Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Matematika Intézet

SZAKDOLGOZAT

Diszkrét maximum-elv végeselem-módszerre

elliptikus parciális differenciálegyenleteken

Balla Réka

Konzulens: Karátson Jánosegyetemi tanár,ELTE TTK, Alkalmazott Analízis

és Számításmatematika Tanszék,

BME, Analízis Tanszék

2017

Kivonat

A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfonto-

sabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve ezek egyik következménye,

a nemnegativitási tulajdonság. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numeriku-

san oldható meg, a numerikus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív

tulajdonságaival ekvivalens tulajdonságok teljesülését. A dolgozatban a lineáris má-

sodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk, Dirichlet-peremfeltétel mellett. Elő-

ször ismertetjük a Dirichlet-feladat végeselemes diszkretizációjának elméleti alapjait,

ezután rátérünk a vizsgált elliptikus feladatokra igazolható maximum-elvekre. Be-

mutatjuk a folytonos maximum-elvet, és annak következményeit, majd definiáljuk a

klasszikus diszkrét maximum-elvet, ami lineáris végeselemes közelítésekre alkalmaz-

ható, azonban magasabbrendű közelítésekre nem terjeszthető ki. Ezután kimondjuk

az általánosított diszkrét maximum-elvet, illetve annak egy speciális változatát, a

nemnegativitási elvet, homogén Dirichlet-peremmel adott 1D Poisson-egyenlet vé-

geselemes megoldására, és elégséges feltételt mutatunk a magasabbrendű végesele-

mes approximáció esetére. Végül néhány példán keresztül szemléltetjük a nemnega-

tivitási tulajdonságot lineáris végeselemes közelítésre.

Tartalomjegyzék

Bevezetés 1

1. Elméleti alapok 4

1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Szoboljev-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. A Galjorkin-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Végeselem-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek elliptikus feladatra 17

2.1. Folytonos maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszonként lineáris elemekre . . 19

2.2.1. Mátrix maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések . . . . . . . . 22

2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv magasabbrendű elemekre . . . . 26

2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére

magasabbrendű közelítésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Számítógépes vizsgálatok 33

3.1. A feladat leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Az eredmények értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Összefoglalás 37

Köszönetnyilvánítás 38

i

Függelék 39

A futtatásokhoz tartozó MATLAB fájlok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ii

BevezetésValós folyamatok matematikai modellezésekor szeretnénk a valóságot minél job-

ban megközelíteni. A modell és modellezett folyamat közötti különbségeket általában

két szempont szerint szokás vizsgálni: a kvantitatív (mennyiségi) vizsgálat a valós

folyamat és a modell eredménye közötti eltérésre kíváncsi, a kvalitatív (minőségi)

vizsgálat pedig a valós folyamatra jellemző tulajdonságok (pl. nemnegativitás vagy

folytonosság) megmaradását ellenőrzi. Ebben a dolgozatban az utóbbiról lesz szó.

A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfonto-

sabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve azok következményei. Ezek

közül is leglényegesebb a nemnegativitási tulajdonság, ugyanis sok olyan fizikai

mennyiség van, ami nem vehet fel negatív értéket (pl. hőmérséklet Kelvinben, sűrű-

ség), és ezt a tulajdonságot szeretnénk a folytonos matematikai modellre is átörökí-

teni. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numerikusan oldható meg, a numeri-

kus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív tulajdonságaival ekvivalens

tulajdonságok teljesülését.

A természetben előforduló fizikai jelenségek matematikai modelljei sok esetben

vezetnek elliptikus parciális differenciálegyenletekre. Ilyenek például az energia tí-

pusú mennyiségek minimalizálási feladatai, vagy a folytonos közeg áramlását leíró

egyensúlyi egyenletek. Ezeknek fontos jellemzőjük, hogy időfüggetlenek, így a nume-

rikus megoldási módszereik alapvetően különböznek a parabolikus vagy hiperbolikus

parciális differenciálegyenletekre alkalmazható numerikus módszerektől.

A dolgozatban a lineáris másodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk,

Dirichlet-peremfeltétel mellett. Tekintsük Ω korlátos tartományon az

Lu = − div (p∇u) + qu

operátort, ahol p ∈ C1(Ω), q ∈ C(Ω), 0 < p(x) és 0 ≤ q(x) teljesül (∀x ∈ Ω). A

Dirichlet-feladat ekkor g ∈ C(∂Ω) esetén: keressük azt u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω) függvényt,

1

amelyre: Lu = f Ω-ban,

u = g ∂Ω-n.

Az 1. fejezetben ismertetjük a fentebb definiált Dirichlet-feladat végeselemes

diszkretizációjának elméleti alapjait. Ehhez megfogalmazzuk a H1(Ω) Szoboljev-

téren a gyenge feladatot, és összefoglaljuk a feladat megoldhatóságához kapcsolódó

eredményeket. Ezután rátérünk a gyenge feladat végeselemes közelítésére, és bemu-

tatjuk a Garjorkin-módszerrel egy Wh ⊂ H1(Ω) véges dimenziós altérre redukált

feladatot. A redukált feladatban az eredeti feladat megoldásának azt az uh ∈ Wh

közelítését keressük, amelyre∫Ω

(p∇uh · ∇ vh + quhvh) =∫

Ωfvh, (∀vh ∈ Vh),

uh − gh ∈ Vh,

ahol Vh = Wh ∩ H10 (Ω) és g|∂Ω = g nyom értelemben, és gh a g függvény Wh-beli

közelítése. Végül ismertetjük a végeselem-terekhez kapcsolódó fontosabb alapfogal-

makat.

Ezután a 2. fejezetben rátérünk a maximum-elvekre. Először a folytonos

maximum-elvet mutatom be annak következményeivel, majd kimondom a klasszi-

kus diszkrét maximum-elvet, ami nempozitív f ∈ L2(Ω) forrásfüggvények esetén a

következő tulajdonságokat feltételezi az uh közelítő megoldásra:

maxΩ

uh ≤ max0,max∂Ω

gh,

emellett, ha q ≡ 0, akkor

maxΩ

uh = max∂Ω

gh,

ahol gh a g peremfeltételWh-beli polinomiális interpolációja. Ezután mutatunk a vé-

geselemes rácsra vonatkozó elégséges tulajdonságot a klasszikus diszkrét maximum-

elv teljesülésére lineáris végeselemes approximáció esetén. Az utolsó szakaszban az 1

dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáljuk homogén Dirichlet-peremmel, és mutatunk

2

ellenpéldát a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére a magasabbrendű kö-

zelítések esetére. A példát elemezve megfogalmazzuk az általános diszkrét maximum-

elvet a vizsgált feladatra. Ennek lényege, hogy az f forrásfüggvény nempozitivitása

helyett az fh ∈ Vh nempozitivitását tesszük fel, ahol fh az f függvény Vh végeselemes

altérre vett L2-vetülete. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak

a speciális alakú nempozitivitási, illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg:

∀fh ≤ 0 esetén az uh ∈ Vh ⊂ H10 (Ω) közelítő megoldásra

maxΩ

uh ≤ 0

teljesül. Az általános diszkrét maximum-elv teljesülésére mutatható elégséges feltétel

magasabbrendű végeselemes közelítésekre is.

Végezetül a 3. fejezetben egy konkrét példán keresztül mutatom be a klasszikus

diszkrét maximum-elv teljesülését, és megvizgálom, hogy a forrásfüggvény változta-

tása hogyan befolyásolja az uh megoldás 0-tól való eltérését.

3

1. Elméleti alapokA dolgozatban másodrendű lineáris egyenletekkel foglalkozunk, a feladatokban

Dirichlet-peremfeltételt alkamazva. Ebben a fejezetben az 1.1. részben ismertetjük

az elliptikus feladatok megoldásához kapcsolódó alapfogalmakat, majd az 1.2. sza-

kaszban rátérünk a végeselemes közelítés elméleti alapjaira.

1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága

A végeselem-módszer elméleti alapjainál a gyenge megoldás fogalmára és a

Szoboljev-térbeli becslésekre támaszkodunk, ezért ebben a részben röviden ismer-

tetjük a Szoboljev-tereket, majd rátérünk a gyenge feladat fogalmára, és igazoljuk

ennek megoldhatóságát bizonyos feltételek mellett. Az itt leírtak legtöbbször az [1, 3]

jegyzeteket követik.

Legyen L a következő Ω korlátos tartományon értelmezett lineáris másodrendű

elliptikus operátor:

Lu = − div (p∇u) + qu, (1.1)

ahol p ∈ C1(Ω), q ∈ C(Ω), 0 < p(x) és 0 ≤ q(x) teljesül (∀x ∈ Ω), és u megfelelően

sima függvény. A továbbiakban feltesszük, hogy Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 és a ∂Ω perem

szakaszonként sima és Lipschitz-folytonos.

Az L operátorra megfogalmazható a Dirichlet-feladat:

1. Definíció. Legyen g ∈ C(∂Ω). Keressük azt u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω) függvényt, amely-

re: Lu = f Ω-ban,

u = g ∂Ω-n.(1.2)

Ha g ≡ 0 az Ω tartományon, akkor a feladatot homogénnek nevezzük, különben

inhomogén feladatról beszélünk.

4

1.1.1. Szoboljev-terek

Először definiáljuk a H1(Ω) és H10 (Ω) Szoboljev-tereket, majd röviden ismertet-

jük a később felhasznált állításokat, bizonyítások nélkül. Az állítások bizonyításai és

a Szoboljev-terek részletesebb bemutatása megtalálhatók a [3] könyvben.

