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B/s
en γ
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C/ s
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.
7 - a) Sean
i, y
los versores de la terna mostrada en la figura (a). U
sando la definición de producto vectorial, calcular
ˆj
k
(i)
ji
ˆ (ii)
(iii)
k
ˆ×i
kˆ
ˆ×j
ˆˆ×
(iv)
(v)
j (vi)
kk
i
iˆ
ˆ×j
ˆˆ×
ˆˆ×
b) R
epetir el cálculo anterior para la terna de la figura (b) y comparar con los resultados
obtenidos en ambos casos.
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y
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y
z
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(a)
(b)
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A: E
n lo sucesivo se convendrá en trabajar con ternas análogas a las del caso (a), en
las cuales x
=
, que se denominan “T
ernas Derechas”.
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k
8 - a) Dem
ostrar que el producto vectorial no es asociativo y que dados los vectores A r
, B r
y C r, se cum
ple:
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()
()B
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CA
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BA
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()
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+×
×+
××
BA
CA
CB
CB
Ar
rr
rr
rr
rr
.
c) Dem
ostrar que el producto mixto de tres vectores cualesquiera
A r,
B r y C
es igual al volum
en del paralelepípedo construido sobre los mism
os una vez llevado a partir de su origen com
ún.
r
d) Dem
ostrar que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores A r
, B r
y C r
sean paralelos a un mism
o plano es que su producto mixto sea nulo.
9 - Hallar la expresión de los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas
polares y cilíndricas. Representar gráficam
ente.
CIN
EM
ÁT
ICA
10 - U
n cuerpo que en el instante t = 0 se encuentra en un punto A
, viaja en línea recta con velocidad constante de m
ódulo desconocido v. Cuando transcurre un tiem
po T el m
óvil pasa por un punto B
que está a distancia d de A.
a)
H
alle v. b)
D
é dos expresiones para la posición del cuerpo en función del tiempo, una
considerando un sistema de coordenadas con origen en A
y otra considerando un sistem
a de coordenadas con origen en B, y grafíquelas.
11 - U
n automóvil viaja en línea recta con velocidad constante desde A
hasta C, pasando
por B. S
e sabe que por A pasa a las 12 hs., por B
a las 13 hs. y por C a las 15 hs. (A
B =
50 km
, BC
= desconocido).
a)
Elija un origen de tiem
po y un sistema de referencia.
b)
Elija un instante t0 ¿cuánto vale x
0 ? Escriba la ecuación de m
ovimiento.
c)
Elija otro instante t0 ¿cuánto vale x
0 ? Escriba la ecuación de m
ovimiento.
d)
Calcule la velocidad del auto y la distancia B
C.
12 - Un m
óvil 1 viaja en línea recta desde A hacia B
(distancia AB
= 300 km
) a 80 km/h y
otro móvil 2 lo hace desde B
hacia A a 50 km
/h. El m
óvil 2 parte 1 hora antes que el m
óvil 1. a)
E
lija un origen de tiempo y un sistem
a de referencia. b)
E
scriba los vectores velocidad 1
v r y
2v r
de los móviles 1 y 2, respectivam
ente. c)
E
n un mism
o gráfico represente posición vs. tiempo para am
bos móviles. Interprete
el significado del punto de intersección de ambas curvas.
d)
En un m
ismo gráfico represente velocidad vs. tiem
po para ambos m
óviles. ¿ Cóm
o encontraría en este gráfico el tiem
po de encuentro ?. 13 - R
epetir el problema anterior para el caso en que am
bos móviles viajan desde A
hacia B
.
14 - Un cuerpo viaja en línea recta con aceleración constante de m
ódulo desconocido a y dirección com
o la de la figura. En el instante t =
0 el móvil pasa por el punto A
con velocidad
0v r
como la de la figura, en t =
t0 el móvil pasa por B
y tiene velocidad nula y
en t = t1 el m
óvil pasa por C.
CA
B
av
0v =
0
a)
E
lija un sistema de referencia y escriba las expresiones para la posición y la
velocidad del móvil en función del tiem
po, o sea x(t) y v(t). b)
H
alle a y la distancia A
B.
c)
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con la horizontal y dispara proyectiles con velocidad de salida
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a) E
ncuentre la trayectoria del proyectil (o sea, dé y en función de x). Grafique y vs x
para el proyectil y para el helicóptero. b) ¿P
ara qué valores de la trayectoria del proyectil y la del helicóptero se intersectan
? o
v
c) Si
ves alguno de los valores hallados en b) diga en qué instante debe efectuarse el
disparo para que el proyectil haga impacto sobre el helicóptero.
0
6 - Un juego de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se m
ueve por un carril rectilíneo con aceleración a
= kt hacia la derecha, con k constante >
0. A t =
0, la pelotita se halla en reposo en el extrem
o izquierdo del carril (punto A). E
l jugador dispone de un rifle, ubicado a una distancia D
del punto A, que dispara bolas con
velocidad v variable, pero con un ángulo α
fijo. 0
Arifle
D
a=
kt
carril
v0
g
α
a) ¿C
on qué velocidad v debe disparar el jugador para que le sea posible acertar en la
pelotita? Es decir, ¿para qué valor de
las trayectorias de la bala y la pelotita se
intersectan?.
0
0v
b) Si
es alguna de las velocidades halladas en a), ¿en qué instante debe disparar el
jugador para pegarle a la pelotita?. 0
v
7 - Un jugador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad
inicial y ángulo de elevación θ. L
a tribuna forma un ángulo α
con la horizontal (ver fig.). S
e aconseja utilizar un sistema de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones
horizontal y vertical, respectivamente.
v0
L
v0
αθ
a)
M
uestre que la expresión del alcance L en función del ángulo θ está dada por:
θα
θα
cos)
sen(cos
22 20
−=
g
vL
.
b) Grafique el alcance L
en función de θ y demuestre que para cada valor de L
hay dos valores posibles de θ (tiro rasante y tiro de elevación).
c) ¿Cuál es el ángulo θ para el cual el alcance es m
áximo?
8 - Un cuerpo inicialm
ente en reposo ( θ (t = 0) =
0, ω (t = 0) = 0) es acelerado en una
trayectoria circular de 1,3 m de radio, de acuerdo a la ley γ =
donde γ es la aceleración angular medida en
.
