A0 ３班論理関数表現のモデルとシンボリックアルゴリズム

電気通信大学　　武永　康彦北海道大学　　　　湊　　真一

本研究の研究対象

論理関数のグラフ表現 グラフアルゴリズム

シンボリックアルゴリズム

OBDD などで表現されたデータの操作に基づくアルゴリズム

OBDD 、二分木など

研究内容

論理関数のグラフ表現の性質、複雑さ グラフアルゴリズム

OBDD 等によるデータの表現法とアルゴリズム

１．論理関数のグラフ表現・ Tree-Shellable 論理関数の性質論理関数の二分木表現の性質を解明する信頼性計算、双対化などに有効

（ Ordered)Tree-Shellable 論理関数 :論理関数の主項と ( 変数順序つき）同数の１パスを持つ二分木で表現できる正論理関数

2x

1x

4x3x

2x

１ １

１１

１

１

１

０

１

０

423121 xxxxxxf 　　

Tree-Shellable 論理関数

・ 制限のついた DNF に対する tree-shellability　　 DNF 中の同一変数の出現回数、積項の長さを制限　　これらをパラメータとして考察

　　・ DNF 中の変数の出現回数　　　　高々 回に制限　→　項数　 を超えると tree-shellable になり得ない　　　　定数回なら多項式時間で判定可能

i 2i

Tree-Shellable 論理関数

・ 制限のついた DNF に対する Tree-Shellability 　　・積項の長さ　　　　定数に制限した場合の判定複雑さ　　　　　 tree-shellable 　　　　　　　 ・・・　多項式時間　　　　　 ordered tree-shellable 　・・・　 NP 完全　多項式時間で tree-shellability を判定可能な　　　　　　　　　　　　　　　　　実用的に有用なクラス

の発見

・ 正論理関数以外への拡張　　　パスと主項の対応が複雑

2. データのシンボリック表現とアルゴリズム・種々のデータの OBDD などによる表現法・シンボリック表現上の論理演算等の操作に基づく　アルゴリズム

OBDD( 二分決定グラフ） 　論理関数のグラフ表現　　・変数順序を決めれば表現が一意　　・多くの実用的論理関数を小さく表現　　・論理演算等が高速に実行可能　 OBDD に類した表現法も種々提案される

0 1

x2

x1

x3

０

０

０

１

１

１

データのシンボリック表現とアルゴリズムシンボリックグラフアルゴリズム・区間グラフ処理のアルゴリズム・トポロジカルソートの列挙・ BMD による重みつきグラフの表現

種々の計算モデルと OBDD 表現・ ZBDD によるベイジアンネットワークのコンパイル・量子論理回路の BDD 表現　　　　　　　　　　　

・ OBDD による画像表現とアルゴリズム　　　　　　　　　など

区間グラフの OBDD 表現とシンボリックアルゴリズム

区間表現に基づく OBDD 表現 通常の表現（辺集合を関数で表現）に比べサイズ小

区間グラフに対する基本的操作のアルゴリズム　　隣接頂点集合を求める、距離ｋ以内の頂点集合を求

める、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 　　　　など

　　

OBDD によるトポロジカルソートの列挙特にデータ間の共通部分が多い場合、多数のデータ

を小さなサイズで保持できる条件を満たす解の探索が可能

実験の結果、非常に多数の解をコンパクトに表現例： n×n グリッドグラフ

n 頂点数 解の数 OBDDサイズ

　 2 4 2 13

3 9 42 87

4 16 24024 431

5 25 ? 1925

OBDD によるトポロジカルソートの列挙問題点・・・単純な方法では計算途中の OBDD サイズが

増大　　　　　　　→メモリ量、 OBDD 処理時間

シンボリックグラフ処理を用いて解空間をあらかじめ縮小　各頂点への最大パス長、など　　　→計算途中の最大 OBDD サイズが大幅減 ４ × ４、５ × ５グリッドグラフで８７～８８％減少

種々の列挙アルゴリズムへの応用

「 Compilation of Bayesian Networks 」 : ベイジアンネットワークの確率計算式を BDD に変換し、高速に計算。 [Minato et al. IJCAI-2007] ゼロサプレス型 BDD 指数関数的な長さの確率計算式が

