บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธ เชิงเส...

บทที่ 4สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n

(Linear Differential Equation of Order n )

สมการเชิงอนุพันธอันดับ n (n 2 ) หรือในบางครั้งมักจะเรียกวา สมการเชิงอนุพันธอันดับสูงกวาหนึ่ง ในบทนี้จะกลาวถึงรายละเอียดการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสองขึ้นไป และเปนสมการที่เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญ ซึ่งจะไดพิจารณาถึงทฤษฎี และวิธีการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเปนสวนใหญ และในตอนทายของบทนี้จะกลาวถึงสมการไมเชิงเสนอันดับสูงกวาหนึ่ง

4.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน (Linear Differential Equations)เราไดศึกษาการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง มาแลวในบทที่ 2 ซึ่งมี

สมการแบบตัวแปรแยกกันได สมการแบบเชิงเสน สมการแบบแมนตรง สมการแบบเอกพันธุ เปนตน แมวาผลเฉลยของสมการเหลานี้จะอยูในรูปของฟงกชันอิงตัวแปรเสริมเพียงตัวเดียว ก็ตาม แตก็ยังมีผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธบางสมการไมสามารถเขียนอยูในรูปผลเฉลยทั่วไปได ในเฉพาะกรณีสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่ง มีผลเฉลยทั่วไปอยูบนเงื่อนไขของความตอเนื่อง เราจะเรียกวงศของผลเฉลยที่หาคาไดบนชวง I วา ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ซึ่งผลเฉลยนี้จะเปนตัวแทนผลเฉลยทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธที่นิยามไดบนชวง I ในหัวขอนี้จะพิจารณาถึงทฤษฎีของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n บางสมการ และไดนิยามสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนดังในนิยาม 4.1.1

บทนิยาม 4.1.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n คือสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีอันดับสูงสุดของอนุพันธ เปนอันดับที่ n ซึ่งเขียนไดในรูป

1

0 1 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

n nn

nd y d y dya x a x a x a x y f x

n dx dxdx

……..…. (4.1.1)

โดยที่ 0 1 2 1( ), ( ), ( ), ( ), , ( )nf x a x a x a x a x และ ( )na x เปนฟงกชันของ x หรือ คาคงตัว ที่มีความตอเนื่องบนชวง I และ 0 ( ) 0a x

ถาฟงกชัน ( )f x ที่อยูทางขวามือของสมการ(4.1.1) ไมเปนศูนย แลวจะเรียกสมการ(4.1.1) วา สมการไมเอกพันธุ (nonhomogeneous equation) แตถา ( )f x เปนศูนยจะเรียกสมการ (4.1.1) วาสมการเอกพันธุ (homogeneous equation)

138 บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอนัดับ n

4.1.1 ปญหาคาเริ่มตนและปญหาคาขอบ (Initial–Value and Boundary–Value Problems)

ปญหาคาเริ่มตน (Initial–Value Problem)

จากบทนิยาม 4.1.1 ไดนิยามรูปทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n สําหรับกรณีปญหาคาเริ่มตนที่เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน จะเขียนในรูป

1

0 1 11

( 1) ( 1)0 0 0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) , , ( )

n n

n nn n

n n

n

d y d y dya x a x a x a x y f x

dx dx dx

y x y y x y y x y

……..……. (4.1.2)

โดยปญหาคาเริ่มตนนี้นิยามไดบนชวง I และ 0x อยูในชวง I ที่สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธ และมีเงื่อนไขเริ่มตน n คาที่ 0x คือมี ( 1) ( 1)

0 0 0 1 0 1( ) , ( ) , , ( )n n

ny x y y x y y x y

ซึ่งเรา

เคยทราบมาแลววาเสนโคงผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนอันดับสอง จะตองผานจุด 0 0( , )x y และมีความชันที่จุด 0 0( , )x y เปน 1y

การมีจริงและความเปนไดอยางเดียว (Existence and Uniqueness)ในหัวขอ 1.4 เราไดกลาวถึงทฤษฎีบทการมีจริงของผลเฉลยเดียวของปญหาคาเริ่มตน

อันดับหนึ่ง ทฤษฎีบทตอไปนี้เปนการใหเงื่อนไขที่เพียงพอสําหรับการมีผลเฉลยเดียวจริงของปญหาคาเริ่มตนอันดับ n ซึ่งเขียนไดดังใน (4.1.1)

ทฤษฎีบท 4.1.1 (การมีผลเฉลยเดียวจริง)ให 0 1 2 1( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n na x a x a x a x a x และ ( )f x เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่อง

ตอเนื่องบนชวง I ของจํานวนจริง และ 0 ( ) 0a x สําหรับทุกคาของ x บนชวง I ถา 0 x x

เปนจุดใด ๆ ใน I แลวจะมีผลเฉลย ( )y x ของปญหาคาเริ่มตน (4.1.2) ที่นิยามไดบนชวง I

และเปนผลเฉลยเดียวเทานั้น

ขอสังเกต 1) จะเห็นวาทฤษฎีบท 4.1.1 ไมไดบอกวิธีหาผลเฉลย แตเปนการรับรองวา ถาเราหา

ผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนที่กําหนดใหได ซึ่งผลเฉลยที่หาไดจะเปนเพียงผลเฉลยเดียว เทานั้นที่สอดคลองกับเงื่อนไขที่กําหนดให

2) เงื่อนไขในทฤษฎีบท 4.1.1 เปนเพียงเงื่อนไขเพียงพอแตไมใชเงื่อนไขจําเปนสําหรับการ มีผลเฉลยและเปนผลเฉลยเดียวของปญหาคาเริ่มตนอันดับ n

4.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน 139

ตัวอยาง 4.1.1 ปญหาคาเริ่มตน3 5 7 0, (1) 0, (1) 0, (1) 0y y y y y y y

เนื่องจากเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสามที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว ซึ่งตอเนื่องสําหรับทุก x บนชวง ( , ) และสมการนี้มีผลเฉลยชัด (trivial solution) 0y และ จะเห็นวาเงื่อนไขทั้งหมดของทฤษฎีบท 4.1.1 สมจริง ดวยเหตุนี้ 0y จึงเปนเพียงผลเฉลยเดียวบนชวงที่มี 1x เปนสมาชิก Ans.

ตัวอยาง 4.1.2 จงใชทฤษฎีบท 4.1.1 พิสูจนวาปญหาคาเริ่มตน33 , (1) 2, (1) 5xy xy x y e y y มีเพียงผลเฉลยเดียว

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ 30 1 21, 3 , a x a x x a x x และ xf x e ตอเนื่องสําหรับ

ทุก x บนชวง ( , ) และ 0 ( ) 0 a x สําหรับทุกคา x บนชวงนี้ และ 0 1x เปนจุดที่อยูในชวง ( , ) ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 4.1.1 สรุปไดวาปญหาคาเริ่มตนนี้ มีเพียงผลเฉลยเดียว

ตัวอยาง 4.1.3 จงใชทฤษฎีบท 4.1.1 พิสูจนวาปญหาคาเริ่มตน

2 2 1( 6) ( 4) , (2) 0, (2) 4

2 3xx x y x y y e y y

x

มีเพียงผลเฉลยเดียว

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ 2 20 1a 6 , 4 x x x a x x และ ( ) xf x e ตอเนื่อง

สําหรับทุก x บนชวง ( , ) ในขณะที่ 2

1( )

2 3a x

x

ตอเนื่องสําหรับทุก x ยกเวน

3

2x และ 0 0a x ดังนั้นถาเลือกชวง [ , ]a b ที่ 0

32 a x , 2 3b

หรือ 3 32

a b แลวจะเห็นวาเปนไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 4.1.1

ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 4.1.1 สรุปไดวาปญหาคาเริ่มตนนี้ มีเพียงผลเฉลยเดียว Ans.

ตัวอยาง 4.1.4 ปญหาคาเริ่มตน 2 2 2 6, (0) 2, (0) 1x y xy y y y มีผลเฉลยเปนจํานวนอนันต

คือ 2( ) 3y x cx x เมื่อ c เปนตัวคงคา จะเห็นวาปญหาคาเริ่มตนนี้ไมสอดคลองกับเงื่อนไขในทฤษฎีบท 4.1.1 เนื่องจาก

20 a x x จะมีคาเปนศูนย เมื่อ 0 0x Ans.


ปญหาคาขอบ (Boundary – Value Problem)เราอาจจะพบปญหาอีกแบบหนึ่ง ที่ประกอบดวยสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n

( )( , , , , ) 0nF x y y y ที่กําหนดคาของตัวแปร y หรือนุพันธของ y ณ จุดของตัวแปรอิสระตางกัน ถา n = 2 อาจเขียนปญหาคาขอบอันดับสองไดเปน

2

2 1 02

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( )

d y dya x a x a x y f x

dx dxy a y y b y

..…………………. (4.1.3)

เมื่อ a b เราจะเรียกปญหา (4.1.3) วาปญหาคาขอบ((Boundary – Value Problem) และจะเรียก 0 1( ) , ( )y a y y b y วาเงื่อนไขขอบ(Boundary conditions) ผลเฉลยของปญหานี้ เปนฟงกชันที่สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธที่นิยามไดบนชวง I ที่มี a และ b เปนสมาชิก รูป 4.1.1 แสดงกราฟที่ผานจุด 0,a y และจุด 1,b y

สําหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง อาจมีการกําหนดเงื่อนไขขอบในแตละคูไดในรูปอื่นอีก เชน 0 1( ) , ( )y a y y b y

0 1( ) , ( )y a y y b y

0 1( ) , ( )y a y y b y

เมื่อ 0y และ 1y แทนคาคงตัว ซึ่งเงื่อนไขสามคูนี้มักจะใชในเฉพาะกรณีเปนเงื่อนไขขอบทั่วไป

1 1 1( ) ( )y a a

2 2 2( ) ( )y a a

ตัวอยาง 4.1.5 จงพิจารณาวาปญหาคาขอบ , 0

2y y x x , (0) 2 ( ) 1

2y y และ มีผลเฉลยหรือไม

รูป 4.1.1 เสนโคงผลเฉลยของปญหาคาขอบที่ผานจุดสองจุด

y

xI0


โดยการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธที่กลาวถึงในหัวขอถัดไป ไดผลเฉลยของสมการเปนวงศของผลเฉลยที่ประกอบดวยพารามิเตอร 2 ตัว

คือ 1 2( ) sin cosy x c x c x x เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการ โดยที่ 1c และ 2c เปนตัวคงคา และจากเงื่อนไขขอบ (0) 2y ได 2 2c และ y

2 ( ) = 1 ได 11 0

2c

และได 1 12

c

ดังนั้นปญหาคาขอบนี้จึงมีผลเฉลยคือ ( ) (1- )sin 2cos2

y x x x x Ans.

ตัวอยาง 4.1.6 กําหนดสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง 16 0y y มีวงศผลเฉลยเปนฟงกชันที่ประกอบดวยพารามิเตอร 2 ตัว คือ 1 2cos4 sin 4y c x c x จงพิจารณาวามีผลเฉลยของสมการสอดคลองกับเงื่อนไขขอบในแตละขอตอไปนี้หรือไม ก) (0) 0, ( / 2) 0y y

ข) (0) 0, ( / 8) 0y y ค) (0) 0, ( / 2) 1y y

ก) เนื่องจากโจทยกําหนดให 1 2cos4 sin 4y c x c x เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการ ดังนั้นจากเงื่อนไข 0 0y จะได 1 20 cos0 sin 0c c ดังนั้น 1 0 c ทําใหเราได

2 sin 4y c x แตจากเงื่อนไขที่สอง ( / 2) 0y จะได 20 sin 2c เนื่องจาก sin2 = 0 ดังนั้นจึงไดวา 20 sin 2c เปนจริงไดทุกคา 2c ดังนั้นปญหาคาขอบ 16 0,y y

(0) 0, ( / 2) 0y y จึงมีผลเฉลยมากมาย คือวงศ 2 sin 4y c x และ รูป 4.1.2 แสดงกราฟของผลเฉลยบางสวนของวงศ 2 sin 4y c x ที่ผานจุด (0, 0) และจุด (/2, 0)

ข) จะเห็นวาปญหาคาขอบที่กําหนดในขอนี้จะเปน 16 0, (0) 0, ( / 8) 0y y y y ซึ่งเมื่อ (0) 0y จะได 1 0c แตเงื่อนไขที่สองคือ ( / 8) 0y และแทนใน 2 sin 4y c x

รูป 4.1.2 เสนโคงผลเฉลยบางสวนของปญหาคาขอบที่ผานจุด (0,0) และจุด (/2,0)

t

x1

-1

(0,0)

2

1

2c , 0

2

2

1

4c

2

1

2c

21c

20c


จะได 2 20 sin( / 2) 1 c p c ได 2 0c ดังนั้น 0y จึงเปนผลเฉลยของปญหาคาขอบ ซึ่งจะเห็นวา 0 y เปนเพียงผลเฉลยเดียวของปญหาคาขอบนี้

ค) จะเห็นวาปญหาคาขอบที่กําหนดในขอนี้จะเปน 16 0, (0) 0, ( / 2) 1y y y y ซึ่งเมื่อ (0) 0y ยังคงได 1 0c แตเมื่อ ( / 2) 1y และแทนใน 2 sin 4y c x จะได

2 21 sin( / 2) 0 0 c p c ซึ่งขัดแยงกับ 1 0

ดังนั้นปญหาคาขอบในขอนี้จึงไมมีผลเฉลย Ans.

