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2. MOMENTOS Y SISTEMAS EQUIVALENTES

2.1. Sistemas equivalentes de fuerzas

En los temas anteriores se vio que cualquier sistema de fuerzas que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser reducido a un sistema de fuerza-par equivalente se caracteriza completamente el efecto del sistema dado sobre el cuerpo rígido. Por consiguiente, dos sistemas de fuerzas son equivalente si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.. Recordando que el sistema fuerza-par en O se define por las relaciones

∑= FR y ( )∑ ∑ ×== FrMM O

R

O establecemos:

Dos sistemas de fuerzas F1,F2,F3,F4,F5 etc. .y F´1,F´2,F´3, etc., son equivalentes, si y solamente si la sumas de las fuerzas y la sima de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto dado O de los dos sistemas de fuerzas son respectivamente iguales.. Expresadas matemáticamente, las condiciones necesarias y suficientes para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes son

∑ ∑= ´FF y ∑ ∑= ´oo MM

Obsérvese que , para verificar que dos sistemas de fuerzas son equivalente, la segunda de las relaciones anteriores descritas, necesita ser establecida con respecto solamente a un punto O. Sin embargo, será válida con respecto a cualquier punto, si los dos sistemas son equivalentes. Descomponiendo las fuerzas y los momentos de las relaciones anteriores en sus componentes rectangulares, podemos expresar algebraicamente las condiciones necesarias y suficientes para que dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido sean equivalentes , de la siguiente manera:

∑ ∑=xx FF ´ ∑ ∑= yy FF ´

zz FF∑ ∑= ´

∑ ∑= ´xx MM ∑ ∑= ´yy MM ∑ ∑= ´zz MM

Estas ecuaciones tienen un significado físico sencillo. Expresan que dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a impartir al cuerpo rígido: 1.- la misma traslación en las direcciones x, y, y z. respectivamente. 2.-el mismo movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y, y z. respectivamente.

2.2. Momento de una fuerza con respecto a un punto

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Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector

posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=r×F

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a

entender el significado físico de la magnitud momento,

y a determinar correctamente el módulo, la dirección y

el sentido del momento de una fuerza:

• El módulo es el producto de la fuerza por su

brazo (la distancia desde el punto O a la recta de

dirección de la fuerza). M=Fd

• La dirección perpendicular al plano que contiene

la fuerza y el punto, la que marca el eje del

tornillo.

• El sentido viene determinado por el avance del

tornillo cuando hacemos girar a la llave.

Ejemplo

Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada

por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las

siguientes preguntas:

• ¿En qué situaciones se introduce el tornillo?

• ¿En que situaciones se saca el tornillo?

• ¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.

En la primera figura, el tornillo avanza

en una dirección perpendicular al plano

de la página, y hacia el lector. El módulo

del momento es F·d.

En la segunda figura, el tornillo avanza

en una dirección perpendicular al plano

de la página, y hacia dentro (sentido

contrario al anterior). El módulo del

momento es F·2d. Con una llave más

larga estamos en una situación más

favorable que disponiendo de una llave

más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en

una dirección perpendicular al plano de

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A

F4

F3

F2

F1

r

la página, y hacia el lector. El módulo del

momento es F·sen30·2d=F·d. Esta

situación es equivalente a la primera.

• Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave

gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

• Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de

las agujas del reloj.

Supongamos una barra de masa

despreciable, que está sujeta por su extremo

O.

Si colocamos un peso P a una distancia x del

origen. El momento de esta fuerza respecto

del origen O es P·x.

Para que la barra está en equilibrio la fuerza

F deberá ser tal que el momento total sea

nulo. -F·d+P·x=0, de modo que F=P·x/d.

2.3. Teorema de Varignon para fuerzas concurrentes

La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2, 3, se aplican al mismo punto A ver figura (a) figura 1

y si llamamos r al vector de posición de A , de la formula ( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+×

se concluye inmediatamente que

( ) LK +×+×=++× 2121 FRFRFFr

x

y

z

x

O

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20°

3P

50° O

En palabras , el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O. Esta propiedad fue originalmente establecida por el matemático francés varignon(1654-1722) mucho antes de la introducción del algebra vectorial, y se conoce como el teorema de varignon.

