a la trasformata di laplace

Capitolo

1

Trasformata di Laplace 1.1 Segnali per lo studio dei sistemi

1.2 Trasformata di Laplace

1.3 Antitrasformata di Laplace

1.4 Antitrasformata di Laplace: metodo delle frazioni parziali

T r a s f o r ma t a e A n t i t r a s f o r ma t a d i L a p l a c e

Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-2

1.1 SEGNALI PER LO STUDIO DEI SISTEMI Vengono presi in esame i principali segnali ut i l izzati nell’ambito dello studio dei sistemi:

GRADINO

Il Gradino unitario è definito nel seguente modo

u(t) = 00

10

><

⎩⎨⎧

tt

perper

Se il gradino è di ampiezza E

u(t)= 000

><

⎩⎨⎧

tt

perper

E

IMPULSO UNITARIO

L’impulso unitario δ(t) o delta di Dirac è definito come:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=∞+<

=00000

)(tpertpertper

tδ

L’impulso unitario può essere considerato come limite per 0→ε dell’impulso rettangolare di area unitaria, di ampiezza ε

ed altezza 1/ε


RAMPA UNITARIA

La rampa unitaria r(t) è ottenibile dall’integrazione del gradino unitario ed è definita come:

r(t) = 000

≥<

⎩⎨⎧

tt

perper

t

PARABOLA UNITARIA

La parabola unitaria p(t) è ottenibile dall’integrazione della rampa unitaria ed è definita come:

p(t) = 0t0t

perper

t

02 ≥

<

⎪⎩

⎪⎨⎧

SEGNALE ESPONENZIALE Questo segnale è definito come:

p(t) = 0t0t

perper

e

0at ≥

<

⎪⎩

⎪⎨⎧

con a>0 il segnale esponenziale è crescente, con a<0 decrescente.



SEGNALE SINUSOIDALE

Il segnale sinusoidale è cosi definito:

00

ωt0

M ≥<

⎩⎨⎧

ϕ+=

tt

perper

)(senE)t(e

dove:

EM è l’ampiezza della sinusoide,

ω è la pulsazione in rad/sec, T è il periodo in sec.

ϕ è la fase iniziale

o La pulsazione ω è legata alla frequenza dalla relazione T2π2πω == f

o Il valore efficace è Ee f f = 2

EM ;

o il valore medio è nullo Em = 0.



1.2 Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace: generalità Si constata che data una rete elettrica, noto il segnale d’ingresso e(t), per ottenere l’uscita u(t), bisogna risolvere una equazione differenziale che è in genere di non facile soluzione.

La trasformata di Laplace è un operatore matematico che consente di semplificare lo studio di un sistema.

Questo studio avviene nel dominio complesso; successivamente si torna nel dominio del tempo attraverso l’operatore inverso:antitrasformata di Laplace.

f i g . 1

In fig.1 è illustrato il procedimento per lo studio dei sistemi utilizzando la trasformata di Laplace. I principali vantaggi che si ottengono con l’introduzione della T.d.L. sono: o Le equazioni differenziali sono tramutate in equazioni algebriche; o Nota l’uscita nel dominio di s U(s) antitrasformando si può risalire alla u(t); o il sistema può essere rappresentato mediante la sua funzione di trasferimento f.d.t.

(f.d.t.=U(s)/E(s) rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale d’uscita e quello d’ingresso). Dalla f.d.t. si traggono informazioni sulla risposta in frequenza del sistema, sulla stabilità, ecc.;



Trasformata di Laplace: definizione

La T.d.L è un operatore matematico che permette di convertire una funzione del tempo f(t) in una funzione di variabile complessa F(s).

F(s) = L [f(t)] dove s è la nuova variabile indipendente complessa (s = a + jb)

o p e r a t o r e d i L a p l a c e

Definizione della T.d.L.