コンパクトに因数分解された表現。 一旦、 ZBDD による計算式表現を生成（＝コンパイル）で

きれば、ベイジアンネットが表す各事象の発生確率を高速に計算できる。

実験の結果、数千個の変数を含む大規模なベイジアンネットをコンパイル可能に

　論理関数処理技術の新しい展開（確率モデル計算の連携）

Compilation of Bayesian Networks Using ZBDDs

a(0.4)

a(0.6)

b(0.8)

b(0.2)

b(0.8)

b(0.2)

a1

a2

b1

b2

10

MLF(B)

0 1

01

01

0

1

ベイジアンネット

条件付確率テーブル

線形確率計算式（指数サイズ）

因数分解表現（ ZBDD)

Compilation of Bayesian Networks Using ZBDDs

量子論理回路の BDD 表現 量子論理回路の BDD 表現（ DDMF, QMDD) の表現

能力の考察と CAD への応用

　　　　　　（奈良先端・山下先生の A07 班との連携） 現実的な量子論理回路の設計検証技術を提供 超低消費電力回路や光論理回路設計への　　応用の可能性

OBDD による画像表現とアルゴリズムデータによっては小さなサイズで表現でき、圧縮したデータのまま、全ての画素に同時に同じ処理を実行可能・ 画像の表現法　　座標 (x,y) の濃度が　　 OBDD 表現　 SBDD 表現　　　　　整数値をもつデータの表現、処理手法

　閾値処理、平行移動、輪郭抽出、フィルタ処理など　

)10(1),( kiyxif 　 　

011 zzzz k

1),,( zyxf

３．グラフアルゴリズム

パラメータ化グラフ上の基本的グラフ問題　　一般には NP 困難だが、特定のグラフクラスに　　対しては多項式時間で解ける問題が多い　　　　　　　　　　　　　　↓　　あるクラスのグラフに「近い」グラフでは？　　「近さ」をパラメータとし、パラメータ付き計算量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の観点か

ら評価

パラメータ化グラフ上のグラフアルゴリズム

C ＋ ke(-ke) グラフ： C グラフに辺 ( モジュレータ ) を k本追加

( 削除 ) して得られるグラフ

・ 比較可能 +ke グラフ、比較可能 -ke グラフの　　頂点彩色問題など・ Chordal+k １ e-k2e グラフの頂点彩色問題

比較可能 +ke グラフ、 -ke グラフの頂点彩色問題

比較可能グラフ　推移的な辺の方向付けが可能な無向グラ

フ　頂点彩色問題は多項式時間で解ける

頂点彩色問題の計算量　・ 比較可能 +ke グラフ　　　　 k=1 多項式時間　　　　 k=2 NP 完全　・ 比較可能 -ke グラフ　　　　 k=1 多項式時間

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

比較可能 +ke グラフ、 -ke グラフの頂点彩色問題

比較可能 +1e グラフの彩色　　推移的なグラフを求める　　比較可能グラフでモジュ

レータの両端が必ず同色　　⇔彩色数 1 増

比較可能 +2e グラフ　　彩色数が１増えるか、　　２増えるか、ともに NP完全

モジュレータ

彩色数の増加しない例 (ハッセ図）

Chordal+k1e-k2e グラフの頂点彩色問題辺の追加と削除を同時に考えたグラフに対する　　　　　　　　　　　　　　　　　おそらく初めての結

果Fixed parameter tractable アルゴリズムを設計

Chordal+ke グラフに対するアルゴリズム　　 tree-decomposition を利用→ 削除された辺に対する処理を可能に Fixed parameter tractable: 問題のサイズ n 、 パラメータ k に対し、 時間で解ける

))(( cnkfO

まとめ・論理関数のグラフ表現の性質の解明　　グラフ表現と主項など他の表現との関連

・データの OBDD などによる表現法とその応用　　シンボリックアルゴリズムの設計手法　　様々な分野への応用の可能性を探る

・基本的グラフ問題のアルゴリズム　　パラメータ化計算量