4.1.2 สมการเอกพันธุ (Homogeneous Equations)

1 2

0 1 2 11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

n n n

n nn n n

d y d y d y dya x a x a x a x a x y

dx dx dx dx

……. (4.1.4)

เราจะเรียกสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n ที่เขียนอยูในรูป (4.1.4) วา สมการเอกพันธุ 1 2

0 1 2 11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n nn n n

d y d y d y dya x a x a x a x a x y f x

dx dx dx dx

……. (4.1.5)

และเราจะเรียกสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n ที่เขียนอยูในรูป (4.1.5) ที่ 0 f x วา สมการไมเอกพันธุ ตัวอยางเชน 3 2 0y y y เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุ

อันดับสอง แตสมการ 33 2

xx y y y y e

เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุอันดับสาม

ขอสังเกต คําวาเอกพันธุในที่นี้ไมไดหมายถึงสัมประสิทธิ์ที่เปนฟงกชันเอกพันธุดังในหัวขอ 2.4

จะเห็นวา ( ) 0y x เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเอกพันธุ(4.1.4) เราจะเรียกผลเฉลยนี้วา ผลเฉลยศูนยหรือผลเฉลยชัด(zero solution หรือ trivial solution) ในทางปฏิบัติเราสนใจผลเฉลยที่ไมเปนศูนย การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุ(4.1.5) อันดับแรกเราจะตองสามารถหาผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธุ(4.1.4)

ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงขอตกลงเบื้องตนที่สําคัญที่เปนบทนิยามและทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับสมการเชิงเสนใน (4.1.2) บนชวง I ของจํานวนจริงบางชวงที่มีความสัมพันธกับ

- ฟงกชันสัมประสิทธิ์ ( ), 0,1,2, ,ia x i n และ ( )f x มีความตอเนื่อง และ - 0 ( ) 0a x ทุก ๆ คาของ x ในชวง I


ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ (Differential Operators)

การหาอนุพันธในทางแคลคูลัสมีบอยครั้งที่เราพบวาใชตัวอักษร Dy แทน dy

dx สัญกรณ D

นี้เราเรียกวา ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ ทั้งนี้เนื่องจากเปนรูปที่แปลงฟงกชันที่หาอนุพันธได ไปเปนฟงกชันในรูปอื่น เชน 3 2 2( 2 5 2cos3 ) 6 10 6sin 3D x x x x x x และ

(sin 2 ) 2cos 2x x xD x xe x xe e เปนตน สําหรับอนุพันธที่มีอันดับสูงกวาหนึ่ง เราจะ

เขียนในพจนของ D ดังนี้ dyDy

dx ,

22

2

d yD y

dx , ,

nn

n

d yD y

dx เมื่อ y แทนฟงกชันที่หา

อนุพันธได พหุนามที่อยูในรูปของ D เชน 22, 6D D D และ 3 3 2 22 3 5 4x D x D xD ตางก็เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ โดยทั่วไปเราจะนิยามตัวดําเนินการเชิงอนุพันธอันดับ n

หรือ ตัวดําเนินการเชิงพหุนาม คือ

10 1 1

n nn na D a D a D a L ……….…….…. (4.1.6)

เนื่องจากสมบัติเบื้องตนของการหาอนุพันธ 2 ประการคือ ( ( )) ( )D cf x cDf x เมื่อ c เปนคาคงตัว และ ( ( ) ( )) ( ) ( )D f x g x Df x Dg x นั่นคือตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ L จึงมีสมบัติเชิงเสน ซึ่งก็คือ L เปนการดําเนินการบนการรวมเชิงเสนของฟงกชันที่หาอนุพันธไดของฟงกชันสองฟงกชัน ซึ่งเขียนไดในรูป

( ( ) ( )) ( ) ( )L f x g x Lf x Lg x ………………… (4.1.7)โดยที่ และ เปนคาคงตัว และเนื่องจาก L ใน (4.1.7) เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธอันดับ n เราจะกลาววา L เปนตัวดําเนินการเชิงเสน

สมการเชิงอนุพันธในรูปสัญกรณ เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนใหอยูในรูปของสัญกรณ D ไดเชน 7 8 2 5y y y x เขียนในรูปของสัญกรณ D ไดเปน

2 7 8 2 5D y Dy y x หรือ 2( 7 8) 2 5D D y x นั่นคือเราสามารถเขียนสมการ (4.1.4) และ (4.1.5) ใหมไดในรูป

10 1 1( ) 0n n

n na D a D a D a y ………….. (4.1.8)

และ 10 1 1( ) ( )n n

n na D a D a D a y f x .…………. (4.1.9)

หลักการซอนทับ (Superposition Principle)

ทฤษฎีบทตอไปนี้จะแสดงใหเห็นวาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเปนผลบวกหรือการซอนทับของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุตั้งแต 2 ฟงกชันขึ้นไป


ทฤษฎีบท 4.1.2 (หลักการซอนทับ กับ สมการเอกพันธุ) ถา 1 2, , , ky y y เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับ n [ สมการ (4.1.4 ) หรือ (4.1.8)] บนชวง I แลวจะได การรวมเชิงเสน

1 1 2 2( ) ( ) ( )k ky c y x c y x c y x บนชวง I เมื่อ 1 2, , , kc c c เปนตัวคงคา โดยที่ y เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุนั้น

พิสูจน สําหรับแตละ x บนชวง I จะได

1 1 2 20 0

( ) ( ) [ ( ) ( ) ... ( )]n n

n i n ii i k k

i i

a x D y a x D c y x c y x c y x

1 1 2 20 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n

n i n i n ii i k i k

i i i

c a x D y x c a x D y x c a x D y x

โดยที่ 1 2( ), ( ), , ( )ky x y x y x เปนผลเฉลยของสมการ สมการ(4.1.4) หรือ (4.1.8) บนชวง I

นั่นคือ 1 1 2 20 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n

n i n i n ii i k i k

i i i

c a x D y x c a x D y x c a x D y x

ดังนั้น 1 20

( ) 0 0 0 0n

n ii k

i

a x D y c c c

สําหรับทุก x บนชวง I

แสดงวา 1 1 2 2( ) ( ) ( )k ky c y x c y x c y x เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ (4.1.4 ) หรือ (4.1.8) Ans.

บทแทรก 4.1.1 (ก) ถา 1( )y x เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนแบบเอกพันธุ และ c1 เปน

ตัวคงคา แลว 1 1( )y c y x จะเปนผลเฉลยของสมการดวย(ข) สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนแบบเอกพันธุ จะมีผลเฉลยชัด (trivial solution) 0y ดวยเสมอ

ตัวอยาง 4.1.7 เนื่องจากฟงกชัน 2

1y x และ 22 lny x x เปนผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธุ

2 3 4 0x y xy y บนชวง (0 , ) โดยหลักการซอนทับจะไดการรวมเชิงเสน 2 2

1 2 lny c x c x x เปนผลเฉลยของสมการนี้บนชวง (0 , ) ดวย Ans.

เนื่องจากฟงกชัน 1xy e และ 2

2xy e เปนผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธุ

2 3 0y y y เราจะไดวา 1 1xy c e เปนผลเฉลยของสมการดวย ซึ่งหมายถึง

1 1 1, 2 , 5 , x x xy e y e y e ตางก็เปนผลเฉลยของสมการนั่นเอง ในทํานองเดียวกันเมื่อ


2 2

xy e เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ เราจะไดวา 2 2 2

xy c e เปนผลเฉลยของสมการดวย ซึ่งหมายถึง 2 2 2

2 2 2, 3 , 2 , x x xy e y e y e นั่นคือ โดยทฤษฎีบท (4.1.2) เราไดวา 2

1 2x xy c e c e เปนผลเฉลยของสมการ 2 3 0y y y ดวย Ans.

ความอิสระเชิงเสนและความไมอิสระเชิงเสน (Linear Independence and Linear Dependence)

บทนิยามสองบทตอไปนี้ ถือเปนพื้นฐานในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

บทนิยาม 4.1.2 ให S = 1 2{ ( ), ( ), , ( )}nf x f x f x เปนเซตของฟงกชันที่หาคาไดบนชวง I เราจะกลาววา S เปนเซตอิสระเชิงเสน (linearly independent set) ถามีตัวคงคา

1 2 0nc c c เทานั้นที่ทําให 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nc f x c f x c f x และจะกลาววาฟงกชัน 1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x เปนฟงกชันอิสระเชิงเสน (linearly independent functions) แตถามีตัวคงคา 1 2, ,..., nc c c อยางนอยหนึ่งตัวไมเปนศูนย แตทําให

1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nc f x c f x c f x

แลว เราจะกลาววา S เปนเซตไมอิสระเชิงเสน (linearly dependent set) และจะกลาววาฟงกชัน

1 2( ), ( ), , ( )nf x f x f x เปนฟงกชันไมอิสระเชิงเสน (linearly dependent functions)

ตัวอยาง 4.1.8 กําหนด 2 21 2( ) sin , ( ) cosf x x f x x , 2

3( ) secf x x , 24 ( ) tanf x x

จะเห็นวา 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )f x f x f x f x เปนฟงกชันไมอิสระเชิงเสนบนชวง ( / 2, / 2) เนื่องจากพบวา 1 2 3 41, 1, 1c c c c ทําให 2 2 2 2

1 2 3 4sin cos sec tan 0c x c x c x c x ทั้งนี้อาศัยหลักเกณฑทางตรีโกณมิติ 2 2 2 2sin cos 1 1 tan secx x x x และ #

ตัวอยาง 4.1.9 (ก) กําหนด 1 2( ) 5, ( ) 5f x x f x x x , 3( ) 1f x x , 2

4 ( )f x x จะเห็นวา

1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )f x f x f x f x เปนฟงกชันไมอิสระเชิงเสนบนชวง (0,) เนื่องจาก สามารถเขียน f2 ในรูปการรวมเชิงเสน 1 3 4, , f f f ซึ่งเขียนไดเปน

25 1 ( 5) 5 ( 1) 0 ( )x x x x x สําหรับทุกคา x ใน (0 ,) #(ข) กําหนด 2 2

1 2 3( ) , , 1xf x x f e f x จะเห็นวา 1 2 3( ), ( ), ( )f x f x f x เปนฟงกชันอิสระ- เชิงเสน บนชวง , เนื่องจาก การรวมเชิงเสน 2 2

1 2 3 ( 1) 0xC x C e C x เปนไดเพียงกรณีที่ 1 2 3 0C C C เทานั้น #


การทดสอบฟงกชันอิสระเชิงเสน เราสามารถใชบทนิยาม 4.1.2 ชวยพิจารณาไดโดยตรง แตถาหากฟงกชันที่ตองการทดสอบนั้น เปนฟงกชันที่มีความซับซอนและมีจํานวนมาก การทดสอบวาฟงกชันเหลานั้นเปนอิสระเชิงเสนหรือไม จะมีความยุงยาก ดังนั้นเพื่อลดความยุงยากในการทดสอบฟงกชันอิสระเชิงเสน เราจะหาวิธีทดสอบอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะตองใช บทนิยาม 4.1.3 ที่เกี่ยวกับตัวกําหนดเปนพื้นฐาน บทนิยาม 4.1.3 ให 1 2, ,..., ny y y เปนฟงกชันที่มีอนุพันธไมนอยกวาอันดับ 1n เราจะกลาววาฟงกชันตัวกําหนด (determinant function) ดังใน (4.1.10) เปนรอนสเกียน (wronskian)ของฟงกชัน 1 2 ny ,y , ,y

1 2

1 21 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( , , , )

( ) ( ) ( )

n

nn

n n nn

y x y x y x

y x y x y xW y y y

y x y x y x

…………. (4.1.10)

ตัวอยาง 4.1.10 ให 21y x , 2 cosy x เมื่อ จงหา 1 2( , )W y y

วิธีทํา เนื่องจาก 21 1, 2y x y x

2 2cos , siny x y x

ดังนั้น 1 2( , )W y y = 2 cos

2 sin

x x

x x = 2 sin 2 cosx x x x Ans.

ทฤษฎีบทตอไปนี้ใชสําหรับทดสอบความไมอิสระเชิงเสนและความอิสระเชิงเสน ของ ผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธุ (4.1.4)

ทฤษฎีบท 4.1.3 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุ (4.1.4) จะไมอิสระเชิงเสนบนชวง I ก็ตอเมื่อ 1 2( , ,..., ) 0nW y y y สําหรับทุก x บนชวง Iพิสูจน ในที่นี้แบงการพิสูจนออกเปนสองตอน

(1) จะพิสูจนวา ถา 1 2( , ,..., ) 0nW y y y สําหรับทุก x บนชวง I แลวจะไดวา

1 2, ,..., ny y y เปนฟงกชันไมอิสระเชิงเสน บนชวง I ฉะนั้น สมมติวา

1 2

1 2,1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( , , ) 0

( ) ( ) ( )

n

nn

n n nn

y x y x y x

y x y x y xW y y y

y x y x y x

สําหรับทุก x บนชวง I และที่ x t ใด ๆ บนชวง I จะได


1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

n

n n nn

y t y t y t

y t y t y t

y t y t y t

= 0 .......….. (4.1.11)

โดยทฤษฎีบทหลักมูลของระบบสมการเชิงเสนเอกพันธุทางพีชคณิต เราทราบวา ระบบสมการเชิงเสนเอกพันธุที่มี n สมการ และมีตัวไมรูคา n ตัว จะมีผลเฉลยไมชัด (non-trivial solution)หรืออีกนัยหนึ่ง คือ สวนประกอบของผลเฉลยไมเปนศูนยทั้งหมด ก็ตอเมื่อ ตัวกําหนดของเมทริกซสัมประสิทธิ์มีคาเทากับศูนย

ฉะนั้นโดยสมการ (4.1.11) และทฤษฎีบทหลักมูลของระบบสมการเชิงเสนเอกพันธ ุ ทางพีชคณิตนี้สรุปไดวา มีตัวคงคา 1 2 nC ,C ,...,C ที่ไมเปนศูนยทั้งหมดที่ทําให

1 1 2 2

1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

n n

n n

n n nn n

C y t C y t C y t

C y t C y t C y t

C y t C y t C y t

……… (4.1.12)

พิจารณาผลเฉลยของสมการ ( 4.1.4) ซึ่งนิยามโดย

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n ny x C y x C y x C y x

สําหรับทุก x บนชวง I โดยผลเฉลยนี้ และระบบสมการ (4.1.12) เราจะได( )y t = ( )y t

( 1) ( )ny t = 0

ฉะนั้น จะได ( )y x = 0 สําหรับทุก x บนชวง Iนั่นคือ 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nC y x C y x C y x สําหรับทุก x บนชวง I โดยที่ 1 2, ,..., nC C C ไมเปนศูนยทั้งหมด ดังนั้นผลเฉลย 1 2, ,..., ny y y

จึงเปนฟงกชันไมอิสระเชิงเสน บนชวง I

(2) จะพิสูจนวา ถา 1 2, ,..., ny y y ไมอิสระเชิงเสนบนชวง I แลวจะไดวา

1 2( , ,..., ) 0nW y y y สําหรับทุก x บนชวง I ฉะนั้นสมมติวา 1 2, ,..., ny y y ไมอิสระเชิงเสนบนชวง I นั่นคือ มีตัวคงคา 1 2, ,..., nC C C อยางนอยหนึ่งตัวไมเปนศูนย ที่ทําให

1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nC y x C y x C y x ……………… (4.1.13)สําหรับทุก x บนชวง I จาก (4.1.13) จะได

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nC y x C y x C y x

…………….. (4.1.14)

( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n n n

n nC y x C y x C y x


สําหรับทุก x บนชวง I ให t เปนจุดใดๆ บนชวง I แลวจะไดวา (4.1.13) และ (4.1.14) เปนจริงสําหรับ x t กลาวคือ (4.1.12) เปนจริง โดยที่ 1 2, ,..., nC C C ไมเปนศูนยทั้งหมด ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทหลักมูลของระบบสมการเชิงเสนเอกพันธุทางพีชคณิต จะไดวา

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( )0

...

( ) ( ) ... ( )

n

n

n n nn

y t y t y t

y t y t y t

y t y t y t

แตตัวกําหนดนี้ คือ รอนสเกียนของ 1 2, ,..., ny y y ที่จุด x t และเนื่องจาก t เปนจุดใด ๆ บนชวง I ฉะนั้น 1 2( , ,..., )nW y y y = 0 สําหรับทุก x บนชวง I Ans.

ทฤษฎีบท 4.1.4 ผลเฉลย 1 2, ,..., ny y y ของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธ ุ (4.1.4) จะเปนอิสระเชิงเสนบนชวง I ก็ตอเมื่อ 1 2( , ,..., ) 0nW y y y สําหรับทุก x บนชวง I(ใหพิสูจนเปนแบบฝกหัด)

จากทฤษฎีบท 4.1.4 เราจะพบวา เมื่อ 1 2, ,..., ny y y เปนผลเฉลยของ(4.1.4) บนชวง I จะตองมี 1 2( , ,..., ) 0nW y y y และเซตของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุ เปนเซตอิสระเชิงเสน

ตัวอยาง 4.1.11 จงใชรอนสเกียน แสดงวา {1, sin , cosx x } เปนเซตอิสระเชิงเสน

วิธีทํา เนื่องจาก 1 sin cos

(1,sin ,cos ) 0 cos sin

0 sin cos

x x

W x x x x

x x

cos sin

sin cos

x x

x x

= 2 2cos sinx x

2 2(sin +cos )x x = 1 0

ดังนั้น {1,sin ,cos }x x เปนเซตอิสระเชิงเสน Ans.