23
24
1648
120−
−−
+−
st
st
s
seg−2
Halle:
a) θ = θ (t)
b) ω =
ω (t)
c) el vector aceleración (utilice la descomposición polar).
d) ¿cuánto vale v r en t =
2 seg ? 9 - U
n mecanism
o de relojería utilizado para controlar cierta maquinaria consiste de dos
agujas A y B
que se mueven am
bas en sentido horario. La aguja A
se mueve con
velocidad angular constante ω partiendo de ϕ
(t = 0) =
0, la aguja B se m
ueve con
una aceleración angular constante γ partiendo con velocidad angular ω (t =
0) = 2ω
de la posición ϕ(t =
0) = 0.
0A
B0
B
a) C
alcule en qué instantes ambas agujas coinciden.
b) Idem en el caso en que la aguja A
se mueva en sentido antihorario.
10 - Un auto azul parte del reposo desde el punto O
en el instante t = 0, y describe una
trayectoria circular de radio R =
90 m con una aceleración angular Γ
= kt (k=
a
36
−s
π).
Pasado un tiem
po de 3 s desde la partida del auto azul, parte del reposo desde O un auto
rojo que se mueve en línea recta hacia el punto P
con una aceleración constante:
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DIN
ÁM
ICA
* Los item
s denotados con * pueden elegirse para resolver como trabajo especial de
computación.
1 - En el sistem
a de la figura señale las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos e indique los pares de interacción. S
ugerencia: aísle cada cuerpo, dibuje las fuerzas que actúan sobre él, aclarando qué interacción las origina.
m1
m2
g
2 - Sea el sistem
a de la figura donde: no hay fricción, el hilo tiene masa despreciable y es
inextensible y la polea es de masa despreciable y sin rozam
iento.
gm
1
m2
α
a) D
iga cuáles son todas las fuerzas ejercidas sobre las masas y sobre el hilo. Indique los
pares de acción y reacción. b) ¿C
uál es la aceleración del sistema en función de
, , α
y g? m
1m
2
3 - El sistem
a de la figura, formado por dos partículas de m
asas m1 y m
2 parte del reposo y se m
ueve de tal forma que la m
asa m1 sube recorriendo todo el plano inclinado en un
tiempo T
. Intercambiando las partículas, m
2 recorre todo el plano subiendo en un tiempo
T/4 (no hay rozam
iento). Sabiendo que m
1 /m2 =
9, hallar α.
4 - E
l sistema de la figura está inicialm
ente en reposo, las poleas y los hilos tienen masas
despreciables y los hilos son inextensibles. B
A
m3
m1
m2
g
a) E
scriba las ecuaciones de New
ton para las masas y la condición de vínculo que
relaciona sus posiciones. b) H
alle la aceleración de cada cuerpo y las tensiones en los hilos en función de las m
asas y de g.
m2
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9 - Una m
asa se desliza sobre una semiesfera de radio R
sin fricción.
g
m
R
θ
a) Calcular el ángulo θ para el cual se separa de la superficie esférica si inicialm
ente la m
asa m es apartada, en un ángulo m
uy pequeño, de θ = 0 y su velocidad inicial es
cero. b) S
i la masa m
se engarza en un riel semicircular sin fricción de radio R
, hallar la velocidad con que llega al suelo. ¿Q
ué aceleración tangencial tiene m en ese instante?
*c) Si la bolita está engarzada en el riel, estim
e numéricam
ente el tiempo que tarda en
llegar al suelo si R =
1cm, 10 cm
, 50 cm, 100 cm
. Confeccione un gráfico del tiem
po de llegada en función de g
/R (si lo necesita, calcule el tiem
po para otros valores de R
). 10 - S
e tiene una partícula de masa m
unida al extremo de una barra rígida, sin m
asa, de longitud L
. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extrem
o, fijo en un punto P
.
P
g
Lθ
m
Si se conoce la velocidad
de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su
trayectoria, determine:
v0
a) El ángulo θ
para el cual la velocidad se anula. v
b) El ángulo θ
para el cual la fuerza que hace la barra sobre la partícula se anula.
Observe que θ
puede no existir. f
f
c) ¿Bajo qué condiciones se puede reem
plazar la barra por una cuerda inextensible sin m
odificar la cinemática de la partícula? Justifique.
*d) Analice el problem
a numéricam
ente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de
movim
iento observa? Confeccione un gráfico que m
uestre la dependencia del período de m
ovimiento con su am
plitud.
11 - C
onsidere una partícula de masa
sujeta a una varilla rígida que le comunica un
movim
iento circular uniforme con velocidad angular de m
ódulo ω en un plano vertical.
m
m
g
a) Escriba la ecuación de N
ewton para la partícula y las condiciones de vínculo a las que
está sujeto el movim
iento. b) C
alcule la fuerza ejercida por la barra en función del ángulo ϕ.
12 - Un hilo inextensible pasa a través de un tubo delgado de vidrio y dos cuerpos de m
asas M
y m (M
> m
) penden de los extremos del hilo com
o se indica en la figura. El cuerpo
de masa m
realiza una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal form
a que M perm
anece en reposo. El período del m
ovimiento es T
.
Lh
mg
M
a) D
iga cuál es el ángulo entre el hilo y el tubo en función de m y M
. b) E
xprese el valor de L en función de T
, m, M
y g. c) E
xprese T en función de g y h.
13 -
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17- Una partícula de m
asa m y carga q incide en una región con un cam
po magnético B
uniform
e con velocidad inicial v0 . D
ebido al campo m
agnético, la partícula se ve sometida
a una fuerza de Lorentz F
= (q
/c)v x B
, donde c es el módulo de la velocidad de la luz y v
la velocidad de la partícula.
a)
Mostrar que si v
0 es perpendicular a B, la partícula realizará un m
ovimiento circular
uniforme. E
ncontrar la frecuencia y el radio de giro en función de m, q
, B y v
0 . b)
C
ómo será la trayectoria de la partícula si v
0 es paralelo a B?
c)
Describir el m
ovimiento para un caso general, en el que v
0 forma un angulo α
con el cam
po magnético.
18 – S
elector d
e velocid
ad
es. Considere una partícula de m
asa m y carga q
que incide con una velocidad v en una región donde existe un cam
po eléctrico E y un cam
po magnético B
, am
bos uniformes. M
uestre que si los campos son perpendiculares entre si y la partícula
incide perpendicular a ambos, existe una única velocidad
v0 para la cual la partícula
continua con movim
iento rectilíneo y uniforme sin m
odificar su trayectoria.
