a váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 1

A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

Domokos Csaba

Muhi Miklós

Varga György

Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ

Szatmárnémeti tagozat


Bevezetés

• A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel

• tartalom:

-komplex számok matematikája

-az áramkörök tanulmányozása

-feladat megoldás


1.Komplex számok, komplex függvények.

1.1. A komplex szám fogalma ( az algebrai alak ).

Sokszor a legegyszerűbb másodfokú egyenlet megoldása sem végezhető el a valós számok halmazán (az R-en), ilyen, pl. az x2+1=0 egyenlet. Ha az egyenletből a -et értelmezzük, egy "számnak" tekinjük és i-vel jelöljük . Ez egy egészen új szám , mivel i2=-1 negatív, amely a valós számhalmazban lehetetlen. Ez a "szám" a képzetes imaginárius egység, amelynek segítségével egészen új jellegű "számokat" képezhetünk, ilyen a z=a+bi, ahol a és b valós számok. . A z=a+bi, a komplex szám algebrai alak-ja., ahol a a valós és b a képzetes rész Könnyen belátható, hogy a komplex számok segítségével bármely másodfokú egyenlet megoldható a C={z=a+bi| a,bR komplex számhalmaz-ban.

1


1.1.1 . Műveletek komplex számokkal

Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám .Egyenlőség.z1=z2, akkor és csakis akkor, ha: a1=a2 és b1=b2.Összeadás.A z1 és z2 két komplex szám összegén a z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2) i komplex számot értjük.Több komplex szám esetén: z1+z2++zn=(a1+a2++an)+(b1+b2+bn) i. Kivonás.A z1 és z2 két komplex szám különbsége a z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i komplex szám.Szorzás.A z1 és z2 szám szorzatán a z=z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i komplex számot értjük.


Osztás:Ha z20, akkor a z1 és z2 két komplex szám hányadosán a

komplex számot értjük.

Műveleti tulajdonságok :

Összeadásra :A1: Az összeadás asszociatív, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), bármely z1, z2, z3C esetén. A2: Az összeadás kommutatív, z1+z2=z2+z1, bármely z1, z2C esetén.A3: Létezik semleges elem az összeadásra nézve, 0=0+0·iC, úgy hogy 0+z=z+0=z bármely zC esetén.A4: Bármely elemnek van ellentettje, bármely zC, -zC úgy hogy z+(-z)=(-z)+z=0.

iba

baba

ba

bbaazz

z

z

22

22

211222

22

2121121

2

1


Szorzásra:I1: A szorzás asszociatív, (z1z2)z3=z1(z2z3), bármely z1,z2,z3C esetén.I2: A szorzás kommutatív: z1z2=z2z1, bármely z1,z2C esetén.I3: Létezik semleges elem a szorzásra nézve, 1=1+0iC, úgy hogy 1z=z1=z, bármely zC esetén.I4: Bármely z0, zC esetén z-1= úgy, hogy zz-1=z-1z=1.

Disztributivitás:A fentebbi két tulajdonság csoportot összeköti a szorzás disztributivitása az összeadásra nézvez1(z2+z3)=z1z2+z1z3, bármely z1, z2, z3C esetén.

Ciba

b

ba

a

2222


1.1.2. Komplex szám konjugáltja.

A tetszőleges z=a+bi komplex számhoz hozzárendelhető a komplex szám, a z konjugáltja.Tulajdonságok.Legyen z1 és z2 két tetszőleges komplex szám: és

ha z20, valamint .1.1.3.A komplex számok ábrázolása.A z=a+bi komplex szám valós és képzetes része egy P(a,b) pontot jelöl ki a koordináta rendszerben. Mértani értelemben minden komplex számhoz hozzárendelhető (egyértelműen) a sík egy pontja és fordítva.

biaz

; z ; 21212121 zzzzzzz 2

1

2

1

z

z

z

z

Czzz ,


Ezért ezt a síkot a komplex számsík-nak nevezhetjük, ahol az Ox tengely a valós tengely és az Oy pedig a képzetes tengely.