ตัวอยาง 4.1.12 กําหนด 2 21 2( ) 2 , ( ) 5 4x x x xy x e e y x e e และ 2

3( ) x xy x e e จงแสดงวา 1 2 3, ,y y y เปนเซตไมอิสระเชิงเสน

วิธีทํา เพราะวา 2 2 2

2 2 21 2 3

2 2 2

2 5 4

( , , ) 2 2 10 4 2

4 2 20 4 4

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

e e e e e e

W y y y e e e e e e

e e e e e e


2 2

2

2 2

10 4 2( 2 )

20 4 4

x x x xx x

x x x x

e e e ee e

e e e e

2 2

2

2 2

2 2 2(5 4 )

4 2 4

x x x xx x

x x x x

e e e ee e

e e e e

2 2

2

2 2

2 2 10 4( )

4 2 20 4

x x x xx x

x x x x

e e e ee e

e e e e

= 0

ดังนั้น 1 2 3{ , , }y y y เปนเซตไมอิสระเชิงเสน Ans.

บทนิยาม 4.1.4 ให 1 2{ , ,..., }nS y y y เปนเซตผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับ n (4.1.4) และเปนเซตอิสระเชิงเสนบนชวง I เราจะกลาววา S เปนเซตหลักมูลของผลเฉลย (fundamental set of solutions) บนชวง I

ทฤษฎีบท 4.1.5 (การมีจริงของเซตหลักมูล)สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับ n [สมการ(4.1.4)] จะมีเซตหลักมูลของผล

เฉลยอยูจริงบนชวง I

ทฤษฎีบท 4.1.6 (ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุ) ให 1 2{ , ,..., }ny y y เปนเซตหลักมูลผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุ

อันดับ n [สมการ(4.1.4)] บนชวง I แลวจะไดวาทุก ๆ ผลเฉลยทั่วไป y ของสมการบนชวง I คือ 1 1 2 2( ) ( ) ( )n ny c y x c y x c y x เมื่อ 1 2, ,...., nc c c เปนตัวคงคาพิสูจน ให x t บนชวง I และพิจารณาระบบสมการ ที่มี n สมการ และมีตัวไมรูคา n ตัว

1 1 2 2 1

1 1 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )n n

n n

c y t c y t c y t k

c y t c y t c y t k

( 1) ( 1) ( 1)

1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nn n nc y t c y t c y t k

.………………. (4.1.15)

โดยที่ 1 2{ , ,..., }ny y y เปนเซตอิสระเชิงเสนบนชวง I ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 4.1.4 จะไดวา ( , ,..., ) 0

1 2W y y y

n สําหรับทุก x บนชวงนี้ ดังนั้นที่ x t จะได


1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( )0

...

( ) ( ) ... ( )

n

n

n n nn

y t y t y t

y t y t y t

y t y t y t

..………………. (4.1.16)

ถาสมมติให 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nG x c y x c y x c y x จะพบวา ( )G x สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธ เนื่องจากมีการซอนทับของผลเฉลย ดังนั้น ( )G x จึงสอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน

โดยที ่ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )i i i i

n nG t c y x c y x c y x ……….. ………. (4.1.17)

เมื่อ 0,1,2, , 1i n และ y(x) สอดคลองกับสมการเชิงเสนและมีเงื่อนไขเริ่มตนเหมือนกัน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของระบบสมการเชิงเสน (4.1.15) จะมีผลเฉลยเพียงชุดเดียว ดังนั้นเราจึงไดวา ( ) ( )G x y x หรือ 1 1 2 2( ) ( ) ( )n ny c y x c y x c y x Ans.

ตัวอยาง 4.1.13 ให 1 2( ) , ( )x xy x e y x e และ 23 ( ) xy x e เปนผลเฉลย

ของ3 2

3 22 2 0

d y d y dyy

dx dx dx บนชวง ( , ) เราจะเห็นวา 1 2 3{ ( ), ( ), ( )}y x y x y x

เปน เซตอิสระเชิงเสน

เพราะวา 2

21 2 3

2

( , , ) 2

4

x x x

x x x

x x x

e e e

W y y y e e e

e e e

2 2 2 2 2 2( 4 2 ) ( 2 4 )x x x x x xe e e e e e

2 6 0xe สําหรับทุก x บนชวง ( , ) และจะไดวา 2

1 2 3x x xy c e c e c e เปนผลเฉลยทั่วไป

ของ 3 2

3 22 2 0

d y d y dyy

dx dx dx บนชวง ( , ) Ans.

4.1.3 สมการไมเอกพันธุ (Nonhomogeneous Equations)จากบทนิยาม 4.1.1 เราไดทราบลักษณะของสมการเชิงเสนไมเอกพันธุมีรูปเปน

1

0 1 2 11

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x a x y f x

dx dx dx

…… (4.1.18)

เมื่อ 0 f x ถาเราลองพิจารณา yp เปนฟงกชันที่สอดคลองกับ(4.1.18) เราจะกลาววา yp

เปนผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) หรือ ปริพันธเฉพาะ (particular integral) ของสมการ ตัวอยางเชน yp = 2 เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพันธุ 4 8y y


จากการศึกษาในหัวขอ 4.1.2 ถามี 1 2, ,..., ky y y เปนผลเฉลย (4.1.4) บนชวง I และ yp เปนผลเฉลยเฉพาะของ (4.1.18) บนชวง I ดังนั้นเราจะไดการรวมเชิงเสน

1 1 2 2( ) ( ) ( )k k py c y x c y x c y x y ……..…. (4.1.19)

เปนผลเฉลยของสมการไมเอกพันธุ (4.1.18) ดวย ทั้งนี้อาจทําความเขาใจไดงาย ๆ วา เนื่องจากการรวมเชิงเสน 1 1 2 2( ) ( ) ( )k kc y x c y x c y x ถูกแปลงคาเปน 0 ดวยตัวดําเนินการ

10 1 1

n nn nL a D a D a D a และขณะที่ py ถูกแปลงคาเปน ( )f x ดวยตัว

ดําเนินการ L เชนเดียวกัน ดังนั้นถาเราใช k n ผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนของสมการอันดับ n (4.1.4) จึงสงผลให 1 1 2 2( ) ( ) ( )k k py c y x c y x c y x y เปนผลเฉลยทั่วไปของ(4.1.18)

ทฤษฎีบท 4.1.7 (ผลเฉลยทั่วไปของสมการไมเอกพันธุ)ถา py เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุอันดับ n (4.1.18)

บนชวง I และถา 1 2{ , ,..., }ny y y เปนเซตของผลเฉลยหลักมูลของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับ n (4.1.4) บนชวง I แลว ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.1.18) บนชวง I คือ

1 1 2 2( ) ( ) ( )n n py c y x c y x c y x y เมื่อ 1 2, ,..., nc c c เปนคาคงตัว

พิสูจน ให L เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธโดยที่ 10 1 1

n nn nL a D a D a D a

ให ( )y x เปนผลเฉลยทั่วไป และให ( )py x เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุอันดับ n (4.1.18) ดังนั้นเราจะได L y f x

และถาเรานิยามวา ( ) ( ) pu x y x y x ดังนั้นโดยนัยเชิงเสนของ L เราจึงไดวา ( ) { ( ) ( )} ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 0p pL u L y x y x L y x L y x f x f x

นั่นเปนการแสดงวา u(x) เปนผลเฉลยของสมการเอกพันธุ 0L y

โดยทฤษฎีบท 4.1.6 เราจึงไดวา 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nu x c y x c y x c y x ดังนั้นจึงไดวา 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p n ny x y x u x c y x c y x c y x หรือ

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n py x c y x c y x c y x y x Ans.

ฟงกชันเติมเต็ม (Complementary Function) จากทฤษฎีบท 4.1.7 เราจะเห็นวาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสนไมเอกพันธุประกอบดวยผลบวกของฟงกชันสองฟงกชัน คือ

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n p c py x c y x c y x c y x y x y x y x


และเมื่อพิจารณา 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c n ny x c y x c y x c y x เราจะเห็นวา ( )cy x เปนการรวมเชิงเสนซึ่งเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุ (4.1.4)และจะเรียก ( )cy x นี้วาฟงกชันเติมเต็มของสมการ (4.1.18) หรือกลาวอีกนัยหนึ่งวา ในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุ ในขั้นแรกเราจะตองหาผลเฉลยของสมการเอกพันธุ แลวจึงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพันธุ และจะไดผลเฉลยของทั่วไปของสมการไมเอกพันธุคือ

y = ฟงกชันเติมเต็ม + ผลเฉลยเฉพาะ c py y

ตัวอยาง 4.1.14 จงแสดงวา y c py y เปนเฉลยทั่วไปของสมการ 4 12y y x ………………… (4.1.20)

เมื่อมีฟงกชันเติมเต็ม 1 2cos 2 sin 2cy c x c x และผลเฉลยเฉพาะ 3py x

วิธีทํา จากโจทย และทฤษฎีบท 4.1.7 สามารถเขียนผลเฉลยทั่วไป c py y y ไดในรูป

1 2cos 2 sin 2 3y c x c x x ในที่นี้เราจะแสดงวา y เปนผลเฉลยทั่วไปของ (4.1.20)ซึ่งจะแสดงวา ถา y เปนเฉลยทั่วไปของ(4.1.20) เมื่อแทนคา y และอนุพันธของ y ลงในสมการ จะตองทําใหสมการเปนจริง จาก 1 2cos 2 sin 2 3y c x c x x ดังนั้น 1 22 sin 2 2 cos 2 3y c x c x และ 1 24 cos 2 4 sin 2y c x c x

แทน y y และ ลงในนิพจนขางซายของสมการจะได

1 2 1 24 ( 4 cos 2 4 sin 2 ) 4( cos 2 sin 2 3 )y y c x c x c x c x x

1 2 1 24 cos 2 4 sin 2 4 cos 2 4 sin 2 12c x c x c x c x x

= 12x ซึ่งเทากับพจนขางขวาของ(4.1.20)นั่นแสดงวา 1 2cos 2 sin 2 3c py y y c x c x x เปนผลเฉลยทั่วไปของ (4.1.20) จริง Ans.

แบบฝกหัด 4.1

1. ใหวงศของฟงกชันเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธบนชวงที่กําหนด ในแตละขอตอไปนี้ พิจารณาวาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนในแตละขอสอดคลองกับวงศของผลเฉลยทั่วไปหรือไม

1.1 1 2 , ( , ); 0, (0) 0, (0) 1x xy c e c e y y y y

1.2 21 2 ln , (0, ); 0, (1) 3, (1) 1y c x c x x x y xy y y y


1.3 21 2 3 ,( , ); 2 2 0, (0) 1,x x xy c e c e c e y y y y y

(0) 2 (0) 0y y และ

1.4 1 2 3cos sin ,( , ); 3 4 2 0, (0) 1,x x xy c e c e x c e x y y y y y

(0) 0 (0) 0y y และ

2. จงใช เงื่อนไขขอบของปญหาคาขอบที่กําหนดใหในแตละขอพิจารณาวามีความสอดคลองกับวงศของผลเฉลยบนชวง ( , ) ที่กําหนดให หรือไม

2.1 1 2cos sin ; 2 2 0x xy c e x c e x y y y

a) (0) 1, ( ) 0y y b) (0) 1, ( ) 1y y c) (0) 1, ( ) 1

2y y d) (0) 0, ( ) 0y y

2.2 2 4 21 2 3; 5 8 24y c x c x x y xy y

a) ( 1) 0, (1) 4y y b) (0) 1, (1) 2y y

c) (0) 3, (1) 0y y d) (1) 3, (2) 15y y

3. จงพิจารณาวาฟงกชันที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้เปนฟงกชันอิสระเชิงเสนบนชวง ( , ) หรือไม

3.1 21 2 3( ) 1, ( ) ( )y x y x x y x x และ

3.2 21 2 3( ) 0, ( ) ( )y x y x x y x x และ

3.3 21 2 3( ) , ( ) ( )xy x x y x xe y x x และ

3.4 21 2 3( ) cos 2 , ( ) sin 2 ( ) siny x x y x x y x x และ

3.5 2 21 2 3( ) 5, ( ) sin ( ) cosy x y x x y x x และ

4. จงแสดงวาฟงกชันมูลฐานที่กําหนดให เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธบนชวงที่กําหนดให

4.1 3 412 0; , , ( , )x xy y y e e

4.2 2 24 0; , , ( , )x xy y e e

4.3 2 5 0; cos 2 , sin 2 , ( , )x xy y y e x e x

4.4 2 3 46 12 0; , , (0, )x y xy y x x

4.5 3 2 2 26 4 4 0; , , ln , (0, )x y x y xy y x x x x

154 บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n

5. จงแสดงวาวงศของฟงกชันที่กําหนดใหเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธไมเอกพันธุบนชวงที่กําหนดให

5.1 2 51 27 10 24 ; 6 , ( , )x x x xy y y e y c e c e e

5.2 1 2; cos sin , ( , )y y x y c x c x x

5.3 2 2 2 2 21 24 4 2 4 12; 2 , ( , )x x x xy y y e x y c e c xe x e x

5.4 2 2 1/2 1 21 2

1 12 5 ; , (0, )15 6

x y xy y x x y c x c x x x

6. จงแสดงวา 1

23 xpy e และ

2

2 3py x x เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ 26 5 9 xy y y e และ 26 5 5 3 16y y y x x ตามลําดับ

4.2 การลดทอนอันดับ (Reduction of Order)

จากหัวขอ 4.1 เราพอจะทราบไดวา สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับสอง

0 1 2( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y ………………………. (4.2.1)มีผลเฉลยทั่วไปอยูรูปการรวมเชิงเสน 1 1 2 2y c y c y เมื่อ 1y และ 2y ตางก็เปนฟงกชันอิสระเชิงเสนบนชวง I และเปนผลเฉลยของสมการ (4.2.1) หัวขอตอไปจะเปนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนซึ่งมีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว วิธีการนี้เปนวิธีการที่อาศัยหลักการทางพีชคณิตเขาชวยในการหาผลเฉลย แตจะเหมาะกับสมการเชิงอนุพันธที่มีผลเฉลยเดี่ยว 1y อยูแลวเทานั้น ซึ่งพอจะทําใหเราหาผลเฉลยที่สอง 2y ของสมการเอกพันธุ(4.2.1) [แมวาสัมประสิทธิ์ใน(4.2.1)จะเปนตัวแปร] ถาเราทราบผลเฉลยไมชัด 1y ของสมการ (4.2.1) แนวคิดพื้นฐาน ที่ตองการนําเสนอในหัวขอนี้ก็คือ สามารถลดทอนสมการ(4.2.1) ใหเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่ง โดยอาศัยความหมายของการแทนคาซึ่งรวมถึงผลเฉลย 1y ที่รูคาแลว การหาผลเฉลยที่สอง 2y จะหาไดจากการหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง ที่ถูกแปลงจาก (4.2.1) การลดทอนอันดับเปนวิธีการหนึ่งของการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n (n 2) เมื่อเราทราบผลเฉลยหนึ่งแลว สมมติวา 1y เปนผลเฉลยไมชัดของสมการ(4.2.1) บนชวง I เราจะตองหาผลเฉลย 2y โดยที่ 1y และ 2y เปนอิสระเชิงเสนตอกัน บน

