ำนวณพจนไหนกได โดยแทน 𝑛 ในสตรดวยเลขพจนทเรำตองกำร ตวอยำงสตรพจนทวไป เชน 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 1 , 𝑎𝑛 = 3 − 4𝑛 , 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) เปนตน

อยำงไรกตำม มสตรพจนทวไปอกแบบหนง ทตวสตร “ตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณ” เชน 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 1 → จะหำคำ 𝑎𝑛 ได ตองรคำ 𝑎𝑛−1 กอน เชน จะหำ 𝑎4 ได ตองร 𝑎3

จะหำ 𝑎3 ได ตองร 𝑎2 เปนตน 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 → จะหำคำ 𝑎𝑛 ได ตองร 𝑎𝑛−1 กบ 𝑎𝑛−2 กอน

เชน จะหำ 𝑎10 ได ตองร 𝑎9 กบ 𝑎8

จะหำ 𝑎9 ได ตองร 𝑎8 กบ 𝑎7 เปนตน เรำจะเรยกล ำดบพวกนวำ “ล ำดบเวยนเกด” จะเหนวำล ำดบประเภทนยงยำก เพรำะสดทำย เรำมกตอง “ไลหำตงแต 𝑎1 ขนมำ” จนกวำจะถงพจนทเรำตองกำร

ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 ส ำหรบ 𝑛 = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำของ 𝑎4 วธท ำ กอนอน โจทยบอก 𝑎1 = 1 เรำจะใชคำนเปนจดเรมตน

แทน 𝑛 = 2 ในสตร 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1 จะได 𝑎2 = 2𝑎1 + 1 = 2(1) + 1 = 3



ดงนน จะได 𝑎4 = 15 #

ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 5 , 𝑎𝑛 = −1

𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำคำของ 𝑎300

วธท ำ ขอน จะใหไลหำตงแต 𝑎2 ไปถง 𝑎300 คงไมไหว เรำจะหำตวแรกๆ แลวสงเกตแนวโนมดกอน แทน 𝑛 = 2 จะได 𝑎2 = −

1

𝑎1 = −

1

5

แทน 𝑛 = 3 จะได 𝑎3 = −1

𝑎2 = −

1

−1

5

= −1 ∙ (−5

1) = 5 จะเหนวำ 𝑎3 วนกลบมำเทำกบ 𝑎1

แทน 𝑛 = 4 จะได 𝑎4 = −1

𝑎3 = −

1

5

⋮

จะเหนวำ คำของพจน จะสลบ 5 , −1

5 , 5 , −

1

5 , 5 , −

1

5 , …

ดงนน จะไดสตรพจนทวไป แบบไมองกบพจนกอนหนำ คอ 𝑎𝑛 = {5 เมอ 𝑛 เปนเลขค

−1

5เมอ 𝑛 เปนเลขค

เนองจำก 300 เปนเลขค ดงนน 𝑎300 = −1

5 #


ตวอยำง ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 , 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎50 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณ

วธท ำ ขอน จะใชวธ “ไลจำก 𝑎1 ขนมำ” หรอจะ “แตกจำก 𝑎𝑛 ลงไป” กได ถำจะไลจำก 𝑎1 ขนมำ เรำจะลองหำพจนตำงๆ แลวสงเกตลกษณะของตวเลข ดงน

จำกแนวโนมน จะไดวำ 𝑎50 = 249 ∙ 3

และจะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 ∙ 3 #

ถำจะแตกจำก 𝑎𝑛 ลงไป เนองจำก 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 ดงนน พจนใดๆกตำม จะเทำกบ สองเทำของพจนกอนหนำ

ดงนน

ดงนน เรำจะแตก 𝑎𝑛 ลงไปหำ 𝑎1 ไดดงน

สงทตองระวงคอ ตองนบดๆ วำแถวสดทำย ม 2 คณกนทงหมดกตว

จะเหนวำแถวลำงสดเปน 𝑎1 แตแถวบนสดเปน 𝑎𝑛−1 ดงนน มทงหมด 𝑛 − 1 แถว

ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 ∙ 𝑎1 = 2𝑛−1 ∙ 3 #

แบบฝกหด 1. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 2 และ 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 ส ำหรบ 𝑛 = 2 , 3 , 4 , … จงหำคำ

ของ 𝑎20

2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 และ 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎60 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ

𝑎𝑛−1 = 2𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−2 = 2𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−3 = 2𝑎𝑛−4

⋮

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 = 2 ∙ 2𝑎𝑛−2 = 2 ∙ 2 ∙ 2𝑎𝑛−3 ⋮ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 𝑎1

𝑎1 = 3 𝑎2 = 2𝑎1 = (2)(3) = 21 ∙ 3 𝑎3 = 2𝑎2 = (2)(21 ∙ 3) = 22 ∙ 3 𝑎4 = 2𝑎3 = (2)(22 ∙ 3) = 23 ∙ 3

⋮


3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 = −2𝑎𝑛−1 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎35 พรอมทงหำสตรพจนทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ

4. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบ ซงม 𝑎1 = 3 และ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1

2 เมอ 𝑛 ≥ 2 จงหำ 𝑎50 สตรพจน

ทวไปของ 𝑎𝑛 แบบไมตององกบพจนกอนหนำ

5. ถำ 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบซงม 𝑎5 = 9 และ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 2 แลว 𝑎11 เทำกบเทำใด

[O-NET 58/23]

6. ถำ 𝑎1 = 2 , 𝑎2 = 1 และ 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … แลว 𝑎11 เทำกบเทำใด

[O-NET 56/22]


