กราฟ 𝑮 𝒂𝒑𝒉 - weeblynalintip.weebly.com/uploads/2/6/6/0/26603550/graph... ·...

ทฤษฎกราฟ 1

ชมรมคณตศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร M-club

กราฟ (𝑮𝒓𝒂𝒑𝒉𝒔)

ขอตกลง

1. ค าวาแฟมล (𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑦) ในหนงสอเลมนจะหมายถงกลมของสมาชกโดยทแตละสมาชกอาจจะ

ซ ากนหลายๆ ครงกได เชน {𝑎,𝑎,𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐} ซงแฟมลนจะตางจากเซต เพราะวาถาเปนเซต

จะเขยนวา {𝑎, 𝑏, 𝑐}

2. จะใชสญลกษณ (𝑎, 𝑏) แทนคอนดบ ( 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑝𝑎𝑖𝑟) ของ 𝑎 และ 𝑏

3. จะใชสญลกษณ {𝑎, 𝑏} แทนคไมอนดบ ( 𝑢𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑝𝑎𝑖𝑟) ของ 𝑎 และ 𝑏

นยามของกราฟ

นยาม กราฟ 𝐺 คอคอนดบ (𝑉 𝐺 ,𝐸 𝐺 ) โดยท 𝑉(𝐺) เปนเซตจ ากดทไมใชเซตวางของสมาชก

ทเรยกวาจด (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) และ 𝐸(𝐺) เปนแฟมลจ ากดของคไมอนดบของสมาชกใน 𝑉(𝐺) ซง

เรยกสมาชกของ 𝐸(𝐺) วา เสน (𝑒𝑑𝑔𝑒)

หมายเหต 1. เพอความสะดวกจะเขยน 𝑢𝑣 แทนเสน {𝑢, 𝑣}

2. เนองจาก 𝐸(𝐺) เปนแฟมลจ ากดของคไมอนดบของสมาชกใน 𝑉(𝐺) ดงนนเสน 𝑢𝑣

และ 𝑣𝑢 จงเปนเสนเดยวกน

นยาม ลป (𝐿𝑜𝑜𝑝) คอเสนทอยในรป 𝑣𝑣

นยาม มลตเพลเอดจ (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑑𝑔𝑒) คอเสนทมมากกวาหนงเสนซงเชออมจดเดยวกน

นยาม มลตกราฟ (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) คอกราฟทมมลตเพลเอดจและไมมลป

นยาม ซมเปลกราฟ (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) คอกราฟทไมมมลตเพลเอดจ และไมมลป

( ซมเปลกราฟทม 𝑛 จดจะมเสนมากทสด 𝑛2 เสน )

นยาม จะเรยกซมเปลกราฟทม 𝑝 จด และ 𝑞 เสนวา (𝑝, 𝑞) กราฟ

นยาม ไดเรคเตดกราฟหรอไดกราฟ 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕 𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕 𝐷 คอ คอนดบ

(𝑉 𝐷 ,𝐴 𝐷 ) โดยท 𝑉(𝐷) เปนเซตจ ากดทไมใชเซตวางของสมาชกทเรยกวาจด

(𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) และ 𝐴(𝐷) เปนแฟมลจ ากดของคอนดบของสมาชกใน 𝑉(𝐷) ซง เรยกสมาชก

ของ 𝐴(𝐷) วา อารค (𝑎𝑟𝑐)



หมายเหต 1. เพอความสะดวกจะเขยน 𝑢𝑣 แทนอารค (𝑢, 𝑣)

2. เนองจาก 𝐴(𝐷) เปนแฟมลจ ากดของคอนดบของสมาชกใน 𝑉(𝐷) ดงนนอารค 𝑢𝑣

จะตางจากอารค 𝑣𝑢

นยาม ลป (𝐿𝑜𝑜𝑝) คออารคทอยในรป 𝑣𝑣

นยาม ซมเปลไดกราฟ (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) คอไดกราฟทไมมลป และ อารคของไดกราฟนจะแตกตางกนทงหมด

นยาม จะเรยกจด 𝑢 และจด 𝑣 ของกราฟวาจดประชด (𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠) ถามเสนเชอม

ระหวางจด 𝑢 และจด 𝑣

นยาม ถาจด 𝑢 และจด 𝑣 ของกราฟมเสน 𝑢𝑣 เชอมแลวจะเรยก 𝑢 หรอ 𝑣 วาจดทอนซเดนท

(𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡) กบเสน 𝑢𝑣

นยาม จะเรยกเสนของกราฟทอนซเดนทกบจด 𝑣 วาดกร (𝑑𝑒𝑔𝑟𝑒𝑒) ของจด 𝑣 และเขยนแทนดวย

สญลกษณ 𝑑(𝑣)

หมายเหต ถาจด 𝑣 มเสนเปนลปแลว ดกรของจด 𝑣 ทเกดจากลปจะมคาเปนสอง

นยาม ถาจด 𝑣 ม 𝑑 𝑣 = 0 แลวจะเรยก 𝑣 วาจดไอโซเลทเตด 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 และ

ถา 𝑣 ม 𝑑 𝑣 = 1 แลวจะเรยก 𝑣 วาจดปลาย (𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑜𝑟

𝑒𝑛𝑑𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡)

ทฤษฎบท 2.1 (𝐻𝑎𝑛𝑑𝑠𝑕𝑎𝑘𝑖𝑛𝑔 𝐿𝑒𝑚𝑚𝑎)

ส าหรบกราฟ 𝐺 ใดๆ ผลบวกของดกรของจดทงหมดใน 𝐺 จะเทากบสองเทาของจ านวนเสนใน 𝐺

นนคอถา 𝐺 ม 𝑝 จดและ 𝑞 เสน โดยทจดของ 𝐺 เปน 𝑣1 , 𝑣2 ,𝑣3 ,… , 𝑣𝑝 แลว

𝑑 𝑣𝑖 = 2𝑞

𝑝

𝑖=1

พสจน เมอบวกดกรของจดทงหมดใน 𝐺 จะมการนบแตละเสนของ 𝐺 เปนจ านวนสองครง

ดงนน ผลบวกของดกรทไดเปนสองเทาของจ านวนเสนใน 𝐺 #

นยาม จะเรยกจด 𝑢 วาจดค (𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) ถา 𝑑(𝑢) เปนจ านวนค และจะเรยกจด 𝑣 วาจดค

(𝑜𝑑𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) ถา 𝑑(𝑣) เปนจ านวนค



ทฤษฎบท 2.2 กราฟทกกราฟจะบรรจ (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛) จดคเปนจ านวนค

พสจน

กราฟไอโซมอรฟสซม (𝐺𝑟𝑎𝑝𝑕 𝐼𝑠𝑜𝑚𝑜𝑟𝑝𝑕𝑖𝑠𝑚)

นยาม ไอโซมอรฟสซม (𝑖𝑠𝑜𝑚𝑜𝑟𝑝𝑕𝑖𝑠𝑚) จากกราฟ 𝐺1 ไปยงกราฟ 𝐺2 จะหมายถงฟงกชน

θ ∶ 𝑉 𝐺1 → 𝑉(𝐺2) โดยท θ มคณสมบต 2 ขอคอ

1. θ เปนฟงกชนหนงตอหนง (𝑜𝑛𝑒 𝑡𝑜 𝑜𝑛𝑒) จาก 𝑉(𝐺1) ไปบน 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑉(𝐺2)