2. Definíció. Azt mondjuk, hogy u ∈ H1(Ω), ha u ∈ L2(Ω), és ha léteznek olyan

g1, . . . , gd ∈ L2(Ω) függvények, hogy∫

Ωu ∂iϕ = −

∫Ωgi ϕ,

minden ϕ ∈ C∞0 (Ω) és i = 1, . . . , d esetén. Ekkor az u általánosított első parciális

deriváltjait és gradiensét definiálhatjuk a következő képletekkel:

∂iu := gi, ∇u := (∂iu, . . . , ∂i).

A H1(Ω) téren a skalárszorzat és az indukált norma:

〈u, v〉H1(Ω) :=∫

Ωuv +∇u · ∇ v, ‖u‖2

H1(Ω) :=∫

Ωu2 + | ∇u|2.

3. Definíció. Jelölje H10 (Ω) a H1 tér megfelelő homogén peremfeltételt teljesítő al-

terét:

H10 :=

u ∈ H1(Ω) : u|∂Ω = 0

,

ahol u|∂Ω nyom-értelemben tekintendő. Ennek skalárszorzata a H1(Ω)-ból öröklődik.

4. Állítás. A H1(Ω) és H10 (Ω) terek a megadott skalárszorzatra nézve Hilbert-terek.

A Szoboljev-terek egyik alapvető becslése a következő egyenlőtlenség:

5. Állítás (Poincaré-Friedrichs-egyenlőtlenség). Van olyan CΩ > 0 konstans, hogy

‖u‖L2(Ω) ≤ CΩ‖∇u‖L2(Ω) (∀u ∈ H10 (Ω)),

azaz ∫Ωu2 ≤ CΩ

∫Ω| ∇u|2.

5

6. Következmény. Az egyenlőtlenségből adódóan H10 (Ω)-n a H1(Ω)-ból öröklöttel

ekvivalens normát definiálhatunk:

‖u‖2H1

0 (Ω) := ‖∇u‖2L2(Ω) =

∫Ω| ∇u|2.

Az ehhez tartozó skaláris szorzat:

〈u, v〉H10 (Ω) :=

∫Ω∇u · ∇ v.

A normák ekvivalenciája miatt H10 (Ω) az új skalárszorzatra nézve is Hilbert-tér.

1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága

A gyenge megoldás fogalmához tekintsük az (1.2) feladat homogén esetét. Ala-

kítsuk át a feladatot úgy, hogy az Lu = f egyenletet szorozzuk egy v ∈ (H10 (Ω)

függvénnyel, és vegyük az integrálját Ω-n, a kapott egyenletre pedig alkalmazzuk

a Green-formulát. Az így kapott feladat értelmes akkor is, ha H10 (Ω)-n keressük a

megoldást. Ezek alapján megfogalmazható a gyenge homogén Dirichlet-feladat:

7. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (1.2) Dirichlet-feladat homogén esetének gyenge

megoldása az u ∈ H10 (Ω) függvény, ha teljesül a következő egyenlőség:∫

Ω(p∇u · ∇ v + quv) =

∫Ωfv (∀v ∈ H1

0 (Ω)). (1.3)

8. Megjegyzés. Az inhomogén eset visszavezethető homogén esetre. Tekintsük

az (1.2) inhomogén Dirichlet-feladatot és legyen g ∈ H1(Ω), melyre g|∂Ω = g nyom

értelemben. Ekkor a homogén segédfeladat gyenge alakja felírható a z := u− g függ-

vényre, ahol u az eredeti inhomogén feladat gyenge megoldása:∫Ω

(p∇ z · ∇ v + qzv) =∫

Ω(fv − p∇ g · ∇ v − qgv) (∀v ∈ H1

0 (Ω)).

Ha ebben a jobb oldali g-os tagokat balra rendezzük, megkapjuk az (1.2) inhomo-

gén Dirichlet-feladat szokásos gyenge alakját: keressük azt az u ∈ H1(Ω) függvényt,

amelyre ∫Ω

(p∇u · ∇ v + quv) =∫

Ωfv (∀v ∈ H1

0 (Ω)),

6

és u|∂Ω = g nyom értelemben, azaz u− g ∈ H10 (Ω). A tesztfüggvények itt is homogén

peremfeltételt teljesítenek, mint a homogén feladat esetében.

A gyenge megoldás létezése és egyértelműsége a Hilbert-térbeli bilineáris for-

mák segítségével a Lax-Milgram elmélettel igazolható. A következő tétel bizonyítása

megtalálható a [10] jegyzet II.7.2. részében.

9. Tétel (Lax-Milgram-lemma). Legyen H valós Hilbert-tér, a : H×H → R korlátos

(folytonos), koercív bilineáris forma, azaz tegyük fel, hogy ∃M > 0 és m > 0, melyre

|a(u, v)| ≤ M‖u‖‖v‖ és a(u, u) ≥ m‖u‖2 (∀u, v ∈ H). Ekkor bármely l : H → R

korlátos lineáris funkcionálhoz létezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre

a(u, v) = l(v) (∀v ∈ H). (1.4)

Az (1.3) gyenge alakú feladat az (1.4) egyenlőség speciális esete:

a(u, v) :=∫

Ω(p∇u · ∇ v + quv), l(v) :=

∫Ωfv, u, v ∈ H1

0 (Ω). (1.5)

Ha p és q függvények korlátosak, akkor az a(u, v) bilineáris forma koercivitása és

korlátossága a p és q függvények tulajdonságaiból adódnak.

10. Állítás. Legyen p ∈ L∞(Ω), q ∈ L∞(Ω) és f ∈ L2(Ω). Ekkor az (1.3) gyenge

feladatnak létezik egyértelmű megoldása.

Bizonyítás. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) formára teljesülnek a 9 Lax-Milgram-

lemma feltételei:

• H10 (Ω) valós Hilbert-tér.

• A bilinearitás az integrálás tulajdonságaiból következik.

• A korlátosság p és q korlátosságából, az 5. Poincaré-Friedrichs-

egynlőtlenségből, valamint a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-

7

egyenlőtlenségből adódik:

|a(u, v)| =∣∣∣∣∫

Ω(p∇u · ∇ v + quv)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫Ωp∇u · ∇ v

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫Ωquv

∣∣∣∣ ≤≤ ‖p‖L∞(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ v‖L2(Ω) + ‖q‖L∞(Ω) ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)︸ ︷︷ ︸

≤C2Ω‖∇u‖L2(Ω)‖∇ v‖L2(Ω)

≤

≤ (‖p‖L∞(Ω) + ‖q‖L∞(Ω)C2Ω)︸ ︷︷ ︸

M

‖∇u‖H10 (Ω)‖∇ v‖H1

0 (Ω),

ahol CΩ Poincaré-Friedrichs konstans.

• A koercivitás p pozitivitása és q nemnegativitása miatt teljesül. Mivel p > 0,

és Ω korlátos, ezért ∃m > 0, amelyre p ≥ m. Ekkor:

a(u, u) =∫

Ω(p| ∇u|2 + qu2) ≥ m

∫Ω| ∇u|2 = m · ‖u‖2

H10 (Ω).

Továbbá az f ∈ L2(Ω) feltételből következik, hogy l korlátos lineáris funkcionál.

11. Megjegyzés. A 9. tétel alkalmazható akkor is, ha a H10 (Ω) Hilbert-tér helyett

annak alterét tekintjük. Ezért ha az (1.3) gyenge feladatot megszorítjuk H10 (Ω) egy

alterére, akkor is létezik egyértelmű megoldás, hiszen a tétel kritériumai igazak min-

den u, v ∈ H10 (Ω) függvényre, így az altérbeli u és v függvényekre is.

12. Megjegyzés. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) bilineáris forma szimmetrikus is,

szintén az integrálás tulajdonságai miatt. Ez nem feltétele a Lax-Milgram-lemma

teljesülésének, ezért a gyenge feladat nemszimmetrikus esetben is megoldható lenne.

1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai

A végeselem-módszer elméleti alapja a Galjorkin módszer. Ennek alapelve az,

hogy az (1.3) gyenge feladatot nem az egész H10 (Ω) téren próbáljuk megoldani,

hanem ennek egy véges dimenziós alterén. Ezt a közelítő megoldást az altér egy

bázisának segítségével írjuk fel. Ha az alteret és annak bázisát úgy választjuk, hogy

8

a báziselemek kis tartójú függvények legyenek, akkor a módszer megvalósítása lé-

nyegesen egyszerűbb lesz. További egyszerűsítés végett az alteret és annak bázisát

legtöbbször úgy célszerű választani, hogy a bázisfüggvények szakaszonként polino-

miálisak legyenek. Ekkor beszélhetünk végeselem-módszerről.

1.2.1. A Galjorkin-módszer

Legyen Vh a H10 (Ω) Hilbert-tér egy n dimenziós altere. Az alsó indexben szereplő

h > 0 paraméter a végeselem-módszernél a felosztás finomságát jellemzi majd. Ha

az (1.3) gyenge feladat megoldását a uh ∈ Vh függvények között keressük Vh-beli

tesztfüggvények mellett, akkor a vetületi egyenlet:

a(uh, vh) = l(vh) (∀v ∈ Vh). (1.6)

Az egyenletre a 11. megjegyzés szerint alkalmazható a Lax-Milgram-lemma, tehát

van egyértelmű uh ∈ Vh megoldása.

Az uh elemet a Vh tér egy meghatározott ϕ1, . . . , ϕn báziselemeinek lineáris

kombinációjaként keressük:

uh =n∑

j=1cjϕj. (1.7)

Az (1.6) vetületi egyenletben válasszuk tesztfüggvényeknek a ϕi (i = 1, . . . , n) bázis-

függvényeket. Megmutatjuk, hogy így egyértelműen meghatározhatjuk a cj együtt-

hatókat. Az egyenlet tehát:

a(uh, ϕi) = l(ϕi) (i = 1, . . . , n).

