FUNCIÓN DE DENSIDAD

Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula

Representación gráfica de esta función de densidad

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así 

 

1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Puede tomar cualquier valor (- , + ) Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media 

Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de

igual forma a derecha e izquierda (es simétrica). Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de

forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la desviación típica.

 

 F(x) es el área sombreada de esta gráfica

 TIPIFICACIÓN

Por tanto su función de densidad es

y su función de distribución es

siendo la representación gráfica de esta función

2

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

La curva  f(x)  es simétrica respecto del eje OY

Tiene un máximo en este eje

Tiene dos puntos de inflexión en  z =1 y  z = -1

Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) :

Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial  B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal

3

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea  p  a  0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique

gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de  n  resulten muy laboriosos de calcular.

Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad.

4

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES.

La distribución de la variable  Z  se encuentra tabulada

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

Funcion de Densidad.

6

Funcion de distribución.

X

Algunas propiedades de la distribución normal son:

7

1. Es simétrica respecto de su media, μ;

X

μ − 3σ μ −2 σ μ − σ μ + σ μ +2σ μ +3 σ.

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N( μ, σ).

2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ; 3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ. 4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;

2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución; 3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el

99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.

Ejemplos.

Dada una distribución Normal estándar, encuentre el área bajo la curva que esta. a) a la derecha de z = 1.84, b) entre z = -1.97 y z = .86 a.-) El área se encuentra a la derecha de z = 1.84 es igual a 1 menos el área de la tabla a.3 a la izquierda de z = 1.84, es decir 1-.9671 = .0329.

b.-) El área se encuentra entre z = -1.97 y z = .86 es igual al área a la izquierda de z= .86 menos el área a la izquierda de z = -1.97 a partir de la tabla A.3 se encuentra que el área deseada es .8051 - .0244 = .7807.

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Ejemplo: Dada una distribución normal con μ = 50 y σ = 10 encuentre la probabilidad de que x asuma un valor entre 45 y 62

Solución: Los valores de z correspondientes a x1 = 45 y x2 = 62 son

45 -50Z1 = _________ = -0.5 10 62 -50Z2 = _________ = 1.2 10

Por lo tanto P (45 <x<62) = P (-.5 < Z < 1.2)

La P (-.5<z<1.2) esta dado por el área de la región sombreada en la figura siguiente, esta área puede encontrarse restando el área a la izquierda de la ordenada z = -.5 del área total a la izquierda de z = 1.2. A partir de la tabla A.3 se tiene

P (45 <x<62) = P (-.5 < Z < 1.2) = P (z<1.2) – p (z< -.5) = .8849 - .3085 = .5764Ejemplo. Dada una distribución normal estándar, encuentre los valores de k(punto) de tal forma que a) P(z > k) = .3015 y b) p( k < z < -.18) = .4197(area)Solución:

a) En la figura siguiente puede apreciarse que el valor de k que da una área de .3015 a la derecha debe, entonces dar una área de .6985 a la izquierda de la tabla de valores se tiene.Tenemos 1 - .3085 = .6985 pasamos a las tablas y nos da un valor de k = .52

b) A partir de la tabla A.3 se puede observar que el área total a la izquierda de -.18 es igual a .4286 en tablas, en la figura se observa que el área entre k y -.18 es 0.4197 de tal forma que el área a la izquierda de k debe de ser .4286 - .4197 = .0089 por lo tanto se tiene que k = -2.37(punto)

Ejemplo: Dada una distribución normal con μ = 40 y σ = 6 encuentre el valor de x que tiene que P(z > 1.08) a) 45% del área izquierda, b) 14% del área a la derecha.Solución

a) Una área de .45 a la izquierda del valor deseado de (x) es la parte sombreada en la siguiente figura, se requiere un valor (z) que tenga un área de .45 a la izquierda, donde se tiene P(z > 1.08) de la tabla A.3 se busca un valor cercano a .45(tabla) pero que no se pase, de tal forma que el valor de (z) deseado es – 0.13 por lo tanto

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X = σ x + μ = (6) (-0.13) + 40 = 39.22

b) En la siguiente figura se muestra el sombreado una área igual a .14 a la derecha del valor (x) deseado, en esta ocasión se requiere un valor (z) que tenga .14 del área a la derecha(1- Fz) se tiene que 1 menos .14 es .86 y, por lo tanto, un área .86 a la izquierda. Otra vez consultamos en la tabla A.3 se tiene que P(z > 1.08 ) = .86 de tal forma que el valor (z ) deseado es 1.08 y

X = (6) (1.08) + 40 = 46.48

Ejemplo.Un proceso industrial el diámetro de un balero es una importante parte componente, el comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser 3 = .01 cm, la aplicación es que no se acepta ningún balero que se salga de esta especificación, se sabe que el proceso, el diámetro de un balero tiene una distribución normal con una media de 3 y una desviación estándar σ= .005. En promedio cuantos valeros fabricados se descartaran. μ = 3 σ = .005Solución.La distribución de diámetro se muestra en la siguiente figura donde los valores que corresponde a lo limites de la especificación so x1 = 2.99 y x2 = 3.01, los valores correspondientes de x son:

X - μ Z1 = ____________ σ

X - μ 2.99 -3 3.01 - 3 Z1 = ____________ = _________ = -2.0 Z2 = _________ = 2.0 Σ .005 .005

De la tabla P( z < -2.0 ) = .0228 P ( -2 < z < 2.00) = 2(0.0228) = .0456(debido a la simetría de la distribución normal)Se anticipa que el promedio es 4.56 % de lo baleros manufacturados se arrojan a la basura.( z) se encuentra entre ( -2 y 2)

 2.11.-APROXIMACIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD BINOMIALES.

Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando (n) es pequeña, de tal forma b(x;n,p) de la distribución binomial o de la tabla siguiente si (n) es grande y ( p) es cercana a 0, 1, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de aproximación, tanto la distribución binomial como la de poisson son discretas. La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta cuando esta ultima toma la forma de campana simétrica, desde el punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a normales a medida que sus parámetros se aproximan a ciertos limites. La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución acumulada.

10

Teorema: Si x es una variable aleatoria binomial con media μ = np y la varianza σ² = npq entonces la forma de límite de la distribución de:

X - npZ = ______________ √npq

Cuando n ------- ∞, es la distribución normal estándar n( z; 0,1) La distribución normal con μ = np y σ² = np(1-p) no solo proporciona una aproximación muy precisa a la distribución binomial cuando (n) es grande y (p) no es muy cercana a 0 o 1 sino que también proporciona una muy buena aproximación aun cuando (n ) es pequeña y ( p) es razonable cercana a ½ .Para ejemplificar la aproximación normal a la distribución binomial primero se dibuja el histograma para b(x; 15, 0.4) y entonces se sobrepone la curva normal particular que tiene la misma media y varianza que la de la variable binomial x.

μ = np = (15) (.4) = 6σ² = npq = (15)(.4)(.6) = 3.6 = 1.897

( x n p ) Aproximacion normal de b(x; 15, 0.4).

El histograma de b(x; 15,0.4) y la correspondiente curva normal sobrepuesta, la cual se determina completamente por su media y varianza, la cual s muestra en la figura anterior. La probabilidad exacta de que la variable aleatoria binomial X asume un valor dado (x) es igual al área cuya base se centra en (x).

Ejemplo:La probabilidad exacta de que (x) asuma el valor 4 es igual al área de rectángulo con la base centrada en x= 4 mediante la tabla A.1 se encuentra que esta área es.

P(x=4) = = b(4; 15, .4) = .1268.

Lo que resulta aproximadamente igual a área de la región sombreada bajo la curva normal entre las dos ordenadas x1 = 3.5 y x2 = 4.5 de la siguiente figura si se convierte a valores z, se tiene.

3.5 - 6 Z1 = ___________ = -1.32 1.897

4.5 - 6 Z2 = ________ = -.79 1.897

Si x es una variable aleatoria binomial y z una variable normal estándar, entonces, usando tabla 3

P(x=4 ) = b ( 4; 15, 0.4)

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= P(-1.32< z < -0.79) = P(z -0.79) – P(z < -1.32) = .2148 - .0934 = 0.1214

NOTA:Calcular la probabilidad número de (y) de éxitos en (n) ensayos se encuentra en una región dada.Calcule la probabilidad P (Y) de que (y) caiga en la región dada cuando (n) es grande n= 1000 sobre el teorema de limite central. Si (n) es grande, la variable binomial tendrá una distribución aproximadamente normal con una media y varianza (np), (npq).Ejemplo. Considérese una distribución binomial para (y) con n=10, P= ½ donde: µ= np = (10) (1/2) = 5 =npq = (109(.5)(.5) = 2.5 = 1.58

La probabilidad de que y = 2,3,4 es Igual al área de los tres rectángulos Situados sobre y = 2,3,4, Podemos aproximar esta probabilidadcon el área bajo la curva normal desde y =1.5 hasta y =4.5 donde y = 2 e Y =4 no sería buena aproximación a la probabilidad de que Y = 2,3,4, porque excluiría la mitad de los rectángulos de probabilidad correspondiente y= 2 e y = 4 para conseguir una buena aproximación, se debe recordar que hay que aproximar las áreas completas de los rectángulos si la probabilidad a y = 2 e y = 4 incluyendo el área bajo la curva normal desde y = 1.5 hasta y = 4.5.

Cuando (n) es pequeña y (p) está cerca de 0,1 la distribución binomial no es simétrica donde su media está ubicada cerca de cero o de (n) .

Cuando ( P) está cerca a cero la mayoría de los valores de (y) serán pequeños obteniéndose una distribución concentrada cerca de y = 0 que se decae gradualmente hacia (n) donde proporciona una aproximación deficiente a la distribución de probabilidad binomial. Podríamos pensar que la distribución binomial seria más o menos simétrica si pudiera extenderse una desviación igual a dos desviaciones estándar ambos lados de la media y este es realmente el caso.

Ejemplo:En el experimento binomial donde n= 10 p = .5 calcule la probabilidad de y = 2,3,4, con tres cifras decimales usando la tabla 1 del apéndice II, luego calcule la aproximación normal correspondiente a esta probabilidad. 4 4 1 (antes del dos) P1 = p(y) = p(y) - p(y) = .377- .011 = .366 y=2 y=0 y = 0

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La aproximación normal requeriría el área entre y1 = 1.5 y y = 4.5 , donde μ= 5 =1.58 los valores correspondientes. Z=0 = .500 .4864 Z 1 = (1.5 – 5 )/ 1.58 = -2.22 z= -2.22 = .0138 Z2 = (4.5-5 ) /1.58 = -.32 Z = 0 .500 .1255 Z= -.32 = .3745 La probabilidad P2 es el área que se encuentra entre los parámetros desde z= 0 y z= 2.22 es A1 =.4868 similarmente el área entre Z = 0 y z= - .32 es A1= .1255 tabla 3P2 = a1 –a2 = .4868 - .1255 = .3613 .6255 -2.22 = .0132 -.32 = .3745 = .3613

Una empresa constructora desea saber cuales serán las probabilidad de los valores del 9 al 13 los cuales tienen una aproximación bajo la curva, donde se desea saber sus componentes binomiales, Calcular la curva que se encuentra con una muestra de 17, con una probabilidad de .50.

Ejemplo.La aproximación normal es muy útil para calcular sumas binomiales para valores grandes de (n).Con los datos de la figura anterior se podría estar interesado en la posibilidad de que (x) asumiera un valor entre 7 y 9. 9P(7 ≤ x ≤ 9 ) = b ( x; 15, 0.4) X = 7

9 6(antes uno)P(7 ≤ x ≤ 9 ) = b ( x; 15, 0.4) - b ( x; 15, 0.4) x = 0 x = 0 = .9662 - .6098 = .3564

La cual e s igual a la suma de las áreas de los rectángulo con las bases centradas e X = 7, 8,9. Por la aproximación normal se encuentra el área de la región sombreada bajo la curva entre las ordenadas x1 = 6.5 y x2 = 9.5 de la figura anterior los corresponsales valores de z son. µ= 6 Raiz =1.897

6.5 - 6Z1 = ----------------= 0.26 1.897

9.5 - 6Z1 = ----------------= 1.85 1.897

P(7 ≤ x ≤ 9 ) = P(0.26 < z 1.85)

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= P(z < 1.85) – P(z < 0.26) = .9678 - .6026 = 0.3652

Una vez más, la aproximación de la curva normal proporciona un valor muy cercano al valor exacto de .3564. El grado de precisión es cual depende también de que la curva concuerde con el histograma, se incrementara conforme (n) aumenta.

Esto es particularmente cierto cuando (p) no esta muy cercano a ½ y el histograma no es ya simétrico, en las siguientes figuras, muestra los histogramas para b(x; 6,0.2) y b(x; 15, 0.2), respectivamente.P No esta cercana a ½ b ( x; 6, 0.2) b ( x; 15 0.2)

Es evidente que una curva normal esta mas de acuerdo con el histograma cuando n = 15 que cuando n = 6.