La relación(fig1) hace posible la determinación del momento de una fuerza F por el calculo de los momentos de dos ó mas fuerzas componentes. Como se vera en la sección siguiente, F podrá generalmente descomponerse en componentes paralelas a los ejes coordenados . sin embargo en algunos casos puede lograrase más rápidez al descomponerse F en componentes no paralelas a los ejes coordenados Ejemplo Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 pies como se muestra en la figura. Determinar el momento de la fuerza con respecto a O. Solución reemplazamos la fuerza por dos componentes, una componente P en la dirección OA y otra componente Q perpendicular a OA. Como O está sobre la línea de acción de P el momento de P con respecto a O es cero y el momento dela fuerza de 30 lb se reduce al momento de Q , cuyo sentido es el movimiento de las aguas del reloj y por tanto se representa por un escalar negativo. Q=(30lb)sen 20°=10.26 lb Mo=-Q(3P)=-(10.26lb)(3P)=-30.8lbP Como el valor encontrado para el escalar Mo es negativo, el momento Mo entra al plano . Escribimos Mo=30.8lbp

30lb

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2.4. Componentes rectangulares del momento de una fuerza Se define Momento de una Fuerza, como el efecto de giro que produce ésta sobre un cuerpo y que se puede cuantificar como:

FrMrrr

×= Ecuación 1 En palabras, el efecto de giro que produce una fuerza sobre un cuerpo se mide como el

producto vectorial del vector posición ( rr

), por la fuerza (Fr

), y podemos calcularlo mediante el determinante:

FrMrrr

×= =

is

jr

kr

rx ry rz

FX FY FZ

Donde rx, ry, rz y FX, FY, FZ, son las componentes del vector posición y de la fuerza, respectivamente.

En general, el vector Momento se puede expresar en función de sus componentes rectangulares:

kMjMiMM ZYX

rrrr++= Ecuación 2

Por definición de producto vectorial de dos vectores, el vector Momento tiene:

* Dirección: perpendicular al plano formado por rr y F

r

.

* Sentido: dado por la regla de la mano derecha, esto es, cerrando los dedos en el

sentido de giro, o bien tratando de hacer colineal rrcon F

r

, y el pulgar indicará el sentido.

* Módulo:

222

ZYX MMMM ++= Ecuación 3. O

bien:

θsen⋅⋅=×= FrFrM

rr

Ecuación 4

Donde “r” y “F” son los módulos de rr y F

r

, respectivamente y “ “ es el ángulo entre los vectores. Las dimensiones del Momento son: M L2 T -2.

Analicemos un poco más el ejemplo de la figura 4. Dibujemos la línea de

acción de Fr

, y desde el centro de giro (punto “A”), tracemos una

A

P

θ

Fr

rr

θ

b

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perpendicular hasta la línea de

acción de Fr

. Podemos observar que esa distancia (“b”), es igual a: b = r sen Ecuación 5 Esta distancia recibe el nombre de Brazo de la Fuerza.

Figura 5

Si observamos la ecuación 4, entonces el módulo del Momento lo podemos escribir como:

M = b F

Ecuación 6

De aquí podemos concluir que el efecto de giro o Momento de una fuerza, no depende del punto de aplicación de ésta, sino de la menor distancia de su línea de acción al centro de giro (brazo), y del módulo y dirección – sentido de la fuerza. En efecto, si retomamos el ejemplo de la figura 1, podemos, abrir o cerrar la puerta desde dentro o desde fuera; además, mientras menor sea la distancia desde la cerradura al punto “B” (brazo de la fuerza), mayor debe ser el módulo de la fuerza para producir el mismo efecto. Considerando todo lo expuesto hasta ahora, podemos inferir que el Momento será cero si:

* La línea de acción de la fuerza, pasa por el centro de giro, ya que en este caso el brazo es cero (no existe). Esto es lo mismo que si tratásemos de abrir o cerrar una puerta empujando por las bisagras.

* Fr

es cero (evidentemente). Podemos calcular también el módulo del Momento de la siguiente manera: por definición, sabemos que: M = r F sen Descompongamos la fuerza en dos direcciones perpendiculares, como se muestra en la figura 6:

* Una en la dirección del vector

posición: rFr

, de módulo Fr = F cos , y cuyo Momento respecto a “A” es Cero (¿Por qué?)

* Otra en dirección Perpendicular al

vector posición: PFr

, de módulo: Fp = F sen Ecuación 7

Figura 6

rFr

PFr

A

P

θ

Fr

rr

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Podemos también observar en la figura 6, que el módulo del vector posición, coincide con

el brazo de PFr

(por ser ambos vectores perpendiculares entre sí), y así podemos calcular el módulo del Momento como: M = r FP Ecuación 8 En el desarrollo que hemos hecho hasta ahora, hemos supuesto implícitamente que el origen de nuestro sistema de referencia coincide con el centro de giro. Esto no tiene porque ser cierto. Supongamos un cuerpo cualquiera que puede girar sobre un punto “A”, como se observa en la figura 7. Z Y X

A este punto asociamos el vector Arr

(vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto “A”). En el punto “B” del cuerpo se encuentra

aplicada la fuerza Fr

; también a este punto,

asociamos un vector Brr

.

Figura 7 Según la definición que hemos dado de vector de posición de la fuerza (vector con origen en el centro de giro y extremo en el punto de aplicación de la fuerza), podemos observar

en la figura 7, que en este caso, el Vector de Posición de la Fuerza es el Vector rr

∆ , el cual es igual a:

AB rrr −=∆r

Ecuación 9 Así el Momento lo podemos calcular como:

=×= FrMrrr

ir

jr

kr

(BX-AX) (BY-AY) (BZ-AZ) FX FY FZ

Donde AX, AY, AZ Y BX, BY, BZ, son las

componentes de Arr

y

Brr

, respectivamente.