7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนพจนท 𝑛 ของล ำดบ ซงม 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, …

ถำ 𝑎4 = 26 แลว 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 เทำกบเทำใด [O-NET 59/37]

8. ถำ 𝑎𝑛 เปนพจนทวไปของล ำดบซงม 𝑎3 = 4 และ 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 𝑛 แลว 𝑎1 + 𝑎7 เทำกบเทำใด

[O-NET 58/36]


อนกรม อนกรม คอ กำรน ำตวเลขในล ำดบมำบวกกน

เชน ถำมล ำดบ 4 , 9 , 16 , 25 , 36 จะไดอนกรมของล ำดบน คอ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90

ปกต โจทยจะไมไดใหเรำบวกทกตว สวนใหญมกจะใหเรำบวกแค “𝑛 ตวแรก” เชน ในอนกรม 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ผลบวก 3 ตวแรกของอนกรมน คอ 4 + 9 + 16 = 29

ผลบวก 4 ตวแรกของอนกรมน คอ 4 + 9 + 16 + 25 = 54

ผลบวก 1 ตวแรกของอนกรมน คอ 4

เรำนยมใชสญลกษณ 𝑆𝑛 แทน “ผลบวก 𝑛 ตวแรก ของอนกรม” ดงนน ในอนกรมน จะไดวำ 𝑆3 = 29 , 𝑆4 = 54 และ 𝑆1 = 4 เปนตน

ในท ำนองกลบกน ถำเรำม 𝑆 หลำยๆตว เรำจะยอนกลบไปหำคำของแตละตวในล ำดบได เชน ถำเรำรวำ 𝑆3 = 22 และ 𝑆4 = 28 เรำจะหำ 𝑎4 ได เพรำะ 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3

𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4

ดงนน 𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 = 28 − 22 = 6

ถำเรำรวำ 𝑆56 = 430 และ 𝑆57 = 418 เรำจะหำ 𝑎57 ได เพรำะ 𝑆57 = 𝑎1 + … + 𝑎56 + 𝑎57

𝑆56 = 𝑎1 + … + 𝑎56

ดงนน 𝑎57 = 𝑆57 − 𝑆56 = 418 − 430 = −12

ถำเรำรวำ 𝑆90 = 105 และ 𝑆93 = 120 เรำจะหำ 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93 ได

เพรำะ 𝑆90 = 𝑎1 + … + 𝑎90 𝑆93 = 𝑎1 + … + 𝑎90 + 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93

ดงนน 𝑎91 + 𝑎92 + 𝑎93 = 𝑆93 − 𝑆90 = 120 − 105 = 15

ตวอยำง ก ำหนด 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 1 จงหำ 𝑎5 + 𝑎6 วธท ำ 𝑎5 + 𝑎6 จะหำไดจำก 𝑆6 − 𝑆4 เพรำะ 𝑆6 = 𝑎1 + … + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6

𝑆4 = 𝑎1 + … + 𝑎4 ลบกน จะหกกน เหลอ 𝑎5 + 𝑎6 ขอน ใหสตร 𝑆𝑛 มำ แปลวำเรำจะหำ 𝑆 อะไรกได นนคอ 𝑆6 = 3 ∙ 62 + 1 = 109

𝑆4 = 3 ∙ 42 + 1 = 49

ดงนน 𝑎5 + 𝑎6 = 𝑆6 − 𝑆4 = 109 − 49 = 60 #



1. ก ำหนดล ำดบ 2 , 5 , 8 , 11 จงหำ

1. 𝑆2 2. 𝑆4

2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 1 จงหำ 1. 𝑆1 2. 𝑆3

3. ก ำหนดให 𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛+1)

2 จงหำ

1. 𝑎1 2. 𝑎10

3. 𝑎15 4. 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8

4. ก ำหนดให 𝑆𝑛 = 35 − 𝑛2 จงหำ 1. 𝑎4 2. 𝑎8

3. 𝑎6 + 𝑎7 4. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3


5. ผลบวก 3 พจนแรกของล ำดบ 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1𝑛

𝑛+1 เทำกบเทำใด [O-NET 56/25]

6. ถำผลบวกของ 𝑛 พจนแรกของอนกรมหนง คอ 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 2 แลว พจนท 10 ของอนกรมนมคำเทำกบเทำใด

[O-NET 49/1-9]


สญลกษณซกมำ หวขอน จะพดถงกำรใชสญลกษณ ∑ (อำนวำ “ซกมำ”) เพอเขยน “หลำยๆตวบวกกน” ใหอยในรปสนๆ

สญลกษณ b

ai จะหมำยถงกำรน ำกอน มำบวกซ ำๆกน หลำยๆกอน

โดยกอนแรก ให 𝑖 = 𝑎 และ กอนถดไป ใหเพม 𝑖 ขนทละ 1 ไปเรอยๆ จนจบกอนสดทำยท 𝑖 = 𝑏

25

6i

= + + + … +

เชน 6

3i

𝑖2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1)

= 10 + 17 + 26 + 37 = 80

5

3i

2𝑖 − 𝑖 = (23 − 3) + (24 − 4) + (25 − 5)

= 5 + 12 + 27 = 44

5

1i

𝑖 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)

= 15

12

9i

4𝑖 = (4 × 9) + (4 × 10) + (4 × 11) + (4 × 12)

= 36 + 40 + 44 + 48 = 168

4

1i

𝑖(𝑖 + 1) = (1)(1 + 1) + (2)(2 + 1) + (3)(3 + 1) + (4)(4 + 1)

= 2 + 6 + 12 + 20 = 40

5

1i

4 = (4) + (4) + (4) + (4) + (4)