En resumen se utiliza la aproximación normal para evaluar probabilidades binomiales siempre que (p) no este cercana a 0, 1. La aproximación es excelente cuando (n ) es grande y bastante buena para valores pequeños de (n) si (p) esta razonablemente cercana a ½ .Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación normal es tener en cuenta el calculo de np y nq, si ambos np y nq son mayores o iguales a 5 será bueno.Tal como se indico anteriormente, la calidad de la aproximación es bastante buena para valores grandes de (n). Si (p) es cercana a 1/2, una muestra mediana o pequeña será suficiente para una aproximación razonable. En la tabla siguiente sirve como indicación de la calidad de la aproximación, se da tanto las aproximaciones normales como las probabilidades acumulativas binomiales reales. Nótese que en p = 0.05 y p= 0.10 la aproximación es bastante imperfecta para n = 10, sin embargo puede verse la mejoría para p = 0.50 incluso para p = 0.10. Por otro lado, cuando p esta fija en 0.05 puede observarse como mejora la aproximación conforme se va de n = 20 a n = 100.

Ejemplo.La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de sangre es .4, si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, cual es la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan.Solución.La variable binomial (x) que representa el No de pacientes que sobrevivan, dada que n = 100 debe obtenerse resultados bastantes precisos. μ = np = 100 * .4 = 40 = npq = (100) (.4) (.6 ) = 4.89.

Para obtener la probabilidad deseada, debe encontrarse el área a la izquierda X=29.5 es el valor correspondiente.

Z= (29.5 – 40)/ 4.89 = -2.14 :: P(x< 30) = p(z < -2.14) = .0162 (tabla .3 )

Una empresa constructora debe seleccionar de 180 solicitudes tipo examen, de las cuales existen 6 preguntas claves que son de mucha importancia para seleccionarlos, de los cuales 2 son correctas,

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calcule la probabilidad que entre ellas existan al azar sean 17 a 22 solicitudes sean correctas de 45, donde los no tienen experiencia.

Ejemplo.Una prueba opción múltiple tiene 200 preguntas cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo 1 es correcta. Cual es la probabilidad que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimiento.Solución:Para cada una de las 80 respuestas es p = ¼ , si (x) representa el numero de respuestas correctas dadas al azar. 30P(25< =X <= 30) = b(X; 80, 1/4) 25

= np = 80 * 1/4 = 20 = √ npq = (80)(1/4)(3/4) = 3.873

Se necesita el área entre x1 = 24.5 x2 = 30.5 los valores correspondientes de (z) son.

Z1 = (24.5 - 20 ) / 3.873 = 1.16 Z2 = (30.5 - 20 ) / 3.873 = 2.71 .8770 .9966Las probabilidades de responder correctamente de 25 a 30 preguntas l proporciona la región de la fig. siguiente aplicando la tabla 3.

30P(25< =X <= 30) = b(X; 80, 1/4) (no existe valor de 80 en la binomial) pero lo planteamos con 25 los valores (Z1, Z2) = P(1.16 < Z < 2.71) = P(Z < 2.71) - P ( Z < 1.16) = ,9966 - 0.8770 = .1196 2.12.- APROXIMACIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD POISSON.

Los experimentos que resulta en valores numéricos de una variable aleatoria(X) misma que representa el numero de resultados durante un intervalo de tiempo dado, o en una región especifica, frecuentemente se llama experimento de poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración.Ejemplo un minuto Un día Una semana Un mes O inclusive un añoDe aquí que un experimento de poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria (X) que representa.

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El numero de llamadas telefónicas por hora que se reciben en una oficina.El numero de días en que la escuela se cierra durante el invierno debido a la nieve.o el número de juegos pospuestos debido a la lluvia durante la temporada de beisbol.

La región especificada podría ser un segmento de línea, una área de volumen, o tal vez un pedazo de material. En este caso (X) podría representar el numero de ratas de campo por acre, el numero de baterías en un determinado cultivo, o el numero de errores de mecanografía por pagina.El cual tiene las siguientes propiedades.

1. El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto, de esta manera se dice que el proceso de poisson no tiene memoria.

2. La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

El numero (X) de resultados que ocurre en un experimento de poisson se llama variable aleatoria de poisson y su distribución de probabilidad recibe el nombre de distribución de Poisson. El numero promedio de resultados se calcula con = lt donde t es el tiempo o región especificaos de interés.

Dado que sus probabilidades dependen de l, la taza de ocurrencia de resultados se representa por la expresión p(x; lt).

La derivación de la formula para p(x; lt) la cual se basa en las propiedades del proceso de poisson indicadas anteriormente, esta mas allá del alcance de este libro.

Distribución de poisson: La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de poisson (X) que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región especifica indicada por t es.

-lt x e ( lt)P(x; lt) = ______________, x = 0,1,2,3… X!

Donde l es el numero promedio de resultados por unidad de tiempo o región y e = 2.72828En la tabla A.2 se encuentra la suma de las probabilidades de poisson.

r p(x; lt) = p(x; lt) para algunos valores seleccionados de (lt ) en el rango 0.1 a 18 . x=0

Ejemplo.

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El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante milisegundo en un experimento de laboratorio es 4.Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al cantador en un milisegundo determinado. X= 6 lt = 4 se encuentra en la tabla.

-4 6 r e (4) 6 5 (antes) p(x; lt) = p(x; lt) = P(6; 4) = ___________ = p(x; 4) - p(x; 4) = 0.8893 - .7851 x=0 6! X=0 x=0 = .1042.

Ejemplo.Se sabe que 10 es el número promedio de camiones –tanques de aceite que llegan por día a una cierta ciudad portuaria, las instalaciones del puerto pueden atenderse cuando mucho a 15 camiones-tanque en un día.Cual es la probabilidad de que en un determinado día se tenga que regresar los camiones-tanque. Sea (x) el numero de camiones-tanque que llegan por día, entonces utilizando la tabla A.2.

P(X > 15) = 1 – p(x ≤ 15) 15

= 1 - p(x; 10) X=0

= 1 - .9513 = 0.0487

Adicionalmente ciertas distribuciones continuas importantes utilizadas en teoría de confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de poisson

2.13.-DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE PROBABILIDAD.

La exponencial es un caso especial de la distribución, tiene un gran numero de aplicaciones donde la distribución exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en la teoría de colas como en problemas de confiabilidad, el tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de fallas de los componentes y sistemas eléctricos frecuentemente involucran la distribución exponencial.La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.La distribución exponencial.- es la variable aleatoria continua (X) tiene una distribución exponencial con parámetro β, si su función de densidad es:

1 -x / β, x > 0 ___ e F(x) = β 0, en cualquier otro caso donde β > 0

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En seguida se dan unos ejemplos y se analiza el papel de la distribución exponencial es el parámetro β, el reciproco del parámetro en la distribución de poisson, la cual implica que las ocurrencias en los periodos de tiempo sucesivos son independientes. El parámetro importante β es el tiempo promedio entre eventos, la teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de poisson, β recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.

Ejemplo:Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componentes cuyos tiempos de falla en años esta dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla β = 5.Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas. Cual es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años.La probabilidad de que un determinado componente este funcionando aun después de 8 años es.

∞ -t/5 -8/5

P(T > 8) = 1/5 e dt = e = 0.2 8

Sea (x) el numero de componentes funcionando después de 8 años, entonces mediante la distribución binomial, n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 añosq = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años tabla 1

5 1P(X ≥ 2) = b(x; 5, 0.2) = 1 - b( x; 5, 0.2) = 1 - .7373 = 0.2627 X=2 x= 0

Una empresa dedicada a seleccionar personal tiene una fila de 87 gentes, los cuales son atendidas en promedio 7 minutos, calcule la probabilidad que las personas que están en la fila sean atendidas en al menos 5 minutos, en el transcurso de los 3 de los 5 dias.

Ejemplo:1. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?  Solución:  Lo que nos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 días

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527601

4

13 4

3

4

13

0

4

1

.dt)T(Pt

 p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724  ‾

0666

1556 4724052760472405276052760665 ).().(C).().(C).p,N,ox(P

  = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

2.5.- TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Si se obtiene una muestra de una población normal, entonces la media muestral tiene una distribución normal sin importar el tamaño de la muestra. Sin embargo, se puede demostrar que de hecho no importa el modelo de probabilidad del cual se obtenga la muestra; mientras la media y la varianza existan, la distribución de muestreo de `X se aproximará a una distribución normal conforme (n) aumente. Lo anterior constituye uno de los más importantes teoremas en inferencia estadística y se conoce como TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL.

En muchos casos, puede concluirse en forma segura que la aproximación será buena mientras n > 30.

_  Si  X es la media de la muestra aleatoria de tamaño (n) que se toma de una población con media μ y una varianza infinita σ² entonces la forma limite de la distribución de : _

X - μ Z = ______________ σ / √n

Cuando n ------- ∞, es la distribución normal estándar n( z; 0,1) _

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La aproximación normal para X generalmente será buena si n ≥ 30 sin importar la forma de población. Si n < 30, la aproximación es buena solo si la población no difiere de una distribución normal y, como se estableció antes, si se sabe que la población es normal, la distribución muestral de X seguirá una distribución normal, sin importar que tan pequeña sea el tamaño de las muestras.

Ejemplo.Una compañía fabrica focos que tiene un periodo de vida que están distribuido aproximadamente en forma normal, con media igual 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. _ _ _ Solución: La distribución muestral de X será aproximadamente normal con μx = 800 y σx = 40/√16 = 10. _ La probabilidad deseada la de el área de la región sombreada en siguiente figura . x = 775 _

X - μ 775 - 800Z = ____________ = ___________ = -2.5 σ / √n 10

Por lo tanto _ P(X < 775) = P( z < -2.5) = .0062

_ σx = 10

_ ________________________________________________ X 775 800

Ejemplo: 1/4 x= 0,1,2,3 Dada una población uniforme discreta f(x) = 0 en cualquier otro caso

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 36, seleccionada como remplazo, de una media muestral mayor que 1.4 pero menor que 1.8 si la media se mide y se redondea hasta las decimas.Solución:Si se calcula la media y la varianza de la distribución uniforme por medio de las formulas del.

k k ² xi ( xi - μ) i = 1 i = 1μ = ________ y σ² = _________________ k k

20

0+1+2+3 3μ = _________ = ____ 4 2

² ² ² ² (0 -3/2) + (1 -3/2) + (2 -3/2) + (3 -3/2) 5σ² = ____________________________________ = __ 4 4

_ _ La distribución muestral de X puede aproximarse por la distribución normal con media μx = 3/2 y la varianza σ² x = σ²/ n = 5/144= .186 _ _Obtener la raíz cuadrada se encuentra que la desviación estándar es σ x = .186, la probabilidad de X sea mayor que 1.4 pero menor que 1.8 esta dada por el área de la región sombreada en la siguiente figura. _ σ x = 0.186

_ ______________________________________________________ x 1.45 1.50 1.75

_ _ Los valores correspondientes de z a x1 = 1.45 x2 = 1.75 son

1.45 - 1.5 Z= _____________ = - 0.27 0.186

1.75 - 1.5 Z= _____________ = 1.34 0.186

_ Por lo tanto: P(1.4 < X < 1.8) = P ( -0.27 < Z < 1.34) = P(Z < 1.34) - P(Z < - 0.27) = 0.9099 - .3936 = .5163 tablas A.3

Ejemplo.Una muestra de tamaño n1 = 5 se saca aleatoriamente de una población que esta normalmente distribuida con media μ1 = 50 y una varianza σ²1 = 9, y se registra la media x1, una segunda muestra aleatoria de tamaño n 2 = 4 se selecciona independientemente de la primera muestra, de una población diferente que también esta normalmente distribuida, con media μ2 = 40 y varianza σ²2 = 4 y se registra la media muestral x2, encuentre P(X1 - X2 < 8.2). _ _ Solución. De la distribución muestral de X1 - X2 se sabe que la distribución es normal con media.

21

_ _ μ x1 – x2 = μ1 - μ2 = 50 - 40 = 10

Y Varianza. _ _ σ²1 σ²2σ² x1 - x2 = ____ + ___ n1 n2 = 9/5 + 4/4 = 2.8 = 1.673

La probabilidad deseadas esta dada por el área de la región sombreada en la siguiente figura correspondiente al valor x1 - x2 < 8.2 se encuentra que:

σ x1 - x2 = 1.673

_ _ ____________________________________________________ x1 - x2 8.2 10

8.2 - 10Z = ____________ = - 1.08 √ 2.8

Y de aquí que P(X1 -X2 < 8.2) = P(Z < - 1.08) = 0.1401 tablas. A.3

2.6.- ANÁLISIS DE DECISIONES

Es la técnica utilizada para ayudar a los administradores a escoger la mejor secuencia de decisiones en este tipo de problemas, donde también existen Decisiones a nivel sencillo que deben tomarse en un solo punto del tiempo, Decisiones de multinivel conjunto de decisiones que deben tomarse en varios puntos secuenciales en el tiempo. Es la ciencia de la administración que proporciona numerosas técnicas para ayudar al gerente, administrador, ingeniero a tomar decisiones sobre los problemas probabilísticos, en lo que es relevante a la información que se tenga en el momento en la toma de decisiones

Ejemplo.Una compañía es productora de series de televisión acaba de firmar un contrato para producir un nuevo espectáculo de primera línea, el presidente de la compañía se le ha encomendado determinar una inversión inicial apropiada para el programa piloto de dos horas y para los siguientes ocho episodios de un ahora de la serie.

