Gl Lszl

A KIJELENTSEK LOGIKJA

Kiadi tancs

Dr. Benedek Jzsef egyetemi tanr (Kolozsvr) Dr. Pntek Jnos egyetemi tanr (Kolozsvr) Dr. Rosts Zoltn egyetemi tanr (Bukarest)

EGYETEMI JEGYZETEK

Megjelent az Apczai Kzalaptvny tmogatsval

GL LSZL

A kijelentsek logikja

EGYETEMI MHELY KIAD Bolyai Trsasg Kolozsvr

2009

A jegyzet elksztst az Apczai Kzalaptvny 606/21. nyilvntartsi szm programja tmogatta. Gl Lszl; Bolyai Trsasg, 2009 Lektorlta: dr. Szigeti Attila egyetemi adjunktus Szaknyelvi lektorls: dr. Ungvri Zrnyi Imre egyetemi adjunktus Kiadja az Egyetemi Mhely Kiad Bolyai Trsasg, Kolozsvr Felels kiad: A kiadvny felels szerkesztje: Veress Kroly Korrektra: Andrs Zselyke Bortterv: Makkai Bence Az brkat ksztette: Gl Theodor Edurd Szmtgpes trdels: Czomp Csaba Nyomta az AmGraphis, Kolozsvr ISBN, ISBN Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

TARTALOM

ELSZ Els fejezet. BEVEZETS

1. Hagyomnyos logika s szimbolikus logika 2. A nyelv fogalma 3. A kijelents

Msodik fejezet. INTUITV KIJELENTSLOGIKA

1. A kijelentsek intuitv logikja 2. A kijelentslogika nyelve 3. Szimbolizls a kijelentsek logikjban

Harmadik fejezet. AZ IGAZSGFGGVNY

1. Az igazsgfggvny fogalma 2. Az igazsgfggvnyek logikai jelentse s fontosabb trvnyeik

Negyedik fejezet. AZ ELDNTS

1. Az eldnts krdse a kijelentsek logikjban 2. Eldntsi mdszerek

1. Az rtktblzatos mdszer 2. Az eldnts rvidtett mdszere 3. A norml (kanonikus) formk mdszere

tdik fejezet. A KVETKEZTETS

1. A kvetkezmny relci

2. A deduktibilitsi viszony

3. Az ekvivalencia relci Hatodik fejezet. A KIJELENTSEK LOGIKJNAK AXIOMATIZLSA

1. A kijelentsek logikjnak axiomatikus felptse

Fggelk

1. fggelk. Logikai szimbolizls s rtelmezs (rszlet), in Gl Lszl (2003), Trsadalom s logikussg, Kriterion Knyvkiad, Kolozsvr, 162 - 177. 2. fggelk. A H1 rendszer tulajdonsgai 3. fggelk. ERNEST NAGEL, JAMES R. NEWMAN: A GDEL-BIZONYTS* , in Gl Lszl, Szigeti Attlia (2001), Logika (szveggyjtemny), Studium Kiad, Kolozsvr. 4. fggelk. Gl Lszl (2003) Gdeli krds* , in Trsadalom s logikussg, Kriterion Knyvkiad, Kolozsvr, 57- 66. IRODALOM Trgymutat A knyvben hasznlt fontosabb szimblumok

* E. Nagel J. R. Newman: Gdels Proof. Copyright 1956 by Scientific American, Inc. Minden jog fenntartva. Vltozatlan j kiads a Scientific American, Inc. engedlyvel. Magyarul megjelent: Copi I.M., Gould J.A. (1985) Kortrs tanulmnyok a logikaelmlet krdseirl. Budapest, Gondolat. 70-103. *Eredeti megjelens angol nyelven (Gdelian question) Studia Universitatis Babe-Bolyai, Philosophia, 2001,XLVI, 1-2, 83-89.

Elsz

E knyv elssorban azoknak szl, akik msodves filozfus hallgatkknt tantervk

kvetelmnyei szerint ktelesek levizsgzni logikbl. Viszont haszonnal kzbe vehetik az egyetem tbbi szakain hallgat dikok is, amennyiben tantervkben szerepel a logika. De brkinek, aki a logika irnt rdekldik, remlem, nem okoz majd csaldst.

Mirt A kijelentsek logikja e knyv cme? Tbb rv szl e mellett. Egyrszt 2007-ben az egyetemi kiad megjelentette a

Hagyomnyos logika cm knyvemet. A knyv a kvetkeztetsnek nem egy logikatrtneti megkzeltse volt. Hanem elssorban annak a clnak rendeldtt al, hogy megadja azokat a logikai eszkzket, melyek segtsgvel a filozfiatrtnet, de ltalban vve a eszmetrtnet problematikja irnt rdekldnek sikeres vezrfonalat , vagy gondolati tmogatst nyjtson a klnbz korok megrtsben. Pldul elg nehezen lehet megrteni azt, hogy mirt Isten a legfels s legvgs szubsztancia, ha nem ismerjk a fogalmak elmletnek hagyomnyos logikai elssorban extenzionlis megkzeltst. Azaz a fogalmak kztti al- s flrendelsi viszonyokat.

A trtnet viszont nem llt meg itt. A XIX. szzad vgn s a XX. szzadban a szekularizci kiteljesedse, a modern trsadalom komplexitsnak nvekedse, valamint mindazok a folyamatok, amelyek az utbbi 150 v folyamn lejtszdtak vgeredmnyben az arisztotelszi fogantats hagyomnyos logika megkrdejelzdse fel vezettek. Megkrdejelzse, de nem elfelejtse fele. A vgbemen matematizlsi folyamatnak az lett az eredmnye, hogy a diszciplinarizld tudomnyok egyre tfogbb s komplexebb matematikt ptettek be sajt elmleteikbe. A logikban George Boole, Augustus De Morgan s nagymrtkben Gottlob Frege e folyamat elindti a XIX. szzadban. Nekik ksznhet a logikai fggvnyfogalom, a logikai kalkulus s a szimbolikus logikai nyelv kialakulsa. A XX. szzad els felben Bertrand Russell, Alfred North Whitehead valamint Ludwig Wittgenstein munkssga rvn megszletik az j logika els kt paradigmatikus elmlete: a kijelentsek logikja s a prediktumok logikja.

Az j logika megjelense a hagyomnyos logikval szembeni ellenszenvet s tagadst idzte el. A vltozs a mlt szzad 20 veinek vgn kvetkezett be. Jan Lukasiewicz lengyel logikus ekkor alkalmazta sikerrel a hagyomnyos logika tematikjnak kifejtsben a szimbolikus logika adta eszkzket s ezzel felhvta a figyelmet arra, hogy bizonyos rtelemben folytonossg van elmleteik kztt, kvetkezskppen nem kell a trtnelem lomtrba dobni.

A szzad msodik felben Rudolf Carnap, Alfred Tarski, Willard van Orman Quine, de nem kevsb Saul Kripke, Alonzo Church vagy Kurt Gdel jelents hozzjrulsokkal vglegestettk s bvtettk az j logika elmleteit s dolgoztak ki oktathatsgi mintt.

Kvetkezskppen e knyv a szimbolikus logika alapvet elmlett tartalmazza, nevezetesen a kijelentsek logikjt. Azrt nevezem alapvetnek, mert ezen elmlet eszkztra bizonyos rtelemben bepl a prediktumok logikjnak, a tbbrtk logikk, a modlis logika, az id logikja, a krdsek logikja, a logikai szemantika stb. elmleteibe is s nlkle szinte rthetetlenek.

Az idk folyamn a kijelentsek logikjnak elmtt tbb megnevezssel illetk meg. A XX. szzad kzepn logisztiknak neveztk. Utlag e sz kikerlt az j logika megnevezsei kzl. Jelenleg e sz egszen ms rtelemmel rendelkezik. Vele illetik meg azt a komplex elltsi folyamatot amit a harcban lev hadseregek gnyelnek (kezdve a felszerelssel, folytatva az tkeztetssel, a mozgkonysg biztostsval, a kommunikcis rendszerek kidolgozsval s hasznlatval stb.). De szintn logisztiknak nevezhet a civil szfrban lezajl komplex termelselltsi folyamatot is.

A mlt szzad msodik felben kijelentsek logikjnak (logic of propositions, logique des proposition) neveztk. jabban egyre inkbb teret hdt a nullarend logika megnevezs, utalva ezzel ennek alapvet voltra.

Gl Lszl Kolozsvr, Zsobok

2009 janur mrcius E mail: laszlo_galro@yahoo.com

Els fejezet

BEVEZETS

4. Hagyomnyos logika s szimbolikus logika 5. A nyelv fogalma 6. A kijelents

E bevezet fejezetben kapcsolatot teremtnk a hagyomnyos logika, illetve a

szimbolikus logika, nevezetesen a kijelentsek logikja kztt. A msodik rszben bemutatunk egy ltalnostott nyelvfogalmat. Ez kpezi a kijelentsslogika mestersges nyelvnek kidolgozsi alapjt. Vgl pedig megvizsgljuk, hogy az j logika mit tekint kijelentsnek.

A tma clja bemutatni a hagyomnyos s a szimbolikus logika kztti

kapcsolatot, valamint azokat az alapvet klnbsgeket, amelyek a kvetkeztets trgyalsnak hagyomnyos logikai s szimbolikus logikai eszkzeinek mssgbl fakadnak

A tma tvtele utn kpes kell legyl vilgosan ltni a kvetkeztts fele

val kzelts eszkzkbeni klnbsgeit.

1. Hagyomnyos logika s szimbolikus logika

A hagyomnyos logika keretei kztt a logikt a helyes kvetkeztets tudomnyaknt hatroztuk meg. A logika ezen j fejezete, a szimbolikus logika keretei kztt a megadott meghatrozs rvnyes marad. Viszont mi az ami alapveten j?

Elssorban az, hogy a kijelentsek logikja ms eszkzkkel kzelt a kvetkeztets problematikjhoz. Ezen eszkz pedig a szimbolikus nyelv. A szimblumok alkalmazsa a hagyomnyos logikban sem volt ismeretlen. gy a kijelentsek szubjektumt s prediktumt S-el s P-vel jelltk, vagy a szillogizmus kzps terminusra az M jelet hasznltuk. A feltteles s sztvlaszt szillogizmusokban A, B s C-vel jelltk a benne rszt vev kijelentseket. A kijelentskalkulus szimbolikus nyelvben viszont a szimblumok alkalmazsa teljes s tfog lesz.

Mirt van erre szksg? Azrt mert ebbl tbb elny szrmazik. gy logika kifejezsmdja gazdasgosabb vlik, ms szval kevesebb jel hasznlatval tbbet fejezhetnk ki. Tovbb, nagyrszt lemondhatunk a folytonos termszetes nyelvi

pldzsokrl. Valamint, s ez a legfontosabb, lehetv vlik a logikai kalkulus vgzse. Emiatt a kvetkeztetsek helyessgnek vizsglata tbb nem tlnyomrszt intuitven trtnik, hanem a logikai kalkulus sokkal szigorbb s megbzhatbb eszkze segtsgvel.

A szimbolikus nyelv hasznlata egyben a termszetes nyelven kifejezett kvetkeztetsek j modelljt nyjtja s ez sokban klnbzik a hagyomnyos logikai megkzeltsmd nyjtotta modelltl. Ez nem jelenti viszont azt, hogy a szimbolikus s a hagyomnyos logika kztt nincs semmilyen folytonossg. A bevezet kezdetn mondtuk mr, hogy a trgyunk ugyanaz, a kvetkeztets. Csakhogy a szimbolikus logika a kvetkeztets egy ltalnosabb s elvontabb trgyalst jelenti, ahol az rvnyessg vizsglata a lehetsges szintjn trtnik, eltekintve konkrt tartalmaktl s gy a konkrt kijelentsek igazsgrtktl, ami miatt az rvnyest logikai formkra koncentrlhatunk.

Az ltalnos logikai formk visszahelyezhetk az emberi pszihikum kognitv szerkezetbe, mint mentlis logika. A mentlis logika fogalma, amely a kognitv informcit feldolgoz legfontosabb eszkz egyben lehetv teszi az emberi pszichikum ilyen jelleg modelllst s gy egy mly s elvlaszthatatlan kapcsolat kialaktst a logika s a pszicholgia tudomnyai kztt. Ebben az esetben a pszicholgia elemzsi s rtelmezsi eszkze a logikbl tvett. Ezt tette pldul J. Piaget amikor a gyermeki kognitv fejldst vizsgl ksrleteiben az eredmnyeket a kijelentskalkulus segtsgvel rtelmezte s megllaptotta ennek szakaszait.

A kp vilgoss ttelhez nzzk meg milyen "szintek" kztt fogunk mozogni. Megklnbztettk eddig a kvetkeztetst, mint a logika trgyt. A kvetkeztetsek nem vizsglhatk csak nyelvi megnyilvnulsaikban (ez az llts persze nem kizrlagos, mert a pszicholgusok elfogadottnak tekintik a "kpi gondolkodst" , ami a logika szempontjbl a kpekkel val kvetkeztetst jelenti). Leggyakoribb megnyilvnulsi helye pedig a termszetes nyelv. Ezt vizsglni lehet a hagyomnyos logika eszkzeivel s ekkor a kvetkeztets hagyomnyos logikai modellje alakul ki. Tovbb ugyanazokat a termszetes nyelvi kvetkeztetseket vizsglni lehet a szimbolikus logika eszkzeivel. Ebben az esetben a kvetkeztets szimbolikus logikai modellje alakul ki. Ezt a modellt pedig alkalmazni lehet az emberi pszichikum formlis oldalnak rtelmezsben. Ez azt jelenti, hogy a szintek a kvetkezk: termszetes nyelvi kvetkeztets, a hagyomnyos logika vagy a szimbolikus logika eszkzei (nyelvei) s az innen add klnbz modellek.

