บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ สามัญ ......1.2...

บทท 1 สมการเชงอนพนธสามญ(Ordinary Differential Equations: ODEs)

เอกสารประกอบการสอนรายวชาPHYS 3201: ฟสกสเชงคณตศาสตร(คบ.)/คณตศาสตรสาหรบฟสกส(วท.บ.)

จกรกฤษ แกวนคม

สาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏเชยงใหม

August 21, 2014

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) August 21, 2014 1 / 32

หวขอยอย

1 บทนา

2 สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง

3 การแกสมการเชงอนพนธอนดบหนง


1. บทนา

บทนยามสมการเชงอนพนธ หมายถงสมการทมอนพนธของฟงกชน หรออนพนธของตวแปรปรากฏอย

ตวอยางของสมการเชงอนพนธ

1dy

dx+ x2y3 = sin(x)

2d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 2x4 = sin(2t)

3∂2u

∂x2+ 2

∂u

∂y=√

x2 − 2y


บทนยามในสมการเชงอนพนธ ตวแปรทถกหาอนพนธจะเรยกวา ตวแปรตาม สวนตวแปรทใชหาอนพนธเทยบเรยกวา ตวแปรอสระ

ตวอยาง 1.1สมการเชงอนพนธ

dy

dx+ x2y = log x

ม y เปนตวแปรตาม และ x เปนตวแปรอสระ

บทนยามสมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary differential equations: ODEs) หมายถงสมการอนพนธซงมตวแปรอสระเพยงตวเดยว สมการเชงอนพนธทมตวแปรอสระมากกวาหนงตว เรยกวา สมการเชงอนพนธยอย (Partial differential equations: PDEs)


ตวอยาง 1.2สมการเชงอนพนธสามญ หรอ สมการเชงอนพนธยอย

1dy

dx+ x2y3 = sin(x) ⇒ ODE

2d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 2x4 = sin(2t) ⇒ ODE

3∂2u

∂x2+ 2

∂u

∂y=√

x2 − 2y ⇒ PDE

ตวอยางเชน ให u = x2 + sin yจะได

∂u

∂x= 2x,

∂u

∂y= cos y,

du

dx= 2x+ cos y

dy

dx

สญลกษณ∂u

∂� หมายถงอนพนธเทยบกบ � เทานน โดยมองตวแปรอนเปนคาคงตว

นยามเราเรยกอนดบของอนพนธทสงสดซงปรากฏอยในสมการเชงอนพนธวา อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ และเราเรยกเลขชกาลงของอนพนธอนดบทสงสดซงปรากฏอย เมอจดรปแบบของสมการใหเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวกวา ระดบขน (degree)


ตวอยาง 1.3: ตวอยางของอนดบและระดบขนของสมการเชงอนพนธ

1dy

dx= 2xy, เปน ODE อนดบ 1 ระดบขน 1

2

(dy

dx

)2

= x2y2, เปน ODE อนดบ 1 ระดบขน 2

3d2y

dx2− 6x3

(dy

dx

)3

= 3, เปน ODE อนดบ 2 ระดบขน 1

4

(d2y

dx2

)2

= x2 + 2xy, เปน ODE อนดบ 2 ระดบขน 2


หมายเหตโดยทวไปแลว ถาให y เปนตวแปรตาม และ x แทนตวแปรอสระ มกใชสญลกษณ “ไพรม”(prime) แทนอนพนธ เชน �′,�′′ หรอ �′′′ หรอสญลกษณ �(n) แทนอนดบของอนพนธดงนคอ

dy

dxแทนดวย ⇒ y′

d2y

dx2แทนดวย ⇒ y′′

d3y

dx3แทนดวย ⇒ y′′′

d4y

dx4แทนดวย ⇒ y(4)

dny

dxnแทนดวย ⇒ y(n) เมอ n = 1, 2, 3, . . .

สาหรบนกฟสกสนน นยมแทนอนพนธของปรมาณใดๆเทยบเวลา(เมอใหเวลาเปนตวแปรอสระ) ดวยเครองหมาย “ดอท” (dot) เชน �, � หรอ

...� ดงนคอ

dy

dtแทนดวย ⇒ y,

d2x

dt2แทนดวย ⇒ x,

d3s

dt3แทนดวย ⇒ ...

s (1)


นยามODEs ทสามารถจดสมการอยในรป

an(x)y(n) + an−1(x)y

(n−1) + ...+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x) (2)

จะเรยกวา สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบท n (n-order linear ODEs) เมอan, an−1, ..., a0, y และ g เปนฟงกชนทขนอยกบตวแปรอสระ x เพยงตวเดยว โดยท an = 0 ถาไมอยในรปดงกลาว ถอวาเปน สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบ n (n-order nonlinear ODEs)