Ha ugyanazon koordináta rendszerben ábrázoljuk a z és a számokat észrevesszük, hogy a grafikus képek szimmetrikusak az Ox tengelyre nézve.

z

y

xa

b+-

P(a,b)

P(a,-b)

z

z

0

A komplex szám egy másik mértani értelmezése , hogy a sík minden P pontjához rendeljük hozzá ennek helyzetvektorát (rádiuszvektorát), az vektort. Így bármely z=a+bi komplex szám ábrázolható az

vektorral, ahol P(a,b) a sík egy pontja

OP

OP1.1.3.1. ábra


1.1.4.A komplex számok összeadásának és kivonásának mértani értelmezése.

A komplex számoknak vektorokkal való ábrázolása lehetővé teszi az összeadás és kivonás műveletének mértani értelmezését.

y

xP1

P2 S

0

Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám és az ezeknek megfelelő két vektor, és , melyek koordinátái (a1,b1) és (a2,b2), akkor az (ahol S a paralelogramma negyedik csúcsa) vektor koordinátái (a1+a2,b1+b2), 1.1.4.1. ábra. Az vektor a z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám összegének felel meg.

1OP 2OPOS

OS1.1.4.1. ábra


y

P2

P1

PP!

2

x0

A z1-z2különbség mértani értelmezése a következőképen levezethető. Tekintsük a P2-nek az origóra vonatkoztatott szimmetrikusát, legyen ez P2, ahol az vektor koordinátái (-a2,-b2).

2OP

Mivel z1-z2=z1+(-z2), figyelembe véve a komplex számok összeadásának mértani értelmezését, következik , hogy a P pont koordinátái: (a1-a2, b1-b2) és az a z1-z2 különbségnek felel meg.

1.1.5.A komplex szám abszolút értéke (nagysága, hossza).

A z=a+bi komplex szám abszolút értékén a valós számot értjük. Mint azt az 1.1.3.1 ábrán is látjuk az abszolút érték nem más mint a P(a,b) pontnak az origótól való r távolsága.

OP

22 baz

1.1.4.2. ábra


Néhány fontosabb reláció a komplex számok abszolút értékére vonatkozóan:

(háromszög egyenlőtlenség).

1.2.A komplex szám trigonometrikus alakja.Az alkalmazott matematikában sokszor szükség van a komplex szám más alakjára is, ilyen például a trigonometrikus alak.

Az 1.1.3.1. ábrából kitűnik, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=rcos, a képzetes rész pedig b=rsin alakban írható, ahol

; 00z 4.) ; 0z , z

z 3.) ; z 2.) ; z .)1 2

2

1

2

12121

2 zz

zzzzzz

|||||||||z| .)5 212121 zzzzz

a

b tg,22 bar (1.2.1)


Innen adódik , hogy z=r(cos+isin) alakban is megadható. Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A szög meghatározása a következőképen történik, ha (-,].

0b 0,a ha , 2

-

0b 0,a ha , 2

0a ha , a

barctg

0a ha ,

a

barctg

(1.2.2.)


1.2.1. Műveletek.Legyen z1=r1(cos1+isin1) és z2=r2(cos2+isin2) két tetszőleges komplex szám. Szorzat.z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2)). Abszolút értéke, az abszolút érétkek szorzata, szöge pedig a szögek összege. Hányados.

Abszolút értéke, az abszolút

értékek hányadosa, szöge pedig a szögek külömbsége. Hatvány.Ha z=r(cos+isin) és nN,n1, akkor zn=rn(cosn+isinn). Tehát az abszolút érték n-edik hatványát , a szög n-szeresét vesszük.

)sin()cos( 21212

1

2

1 ir

r

z

z


Gyök.Ha z=r(cos+isin) és nN, n2, akkor:

Mint látjuk egy komplex számnak n-db. gyöke van, mindegyik abszolút értéke ugyanaz: .