Termszetes nyelvi Kvetkeztets

A hagyomnyos logika eszkzei A kvetkeztets hagyomnyos logikai modellje

A szimbolikus logika eszkzei (nyelve) A kvetkeztets szimbolikus logikai modellje

Termszetes nyelvi Kvetkeztets

A hagyomnyos logika eszkzei A kvetkeztets hagyomnyos logikai modellje

A szimbolikus logika eszkzei (nyelve) A kvetkeztets szimbolikus logikai modellje

Alkalmazs

1. bra. A kvetkeztetsek elemzsi szintjei

Ezen brbl kiderl, hogy az elemzs alapszintjt a termszetes nyelven kifejezett kvetkeztets kpezi. A termszetes nyelven megfogalmazott kvetkeztetst viszont csakis egy tle klnbz, rajta kvl ll nyelvbl lehet vizsglni, mivel egyetlen tudomnyos nyelv sem mondhat semmit nmagrl, azaz nem lehet autoreferencilis.

E kt nyelvet kt nvvel illetik meg. Az egyik a trgynyelv, a msik a metanyelv. Trgynyelven itt azt a nyelvet rtjk, amelyen a kvetkeztetst megfogalmazzuk. A metanyelv, pedig az, amelyen kijelentseket fogalmazunk meg a trgynyelvrl, az a nyelv amelyben elhelyezkedve mi a trgynyelvet, vgl is a termszetes nyelvi kvetkeztetseket vizsgljuk. Az elemzs eredmnyekppen nyert modellek pedig klnbz terleteken alkalmazhatak. Ez trtnt a kvetkeztets szimbolikus logikai modelljvel is, amikor J. Piaget, J. Fodor stb. e modellben a mentlis formt vltk felfedezni s gy a kognitv pszicholgia magyarzataiban hasznltk fel. Az alkalmazsi lehetsgek viszont nem llnak meg csak itt. A szmtgpek vgeredmnyben a kijelentsek logikjnak mszaki alkalmazsai. Ennek hosszabbtv eredmnye pedig az amit jelenleg mi mr digitlis vilgnak neveznk.

sszefoglals. A kvetkeztets kzponti logikai krdse fele klnbz

eszkzkkel lehet kzelteni. A hagyomnyos logikn kvl ilyen eszkket szolgltat a szimbolikus logika. Ebben a megkzeltsben a termszetes nyelvi kvetkeztets trgynyelvet, a hagyomnyos logikai s a szimbolikus logikai elemzse pedig a metanyelvet jelenti.

2. A nyelv fogalma

A tma clja bemutatni a nyelvek felptsi mdjt. A tma tvtele utn kpes kell legyl megrteni mind a termszetes, mind

a mestersges nyelvek szintaktikai s szemantikai szerkezett.

A fentiekben elmondottak felttelezik egy adott nyelvfogalom megltt. Ahhoz, hogy ezt kialaktsuk vizsgljuk meg a nyelvek ltalnos szerkezett.

A termszetes nyelv szerkezetbl kiindulva a kvetkez elemeket azonosthatjuk. Elszr is minden nyelvben megvannak a jelek, vagy szimblumok. Ha idegen nyelveket

tanulunk, akkor azzal kezdjk, hogy elsajttjuk az illet nyelv bcjt (A). A nyelvben meglv jelek kimondott-, vagy rott formi a hangok s a betk. Teht egyetlen nyelvet sem lehet elkpzelni bc nlkl. Az bchez hozzaddnak aztn jeleinek hasznlati szablyai. E szablyok alkalmazsa ltal nyernk helyes vagy jlformlt kifejezseket az illet nyelven. A jelhasznlati szablyok sszessge kpezi adott nyelv szintaxist. E szablyok az illet nyelv grammatikjhoz (G) tartoznak. A szintaxis termszetes nyelvenknt klnbzik. Elsajttsa adott esetben elg nagy erfesztst ignyel. Teht minden nyelv alapveten bcbl s grammatikbl tevdik ssze.

Nyelv = bc (A) Grammatika (G) , ahol az jele az egyestst jelenti.

Ezzel viszont nem mertettk ki a nyelv sszes elemt, mivel minden nyelvnek megvannak azon szablyai is amelyek segtsgvel kln vlaszthatjuk a megfogalmazhat kijelentsek kzl azokat, amelyek rtelmesek s jelentenek. pldul a magyar nyelv szintaktikai szablyai szerint jlformlt a krimpusz sz, ellenben hozz nem trsul sem rtelem, sem jelents. Teht a grammatikban a szablyok egy msik csoportja is elklnthet, spedig a szemantikai szablyok. A szemantika, a jelents krdst tekinti kzpontinak. Kvetkezskppen a nyelvek grammatikja kt szablycsoportot foglal magba a szintaktikai s a szemantikai szablyok csoportjt.

Grammatika = Szintaktikai szablyok (Szi) Szemantikai szablyok (Sze).

Sorra vve most a szablyokat a kvetkez csoportok azonosthatk. 1. A szintaktikai szablyok csoportja. a. A kialaktsi szablyok. E csoport azt szablyozza, hogy az bc jeleibl

miknt nyerhetnk jlformlt kifejezseket. Pldul a "mm" sz nem jlformlt a magyar nyelvben, mivel benne a grg bc "alfa" betje szerepel s ez nem tartozik a magyar nyelv bcjhez. Teht mint nem jlformltat el kell utastanunk.

b. Az talaktsi szablyok csoportja megmondja, hogy jlformlt kifejezsekbl miknt nyerhetnk jabb jlformlt kifejezseket. Pldul a "tehetsges"-bl a "legtehetsgesebb" kifejezst. Viszont a "legmegtehetsgesebb" kifejezs nem jlformlt a magyar nyelvben mivel nem tartja be a felsfok kpzsnek nyelvtani, azaz szintaktikai szablyt. Emiatt el kell utastanunk.

c. A levlasztsi szablyok szerint kapjuk meg a jlformlt kifejezsek egy adott halmazbl az sszes lehetsges jabb jlformlt kifejezst. Pldul abbl a kijelentsbl, hogy "Minden ember haland." azt, hogy "Szkrtsz haland." Ha visszagondolunk a hagyomnyos logika keretei kztt trgyaltakra, akkor vilgos, hogy itt egy kvetkeztetsrl van sz az ltalnostl az egyedi fele, amit rvnyesen meg lehet tenni. A levlasztsi szablyok csoportja, teht a kvetkeztets szintaktikai oldalra vonatkozik.

2. A szemantikai szablyok csoportja. a. Az rtelemkelt szablyok segtsgvel vlaszthatjuk kln az rtelmes

kifejezseket az rtelmetlenektl. Az rtelmes kifejezsek kzl egyeseknek megvannak a maguk jelletei. A jelletek azonostsa a jellsi szablyok szerint trtnik.

b. Az igazsgszablyok szerint tulajdontunk igazsgrtket kijelentseinknek. Ezt leggyakrabban az igaz vagy a hamis igazsgrtk valamelyiknek tulajdontsval

tesszk. Megtrtnik viszont, hogy az igazsgrtk odarendelse nem oldhat meg egy ktrtk logika keretei kztt s ekkor tbb igazsgrtket tekintnk elfogadottnak s ezek kzl rendelnk hozz egyet kijelentsnkhz. Tovbb az igazsgszablyok szerint teremtnk kapcsolatot az igaz kijelentseink kztt. Logikailag a szemantikai szablyok csoportja a kvetkeztetsben rszt vev kijelentsek igazsgrtkeinek sszefggseit szablyozza.

Mindkt szablycsoport megfogalmazsa a nyelv szintaktikai s szemantikai oldalra prbl fnyt vetni. A termszetes nyelv viszont egy nagyon bonyolult trsadalmi, kultrahordoz s egyben kultrspecifikus jelensg. E szablyok nem merthetik ki a maga teljessgben.

A XX. szzadban a termszetes nyelvek felptsi mintjra alkottk meg az eszperant nyelvet. E mestersges nyelv szerkezete nagyon kzel llt a termszetes nyelvekhez. Ennek ellenre nem terjedt el s nem tudta betlteni azt a szerepet amit neki szntak. Nem vlt az emberisg ltalnosan ismert kommunikcis eszkzv ezltal megknnytve az emberek s kultrk kztti kapcsolatokat. Hinyossga ppen abban llt, hogy az eszperant nyelvhez nem tartozott egyetlen specifikus kultra sem, hanem csak klnbz nyelvek szavait tartalmazta, anlkl az a tbbrrtelmsg s kifejezkpessg is benne lett volna ami a kultrahordoz termszetes nyelvekben megvan.

A mlt szzad mestersges nyelvalkkotsi ksreltei viszont nem voltak mind sikertelenek. Erre plda a szimbolikus logika nyelve. Emellett viszont ott vannak mindazok a mestersges nyelvek amelyek a szmtgpek 1940-tl kezdd trtnetvel kapcsolatosak. A szoftok fejldse egyben a szmtgpnyelvek fejldst is jelentettk, persze a hozzjuk tartoz szemantikk egszen ms jellegek s sokkal gyngbb kifejezerejek mint a termszetes nyelvek. Ilyen nyelvek az informatika terletrl ismert Cobol, Fortran, Algol stb.

Ahhoz, hogy a kp valamennyire teljes legyen a szintaktikai s szemantikai oldalon kvl felttlenl meg kell emltennk a pragmatikai oldalt is. Ez arra vonatkozik, hogy mikt hasznlnak egy nyelvet. Ugyanazon kijelents klnbz kontextusokban klnbz rtelemmel s jelentssel rendelkezhet. A nyelv segtsgvel, az emberi tevkenysgen keresztl krnyezetnket, a termszetet s trsadalmat vagyunk kpesek mdostani. Vagy, az ember a nyelven keresztl projektlja, vetti ki magt. Azaz, bels "vilgt" nagyrszt a nyelven keresztl teszi klsv, msok ltal is rzkelhetv s megrthetv.

A tudomnyos kutats, ltalban a tudomny nem foghat fel a nyelven kvl. s amennyiben ez gy van tisztban kell lenni szerkezetvel. Tisztban kell lenni tovbb azzal is, hogy a pszicholgiai diskurzus trgynyelvi vagy metanyelvi szintjn helyezkednk-e el. Ha ezt nem ltjuk vilgosan, akkor a flrertsek s flsleges vitk medd terletre kerlnk.

3. A kijelents

A hagyomnyos logikban a kijelentst gy hatroztuk meg, hogy az az alapvet logikai forma, amelyben valamirl lltunk valamit s hozzrendelhet vagy az igaz, vagy

a hamis logikai igazsgrtk.1 A kijelents megnevezse a magyar kijelent mondat megnevezsbl szrmazik. A kett valamelyike kztt vlaszthatunk mostani megnevezsben. A mondat szava nem kielgt, mivel nem minden kijelent mondat egyben logikai rtelemben is az. Pldul a z jtt el jflkor. kijelent mondat logikai rtelemben nem az, mivel nem tudjuk ki az az , aki ppen eljtt. Emiatt nem tudunk hozzrendelni semmilyen logikai igazsgrtket. Ha viszont tudjuk, hogy az emltett , Pista vagy Tibor, akkor az igazsgrtk krdse megoldhat. Emiatt rgzteni kell az kontextulis rtelmt. gy mr meg lehet llaptani a kijelents igazsgrtkt, azaz lltsunk trgya egyrtelmv s megkrdjelezhetetlenn vlt.

Szerkezetben pedig megklnbztettk a logiai szubjektumot s prediktumot. E meghatrozsnak a mostani szempontunkbl szmos elgtelensge van. Szerinte elgg nehz megklnbztetni a szubjektumot s prediktumot, mivel az e funkcit betlt fogalmak felcserlhetk, azaz a szubjektumknt szerepl fogalom prediktumm vlhat s fordtva. Emiatt a kett megklnbztetse viszonylagos. Tovbb a hagyomnyos logika nem tud mit kezdeni azzal a kijelentssel, hogy Mria anyja vzrt ment., mivel az anyasg relci. s vgl ebben a logikban nincs semmilyen klnbsg a kztt, hogy A macska llat. s A narancssrga kellemes szn., annak ellenre, hogy az els a macskkat besorolja az llatok osztlyba, a msodik pedig tulajdonsgot fejez ki.

Szmos gond van azzal is, hogy a kijelentsben az llts mirl szl s milyen igazsgrtket rendelnk hozz. Pldul senkit sem lep meg ha a kvetkezket lljuk:

(1) Ma szp id van. (2) A vilg politikai viszonyai kilezdtek.

(3) A fk manygbl vannak. (4) A Discovery rreplgp megrkezett a vilg kzepbe.

(5) A htfej srkny tdik fejn kalap van.

Az els kt llts megszokott, elvrsainknak megfelel. Ezzel szemben azt lltani a fkrl, hogy manyagbl vannak teljesen meglep s vratlan. Ez azrt van gy, mert egyltaln nem felel meg a valsgnak az, hogy a fk s a manyag egytt alkotnnak egy dolgot. Emiatt az lltst egyszeren hamisnak tekinthetjk. Ez az az alapvet klnbsg ami szerint klnbzkppen rtkeljk egyrszt az els kt lltst, valamint a harmadikat. Msszval az els kt llts pozitv rtket jelenthet szmunkra akkor amikor kivlasztjuk ltzknket, vagy a vilg politikai llapotrl akarunk tjkozdni. Innen addik igaz voltuk. Ellenben a frl azt lltottuk, hogy mi nem s nem azt, hogy valjban mi. Emiatt hamisnak tekinthetjk. A hrom lltsban van azonban valami kzs. spedig az, hogy mind a mai nap, mind a szp id, mind a vilg politikai viszonyai, mind a kilezds, s mind a fk s mind manyagok valban ltez dolgokat megnevez szavak s ezek sszekapcsolsbl jttek ltre a mondatok, azaz az lltsok. Csakhogy egyeseket igazknt, msokat pedig hamisknt rtkeltnk.