2. จด 𝑢 และ 𝑣 จะประชดกนใน 𝐺1 กตอเมอ θ(𝑢) และ θ(𝑣) ประชดกนใน 𝐺2 หรอกลาว

อกอยางหนงวา ถา 𝑢1 , 𝑣1 ∈ 𝑉(𝐺1) แลว

𝑢1𝑣1 ∈ 𝐸(𝐺1) ⇔ 𝜃(𝑢1)𝜃(𝑣1) ∈ 𝐸(𝐺2)

นยาม กราฟ 𝐺1 จะไอโซมอรฟค (𝑖𝑠𝑜𝑚𝑜𝑟𝑝𝑕𝑖𝑐) กบกราฟ 𝐺2 (ใชสญลกษณ 𝐺1 ≅ 𝐺2)

กตอเมอมไอโซมอรฟสซมจาก 𝐺1 ไปยง 𝐺2

ทฤษฎบท 2.3 ไอโซมอรฟสซมจะเปนความสมพนธแบบอคววาเลนซ

(𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) บนเซตของกราฟทงหมด

ขอสงเกต 1. ถา 𝐺1 ≅ 𝐺2 แลวจากนยามจะไดวามฟงกชนหนงตอหนง θ จาก 𝑉(𝐺1) ไปบน

𝑉(𝐺2) ดงนน 𝑉(𝐺1) และ 𝑉(𝐺2) จะตองมสมาชกเทากน นนคอ 𝐺1 และ 𝐺2 จะตองมจ านวนจดเทากน

นอกจากนถา 𝑢1 , 𝑣1 เปนจดใน 𝐺1 และ 𝜃 𝑢1 = 𝑢2 และ 𝜃 𝑣1 = 𝑣2 แลวจะ

ไดวา 𝑢1𝑣1 ∈ 𝐸 𝐺1 ⇔ 𝑢2𝑣2 ∈ 𝐸(𝐺2) ซงจากคณสมบตนจะท าใหไดวา 𝐺1 และ

𝐺2 มจ านวนเสนเทากน

2. ถากราฟ 2 กราฟใดๆ มจ านวนจดเทากนและมจ านวนเสนเทากนแลวกราฟ 2 กราฟนไมจ าเปนจะตองไอโซมอรฟคกน

ทฤษฎบท 2.4 ถา 𝐺1 ≅ 𝐺2 แลวดกรของจดของ 𝐺1 จะเทากบดกรของจดของ 𝐺2

พสจน เนองจาก 𝐺1 ≅ 𝐺2 ดงนนจะมไอโซมอรฟสซม θ ∶ 𝑉 𝐺1 → 𝑉(𝐺2)

ให 𝑢 เปนจดใดๆ ใน 𝐺1 และ 𝑑 𝑢 = 𝑛

ถา θ 𝑢 = 𝑣 แลวจะแสดงวา 𝑑 𝑣 = 𝑛

เนองจาก 𝑑 𝑢 = 𝑛 ดงนนจะมจด 𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3 ,… ,𝑢𝑛



ใน 𝐺1 ซงจดเหลานจะประชดกบจด 𝑢 และจะไมมจดอนๆ ของ 𝐺1 ทประชดกบ 𝑢 อก

ให 𝜃 𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 ส าหรบ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

เนองจาก 𝜃 เปนไอโซมอรฟสซม ดงนน 𝑣 จะประชดกบจด 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ,… , 𝑣𝑛 เทานน และ

จะไมประชดกบจดอนอกเลย ดงนนจะไดวา 𝑑 𝑣 = 𝑛

นนกคอจดใดๆ ของ 𝐺1 และอมเมจของมนซงเปนจดของ 𝐺2 จะมดกรเทากนเสมอ

บทแทรก 2.5 ใหจดของกราฟ 𝐺1 มดกรเปน 𝑑𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 โดยท 𝑑1 ≤ 𝑑2 ≤. . .≤ 𝑑𝑛

และจดของกราฟ 𝐺2 มดกรเปน 𝑐𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 โดยท 𝑐1 ≤ 𝑐2 ≤. . .≤ 𝑐𝑛

ถา 𝑑𝑖 ≠ 𝑐𝑖 ส าหรบ 𝑖 บางตวแลว จะไดวา 𝐺1 ≇ 𝐺2

กราฟชนดตางๆ

นยาม จะเรยกกราฟทมจด 1 จดวาทรเวยลกราฟ (𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) นอกนนจะเรยกวานอน-

ทรเวยลกราฟ (𝑛𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕)

นยาม ถา 𝐺 เปนกราฟทม 𝐸(𝐺) เปนเซตวางแลวจะเรยก 𝐺 วาเปนกราฟวาง (𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕)

นยาม จะเรยกซมเปลกราฟวาคอมพลทกราฟ (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) ถาทกคของจดในซมเปล

กราฟนมเสนเชอมระหวางจด และใชสญลกษณ 𝐾𝑝 แทนคอมพลทกราฟ ทม 𝑝 จด

หมายเหต จ านวนเสนของ 𝐾𝑝 = 𝑝2 =

𝑝 !

𝑝−2 !2!=

𝑝

2 𝑝 − 1

นยาม จะเรยกกราฟททกๆ จดมดกรเทากนหมดวา เรกลารกราฟ (𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) และถาดกร

ของทกๆ จดเทากบ 𝑟 จะเรยกวา เรกลารกราฟของดกร 𝑟

ถา 𝑟 = 3 จะเรยกเรกลารกราฟวา ควบคกราฟ (𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕)

ขอสงเกต กราฟวางจะเปนเรกลารกราฟของดกรศนย และ 𝐾𝑝 จะเปนเรกลารกราฟของดกร 𝑝 − 1

ทฤษฎบท 2.6 ทกๆ ควบคกราฟจะมจ านวนจดเปนจ านวนค

พสจน เนองจากทกจดของควบคกราฟมดกรเปน 3

ดงนนทกจดจงเปนจดค

จากทฤษฎบท จะไดวา ควบคกราฟจะมจ านวนจดเปนจ านวนค #

นยาม พลาโทนคกราฟ (𝑝𝑙𝑎𝑡𝑝𝑛𝑖𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕𝑠) คอเรกลารกราฟทเกดจากจดและเสนของรปทรง

ตนชนดใดชนดหนงใน 5 ชนดนคอ ทรงสหนา (𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑕𝑒𝑑𝑟𝑜𝑛) ลกบาศก (𝑐𝑢𝑏𝑒) ทรง



นยาม ให 𝐺 เปนกราฟและ 𝑆 ⊆ 𝑉(𝐺) อนดวสสบกราฟ (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑒𝑑 𝑠𝑢𝑏𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) ของ 𝐺