1.3.A komplex szám exponenciális alakja.

Az r abszolút érték és a szög segítségével minden z=a+bi komplex szám z=rei alakban is felírható. Ez a komplex szám exponenciális alakja .

)1(,0,2

sin2

cos

nkn

ki

n

krz nn

n r


1.3.1. Műveletek.Legyen z1=r1ei

1 és z2=r2ei2, két tetszőleges komplex szám.

Szorzat . z1z2=r1r2ei(1

+2

)

Hányados . , ahol z20.

Hatvány. Ha z=rei tetszőleges komplex szám és nN, n1, akkor zn=rnein.Gyök. Ha z=rei egy tetszőleges komplex szám és nN,n2, akkor:

)(

2

1

2

1 21 ier

r

z

z

1)-(n0,1,2,k , 2

n

ki

nn erz

Megjegyzés :Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r(cos+isin)=rei, ahonnan ei=cos+isin.( Euler-féle összefüggés.)


1.4.Komplex függvények.Értelmezés: Az f függvényt komplex függvénynek nevezzük, ha mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a komplex számok halmazának valamely részhalmaza. Azaz, ha D a komplex sík valamely halmaza, akkor a z=a+biD ponthoz, az f által egyértelműen rendelt, w=f(z) komplex szám alakja u(x,y)+iv(x,y), ahol az u és a v kétváltozós valós függvény értelmezési halmazát azon (x,y) valós érték párok képezik, amelyekre nézve x+yiD.A valós függvények vizsgálatakor értelmezett fogalmak: környezet, torlódási pont, határérték, differenciálható függvény, derivált függvény, stb. fogalmak a komplex függvényekre is lényegében változatlanul átvihetők. Bizonyos feltételeknek eleget tevő komplex függvények deriváltjának és integráljának meghatározása, a valós függvényekéhez hasonlóan történik


2. Váltóáramú áramkörök tanulmányozása

Az áramköri elemek : ellenállás (R) ,tekercs (L) és kondenzátor (C) viselkedése a váltakozó áramú áramkörökben , egy sor gyakorlati problémát vet fel az elektromosságtanban , ezért jelentős szerepet tölt be az elektrónika világában is . Az áramkörök vizsgálati módszerei között megemlítjük a :

• forgóvektoros ; valamint

• komplex számok módszereit , melyek a legelterjedtebb módszerek , ezen a téren .

Be fogjuk mutatni a két módszert , valamint alkalmazzuk ezeket feladatok megoldásánál , kiemelve mindkét módszer előnyeit és hátrányait .

Kezdjük a kérdésfeltevéssel : mi történik az áramkörökben ?


2.1. FORGÓVEKTOROS MÓDSZER

Adott az alábbi áramkör :

u(t) uR uL uC

R L C

A huroktörvény alapján felírható:

idtCdt

diLRiuuutu CLR

1)(

i(t)

A kondenzátor kezdeti töltését zérónak vettük. A megoldást szinuszos alakban keressük.

(2.1.1)


Vagyis i(t)=Imsin( t+a műveletek elvégzése után kapjuk :

)2

sin()2

sin()sin()(

t

C

ItLtRtu m

mm II

A jobboldal három tagját úgy is tekinthetjük, mint három különböző forgóvektor eredőjét, amelyek kezdőfázisai különbözőek,(lásd fazor). Ábrázoljuk a vektorok összeadását, a kezdeti időpontban. Az időpont megválasztása lényegtelen mivel a forgás közben a vektorok egymáshoz viszonyított helyzete amúgy sem változik.

LIm

RIm

I mC1

Um

I


Az ábrából látszik, hogy egy soros áramkörben az áramerősség kiszámítható, ha ismerjük a feszültséget (maximális, vagy effektív értékét) és az impedanciának nevezendő, alábbi mennyiséget.

