1

A differenciálszámítás alkalmazásai

Készítette: Dr. Ábrahám István

A diasorozat az Analízis 2. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2

A differenciálszámítás segítségével egzakt módon leírhatunk minden mozgást.

Így széleskörű a deriválás felhasználása különböző tudományágakban.

Leggyakrabban a függvények (azaz a társadalmi és természeti törvények) külön-böző jellemzőit határozzák meg a differenciálszámítással.

A differenciálható függvények vizsgálata

A függvények optimális értékeit számolhatjuk ki, a növekedés és csökkenés szakaszaitadhatjuk meg és még sok más információt nyerhetünk a függvényekről a deriválással.

A függvény növekedése, fogyása

Ha f’(x0)>0, akkor f(x) növekedően halad át az x0 ponton.

Vizsgáljuk az x0-ban és környezetében folytonos f(x) függvényt.

Az indoklás: felvesszük a pontbeli deriváltat, a differenciálhányadost:

.xΔ

)x(f)xΔx(flim

xΔ

yΔlim)x('f o0

00o

Ha egy szám (f’(x0)) pozitív, akkor a vele egyenlő tört

számlálója és nevezője azonos előjelű.

Ha x pozitív, akkor a y isaz, a függvény növekvő:

f(x)

x

x

y

o

Ha viszont a x negatív(az x0-tól balra vettük fel),akkor a y is, ami szinténnövekedést jelent:

x

f(x)f(x )

x

y

o

o

3

Példa: az f(x)=x2–2x+3 függvénynél vizsgáljuk meg a derivált előjelét az x0=2 pontban.

Deriválás: f’(x)=2x–2, így tehát: f(2)=4–2=2>0.

Ez azt jelenti, hogy a függvény növekvően halad át az x0=2 abszcisszájú ponton.

1 2 3

2

4

6

P (2;3)

f(x)

o

Tudjuk: x2–2x+3=(x–1)2+2 és „elhittük”: a függvényünk (1;2) csúcspontúegyenes állású parabola, amely a P0(2;3) ponton növekvően halad át.

A differenciálhányados előjele viszont bizonyítja ezt!

A differenciálhányados értéke azt is jelenti, hogy a ponthoz tartozó érintő iránytangense 2 (pozitív, tehát az érintő „emelkedő” egyenes).

Megjegyzés: a differenciálhányados képzésnél x0. Ha a függvény folytonos az x0

környezetében, akkor a y előjele a határérték képzésnél változatlan marad.

Ha f’(x0)< 0, akkor f(x) csökkenően halad át az x0 ponton.

Az állítás indoklása teljesen analóg a növekvő függvénynél látottal.

Példa: legyen ismét f(x)=x2–2x+3, és most az x0=0,5.

Az f’(x)=2x–2, tehát: f(0,5)=–1<0, ami csökkenést jelent.

A függvény adott pontjához húzott érintőiránytangense negatív, az érintő „lejtős”egyenes.

-1 1 2 3-1

1

2

3

4

5

6

4

Tétel: az [a;b]-on a (deriválható) f(x) függvény akkor és csak akkor monoton növekvő,ha a szakasz minden pontjában az első derivált nem negatív: f’(x) 0.

Csökkenő a függvény, ha minden pontban f’(x) 0.

Példa: adjuk meg az f(x)=x2–2x+3 függvény monotonitási szakaszait!

A derivált: f’(x)=2x–2, ahol f’(x)>0, ott növekvő a függvény: 2x–2>0, azaz x>1.

Tehát az x>1 intervallumon a függvény végig (szigorúan monoton) növekvő.

Ahol f’(x)<0, ott csökkenő a függvény, azaz az x<1 intervallumon.-2 -1 1 2 3 4-1

123456

Definíció: az x0 pontot a függvény stacionárius pontjának nevezzük, ha f’(x0)=0.

A stacionárius pontban az érintő iránytangense 0, azaz az érintő párhuzamos az x tengellyel.

Példa: az f(x)=x2–2x+3 deriváltja: f’(x)=2x–2, ott van stacionárius pont, ahol 2x–2=0.

Tehát az x0=1 helyen a függvénynek stacionárius pontja van.

o

A Ps stacionárius pont y=2 „magasságban” van: Ps(1;2), az érintő iránytangense 0.

o

Tétel: ha az f(x) függvény az x0 környezetében deriválható és az x0 stacionárius pont,akkor: ha a derivált függvény az x0-ban előjelet vált, az f(x) függvénynek ebbena pontban helyi szélsőértéke van.