ซงแทนดวยสญลกษณ < 𝑆 > คอ สบกราฟของ 𝐺 ทม 𝑆 เปนเซตของจด และจด 2 จด

ประชดกนใน < 𝑆 > กตอเมอ จด 2 จดนนประชดกนใน 𝐺

นยาม ถา 𝑒 เปนเสนใน 𝐺 แลว 𝐺 − 𝑒 จะหมายถงสบกราฟของ 𝐺 ซงไดจากการลบเสน 𝑒 ออกไป

จาก 𝐺

ในรปทวไป ถา 𝐹 เปนเซตใดๆ ของเสนใน 𝐺 แลว 𝐺 − 𝐹 จะหมายถงสบกราฟของ 𝐺 ทได

จากการลบเสนใน 𝐹 ออกไปจาก 𝐺

นยาม ถา 𝑣 เปนจดของ 𝐺 แลว 𝐺 − 𝑣 จะหมายถงสบกราฟของ 𝐺 ซงไดจากการลบจด 𝑣 ออกไป

จาก 𝐺

ในรปทวไป ถา 𝑆 เปนเซตใดๆ ของจดใน 𝐺 แลว 𝐺 − 𝑆 จะหมายถงสบกราฟของ 𝐺 ทได

จากการลบจดใน 𝑆 และเสนซงอนซเดนทกบจดใน 𝑆 ออกไปจาก 𝐺

นยาม ถา 𝑢 และ 𝑣 ไมเปนจดประชดกนใน 𝐺 แลว 𝐺 + 𝑢𝑣 จะหมายถงซปเปอรกราฟของ 𝐺 ทได

จากการเพมเสน 𝑢𝑣 ใหกบ 𝐺

นยาม ถา 𝑒 เปนเสนใดๆ ของ 𝐺 แลว เอดจ-คอนแทรคชน (𝑒𝑑𝑔𝑒 − 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) ของ 𝐺

ซงเขยนแทนดวย 𝐺\𝑆 คอกราฟทไดจาก 𝐺 โดยการคอนแทรค (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡) เสน 𝑒 ( นนก

คอท ากราฟ 𝐺 ใหเปนกราฟ 𝐺 − 𝑒 แลวเอาจด 2 จดทอนซเดนทกบ 𝑒 มาทบกน)

ในรปทวไป คอนแทรคชน (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) ของกราฟ 𝐺 จะหมายถงกราฟซงไดจาก 𝐺 โดยขบวนการของเอดจ-คอนแทรคชน

โอเปอเรชนบนกราฟ (𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑜𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑝𝑕𝑠)

ถาให 𝐺1 = (𝑉 𝐺1 ,𝐸 𝐺1 ) และ 𝐺2 = (𝑉 𝐺2 ,𝐸 𝐺2 ) เปนกราฟ

โดยท 𝑉 𝐺1 ∩ 𝑉 𝐺2 = ∅ แลวจะนยามไบนารโอเปอเรชนบนกราฟดงตอไปน

นยาม ยเนยน (𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛) ของ 𝐺1 และ 𝐺2 (แทนดวยสญลกษณ 𝐺1 ∪ 𝐺2) คอ กราฟ 𝐺 ทม

𝑉 𝐺 = 𝑉(𝐺1) ∪ 𝑉 𝐺2 และ 𝐸 𝐺 = 𝐸(𝐺1) ∪ 𝐸(𝐺2)

นยาม ผลบวก (𝑠𝑢𝑚) ของ 𝐺1 และ 𝐺2 (แทนดวยสญลกษณ 𝐺1 + 𝐺2) คอ กราฟ 𝐺 ทม

𝑉 𝐺 = 𝑉(𝐺1) ∪ 𝑉 𝐺2 และ

𝐸 𝐺 = 𝐸 𝐺1 ∪ 𝐸 𝐺2 ∪ 𝑣1𝑣2 𝑣1 ∈ 𝑉 𝐺1 และ 𝑣2 ∈ 𝑉(𝐺2)}



นยาม ถา 𝐺1 และ 𝐺2 เปนซมเปลกราฟ แลว ผลคณคารทเซยน (𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡) ของ

𝐺1 และ 𝐺2 (แทนดวยสญลกษณ 𝐺1 × 𝐺2 ) คอกราฟทม 𝐺 ทม 𝑉(𝐺) เปนผลคณคารท

เซยนของ 𝑉(𝐺1) และ 𝑉(𝐺2) นนกคอ

𝑉 𝐺 = 𝑉(𝐺1) × 𝑉(𝐺2) และ

𝐸 𝐺 = {{ 𝑢1 ,𝑢2 , 𝑣1 , 𝑣2 }|𝑢1 = 𝑣1 และ 𝑢2𝑣2 ∈ 𝐸 𝐺2 หรอ 𝑢2 = 𝑣2 และ 𝑢1𝑣1 ∈ 𝐸 𝐺1 }

นยาม ถา 𝐺1 และ 𝐺2 เปนซมเปลกราฟ แลว คอมโพสชน (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛) ของ 𝐺1 และ 𝐺2

(แทนดวยสญลกษณ 𝐺1[𝐺2]) คอกราฟทม 𝐺 ทม

𝑉 𝐺 = 𝑉 𝐺1 × 𝑉 𝐺2 และ

𝐸 𝐺 = {{ 𝑢1 ,𝑢2 , 𝑣1 ,𝑣2 }|𝑢1𝑣1 ∈ 𝐸 𝐺1 หรอ 𝑢1 = 𝑣1

และ 𝑢2𝑣2 ∈ 𝐸 𝐺2 }

ถา 𝐺1 และ 𝐺2 เปน (𝑝1 ,𝑞1) และ (𝑝2 , 𝑞2) กราฟตามล าดบแลว จะไดจ านวนจด

และเสนทเกดจากโอเปอเรชนบน 𝐺1 และ 𝐺2 ดงแสดงในตารางตอไปน

โอเปอเรชน จ านวนจด จ านวนเสน

𝐺1 ∪ 𝐺2 𝑝1 + 𝑝2 𝑞1 + 𝑞2 𝐺1 + 𝐺2 𝑝1 + 𝑝2 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑝1𝑝2 𝐺1 × 𝐺2 𝑝1𝑝2 𝑝1𝑞2 + 𝑝2𝑞1 𝐺1[𝐺2] 𝑝1𝑝2 𝑝1𝑞2 + 𝑝2

2𝑞1

วอลคและคอนเนคเตดเนส (𝑊𝑎𝑙𝑘𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝐶𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠)

นยาม ให 𝑢 และ 𝑣 เปนจดของกราฟ 𝐺 𝑢 − 𝑣 วอลค (𝑢 − 𝑣 𝑤𝑎𝑙𝑘) ใน 𝐺 คอล าดบจ ากด

(𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒) ของจดและเสนทปรากฏในลกษณะสลบทกน โดยเรมตนทจด 𝑢

และสนสดดวยจด 𝑣 และทกๆ เสนจะอนซเดนทกบจดทอยหนาและหลงเสนนน

นยาม จะเรยกจ านวนเสนใน 𝑢 − 𝑣 วอลควาความยาว (𝑙𝑒𝑛𝑔𝑕𝑡) ของ 𝑢 − 𝑣 วอลค

หมายเหต เพอความสะดวกในการเขยนวอลค จะแทนวอลคดวยล าดบจ ากดของจดเพยงอยางเดยว

นยาม 𝑢 − 𝑣 เทรล (𝑢 − 𝑣 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙) ในกราฟ 𝐺 คอ 𝑢 − 𝑣 วอลคทมเสนตางกน

นยาม 𝑢 − 𝑣 พาธ (𝑢 − 𝑣 𝑝𝑎𝑡𝑕) ในกราฟ 𝐺 คอ 𝑢 − 𝑣 วอลคทมจดตางกน



ขอสงเกต 𝑢 − 𝑣 พาธ จะเปน 𝑢 − 𝑣 เทรลเสมอ

นยาม จะเรยก 𝑢 − 𝑣 เทรล หรอ 𝑢 − 𝑣 พาธ ทม 𝑢 = 𝑣 วาเทรลปด (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙) หรอ

พาธปด (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑝𝑎𝑡𝑕) ตามล าดบ นอกนนจะเรยกวา เทรลเปด (𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑙) หรอ

พาธเปด (𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑡𝑕)

นยาม จะเรยกพาธปดซงประกอบดวยเสนอย



ทฤษฎบท 2.7 กราฟใดๆ จะเปนไบพารไทต กตอเมอ ทกๆ เซอรคทของกราฟมความยาวเปนจ านวนค

พสจน .........................