ชวง I จากหัวขอ 4.1 เราทราบวา ถา 1y และ 2y เปนอิสระเชิงเสนตอกัน แลวผลหาร 1

2

y

y จะ

ไมเปนคาคงตัวบนชวง I นั่นคือไดวา 2

1

( )( )

( )

y xu x

y x หรือ 2 1( ) ( ) ( )y x u x y x ฟงกชัน

( )u x เราจะหาไดโดยอาศัยการแทน 2 1( ) ( ) ( )y x u x y x ลงในสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดให

4.2 การลดทอนอันดับ 155

วิธีนี้เรียกวา การลดทอนอันดับ เนื่องจากเราตองหา ( )u x โดยอาศัยการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง

สมมติวา เมื่อนําเอา 0 ( )a x หารตลอดสมการ (4.2.1) จะไดสมการอันดับสองในรูปแบบมาตรฐาน เปน

( ) ( ) 0y p x y q x y …………….. (4.2.2)เมื่อ ( ) ( )p x q xและ ตอเนื่องบนชวง I และสมมติวาเราทราบวา 1( )y x เปนผลเฉลยของ(4.2.2)บนชวง I และ 1( ) 0y x สําหรับทุกคา x ในชวง I ถาให 1( ) ( )y u x y x จะไดวา 1 1 1 1 1, 2y uy y u y uy u y y u เมื่อนําไปแทนลงใน (4.2.2) จะได 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) y p x y q x y uy u y y u p uy y u q uy

1 1 1 1 1 1( ) (2 ) 0u y py qy y u y py u

ซึ่งจะไดสมการใหมเปน 1 1 1(2 ) 0y u y py u หรือ ถาเราให v u จะได 1 1 1(2 ) 0y v y py v ………………….. (4.2.3)

และเราจะเห็นวาสมการ(4.2.3) เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งแบบตัวแปรแยกกันได จึงได1

1

2 0ydv

dx pdxv y

และโดยการหาปริพันธทั้งสองขางของสมการได

1ln 2 lnv y pdx C หรือ 21ln vy pdx C หรือ 2

1 1pdxvy c e

แตเนื่องจากเราให v u จึงได

1

12

pdxc e

uy

และหาปริพันธอีกครั้งได

1

1 22

pdxe

u c dx cy

โดยการเลือก 1 1c และ 2 0c และจาก 1( ) ( )y u x y x ดังนั้นเราจะไดผลเฉลยที่สองของ

สมการ คือ ( )

2 1 2

1

( ) ( )( )

p x dxey x y x dx

y x

………………….. (4.2.4)

เพื่อเกิดความมั่นใจวา 2 ( )y x เปนเฉลยของ(4.2.1) นําเอา 2 ( )y x และอนุพันธของ 2 ( )y x แทนลงใน (4.2.2) จะตองทําให (4.2.2) เปนจริง และ 1( )y x กับ 2 ( )y x เปนฟงกชันอิสระเชิงเสน บนชวงที่ 1( )y x ไมเปนศูนย

ตัวอยาง 4.2.1 จงใชวิธีการลดทอนอันดับหาผลเฉลยทั่วไปของ 4 0y y เมื่อให 2

1xy e เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ บนชวง ( , )

วิธีทํา สมมติให 21( ) ( ) ( ) xy u x y x u x e ดังนั้นจะได y y และ ดังนี้


2 22 ,x xy ue e u 2 2 24 4x x xy ue u e e u

ดังนั้น 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 0x x x x x xy y ue u e e u ue e u u e หรือ 2 ( 4 ) 0xe u u และเนื่องจาก 2 0xe

ดังนั้นไดสมการใหมเปน 4 0u u ถาให v u จะไดสมการเชิงเสนอันดับสองเปนสมการเชิงเสนอันดับหนึ่ง 4 0v v ซึ่งเปนสมการแบบตัวแปรแยกกันได ซึ่งจะไดวา

4 0dv

vdx

หรือ 4 0dv

dxv หรือ 4

dvdx

v

หาปริพันธทั้งสองขางของสมการจะได ln | | 4v x C หรือ 4 x Cv e หรือ 4

1xv c e แตเราให v u ดังนั้น 4

1xu c e หาปริพันธของสมการอีกครั้ง จะได

4 41 1 2

14

x xu c e dx c e c จาก 2( ) xy u x e

ดังนั้น 2 21 2

14

x xy c e c e โดยการเลือก 1 24 0c c และ เราจะได 22

xy e และ

เนื่องจาก 2 2( , ) 0x xW e e สําหรับทุกคา x บนชวง ( , ) ซึ่งจะไดวา 2 2x xe e และ เปน อิสระเชิงเสนตอกัน นั่นคือ ผลเฉลยทั่วไปของสมการ 4 0y y คือ 2 2

1 214

x xy c e c e หรือ 2 23 2

x xy c e c e

บนชวง ( , ) เมื่อ 2 3c c และ เปนคาคงตัว Ans.

ตัวอยาง 4.2.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 2 6 0x y xy y เมื่อ 21y x

เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ

วิธีทํา จัดสมการใหอยูในรูปแบบมาตรฐาน จะได 2

2 60y y y

x x

จาก (4.2.4) ( )

2 1 2

1

( ) ( )( )

p x dxey x y x dx

y x

ดังนั้น 2

22 4

dxxe

y x dxx

หรือ

22

2 4

xy x dx

x

1

2 2 22 1

xy x x dx x x

เนื่องจาก 2( , ) 0W x x แสดงวา 2x x และ เปนอิสระเชิงเสนตอกันนั่นคือ ผลเฉลยทั่วไปของ 2 2 6 0x y xy y คือ 2

1 2y c x c x Ans.

ตัวอยาง 4.2.3 จงใชวิธีการลดทอนหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ cosy y x เมื่อ

1 siny x เปนเฉลยหนึ่งของสมการวิธีทํา สมมติให 1( ) ( ) ( )siny u x y x u x x ดังนั้นจะได y y และ ดังนี้

(เนื่องจาก 22ln 2dx xxe e x

)

4.2 การลดทอนอันดับ 157

cos siny u x u x , (-sin ) 2 (cos ) (sin )y u x u x u x

ดังนั้น { (-sin ) 2 (cos ) (sin )} sin cosy y u x u x u x u x x

2 (cos ) (sin ) sinu x u x x และถาให v = u

จะไดสมการเชิงเสนอันดับสองเปนสมการเชิงเสนอันดับหนึ่ง 2 (cos ) (sin ) cosv x v x x หรือ (sin ) 2 (cos ) cosv x v x x

หรือ (2cot ) cotdv

x v xdx

ซึ่งเปนสมการเชิงเสน และมีตัวประกอบปริพันธ คือ 2 cot 2ln|sin | 2sinx dx xe e x โดยอาศัยสูตรการหาผลเฉลยของสมการเชิงเสนอันดับหนึ่ง จะได 2 2

1sin [ sin cot ]v x x x dx c หรือ 21sin [ sin cos ]v x x x dx c หรือ

22 2

1 1

sin 1sin [ ] (sin )

2 2

xv x c c x หรือ 2

1

1(cos )

2v c ec x

เนื่องจากเราให v u ดังนั้น 21

1(cos )

2u c ec x

ดังนั้น 21 2 1 2

1cos ( cot )

2 2

xu dx c ec xdx c c x c

แตเราให siny u x ดังนั้น 1 2[ (cot ) ]sin2

xy c x c x

หรือ 1 2

sincos sin

2

x xy c x c x

นั่นคือ เราได 2

sincos

2p

x xy x y

และ และเมื่อให A และ B เปนคาคงตัว

ดังนั้น sincos sin

2

x xy A x B x

เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการ Ans.


1. ฟงกชัน 1( )y x ที่กําหนดใหเปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธในแตละขอ จงใชหลักการของการลดทอนอันดับ หรือสูตร (4.2.4) หาผลเฉลยที่สองของสมการ

1.1 12 0; xy y y y xe 1.2 316 9 0; xy y y y e

1.3 2 41- 7 16 0;x y xy y y x 1.4 116 0; sin 4y y y x

1.5 2 /319 12 4 0; xy y y y e 1.6 19 0; cos3y y y x

1.7 2 212 6 0;x y xy y y x 1.8 10; lnxy y y x

1.9 212 0; sin(ln )x y xy y y x x 1.10 2 1/ 2

14 0; lnx y y y x x


2. ฟงกชัน 1( )y x ที่กําหนดใหเปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธเอกพันธุในแตละขอ จงใชหลักการของการลดทอนอันดับหาผลเฉลยที่สองของสมการเอกพันธุและหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพันธุ 2.1 2

14 12; xy y y e 2.2 11; siny y y x

2.3 313 2 5 ;x xy y y e y e 2.4 14 3 ; xy y y x y e

3. จงแสดงวา 1( )y x x เปนผลเฉลยของสมการ 0xy xy y และจงใชหลักการลดทอนอันดับหาผลเฉลยที่สอง 2 ( )y x ในรูปของอนุกรมอนันต [ขอนี้จะเปนขอความคาดการณของการนิยาม 2 ( )y x ตอไป]

4.3 สมการเชิงเสนเอกพันธุที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว (Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients)

ในหัวขอ 4.1 ไดกลาวถึงการมีผลเฉลยและรูปแบบของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนเอกพันธุและไมเอกพันธุ สําหรับหัวขอนี้เราจะศึกษาเฉพาะการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนอันดับ n ที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว ซึ่งมีรูปทั่วไป คือ

1

0 1 11 = 0

n n

n nn n

d y d y dya a a a y

dx dx dx

………… (4.3.1)

เมื่อ 0 1, , , na a a เปนคาคงตัว 0 0a และ

เพื่อความสะดวกเราจะใชตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ไดนิยามไวในหัวขอ 4.1 โดยที่ d

Ddx

,2

22

, ,n

nn

d dD D

dx dx ดังนั้น ,

dyDy

dx

22

2, ,

nn

n

d y d yD y D y

dx dx

เมื่อนํามาใชเขียนสมการ(4.3.1) จะไดในรูป ( ) 0F D y ………… (4.3.2)

เมื่อ 10 1 1( ) n n

n nF D a D a D a D a

การหาผลเฉลยของสมการ (4.3.1) หรือ (4.3.2) เราจะสมมติให mxy e เปนผลเฉลยของ

สมการ จะได mxDe =mxde

dx= mxme

2 mxD e = ( )mxD me = 2 mxm e3 mxD e = 2( )mxD m e = 3 mxm e

n mxD e = 1( )n mxD m e = n mxm e

4.3 สมการเชิงเสนเอกพันธุที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว 159

ดังนั้น เมื่อนําไปแทนใน (4.3.1) จะได ( ) mxF D e = ( ) mxF m e

เนื่องจาก ( )F D y = 0 ดังนั้น ( ) mxF m e = 0 และ 0mxe

ฉะนั้น ( )F m = 0 …………. (4.3.3)และจะเรียกสมการ ( )F m = 0 นี้วา สมการชวย(auxiliary equation) หรือ สมการลักษณะเฉพาะ(characteristic equation) ของสมการ ( ) 0F D y เมื่อแกสมการ F m = 0 จะได m มีคาทั้งหมด n คา ซึ่งอาจเปนคาที่เปนจํานวนจริง หรือจํานวนเชิงซอนก็ได

เพื่อความสะดวกในการทําความเขาใจลองพิจารณาสมการอันดับสอง 0ay by cy หรืออาจเขียนในรูป 2( ) 0aD bD c y ………. (4.3.4)เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว ถาเราจะหาผลเฉลยของสมการที่ อยูในรูป mxy e และแทน

2 2 , mx mxD y m e Dy me ดังนั้นสมการ (4.3.4) จะเปน2 0mx mx mxam e bme ce หรือ 2( ) 0mxam bm c e

เนื่องจาก 0mxe บนชวง ( , ) ดังนั้นสมการ (4.3.4) จึงเปนสมการกําลังสอง2 0am bm c ………… (4.3.5)

สมการ (4.3.5) นี้ เราเรียกวา สมการชวยของสมการ (4.3.4) และเนื่องจากสมการเปนสมการกําลังสองจึงมีรากสมการ 2 คา คือ

2

1

4

2

b b acm

a

และ

2

2

4

2

b b acm

a

ซึ่งจะเห็นวา คาของผลเฉลยของสมการ (4.3.5) ทั้งสองมีความเปนไปไดภายใน 3 กรณี คือ 1) 1 2m m และ เปนคาจริงที่ตางกัน เมื่อ 2 4 0b ac

2) 1 2m m และ เปนคาจริงที่ซ้ํากัน เมื่อ 2 4 0b ac

3) 1 2m m และ เปนจํานวนเชิงซอนสังยุค เมื่อ 2 4 0b ac

จากลักษณะของรากสมการกําลังสองดังกลาว ยอมสงผลตอผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ (4.3.1) หรือ (4.3.2) ไดถึง 3 กรณีดังนี้

กรณี 1 สมการชวยมีรากเปนจํานวนจริงที่ตางกัน (Distinct Real Roots)

ภายใตขอสมมติที่วาสมการชวย (4.3.5) มีรากเปน 1 2m m และ ที่มีคาไมเทากัน ดังนั้นจึงได 1 2

1 2

m x m xy e y e และ เปนผลเฉลยของสมการ (4.3.4) และพบวาฟงกชันทั้ง

สองเปนอิสระตอกันบนชวง ( , ) ซึ่งอยูในรูปของเซตหลักมูล ดังนั้นจึงอาจกลาวไดวาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ(4.3.4) บนชวง ( , ) คือ

1 21 2

m x m xy c e c e ………….. (4.3.6)


กรณี 2 สมการชวยมีรากเปนจํานวนจริงที่ซ้ํากัน (Repeated Real Roots) ภายใตขอสมมติที่วาสมการชวย (4.3.5) มีรากเปน 1 2m m และ เทากัน( 1 2m m ) ก็

จะมีเพียงผลเฉลย 11

m xy e เนื่องจากสูตรการหาผลเฉลยของสมการกําลังสองซึ่งจะเปนไปได

เมื่อ 2 4 0b ac จึงไดคา 1 2

bm

a

และจากสูตร (4.2.4) จะไดผลเฉลยที่สองของสมการ

เชิงอนุพันธ คือ

1

1 1 1

1

2

2 2

m xm x m x m x

m x

ey e dx e dx xe

e ………….. (4.3.7)

และจาก(4.3.6) ถาเราให 12b

ma

ผลเฉลยทั่วไปของสมการจะเปน

1 11 2

m x m xy c e c xe ………….. (4.3.8)

กรณี 3 สมการชวยมีรากเปนจํานวนเชิงซอน (Conjugate Complex Roots)