Az a(uh, ϕi) bilineáris formában uh helyére (1.7) kifejezést helyettesítve a bilinearitás

miatt kiemelhetjük a szummát és a cj együtthatókat:n∑

j=1a(ϕj, ϕi)cj = l(ϕi) (i = 1, . . . , n).

Ez egy n× n méretű lineáris egyenletrendszer. Vezessük be az

(Ah)ij := a(ϕj, ϕi) (i, j = 1, . . . , n),

bh := (l(ϕ1), . . . , l(ϕn))T ,

ch := (c1, . . . , cn)T

(1.8)

9

jelöléseket. Ekkor az egyenletrendszer mátrixos alakban:

Ahch = bh. (1.9)

13. Állítás. Az (1.9) lineáris egyenletrendszerben az Ah mátrix szimmetrikus és

pozitív definit.

Bizonyítás. A szimmetria az a(., .) bilineáris forma szimmetriájából (12 megjegyzés)

közvetlenül következik.

Legyenek uh és vh tetszőleges Vh -beli elemek. Írjuk fel ezeket a ϕ1, . . . , ϕn

báziselemek lieáris kombinációjaként:

uh =n∑

j=1cjϕj, vh =

n∑j=1

djϕj,

és jelölje c,d ∈ Rn rendre a cj és dj együtthatók vektorait. Ekkor

a(uh, vh) = a

n∑j=1

cjϕj,n∑

j=1djϕj

=n∑

i,j=1a(ϕj, ϕi)cjdi = Ahc · d.

Ebböl uh = vh esetben az a(., .) bilineáris forma koercivitása miatt:

Ahc · c = a(uh, uh) > 0,

tehát Ah pozitív definit.

14. Következmény. Az (1.9) lineáris egyenletrendszernek egyértelműen létezik

ch ∈ Rn megoldása.

Tehát az (1.2) feladat homogén változatának közelítő megoldása Galjorkin-

módszerrel az így kapott (1.9) egyenletrendszer megoldása. Az Ah mátrix szoká-

sos elnevezése merevségi mátrix (angolul ’stiffness matrix’), a jobb oldalon álló bh

vektoré pedig tehervektor (angolul ’load vector’). A Galjorkin-módszer alkalmaz-

ható lenne akkor is, ha az a bilineáris forma, és így merevségi mátrix nem lenne

szimmetrikus.

10

Az egyenletrendszer merevségi mátrixának és tehervektorának elemei tehát a

következő képletekkel számíthatók:

(Ah)ij = a(ϕj, ϕi) =∫

Ω(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi), (i, j = 1, . . . , n),

(bh)i = l(ϕi) =∫

Ωfϕi, (i = 1, . . . , n).

Ha a Vh altér ϕ1, . . . , ϕn bázisát úgy választjuk meg, hogy a bázisfüggvények kis

tartójúak legyenek, akkor a ϕj, ϕi függvények tartói között kevés az átfedés, így

az a(ϕj, ϕi) elemek között sok nulla lesz. A bázisfüggvények sorrendjének alkalmas

megválasztásával az Ah mátrix sokszor sávmátrix lesz, ezért az (1.9) egyenletrend-

szer megoldása lényegesen egyszerűbbé válik. Ha ezen felül a bázisfüggvények még

szakaszonként polinomiálisak is, akkor az a(ϕj, ϕi) és l(ϕi) értékek kiszámítása lesz

könnyebb.

Az inhomogén Dirichlet-feladat esetén a Vh altér bázisát kell kibővítenünk. A 8.

megjegyzésben láttuk az inhomogén feladat gyenge alakját: keressük azt az u ∈

H1(Ω) függvényt, amelyre∫Ω

(p∇u · ∇ v + quv) =∫

Ωfv (∀v ∈ H1

0 (Ω)),

és u-ra teljesül továbbá, hogy

u|∂Ω = g nyom értelemben ⇐⇒ u− g ∈ H10 (Ω).

A v tesztfüggvények itt is homogén peremfeltételűek.

A Galjorkin-módszerben az u függvényt a Wh ⊂ H1(Ω) altéren közelítjük. A

tesztfüggvények tere legyen Vh := v ∈ Wh : v ∈ H10 (Ω) altér. A 8. megjegyzésben

bevezetett g függvény Wh-beli közelítését jelölje gh, a z = u − g függvény Vh-beli

vetületét pedig jelölje zh. A korábban bevezetett (1.5) formákkal a Galjorkin-feladat:

keressük azt az uh ∈ Wh függvényt a gh ∈ Wh vetületi peremfeltétel mellett, amelyre

teljesül az inhomogén vetületi egyenlet:

a(uh, vh) = l(vh) (∀v ∈ Vh),

uh − gh ∈ Vh

(1.10)

11

A Wh altérhez olyan bázist kell választanunk, amely homogén és inhomogén

peremfeltételű tagokat is tartalmaz. A korábban bevezetett ϕ1, . . . , ϕn jelölést

megtartjuk a Vh-beli báziselemekre, és ehhez hozzávesszük a ϕn+1, . . . , ϕn+m in-

homogén peremfeltételű,Wh-beli báziselemeket a perem közelítésére. Így az új bázis:

ϕ1, . . . , ϕn, ϕn+1, . . . , ϕn+m,

és a közelítő megoldást a következő alakban keressük:

uh =n∑

j=1cjϕj︸ ︷︷ ︸zh

+n+m∑

j=n+1cjϕj︸ ︷︷ ︸

gh

.

Általában a ϕn+1, . . . , ϕn+m inhomogén peremfeltételű báziselemeket úgy

válsztjuk, hogy tartójuk a perempontok egy kis környezete legyen, így a szumma

második része a g peremfeltétel közelítésének tekinthető a peremen. Ekkor nincs

szükség gh kiszámítására, a cn+1, . . . , cn+m együtthatók ismertnek tekinthetők, ezért

ezekre bevezetjük rendre a g1, . . . , gm jelöléseket.

A mátrixos alak felírásához legyen

(Ah)i,j := a(ϕn+j, ϕi) (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m),

gh := (cn+1, . . . , cn+m)T = (g1, . . . , gm)T ,(1.11)

és legyen Ah, ch és bh ugyanaz, mint az (1.8) pontban, homogén esetben. Ekkor az

inhomogén feladatra az n× n méretű lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja:

Ahch + Ahgh = bh, (1.12)

ahol az ismeretlen ch ∈ Rn vektort keressük továbbra is. Az Ah mátrixra továbbra

is érvényes a 13. állítás, ezért létezik egyértelmű megoldás. Az egyenletrendszert

átrendezhetjük egy (n+m)× (n+m) méretű bővített egyenletrendszerré. Vezessük

be a következő jelöléseket:

Ah :=

Ah Ah

0 I

, ch :=

ch

gh

, bh :=

bh

gh

, (1.13)

ahol 0 az m × n méretű nullmátrix, I pedig az m × m méretű egységmátrix. A

kibővített egyenletrendszer:

Ahch = bh. (1.14)

12

1.2.2. Végeselem-terek

Láttuk, hogy a Galjorkin-módszer tényleges megvalósítása függ attól, hogy

milyen Vh, vagy inhomogén esetben Wh alteret, és milyen bázist választunk. A

végeselem-módszerben ezek a bázisfüggvények általában „szakaszonként” polino-

mok, kis tartóval, a résztartományok d dimenziós poliéderek, és a közelítő megoldást

folytonosnak konstruáljuk az egész tartományon.

Feltesszük, hogy Ω egy Rd-beli poliéder, ekkor a tartomány felbontását a követ-

kezőképpen értelmezzük:

15. Definíció. Az Ω tartomány triangulációjának nevezzük a

Th := T1, . . . , TM

halmazt, ahol

(i) ∀Tk ∈ Th az Ω zárt részhalmaza, a belseje, Tk nemüres, és a peremen Lipschitz-

folytonos. A dolgozatban feltesszük, hogy ezek poliéderek.

(ii)M⋃

k=1Tk = Ω,

(iii) Ti⋂Tj = ∅, ha i 6= j,

(iv) a felbontás konform, azaz Ti⋂Tj (i 6= j) üres, vagy a közös, alacsonyabb, de

azonos dimenziós lapja a Ti, Tj elemeknek.

16. Definíció. A Th trianguláció finomsága a fellépő legnagyobb átmérő:

h := max1≤k≤M

diam(Tk).

AWh (vagy homogén esetben Vh) altér legyen olyan, hogy elemei „szakaszonként”

polinomok és folytonosak az egész tartományon:

Wh ⊂u ∈ C(Ω) : u|Tk

∈ P lk ,∀Tk ∈ Th

,

ahol P lk jelöli a legfeljebb lk-adfokú polinomok Tk-ra való megszorításainak halma-

zát.

Általában Wh-ra teljesülnek a következő tulajdonságok is:

13

• A Tk halmazok azonos típusúak pl. csak nem elfajuló d-szimplexek.

• lk ≡ l, vagyis minden résztartományok azonos fokú polinomokat tekintünk.

• Előfordulhat, hogy Wh-ban u|Tknem az összes legfeljebb lk-adfokú polinomot

veheti fel.

• Az l-edfokú polinomokat Tk-ban kijelölt csomóponti értékek határozzák meg.

Ezek függvényértékek vagy deriváltértékek lehetnek. Amikor a csomóponti ér-

tékek csak függvényértékek, akkor a bázis olyan polinomokból áll, melyek egy

adott csomópontban 1-et, a többiben 0-t vesznek fel, azaz, ha x1, . . . , xr jelöli

a csomópontokat, akkor

ϕ(xi) = δij,

ahol δij a Kronecker-szimbólum.