A (4)-es s az (5)-s mondatokban a ltez Discovery rreplgprrl lltottuk azt, hogy megrkezett a vilg nemltez kzepbe, illetve a nemltez htfej srknyrl lltottuk azt, hogy nemltez tdik fejn kalap van. Hogyan rtkeljk az ezen mondatokkal kifejezett lltsokat? Az egyik lehetsgnk az, hogy egyszeren hamisaknak tekintsk ket, azon az alapon, hogy nemltez dolgokrl lltanak. A msik 1 Gl Lszl (2007) Hagyomnyos logika, Egyetemi Mhely Kiad, Bolyai Trsasg, Kolozsvr, 50.

lehetsgnk az, hogy mivel nemltez dolgokr lltanak ne is tekintsk ket mondatoknak a sz logikai rtelmben. Az utols lehetsgnk pedig az, hogy rendeljnk referencit a nemltezt jell szhoz s gy igazz vlik. Melyek lehetnek ezek a referencik? A vilg kzepe esetben a referencit a nullaentits kpezhetn. A htfej srkny esetben pedig az a mesefigura, amelyet brmely vds gyerek kpes lerajzolni. Teht ez utbbi kt mondatunk lehet igaz, vagy lehet hamis, vagy nem tekinthet mondatnak s gy igazsgrtkkel sem rendelkezik. Melyiket vlasszuk ezen hrom lehetsg kzl? Valyon van-e valamilyen logikai szablyszersg arra, hogy vlasztsunkat vezrelje? Ilyen szablyszersg sajnos nincs. Emiatt a vlszts alapjt csakis az egyni hit vagy meggyzds kpezheti. Vagyis igaznak tekinthetjk ezen mondatokat akkor, ha meg vagyunk gyzdve a vilg kzepnek, valamint a htfej srknynak a ltezsrl.

Kvetkezskppen els hrom mondatunk ltezkrl llt, mg az utols kett pedig nemltezkrl. Ezt ltalnostva llapthatjuk meg, hogy a ltezs nem kpezi az llthatsg korltjt.

A ltezs az emberi elmn kvl elhelyezked dolgokbl ll ssze. Persze maga az emberi elme is a ltezk krbe tartozik. Az emberi elmt a szavak, azaz a fogalmak sokasga npesti be, amelyekkel mind ltezket, mind nemltezket meg lehet nevezni. Azt, hogy e szavak, azaz fogalmak mikppen llanak ssze lltsokk nem szablyozza semmi, vagy amint azt az elbb konkrtabban megllaptottuk, ennek nincsenek logikai korltai. Ms megfogalmazsban ez azt jelenti, hogy elvileg brmi llthat. St a brminek az lltsa kpezi az emberi szabadsg egyik alapvet dimenzijt. Az egyedli korlt ami itt hatrt szab az llthatsgnak az az, hogy pldul a magyar nyelv szkincsnek mely rszvel rendelkezem. Azaz az, hogy egyltalnn mibl kpezhetek lltsokat. De hogy a dolog mg bonyolultabb legyen, a brmi lltshoz az emberi elme referencit is tulajdonthat. Emiatt valknak tekinthetk a boszorknyok, a mindent old folyadk vagy a filozfusok kve.

sszefoglalva, a logikt a mondat mint igazsgrtkkel rendelkez llts rdekli. Csakhogy nem konkrt lltsok konkrt igazsgrtkei azok, amelyek a logikai vizsglds trgyt kpezik. Ez azrt van gy, mert ha a logika lenne az, amely mdszert tudna nyjtani arra, hogy mindenik konkrt mondat igazsgrtkt miknt lehet megllaptani, akkor egyetlen univerzlis tudomny ltezne s ez a logika lenne. A dolgok viszont egyltaln nem gy llnak. A tudomnyos s a mindennapi let mondatainak igazsgrtkeit a tudsok, illetve a mindenannapi letket l emberek llaptjk meg. A logika csak annyit tud mondani, hogy mondatainkkal mindig lltunk valamit s ezen lltshoz felttlenl igazsgrtket rendelnk. A logikai kikts itt az, hogy minden mondatnak van igazsgrtke s adott krlmnyek kztt csakis egyetlen igazsgrtke lehet.

Mindennapi letnkben legtbbszr az igaz vagy a hamis igazsgrtket rendeljk lltsainkhoz. Ez azt jelenti, hogy egy ktrtk logika keretei kztt helyezkednk el. Viszont addnak olyan esetek is amikor adott llts igazsgrtke nem oldhat meg a ktrtk logika keretei kztt. Ilyenek a jvre vonatkoz lltsaink. Pldul azon lltsnak, hogy

Szerdn esni fog az es.

szinte lehetetlen az igaz vagy a hamis igazsgrtket tulajdontani, mivel egyltaln nem vagyunk biztosak abban, hogy az gy is lesz. Emiatt ezen lltsrl azt fogjuk mondani, hogy valszin. Viszont ez egyben azt is jelenti, hogy kilptnk a ktrtk logika keretei kzl s tlptnk egy hrom igazsgrtket elfogad logikba. Azt tudni, hogy szerdn valszinleg esni fog az es tbbet jelent annl mintha semmit sem tudnnk a szerdai idjrsrl, viszont sokkal kevesebbet annl, hogy igaz az, hogy szerdn esni fog az es. Emiatt sokkal rtkesebb szmunkra az igaz llts mint a valszin. Ehhez hasonl az igaz s a hamis llts rtkelse is. Azaz bennnket elssorban az igaz lltsok rdekelnek s nem a hamisak. Levonhatjuk teht azt a kvetkeztetst, hogy egyrszt az igaz s msrszt a hamis, illetve a valszin igazsgrtkek nem szimmetrikusak. Msszval az igaz igazsgrtke kitntetett helyet foglal el az igazsgrtkek kztt.

ltalnostva, ha a ktrtk logika keretei kztt helyezkednk el, akkor az 1 s a 0 rtkek szerepelnek az igazsgrtkek halamazban.

L: {1, 0}, s 1 0 = , mivel a kizrt harmadik alaptrvnye tiltja a harmadik logikai igazsgrtk

odarendelst, s az ellentmondsmentessg alaptrvnye szerint nem lehetsges mindkt logikai igazsgrtk szimultn odarendelse. Ezt nevezzk a logikai rtk elvnek, ami ltalnostja a ktrtksg elvt.

Teht a kijelentsek logikjban a kijelentsek mint igazsgrtkkel rendelkezk jelennek meg, s ez kpezi logikai jelentsket, msszval verifunkcionlisak. E logikban az fog rdekelni bennnket, hogy tbb kijelents igazsgrtkeitl miknt fgg az sszetett kijelents igazsgrtke.

sszefoglals. A logikai kvetkeztets modellek klnbznek a hagyomnyos logikban s a szimbolikus logikban. A szimbolikus logika nyelve metanyelv a termszetes nyelv trgynyelvhez kpest. A termszetes nyelv alapveten bcbl s grammatikbl ll. A grammatika a szintaktikai s a szemantikai szablyok csoportjt foglalja magba. E modell szerint vannak felptve a mestersges nyelvek is. Szemben a termszetes nyelvvel a mestersges nyelvek nem kultrahordozk.

Kulcsfogalmak nyelv, szintaxis, szemantika, trgynyelv, metanyelv, mestersges

nyelv, termszetes nyelv. Gyakorlatok 1. Miben klnbzik a hagyomnyos logika kvetkeztetsi modellje a

szimbolikus logikaitl? 2. Mirt nem vlt az eszperant nyelv a XX. szzad latinjv? 3. Milyen szablycsoport ellen vt a varcig a magyar nyelv bcjn

megfogalmazott kifejezse? 4. A szimbolikus logika nyelvnek van-e metanyelve? 5. Milyen szerepe volt az informatika ltal alkotott mestersges nyelveknek az

ember-szmtgp prbeszdben?

6. Mibl ll a magyar nyelv szintaxisa? 7. Milyen elnyei vannak a szimbolikus nyelv hasznlatnak a logikban? 8. Mit mond ki a logikai rtk elve?

Msodik fejezet

INTUITV KIJELENTSLOGIKA

4. A kijelentsek intuitv logikja 5. A kijelentslogika nyelve 6. Szimbolizls a kijelentsek logikjban

A fejezet keretei kztt megtesszk az els lpst a termszetes nyelvtl a

kijelentsek logikjnak szimbolikus nyelve fele. Ez a folyamat az elvonatkoztatsok sorozatra pl, amelynek eredmnyekppen kialaktjuk az igazsgfggvny fogalmt.

1. A kijelentsek intuitv logikja A tma clja megvizsglni a termszetes nyelv legfontosabb kijelentskzi

kapcsolatainak sokflesgt. A tma tvete utn kpes kell legyl az elbb emltett termszetes nyelvi

sokflesget valamelyest egysgesteni a kijelentsek logikjnak nyelvn.

A szimbolikus logika egyik klasszikus fejezete a kijelentsek logikja. Azrt nevezik klasszikusnak, mert egyrszt az egyik elsknt kidolgozott fejezete, msrszt pedig a XX. szzadi logika minta rtk elmlete. A kijelentskalkulus illetve a prediktumok logikja volt az, amelyek kidolgozsa rvn a hagyomnyos logika megjult eszkzeiben, eljrsaiban s nem utols sorban eredmnyeiben.

A kijelentsek logikja a kijelentst irreduktibilisnek tekinti s a velk vgezhet lland logikai mveleteket tanulmnyozza. Azaz azt, hogy adott sszetett kijelents igazsgrtke miknt fgg az t alkot kijelentsek igazsgrtkeitl. A prediktumok logikja ezzel szemben azt vizsglja, hogy a kijelentseken bell milyen lland logikai kapcsolatok lteznek. Teht els pillantsra a kt elmlet egymstl eltr. A valsgban ez nem gy van, mivel mint ltni fogjuk a prediktumok logikja felttelezi, magba pti a kijelentskalkulust. Tovbb mindkt elmlet alapveten a kvetkeztets kzponti logikai krdst trgyalja kzs s egymstl klnbz eszkzkkel.

A kijelentsek logikjnak felptse az egyre magasabb absztrakcis szintek elrst jelenti. Kiindulpontjt a termszetes nyelven megfogalmazott sszetett kijelentsek kpezik, amelyek aztn a kvetkeztetsekbe plnek bele. Az elvonatkoztats clja olyan lland kapcsolatokat azonostani a kijelentsek kztt, amelyeket aztn logikai szempontbl pontosan definilhatunk. Ezen alfejezet pontosan ezen abstrakcis t els lpst hivatott el vgigvinni. Kiindulpontunkat a kijelentsek kztti leggyakoribb lland, termszetes nyelven kifejezett kapcsolatok kpezik. Pldinkat, a kzrthetsg kedvrt a mindennapi let egyik legismertebb s

kzenfekvbb kifejezseibl vlasztjuk, a kzmondsok kzl. Vegyk teht sorra a leggyakoribb lland logikai kijelentskzi kapcsolatokat.

a. A konjunktv kijelents. Szabvnyos nyelvi formban a konjunktv kapcsolatot az s szcska segtsgvel fejezzk ki. A termszetes nyelvben viszont ez nem mindig explicit. Pldul.

grni knny, megtenni nehz. A pldban szerepl kt kijelentst sszekt vessz konjunktv kapcsolatot takar. E kapcsolat nem jelenik meg expliciten. Azt, hogy konjunktv kapcsolatrl van-e sz onnan lehet megllaptani, hogy a kt lltst helyez egyms mell.

Az egyms mell helyezs intuitv jelentse tbbfle lehet. Konjunktvan fejezhetnk ki egyszer egymsmellettisget (Kvl fnyes, bell frges.), helyzeteket (A kakastl elfut, oroszlnra tall.), llapotok tulajdonsgait (Feje mint egy hord, esze mint egy di.), trbelisget (A hazugg vilgot kerl, az igazsg egy helyben l.), egyidejsget s egymsutnisgot (Farkast emlegettnk, a kert alatt jr., Nincs olyan hossz nap, hogy estje ne volna.)

Ilyen jelleg kapcsolatot vltozatos nyelvi formban lehet kifejezni. A magyar nyelvben a kvetkez kifejezsi lehetsgek llnak rendelkezsnkre: de, hogy, ilyenformn, habr, mgis stb.

A konjunktv kapcsolat vltozatos s adott esetben tbbrtelm, intuitv termszetes nyelvi jelentst egyrtelmsti rgztett logikai jelentse. Ezen jelents eltekint a kijelentsek konkrt tartalmtl s csakis igazsgrtkeiket, valamint a kzttk fennll kapcsolatot veszi figyelembe. Eszerint:

ha a konjunktv kijelents igaz, akkor mindkt tagja igaz, ha a konjunktv kijelents hamis, akkor legalbb egyik tagja hamis.

A logikai jelents teht azt veszi figyelembe, hogy milyen lland logikai kapcsolat van a kijelentsek kztt s eltekint a konkrt tartalmuktl. Ms szval nem az rdekli, hogy valami valban kvl fnyes-e vagy sem s bell frges-e vagy sem s eszerint igaz-e a kijelents vagy sem, hanem az, hogy ha az egyik igaz s a msik is igaz, akkor a konjunktvan sszetett kijelents is igaz.

b. A megengeden diszjunktv kijelents szabvnyos nyelvi formja a vagy. Ezen kvl mg kifejezhetjk az akr szcska segtsgvel is. A termszete nyelv tvolrl sem biztostja annyi lehetsges kifejezsmdjt, mint ez a konjunkci esetben teszi. Pldul:

Elmegyek a moziba, vagy veszek magamnak egy fagylaltot. A kt diszjunktvan sszekttt kijelents intuitvan vlasztst fejez ki kt alternatva kzl. Ez egyben egyezik a diszjunktv kijelents ltalnos intuitv jelentsvel. E vlasztsban viszont benne van az is, hogy az alternatvk kzl az egyiket, a msikat vagy egyszerre mindkettt is vlaszthatom. Ms szval a moziba menetel nem zrja ki

azt, hogy vegyek magamnak egy fagyit. Emiatt a diszjunktv kijelents e formjt megengednek2 is nevezik.

A megengeden diszjunktv kijelents logikai jelentse a kvetkez:

ha a diszjunktv kijelents igaz, akkor legalbb egyik tagja igaz, ha a diszjunktv kijelents hamis, akkor mindkt tagja hamis.