จ านวนเสนในซมเปลกราฟทม 𝑝 จดนนอนดบแรกจะพจารณาซมเปลกราฟทเปนคอนเนคเตดและไมมเซอรคท เพราะซมเปลกราฟดงกลาวนมจ านวนเสนนอยทสด ในบรรดาคอนเนคเตดกราฟ

อนๆ คอจะไมมเกน 𝑝 − 1 เสน สวนซมเปลกราฟทมจ านวนเสนมากทสดคอซมเปลกราฟทเปน

คอมพลทกราฟ ซงมจ านวนเสนเปน 𝑝

2(𝑝 − 1) ดงนนจะไดวาจ านวนเสนของซมเปลกราฟจะ

อยระหวาง 𝑝 − 1 กบ 𝑝

2(𝑝 − 1) เสน

ทฤษฎบท 2.8 ให 𝐺 เปนซมเปลกราฟทม 𝑝 จด และถา 𝐺 ม 𝑘 คอมโพเนนท แลวจ านวนเสนของ 𝐺

คอ 𝑞 จะสอดคลองดงตอไปน

𝑝 − 𝑘 ≤ 𝑞 ≤1

2 𝑝 − 𝑘 (𝑝 − 𝑘 + 1)

พสจน...........................

บทแทรก 2.9 ซมเปลกราฟใดๆ ทม 𝑝 จด และมเสนมากกวา 1

2 𝑝 − 1 (𝑝 − 2) เสน แลวจะเปน

คอนเนคเตดกราฟ

พสจน แบบฝกหด

นยาม เซพพะเรตงเซต (𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑡) ของคอนเนคเตดกราฟ 𝐺 คอ เซตของจดใน 𝐺 ทลบ

ออกไปจาก 𝐺 แลวท าใหกราฟทเหลอเปนดสคอนเนคเตดกราฟ

นยาม ถาเซพพะเรตงเซตบรรจจด 𝑣 เพยงจดเดยวแลวจะเรยกจด 𝑣 นวา คทเวอรเทกซ (𝑐𝑢𝑡 −

𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥)

ขอสงเกต ถาเอาคท-เวอรเทกซออกไปจาก 𝐺 แลวจะท าใหกราฟทเหลอมอยางนอย 2 คอมโพเนนท

นยาม ถา 𝐺 เปนคอนเนคเตดกราฟแลว เวอรเทกซ-คอนเนคตวต (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑦)

หรอกลาวสนๆ วาคอนเนคตวตของ 𝐺 ซงแทนดวยสญลกษณ 𝐾(𝐺) คอจ านวนจดทนอยทสดท

ลบออกไปจาก 𝐺 แลวท าใหกราฟทเหลอเปนดสคอนเนคเตดกราฟ หรอทรเวยลกราฟ

นยาม ถา 𝐾 𝐺 ≥ 𝑘 แลวจะเรยก 𝐺 วา 𝑘 − คอนเนคเตด (𝑘 − 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑)



ทฤษฎบท 2.10 ให 𝑣 เปนจดของคอนเนคเตดกราฟ 𝐺 จะไดวาขอความตอไปนสมมล

(𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡)



ซมเปลกราฟทม 3 จดจะมทงหมด 4 รปทไมไอโซมอรฟคกน

ซมเปลกราฟทม 4 จดจะมทงหมด 11 รปทไมไอโซมอรฟคกน



ทร (𝑇𝑟𝑒𝑒𝑠)

คณสมบตเบองตนเกยวกบทร

นยาม จะเรยกซมเปลกราฟวา ฟอเรส (𝑓𝑜𝑟𝑒𝑠𝑡) ถาซมเปลกราฟนนไมมเซอรคท

นยาม จะเรยกฟอเรสวา ทร (𝑇𝑟𝑒𝑒𝑠) ถาฟอเรสนนเปนคอนเนคเตดกราฟ

ทฤษฎบท 3.1 ให 𝑇 เปน (𝑝, 𝑞) กราฟ จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

(1) 𝑇 เปนทร

(2) 𝑇 ไมมเซอรคท และ 𝑝 = 𝑞 + 1

(3) 𝑇 เปนคอนเนคเตดกราฟ และ 𝑝 = 𝑞 + 1

(4) 𝑇 เปนคอนเนคเตดกราฟ และทกเสนเปนบรดจ

(5) จด 2 จดใดๆ ของ 𝑇 จะถกเชอมดวยพาธเพยงพาธเดยวเทานน 6 𝑇 ไมมเซอรคท แตถาเพมเสนใดๆ อก 1 เสน ใหกบ 𝑇 แลวจะท าให 𝑇 ม 1 เซอรคท

พสจน ถา 𝑝 = 1 แลวขอความขอความทง 6 ขอนจะเปนจรงและเหนไดโดยงาย

ดงนนจะสมมตให 𝑝 ≥ 2

1 ⇒ (2) เนองจาก 𝑇 เปนทร ดงนน 𝑇 จะไมมเซอรคท และถาเอาเสนใดๆ ใน 𝑇 ออกไปจะท าให

𝑇 เปนดสคอนเนคเตดกราฟทม 2 คอมโพเนนท และจะใหเปน 𝑇1 และ 𝑇2

โดยท 𝑇1 และ 𝑇2 ตางกเปนทร

ให 𝑇1 เปน (𝑝1 ,𝑞1) กราฟ และ 𝑇2 เปน (𝑝2 , 𝑞2) กราฟ

ดงนน 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝 และ 𝑞1 + 𝑞2 + 1 = 𝑞

จากวธอปนยเชงคณตศาสตรจะสมมตให

𝑝1 = 𝑞1 + 1 และ 𝑝2 = 𝑞2 + 1

ดงนน 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑞1 + 𝑞2 + 1 + 1

นนกคอ 𝑝 = 𝑞 + 1 เปนจรง #

2 ⇒ 3 ให 𝑇 ไมมเซอรคท และ 𝑝 = 𝑞 + 1

สมมตวา 𝑇 เปนดสคอนเนคเตดกราฟ

ดงนน 𝑇 จะมหลายคอมโพเนนท ซงแตละคอมโพเนนทจะเปนเพยงคอนเนคเตดกราฟทไมม เซอรคท นนกคอแตละคอมโพเนนทจะเปนทร

ให 𝑇𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 เปนคอมโพเนนทของ 𝑇 โดยท 𝑇𝑖 เปน 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 กราฟ