ถา 1 2m m และ ซึ่งเปนรากของสมการชวย(4.3.5) เปนจํานวนเชิงซอนที่เขียนไดในรูป

1 2m i m i และ เมื่อ และ เปนคาจริงที่มากกวาศูนย และ 2 1i

ดังนั้นการเขียนผลเฉลยของสมการ (4.3.4) จึงไมตางจากกรณี 1 ซึ่งก็คือ

( ) ( )1 2

i x i xy c e c e

แตโดยปรกติแลวเรามักจะใชกับฟงกชันของจํานวนจริงมากกวาฟงกชันที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเชิงซอนเมื่อพิจารณาใหม โดยอาศัยสูตรของออยเลอร cos sinie i เมื่อ เปนจํานวนจริง ใด ๆ จะไดวา

cos sin cos sini x i xe x i x e x i และ ……….... (4.3.9)

ถาเลือกใช cos( ) cos( ) sin( ) sinx x x x และ จะพบวา2cos 2 sini x i x i x i xe e x e e i x และ

แตเนื่องจาก ( ) ( - )1 2

i x i xy c e c e เปนผลเฉลยของสมการ(4.3.4) สําหรับทุกคาคงตัว 1 2c cและ เมื่อเลือก 1 2 1c c และเลือก 1 21, 1c c จะไดผลเฉลย 1 2,y y ตามลําดับดังนี้

1( ) ( ) ( ) 2 cosxi x i x i x i x xy e e e e e e x

และ 2( ) ( ) ( ) 2 sini x i x x i x i x xy e e e e e ie x


จากบทแทรก 4.1.1(ก) แสดงวาผลเฉลยที่เปนคาจริง cosxe x และ sinxe x ซึ่งเปนฟงกชันที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันบนชวง ( , ) นั่นแสดงวาฟงกชันทั้งสองเปนผลเฉลยหลักมูล ของสมการ (4.3.4) จึงไดผลเฉลยทั่วไป คือ

1 2 1 2cos sin ( cos sin )x x xy c e x c e x e c x c x ..…... (4.3.10)

ตัวอยาง 4.3.1 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ a) 2 3 5 0y y y b) 6 9 0y y y c) 2 4 0y y y

วิธีทํา a) สมการชวยคือ 22 3 5 0m m หรือ (2 5)( 1) 0m m จะได 1 2

5 , 12

m m

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ 52

1 2

xxy c e c e Ans.

b) สมการชวยคือ 2 6 9 0m m หรือ ( 3)( 3) 0m m จะได 1 2 3m m ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ 3 3

1 2x xy c e c xe Ans.

c) สมการชวยคือ 2 2 4 0m m จะไดรากสมการ 1 21 3 , 1 3m i m i ซึ่งเปนจํานวนเชิงซอน

ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ 1 2( cos 3 sin 3 )xy e c x c x Ans.

ตัวอยาง 4.3.2 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน 4 4 17 0, (0) 1, (0) 2y y y y y

วิธีทํา สมการชวย คือ 24 4 17 0m m โดยใชสูตรของการหาคารากสมการกําลังสอง

จะไดรากสมการ 1 2

4 16 (4)(4)(17) 4 16 (4)(4)(17),

8 8m m

หรือ 1 2

4 (16)(16) 4 (16)(16),

8 8m m

นั่นคือได 11 12 , 2

22 2m i m i ดังนั้นจาก (4.3.10) จะไดผลเฉลยทั่วไป คือ

21 2( cos 2 sin 2 )

x

y e c x c x

และเมื่อใชเงื่อนไขเริ่มตน (0) 1y

จะได 01 2( cos0 sin 0) 1e c c จึงได 1 1c

เนื่องจากอนุพันธ 2 21 2 1 2

1 ( cos 2 sin 2 ) ( 2 sin 2 2 cos 2 )2

x x

y e c x c x e c x c x หรือ

2 21 2 1 2

1 1( 2 )cos 2 (2 )sin 22 2

x x

y e c c x e c c x


รูป 4.3.1 ผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนของตัวอยาง 4.3.1

1

1-1

-1

2

2

-2

-2

3

3

-3

-3-4

4

4

5

x

y

จากเงื่อนไขเริ่มตน (0) 2y ดังนั้น 1 21 2 2

2c c แต 1 1c

นั่นคือ 21 2 22

c หรือ 2

5

4c ดังนั้นผลเฉลยผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน คือ

2 5(cos 2 sin 2 )4

x

y e x x

Ans.

รูป 4.3.1 แสดงใหเห็นวาผลเฉลย มีการแกวงกวัด โดยเมื่อ 0y ขณะที่ x และเมื่อ | y | ขณะที่ x

กอนที่จะกลาวถึงรายละเอียดตอไป จะขอแนะนําสมการเชิงอนุพันธอันดับสองที่ควรรูจักและเปนสมการที่สําคัญในคณิตศาสตรประยุกต ซึ่งหมายถึงสมการที่เขียนในรูป 2 20 0y a y y a y และ เมื่อ a เปนจํานวนจริง สําหรับสมการ 2 0 y a y มีสมการชวยคือ 2 2 0m a ซึ่งมีรากของสมการเปนสวน จินตภาพของจํานวนเชิงซอน คือ 1 2m ai m ai และ เมื่อเทียบกับสมการ(4.3.10) นั่นก็คือ = 0 , = a ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธนี้คือ

1 2cos siny c ax c ax ……………….… (4.3.11)สําหรับสมการ 2 0y a y มีสมการชวยคือ 2 2 0m a ซึ่งมีรากสมการเปนคาจริงที่ตางกัน คือ 1 2m a m a และ เมื่อเทียบกับสมการ(4.3.6) จะไดผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธนี้คือ

1 2ax axy c e c e .………….. (4.3.12)

ขอสังเกต ถาเราเลือก 1 212c c และ 1 2

1 1, 2 2

c c แทนลงในสมการ(4.3.12) จะได

ผลเฉลยเฉพาะ 1 1( ) cosh ( ) sinh2 2

ax ax ax axy e e ax y e e ax และ เนื่องจาก

cosh ax และ sinh ax เปนอิสระเชิงเสนตอกันบนบางชวงของ x ซึ่งจะไดผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 0y a y อีกรูปหนึ่งคือ

1 2cosh sinhy c ax c ax .………….. (4.3.13)


สมการเชิงเสนอันดับสูงกวาหนึ่ง สําหรับของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุอันดับสูงกวาหนึ่งหรือที่เราเรียกสั้น ๆ

วาสมการเชิงเสนอันอันดับ n (4.3.1)จะมีสมการชวยอยูในสมการของพหุนามระดับขั้น n นั่นคือการหาผลเฉลยทั่วไปทําไดโดยเราตองแกสมการพหุนามระดับขั้น n

10 1 1 0n n

n na m a m a m a ………….... (4.3.14)

ซึ่งรากของสมการชวยนี้อาจมีความเปนไดถึง 4 กรณี คือ

กรณีที่ 1 ถารากสมการ (4.3.14) เปนคาจริงที่ตางกัน จะไดผลเฉลยของสมการ (4.3.1) คือ1 2

1 2nm xm x m x

ny c e c e c e ………….... (4.3.15)ซึ่งแสดงใหเห็นจริงไดโดยทฤษฎีบท 4.3.1

ทฤษฎีบท 4.3.1 ถา 1 2, , ... , nm m m เปนรากซึ่งเปนจํานวนจริงที่ตางกันทั้งหมดของสมการชวย 1

0 1 1 n nn na m a m a m a = 0 แลวผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) จะอยูใน

รูป 1 21 2

nm xm x m xny c e c e c e เมื่อ 1 2, , , nc c c เปนตัวคงคา

พิสูจน เราไดแสดงใหเห็นแลววา ถา 1 2, , ... , nm m m เปนรากของสมการชวย (4.3.14) แลวจะไดวา 1y = 1m xe , 2y = 2

m xe , , ny = nm xe เปนผลเฉลยของสมการ (4.3.14)

ฉะนั้นในที่นี้จะพิสูจนแตเพียงวา 1y , 2y , , ny เปนผลเฉลยที่อิสระตอกันในตัวเองเทานั้น ซึ่งพิสูจนไดโดยการแสดงวา ตัวกําหนดแบบรอนสเกียนของ 1y , 2y , , ny ไมเทากับศูนย โดยพิจารณาจาก

W( 1 2, , ... , ny y y ) =

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 21 2

1 1 11 2

...

...

...

...

n

n

n

n

m xm x m x

m xm x m xn

m xm x m xn

m xm x m xn n nn

e e e

m e m e m e

m e m e m e

m e m e m e

= 1 2

22 21 2

1 1 11 2

1 1 1

n

n

n n nn

m m m

mm m

m m m

1

nm xi

ie

= 2 1 3 1 1( )( ) ( )nm m m m m m 3 2 4 2 2( )( ) ( )nm m m m m m

1( )n nm m 1

nm xi

ie

เนื่องจาก 1

nm xi

ie

0 และ , 1,...,im i n ไมซ้ํากันเลย ฉะนั้น 1 2( , , ..., )nW y y y 0


แสดงวา 1 2, , ... , ny y y เปนผลเฉลยอิสระเชิงเสนตอกัน ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) คือ y = 1 2

1 2nm xm x m x

nc e c e c e เมื่อ 1 2, ,..., nc c c เปนคาคงตัว Ans.

ตัวอยาง 4.3.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 3 2( 4 4) 0D D D y

วิธีทำ สมการชวยของสมการเชิงอนุพันธของโจทย คือ 3 2 4 4m m m = 0

2 ( 1) 4( 1)m m m = 0

2( 1)( 4)m m = 0 ( 1)( 2)( 2)m m m = 0

ฉะนั้น 1 2 31 , 2 2m m m แ ล ะดังนั้น ผลเฉลยทั่วไป คือ 2 2

1 2 3x x xy c e c e c e Ans.

กรณีที่ 2 ถารากของสมการ(4.3.14) เปนจํานวนจริงที่ซ้ํากัน (Repeated Real Roots) เมื่อสมการชวยมีตัวประกอบ ( )rm a จะมีรากซ้ํากัน r ตัว แลวผลเฉลยที่อิสระเชิง

เสนตอกันจะมีรูปแบบเปน 1, , ,ax ax r axe xe x e

ทฤษฎีบท 4.3.2 ถา a เปนรากจริงที่ซ้ํากัน r ตัว ของสมการชวย ( )F m = 1

0 1 1 ... n nn na m a m a m a = 0 แลวผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

(4.3.1) ในสวนที่ m = a ซ้ํากัน r ตัว จะมีแบบเปน 1

1 2( )r axrc c x c x e ………… (4.3.16)

เมื่อ 1 2, , , rc c c เปนตัวคงคา

พิสูจน กรณีที่สมการชวยมีรากเปนคาจริง a ที่ซ้ํากัน r ตัว ดังนั้นจึงสามารถเขียนสมการ(4.3.1) อยูในรูป

1( ) ( )( ) 0rF D y F D D a y ………………. (1)เนื่องจากเราทราบแนนอนวา axe เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ (4.3.1) ดังนั้นโดยการลดอันดับจะสามารถหาผลเฉลยที่อิสระเชิงเสนที่เหลือได โดยการสมมติใหผลเฉลยที่เหลือเปน ( )axe v x

เมื่อ v เปนฟงกชันของตัวแปร x ดังนั้นจะได ( ) ( ) ( ) ( )ax ax ax ax ax axD a e v D e v a e v e Dv ae v ae v axe Dv

2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ax ax ax ax ax ax axD a e v D a e Dv D e Dv a e Dv e D v ae Dv ae Dv

2axe D v

( )r ax ax rD a e v e D v


ถา pv x และ p r แลวจะได 0rD v ดังนั้น 1p ax

py x e สอดคลองกับสมการ

1( ) 0rpD a y และ 1 1( )( ) 0r

pF D D a y สําหรับทุกคา p = 0,1,2,…, 1r ซึ่งแสดงวา 1, , ,ax ax r axe xe x e เปนผลเฉลยของสมการ (4.3.1) ที่สอดคลองกับราก a ที่ซ้ํากัน และเนื่องจาก 2 11, , , , rx x x เปนอิสระเชิงเสนตอกัน ดังนั้น 1, , ,ax ax r axe xe x e จึงเปนผลเฉลยที่อิสระเชิงเสนตอกัน และเปนอิสระเชิงเสนกับผลเฉลยที่ไดจากรากอื่น ๆ ของสมการชวยอีกดวย นั่นคือ สวนของผลเฉลยทั่วไปที่สอดคลองกับราก a ที่ซ้ํากัน สามารถเขียนไดเปน

11 2( )r ax

rc c x c x e เมื่อ 1 2, , , rc c c เปนตัวคงคา Ans.

ตัวอยาง 4.3.4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 5 3( 18 81 ) 0D D D y

วิธีทํา สมการชวยของสมการเชิงอนุพันธของโจทย คือ 5 318 81 0m m m หรือ

4 2( 18 81) 0m m m หรือ 2 2( 9) 0m m

ดังนั้น 0,3,3, 3, 3m

ผลเฉลยทั่วไปของโจทย คือ 3 31 2 3 4 5( ) ( )x xy c c c x e c c x e Ans.

กรณีที่ 3 สมการชวยมีรากเปนจํานวนเชิงซอนที่ไมซ้ํา (Distinct complex roots ) จากสมการ ( ) 0F m ถารากสมการนี้เปนจํานวนเชิงซอนแลว จะไดวา คาสังยุคของจํานวนเชิงซอนนั้นเปนรากของสมการนั้นดวย นั่นคือ ถา a bi เปนรากของสมการ

( ) 0F m แลว a bi จะเปนรากของ ( ) 0F m ดวย และสวนผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) ที่สอดคลองกับราก a bi จะเปนไปตามทฤษฎีบท 4.3.3

ทฤษฎีบท 4.3.3 ถาจํานวนเชิงซอน a bi เมื่อ , a b เปนจํานวนจริง และ 0b

เปนรากของสมการชวย ( )F m = 10 1 1

n nn na m a m a m a = 0

แลว ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) ที่สอดคลองกับรากเชิงซอนจะมีรูปแบบเปน 1 2sin cosaxe c bx c bx ………………….. (4.3.17)

เมื่อ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจง

พิสูจน ถา a bi เปนรากของสมการชวย ( )F m = 1

0 1 1 n nn na m a m a m a = 0

ดังนั้น สวนของผลเฉลยทั่วไปที่เกิดจากราก a bi จะเขียนไดเปน

a ib x a ib xAe Be


เมื่อ A และ B เปนคาคงตัว เราสามารถจัดผลเฉลยนี้ใหอยูในรูปแบบที่งายขึ้นได ดังนี้ a ib x a ib xAe Be = ax ibx ax ibxAe e Be e = ax ibx ibxe Ae Be โดยสูตรของออยเลอร (Euler’s Formula)

ie = cos sini และ ie = cos sini

จะได ax ibx ibxe Ae Be = cos sin cos sinaxe A bx i bx B bx i bx = cos sinaxe A B bx i A B bx

= 1 2sin cosaxe c bx c bx

เมื่อ 1c = i A B และ 2c = A B เปนตัวคงคาจากรูปแบบของผลเฉลยทั่วไปนี้ แสดงวาผลเฉลยอิสระเชิงเสนที่สอดคลองกับรากเชิงซอน

a bi คือ sinaxe bx และ cosaxe bx ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) ที่สอดคลองกับรากเชิงซอนจะมีแบบเปน 1 2sin cosaxe c bx c bx Ans.

ตัวอยาง 4.3.5 จงหาผลเฉลยของ 4 2( 5 36) 0D D y

วิธีทํา สมการชวยของโจทย คือ 4 25 36m m = 0 2 2( 9)( 4)m m = 0

m = 3, 2i และเมื่อให 1 2 3 4, ,c c c c และ เปนตัวคงคาดังนั้น ผลเฉลยของสมการคือ y = 3 3

1 2 3 4cos 2 sin 2x xc e c e c x c x Ans.