Formulación del problema.

22

Al utilizar el análisis de decisiones consiste en identificar un numero finito de alternativas de decisión, a pesar de que el objetivo ultimo es determinar la cantidad a invertir, se plantearon tres niveles generales en las cuales se convierten en alternativas de decisión.

Nivel inferior (L). Ninguno de los actores tiene un reconocimiento sustantivo. Nivel Moderado (M). El actor principal tiene reconocimiento, pero no así ninguno de los

actores de apoyo. Nivel alto (H) Mas de uno de los actores tiene reconocimiento.

Se debe tomar en cuenta las probables posibilidades Fracaso (F). Menos del 10% de los espectadores ven el programa. Éxito (S) entre el 10% y 20% de los espectadores ven el programa. Gran éxito (G) mas del 20% de los espectadores ven el programa

El trabajo consiste en evaluar cada alternativa de inversión sobre la base de las ganancias, las ganancias no solo están basadas en l decisión de inversión inicial sino también en el éxito resultante del programa, para utilizar la técnica del análisis de decisiones es necesario recoger los datos apropiados para cada pareja decisiones resultado. En sentido común le dice que cuanto más grande sea el nivel de compromiso cualquiera que sea el monto de la inversión, mayor será la cantidad que puede perder el estudio, si usted decide invertir en el nivel alto y el espectáculo es un fracaso el estudio perderá mucho, si usted decide invertir a un nivel bajo y el espectáculo resulta ser un gran éxito, esto permitirá al estudio cobrar mayores tarifas por publicidad.

ÁRBOLES DE DECISIONES

El árbol de decisiones es una representación grafica de las alternativas, probabilidades y pagos o ganancias asociadas con un problema de decisiones, de pagos asociados de las probabilidades de las alternativas de decisión, para trazar un árbol empiece con un nodo numerado como (0) para representar el punto del tiempo en el cual se debe tomar una decisión.Ejemplo.Una empresa desea saber cuales serian las mejores probabilidades de decisión de ganancias, para A = -6,4,7, B = -4,11,13, C= -7, 4,20, donde sus probabilidades baja(.17), media(.35),alta(.48)

Ejemplo. Probabilidad(fracaso inversión baja) = P(F L) = .4 GANANCIAS DE LOS RESULTADOS.

FRACASO(f) ÉXITO(S) GRAN ÉXITO(G)DECISIONES (F) (S) (G)BAJA(L) -2 5 8MODERADA(M) -5 10 12ALTA(H) -8 6 15PROBABILIDADES 0.4 0.4 .2

Una compañía Star Productions quiere saber los pagos asociados y las probabilidades de las tres alternativas de inversión, en este punto de decisiones se debe escoger una de las alternativas de

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inversión(baja, moderada, alta). Trace un nodo por cada alternativa posible y conecte el nodo 0 a cada uno de estos nodos con un arco de la forma en que se ilustra en el siguiente figura.

Nodo Nodo probabilistico terminal P(FL)=0.4 4 -2 1 P(SL)=0.4 5 5 P(GL)=0.2 6 8 Nodo de decisión L(baja) P(FM) = 0.4 7 -5 O M(moderado) 2 P(SM) = 0.4 8 10 P(GM) =0.2 9 12 P(FH)= 0.4 10 -8 H (alta) 3 P(SH) = 0.4 11 6 P(GH)= 0.2 12 15

Para trazar el árbol empiece con un nodo numerado cono 0 para representar el punto del tiempo en el cual se debe tomar una decisión, en este punto de decisión se debe escoger una de las tres alternativas de inversión, trace un nodo por cada alternativa posible y conecte el nodo 0 a cada uno de estos nodos con un arco de la forma anterior. Considere ahora el nodo 1 que representa la selección de la alternativa de inversión baja, existen tres alternativas posibles, fracaso, éxito, gran éxito, estos resultados están representados por los nodos 4,5,6, que estén conectados con el nodo 1, el nodo 4 representa el resultado de tener un fracaso en caso de que se haya hecho una inversión baja, en este caso el pago esperado, de acuerdo con la tabla anterior es de 2 millones cantidad que se coloca junto al nodo 4, de manera similar, los pagos esperados de 5 y 8 se escriben junto a los nodos 5,6 respectivamente. El arco que conecta al nodo 1 con el nodo 4 representa el resultado de tener un fracaso, si se selecciona la alternativa de inversión baja. Usted puede asociar a este arco la probabilidad condicional de que se presente este resultado como se dio en la tabla anterior, en la grafica este valor se escribe junto al arco, la probabilidad condicional de .4 y .2 se escriben junto a los arcos que valor del nodo 1 a los nodos 5,6.En la misma grafica los nodos 7,8,9, y a los arcos que conectan a estos con el nodo 2 y la información correspondiente a los nodos 10,11,12 y a los arcos que conectan con el nodo 3, donde el nodo 0 esta representado al inicio del árbol donde este se considera no de decisión, los nodos probabilisticos 1,2,3 de los cuales se derivan los resultados inciertos, y los terminales 4,12 El árbol de decisiones le ayuda a ver las interrelaciones entre todos los elementos del problema. Primero debe calcularse el pago esperado asociado con cada alternativa que corresponda a los nodos 1,2,3, el pago esperado para el nodo 1 se obtiene mediante la suma de los resultados de multiplicar cada pago asociado con un nodo terminal al nodo 1( es decir los nodos 4,5,6) con la correspondiente probabilidad de rama.

(Ganancia esperada para 4) * (prob asociada al arco 1-4) +Ganancia esperada para 1 = (Ganancia esperada para 5) * (prob asociada al arco 1-5) + (Ganancia esperada para 6) * (prob asociada al arco 1-6) + =(-2*.4)+(5*.4)+(8*.2) = 2.8

24

esta es la mejor opción (Ganancia esperada para 7) * (prob asociada al arco 2-7) +Ganancia esperada para 2 = (Ganancia esperada para 8) * (prob asociada al arco 2-8) + (Ganancia esperada para 9) * (prob asociada al arco 2-9) + =(-5*.4)+(10*.4)+(12*.2) = -2+4+2.4 =4.4

(Ganancia esperada para 10) * (prob asociada al arco 3-10) +Ganancia esperada para 3 = (Ganancia esperada para 11) * (prob asociada al arco 3-11) + (Ganancia esperada para 12) * (prob asociada al arco 3-12) + =(-8*.4)+(6*.4)+(15*.2) = -3.2+2.4+3 =2.2

Usted escribe este valor junto al nodo 1, cálculos similares identifican los pagos esperados para los nodos 2,3, la información resultante a continuación, donde se identifica la mejor alternativa debido a su pago esperado de $4.4 millones en el nodo 2, es el más grande de las tres alternativas, donde la decisión es optima.

Ganancias esperadas 1 = (-2*.4)+(5*.4)+(8*.2)= 2.8 Ganancias esperadas 0 2 = (-5*.4)+(10*.4)+(12*.2)= 4.4

Ganancias esperadas 3 = (-8*.4)+(6*.4)+(15*.2)= 2.2

2.7.- PROCESOS DE MARKOV

Proceso de Markov (denominados cadenas de Markov).- Es una familia de modelos dinámicos, son descriptivos porque buscan determinar en forma secuencial las probabilidades de que ocurra o no ocurra ciertos eventos, son similares a los modelos de línea de espera, árbol de decisionesLas condiciones iníciales y finales de un proceso de markov se denominan estados.Las ocurrencias repetidas del evento que se estudia se llaman ensayos.La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente se conoce como probabilidad de transición.

Principio de Markov:Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior, cumple con el Principio de Markov de Primer Orden, es decir.

Definiciones en los Procesos de Markov de Primer Orden:

25

Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles.Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia.Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un período ó tiempo, y se denota por pij ( la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una transición ó período)

Características de los Procesos de Markov de Primer Orden:Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes propiedades:

a) Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov.b) Existencia de un número finito de estados.c) Las pij son constante con respecto al tiempo ó período.d) Ensayos en períodos iguales.

Si un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior, este es un proceso de Markov de mayor orden. Por ejemplo, Un proceso de segundo orden describe un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores.Los procesos de Markov también se les llama Cadenas de Markov.

Notaciones que utilizaremos:

pij = probabilidad de transición en un período.P = [pij]nxn matriz de transición formada por los valores de pij , donde cada fila representa el estado inicial donde se parte y las columna el estado al que se ira en un período.

representa la probabilidad de ir del estado i al estado j en k períodos.

P(k)=[ ]nxn la matriz de transición de k períodos.Si(t) = probabilidad de encontrarse en el estado i en el período t.S(t) =(S1(t) , S2(t) , . . . . , Sn(t)) vector de probabilidad de estado en el período t. Para n estados.

Los sucesos que cumplan con un proceso de Markov, se pueden representar por medio de un esquema donde los nodos indique los estados y arcos dirigidos de nodo a nodo con un número que representa la probabilidad de transición de ir de un estado a otro, ó por medio de una matriz de transición.

Ejemplo:

Para calcular:= p11.p11+ p12.p21+ p13.p31

= 0,2.0,2+0,3.0,3+0,5.0,2 = 0,23

26

= p11.p12+ p12.p22+ p13.p32 = 0,2.0,3+0,3.0,4+0,5.0,4 = 0,38

= p11.p13+ p12.p23+ p13.p33 = 0,2.0,5+0,3.0,3+0,5.0,4 = 0,39

luego + + =1

Otra forma es usando el vector de probabilidades y la matriz de transición, es decir:

S(0) = (1, 0, 0) S(1) = S(0).P = (0,2; 0,3; 0,5)

S(2) =S(1).P =(0,23; 0,38; 0,39)

Ejemplo:

Una compañía se dedica a rentar carros uno se encuentra en la región del norte en mes de 0, los nodos del árbol son las ubicaciones en los meses 0,1,2, y en las ramas del árbol aparecen las probabilidades de cada transición, cual es la probabilidad de encontrarse en cada uno de los estados en el mes 2 se calculan multiplicando las probabilidades individuales de transición donde la probabilidad de estar en el norte en cada uno de los tres meses esta dada por (.2)(.2) =.04, para determinar la probabilidad de que un camión se encuentre en el norte después de dos meses, se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el norte, vector inicial(0.4,0.3,0.3)

PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN

Ubicación Ubicación Ubicación probabilidad

En el En el En el de cadaMes 0 Mes 1 Mes 2 ubicación en el mes 2

Norte 0.04

0.2 Norte 0.3 Central 0.06

0.5 Sur 0.10 0.2 Norte 0.09 0.3 Central NORTE 0.3 0.4 Central 0.12 0.3 Sur 0.09

27

0.5 0.2 Norte 0.10 sur 0.4 Central 0.20

0.4 Sur 0.20

P(de estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes 0)=.04+.09+.10=.23P(de estar en el central en el mes 2 dado que se estaba en el norte en el mes 0)=.06+.12+.20=.38P(de estar en el sur en el mes 2 dado que se estaba en el norte en el mes 0)=.10+.09+.20=.39

MATRIZ DE PROBABILIDAD ESTA PROBABILIDAD DES ESTADO ESTABLE

Si se utiliza notación de matrices, estos cálculos para el mes 1 aparecerán de la siguiente manera

N C S N C S 0.2 0.3 0.5 N C S [ 1 0 0 ] 0.3 0.4 0.3 = [0.2 0.3 0.5 ] 0.2 0.4 0.4 Vector de probabilidad Matriz de transicion Vector de probabilidadPara comenzar en de un mes después de un mes.El norte.

Para el segundo mes repetimos los cálculos.

N C S N C S 0.2 0.3 0.5 N C S [ .2 .3 .5 ] 0.3 0.4 0.3 = [0.23 0.38 0.39 ] 0.2 0.4 0.4 Vector de probabilidad Matriz de transicion Vector de probabilidadPara después de un mes de un mes después de dos mes.

Observe que estas series de cálculos pueden combinarse en uno de los siguientes

N C S N C S N C S 0.2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 N C S [ 1 0 0 ] 0.3 0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 =[0.23 0.38 0.39] 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4

Vector de proba Matriz de transición Matriz de transición Vector de probabilidadPara comenzar en de un mes de un mes después de dos mes.El norte.

28

El calculo del vector de probabilidad después de dos meses depende del vector de probabilidad en el mes 0 y de la matriz de transición de un mes, en los cálculos anteriores se utilizo un vector de probabilidad inicial que representaba un camión que había comenzado en el norte, para calcular la proporción de camiones que se encontraran en cada región después de dos meses, simplemente se sustituye la proporción original de camiones que se encuentran en cada región y se considera como el vector inicial de probabilidad es decir[.4 .3 .3] y se convierte en.