17. Példa. 1D-ben a legegyszerűbbWh altér a folytonos, szakaszonként lineáris függ-

vények tere, melynek bázisát a ϕi(xj) = δi,j kalapfüggévnyek alkotják (lásd 1.1 ábra).

18. Példa. 2D-ben a leggyakrabban használt trianguláció Tk elemei nem elfajuló há-

romszögek, u|Tkfolytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti értékek

a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A Wh altér:

Wh =u ∈ C(Ω) : u|Tk

∈ P 1,∀Tk ∈ Th

.

Ezeknek a végeselemeknek szokásos elnevezése a T3 vagy Courant-elem. A Wh al-

tér bázisát (a síkbeli csomópontokat most (xi, yj)-vel jelölve) a ϕij(xk, yl) = δik · δjl

feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják. A megoldás alakját és a bá-

ziselemeket a 1.2 ábra szemlélteti.

19. Példa. A fentiek általánosítása az Ω ∈ Rd poliéder tartományon a Tdd+1 elem,

ahol

Tk : nem elfajuló d-szimplex, u|Tk: lineáris függvény, (∀Tk ∈ Th).

14

1.1. ábra. A 17. példa Wh altere a [0, 1] intervallumon: uh szakaszonként lineáris

(felső ábra), a báziselemek a φi(xj) = δi,j kalapfüggvények (alsó ábra)

A csomópontok a szimplexek csúcsai, ezekből d + 1 darab van. A csúcsokban felvett

értékek egyértelműen meghatározzák u|Tk-t, ∀Tk ∈ Th. Emellett u a d-szimplex d −

1 dimenziós lapjai mentén is értelmes, folytonos függvény, mivel két szomszédos

d-szimplex d − 1 dimenziós közös lapján a csúcsbeli függvényértékek egyértelműen

meghatározzák a közös lapon vett lineáris függvényt. Az altér tehát

Wh =u ∈ C(Ω) : u|Tk

∈ P 1,∀Tk ∈ Th

.

További példák találhatók végeselemekre az [1, 9] jegyzetekben.

15

1.2. ábra. A 17. példaWh altere a [0, 1]2 intervallumon: u|Tkfolytonos, szakaszonként

lineáris függvény (felső ábra), báziselemek a φij(xk, yl) = δik · δjl sátorfüggvények

(alsó ábra)

16

2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek

elliptikus feladatraEbben a fejezetben először a folytonos maximum-elvet mutatjuk be az 1. fejezet-

ben definiált L operátorra, és annak következményeit az operátor segítségével megfo-

galmazható Dirichlet-peremértékfeladatra. Ezután a 2.2. részben rátérünk a feladat

végeselemes approximációjára, és megfogalmazzuk a klasszikus diszkrét maximum-

elvet, ami a szakaszonként lineáris közelítésre igazolható. Végül 2.3. pontban ismer-

tetjük az általánosított diszkrét maximum-elv ötletét magasabbrendű közelítésekre.

2.1. Folytonos maximum-elv

Az itt bemutatott maximum-elvnél erősebb állítás is megfogalmazható az L ope-

rátorra, azonban a végeselemes-módszerre ez a változat terjeszthető ki. A folytonos

maximu-elvekkel bővebben foglalkozik pl. [7].

Az (1.1) L operátorra teljesül a következő tétel:

20. Tétel (Maximum-elv az L operátorra). Legyen u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), melyre

Lu = f az Ω tartományon. Ha f ≤ 0, akkor

maxΩ

u ≤ max0,max∂Ω

u, (2.1)

és ha emellett q ≡ 0, akkor

maxΩ

u = max∂Ω

u. (2.2)

Bizonyítás. [2] Legyen v ∈ C1(Ω) és v|∂Ω = 0. Az Lu kifejezést szorozzuk v-vel, és ve-

gyük az integrálját Ω-n. A Green-formula alkalmazásával az L operátor divergencia-

formáját kapjuk: ∫Ω

(p∇u · ∇ v + quv) =∫

Ωfv (2.3)

17

LegyenM := max0,max∂Ω u, és definiáljuk v-t a következőképp: v := maxu−

M, 0. Ekkor v definíció szerint szakaszonként C2-beli, v ≥ 0 és v|∂Ω = 0. Mivel

f ≤ 0, a (2.3) integrál jobb oldala:∫

Ω fv ≤ 0. Jelölje Ω+ := x ∈ Ω : v(x) > 0

halmazt. Ekkor az integrál Ω \ Ω+-on 0, Ω+-on pedig u = v +M adódik, így

0 ≥∫

Ωfv =

∫∂Ω

(p∇u · ∇ v + quv) =∫

Ω+

(p| ∇ v|2 + q(v +M)v

)≥ 0.

Ebből v konstans, és mivel v|∂Ω = 0, így v ≡ 0, amiből u ≤M adódik Ω-n.

Most tegyük fel, hogy q = 0. Mivel az integrálban ekkor a q-t tartalmazó tagok

kiesnek, nem kell feltennünk, hogy M ≥ 0. Legyen M := max∂Ω u, v pedig ugyanaz,

mint az előző esetben. Ekkor a korábbiakhoz hasonlóan:

0 ≥∫

Ωfv =

∫∂Ωp∇u · ∇ v =

∫Ω+p| ∇ v|2 ≥ 0,

amiből v ≡ 0 és u ≤M , így maxΩ u = max∂Ω u.

21. Következmény (Maximum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω)

az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≤ 0 Ω-n, akkor

maxΩ

u ≤ max0,max∂Ω

g,

és ha q ≡ 0, akkor

maxΩ

u = max∂Ω

g.

Ebből azonnal következik a minimum-elv, ennek igazolásához elég u-t −u-val

helyettesítenünk (1.2)-ben.

22. Következmény (Minimum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω)

az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≥ 0 Ω-n, akkor

minΩu ≥ min0,min

∂Ωg,

és ha emellett q ≡ 0, akkor

minΩu = min

∂Ωg.

18

A maximum- és minimum-elvekből közvetlenül adódnak a nempozitivitási és

nemnegativitási tulajdonságok.

23. Következmény (Nempozitivitási és nemnegativitási tulajdonság). Legyen u ∈

C2(Ω)⋂C(Ω) az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≤ 0 és g ≤ 0, akkor u ≤ 0, illetve

ha f ≥ 0 és g ≥ 0, akkor u ≥ 0 is teljesül.

24. Megjegyzés. A 20. tétel és annak következményei kiterjeszthetők az u ∈ H1(Ω)

esetre, ha u lényegében korlátos (azaz van olyan szám, ami majdnem mindenütt al-

só/felső korlátja u-nak). Ekkor max u helyett a lényeges szuprémumot illetve infin-

umot kell vennünk a 20. tételben, valamint a 21. és 22. következményekben is Ω-n

és ∂Ω-n, továbbá az (1.2) feladatnál gyenge megoldást keresünk.

2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszon-

ként lineáris elemekre

Ebben a szakaszban bemutatjuk a klasszikus diszkrét maximum-elvet. A tétel a

szakaszonként lineáris függvényekkel való végeselemes approximációnál a tartomány

felosztásának szögeire tett feltétel mellett teljesül. Azonban a 2.3. fejezetben látni

fogjuk, hogy a magasabb fokú végeselemes közelítések (hp-FEM) esetén már egy

dimenziós tartományon is van ellenpélda.

25. Definíció. Az (1.10) inhomogén Dirichlet-feladat kielégíti a klasszikus diszkrét

maximum-elvet, ha ∀f ≤ 0 esetén az uh megoldásra teljesül:

maxΩ

uh ≤ max0,max∂Ω

gh, (2.4)

emellett, ha q ≡ 0, akkor

maxΩ

uh = max∂Ω

gh. (2.5)

A fenti kifejezésekben gh a g peremfeltétel Wh-beli polinomiális interpolációja.

A következőkben elégséges feltételt mutatunk a klasszikus diszkrét maximum-elv

teljesülésére a szakaszonként lineáris végeselemek alkalmazás esetén.

19

2.2.1. Mátrix maximum-elv

Először fogalmazzuk meg az inhomogén Dirichlet-feladathoz tartozó lineáris

egyenletrendszer szintjén a maximum-elvet. A következő szakaszban látni fogjuk,

hogy lineáris végeselemek alkalmazásakor a mátrixokra megfogalmazott maximum-

elv teljesülése elégséges feltételt szolgáltat a 25. klasszikus maximum-elv teljesülé-

sére.

26. Definíció. Az n dimenziós négyzetes M = (mij)ni,j=1 mátrixot irreducibilisen

diagonálisan dominánsnak nevezzük, ha kielégíti a következő feltételeket:

(a) M irreducibilis, azaz ∀i 6= j esetén létezik M elemeinek egy nemnulla

mi,i1 ,mi1,i2 , . . . ,mis,j sorozata, ahol i, i1, . . . , is, j különböző indexek,

(b) M diagonálisan domináns, azaz

|mi,i| ≥n∑

j=1j 6=i

|mi,j|, i = 1, . . . , n,

(c) M -nek legalább az egyik sora szigorúan diagonálisan domináns, azaz ∃i0 ∈

1, . . . , n, melyre

|mi0,i0| >n∑

j=1j 6=i0

|mi0,j|

27. Tétel. Ha az n dimenziós négyzetes M = (mij)ni,j=1 mátrix irreducibilisen dia-

gonálisan domináns, mij ≤ 0, ha i 6= j és mii > 0 minden i = 1,≤, n esetén, akkor

M−1 > 0.