ตวอยาง 1.4สมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการเชงเสนหรอไม

1 y′′ + 6y′ − 3y = 2x ⇒ Yes 3

2 4xy′′ + 2y′ + xy = 2y ⇒ Yes 3

3 y′′ + (y′)2 + xy = 1 ⇒ No 7

4 x2y′′ + sin(x)y′ + y = 0 ⇒ Yes 3


1.1 ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

จดประสงคในการศกษาสมการเชงอนพนธ คอการหาผลเฉลย (solution) ของมน ซงกคอการหาความสมพนธระหวางตวแปรตามและตวแปรอสระนนเอง

นยามถา y(x) เปนตวแปรตาม และ x เปนตวแปรอสระ เราจะเรยกฟงกชน y(x) ทสอดคลองกบสมการเชงอนพนธสามญวา ผลเฉลย ของสมการนน การจดรปสมการของผลเฉลยอาจแบงเปนสองแบบคอ

ถาเราสามารถแยกฟงกชน y(x) ออกจากตวแปรx ได ตวอยางเชน สามารถเขยนผลเฉลยในรปy(x) = x2 + sin(x) ได

เรยกวา ⇒ ผลเฉลยแบบชดแจง(explicit solution)

ถาไมสามารถแยกฟงกชน y(x) ออกจากตวแปรx ได ตวอยางเชน sin(yx) = ex

2y +ln(x)เรยกวา ⇒ ผลเฉลยโดยปรยาย

(implicit solution)

อยางไรกตาม ประเดนสาคญของการศกษา ODEs อยทการแกสมการหาผลเฉลย ไมวาเราจะเขยนผลเฉลยใหอยในรปแบบใด กเปนคาตอบไดเหมอนๆกน


ตวอยาง 1.5จงแสดงวาฟงกชน y(x) = ex

2 สาหรบทกๆจานวนจรงๆ x เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

dy

dx= 2xy


ตวอยาง 1.6จงแสดงวาฟงกชน y(x) = 2x+ 2 ln(x− 1) สาหรบทกๆ x > 1 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

y′ =2x

x− 1


1.2 ผลเฉลยทวไป (general solution) และผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)

จากตวอยางทผานมา เราไดทราบวา

y = 2x+ 2 ln(x− 1), x > 1 เปนผลเฉลยของสมการ ⇒ y′ =2x

x− 1

แตถาเราบวกคาคงตวใดๆ (arbitrary constant) คาหนงไปในผลเฉลยน เชน

y(x) = 2x+ 2 ln(x− 1) + C

โดยท C คอ คาคงตวใดๆ จะพบวา

ผลเฉลยใหมทไดยงคงสอดคลองกบสมการเชงอนพนธ y′ =2x

x− 1

ดงนนผลเฉลยใหมนจงครอบคลมมากกวาผลเฉลยเดม เราเรยกผลเฉลยทไมระบคา constant วาผลเฉลยทวไป (general solution)

โดยทวไปแลว คา constant, C จะตดมากบการแก ODE เสมอ เนองจากเปนคาทเกดจากการอนทเกรตแบบไมจากดเขต


constant ทเกดขนจากการแกสมการเชงอนพนธ เราสามารถทจะระบคาไดถาเราม เงอนไขเรมตน (initialcondition: IC) เชน จากผลเฉลย

y(x) = 2x+ 2 ln(x− 1) + C

ถาเราม IC ระบมาวา y(2) = 0 (หมายความวา เมอแทนคา x = 2 จะใหคา y เทากบ 0) ผลทไดคอ

y(2) = 0 = 2(2) + 2 ln(2− 1) + C ซงจะใหคา C = −4

ดงนนเราจะไดผลเฉลยทสามารถระบคา C ไดคอ y(x) = 2x+ 2 ln(x− 1)− 4

ผลเฉลยทสามารถระบคาคงตวไดจะเรยกวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)

ปญหาคาเรมตนตวอยางทผานมา เราพบวา ผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ สามารถหาไดจากผลเฉลยทวไปทมการแทนคา IC ซงโดยทวไปแลว IC จะอยในรป

y(x0) = y0

(สญลกษณทมตวหอยเปนเลข 0 มกหมายถง คาคงตว) โดยทคา x0 และ y0 จะใชในการระบคา C และเราเรยก ODE ทม IC ตดมาดวยจะเรยกวา ปญหาคาเรมตน (initial value problem)


แบบฝกหด 1.1จงตรวจสอบวาคาตอบในแตละขอเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทโจทยกาหนดหรอไม โดยทy = y(x)

1 y′ = 1 + y2, คาตอบ: y = (tanx+ c)

2 y′′ + π2y = 0, คาตอบ: y = a cos(πx) + b sin(πx)

3 y′′ + 2y′ + 10y = 0, คาตอบ: y = 4e−x sin(3x)

4 y′ + 2y = 4(x2 + 1), คาตอบ: y = 5e−2x + x2 + 2x+ 1

5 y′′′ = cosx, คาตอบ: y = − sinx+ ax2 + bx+ c


2. สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง (First-order ODEs)

ODE ทเราจะศกษาในสวนนหมายถง ODE ทอยในรป

dy

dx= f(x, y) (3)

หรอเขยนอยในรปM(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (4)

โดยท f(x, y) = M(x, y)/N(x, y)

