a mesterképzésre vonatkozó akkreditációs …math.bme.hu/~balint/msc/mat_msc_ind_0426.doc ·...

A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van

Kérelem Matematikus mesterszak (MSc.) indításáraBME

Kérelem

Matematikus

mesterképzési (MSc) szak

indítására

Budapest

2008

Tartalomjegyzék

I. Adatlap………………………………………………………………………….………..

3

A Kari Tanács támogató határozata ……….…………………………………….………

4/1

A Szenátus támogató határozata ……….…………………………………….………

4/2

A rektor nyilatkozatai ……….…………………………….……………………………

4/3

A rektor tanúsítványa a kizárólagossági nyilatkozatokról….……………………………

4/4

II. A szakindítási kérelem indoklása………………………………………………………. 5

1. A szak előzményei……….…………………………………………………….……….

5

2. A szakon végzők iránti igény prognosztizálása……………………….……………..…

6

3. Felkészítés kutatásra, doktori képzésre……………………………….…………….….

6

4. Tehetség gondozás………………………………………………….………………….

6

5. Képzési kapacitás…………………………………………………….………………..

7

III. A mesterképzési szak tanterve…………………………………………………………..…….

8

1. Mintatanterv

a) magyarul ……………………………………………………….………..….. 8

b) angolul………………………………………………………….............…… 10

2. Tantárgyi programok

a) Elméleti alapozás…………………………………………………….……...

12

b) Törzstárgyak………………………………………………..………….….…

23

c) Differenciált szakmai anyag…………………………………………………

34

3. Kompetenciák…………………………………………………………………………. 62

4. Idegennyelvi követelmények…………………………………………………………...

63

5. A szakra való belépés feltételei …………………………………………………….….

63

6. Értékelési és ellenőrzési rendszerek……………………………………………………

64

IV. A képzés személyi feltételei

1. Szakfelelős……………………………………………………………………………..

65

2. Tantárgylista – tantárgyak felelősei

a) Alapozó tárgyak…………………………………………….……………..…

65

b) Törzstárgyak………………………………………………….……………...

67

c) Differenciált szakmai ismeretek………………………………………….….

68

3. Az oktatók személyi adatai…………………………………………………………….

70

4. Nyilatkozatok…………………………………………………………………………. 195

a) Közalkalmazotti jogviszonyban nem álló oktatók nyilatkozata …………… 195/1

b) Nyilatkozatok az előadóképes angol nyelvtudásról ………………………… 195/2

V. A szakindítás kutatási és infrastrukturális feltételei

1. Tudományos műhely bemutatása……………………………………………………… 196

2. A képzés tárgyi feltételei………………………………………………………….…...

196

Képzési és kimeneteli követelmények (KKK) ……………………………………………………

199

I.

Adatlap

1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe:

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

1111 Budapest, Műegyetem rkp. 3.

2. Kari tagozódású felsőoktatási intézmény esetén a képzésért felelős kar megnevezése:

Természettudományi Kar

3. Az indítandó mesterszak megnevezése:

Matematikus mesterszak

(angolul: MSc in Mathematics)

4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése:

okleveles matematikus

(angolul: MSc in Mathematics)

5. Az indítani tervezett és oklevélben szerepeltetni kívánt szakirány(ok) megnevezése:

nincsenek szakirányok

6. Az indítani tervezett képzési formák (teljes idejű, részidejű, székhelyen kívüli, távoktatás):

Csak teljes idejű képzést kívánunk indítani.

7. A képzési idő a félévek, valamint az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma:

félévek száma: 4

kreditek száma: 120

az összóraszámon (összes hallgatói tanulmányi munkaidőn) belül a tanórák (kontaktórák) száma: 1344 kontaktóra

a szakmai gyakorlat időtartama és jellege (ha van):

Nincsen szakmai gyakorlat. Van helyette a „Témalabor” c. tárgy, amelynek keretében találkoznak a hallgatók valódi alkalmazásokkal.

8. A szak indításának tervezett időpontja: 2009. szeptember 1.

:

9. A szakért felelős oktató megnevezése és aláírása

Dr. Tóth Bálint

egyetemi tanár

10. Dátum, és az intézmény felelős vezetőjének megnevezése és cégszerű aláírása

Budapest, 2008. április 26.

Dr. Moson Péter

Dr. Molnár Károly

BME TTK

BME

dékán

rektor

11. Az adatlap mellékletei

A szenátus támogató javaslata: 1. melléklet

A mesterszak képzési és kimeneti követelményeit (KKK) tartalmazó leírás:

2. melléklet

Felhasználói kapcsolatok és vélemények (amennyiben a felhasználói szféra jól azonosítható)

II.

A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei

A képzési kapacitás bemutatása

(Legfeljebb 2-5 oldal terjedelemben)

1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben. Intézményi képzési előzmények esetén az indítandó szak kimenetének és a korábbi egyetemi végzettségi színvonalnak az összevetése, a megfelelés konkrét bemutatása. (A korábbi egyetemi képzés tartalmával és kimeneti elvárásaival való összevetés.)

Az utolsó néhány évtizedben a világ nagy fejlődésen ment keresztül: a modern elektronika, a számítástechnika, a műszaki területek nagy része is alapvetően megváltozott. Ez a változás egyre nagyobb mértékben fejti ki a hatását más területeken, nevezetesen a matematika területén is. A rohamos fejlődés, a tudományterületek átstrukturálódása és különböző, eddig önállónak tekintett területek összefonódása szükségessé tette a műszaki és természettudományi egyetemi oktatás és továbbképzés szerkezetének átalakítását. A vezető európai egyetemeken, ahol ilyen képzések nem voltak korábban, rendre megjelentek például az önálló fizikus, matematikus, közgazdász, menedzserszakok.

A 90-es évek elejétől kezdődően a BME-n új helyzet állt elő a matematika oktatásával kapcsolatban. A mérnök-fizikus szak, és a műszaki informatika szak beindításával a korábbinál mélyebb matematikai ismeretek és új tantárgyak oktatása vált szükségessé (diszkrét matematika, sztochasztikus folyamatok, információelmélet, kódelmélet, algoritmuselmélet, matematikai logika, funkcionálanalízis), a doktoranduszképzéshez és a PhD szigorlatokhoz is új tantárgyakat kellett indítani (pl. algebra, mértékelmélet, funkcionálanalízis, parciális differenciálegyenletek, kombinatorikus optimalizálás). A BME matematika tanszékein számos kiváló szakember található, akik az alapozó képzéshez tartozó oktatás mellett nemzetközileg is elismert kutatómunkát végeznek. Jelenleg a BME-n valamennyi, a matematikus alap- és mesterképzéshez tartozó tantárgyat matematikából minősített oktató tudja magas színvonalon előadni.

A képzést döntően a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Karának Matematika Intézete fogja tartani, amely a következő 5 tanszékből áll:

Algebra Tanszék,

Analízis Tanszék,

Differenciálegyenletek Tanszék,

Geometria Tanszék,

Sztochasztika Tanszék.

A szak oktatásában a Matematika Intézet együttműködik a Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti Tanszékével. A fent említett tanszékek a nevüknek megfelelő tudományterületek szerint szerveződtek. A legtöbb tanszék élén nemzetközileg is elismert, kimagasló tudományos teljesítményt nyújtó professzorok állnak. A vezetésük alatt álló tanszéken folyó kutatási munka a hazai és nemzetközi tudományos élet elismert központja. Kitűnő, és az utóbbi időben kétoldalú együttműködésiszerződéssel szabályozott oktatási és kutatási kapcsolataink vannak ahozzánk tematikusan közel álló akadémiai intézetekkel (MTA Rényi Intézet,MTA SZTAKI).

A fent ismertetett adottságoknak köszönhetően a hagyományos, osztatlan matematikusképzés rendkívül sikeres és magas színvonalú. A bolognai rendszerre való áttéréskor nagy hangsúlyt helyeztünk arra, hogy elért eredményeinket, jól bevált tantárgyainkat megőrizzük és kihasználjuk az új, többcikklusú oktatási rendszer előnyeit. Az elindított alapképzés tapasztalatait folyamatosan értékeljük, és figyelembe vettük a mesterképzés koncepciójának kidolgozásakor.

Az EUROSTAT 2003 adatai szerint hazánkban a természettudományi karokonvégzettek aránya fele sincsen az EU átlagának (pl. 4,8 fő jut 1000 lakosra a 20-29 évesek korosztályában; ugyanezen mennyiség EU-átlaga 12,2). A fejlettebb országokkal szemben pedig különösen erős a lemaradásunk. Általában véve is indokolt tehát a kapacitások megőrzése/bővítése a szakterületünkön.

Várható, hogy az alapképzést befejező hallgatók el tudnak helyezkedni a munkaerőpiacon és ezért csak azok a tehetséges fiatalok folytatják tanulmányaikat a mesterszakon, akik tehetségük mellett nagy elhivatottságot éreznek a matematika művelése iránt. Következés képpen arra számítunk, hogy az újonnan indítandó mesterszak színvonala legalább olyan magas lesz, mint a korábbi 5 éves képzésé.

2. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával.

Örömmel tapasztaltuk, hogy az elmúlt néhány évben jelentősen megnőtt a matematikus álláslehetőségek száma. A magyar matematika nagy sikerének könyveljük el, hogy jelentős multinacionális cégek éppen azért települtek Magyarországra, mert itt találnak magas színvonalú matematikatudással rendelkező munkaerőt. A fejlett technológia, az egyre bővülő szolgáltatások (pl. bank- és biztosítási ágazat) növekvő szakemberigénye továbbra is valószínűsíthető. Figyelembe lehet venni, hogy más szakterületek nem „termelnek ki” matematikus munkaerőt; annyi a matematikus, ahányat a matematikusok maguk kiképeznek. A BME-n természetes módon adott az a tudományos és alkalmazási háttér, mely ehhez a szakhoz alapvetően szükséges.

Az alábbi táblázatban tájékoztatásként bemutatjuk 2002-től a matematikus szakon az államilag finanszírozott képzésre vonatkozó keretszámokat, illetve a felvételhez szükséges ponthatárokat / elérhető maximális pontszámot és a felvett hallgatók felvételi pontszámának átlagát.

2002

2003

2004

2005

2006

2007

felvételi keretszám

25

25

25

25

50

70

felvételi alsó ponthatár

117/126

117/126

114/126

141/144

127/144

134/144

felvételi átlagpontszám

122,1

121,5

122,2

142,4

137,8

141,4

Az itt közölt számadatok mutatják, hogy a leendő diákok, a felvételizőkkörében is magas a képzéseink elfogadottsága.

3. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása.

Az eddigi és a jövőbeli várható (létszám-) keretszámaink lehetővé tették,hogy a tehetségesekkel kiemelten, egyénileg foglalkozzunk. Ezt a jelenlegiBSc-képzésünkben az "Önálló kutatási feladat" c. tárgyak már a másodévelején megalapozzák. A K/F-feladatok megoldására erős felkészítő programotjelentenek a témalaborok, amelyek során az egész egyetem és külső kutató és matematika igényes alkalmazó központok (mint például az Ericsson kutató laboratórium és az MTA SZTAKI) legjobb tanárai/kutatói segítik a munkánkat.

Ennek a szaknak elsődleges célja, hogy felkészítse a hallgatókat magas színvonalú kutatásra, doktori iskolában való továbbképzésre.

4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító, „tehetség-gondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása.

Az előző pontban említetteken túl a BME Természettudományi Karán évtizedes múltra visszatekintő eredményes TDK tevékenység folyik, továbbá az egyetem rendelkezik a hallgatói mobilitást támogató rendszerekkel (ERASMUS ösztöndíj, külföldi részképzés intézményi megállapodás alapján, vezető oktatók-kutatók személyes kapcsolatai). A legjobb kutatási eredményeket elérő hallgatók számára lehetővé tesszük a konferenciaszereplést és támogatjuk a publikálást a diplomamunka témájából. A hallgatókkal való személyes, egyenkénti foglalkozásra lehetőséget ad, hogy a szakot relatíve kis létszámban kívánjuk indítani, több szeminárium jellegű tantárgy van beépítve, továbbá a diplomamunka esetén, heti rendszeres egyéni konzultáció a témavezetővel biztosítja a megfelelő lehetőséget. Az ilyen törekvéseink eddigi hatékonyságát bizonyítják látványos OTDK eredményeink és az a tény, hogy több hallgatónknak született már az egyetemi évei alatt – rendszerint a témavezető társszerzőségével -- folyóiratban közölt tudományos dolgozata.

5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva.

A szakon kizárólag nappali képzést tervezünk. A jelenlegi alapképzési szak felvételi keretszámát is figyelembe véve a BME matematikus mesterszakán a képzési kapacitás 20-30 fős évfolyamonkénti hallgatói létszámot tesz lehetővé az államilag finanszírozott nappali képzésben ezen a szakon.

III.

A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása

A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása

1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv

· Ha vannak szakirányok, azok bemutatása, kredit-tartalommal is.

· Az idegen nyelven folyó képzés tantervi táblázatát, a tantárgyak leírását a tervezett idegen nyelven is mellékelni kell.

Amennyiben az idegen nyelven folyó képzés tanterve nem azonos a magyar nyelvű képzésével, úgy az eltéréseket részletesen be kell mutatni.

Az alábbi első két táblázat ([0H] és [0E]) az elméleti alapozás tárgykínálatát mutatja be magyarul és angolul. A felkínált tárgyak össz-kreditszáma természetesen lényegesen meghaladja a KKK-ban előirtat. Ennek oka az, hogy módot adunk a különböző háttérrel és különböző ismeretekkel (illetve, ismeret-hiánnyal) érkező hallgatóknak arra, hogy kiválaszthassák a specifikus hiányaikat megfelelően pótló tárgyakat. A felkínált tárgyak --- az általánosan elfogadott gyakorlatnak megfelelően --- a BSc képzésünkben szereplőek. Ennek megfelelően: a saját, és más magas színvonalú egyetemi BSc képzést abszolváló hallgatóknak nem (vagy csak minimális mértékben) kell „elméleti alapozás” jellegű tárgyakat felvenniük. Az ilyen módon felszabaduló kredit-keretüket választható szakmai tárgyakkal töltik fel. Mivel az elméleti alapozás tárgyait (ritka és indokolt kivételektől eltekintve) az MSc tanulmányok első két félévében kell teljesíteni, a tantervi hálóban (mintatantervben) való elosztás csak tavaszi és őszi félév között történik. A tárgyak beosztása őszi/tavaszi félévre megfelel a BSc képzésünkben elfoglalt jelenlegi helyüknek. Ez a későbbi tapasztalatok alapján ésszerű keretek között változhat.

Az ezután következő két táblázat ([1H] és [1E]) a matematika MSc szak tantervi hálóját (mintatantervét) tartalmazza, szintén magyarul és angolul.

Megjegyzés az elméleti alapozó tárgyak és a szakmai törzsanyag tárgyak tematikus kínálatának a KKK-ban előírtakkal való megfeleléséhez:

Az elméleti alapozáshoz a MAB által már korábban elfogadott és a gyakorlatban immár két éve megvalósított matematikus BSc képzésünk teljes szakmai tárgykínálatát ajánljuk fel. Ezen tárgyak összessége bőségesen lefedi a KKK által az elméleti alapozásban előírt anyagot. Ezzel módot adunk a különböző háttérrel és különböző ismeretekkel (illetve, ismeret-hiánnyal) érkező hallgatóknak arra, hogy kiválaszthassák a specifikus hiányaikat megfelelően pótló tárgyakat. E választásban vezető oktatóink szervezett módon aktív segítséget fognak nyújtani. Tipikus esetben saját és más magas színvonalú egyetemi BSc képzést abszolváló hallgatóknak nem (vagy csak minimális mértékben) kell „elméleti alapozás” jellegű tárgyakat felvenniük. Az ilyen módon felszabaduló kredit-keretüket választható szakmai tárgyakkal (a bő választékban kínált törzstárgyakkal) töltik fel.

A KKK elõírásaiban a szakmai törzsanyagban sok olyan ismeretkör szerepel, amit már az alapozó tárgyak tartalmaznak. (Ilyen pl. az algebra és számelmélet, az operációkutatás vagy a sztochasztikus matematika jelentős része.) Az általunk javasolt törzstárgyak itt a KKK által előírtak felett további ismereteket tartalmaznak. (A fenti példáknál maradva: haladó csoport- és reprezentációelmélet, algebrai geometria, globális optimalizálás, Lévy folyamatok, haladóbb statisztika, információelmélet.)

A fentiek értelmében a KKK tematikus előírásainak teljesítése úgy értendő, hogy az alapozó- és törzstárgyak együttesen fedik le a megnevezett matematikai területek klasszikus anyagát. Minden előírt témakörben e két tantárgycsoport tematikája együttesen bőségesen lefedi a KKK előírásai szerinti elméleti alapozó és törzsanyag tematikák együttesét.

Megjegyzés a félévenkénti vizsgák számáról:

A BME TVSZ előírja, hogy a hallgatóknak félévenként maximum 4 vizsgát lehet kötelezően teljesítendőként előírni. Ennek megfelelően az alábbi mintatanterv kötelezően előírt vizsgaszámai a következők: I.-II.-III. félévben 4 vizsga, IV. félévben 2 vizsga és egy záróvizsga.

[0H] TÁBLÁZAT

ELMÉLETI ALAPOZÁS TÁRGYKÍNÁLATA

kontakt óra per hét / kredit / vizsgák

I.

II.

III.

IV.

Elméleti alapozás

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Az alábbi tárgyak közül a hallgatónak szükség és oktatói előírás szerint maximum 20 kreditnyit kell teljesítenie. Azok a hallgatók, akiknek az alapozó tárgyakból 20-nál kevesebb kreditnyi teljesíteni valójuk van, a fennmaradó kredit-keretet választható szakmai tárgyakkal töltik ki.