A helyi szélsőértéket általában lehet „fordulópont értelemben vett” szélsőértéknek is nevezni.

Ugyanis ebben a pontban „fordul át” a függvény csökkenőből növekvőbe, vagy növekvőbőlcsökkenőbe.

5

Belátni a tétel igazát egyszerű:

Ha az x0 „előtt”, azaz az x0-nál kisebb számok esetén a derivált negatív,az x0 után pozitív, akkor a függvény az x0-ba csökkenően érkezik és növekvően megy tovább, tehát minimuma van. x0

Ha viszont az xHa viszont az x00 „előtt” a „előtt” a derivált pozitívderivált pozitív, az x, az x00 után után negatívnegatív, akkor az f(x)-nek az x, akkor az f(x)-nek az x00-ban -ban helyihelyi

maximumamaximuma van. van. Példa: az f(x)=x2–2x+3 függvénynek az x0 =1 helyen stacionárius pontja van.

Az x0 „előtt” (tőle balra) az f’(x) negatív, így az eredeti f(x) csökkenően érkezik ide.

Az x0 után (tőle jobbra) az f’(x) pozitív, tehát az eredeti f(x) növekvően halad tovább, ígyaz x0-ban helyi minimum van.

A minimum értéke, azaz az x0 pontban felvett függvényérték 2.

Írhatjuk így is: a helyi szélsőérték a függvényünknél: Pmin(1;2).

Megjegyzések

1. A stacionárius pontban nincs mindig szélsőérték!

Szükséges a szélsőértékhez a derivált előjelváltása az x0-ban.

Például az f(x)=x3 esetén f’(x)=3x2, így az x0=0 stacionárius pont.

A derivált előjele az x0=0 előtt is és után is pozitív, tehát a 0 helyen nincs szélsőérték!

Érdekesség: az érintő iránytangense a 0 helyen 0, az érintő maga az x tengely.

-1 1

-1

1

6

2. Lehet helyi szélsőérték olyan pontban is, ahol a függvény nem differenciálható.

Például az f(x)=lxl-nek az x0=0 pontban lokális szélsőértéke van.

-2 -1 1 2 3-1

1

2

3

Az lxl függvény – mint tudjuk – az x0=0 helyen nem differenciálható.

Példa: adott az 5x3x3

x)x(f:f 2

3

függvény.

Határozzuk meg az f(x) helyi szélsőértékéit és monotonitási szakaszait!

Szélsőértéke egy mindenütt deriválható függvénynek ott lehet, ahol f’(x)=0.

Megkeressük a stacionárius pontokat: f’(x)=x2+2x–3=0, ebből: x1=–3 és x2=1.

Helyi szélsőérték lehet az x1=–3 és x2=1 pontokban.

A derivált A derivált előjele –3-tól balraelőjele –3-tól balra, például –4 helyen: , például –4 helyen: f’(–4)>0f’(–4)>0, tehát az f(x) a –3-hoz , tehát az f(x) a –3-hoz növekvőennövekvőenérkezik, érkezik, –3 után–3 után, például a –2 helyen: , például a –2 helyen: f’(–2)<0f’(–2)<0, azaz f(x) –3 után , azaz f(x) –3 után csökkenőencsökkenően halad tovább. halad tovább.

Így az x1=–3 helyen lokális maximum van, értéke=4. Írható így is: Pmax(–3;4).

Az Az xx22=1=1 előtt előtt f’(x)<0f’(x)<0 (láttuk: f’(–2)<0 ), az x (láttuk: f’(–2)<0 ), az x22-től -től jobbrajobbra, például a 2 helyen: , például a 2 helyen: f’(2)>0f’(2)>0. .

Így x2-ben a függvénynek helyi minimuma van. A minimum értéke:

.3

20;1P:Tehát.

3

20531

3

1)1(f min

A függvény képe:

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

f(x)A függvény folytonos (hatványfüggvény), így a „fordulópontjai”,a helyi szélsőértékek határozzák meg a monotonitási szakaszokat:

] –;–3]: az f(x) növekvő, [–3;1]: az f(x) csökkenő, [1; [: az f(x) növekvő.

7

Szélsőérték keresés a második deriválttal

Tétel: ha az f(x) az x0 pontban kétszer deriválható, szélsőértéke x0-ban akkor lehet, haaz első derivált értéke itt 0, azaz: f’(x0)=0, és ha ebben a pontban a másodikderivált nem nulla, azaz: f’’(x0)0, akkor van szélsőérték.