กรณีที่ 4 รากเปนจํานวนเชิงซอนที่ซ้ํากัน (Repeated complex roots) กรณีที่สมการชวยมีรากเปนจํานวนเชิงซอนที่ซ้ํากัน ผลเฉลยทั่วไปของสมการ

( ) 0F D y สามารถพิจารณาไดในทํานองเดียวกับกรณีที่มีรากเปนจํานวนจริงที่ซ้ํากัน เชนในกรณีที่สมการชวยมีรากเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค a bi ซ้ํากัน 2 ครั้ง จะไดผลเฉลยทั่วไปคือ ( ) ( )

1 2 3 4( ) ( )a bi x a bi xc c x e x ec c เมื่อ 1 2 3, , c c c และ 4c เปนตัวคงคา ซึ่งสามารถจัดผลเฉลยนี้ใหอยูในรูปแบบที่งายขึ้นได ดังนี้

( ) ( )1 2 3 4( ) ( )a bi x a bi xc c x e c c x e = 1 2 3 4( ) ( )ax bix bixe c c x e c c x e

= 1 2 3 4( )(cos sin ) ( )(cos sin )axe c c x bx i bx c c x bx i bx

= 1 2 3 4( )cos ( ) sinaxe A A x bx A A x i bx

เมื่อ 1 1 3 2 2 4 3 1 3 4 2 4 , , ( ) , ( )A c c A c c A c c i A c c i

จากรูปแบบผลเฉลยทั่วไปนี้ แสดงวาผลเฉลยที่ไดเปนอิสระเชิงเสนตอกันที่สอดคลองกับรากที่


เปนจํานวนเชิงซอนสังยุค a bi ซ้ํากัน 2 ครั้ง คือ cos , cos , sinax ax axe bx xe bx e bx และ cosaxxe bx

ในทํานองเดียวกัน กรณีทั่วไปถาสมการชวยมีรากเปนจํานวนเชิงซอน a bi ซ้ํากัน k

ครั้งแลว ผลเฉลยที่อิสระเชิงเสนตอกันของสมการ(4.3.1) ที่สอดคลองกับรากที่เปนจํานวนเชิงซอนสังยุคนี้จะมีรูปแบบเปน 2 1cos , cos , cos , ..., cosax ax ax k axe bx xe bx x e bx x e bx และ

2 1sin , sin , sin , ..., sinax ax ax k axe bx xe bx x e bx x e bx

ทฤษฎีบท 4.3.4 ถาจํานวนเชิงซอน a bi เปนรากที่ซ้ํากัน r ครั้งของสมการชวย 1

0 1 1( ) 0n nn nF m a m a m a m a

แลว สวนของผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4.3.1) ที่เกิดจากรากเชิงซอนที่ซ้ํานี้จะมีรูปแบบเปน

2 1 11 2 21 2 3 sin cosax r r

r r rre c c x c x c x bx c c x c x bx ……. (4.3.18)

เมื่อ 1 2 1 2, ,..., , ,...,r r rc c c c c เปนตัวคงคา

ตัวอยาง 4.3.6 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 4 3 28 26 40 25 0D D D D

วิธีทํา จะไดสมการชวยของโจทย คือ 4 3 28 26 40 25m m m m = 0

22 4 5m m = 0

m = 2 , 2i i

เมื่อ 1 2 3, , c c c และ 4c เปนตัวคงคา นั่นคือผลเฉลยทั่วไปคือ 2

1 2 3 4( ) cos ( )sinxy e c c x x c c x x Ans.

ตัวอยาง 4.3.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 4 3 24 14 20 25 0D D D D y

วิธีทํา สมการชวยของโจทย คือ 4 3 24 14 20 25m m m m = 0

22 2 5m m = 0

2 22 5 2 5m m m m = 0

m = 1 2 , 1 2i i

เมื่อ 1 2 3, , c c c และ 4c เปนตัวคงคา นั่นคือผลเฉลยทั่วไปคือ ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการคือ 1 2 3 4 ( ) cos 2 ( )sin 2xy e c c x x c c x x Ans.


อยางไรก็ตามลักษณะทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ อาจมีรากของสมการชวยเปนไดทั้งจํานวนจริงและจํานวนเชิงซอน ทั้งอาจมีรากที่ซ้ําหรือไมซ้ําก็ได ในการหาผลเฉลยของสมการยังตองอาศัยหลักการเดิม แตมีขอนาสังเกตอยางหนึ่งคือจํานวนตัวคงคา จะเทากับจํานวนราก หรือคาระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธนั้น ๆ


1. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้

1.1 4 5 0y y y 1.2 24 25 0D y

1.3 4 0y y 1.4 2 5 2 0y y y

1.5 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 0I t I t I t 1.6 3 2 2 5 6 0D D D y

1.7 3 2 5 2 8 0D D D y 1.8 4 3 23 2 2 12 0D D D D y

1.9 4 1 0D y 1.10 2 4 4 0D D y

1.11 6 4 29 4 36 0D D D y 1.12 4 24 0D D y

1.13 3 2 2 0D D y 1.14 4 3 22 0D D D y

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนตอไปนี้2.1 0y y , (0) 2y , (0) 3y

2.2 2 3 2 0D D y , (0) 1y , (0) 0y

2.3 3 16 0D D y , (0) 0y , (0) 0y , (0) 16y

2.4 2 2 1 0D D y , (0) 1y , (0) 2y

2.5 3 2 0D D y , (0) 1y , (0) (0) 0y y

2.6 2

216 64

d s dss

dt dt , 0s , 4

ds

dt เมื่อ 0t

2.7 2 1 0D y , (0) 4y , (0) 0 y

2.8 ( ) 16 ( )u t u t , (0) (0) 4u u

2.9 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 0I t I t I t , (0) 2I , (0) 0I

3. จงหาผลเฉลยของปญหาคาขอบตอไปนี้ 3.1 10 25 0, (0) 1, (1) 0y y y y y

3.2 4 0, (0) 0, ( ) 0y y y y


3.3 0, (0) 0, ( ) 22

y y y y

3.4 - 2 2 0, (0) 1, ( ) 1y y y y y

3.5 0, (0) 1, (1) 0y y y y

4.4 วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (Method of Undetermined Coefficients)

วิธีเทียบสัมประสิทธิ์เปนวิธีหนึ่งในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ หัวขอนี้จะกลาวถึงการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุซึ่งมีรูปทั่วไปคือ

( ) ( 1)0 1 1 ( )n n

n na y a y a y a y f x ……………….. (4.4.1)

โดยที ่ ( )f x เปนฟงกชันของ x ที่มีความตอเนื่องบนชวง I เมื่อ 0 1 2 1, , , , na a a a และ na เปนคาคงตัว ที่ 0 0 a และ ( ) 0 f x

ในการหาผลเฉลยสมการ(4.4.1) จะตองหาถึงสองสวน คือ (i) หาฟงกชันเติมเต็ม cy และ (ii) หาผลเฉลยเฉพาะ py ของสมการไมเอกพันธุ(4.4.1) แลวจึงจะไดผลเฉลยทั่วไปของสมการเปน c py y y ดังที่ไดเคยสรุปไวในหัวขอ4.1 การหาผลเฉลยโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ มีหลักการในสองแนวทางใหญ ๆ คือ แนวทางการซอนทับ (superposition approach) กับแนวทางการลบลาง (annihilator approach) จากหัวขอ 4.3 เราทราบวา ฟงกชันเติมเต็มเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเอกพันธุ ( ) ( 1)

0 1 1 0n nn na y a y a y a y สําหรับในหัวขอนี้ เราจะเนนเฉพาะวิธีการ

หาผลเฉลยเฉพาะของสมการ (4.4.1)

4.4.1 วิธีเทียบสัมประสิทธิ์-แนวทางการซอนทับ (Method of Undetermined Coefficients -Superposition Approach)วิธีเทียบสัมประสิทธิ์นี้ เปนวิธีที่ใชไดกับสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัวเทานั้น

และ ( )f x ตองมีรูปฟงกชันแบบเดียวกับฟงกชันที่อยูในผลเฉลยเฉพาะ py ที่สามารถคาดเดาผลเฉลยได ฟงกชันเหลานี้ไดแก ฟงกชันพหุนาม (polynomial function) ฟงกชันเลขชี้กําลัง (exponential function) ฟงกชันไซน (sine function) ฟงกชันโคไซน (cosine function) หรือผลคูณของฟงกชันที่กลาวมานี้ ขั้นตอนการหาผลเฉลยเฉพาะ py ประกอบดวยสองขั้นตอน คือ

ขั้นที่ 1 หาฟงกชันเติมเต็ม cy หรือหาผลเฉลยของสมการเชิงเสนที่เปนเอกพันธุ ที่สอดคลองกัน

170 บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดบั n

ขั้นที่ 2 หาผลเฉลย py โดยทําการคาดเดาพจนตางๆ ของ py จากนิพจนทางขวามือของสมการ ( )f x ทั้งนี้อาศัยสมบัติที่วา หากนําตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ ( )F D ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เปนตัวคงคาไปกระทํากับฟงกชันที่คาดเดาหรือสมมติวาเปน py ที่เปนไปไดขึ้นมา พจนตางๆใน

py จะมีสัมประสิทธิ์ เปนตัวคงคาที่ยังไมรูคา จากนั้นนํา py ที่คาดเดาหรือสมมติขึ้นมานี้ไปแทนลงในสมการที่กําหนดให เพื่อเทียบหาสัมประสิทธิ์ของแตละพจนใน py

โดยทั่วไปแลวการสมมติ py ซึ่งเปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุ ตามที่กําหนดนั้น จะพิจารณาวา py ควรประกอบดวยพจนตางๆ ใน ( )f x รวมกับอนุพันธทุกอันดับของพจนเหลานั้นที่แตกตางกันจนสิ้นสุด

เพื่อความสะดวกในการศึกษาวิธีนี้หาผลเฉลยในวิธีนี้ จึงขอแยกการสมมติ py ออกเปน 2 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1 เมื่อพจนใน ( )f x ไมเหมือนกับพจนใดๆ ของผลเฉลยเติมเต็ม ( cy ) ของสมการใหสมมติ 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )p n ny A r x A r x A r x A r x

เมื่อ 1 2 3( ), ( ), ( ), , ( ) nr x r x r x r x เปนพจนที่มาจาก ( )f x และมาจากอนุพันธทุกอันดับที่เปนไปไดของ ( )f x

ตัวอยางการสมมติ py ที่พจนใน f(x) ไมเหมือนกับพจนในผลเฉลยเติมเต็ม

รูปแบบของ f (x) การสมมติ y p

1 (หรือตัวคงคาใด ๆ) Aaxe axAe

5 23 4 8x x 5 4 3 2 Ax Bx Cx Ex Fx G

sin , cosbx bx sin cosA bx B bx3 axx e 3 2 axAx Bx Cx E e

sin , cosx bx x bx sin cos sin cosAx bx Bx bx C bx E bx 2 2sin , cosx bx x bx

2 2sin cos sin cos sin cosAx bx Bx bx Cx bx Ex bx

F bx G bx

sin , cosax axe bx e bx sin cosax axAe bx Be bx

ขอสังเกต ถา ( ) tan f x x หรือ ln x เราจะหาอนุพันธไดพจนตาง ๆ กันไมสิ้นสุด ในกรณีเชนนี้จะใชวิธีเทียบสัมประสิทธิ์หาคําตอบเฉพาะไมไดเลย


ตัวอยาง 4.4.1 จงหาผลเฉลยของสมการ 2( 4 5) 3sin 2 5 4D D y x x

วิธีทํา (1) หา cy จากสมการชวย ซึ่งจะไดสมการชวยคือ 2 4 5 0m m = 0 หรือ 5 1 0m m

m = 5 , 1

5 1 2 x x

cy c e c e

ซึ่งทุก ๆ พจนใน cy ไมเหมือนกับพจนในขางขวามือของสมการ ในโจทย (2) หา py โดยสมมติ sin 2 cos 2 py A x B x Cx E ดังนั้น 2 cos 2 2 sin 2 pDy A x B x C และ 2 4 sin 2 4 cos 2pD y A x B x

แทนคา 2, , p p py Dy D y ลงในขางซายมือของสมการโจทยจะได LS = 2 4 5 pD D y

= 4 sin 2 4 cos 2 4 2 cos2 2 sin 2A x B x A x B x C

–5 sin 2 cos 2A x B x Cx E

9 8 sin 2 8 9 cos 2 5 (4 5 ) A B x A B x Cx C E

ดังนั้นจึงไดวา 9A 8B sin2x 8 9 cos2 – 5 (4 5 ) 3sin 2 5 4A B x Cx C E x x

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ 9 8 3A B ………… (1) 8 9 0A B ………… (2)

–5 5C ………… (3) 4 5 4C E ………… (4)

จากการแกสมการได 27 24 8, , 1,

145 145 5A B C E

ผลเฉลยของสมการ คือ c py y y

51 2

27 24 8 sin 2 cos 2

145 145 5x xc e c e x x x Ans.

ตัวอยาง 4.4.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2( 2 ) sinxD D y e x

วิธีทํา (1) หา cy จากสมการชวย ซึ่งจะไดสมการชวยคือ 2 2 0 m m

ไดคา 0,2 m ดังนั้น ผลเฉลยเติมเต็ม คือ 21 2 x

cy c c e

ซึ่งทุก ๆ พจนใน cy ไมเหมือนกับพจนในขางขวามือของสมการ ในโจทย (2) หา py โดยสมมติ sin cosx x

py Ae x Be x

ดังนั้น sin cos cos – sinx x x xpDy Ae x Ae x Be x Be x

sin cosx xA B e x A B e x


2 sin cosx xpD y A B e x A B e x

cos sinx xA B e x A B e x

2 sin 2 cosx xBe x Ae x แทนคา 2, p pDy D y ลงในขางซายมือของสมการโจทยจะได

2 – 2 pLS D D y

2 sin 2 cos – 2 sin – 2 cosx x x xBe x Ae x A B e x A B e x

– 2 sin – 2 cosx xAe x Be xดังนั้นจะไดวา –2 sin – 2 cos sinx x xAe x Be x e x

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได 2 1 A และ 2 0 B ดังนั้น 1, 0

2A B

นั่นคือ 1sin

2x

py e x

ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธในโจทย คือ2

1 2

1 sin

2x x

py c c e e x Ans.

