differenciálszámítás bevezetés, alapismeretek

1

Differenciálszámítás

Bevezetés, alapismeretek

Készítette: Dr. Ábrahám István

A diasorozat az Analízis 2. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2

A differenciahányados fogalma

A függvény (amely bizonyos, a gyakorlati életben előforduló összefüggéseket írhat le) növe-kedése, illetve csökkenése fontos jellemző, mindennapi életünk is függhet tőle.

Vegyünk fel egy egyváltozós, az [a,b] intervallumon folytonos f(x) függvényt:

P (x ,y )

f(x)

xa b

f(x )

o o

o

o

o

Vizsgáljuk meg, hogy az értelmezési tartományának egyx0 abszcisszájú belső pontjához tartozó P0 ponton afüggvény növekvően vagy csökkenően halad-e át.

Analitikus (logikai, nem vízuális) módszerrel kell válaszol-nunk, hiszen ha az értelmezési tartomány végtelen, akkora pontos rajz elkészítéséhez végtelen sok számpár ismere-tére lenne szükség, amelyeknek kiszámolása lehetetlen.

Vegyünk fel az x0 értékénél Δx-szel ("egy picivel") nagyobb számot (azaz legyen Δx>0)úgy, hogy még az értelmezési tartományon belül maradjunk.

P (x ,y ) f(x)

f(x ) f(x + x)

x x + xx

xy

y

x

o o o

o

o o

o

A Δx az x tengelyen felvett két pont távolsága, az x0+Δxés x0 értékek különbsége, (elnevezés) a differencia.

Képezhető a függvényértékek különbsége is, amit Δy-naljelölünk: f(x0+ Δx)–f(x0) = Δy.

A Δy tehát adott x0 és Δx értékeknél egy szám, értékéből(nagyságából, előjeléből) már lehetnek sejtéseink a függ-vény x0-beli növekedéséről, vagy csökkenéséről.

3

Ha a Δy pozitív, akkor lehetséges, hogy növekvő x0-ban az f(x).

x

y

f(x)

x

y

xo

Ha a Δy „jó nagy" pozitív szám, akkor ez gyors növekedést jelezhet.

Ha a Δy negatív szám, akkor ez csökkenést jelezhet.

A Δx-et egy-egy adott x0 értékhez nem tudjuk mindig ugyanolyan nagyságban felvenni,mert például már „túlnyúlnánk" az értelmezési tartomány felső határánál.

A A Δyy-okból a növekedésre-csökenésre így -okból a növekedésre-csökenésre így hamishamis információt kaphatunk. információt kaphatunk.

Célszerű a vizsgálatban egységnyi Δx-re vonatkoztatni, azaz képezzük a

xΔ

)x(f)xΔx(f

xΔ

yΔ oo

hányadost. A két különbség hányadosát differenciaciahányadosnak nevezzük.

Példa: vizsgáljuk meg az y=f(x)=x2+2x+2 függvény monotonitását az x0=–1 pontban!

-2 -1 1

1

2

3

4

5 P

P

x

y

o

1

Legyen először Δx=2.

Ekkor: Δy =f(x0+Δx)–f(x0)=f(-1+2)–f(-1)=12+2∙1+2–((-1)2+2∙(-1)+2)=5–1=4.

A differenciahányados: .22

4

x

y

A differenciahányados értéke növekedést (mert pozitív), mégpedig relatívgyors növekedést (mert értéke 2) sejtet.

4

Legyen ezután a Δx = 3.

-2 -1 1 2-1

123456789

10 P

P

x

y

o

1

2

Ekkor: Δy=f(-1+3)–f(-1)=10–1=9.

Az új differenciahányados: .33

9

x

y

A P0P2 egyenes meredekebb, azaz a differenciahányados az előző-nél gyorsabb átlagos növekedést jelez a P0 és P2 pontok között.

Látható, hogy a differenciahányados értéke a Δx nagyságától függ,rögzített x0 esetén a Δx-nek a függvénye.

Definíció: legyen x0 az [a,b] intervallumon folytonos f(x) függvény belső pontja, és haaz x0+Δx érték az [a; b]-ba esik, akkor a

xΔ

)x(f)xΔx(f

xΔ

yΔ oo

hányadost az f(x) függvény x0 pontjához és Δx értékhez tartozó differenciahányadosá-nak nevezzük.