22)

1(

CLZ R

Természetesen, ha a kapcsolási mód megváltozik, újra kell tárgyalni, előröl az egész áramkört. Ez érvényes a vegyes kapcsolású áramkörre is, ahol a tárgyalás esetenként nagyon bonyolult is lehet. Nézzük egy párhuzamos kapcsolás esetén


R L C

iR iL iC

u(t)

I

Ebben az esetben az áramerős-ségek adódnak össze: i(t)=iR+iL+iC

a csomópont törvény értelmé-ben . Most is felrajzolhatjuk a fazorokat , de itt a viszonyítási mennyiség

az U.

U

ImC Um

R

Um

L

Um

22 )

1(

1

1

LC

R

Z p

Az impedancia pedig:


2.2.AZ ÁRAMKÖR KOMPLEX SZÁMOKKAL VALÓ TÁRGYALÁSA

Ha most a ( 2.1.1.) egyenlet megoldását az alábbi alakban keressük

eItj

mti

)()(

eeIeIeItjjmj

m

j

m jCLjRtu

)()(

(j=i) Akkor, az alábbi összefüggést kapjuk

Ahol az a komplex áramerősség. Látható, hogy az impedancia három részből áll, ami lényegében két féle. Az R, ami valós, a másik kettő képzetes. Ami valahol természetes is mert más jellegű, másfajta jelenség hozza létre.

eIj

mI


Mivel a dolgok valahol összefüggnek, az impedanciát felfoghatjuk úgy is, hogy komplex jellege, csak a kétféle dolog megkülöböz-tetését szolgálja, mint a két koordináta tengely által alkotott sík pontjai. Tehát:

)1

(C

LjRZ

=R+j(XL-XC)=R+jX

vagyis IZU Természetesen csak a valós értékeknek lehet fizikai megfelelőjük, csak azok mérhetők, ezért a moduluszukkal számolunk.

A fent vázolt módszernek az előnye az, hogy a törvények alakja nem változik .


Az eredő impedancia:

•soros kapcsolás esetén:

•párhuzamos kapcsolás esetén:

ZZ k

n

ks

1

n

k kp ZZ 1

11

A Kirchhoff törvények felírhatók :

•csomópontra :

•hurokra :

0I

0U

A valós fizikai mennyiség valójában a komplex mennyiségek

modulusza , vagyis : *IIII


3.A MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA

A következőkben feladatokon keresztül hasonlítjuk össze a két módszert , egyszerű és bonyolultabb feladatok esetén .

-Legyen egy kapcsolás melyben R=4L=12,7mH=

vagyis XL=4valamint vagyis XC=7

ha valamint U=20 V .A három elemből alkotunk először egy egyszerű áramkört, ismerve az elemeit, számítsuk ki az áramerősségeket és a feszültségeket.

H04,0

.4557

10FmFC

R L C

U uR uL uC

i


3.1.1.A FORGÓ VEKTOROS MÓDSZER

Kiszámoljuk a mennyiségeket

U

22)( XXR CL

Z 5916 ,45

20A

Z

UI

UR=RI=4•=16V, UL=XLI=4•=16V , UC=XCI=7•4=28V

Látszik, hogy a feszültségek összege nem egyenlő az áramkör sarkain a feszültséggel.Vagyis a fazoriális diagram így néz ki :

UR UC UL I


3.1.2.A KOMPLEX MÓDSZER

Felírjuk a komplex mennyiségeket:

A

jjZ

UIIZUjZVjUU

4II

5

12

5

16

34

20,,34,200

)5

12()

516

(I22

,5

48

5

64)

5

12

5

16(4UR

jjIR V165

48

5

64U

22

R

Vjjj

Vjjj

Vjjj

205

100

5

112

5

84

5

64

5

48

5

48

5

64

)28U.(mod5

84

5

112)

5

12

5

16(

7I

j

)16U..(mod5

48

5

64)

5

12

5

16(4Ij

UUU

XU

XU

CLR

CL

C

LLL


Megállapítások :

-A komplex módszernél a feszültségek összege a tápfeszültséggel egyenlő .