Algebra és számelmélet blokk

Lineáris algebra

4/2/0/v/6

Számelmélet

2/2/0/v/5

Algebra 1

2/2/0/v/4

Algebra 2

2/2/0/v/4

Analízis blokk

Analízis 1, 2

4/2/0/v/6

4/2/0/v/6

Analízis 3, 4

2/2/0/v/5

1/1/0/f/2

Differenciálegyenletek

4/2/0/v/6

Parciális differenciálegyenletek 1

2/2/0/f/5

Funkcionálanalízis

4/2/0/v/6

Numerikus módszerek 1

4/0/2/v/6

Diszkrét matematika és számítástudomány blokk

Kombinatorika és gráfelmélet 1,2

2/1/0/v/4

2/1/0/f/3

Algoritmuselmélet

2/2/0/f/4

Kriptográfia és kódelmélet

3/0/0/v/3

Informatika 2

1/0/1/f/2

Informatika 4

0/0/4/f/4

Geometria blokk

Geometria

4/2/0/v/6

Differenciálgeometria 1

2/1/0/f/3


2/2/0/v/4

Operációkutatás és gazdasági matematika blokk

Operációkutatás

2/2/0/f/4

Optimalizálási modellek

0/0/2/f/2

Bevezetés a makro-/mikroökonómiába

2/0/0/f/2

2/0/0/f/2

Közgazdasági és pénzügyi matematika

2/2/0/v/6

Biztosításmatematika 1

2/0/0/f/3

Sztochasztika blokk

Valószínűségszámítás 1

2/2/0/v/4

Valószínűségszámítás 2, 3

1/1/0/f/2

1/1/0/f/2

Matematikai statisztika

2/2/0/v/4

Statisztikai programcsomagok 1

0/0/2/f/2

Sztochasztikus folyamatok

2/2/0/f/6

Biomatematika blokk

Sztochasztikus modellek a bioinformatikában

2/0/0/f/3

Dinamikai modellek a biológiában

2/0/0/f/3

TABLE [0E]

LIST OF COURSES OFFERED AS THEORETICAL FOUNDATIONS

contact hours per week / credits / exams

I.

II.

III.

IV.

Theoretical foundations

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Students obtain a maximum of 20 credits from the courses listed below, according to necessity and the prescription of the instructors. Those students who – due to a solid theoretical preparation – need less than 20 credits from these subjects will obtain the remaining credits by choosing other optional courses of professional character.

Block of Algebra and Number Theory

Linear algebra

4/2/0/v/6

Number theory

2/2/0/v/5

Algebra 1

2/2/0/v/4

Algebra 2

2/2/0/v/4

Block of Analysis

Analysis 1, 2

4/2/0/v/6

4/2/0/v/6

Analysis 3, 4

2/2/0/v/5

1/1/0/f/2

Differential equations

4/2/0/v/6

Partial differential equations 1

2/2/0/f/5

Functional analysis

4/2/0/v/6

Numerical methods1

4/0/2/v/6

Block of Discrete Mathematics and Computer Science

Combinatorics and graph theory 1,2

2/1/0/v/4

2/1/0/f/3

Theory of algorithms

2/2/0/f/4

Kriptography and coding theory

3/0/0/v/3

Informatics 2

1/0/1/f/2

Informatics 4

0/0/4/f/4

Block of Geometry

Geomety

4/2/0/v/6

Differential geometry 1

2/1/0/f/3

Differential geometry 2

2/2/0/v/4

Block of operations research and mathematical methods of economy

Operations research

2/2/0/f/4

Models of optimization

0/0/2/f/2

Introduction to macro- and micro economy

2/0/0/f/2

2/0/0/f/2

Financial mathematics

2/2/0/v/6

Insurance mathematics 1

2/0/0/f/3

Block of Stochastic Mathematics

Probability 1

2/2/0/v/4

Probability 2, 3

1/1/0/f/2

1/1/0/f/2

Mathematical statistics

2/2/0/v/4

Statistical sofwares 1

0/0/2/f/2

Stochastic processes

2/2/0/f/6

Block of Biomathematics

Stochastic models in bioinformatics

2/0/0/f/3

Dynamical models in biology

2/0/0/f/3

[1H] TÁBLÁZAT

MATEMATIKUS MESTER SZAK

kontakt óra per hét / kredit / vizsgák

I.

II.

III.

IV.

(A) Elméleti alapozás

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Az elméleti alapozás tárgyai közül a hallgatónak szükség és oktatói előírás szerint maximum 20 kreditnyit kell teljesítenie. Azok a hallgatók, akiknek az alapozó tárgyakból 20-nál kevesebb kreditnyi teljesíteni valójuk van, a fennmaradó kredit-keretet választható szakmai tárgyakkal töltik ki.

Részletes tárgykínálat az [0H] táblázatban.

(B) Szakmai törzsanyag

12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v

Az alábbi tárgyakból legalább 6-ot kell teljesíteni, olyan módon, hogy a 6 témakörből legalább 4-ből legyen választott tárgy.

Algebra és számelmélet blokk

Kommutatív algebra és algebrai geometria

3/1/0/f/5

Csoportelmélet

3/1/0/v/5

Analízis blokk

Dinamikai rendszerek

3/1/0/v/5

Fourier analízis és függvénysorok

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5

Diszkrét matematika blokk

Elméleti számítástudomány

3/1/0/f/5

Algebrai és általános kombinatorika

3/1/0/f/5

Kombinatorikus optimalizálás

3/1/0/v/5

Geometria blokk

Differenciálgeometria és topológia

3/1/0/v/5

Reprezentáció elmélet

3/1/0/f/5

Operációkutatás blokk

Lineáris programozás

3/1/0/v/5

Globális optimalizálás

3/1/0/f/5

Sztochasztika blokk

Sztochasztikus analízis és alkalmazásai

3/1/0/v/5

Statisztika és információelmélet

3/1/0/f/5

(C) Differenciált szakmai ismeretek

2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Az alábbi 7 témakörből legalább 3-at kell választani és a választott témakörökből egyenként legalább 10-10 kreditet kell teljesíteni.

Algebra blokk

Gyűrűk és csoportok reprezentációelmélete

3/1/0/f/5

Haladó lineáris algebra

2/0/0/v/3

Homológikus algebra

2/0/0/f/2

Analízis blokk

Mátrixanalízis

2/0/0/v/3

Operátorelmélet

3/1/0/v/5

Potenciálelmélet

2/0/0/f/3

Inverz szórás feladatok

2/0/0/v/3

Nem lineáris hiperbolikus egyenletek

2/0/0/v/3

Fraktálok és geometriai mértékelmélet

2/0/0/f/3

Diszkrét matematika blokk

Algoritmusok és bonyolultságuk

3/1/0/f/5

Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik

3/1/0/f/5

Geometria blokk

Projektív geometria

3/1/0/f/5

Kombinatorikus és diszkrét geometria

3/1/0/f/5

Nem-euklideszi geometria

3/1/0/f/5

Operációkutatás blokk

Nemlineáris programozás

3/1/0/v/5

Sztochasztikus programozás

3/1/0/v/5

Számelmélet blokk

Algebrai számelmélet

2/0/0/v/3

Analitikus számelmélet

2/0/0/f/2

Algebrai és aritmetikai algoritmusok

3/1/0/f/5

Sztochasztika blokk

Markov-folyamatok és martingálok

3/1/0/v/5

Sztochasztikus differenciálegyenletek

3/1/0/v/5

Határeloszlás- és nagy eltérés tételek

3/1/0/v/5

Sztochasztikus modellek

2/0/0/f/2

Ergodelmélet és dinamikai rendszerek

2/0/0/f/2

Statisztikai programcsomagok 2

0/0/2/f/2

Egyéb

Témalabor 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4

Matematikai modellalkotás 1, 2

2/0/0/f/1

2/0/0/f/1

(D) Választható tárgyak

0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v

Szabadon választható szakmai tárgyak

3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2

Köt. vál. társ. tud./ gazd. tud. tárgy

2/0/0/f/2

(E) Diplomamunka

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv

ÖSSZESEN óra / kredit / vizsgák száma

26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

TABLE [1E]

MATHEMATICS MSc

contact hours per week / credits / exams

I.

II.

III.

IV.

(A) Theoretical foundations

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Students obtain a maximum of 20 credits from the courses listed below, according to necessity and the prescription of the instructors. Those students who – due to a solid theoretical preparation – need less than 20 credits from these subjects will obtain the remaining credits by choosing other optional courses of professional character.

See table [0E] for the detailed list of courses offered.

(B) Primary body of professional subjects

12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v

Students choose 6 courses from the list, so that courses are chosen from at least 4 different topical groups.