A differenciahányados geometriai jelentése: a függvénygörbe P0(x0;y0) pontján és aPi(x0+Δxi; f(x0+Δxi)) ponton átmenő szelő iránytangense. Megjegyzés: a Δx értéke lehet negatív is, azaz a rögzített P0 ponthoz képest a P1, P2,…, Pn,…

pontok elhelyezkedhetnek a P0-tól balra is, a differenciahányados ugyanúgyszámolható és geometriai jelentése ugyanúgy a P0 és a Pi (i=1, 2, …n, …) pontokhoz tartozó szelő iránytangense.

5

A differenciálciálhányados

A differenciaciahányados a függvény x0 pontbeli monotonitásáról hamis adatot adhat.

Például vegyünk fel egy függvényt:

P

P

x

y

o

1

2

f(x)

x xo o+ x

A rajzunkon az adott Δx-hez pozitív Δy tartozik, azaz átlagosanátlagosannövekedést jelez a differenciahányados, a szelő iránytangensepozitív. A függvény viszont az x0-ban (láthatóan) csökkenő.

Hangsúlyozzuk: állításainkat nem szemléletes alapon akarjukmeghozni, a vizualitást a könnyebb megértés céljából vetjük be!

A Δx-ek viszont különböző nagyságban vehetők fel. Ha „egyrekisebb” Δx értékeket veszünk fel, az átlagolásból adódó hiba lehetősége egyre kisebb lesz.

Ha a Δx értékét „határhelyzetben végtelenül kicsire” vesszük, akkor a függvény x0-belimonotonitásáról teljesen pontos adatot kapunk!

P

P

x

y

o

1

2

f(x)

x xo o+ x

P

x+ +

1

1o 2

Geometriailag ez azt jelenti, hogy az egyre kisebbre választottΔx-ekhez tartozó szelők „egyre kisebb darabot szelnek le” a függvényből és határhelyzetben a szelőből érintő lesz.

Az érintő iránytangense (előjele, nagysága abszolút értékben)már teljesen pontos adatot ad a függvény x0-beli monotonitásáról.

6

Példa: vizsgáljuk meg az y = f(x) = x2+ 2x + 2 monotonitását egy pontban!Legyen x0= 1

-2 -1 1 2

2

4

6

8

f(x)

Képezzük a differenciahányadost úgy, hogy a Δx értéke nem konkrétszám lesz, hanem a Δx lesz a kifejezés változója.

A számoláshoz felírjuk először a differenciát, a Δy-t:

Δy=f(x0+ Δx)–f(x)=f(1+Δx)–f(1)=(1+Δx)2+2(1+Δx)+2–(12+2∙1+2)==1+2Δx+(Δx)2+2+2Δx+2–5=4Δx+(Δx)2.

A differenciahányados: .x4x

)x(x4

x

y 2

Vegyük egyre „kisebbre" a Δx-et:

A „határhelyzetben végtelenül kicsi"-vé válásra szakszerűbb kifejezést is használhatunk: aΔxi értékek sorozata nullához tart, azaz (Δxi) 0. Más jelöléssel: lim Δxi=0. (i =1,2,…,n,…)

.4)x4(limx

ylim

0x0x

A számadatunk növekedést (mert a 4 pozitív) és „elég gyors”növekedést jelez.

A határérték képzéskor adódó számot nevezzük az x0 helyen vett differenciál hányadosnak.

Definíció: legyen x0 az f(x) értelmezési tartományának belső pontja. Ha létezik az x0-hoz tartozó differenciahányados függvénynek véges határértéke a (Δx) 0esetben, akkor ezt a számot az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhánya-dosának nevezzük és f’(x0)-lal jelöljük:

).x('f:x

)x(f)xx(flim

x

ylim 0

00

0x0x

7

Geometriailag: a differenciálhányados az f(x) függvény x0 abszcisszájú pontjáhoztartozó érintőjének az iránytangensét jelenti.

Példa: írjuk fel az y=f(x)=x3 függvény x0=2 pontjához tartozóérintője egyenletét!