กรณีที่ 2 เมื่อมีบางพจนใน ( )f x เหมือนกับบางพจนในผลเฉลยเติมเต็ม ( cy )สมมติวาในผลเฉลยเติมเต็ม cy มีพจน ( )u x ซึ่งไดมาจากรากที่ซ้ํากัน r ครั้ง

จะไดขอสรุปดังนี้(1) ถา ( )u x อยูใน ( )f x แลวใหสมมติ py ดังนี้ yp = xr u(x) + พจนที่ไดจากการหาอนุพันธ(2) ถา xqu(x) อยูใน ( )f x แลวใหสมมติ py ดังนี้

q rpy x u x พจนที่ไดจากการหาอนุพันธ

เพื่อความเขาใจลองศึกษาจากตัวอยางดังตอไปนี้

ตัวอยาง 4.4.3 จงหาผลเฉลยของสมการ 3 2 22 2 xD D D y e x วิธีทํา (1) หา cy จากสมการชวย 3 2 2 2 0m m m หรือ

( 1)( 1)( 2) 0m m m ได 1, 1, 2m

ดังนั้น 21 2 3

x x xcy c e c e c e

(2) หา py โดยสมมติ เนื่องจาก xe อยูในผลเฉลยเติมเต็มและ ( )f x ดังนั้นแตละพจนที่อยูใน py จึงควรเปน 2, , , x xxe e x x และ 1

สมมติ 2 x xpy Ax Bx C Exe Fe

จะไดวา 2 ( )x xpDy Ax B Exe E F e


2 2 (2 )x xpD y A Exe E F e

3 (3 )x xpD y Exe E F e

แทนคา 2, p pDy D y และ 3pD y ลงในขางซายมือของสมการโจทยจะได

3 2 ( 2 2) pLS D D D y

= (3 ) 2(2 (2 ) )x x x xExe E F e A Exe E F e

2(2 ( ) ) 2( )x x x xAx B Exe E F e Ax Bx C Exe Fe = 22 2( ) (4 2 ) 6 xAx A B x A B C Ee ดังนั้น 22 2( ) (4 2 ) 6 xAx A B x A B C Ee = 2xe x

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ จะไดวา 2A = 1 ………………… (1)

2( )A B = 0 ………………… (2) 4 2A B C = 0 ....……………… (3)

6E = 1 ...…………….… (4)

จากการแกสมการจะได A = 1

,2

B = 1

,2

C = 5

4 , E =

1

6

ดังนั้น 21 1 5 1

2 2 4 6x x

py x x xe Fe

เนื่องจาก c py y y

2 21 2 3

1 1 5 1

2 2 4 6x x x x xc e c e c e x x xe Fe

2 21 2 3

1 1 5 1

2 2 4 6x x x xc F e c e c e x x xe

2 24 2 3

1 1 5 1

2 2 4 6x x x xc e c e c e x x xe Ans.

จะสังเกตเห็นวาการสมมติพจน xFe ใน py จึงไมจําเปน เนื่องจากมีในผลเฉลยเติมเต็มอยูแลว

ตัวอยาง 4.4.4 จงหาผลเฉลยของสมการ 3 2 2( 4 ) sinD D y x x วิธีทํา (1) หา cy จากสมการชวย 3 24 0m m หรือ

2 ( 4) 0m m จะได m = 0,0,4

ดังนั้น 0 4 41 2 3 1 2 3( ) x x x

cy c c x e c e c c x c e

(2) หา py เนื่องจาก ( )f x มีพจน 2x หรือ 2 0 xx e โดยที่ 0 xe มีอยูใน cy

ซึ่งไดมาจากรากของสมการชวยที่ซ้ํากัน 2 ครั้งดังนั้นสมมติ 4 3 2 sin cospy Ax Bx Cx E x F x


3 24 3 2 cos sinpDy Ax Bx Cx E x F x

2 212 6 2 sin cospD y Ax Bx C E x F x 3 24 6 cos sinpD y Ax B E x F x

แทนคา 2pD y , 3

pD y ลงในโจทยจะไดLS = 3 24 pD D y

= 2(24 6 cos sin ) 4(12 6 2 sin - cos )Ax B E x F x Ax Bx C E x F x

= 248 (24 24 ) (6 8 ) ( 4 )sin ( 4 )cosAx A B x B C F E x E F x

ดังนั้นจะได2 248 (24 24 ) (6 8 ) ( 4 )sin ( 4 ) cos sinAx A B x B C F E x E F x x x

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได 48A = 1 …………………. (1) 24 24A B = 0 …………………. (2) 6 8B C = 0 …………………. (3) 4F E = 1 …………………. (4) 4F E = 0 …………………. (5)

จากการแกสมการจะได

1

48A ,

1

48B ,

1

64C ,

4

17E ,

1

17F

เนื่องจาก c py y y ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ

4 4 3 21 2 3

1 1 1 4 1 sin cos

48 48 64 17 17xy c c x c e x x x x x Ans.

ตัวอยาง 4.4.5 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน 4 10sin , ( ) 0, ( ) 2y y x x y y

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 2 1 0m ไดคา m i ดังนั้น 1 2cos sincy c x c x เนื่องจาก ( ) 4 10sinf x x x เปนการรวมเชิงเสนของพหุนามกับฟงกชันไซน ดังนั้นสมมติ cos sinpy Ax B Cx x Ex x จะได

cos sin sin cospy A C x E x Cx x Ex x และ sin cos ( sin cos ) ( cos sin )py C x E x C x Cx x E x Ex x

2 sin 2 cos cos sinC x E x Cx x Ex x

แทนคา py , py ลงในขางซายมือของโจทยจะได LS p py y

(-2 sin 2 cos cos sin ) ( cos sin )C x E x Cx x Ex x Ax B Cx x Ex x


2 sin 2 cosAx B C x E x ดังนั้นจะได 2 sin 2 cos 4 10sinAx B C x E x x x

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได 4, 0, 2 10 A B C และ 2 0E จากการแกสมการจะไดคา 4, 0, 5A B C และ E = 0 เนื่องจาก c py y y ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ 1 2cos sin 4 5 cosy c x c x x x x

ดังนั้น 1 2sin cos 4 5cos 5 siny c x c x x x x จากเงื่อนไขเริ่มตน ( ) 0y ได 1 2( ) cos sin 4 5 cos 0y c c หรือ

1 9 0c ดังนั้น 1 9c เนื่องจาก cos 1 sin 0 และ และจาก ( ) 2y ได 1 2( ) sin cos 4 5cos 5 sin 2y c c

หรือ 2 4 5 2c ดังนั้น 2 7c

ฉะนั้น ผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน คือ 9 cos 7sin 4 5 cosy x x x x x Ans.

4.4.2 วิธีเทียบสัมประสิทธิ์-แนวทางการลบลาง (Method of Undetermined Coefficients - Annihilator Approach)

ในหัวขอ 4.1 เราไดเขียนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n เปน

10 1 1 ( )n n

n na D y a D y a Dy a y f x ………… (4.4.2)

โดยที่ 1

11

, , ,n n

n nn n

d y d y dyD y D y Dy

dx dx dx

และเขียนสมการ(4.4.2) อยูในรูป

( )Ly f x เมื่อ L แทนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ n หรือ ตัวดําเนินการพหุนาม1

0 1 1n n

n nL a D a D a D a ………….. (4.4.3)

กอนที่จะศึกษารายละเอียดตอไป ลองพิจารณาขอยกเวนบางประการในการหา py โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จากหัวขอ 4.4.1 สมมติวาเราตองการหา py ของสมการ

35 6 xy y y e ………….. (4.4.4)เราก็จะเริ่มดวยการให 3xy Ae แลวแทนลงในสมการ(4.4.4) จะได

3 3 3 39 5( 3 ) 6( )x x x xAe Ae Ae e จะกลายเปนวา 30 xe ซึ่งขัดแยงกับความเปนจริง แตเมื่อพิจารณาใหดีจะเห็นวา 3xy Ae สอดคลองกับฟงกชันเติมเต็มของสมการ(4.4.4) ทําใหวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ที่ใชกอนหนานี้ไมไดผลในกรณีเชนนี้ ทางแกไขทางหนึ่งคือใชการแปรตัวพารามิเตอร แตในที่นี้เราจะยังคงใชวิธีเทียบสัมประสิทธิ์โดยจะตองมีการเปลี่ยนแปลงอะไรบางอยาง แตกอนอื่นเราจะตองรูจักตัวดําเนินการเชิงอนุพันธเชิงเสน ซึ่งใชลบลาง (annihilate) พจนไมเอกพันธุเสียกอน


ตัวดําเนินการเชิงตัวประกอบ (Factoring Operators)เมื่อให 0 1, , , na a a เปนคาคงตัว เราจะแยกตัวประกอบของตัวดําเนินการเชิงอนุพันธเชิง

เสนใน (4.4.2) ไดถาเมื่อใดก็ตามพหุนามลักษณะเฉพาะ 10 1 1

n nn na m a m a m a มี

ตัวประกอบหรือกลาวอีกนัยหนึ่งวา ถา 1r เปนรากของสมการชวย 10 1

n na m a m

1 0n na m a แลว 1 L D r P D เมื่อ P(D) เปนพหุนาม ระดับขั้น 1n ตัวอยางเชน ถาเราใช D เปนปริมาณเชิงพีชคณิต แลวเราสามารถแยกตัวประกอบของตัวดําเนินการ 2 5 6 D D ไดเปน 2 3 D D หรือ 3 2D D ดังนั้น ถา

y g x จะมีอนุพันธอันดับสองอยูในรูป

นั่นคือ สมบัติโดยทั่วไปของดําเนินการเชิงอนุพันธเชิงเสน L ที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว คือสามารถแยกตัวประกอบได และตัวประกอบสลับที่กันไดสมการเชิงอนุพันธ 6 9 0y y ซึ่งเขียนไดเปน

2 6 9 0D D y หรือ 3 3 0 D D y หรือ 23 0D y

ตัวดําเนินการลบลาง (Annihilator Operator) ถา L เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว และ ( )f x เปนฟงกชันที่หาอนุพันธได โดยที่ ( ) 0L f x แลวเราจะกลาววา L เปนตัวลบลาง (Annihilator) ของฟงกชัน ตัวอยางเชน ฟงกชันคงตัว y a จะถูกลบลางดวย D เนื่องจาก 0 Da ฟงกชัน y x ลบลางดวย 2D เนื่องจาก 2 0D x เนื่องจากอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองของ x คือ 1 และ 0 ตามลําดับ ในทํานองเดียวกัน 3 2 0D x จึงอาจสรุปไดวา

(4.4.5)

ตัวอยางเชน 3D เปนตัวลบลางของพหุนาม 23 5 2x x เนื่องจาก 3 2(3 5 2) 0D x x 6D เปนตัวลบลางของพหุนาม 5 33 7 4 1x x x เนื่องจาก 6 5 3(3 7 4 1) 0D x x x

เราจะเห็นวาสมการเชิงอนุพันธเอกพันธุ ( ) 0nD y มีสมการชวยเปน ( ) 0nm จะได เปนรากของสมการที่เปนคาซ้ํากันถึง n ราก จึงสรุปไดวา

ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ nD จะเปนตัวลบลางของฟงกชันพหุนามแตละฟงกชัน 2 11, , , , nx x x และ การรวมเชิงเสน 2 1

0 1 2 1n

nc c x c x c x ดวย

(D2+5D+6)y = (D+2)(D+3)y = (D+3)(D+2)y

แยกตัวประกอบได สลับที่กันได


ตัวอยางเชน 2( 2)D เปนตัวลบลางของ 2 20 1

x xc e c xe เนื่องจาก 2 2 2

0 1( 2) ( ) 0x xD c e c xe และ 5( 2)D เปนตัวลบลางของ 2 4 23 x xe x e เนื่องจาก 5 2 4 2( 2) (3 ) 0x xD e x e

สําหรับคาจริง และ โดยที่ > 0 สมการชวยที่อยูในรูป 2 2 22 ( ) 0

nm m จะมีรากสมการเปนจํานวนเชิงซอน ,i i ซึ่งตาง

ก็มีรากซ้ํา n ราก จึงสรุปไดวา

(4.4.7)

ตัวอยาง 4.4.6 จงหาตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางฟงกชันที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้(a) 2 52 5 7x x (b) 2 3xex (c) 2 22 5x xe xe

วิธีทํา (a) จาก (4.4.5) เราทราบไดวา 6 5 0D x ดังนั้นจึงได 6 2 5(2 5 7 ) 0D x x

(b) จาก (4.4.6) เราจะได 3 3n และ ดังนั้น 3 2 3( 3) ( ) 0xD x e

(c) จาก (4.4.5) และ (4.4.6) เราจะได 2 2n และ ดังนั้น 2 2 2( 2) (2 5 ) 0x xD e xe Ans.

ตัวอยาง 4.4.7 จงหาตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางฟงกชัน 2 cos5 sin 5x xxe x e x

วิธีทํา เนื่องจากฟงกชันที่กําหนดใหมีสองพจนซึ่งแตละพจนมีคา และ ตางกัน และอาศัยขอสรุป (4.4.7) จึงให 1, 5, 2n จะได 2 2( 2 26) (2 cos5 cos5 ) 0x xD D xe x e x ดังนั้น 2 2 2 2( 2 26) ( 4 29)(2 cos5 sin 5 ) 0x xD D D D xe x e x Ans.

ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ ( )nD จะเปนตัวลบลางของฟงกชันเลขชี้กําลัง แตละฟงกชัน 2 1, , , ,x x x n xe xe x e x e และการรวมเชิงเสน

2 10 1 2 1

x x x n xnc e c xe c x e c x e ดวย

ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ 2 2 22 ( )n

D D จะเปนตัวลบลางของ แตละฟงกชัน 2 1cos , cos , cos , ..., cosx x x n xe x xe x x e x x e x

และ 2 1sin , sin , sin , ..., sinx x x n xe x xe x x e x x e x

รวมถึง การรวมเชิงเสนของ ฟงกชันเหลานี้ดวย

(4.4.6)


ศูนย ศูนย

ในกรณีเฉพาะของขอสรุป (4.4.7) เมื่อ 0, 1n จะไดวา2 2( ) cos 0D x และ 2 2( )sin 0D x …………... (4.4.8)

ตัวอยางเชน 2 9D เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางการรวมเชิงเสนของ cos3x และ

sin 3x

ตอไปเราลองพิจารณาการลบลางในกรณีที่ฟงกชัน ( )f x เปนผลบวกของฟงกชันตั้งแตสองชนิดขึ้นไป จากตัวอยาง 4.4.6 และ 4.4.7 เมื่อ L เปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่มีสมบัติ

1 2( ) 0 ( ) 0L y L y และ จึงถือไดวา L จะลบลางการรวมเชิงเสน 1 1 2 2( ) ( )c y x c y x ที่สรุปไดโดยอาศัยเหตุผลตามทฤษฎีบท 4.1.2 ถาสมมติวา 1L และ 2L เปนตัวเนินการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว โดยที่ 1L ลบลางฟงกชัน 1( )y x และ 2L ลบลางฟงกชัน

2 ( )y x แต 1 2 2 1( ) 0 ( ) 0L y L y และ ดังนั้นผลคูณของตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ 1 2L L จะลบลางผลบวก 1 1 2 2( ) ( )c y x c y x ซึ่งสามารถแสดงเหตุผลไดโดยอาศัยนัยเชิงเสนและความจริงที่วา 1 2 2 1L L L L ไดดังนี้

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )L L y y L L y L L y

2 1 1 1 2 2( ) ( )L L y L L y

2 1 1 1 2 2[ ( )] [ ( )]L L y L L y

ตัวอยางจากขอสรุป (4.4.7) เชน 2 4 D ลบลาง cos 2x และ (4.4.5) 2D ลบลาง 2 – 5 x ดังนั้น ผลคูณของตัวดําเนินการ 2 2( 4)D D จะลบลางการรวมเชิงเสน 2 – 5 3cos 2x x

ขอสังเกต ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางฟงกชันหนึ่งไดไมจําเปนตองอยางเดียว ในขอยอย (b) ของตัวอยาง 4.4.6 ซึ่งเราจะเห็นวา 3 D จะลบลาง 3xe ได แตควรจะเปนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่มีอันดับสูงกวา เชนอาจจะตองมี D+3 เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของตัวดําเนินการ ตัวอยางเชน 2 3( 3)( 1), ( 3) ( 3)D D D D D และ ตางก็เปนตัวลบลางของ

3xe เปนตน ซึ่งโดยหลักการแลว เมื่อเราพบตัวลบลางเชิงอนุพันธของฟงกชัน ( )y f x

แลว เราตองการเฉพาะตัวดําเนินการที่มีอันดับต่ําสุดที่เปนไปไดสําหรับกรณีนี้เทานั้น

ตัวอยาง 4.4.8 จงหาตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางฟงกชัน 22 cos5 sin 5x xxe x e x

วิธีทํา เนื่องจากฟงกชันที่กําหนดใหมีสองพจนซึ่งแตละพจนมีคา และ ตางกัน และอาศัยขอสรุป (4.4.7) จึงให 1, 5, 2n จะได 2 2( 2 26) (2 cos5 ) 0xD D xe x

และให 2, 5, 1n จะได 2 2( 4 29)( sin 5 ) 0xD D e x


ดังนั้น 2 2 2 2( 2 26) ( 4 29)(2 cos5 sin 5 ) 0x xD D D D xe x e x

นั่นคือตัวดําเนินการลบลางฟงกชันที่กําหนดคือ 2 2 2( 2 26) ( 4 29)D D D D Ans.