Block of algebra and number theory

Commutative algebra and algebraic geometry

3/1/0/f/5

Group theory

3/1/0/v/5

Block of analysis

Dynamical systems

3/1/0/v/5

Fourier analysis and function series

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5

Block of discrete mathematics

Theoretical computer science

3/1/0/f/5

General and algebraic combinatorics

3/1/0/f/5

Combinatorial optimization

3/1/0/v/5

Block of geometry

Differential geometry and topology

3/1/0/v/5

Representation theory

3/1/0/f/5

Block of operations research

Linear programming

3/1/0/v/5

Global optimization

3/1/0/f/5

Block of stochastics

Stochastic analysis and applications

3/1/0/v/5

Statistics and information theory

3/1/0/f/5

(C) Professional subjects of specialization

2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Students choose at least 3 different groups of subjects and courses summing up to at least 10 credits from each group of the subjects chosen.

Block of algebra

Representations of groups and algebras

3/1/0/f/5

Advanced linear algebra

2/0/0/v/3

Homological algebra

2/0/0/f/2

Block of analysis

Matrix analysis

2/0/0/v/3

Operator theory

3/1/0/v/5

Potential theory

2/0/0/f/3

Inverse scattering problems

2/0/0/v/3

Nonlinear hyperbolic equations

2/0/0/v/3

Fractals and geometric measure theory

2/0/0/f/3

Block of discrete mathematics

Algorithms and their complexity

3/1/0/f/5

Graphs, hipergraphs and their applications

3/1/0/f/5

Block of geometry

Projective geometry

3/1/0/f/5

Combinatorial and discrete geometry

3/1/0/f/5

Non-Euclidean geometry

3/1/0/f/5

Block of operations research

Nonlinear programming

3/1/0/v/5

Stochastic programming

3/1/0/v/5

Block of number theory

Algebraic number theory

2/0/0/v/3

Analytic number theory

2/0/0/f/2

Algebraic and arithmetical algorithms

3/1/0/f/5

Block of stochastics

Markov processes and martingales

3/1/0/v/5

Stochastic differential equations

3/1/0/v/5

Limit- and large deviation theorems in probability

3/1/0/v/5

Stochastic models

2/0/0/f/2

Ergodic theory and dynamical systems

2/0/0/f/2

Statistical program packages 2

0/0/2/f/2

Other

Individual projects 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4

Mathematical modelling seminar 1, 2

2/0/0/f/1

2/0/0/f/1

(D) Optional courses

0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v

Optional professional courses

3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2

Optional course in economy or social sciences

2/0/0/f/2

(E) Diploma thesis

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv

SUM hours / credits / no. of exams

26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

2. Tantárgyi programok

Az egyes tantárgyak keretében elsajátítandó ismeretanyag rövid, (néhány soros) leírása, valamint minden tantárgyhoz a tantárgyfelelős, az előtanulmányi feltételek, a kredit feltüntetése, és a 3-5 legfontosabbnak ítélt kötelező, illetve ajánlott irodalom (jegyzet, tankönyv) felsorolása.

Előtanulmányi követelmények:

A differenciált szakmai tananyag előkövetelménye a megfelelő törzstárgyak teljesítése.

(A)

Alapozó tárgyak

Courses of theoretical foundations

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

Notation: Meaning of notation e/g/l/t/k appearing in the description of each course:

e = lecture hours per week

g = in-class exercise hours per week

l = laboratory work hours per weak

t = type of examination = „v” stands for oral or written exam, „f” stands for final mark given on basis of midterm exams and home works

k = number of credits

Elméleti alapozás: Algebra és számelmélet blokk

Theoretical foundations: Block of algebra and number theory

Lineáris algebra

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Horváth Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Nagy Attila, Lukács Erzsébet

Valós és komplex számok, test és gyűrű fogalma, polinomok, algebra alaptétele, interpoláció, többváltozós polinomok.

Mátrixok, determináns, lineáris egyenletrendszerek.

Vektorterek, bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat, duális tér.

Lineáris operátorok és transzformációk, báziscsere, skaláris és vektoriális szorzat. Sajátérték, sajátvektor. Cayley-Hamilton-tétel. Polinommátrixok kanonikus alakja. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények.

Bilineáris függvények és kvadratikus alakok. Sylvester tétele. Euklideszi terek. Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk. Főtengelytétel.

Felbontási tételek.

Irodalom:

D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973.

Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996.

Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.

Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet

Linear algebra

4/2/0/v/6

Course coordinator: Erzsébet Horváth

Other instructors: Lajos Rónyai, Attila Nagy, Erzsébet Lukács

Real and complex numbers, fields and rings, polynomials, the fundamental theorem of algebra, interpolation, multivariablr polynomials.

Matrices, determinants, systems of linear equations.

Vector spaces, basis, dimension, coordinatization. Direct decomposition, factor space, tensor producs, dual space.

Linear operators and transformations, change of basis, scalar and cross product. Eigenvalue, eigenvector. Cayley-Hamilton theorem. Canonical form of polynomial matrices. Jordan normal form, matrix functions.

Bilinear functions and quadratic forms. Sylvester’s theorem. Euclidean spaces. Self adjoint, unitary, orthogonal, symmetric, normal transformations. Spectral theorem.

Decomposition theorems.

References:

D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973.

Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996.

Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.

Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet

Számelmélet

2/2/0/v/5

Tárgyfelelős: Rónyai Lajos

További oktatók: Wettl Ferenc, Lukács Erzsébet

Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele. Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek, Euler-, Fermat- és Wilson-tétel, műveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermat- és Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény, Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való elő-állításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus.

Irodalom:

Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000.

I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978.

I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968.

Number theory

2/2/0/v/5

Course coordinator: Lajos Rónyai

Other instructors: Ferenc Wettl, Erzsébet Lukács

Divisibility, Euclidean algorithm, the fundamental theorem of number theory, congruences, linear congruences and linear diophantine equations, Euler’s, Fermat’s and Wilson’s theorems, operations with residue classes. Congruences of higher degrees, primitive root, discrete logarithm, power residue. Chevalley’s theorem and its applications. Legendre symbol, quadratic reciprocity, Jacobi symbol. Distribution of prime numbers, Fermat and Mersenne primes. Prime tests. Arithmetic functions: Euler function, Möbius function, Möbius inversion theorem. Diophantene equations, pythagorian triples. Gaussian integers, decomposition of numbers into quadratic sums. Applications of number theory, the RSA algortithm.

References:

Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000.

I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978.

I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968.

Algebra 1.

2/2/0/v/4

Tárgyfelelős: Lukács Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila

Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus, automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelői gyűrűkre.

Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek.

Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Hölder-tétel.

Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugáltosztályok, osztályegyenlet.

p-csoportok, feloldható csoportok, nilpotens csoportok.

Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló csoportok egyszerűsége.

Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok alaptétele.

Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendű csoportok leírása.

Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck tétele.

Test feletti polinomok gyűrűje. F[x] ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai.

Bevezetés a testelméletbe. Testbővítések, felbontási test. Véges testek. Wedderburn tétele.

Irodalom:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983.

Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002

Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007


Algebra 1

2/2/0/v/4

Course coordinator: Erzsébet Lukács

Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy

Introduction of groups, examples. Subgroup, homomorphism, isomorphism, automorphism, factor group. The corresponding concepts for rings.

Homomorphism theorem, isomorphism theorems.

Cosets of subgroups, index, Lagrange’s theorem. Normal subgroups, normal chains,

Jordan−Hölder theorem.

Commutator subgroup, center of a group, conjugacy classes, class equation.

p-groups, solvable groups, nilpotent groups.

Permutation groups, group action. Simplicity of the alternating groups.

Direct product and semidirect product. The fundamental theorem of Abelian groups.

Sylow’s theorems and their applications. Description of groups of small order.

Free group, presentations of groups. Dyck’s theorem.

The ring of polynomials over a field. The ideals, maximal ideals and factors of F[x]. The ideals and factors of Z.

Introduction to the theory of fields. Field extensions, splitting fields. Finite fields. Weddenburn’s theorem.

References:


Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Algebra 2

2/2/0/v/4

Tárgyfelelős: Lukács Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila

Testbővítések, Galois-bővítés, Galois-csoport. Galois-elmélet főtétele. Polinomegyenlet gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetőség.

Nemkommutatív gyűrűk, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyűrű. Ferdetest.

Integritási tartományok, egyértelmű faktorizációs tartományok, Euklideszi- és főideáltartományok. Gauss-lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmű faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-gyűrű, Hilbert bázis tétele. Féligegyszerű Artin-gyűrűk, Wedderburn–Artin-tétel.

Modulusok, teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns funktorok. Hom és tenzorszorzás funktorok. Funktorok természetes transzformációja, kategóriák ekvivalenciája.

Hálók, modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák.

Irodalom:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983

Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin: Algebra II, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Algebra 2

2/2/0/v/4

Course coordinator: Erzsébet Lukács

Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy

Field extensions. Galois extension, Galois group. The Fundamental Theorem of Galois Theory. Solvability of polynomial equations in radical expressions. The theory of geometric constructions. Noncommutative rings, ideals, one-sided ideals, matrix algebras, skew fields. Domains, unit factorization domains, Euclidean and principal ideal domains. Gauss lemma. Irreducible polynomials over unique factorization domains and over their fraction fields. Cyclotomic polynomials. Noetherian rings, Hilbert Basis Theorem. Semisimple Artinian rings. The Artin-Wedderburn theorem. Modules, complete reducibility. Group algebras. Maschke's theorem. Projective, injective and free modules. Exact sequences. Categories. Covariant and contravariant functors. The Hom and tensorproduct functors. Natural transformation of functors, equivalemce of cathegories. Lattices, modularity and distributivity. Finite dimensional algebras over the real numbers, Frobenius Theorem. Lie algebras.

References:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983

Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974

Fried Ervin: Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Elméleti alapozás: Analízis blokk

Theoretical foundations: Block of analysis

Analízis 1

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók: Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal

Valós számsorozatok konvergenciája, nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium.

Valós számsorok. Geometriai sor. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia.

Elemi függvények folytonossága és differenciálhatósága. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai. Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága, nevezetes határértékek, középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik, lokális tulajdonságok.

Határozott és határozatlan integrálok, az integrálszámítás technikája, alkalmazások. Impropius integrálok.

Valós és komplex hatványsorok konvergencia tartománya. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke, integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.

Irodalom:

Leindler László, Analízis, Polygon, 2001.

Császár Ákos, Analízis I.

Analysis 1

4/2/0/v/6

Course coordinator: Miklós Horváth

Other instructors: Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai

Convergence of sequences of real numbers, growth orders. Cantor and Dedekind property. Bolzano-Weierstrass theorem, Cauchy criterion. Numerical series, geometrical series, convergence tests. Absolute and conditional convergence.

Continuity and differentiability of elementary functions. Some properties of continuous functions of one variable. Differentiability, known limits, mean value theorems. Applications: finding local and global extrema, monotonicity test, convexity tests. Hyperbolic functions and their inverses, local properties.

Riemann-integral, antiderivative. Techniques of integration, applications. Improper integrals.

Real and complex power series, domain of convergence. Limit of the sum of real power series. Term-by-term integration and derivatives. Taylor series of elementary functions. Applications.

References:



Analízis 2

4/2/0/v/6


További oktatók: Petz Dénes, Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal

Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség. Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága.

Függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai. Taylor polinom. Lagrange-féle maradéktag. Feltételek egy függvény és Taylor sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal. Binomiális sor. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia.

Metrikus és Euklideszi tér. A tér teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel.

Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Implicit- és inverzfüggvény-tétel. Szélsőérték-számítás.

Jordan mérték. Kettős és hármas integrál. Integrálok transzformációja.

Vonalintegrál, potenciálelmélet, felületi integrál.

Komplex függvények folytonossága, regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus függvények. Elemi függvények regularitása.

Irodalom:



Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007.

Analysis 2

4/2/0/v/6


Other instructors: Dénes Petz, Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai

Pointwise and uniform convergence of sequences of functions. The space of continuous functions, uniform norm, completeness. Effects of uniform convergence to continuity, term-by-term differentiability and integrability.

Pointwise and uniform convergence of function series. Cauchy criterion, Weierstrass test of uniform convergence.

Power series, Taylor polynomials with Lagrangian error term. Condition for a function to be equal to the sum of its Taylor series. Elementary functions can be expanded into Taylor series. Binomial series.

Trigonometric series. Fourier series of piecewise continuous functions, tests for pointwise and uniform convergence.

Metric space, Euclidean space. Completeness, local compactness, Heine-Borel theorem.

Limit and continuity of functions of several variables. Partial derivatives, differentiability, matrix of derivatives. Chain rule, directional derivative, implicite and inverse function theorem. Extremal values.

Jordan measure, double and triple (Riemann-)integral. Transformation rules in integrals.

Line integral, potential. Integration on surfaces.

Continuity and regularity of functions of one complex variable. Cauchy-Riemann equations, harmonic functions. Regularity of elementary functions

References:



Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007.

Analízis 3

2/2/0/v/5

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté, Járai Antal

Komplex függvények integrálja. Cauchy-Goursat alaptétele körintegrálra és annak következményei. Reguláris komplex függvények és deriváltjaik integrálelőállításai. (Cauchy integrálformulák). Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása. Residuum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouché tétel, argumentum elv.

Banach fixpont tétel. Implicit függvénytétel.

Mérhető halmazok, mérték. (Külső mérték kiterjesztése teljes mértékké.) Lebesgue mérték a számegyenesen és a síkon. Lebesgue nem mérhető halmaz létezése. Lebesgue–Stieltjes mérték. Mérhető függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin, Jegorov, Riesz approximációs és konvergencia tételei. Integrál. Fatou lemma. Beppo–Levi tétel. Lebesgue tétel, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága. Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton–Leibniz formula. Parciális integrálás. Radon-Nikodym tétel, integrálok transzformációja.

Irodalom:

Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002

H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.

Analysis 3

2/2/0/v/5

Course coordinator: Dénes Petz

Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi, Antal Járai

Functions of one complex variable: The field of complex numbers, power series and analytic functions, Cauchy's theorem and integral formula, Goursat's theorem. Classification of isolated singularities, Laurent expansion, residue theorem and its applications. Rouché theorem, principle of arguments

Measure theory and integration: Extending outer measures to complete measures. Lebesgue measure, existence of a non-measurable set. Lebesgue-Stieltjes measure. Measurable functions (real-valued and with values in a metric space). Theorems of Lusin, Egoroff, Riesz on approximation and convergence. Integration, Fatou lemma, Beppo-Levi theorem, Lebesgue theorem. Sigma-additivity and absolute continuity of the integral. Counting integrals. Fubini theorem. Newton-Leibniz theorem. Integration by parts. Radon-Nikodym theorem, tranformation of integrals.

References:

Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002

H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.

Analízis 4

1/1/0/f/2

Tárgyfelelős: Kroó András

További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté:

Klasszikus algebrai és trigonometrikus ortogonális sorok euklideszi terekben.

Ortogonális sorfejtés normált terekben, konvergencia és divergencia különböző normákban.

Polinomapproximáció véges és végtelen intervallumon.

Szummáció, Lebesgue-függvény, szaturációs tételek.

Gyorsan növő polinomok és kapcsolatuk a potenciálelmélettel.

Interpolációs eljárások, optimális alappontrendszerek.

Spline-ok.

Bevezetés a waveletekbe.

Irodalom:

Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975

G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966

Analysis 4

1/1/0/f//2

Course coordinator: András Kroó

Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi

Classical trigonometric and algebraic orthogonal systems in Euclidean Spaces. Normed Spaces, orthogonal expansions, convergence and divergence theorems in different norms. Approximation by polynomials in finite and infinite intervals. Summation methods, Lebesgue function, saturation theorems. Fast increasing polynomials and their connection to potential theory. Interpolation processes, optimal systems of nodes. Spline Functions. Introduction to wavelet theory.

References:

Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975

G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966

Differenciálegyenletek

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Moson Péter

További oktatók: Bálint Péter, Tóth János

Közönséges differenciálegyenletek: Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma korrekt kitűzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a kezdeti értékektől. Közelítő megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek, variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov-függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján. Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. A mechanika Hamilton-egyenletei. Megmaradási tételek.

Elemi parciális egyenletek: Elsőrendű egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere. Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert-formula, Fourier-módszer. Hővezetési egyenlet: Fourier-módszer, diszkretizáció. Maximum-elv.

Irodalom:

Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005

Differential equations

4/2/0/v/6

Course coordinator: Péter Moson

Other instructors: Péter Bálint, János Tóth

Ordinary differential equations (ODE), separable, exact and linear equations. Initial value problem, existence and uniqueness. Approximative solution methods. Linear systems of ODEs, variational system. Stability theory. Stability, asymptotic stability, Lyapunov functions. Stability by the linear approximation. Phase portraits of planar autonomous systems. Periodic solutions. Hamiltonian equations in mechanics. Conservation laws.

Elementary partial differential equations (PDE). First order equations, relation to ODEs, method of characteristics. Oscillations of the finite chord: D’Alambert formula, Fourier method. Heat transfer equation: Fourier method, discretization. Maximum principle.

References:

Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005


2/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Garay Barnabás

További oktatók: Fritz József

Laplace–Poisson egyenlet Dirichlet peremfeltétellel. Klasszikus megoldások: unicitás és folytonos függés, maximum-elv, integrálreprezentációk, példa klasszikus megoldás nemlétezésére. Általánosított/gyenge megoldások: Szoboljev terek, variációs elv, korrekt kitűzöttség, végeselem módszer. Kapcsolat a funkcionálanalízissel: a változók szétválasztása módszer jogosultsága. Közönséges differenciálegyenletek peremérték-problémái, variációszámítás. Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek: összehasonlítás.

Irodalom:

Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002


2/2/0/v/6

Course coordinator: Barnabás Garay

Other instructors: József Fritz

Laplace–Poisson equation with Dirichlet boundary condition. Classical solutions: uniqueness, continuous dependence, maximum principle, integral representations, example for nonexistence.

Generalized/weak solutions: Sobolev spaces, Dirichlet variational principle, well-posedness, finite elements method. Connections to functional analysis: the justifying facts behind the separation of variables method. Boundary value problems for ordinary differential equations, calculus of variations. Elliptic, parabolic and hyperbolic equations: a comparison.