Az érintő egy egyenes, egyenlete felírásához kell egy pont (ha x0=2,akkor y0 =8), és egy irány, amit kifejezhetünk az iránytangenssel:

tgtg =m=f'(2). =m=f'(2).Az f’(2) felvételéhez:

-1 1 2-2

2

4

6

8

10

12

x

y

f(x)

Δy=f(2+Δx)–f(2)=(2+Δx)3–23=8+3∙4∙Δx+3∙2∙(Δx)2+(Δx)3–8= =12Δx+6(Δx)2+(Δx)3.

A differenciálhányados: .m12))x(x612(limx

)x()x(6x12lim

x

ylim)2('f 2

0x

32

0x0x

Az érintő: y–y0=m(x–x0), helyettesítés: y–8=12(x–2)=12x–24, rendezve: y=12x–16.

Szeretnénk a differenciálhányados kiszámításának gyakran hosszadalmas, monoton eljárásátegyszerűbbé tenni.

Definíció: azt a függvényt, amely az f(x) függvényhez az értelmezési tartomány mindenpontjában az illető ponthoz tartozó (és létező) differenciálhányadost rendelihozzá, az f(x) derivált függvényének nevezzük és f’(x)-szel jelöljük:

.x

)x(f)xx(flim

x

ylim)x('f

0x0x

Szokás adx

dyahelyett

x

ylim

0x

szimbólumot írni.

8

A differenciálhányados kiszámolásának eljárásával a derivált egyszerűen meghatározható:

a rögzített x0 szám helyére x-et kell írni a differenciahányadosba és venni a határértéket.

(Az x ilyenkor az értelmezési tartomány bármely belső pontját jelenti.)

Például: adjuk meg az f(x)=x2 +2x+2 deriváltját!

Az „x0 helyébe x-et írunk” elvet alkalmazzuk, a Δy-t külön kiszámoljuk:

Δy=f(x +Δx)–f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)+2–(x2+2x+2)=x2+2x∙Δx+(Δx)2+2x+2Δx+2–x2–2x–2==2x∙Δx+2Δx+(Δx)2.

A derivált:

.2x2)x2x2(limx

)x(x2xx2lim

x

ylim)x('f

0x

2

0x0x

A derivált bármely helyettesítési értéke megadja az adott pontbeli differenciálhányadost.

Így is mondhatjuk: a derivált a differenciálhányados pontokból álló függvény!

Ha az x0=1, akkor a differenciálhányados a deriváltból számolva: f’(1)=21+2=4.

-2 -1 1 2

2

4

6

8

f(x)

A differenciálhányados egy szám, az adott pontban az érintő irány-tangense, a derivált pedig függvény, külön geometriai jelentése nincs.

Egyszerűen számolható a függvényünk érintője bármely más pontban.

Például ha: :akkor,2

1x0 .

2

32

2

12

2

12y

2

0

Az érintő: y–y0=m(x–x0) és: .m122

12

2

1'f

Helyettesítés után az érintő egyenlete: y=x+2.

9

Az alapfüggvények deriváltjai A hatványfüggvényeket, valamint a trigonometrikus és az exponenciális függvényekettekintjük alapfüggvényeknek.

A hatványfüggvény, az y=f(x)=xn deriváltja: f'(x)=n∙xn-1 . (Az n racionális szám.)

A bizonyítást lásd a tankönyvben.A bizonyítást lásd a tankönyvben.

Példa: (x2)' = 2x1=2x ; (x3)' = 3x2,…és így tovább.

Jegyezzük meg: x’=(x1)' = 1∙x0=1, illetve: (x0)' = 1' = 0∙x-1=0.

;x

1x1)'x(

x

12

21'

.

x2

1x

2

1)'x()x( 2

1

2

1'

A sinx deriváltja cosx, a cosx deriváltja –sinx: (sinx)' = cosx és (cosx)' = –sinx.


Példa: írjuk fel az y = sinx érintőjének egyenletét az x0= /3 pontban!

Felvesszük az y0 értékét: .2

3

3siny0

A derivált: f'(x) = cosx.

A differenciálhányados: .m2

1

3cos

3'f

Az érintő: .2

3

6x

2

1y

(Helyettesítés,(Helyettesítés,rendezés után.)rendezés után.)

A tangens, cotangens deriváltjára még visszatérünk.

Az f(x) = ax (a 0) deriváltja:(ax)' = axlna.