INT
ER
AC
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N D
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OZ
AM
IEN
TO
1 - Un cuerpo de m
asa m1 se apoya sobre otro de m
asa m2 com
o indica la figura. El
coeficiente de rozamiento estático entre am
bos es µe. N
o hay rozamiento entre la m
esa y el cuerpo 2. a)
b)
a) ¿C
uál es la fuerza máxim
a aplicada sobre el cuerpo 1 que acelera a ambos cuerpos,
sin que deslice uno respecto del otro? b)
¿Cuál es la aceleración del sistem
a? c)
Idem que a) y b) pero si se aplica la fuerza sobre el cuerpo 2.
d) S
e aplica ahora sobre la masa 2 una fuerza el doble de la calculada en c). ¿C
uál es la aceleración de m
1 y m2 si el coeficiente de rozam
iento dinámico es µ
d ? e)
Si la dim
ensión del cuerpo 2 es L y la del cuerpo 1 es l <
< L
, ¿cuánto tardará en caerse si inicialm
ente estaba apoyada m1 en el centro de m
2 ?
2 - Se tiene un bloque de m
asa m sobre un plano inclinado. E
l coeficiente de rozamiento
estático entre el bloque y el plano es µe. S
e trata de mover el bloque ejerciendo una
fuerza F r (ver figura).
gm
α
F
a) S
i se conoce m y µ
e y si F r =
0 ¿para qué valores de α estará el bloque en reposo?
b) Si α
es alguno de los hallados en (a), ¿para qué valores de F r
permanecerá el bloque
en reposo?
c) Si m
= 2 kg y µ
e = tg
α =
0,3 hallar la F r
máxim
a que se puede ejercer de modo que
el bloque no se mueva.
3 - U
n automóvil recorre una autopista que en un tram
o tiene un radio de curvatura R. E
l autom
óvil se mueve con velocidad constante v. L
a autopista es horizontal (sin peralte). a)
¿C
uál debe ser el mínim
o coeficiente de rozamiento para que el autom
óvil no deslice?
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1
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F
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1 - Considere una partícula de m
asa m suspendida del techo por m
edio de un resorte de constante elástica k y longitud natural
l. D
etermine cóm
o varía la posición con el tiem
po sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2
del techo, con velocidad nula.
0
l0
2 - El sistem
a de la figura, compuesto por dos cuerpos de m
asas y
y un resorte de constante elástica k y longitud natural l
m1
m2
0 , se encuentra inicialmente en equilibrio. S
e lo pone en m
ovimiento im
primiendo a la m
asa una velocidad
hacia abajo (no hay rozam
iento). m
1v
0
m2
m1
gk, lo
a) P
lantee las ecuaciones de New
ton y de vínculo para y para m
. m
12
b) Diga cóm
o varía la posición de m con el tiem
po. 2
3 - Sean dos resortes de constantes elásticas
y , y un cuerpo de m
asa m, que desliza
sin rozamiento, conectados com
o en las figuras a), b) y c). k
1k
2
m
(a)
m(b) d
m(c)
l01
= l0
2
.k
2 k1
k2
k1
k1
k2
i) D
emostrar que la frecuencia de oscilación de m
vale, en el caso a)
()m
kk
kk
f2
1
21
2 1
+=
π
y en los casos b) y c):
m
kk
f2
1
2 1+
=π
ii) E
ncuentre las posiciones de equilibrio sabiendo que los resortes tienen longitudes naturales
y l.
l0102
4 - Una bolita de m
asa m se halla sobre un plano inclinado sostenida por dos resortes, de
constantes elásticas y
, y longitudes libres l y
, respectivamente, los cuales se
encuentran fijos a dos paredes separadas una distancia L.
k1
k2
01l02
k1 , l0
1
mg
a) Plantee la ecuación de N
ewton para la bolita y encuentre la ecuación de m
ovimiento.
b) Halle la posición de equilibrio y determ
ine si es estable o inestable. c)
Si
partiendo de
la posición
de equilibrio
el sistem
a se
pone en
movim
iento im
primiéndole a la bolita una velocidad
hacia arriba, encuentre la posición de la bolita com
o función del tiempo.
v0
5 - C
uatro resortes idénticos de constante elástica k desconocida y longitud natural se
hallan sosteniendo un cuerpo formado por dos pesas de m
asa m cada una, com
o muestra
la figura.
l0
m m
g
kkk k
a) S
abiendo que la posición de equilibrio del cuerpo se halla a una distancia d del techo, encuentre el valor de k.
b) Estando el sistem
a en su posición de equilibrio se retira una de las pesas sin perturbarlo y se lo deja en libertad.
i) Obtenga la ecuación que rige el m
ovimiento posterior del sistem
a. Calcule el
período de oscilación y la nueva posición de equilibrio. ii) U
tilizando las condiciones iniciales halle la posición del cuerpo en función del tiem
po.
k2 , l0
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10 - Un péndulo sim
ple de 10 g de masa tiene inicialm
ente un período de 2 seg y una
1 - Una partícula de m
asa m está unida al extrem
o de un resorte de constante elástica k y
amplitud de 2º .L
uego se lo sumerge en un m
edio con rozamiento y después de dos
oscilaciones completas la am
plitud se reduce a 1,5º E
ncuentre la constante de amortiguam
iento r.
1longitud natural l0 . E
l otro extremo del resorte está unido a una pared que se m
ueve de acuerdo a la ley
()t
Lt
xp
ωcos
)(
=. L
a partícula también está som
etida a la acción de
una fuerza viscosax
.
a) Escriba la ecuación de
ar
tal que x
rF
v&
r−
=N
ewton p
a la partícula. Indique claramente cuáles son las
b) fuerzas que actúan sobre ella.
Para el caso
() 2
rm k>
, diga c2
muál es la solución de la ecuación de m
ovimiento x(t).
largos P
ara tiempos
1>>
t( β
, con m r2
=β
), diga en qué dirección se mueve la
partícula cuando la pareeve hacia la derecha, si
d se mu
m k=
ω.
12 – C
onsidere una partícula de masa m
que se mueve sobre una recta (x). L
a partícula está
samente el efecto del
unida a un resorte de constante elástica k y longitud natural l0 (tal como indica la figura).