-Egyszerü áramkörnél előnyösebb a forgóvektoros módszer .

Változtassunk a kapcsolási rajzon és egy bonyolultabb feladatot kapunk. Megőrizzük az adatokat és megoldjuk az új feladatot (3.2)

R

C

L

I I2

I1U


3.2.1.A FORGÓVEKTOROS MÓDSZER

Észrevehető , hogy vegyes kapcsolásunk van .

Az elöbbiek értelmében kiszámítható:

AU

AUU

XI

XRZI

C

L

86,27

20

53.31616

20

2

221

1

Az eredő I áramerősség kiszámításához szükségünk van a fázisdiagramra.


I2

I

ULUR

U

I1

Ezt egy kicsit átalakítva kapjuk :

II2

I1

UI1XL

RI1

24,1

sin2)2

cos(2

1

1

21

2

2

2

121

2

2

2

1

2

RIXI

IIIIIIIII

Ltg


Ebeen az esetben szerencsénk van az szög értékére .

Ha nem tudom megállapítani a szög értékét, akkor az eljárás a következő:

VVVR

Itg

UIXUIU

Itg

CLLR20,08,1052,24,08,1052,24

52,2,36,6,2

2

1sin

11

2

2

Ugyanakkor a szög is kiszámítható , vagyis a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között , a következő összefüggésekkel:

II2

IIIarccos

1

22

21

2


3.2.2.A KOMPLEX MÓDSZER

Felírva a mennyiségek komplex értékeit meghatározzuk az áramerősségeket.

.53,3,2

5

2

5

44

20

,44

7

,40

,40

,200

*

1111Aj

j

U

j

jjj

jjj

RjR

VUjUU

IIIZ

I

Z

XXZ

XXZZ

RL

RL

CC

C

LLL

R

Természetesen ugyanazt az értéket kaptuk .


AjAj

UIII

ZIC

86,2:uluszamod,86,27

20 *

2222

Mivel az áramok összeadódnak:

AIIjjjI III 52,2:modulusza,36,05,286,22

5

2

5 *

21

Természetesen úgy is ki lehet számítani, ha először az eredő impedanciát számolom ki:

AIZ

jjj

jj

Z ZZZZ

ZZ RLC

CRL

CRL

52,29,7

20,9,7:modulusza

12,184,7744

)7)(44(111

12,184,722


Ahogy látszik is, megegyezik a fenti értékkel.A feszültségek kiszámítása:

jjjjjjR IXUIU LLR1010)

2

5

2

5(4,1010)

2

5

2

5(4

11

Számítsuk még ki az áramkör sarkain a feszültséget:

VjjjU

illetve

VUjjU

IXU

UU

CC

LR

2086,2.7

,2010101010

2

Amint az következik, a sorba kapcsolt elemeken a feszültségek összeadódnak .


Előnyünk van viszont a fázis szög kiszámításánál , ugyanis komplex számok esetében a tga képzetes és valós részek aránya az (1.2.1.) és (1.2.2.) összefüggések értelmében :

2,8)144.0(

144,05,2

36,0

a

btg

arctg

Látszik , hogy a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között könnyebbenen megállapítható , mivel a tápfeszültségnek csak valós része volt.


4. KÖVETKEZTETÉSEK

•Mindkét módszer alkalmazható, ugyanarra az eredményre vezet (természetesen).•Egyszerű feladatok estén a forgóvektoros módszer alkalmazása előnyösebb.•Bonyolult feladatok esetén, a komplex módszer alkalmazása szükséges is lehet. Nem kell fázisdiagramokat készíteni, majd onnan kiokosodni, mert komplexben alkalmazhatók a törvényszerűségek az általunk ismert alakban.•A fázis szöget viszont lényegesen egyszerübb kiszámolni a komplex módszerrel , ezért az elektrónika inkább ezt a módszert használja .

a váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

Documents