Példa: (3x)' = 3x∙ln3.

Speciálisan: ha a=e, akkor (ex)'=ex∙lne=ex.

Igaz: .alnx

1')x(loga Speciálisan: ha a=e: .

x

1xln '

10

A deriválás műveleti szabályai

A konstans szorzó deriválásnál „kiemelhető”: [c∙f(x)]' = c∙f'(x), ahol c R.

Példa: 5x3=5∙(x3)' = 5∙3∙x2=15x2.

A bizonyítás egyszerű:

x

)x(cf)xx(cflim

x

ylim)x(fc

0x0x

'(a határérték képzés mű-

velettartó, így c a limes elé kiemelhető) = ).x('fcxΔ

)x(f)xΔx(flimc

0xΔ

Például: (5x3+3sinx)’=15x2 +3cosx.

Két vagy több függvény összegét tagonként deriválhatjuk: [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x).


A függvények különbségét is tagonként deriválhatjuk (hiszen a-b=a+(-1)b).

Elmondható: a deriválás a konstanssal való szorzásra és az összeadásra nézve művelettartó.

Két függvény szorzatának deriválása: [f(x)∙g(x)]’=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x).

A deriválás a függvények szorzásánál nem művelettartó. A bizonyítást lásd a tankönyvben.A bizonyítást lásd a tankönyvben.

Például: (x6cosx)’=(x6)’cosx+x6(cosx)’=6x5cosx-x6sinx.

Az állítás általánosítható, például 3 tényezőre: (f∙g∙h)’=((fg)’∙h)’=(fg)’h+fg∙h’=f’gh+fg’h+fgh’.

Két függvény hányadosának deriválási szabálya: .)x(g

)x('g)x(f)x(g)x('f

)x(g

)x(f2

l

Szavakkal: tört deriváltja egyenlő: a számláló deriváltja szorozva a nevezővel, mínusz aszámlálószor a nevező deriváltja és ez osztva a nevező négyzetével.

Bizonyítás:Bizonyítás:lásd tankönyv.lásd tankönyv.

11

Példa tört deriválására:

.

3x2

x6533x25ln53

3x2

'3x2533x2'53

3x2

5323

2x3x

23

3x3xl

3

x

A szabály alkalmazásaként deriváljuk a tg és a ctg függvényeket:

xcos

'xcosxsinxcos'xsin

xcos

xsin')x(tg

2

l xcos

1

xcos

xsinxcos

xcos

xsinxsinxcosxcos22

22

2

A ctgx deriváltja hasonlóan vezethető le, a végeredmény:

).xctg1vagy(xsin

1'ctgx 2

2

A tgx és a ctgx deriváltját illik fejből tudni!

Az összetett függvény deriválása: y’=f’u∙u’x.

(Az összetett függvény: y=f(u(x)), az f’u az u változó szerinti deriváltat jelenti.)


Például: az f: f(x)=(3x2+2x+1)5 -ben „első utasításon” (a belső függvény) a zárójelben lévőkifejezést értjük, azaz: u(x)=3x2+2x+1, a külső függvény: f(u)=u5=f(u(x)).

Az y=(3x2+2x+1)5 deriválása: u(x)= 3x2+2x+1 u’x =6x+2

f(u)=u5 f’u =5u4.

A részeredményeinket „összerakjuk”: y’=f’u∙u’x=5u4∙(6x+2)=5(3x2+2x+1)4∙(6x+2).

Szóban a szabály: az f-nek u szerinti deriváltját szorozzuk az u-nak az x szerinti deriváltjával.

Az eljárást „láncszabálynak” is nevezik: egymást követően, láncszerűen kell a külső függ-vény deriváltját szorozni a belső függvény deriváltjával.

12

Példa: deriváljuk az y=tglncos3x függvényt!

Az összetett függvényünk esetén az egymást követő függvényutasítások:

u(x)=3x u’x =3xln3

g(u)=cosu g’u=–sinu

h(g)=lng g

1h'

g

f(h)=tgh hcos

1f

2'h

Összerakjuk a részeredményeket: y’= f’h·h’g·g’u·u’x.