N C S N C S N C S 0.2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 N C S [.4 .3 .3 ] 0.3 0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 =[0.236 0.377 0.387] 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4

Proporción de Matriz de transición Matriz de transición proporción de camionesCamiones en de un mes de un mes en el mes 2.Mes 0

De estos cálculos pueden verse después de dos meses que 23.6% de todos los camiones se encontrara en el norte 37.7% esta en la región central y 38.7% en el sur

ESTUDIOS DE CASOS FENÓMENOS DE PREFERENCIA

Una escuela financiada por el gobierno carreras de dos años, están interesados en saber cuantos alumnos se gradúan cada año, cuantos continuaran en la escuela y cuantos renunciaran a ella, esta información es útil para plantear las necesidades futuras de profesores para obtener fondos del estado. Donde los estudiantes que terminan su primer año pueden continuar en la escuela o pasar a otra( a un estudiante que renuncia a la escuela se le considera como transferible). Si los estudiantes continúan pueden asistir a cursos del segundo año o repetir cursos del primero, los que terminan el segundo año se gradúan con un grado intermedio, continúan en la escuela para terminar los requisitos del grado o se transfieren otra escuela sin terminar los cursos necesarios para obtener el grado intermedio, en un estudio de datos anteriores se ha determinado la proporción que cae en la categoría.

1º 2º año año grad trans1º año 0.1 0.7 0 0.22º año 0 0.2 0.6 0.2grad 0 0 1 0trans 0 0 0 1

Esta matriz de transición es diferente de las que vimos antes, en primer lugar no es posible pasar a todos los demás estados a partir de un especifico, donde un estudiante de primer año no puede graduarse, en segundo lugar un estudiante que alcanza el estado de graduado o el transferido no puede pasar a ningún otro estado. Por esta razón, estos estados (graduado y transferibles) se conoce como estados absorbentes porque una vez que se alcanza no puede abandonarse. Que proporción de los estados originales no absorbentes terminaran en cada uno de los estados absorbentes, que

29

proporción de estudiantes de primer o segundo año se graduaran, y que proporción se transferirán a otra escuela o la abandonaran.

Donde primero definiremos la matriz fundamental Q.

Eliminar los renglones correspondientes a los estados absorbentes originales. Dividir la matriz restante en estados absorbentes y no absorbentes, denominar G a la parte de

la matriz bajo estado absorbentes, y a la parte bajo estados no absorbentes, H Calcular Q = (I-H) elevada a la menos 1, en donde I = matriz identidad( diagonal principal, y

ceros en las demás posiciones) y el exponente –1 se refiere al inverso de una matriz.

1.- Eliminar los renglones.

1º 2º año año grad trans1º año 0.1 0.7 0 0.22º año 0 0.2 0.6 0.2

2.- Dividir los renglones restantes en cada estado absorbentes y no absorbentes.

0 .2 .1 .7 1 0G = .6 .2 H = 0 .2 I = 0 1

Matriz Unitaria.

Inversa de una matriz

1 d -b d - b

B = _________ = ______ _______

ad - bc c a ad-bc ad-bc

-c a

---------- -----------

ad-bc ad-bc

-1

3. Calcular Q = ( I - H )

-1 -1

(1- .1) ( 0 - .7) 0.9 -.7 .8 .7 1.111 .972

30

Q = (0 – 0) ( 1 -.2) = 0 .8 = 0 .9 = 0 1.250

Se cambian signos invertir

Utilizando Q puede calcularse la proporción de estudiantes que alcanzaran cada uno de los estados absorbentes, si esta matriz de proporción se denota R, en donde Rij = proporción de estudiantes en un estado inicial i que en algun momento pasan a un estado absorbente j .

Hacer el producto de renglón por cada una de las columnas para poder obtener los siguientes valores de la matriz R = QG

1.111 .972 0 .2

Q = 0 1.250 y G = .6 .2

Por lo que.

1.111 .972 0 0.2 .583 .417

R = 0 1.250 0.6 0.2 = .750 .250

R11 = .583 = proporción de estudiantes que se encuentran en el primer año y que en algún momento se graduaran.R12 = .417 = proporción de estudiantes que se encuentran en el primer año y que se transfieren a alguna otra escuela.R21 = .750 = proporción de estudiantes que se encuentran en su segundo año y que se graduaran.R22 = .250 = proporción de estudiantes que se encuentran en su segundo año y que se transfieren.

Si ahora existieran 1000 estudiantes de primer año y 800 estudiantes de segundo año es de esperarse que.(.583) (1000) = 583 estudiantes de primer año que en algún momento se graduaran.(.417)(1000) = 417 estudiantes de primer año que se transferirán.(.750)(800) = 600 estudiantes de segundo año que se graduaran.(.250)(800) = 200 estudiantes de segundo año que se transferirán.

Si los administradores desean que se gradué en promedio 700 estudiantes entonces será necesario aumentar él numero de alumnos de primer año a (700/.583) = 1201 estudiantes.

2.7.1.- PROCESOS ESTOCASTICOS.

Proceso Estocástico.- Se consideran una familia de modelos dinámicos que son estocásticos así como dependientes del tiempo.

Estocástico.- son fenómenos estadísticos, de probabilidad.

31

Los procesos estocásticos, y más concretamente las llamadas cadenas de Markov, han tenido en los últimos años un amplio desarrollo debido a sus múltiples aplicaciones. Y es que este tipo de cadenas aparecen con frecuencia en disciplinas tan diversas como la física de partículas, los modelos económicos, la psicopedagogía o la epidemiología.

Es muy frecuente que en muchos procesos biológicos, sociológicos o incluso en física teórica, aparezcan sucesos producidos por el azar, pero conectados entre sí como los eslabones de una cadena. La cadena que une todos estos procesos tiene una especial peculiaridad: un eslabón determina en cierta forma cual será el eslabón siguiente, pero sin embargo es independiente del eslabón anterior. Estos procesos fueron estudiados por el matemático ruso Andrei Andreyevich Markov, motivo por el que llevan su nombre. Un estudio general de las cadenas de Markov se sale por completo del marco de esta exposición, lo que no quita que podamos exponer los conceptos básicos que las configuran y que nos permitirán entender la esencia de su lenguaje.

El comportamiento de un sistema así condujo a un análisis de un tipo particular de un proceso estocástico, se puede ilustrar las ideas presentadas considerando el siguiente aplicación.

Ejemplos:

1. En un lote de autos usados, el 25% son de la marca Ford, el 45% son Chevrolet y el 30% son Chrysler, de los cuales, 2 de cada 8 autos Ford son estándar, 1 de cada 10 autos Chevrolet son estándar y 2 de cada 10 autos Chrysler son también estándar, un cliente compra un auto de este lote, a.) ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea estándar?, b.) ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet estándar?, c.) ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o Chrysler automático?Solución:

a. Haciendo uso de un diagrama de árbol como se muestra, se facilita hacer el cálculo de probabilidades 

S 2/8F

25% A 6/8S 1/10

45% CH

A 9/10 30% S 2/10

Chr

A 8/10

 

P(seleccionar un auto estándar) = p(seleccionar un Chevrolet o Chrysler o Ford estándar) = p(ChÇS) + p(ChrÇS) + p(FÇS)

= p(Ch)p(S½Ch) + p(Chr)p(S½Chr) + p(F)p(S½F)

32

= 0.45*1/10 + 0.30*2/10 + 0.25*2/8

= 0.045 + 0.06 + 0.0625

= 0.1675

b. p(seleccionar un Chevrolet estándar) = 0.45*1/10 = 0.045

c. p(seleccionar un Ford o Chrysler automático) = p(FÇA) + p(ChrÇA)

= p(F)p(A½F) + p(Chr)p(A½Chr) = 0.25*6/8 + 0.30*8/10 = 0.1875 + 0.24 = =0.4275

2. En un lote de producción se tienen 150 artículos, de los cuales 30 son del tipo A, 60 del tipo B y 60 del tipo C, de los que el 15% de los productos del tipo A, 20% de los productos del tipo B y 5% de los productos del tipo C, no cumplen con las especificaciones, si se selecciona un producto de este lote al azar, a.) Determine la probabilidad de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones, b.) Si el producto seleccionado no cumple con las especificaciones, ¿cuál es la probabilidad de que sea un producto del tipo B?, c.) ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con las especificaciones y sea del tipo B?

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol como en el caso anterior, procederemos a dar solución al problema en cuestión;

NC 15%A

30/150 C 85%

60/150 B NC 20%

C 80%60/150

C NC 5%

C 95%

a.- p(producto seleccionado no cumpla con las especificaciones) = 30/150*0.15 + 60/150*0.20 +

60/150*0.05

= 0.04 + 0.08 + 0.02 = 0.14b.-)

a.- E = evento de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones

b.- B = evento de que el producto seleccionado sea del tipo B

33

p(B½E) = p(BÇE)/p(E) = (60/150*0.20)/0.14 = 0.08/0.14= 0.57143

c.-) p(cumpla con las especificaciones y sea del tipo B) = 60/150*0.8 = 0.32

3. En una urna se tienen 10 esferas blancas, 5 verdes y 2 azules, se extraen de la urna dos esferas una tras otra, sin reemplazo, a.) Determine la probabilidad de que la segunda esfera extraída sea verde, b.) ¿cuál es la probabilidad de que ambas esferas sean blancas, c.) Si la segunda esfera es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca?

Solución:9 B 9/16

B 5 V 5/16

10/17 2 A 2/1610 B 10/165 V 10

5/17 5 V 4/16

2 2 A 2/1610 B 10/16

A 5 V 5/16

2/17 1 A 1/16

primera esfera segunda esfera

a. p(segunda esfera sea verde) = p(B)p(V½B) + p(V)p(V½V) + p(A)p(V½A) =

= 10/17*5/16 + 5/17*4/16 + 2/17*5/16 =

= 50/272 + 20/272 + 10/272 = 80/272 =0.29412

b. p(ambas esferas sean blancas) = 10/17*9/16 = 90/272 = 0.33088

c. E = evento de que la segunda esfera seleccionada sea verde

B = evento de que la primera esfera sea blanca

P(B½E) = p(BÇE)/p(E) = (10/17*5/16)/(80/272)

=(50/272)/(80/272) = 0.625

2.7.2.- CADENAS DE MARKOV.-

34

Son una serie de eventos en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato, esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. El juego de blackjack(veintiuno) es un juego en el que el pasado condiciona al futuro Conforme se van jugando las cartas, las posibilidades en las siguientes manos se van modificando, las posibilidades en el juego dependen del estado o las condiciones en que se encuentre el monte.Las cadenas de markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos, para plantear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo, donde puede proporcionar información importante cuando es aplicada, el análisis de markov es similar a la programación lineal.

DESCRIPCIÓN DE UNA CADENA DE MARKOV

En la fig siguiente se muestra el proceso para generar una cadena de markov, en general markov produce uno de (n) eventos posibles, (Ej )donde J=1,2,..n a intervalos discretos de tiempo(que no tiene que ser iguales). La probabilidad de ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este estado se describe por ultimo evento generado, él ultimo evento generado fue (Ej ) de manera que el generador se encuentra en el estado (Sj). La probabilidad de que (Ek) sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional P(Ek/Sj) esto se llama probabilidad de transición del estado (Sj) al estado (Ek) para describir completamente una cadena de markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición.

Estado Generador Movimiento Sj

Evento generado E1 E4 E6 E j

T1 t2 t3 t4 tiempo

PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN.

Para describir una cadena de markov es como un diagrama de estados, como se muestra a continuación, en esta ilustración un sistema de markov con cuatro estados posibles S1, S2, S3, S4, la probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama, como sigue es decir p14 =P(S4/S1), donde las flechas muestran las trayectorias de transición que son posibles. P31

P13

35

P12 P21 P43 p34

P24

P42 Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición, la matriz de transición del diagrama de estados se muestra a continuación, cuando existen cuatro estados posibles, es necesario 4 x 4 =16 probabilidades, también notese que cada renglón de la matriz suman 1, esto se debe a que el sistema debe hacer una transición.

S1 s2 s3 s4 total

De: s1 0 p12 p13 0 1 S2 p21 0 0 p24 1 S3 p31 0 p33 p34 1 S4 0 p42 p43 p44 1

Las probabilidades de transición son datos para el análisis, se debe conocer, no existe manera de derivarlas, en algunas aplicaciones esto puede ser una limitación.O en forma equivalente, la matriz de transición de (n) pasos

Estado 0 1 ....... M (n) (n) (n) 0 P00 P01 …… Pom (n) (n) (n) 1 P10 P11 ……. P1m (n) P = .. ...... ...... ...... ...... (n) (n) (n) M Pmo PM1 ........ PMM

Observe que la probabilidad de transición en un renglón y columna dados es para la transición del estado en ese renglón al estado en la columna. Cuando n=1 el superíndice (n) no se escribe y se hace referencia a esta como la matriz de transición

CALCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICION.

Una análisis útil es pronosticar el estado del sistema después de 1,2,3, o más periodos, esto se llama análisis de transición, debido a que es a corto plazo y esta enfocado a periodos cortos.Ejemplo.Una copiadora de oficina, poco segura, si esta funcionando un día, existe un 75% de posibilidades de que al día siguiente funcione y un 25% de posibilidades de que no funcione, pero si no esta funcionando, hay 75% de posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y solo un 25% de que si lo haga(se lleva mucho tiempo la reparación). Se debe conocer el estado actual, supóngase que

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se esta comenzando y que hay 75% de posibilidades de estar en el estado 1 y 25% de estar en el estado 2, esto define el estado actual en forma probabilista, cual es la probabilidad de estar en el estado 1 al día siguiente, si se comienza en el estado 2 solo hay 25% de cambiar el estado 1 así. S1 S2 S1 0.75 0.25 S2 0.25 0.75

0.25 0.25 p(S1)=P(comiense S1)p11+ P(comienS2)p21 =(.75)(.75) + (25)(.25) = 0.625

Como solo hay dos estado, entonces P(s2) =0.375 Después de dos días. P(S1) = 0.625p11 +0.375p21 = 0.625(0.75) +0.375(0.25) = .562También se puede representar en forma de un diagrama de árbol, donde los resultados de los primeros cuatro días son.(fig 1)

P(S1) P(S2)Inicio: 0.75 0.251 0.625 0.375 0.567 0.433

0.531 0.469 0.516 0.484

En los sistemas con mas estados, los cálculos se vuelven más largos, pero el procedimiento es el mismo, considérese el sistema de tres estados que se muestran a continuación, supóngase que el sistema se encuentra en el estado S1 en el diagrama puede observarse para el siguiente ciclo.