Ezen logikai jelents is kizrlagosan a tagok, valamint az sszetett kijelents igazsgrtkeit veszi figyelembe.

c. A kizran diszjunktv kijelents szabvnyos nyelvi kifejezsi eszkze a vagy....vagy szcskk. Ezen kvl kifejezhetjk mg az akr....akr szavak segtsgvel is. A termszetes nyelven viszont nem mindig fejezzk ki expliciten a kt vagy-ot. Megtrtnhet, hogy egyetlen vagy-nak is kizr jelentse van. Pldul:

A holtakrl vagy jt, vagy semmit.

kzmondsban a diszjunkci kizr jelents s ezt nyelvileg is expliciten kifejezi. Az lltott alternatvk kzl csak az egyiket vlaszthatjuk, mivel a trsadalmi normk szerint tilos a holtakat kromolni. Mindkt alternatvt pedig nem lehet vlasztani, mivel nem lehet a semmit mondva jt mondani, vagy jl mondva a semmit.

A diszjunkcit kifejezhetjk egyetlen vagy segtsgvel, de megtrtnik, hogy kizr jelentse van. Pldul:

Kimsz az udvarra, vagy bennmaradsz a hzban. Itt az egyetlen vagy kizr jelents, mivel fizikai lehetetlensg egyszerre az udvaron is lenni s a hzban is maradni. Teht a kizr vagy megenged diszjunkci azonostsa felttelezi azt, hogy pontosan definilt logikai jelentssel rendelkezznk.

A kizran diszjunktv kijelents logikai jelentse teht a kvetkez:

ha a kizran diszjunktv kijelents igaz, akkor tagjai igazsgrtkei klnbznek,

ha a kizran diszjunktv kijelents hamis, akkor tagjai igazsgrtkei megegyeznek.

A kizr s megenged diszjunkci logikai jelentseit sszehasonltva kiderl a kzttk lev klnbsg, ami abban ll, hogy az elbbi mindkt tagja nem lehet egyszerre igaz, mg a msik tagjai lehetnek egyszerre igazak.

d. A kondicionlis kijelents szabvnyos nyelvi formja a ha....akkor. Megnevezse szerint is felttelt fejez ki. A ha szcska ltal bevezetett felttel mellett teljesl az akkor szcska ltal bevezetett kvetkezmny. Emiatt a felttelt a kondicionlis eltagjnak, a kvetkezmnyt pedig uttagnak nevezzk. A megklnbztets azrt

2 Az utbbi idben magyar logikai terminolgia is tvette a nemzetkzileg hasznlt alternci megnevezst. A megenged diszjunkci rgebbi s az alternci mostani megnevezsei szinonmknak tekinthetk, azaz logikai rtelmk megegyezik. A ksbbiekben majd mi is az utbbi megnevezst fogjuk hassznlni.

fontos, mert a kettt nem lehet felcserlni, mint az a konjunktv, vagy diszjunktv kijelentsekben lehetsges.

A termszetes nyelv a kondicionlis kapcsolat kifejezsnek szles skljt biztostja. A kijelentskzi kapcsolatok ezen tpust lehet kifejezni a: mert, teht, emgy, gy, emiatt, amiatt, hogyha stb. szavak segtsgvel.

Pldul

Ha bekszn a szksg, vge a szeretetnek. kzmondsban nem jelenik meg expliciten az uttagot bevezet akkor szcska, hanem a vessz helyettesti. Ennek ellenre vilgos a kondicionlis kapcsolat. Szintn kondicionlis kapcsolat van jelen a kvetkez kzmondsban is

Akkor beteg az orvos, mikor msok egszsgesek. azzal a klnbsggel, hogy itt elbb lltja az uttagjt, majd csak utna az eltagjt. Ha egyrtelmv akarjuk tenni, akkor a kvetkezkppen fejeznnk ki

Ha msok egszsgesek, akkor az orvos beteg.

A kondicionlis kijelents intuitv rtelme szerint a kvetkezket fejezheti ki: oksgi sszefggst (znvz ha tombol, hegyeket lerombol.), szksgszersget (Ha Jnos magasabb mint Bla s Bla magasabb mint Pter, akkor Jnos magasabb mint Pter.), trbelisget (Ha nincs otthon a macska, tncolnak az egerek.), idbelisget (Ha a jt most elveted, ksbb srva keresed.) s helyzeteket (Hol az ember egsz nap csak furulyl, ott az asszony csak hesen srdogl.).

Logikai jelentse szerint

ha a kondicionlis kijelents igaz, akkor nem igaz hogy eltagja igaz s uttagja hamis.

ha a kondicionlis kijelents hamis, akkor eltagja igaz s uttagja hamis. Ezen jelentse szerint ismerhetjk fel, hogy melyik az uttagja s melyik az eltagja, valamint gy klnbztethetjk meg az sszetett kijelentsek tbbi tpustl.

e. A bikondicionlis kijelents szabvnyos nyelvi formjt az .... akkor s csakis akkor, ha ...., vagy az ...akkor s csak akkor ha... kifejezssel kapjuk meg. Termszetes nyelvnkben kifejezhet mg az olyan mint, csakolyan, ugyanaz, ugyanolyan stb. szavak segtsgvel. Pldul a

Amilyen az ember, olyan a munkja. kzmonds az embert azonostja munkjval. Ha kitltjk kitltetlen helyeit s teljesen explicitt tesszk, akkor a kvetkezkppen fogalmazhatjuk t:

J munkt vgzel, akkor s csakis akkor, ha j szakmai tudsod van.

vagy

Jnos munkja j eredmny, akkor s csakis akkor, ha j szakmai tudsa van.

A bikondicionlis kijelents intuitv rtelme szerint azonossgig men hasonlsgot (Pnteki nevets, vasrnapi srs.), elengedhetetlen felttelt (A definci akkor s csakis helyes, ha betartja az idevonatkoz szablyokat.), egyenlsget (Sok beszd szegnysg.) fejez ki.

A bikondicionlis kijelents logikai jelentse szerint

ha a bikondicionlis kijelents igaz, akkor tagjai igazsgrtkei megegyeznek. ha a bikondicionlis kijelents hamis, akkor tagjai igazsgrtkei klnbznek.

Egyrtelm logikai jelentse vilgosan megklnbztethetv teszi az sszetett kijelentsek tbbi tpustl.

f. A neglt kijelentseket szabvnyos formjt gy kapjuk meg, hogy eljk a Nem igaz, hogy .... kifejezst helyezzk. Termszetes nyelven ez tbbflekppen fejezhet ki a nem, sem, ne szavakkal. Tovbb, mindennapi letnkben szinte egyltaln nem fordul el az hogy a negci szabvnyos nyelvi formjt hasznljuk. ltalban vve a negl sz a kijelents belsejben fordul el, a kvetkezkppen:

Elvesztett becsletet nem tallni meg. E kzmonds szabvnyos formja a kvetkez lenne

Nem igaz, hogy az elvesztett becsletet meg lehet tallni.

A negcit alkalmazni lehet nemcsak egyedi kijelentsekre, hanem sszetettekre is. Pldul a

Halat szlka nlkl, embert hiba nlkl nem lehet tallni. kzmondsban hrom negci tallhat. Kett a konjunktv kijelents tagjain s a harmadik magn a konjunktv kijelentsen. Szabvnyoss alaktva

Nem igaz, hogy a halnak nincs szlkja s az embernek nincs hibja. kifejezst kapjuk.

A negci logikai s intuitv jelentse megegyezik abban, hogy megvltoztatjk a kijelents igazsgrtkt. Ellenben a negci logikai rtelme egyrtelmbb s vilgosabban azonosthatv teszi.

ha a kijelents igaz, akkor a negltja hamis, ha a kijelents hamis, akkor a negltja igaz, a ketts negci a kijelents igazsgrtkt vltozatlanul hagyja.

g. Az inkompatibilis kijelentst nyelvileg a vagy sem...vagy sem kifejezssel szoktuk megfogalmazni. Pldul:

Vagy n se megyek korcsolyzni, vagy te se msz. Intuitvan azt fejezi ki, hogy az sszetett kijelents elemi kijelentseiben lltottak

legalbb egyike nem kvetkezik be. Teht igazsgfeltteleit a kvetkezkppen fogalmazhatjuk meg:

ha az inkompatibilis kijelents igaz, akkor legalbb az egyik tagja hamis. ha az inkompatibilis kijelents hamis, akkor akkor mindkt tagja igaz. A termszetes nyelvi kifejezsekben elgg ritkn tallkozunk vele. h. Vannak a nyelvnek olyan sszetett mondatai is, amelyekben az sszettel a

sem...sem kifejezssel valsul meg. Pldul: Sem hal szlka nlkl, sem ember hiba nlkl. Intuitv jelentse abban ll, hogy a benne szerepl elelmi kijelentsek lltsai

kzl egyik sem valsul meg. Az inkompatibilis kijelentsektl abban klnbzik, hogy ez esetben nem lehet sz arrl, hogy valamelyik tagja igaz lehessen. Azaz igazsgfelttelei:

ha a sem...sem kijelents igaz, akkor mindkt tagja hamis. ha a sem...sem kijelets hamis, akkor legalbb egyik tagja igaz. A kvetkez fejezetben meg fogjuk ltni, hogy e kijelentstpusnak is kln

igazsgfggvny felel meg, a Scheffer-funktor.

sszefoglals. A kijelentskzi lland logikai kapcsolatok feltrkpezsben az els lpst az intuitv kzelts jelenti. Ebben a helyzetben egyben mr elrtk az els absztrakcis szintet azon az ton, amelynek vgn a kijelentskzi llad logikai kapcsolatokat formlisan s tfogan szimbolikus formban fogjuk trgyalni. Kulcsfogalmak: intuitv rtelem, szabvnyostott rtelem, konjunktv, diszjunktv (alternatv), kizran diszjunktv, kondicionlis, bikondicionlis, neglt kijelents Gyakorlatok

1. Keressetek pldt konjunktv, diszjunktv (alternatv), kizran diszjunktv, kondicionlis, bikondicionlis, neglt kijelentsekre.

2. Mi az sszefggs az sszetett kijelentsek termszetes nyelvi s logikai rtelemben vett igazsgrtkei kztt?

3. Alkossatok pldtkat a konjunktv, diszjunktv (alternatv), kizran diszjunktv, kondicionlis, bikondicionlis, neglt, inkompatibils s sem...sem kijelentsekre.

4. Miben klnbzik az sszetett kijelentsek intuitv (termszetes nyelvi) s logikai rtelme?

2. A kijelentsek logikjnak nyelve

A kijelentsek logikjnak nyelve egy mestersgesen megalkotott nyelv. Sajt bcvel, grammatikval s szemantikval rendelkezik. E rszben e mestersges nyelv kt egymstl klnbz rsmdjt fogjuk trgyalni, azaz bcjt s grammatikjt. Ehhez szemantikt csak valamivel ksbb fogunk rendelni, mivel a nyelv elsajttsa fokozatosan fog trtnni.

A tma clja bemutatni a kijelentslogika mestersges nyelvnek bcjt s grammatikjt.

A tma tvtele utn kpes kell legyl helyesen rni a logikt a Peano s a

Lukasiewicz fle rsmdban.

Mint minden nyelv, e nyelv is bc-bl s grammatikbl tevdik ssze. A kijelentskalkulus bcjben a kvetkez jelcsoportok szerepelnek:

1. a kijelentsvltozk jelei, amire a magyar nyelv bcjnek msodik felbl val mssallhagzkat hasznljuk: p, q, r, s, t s abban az esetben ha nagyon sok vltozt kell felhasznlnunk, akkor indexel lthatjuk el: p1, p2, ...., pn.

2. a logikai llandk vagy mveletek jelei:

& a konjunkci jele, v a megenged diszjunkci, az alternci jele, + a kizr diszjunkci jele, a kondicionlis jele, a bikondicionlis jele s a ~, a negci jele.

3. kisegt jelek szerept a zrjelek tltik be: ( ) a kerek zrjel, [ ] a

szgletes zrjel s {} a kapcsos zrjel. A zrjelek szerepe az, hogy a kijlentsek logikjban megfogalmazhat kifejezsekben szerepl logikai llandk, vagy mveletek erssgt meghatrozzk. A kvetkez mdon: a legersebb a kerek zrjel s a benne szerepl logikai mveletet vgezzk elszr, folytatva a szgletes- s a kapcsos zrjellel.

A kijelentsek logikja bcjnek hasznlatt szablyoz szintaktikai szablyok a kvetkezk:

1. A kijelentsvltoz jlformlt.

2. A kijelentsvltozkat sszekt logikai lland, vagy mvelet jlformlt. Pldul: p & g, p v q, p + q, p q, p q. Az gy nyert kifejezseket, vagy smkat A-val, B-vel, C-vel stb. is jellhetjk.

3. Kt kijelentsvltoz kztt mindig kell lennie egy llandnak. 4. Ha a kijelentsvltoz jlformlt, akkor jlformlt a ~p, ~q, ~r stb. kifejezs is. 5. Ha az A, B, C stb. sma, vagy kifejezs jlformlt, akkor jlformlt a ~A, ~B,

~C stb. sma is.

A kijelentsek logikjnak szemantikai szablyai az llandk pontos logikai jelentst rgztik. Mivel mi egy ktrtk logikban helyezkednk el, az llandk logikai jelentse az igazsgrtkek terminusaiban val meghatrozsukat felttelezi. Erre egy kvetkez rszben kerl majd sor.

Megjegyzs. Az bcben szerepl jelek nem azonosak minden logikusnl. Az eddig bemutatott rsmd G. Peano-tl szrmazik s a legelterjedtebb. Hasznlatos mg, elssorban a fejledtebb logikkban a Lukasiewicz-fle rsmd is. A kvetkezkben ezt mutatjuk be.

A Lukasiewicz-fle rsmd bcjben a vltozk szimblumai megegyeznek a Peano-fle rsmd jeleivel. gy a vltozkat szintn p, q, r, valamint p1, p2, ...., pn-el jelljk. A klnbsg a logikai llandk s a szintaktikai szablyok tern addik.

K a konjunkci jele A az alternci C a kondicionlis jele E a bikondicionlis jele s N a negci jele.