References:

Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002

Funkcionálanalízis

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók: Horváth Miklós, Nagy Béla, Matolcsi Máté

Lineáris terek (lineáris függetlenség és összefüggőség, lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns).

Normált terek (példák, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor normája). Banach-terek (példák, normált tér teljes burka, abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetősége, az exponenciális függvény, Neumann-sor).

Nevezetes tételek Banach-terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra, zárt gráf tétel)

Duális tér (

p

L

terek duálisa, Hahn–Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, példák, Riesz-lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata.

Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekciók, példák).

Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok pontonkénti konvergenciája és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). A Haar-mérték lokálisan kompakt topologikus csoportokon.

Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens).

Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert–Schmidt-féle integráloperátor, Green-függvény, Riesz–Schauder tétel).

A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribúciók). Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák).

A spektráltétel (projektormértékek, önadjungált operátorok folytonos függvénykalkulusa, a spektráltétel korlátos önadjungált operátora, pont és folytonos spektrum a spektrálmértékből).

Egy-paraméteres unitér csoportok (kétfajta folytonosság, az eltolás csoport, Fourier-traszformált, Stone-tétel).

Irodalom:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003

Functional analysis

4/2/0/v/6

Course coordinator: Dénes Petz

Other instructors: Miklós Horváth, Béla Nagy, Máté Matolcsi

Vector spaces (linear independence and dependence, linear maps, algebraic dual, matrix of linear maps). The tensor product of linear maps (symmetric and antisymmetric tensor product, bases, determinant).

Normed spaces (examples, Hölder and Minkowski inequalities, continuous and bounded linear maps, the norm of operators).

Banach spaces (examples, completion of normed spaces, absolutely convergent series, the exponential function, spectrum, Neumann series). The theorem of open mapping, uniform boundedness, closed graph theorem, applications.

Dual spaces (

L

p

spaces, Hahn–Banach theorem, the dual of the space of continuous functions).

Hilbert spaces (expansion of vectors, Riesz lemma, projection theorem, Riesz representation theorem).

Special functions (Hermite and Legendre polynomials, expansions).

Tensor product of Hilbert spaces and operators.

Adjoint operator. Special operators (self-adjoint, unitary, projections and normal operators).

Topologies (weak topology on Hilbert spaces, pointwise and weak pointwise convergence of operators, monotone sequence of selfadjoint operators, topological group of unitaries).

Haar measure on locally compact topological groups.

Spectrum of a bounded operator (parts of the spectrum, spectral radius, resolvent).

Compact operators (The ideal of compact operators, Hilbert-Schmidt integral operators, Riesz-Schauder theorem, Green functions).

Fourier transformation (on L_1, unitary extension to L_2, spectrum, differentiability of a Fourier transform, the topology of the Schwartz space, its dual, distributions). Unbounded operators (adjoint operator, symmetry, Laplace operator, examples). The spectral theorem (projection-valued measures, functional calculus of selfadjoint operators, the spectral theorem for bounded selfadjoint operators, point spectrum, continuous spectrum from the spectral measure). One-parameter unitary semigroups ( two types of continuity, Fourier transform, Stone theorem).

References:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003

Numerikus módszerek 1

4/0/2/v/6


További oktatók: Gyurkovics Éva

MATLAB numerikus szoftver használata. Hibaszámítás. Lineáris egyenletrendszerek direkt es iteratív megoldása: Gauss elimináció, Gauss transzformáció. Mátrixok faktorizációi. Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága. Jacobi-, Seidel-, SOR iteráció; az iteráció konvergenciája, hibabecslése.

Optimalizációs típusú eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására. Sajátértékek becslése.

Hatványmódszer mátrixok sajátérték-sajátvektor feladatára. Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek és sajátvektorok meghatározására. QR módszer sajátértékek meghatározására. Közönséges interpoláció polinommal. Hermite-féle interpoláció. Interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben polinommal és trigonometrikus polinommal; trigonometrikus interpoláció; a gyors Fourier-transzformáció alapja.

Numerikus integrálás: Newton–Cotes formulák és alkalmazásuk. Gauss-típusú kvadratúrák. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladatainak numerikus megoldása: egylépéses módszerek alapfogalmai; Runge–Kutta formulák, egylépéses módszerek stabilitása, konvergenciája és hibabecslése. Többlépéses módszerek.

Irodalom:

Stoyan G., Tako G.: Numerikus módszerek I-II, Typotex, Budapest, 1993, 1995

J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, 1980

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, 2000

Numerical methods 1

4/0/2/v/6


Other instructors: Éva Gyurkovics

Elements of using the software Matlab. Calculus of errors. Direct and iterative methods in solving linear systems of equations: Gaussian elimination, Gauss transform. Factorizations of matrices. Condition numbers of matrices, Jacobi, Seidel and SOR iterations, convergence, error estimates. Optimization methods for linear systems.

Estimating the eigenvalues. The power method to find eigenvalues and eigenvectors. Inverse power method. Transformation of matrices into special forms. Jacobi method. QR method.

Interpolation by polynomials: Lagrange, Hermite, spline interpolation. Least squares in approximating by polynomials or by trigonometric polynomials. Trigonometric interpolation, fast Fourier transform.

Numerical integration: Newton-Cotes formulae, Gaussian quadratures.

Solving nonlinear equations. Roots of polynomials.

Initial value problems for ODE: one-step methods, Runge–Kutta methods, stability, convergence, error estimates. Multistep methods.

References:

A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, New York, Springer 2000

J. Stoer and R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, New York, Springer 2002

Stoyan Gisbert: Takó Galina Numerikus Módszerek I-II., ELTE Typotex, 1993, 1995

Elméleti alapozás: Diszkrét matematika és számítástudomány blokk

Theoretical foundations: Block of discrete mathematics and computer science

Kombinatorika és gráfelmélet 1

2/1/0/v/4

Tárgyfelelős: Recski András

További oktatók: Simonyi Gábor

Leszámlálások (permutációk, variációk, kombinációk, binomiális tétel, binomiális együtthatókra vonatkozó tételek). Nevezetes leszámlálási módszerek, skatulya-elv, szita-módszer. Rekurziók és generátorfüggvények. Fibonacci-számok, állandó együtthatós homogén lineáris rekurziók általában, Catalan-számok.

Gráfelméleti alapfogalmak, pont, él, fokszám, izomorfia, út, kör, összefüggőség. Fák, Cayley-tétel, Prüfer-kód. Páros gráfok, jellemzésük. Párosítások, König-Hall-Frobenius tétel. König tételei, Tutte tétele, Gallai tételei.

Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson tétel, Edmonds-Karp tétel. Kiterjesztések. Menger-tételek. Magasabb összefüggőség, Dirac-tétel, Petersen-tétel. Euler-körök és utak. Euler tétele. Hamilton-körök és utak. Hamilton-kör létezésének szükséges feltétele. Elégséges feltételek: Dirac és Ore tételei.

Irodalom:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002

Combinatorics and graph theory 1

2/1/0/v/4

Course coordinator: András Recski

Other instructors: Gábor Simonyi

Enumerations (permutations, variations, combinations, binomial theorem, theorems concerning binomial coefficients). Methods of enumeration, pigeonhole-principle, sieve method. Recursions and generating functions. Fibonacci numbers, homogeneous linear recursions with constant coefficients in general, Catalan numbers.

Basic notions of graph theory, vertex, edge, degree, isomorphy, path, circle, connectedness. Trees, Cayley’s theorem, Prüfer code. Bipartite graphs and their characterization. Matchings, König-Hall-Frobenius theorem, König’s theorems, Tutte’s theorem, Gallai’s theorem.

Networks and flows, Ford-Fulkerson theorem, Edmonds-Karp theorem. Extensions. Menger’s theorems. Higher order connectivity, Dirac’s theorem, Petersen’s theoem. Euler circles and paths. Euler’s theorem. Hamilton circles and paths. Necessary condition for existence of Hamilton circle. Sufficient conditions: Dirac’s and Ore’s theorems.

References:


Kombinatorika és gráfelmélet 2

2/1/0/f/3

Tárgyfelelős: Recski András

További oktatók:Simonyi Gábor

Síkbarajzolhatóság, viszonya a gömb és a tórusz felszínére való rajzolhatósághoz, sztereografikus projekció, Euler-formula. Kuratowski-tétel, Fáry-Wagner tétel Geometriai és absztrakt dualitás, 2-izomorfia, Whitney tételei. Pont- és élszínezési alapfogalmak, Mycielsky-konstrukció. Brooks-tétel. Ötszíntétel. Vizing-tétel. Élszínezés kapcsolata teljes párosításokkal, Petersen-tétel. Dinitz-probléma, lista-színezés, Galvin tétele. Perfekt gráfok. Intervallumgráfok. Perfekt gráf tétel. Ramsey-tétel, Erdős-Szekeres tétel, Erdős-féle alsó becslés, pár szó a valószínűségi módszerről. Turán-tétel. Erdős-Stone tétel, Erdős-Simonovits tétel. Hipergráfok. Erdős - Ko - Rado tétel, Sperner-tétel, LYM-egyenlőtlenség. De Bruijn - Erdős tétel. Véges síkok, konstrukciójuk véges testből, differencia-halmazból. Bruck - Ryser tétel.