A tétel bizonyítása megtalálható [11] 85. oldalán.

28. Tétel (Mátrix maximum-elv). Tekintsük az (1.13) pontban definiált Ah =

(aij)n+mi,j=1 ∈ R(n+m)×(n+m) mátrixot és ch = (c1, . . . , cn+m)T ∈ Rn+m vektort. Tegyük

fel, hogy Ah-ra teljesülnek a következő feltételek:

(i) aii > 0, i = 1, . . . , n,

20

(ii) aij ≤ 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n+m, i 6= j,

(iii)n+m∑j=1

aij ≥ 0, i = 1, . . . , n,

(iv) Ah ireducibilisan diagonálisan domináns.

Ekkor ha a ch olyan, hogy (Ahch)i ≤ 0, minden i = 1, . . . , n, akkor

max1≤i≤n+m

ci ≤ max

0, maxn+1≤i≤n+m

ci

, (2.6)

és ha ezen felüln+m∑j=1

aij = 0, i = 1, . . . , n (2.7)

is teljesül, akkor

max1≤i≤n+m

ci = maxn+1≤i≤n+m

ci. (2.8)

Bizonyítás. [2] Tekintsük a ch vektor kövektező felbontását: ch = (ch, gh)T , ahol

ch = (c1, . . . , cn)T és gh = (cn+1, . . . , cn+m)T . Tegyük fel, hogy Ahch + Ahgh ≤ 0 ∈

Rn. Ekkor azt kapjuk, hogy ch ≤ −A−1h Ahgh, ahol az −A−1

h Ah mátrix nemnegatív,

hiszen a tétel feltevései és a 27. tétel miatt A−1h > 0 és Ah ≤ 0.

Legyen 1 = (1, . . . , 1)T ∈ Rn és 1 = (1, . . . , 1)T ∈ Rm. Ekkor (iii) miatt Ah1 +

Ah1 ≥ 0 ∈ Rn, azaz 1 ≥ −A−1h Ah1.

Az előzőekből adódóan ch vektor felülről becsülhető:

ch ≤ −A−1h Ahgh ≤ max

0, max

n+1≤i≤n+mci

(−A−1

h Ah1) ≤

≤ max

0, maxn+1≤i≤n+m

ci

1,

amiből (2.6) következik.

Ha a (2.7) feltétel teljesül, azt felhasználva Ah1 + Ah1 = 0 ∈ Rn, tehát 1 =

−A−1h Ah1 adódik. A ch vektor felső becslésénél az egyenlőség miatt elhagyhatjuk a

nemnegativitási feltételt:

ch ≤ −A−1h Ahgh ≤

(max

n+1≤i≤n+mci

)(−A−1

h Ah1) =(

maxn+1≤i≤n+m

ci

)1,

és ebből következik (2.8).

21

29. Megjegyzés. Abban az esetben, ha q ≡ 0, akkor a(1, ϕi) = 0 teljesül minden

i = 1, . . . , n esetén. Ha ezen felül a bázisfüggvényekre ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül Ω-n,

akkor minden i = 1, . . . , n esetén teljesül a 28. tételbeli (2.7) feltétel, ugyanis:n+m∑j=1

a(ϕj, ϕi) = a

n+m∑j=1

ϕj

, ϕi

= a(1, ϕi) = 0.

30. Megjegyzés. A 28. tételben a (2.7) állítás a g ≤ 0 esetben magába foglalja a

nempozitivitási tulajdonságot, ugyanis ekkor ci ≤ 0, i = n+ 1, . . . , n+m, amiből az

állítás miatt:

max1≤i≤n+m

ci ≤ 0.

31. Megjegyzés. A 28. tételből adódóan homogén Dirichlet-feladat esetén szintén

teljesül a nempozitivitási feltétel. Ebben az esetben ci = 0, i = n+ 1, . . . , n+m, ezért

az (1.12)-beli Ahch+Ahgh = bh lineáris egyenletrendszer az (1.9)-ben adott Ahch =

bh alakra redukálódik, ahol Ah (iv) miatt irreducibilisen diagonálisan domináns. Az

(Ahch)i ≤ 0, i = 1, . . . , n feltételből ekkor

max1≤i≤n

ci ≤ 0

adódik, ami analóg a tételbeli (2.7) állítással.

32. Megjegyzés. A 28. tétel (2.6) és (2.8) állításai analóg diszkrét megfogalmazásai

a 25. klasszikus maximum-elv (2.4) és (2.5) állításainak.

2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések

Ebben a részben először megmutatjuk, hogy a 19. példában bemutatott Tdd+1

végeselemek alkalmazásakor a mátrix maximum-elv teljesülése elégséges feltétel

a klasszikus maximum-elvre, ezután pedig elégséges feltételt mutatunk a mátrix

maximum-elv, és így a klasszikus maximum-elv teljesülésére. Az itt bemutatott ered-

ményekkel pl. [4] foglalkozik.

Lineáris végeselemes közelítés esén ∀Tk ∈ Th elemre uh|Tklineáris, ezért uh|Tk

csak a Tk elem csúcsaiban veheti fel maximumát. Így elegendő a 25. klasszikus

maximum-elvet az uh függvény rácscsomópontokban felvett értékeire igazolnunk.

22

Tekintsük az Ω ∈ Rd poliéder tartomány egy Th = T1, . . . , TM triangulációját,

melynek elemei nem elfajuló d-szimplexek. Legyenek Bi, i = 1, . . . , n+m a csúcsok

Th-ban, ahol Bi az i = 1, . . . , n indexekre a belső csúcsokat, i = n + 1, . . . , n + m

indexekre pedig a ∂Ω-n lévő csúcsokat jelöli. Legyen Wh a szakaszonként lineáris

függvények tere, ahol bázist alkotnak a ϕi(Bj) = δ(i, j), i, j = 1, . . . , n+m feltétellel

definiált függvények. Ekkor az uh ∈ Wh közelítésnek a peremen felvett értékei: cn+j =

gj = g(Bn+j), ha j = 1, . . . ,m. Keressük az uh megoldásnak a belső csúcsokhoz

tartozó c1, . . . , cn értékeit.

Az f ≤ 0 feltételből lineáris esetben következik (Ahch)i ≤ 0, minden i = 1, . . . , n

esetén, mert ϕi ≥ 0, (i = 1, . . . , n), és így l(ϕi) ≤ 0 (i = 1, . . . , n) teljesül. A 2.3 feje-

zetben látni fogjuk, hogy magasabbrendű végeselemes közelítések esetén f nempozi-

tivitásából nem következik a jobboldal nempozitivitása, ezért ezekben az esetekben

más feltételhez kell kötnünk a maximum-elv teljesülését.

Lineáris esetben a bázisra a ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül, így a 29. megjegyzés miatt

q ≡ 0 feltételből következik a 28. tételbeli (2.7) feltétel, azaz ekkor a merevségi

mátrix minden sorösszege 0.

A fentiek alapján lineáris végeselemes approximációnál, ha az Ah merevségi

mátrixra a 28. tételben adott (i)-(iv) feltételek teljesülnek, akkor a 25. klasszikus

maximum-elv is teljesül az inhomogén Dirichlet-feladatra. Ezen feltételek biztosítá-

sára szintén van elégséges feltétel. Ekkor a trianguláció megfelelő finomsága mellett

a rácsra tett szögfeltétellel biztosíthatók az Ah merevségi mátrix megfelelő tulaj-

donságai.

Tekintsünk egy Tk ∈ Th d-szimplexet. Jelölje Br, r = 1, . . . , d + 1 a csúcsait, és

legyenek ϕr, r = 1, . . . , d+1 a megfelelő bázisfüggvények megszorításai Tk-ra. Ekkor

tehát ϕr(Bs) = δ(r, s), minden r, s = 1, . . . , d + 1 esetén. A bevezetett jelölések

segítségével definiálhatjuk a Tk elem egy jellemző paraméterét:

σ(Tk) := max1≤r,s≤d+1

r 6=s

cos(∇ ϕr,∇ ϕs).

23

Ekkor a Th trianguláció jellemezhető a következő paraméterekkel:

h = maxTk∈Th

diam(Tk),

σ(h) := maxTk∈Th

σ(Tk),

ahol h megegyezik a korábban 16. pontban definiált finomsággal.

33. Állítás. Tekintsük a Th triangulációk egy sorozatát, ahol h → 0. Ekkor a 25.

klasszikus maximum-elv teljesül, ha

∃σ0 > 0 úgy, hogy σ(h) ≤ −σ0 < 0 (∀h), (2.9)

h elegendően kicsi (2.10)

Bizonyítás. Az előzőek alapján a 25. klasszikus maximum-elv teljesüléséhez elég

belátni, hogy az Ah = (aij)n+mi,j=1 merevségi mátrixra igazak a 28. tételben adott

(i)-(iv) feltételek.

(i) Az a(., .) bilineáris forma koercivitása miatt aii = a(ϕi, ϕi) > 0,∀i = 1, . . . , n.

(ii) Tegyük fel, hogy (2.9) teljesül, és i 6= j. Definiáljuk Ωij := suppϕi ∪ suppϕj

tartományt. Ekkor az a(ϕi, ϕi) bilineáris forma az Ω\Ωij tartományon 0, ezért:

aij = a(ϕj, ϕi) =∫

Ωij

(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) =

=∑

Tk∈Ωij

∫Tk

(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) .