Hay rozam
iento entre la partícula y el plano con coeficientes µe y µ
d . En el instante t=
0 la partícula se encuentra en la posición x
0 > l0 con velocidad nula.
a) Describa cualitativam
ente el movim
iento analizando cuidadorozam
iento. Obtenga la ecuación diferencial que gobierna el m
ovimiento. D
emuestre
que, tal como ocurre en ausencia de rozam
iento, el cuerpo tiene velocidad nula en
todos los instantes 2 T
nn
t=
, donde k m
Tπ2
= y n es un núm
ero entero. Dem
uestre
que la distancia recontre dos d
sucesivas (separadas por un intervalo rrida e
etenciones
2 T) dism
inuye cada vez en una cantidad k mg
dµ2
. Diga en qué m
omento se detiene
finitivamente el m
ovimiento del cuerpo.
Si se considera
deb)
k mg
dN
xµ
=0
(donde N es un núm
ero entero), diga cuantas veces
c) el m
ovimiento del cuerpo con el caso en el que el rozam
iento se origina en
cambia el sentido de la velocidad del cuerpo antes de detenerse definitivam
ente (considere el caso µ
e < 2 µ
d ). Analice en particular los casos N
=4 y N
=7, grafique la
función x(t) y diga en qué lugar y en qué instante se detiene definitivam
ente el cuerpo. C
ompare
la fricción del cuerpo con el aire (que produce una fuerza proporcional a la velocidad).
mk, l0
x µ
d
, µe
CA
NT
IDA
D D
E M
OV
IMIE
NT
O
1 - Dos cuerpos que se m
ueven sobre una mesa libre de rozam
iento se acercan con las direcciones indicadas en la figura, con velocidades
1v r
y 2
v r. D
espués del choque
permanecen unidos. C
alcular la velocidad final de ambos.
v1
v2
m1
m2 30º
|
| = 20 m
/s =
70 kg 1
v rm
1
|| =
40 m/s
= 100 kg
2v r
m2
2 - Una bola de 1 kg que cae verticalm
ente choca contra el piso con una velocidad de 25 m
/s y rebota con una velocidad inicial de 10 m/s.
a) ¿C
uál es la variación de la cantidad de movim
iento de la bola debida al choque?. b)
Si la bola está en contacto con el piso 0,02 seg., ¿cuál es la fuerza m
edia que ejerce sobre el piso?.
3 - El núcleo de uno de los isótopos de radio,
Ra
226, tiene una masa de unos 3,8 x
1g.
Este núcleo sufre una desintegración radioactiva, em
itiendo una partícula α (núcleo de
helio de 6,7 x 10g). E
l núcleo residual es de radón, con una masa de 3,7 x 10
g. La
velocidad de la partícula alfa es de 0,05 c (c = velocidad de la luz). ¿C
uál es la velocidad del núcleo residual?. D
esprecie la acción de la gravedad durante el proceso.
022−
24−
22−
4 – En el espacio una explosión hace estallar una piedra de 30 kg en tres partes: una de 10
kg que sale con una velocidad de 6 m/s y otra de 8 kg que sale con una velocidad de 8
m/s y un ángulo de 70º con la dirección de la anterior. D
esprecie la acción de la gravedad durante el proceso. a)
Dem
ostrar que el vector velocidad del tercer trozo está contenido en el plano definido por los otros dos.
b) A
veriguar la velocidad y la dirección con que se desprende dicho trozo. 6 - H
allar la posición del centro de masa del sistem
a Tierra-L
una para un instante dado. La
masa de la T
ierra es unas 82 veces la de la Luna y la distancia entre los centros de la
Tie
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1 - Considere el sistem
a formado por una barra de longitud L
y masa despreciable, en
cuyos extremos se hallan fijas sendas m
asas, de valor m y M
, tal como m
uestra la figura. E
l sistema se halla apoyado sobre una superficie horizontal libre de rozam
iento, y es libre de girar alrededor de un eje fijo O
. El sistem
a se pone en movim
iento dándole a t=
0 una velocidad angular ω0 a las barra.
m
a)
Indique qué fuerzas actúan sobre cada una de las partículas y diga si se conserva la cantidad de m
ovimiento y el im
pulso angular del sistema con respecto a O
. b)
C
alcule el impulso angular con respecto a O
y determine com
o varía la velocidad angular de las barras con el tiem
po. c)
C
alcule la posición y velocidad del centro de masa del sistem
a como función del
tiempo.
d)
Calcule el im
pulso angular con respecto al punto O’, situado a una distancia D
del punto O
. 2 - U
na partícula de masa m
está atada al extremo de un hilo y se m
ueve en una trayectoria circular de radio r
0 sobre una superficie horizontal plana sin fricción. El hilo pasa por un
agujero en la superficie e inicialmente su otro extrem
o se mantiene fijo. S
i se tira lentam
ente del hilo, de forma que el radio dism
inuye, halle como varía la velocidad
angular w, en función de r, sabiendo que para r =
r0 la velocidad angular era w
0 .
m
r0
g
3 - D
os patinadores sobre hielo, de masa m
= 50 kg cada uno, se acercan m
utuamente en
trayectorias paralelas distantes 3 m entre sí. A
mbos patinan (sin fricción) a 10 m
/s. El
primer patinador sostiene una varilla sin m
asa, de 3 m de largo, de la que se tom
a el
m
O
0ω r
O’
segundo. a)
Describir cuantitativam
ente el movim
iento de los dos a partir de ese mom
ento. b)
Suponer ahora que uno de ellos tira de la varilla, acortando la distancia a 1 m
. D
escribir el movim
iento posterior. c)
¿Cóm
o y con qué velocidad se moverán los patinadores si repentinam
ente uno de ellos suelta la varilla?. R
esolver para los casos (a) y (b). 4 – D
os átomos de igual m
asa m que se m
ueven con velocidades iguales en módulo (v
0 ) y dirección, pero en sentido contrario, interactúan cuando están en una región
R del
espacio tal como lo m
uestra la figura I. Después de la interacción, uno de los átom
os se m
ueve con velocidad com
o lo indica la figura II. 1
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F
igura I Figura II
a)
¿Se conservan la cantidad de m
ovimiento y el im
pulso angular del sistema?.
b) C
alcule la velocidad del centro de masa antes, durante y después de la interacción.
c) E
ncuentre la posición del centro de masa antes, durante y después de la interacción.
d) ¿C
uál es la velocidad del otro átomo después de la interacción?.
e) E
ncuentre la trayectoria del otro átomo después de la interacción.
f) C
ompare v
1 con v0 para diferentes valores del parám
etro de impacto a , es decir, en
los casos a > b, a =
b, a < b.
5 - En el sistem
a de la figura, dos barras rígidas de masa despreciable están soldadas en el
punto O y form
an un ángulo α. U
na de las barras tiene longitud l, su punto medio es O
y en sus extrem
os se fijan dos pequeñas esferas de masa M
. La otra barra está sostenida
mediante dos bujes y es el eje de rotación del conjunto que gira con velocidad angular
ω r constante.