เนองจาก 𝑇𝑖 เปนทร ดงนน 𝑝𝑖 = 𝑞𝑖 + 1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

จะไดวา 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯+ 𝑝𝑛 = 𝑞1 + 𝑞2+. . . +𝑛

นนกคอ 𝑝 = 𝑞 + 𝑛

เนองจาก 𝑇



6 ⇒ 1 สมมตวา 𝑇 ไมเปนคอนเนคเตดกราฟ

ดงนน 𝑇 จะมมากกวา 1 คอมโพเนนท และ ถาลากเสน 1 เสนจากจดใดๆ ในคอมโพเนนทหนง

ไปยงจดในอกคอมโพเนนทหนง จะไดวายงไมเกดเซอรคทขนใน 𝑇 ซงขดแยงกบสมมตฐาน

ดงนน 𝑇 เปนคอนเนคเตดและไมบรรจเซอรคท

นนคอ 𝑇 เปนทร #

บทแทรก 3.2 ให 𝐺 เปนฟอเรสทม 𝑝 จด 𝑞 เสน และ 𝑘 คอมโพเนนท ดงนน 𝑝 = 𝑞 − 𝑘

พสจน จากทฤษฎบท 3.1 ขอ (3) จะไดวาถา 𝐺 ม 1 คอมโพเนนท แลว

จะไดวา 𝑞 = 𝑝 − 1 นนกคอทฤษฎบทจะเปนจรง

ถา 𝐺 ม 2 คอมโพเนนท แลว 𝑞 = 𝑝1 − 1 + 𝑝2 − 1 = 𝑝 − 2

โดยท 𝑝1 และ 𝑝2 เปนจ านวนจดในแตละคอมโพเนนท ซง 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝

ในท านองเดยวกน ถา 𝐺 ม 𝑘 คอมโพเนนท กจะไดจ านวนเสนของ 𝐺 เทากบ

𝑞 = 𝑝1 − 1 + 𝑝2 − 1 +. . . +(𝑝𝑘 − 1) = 𝑝1 + 𝑝2+. . . +𝑝𝑘 − 𝑘 = 𝑝 − 𝑘

โดยท 𝑝𝑖 เปนจ านวนจดในแตละคอมโพเนนท ซง (𝑖 = 1,2,3,… , 𝑘) และ

𝑝𝑖 = 𝑝

𝑛

𝑖=1

#

บทแทรก 3.3 ทกๆ นอนทรเวยลทรจะมจดปลายอยางนอย 2 จด

พสจน ใหนอนทรเวยลทรม 𝑝 จด และ 𝑞 เสน

จากทฤษฎบท 1.1 จะได

𝑑 𝑣𝑖 = 2𝑞

𝑝

𝑖=1

แตจากทฤษฎบท 3.1 ขอ (2) จะไดวา 𝑝 = 𝑞 + 1

ดงนน 𝑑 𝑣𝑖 = 2 𝑝 − 1 = 2𝑝 − 2

𝑝

𝑖=1

จะแสดงวามอยางนอย 2 จดทมดกรเปน 1

สมมตวามจดนอยกวา 2 จดทมดกรเปน 1



นนกคอจะมเพยง 1 จดทมดกรเปน 1 และจดอนๆ จะมดกรมากกวาหรอเทากบ 2

ดงนน 𝑑 𝑣𝑖

𝑝

𝑖=1

≥ 1 + 2 𝑝 − 1 = 2𝑝 − 1

นนกคอ 2𝑝 −



หมายเหต จากบทแทรก 3.2 จะไดวา ถา 𝐺 เปน (𝑝, 𝑞) กราฟทม 𝑘 คอมโพเนนท แลว

𝛽 𝐺 = 𝑝 − 𝑘

นยาม 3.7 คอมพลเมนท (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) ของสแปนนงฟอเรส 𝑇



แบบฝกหด

1. จงแสดงวา (ก) ทรทม 6 จดจะมอย 6 รปทไมไอโซมอรฟคกน

(ข) ทรทม 7 จดจะมอย 11 รปทไมไอโซมอรฟคกน

2. จงพสจนวาทกๆ ทรเปนไบพารไทตกราฟ และจงหาวาทรรปไหนทเปนคอมพลทไบพารกราฟ

ทรทเปนคอมพลทไบพารกราฟ คอ สตารกราฟ (𝐾1,𝑛)



3.2 การหาจ านวนของทร (𝑇𝑕𝑒 𝑒𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑡𝑟𝑒𝑒𝑠)

นยาม 3.10 เลเบลลง (𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔) ของกราฟ 𝐺 ทม 𝑝 จด หมายถง ฟงกชนหนงตอหนงจากเซต

ของจดใน 𝐺 ไปบนเซต (1,2,… ,𝑝)

นยาม 3.11 เลเบลกราฟ (𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑙𝑒𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) คอ (𝐺,∅) โดยท 𝐺 เปนกราฟ และ ∅ เปนเล

เบลลงของ 𝐺

หมายเหต จะเรยกจ านวนเตม 1,2,… , 𝑝 วา เลเบล (𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙) ของ 𝐺 และใหเซตของจดใน 𝐺 เปน

{𝑣1 , 𝑣2 ,… , 𝑣𝑝}

นยาม 3.12 เลเบลกราฟ 𝐺1 ,∅1 และ 𝐺2 ,∅2 จะไอโซมอรฟคกน

ถามไอโซมอรฟสซมระหวาง 𝐺1 และ 𝐺2 ซงรกษาเลเบลลงของจด

ทฤษฎบท 3.6 (เคเลย 1889)

จ านวนเลเบลทรทแตกตางกนของทรทม 𝑝 จด จะเทากบ 𝑝𝑝−2

พสจน ถา 𝑝 ≤ 2 แลวทฤษฎนจะเปนจรงและเหนไดโดยงาย ดงนนจะสมมตให 𝑝 ≥ 3

พจารณาเซตของสมาชกทอยในรปสญลกษณอนดบ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠 เปน

𝑎1 ,𝑎2 ,… , 𝑎𝑝−2 โดยท 𝑎𝑖 เปนจ านวนเตม และ 1 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 𝑝