Rögzítsünk egy Tk ∈ Ωij elemet. A p alulról korlátos, jelölje az alsó korlátját

m. Ekkor ∫Tk

(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) ≤

≤mσ(h)∫

Tk

| ∇ϕj|︸ ︷︷ ︸≥ 1

h

| ∇ϕi|︸ ︷︷ ︸≥ 1

h

+‖q‖L∞(Ω)

∫Tk

ϕj︸︷︷︸≤1

ϕi︸︷︷︸≤1

≤

≤(−σ0

h2m+ ‖q‖L∞(Ω)

)λ(Tk) ≤ 0,

ha h elég kicsi, azaz (2.10). A λ(Tk) a Tk d-szimplex Lebesgue-mértékét jelöli.

Vegyük észre, hogy ha h elég kicsi, akkor < reláció is teljesül, azaz aij < 0, ha

i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n+m, i 6= j.

24

(iii) A bázisfüggvényekre ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül, emiatt:

n+m∑j=1

aij =n+m∑j=1

a(ϕj, ϕi) =n+m∑j=1

∫Ω

(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi)

=∫

Ωp∇ϕi · ∇

n+m∑j=1

ϕj

︸ ︷︷ ︸

≡1

+∫

Ωqϕi

n+m∑j=1

ϕj

︸ ︷︷ ︸

≡1

=∫

Ωq︸︷︷︸≥0

ϕi︸︷︷︸≥0

≥ 0.

(iv) Ah irreducibilitása abból adódik, hogy tetszőleges Bi, Bj csúcsokhoz, ahol i 6=

j, van különböző csúcsoknak olyan Bi = Bi0 , Bi1 , . . . , Bis = Bj sorozata,

amelynek bármely két egymást követő Bir , Bir+1 , (0 ≤ r ≤ s − 1) elemeihez

tartozó ϕir , ϕir+1 bázisfüggvényekre suppϕir ∩ suppϕir+1 6= ∅ teljesül. A (ii)

pontban beláttuk, hogy megfelelően kicsi h esetén aij < 0, ha i 6= j, ezért van

olyan h, amivel air,ir+1 < 0, (0 ≤ r ≤ s− 1) teljesül. Ekkor tehát igaz a 26-beli

(a) feltétel.

A 26-beli (b) és (c) igazolásához tekintsük (iii) feltételt. Tegyük fel, hogy h

elegendően kicsi, és így aij < 0, ha i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n + m, i 6= j .

Ekkor tetszőleges 1 ≤ i ≤ n eseténn+m∑j=1

aij = ai,i︸︷︷︸>0

(i)−ből

+n∑

j=1i 6=j

aij︸︷︷︸<0

+n+m∑

j=n+1aij︸︷︷︸<0

= |ai,i| −n∑

j=1i 6=j

|aij| −n+m∑

j=n+1|aij| ≥ 0.

Ezt átalakítva

|ai,i| −n∑

j=1i 6=j

|aij| ≥n+m∑

j=n+1|aij|︸︷︷︸

>0

> 0,

azaz

|ai,i| >n∑

j=1i 6=j

|aij|.

Tehát ekkor a 26-beli (b) és (c) feltétel is teljesül, ha h elegendően kicsi.

34. Megjegyzés. 2D-ben (2.9) pontosan akkor teljesül, ha ∃ε > 0 úgy, hogy ∀h-ra

∀Tk ∈ Th háromszög minden α belső szögére α ≤ π/2− ε teljesül, azaz a végeselemes

rács minden szöge egyenletesen hegyesszög. Abban az esetben, ha q ≡ 0, akkor ε = 0

is megengedett, azaz a rácsban ekkor derékszögek is lehetnek.

25

2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv maga-

sabbrendű elemekre

Ebben a szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenlet végelselemes approximáció-

ját vizsgáljuk. Először egy ellenpéldán keresztül igazoljuk, hogy a klasszikus diszkrét

maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végeselemes közelítésekre (hp-

FEM). Ennek az az oka, hogy a jobb oldali f függvény nempozitivitásából nem

feltétlenül következik l(.) korlátos lineáris funkcionál nempozitivitása. A probléma

kiküszöbölésésre kimondjuk az általánosított diszkrét maximum-elvet, ami a nempo-

zitivitást az f függvény helyett annak Vh térbeli L2-vetületére feltételezi. Végül meg-

mutatjuk, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv bizonyos feltevések mellett

igazolható magasabbrendű közelítésekre is. A szakaszban bemutatott eredmények

[5]-ből származnak.

Tekintsük az Ω = (a, b) ∈ R intervallumon a −u′′ = f Poisson-egyenletet ho-

mogén Dirichlet-peremmel, azaz u(a) = u(b) = 0. Ez a korábban definiált (1.2)

feladatnak a p ≡ 1 és q ≡ 0 esete. A gyenge feladat ekkor: adott f ∈ L2(Ω) mellett

keressük azt az u ∈ H10 (Ω) függvényt, amelyre

∫ b

au′(x)v′(x) dx =

∫ b

af(x)v(x) dx, (∀v ∈ H1

0 (Ω)). (2.11)

Tegyük fel, hogy f ∈ L2(Ω), és osszuk fel Ω-t M darab szakaszra: a = x0 < x1 <

. . . < xM = b. Ekkor a Th trianguláció elemei a Tk = [xk−1, xk] intervallumok. A

Vh ⊂ H10 (Ω) altér legyen most a szakaszonként polinom függvények tere:

Vh =u ∈ C(Ω) : u|Tk

∈ P pk , ∀Tk ∈ Th és u(a) = u(b) = 0.

A végeselemes feladat tehát: keressük azt az uh ∈ Vh függvényt, amire teljesül a

következő: ∫ b

au′h(x)v′h(x) dx =

∫ b

af(x)vh(x) dx, (∀vh ∈ Vh). (2.12)

35. Definíció. A (2.12) diszkrét feladatban jelölje az f ∈ L2(Ω) függvény Vh altérre

26

vett L2-vetületét fh ∈ Vh , ha fh-ra teljesül:∫ b

a(fh(x)− f(x))vh(x) dx = 0 (∀vh ∈ Vh). (2.13)

36. Megjegyzés. A (2.13) egyenletet átalakítva∫ b

afh(x)vh(x) dx =

∫ b

af(x)vh(x) dx = 0 (∀vh ∈ Vh), (2.14)

tehát a diszkrét feladat megoldásánál a tehervektort az f és az fh függvényből szá-

molva ugyanazt kapjuk.

2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiter-

jesztésére magasabbrendű közelítésre

Megmutatható, hogy a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv már a harmad-

rendű végeselemek esetére sem terjeszthető ki, tehát amikor u|Tk∈ P p, ahol

p = 3 (∀Tk ∈ Th). Ennek bizonyításához tekintsük az Lobatto-polinomokat a [−1, 1]

intervallumon:

lk(x) =∫ x

−1Lk−1(ξ) dξ, 2 ≤ k, (2.15)

ahol Lk−1 a normált k−1 fokú Legendre-poninomot jelöli. Ekkor l2, l3, . . . függvények

±1-ben 0 értéket vesznek fel, és a H10 -beli skaláris szorzásra nézve ortonormáltak:

〈li, lj〉H10 (Ω) =

∫ x

−1l′i(x)l′j(x) dx = δij, 2 ≤ i, j. (2.16)

37. Példa. Az Ω = (−1, 1) intervallumon tekintsük a Th = T1 = [−1, 1] trian-

gulációt. Harmadfokú közelítés esetén a Vh altér bázisát alkotják az l2, l3 függvények,

és a közelítő megoldás felírható uh = y1l2(x) + y2l3(x) alakban. Ekkor (2.16) miatt a

merevségi mátrix a 2× 2 dimenziós egységmátrix, és az ismeretlen y1, y2 együtthatók

felírhatók a következőképp:

yi =∫ 1

−1

2∑j=1

yil′j+1(x)l′i+1(x) dx =

∫ 1

−1f(x)li+1(x) dx, i = 1, 2. (2.17)

Legyen f a következő:

f = 200e−10(x+1). (2.18)

27

Ekkor az együtthatókra azt kapjuk, hogy:

y1 = −√

6(9 + 11e−20)10 , y2 =

√10(73− 133e−20)

100 .

Tehát u-ra a végeselemes közelítés:

uh(x) = 140(1− x2)(54 + 66e−20 − (73− 133e−20)x). (2.19)

A 2.1 bal oldali ábrán látható, hogy uh negatív értékeket is felvesz az Ω-n, tehát a 25.

klasszikus diszkrét maximum-elv ekkor nem teljesül.

Ahhoz, hogy megértsük, miért nem igaz a feladatra a 25., vizsgáljuk meg az fh ve-

tületet. Írjuk fel fh-t az l2, l3 bázisfüggvények segítségével. Ezt (2.13)-be helyettesítve

egy lineáris egyenletrendszert kapunk, amit megoldva:

fh(x) = 380(1− x2)(110e−20 + 90 + (931e−20 − 511)x). (2.20)

Ekkor, mint ahogy a 2.1 jobb oldali ábrán megfigyelhető, fh negatív értékeket is felvesz

az Ω-n. Ez azt jelenti, hogy nem teljesül a (2.12) diszkrét feladatban a jobb oldal

nemnegativitása vagyis nem teljesül a mátrix maximum-elv egyik feltétele.

2.1. ábra. Bal oldalon: a 37. példa harmadfokú közelítése (folytonos vonallal), és a

pontos megoldás (szaggatott vonallal). Jobb oldalon: az f függvény (2.18) (szagga-

tottal), valamint az fh vetületi függvény (folytonos vonallal) [5].

28

2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv

A 37. példabeli megfontolások alapján kimondható a 25. klasszikus diszkrét

maximum-elv általánosabb megfelelője, ahol f helyett az fh vetületi függvényre

adunk meg feltételt. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak a spe-

ciális alakú nempozitivitási illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg. Ebből

következik az általánosabb eset is.