F(s)= dt)t(fe0

st ⋅∫∞

− La T.d.L è detta unilaterale perché la f(t) è definita solo per t ≥ 0



Esempio di calcolo: T.d.L del gradino di tensione unitario

u(t) = 00

10

><

⎩⎨⎧

tt

perper

La L-trasformata del gradino unitario è

L [ ]s

tu 1)( =

Dimostrazione:

L [u(t)] = = dtedte stst ∫∫∞

−∞

− =⋅00

1

∞−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

0

1 stes

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−= −∞− 0ss e

s1e

s1

= ss110 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−




Le proprietà della T.d.L.

• Teorema della moltiplicazione per una costante

L [k⋅f(t)] = k⋅L[f(t)] La trasformata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la trasformata della funzione

• Teorema della somma

L[f1(t) ± f2(t)] = L[f1(t)] ± L[f2(t)] La somma di due funzioni nel dominio del tempo corrisponde alla somma delle trasformate nel dominio complesso

• Teorema della derivata

L )s(Fsdt

)t(df⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

La T.d.L della derivata di una funzione f(t) è uguale al prodotto della T.d.L. della funzione per la variabile complessa

Da notare:

Se le condizioni iniziali non sono nulle, cioè la f(t=0) ≠ 0, allora: L f(0)F(s)sdt

df(t)−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Per estensione la derivata seconda è la seguente L ( )0f'f(0)sF(s)sdt

(t)df 22

2−⋅−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

• Teorema dell’integrale

L [ ]ssFdttf )()( =∫ La T.d.L. dell’integrale di una funzione f(t) è uguale alla

T.d.L della funzione divisa per la variabile s

Teorema del valore iniziale F(s)slimf(t)limf(0)

s0t⋅==

∞→→

Questo teorema consente di determinare il valore assunto dalla f(t) all’istante t=0, conoscendo la T.d.L. di f(t) cioè la F(s), senza ricorrere all’operazione di antitrasformazione.

• Teorema del valore finale

F(s)slimf(t)lim)f( ⋅0st

==∞→∞→

Questo teorema consente di determinare il valore assunto dalla f(t) a regime (cioè per t tendente ad infinito), conoscendo la T.d.L. di f(t) cioè la F(s), senza ricorrere all’operazione di antitrasformazione.



Antitrasformata di Laplace

Antitrasformata di Laplace: generalità

Operatore matematico che permette di convertire una funzione di variabile complessa F(s) in una funzione del tempo f(t)

Simbolicamente si scrive

f(t) = L–1 [F(s)] (operazione inversa della T.d.L)

Nella teoria dei sistemi viene usata per determinare l’uscita u(t) di un sistema, quando è nota la sua U(s).

Il calcolo diretto della antitrasformata di Laplace non è di facile soluzione, in quanto bisogna risolvere in campo complesso un integrale, pertanto si fa uso delle tabelle delle T.d.L. al contrario.

TdL di alcune funzioni ricorrenti rigo f(t) F(s) = L f(t)

7 ate− as1+

9 ( )ate1a1 −−

a)s(s1+


Antitrasformata di Laplace: uso delle tabelle Se la F(s) non è uguale a quella tabulata, si cerca di renderla simile operando qualche modifica (raccogliendo a fattor comune, moltiplicando numeratore e denominatore per una stessa costante, ecc.). • Esempio 1

35)(+

=s

sF

la funzione è direttamente antitrasformabile

f(t) = L–1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ 35

s = 5 L- 1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ 31

s = 5 te 3−

• Esempio 2

ssF

2110)(+

=

dividendo numeratore e denominatore per 2 si riporta la F(s) nella forma simile a quella tabulata

21

5

22

21

210

)(+

=+

=ss

sF

consegue:

te)t(f 2

1

5−

=




1.4 Antitrasformata di Laplace: metodo delle frazioni parziali Nel caso che la F(s) in esame non compaia nella tabella e non sia possibile trasformarla in una forma simile tabulata, se la F(s) è espressa come rapporto di polinomi si ricorre al metodo delle frazioni parziali.