A tbbi logikai llandnak nincs kln jele, mivel, mint ezt ksbb ltni fogjuk az

llandk szemantikailag kifejezhetk egymssal, azaz egymssal ekvivalensek. Megfigyelhetjk, hogy ezen bcben az llandk szimblumai megyegyznek a megnevezsk kezdbetjvel. Kivtel a kikondicionlis. Ellenben akkor amikor Lukasiewicz kidolgozta rsmdjt ezt ekvivalencinak is neveztk.

Mirt volt szksge Lukasiewicznek ezen rsmdra? Azok szmra akik logikt rtak a klasszikus, mechanikus rgpen vilgos, hogy mennyire nehz, adott esetben szinte lehetetlen ilyen jelleg szveget alkotni. A nehzsg f forrst pontosan a Peano-fle rsmdban hasznlt logikai llandk szimblumai jelentik. Ezeket helyettestik megnevezsk kezdbeti.

Az ide tartoz szintaktikai szablyok a kvetkezk:

1. A kijelentsvltoz jlformlt. 2. A kifejezseket, vagy smkat gy rjuk, hogy a vltozk szimblumai a

mvelet szimblumt kvetik: Kpq, Apq, Cpq stb. Sorrendben e kifejezseknek a Peano-fle rsmdban a kvetkez smk felelnek meg: p & q, p v q, p q.

3. A negcit gy rjuk, hogy a neglt vltozt vagy a mveletet az N bet elzi meg: Np, Nq, NApq, NCNpNq. Sorrendben a Peano-fle rsmdban a kvetkez smk felelnek meg: ~p, ~q, ~ (p v q), ~ (~p ~q)

4. Ha a kondicionlis vagy a bikondicionlis a sma fmvelete, akkor szimbluma elrehozhat: CKpqq, ENKpq ANpNq. Az elre nem hozott fmvelet smnak a Peano-fle rsmdban a kvetkez smk felelnek meg: (p & q) q, ~ (p & q) (~p v ~q).

Mint ltjuk a Lukasiewicz-fle rsmd nem hasznl kisegt jeleket, a mveletek jelei pedig nem ikonszerek, hanem a magyar nyelv bcjnek nagybeti. Emiatt sokkal knnyebben lehet ezen rsmd jeleit hasznlva logikt rni. Az rsmd htrnya viszont az, hogy egy Lukasiewicz-fle rsmdbeli smnak gyakran tbb Peano-fle rsmdbeli trs felel meg. Emiatt a logika rsnak tapasztalata kell a htunk mgtt lljon, ahhoz hogy a kt rsmd megfeleltetseit helyesen rtelmezzk.

sszefoglals. A kijelentsek logikja bcjben szerepl szimblumok (jelek) s a hozzjuk tartoz szintaktikai szablyok fggvnyben tbbflekppen lehet a kijelentsek logikjnak szimbolikus nyelvn rni. Ezek kzl megismerttek a Peano- s a Lukasiewicz-fle rsmdot.

Kulcsszavak logikai llandk, logikai vltozk, Peano-fle rsmd, Lukasiewicz-fle rsmd

Gyakorlatok 1. rjtok t a Peano-fle rsmdbl Lukasiewicz-fle rsmdba a kvetkez

smkat: a. (p & q ) p b. (p v q) (q v p) d. ~p (p v q) e. (p q) (~q ~p) f. [ p v (q & r) ] [ (p v q) & (p v r) ] g. [ ~ (~p ~ q) ] (q v r) h. (p v p) ~p i. (~p v ~q v ~r) ~ (p & q & r) 2. rjtok t a Lukasiewicz-fle rsmdbl a Peano-fle rsmdba a kvetkez

smkat: a. Apq C Kpq b. Cpq C Cqr C Cpr c. Kpq E Kqp d. NANpNq E KNpNq e. ECpq K Crq Kpr Cq

h. CKpq Apq i. KNpNqKNr C NApqAr

3. Melyek a Lukasiewicz-fle rsmd elnyei s htrnyai a Peano-fle rsmddal szemben?

3. Szimbolizls a kijelentsek logikjban

A kijelentsek logikjnak nyelve metanyelv a termszetes nyelv trgynyelvhez

kpest. Ennek az a kvetkezmnye, hogy a termszetes nyelv kifejezseit le kell fordtanunk a kijelentslogika nyelvre. gy a termszetes nyelv kijelentskzi tbbrtelm szavai a fordts eredmnyekppen egyrtelm logikai jelentst nyernek. A termszetes nyelvi kifejezsek pedig logikai kifejezsekk alakulnak, vagyis ezen logika ltal eszkzeivel vllnak kezelhetkk.

A tma clja vilgoss tenni a kijelentsek logikjnak metanyelvi s a termszetes nyelv trgynyelvi sttust. Konkrtabban a clunk az, hogy alkalmazzuk a kijelentsek logikjnak bcjt s szintaktikai szablyait a termszetes nyelvi kifejezsekre.

A tma tvtele utn kpes kell legyl a termszetes nyelvi sszetett

kijelentsek s kvetkeztetsek lefordtsra a kijelentsek logikjnak metanyelvre.

Ahhoz, hogy a termszetes nyelven kifejezett kvetkeztetsek elemezhetek legyenek a kijelentslogika eszkzeivel felttlenl meg kell teremtennk e kt nyelv kztti kapcsolatot. A szimbolizls ppen e krdsre ad vlaszt.

Szimbolizlni teht azt jelenti, hogy a kijelentsek logikjnak szimbolikus nyelvt, azaz bcjt s grammatikjt hasznljuk fel a termszetes nyelven megfogalmazott kifejezsek lefordtsra.

Pldul. A kvetkez termszetes nyelvi kifejezst a kvetkezkppen rhatjuk t a kijelentskalkulus nyelvre. A tudsok kztt is vannak vallsosok, vannak ateistk s vannak, akiket ez a problma egyltaln nem rdekel. 3 Felhasznlva a mr ismert kijelentsfogalmunkat lssuk elszr, hogy ezen sszetett kijelentsben hny elemi kijelents van. Ehhez viszont szabvnyos formjakra kell ket hoznunk. Irnyad az, hogy mindenik kijelentsben lltsnak kell lennie. gy a mostaniban a kvetkezket azonosthatjuk: A tudsok kztt vannak vallsosak. p A tudsok kztt vannak ateistk. q Egyes tudsokat ez a problma egyltaln nem rdekli. ~ r. A hrom kijelentst jobboldalt szimblumokkal lttuk el. Ez azt jelenti, hogy a konkrt kijelentsek helyett a vltozk llnak. Lthatjuk, hogy a harmadik kijelents neglt s emiatt a negcijel szerepel az r kijelentsvltoz eltt.

A kvetkez lpsben az rdekel, hogy a kijelentsvltozk kztt milyen logikai llandk vannak. A fenti szvegben a kijelentseket egyszeren vessz vlasztja el. Emiatt nem mindig nyelvi kifejezs kti ssze s gy nincs semmilyen nyelvi utals sem 3 Mr Lszl (1989), szjrsok, Akadmiai Kiad, Optimum Kiad, Budapest, 47-48.o.

arra, hogy milyen logikailag lland kapcsolat van a hrom kijelents kztt. Viszont intuitvan rezhetjk, hogy a hrom elemi kijelentsben lltottak egyms mell helyezsrl van itt sz. gy rtelmezve a logikai llandkat, a kezdeti sszetett kijelents kvetkez logikailag pontos s egyrtelm formjt kapjuk:

A tudsok kztt vannak vallsosok p/ s a tudsok kztt vannak ateistk q/ s egyes

tudsokat ez a problma egyltaln nem rdekli r/. Ezt szimblumokkal trva az eredeti sszetett kijelentsnek a kvetkez a logikai szerkezete:

(1) p & q & ~r.

Teht a termszetes nyelvi kifejezst a kijelentsek logikjnak nyelvre fordtottuk t, szimbolizls ltal. A szimbolizls nem egy mechanikus eljrs. A mi pldnkban is lttuk, hogy adott esetben rtelmeznnk kellett a termszetes nyelvi kifejezst, ahhoz hogy a szimbolikus forma minl jobban megfeleljen az eredeti formnak.

Milyen cllal rtuk t a termszetes nyelvi kifejezst a kijelentskalkulus nyelvre? Ha megfigyeljk az (1)-es kifejezst, akkor lthatjuk hogy ilyen formban lehetv vlik a kalkulus. A kalkulus clja pedig a kvetkeztetsek rvnyessgnek vizsglata. Az (1)-es kifejezs nem kvetkeztet, hanem megllapt. A logika nyelvn szlva llt. Az lltsok valamilyen logikai mvelet szerinti egymshoz ktse is kpezheti az rvnyessg vizsglatnak trgyt.

Lssunk most egy pldt a kvetkeztets szimbolizlsra. "Egy nninek ts tallata volt a lottn. Krdezik tle, hogy hogyan tallta el a szmokat.

Ht az gy volt, hogy elz este repl birkkkal lmodtam, a htuk pettyes volt, mint a katicabogr. A birkknak ngy lba volt, a htukon ht petty, ezrt megtettem a 4-est s a 7-est. sszeolvasva 47, megtettem ht ezt is. Az sszegk 11, szorzatuk pedig 32, ez lett a negyedik s a tdik szmom.

De hiszen ngyszer ht az nem 32, hanem 28! veti ellene a krdez. Mr hogy lenne 32, amikor nyertem vele!" 4

A kvetkeztets elemi kijelentseit azonostva az albbiakat kapjuk: Elz este birkkkal lmodtam. p1

A birkk hta pettyes volt, mint a katicabogrnak. p2

A birknak ngy lba volt. p3

A birkk htn ngy petty volt. p4

Ezrt megtettem a 4-est. p5

Ezrt megtettem a 7-est. p6

4 s 7 sszeolvasva 47. p7

4 i.m. 18.o.

Ezrt megtettem a 47-et. p8

4 s 7 sszege 11. p9

4 s 7 szorzata 32. p10

Ez lett a negyedik s az tdik szmom. p11

A kvetkeztets egyrtelm logikai formja a kvetkez: Elz este birkkkal lmodtam s a birkk hta pettyes volt, mint a katicabogrnak s a birkknak ngy lba volt s a birkk htn ngy petty volt, teht megtettem a 4-est s megtettem a 7-est. 4 s 7 sszeolvasva 47, teht megtettem a 47-et. 4 s 7 sszege 11 s 4 s 7 szorzata 32, teht ez lett a negyedik s az tdik szmom.

A kvetkeztetsben hrom kvetkezmny van, amit a teht sz vezet be. Ez azt jelenti, hogy a kvetkezmnyt egy vagy tbb premisszbl nyerjk. A kvetkezmnyi viszony lersra a kijelentsek logikjban a kondicionlis ll rendelkezsnkre. A premisszk kztt pedig konjunktv kapcsolat azonosthat. Smkban kifejezve:

(2) (p1 & p2 & p3 & p4) (p5 & p6)

(3) p7 p8

(4) (p9 & p10) p11. Az reg nni kvetkeztetsnek rekonstrulsa azt mutatja, hogy konjunktvan sszetve hrom premisszacsoportbl nyerte kvetkezmnyeit. Annak ellenre, hogy a p10-es premisszja hamis volt, mgis megnyerte az tst a lottn. Hogyan volt ez lehetsges? gy, hogy a valsg szempontjbl teljesen mindegy az, hogy mi igazat vagy hamisat lltunk rla. A szmokat mindenkppen kihztk, s a nni lltsai s kvetkeztetsei ettl teljesen fggetlenek. Hogy rvnyesen kvetkeztetett-e vagy sem, arra kiss ksbb mg vissza kell trnnk, mivel egyelre nem llnak rendelkezsnkre azok az eszkzk, amelyek segtsgvel a kijelentsek logikja keretei kztt ezt kpesek lennnk ellenrizni.

Emltettk mr, hogy a szimbolizls nem mechanikus eljrs. Adott esetben elgg meggondolkoztat s bonyolult feladat. Ennek ellenre nem flsleges megfogalmazni itt egynhny kvetend lpst, amelyek segtsgnkre lehetnek.

1. Azonostjuk az sszetett kijelents elemi kijelentseit. 2. Azonostjuk az sszetett kijelents logikai szavait, amelyek adott esetben vals,

ms esetben rtelmezs trgyt kpez logikai mveleteket takarnak. 3. Az sszetett kijelentst logikailag egyrtelmv tesszk. 4. A konkrt kijelentseket vltozkkal, a logikai szavakat a mveletek

szimblumaival helyettestjk. 5. Felrjuk az sszetett kijelentsnek megfelel logikai smt.

[Hogy mennyire meggondolkodtat feladat ez esetben a fordts az kiderl a

fggelkbl.(1. fggelk)]

sszefoglals. A szimbolizls azt jelenti, hogy a termszetes nyelvi kifejezseket lefordtjuk, trjuk a kijelentsek logikjnak nyelvre. Ennek clja az, hogy mindazon eszkzt, amelyet a kijelentslogika rendelkezsnkre bocst alkalmazhassuk a kvetkeztetsek rvnyessgnek ellenrzsre. A szimbolizls nem egyszer s mechanikusan megvalsthat eljrs. Tmpontjainkat figyelembe vve a hibk egy rsze elkerlhet.