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b)
Grafique el potencial y analice los posibles m
ovimientos de la partícula.
*c) Elija valores para m
y a y obtenga gráficos para x(t) y variando las condiciones
iniciales (obtenga también gráficos de
en función de x). ¿Qué tipo de m
ovimiento se
obtiene?. Estudie num
éricamente la dependencia entre la frecuencia del m
ovimiento y su
amplitud. V
erifique que, con muy buena aproxim
ación, se cumple que la frecuencia del
movim
iento es proporcional a la amplitud.
)(t
x &
x &
4- Sea un péndulo sim
ple, constituido por un cuerpo de masa m
suspendido del extremo de
una varilla sin masa de longitud l, que oscila en un plano.
a) G
rafique la energía potencial del cuerpo, V, en función de θ, siendo θ el ángulo que
forma el hilo con la vertical. Indique los valores m
áximos y m
ínimos del potencial.
b) S
i E es la energía m
ecánica total, para los casos:
E1 <
VM
AX
E2 =
VM
AX
E3 >
VM
AX
i)
estudie cualitativam
ente el movim
iento del cuerpo y diga cómo haría en la
práctica para conseguir estos valores de E.
ii)
a partir del gráfico V vs. θ obtenga el gráfico de velocidad en función de θ.
*c) Considere el m
ovimiento del péndulo para am
plitudes grandes. Elija algún valor de l
y obtenga gráficos para )
(tθ
, y
. Estudie la dependencia entre la frecuencia del
movim
iento y su amplitud.
)(t
θ &)
( θθ &
5 - El potencial nuclear para un protón es de la form
a de la figura (1 MeV
= 10
6 eV, 1 eV
=
1,6 10-12 erg).
a)
Analizar qué le pasa a un protón que incide desde x =
∞ sobre el núcleo y a uno que
está en la zona - x0 <
x < x
0 .
b) ¿ Q
ué significan valores negativos de energía potencial ?. c)
Sea un protón que está en el interior del núcleo con energía total nula. ¿ C
uál es la m
áxima velocidad que puede tener el protón ? (m
p = 1,67 10
-24 g). ¿ Qué energía
mínim
a se le debe entregar para que pueda escapar del núcleo ?. ¿ Qué velocidad
tendrá entonces una vez alejado totalmente del núcleo ?.
6 - Considere una partícula de m
asa m que se m
ueve en una dimensión bajo la acción de
una fuerza x
bx
ax
Fˆ)
(3+
−=
r.
a) G
rafique el potencial y analice los posibles movim
ientos de la partícula para los diferentes valores de su energía total.
b) E
ncuentre las posiciones de equilibrio y determine si son estables o inestables.
*c) E
lija valores
para m
, a
y b
y obtenga
gráficos para
x(t) y
variando
las
condiciones iniciales
(obtenga tam
bién gráficos
de
en función
de x).
Analice
los m
ovimientos posibles para alguna de las siguientes situaciones: (1) a
> 0, b
> 0, (2) a
> 0, b
< 0.
)(t
x &
x &
7 - Preguntas:
i)
Un bulto apoyado en el piso de un ascensor sube desde la planta baja hasta el prim
er piso. C
omo consecuencia de ello, su energía m
ecánica aumenta. ¿C
uáles son las fuerzas no conservativas que realizan trabajo?.
ii)
Un señor asciende una altura
h por una escalera marinera. E
n consecuencia su energía m
ecánica experimenta una variación ∆
E =
mgh. ¿C
uáles son las fuerzas no conservativas que realizaron trabajo? (N
ote que las fuerzas de la escalera sobre el hom
bre no hacen trabajo porque no hay desplazamiento de las m
anos ni de los pies). iii)
¿Puede un sistem
a variar su energía mecánica m
erced al trabajo de fuerzas internas no conservativas?.
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éricamente el problem
a. Obtenga gráficos de z(t) y de las trayectorias
de la partícula sobre la mesa.
7 - Dos cuerpos de m
asas m1 y m
2 respectivamente, con m
1 = 2
m y m
2 = m
que están unidos por un resorte de longitud libre
l0 y constante elástica k, se encuentran sobre una
superficie horizontal plana y carente de fricción. El sistem
a se pone en movim
iento estirando el resorte hasta una longitud 2 l0 y dándole una velocidad v
a cada una de las partículas, perpendicular al segm
ento que las une y en sentidos opuestos.
r
a) ¿C
uál es la velocidad angular del sistema cuando la longitud del resorte es (3/2) l0 ?.
b) C
alcule el vector velocidad de cada masa en esa posición.
8 – Dos partículas de m
asas m1 y m
2 se hallan sobre una mesa horizontal, unidas entre sí
por una soga de longitud L que pasa a través de un anillo pequeño fijo a la m
esa en el punto O
. La superficie de la m
esa carece de rozamiento y la soga es inextensible y de m
asa despreciable. Inicialm
ente ambas partículas están en reposo a una distancia L
/2 del punto O
, de forma tal que am
bos tramos de la soga form
an un ángulo recto (ver figura). El
sistema
se pone
en m
ovimiento
imprim
iéndole a
la partícula
m1
una velocidad
0v r
perpendicular a la soga. Considere que las partículas nunca chocan entre sí y que la soga
siempre se m
antiene tensa. a)
D
iga qué magnitudes se conservan para cada partícula por separado y para el
sistema form
ado por ambas partículas y la soga. Justifique sus respuestas.
b)
Calcule la velocidad de rotación alrededor de O
de cada una de las partículas como
función de la distancia de m1 al punto O
. c)
E
ncuentre la velocidad radial del cuerpo m1 cuando se halla a una distancia d=
3L
/2 del punto O
.
m1
m2
OL
/2
0v r
g
m2
m1
L/2
L/2
0v r
2 π
Visto desde arriba
9 - Dos partículas de m
asa m están sujetas a los extrem
os de una barra de longitud L y m
asa despreciable en reposo sobre una superficie horizontal exenta de rozam
iento. O
tra partícula, también de m
asa m, se m
ueve a lo largo de una recta perpendicular a la barra con velocidad
y choca quedándose adherida según se indica en las figuras.
Describa cuantitativam
ente el movim
iento después del choque, en particular, calcule la variación de energía cinética del sistem
a debida al choque plástico.