B

A

Fr

rr

∆

Brr

Arr

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2.5. Momento de una fuerza con respecto a un eje y momento de un par

Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares [Fig. 1-16], que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando

el momento sobre cada uno de los ejes así:

Figura 1-16

Donde son los cósenos directores del vector .

En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:

Figura 1-17

Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, [Fig. 1-

17], se proyecta el momento sobre el eje tal que:

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O en forma vectorial:

Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así:

[1-14]

Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura 1-18. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como:

Figura 1-18

[1-15]

De la figura se ve que y que entonces:

Como es cero, resulta que

[1-16]

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Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el

momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje.

Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:

Figura 1-19

No se puede afirmar, desprevenidamente,

que sea igual a , esto es;

que el momento de respecto a O sea

igual al momento de con respecto a P. Lo que las ecuaciones [1-15] y [1-16] indican

es que la proyección de y sobre el eje OL son iguales.Para entender esto, véase la figura 1-19.

Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura 1-20. Por un punto A sobre la línea de acción de la

fuerza se puede trazar un plano P perpendicular al eje OL. En general la

fuerza se puede descomponer en

dos fuerzas y , siendo

paralela al eje y la componente perpendicular al eje contenida en el plano P. Como ya se mencionó, la

componente no produce momento respecto a OL.

Entonces el momento con respecto al eje será

de magnitud donde d es la distancia

perpendicular entre y OL.Ahora bien, la

componente se puede descomponer, en general,

en una componente radial y una componente

tangencial ; obviamente no produce momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la única fuerza que produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho

momento es .

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Figura 1-20

Un par de fuerzas, o simplemente un par, son dos fuerzas iguales, de sentido contrario y no colineales.

En la figura 1-14 se representa un par de fuerzas actuando sobre un cuerpo y los

vectores de posición y en dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción. El momento con respecto a O del par de fuerzas será:

Figura 1-14

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Figura 1-15

En la figura 1-15 se puede ver que el momento de un par es un vector perpendicular al plano definido por las rectas de acción de las fuerzas y su sentido cumple con la regla de la mano derecha. La

magnitud del momento del par es

Es importante anotar que el momento del par es independiente del origen de coordenadas puesto

que lo es, por esto se dice que el momento de un par de fuerzas es un vector libre.

Como el efecto de traslación de un par es nulo ya que son dos fuerzas iguales y de sentido contrario, el único efecto de un par es tender a rotar el cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano definido por las fuerzas. Por esta razón un par de fuerzas se especifica habitualmente por el momento que produce, a este momento se le designa simplemente par.

2.6. Sistemas equivalentes de fuerzas y sistemas equipolentes de vectores

Cuando dos sistemas vectoriales satisfacen las ecuaciones

∑ ∑= ´FF y ∑ ∑= ´oo MM

Es decir , cuando sus resultantes y sus momentos resultantes con respecto a un punto arbitrario O son respectivamente iguales, se dice que los dos sistemas son equipolentes . el resultado obtenido enla sección anterior puede volverse a establecer de la siguiente manera: Si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equipolentes, también son equivalentes. Es importante notar que esta afirmación no es aplicable a cualquier sistema de vectores. Consideraremos, por ejemplo, un sistema de fuerzas que actúa sobre las mismas partículas puede que sea equipolente al primero, es decir, puede que tenga la misma resultante y el mismo momento resultante. Pero como ahora actúan fuerzas diferentes sobre diferentes partículas, sus efectos sobre estas partículas serán distintos, los dos sistemas de fuerzas, aunque son equipolentes no son equivalentes. Resumiendo podemos establecer que dos sistemas equipolentes de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes. Similarmente, dos sistemas equipolentes de vectores no serán en general equivalentes.

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Bibliografia

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Actividades adicionales

1.-

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con

el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve

con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está

formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y

un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

• Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia

del choque y la energía perdida en el mismo.

Momentos de inercia: I varilla=ML2/12 respecto a un eje que pase por su c.m. perpendicular a la

varilla, I cilindro=MR2/2 respecto a un eje perpendicular a la base que pase por su c.m.

2.-

Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad

choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y

longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm

por debajo de su extremo superior. La varilla puede

girar libremente alrededor de un eje perpendicular al

plano del papel, que pasa por O.

� Determinar la velocidad angular del sistema

varilla-bala inmediatamente después del choque.

¿Qué principio físico aplicas? ¿Por qué?

� Calcular el máximo desplazamiento angular del

sistema varilla-bala.

� Calcular el momento resultante de las fuerzas

aplicadas cuando el ángulo de desviación es de

120º. ¿Cuánto valdrá la aceleración angular en ese

punto?

Dato: el momento de inercia de la varilla respecto de

un eje perpendicular que pasa por el centro de masas

es Ic=ML2/12.