= 20

ในทำงกลบกน เรำตองสำมำรถรวบ “หลำยๆตวบวกกน” ใหเปนรป ∑ ไดดวย

โดยค ำตอบจะอยในรป

k

i 1

(สตรพจนทวไป ทเปลยน 𝑛 เปน 𝑖) เมอ 𝑘 คอจ ำนวนพจนทมำบวกกน

ตวอยำง จงเขยน 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ใหเปนรป ∑

วธท ำ จะรวบ ∑ ตองหำ 2 อยำง คอ “สตรพจนทวไป” กบ “จ ำนวนพจน” จะเหนวำล ำดบนไมใชทงล ำดบเลขคณต หรอ ล ำดบเรขำคณต จงใชสตรไมได ตองเดำสตรพจนทวไปเอง เดำสตรพจนทวไป จะได 𝑎𝑛 = 𝑛2

จ ำนวนพจน หำไดโดยแกสมกำร 36 = 𝑛2 (หรอจะนบเอำเลยกได) จะไดวำอนกรมน ม 6 พจน

เอำสตรพจนทวไป เปลยน 𝑛 เปน 𝑖 วำงหลง ∑ และใสจ ำนวนพจน จะได 6

1i

𝑖2 #

จดเรมตน

จดสนสด กอนทจะบวกซ ำๆ

ตววง 𝑖 = 6 𝑖 = 7 𝑖 = 8 𝑖 = 25


ตวอยำง จงเขยน 5 + 8 + 11 + … + 38 ใหอยในรป ∑ วธท ำ จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเลขคณต ทม 𝑎1 = 5 และ 𝑑 = 3

ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ

ถดมำ หำจ ำนวนพจนทมำบวกกน โดยกำรแกสมกำร

ดงนน 5 + 8 + 11 + … + 38 = 12

1i

3𝑖 + 2 #

ตวอยำง จงเขยน 3 + 6 + 12 + … + 1536 ใหอยในรป ∑ วธท ำ จะเหนวำล ำดบนเปนล ำดบเรขำคณต ทม 𝑎1 = 3 และ 𝑟 = 2

ดงนน จะไดสตรพจนทวไป คอ 𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛−1

ถดมำ หำจ ำนวนพจนทมำบวกกน โดยกำรแกสมกำร

ดงนน 3 + 6 + 12 + … + 1536 = 10

1i

3 ∙ 2𝑖−1 #

สมบตทส ำคญของ ∑ มดงน ถำหลง ∑ เปนคำคงท ใหเอำคำคงทคณจ ำนวนพจนทน ำมำบวกกนไดเลย

เชน 4

1i

7 = 7 × 4 = 28 8

1i

5 = 5 × 8 = 40

10

1i

−3 = −3 × 10 = −30 9

3i

−2 = −2 × 7 = −14

ดง “คำคงท” ทคณหรอหำรอย ออกมำคณหรอหำร นอก ∑ ได

เชน 5

1i

4𝑖 = 4 5

1i

𝑖 9

1i

−2𝑖2 = −2 9

1i

𝑖2

12

9i

𝑖

3 =

1

3

12

9i

𝑖 6

1i

−3𝑖3

4 = −

3

4

6

1i

𝑖3

𝑎𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)(3) = 5 + 3𝑛 − 3 = 3𝑛 + 2

38 = 3𝑛 + 2 36 = 3𝑛 12 = 𝑛

1536 = 3 ∙ 2𝑛−1 512 = 2𝑛−1 29 = 2𝑛−1 9 = 𝑛 − 1 10 = 𝑛

512 = 8 × 8 × 8 = 23 × 23 × 23 = 29

8 ) 512 8 ) 64

8


∑ กระจำยในกำรบวกลบได แตกระจำยในกำรคณหำรไมได

เชน 5

3i

2𝑖 − 𝑖 = 5

3i

2𝑖 −

5

3i

𝑖

แต 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) ≠

4

3

4

31

iiii

ถำจะกระจำย 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) เรำตองเปลยน 𝑖(𝑖 + 1) ใหอยในรปของกำรบวกลบกอน

เชน 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) = 4

3i

𝑖2 + 𝑖

= 5

3i

𝑖2 +

5

3i

𝑖


1. จงเขยนผลบวกในแตละขอตอไปน ใหอยในรปทไมม ∑

1. 10

1i

3𝑖 2. 6

2i

−𝑖

3. 5

1i

𝑖3 4. 7

1i

𝑖

𝑖+1

5. 7

3i

6 6. 4

1i

𝑖𝑖

7. 4

2i

−𝑖 ∙ 2𝑖 8. 10

1i

1 + (−1)𝑖

9. 10

1i

(−1)𝑖 ∙ 𝑖 10. 5

1i

2𝑎𝑖 + 1


2. จงเขยนผลบวกในแตละขอตอไปน ใหอยในรป ∑ 1. 2 + 4 + 6 + … + 10 2. 1 + 3 + 5 + … + 21

3. 1

2 +

3

4 +

5

6 + … +

19

20 4. 1

2 +

1

4 +

1

8 + … +

1

64

5. 1

2 +

3

4 +

5

8 + … +

11

64 6. 1 + 2 + 4 + … + 64

7. 4 + 9 + 16 + … + 121 8. (1)(2) + (2)(3) + (3)(4) + … + (8)(9)


9. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎10 10. 2 + 4 + 6 + … + 2𝑛

3. ถำ 5

1

i

𝑥𝑖 = −10 และ 5

1

i

𝑥𝑖2 = 135 แลว )1(

5

1

iii

xx ใกลเคยงกบจ ำนวนเตมใดมำกทสด

[O-NET 59/5]