Irodalom:


Combinatorics and graph theory 2

2/1/0/f/3

Course coordinator: András Recski

Other instructors: Gábor Simonyi

Planarity and its relation to embeddibility into the surface of the sphere and torus, stereographic projection, Euler’s formula. Kuratowski’s theorem, Fáry-Wagner theorem. Geometric and abstract duality, 2-isomorphy. Whitney’s theorems. Basic notions of vertex and edge colouring, Mycielsky’s construction. Brooks’ theorem. Five colours theorem. Vizing’s theorem. Relations of edge colouring with perfect matchings, Petersen’s theorem. Dinitz problem, list colouring, Galvin’s theorem. Perfect graphs. Interval graphs. Perfect graph theorem. Ramsey’s theorem, Erdős-Szekeres theorem, Erdős’s lower bound, probabililstic methods in graph theory. Turán’s theorem, Erdős-Stone theorem, Erdős-Simonovits theorem. Hypergraphs. Erdős - Ko – Rado theorem, Sperner’s theorem, LYM inequality. De Bruijn – Erdőstheorem. Finita planes, their construction from finite fields and from difference sets. Bruck/Ryser theorem.

References:


Algoritmuselmélet

2/2/0/f/4

Tárgyfelelős: Friedl Katalin

További oktatók: Ivanyos Gábor, Rónyai Lajos

Kereső algoritmusok. Alapvető adatszerkezetek: keresőfa, kiegyensúlyozott keresőfa (AVL-fa), B-fa, Hash-tábla, kupac. Rendező algoritmusok: buborék rendezés, beszúrásos rendezés, összefésülés, kupacos rendezés, gyorsrendezés, ládarendezés, radix; alsó becslés az összehasonlító rendezéseknél a lépésszámra.

Alapvető gráfalgoritmusok: mélységi, szélességi bejárás és alkalmazásaik (összefüggő és erősen összefüggő komponensek meghatározása, maximális párosítás páros gráfokban); legrövidebb utak keresése (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd algoritmusa); minimális költségű feszítőfa keresése (Prim módszere, Kruskal algoritmusa unió-holvan adatszerkezettel).

Általános algoritmustervezési módszerek (elágazás és korlátozás, dinamikus programozás).

Közelítő algoritmusok. A bonyolultságelmélet elemei: NP, NP-teljesség.

Irodalom:

Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest

Feladatgyűjtemény: a tanszéki honlapról elérhető

Theory of algorithms

2/2/0/f/4

Course coordinator: Katalin Friedl

Other instructors: Gábor Ivanyos, Lajos Rónyai

Searching methods, fundamental data structures: search trees, balanced search trees (AVL-trees), B-trees, hash tables, heaps. Sorting methods: bubblesort, insertion sort, merge sort, heapsort, quicksort, binsort, radix sort. Lower bound for the comparison based algorithms.

Fundamental graph algorithms: depth-first search, breadth-first search, their applications (connected and strongly connected components, maximal matching in bipartite graphs); shortest path algorithms (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd); algorithms for minimum weight spanning trees (Prim, Kruskal) union-find data structure.

General algorithm design techniques (branch and bound, dynamic programming, greedy methods). Approximation algorithms. The elements of complexity theory, NP, NP completeness.

References:

Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest

Problems and excercises are on the webpage of the department

Kriptográfia és kódelmélet

3/0/0/v/3

Tárgyfelelős: Rónyai Lajos

További oktatók: Wettl Ferenc, Ivanyos Gábor

Klasszikus kriptográfia elemei. A modern kriptográfia alapjai: a bonyolultságelmélet, számelmélet, valószínűségszámítás kriptográfiában felhasznált fogalmainak rövid áttekintése.

Kiszámíthatóság - egyirányú függvények (diszkrét logaritmus, RSA-függvény, Rabin négyzetre emelés

függvénye, prím faktorizációval való kapcsolatuk). Álvéletlen generátorok, álvéletelen függvények. Nemfeltáró bizonyítások, és létezésük NP-problémákra.

Kódolás és hitelesítés módszerei (privát kulcsú rendszerek, szimmetrikus titkosítási sémák, nyilvános kulcsú rendszerek: RSA-, Rabin-, hátizsák rendszerek, digitális aláírás), kulcs csere (Diffie-Hellman). Kriptográfiai protokollok: két résztvevős protokollok (oblivious transzfer, bit rábízás, ...), több résztvevős protokollok, titokmegosztás, elektronikus választás, digitális pénz.

Alapvető kommunikációs-és hibamodellek. A bináris szimmetrikus csatorna. Kódolás, dekódolás, Hamming-távolság. A (blokk)kódok alapvető paraméterei. Ismétlés: véges testek aritmetikájának rövid áttekintése, létezés, bázisok, primitív elemek, polinomok véges testek felett, számolás véges testekben. Lineáris kódok, generátormátrix, paritás-ellenőrző mátrix. Szindrómákon alapuló dekódolás. A Hamming-kód. Ciklikus kódok, generátor-polinom, ellenőrző polinom. Ciklikus kódok és ideálok. BCH-kódok. Korlát hibajavító képességükre. Berlekamp-Massey-algoritmus. Reed-Solomon- és Justensen-kódok. Az MDS-korlát, optimális kódok. Golay-kódok, perfekt kódok. Korlátok a kódparaméterekre: Varshamov-Gilbert, Delsarte, gömbkitöltési. Reed-Muller-kódok. Kapcsolatuk a Boole-függvényekkel. Goppa-kódok, nem lineáris kódok, konvolúciós kódok.

Irodalom:

R. Lidl, H. Niederreiter: Introduction to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 1986.

Madhu Sudan : Algorithmic Introduction to Coding Theory. elektronikus jegyzet, MIT

Buttyán L. Vajda I. Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex, 2004.

Cryptography and coding theory

3/0/0/v/3

Course coordinator: Lajos Rónyai

Other instructors: Ferenc Wettl, Gábor Ivanyos

Elements of classical cryptography. The foundations of modern cryptography: review of number theory, complexity, probability techniques relevant here.

Computability, one way functions(RSA, discrete log, Rabin squaring, prime factorization). Pseudo-random generators, zero knowledge proofs, their

existence for problems in NP.

Encryption and authentication methods (private keys, symmetric schemes, public key systems, digital signatures, key exchange).

Cryptographic protocols, secret sharing, digital cash.

Communication and error models, coding, decoding, Hamming space.

Block codes, linear codes. Generator and parity check matrices, syndromes.Hamming codes. Cyclic codes, their basic properties. BCH-codes and their decoding (Berlekamp-Massey). Reed-Solomon codes, Justesen codes, MDS-codes.

Golay codes and perfect codes. Bounds for the parameters of a code (Varshamov-Gilbert, sphere packing, Delsarte). Reed-Muller codes. Goppa codes, nonlinear codes, convolution codes.

References:

R. Lidl, H. Niederreiter: Introduction to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 1986.

Madhu Sudan : Algorithmic Introduction to Coding Theory. elektronikus jegyzet, MIT

Buttyán L. Vajda I. Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex, 2004.

Informatika 2.

1/0/1/f/2

Tárgyfelelős: Tóth János

További oktatók: Wettl Ferenc

A tárgy célja a komputer algebra programrendszerek megismerése és azok programozásának elsajátítása. A félév végén a hallgatók egy néhány oldalas tanulmányt írnak valamely maguk választotta témából, melynek megoldásához komputer algebra rendszert használnak. Tematika: A komputer algebra rendszerek nyelvi sajátosságai. A legismertebb pogramrendszerek (Maple és a Mathematica) részletes ismertetése. A komputer algebra rendszerekben megvalósított programozási paradigmák (szabály alapú, funkcionális, logikai programozás) áttekintése.

Irodalom:

Molnárka Győző, Gergó Lajos, Wettl Ferenc, Horváth András,

Kallós Gábor: A Maple V és alkalmazásai. Springer-Verlag, 1996.

Szili László, Tóth János: Matematika és Mathematica. Eötvös Kiadó. 1996.

Online Maple, Mathematica és GAP könyvek.

Informatics 2

1/0/1/f/2

Course coordinator: János Tóth

Other instructors: Ferenc Wettl

The objective of the course is to introduce the students to the use and programming of computer algebra systems. At the end of the course, the students are expected to solve a complex problem with the aid of computer algebra tools, and write a short paper about that.

Topics: characteristics of symbolic computational languages. Maple, Mathematica, and other known platforms. Programming paradigms relevant in this setting (rule based, functional. logic based programming).

References:

Molnárka Győző, Gergó Lajos, Wettl Ferenc, Horváth András, Kallós Gábor: A Maple V és alkalmazásai. Springer-Verlag, 1996.

Szili László, Tóth János: Matematika és Mathematica. Eötvös Kiadó. 1996.