S1 s2 s3

P(S1)= p11 = 0.4 p11 p12 p13 s1 .4 .3 .3

P(S2)= p12 = 0.3 p21 p22 p23 s2 .1 .8 .1

P(S3)= p13 = 0.3 p31 p32 p33 s3 .1 .3 .6

0.3

0.1

.1 .1 .3 .3

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PS1 PS2 PS3.4 .3 .3P(S1) =.4P11 + .3P21 +.3P31 =.4(.4) +.3(.1) +.3(.1) = 0.22

P(S2) = .4P12 +.3P22 +.3P32= .4/.3) +.3(.8) +.3(.31) = .45

P(S3)=.4P13+.3P23+.3P33=.4(.3) +.3(.1) +.3(.6)=.33

P(S1) =.22P11 + .45P21 +.33P31 =.22(.4) +,45(.1) +.33(.1)=.166

P(S2)= .22P12 +.45P22 +.33P32=.22(.3)+.45(.8) +.33(.31) =.53

P(S3)=.22P13+.45P23+.33P33=.22(.3)+.45(.1)+.33(.6)=.304

P(S1)=.16P11 + .53P21 +.304P31 =.16(.4) + .53(.1) +.304(.1) = .15

P(S2)=.16P12 +.53P22 +.304P32=.16(.3) +.53(.8)+.304(.31)=.56

P(S3)=.16P13+.53P23+.304P33=.16(.3)+.53(.1)+.304(.6) =.285

P(S1)=.15P11 + ..56521 +.285P31=.15(.4) +.565(.1)+.285(.1)= .145

P(S2)=.15P12+.565P22 +.285P32=.15(.3)+.56(.8)+.28(.31) =.58

P(S3)=.15P13+.565P23+.285P33=.15(.3)+.565(.1)+.285(.6)=.275

Como el sistema se debe encontrar en algún estado, solo es necesario calcular dos de estas probabilidades y la tercera puede encontrarse con la siguiente relación.

P(S1) +P(S2)+P(S3) =1

INICIO P(S1) P(S2) P(S3) 1 .4 .3 .3 2 .22 .45 .33 3 .166 .53 .304 4 .15 .565 .285 5 .145 .58 .275

CALCULOS DE LAS PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE.Las cadenas de markov poseen una propiedad notable en cuanto a que tienden a aproximarse a lo que se llama estado estable, en el sistema anterior de dos estados P(S1) resulto ser 0.75 al principio y después 0.625, 0.567, 0.531 y .516 donde esta probabilidades se mueven hacia un limite, en el sistema de tres estados pueden observarse que P(S2) adquiere los valores 0.3, 0.45, 0.53, 0.58.Cuando una cadena de markov ha llegado lo suficientemente lejos como para estar cerca de estos limites, se dice que alcanzado un estado estable. Los limites de estado estable se refieren solo al porcentaje de tiempo a largo plazo que el sistema se encontrara en cada estado particular.

METODO DE LA SUMA DE FLUJOS.

Este método esta basado en el concepto de que todo lo que entra debe salir, el diagrama de estados se usa para presentar los flujos, en la siguiente figura se muestra los estados de dos, para cada estado puede escribirse una ecuación tal que para el estado (k) se cumpla.

pik P(Si) = pik P(Dk)toda i k toda i k

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Observando el estado S1 donde solo es n las flechas entre los estados, para los flujos que llegan se tiene.

2.7.2.- CADENAS DE MARKOV ERGODICAS.

Si todos los estados de una cadena son recurrentes, y se comunican entre si se dice que la cadena es ergodicas. Ergodica No ergodica ergodica ½ ½ 0 0 1/3 2/3 0 1/2 1/2 0 0 ¼ ½ ¼ P1 = 1/2 0 1/2 P2 = 0 0 2/3 1/3 P3= 2/3 1/3 0 0 ¼ 3/4 0 0 2/3 1/3 0 2/3 1/3

Representacion de una matiz de transición.

Definicion: Un estado i es un estado transitorio si existe un estado j que es alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j.

.3 .7 .6 3 4 .4 .4 1 2 .5 .5 .5 .8 .3

S1 S2 5 .2

Un estado (i) es un estado absorbente si Pii = 1

Ejemplo.

Supóngase que toda la industria de la construcción fabrica dos tipos de concreto 1, 2, dado que una persona la ultima vez compro el 1, hay 90% de probabilidades de que su siguiente compra sea el 1, dado que la ultima compra de una compra fue el 2 , hay el 80 % de probabilidad de que su siguiente compra sea 2.

1. Si una persona en la actualidad es comprador de el 2, cual es la probabilidad de que compre el 1 dos veces a partir de ahora.

2. Si una persona en la actualidad es comprador de el 1, cual es la probabilidad de que compre el 1 tres ocasiones a partir de ahora.

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En cualquier tiempo dado, del tiempo de cemento que compro la persona en la ultima vez, así las compras de cada individuo pueden representarse como una cadena de markov de dos estados donde.

Cemento 1 = la persona compro cemento de tipo 1 la ultima vez.Cemento 2 = la persona compro cemento de tipo 2 la ultima vez.

Donde Xn como el tipo de cemento que una persona compra en su n-esima compra futura(compra actual de cemento = Xo, X1… se podría describir como la cadena de Markov con la siguiente matriz de transición. cem1 cem 2 Cement 1 . 90 .10P = Cement 2 .20 .80 21.- Se busca P(x2 = 1 I Xo = 2) = P21(2) = elemento 21 de P :

. 90 .10 . 90 .10 .83 .17P = .20 .80 .20 .80 = .34 .66

P21(2) = .34 esto significa que la probabilidad de que un comprador de cemento 2 en el futuro compre dos veces cemento 1 es .34, obsérvese que P21(2) = (probabilidad de que la siguiente compra sea cemento 1 y la segunda compra sea cemento 1) + ( probabilidad de que la siguiente compra sea cemento 2 y la segunda compra sea cemento 1) = p21p11 + p22p21 = (.20)(.90) + (.80)(.20) = .34 3 2.- Se busca P11 (3) = elemento 11 de P 3 2P = P(P) = . 90 .10 . 83 .17 .781 .219 .20 .80 .34 .66 = .438 .562

Por lo tanto P11(3) = .781

Cemen 2

P22 = .80 P12 = .10

Cement 2 Cement1

P21 = .20 P11 = .90 Cement 1

Tiempo 0 Tiempo 1 tiempo 2

40

2.7.3.- CADENAS MARKOV ABSORBENTES.

Muchas aplicaciones interesantes de las cadenas de Markov incluyen cadenas en las que algunos de los estados son absorbentes y el resto son transitorios, a esas cadenas se les llama cadenas absorbentes, si comenzamos en un estado transitorio, entonces al final tendremos la seguridad de dejar el estado transitorio y terminar en uno de los estados absorbentes.

Se formulara la matriz de transición con los estados en una lista con el siguiente orden.

1.- Los estados transitorios y después los absorbentes donde s-m estados transitorios (t1,t2,t3,…t s-m) y m estados absorbentes (a1, a2,….am). Entonces la matriz de transición para la cadena de absorción puede escribirse como sigue.

S – m m Colum colum s-m Q RP = renglones 0 I

Donde:Los renglones y las columnas de P corresponde, en orden a los

1. Estados t1,t2,t3,….t s-m , a1,a2,….am donde.2. I es una matriz identidad de m x m, que refleja el hecho de que nunca podemos dejar un

estado absorbente.3. Q es una matriz (s-m) x (s-m) que representa las transiciones entre los estados transitorios.4. R es una matriz (s-m) x m que representa las transiciones desde los estados transitorios a los

estados absorbentes, 5. 0 es una matriz m x (s-m) que consta de ceros, esto refleja el hecho de que es imposible ir

de un estado absorbente a uno transitorio.

Ejemplo.Estado 1 cuentas nueva.Estado 2 Los pagos de la cuenta están retrasados un mes.Estado 3 Los pagos de la cuenta están retrasados dos meses.Estado 4 Los pagos de la cuenta están retrasados tres meses.Estado 5 Se ha saldado la cuenta.Estado 6 Se ha cancelado la cuenta por ser mal pagador.

Los últimos datos indican que la siguiente cadena de Markov describe como cambia el estado de una cuenta de un mes al siguiente.DATOS:

Nueva 1 mes 2 mese 3 meses pagado incobrableNueva. 0 .6 0 0 .4 01 mes 0 0 .5 0 .5 0 2mese. 0 0 0 .4 .6 0

41

3 mese 0 0 0 0 .7 .3 Pagado 0 0 0 0 1 0Incobrable 0 0 0 0 0 1

Si al principio de un mes una cuenta lleva dos mese de atraso al comienzo de un mes, hay 40% de probabilidad de que al comienzo del siguiente mes no se pague la cuenta( y por consiguiente, tres meses de atrazo) y 60% de probabilidades de que se pague la cuenta. Para simplificar se supondrá que después de tres meses, la cuenta cobra o se considera incobrable.Una vez que una deuda se paga la deuda o se borra como deuda incobrable, se cierra la cuenta y ya no ocurre mas transiciones, por lo tanto las deudas pagada e incobrable son estados absorbentes. Puesto que cada cuenta finalmente será paga o borrada como incobrable, nuevas, 1 mes, 2 mes, y 3 meses son estados transitorios, una cuenta vencida hace 2 meses puede seguir la trayectoria 2 meses- pagada pero no hay retorno de cobrada a 2 meses. Una nueva cuenta característica será absorbida como deuda cobrada o incobrable, una pregunta de mayor interés es, cual es la probabilidad de que finalmente sea cobrada una cuenta nueva.

1.-Cual es la probabilidad dde que finalmente se cobre una cuenta nueva.2.-Cual es la probabilidad de una cuenta con un mes de retrazo en algún momento sea una deuda incobrable.3.- Si en promedio las ventas de la empresa son $100,000 por mes, cuanto dinero por año se quedara sin cobrar.

T1 = nueva. T2 = 1 mes T3 = 2 mese. T4 = 3 meses. A1 = pagado. A2 = incobrable.La matriz de probabilidad de transición se puede expresar como.

Nueva 1 mes 2 mese 3 meses pagado incobrableNueva. 0 .6 0 0 .4 01 mes 0 0 .5 0 .5 0 2mese. 0 0 0 .4 .6 03 mese 0 0 0 0 .7 .3 Pagado 0 0 0 0 1 0Incobrable 0 0 0 0 0 1

Entonces s =6 m = 2

0 .6 0 0 .4 0 1 0 0 0 Q = 0 0 .5 0 R = .5 0 I = 0 1 0 0 0 0 0 .4 .6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 .7 .3 0 0 0 1 4x4 4x2 Entonces: I - Q

1 0 0 0 0 .6 0 0 1 -.6 0 0 I = 0 1 0 0 Q = 0 0 .5 0 = 0 1 .5 0 0 0 1 0 0 0 0 .4 0 0 1 -.4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

42

Inversa. 1 -.6 0 0 1 0 0 0 1 .6 .3 .12 0 1 .5 0 0 1 0 0 0 1 .5 .20 0 0 1 .4 0 0 1 0 = 0 0 1 .4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T1 t2 t3 t4 -1 t1 1 -.6 .3 .12 .4 0 .964 .036 (I - Q) R = t2 0 1 -.5 .20 .5 0 = .940 .060 t3 0 0 1 -.4 .6 0 .880 .120 t4 0 0 0 1 .7 .3 .700 .300

2.8.- FORMULACIÓN DEL EJEMPLO DE INVENTARIOS COMO UNA CADENA DE MARKOV.

Recordamos que Xt es él numero de cámaras en el almacén al final de la semana t( antes de ordenar mas), donde Xt representa el estado del sistema en el tiempo t, dado que es el estado actual es Xt=i, donde X t+1 depende solo de D t+1(la demanda en la semana t+1) y Xt como Xt+1 es independiente de la historia del sistema de inventarios, el proceso estocástico {Xt} {t=0,1..} tiene la propiedad markoviana y por lo tanto es una cadena de markov.Se vera como obtener las probabilidades de transición ( de un paso), es decir los elementos de la matriz de transición ( de un paso).

Estado 0 1 2 3 0 P00 P01 P02 P03

P = 1 P10 P11 P12 P13 2 P20 P21 P22 P23 3 P30 P31 P32 P33

dado que Dt+ 1 tiene una distribución poisson con media de 1 entonces n -1 (1) e -1P { Dt+1 = n } = _________ para n = 0,1,2.. e = (2 .718281) =.368 n !Así 0 0 P{D t+1= 0 } = 1 .368 = 1 .368 = 1 * .368 = .368

(0) ! (0) !