Kulcsfogalmak fordts, szimbolizls, termszetes nyelvi kifejezs, logikai kifejezs

Gyakorlatok

1. Szimbolizljtok a kvetkez kijelentseket: a. Ha el akarod tallni a clt, feljebb irnyozz. b. Amilyen az anyja, olyan a lnya. c. Nem azrt akasztjk fel a tolvajt, mert lopott, hanem azrt, mert nem tudta

elrejteni. d. A gazda a nagykapun ngy krrel behordja, a gazdasszony a ktjvel a

kiskapun kihordja. e. Kinek feje rossz, lba se j. f. A pszicholgia tudomnynak is vltoznak a paradigmi, de ennek oka

inkbb csak az, hogy egy msik keretben a korbbiaknl jobban szerkesztett rejtvnyeket lehet fellltani.5

g. Ha nem teljes szavakat mondunk a ksrleti szemlyeknek, hanem csak rtelmetlen sztagokat, esetleg betket, akkor is stabilan ht krl van az emltett kszbszm.

h. "Ha a sakknagymester hosszan gondolkodik, tbbnyire nem azt szmolgatja, hogy mi trtnik ha n ide lpek, meg oda, hanem azon tri a fejt, hogy mi legyen a mondanivalja az adott helyzetben."

i. "Ha azt az elvet, ami szerint osztlyoz, el tudja mondani akrmilyen eszkzk felhasznlsval (akr dallal, tnccal, cskkal) gy, hogy ennek alapjn egy msik rtelmes lny is kpes gy osztlyozni a szmokat, hogy az eredmny mindig ugyanaz , mint az els esetben, akkor az osztlyozsi elv matematikai algoritmus formjban is megfogalmazhat, s az emltett absztrakt szmtgpen megvalsthat." (a Church-Turing tzis)

2. Adottak a kijelentsek logikjnak kvetkez smi. Ezek alapjn alkossatok termszetes nyelvi sszetett kijelentseket.

a. p & q & r & s b. (p & q) v r c. p + q + r d. (p & q) r e. (p v q) p f. (p q) q g. (p & q) (p v q)

5 A szimbolizlsi gyakorlatok idzjelbe tett rsze Mr Lszl mr ismert knyvbl valk.

h. ~[(p & q) r] i. ~ (~p & ~q)

3. A jelen tma rtelmben mit jelent fordtani?

Harmadik fejezet

AZ IGAZSGFGGVNY

3. Az igazsgfggvny fogalma 4. Az igazsgfggvnyek logikai jelentse s fontosabb trvnyeik

Az igazsgfggvny a kijelentsek logikjnak alapfogalma. E fogalom kialakulsa vezetett a logika megjulshoz a mlt szzad elejn. Fontossga nem csak abban rejlik, hogy, amint azt mr mondtuk az alaplogika alapfogalma, hanem abban is, hogy szinte nincs a tgabb rtelemben vett szimbolikus logiknak olyan tmja, elmlete, tovbbfejlesztse, amely valamilyen mdon ne venn ezt t. A fejezet msodik rszben a logikai llandkhoz pontos logikai jelentst rendelnk. Ezzel bejrjuk az az utat, amely vgn a kijelentsek logikjnak nyelve egy teljes nyelvv vlik, azaz bcvel, grammatikval (egyttesen szintaxissal) s szemantikval (jelentssel) rendelkezik. Tovbb a trvny fogalmt konkretizljuk a logika terletre s megadjuk a logikai trvny fogalmnak sajtos rtelmt.

1. Az igazsgfggvny fogalma

A tma clja bevezetni a kijelentslogika alapfogalmt, valamint bemutatni az sszes lehetsges, egymstl fggetlen igazsgfggvnyt.

A tma tvtele utn kpes kell legyl felismerni az egymstl klnll

igazsgfggvnyeket s meghatrozni ket.

A kijelentsek kztti lland logikai kapcsolatok fggvnyszer trgyalsa szzadunk jtsa. E trgyalsmd felttelezi a matematikai fggvnyfogalmat s ennek alkalmazst a logikban.

Kzpiskols ismereteink szerint minden fggvny hrom elem megltt felttelezi. Ezek kzl kett halmaz, a harmadik pedig a halmaz elemei kztti megfeleltets. Az egyik halmazt rtelmezsi tartomnynak, a msikat pedig rtktartomnynnak nevezik. E kt halmaz elemei kztt vgznk megfeleltetseket. A matematikai fggvnyre ltalban az jellemz, hogy rtelmezsi tartomnynak s rtktartomnynak elmei klnnemek, ms szval egymstl klnbz elemeket tartalmaznak. Ezzel szemben az igazsgfggvnynek mind rtelmezsi tartomnyban, mind rtktartomnyban az igaz (1) s a hamis (0) igazsgrtk van jelen.

Az igazsgfggvny fogalma lnyegben arra szolgltat magyarzatot, hogy az sszetett kijelents elemi kijelentseinek igazsgrtkeitl miknt fgg magnak az sszetett kijelentsnek az igazsgrtke. Innen addik aztn azon sajtossg is, hogy mind az rtelmezsi tartomnyban, mind az rttktartomnyban csakis az igaz s a hamis

igazsgrtkek szerepelnek. E kt meghatroz halmaz kztt pedig az a klnbsg, hogy az rtelmezsi tartomnyban az igaz s a hamis igazsgrtkek kombincii, az rtktartomnyban pedig az ennek megfelel igaz vagy hamis igazsgrtk fog megfelelni.

Pldul a szimbolizls folyamn kaptuk az (1)-es kifejezst

(1) p & q & ~r. A kijelentsek logikjnak alapfogalma, az igazsgfgvny arra ad magyarzatot, hogy a p, q s az r kijelentsvltozk lehetsges igazsgrtkeitl, valamint a kztk meglv logikai llandktl miknt fgg a teljes kifejezs igazsgrtke. Teht ha kt logikai igazsgrtket fogadunk el, az igazat (1)s a hamisat (0), akkor a kijelentsvltozk helyett ezek az lland logikai igazsgrtkek llhatnak s kztk lev llandk fggvnyben addik az sszetett kijelents igazsgrtke.

p lehet

q lehet

~r lehet

1 0 1 0 1 0 kimeneti igazsgrtkek

Mskppen megkzeltve a krdst, abban az esetben ha kt kijelentsvltoz

kztt a konjunktv kapcsolat, rviden konjunkci ll fenn, akkor a kt vltoz igazsgrtke vagy az igaz vagy a hamis lehet. Ms logikai rtket nem vehetnek fel, mert tiltja a kizrt harmadik logikai alaptrvnye s nem vehetik fel egyszerre a mindkettt, mivel tiltja az ellentmondsmentessg logikai alaptrvnye. Tovbb a konjunktv kapcsolat logikai rtelme szerint ha igaz, akkor mindkt vltozjnak igaz az igazsgrtke, ha hamis, akkor legalbb egyik vltoz igazsgrtke hamis. Ha figyelembe akarjuk venni a konjunkci tagjainak sszes lehetsges az igaz s hamis szerinti rtkkombincijt, akkor ngy ilyet kapunk: egyik igaz s a msik igaz (1,1), az egyik igaz s a msik hamis (1,0), ez egyik hamis s a msik igaz (0,1), vgl az egyik hamis s a msik hamis (0,0). Ezek a prok kpezik az igazsgfggvny rtelmezsi tartomnyt. Az rtktartomny viszont csak kt elemet fog tartalmazni, az igaz s a hamis igazsgrtket, mivel az sszetett kijelents az rtelmezsi tartomny egyik rtkkombincijra csak egy rtket vehet fel, szintn a logika alaptrvnyei szerint. gy kt halmaz jn ltre az egyik a ngyelem rtelmezsi tartomny az igazsgrtkek kombinciival, valamint a ktelem rtktartomny az igaz s a hamis igazsgrtkkel. brzolva. rtelmezsi tartomny rtktartomny 111

1, 0

1, 1

0,1,

1,0

0,0

2. bra. Az igazsgfggvny

Az bra szerint az rtelmezsi tartomny egyik rtkkombincijnak egy s csakis egy rtktartomnybeli rtk felel meg. Vilgos tovbb, hogy az igazsgfggvny is felfoghat halmazok s ezek elemi kztti megfeleltetsknt.

Eljutottunk teht oda, hogy a konjunkci logikai rtelmt igazsgfggvnyszeren trgyalhassuk. A kvetkezkppen.

p q & 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

p s q kijlentsvltozk igazsgrtkkombinciit az els kt oszlop tartalmazza. Ez a konjunkci igazsgfggvnynek rtelmezsi tartomnya. Az utols oszlop a bemeneti igazsgrtkeknek megfelel kimeneti igazsgrtket foglalja magba s ez a konjukci rtktartomnya. Az els kt oszlop s az utols kztt hzott nyilak a megfeleltetst jellik.

Most meghatrozhatjuk az igazsgfggvnyt.

Egy n vltozs igazsgfggvnyen egy olyan fggvnyt rtnk, amelynek rtelmezsi tartomnya a vltozk igazsgrtkeibl kpezhet n tag sorozatok szma, rtktartomnya pedig az igaz vagy a hamis igazsgrtk. Szimblumokkal

Ft : T (p,q) T (p,q) , ahol Ft az igazsgfggvnyt jelli, T (p,q) a fggvny rtelmezsi tartomnya,

T (p,q) az rtktartomnya, pedig a megfeleltets. A grg bet, azt a mdot

jelli, ahogy a p s q vltzk egymstl klnll mdon sszekapcsolhatk. A kvetkez krds amire vlaszolnunk kell, az hogy hny egymstl klnbz

igazsgfggvy ltezik a ktrtk logikban. E krdst ilyen egyrtelmen L. Wittgenstein tette fel, emiatt Wittgenstein-fle tblzatnak is nevezik.

1. Tblzat. A ktrtk logika egymstl klnbz lehetsges igazsgfggvnyei

Sorszm p q

1 1

1 0

0 1

0 0

Elnevezs Szimblum Olvasat

1 1 1 1 1 Tautolgia Nincs mindig igaz

2 1 1 1 0 megenged diszjunkci p v q p vagy q

3 1 1 0 1 fordtott kondicionlis p q akkor p, ha q

4 1 1 0 0 Prependencia p q

p, attl fggetlenl, hogy q

5 1 0 1 1 Kondicionlis p q ha p, akkor q

6 1 0 1 0 Posztpendencia q

q, attl fggetlenl, hogy p

7 1 0 0 1 Bikondicionlis p q p akkor s csakis akkor, ha q

8 1 0 0 0 Konjunkci p & q p s q

9 0 1 1 1 Inkompatibilits p / q vagy sem p, vagy sem q

10 0 1 1 0 kizr diszjunkci p + q vagy p, vagy q

11 0 1 0 1 poszt-nonpendencia p ~q

nem q, attl fggetlenl, hogy p

12 0 1 0 1 Nonkondicionlis ~(p q) nem igaz hogy, ha p akkor q

13 0 0 1 1 pre-nonpendencia ~p q

nem p, attl fggetlenl, hogy q

14 0 0 1 0 fordtott non kondicionlis

~(p q) nem igaz, hogy akkor p, ha q

15 0 0 0 1 Scheffer-funktor p q sem p, sem q

16 0 0 0 0 Ellentmonds Nincs mindig hamis

A tblzatot elemezve nhny fontos megllaptst tehetnk. Elszr is a 16 lehetsges egymstl klnbz igazsgfggvny kzl leggyakrabban 5-6-ot szoktunk hasznlni. Ezek a &, v, +, , , . Pontosan ezek kialakulst ksri vgig Piaget a gyereki fejlds folyamn. A logika viszont e tblzatn keresztl azt bizonytja, hogy kifejezsi eszkzeink, a lehetsg szintjn szlesebb skln mozognak mint az gyakorlatilag trtnik.

A tblzatban nem jelenik meg expliciten a negci. Ennek az a magyarzata, hogy a neglni mind a vltozt, mind a kijelentsek logikjnak smit lehet. Tovbb azt is megfigyelhetjk, hogy a 8. s a 9. sor vlasztvonala egyben a tblzat negci szerinti szimmetriatengelyt is jelenti. Ms szval az els nyolc igazsgfggvny kifejezhet az utols nyolc, illetve a negci segtsgvel. Mskppen fogalmazva a tblzat els nyolc igazsgfggvnye reduklhat az utols nyolcra, illetve a negcira. Teht az igazsgfggvnyek kztt logikai szemantikai megfelelsek lteznek.

sszefoglals. Az igazsgfggvny a kijelentsek logikjnak alapfogalma. Segtsgvel a konkrt kijelentsek kztti lland logikai kapcsolatok, valamint a kvetkeztetsek trgyalsa tkerl a konkrtbl a lehetsgesbe. Az igazsgfggvny fogalma, bizonyos sajtossgokkal megegyezik fggvny ltalnos fogalmval. Az sszes lehetsges igazsgfggvny szma nagyobb mint az ltalban hasznltak. Az igazsgfggvnyek a kijelentsek kztti lland logikai kapcsolatot jelentik s kifejezhetk egymssal.

Kulcsfogalmak rtelmezsi tartomny, rtktartomny, igazsgfggvny, Wittgenstein-tblzat

Gyakorlatok 1. Miben ll a logikai igazsgfggvny szpecifikuma (sajtossga) a

fggnyek kztt? 2. Hol helyezkedik el a negci a ktrtk igazsgfggvnyek tblzatban? 3. Hatrozztok meg a Wittgenstein-tblzat tulajdonsgait. 4. Mi a klnbsg a leggyakrabban hasznlt s az sszes lehetsges ktrtk

igazsgfggvnyek kztt?

2. Az igazsgfggvnyek logikai jelentse s fontosabb trvnyeik

A tma clja megadni a fontosabb igazsgfggvnyek egyrtelm logikai jelentst.

A tma tvtele utn kpes kell legyl az igazsgfggvnyek

flrerthetetelen azonostsra s trvnyeik elsajttsra.

A tovbbiakban kiemejk az 1. Tblzatban szerepl legyakrabban hasznlt igazsgfggvnyeket s rendre felsoroljuk tulajdonsgaikat, illetve a hozzjuk tartoz logikai trvnyeket. Azrt pont ezeket, mert egyrszt a leggyakoriabbak s logikai- szemantikailag a tbbi kifejezhet ezek segtsgvel.

A konjunkci (a Wittgenstein- fle tblzatban 8) logikai jelentst a kvetkez rtktblazat tartalmazza: p q & 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A konjunkci tulajdonsgai a kvetkezk: (T1) kommutatv (felcserlhet): (p & q) 6 (q & p), (T2) asszociatv (csoportosthat): [(p & q) & r] [p & (q & r)], (T3) p & p = p, ami azt jelenti, hogy a konjunkci tagjainak tbbsszri elfordulsa reduklhat egyre, mivel ha p = 1, akkor az 1 rtk akrhnyszori ismtldse konjunktvan 1 rtket ad, vagy ha p = 0, akkor a 0 igazsgrtk akrhnyszori ismtldse konjunktvan 0 rtket ad. (T4) (p1 & p2 & .....& pn), azaz egy n tag konjunkci igazsgrtke a pi-dik tag

rtktl fgg. Ez a tulajdonsg abbl addik, hogy a konjunkci csak akkor igaz, ha 6 E szimblumnak Wittgensten tblzatban nincs logikai szemantikai jelentse. Ekvivalencinak nevezik. Meghatrozsra ksbb kerl sor, az ekvivalencia relci tmja keretei kztt. Egyelre intuitvan azt kell tudni rla, hogy akkor igaz ha a bal s a jobb oldaln lev vltozk, vagy smk igazsgrtkei megegyeznek, ellenkez esetben hamis.

mindkt tagja igaz, ellenkez esetben hamis. Ez azt jelenti, hogy ha egy n tag konjunkci egyetlen tagjrl tudjuk azt, hogy hamis, akkor a konjunkci hamis.