A szélsőérték minősége: ha f’’(x0)>0, akkor x0–ban helyi minimum van;

ha f’’(x0)<0, akkor x0–ban helyi maximum van.

Bizonyítás: ha f ’’(x0)>0, akkor f ’(x) az x0-ban növekvő.

Mivel f ’(x0)=0, ezért az f ’(x) az x0 előtt negatív, az x0 után pozitív (az f ’(x) az x0–ban„megy át” az x tengelyen, azaz vált előjelet). Tehát itt az f(x)-nek helyi minimuma van.A helyi maximumra teljesen analóg a bizonyítás

Példa: az 5x3x3

x)x(f 2

3

függvénynél az első derivált: f ’(x)=x2+2x–3.

Ennek zérushelyei: –3 és 1.

-3 -2 -1 1 2

-5-4-3-2-1

12

f(x)

A második derivált függvény: f ”(x)=2x+2.

y’

-3 -2 -1 1

-4-3-2-1

1234

2x+2

A második derivált értéke a –3 he-lyen negatív, így az első derivált a–3-ban csökkenő.Az első derivált a –3-nál megy átaz x tengelyen (azaz f ’(–3)=0), így–3 előtt pozitívak az első deriváltfüggvényértékei, utána negatívak.

Tehát a stacionárius pontban az első derivált előjelet vált.

Így az eredeti f(x) függvénynek a –3 helyen szélsőértéke van, ami helyi maximum.

8

A második deriváltakat felhasználó szélsőérték keresés nem túl egyszerű. Megfigyelhetjük,hogy tulajdonképpen „visszafelé” haladunk, a második derivált előjeléből az első derivált függvény menetére következtetünk először.

Példa: adjuk meg az2x2 ex)x(f függvény szélsőértékeit és monotonitási szakaszait!

Felhasználjuk az első és a második deriváltakat:

).xx(e2)x2(exxe2)x('f 3xx2x 222

).1x5x2(e2)x(''f 24x2

Ott lehet szélsőérték, ahol f ’(x)=0, azaz: .0)xx(e2 3x2

Akkor Akkor van szélsőértékvan szélsőérték ezeken a helyeken, ha a ezeken a helyeken, ha a második deriváltmásodik derivált értéke értéke nem nullanem nulla. .

A A második deriváltmásodik derivált pontbeli pontbeli előjelébőlelőjeléből a a szélsőérték minőségétszélsőérték minőségét is meg tudjuk adni. is meg tudjuk adni.

Ebből: x1=–1, x2=0 és x3=1.

f”(–1)<0, tehát az x1=–1 helyen van szélsőérték és ez maximum, értéke: f(–1) 0,3679.

f”(0)>0, azaz az x2=0-nál minimum van, értéke 0.

f”(1)<0, így az x3=1-nél is maximum van értéke e-1. Összefoglalva :Pmax(–1; e-1), Pmin (0;0), Pmax(1; e-1).

A monotonitási szakaszok:

]–;–1] szakaszon f(x) növekvő,

[–1;0]: csökkenő,

[0;1] : szintén növekvő,

[1; [ : csökkenő.

A függvényünk folytonos, így a helyi szélsőértékekhatározzák meg a monotonitási szakaszokat.

A függvény képe:

-2 -1 1 2 3

f(x)0,3

0,4

9

Megjegyzések

1. A monotonitás vizsgálatánál intervallum határpontként az xo szakadási helyet isfigyelembe kell venni, ha ott nem megszűntethető szakadása van a függvénynek.

A nem megszűntethető szakadás helyén lehet a függvénynek „tágabb értelemben vett” szélsőértéke és ekkor monotonitást válthat a függvény a szakadási helyen.

Példa: az2x

1)x(f esetén:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1

1

2

3

4

5

f(x)

A 0 helyen „tágabb értelem-ben vett” határértéke van afüggvényünknek, a 0-nál f(x) monotonitást vált.

Viszont azx

1)x(f függvénynél:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

1x_

A függvényünk az x=0-nálnem vált monotonitást, 0-igis, és 0-tól is csökkenő.

Tudjuk: a tágabb értelemben vett határérték egy x0 helyen baloldaliés/vagy jobboldali végtelen, vagymínusz végtelen lehet.Tágabb értelemben a -ben, vagy a - -ben vehetjük a határértéket.

2. Ha a folytonos függvény egy intervallumon konstans (azaz a gráfja párhuzamos az xtengellyel), akkor f’(x)=0 az egész szakaszon.