1 1 P{D t+1= 1 } = 1 .368 = 1 .368 = 1 * .368 = .368

(1) ! (1) !

43

2 2 P{D t+1= 2 } = 1 .368 = 1 .368 = 1 * .368 =.184

(2) ! (2) !

P{Dt+1 3}= 1 – P{ Dt+1 2} = 1 – (.368 +.368 +.184) = .080

Para el primer renglón de P, se trata de la transición del estado Xt = 0 a algún estado Xt+1

Xt+1 = max (3- Dt+1, 0} si Xt = 0

Por lo tanto para la transición a X t+1 = 3, Xt+1 = 2 o Xt+1 = 1

P03 = P{ Dt+1 = 0 } = .368P02 = P{ Dt+1 = 1 } = .368P01 = P{ Dt+1 = 2 } = .184

Una transición de Xt = 0 a Xt+1 = 0 implica que la demanda de cámaras en la semana t + 1 es 3 o más, después que se agregaron 3 cámaras al inventario agotado el principio de la semana de manera quePoo= P{Dt+1 3}= 0.80

Para los otros renglones de P, es.Xt+1 = max { Xt –Dt+1, 0} si Xt+1 1.

Esto implica que Xt+1 Xt entonces, P12 = 0, P13 = 0 para las otras transiciones.

P11 = P{Dt+1 =0 } = .368P10 = P{Dt+1 1} = 1 – P{Dt+1 = 0 } = .632P22 = P{ Dt+1 = 0 } = .368P21 = P{ Dt+1 =1 } = .368P20 = P{Dt+1 2} = 1-P{Dt+1 1} = 1 – (.368 +.368) = .264

Para el ultimo renglón de P, la semana t+1 comienza con 3 cámaras en inventario y los cálculos de las probabilidades de transición son justo las mismas que para el primer renglón, en consecuencia la matriz completa es.

Estado 0 1 2 3

0 .080 .184 .368 .368 1 .632 .368 0 0P = 2 .264 .368 .368 0 3 .080 .184 .368 .368

La información dada por la matriz de transición también se puede describir con el diagrama de transición de estados, los cuatro estados posibles para el numero de cámaras que se tienen al final

44

de la semana se representa por lo cuatro nodos.(círculos) en el diagrama, la flecha muestran las transiciones posibles de un estado a otro o, en ocasiones de regreso al mismo estado cuando la tienda de cámaras va del final de una semana al final de la siguiente. El numero junto a cada flecha da la probabilidad de que ocurra esa transición en particular cuando la tienda de cámaras esta en la base de la flecha. .632 .368 .80 0 1 .184 .368 .264 .368 .080 .184 .368 2 3 .368 .368 .368

Ejemplo.El valor de una acción, al final de un día dado se registra el precio, si la acción subió, la probabilidad de que suba mañana es .7 si la acción bajo, la probabilidad de que suba mañana es solo .5, esta es una cadena de markov, donde el estado 0 representa que el precio de la acción sube y el estado 1 representa que baja, la matriz de transición esta dada por. Estado 0 1 0 .7 .3 P = 1 .5 .5

Ejemplo.Suponga ahora que el modelo del mercado de acciones se cambia de manera que el que una acción suba o no mañana depende de si subió o no hoy y ayer, en particular si la acción subió los dos días, ayer y hoy, la probabilidad de que suba mañana es .9, si la acción subió hoy pero ayer bajo, mañana subirá con la probabilidad d .6, si la acción bajo hoy pero ayer subió, entonces mañana subirá con probabilidad de .5 por ultimo, si bajo durante estos dos días, la probabilidad de que mañana suba es .3. si se define el estado como la representación del hecho de que la acción baje o suba hoy, se puede transformar en una si se define los estados como sigue.

Estado 0. la acción aumento hoy y ayer.Estado 1. la acción aumento hoy y ayer bajo.Estado 2. la acción bajo hoy y ayer aumento.Estado 3. la acción bajo hoy y ayer.Esto conduce a una cadena de markov de cuatro estados

Estado 0 1 2 3

0 .9 0 .1 0 1 .6 0 .4 0P = 2 0 .5 0 .5

45

3 0 .3 0 .7

Ejemplo.Suponga que un jugador tiene $1 y que cada jugada gana 41 con probabilidad p> 0 o pierde $1 con probabilidad 1- p, el juego termina cuando el jugador acumula $3 o bien cuando quiebra, este modelo es una cadena de markov en la que los estados representan la fortuna del jugador, esto es ,0, $1,$2 o $3 y con matriz de transición dada por.

Estado 0 1 2 3

0 1 0 0 0 1 1 – p 0 p 0P = 2 0 1-p 0 p 3 0 0 0 1

Las etiquetas numéricas de los estados que alcanza el proceso coinciden con la expresión física del sistema, los niveles del inventario real y la fortuna del jugador, respectivamente, mientras que las etiquetas numéricas de los estados en el ejemplo de la acción no tienen significado físico.

2.8.1.- CANTIDADES ECONÓMICAS DE PEDIDO

Los inventarios prevalecen en el mundo de los negocios, mantener inventarios es necesario para las compañías que traten con productos físicos, como fabricantes, distribuidores, y comerciantes. Los fabricantes necesitan inventarios de materiales requeridos para la manufactura de productos, también deben almacenar productos terminados, en espera de ser enviados, de manera similar tanto los distribuidores como las tiendas deben mantener inventarios de bienes disponibles cuando los consumidores los solicitan como:

1. Se conoce la demanda con incertidumbre y es constante con el tiempo.2. El tiempo de adelanto o espera es cero, es decir un pedido se recibe en el momento en que se

ordena.3. Se empleo un sistema de punto de orden y, así los inventarios se revisan en forma continua.4. El inventario se reabastece cuando ha llegado exactamente al nivel de cero, no se utiliza

existencia de seguridad y no se permite agotamiento.5. El reabastecimiento de los inventarios es instantáneo, es decir el pedido total se recibe en un

solo lote.6. La cantidad de pedido es constante para cada orden.7. El problema implica un sistema de etapa única.8. Se considera un horizonte de tiempo infinito y continuo.9. Se considera que todos los costos son constantes en el horizonte infinito de tiempo.

Planteamiento del modelo.

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El objetivo de este modelo, es determinar la cantidad optima de pedido( Q ) y el punto de reorden ( R ), de manera que se minimicen los costos totales de los inventarios.

Para desarrollar un modelo matemático general que represente la estructura de costos de los inventarios, se deben definir sus variables y sus parámetros y son:

Co = costo por pedido que se coloca.

Cc = Costo de conservación por unidad y por periodo de tiempo

Ct = costo total de inventario por periodo de tiempo.

Q = cantidad que se pide (tamaño de pedido).

D = Unidades que se piden por periodo de tiempo.

La variable para la que se busca una solución, es la cantidad de pedido, Q.

El criterio que es necesario minimizar es el costo total de los inventarios, Ct, Co, Cc son parámetros para el modelo, los cuales servirán para determinar los costos de los pedidos y los costos de mantenimiento para varios tamaños del pedido.

El costo de pedido es simplemente el costo por cada uno de ellos, Co, multiplicando por el número de pedidos que se hacen por cada periodo. Dado que la demanda por periodo , D, es conocida el numero de pedidos por periodo es la cantidad de la demanda divida entre el tamaño del pedido(D/Q).

El costo por pedido es = Co x D/Q

El costo de conservación es igual al costo de conservar o mantener una unidad por periodo, Cc multiplicado por el numero promedio de unidades que se conservan en el inventario, donde se deben calcular primero el inventario promedio.

Este se calcula el número total de unidades que se conservan entre dos pedidos y se multiplica esta cifra por el costo unitario diario de conservación.

Ejemplo.

Para un tamaño de pedido de 6, se calcula que el numero total de unidades en el inventario seria 18, su promedio para los 6 días, el inventario promedio e de 3 unidades.

Costo de conservación = Inv promedio por día) * (costo por unidad por periodo de 6 días)

= (3) * (.274)(6) = 4.932.

La longitud de cada una de las porciones diagonales del inventario se define como el ciclo del inventario tc, así el promedio se calcula como sigue.

Área de bajo un línea de inv. ½ * altura * base

Inv promedio = _________________________ = ____________________

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Longitud del periodo tc

Nivel de Nivel máximo Inventario de inventario

Q

Q/2

0 Tiempo 0 tc Nivel promedio de inventarios para el modelo clásico.

½ * Q * tc Q= ______________ = _______ tc 2

Si se calcula para varios ciclos, de cualquier manera debe obtenerse un inventario promedio de Q/2.Ejemplo; 4 * ½ *Q* tc Inventario promedio = _______________ = Q / 2 4 tc

El costo por mantenimiento se expresa entonces Costo de conservación = Cc * Q/2 Ahora el problema se puede expresar de la siguiente manera.

Minimizar: Ct = Co * D/Q + Cc * Q/2

Cantidad optima de pedido Q* = √2CoD/Cc

N* = √DCc/2Co

El tiempo que transcurre entre los pedidos sucesivos ( tc); tc = √ 2Co / D Cc

Para determinar el costo asociado; Ct* = √2 CoCcD.

Ejemplo: supongamos.Supongamos que tenemos lo siguiente: Calcular:Co = $20 por orden. La cantidad optima de pedida.Cc = $100 por unidad por año. Numero óptimo de pedido.D = 365 unidades por año. Tiempo entre pedido.

48

Costo total Asociado.

Cantidad económica de pedido.Q* = √2CoD/Cc = √2(20)(365)/100 = √146 = 12.08

El numero óptimo de pedido por año.N* = √DCc/2Co = N* = √ (365)(100)/ 2(20) = √912.50 = 30.2

El tiempo entre pedido sucesivo.

tc = √ 2Co / D Cc = √ 2(20) /(365)(100) = .0331 años.

Se desea expresar el tc en días, se debe multiplicar por 365.

tc = (365) ( .0331) = 12.08 días. Costo total asociado con la política optima de Q + = 12 unidades.

Ct* = √2 CoCcD. = √2 (20) (100) (365) = √1,460,000 = $1208.30

2.8.2.- EL TAMAÑO ECONÓMICO DE LOTE, Existe una formula para calcular el tamaño del lote donde hay dos factores de costo implicados en la función de costo total, Ct, puede encontrar el tamaño del lote, Q* que minimiza Ct, utilizando cálculos diferenciales,

Q* = √ 2CoD 1 tamaño del lote Cc(1-(r2/r1) Ct* = √2CoCcD(1-(r2/r1) 2 costo total del sistema de inv.

N* = √ CcD(1-(r2/r1)) 3 Numero de pedidos. 2Co

tc* = T √ 2Co 4 calcula el tiempo transcurrido CcD(1-(r2/r1)

M = Q – Q(r2/r1) 5 Nivel máximo de producción.

Ejemplo.Una compañía ha decidido comenzar a fabricar una refacción que antes adquiría de un proveedor externo, la demanda es de 1000 unidades al mes, el costo de preparación por corrida es $200 y el costo de mantenimiento es $55 por unidad al año, una vez que una maquina esta operando, puede fabricar esas partes a razón de 2,500 unidades por mes, la compañía opera al año 300 días, se desea saber el lote de producción con el que deben trabajar, con que frecuencia deben realizarse las corridas y el costo total asociado con el tamaño de la corrida.

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Co = costo e preparación = $200Cc= costos anuales de conservación por unidad =$55R1 = taza de producción en unidades por mes = 2,500R2= D = demanda mensual en unidades = 1000T= tiempo por año = 300

Q* = √ 2(200)(1000)(12) = 381.38 unidades por lote. (55)(1-(1000/2500))

Utilizando la ecuación 4

t* =300 √ 2(200) = 9.53 días. (55)(1000)(12)(1-(1000/2500))

utilizando la ecuación 2 para sacar el costo total del inventario

Ct* = √ 2(200)(55)(1000)(12)(1-(1000/2500) = $12,585.70

Podríamos calcular el nivel máximo de inventario, M de la siguiente manera r1 es 2500 unidades al mes, o 100 unidades diarias( suponiendo un mes de 25 días, es decir 300/12 = 25) con un lote 146 unidades se requiere un día y medio para realizar una corrida de producción, la demanda r2 es de 1000 unidades por mes 40 (1000/25= 40) el nivel del inventario para el día y medio aumenta(100-40 = 60 en inventario). El nivel máximo de producción es 1.5*60 = 90 unidades.

M = Q – Q(r2/r1) =381.38 –381.38(1000/2500)

= 228.82

2.8.3. -INVENTARIOS CON AGOTAMIENTO(Ejemplo)En una compañía que vende equipos de computadoras, la compañía es distribuidora exclusiva de una tienda al norte de México, la demanda es constante en 1200 unidades al mes(14,400 unidades por año), el costo unitario de conservación por concepto de almacenamiento y manejo es de 13 años, el costo de colocar un pedido es de $200, los administradores estiman que el costo de los agotamientos es de $5.00 por unidad por año aproximadamente.

Calcular la cantidad optima de pedido y el nivel máximo de los inventarios, la cantidad es.

