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AMEI Escolar

Matemtica

9 Ano

Resumo n1

Os nmeros reais. Inequaes (parte 1)

Os nmeros irracionais. O conjunto dos nmeros reais

So nmeros naturais os nmeros que usamos para contar, ou seja, todos os nmeros positivos e inteiros. O conjunto dos nmeros naturais representa-se por . 0 o conjunto dos nmeros naturais mais o 0.

So nmeros inteiros os nmeros que no possuem uma parte decimal. O conjunto dos nmeros inteiros representa-se por .

So nmeros racionais todos os nmeros inteiros mais os nmeros fraccionrios (fraes, nmeros com dzimas finitas ou infinitas peridicas). Uma dzima finita peridica uma dzima infinita em que uma certa parte se repete sempre (perodo) e que se coloca entre parnteses. O conjunto dos nmeros racionais representa-se por .

So nmeros reais todos os nmeros racionais mais os nmeros irracionais. So exemplos de nmeros irracionais as razes e nmeros como (pi) e (phi), ou seja, todos os nmeros que possuem uma dzima infinita no peridica. O conjunto dos nmeros reais representa-se por .

Todos os nmeros reais podem ser representados na recta real. A recta real tem de ter obrigatoriamente representado os nmeros 0, e e os nmeros que forem necessrios representar. A recta real muito til para colocar nmeros por ordem crescente ou decrescente.

Resumindo:

Na vida prtica, normalmente, usamos valores aproximados para os nmeros irracionais e tambm para os racionais.

Operaes e problemas com nmeros reais. Equaes e problemas do 1 grau (revises)

Inequaes e intervalos de nmeros reais.

Uma inequao uma equao, cujo sinal de igualdade (=) substitudo por um sinal de desigualdade (.

O conjunto-soluo de uma inequao um intervalo de nmeros reais. A inequao pode tambm ser representada na recta real.

Resoluo de inequaes: monotonia da adio e monotonia parcial da multiplicao

A monotonia da adio uma propriedade que se aplica em inequaes do tipo a + x b. Esta propriedade consiste em: adicionando ou subtraindo a ambos os membros de uma inequao um nmero, obtm-se uma inequao equivalente dada.

A monotonia parcial da multiplicao outra propriedade que se aplica em inequaes que consiste em: multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma inequao por um nmero, obtm-se uma inequao equivalente dada. Mas quando se multiplica ou divide por um nmero negativo, o sinal de desigualdade inverte-se.

Podemos assim concluir que a resoluo de uma inequao muito semelhante resoluo de uma equao.

Contedos desta unidade:

Os nmeros irracionais. O conjunto dos nmeros reais;

Operaes e problemas com nmeros reais. Equaes e problemas de 1 grau (revises);

Inequaes e intervalos de nmeros reais. Monotonia da adio;

Resoluo de inequaes. Monotomia parcial da multiplicao.

QUOTE 0 QUOTE

Exemplos:

5 QUOTE QUOTE 6 QUOTE QUOTE 0 0 QUOTE QUOTE 8,5 QUOTE QUOTE - 7 QUOTE QUOTE 0 152 QUOTE QUOTE 0

Exemplos:

-5 QUOTE QUOTE - 6,25 QUOTE QUOTE 0 QUOTE QUOTE 8,5 QUOTE QUOTE 7 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE

Exemplos:

-5 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE

QUOTE QUOTE QUOTE 0,5 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE

Exemplos:

-7 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 0,8 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE

----------------------------|---------------------------->

QUOTE 0 QUOTE

Exerccio resolvido:

Calcule QUOTE de 500 euros.

QUOTE x 500 = QUOTE x QUOTE = QUOTE = 333,333333.

No faz sentido responder com mais de duas casas decimais.

R: QUOTE de 500 euros so 333,33 euros.

Exerccios 1:

1. Completa usando os sinais QUOTE .

-1. QUOTE -75,68 . QUOTE QUOTE . QUOTE

2,5 . QUOTE 9,8 . QUOTE QUOTE . QUOTE

QUOTE . QUOTE - QUOTE . QUOTE 8,99(9) . QUOTE

QUOTE . QUOTE 0 . QUOTE 354 . QUOTE

QUOTE . QUOTE -8 . QUOTE QUOTE . QUOTE

2. Representa na recta real os seguintes nmeros.

------------------------------------------|------------------------------------------>