Fordítva: ha egy folytonos függvény első deriváltja egy szakaszon 0, akkor ez legtöbb-ször konstans függvényt jelez.

A „legtöbbször”, „általában” szavakat a kivételek miatt használjuk. Például az f(x)=x3 szigo-rúan monoton nő a [–1;1] szakaszon, holott: f’(0)=0.

10

A függvény görbülete, inflexiós pontja

A függvény görbületét mindig „alulról nézve” határozzuk meg, a domborút konvexnek,a homorút konkávnak nevezzük.

Példa:

f(x)

a b co o o

io

P

A felrajzolt függvény az [a;b] szakaszon konkáv (homorú alulról nézve),

a [b;c] szakaszon konvex (domború).

A Pi pontban a függvény görbülete megváltozik, ezt a pontotinflexiós pontnak nevezzük.

A görbület a gráfhoz húzott érintőkkel is meghatározható.

Tétel: ha az f(x) függvény az értelmezési tartományának egy szakaszán differenciálhatóés ezen a szakaszon a derivált függvény növekvő, akkor az f(x) függvény azintervallumon konvex.

Ha viszont az f ’(x) derivált függvény csökkenő, akkor az adott szakaszon az f(x) konkáv.

„A derivált növekvő” geometriailag azt jelenti, hogy az érintők iránytangensei nőnek. Rajzon:

x

y

f(x)

A „lejtős” érintők jobbra haladva „emelkedők” lesznek.

Következmény: ha egy intervallumon az f ”(x)>0, akkor az f ’(x)növekvő, tehát az eredeti f(x) konvex.

Ha pedig az f ”(x)<0, akkor az f(x) konkáv.

Az inflexiós pontban a második derivált előjelet vált, így ott f ”(x0)=0, de f ’’’(x§)0.

11

Példa: adjuk meg az f(x)=x3/3+x2–3x–5 inflexiós pontjait, konvex és konkáv szakaszait!

Az f(x)-nek abban az xo pontban lehet inflexiós pontja, ahol f ”(xo)=0.

Ebben az xo pontban akkor van inflexiós pont, ha f ”’(xo)0. (Ha létezik az f ’’’(xo).)

Szükség van az első és a második deriváltra: f ’(x)=x2+2x–3 és f ”(x)=2x+2.

Ha f ”(x)=2x+2=0, akkor x=–1. A harmadik derivált: f ”’(x)=2 0, így x=–1-nél f(x)-nekinflexiós pontja van. A függvényérték itt: –7/3 , tehát Pi(–1; –7/3 ).

A görbületi szakaszok: az f ”(x)>0, ha 2x+2>0, azaz x>–1. Ha x<–1, akkor f ”(x)<0.

A függvényünk tehát a ]–;–1] intervallumon konkáv, a [–1;[ szakaszon konvex.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4 Példa: adjuk meg a monotonitás szempontjából már vizsgált2x2 ex)x(f

függvény inflexiós pontjait.

A második derivált: .1x5x2e2)x("f 24x2

Inflexiós pont ott lehet, ahol f ”(x)=0.

Megoldandó: 2x4–5x2+1=0. Innen: .4

175x 2,1

2

A gyökök: x1=–1,51; x2=–0,47; x3=0,47 és x4=1,51.

Belátható, hogy a harmadik derivált egyik pontban sem 0(azaz f”’(xi) 0), így négy inflexiós pont van. A függvény gráfját már láthattuk. -2 -1 1 2 3

f(x)0,3

0,4

12

Megjegyzések

1. A függvény nem megszűntethető szakadási helye lehet tágabb értelemben vett inflexiós pont (görbületváltási hely).

Példa: az x

1)x(f görbületeit vizsgáljuk. Ehhez: .

x

2)x("fés

x

1)x('f 32

Az f ”(x)<0, ha x<0, azaz a ]–; 0[ intervallumon a függvény konkáv és f ”(x)>0, ha x>0,azaz nullától jobbra a függvény végig konvex.

2. Szoktunk beszélni tágabb értelemben vett görbületről: egy függvény tágabb értelem-ben konvex, ha az adott szakaszon nem konkáv.

Példa: vizsgáljuk meg görbület szempontjából a következő függvényt:

1xha,1x2

1x2ha,3

2xha,1x2

l2lxl1lx)x(fAz abszolútérték függvényt átírhatjukabszolút érték mentes alakba, így az ábrázolás egyszerűbb lehet.

A függvény képe:

-2 -1 1 2 3-1

1

2

3

4

5

f(x) A függvény tágabb értelemben konvex, hiszena töréspontok kivételével f ”(x)0.