Az alternci (megenged diszjunkci), (2 a Wittgenstein-fle tblzatban) meghatroz igazsgrtktblzata: p q v 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Az alternci tulajdonsgai: (T5) kommutatv (felcserlhet): (p v q) (q v p), (T6) asszociatv (csoportosthat): [(p v q) v r] [p v (q v r)], (T7) p v p = p, azaz azonos terminusok diszjunkcijnak rtke megegyezik a terminus rtkvel, az alternci tagjainak tbbsszri elfordulsa reduklhat egyre, mivel ha p = 1, akkor az 1 rtk akrhnyszori ismtldse diszjunktvan 1 rtket ad, vagy ha p = 0, akkor a 0 igazsgrtk akrhnyszori ismtldse diszjunktvan 0 rtket ad. (T8) pi-dik tag meghatrozza a p1 v p2 v .....v pn, n tag diszjunkci igazsgrtkt. Ez

amiatt van gy, mert a diszjunkci csak akkor hamis, ha mindkt tagja hamis. Teht ha egy n tag diszjunkci egyetlen tagjrl tudjuk azt, hogy igaz, akkor a diszjunkci igaz lesz.

Az alterncis a konjunkci kapcsolatrl tbb trvny szl. Az egyik a disztributivits tulajdonsgra vonatkozik: (T9) a konjunkci az alterncivan szemben disztributv: [p & (q v r)] [(p & q) v (p & r)], (T10) a diszjunkci a konjunkcival szemben disztributv: [p v (q & r)] [(p v q) & (p v r)].

A kondicionlis (a Wittgenstein-tblzat 5-s sora) logikai jelentse a kvetkez: p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

A kondicionlis nem kommutatv s nem asszociatv. Emiatt meg kell klnbztetsk eltagjt s uttagjt. Meghatroz igazsgrtktblzatban az eltag a p, az uttag pedig a q vltoz.

Tulajdonsgai: (T11) tranzitv: [(p q) & (q r)] (p r), (T12) minden vltoz, vagy sma impliklja nmagt: p p.

A bikondicionlis (a Wittgenstein-fle tblzat 7-es sora). Logikai jelentse: p q

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1.

Tulajdonsgai: (T13) kommutatv (felcserlhet): (p q) (q p), (T14) tranzitv: [(p q) & (p r)] (p r), (T15) a vltoz vagy sma s nmaga kztt mindig igazan ll fenn a bikondicionlis viszony: p p.

A kizr diszjunkci (a Wittgenstein-fle tblzat 10-es sora) logikai jelentse: p q + 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0.

Tulajdonsga: (T16) kommutatv (felcsrlhet): (p + q) (q + p).

A negci a Wittgenstein-fle tblzatban nincs benne expliciten. Logikai jelentse: p ~p 1 0 0 1.

Tulajdonsga: (T17) a ketts negci a vltoz vagy sma igazsgrtkt vltozatlanul hagyja: ~~p p.

A kijelentsek logikjnak tbb fontos trvnye a logikai mveletek, vagy igazsgfggvnyek kapcsolatra vonatkozik. Kzlk nhnyat mr lttunk. Ilyenek a Wittgenstein-fle tblzat els nyolc s utols nyolc sora negci szerinti kapcsolata, valamint a konjunkci s diszjunkci disztributivits trvnyei.

Tisztzzuk viszont a logikai trvny fogalmnak rtelmt. A kijelentslogika adott kifejezse akkor nevezhet trvnynek, ha a vltozk brmely rtelmezsre a kifejezs kimeneti igazsgrtke mindig igaz. Vagy fordtva, a vltozknak nincs olyan rtelmezse amelyre a sma hamis igazsgrtket venne fel. Msszval a kijelentslogika trvnyei mindig igaz kimentek, a vltozk rtelmezstl fggetlenl. Jelenleg mg nem llanak rendelkezsnkre azon eszkzk, amelyek segtsgvel a trvny voltot ellenrizhetnnk. Erre majd a ksbbiekben kerlhet sor, miutn elsajttottuk a logikai eldnts nhny mdszert.

Most bemutatunk az igazsgfggvnyek (logikai llandk) trvnyei kzl nhnyat: (T18) ~(p & q) (~p v ~q),

(T19) ~ (p v q) (~p & ~q), mindkett a konjunkci, az alternci s a negci kapcsolatra vonatkozik s De Morgan trvnyek nven tartjk szmon, (T20) a kontrapozci trvnye: (p q) (~q ~p), amely szerint az eltag s az uttag sorrendje felcserlhet, azzal a felttellel, hogy a vltozkat negljuk, (T21) (p q) [(p q) & (q p)] a kondicionlis s a bikondicionlis kapcsolatra vonatkozik s egyben magyarzza ez utbbi nvadst, azaz ha a bikondicionlis kapcsolat fennll, akkor az eltag is impliklja az uttagot, illetve az uttag is impliklja az eltagot, (T22) (p q) (~p v q), (T23) (p q) ~(p & ~q), ez utbbi kt trvny a kondicionlis illetve a konjunkci, alternci s negci kapcsolatra vonatkozik. Viszont ha a kondicionlis kifejezhet konjunkci, alternci s negci segtsgvel, akkor a bikondicionlis is kifejezhet velk, mivel biimplikcinak tekinthet, ami miatt a (T24) a (T22)- bl s a (T21)- bl addik: (T24) (p q) [(~p v q) & (~q v p)], (T25) a kizr diszjunkci s a bikondicionlis kapcsolatrl: (p + q) ~(p q), vagyis a kizr diszjunkci neglt bikondicionlis, s fordtva a bikondicionlis neglt kizr diszjunkci, (T26) ~(p & q) (p / q), az inkompatibilits neglt konjunkci, (T27) ~(p v q) (p q), a Scheffer-funktor neglt diszjunkci, (T28) p/p ~p, e trvny szerint a negci kifejezhet az inkompatibilits segtsgvel, ami az jelenti, hogy a negci is reduktibilis, (T29) [(p / q) / (p / q)] (p & q) szerint a konjunkci is reduklhat az inkompatibilitsra. Ha a negci s a konjunkci is reduktibilisek az inkompatibilitsra, akkor ez azt jelenti, hogy a kijelentskalkulus mindenik llandja, vagy igazsgfggvnye kifejezhet segtsgvel. Ez pedig egy nagyon fontos kvetkezmny.

sszefoglals. Az igazsgfggvnyeknek, vagy logikai mveleteknek pontos logikai jelentse van. Mindenikhez bizonyos tulajdonsgok tartoznak. Az igazsgfggvnyek jelentse kztt logikai - szemantikai kapcsolatok jnnek ltre. Ez abban fejezdik ki, hogy egymsra reduklhatak. Az ebben az alfejezetben hasznlt logikai trvnyfogalom mg nem elgg vilgos s pontos. Pontostst a kvetkez alfejezet hozza.

Kulcsfogalmak meghatroz igazsgrtktblzat, a trvny kijelentslogikai rtelme, komutativits, asszociativits, disztributivits, redukci

Gyakorlatok 1. Mi a trvny kijelentslogikai rtelme? 2. Melyek a De Morgan trvnyek? 3. Prbljtok bizonytani a (T24) (p q) [(~p v q) & (~q v p)] trvnyt.

A bizonyts sorn hivatkozzatok azon ismert trvnyekre, amelyeket felhasznltatok. 4. Miknt bizonythat e trvny (p q) [(~(p & ~q)) & (~(q & ~p))]? 5. Mi a jelentsge annak, hogy a negci kifejezhet az inkompatibilits

segtsgvel?

Negyedik fejezet

AZ ELDNTS

3. Az eldnts krdse a kijelentsek logikjban 4. Eldntsi mdszerek

1. Az rtktblzatos mdszer 2. Az eldnts rvidtett mdszere 3. A norml (kanonikus) formk mdszere

Az eldntskrds a kijelentsek logikjnak kzponti tmja. Az eldntskrds

megoldsa eremnyekppen llapthatjuk meg a szintaktialiag jlformlt kifejezsekrl, hogy logikai trvnyek-e vagy sem. Amennyiben trvnyre bukkantunk, annyiban olyan mindig igaz smt talltunk, amit trtelmezhetnk a logika trgyra, a kvetkeztets rvnyessgre. Rviden, a hagyomnyos logika intuitv rvnyessgfogalma a kijelentsek logikjban eldntskrdsknt kezelhet s kalkulatrikusan oldhat meg. Ez azt jelenti, hogy a hagyomnyos logikban rvnyseknek neveztk azokat a kvetkeztetseket, amelyeknek premisszi igazak s helyes volt. Az rvnyessg kijelentslogikai rtelme a logikai trvnyekkel kapcsolatos. Ha a kijelentsek logikjnak smja trvny, akkor egyben rvnyesnek nevezhet.

1. Az eldnts krdse a kijelentsek logikjban

A tma clja bemutatni azon mdszereket, amelyek segtsgvel a kijelentsek logikjnak brmely jlformlt kifejezsrl meg lehet mondani azt, hogy logikai trvnye-e vagy sem. Ez azon az alapon, hogy minden tudomny s gy a logika szmra is alapveten fontos azt tudni, hogy miknt lehet trvnyszer kijelentseket kapni.

A tma tvtele utn kpes kell legyl arra a logikai kalkulusra, amely a

kijlentslogika kifejezseinek trvnyszer voltt hivatott meghatrozni.

Elszr is hatrozzuk meg az eldnts krdst.

A kijelentsek logikjban eldnteni azt jelenti, hogy tallni olyan mdszert, amelynek segtsgvel, vges lpsen keresztl, kpesek vagyunk megllaptani az sszes jlformlt kifejezsrl, hogy logikai trvny-e vagy sem.

Ilyen mdszer rendelkzssnkre ll. Nem is egy. A mdszerek kzl mi nggyel fogunk majd foglalkozni: az rtktblzat mdszervel, egy rvidtett mdszerrel (msnven Quine-mdszer) s a norml formk mdszervel. Ezek kzl az els kett a kijelentslogika sminak szemantikai rtelmezst felttelezi, a harmadik pedig inkbb szintaktikai mdszer. Azrt inkbb, mivelhogy tisztn szintaktikailag gyakorlatilag nem jrhatunk el.

A szemantikai mdszerekkel vgzett dnts els lpse mindig a vltozk helyettestse az igaz (1) vagy a hamis (0) igazsgrtkekkel. A helyettests eredmnykppen a vltozk helyt llandk veszik t, mivel az igazsgrtkek konkrtan determinltak.

Kezdjk a szemantikai mdszerekkel mivel ezek elgg intuitvak, nagyon explicitek s knnyen kezelhetk.

1. Az rtktblzat mdszere. Mint neve is mutatja tblzat megszerkesztst jelenti, amelynek fokozatosan, logikai kalkulus alapjn tltjk ki sorait. Azrt szemantikai mdszer, mert a vltozkat a lehetsges igazsgrtkekkel helyettestjk, azaz logikailag rtelmezzk. A logikai vltozk helyettestse a konkrt igazsgrtkekkel a vltozk rtkelst jelenti. Az rtkels a szemantikai mdszerek ktelez kezdeti lpse s ez teszi a klnbsget a szintaktikai mdszrekkel.

gy a vltozk adott rtelmezseire, a logikai kalkulust elvgezve, bizonyos kimeneti igazsgrtket kapunk. A mdszert egy pldn keresztl mutatjuk be. Legyen a kijelentslogika kvetkez smja.

S1: ~[ (p v q) p] (~p & ~q) E smrl, ebben a formjban nem lehet megllaptani azt, hogy logikai trvny-e vagy sem. Emiatt els lpsben vltozit rtelmeznnk kell. Ehhez szksges a tblzat felptse a kvetkezkppen. A tblzat oszlopainak s sorainak szmt a smban lv vltozk (n) s llandk (k) fggvnyben llaptjuk meg. A fenti smban kt vltoz van (p, q). Teht n = 2. Az llandk szmnak megllaptsakor elnys ket leszmozni abban a sorrendben amelyben a kalkulust vgezni fogjuk, a kvetkezkppen:

S1: ~3[ (p v1 q) 2 p] 7 (~4p &6 ~5q) A szmozst a kerek zrjelekkel kezdtk, gy hogy figyelembe vettk a vltozkat sszekt logikai llandk erssgt. gy a 6. konjunkci mvelete nem vgezhet el addig amg a 4. s 5. negcit nem szmtottuk ki. A mi smnk 7 llandt tartalmaz.

Teht k = 7. A tblzat vonalait (sorait) a 2n kplet szerint szmtjuk ki, azrt mert kt logikai igazsgrtk kttag kombinciit kell megkapnunk. Az oszlopok szmt az n + k

kplet adja. A mi esetnkben a sorok szma 22 = 4, az oszlopok szma pedig 2 + 7 = 9. A tblzat a kvetkez.

p q v1 2 ~3 ~4 ~5 &6 7

1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0

Szoks szerint a tblzat els oszlopaiba a vltozk igazsgrtkeinek kombinciit rjuk gy, hogy az els oszlopon, jobbrl balra az rtkeket egyenkt vltogatjuk, a kvetkezn kettenknt, a kvetkezn nyolcanknt, a kvetkezn tizenhatonknt stb. Ezen

rtkkombincik kpezik az igazsgfggvny rtelmezsi tartomnyt. Az utnuk kvetkez oszlopokban a logikai llandk jelentse szerint (1. Tblzat. A ktrtk logika egymstl klnbz lehetsges igazsgfggvnyei) vgezzk el a kalkulust. Ennek eredmnyekppen megkapjuk az igazsgfggvny rtktartomnyt, ms szval kimeneti igazsgrtkeit. A mi smnk esetben ez a 9. oszloban van. A eldnts krdsnek megoldst ezen utols oszlop alapjn vgezzk el.