อนกรมเลขคณต

อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทเกดจำกล ำดบเลขคณต

ตวอยำงอนกรมเลขคณต เชน 5 + 8 + 11 + ... + 38

16 + 13 + 10 + … + 4

1 − 2 − 5 − … − 17 → 1 + (−2) + (−5) + … + (−17) แต 2 + 4 + 8 + … + 64 ไมใชอนกรมเลขคณต เพรำะ 2 , 4 , 8 , … , 64 ไมใชล ำดบเลขคณต

สมบตทส ำคญของล ำดบเลขคณต คอ เรำสำมำรถ “จบคใหผลบวกเทำกน” ได

เชน 10 + 12 + 14 + ... + 32 + 34 + 36 = (10 + 36) + (12 + 34) + (14 + 32) + …

= 46 + 46 + 46 + …

18 + 13 + 8 + … + −2 + −7 + −12 = (18 + −12) + (13 + −7) + (8 + −2) + …

= 6 + 6 + 6 + …

และจำกสมบตดงกลำว จะท ำใหไดสตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเลขคณต ทตองทอง จะม 2 สตร ดงน

เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย

𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก

𝑑 คอผลตำงรวมในล ำดบเลขคณต

ตวอยำง จงหำคำของ 2 + 6 + 10 + … + 38 วธท ำ โจทยขอนเปนอนกรมเลขคณต และเนองจำกเรำรพจนสดทำย 𝑎𝑛 = 38 ดงนน เรำจะใชสตรแรก

และจะได 𝑎1 = 2 , 𝑑 = 4 แตจะเหนวำสตรแรกยงตองใช 𝑛 อกตว 𝑛 คอ จ ำนวนพจนในล ำดบ ตองหำโดยแกสมกำรสตรพจนทวไป วำ 38 เปนพจนทเทำไหร เนองจำก 𝑎1 = 2 , 𝑑 = 4 ดงนน สตรพจนทวไป คอ

หำ 𝑛 ไดจำกกำรแกสมกำร

ดงนน 2 + 6 + 10 + … + 38 = 𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)

= 10

2[2 + 38] = 200 #

𝑆𝑛 = 𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛) (1)

𝑆𝑛 = 𝑛

2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] (2)

สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย

นอกนน ใชสตรทสอง

𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)(4) = 2 + 4𝑛 − 4 = 4𝑛 − 2

38 = 4𝑛 − 2 40 = 4𝑛 10 = 𝑛


ตวอยำง จงหำผลบวก 12 พจนแรก ของอนกรม 4 + 1 + (−2) + (−5) + ... วธท ำ ขอน เรำไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง

แทนคำ 𝑎1 = 4 , 𝑑 = −3 , 𝑛 = 12 จะได

ดงนน ผลบวก 12 พจนแรก = −150 #

ตวอยำง แทงไมกองหนง ชนบนสดมไม 5 แทง ชนถดลงมำมไมเพมขนชนละ 2 แทง ถำกองนมแทงไมทงหมด 285 แทง จงหำวำไมกองนมกชน

วธท ำ ไมเพมชนละ 2 แทง ดงนน ชนทสองมไม 7 แทง , ชนทสำมม 9 แทง , ชนทสม 11 แทง , …

เนองจำกทงกอง ม 285 แทง หมำยควำมวำ 5 + 7 + 9 + 11 + … = 285

จะเหนวำเปนอนกรมเลขคณต ทม 𝑎1 = 5 , 𝑑 = 2 , 𝑆𝑛 = 285

ขอน ไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง

เนองจำก 𝑛 คอจ ำนวนชน เปนลบไมได ดงนน 𝑛 เปน −19 ไมได ดงนน ไมกองนมทงหมด 15 ชน #


1. จงหำคำของอนกรมตอไปน

1. 2 + 4 + 6 + … + 80 2. 11 + 18 + 25 + … + 109

𝑆𝑛 = 𝑛

2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]

285 = 𝑛

2[2(5) + (𝑛 − 1)(2)]

285 = 𝑛

2[10 + 2𝑛 − 2]

285 = 𝑛

2[8 + 2𝑛]

285 = 4𝑛 + 𝑛2 0 = 𝑛2 + 4𝑛 − 285 0 = (𝑛 − 15)(𝑛 + 19) 𝑛 = 15 , −19

𝑆𝑛 = 𝑛

2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]

= 12

2[2(4) + (12 − 1)(−3)]

= 6[8 + (−33)] = 6(−25) = −150


3. 40 + 37 + 34 + … + 1 4. ผลบวก 12 พจนแรก ของ 3 + 5 + 7 + …

5. ผลบวก 8 พจนแรก ของ 7 + 4 + 1 + … 6. 10

1i

3𝑖 − 1

2. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 จงหำคำของ 𝑆10

3. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1 จงหำคำของ 𝑎6 + 𝑎7 + … + 𝑎20

4. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎5 = 17 และ 𝑎9 = 33 จงหำคำของ 𝑆7


5. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑎1 = 3 และ 𝑆10 = 210 จงหำคำของ 𝑎8

6. ล ำดบเลขคณตชดหนง ม 𝑆4 = 10 และ 𝑆9 = 90 จงหำคำของ 𝑎5

7. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 2 + 7 + 12 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเทำกบ 87

8. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 50 + 43 + 36 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเปนจ ำนวนลบ

9. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆12 = 60 จงหำคำของ 𝑎1 + 𝑎12


10. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆16 = 120 จงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎15

11. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆10 = 100 จงหำคำของ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎9 + 𝑎10

12. อนกรมเลขคณตชดหนง ม 𝑆8 = 16 จงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + … + 𝑎7

13. จงหำผลบวกของจ ำนวนทมคำตงแต 30 ถง 100 ทหำรดวย 3 ลงตว

14. นำยด ำก เงนมำจ ำนวนหนง โดยจำยคนเดอนแรก 200 บำท และในเดอนถดไป นำยด ำตองจำยเพมขนทกๆเดอน โดยจะตองจำยคนมำกขนเดอนละ 50 บำท หลงจำกช ำระหมด พบวำในเดอนสดทำย นำยด ำจำยคน 950 บำท จงหำวำนำยด ำ จำยเงนคนรวมทงสนกบำท


15. นำย ก เรมเกบเงนตงแตวนท 10 ก.ค. เพอซอของรำคำ 1900 บำท โดยวนแรก เกบได 100 บำท วนตอมำเกบไดมำกขน วนละ 20 บำท จงหำวำนำย ก เกบเงนไดครบในวนทเทำไรของเดอน ก.ค.

16. วนท 3 ม.ค. นำย ก เรมขจกรยำนจำก กรงเทพ ไป จนทบร โดยวนแรก ขได 50 กโลเมตร วนตอมำเรมเหนอย จงขไดนอยลงทกวน วนละ 2 กโลเมตร

1. จงหำระยะทำงท นำย ก จะเดนทำงได หลงสนวนท 10 ม.ค.

2. นำย ข เรมขจกรยำนพรอม นำย ก โดยวนแรก ขได 10 กโลเมตร และวนตอมำเรมฮดส จงขไดมำกขนทกวน วนละ 2 กโลเมตร จงหำวำ นำย ข จะเดนทำงไดมำกกวำ 200 กโลเมตรไดในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.

3. นำย ข จะเดนทำงทนนำย ก ไดในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.


4. นำย ค เรมขจกรยำนพรอมนำย ข แตขจำกจนทบร ไปกรงเทพ โดยวนแรกขได 20 กโลเมตร วนตอมำขไดมำกขนวนละ 3 กโลเมตร ถำจนทบร อยหำงจำกกรงเทพ 255 กโลเมตร จงหำวำ นำย ค จะเดนทำงมำพบกบนำย ข ในวนทเทำไรของเดอน ม.ค.

17. คำของ 1 + 6 + 11 + 16 + ⋯ + 101 เทำกบเทำใด [O-NET 52/24]

18. ถำอนกรมเลขคณตมพจนแรกเปน −8 และมผลบวกของ 50 พจนแรกเปน 3275 แลวผลตำงรวมมคำเทำกบเทำใด

[O-NET 57/36]

19. ถำอนกรมเลขคณตมผลบวก 9 พจนแรกเปน 261 และพจนท 9 ของอนกรมนคอ 61

แลว ผลบวก 4 พจนแรกของอนกรมนมคำเทำใด [O-NET 58/24]


20. ก ำหนดให

แลว ในรปท 10 มจ ำนวนจดกจด [O-NET 59/24]

21. กมลศกดขยำยพนธตนกหลำบโดยกำรตอนกงเพอจ ำหนำย ในวนแรกเขำตอนกงได 20 กง ในวนถดๆไปเขำท ำไดเรวขนโดยเขำสำมำรถตอนกงไดมำกกวำวนกอนหนำนน 5 กง เมอครบ 7 วน แลวเขำตอนกงกหลำบไดทงหมดกกง

[O-NET 59/26]

22. ในสวนปำแหงหนง เจำของปลกตนยคำลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสำม 16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตำมล ำดบเลขคณต ถำเจำของปลกตนยคำลปตสไวทงหมด 15 แถว จะมตนยคำลปตสในสวนปำนทงหมดกตน [O-NET 53/38]

23. ซงกองหนงวำงเรยงซอนกนเปนชนๆ โดยชนบนจะมจ ำนวนนอยกวำชนลำงทอยตดกน 3 ตนเสมอ ถำชนบนสดม 49

ตน และชนลำงสดม 211 ตน แลว ขอใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 57/22] 1. ซงกองนม 56 ชน 2. ชนท 8 (นบจำกบนลงลำง) มซง 70 ตน

3. ซงกองนมทงหมด 7,150 ตน

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4


24. เกษตรกรคนหนงซอรถกระบะโดยผอนช ำระเปนเวลำ 4 ป ทำงผขำยก ำหนดใหผอนช ำระเดอนแรก 5,500 บำท และเดอนถดๆไปใหผอนช ำระเพมขนทกเดอนๆละ 400 บำท จนครบก ำหนด ถำ 𝑥 คอจ ำนวนเงนทเขำตองช ำระในเดอนสดทำย และ 𝑦 คอจ ำนวนเงนทเขำช ำระไปใน 2 ปแรก (หนวย : บำท) แลว จงหำคำ 𝑥 และ 𝑦 [O-NET 56/26]

25. เดกชำยคนหนงตองกำรออมเงนเพอซอรถจกรยำนรำคำ 1,700 บำท โดยเกบเงนเดอนละ 100 บำท และพอสญญำวำจะสมทบเงนใหทกเดอน เรมเดอนแรกให 10 บำท เดอนทสองให 20 บำท เดอนทสำมให 30 บำท และสมทบเงนใหมำกขนทกเดอนๆละ 10 บำท เขำตองออมเงนอยำงนอยกเดอนจงจะมเงนมำกพอซอรถจกรยำน

[O-NET 58/26]

26. ก ำหนดให 𝑆𝑛 เปนผลบวก 𝑛 พจนแรกของล ำดบเลขคณต 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , ... ถำ 𝑆5 = 90 และ 𝑆10 = 5 แลว 𝑎11 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 54/17]

27.