0v r
mm m
m
mm
L
m m
L
m
m m
L/2
m
L/2
v0
v0
Caso (a)
Caso (b)
10 – E
n la figura se muestra un sistem
a compuesto por un resorte de constante elástica k,
longitud libre l0 y masa despreciable y dos partículas de m
asas m1 y m
2 . El sistem
a está apoyado sobre una m
esa libre de rozamiento. Inicialm
ente el sistema está en reposo y la
distancia d entre las partículas es tal que d =
l0 . En cierto instante t0 se le im
prime a m
1 una velocidad
como la de la figura y sim
ultáneamente se le im
prime a
m1
v r2 una
velocidad tal que el centro de m
asa del sistema tiene velocidad nula en ese instante.
2v r
a)
Halle el vector velocidad
y la distancia que hay inicialmente (antes de t
2v r
0 ) entre m2
y el centro de masa del sistem
a. b)
D
iga justificando su respuesta si para todo instante posterior a t0 se conserva o no, para este sistem
a, el impulso lineal
p r, el im
pulso angular respecto del centro de
masa
y la energía mecánica total H
. cm
L r
c)
Calcular
p r,
y H en el instante t
cmL r
0 en función de datos.
d)
Dibuje el sistem
a en un instante arbitrario t, posterior a t0 y diga cuánto vale la velocidad del centro de m
asa en ese instante. Si en t,
1v ′ r
y 2
v ′ rson las velocidades de
m1 y m
2 respectivamente, escriba
2v ′ r
en función de 1
v ′ r y de datos. S
i y
son las distancias desde el centro de m
asa hasta m1 r ′
2 r ′1 y m
2 respectivamente en el tiem
po t, escriba
en función de y de datos.
2 r ′1 r ′
e)
Dé una expresión para
en el tiempo t. H
alle la velocidad angular del sistema, ω
,
en función de datos y de .
cmL r
1 r ′f)
E
scriba una expresión para H en el tiem
po t en función de datos y de y
. ¿Qué
ecuación diferencial se obtiene para 1 r ′
1 r ′&
1 r ′?
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4 - ¿Cuál es la aceleración
que debe imprim
irse al plano inclinado para que la masa m
llegue al extremo superior del m
ismo con velocidad v
partiendo de su extremo inferior
con velocidad inicial nula? (no hay rozamiento y am
bas velocidades son medidas con
respecto al plano inclinado).
a r
1
m
hg
α
5 - S
ea el sistema de la figura. L
os coeficientes de rozamiento estático en las superficies
horizontal y vertical son µ y µ
. ¿Para qué valores de la aceleración a,
no sube ni baja?
e2e1
m1
gm
1
m2
a
6 - U
n tren sube una pendiente que forma un ángulo α
con la horizontal. E
l movim
iento es uniformem
ente acelerado con una aceleración a. En el interior de uno
de los vagones se hacen los siguientes experimentos:
a) Se determ
ina la dirección de la vertical usando una plomada.
b) Se determ
ina el período de un péndulo para oscilaciones pequeñas. c) S
e determina la fuerza que registra un dinam
ómetro cuando se cuelga del m
ismo un
objeto de masa m
. D
escriba cualitativamente los resultados en los casos:
i) α =
0 , a ≠ 0.
ii) α ≠
0 , a = 0.
iii) α ≠
0 , a = - g senα
; (¿qué significan estos datos ?) iv) α
≠ 0 , a ≠
0.
7 - Una partícula de m
asa m se halla engarzada en un riel circular de radio R
, que carece de rozam
iento. En un dado instante la partícula se encuentra en reposo en el punto C
, y se aplica sobre el riel una fuerza tal que a partir de ese instante el m
ismo se m
ueve con
aceleración constante A r
. Utilice para resolver el problem
a un sistema no inercial fijo a
la esfera.
g A
R
ϕm
C
a) Haga un diagram
a de las fuerzas que actúan sobre m, y determ
ine cuáles son sus pares de
interacción. P
lantee las
ecuaciones de
New
ton, y
encuentre la
ecuación de
movim
iento de la partícula. b) E
xprese el valor de la normal ejercida por el riel sobre m
como función del ángulo ϕ
. c) E
ncuentre la posición de equilibrio, y determine si el equilibrio es estable o inestable.
8 - Una plataform
a de radio R, gira con velocidad angular Ω
constante alrededor de un eje vertical situado en su centro. S
obre la plataforma se halla apoyado un paquete de m
asa m
(hay rozamiento entre el paquete y la superficie de la plataform
a, siendo µ y µ
los coeficientes de rozam
iento estático y dinámico, respectivam
ente). e
d
En el instante t =
0 el paquete se halla en reposo sobre la plataforma a una distancia l del
centro, con l < R
.
gΩ
mR
l
a) Escriba las ecuaciones de N
ewton para el paquete en un sistem
a solidario a la plataform
a, S’, indicando los pares de acción y reacción de las fuerzas que actúan
sobre él. b) H
alle la máxim
a velocidad angular Ω que puede tener la plataform
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R
m
13 - Un entretenim
iento llamado silla voladora consiste en un disco horizontal de radio R
de cuyo perím
etro cuelgan hilos de longitud L. E
n el extremo de cada uno de estos hilos
hay una canastilla dentro de la cual se ubica una persona. Considere un sistem
a de coordenadas fijo al disco el cual gira con velocidad angular constante ω
(ver figura).
g
R
ω
ϕL
S
i todos los hilos forman con la vertical el m
ismo ángulo ϕ
, a) ¿E
s razonable inferir que todos los pasajeros tienen igual masa?.
b) Halle ω
.
GR
AV
ITA
CIÓ
N
1 - C
onsidere dos partículas de masas M
1 y M
2 fijas y separadas por una distancia D. U
na tercera partícula de m
asa m se m
ueve bajo la atracción gravitatoria de las otras dos. Suponga que m
se m
ueve sobre la recta que une a M1 y
M2 , considerando que puede hallarse entre am
bas o bien a la izquierda o a la derecha de ellas. a)
E
scriba la fuerza neta sobre m, en función de la posición.
b)
Calcule y grafique el potencial.
c)
Describa
cualitativamente
el m
ovimiento
de m
, para
distintos valores
de su
energía m
ecánica.
