A digitlis szmts elmlete

Turing gp varicik, ekvivalencijuk az alap gppel - fej helyben maradhat - tbb szalag - nem determinisztikus llapottmenet - felsorol (enumerator)Fggvnyszmts Turing gppelHilbert 10-dik problmjaChurch-Turing tzis

Turing gp vltozatokknyelmesebbek, de nem kpesek tbbre, mint az alap TG: ugyanazokat a nyelveket ismerik fel.Definci: M s S Turing gp vltozatok ekvivalensek, ha L(M) = L(S).

Megj: Ekvivalencia bizonytsra minden esetben megmutatjuk, hogy egy M TG vltozat szimullhat egy alkalmas S alap TG-pel.

Turing gp varicik: helyben marad fejDefinci: Turing gp helybenmarad fejjel (HF TG): M = (Q, , G, , q0, qelfogad, qelutast) ahol:.........: Q G Q G J, B, H az llapottmenet fggvny .........Ttel: A HF TG-ek ekvivalensek a TG-ekkel. Biz: Lttuk is, de ki-ki maga.

Turing gp varicik: tbb szalagDefinci: Turing gp tbb szalaggal (TSZ TG): M = (Q, , G, , q0, qelfogad, qelutast) ahol:.........: Q Gk Q Gk J, Bk az llapottmenet fggvny .........

Megj: Tartalmazza azt az esetet is, amikor szalagonknt ms a bemeneti illetve szalag abc.

Turing gp varicik: tbb szalagTtel: A TSZ TG-ek ekvivalensek a TG-ekkel. Biz: Legyen M egy k-szalag TG. Megadunk egy S alap TG-et, mely szimullja M-et.

MS

Turing gp varicik: tbb szalag

G tartalmazza Gt, minden Gbeli elem megjellt vltozatt, s a # specilis elvlaszt jelet. Az M gp k szalagjnak tartalma egyms utn, # -val szeparlva szerepel S szalagjn. A k fej pozcijn megjellt szimblum szerepel.S megkeresi a szalagjn az els s utols (k+1)-dik # jelet, s leolvassa a k db megjellt szimblumot, majd M llapottmenete szerint elvgzi a megjellt szimblumok fellrst.Ha egy # jelre kellett lpni valamely fejnek, akkor oda egy megjellt res szimblum kerl, miutn a szalag tartalma az utols # jelig eggyel jobbra cssztatdott.

Turing gp varicik: nem determinisztikus TGDefinci: ND TG: M = (Q, , G, , q0, qelfogad, qelutast) ahol:.........: Q G P(Q G J, B) az llapottmenet fggvny .........Megj: A ND TG mkdst fa rja le. Ha egy gon az elrt llapot elfogad, akkor a ND TG elfogadta a kezdeti sorozatot.

Turing gp varicik: nem determinisztikus TGTtel: Minden M ND TG-hez van vele ekvivalens S TG.Biz:m az M llapottmeneteinek legnagyobb szma

C0C1C2C8C1,1C1,2C1,32.........C2,1C2,2C2,11...C8,1C8,2C8,mPl: 2,1,3 cmke melyik konfigurcinak felel meg?

Turing gp varicik: nem determinisztikus TGS egy 3 szalagos TG lesz (mely, lttuk, ekvivalens valamely TG-pel).input szalagszimulcis szalag, cm szalag, az 1, 2, ... m szmokbl ll sorozatot tartalmaz, az elemeket , vlasztja el. Pl: 1,11,23,45S mkdse:Kezdetkor az input szalagon szerepel az M-nek adott sorozat, a msik kt szalag res.Az input szalagot a szimulcis szalagra msol.

Turing gp varicik: nem determinisztikus TGA szimulcis szalagot hasznlva S szimullja M egy-egy gnak mkdst. Az csompontokat szlessgi keresssel jrja be. Az llapot tmeneteket a cmszalagrl olvassa le. Ha - itt nincs tbb szimblum, vagy - a kvetkez szimblumnak megfelel llapottmenet nem megengedett, vagy - az llapot elutast, akkor 4-re lp. Ha az llapot elfogad, akkor elfogadja a sorozatot. A cmszalagon lev cmet fellrja a lexikografikusan kvetkezvel, s 2-re lp.

Turing gp varicik: felsorol TGDefinci: Felsorol Turing gp M = (Q, , G, , q0, qelfogad, qelutast) ahol:...nincsenek bemeneti sorozatok, csak munkaszalag...: Q G (Q G J, B S*) az llapottmenet fggvny, ahol a S* -beli sorozatok a felsorolt (kinyomtatott) sorozatok..........Megj: Az sszes felsorolt elemek (egyesek esetleg tbbszr is) alkotjk a TG ltal felsorolt nyelvet.

Turing gp varicik: felsorol TGTtel: Egy L nyelvet felsorol E TG-hez ltezik egy M TG, mely ppen L-et ismeri fel, s viszont.Biz: E-hez MLegyen N egy ktszalagos TG, ahol az els szalagra a bemeneti sorozat kerl, a msodikra rdik mindig az E ltal felsorolt j sorozat. N elfogadja a w inputot, ha az egy, a msodik szalagra kirt sorozattal azonos. N-hez van S ekvivalens TG.