Q* = √ 2CoD √ Cc + Cs = √ 2(200)(1200)(12) √ 13 + 5 Cc Cs 13 5

= (665.64)(1.897) =1,262.96 = 1263 cantidad de pedido

Q *= modelo de agotamiento

Nivel máximo de inventario. S*

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S* = √ 2CoD Cs = 2(200)(1200)(12) 5 Cc Cc + Cs 13 13 + 5

= (665.64)(.16667) = 110.94 = 111 unidades para el modelo de agotamiento.

2.8.4.-DESCUENTOS POR CANTIDAD

Aquí se utilizara las siguientes formulas, como del costo total para evaluar los descuentos deben incluir el costo de las compras por periodo

Ct1 = (Co)(D/Q*) +(Cc)(Q*/2) +(D)(P sin descuento)P sin descuento = precio sin descuento por unidad

Ct2 = (Co)(D/Q descuento) + (Cc)(Q descuento/2) + (D)(P descuento).Para el caso con descuento.Q descuento = cantidad que se compra al precio de descuento.P descuento = cantidad al precio descontado unitario.

Ct1 es en realidad el punto mínimo de la curva de costo total Ct2 es el punto de la curva de costo con descuento por la cantidad.Q es la cantidad mínima que se requiere para recibir descuento.D’ = valor real de la demanda. D = valor estimado de la demanda.C’o = Valor real del costo de pedidos Co = Valor estimado del costo de pedidosC’c = valor real del costo de conservación Cc = valor estimado del costo de conservación

Para demostrar la aplicación del análisis de descuento por compras en grandes cantidades, supongamos que al mismo tiempo que la compañía estaba terminando la evaluación de una política de pedido, durante los 365 días, donde estableció un descuento 3% sobre el costo normal unitario de $3500, si la empresa compraba en cantidades de 60 o más, donde:Utilizando los valores de P=$3500 por unidad, D= 365 unidad por año, Q* = 12.08 unidades = 12.00 (tamaño practico del lote) donde Co = $60 por pedido, Cc = $ 100 por unidad por año. Donde se calculara el punto optimo de pedido.

P = $3500D= 365 Q* = 12 Co = 60

Sin descuento.Ct1 = (Co)(D/Q*) +(Cc)(Q*/2) +(D)(P sin descuento)

Ct1 = (60)(365)/(12) +(100)(12/2) +(365)(3500) = 1825 + 600 + 1277500

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= 1,279,925.00 costo por año.

Con descuento.

Ct2 = (Co)(D/Qdescuento) + (Cc)(Q descuento/2) + (D)(Pdescuento).Ct2 = (60)(365/60) + (100)(60/2) + (365)(3395) = 365 + 3000 + 1239175.00 = 1242540.00

2.8.5.-MANEJO DE INCERTIDUMBRE.

Los mejores administradores deben siempre reaccionar coherentemente aunque estén bajo presión, pero en ocasiones puede parecer que son tímidos o indecisos en algunos momentos. Cuando esto sucede, la incertidumbre llega y retrasan la toma crucial de decisiones. En lugar de confiadamente tomar una decisión, analizan la situación, recopilando más y más información antes de tomar acción.                Estos escenarios ocurren a diario en el lugar de trabajo y definen el éxito o fracaso profesional de quien toma o prolonga la decisión, según sea el caso. La incertidumbre nubla la visión e impide la toma estratégica de decisiones en momentos cruciales de los cuales depende una operación.   

Alimentados por el miedo a equivocarse sin tener todos los datos, algunos gerentes o directores hacen poco o nada hasta poder acumular “suficiente” información para tomar una decisión. Mientras tanto, otros con menor grado de incertidumbre, toman la información a la mano, proyectando los probables resultados de una decisión a otra para que la acción no espere.

Ambos grupos admitirán con dificultad que tomar decisiones con incertidumbre no es ideal, pero la realidad dicta que la mayoría de los negocios operan en un clima con al menos un poco de incertidumbre, requiriendo así de los mejores gerentes y directores para tomar decisiones prontas y acertadas. Los mejores directivos siempre encuentran el modo de sobrepasar estos obstáculos, tener la vista siempre en el objetivo y mantener la compostura cuando se tomen decisiones necesarias. Aquellos que reaccionan de manera indiferente, permiten a la incertidumbre reinar en cualquier situación, que posteriormente, cobrará factura. 

Cómo manejar mejor el Factor Incertidumbre

Admita que la mayor parte de su responsabilidad involucra toma de decisiones bajo condiciones inciertas. Puede ser terapéutico aceptar que las decisiones críticas que posiblemente tendrá que tomar, no serán bajo un ambiente calmo y tranquilo, sino bajo presión y contra reloj. Admitir esto le puede preparar para el momento, y será visible para sus subordinados, colegas, competencia y posiblemente los ejecutivos que estén evaluando su comportamiento.

Exhiba sus habilidades para reaccionar bajo presión. A menudo, esa capacidad “única” se trata sólo de tomar lo que esté disponible para basar una decisión crítica. Mientras otros se quedan perplejos, los mejores directivos y gerentes analizan la información al alcance para adoptar el mejor plan de acción.

Sea consistente. Lo más probable es que usted tome las mismas decisiones bajo presión y durante la calma, pero su comportamiento hacia los demás es distinto. Busque ser consistente, particularmente si sabe que sus decisiones son buenas. Adopte la misma personalidad siempre, pues esto es lo que perciben quienes le rodean.

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Acéptelo. La mayoría de las decisiones que tomará, las hará con la mitad de la información que le gustaría tener. Gran parte de su trabajo es enfrentarse continuamente a los obstáculos y simplemente utilizar la balanza entre los pros y contras, para saber como superarlos

2.8.6-CUANDO SE CONOCE NO EL COSTO POR AGOTAMIENTO. Determinar como mantener los niveles de inventario es una cuestión crítica si se permite un déficits (faltante), cuando se permite los déficits, otra cuestión es como se maneja. Si un articulo no esta actualmente disponible en una tienda detallista, el cliente puede ir a otro lado, donde resulta una venta perdida, si la materia prima no están disponibles en una fabrica, la demanda de la materia prima continua y se satisface cuando llega el abastecimiento, en este caso la demanda no se pierde sino que se satisface en periodos posteriores, este déficit se dice que se maneja como un pedido no surtido.

NO SE PERMITE FALTANTES.

Una ejemplo donde un ciclo puede interpretarse como el tiempo que pasa entre corrida de producción, si una fabrica que se dedica a producir 24000 bocina en cada corrida y después se usan a una tasa de 8000 por mes, entonces la longitud del ciclo es de 24000/8000 =3 meses.

K = costo de preparación para producir u ordenar un lote.c = el costo de producir o comprar cada unidad.h = el costo de mantener el inventario por unidad, por unidad de tiempo.

La longitud del ciclo es Q/ aEl costo total por unidad de tiempo T es la siguiente manera.Costo por ciclo de producción = K + cQ.El nivel promedio de un ciclo es Q/2 unidades por unidad de tiempo. Y el costo correspondiente es hQ/2 por unidad de tiempo. 2 El costo por ciclo de mantener inventario = hQ / 2a 2El costo total por ciclo = K + cQ + hQ / 2 2 K + cQ + hQ / (2a) aK El costo total por unidad de tiempo es T =__________________ = _____ + ac + hQ/2 Q/ a Q

*Haciendo operaciones nos queda Q = √2aK/h * * QDonde t = _____ = √2K/a h a Aplicarlo al ejemplo anterior. K = 12000 h =.30 a = 8000 * Q = √2aK/h = (2)(8000)(12000)/.30 = 25298 *

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t = 25298/8000 = 3.2 meses Hacer una preparación de bocinas cada 3.2 meses, y producir 25298 cada vez.

SE PERMITE FALTANTE. Puede ser redituable permitir que ocurra pequeños faltantes ya que la longitud del ciclo se puede alargar con el consiguiente ahorro de preparación, cabe la posibilidad de que este beneficio quede anulado por el costo por faltante.

p = costo por faltante por unidad de demanda insatisfecha por unidad de tiempo.S = nivel de inventario justo después de recibir un lote de Q unidades.Q – S = faltante de inventario justo antes de recibir un lote de Q unidades.

Ahora el costo total por pedido de tiempo se obtiene a partir de las siguientes componentes.Costo de producir u ordenar por ciclo = K +cQEl nivel de inventarios promedio durante este tiempo = S/2 artículos por unidad de tiempo.El costo correspondiente es hS/2 por unidad de tiempo. 2 HS S h SCosto de mantener el inventario por ciclo =____ _____ = _____ 2 a 2 a

* * S = √2aK/h √ P/(p +h) Q = √2aK/h √ P+h/p

*La longitud optima del ciclo t esta dada por. * * Q t = _____ √2K/a h √ P+h/p a

* * Q - S = √2aK/p √ h/p + h * S / a PLa fracción de tiempo en que no existe faltante es. ________= _______ * Q/ a p + h

En el ejemplo anterior. Se permitió faltante, el costo por faltante se estimo en la sección anterior. P = 1.10 K = 12000 h = .30 a = 8000

* S = √(2)(8000)(12000)/(.30) √ 1.1/(1.1 +.3) = 22424 * Q = √(2)(8000)(12000)/(.30) √(1.1 + .3) / 1.1 = 28540 *

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t = 28540/8000 = 3.6

Cada 3.6 meses para producir 28540 bocinas, el faltante máximo permitido es de 6116 bocinas

2.8.7.-EL MODELO CONTINUOS O PERIÓDICA.

Muchos de los artículos que caen en la categoría B pueden manejarse a través de un sistema periódico de revisión periódica los inventarios no se revisan en forma continua. Se hacen verificaciones a intervalos predeterminados y fijos de tiempo, donde el nivel de inventarios esta por debajo del nivel de reorden predeterminado R, al revisar el inventario(a intervalos fijos de tiempo), se coloca un pedido de tamaño Qi en donde Qi es la diferencia entre el nivel máximo del inventario(S y el nivel existente de la i-esima revisión (o al final de la (i-1) revisión). Donde las desventajas del sistema de revisión son que se requiere una cantidad de inventario de seguridad alta y los tamaños del pedido no uniforme pueden conducir a gastos e inconveniencias adicionales.

Nivel de inventario. 1 2 3

S Nivel max de inv. Q1 Q2 Q3 Q4R Nivel de reorden

Existencias de seguridad

tl tl tl tiempo

2.8.8.- Selección del nivel de servicio.

El inventario, en el mundo empresarial, es el conjunto de todos los bienes propios y disponibles para la venta a los clientes. Se convierte en efectivo dentro del ciclo operacional de la empresa, por lo que se considera como un activo corriente. Los inventarios están constituidos por los bienes de una entidad que se destinan a la venta o a la producción para su posterior venta, tales como son la materia prima, la producción en procesos, los artículos terminados y otros materia les que se utilicen en el empaque, envase de mercancía o las refacciones para el mantenimiento que se consuman en el ciclo de operaciones. Si se vende hay un ingreso. Son los bienes en espera de ser utilizados los cuales se registran en el nivel de inventario.

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En definición el nivel de servicio de inventario es el porcentaje de clientes que hacen un pedido para ser servidos en plazos habituales (no se incluyen las excepciones) y que pueden completar la compra al primer intento. Niveles altos de inventario no necesariamente resultan en un mejor servicio al cliente, pero seguramente tendrán impacto en las utilidades. Por otra parte, niveles bajos de inventario, particularmente si no se tiene un control eficiente del mismo, pueden resultar en faltantes de producto, con fuertes repercusiones en el servicio al cliente.

Con frecuencia confundimos “nivel de servicio” con “servicio al cliente”. El nivel de servicio es una medida del desempeño en el manejo del inventario de producto, que involucra al cliente a través de la demanda que éste genera. El servicio al cliente, elemento esencial en la estrategia de mercadotecnia de la empresa, es un concepto más amplio, relacionado con la satisfacción total de sus expectativas. Los factores dominantes en la mente del cliente [1] Son la disponibilidad del producto: órdenes completas y precisas, y el tiempo de ciclo: desde que se acepta la orden hasta que ésta es surtida y recibida con entera satisfacción Es por ello que el servicio al cliente se analiza con frecuencia a través de medidas de desempeño del proceso de surtido de la orden: entregas a tiempo, completas y sin errores, en gran parte relacionadas con el manejo del inventario.

2.9.- SIMULACIÓN

La simulación es una herramienta de la investigación de operaciones donde nos ayuda a: La operación diaria de un banco u hospital, para comprender el impacto de añadir más

pagadores o enfermeras. La operación de un puerto marítimo o aéreo, para comprender el flujo de tráfico y su

congestión asociada. El proceso de producción en una fabrica, para identificar los cuellos de botella en la

línea de producción El flujo de tráfico en una autopista o en un sistema de comunicación complicada, para

determinar si es necesario una expansión.