50

1k

(1 + (−1)𝑘)𝑘 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 49/1-10]


28. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณต ซง 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎9 = 100 แลว

𝑆10 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎10 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 51/27]

29. ก ำหนดให 𝑆 = {101, 102, 103, … , 999} ถำ 𝑎 เทำกบผลบวกของจ ำนวนคทงหมดใน 𝑆 และ 𝑏 เทำกบผลบวกของจ ำนวนคทงหมดใน 𝑆 แลว 𝑏 − 𝑎 มคำเทำกบเทำใด [O-NET 50/32]

30. ถำพจนท 𝑛 ของอนกรมคอ 3𝑛 − 10 แลว ผลบวก 23 พจนแรกของอนกรมนเทำกบเทำใด [O-NET 56/23]


อนกรมเรขำคณต

อนกรมเรขำคณต คอ อนกรมทเกดจำกล ำดบเรขำคณต

ตวอยำงอนกรมเรขำคณต เชน 6 + 12 + 24 + … + 384

2 + 2√3 + 6 + … + 18

2 − 4 + 8 − 16 + … − 64

6 + 2 + 2

3 + … +

2

27

แต 12 + 22 + 32 + … + 82 ไมใชอนกรมเรขำคณต เพรำะ 12 , 22 , 32 , … , 82 ไมใชล ำดบเรขำคณต

สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเรขำคณต ทตองทอง จะม 2 สตร ดงน

เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย

𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก

𝑟 คออตรำสวนรวมในล ำดบเรขำคณต

ตวอยำง จงหำคำของ 6 + 12 + 24 + … + 384 วธท ำ โจทยขอนเปนอนกรมเรขำคณต และเนองจำกเรำรพจนสดทำย 𝑎𝑛 = 384 ดงนน เรำจะใชสตรแรก

แทนคำ 𝑎1 = 6 , 𝑎𝑛 = 384 , 𝑟 = 2 จะได

ดงนน จะได 6 + 12 + 24 + … + 96 = 762 #

ตวอยำง จงหำผลบวก 10 พจนแรก ของอนกรม 1 +1

2+

1

4+ …

วธท ำ ขอน เรำไมรพจนสดทำย ดงนน เรำจะใชสตรทสอง

แทนคำ 𝑎1 = 1 , 𝑟 = 1

2 , 𝑛 = 10 จะได

ดงนน จะไดผลบวก 10 พจนแรก = 1023

512 #

𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟

1−𝑟 (1)

𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)

1−𝑟 (2)

สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย

นอกนน ใชสตรทสอง

𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟

1−𝑟

= 6−(384)(2)

1−2

= 6−768

−1 = 762

𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)

1−𝑟

= (1)(1−(

1

2)

10)

1−1

2

= 1−

1

10241

2

= 1023

1024∙

2

1 =

1023

512


ตวอยำง จงหำคำของ 7

1i

2 ∙ 3𝑖 − 3 ∙ 2𝑖

วธท ำ 7

1i

2 ∙ 3𝑖 − 3 ∙ 2𝑖 = (2 ∙ 31 − 3 ∙ 21) + (2 ∙ 32 − 3 ∙ 22) + … + (2 ∙ 37 − 3 ∙ 27)

= (2 ∙ 31 + 2 ∙ 32 + … + 2 ∙ 37) − (3 ∙ 21 + 3 ∙ 22 + … + 3 ∙ 27)

= (2)(31 + 32 + … + 37) − (3)(21 + 22 + … + 27)

= (2) ( 31−(37)(3)

1−3 ) − (3) (

21−(27)(2)

1−2 )

= (2) ( 3−6561

−2 ) − (3) (

2−256

−1 )

= 6558 − 762

= 5796 #

ตวอยำง นำย ก ก เงน จำก นำย ข โดยท ำสญญำวำจะจำยคนในเดอนแรก 1 บำท และในเดอนถดไป จะจำยเพมเปนสองเทำของเดอนกอนหนำ จนครบ 10 เดอน จงหำวำนำย ก จำยเงนรวมทงสน กบำท

วธท ำ จะไดเดอนทสองจำย 2 บำท , เดอนทสำมจำย 4 บำท , เดอนทสจำย 8 บำท , … จนครบ 10 เดอน จะเหนวำเปนอนกรมเรขำคณต ทม 𝑎1 = 1 , 𝑟 = 2 , 𝑛 = 10

เนองจำกไมรพจนสดทำย ดงนน ใชสตร

ดงนน นำย ก ตองจำยเงนทงสน 1023 บำท #


1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน

1. 1 + 2 + 4 + … + 128 2. 2 + 6 + 18 + … + 486

3. 3 − 6 + 12 − 24 + … + 192 4. 243 + 162 + 108 + … + 32

𝑎1 = 31 𝑎𝑛 = 37 𝑟 = 3

𝑎1 = 21 𝑎𝑛 = 27 𝑟 = 2

𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟𝑛)

1−𝑟

= (1)(1−210)

1−2

= 1−1024

−1 = 1023


5. ผลบวก 6 พจนแรก ของ 4 + 8 + 16 + … 6. ผลบวก 8 พจนแรก ของ 512 + 256 + 128 + …

7. 10

1i

5 ∙ 2𝑖−1 8. 5

1i

(2

3)