2 - Aplique el problem
a anterior considerando que M1 =
MT (m
asa de la Tierra), M
2 =M
L (masa de la
Luna) , D
es la distancia Tierra-L
una, y la partícula de masa m
es un cohete que se dispara desde la superficie de la T
ierra hacia la Luna con una velocidad
0v r
. Tenga en cuenta que en este problem
a
M1 y
M2 no son partículas puntuales, sino que tienen radios R
T (radio de la Tierra) y R
L (radio de la L
una), respectivamente.
a)
Calcule y grafique el potencial gravitatorio del cohete en función de su distancia a la T
ierra, m
edida desde la superficie terrestre. b)
¿E
n qué punto de su trayectoria hacia la Luna el cohete tiene aceleración nula?.
c)
Calcule la velocidad inicial m
ínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer en la
Luna por la acción de la atracción gravitatoria lunar.
RT
R
L
3 - C
onsidere dos partículas de masas M
1 y M2 , fijas y separadas entre sí por una distancia D
. Una
tercera partícula de masa m
es libre de moverse por un tubo carente de rozam
iento, que se halla sobre la m
ediatriz del segmento determ
inado por ambas m
asas. a)
C
alcule la energía potencial gravitatoria en función de la coordenada z que determina la
posición. Grafique cualitativam
ente el potencial. b)
D
etermine la posición de equilibrio indicando si corresponde a un equilibrio estable o
inestable. c)
E
ncuentre la frecuencia angular de oscilación para pequeños apartamientos de la m
asa m de
su posición de equilibrio. d)
C
alcule la fuerza que ejerce el tubo sobre la masa en función de la posición.
MT
M
L
mv
0
D
z
m
M1
M2
D/2
D/2
4
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dica
da e
n la
fig
ura.
a)
Indique en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula. P
ara el sistema
b)
el instante inicial. Diga qué tipo de
c)
ctor velocidad
(componentes
paralela y
8 - Una partícula de m
tro de impacto b a un
a la partícula de masa m
antes y después de alcanzar el
b)
ancharse con el resorte, encuentre la velocidad de la partícula (componentes
formado por las dos partículas diga, justificando su respuesta, si se conserva o no el im
pulso lineal, el im
pulso angular y la energía mecánica total.
Halle la velocidad del centro de m
asa del sistema en
movim
iento describe el centro de masa para t >
0. P
ara cada
una de
las partículas,
calcule el
veperpendicular al segm
ento que las une) cuando las partículas se hallan separadas una distancia d/2.
asa m
se acerca desde el infinito con velocidad y paráme
cuerpo de masa M
, que se halla fijo en el punto O. D
ebido a la atracción gravitatoria ejercida por M
, la
partícula describe
una trayectoria
hiperbólica, y
al pasar
por el
punto de
máxim
o acercam
iento (punto A) se engancha con un resorte de m
asa despreciable, constante elástica k y longitud natural l0 =
r0 . E
l otro extremo del resorte está sujeto a un eje que pasa por O
. Considere
que la energía potencial gravitatoria en el infinito es nula (es decir, VG =
0 cuando la partícula se halla suficientem
ente alejada del cuerpo). a)
D
iga qué magnitudes se conservan par
punto A. C
alcule la velocidad de la partícula en el punto A y la distancia r
0 de máxim
o acercam
iento. D
espués de engradial y tangencial) cuando ésta se halla a una distancia d =
2 r0 del punto O
. Exprese el
resultado en términos de r
0 y de los datos del problema.
v0
MO
b
A
r0
v0
v
m
m
d
αα
0
CIN
EM
ÁT
ICA
DE
L C
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O R
ÍGID
O
1 - Algunos de los cuerpos de la figura no son rígidos. E
ncuéntrelos. (N
o debe hacer cálculos. Sólo debe observar la figura).
Q
P
VQ
VP
VQ
Q
VP =
0 P
VP
VQ
Q
P
QV
Q
PV
PV
P=
VQ
P
Q
VQ
VP
VP
=2V
Q
VP
VQ
PQ
2 - P
reguntas: i) ¿Q
ué dirección debe tener el vector Q
Pv
vr
r−
(velocidad relativa de P respecto de Q
)
para que no cambie la distancia entre P
y Q?.
ii) La expresión
QP
QP
rv
vr
rr
r×
Ω=
−, ¿satisface esa condición?.
3 - Indique la velocidad de rotación del triángulo en los tres siguientes casos:
t = 0
t = t1
t = t4
t = T
θ
t = 0
t = t1
t = t4
t = T
θ
t = 0
t = t1
t = t4
t = T
θ
C
ompare con
. θ &
4 -
Pre
gunt
a: S
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efin
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m/s
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P
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PP
10
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10 c
m/s
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L
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n.
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El v
ecto
r Ωr
. ii
i)
La
velo
cida
d de
l pun
to P
.
11 - Un cilindro de radio R
= 10 cm
rueda sin resbalar sobre un plano horizontal. Su centro
se desplaza con velocidad vC =
10 cm/s. P
ara los puntos P (periférico), Q
(a distancia R/2
del centro) y A (sobre una m
anivela de longitud 2R
fija al cilindro): i)
H
allar el vector velocidad en función del tiempo.
ii)
Dibujar la hodógrafa correspondiente (v
y vs. vx ).
iii)
Graficar el m
ódulo de la velocidad en función del tiempo.
iv)
Graficar las com
ponentes vx y v
y en función del tiempo.
y
x
C
Q P
A
Vc
DIN
ÁM
ICA
DE
L C
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RP
O R
ÍGID
O
1 - El sistem
a de la figura consiste de dos cuerpos de masas m
1 y m2 unidos por una cuerda
inextensible que pasa a través de una polea cilíndrica homogénea de m
asa mp , que no
posee rozamiento con su eje. C
alcule la aceleración de las masas. O
bserve que el resultado no depende del radio de la polea.
mp
2 - C
onsidere un yo-yo con radio exterior R igual a 10 veces su radio interior r. E
l mom
ento de inercia Io del yo-yo respecto de su centro de m
asa está dado por Io =1/2
MR
2, donde M
es la masa total del yo-yo. E
l extremo final de la cuerda se m
antiene en reposo y ésta no desliza respecto del yo-yo. a)
Calcule la aceleración del centro de m
asa del yo-yo. Cóm
o es comparada con g?.
b) E
ncuentre la tensión en la cuerda a medida que el yo-yo desciende. C
ómo es
comparada con M
g?.