011

1

011

1

bsbsbsbasasasa

)s(D)s(N)s(F n

nn

n

mm

mm

++⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅++==

−−

−− [17]

1° caso: antitrasformata di una funzione con poli reali e distinti Se i poli della F(s) sono p1, p2 , …, pn ( reali e distinti) la [17] possiamo scriverla nel seguente nodo:

F(s) = 1

1ps

c−

+ 2

2ps

c−

+ …… +n

nps

c−

[18]

Antitrasformando facendo uso della tabella delle TdL si ha:

rigo f(t) F(s)

7 ate− as1+

f(t) = + + ……. + [19] tp

ec 11

tpec 2

2tnp

nec

I residui c1 , c2, ……., cn si possono calcolare:

a) uguagliando i due numeratori della [18]

b) mediante la formula )s(F)ps(limc kkps

k ⋅−=→


Esercizi: - Antitrasformata di una funzione con poli reali e distinti

Esercizio 1 - Antitrasformare la seguente funzione

)86(101)( 2 ++

=sss

sF i poli sono p1 = 0 ; p2 = - 2 ; p3 = - 4

pertanto: )4)(2(

10)(++

=sss

sF

• Scrivendo F(s) in frazioni parziali si ha:

4sC

2sB

sA

++

++=)s(F

• I residui A, B, C si possono calcolare nel seguente modo:

45

4)2)(0(010

4)2)(ss(s10s

0s=

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

==

A

25

4)22)((10

4)2)(ss(s102)(s

2s−=

+−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=−=

B

45

2)44)((10

4)2)(ss(s104)(s

4s=

+−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=−=

B

quindi:

44/5

22/54/5)(

++

+−=

ssssF

• Antitrasformando si ottiene:

f(t) = L–1 [F(s)] = L–1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

s4/5

+ L–1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

22/5

s + L –1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ 44/5

s

f(t) = 4t2t e45e

25

45 −− +−



2° caso: antitrasformata di una funzione con poli complessi coniugati Supponiamo di avere una F(s) con due poli complessi coniugati p1 e p2

)p)(sp(s 21 −−=

N(s)F(s) p1= -a + jb : p2 = -a - jb

F(s) = )jbas(

B)jbas(

A++

+−+

• Si calcolano i residui A e B utilizzando le relazioni già viste.

][1

ps)F(sp1)(sA =⋅−=

il calcolo di B può essere evitato in quanto è il complesso coniugato di A

• Si mette la F(s) nella seguente forma

F(s) = )jbas(

BB)jbas(

AA++∠

+−+∠

Si antitrasforma facendo uso della tabella delle TdL f(t) F(s)

)btcos(ke2 at θ+− jbas

kjbas

k−+

θ−∠+

++θ∠

dove BAk == ; A∠=θ

)tcos(be2kf(t) t-a θ+⋅= La f(t) a volte può essere semplificata facendo uso delle seguenti relazioni cos(α + 90°)= -senα ; cos( α - 90°) = senα



Esercizi - Antitrasformata di una funzione con poli complessi coniugati Esercizio 2 - Antitrasformare la seguente funzione (pag 172 Analisi dei Sistemi vol 1 Ed. Thecna G.Licata) Facendo uso della tabella delle TdL

f(t) F(s)


kjbas

k++

θ−∠+

−+θ∠

)24,0t2cos(e06,2)t(f t −= −



Esercizio 3 - Antitrasformare la seguente funzione

F(s) = )18s6s(s

1802 ++

Soluzione

• Troviamo i poli

s(s2+6s+18)=0 ⇒ p1=0 ; p2 = -3 + j3 p3 = -3 - j3

F(s)= )3ps)(2ps)(1ps(

180−−−

=)3j3s)(3j3s(s

180++−+

=3j3s

C3j3s

BsA

+++

−++

• Troviamo i residui A, B e C

][1

ps)F(sp1)(sA =⋅−= = 10)18s6s(s

180s0s

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ =

][2ps)F(sp2)(sB =⋅−= =

3j3sj3)3j3)(s-3s(s180)3j3s(

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

−+ =

= 3j3s3j)3s(s

801

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=)j33j33)(j33(

180+++−+−

=j6)j33(

180⋅+−

= j1818

180−−

=

= j1

10−−

=)j1)(j1(

)j1(10+−−−

+−=

2j1010 +−

= -5 + j5

B = 25 ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=∠

55arctgB = +135° = 3π/4

C = -5 - J5 (complesso coniugato di B)