𝑖−1

2. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = (−2)𝑛 จงหำคำของ 𝑆9

3. ล ำดบชดหนง ม 𝑎𝑛 = 288

2𝑛 จงหำคำของ 𝑆5

4. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 24 และ 𝑎6 = −192 จงหำคำของ 𝑆5


5. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑟 = −2 และ 𝑆6 = 42 จงหำคำของ 𝑆10

6. ล ำดบเรขำคณตชดหนง ม 𝑎3 = 9 และ 𝑆4 − 𝑆2 = −18 จงหำคำของ 𝑆5

7. จงหำวำ จะตองบวกอนกรม 1 − 2 + 4 + … ไปกพจน จงจะไดผลบวกเทำกบ −85

8. นำย ก เรมเกบเงนวนท 5 ม.ค. เปนจ ำนวน 1 บำท วนถดมำ จะเกบเพมเปน 3 เทำของวนแรก

1. เมอสนวนท 10 ม.ค. นำย ก จะมเงนเกบเทำไร


2. นำย ข เรมเกบเงนพรอม นำย ก โดยวนท 5 ม.ค. นำย ข เรมเกบ 5 บำท และวดถดมำ นำย ข จะเกบเพมเปน 2 เทำของวนแรก ถำ นำย ก ยงเกบเงนแบบเกำ ในวนท นำย ก มเงนเกบ 1093 บำท นำย ข จะมเงนเกบเทำไร

9. ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขำคณตทม 100 พจน [O-NET 52/23]

1. 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) + ⋯ + 199

2. 1 +1

3+

1

5+ ⋯ +

1

(2𝑛−1)+ ⋯ +

1

199

3. 1 + 2 + 4 + ⋯ + (2𝑛−1) + ⋯ + 2199

4. 1

5+

1

125+

1

3125+ ⋯ +

1

52𝑛−1 + ⋯ +1

5199

10. ผลบวกของอนกรมเรขำคณต 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + 256 เทำกบเทำใด [O-NET 51/14]

11. ถำอนกรมเรขำคณตม 𝑎1 = 1

2 และ 𝑎10 = 256 แลว ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมนเทำกบเทำใด

[O-NET 57/25]


12. ก ำหนดให 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณต ถำ 𝑎2 = 8 และ 𝑎5 = −64 แลว ผลบวกของ 10 พจนแรกของล ำดบนเทำกบเทำใด [O-NET 53/22]

13. ถำ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เปนล ำดบเรขำคณตซงม 𝑎1 = 2 และ 𝑎4 = 1

4

แลว 1

𝑎1+

1

𝑎2+

1

𝑎3+ … +

1

𝑎10 เทำกบเทำใด [O-NET 58/37]

14. ก ำหนดให 𝑆𝑛 เปนผลบวก 𝑛 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต ซงมอตรำสวนรวมเทำกบ 2

ถำ 𝑆10 − 𝑆8 = 32 แลว พจนท 9 ของอนกรมน เทำกบเทำใด [O-NET 51/15]

15. ถำอนกรมเรขำคณตมผลบวก 10 พจนแรกเปน 3069 และมอตรำสวนรวมเปน 2

แลว พจนท 3 ของอนกรมนเทำกบเทำใด [O-NET 56/24]


16. ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = (2)𝑛−2 (1

3)𝑛

ถำ 𝐴𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛 แลว 729𝐴6 เทำกบเทำใด [O-NET 59/25]

17. ถำ 𝑎 เปนจ ำนวนจรงลบ และ 𝑎20 + 2𝑎 − 3 = 0 แลว 1 + 𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎19 มคำเทำกบเทำใด

[O-NET 49/1-24]


ล ำดบ

1. 1. 3, 5, 7, 9 2. 2, 5, 8, 11 3. 1, 4, 9, 16 4. 4, 9, 16, 25

5. 2, 4, 8, 16 6. 10, 100, 1000, 10000

2. 7 3. ไมม 4. 18 5. 47

6. 9 7. 17 8. 10 9. 15

10. 20

11. 1. 𝑎𝑛 = 𝑛 2. 𝑎𝑛 = 3 3. 𝑎𝑛 = 𝑛2 4. 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)2

5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 6. 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 7. 𝑎𝑛 = 10𝑛 8. 𝑎𝑛 = 10𝑛 − 1

12. 4 13. 5 14. 20 15. 512

33

ล ำดบเลขคณต

1. 1. เปน (𝑑 = 2) 2. ไมเปน 3. เปน (𝑑 = 3) 4. ไมเปน

5. เปน (𝑑 = −2) 6. ไมเปน 7. ไมเปน 8. เปน (𝑑 = 1

3)

9. ไมเปน 10. ไมเปน 11. เปน (𝑑 = 2) 12. เปน (𝑑 = 𝑎) 2. 3 3. 3 4. 7 5. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1

6. 𝑎𝑛 = −𝑛+7

2 7. 𝑎𝑛 =

𝑛

6 8. 88 9. 11

10. 34 11. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3 12. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 13. 19

14. 10 15. 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1

16. 1. 33 2. 19 3. 6 4. 46

5. 66 6. 20

17. 30 18. 16 19. 460 20. 4

21. −37 22. 9

20 23. 201 24. 11

25. 3 26. 296 27. 1.5 28. 9

29. 39 30. 27

ตวกลำงเลขคณต

1. 25 2. 3 3. 24 4. 7, 13

5. 20, 23, 26, 29 6. 7, 13, 19 7. −3, 2, 7, 12 8. 4, 28

ล ำดบเรขำคณต

1. 1. ไมเปน 2. เปน (𝑟 = 4) 3. เปน (𝑟 = 10) 4. เปน (𝑟 = 1

5)