Turing gp varicik: felsorol TGM-hez ELegyen A az S ltal felismert nyelv. Legyen s1, s2,...sn,.. az sszeslehetsges S*-beli sorozat. E a kvetkez kpen mkdik:i=1,2,3,.. ra ismteli:M fut i lpsig, egyms utn az s1, s2,...si inputtal.Ha elfogad llapotba r M, kinyomtatja a megfelel sj input sorozatot.

Turing gp varicik: nem determinisztikus TGKvetkezmny: Egy L nyelv Turing felismerhet akkor s csak akkor, ha van ND TG mely felismeri.

Def: Egy N ND TG eldnt, ha mindig megll (minden gon).Ttel: Egy L nyelv Turing eldnthet akkor s csak akkor, ha van ND TG, mely eldnti.

Turing gp varicik: tovbbi pldkkt irnyban vgtelen szalag2 dimenzis szalagtbb fejtbb elutast s elfogad llapotRAM direkt elrs memria...

A fentiek mind ekvivalensek az alap TG-ekkel. Egy adott fajta TG-hez konstrulhat vele ekvivalens alap TG.

KiszmthatsgDefinci: Egy L * nyelv Turing felismerhet vagy rekurzve felsorolhat, ha van olyan M Turing gp, melyre L(M) =L.Megj: s * -L esetn nem biztos, hogy megll a gp, gy csak az L elemeire kapunk igenl vlaszt.

Definci: Egy L * nyelv Turing eldnthet vagy rekurzv, ha van olyan M Turing gp, melyre L(M) =L, s M minden s * szra megll.

KiszmthatsgTtel: Minden rekurzv nyelv rekurzve felsorolhat is. (Az rdekes krds a fordtott tartalmazs.)

Ttel: Ha L rekurzv, akkor LC is az.Biz: Ha L(M) =L, akkor M-ben az elfogad s elutast llapotot felcserlve, az gy kapott M TG-re L(M) = LC.

Fggvnyszmts Turing gppelDefinci: x S* kezdeti bemeneti sorozatra az M Turing gp outputja az y S* sorozat, ha M megll az x inputra, s megllsakor a szalagon ppen y szerepel (az res szimblumok eltt), valamint a fej ismt az els pozcin ll. Ezt a tnyt y = M(x) jelli. Definci: Az M ltal kiszmtott fv az a fM: S* S* parcilisan rtelmezett fv, mely minden x-en rtelmezett, melyre van y, hogy y = M(x).Definci: Egy f: S* S* parcilis fggvny parcilisan rekurzv, ha van M TG, hogy f = fM. Ha ezen fell f minden S*-ra rtelmezve van, akkor f rekurzv.

Fggvnyszmts Turing gppelMegj: Tetszleges n termszetes szm egyrtelmen felrhat mint B = 01(01)* eleme, ezt bin(n) =w, illetve num(w) =n jelli. Minden, a termszetes szmokon rtelmezett, s termszetes szm rtk fv tekinthet egy f: B B fggvnynek. Tovbb minden, k-dimenzis Nk N fggvny tekinthet egy f: B k B fggvnynek. Definci: M =(Q, , G, , q0, qelfogad, qelutast) TG, 0, 1, ; S M kiszmtja az f: B k B fggvnyt, ha tetszleges w1, wk B esetn a w=w1 ; wk sorozatra M(w) = u, ahol u = f(w1, wk).

Church-Turing tzisAlgoritmus: vges sok lpssel kiszmt egy fv-t, eldnt egy krdst.Megvalsthat-e minden algoritmus Turing gppel?Church-Turing tzis: Ami algoritmussal kiszmthat/eldnthet, az Turing kiszmthat/eldnthet. Nevezetesen:Egy f : S* S* parcilis fv algoritmussal kiszmthat f parcilisan rekurzv.Egy f : S* S* teljes fv algoritmussal kiszmthat f rekurzv.Egy L nyelvre a nyelvbe val tartozs problmja algoritmussal eldnthet a nyelv rekurzv.

Church-Turing tzisTudunk-e eldnthetetlen problmkrl?Hilbert 10 problmja: Diofantikus egyenletek ltalnos megoldhatsga: adjunk algoritmust, mely tetszleges d. e-re eldnti, hogy az megoldhat-e.f(x1,,xn) = 0 egsz megoldst keressk, ahol f (x1,,xn) egsz egytthats, n vltozs polinom.Pl: x2 + y2 = z2 Pythagoraszi szmhrmasok, megadhatkx2 + y2 + u2 + w2 = z (Lagrange, 1751)ltalban: NINCS algoritmus (Matijaszevics, 1970), H. 10 eldnthetetlen.

Church-Turing tzisMegj: H10 Turing-felismerhet! Az sszes szm n-est sorra vve teszteljk, hogy megolds-e. Ha van mo, az vges sok lpsben kiderl. De ha nincs, az nem.Megj: Egyvltozs polinomok esetben a problma eldnthet, mivel a lehetsges gykk korltozottak: kcmaxc1

Mirl volt sz ?

Turing gp varicik, ekvivalencijuk az alap gppel - fej helyben maradhat - tbb szalag - nem determinisztikus llapottmenet - felsorol (enumerator) - RAMFggvnyszmts Turing gppelHilbert 10-dik problmjaChurch-Turing tzis