38. Definíció. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre

(2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielé-

gíti az általánosított diszkrét maximum-elvet, ha ∀fh ≤ 0 esetén uh ∈ Vh megoldásra:

maxΩ

uh ≤ 0. (2.21)

Az általánosított minimum-elv analóg módon megfogalmazható:

39. Definíció. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre

(2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielé-

gíti az általánosított minimum-elvet, ha ∀fh ≥ 0 esetén uh ∈ Vh megoldásra:

minΩuh ≥ 0. (2.22)

40. Megjegyzés. A 25. klasszikus diszkrét maximum-elvből következik a 38. általá-

nosított diszkrét maximum-elv.

A következőkben megmutatjuk, hogy a 39. általánosított minimum-elv teljesül

a (2.12) feladatra, ha van olyan kvadratúra formula, ami teljesít bizonyos feltételeket.

41. Definíció. Legyenek lk(x), k ≥ 2 a (2.15) pontban definiált Lobatto-polinomok.

Ekkor (x, z) ∈ [−1, 1]2 és p ≥ 1 esetén definiálhatjuk a következő függvényeket:

φ1(x, z) := 0, ha p = 1

φp(x, z) :=p−1∑k=1

lk+1(x)lk+1(z), különben.(2.23)

29

Ekkor φp a diszkrét Green-függvény a (2.12) feladatra a Th = T1 = [−1, 1]

trianguláció mellett. Mivel li+1(±1) = 0, minden i ≥ 1 esetén, ezért

φp(x, z) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ω, (2.24)

ahol ∂Ω továbbra is a peremet jelöli.

42. Definíció. Legyenek K+p ⊂ [−1, 1]2 és K+

p (x) ⊂ [−1, 1] minden q ≥ esetén a

következő halmazok:

K+p := (x, z) ∈ [−1, 1]2 : φp(x, z) ≥ 0,

K+p (x) := z ∈ [−1, 1] : (x, z) ∈ K+

p .

43. Lemma. Minden (x, z) ∈ [−1, 1]2 és p ≥ 1 esetén φp(x, z) = φp(−x,−z) =

φp(z, x) teljesül.

Bizonyítás. A φp(x, z) = φp(z, x) szimmetria φp(x, z) (2.23). definíciójából közvetlen

adódik. A Legendre-polinomokról tudjuk, hogy paritásuk megegyezik a fokszámuk

paritásával, és ez (2.15) miatt lk(x) függvényekre is teljesül. Ekkor

φp(x, z) =p−1∑k=1

lk+1(x)lk+1(z) =p−1∑k=1

lk+1(−x)lk+1(−z) = φp(−x,−z), ∀p ≥ 1.

44. Tétel. Legyen Ω = (a, b) ⊂ R. Tekintsük a (2.12) feladatot a Th = T1, . . . , TM

trianguláció, és p1, . . . , pM fokszámok mellett. Ha ∀p ∈ p1, . . . , pM valamint ∀x ∈

(−1, 1) esetén ∃L2p(x) kvadratúra folrmula úgy, hogy:

(i) L2p(x) pontos a 2p fokú polinomokra [−1, 1]-ben,

(ii) L2p(x)-hoz a súlyok nemnegatívak,

(iii) L2p(x) minden alappontja K+p (x)-beli.

Ekkor a (2.12) feladat kielégíti a 39. általánosított minimum-elvet, és így a 38. ál-

talánosított maximum-elvet is.

30

Bizonyítás. Tekintsük a (2.11) feladat u ∈ H10 (Ω) megoldását adott f ∈ L2(Ω)

mellett. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre (2.13)

teljesül. Ekkor az uh ∈ Vh közelítés a következő formulával adott:∫ b

au′h(x)v′h(x) dx =

∫ b

af(x)vh(x) dx =

∫ b

afh(x)vh(x) dx, (∀vh ∈ Vh).

Vezessük be a következő kiegészítő folytonos problémát: keressük az u ∈ H10 (Ω)

függvényt, amelyre∫ b

au′(x)v′(x) dx =

∫ b

afh(x)v(x) dx, (∀v ∈ H1

0 (Ω)).

Az egydimenziós Laplace-egyenlet megoldásának lineáris végeselsmes közelítése

pontos minden osztópontban, és ez a tulajdonság magasabbrendű közelítésekre is

igazolható (lásd: [6]). Emiatt teljesül

uh(xi) = u(xi) = u(xi), i = 0, 1, . . . ,M.

A folytonos minimum-elv miatt u(xi) ≥ 0 az Ω-n, így uh(xi) ≥ 0, minden i =

0, 1, . . . ,M esetén, ezért a tételt elég a T1 = Ω esetre belátni, ahol Ω = (−1, 1).

Az uh ∈ Vh megoldást a következő alakban keressük:

uh =p−1∑i=1

yili+1(x). (2.25)

yi =∫ 1

−1fh(z)li+1(z) dz, i = 1, 2, . . . , p− 1.

Ezt behelyettesítve (2.25) egyenletbe

uh =p−1∑i=1

(∫ 1

−1fh(z)li+1(z) dz

)li+1(x) =

∫ 1

−1fh(z)φp(x, z) dz, (2.26)

ahol φp(x, z) a (2.23) szerinti.

Rögzítsük az x ∈ (−1, 1) pontot, és tegyük fel, hogy ∃L2p(x) kvadratúra formula

z0, . . . , z2p ∈ K+p (x) pontokkal és w0, . . . , w2p nemnegatív súlyokkal. Az fh(z)φp(x, z)

szorzatról tudjuk, hogy legfeljebb 2p-edfokú polinom z-ben tetszőleges rögzített x

esetén, ezért (i)-ból L2p(x) pontos minden fh(z)φp(x, z)-re. Ekkor (2.26) miatt

uh =∫ 1

−1fh(z)φp(x, z) dz =

2p∑i=0

wi︸︷︷︸≥0

fh(zi)︸ ︷︷ ︸≥0

φp(x, zi)︸ ︷︷ ︸≥0

≥ 0, (2.27)

31

ahol wi és fh(zi) nemnegativitása a feltevésekből adódik, φp(x, zi) ≥ 0 pedig zi ∈

K+p (x) miatt teljesül. Tehát (2.27) pontból következik, hogy uh(x) ≥ 0 minden

x ∈ (−1, 1) esetén, és így uh a ∂Ω peremen felveszi minimumát, tehát 39. teljesül.

A p = 2, 4, 6 esetekben belátható, hogy φp(x, z) ≥ 0 minden (x, z) ∈ [−1, 1]2,

így ezekben az esetekben a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv is igazolható. A 38.

általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének igazolásához minden más p ≥ 2

esetre mutatnunk kell olyan kvadratúra formulát, amelyre a 44. tételbeli (i)-(iii) fel-

tételek teljesülnek. A 43. lemmabeli szimmetria miatt elegendő, ha az x ∈ [0, 1)-en

találunk ilyen kvadratúra formulákat. Az [5] 6. részében mutatnak példát a feltéte-

leket kielégítő kvadratúra formulák konstuálására p ≤ 10 esetekre.

32

3. Számítógépes vizsgálatokEbben a fejezetben bemutatunk a témához kötődően néhány futtatást, ami szem-

lélteti a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülését lineáris végeselemekre.

Ehhez az egységnégyzeten adott Poisson-egyenletet tekintjük homogén Dirichlet-

peremmel. A feladatot különböző nemnegatív forrásfüggényekre oldjuk meg. A meg-

oldás során egyrészt ellenőrizzük a nemnegativitás teljesülését, másrészt vizsgáljuk,

hogy kisebb forrásfüggvényekre az eredmény közelebb kerül-e 0-hoz. A számítások

MATLAB programcsomag segítségével készültek.

3.1. A feladat leírása

Keressük az alábbi homogén Dirichlet-feladat végeselemes megoldását, különböző

f ∈ L2(Ω) forrásfüggvények mellett, ahol f ≥ 0:−∆u = f, ha (x, y) ∈ Ω := (0, 1)× (0, 1),

u(x, y) = 0, ha (x, y) ∈ ∂Ω.(3.1)

A 18. pédában bemutatott Courant-elemekkel dolgozunk, azaz a Th trianguláció

elemei háromszögek, u|Tkfolytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti

értékek a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A Vh altér ekkor:

Vh =u ∈ C(Ω) : u|Tk

∈ P 1,∀Tk ∈ Th, és u|∂Ω = 0.

A Vh altér bázisát (a síkbeli belső csomópontokat (xi, yj)-vel jelölve) a szokásos

ϕij(xk, yl) = δik · δjl feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják (1.2

ábra).

Mivel a (3.1) feladatban q ≡ 0, ezért a 33. állítás és a 34. megjegyzés miatt a

a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesül a feladatra, ha a háromszögrácsban

minden α belső szögre α ≤ π/2 teljesül, és h elegendően kicsi, ezért alkalmazzunk

33

szabályos háromszögrácsot. A szabályos háromszögrácsot négyzetrácsból származ-

tatjuk úgy, hogy a négyzeteket az ugyanolyan irányú átlóival daraboljuk. A rács

belső osztóponjainak számát n jelöli.

A források legyenek a következő L2(Ω)-beli nemnegatív függvények:

f1 ≡ 1,

f2,k =

1, x ≤ k

0, különben

f3,k =

1, x ≤ k vagy x ≥ 1− k vagy

y ≤ k vagy y ≥ 1− k,

0, különben

f4,k =

1, k ≤ x, y ≤ 1− k

0, különben

(3.2)

A belső osztópontok száma legyen n = 30, és számítsuk ki a (3.1) feladat uh vé-

geselemes megoldását f1, f2,k, f3,k, f4,k (3.2) források és adott k paraméterek mellett.