3 - Un disco cilíndrico hom
ogéneo de radio R y m
asa M1 es arrastrado sobre una superficie
horizontal sin fricción por una cuerda que está unida a un cuerpo de masa M
2 , como se
indica en la figura. Determ
ine: a)
la aceleración del centro del disco. b)
La aceleración angular del disco.
c) L
a aceleración del cuerpo de masa M
2. d)
La tensión en la cuerda.
e) L
a velocidad del centro de masa del disco cuando se ha desplazado una distancia
igual a su diámetro, m
edida desde la posición en la que estaba en reposo. f)
La velocidad de la m
asa colgante en ese instante.
m1
m2
ggM
Rr
gR
RR
M
R
g M
1
M2
4 -
Una
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de θ con respecto al tiem
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T
eniendo en cuenta los resultados de a) y que el cilindro rueda sin deslizar, exprese
los vectores velocidad angular Ω r y aceleración angular Ω & r
de este cilindro en función de datos y de las derivadas de θ
con respecto al tiempo.
c)
Indique en un dibujo todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro y plantee las ecuaciones
de N
ewton
y m
omentos
para este
cilindro. O
btenga una
ecuación diferencial para θ
(t) y diga qué tipo de movim
iento realiza el cilindro.
d)
Si en el instante inicial θ
(t = 0) =
0 y (t =
0) =
θ &0
ω, diga cuál es la solución de la
ecuación diferencial obtenida en c) para ángulos pequeños.
10 – i) Pregunta: E
n los problemas 5 y 9 discuta cuál o cuáles de las siguientes alternativas
son incorrectas:
a) Ω
=r
rA
AI
L
b)
Ω=
rr
OO
IL
c)
Ω=
rr
CM
CM
IL
AO
ii) Pregunta: E
l disco de la figura tiene su centro de masa fijo. D
iga si es correcto que:
Ω=
rr
OO
IL
=.
Ω+
r)
(2
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IC
M
CM
O
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Ω r
11 - Considere dos rodillos iguales en contacto, com
o muestra la figura. L
os ejes A y B
están fijos y hay rodadura entre los rodillos.
a) M
uestre que cualquiera sea la velocidad angular de rotación
. Es decir
que se conserva en cualquier circunstancia.
0=
tota
lL r
)(t
Ω
tota
lL r
b) S
i se coloca una manija a uno de los cilindros y se ejerce sobre ella un m
omento,
¿cómo justifica que se conserve
tota
lL r
?.
AB
12 - U
na persona está parada sobre una plataforma giratoria que rota con velocidad angular
ω. L
a persona tiene sus brazos extendidos horizontalmente y en cada m
ano sostiene un cuerpo de m
asa m. R
epentinamente deja caer am
bos cuerpos en forma sim
ultánea; halle la velocidad angular final de la plataform
a después del choque plástico de los cuerpos con la m
isma.
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b)
En el instante en que el punto m
edio del tren pasa por el punto medio del
andén, dos haces de luz son emitidos desde los dos extrem
os del andén en dirección a su centro. i) D
iga cual de los dos haces llega primero al punto
medio del tren. Ii) C
alcule el tiempo de llegada de cada pulso en el sistem
a de referencia fijo al tren y en el sistem
a de referencia fijo al andén. iii) Encuentre
el orden cronológico de los eventos relevantes del problema (em
isión de am
bos pulsos, etc) desde el sistema de referencia fijo al tren y al andén.
7 - U
n colectivo de longitud propia L =
20m se m
ueve a una velocidad V=
3c
/2
respecto de un observador fijo a un garaje de longitud propia D=
10m. E
l garaje tiene dos puertas, una delantera y otra trasera, que están abiertas. a)
Diga si el colectivo puede quedar com
pletamente contenido dentro del garaje
(ayuda: tenga en cuenta la contracción de Lorentz).
b) S
i su respuesta anterior fue afirmativa, considere la siguiente “paradoja”:
Desde el sistem
a de referencia del colectivo, la longitud del garaje aparece contraída y por lo tanto es claram
ente menor que la del colectivo. ¿C
ómo puede
ser que un colectivo de 20m de longitud quepa en un garaje de longitud m
enor? ¿E
s esta una verdadera paradoja? c)
Considere todos los eventos relevantes de este problem
a (A: llegada del frente
del colectivo a la puerta delantera del garaje, B: llegada del frente del colectivo
a la puerta trasera del garaje, etc) y ordénelos cronológicamente en los sistem
as de referencia fijos al colectivo y al garaje. D
e ejemplos de eventos que son
simultáneos en el sistem
a de referencia del garaje pero que no lo son en el sistem
a de referencia del colectivo.
8 - La vida m
edia de los piones en reposo es T=
26nseg. ¿Cuál es la distancia
promedio recorrida por piones que se m
ueven a velocidad V=
c/2?
9 - Desde un cohete que se aleja de la tierra a velocidad c/2 se em
iten pulsos de luz con un período de un año. ¿C
uál es el tiempo que transcurre en la tierra entre el
arribo de dos pulsos sucesivos? ¿Qué sucede si la nave se acerca a la tierra en
lugar de alejarse?
10 - Un
tren de
longitud propia
L
se m
ueve con
velocidad V
respecto
de un
observador fijo a un andén.
a) E
n un
dado instante,
dos pasajeros
comienzan
a cam
inar en
direcciones contrarias
desde el
centro del
tren hacia
sus extrem
os. E
l m
ódulo de
la velocidad de cada pasajero respecto del tren es v’=
c/2 . ¿Cuál es la velocidad
de cada pasajero respecto del andén? ¿En qué instante llega cada pasajero al
extremo del tren? (diga si la llegada de am
bos es simultanea respecto del tren y
del andén). b)
Calcule la velocidad del pasajero que viaja hacia un extrem
o respecto del pasajero que se m
ueve en la dirección contraria. c)
En un dado instante (t’=
0 respecto del observador fijo al tren) dos pasajeros parten desde am
bos extremos del tren en dirección hacia el centro. A
mbos se
mueven respecto del tren con una velocidad v’ cuyo m
ódulo es c/2. Diga cual
es la velocidad de ambos pasajeros respecto del andén. D
iga en que instante llegan am
bos pasajeros al centro del tren (tanto para un observador fijo al tren com
o para otro fijo al andén). d)
Calcule la velocidad del pasajero que parte desde un extrem
o respecto del pasajero que parte desde el otro.
11 - S
uponga que
en un
sistema
de referencia
S
un objeto
se m
ueve con
una velocidad
cuyas com
ponentes cartesianas
son v
x =c
cos(θ)
y v
y =c
sen(θ).
Calcule las com
ponentes del vector velocidad de ese objeto visto desde un sistema
S´ que se m
ueve con velocidad V (en la dirección del eje x) respecto de S
.