Itt hrom eset lehetsges: . ha az utols oszlop, azaz az igazsgfggvny rtktartomnya csak igaz

rtkeket tartalmaz, akkor a sma logikai trvny. Ez azt jelenti, hogy a vltozk brmely rtelmezsre a sma mindig igaz,

. ha az utols oszlop, azaz az igazsgfggvny rtktartomnya igaz s hamis igazsgrtkeket tartalmaz, akkor a sma kielgthet,

. ha az utols oszlop, azaz az igazsgfggvny rtktartomnya csakis hamis igazsgrtkeket tartalmaz, akkor a sma logikai ellentmonds, azaz mindig hamis.

Az S1 sma kimeneti igazsgrtkei kztt igaz s hamis igazsgrtk is szerepel,

teht kielgthet. Mit jelent ez? Azt jelenti, hogy a S1 sma vltozinak bizonyos rtelmezseire az igaz, ms rtelmezseire hamis rtket vesz fel. Azaz a sma ltal lert kvetkeztets nem rvnyes.

Lssunk most egy jabb pldt. Ezttal a kvetkez smrl kell dntennk.

S2: [p & (q v r)] [(p & q) v (p & r)] Az oszlopok s a sorok megllaptshoz: n = 3, k = 6.

S2: [p &2 (q v1 r)] 6 [(p &3 q) v5 (p &4 r)] Teht az oszlopok szma 9, a sorok szma pedig 8.

p q r v1 &2 &3 &4 v5 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Mivel az utols oszlopon csak igaz rtk van, a sma logikai trvny. Ez viszont nem ms mint a (T9)-es trvny amit a 3. fejezet 2. alfejezbl ismernk, azaz a konjunkcinak a diszjunkcival szembeni disztributivitsnak trvnye. Az akkor trvnynek nevezett kifejezs itt nyert igazolst, mivel ott nem lltak rendelkezsnkre azok az eszkzk, amelyek segtsgvel ezt bizonythattuk volna.

Prbljuk most sszefoglalni azokat a lpseket, amelyeket kvetnnk kell, ahhoz hogy e mdszerrel dnthessnk a kijelentsek logikjnak brmely smjrl.

1. Megszmoljuk a smban szerepl vltozkat s mveleteket. A mveleteket leszmozzuk erssgk sorrendjben.

2. Kiszmtjuk az rtktblzat oszlopainak s vonalainak (sorainak) szmt. 3. Elvgezzk az rtktblzat igazsgfggvnyei ltal megadott logikai kalkulust.

A kalkulus alapjt a logikai mveletek (igazsgfggvnyek) jelentse kpezi (1. Tblzat).

4. Az rtktblzat utols oszlopa alapjn az ., . s . pontokban megadottak szerint dntnk.

E mdszer htrnya, hogy nagyszm vltozt tartalmaz smk esetben nagyon sok sort s oszlopot tartalmaz tblzatot kell ksztennk. Ez adott esetben bonyodalmakat okozhat. jabb mdszer elsajttsa emiatt elnys lehet. Egy jabb eldntsi mdszer azrt is szksges, mert lehetsgnk kell legyen arra, hogy egy adott mdszerrel nyert eredmnyt valamilyen mdon ellenrizznk.

2. Az eldnts rvidtett mdszere (a Quine-mdszer). E mdszer elnye abban ll, hogy a kalkulus folyamn nem kell az rtelmezsi tartomny sszes lehetsges rtkkombincijnak megfelel kimeneti igazsgrtket megkeresni.

A mdszer alkalmazsa olyan szablyokra alapszik, amelyek kzvetlenl kiolvashatk az igazsgfggvnyek meghatroz igazsgrtktblzataibl. Ezek a kvetkezk.

1. A konjunkci szablyai: a. ha a konjunkci egyik tagja igaz, akkor a konjukci rtke a msik tag rtkre

reduklhat:

p & 1 = p

b. ha a konjunkci egyik tagja hamis, akkor a konjunkci hamis:

p & 0 = 0.

2. Az alternci szablyai: a. ha az alternci egyik tagja igaz, akkor az alternci igaz:

p v 1 = 1

b. ha az alternci egyik tagja hamis, akkor az alternci rtke a msik tag

rtkre reduklhat:

p v 0 = p.

3. A kondicionlis szablyai. Mivel a kondicionlis nem kommutatv, kln szablyok vonatkoznak az eltagjra s az uttagjra:

a. ha a kondicionlis eltagja igaz, akkor rtke megegyezik az uttag rtkvel:

1 p = p,

b. ha a kondicionlis eltagja hamis, akkor a kondicionlis igaz:

0 p = 1,

c. ha a kondicionlis uttagja igaz, akkor a kondicionlis igaz:

p 1 = 1,

d. ha a kondicionlis uttagja hamis, akkor a kondicionlis rtke megegyezik az eltag negltjnak rtkvel:

p 0 = ~p.

3. A bikondicionlis szablyai. Itt csak kt szably ltezik a kommutativits miatt: a. ha a bikondicionlis egyik tagja igaz, akkor rtke reduklhat a msik tag

rtkre:

p 1 = p,

b. ha a bikondicionlis egyik tagja hamis, akkor rtke reduklhat a msik tag rtknek negltjra:

p 0 = ~p.

4. A kizr diszjunkci szablyai: a. ha a kizr diszjunkci egyik tagja igaz, akkor rtke megegyezik a msik tag

rtknek negltjval:

p + 1 = ~p,

b. ha a kizr diszjunkci egyik tagja hamis, akkor rtke megegyezik a msik tag rtkvel:

p + 0 = p.

Az eldnts e mdszer esetben is a vltozk rtelmezsvel kezddik. Az elbbi mdszertl abban klnbzik, hogy itt sorozatos felttelezseket vgznk a vltoz igazsgrtkre vonatkozan. me egy plda. Dntsnk a kvetkez smrl.

S1: ~p (p q) Az eldnts azzal kezddik, hogy megnzzk mely vltoz a leggyakoribb elforduls a smban. Itt a p. Ttelezzk fel rla azt, hogy igaz. Behelyettestve azt kapjuk, hogy:

S1: 0 (1 q),

de a 3.b. szably szerint ha a kondicionlis eltagja hamis, akkor a kondicionlis igaz. Sorrendben az els kondicionlis eltagja hamis, teht az uttag rtktl fggetlenl a kondicionlis igaz. gy megkaptuk az S1 sma egyik kimeneti igazsgrtkt, ami igaz.

A msodik felttelezs szerint p hamis. Behelyettestve:

S1: 1 (0 q). Ezttal a msodik kondicionlis eltagja hamis. Teht a zrjel rtke igaz. Megmarad a kvetkez sma:

S1: 1 1. Itt a kondicionlis eltagja s uttagja is igaz. Teht a kondicionlis csakis igaz lehet. Ezltal megkaptunk mg egy kimeneti igazsgrtket. Mivel a kimeneti igazsgrtkek mind igazak, az . pont alapjn smnk logikai trvny (tautolgia).

Ellenrizzk most le a kapott eredmnyt rtktblzatos mdszerrel. A smban kt vltoz s hrom logikai lland van. Teht a sorok szma 4, valamint az oszlopok szma 5. Leszmozva a mveleteket a kvetkezt kapjuk.

S1: ~2p 3 (p 1 q ) Az rtktblzat a kvetkez lesz.

p q 1 ~2 3 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

E mdszer ltal kapott eredmny igazolja a rvidtett mdszer tjn kapott eredmnyt.

Lssunk most egy valamivel sszetettebb pldt. Dntsnk a Quine mdszerrel a kvetkez smrl.

S2: [p v (p q)] (q v r) Ttelezzk fel, hogy p igaz. Behelyettestve az

S2: [1 v (1 q)] (q v r) smt kapjuk. Ebben az egyenes zrjelben szerepl kondicionlis a 3.a. szably szerint reduklhat uttagjra s az

S2: [ 1 v q] (q v r)

smt kapjuk. Ebben a kondicionlis eltagja igaz lesz, mivel a 2.a. szably szerint az alternci egyik tagja igaz. Emiatt a sma az

S2: 1 (q v r) smra redukldik. Itt a kondicionlis eltagja igaz, teht a sma az

S2: q v r

smra redukldik. Ebben a helyzetben egy jabb felttelezshez kell folyamodnunk. Teht ttelezzk fel a q vltozrl azt, hogy igaz. Behelyettestve az

S2: 1 v r

smt kapjuk. jra a 2.a. szably szerint az itteni alternci igaz, mivel egyik tagja igaz. Teht megkaptuk az egyik kimeneti igazsgrtket. Most viszont fel kell tteleznnk azt is, hogy q hamis. Ebben az esetben a sma az

S2: 0 v r

smv alakul. Itt a 2.b. szably szerint a sma rtke r-re redukldik. r pedig lehet igaz vagy hamis. E kt rtk a sma kt jabb kimeneti igazsgrtke.

Most trjnk vissza a p vltozhoz. Ttelezzk fel, hogy p hamis. Behelyettestve az

S2: [0 v (0 q)] (q v r) smt kapjuk. Ebben a kerek zrjelben szerepl kondicionlis igaz a 3.b. szably szerint. Teht a sma az

S2: [0 v 1] (q v r) smra redukldik. Ebben az egyenes zrjel igaz a 2.a. szably szerint. Teht a sma az

S2: 1 (q v r) smv alakul. Itt a kondicionlis 3.1. szablya szerint a sma az uttagra redukldik. Teht marad az

S2: q v r

sma. Ez a forma egyezik az elbb mr megtallt formval, azeltt mieltt q-rl feltteleztk azt, hogy hamis. A teljessg kedvrt vigyk vgig a kalkulust. Teht ttelezzk fel q-rl azt hogy igaz. Smnk az

S2: 1 v r

smv alakul. Itt a 2.a. szably szerint az alternci igaz. Teht megkaptuk az egyik kimeneti igazsgrtket. Ttelezzk most fel, hogy q hamis. Ebben az esetben a sma az

S2: 0 v r

alak lesz. Itt a 2.b. szably szerint az alternci r-re redukldik. r pedig igaz vagy hamis lehet, ami egyben jabb kt kimeneti igazsgrtk. Mivel a kimeneti igazsgrtkek felvltva hamisak s igazak a smrl azt dnthetjk el, hogy kielgthet.

Ellenrizzk most le a kapott eredmnyt az rtktblzatos mdszerrel. Az S2-es

smban 3 vltoz s 4 mvelet van. A szmozsuk a kvetkez

S2: [p v2 (p 1 q)] 4 (q v3 r). Teht a tblzatnak 8 sora s 7 oszlopa lesz.

p q r 1 v2 v3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0

Az rtktblzatos mdszer alkalmazsa azt mutatja, hogy a sma kielgthet. Ms szval mindkt mdszerrel ugyanazt az eredmnyt kaptuk.

Az eldnts rvidtett mdszernek bizonyos htrnyai is vannak. gy az S1 sma

kt igazsgrtkt kaptuk meg a lehetsges ngybl, az S2 sma lehetsges nyolc

igasgrtkbl pedig csak hatot. Teht az eldnts e mdszere segtsgvel nem kapjuk meg analitikusan az sszes lehetsges kimeneti igazsgrtket. Egy msik megjegyzs amit meg kell tennnk arra vonatkozik hogy az S2-es sma rtkelse folyamn a

msodik felttelezse utn mr vilgos volt, hogy sem az igaz, sem a hamis igazsgrtk nem fordulhat el homognen, azaz az igazsgrtkek vltakozni fognak. Emiatt a kalkulus ezen szakaszban mr eldnthetv vlt az, hogy a sma kielgthet.

A kvetkeztetsek rvnyessgnek vizsglata, mint lttuk klnbz eszkzket hasznl a hagyomnyos logikban s a kijelentsek logikjban. A hagyomnyos logika feltteles s a sztvlaszt szillogizmusai a kijelentslogika tematikjba ill. Vizsgljuk meg, hogy a modus ponens kitntetett kvetkeztetsi smjnak rvnyessge miknt tevdik fel e kt elmletben.

A hagyomnyos logika7, feltteles s sztvlaszt kvetkeztetst trgyal rszben felrtuk a kvetkez smt:

A B A B,

s ezt neveztk modus ponensnek (llt md). Erre a kvetkez kt pldt adtuk: Ha tizesre vizsgzom logikbl, akkor elmegyek kirndulni. Tizesre vizsgztam logikbl. Teht: Elmegyek kirndulni. Arra hivatkoztunk, hogy annak igazsgbl, hogy tizesre vizsgzom logikbl szksgszeren addik annak igzsga, hogy elmegyek kirndulni. A kvetkeztetst rvnyesnek neveztk. Az itteni rvnyessgfogalom viszont egy intuitv rvnyssgfogalom volt s csakis pldk segtsgvel tudtuk megvilgtani. Az rvnytelen modus ponenst a kvetkez pldval szemlltettk: Ha tizesre vizsgzom logikbl, akkor elmegyek kirndulni. Elmegyek kirndulni Teht: Tizesre vizsgztam logikbl. ahol is az elmegyek kirndulni mondat igazsga nem alapozza meg szksgszeren a tizesre vizsgztam logikbl mondat igazsgt. E nem helyes modus ponenshez a kvetkez sma tartozott:

A B B

A. A kt sma klnbsge abban ll, hogy az elsben a kondicionlis eltagja rvnyesen alapozza meg az uttagja igazsgt, mg a msodikban az uttag igazsga rvnytelenl alapozza meg az eltag igazsgt. Msszval az rvnyes modus ponensben a kvetkezmny szksgszeren igaz, mg az rvnytelenben esetleges.

Felhasznlva most a kijelentsek logikjnak mr ismert eszkzeit, fordtsuk le a helyes modus ponenst az j nyelvre. Eszerint az A s B h