จะเหนวาจ านวนสมาชกทงหมดของเซตนจะเทากบ 𝑝𝑝−2

จะสรางสมนยแบบหนงตอหนงระหวางเซตดงกลาวกบเซตของเลเบลทรทม 𝑝 จด

ถาให 𝑇 เปนเลเบลทรทม 𝑝 จด แลวจะหาสญลกษณอนดบทสมนยกบทร ดงนคอ

ถา 𝑏1เปนเลเบลตวทนอยทสดทอยตรงจดปลายของ 𝑇 แลวจะให 𝑎1 เปนเลเบลของจดท

ประชดกบ 𝑏1

ตอไปจะลบจด 𝑏1และเสนทอนซเดนทกบ 𝑏1ออกไป ดงนนจะเหลอเลเบลทรทม 𝑝 − 1 จด

ถา 𝑏2 เปนเลเบลตวทนอยทสดทอยตรงจดปลายของ 𝑇 − 𝑏1แลวจะให 𝑎2 เปนเลเบลของ

จดทประชดกบ 𝑏2 และจะลบจด 𝑏2 และเสนทอนซเดนทกบ 𝑏2 ออก

ท าตามวธดงกลาวเรอยๆ จนกระทงเหลอเลเบลทรทมเพยง 2 จด ดงนนกจะไดสญลกษณ

อนดบทสมนยกบทร 𝑇 เปน 𝑎1 ,𝑎2 ,… ,𝑎𝑝−2 ตวอยางเชนถา 𝑇 เปนเลเบลทรดงรป

4

7

6 53

2 1



จะไดวา 𝑏1 = 2,𝑎1 = 3,𝑎2 = 5, 𝑏3 = 4,𝑎3 = 6, 𝑏4 = 6,𝑎4 = 5,

𝑏5 = 5,𝑎5 = 1 ดงนนสญลกษณอนดบทตองการคอ 6,5,6,5,1

ในทางกลบกน การสรางสมนยจะท าไดดงนคอจากสญลกษณอนดบ

𝑎1 ,𝑎2 ,… , 𝑎𝑝−2 จะให 𝑏1 เปนจ านวนนอยทสดซงไมอยในสญลกษณอนดบน แลวลากเสนเชอม 𝑎1 และ 𝑏1

ตอไปกเอา 𝑎1 ออกไปจากสญลกษณอนดบ และเอาจ านวน 𝑏1 ออกไปจาการพจารณาดวย จากนนกท าตามวธนไปเรอยๆ ในทสดกจะไดเลเบลทรตามตองการ

ตวอยางเชนถาเรามสญลกษณอนดบ 6,5,6,5,1 แลวจะได 𝑏1 = 2, 𝑏2 = 3,

𝑏3 = 4, 𝑏4 = 6, 𝑏5 = 5 และไดเสน 62,53,64,56,15 และจะลากเสนเชอม 2

จดสดทายทเหลอจากการหา 𝑏𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 5 ซงในทนคอ 1 และ 7 กจะไดเลเบลทรดงรป จะเหนวาถามเลเบลใดๆ จะหาสญลกษณอนดบทสมนยกบเลเบลทรนไดเสมอ และในทางกลบกนกสามารถหาเลเบลทรจากสญลกษณอนดบน ซงกจะไดเปนเลเบลทรรปเดม ดงนนจะมสม

นยแบบหนงตอหนงระหวางเซตของเลเบลทรทม 𝑝 จดกบเซตของสญลกษณอนดบ

(𝑎1 ,𝑎2 ,… ,𝑎𝑝−2) โดยวธดงกลาวมาแลว

นนกคอจ านวนเลเบลทรทแตกตางกนของทรทม 𝑝 จดจะเทากบ 𝑝𝑝−2 #

บทแทรก 3.7 จ านวนของสแปนนงทรของกราฟ 𝐾𝑝 จะเทากบ 𝑝𝑝−2

พสจน ในแตละเลเบลทรทม 𝑝 จดจะสมนยกบสแปนนงทรรปหนงของ 𝐾𝑝

และในทางกลบกนแตละสแปนนงทรของ 𝐾𝑝 จะท าใหไดเลเบลทรซงม 𝑝 จด อยหนงรป

ดงนนจ านวนสแปนนงทรของ 𝐾𝑝 จะเทากบจ านวนเลเบลทรทแตกตางกนซงม 𝑝 จด

จากทฤษฎบท 3.6 จะไดวาจ านวนสแปนนงทรของ 𝐾𝑝 จะเทากบ 𝑝𝑝−2 #

ทฤษฎบท 3.8 ให 𝐺 เปนคอนเนคเตดซมเปลกราฟ ซงม

𝑉 𝐺 = {𝑣1 , 𝑣2 ,… , 𝑣𝑝} และให 𝑀 = (𝑚𝑖𝑗 ) เปนเมตรกซขนาด 𝑝 × 𝑝 โดยท

𝑚𝑖𝑖 = 𝑑 𝑣𝑖 ,𝑚𝑖𝑗 = −1 เมอ 𝑣𝑖 และ 𝑣𝑗 เปนจดทประชดกน และนอกเหนอจากน

แลวให 𝑚𝑖𝑗 = 0 แลวจะไดจ านวนสแปนนงทรของ 𝐺 เทากบโคแฟคเตอร (𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟)

ของสมาชกใดๆ ใน 𝑀

พสจน ดไดจากหนงสอของฮาราร [4]



การประยกตของทร (𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑜𝑓 𝑡𝑟𝑒𝑒)

1.ปญหาการตอเนองทนอยทสด (𝑇𝑕𝑒 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚)

นยาม 3.13 ถาน าจ านวนจรงทไมเปนลบ 𝑤(𝑒) เขามาสมพนธกบแตละเสน 𝑒 ของกราฟ 𝐺 แลวจะ

เรยกจ านวนจรง 𝑤(𝑒) วา เวท (𝑤𝑒𝑖𝑔𝑕𝑡) ของ 𝑒 และกราฟทประกอบดวยเสนทมเวท

ก ากบอยจะเรยกวา เวทเตดกราฟ (𝑤𝑒𝑖𝑔𝑕𝑡𝑒𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) และแทนผลบวกของเวททงหมด

ใน 𝐺 ดวย 𝑊(𝐺)

ทฤษฎบท 3.9 (𝐾𝑟𝑢𝑠𝑙𝑎𝑙′𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚) ให 𝐺 เปนคอนเนคเตดกราฟทม 𝑝 จด วธการตอไปนจะท าใหไดค าตอบของปญหาการตอเนองทนอยทสด

(1) ให 𝑒1 เปนเสนของ 𝐺 ทมเวทนอยทสด

(2) ให 𝑒1 , 𝑒3 ,… , 𝑒𝑝−1 เปนเสนทเลอกจากแตละขนตอนโดยทเสนเหลานมเวทนอยทสดเทาทจะเปนไปได (โดยไมเปนเสนทเลอกไปแลว) และไมเปนเสนทท าใหเกดเซอรคทกบเสนทเลอกไปแลว

จากวธการนจะไดวาสบกราฟ 𝑇 ของ 𝐺 ทมเสนเปน 𝑒1 , 𝑒2 ,… , 𝑒𝑝−1 จะเปนสแปน

นงทรของ 𝐺 ทมผลบวกของเวทนอยทสด

พสจน จะเหนวา 𝑇 ทสรางขนตามทฤษฎนเปนสแปนนงทรของ 𝐺 เพราะเปนไปตามขอ (2) ของ

ทฤษฎ 3.1 ตอไปจะแสดงวาผลบวกของเวททงหมดของ 𝑇 จะมคานอยทสด

สมมตวา 𝑆 เปนสแปนนงทรของ 𝐺 โดยท 𝑊 𝑆 < 𝑊(𝑇)

ถาให 𝑒𝑘 เปนเสนแรกทอยในอนดบ 𝑒1 , 𝑒2 ,… , 𝑒𝑝−1 โดนท 𝑒𝑘 ไมอยใน 𝑆

ดงนน สบกราฟของ 𝐺 ทไดจาการเพม 𝑒𝑘 เขาไปใน 𝑆 จะบรรจเซอรคท 1 เซอรคท ใหเปน

เซอรคท 𝐶 ดงนน 𝐶 จะประกอบดวยเสน 𝑒𝑘

เนองจาก 𝑇 เปนสแปนนงทร ดงนน 𝐶 จะบรรจเสน 𝑒 ทอยใน 𝑆 และไมอยใน 𝑇

ดงนนสบกราฟของ 𝐺 ทไดจาก 𝑆 โดยเปลยนจากเสน 𝑒 เปนเสน 𝑒𝑘 กยงคงเปนสแปนนงทร ให

สบกราฟนเปน 𝑆′ เนองจาก 𝑤 𝑒𝑘 ≤ 𝑤(𝑒) (จากเงอนไขการสรางของทฤษฎบท)

