BiometriaBiológia Matematika

Biomatematika

Biológiai objektumok vizsgálata a matematika eszközeivel

MODELL

Determinisztikus Sztochasztikus

Hagyományos értelmezés: biol. jelenségről nyert adatokelemzése statisztikai következtetések levonásához

Tág értelmezés: nemcsak hipotézisvizsgálat

A biometria története – Főbb események

XVII. sz. A gyökerek

Statisztika

Valószínűségelmélet

J. Graunt (1620-1674)Adózás, népszámlálás.Pestisjárvány - Demográfia alapjai.

B. Pascal (1623 - 1662)

„Pascal háromszög”,valószínűségelmélet

alapjai

P. de Fermat(1601-1665)

JacquesBernoulli

(1654 - 1708)

Ars Conjectandi

„Nagy számok” törvénye.

A. De Moivre(1667-1754)

The Doctrine of Chances, London

Évjáradék számításNormális eloszlás és binomiális eloszlás kapcsolata

P. S. Laplace(1749 - 1827)

Klasszikus valószínűségi mező

K. F. Gauss (1777 - 1855)

„Gauss görbe”,Legkisebb négyzetekmódszere

Biológiai alkalmazások – XIX. sz.

A. Quételet(1796 - 1874)

Antropometria („átlagos ember”)

Statiszt. változékonyság

MTA Kültag

Sir F. Galton(1822 -1911)

A biometria megalapítója„eugenika” + statisztikaNaív korr-regr. – genetikábanBiol. variációGalton „deszka”

K. Pearson(1857-1936)

Deszkriptív statisztika,korrelációszámítás

Teljes kibontakozás XX. sz.

W. Gossett(1876 - 1937)„Student”

t

Sir R. A. Fisher (1890 - 1962)

Variancia,diszkriminanciaelemzésde pl. populációgenetika is

H

A

HALMAZOKHalmaz: alapfogalom! Nincs matematikai definíció

jele: A, B, C, .... Elemeinek jele: a, b, c, ..., g

Halmazhoz tartozás: a ∈ A vagy g ∈ A

Halmazok megadása, pl. felsorolással:A := {a, b, c, d, e }

Halmazok elemszáma:⏐ A ⏐ = 5

Részhalmazok:A ⊂ H

Venn-diagram

Műveletek halmazokkal1. Halmazok metszete: A ∩ B = C

üres halmaz: A ∩ B = Ø (A, B diszjunkt)

2. Halmazok egyesítése (uniója): A ∪ B = C

3. Halmazok különbsége: A - B = C = B

A B

AB

AB

4. Halmazok szimmetrikus differenciája: A B = C

5. Halmazok Descartes-féle szorzata: A x B = Cahol C az összes lehetséges rendezett elempárokhalmazaHa A:= {a, b, c } és B:= { d, e, f }akkor

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫=

cfcecd

bfbebd

afaead

:C

Halmazműveletek tulajdonságai * v. o1) Asszociativitás (csoportosíthatóság): a*(b*c) = (a*b)*c2) Kommutativitás (felcserélhetőség): a*b = b*a3) Disztributivitás (széttagolhatóság): (a*b)oc = (aoc)*(boc)

AB

RELÁCIÓK

(x,y) rendezett párok R tulajdonsága. Jelölése: x R Y

Legyen x ∈ A és y ∈ B. Ekkor a reláció:R ⊂ A x B

akkor adott, ha az R reláció legalább egy rendezett elempárra érvényes. Pl. táplálkozási reláció:A:= { macska, zebra, oroszlán } B:= { egér, sáska, fű }

ekkor R:= { me , zf }Tulajdonságok1) Reflexivitás x R x pl. =2) Szimmetria x R y ⇒ y R x pl. testvér3) Tranzitivitás x R y és y R z ⇒ x R z pl. rokon, ős

Speciális relációk:a) lineáris rendezési reláció: reflexív, tranzitív és xRy vagy yRx teljesül, pl. ≥b) ekvivalencia-reláció: mindhárom tulajdonság, pl. ?

Egy példa a tranzitív relációra

Cnidium silaifolium - gyíkvirág

Silaum peucedanoides -zöldes kígyókapor

Peucedanum carvifolia –köménylevelű kocsord

Carum carvi - kömény

GRÁFOKAdott H halmaz és egy R ⊂ H x H reláció. Szemléltetése gráffal történik.

csúcsok v. szögpontok

élek

Néhány definíció:Irányított gráf vs irányítatlan gráfSzögpont foka: adott csúcshoz futó élek számaTeljes gráf: minden csúcs össze van kötve a többivelVonal: élek és csúcsok sorozata melyben minden él különbözőZárt vonal: a vonal első és utolsó csúcsa azonosÚt: olyan vonal, ahol minden csúcs különbözőKör: olyan út, melynek első és utolsó csúcsa azonosÖsszefüggő gráf: bármely két csúcs között van útFa: olyan összefüggő gráf, melyben nincs kör

Gyökér nélküli fa Gyökeres fa