Alkalmazzuk a k = 1/2, 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f2,k forrásfüggvénynél, és a

k = 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f3,k, f4,k források esetén. Ekkor az eredményeket

a 3.1 és 3.2 ábrák szemléltetik. A számítások sorrán futtatott MATLAB kódokat

mellékeltem a 3.2ben.

3.2. Az eredmények értékelése

Az eredményekből látszik, hogy az uh végeselemes megoldás nemnegativitása

mindegyik forrásfüggvény mellett teljesül.

Az f2,k függvény esetében a forrás a jobb oldali k szélességű sávon 1, és a bal

oldali (1− k) szélességű sávon 0. Az eredményekből látható (3.1 ábra), hogy kisebb

k értékek mellett a megoldás jobban megközelíti a 0 értéket. A megoldás kovkáv

felület, és kisebb k értékek mellett az (1, y) szakaszon az uh gradiensvektora kisebb

34

3.1. ábra. Eredmények az f1, illetve és f2,k jobb oldali függvényekre (3.2), k =

1/2, 1/3, 1/5 mellett.

meredekségű.

Az f3,k és f4,k források esetében is teljesül, hogy ha a forrás kisebb területen 1 és

nagyobb részen 0, akkor a megoldás közelebb van 0-hoz (3.2 ábra). Az f3,k forráshoz

tartozó megoldásoknál elmondható, hogy kisebb k-ra az uh a tartomány széléhez

közelebb éri el maximumát. Az f4,k forrásra számított eredmények esetében pedig

az látható, hogy kisebb k értékek mellett a széleken az uh gradiensvektora kisebb

meredekségű.

35

3.2. ábra. Eredmények az f3,k és f4,k jobb oldali függvényekre (3.2), k = 1/3, 1/5

mellett.

36

ÖsszefoglalásA 2.2. részben ismeretetett eredmények alapján az elliptikus Dirichlet-peremmel

ellátott feladatok megoldásánál, ha a megoldást lineáris végeselemekkel közelítjük,

akkor ismerünk elégséges feltételeket a klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülé-

sére. 2 dimenziós esetben például, ha háromszögrácsot alkalmazunk, elegendő biz-

tosítanunk, hogy a rács megfelelő finomságú és egyenletesen hegyesszögű legyen, és

ha nincs a feladatban visszacsatolás, akkor a derékszögek is megengedettek. Ezek a

feltételek viszonylag könnyen teljesíthetők a számítások során.

A 2.3. szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáltuk. Láthattuk, hogy

a klasszikus diszkrét maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végesele-

mes közelítések esetére, mert a forrásfüggvény előjele ekkor nem határozza meg a

diszkrét feladat jobb oldalának előjelét. A probléma kiküszöbölésére bevezettük a

diszkrét maximum-elv általánosított alakját, ami a forrásfüggvény helyett annak

a végeselemes altérre vett L2-vetületére szab előjelfeltételt. Ezután 1 dimenzióban

megmutattuk, hogy bizonyos feltételeket kielégítő kvadratúraformulák létezése elég-

séges feltétele az általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének magasabbrendű

közelítésekre.

Nyitott kérdés, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv kiterjeszthető-e ma-

gasabb dimenzióra és általánosabb elliptikus feladatokra. Mivel a gyakorlatban van

igény a magasabbrendű közelítések alkalmazására, fontos lenne a maximum-elv ki-

terjeszthetőségének vizsgálata.

37

KöszönetnyilvánításEzúton köszönetet mondani konzulensemnek, Karátson Jánosnak a segítségéért,

türelméért, és hogy munkámat alaposan és kritikusan ellenőrizte.

Továbbá szeretném megköszönni családomnak és barátaimnak a szakszerű hi-

baellenőrzést, valamint a rengeteg támogatást, amit képzésem ideje alatt kaptam

tőlük.

38

Függelék

A futtatásokhoz tartozó MATLAB fájlok

1 clear all, close all

2 %% Irányonkénti bels osztópontok száma

3 n = 30;

4

5 %% Forrásfsggvények megadása

6

7 % k konstansok

8 k0 = 1/2;

9 k1 = 1/3;

10 k2 = 1/5;

11

12 % konstans 1 függvény

13 f_const = @(X,Y,k) ones(size(X,1));

14 str_const = @(k) 'f \equiv 1';

15 figname_const = 'const';

16

17 % 1, ha x <= k ,

18 % 0 különben

19 f_leftside = @(X,Y,k) X <= k;

20 str_leftside = @(k) ['f = 1, ha x < ', num2str(k,2), ...

21 ', és 0 különben'];

22 figname_leftside = 'leftside';

23

24 % 1, ha x vagy y közelebb van a 0-hoz vagy 1-hez, mint k,

25 % 0 különben

26 f_edge = @(X,Y,k) (X <= k) | (X >= 1-k) ...

39

27 | (Y <= k) | (Y >= 1-k);

28 str_edge = @(k) ['f = 0, ha ', num2str(k,2),'< x,y <',...

29 num2str(1-k,2),', 1 különben'];

30 figname_edge = 'edge';

31

32 % 1, ha k < x,y < 1-k

33 % 0 különben

34 f_center = @(X,Y,k) (X >= k) & (X <= 1-k) ...

35 & (Y >= k) & (Y <= 1-k);

36 str_center = @(k) ['f = 1, ha ', num2str(k,2),'< x,y < ',...

37 num2str(1-k,2),', 0 különben'];

38 figname_center = 'center';

39

40 %% Megoldó futtatása a forrásfüggvényekre

41

42 u_const = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, 1,...

43 f_const,str_const,figname_const );

44

45 u_leftside0 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k0,...

46 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );

47 u_leftside1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...

48 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );

49 u_leftside2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...

50 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );

51

52 u_edge1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...

53 f_edge,str_edge,figname_edge );

54 u_edge2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...

55 f_edge,str_edge,figname_edge );

56

57 u_center1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...

58 f_center,str_center,figname_center );

59 u_center2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...

60 f_center,str_center,figname_center );

40

1 function [ u ] = ...

2 FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k, rhs_function,...

3 rhs_str ,fig_name)

4 % A -Laplace u = f [0,1]x[0,1]-en, homogén Dirichlet-perem, FEM mo.

5

6 if nargin == 2

7 rhs_str = @(k) '';

8 end

9

10 % Háló generálása

11 h=1/(n+1);

12 [X,Y]=meshgrid(h:h:1-h,1-h:-h:h);

13

14 % Forrásfüggvény

15 f = rhs_function(X,Y,k);

16

17 % A tehervektor konstrukciója

18 b=reshape(f,n^2,1)*h^2;

19

20 % Merevségi mátrix konstrukciója

21 A=gallery('poisson',n);

22

23 % Az egyenletrendszer megoldása

24 uv=A\b;

25

26 % A megoldás ábrázolása

27 um=reshape(uv,n,n);

28 u=zeros(n+2);

29 u(2:end-1,2:end-1)=um;

30

31 % Háromszögek konstrukciója

32 tri = zeros( 2*(n+1)*(n+1), 3 );

33 l = 1;

34 for i = 1 : (n+1)*(n+2)

41

35 if mod(i,n+2) ~= 0

36 tri(l,:) = [i,i+1,i+n+2];

37 tri(l+1,:) = [i+1,i+1+n+2,i+n+2];

38 l = l+2;

39 end

40 end

41

42 figure

43 [Xnagy,Ynagy]=meshgrid(0:h:1,0:h:1);

44 trisurf(tri,Xnagy,Ynagy,u)

45

46 title( rhs_str(k),'FontSize', 16)

47 colorbar

48 xlabel('x','FontSize', 16)

49 ylabel('y','FontSize', 16)

50 zlabel('u','FontSize', 16)

51

52 % ábra mentése file-ba

53 fig = gcf;

54 fig.PaperPositionMode = 'auto';

55 fig_name = [fig_name,int2str(100*k)];

56 print(fig,fig_name,'-dpng','-r300')

57

58 end

42

Irodalomjegyzék[1] Horváth Róbert, Izsák Ferenc, Karátson János. Parciális differenciálegyenletek

numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal. Elektronikus jegyzet, Eöt-

vös Loránd Tudományegyetem, 2013.

[2] J. Karátson, S. Korotov. Discrete maximum principles for finite element solutions

of nonlinear elliptic problems with mixed boundary conditions. Numer. Math.,

99: 669–698, 2005.

[3] Besenyei Ádám, Komornik Vilmos, Simon László. Parciális differenciálegyenle-

tek. Elektronikus jegyzet, Typotex, 2013.

[4] P. G. Ciarlet, P. A. Raviart. Maximum principle and uniform convergence for the

finite element method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2: 17–31, 1973.

[5] Pavel Šolín, Tomáš Vejchodský. A weak discrete maximum principle for hp-FEM.

Journal of Computational and Applied Mathematics, 209: 54–65, 2007.

[6] P. Šolín, K. Segeth, I. Doležel. Higher-order Finite Element Methods. Chapman

& Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.

[7] D. Gilbarg, N. S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second

Order. Springer, Berlin - Heidelberg - New York - Barcelona - Hong Kong -

London - Milan - Paris - Singapore - Tokyo, 2001.

[8] Stoyan Gisbert, Takó Galina. Numerikus módszerek 2. ELTE - Typotex, Buda-

pest, 1995.

[9] Stoyan Gisbert, Takó Galina. Numerikus módszerek 3. ELTE - Typotex, Buda-

pest, 1997.

43

[10] Karátson János. Numerikus funkcionálanalízis. Elektronikus jegyzet, Typotex,

2013.

[11] R. Varga. Matrix iterative analysis. Prentice Hall, New Jersey, 1962.

44