QUOTE 0 QUOTE

3. Escreve com duas casas decimais o valor de:

a) QUOTE x 450

b) QUOTE x 45

c) QUOTE x 60

Exerccio resolvido - Adio e subtraco de nmeros representados por fraces

Apresentao da expresso

QUOTE

Reduz-se ao mesmo denominador

QUOTE

Soma-se os numeradores

Torna-se a fraco irredutvel

Apresentao da expresso

QUOTE

Reduz-se ao mesmo denominador

QUOTE

Subtrai-se os numeradores

Torna-se a fraco irredutvel

Exerccio resolvido - Multiplicao de nmeros representados por fraces

Apresentao da expresso

QUOTE

Multiplica-se os denominadores e os numeradores

QUOTE

Torna-se a fraco irredutvel

Nota: QUOTE = QUOTE = QUOTE

Regras das Potncias

an = a x a n vezes ( 35 = 3x3x3x3x3

a1= a ( 41 = 4

a0 = 1 com a QUOTE 0 ( 60 = 1

a-m = QUOTE m com a QUOTE 0 ( 7-1 = QUOTE 1 ou QUOTE -5 = QUOTE 5

Produto de potncias com a mesma base

am x an = am+n

Quociente de potncias com a mesma base

am : an = am-n, a QUOTE 0

Potncia de um produto

(a x b)m = am x bm

Potncia de um quociente

(a : b)m = am : bm, b QUOTE 0

Potncia de uma potncia

(am)n = amxn

Exerccio resolvido - Diviso de nmeros representados por fraces

Apresentao da expresso

QUOTE

Troca-se o denominador pelo multiplicador da segunda fraco, e multiplica-se os denominadores e os numeradores

QUOTE

Torna-se a fraco irredutvel

Exerccios 2:

1. Resolve:

1.1) QUOTE

Exerccios 2:

1.2) 2-1 x 30 + 52 x 31

1.3) 2-3 - QUOTE -1

1.4) - (51)0 x QUOTE -1 x QUOTE

2. O Pedro tem uma taa com rebuados. O Pedro comeu QUOTE dos rebuados da taa e o Antnio comeu QUOTE dos restantes.

2.1 Qual a fraco do nmero inicial de rebuados comeu o Antnio?

2.2 Sobraram 9 rebuados. Quantos rebuados havia inicialmente na taa?

3. Para a quinta vai uma mulher que leva uma caixa com 4 cestas. Cada cesta leva 4 galinhas e por cada galinha h 4 ovos. Quantos ovos h?

Exerccio resolvido - Como resolver uma equao do primeiro grau por etapas

Apresentao da equao

Tira-se os parnteses

Separa-se as fraces

Tira-se os denominadores

(2) (2) (1) (1) (6)

Muda-se os termos em x para um membro e os termos independentes para outro

Simplifica-se os dois membros

Divide-se o membro dos termos independentes pelo coeficiente de x

Apresenta-se a soluo

Como resolver um problema com uma equao por etapas

L-se com ateno o enunciado do problema, de modo que sejam capazes de o expor, usando as tuas prprias palavras

A idade actual de um pai cinco vezes a idade do filho. Daqui a cinco anos o pai ter o triplo da idade do filho.

Qual a idade actual de cada um?

Escolhe-se a incgnita e forma-se uma equao relacionando a incgnita com os dados do problema

x = idade do filho

Actualmente

Daqui a 5 anos

Pai

x

x + 5

Filho

5x

5x + 5

5x + 5 = 3(x + 5)

Resolve-se a equao

5x + 5 = 3(x + 5) QUOTE

QUOTE 5x + 5 = 3x + 15 QUOTE

Interpreta-se a soluo obtida no contexto do problema e d-se uma resposta

5 a idade actual do filho.

5 x 5 = 25 a idade actual do pai.

R: O pai tem 25 anos e o filho tem 5 anos.

Exerccios 3:

1. Resolve cada uma das seguintes equaes e apresenta o seu conjunto-soluo.

1.1) 2(x - 1) - QUOTE = 0

1.2) 1 - QUOTE

1.3) QUOTE

2. Actualmente, a idade da me seis vezes a idade do filho. Daqui a vinte e quatro anos a me ter o dobro da idade do filho. Qual a idade actual de cada um?

3. A soma de trs nmeros naturais consecutivos 33. Quais so esses nmeros?

Exemplos:

x QUOTE 1 ( uma inequao

x QUOTE 5 ( uma inequao

x QUOTE 6 ( uma inequao

x QUOTE 8 ( uma inequao

Exemplos:

x QUOTE 1 ( l-se x maior que 1 ou seja x poder ser qualquer nmeros maior que 1

S = QUOTE ( usamos parnteses abertos porque 1 no pertence ao conjunto-soluo e porque se usa sempre parnteses abertos no infinito

----------------------------|-----o----------------------->

QUOTE 0 1 QUOTE

Usamos bolinha aberta na representao na recta real porque 1 no pertence ao conjunto-soluo.

x QUOTE 6 ( l-se x menor ou igual que 6

S = QUOTE ( usamos parnteses fechados porque 6 pertence ao conjunto-soluo.

----------------------------|---------------------------->

QUOTE 0 6 QU