Online Mathematica, Maple and GAP tutorials and reference works

Informatika 4

0/0/4/f/4

Tárgyfelelős: Pröhle Péter

További oktatók: Wettl Ferenc

ALCÍM: Egy nagyteljesítményű programozási rendszer megismerése, és a szoftverfejlesztés alapjai

A CÉL egy, a természettudományos és nagy gyakorlati problémák kezelésére gyakran használt nyelv (pl.: C++) megismerése, és segítségével egy összetettebb feladat megoldása.

RÉSZLETES TEMATIKA:

A nyelv haladó szintű megismerése, konstruálás orientált interfészek (flex, bison, XML parzerek, …), választás orientált interfészek (portábilis GUI, C++ esetén pl.: wxWidgets, Qt, ...).

Nagy projektek és programok részekre bontása. Programrészek kommunikációs felületei, interfészek, absztrakt osztályok, szerializáció. Eseményvezérlet programozás. Grafikus és web-es felhasználói felület, XML web-szolgáltatások. Modell-view-kontroller architektúra. Integrált fejlesztő rendszerek (pl.: GNU-Emacs, KDevelop, Eclipse).

Felhasználóbarát szoftverfejlesztés. Szoftvertesztelés, szoftver minősége (regressziós teszt, fordítási figyelmeztetések, típusosság, futási idejű memóriahasználat ellenőrzés, futási idejű nyomkövetés). Modell alapú szoftverfejlesztés (Petri háló, UML).

Irodalom:

Online dokumentációk nagy választékban és a három klasszikus könyv:

Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie: A C programozási nyelv, Műszaki, 2004

Brian W. Kernighan, Rob Pike: A Unix operációs rendszer, Műszaki, 1999

Stroustrup, Bjarne: A C++ programozási nyelv, Budapest, Kiskapu, 2001

Informatics 4

0/0/4/f/4

Course coordinator: Péter Pröhle

Other instructors: Ferenc Wettl

SUBTITLE: A programming language of high performance and the basics of software development.

THE GOAL is to study a programming language (e.g.: C++) frequently used for handling scientific calculations and huge practical problems, and to solve a more complex problem as a case study.

DETAILED SYLLABUS:

Advanced study of the language in question, construction oriented interfaces (flex, bison, XML parsers, …), selection oriented interfaces (portable GUI, in case of C++: wxWidgets, Qt, ...).

Reducing the huge programs and projects to a structure of modules. Structural interfaces and communication protocols between the modules, abstract classes, serialisation, event driven flow control. Graphical and WEB-oriented user interfaces, XML. Model-view-controller architecture. Integrated develepment environments (e.g.: GNU-Emacs, KDevelop, Eclipse).

User friendly software development. Testing, evaluating and the quality of softwares (regression test, compiler warnings, type checking, run time check of memory usage and flow control). Modell based software development (Petri nets, UML).

References:

The wast amount of online documentations and the a three classical books:

Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie: The C Programming Language, (Hungarian: Műszaki, 2004)

Brian W. Kernighan, Rob Pike: The Unix Programming Environment, (Hungarian: Műszaki, 1999)

Stroustrup, Bjarne: The C++ Programming Language, (Hungarian: Kiskapu, 2001)

Elméleti alapozás: Geometria blokk

Theoretical foundations: Block of geometry

Geometria

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: G. Horváth Ákos

További oktatók: Molnár Emil

Az elemi euklideszi és hiperbolikus sík- és térgeometria axiomatikus felépítésének vázlata. Modellek. Az egybevágósági transzformációk osztályozása tükrözésekkel. Inverzió. Vektorgeometria elemei, vektoriális és vegyes szorzat, elemi terület- és térfogatmérés. Koordinátázás, az egybevágóságok analitikus kezelése. Térelemek analitikus geometriája, homogén koordináták, kollineációk analitikus alakja. Összefüggőség, homeomorfizmus, görbe, felület fogalma. Sokszögek és poliéderek. Euler féle poliédertétel. Szabályos poliéderek, Cauchy poliédertétel. Gömbi geometria és trigonometria. Az n-dimenziós szabályos poliéderek. Másodrendű felületek, másodrendű görbék szintetikus és analitikus kezelése. Bezout tétele, rend fogalma. Az ábrázoló geometria elemei, egyszerű poliéderek síkmetszete, képsíktranszformáció, méretes alapszerkesztések. Egyképsíkos ábrázolások, axonometriák, perspektívák. Centrális vetítés és projektív bővítés. Desargues és Pappus-Pascal tétel. Pascal-Brianchon tétel. A projektív síkgeometria önálló felépítése Gyakorlati tematika: Hamis bizonyítások, részekre osztások síkban és térben, teljes indukció alkalmazása geometriai feladatoknál. Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Komplex számok a geometriai feladatokban. Vektorgeometria elemei, osztóviszony, súlypont, skaláris, vektoriális és vegyes szorzat. Egybevágósági transzformációk leírása (ortogonális trafók). Térelemek analitikus geometriája. Homogén koordinátázás és alkalmazásai. Másodrendű görbék és felületek - koordinátarendszer elforgatása, eltolása, főtengelytranszformáció, példák. Ábrázoló geometria - testek ábrázolása, síkmetszete, metrikus alapfeladatok - perspektívikus ábrázolás - axonometria - projektív bővítés - a Pappus-Pascal, Pascal-Brianchon és Desargues tételek alkalmazásai feladatokban. Projektív geometria alaptételének alkalmazásai, fixelemek keresése - lencse leképezés.

Irodalom:

Hajós György: Bevezetés a geometriába

Geometry

4/2/0/v/6

Course coordinator: Ákos G. Horváth

Other instructors: Emil Molnár

Euclidean and hyperbolic plane and space. Models. The classification of congruencies by reflections. Inversion. Vectors, the scalar and cross products, area and volume. Analitic geometry coordinates by homogeneus coordinate systems, the analytic form of collineations. Topological space, homeomorfism, connectivity, the definition of curve and surfaces. Polygons and polyhedra. The theorem of Euler. Regular polyhedra. The theory of Cauchy. Spherical trigonometry. The regular polyhedra of the n-dimensional space. Conics and the second order surfaces. The theorem of Bezout. The elements of the projective geometry. The theorems of Desargues , Pappus-Pascal and Pascal-Brianchon. The projective plane by axiomatic point of view. Practice: Exercises from the elementary geometry. Congruency int he plane and int he space. Complex numbers in geometry. The element of the geometry of vectors. Scalar and cross products, center of mass. Orthogonal transformations, description by analytic manner. The element of the space. Conics and the second order surfaces, transformation of the coordinate systems, exercises. Descriptive geometry, perspectivities – axonometric description – projective plane. Pappus-Pascal’s, Pascal-Brianchon’s and Desargues’s theorems in the practice. The basic theorem of projective mappings, fixed points and the lens mapping

References:

Hajós György: Bevezetés a geometriába


2/1/0/f/3

Tárgyfelelős: Molnár Emil

További oktatók: Szenes András

Görbék differenciálgeometriája euklideszi térben: parametrizált görbék, ívhossz szerinti paraméterezés, görbület, torzió, kísérő triéder, Frenet-formulák. Görbületével és torziójával adott görbe meghatározása. Evolvens, evoluta. Görbékre vonatkozó globális tételek (négy csúcspont tétele, izoperimetrikus egyenlőtlenség). A görbeelmélet alaptétele. Felületek differenciálgeometriája: reguláris felületek, paramétertranszformációk, első-, második alapmennyiségek, felületek irányíthatósága, a felszín fogalma, Meusnier, Rodrigues tétele, a Gauss leképezés, konform leképezések, Theorema Egregium, kompatibilitási egyenletek, Bonnet tétele.

Irodalom:

B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko: Modern Geometry, Springer

Differential geometry 1.

2/1/0/f/3

Course coordinator: Emil Molnár

Other instructors: András Szenes

Differential geometry of curves: regular curves, arc length, local theory of curves, curvature, torsion, Frenet formulas, fundamental theorem of the local theory of curves, global properties of plane curves (four-vertex theorem, isoperimetric inequality). Differential geometry of surfaces: regular surfaces, change of parameters, the first and the second fundamental forms, area, orientation of surfaces, Meusnier's theorem, Rodrigues' theorem, Gauss map, conformal maps, Theorema Egregium, equations of compatibility, Bonnet's theorem.

References:


Differenciálgeometria 2.

2/2/0/v/4

Tárgyfelelős: Szenes András

További oktatók: Szabó Szilárd

A topológia alapfogalmainak bevezetése, differenciáltopológia, differenciálható sokaságok, érintő tér, sokaságok topológiája, Riemann metrika, geodetikusok, Gauss-Bonnet tétel, görbületi tenzor, konstans görbületű terek, Lie csoportok, Morse elmélet

Irodalom:


Differential Geometry 2.

2/2/0/v/4

Course coordinator: Szenes András

Other instructors: Szabó Szilárd

Foundations of topology, differential topology, differentiable manifolds, tangent space, topology of manifolds, Riemannian metric, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, curvature tensor,

a mesterképzésre vonatkozó akkreditációs …math.bme.hu/~balint/msc/mat_msc_ind_0426.doc ·...

Documents