13

3. Határérték számolás különleges esetekben

A bonyolultabb határérték számításokhoz gyakran trükköket kell kitalálnunk. A l’Hospitalszabály alkalmazása ezt elkerülhetővé teheti.

A l’Hospital szabály

Ha az)x(g

)x(ffüggvény helyettesítési értéke az xo helyen

vagy,0

0alakú, akkor:

.)x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

oo xx

VigyázatVigyázat: nem a törtet kell deriválni! : nem a törtet kell deriválni!

Példa: adjuk meg az 9x

6x5x2

2

határértékét az 1, a 2, a 3 helyeken, illetve a -ben!

A kifejezést tekinthetjük racionális törtfüggvénynek, amely –3 és 3 kivételével folytonos, így:

és4

1

8

2)1(f

9x

6x5xlim 2

2

1

.07

0)2(f

9x

6x5xlim 2

2

2

9x

6x5xlim 2

2

3

(a számláló és a nevező helyettesítési értékeis 0, így a l’Hospital szabály alkalmazható)

.6

1

x2

5x2mli

3

9x

6x5xlim 2

2(a számláló és a nevező helyettesítési értékeis , így a l’Hospital szabály alkalmazható) x2

5x2lim

.1

2

2lim

A szabályt mégegyszer alkalmaztuk.

A l’Hospital szabály a határérték számolásra csak az adott feltételekkel használható!

14

Példa: .Nk?x

elim k

x

A feladatban tulajdonképpen az exponenciális és a hatvány-függvény „növekedési sebességét” hasonlítjuk össze.

A l’Hospital szabály alkalmazható, hiszen a helyettesítési érték: .

.!k

elim...

x)1k(k

elim

xk

elim

x

elim

x

k

x

1k

x

k

x

Az Az eexx minden deriváltja önmaga, az minden deriváltja önmaga, azxxkk k-adik deriváltja k-adik deriváltja k!k!, ami konstans., ami konstans.

Tehát az exponenciális függvény „dominánsabb” a hatványfüggvénynél.

4. „Bonyolultabb” függvények közelítése hatványfüggvényekkel

A függvények sorfejtése

Tétel: ha az f(x) függvény tetszőlegesen sokszor deriválható, akkor az

...)xx(!n

)x(f...)xx(

!2

)x(''f)xx(

!1

)x('f)x(f n

oo

)n(2

oo

oo

o

hatványsort az f(x) függvény xo-hoz tartozó Taylor sorának nevezzük.

Ha az xo=0, akkor a sort MacLaurin sornak nevezzük. Tehát az f(x) MacLaurin sora:

...x!n

)0(f...x

!2

)0(''fx

!1

)0('f)0(f)x(f n

)n(2

Ezek a formulák teszik lehetővé a „bonyolult” függvények közelítését egyszerűhatványfüggvényekkel.

15

Példa: írjuk fel az f(x)=sinx MacLaurin sorát.

A deriváltak helyettesítési értékeit külön kiszámoljuk:

f(0)=sin0=0. f ’(x)=cosx f ’(0)=1. f ’’(x)=–sinx f ’’(0)=0. f ’’’(x)=–cosx f’’’(0)=–1.

f””(x)=sinx f””(0)=0, és minden kezdődik elölről.

Helyettesítünk a MacLaurin sor képletébe:

Tehát a sinx MacLaurin sora: ...!5

x

!3

xxxsin

53

Ha ábrázoljuk az!5

x

!3

xx)x(f

53

függvényt (a sorfejtésnek az első 3 tagját vesszük):

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

y=sinx

f(x) Láthatjuk, hogy a

2;

2szakaszon ez a függvény jól

közelíti a sinx függvényt.

Pontos formulák léteznek a közelítés hibájának megadására.

Ha nem a nulla környezetében (MacLaurin sor) akarjuk köze-líteni a függvényt, hanem tetszőleges xo-nál, akkor az általá-nosabb Taylor sort használjuk.

Hasonlóan egyszerűen levezethető, érdemes (célszerű) „fejből” tudni a következőket:

...!6

x

!4

x

!2

x1xcos

642

...!n

x...

!3

x

!2

xx1e

n32x

Az lnx függvény hatványsorát (mivel a függvénynek és deri-váltjának a 0 helyen nincs helyettesítési értéke) valamelypozitív xo helyen képezzük.

A fejezet tárgyalását befejeztük.

...x!5

1x

!4

0x

!3

1x

!2

0x

!1

10xsin)x(f 5432