ตวอยาง 2.1

สมการเชงอนพนธdy

dx=

2y

x+ yสามารถเขยนใหอยในรป 2y dx− (x+ y) dy = 0


3. การแกสมการเชงอนพนธอนดบหนงการแกสมการเชงอนพนธ คอการหาฟงกชน ซงเมอเรานาฟงกชนนนมาแทนคาในสมการเชงอนพนธแลว ทาใหสมการนนเปนจรง เราอาจแบงวธการแกสมการเชงอนพนธ ตามรปแบบของสมการดงน

1 สมการแยกตวแปรได (separable equations)2 สมการเอกพนธ (homogeneous equations)

3 สมการแมนตรง (exact equations)4 สมการเชงเสน (linear equations)

3.1 สมการแยกตวแปรได

สมการเชงอนพนธแบบแยกตวแปรได (separable differential equations) หรอเรยกสนๆวาสมการแบบแยกตวแปรได (separable equations) จะอยในรป

dy

dx= p(x)g(y) หรอ M(x) dx+N(y) dy = 0 (5)

โดยท p และ M เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว, g และ N เปนฟงกชนของตวแปร yเพยงตวเดยว


ตวอยาง 3.1: การแกสมการเชงอนพนธแบบแยกตวแปรไดdy

dx= 3xy

dy

dx=

3x2

2yเมอ y = 0



จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธdy

dx= cos(x)esinx



จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธdy

dx=

2√y − 1

x


ตวอยาง 3.4: ปญหาคาเรมตนจงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธx sin y dx+ (x2 + 1) cos y dy = 0, y(0) = π/2


ตวอยาง 3.5: ปญหาคาเรมตน

จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ y′ =1

2y(1 + x2), y(0) = 1


ตวอยาง 3.6: การเคลอนทของอนภาคเสร (free particle)จงหาอตราเรวและตาแหนงของอนภาคเสร (free particle) ณ เวลา t ใดๆ วธทา หาอตราเรว:อนภาคเสร คออนภาคทไมมแรงภายนอกมากระทา หรอ พลงงานศกยของอนภาคไมมการเปลยนแปลง จากกฎของนวตน F = ma, แทน F → 0 จะได

0 = ma = mdv

dtเมอแกสมการจะได v = v0

เมอ v0 เปนคาคงตว ดงนนอนภาคเสรมคาเรวคงตว = v0หาตาแหนง:


ตวอยาง 3.7: วตถตกภายใตสนามโนมถวงจงพสจนวาตาแหนงใดๆของวตถทถกปลอยใหตกภายใตสนามโนมถวง (ไมคดแรงตานอากาศ) มคาเทากบ

y =1

2gt2


ตวอยาง 3.8: การเสอมสลายของสารกมมนตรงสกาหนดให N(t) เปนปรมาณของสารกมมนตรงส ซงอตราการสลายตวจะแปรผนตรงกบปรมาณของตวมนเองดงนน ดงนน (λ เปนคาคงตว)

−dN(t)

dt= λN(t)


แบบฝกหด 3.1 (เลอกมาจาก Kreyszig 2011)

CALCULUS

Solve the ODE by integration.


INITIAL VALUE PROBLEMS (IVPs)

Solve the IVP. Show the step of derivation, beginning with the general solution.


9. xy' + y = 0, y(4) = 6

10. y' = 1 + 4i, y(l) = 0

11. y ' + 5xy = 0, y(O) = 1T

12. dr/ dt = -2tr, r(O) = ro

3.2 สมการเอกพนธ

ODEs บางสมการไมสามารถทจะแยกตวแปรได ซงจะมวธการในการแกสมการโดยการเปลยนตวแปร เพอใหสมการลดรปไปอยในรปทแยกตวแปรได ODE ทแยกตวแปรไมไดและอยในรป

y′ = f(yx

)(6)

เมอ f เปนฟงกชนของ y/x เรยกสมการรปนวา สมการเอกพนธ (homogeneous equation)เทคนคในการแกสมการคอการเปลยนตวแปร เชน ให

y = ux, และอนพนธของมนคอ y′ = u′x+ u

เมอแทนคาในสมการ y′ = f(y/x) จะได u′x+ u = f(u) หรอ u′x = f(u)− u ถาf(u)− u = 0 เราพบวาจะไดสมการทสามารถแยกตวแปรได อยในรป

du

f(u)− u=

dx

x(7)



จงหาผลเฉลยของสมการ y′ =x+ y

y


ตวอยาง 3.10จงหาผลเฉลยของสมการ (y2 + x2 + yx) dx = x2 dy



จงหาผลเฉลยของสมการ y′ =x2 + y2

2xyเมอ y(1) = −2


ตวอยาง 3.11 (ตอ)


แบบฝกหด 3.2 (เลอกมาจาก Kreyszig 2011)

GENERAL SOLUTION

Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer bysubstitution.

INITIAL VALUE PROBLEMS (IVPs)

Solve the IVPs. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.


บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ สามัญ ......1.2...

Documents