.3ln3)usin.(g

1

hcos

1y x

2'

Visszahelyettesítünk:

.3ln3))3sin((3cos

1

3coslncos

1'y xx

xx2

Szokás a szabályt úgy alkalmazni, hogy a deriválással „kívülről befelé” haladunk, azaz alegkülső függvény deriváltját szorozzuk az eggyel beljebb lévőével és így tovább. Az adottkülső függvény argumentumába pedig azt a kifejezést írjuk, amire az illető külső függvényutasítása vonatkozott.

Az összetett függvény deriválását jól, biztosan kell tudni, szükséges gyakorolni!Az összetett függvény deriválását jól, biztosan kell tudni, szükséges gyakorolni!

Magasabbrendű deriváltak

Többször szükségünk lesz arra, hogy egy függvény deriváltját mégegyszer deriváljuk.

Ekkor az új deriváltat az eredeti függvény második deriváltjának nevezzük.

Jelöléssel: (f’(x))’=f’’(x).

Példa: ha f: f(x)=5xf(x)=5x33+3x+2+3x+2, akkor f’(x)=15xf’(x)=15x22+3+3 és f’’(x)=30xf’’(x)=30x.

13

Általánosan: az n-edik deriváltat az n–1-edik deriválásával kapjuk: f(n)(x)=(f(n-1)(x))’.

A deriválásokat az „elején” (a harmadik, esetleg negyedik deriváltig) vesszőkkel jelöljük, utá-na a függvény jobb felső részéhez írt zárójelben lévő számmal.

Megegyezés (definíció) szerint a nulladik derivált maga a függvény: f(0)(x)=f(x).

Példa: deriválgassuk a sin függvényt!

y=y(0)=sinx; y’=cosx; y’’=-sinx; y’’’=-cosx; y(4)=sinx…és ezután minden ismétlődik.

A kétváltozós függvények deriválása

Az f: f(x;y) kétváltozós függvény deriválását az egyváltozós függvények segítségével kapjuk.

A módszermódszer: előbb az egyik változót konstansnak tekintjük és az így egyváltozóssá tett függ-vényt deriváljuk, majd a másik változóval tesszük ugyanezt.

Így a kétváltozós függvénynek kétféle első deriváltja létezhet.

Példa: legyen f: f(x;y)=5x2y3+3x5+8y+12.

Ha az y-t tekintjük először konstansnak, akkor a függvényünknek csak az x lesz a változója.

Ezt deriválva kapjuk az eredeti függvény x szerinti parciális deriváltját, amit így jelölünk:

.x

)y;x(f:vagy),y;x(f '

x Konkrétan: .xy10x2y5xy5yx5 33'

x23'

x32

(3x5)’x=15x4, és: (8y+12)’x=0.A jel a d betűre emlékeztet,a parciális („részenkénti”)deriválás jele.

A deriválás változóját a függvény „lábához” írjuk, indexként.

14

Az y szerinti deriváláskor az x-et tekintjük konstansnak:

.yx15y15xy5xyx5 2222'

y32'

y32 Továbbá: ,0x3

'

y5 hiszen most az x „konstans”.

Ugyanígy: .0y8 'x

Tehát, ha f: f(x;y)=5x2y3+3x5+8y+12, akkor: ,x15xy10f 43'x .8yx15fés 22'

y

A kapott deriváltakat újra differenciálhatjuk mindkét változó szerint:

.x60y10)x15xy10(ff 33'x

43'

x'x

''xx

.xy30)x15xy10(ff 2'y

43'

y'x

''xy

.yx30)8yx15(ff 2'y

22'

y

'y

''yy

.xy30)8yx15(ff 2'x

22'

x

'y

''yx

Négy másodrendű parciálisderivált képezhető, az xy ésyx szerintieket vegyes parci-ális deriváltaknak nevezzük.

Látható: .ff ''yx

''xy

A vegyes másodrendű parciális deriváltak általában egyenlők.

A parciális deriválás geometriai jelentése: az (x0;y0)-hoz tartozó érintők iránytangensei.

Képezhetünk a másodrendűeknél magasabbrendű deriváltakat is, további deriválásokkal.

A három, vagy többváltozós függvények parciális deriválása is úgy történik, hogy mindigcsak egy változót hagyunk meg változónak, a többit konstansnak vesszük.

15

Például: legyen f: f(x;y;z)=8x3y2z4 +5yz2+2x2y.