ดงนน 𝑊 𝑆′ ≤ 𝑊(𝑆)

เนองจาก 𝑆′ มเสนรวมกบ 𝑇 มากกวารวมกบ 𝑆 ดงนน ถาท าตามวธดงกลาวซ าอก กจะ

สามารถเปลยน 𝑆 ใหเปน 𝑇 ไดโดยทแตละครงจะท าใหผลบวกของเวททงหมดลดลง ดงนนจะได

วา 𝑊 𝑇 ≤ 𝑊(𝑆) ซงจะเกดการขดแยง

ดงนน 𝑊(𝑇) ซงเปนเวททงหมดของ 𝑇 จะเปนคานอยทสด #



(⇐) จะพสจนโดยใชอปนยเชงคณตศาสตร บนจ านวนเสนของ 𝐺

สมมตวาทกจดของ 𝐺 มดกรเปนจ านวนค ดงนนทกๆ จดจะมดกรอยางนอยเทากบ 2

เนองจาก 𝐺 เปนคอนเนคเตด ดงนนจากทฤษฎบท 4.1 จะไดวา 𝐺 บรรจเซอรคท และ ให

เซอรคทนเปน 𝐶

ถา 𝐶 บรรจทกเสนของ 𝐺 เรากจะไดวา 𝐺 เปนออยเลอรเรยนตามตองการ

แตถา 𝐶 ไมบรรจทกเสนของ 𝐺 เราจะเอาเสนของ 𝐶 ออกจาก 𝐺 แลวใหกราฟทเหลอเปน 𝐻

(𝐻 อาจจะเปนดสคอนเนคเตดกราฟ) ซง 𝐻 นยงคงมดกรของทกๆ จดเปนจ านวนค และมจ านวน

เสนนอยกวา 𝐺 ดงนนจากสมมตฐานของอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวาแตละคอมโพเนนทของ

𝐻 จะมออยเลอรเรยนเทรล

แตเนองจาก 𝐺 เปนคอนเนคเตด ดงนนแตละคอมโพเนนทของ 𝐻 จะมจดอยางนอย 1 จดท

อยรวมกบ 𝐶 ดงนนเราจะไดออยเลอรเรยนเทรลของ 𝐺 โดยการเรมจากจดใดๆ ใน 𝐶 แลวไปตาม

เสนของ 𝐶 จนกระทงพบจดทเปนจดในคอมโพเนนทหนงของ 𝐻 กไปตามออยเลอรเรยนเทรลของ

คอมโพเนนทนน แลวกลบออกมาตามเสน 𝐶 อกจนถงจดของคอมโพเนนทอนๆ ใน 𝐻

กท าตามแบบเดยวกน จนกระทงกจะกลบมายงจดเรมตนอก (ดรป 4.4)

ดงนนเทรลปดทไดจะเปนออยเลอรเทรลตามตองการ นนกคอ 𝐺 เปนออยเลอรเรยนกราฟ

รป 4.4 #

บทแทรก 4.3 คอนเนคเตดกราฟ 𝐺 จะเปนออยเลอรเรยน กตอเมอ แฟมลของเสนสามารถถกพารตชนออกเปนเซอรคท

บทแทรก 4.4 คอนเนคเตดกราฟจะเปน เซมม-ออยเลอรเรยนกราฟ กตอเมอ กราฟนนมจดค 2 จด

หมายเหต เซมม-ออยเลอรเรยนเทรลจะเรมตนทจดคจดหนง และไปสนสดทจดคอกจดหนง

บทแทรก 4.5 ให 𝐺 เปนคอนเนคเตดกราฟซงจดค 2𝑛 จด (𝑛 ≥ 1) จะไดวาแฟมลของเสนของ 𝐺

สามารถถกพารตชนออกเปนเทรลเปด 𝑛 เทรล

HC



หมายเหต คณสมบตทนาสนใจของออยเลอรเรยนและเซมม-ออยเลอรเรยนกราฟ กคอเราสามารถลากเสนทกเสนในกราฟใหตอเนองกนได โดยทไมยกดนสอจากกระดาษ (เพราะกราฟนมเทรลทผานทกเสนของกราฟ) ดงนนจากคณสมบตอนน ท าใหสามารถน าไปประยกตกบปรศนาปญหาตางๆ ได

ทฤษฎบท 4.6 ให 𝐺 เปนออยเลอรเรยนกราฟ แลวการสรางตอไปนจะท าใหไดออยเลอรเรยนเทรลของ 𝐺

จะเรมตนเทรลทจด 𝑢 ใดๆ แลวผานไปตามเสนตางๆ ของ 𝐺 โดยใหเปนไปตามกฎตอไปน

(1) ถาเทรลนผานเสนใดๆ จะลบเสนนนออก และถามจดไอโซเลทเตดเกดขนจากการลบเสน กจะลบจดไอโซเลทเตดนนออกไปดวย

(2) ในแตละขนตอนจะใหเทรลนนผานเสนทเปนบรดจ กตอเมอ ไมมเสนใหเลอกอกแลว

พสจน ขนแรกจะแสดงวาแตละขนตอนของการสรางนสามารถท าตอไปไดเรอยๆ

สมมตวาเทรลนเรมตนทจด 𝑢 และผานเสนของ 𝐺 มาถงจด 𝑣 และ ถา 𝑣 ≠ 𝑢 แลวสบ

กราฟ 𝐻 ทไดจากการลบเสนของ 𝐺 ตามกฎขอหนง 1 นกยงคงเปนคอนเนคเตดกราฟ และม

เพยง 2 จดเทานนทเปนจดคคอจด 𝑢 และจด 𝑣

ในการแสดงวาการสรางจะด าเนนตอไปไดนน เราตองแสดงวาการลบเสนตอไปของ 𝐻 ออก

นนจะไมท าให 𝐻 เปนดสคอนเนคเตดกราฟ หรอกลาวไดอกอยางหนงวา 𝑣 จะตองอนซเดนทกบบรดจอยางมากทสดหนงเสน

สมมตวา 𝑣 อนซเดนทกบบรดจมากกวาหนงเสน และให 𝑣𝑤 เปนบรดจทมคณสมบตวา

คอมโพเนนท 𝑘 ของ 𝐻 − 𝑣𝑤 ซงบรรจ 𝑤 จะไมบรรจ 𝑢 (ดงรป 4.5)

รป 4.5

เนองจากจด 𝑤 มดกรเปนจ านวนคใน 𝐾 ดงนนจะตองมบางจดของ 𝐾 ทมดกรเปนจ านวน

คดวย ซงท าใหเกดการขดแยงเพราะวากราฟ 𝐺 จะไมบรรจจดคเลย ดงนนจะได 𝑣 อนซเดนทกบบรดจเพยงหนงเสน