5. เปน (𝑟 = 1

10) 6. เปน (𝑟 = 1) 7. ไมเปน 8. เปน (𝑟 = −1)

9. เปน (𝑟 = 1

3) 10. เปน (𝑟 = √3) 11. เปน (𝑟 = −

1

3) 12. เปน (𝑟 = −

√2

2)


13. ไมเปน 14. เปน (𝑟 = 𝑥)

2. 1. 𝑎𝑛 = 5 ∙ 3𝑛−1 2. 𝑎𝑛 = 48 ∙ (1

2)

𝑛−1 3. 𝑎𝑛 = 2 ∙ √2

𝑛−1 4. 𝑎𝑛 = (−1

2)

𝑛−1

3. 128 4. 2

9 5. 3√3 6. 11

7. 7 8. 2, −4, 8 กบ 8, −4, 2 9. −1 , 9

10. 3 11. ±2 12. 𝑎𝑛 = 2 ∙ 5𝑛−1 กบ 𝑎𝑛 = 2 ∙ (−5)𝑛−1

13. 9 14. 𝑎𝑛 = (−3)(−2)𝑛−1 15. 𝑎𝑛 = 5 ∙ 3𝑛−1 16. 20 ∙ 2𝑘−1 ; 320

17. 900 ∙ (0.9)𝑘−1 18. 1100 ∙ (1.1)𝑘−1 19. 1100 ∙ (1.1)𝑘−1 20. 1

21. 1 22. 1 23. 16√6 24. 125√5

25. 2 26. −1 27. 10

3 28. 5

29. 3 30. 1, 2, 3 31. 1

512 32. 88

33. (0.85)𝑡𝐴

ตวกลำงเรขำคณต

1. 1. ±12 2. ±10 3. 15√3 4. ±𝑎3

2. 75

3. ±5 , ±20

ใหจ ำนวนคนนคอ 𝑎 และ 𝑏 จำกสตรตวกลำงเรขำคณต จะได ±√𝑎𝑏 = ±10

ยกก ำลงสองทง 2 ขำง จะได 𝑎𝑏 = 100 …(1) และ จ ำนวนคนหำรกนได 4 แสดงวำ 𝑏𝑎

= 4 …(2)

(1) × (2) จะได 𝑎𝑏 ×𝑏

𝑎 = 400 → 𝑏2 = 400 → 𝑏 = ±20 แทนใน (1) จะได 𝑎 = ±5

4. 12, 24 5. 12, 18 6. ∓15, −45, ∓135

7. 6√2, 24, 48√2 192 8. 1 , 16 9. 4 , 27

2

ล ำดบเวยนเกด

1. −2 2. 360 , 𝑎𝑛 = 3𝑛 3. (−2)34 , 𝑎𝑛 = (−2)𝑛−1

4. 3

249 , 𝑎𝑛 = 3

2𝑛−1 5. −3 6. 123 7. 64

8. 23

อนกรม

1. 1. 7 2. 26

2. 1. 2 2. 17

3. 1. 1 2. 10 3. 15 4. 21

4. 1. −7 2. −15 3. −24 4. 26

5. 7

12 6. 57


สญลกษณซกมำ

1. 1. 3 + 6 + 9 + … + 30 2. (−2) + (−3) + (−4) + … + (−6)

3. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 4. 1

2 +

2

3 +

3

4 + … +

7

8

5. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 6. 11 + 22 + 33 + 44

7. (−2 ∙ 22) + (−3 ∙ 23) + (−4 ∙ 24) 8. 0 + 2 + 0 + 2 + … + 0 + 2

9. (−1) + 2 + (−3) + 4 + … +(−9) + 10 10. (2𝑎1 + 1) + (2𝑎2 + 1) + … + (2𝑎5 + 1)

2. 1. 5

1i

2𝑖 2. 11

1i

2𝑖 − 1 3. 10

1i

2𝑖−1

2𝑖 4.

6

1i

1

2𝑖

5. 6

1i

2𝑖−1

2𝑖 6. 7

1i

2𝑖−1 7. 10

1i

(𝑖 + 1)2 8. 8

1i

𝑖(𝑖 + 1)

9. 10

1i

𝑎𝑖 10. n

i 1 2𝑖

3. 12

อนกรมเลขคณต

1. 1. 1640 2. 900 3. 287 4. 168

5. −28 6. 155

2. 120 3. 570 4. 91 5. 31

6. 10 7. 6 8. 16 9. 10

10. 15 11. 40 12. 12 13. 1548

14. 9200 15. 19

16. 1. 344 2. 13 3. 23 4. 8

17. 1071 18. 3 19. 36 20. 55

21. 245 22. 390 23. 2, 3 24. 24300, 242400

25. 11 26. −38 27. 1300 28. 125

29. −550 30. 598

อนกรมเรขำคณต

1. 1. 255 2. 728 3. 129 4. 665

5. 252 6. 1020 7. 5115 8. 211

81

2. −342 3. 279 4. 66 5. 682

6. 61 7. 8

8. 1. 364 2. 635

9. 4 10. 171 11. 511.5 12. 1364

13. 511.5 14. 32

3 15. 12 16. 211


17. −2

เครดต

ขอบคณ คณ Jam Geejee

และ คณครเบรด จำก กวดวชำคณตศำสตรครเบรด ยำนบำงแค 081-8285490

ทชวยตรวจสอบควำมถกตองของเอกสำรครบ

ล ำดับ และอนุกรม - trueplookpanya...ล ำด บ และอน...

Documents