BC = = 25 ; =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=∠55arctgC -135° = -3π/4

• Mettiamo la funzione nella seguente forma

F(s)= 3j3s

4/3253j3s

4/325s

10−+

π−∠+

++π∠

+

• Antitrasformiamo la F(s) facendo uso della tabella delle TdL




f(t) = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅ −s1L10 1 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+π−∠

+++

π∠−3j3s

4/3253j3s

4/325L 1

f(t) F(s)

1 s1


kjbas

k++

θ−∠+

−+θ∠

♥ )4/3t3cos(e21010)t(f t3 π+⋅+= − )4/t3(sene1,1410 t3 π+⋅− −

)785,0t3(sene1,14 t3 +⋅− −

= ⇒

f(t) = 10

La funzione ha un andamento oscillatorio smorzato; presenta un massimo (overshoot).

Calcolo del valore finale ==∞∞→

f(t)lim)f(t ∞→t

lim )785,0t3(sene1,1410 t3 +⋅− − =10

Il valore finale poteva essere trovato con il teorema del valore finale in quanto i poli della F(s) hanno parte reale negativa.

F(s)slim)f(0s

⋅=∞→

= ⋅→

slim0s )18s6s(s

1802 ++

=10

♥ S i r icorda che cos(α + 90°)= -senα


3° caso: poli multipli Supponiamo di avere una funzione che presenti un polo doppio p1 e un polo semplice p2

)p(s)p(sN(s)F(s)

22

1 −−=

• La F(s) scomposta in frazioni parziali la possiamo scrivere come:

)p(sB

)p(sA

)p(sA

21

12

1 −+

−+

−=)s(F [1]

• Antitrasformando usando le tabelle si ha:

t2pt1p1

t1p BeeAAtef(t) ++= I residui A e B si possono calcolare nel modo già visto

e )([ ]1

ps2

1 )F(spsA =−= )([ ]2ps

22 )F(spsB =−=

mentre Il residuo A1 si può calcolare - con il metodo del confronto (uguagliando i due numeratori della [1] )

- oppure ( )[ ] p1s2

1 sFp1)(sdsd

=−=A



Esercizi - Antitrasformata di una funzione con poli multipli

Es1. Antitrasformare la seguente funzione )1()3(

2)( 2 +++

=ss

ssF

I poli sono: p1 = -3 (doppio); p2 = -1 (semplice) • La F(s) scomposta in frazioni parziali la possiamo scrivere come:

1)(sB

3)(sA

3)(sAF(s) 1

2 ++

++

+=

• Antitrasformando si ha: t 3t1

3t BeeAAtef(t) −−− ++= • Calcolo dei residui A, B

21

1323

1)(s3)(s2s3)(sF(s)3)(sA

3s2

22 =+−+−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=+=

−=

( ) 41

3121

1)(s3)(s2s1)(sF(s)1)(sB 2

1s2 =

+−

+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=+=

−=

• Calcolo del residuo A1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=

−= 3s2

21

1)(s3)(s2)(s3)(s

dsdA =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−= 3s1)(s2)(s

dsd

=( ) ( )

( ) 3s21s

2s1s

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+−+=

( )( ) 4

113

23132 −=

+−+−−+−

oppure con il metodo del confronto uguagliando i numeratori

)1s()3s(2s

2 ++

+1)(s

1/43)(s

A

3)(s1/2 1

2 ++

++

+=

( ) ( )( ) ( )21 3s

411s3sA1s

212s ++++++=+

per s=0

49A3

212 1 ++= ⇒

49

212A3 1 −−= ⇒

49

212A3 1 −−= ⇒

43A3 1 −=

⇒ 41A1 −=

Sosti tuendo i valori t rovati s i ha: t3t3t e41e

41te

21f(t) −−− +−=


a la trasformata di laplace

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