ถา 𝑣 = 𝑢 และยงมเสนทอนซเดนนทกบ 𝑢 เหลออย การสรางนกสามารถด าเนนตอไปได

(ซงพสจนไดเชนเดยวกบขางตน) จนกระทงไมมเสนทไมมเสนทอนซเดนทกบ 𝑢

ตอไปจะแสดงวาการสรางนจะท าใหไดเทรลทผานทกเสนของ 𝐺

H v

w

Ku



สมมตวายงเหลอเสนของ 𝐺 ทยงไมถกผานโดยเทรลนเมอเสนสดทายทอนซเดนทกบ 𝑢

ถกใชไปแลว ดงนน จะไดวาการลบเสนกอนบางเสนจะท าใหเกดดสคอนเนคเตดกราฟ ซงแสดงวาได

ใชเสนทเปนบรดจไปในขณะทยงมเสนอนใหเลอก ซงท าใหขดแยงกบ (2)

หมายเหต ส าหรบเซมม-ออยเลอรเรยนกราฟ 𝐺 ซงมจด 𝑢 และ 𝑣 เปนจดค 2 จด เราจะหาเซมม-ออย

เลอรเรยนเทรล ซงเรมจากจด 𝑢 และสนสดทจด 𝑣 ไดโดยการเพมจด 𝑤 ใหกบ 𝐺 แลวโยงเสน

𝑢𝑤 และ 𝑣𝑤 กจะไดกราฟใหมทมจดทกจดเปนจดค ดงนนกราฟนจะเปนออยเลอรเรยน และ

จากขนตอนวธของฟลยร กจะหาออยเลอรเรยนเทรลซงเรมทจด 𝑤 ได จากนนเราจะลบจด 𝑤

ออก กจะท าใหออยเลอรเรยนเทรลนนกลายเปนเซมม-ออยเลอรเรยนเทรลของ 𝐺 ตามตองการ

หมายเหต ถาตองการวาดคอนเนคเตดกราฟทมจดค 2𝑛 จด (𝑛 ≥ 1) แลวจะตองยกดนสอขนจาก

กระดาษเปนจ านวน 𝑛 − 1 ครง

4.2 ฮามลโทเนยนกราฟ 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕 จากเกมการทองเทยว 𝐴𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 𝑡𝑕𝑒 𝑤𝑜𝑟𝑙𝑑 ซงตงโดยเซอรวลเลยม ฮามลตน 𝑆𝑖𝑟 𝑊𝑖𝑙𝑙𝑖𝑎𝑚 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛 ท าใหมการตงซอเซอรคทและกราฟทเกยวของกบเกมนวา

ฮามลโทเนยนเซอรคท 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡 และฮามลโทเนยนกราฟ

(𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑝𝑕) ขนเพอเปนเกยรตแกฮามลตน ดงมนยามดงไปน

นยาม 4.3 จะเรยกคอนเนคเตดกราฟ 𝐺 วา เซมม-ฮามลโทเนยน (𝑠𝑒𝑚𝑖 − 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛)

ถา 𝐺 มพาธทผานทกจดของ 𝐺

นยาม 4.4 จะเรยกคอนเนคเตดกราฟ 𝐺 วา ฮามลโทเนยน (𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛) ถา 𝐺 มพาธปดท

ผานทกจดของ𝐺และเรยกพาธปดนวาฮามลโทเนยนเซอรคท (𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡)

ขอสงเกต ทกๆ ฮามลโทเนยนกราฟจะเปนเซมม-ฮามลโทเนยนกราฟ แตในทางกลบกนนนไมจรง

ทฤษฎบท 4.7 ถา 𝐺 เปนซมเปลกราฟทม 𝑝 จด (𝑝 ≥ 3) และถา 𝑑 𝑣 + 𝑑 𝑤 ≥ 𝑝

ส าหรบแตละคของจด 𝑣 และ 𝑤 ทไมใชจดประชดกน แลว 𝐺 จะเปนฮามลโทเนยนกราฟ

พสจน ให 𝐺 เปนซมเปลกราฟทม 𝑝 จด (𝑝 ≥ 3) และ 𝑑 𝑣 + 𝑑 𝑤 ≥ 𝑝 ส าหรบแตละค

ของจด 𝑣 และ 𝑤 ทไมใชจดประชดกน



สมมตวา 𝐺 ไมเปนฮามลโทเนยนกราฟ

จะเพมเสนใน 𝐺 ใหมากเทาทจะเปนไปไดโดยมเงอนไขวากราฟทไดยงคงไมเปนฮามลโทเนยน

แตถาเพมเสนเขาไปอกเพยง 1 เสนแลวจะท าใหกราฟเปนฮามลโทเนยน (การเพมเสนใน 𝐺 ก

ยงคงท าใหดกรของจดใน 𝐺 สอดคลองกบเงอนไขทก าหนดให)

ดงนน 𝐺 จะบรรจพาธ 𝑣1 , 𝑣2 ,… , 𝑣𝑝 ซงผานทกจดของ 𝐺

แตเนองจาก 𝐺 ไมเปนฮามลโทเนยนกราฟ ดงนนจด 𝑣1 กบ 𝑣𝑝 จงไมประชดกน

นนกคอ 𝑑 𝑣1 + 𝑑 𝑣𝑝 ≥ 𝑝

ดงนนจะไดวาจะมบางจด 𝑣𝑖 ประชดกบ 𝑣1 ทมคณสมบตวา 𝑣𝑖−1 จะประชดกบ 𝑣𝑝 (ดรป 4.16)

กจะท าใหได 𝑣1 ,𝑣2 ,… , 𝑣𝑖−1 , 𝑣𝑝 , 𝑣𝑝−1,… , 𝑣𝑖+1 ,𝑣𝑖 , 𝑣1 เปนฮามลโทเนยนเซอรคท ซงจะเกดการขดแยง

นนกคอ ถาดกรของจดเปนไปตามเงอนไขแลวจะไดวา 𝐺 เปนฮามลโทเนยนกราฟ #

รป 4.16

บทแทรก 4.8 (ไดแรค 1952) ถา 𝐺 เปนซมเปลกราฟทม 𝑝 จด (𝑝 ≥ 3) และถา 𝑑 𝑣 ≥𝑝

2

ส าหรบทกๆ จด 𝑣 แลว 𝐺 จะเปนฮามลโทเนยนกราฟ

พสจน ถาให 𝑣 และ 𝑤 เปน 2 จดใดๆ ใน 𝐺 แลว จะได 𝑑 𝑣 + 𝑑 𝑤 ≥𝑝

2+

𝑝

2

นนกคอ 𝑑 𝑣 + 𝑑 𝑤 ≥ 𝑝

ดงนน จากทฤษฎบท 4.7 จะไดวา 𝐺 เปนฮามลโทเนยนกราฟ #

หมายเหต กราฟทเปนฮามลโทเนยนไมจ าเปนจะตองม 𝑑 𝑣 ≥𝑝

2 ทกจด 𝑣 ของกราฟ

อางอง : ทฤษฎกราฟ (ร.ศ.นตยา ณ เชยงใหม)

กราฟ 𝑮 𝒂𝒑𝒉 - weeblynalintip.weebly.com/uploads/2/6/6/0/26603550/graph... ·...

Documents