2.9.1.-SIMULACIÓN DEFINICIÓN DE OBJETIVOS

La simulación es una herramienta muy importante para los modelos estocásticos(probabilidad) y es la imitación de un proceso o un sistema real a lo largo del tiempo, los cambios que ocurren dentro del sistema lo oferta con frecuencia, donde los cambios que ocurren fuera del sistema ocurren en el medio ambiente del sistema, los cuales se consideran abiertos y cerrados, donde se usara la distribución de probabilidad para generar aleatoriamente los distintos eventos que ocurran en un sistema, la cual se requerirá de la computadora la programación como el planteamiento, como hojas de calculo, el modelar cálculos matemáticos, lógicos, con variables endógenas y exógenas variables de estado, así como elaborar en bloques. Donde cada modulo se identifica los componentes, los atributos, el sistema como un todo se modelara matemáticamente de acuerdo con la lógica de enlace de bloques, como la corrida de simulación por lo general requiere la generación y el proceso de una gran cantidad de datos estadísticos.

Variables exógenas.- Son la independientes o de entrada del modelo y se supone que han sido predeterminadas y proporcionadas independientemente del sistema que se modela, pueden considerarse que estas variables actúan sobre el sistema, pero no reciben acción alguna de

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parte de el, donde estas variables pueden ser controladas( pueden ser manipuladas o control por quien toma decisiones o crea políticas para el sistema) y no controlables( el medio ambiente).

Variables de estado.- describe el estado de un sistema o uno de sus componentes, ya sea al comienzo al final o durante un periodo, las cuales interactúan con las exógenas del sistema y con las endógenas, el valor de una variable de estado durante un periodo particular de tiempo, puede depender no solamente de los valores de una o mas variables exógenas en algún periodo precedente, sino también del valor de ciertas variables de salida en periodos anteriores.

Variables endógenas.- son las dependientes o salidas del sistema y son generadas por la interacción de las variables exógenas con las del estado, de acuerdo con las características de operación del ultimo.

FORMULACION DE MODELO

La formulación de los modelos de simulación, requiere de la generación de la información, cuando se dispone de datos históricos se les organizan en histogramas de frecuencia y se estima los parámetros como la media y la desviación estándar, donde se puede proporcionar la distribución de probabilidad que rija el comportamiento de la variable bajo estudio, con su respectiva prueba de bondad de ajuste y se conoce como EVALUACION DEL MODELO. Los estudio de campo son el método mas afectivo, aunque mas tardo y costoso, de obtener la información requerida, esta estrategia requiere de diseño de una muestra estadísticamente representativa de la población bajo estudio, de personal entrenado y confiable. Donde la etapa final del estudio de la simulación consiste en validar el modelo a través de análisis de los datos simulados y deben responder a las preguntas, que también coinciden de los valores simulados de las variables donde el análisis se lleva de 3 pasos.

Recolección y procesamiento de los datos simulados. Calculo de las estadísticas de las pruebas. Interpretación de los resultados.

DISEÑO DE EXPERIMENTO. La simulación es una técnica excepcional pos su versatilidad, ha hecho que la simulación sea la técnica de la Investigación de operaciones, debido a su gran diversidad de aplicaciones es imposible enumerar todas las áreas específicas en las que se ha usado como:

Diseño y operación de sistemas de colas. Administración de sistemas de inventario. Estimación de la probabilidad de terminar u proyecto a tiempo. Diseño y operación de sistemas de manufactura. Diseño y operación de sistemas de distribución. análisis de riesgos financieros. Aplicaciones de cuidado de la salud. Aplicaciones en otras industrias de servicios…etc. La operación diaria de un banco u hospital, para comprender el impacto de añadir más

pagadores o enfermeras.

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La operación de un puerto marítimo o aéreo, para comprender el flujo de tráfico y su congestión asociada.

El proceso de producción en una fabrica, para identificar los cuellos de botella en la línea de producción

El flujo de tráfico en una autopista o en un sistema de comunicación complicada, para determinar si es necesario una expansión.

2.9.2.- METODO DE MONTECARLO, GRAFICO Y TABULAR, TRANSFORMACIÓN MATEMATICA.Esta técnica fue utilizada en diversas investigaciones con equipos militares de investigación durante la segunda guerra mundial a mediados de 1940 en la planeación, finanzas, probabilidad, valuación de seguros, modelos de inventario.El método consiste en utilizar en forma aleatoria para elegir valores muéstrales a partir de una distribución probabilística, después esos valores muéstrales se utilizan como entrada o valores operativos para un modelo de simulación.Ejemplo.

La recolección de basuras por día donde el objetivo es simular las toneladas de basura que se recogen en un día.

Elaborar una distribución probabilística (necesitamos conocer la probabilidad de las toneladas en un día sean menos que, o igual a un valor determinado).

Esto es sumando los valores de las probabilidades comenzando con la recolección de 10 ton por día.

Donde las probabilidades acumuladas caen en el intervalo de 0,1 es posible que genera una ocurrencia aleatoria.

Seleccionar un valor al azar entre 0,1.

Ejemplo.Una panadería cada mañana la panadería satisface la demanda del día con pan recién horneado, el ha pensado hacer lotes de docenas de panes. Cada pan tiene un costo de .25 centavos de dólar, la demanda diaria total de pan también se presenta en múltiplos de 12, los datos demuestran que esta demanda varia de 36 a 96 panes diarios, un pan se vende en .40 centavos de dólar, si sobra pan al final del día se vende a una cocina de beneficencia a un precio de recuperación de .10centavos de dólar por pan, si la demanda es mayor que la oferta, suponemos que hay un costo por ganancia por ganancia perdida de .15centavos de dólar/pan, debidos a la perdida de clientes que van con los competidores, los registros de la panadería muestran que la demanda diaria se puede clasificar en tres tipos, alta, media, baja, (.30, .45,.25) respectivamente. Quisiera determinar el numero optimo de panes que debe hacer cada día para maximizar la ganancia (ingreso + ingreso de recuperación – costo de fabricación – costo de ingresos).

Distribución de probabilidad de demanda. Datos

DEMANDA ALTA MEDIA BAJA36 .05 .10 .1548 .10 .20 .25

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60 .25 .30 .3572 .30 .25 .1584 .20 .10 .0596 .10 .05 .05

1.-Determine el tipo de demanda, si la demanda del día será alta, media o baja, para hacerlo, calcule la distribución de probabilidad acumulada y establecer la asignación de números aleatorios, donde se generara un números aleatorio de dos dígitos y compararlos con las asignaciones de números aleatorios(datos).

Tipo de demanda Probabilidad Dist acumula Intervalos de num.Alta .30 .30 00-29Media .45 .75 30-74Baja .25 1.00 75-99

2.- generar la demanda real del día a partir de la distribución adecuada de demanda donde se presenta la distribución acumulada de demanda y las asignaciones de numero aleatorio para la distribución de cada uno de los 3tipos de demanda, para generar una demanda, tan solo generamos un numero entero aleatorio y lo comparamos contra las asignaciones de números aleatorios(Datos).

Distribución Acumulada Intervalos de números aleatoriosDemanda Alta Media Baja Alta Media Baja36 .05 .10 .15 00-04 00-09 00-1448 .15 .30 .40 05-14 10-29 15-3960 .40 .60 .75 15-39 30-59 40-7472 .70 .85 .90 40-69 60-84 75-8984 .90 .95 .95 70-89 85-94 90-9496 1.0 1.0 1.00 90-99 95-99 95-99

Supóngase que la política es preparar 60 panes diarios, si sucede que la demanda para determinar el día es de 72 tenemos 60(.40) = 24 dlls de ingreso, 60(.25) = 15 dlls en costos de producción y 12(.15) = 1.80 dlls en costos de ganancias perdidas. Por la falta de 12 panes. Dando una utilidad 24-15-1.8 = 7.20 por ese día.

Al final de la simulación se promedia los márgenes de utilidad del conjunto de días para obtener la ganancia esperada por día de esa política.Ejemplo. La simulación para 15 días para una política en la que se hacen 60 panes por día, la demanda tanto para un día 1 como para el 2 son de 60 panes, los números aleatorios se darán en una tabla.

69 56 30 32 66 79 55 24 80 35 10 9892 92 88 82 13 04 86 31 13 23 44 9313 42 51 16 17 29 62 08 59 41 47 7225 96 58 14 68 15 18 99 13 05 03 8334 78 50 89 98 93 70 11 49 01 79 3564 43 71 48 36 78 53 67 37 57 25 17

59

84 59 68 45 12 53 68 38 18 60 02 82

Esta demanda genera un ingreso de 24 dlls en cada uno de estos días.Como cuesta 15 dlls fabricar estos panes.Nuestro margen de utilidad para cada uno de los primeros días es 9.00dls, En el día 3 la demanda es 72 la cual representa una escasez de 12 panes su utilidad es de 24-15-1.8 = 7.20 dlls. En el día 4 la demanda es 48.Como nuestra política es hacer 60 panes, sobraran 12.Los 48 panes que vendimos solo nos generan ingresos por 19.20 dlls.Sin embargo los 12 panes que sobran representa 1.20 dlls adicional de ingreso por valor de recuperación la utilidad 19.20 +1.20 -15 =5.40

Día Numero aleatorio demanda

Tipo de demanda

Numero aleatorio demanda

Demanda Ingreso Ganancia Recuperación Ganancia

1 69 Media 56 60 24 0 0 9.02 30 Media 32 60 24 0 0 9.03 66 Media 79 72 24 1.80 0 7.24 55 Media 24 48 19.20 0 1.20 5.45 80 Baja 35 48 19.20 0 1.20 5.46 10 Alta 98 96 24 5.40 0 3.67 92 Baja 88 72 24 1.80 0 7.28 82 Baja 17 48 19.20 0 1.20 5.49 04 Alta 86 84 24 3.60 0 5.410 31 Media 17 48 19.20 0 1.20 3.011 23 Alta 44 72 24 1.80 0 7.2012 93 Baja 13 36 14.40 0 2.40 1.813 42 Media 51 60 24 0 0 9.014 16 Alta 17 60 24 0 0 9.015 29 Alta 62 72 24 1.80 0 7.20

Utilidad total 94.80Ganancia promedio 6.32

CALCULOS DESARROLLADOS.

Costo de fabricación. .25 Costo de venta .40 Costo de recuperación .10Si la demanda es mayor que la oferta hay un costo por ganancia perdida de .15La política es preparar 60 panes diarios.Mayor de 60 existe una ganancia perdida.Menor de 60 existe ingreso salvante.Demanda de 60

1.- Demanda de 60 60*.40 = 24 dólares de ingreso.

60

Son 4 de 60 60*.25= 15 dólares de costos de producción24-15 = 9 dlls de ganancia.

2.- Demanda de 72Son 4 de 72

60*.40 = 24 dólares de ingreso60*.25 = 15 dólares de costo de producción72-60=12*.15=1.80 costo de ganancia perdidas24-15-1.8 =7.20 utilidad neta dlls al día.

3.- Demanda de 48Son 4 de 48

48*.40=19.20 60-48 = 12*.10 = 1.2019.20 + 1.20 – 15 = 5.40

4.- Demanda de 96 60*.40 = 2460*.25=1596-60= 36*.15= 5.40 24-15-5.4= 3.60

5.-Demanda de 84 60*.40 = 2460*.25= 1584-60=24*.15 = 3.624-15-3.6 = 5.4

6-Demanda de 36 36*.40=14.4060-36 = 24*.10=2.414.40-15+2.4= 1.80

6.- Una inmobiliaria se dedica a la construcción de viviendas prefabricadas, ha hecho un estudio de mercadotecnia en un estado, y analizado la necesidad de la creación departamentos, el cual tiene una política de fabricación de 123 departamentos trimestrales, costo de construcción 226,789.00, costo de vta. 433,789.00, con un costo de recuperación 23334.00, un costo de de perdida de ganancia 43387.00, tenemos un numero de los porcientos de las demandas .78%, 3.05%,115%,3.20%, 1.45%, 2.11%, 3.2%, 1.2% calcular la utilidad, y una ganancia promedio. 2.9.3.- GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS.

Se usan para obtener valores de variables aleatorios que tienen una distribución de probabilidad discreta conocida en la que la variable aleatorio de interés puede asumir uno de un numero finito de valores diferentes, en algunas aplicaciones, sin embargo las variables aleatorias continuas pueden asumir cualquier valor real de acuerdo con una distribución probabilística continua, por ejemplo al simular la operación de un banco, la cantidad de tiempo que un pagador tarda con un cliente es una variable aleatoria tal que pueda seguir una distribución exponencial, esto se define mediante la función de densidad. - l*t f(t) = l * e

Donde 1/l es el tiempo de servicio (esto es l es el numero promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo).

Ejemplo.

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Suponga que T es una variable tal que representa la cantidad de tiempo que un pagador pasa con un cliente en un banco, suponga que este pagador atiende un promedio de 12 clientes por hora, suponga que el analista estadístico de los datos anteriores también indica que la variable aleatoria asociada T sigue muy estrechamiento una distribución exponencial en la que l = 12 como se analizo la función de densidad asociada f(t), y la función de distribución acumulativa, F(t) son. e = .368 - l*t f(t) = l * eDonde F(t) = U Hacemos una igualacion - l*t 1 - e = U - l*t e = 1 - U Hacer una función logarítmica, ln para obtener. T= -1(1/l) * ln(1-U)

Donde l= 12 y se genera un numero aleatorio uniforme de digamos U = .3329, la cantidad de tiempo necesario para atender a un cliente particular.

T= -1(1/l) * ln(1-U) = - (1/12)*ln(1-.3329) = - (1/12) * (-.4048) = .03373 horas

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