Első deriváltként 3 parciális deriváltat írhatunk fel:

.xy4zyx24f 422'x

.x2z5yzx16f 2243'y

.yz10zyx32f 323'z

A második és további deriváltak A második és további deriváltak számos változatban képezhetők.számos változatban képezhetők.

Az összetett többváltozós függvények parciális deriválása

A „szokásos” módon (láncszabály) járunk el.

Célszerű a legkülső függvényutasítás deriválásával kezdeni és fokozatosan haladni a belsőfüggvények felé.

Példa: legyen f: f(x;y)= .y

x3sinln

2

Képezzük az első parciális deriváltakat!

.y

x6

y

x3cos

yx3

sin

1f

2

2'x .

y

1x3

y

x3cos

y

x3sin

1f

22

2

2'y

Ha a második parciális deriváltakat is el kellene készíteni, akkor célszerű lenne előbbegyszerűbb alakra hozni az első deriváltakat.

Két (vagy több) változós függvényeknél más deriváltakat is értelmezhetünk, például az irány-menti deriváltat, vagy a totális (teljes) deriváltat. Ezekkel nem foglalkozunk.

16

Megjegyzések

1. Bal- és jobboldali differenciálhányados

A szakaszonként más utasítással adott függvényeknél szükségünk lehet az egyes szakaszok„csatlakozási pontjain” meghatározni a differenciálhányadost, amit az illető ponthoz balról és jobbról közelítve tehetünk meg.

Definíció: ha a differenciahányados függvénynek az x0 pontban van baloldali végeshatárértéke, akkor ezt a határértéket a függvény x0 pontbeli baloldali differenciálhánya-dosának nevezzük.

Jelölése: .

xΔ

)x(fxΔxflim

xΔ

yΔlim)x(f oo

0000o

'

A jobboldali differenciálhányados (hasonló értelmezéssel): .

x

)x(fxxflim

x

ylim)x(f oo

0000o

'

Példa: adjuk meg a következő függvény:

5x2ha,16x4

2x0ha,x2)x(f:f

2 bal- és jobboldali differenciálhányadosaita 0 és a 2 pontokban!

A jobboldali differenciálhányados a 0 pontban: .0x2limx

)x(2lim

x

)0(f)x0(flim)0(f

00

2

0000

'

A baloldali differenciálhányados a 0 pontban nem létezik, mert a 0 baloldali környezetébennem értelmeztük a függvényt.

Az x0=2 pontban a baloldali differenciálhányados:

xΔ

8)xΔ2(2lim

xΔ

)2(f)xΔ2(flim)2(f

2

0000

' .8)x28(limx

8)x(2x88lim

00

2

00

17

A jobboldali differenciálhányados az x0=2 pontban:

x

)8(16)x2(4lim

x

)2(f)x2(flim)2(f

0000

' .4x

x4lim

00

A bal- és jobboldali differenciálhányados egyaránt létezik, de nem egyenlők, ezért az x0=2pontban a függvénynek nincs differenciálhányadosa, itt nem deriválható a függvény.

Hasonlóan látható be, hogy az x0 =5 pontban csak baloldali differenciálhányados létezik.

2. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata

a.) Ha a függvény mindenütt folytonos, akkor nem biztos, hogy mindenütt deriválható.

Példa: tekintsük az abszolutérték függvényt:

0xha,x

0xha,xx)x(f:f

A baloldali differenciálhányados az x0=0 pontban: .1xΔ

xΔlim

xΔ

)0(f)xΔ0(flim)0(f

0000

'

A jobboldali differenciálhányados az x0=0 pontban: .1xΔ

xΔlim

xΔ

)0(f)xΔ0(flim)0(f

0000

'

A bal- és jobboldali differenciálhányadosok nem egyeznek meg, ezért az abszolutérték függ-vény a 0 helyen nem differenciálható. (Minden más pontban viszont igen.)

b.) Ha valamely pontban egy függvény differenciálható, akkor ott biztosan folytonos is.Bizonyítható, hogy ekkor az adott pontbeli határérték megegyezik a helyettesítési értékkel. Bizonyítható, hogy ekkor az adott pontbeli határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.

A fejezet tárgyalását befejeztük.

differenciálszámítás bevezetés, alapismeretek

Documents