การเทียบสัมประสิทธิ์ (Undetermined Coefficients) วิธีการนี้ทําใหเราพบขอสรุปไดวา ถา ( ) Ly f x เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว และให f(x) ประกอบ

ดวยผลบวกและผลคูณจํากัด ของฟงกชันที่มีลักษณะดัง (4.4.5),(4.4.6) และ (4.4.7) นั่นคือ f(x)

เปนการรวมเชิงเสนของฟงกชันที่อยูในรูป k (คาคงตัว), , , cosm m x m xx x e x e x และsinm xx e x เมื่อ m เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนลบ และ เปนจํานวนจริง และถาเรา

ทราบวา มีตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่มีอันดับต่ําสุด L1 เปนตัวลบลาง f(x) ได ซึ่ง 1L อาจประกอบดวยผลคูณของ ตัวดําเนินการ , ( )n nD D และ 2 2 22 ( )D D เมื่อนํา

1L เขาดําเนินการกับทั้งสองขางของสมการตนแบบ ( ) Ly f x จะได 1 1 ( ) 0L Ly L f x ซึ่งแสดงใหเห็นวาทุกผลเฉลยของสมการ ( ) Ly f x ตองเปนผลเฉลยของสมการเอกพันธุ 1 0L Ly ดังนั้นผลเฉลยเฉพาะ ( )py ของ ( ) Ly f x สามารถหาไดจากการกําหนดคาของคาคงตัวในผลเฉลยทั่วไปของสมการ 1 0L Ly ซึ่งตองอาศัยวิธีการหาผลเฉลยโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของพจนที่เทากันเขาชวย ซึ่งเราจะเรียกการหาผลเฉลยเฉพาะ ( )py ที่ตองใชตัวดําเนินการลบลางและการเทียบสัมประสิทธิ์นี้วา วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ - แนวทางลบลาง ซึ่งจะแสดงใหเห็นขั้นตอนในตัวอยางตอไป

กอนที่จะดําเนินตามขั้นตอน ขอยอนกลาวถึงผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุ ( ) Ly f x ซึ่งก็คือ c py y y เมื่อ cy เปนฟงกชันเติมเต็ม ที่เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุที่สัมพันธกับ 0Ly ผลเฉลยทั่วไปของสมการ ( ) Ly f x สามารถนิยามไดบนชวง (-,)

ตัวอยาง 4.4.9 จงหาผลเฉลยของสมการ 23 2 5y y y x วิธีทํา หาผลเฉลยของสมการเอกพันธุ 3 2 0y y y จากสมการชวย

2 3 2 0m m หรือ ( 1)( 2) 0m m จะได 1 21, 2m m

ดังนั้นฟงกชันเติมเต็ม คือ 21 2

x xcy c e c e เมื่อพิจารณาหาตัวดําเนินการลบลางฟงกชัน x25

จะได 3D ซึ่งเราจะไดวา 3 2 3 2( 3 2) (5 )D D D y D x นั่นคือจะได 3 2( 3 2) 0D D D y ……………. (1)เปนสมการเชิงอนุพันธเอกพันธุ และมีสมการชวย คือ

3 2( 3 2) 0m m m (ใชวิธีของการหาผลเฉลยโดยอาศัยสมการชวย) ไดรากสมการ คือ

1 2 3 4 50, 1, 2m m m m m ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุ (1) คือ


21 2 3y c c x c x x 2x

4 5c e + c e ……………… (2)พจนที่เขียนเปนตัวหนาใน (2) เปนฟงกชันเติมเต็ม ( )cy ของโจทย ดังนั้นจึงหาผลเฉลยเฉพาะ ( )py ของโจทย ซึ่งสอดคลองกับ (2) ซึ่งหมายถึงพจนที่เหลือของ (2) จะมีรูปพื้นฐานเปน

2y A Bx Cxp ……………… (3)เพื่อความสะดวก จึงแทน 1 2,c c และ 3c ดวย A,B และ C ตามลําดับ และเนื่องจาก (3) เปนผลเฉลยเฉพาะของโจทย จึงจําเปนตองระบุคาสัมประสิทธิ์ A,B และ C โดยอาศัยอนุพันธของ(3) ซึ่งได 2 , 2p py B Cx y C เมื่อนําไปแทนลงในโจทย จะได 2 23 2 2 3( 2 ) 2( ) 5y y y C B Cx A Bx Cx xp p p

หรือ 2 22 (2 6 ) (2 3 2 ) 5Cx B C x A B C x โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได

2 5, 2 6 0C B C และ 2 3 2 0A B C

และแกสมการจะได 35 15 5, ,4 2 2

A B C ดังนั้น 235 15 54 2 2

y x xp

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของโจทยคือ 2 21 2

35 15 5+ + x +4 2 2

x xy c e c e x Ans.

ตัวอยาง 4.4.10 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 33 2 3sinxy y e x

วิธีทํา หาผลเฉลยของสมการเอกพันธุ 3 0y y จากสมการชวย 2 3 0m m หรือ ( 3) 0m m ได 1 20, 3m m ดังนั้นฟงกชันเติมเต็มของโจทยคือ 3

1 2xy c c ec

เมื่อพิจารณาหาตัวดําเนินการลบลางฟงกชัน 32 xe และ 3sin x จะได 3D และ 2 1D ตามลําดับ เมื่อนําตัวดําเนินการเขาทั้งสองขางของสมการในโจทย จะไดวา

2 2 2 3( 3)( 1)( 3 ) ( 3)( 1)(2 3sin )xD D D D y D D e x หรือ 2 2( 3)( 1)( 3 ) 0D D D D y …………….. (1)สมการชวยของ (1) คือ 2 2( 3)( 1)( 3 ) 0m m m m y หรือ 2 2( 3) ( 1) 0m m m

ดังนั้น 3 31 2 3 4 5cos sinx xy c c e c xe c x c x …………….. (2)

จะเห็นวาพจนในชองระบายสีสอดคลองกับ cy ดังนั้นสมมติให py อยูในรูปของพจนที่เหลือ3 cos sinx

py Axe B x C x แทน py และอนุพันธของ py ลงขางซายมือของสมการในโจทยพรอมจัดสมการใหอยูในรูปอยางงายจะได

3 3 3 33 (9 6 cos sin ) 3(3 sin cos )x x x xy y Axe Ae B x C x Axe Ae B x C x

3 33 ( 3 )cos (3 )sin 2 3sinx xAe B C x B C x e x หรือ 3 33 ( 3 ) cos (3 )sin 2 3sinx xAe B C x B C x e x โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได

3 2, 3 0 A B C และ 3 3B C


และแกสมการจะได 9 32 , ,3 10 10

A B C ดังนั้น 3 9 32 cos sin3 10 10xy xe x xp

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของโจทยคือ 31 2

3 cos in9 32 s3 10 10

x xxe x xy c c e Ans.

ตัวอยาง 4.4.11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ cos cosy y x x x

วิธีทํา หาผลเฉลยของสมการเอกพันธุ 0y y จากสมการชวย 2 1 0m หรือ ( )( ) 0m i m i ได 1 2, m i m i ดังนั้น ฟงกชันเติมเต็มของโจทย คือ

1 2cos sincy c x c x

เมื่อพิจารณา หาตัวดําเนินการลบลางฟงกชัน cos cosx x x โดยอาศัยขอสรุป (4.4.7) ซึ่งพบวา n = 2 , = 0 และ 1 จะไดตัวลบลางเปน 2 2( 1)D เมื่อนําเขาดําเนินการทั้งสองขางของสมการในโจทย จะไดวา 2 2( 1)D 2 2 2( 1) ( 1) ( cos 2 cos 2 )D y D x x x

หรือ 2 3( 1) 0D y …………….. (1)สมการชวยของ (1) คือ 2 3( 1) 0m ซึ่งจะไดรากสมการเปนจํานวนเชิงซอน i ซ้ํากันตัวละ 3 ครั้ง ดังนั้นผลเฉลยของสมการเอกพันธุ (1) คือ

2 21 2 3 4 5 6cos sin cos sin cos siny c x c x c x x c x x c x x c x x ………….. (2)

ดังนั้น สมมติ 2 2cos sin cos sinpy Ax x Bx x Cx x Ex x

แทน py และอนุพันธของ py ลงขางซายมือของสมการในโจทยพรอมจัดสมการใหอยูในรูปอยางงายจะได

4 cos 2 4 sin (2 2 ) cos ( 2 2 )sinp py y Ex x Cx x B C x A E x

cos cosx x x โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได 4 1, 4 0, 2 2 1 2 2 0E C B C A E และ

และแกสมการจะได 1 1 1, , 0 ,4 2 4

A B C E และ ดังนั้น

21 1 1cos sin sin4 2 4py x x x x x x

ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของโจทย คือ

1 2cos siny c x c x 21 1 1cos sin sin4 2 4

x x x x x x Ans.

สรุปบันได 7 ขั้น ของวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ – แนวทางลบลาง การหา

py ของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธุอันดับ n ที่มีสัมประสิทธิ์เปน คาคงตัว ( )Ly f x และ ( )f x ประกอบดวย ผลบวกและผลคูณจํากัดของคาคงตัว,พหุนาม,ฟงกชันเลขชี้กําลัง xe , sines และ cosines มีขั้นตอนดังนี้


(1) หาผลเฉลยเติมเต็ม cy ของสมการเอกพันธุ 0Ly

(2) หาตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว 1L ซึ่งเปนตัวลบลางของ ฟงกชัน f (3) นํา 1L ที่ไดจากขั้น (2) เขาดําเนินการกับทั้งสองขางของสมการไมเอกพันธุ ( ) Ly f x ซึ่งจะทําใหสมการ กลายเปนสมการเอกพันธุอยูในรูป 1 0L Ly (4) หาผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุ 1 0L Ly (สมการที่ไดจากขั้น (3)) (5) กําจัดพจนในผลเฉลยทั่วเฉพาะพจนที่ไดจากขั้น (4) ซึ่งซ้ํากับผลเฉลย cy จากขั้น หนึ่งออก จากนั้นใหสมมติ py เทากับการรวมเชิงเสนของพจนที่เหลือ(6) แทน py ที่ไดจากขั้น (5) และอนุพันธของมัน ลงในสมการ ที่กําหนดให แลวจัด สมการใหอยูในรูปอยางงาย แลวเทียบสัมประสิทธิ์ของฟงกชันที่สมนัยกันผูกเปน สมการ และหาผลเฉลยของระบบสมการซึ่งจะไดคาของสัมประสิทธิ์ของ py

(7) หาผลเฉลยทั่วไป c py y y ของสมการตนแบบ ( ) Ly f x โดยนํา py ที่ไดจากขั้น (6) และ cy ที่ไดจากขั้น (1) มารวมกัน


จากขอ 1-13 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ โดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์-แนวทางการซอนทับ 1. 3 2 6y y y 2. 10 25 30 3y y y x

3. 212

4y y y x x 4. 2 33 48 xy y x e

5. 3y y 6. /213

4xy y y e

7. 4 3sin 2y y x 8. 2 siny y x x

9. 2 5 cos 2xy y y e x 10. 2 sin 3cos 2y y y x x

11. 6 3 cosy y x 12. 3 3 4 xy y y y x e

13. (4) 22 ( 1)y y y x

จากขอ 14 – 18 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน

14. 4 2y y , 1

8 2y

, 28

y

15. 5 6y y x , (0) 0y , (0) 10y

16. 44 5 35 xy y y e , (0) 3y , (0) 1y

4.5 วิธีการแปรผันพารามิเตอร 183

17. 2

202sin

d xx F t

dt , (0) 0, (0) 0x x

18. 5 1 5 92 2 24 40 , (0) , (0) , (0)

2 2 2x xy y y e e y y y

จากขอ 19 – 20 จงหาผลเฉลยของปญหาคาขอบ 19. 2 1, (0) 5, (1) 0y y x y y

20. 2 2 2 2, (0) 1, ( )4 4

y y y x y y

จากขอ 21 – 26 จงหาตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่ลบลางฟงกชันที่กําหนดใหในแตละขอ 21. 31 6 2x x 22. 21 7 xe

23. cos 2x 24. 213 9 sin 4x x x

25. 22x x xe xe x e 26. 3 cos 2xe x

จากขอ 27 – 30 จงหาฟงกชันอิสระเชิงเสนที่ถูกลบลางดวยตัวดําเนินการเชิงอนุพันธที่กําหนดให 27. 5D 28. ( 6)(2 3)D D

29. 2 5D 30. 3 210 25D D D

จากขอ 31 – 45 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้ โดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ 31. 9 54y y 32. 3y y

33. 4 4 2 6y y y x 34. 28y y x

35. 412 xy y y e 36. 2 3 4 9xy y y e

37. 25 6siny y x 38. 46 9 xy y y xe

39. 2 5xy y x e 40. 2 5 sinxy y y e x

41. 25 20sin 5y y x 42. siny y y x x

43. 28 6 9 2y y x x 44. 3 3 16xy y y y e x

45. (4) 2 1xy y y e

4.5 วิธีการแปรผันพารามิเตอร (Variation of Parameter Method) วิธีการแปรผันพารามิเตอรนี้ ใชในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธที่ไมสามารถแกปญหาโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ ซึ่งอันที่จริงแลววิธีเทียบสัมประสิทธิ์จะแกปญหาไดเกือบทุกแบบ เวนแตกรณีที่ )(xf หาอนุพันธไดไมสิ้นสุด (infinite) เชน ln ,x ,tan x x1sec เปนตน นักคณิตศาสตรชื่อ ลากรองจ (Lagrange) เปนผูที่คิดวิธีหาผลเฉลยเฉพาะของฟงกชันนี้ โดยอาศัยการแปรตัวคงคาในฟงกชันเติมเต็มใหเปนตัวพารามิเตอร


ทฤษฎีบท 4.5.1 ถา 1 1 2 2y c y c y เปนฟงกชันเติมเต็มของสมการ ( ) ( )F D y f x

โดยที่ 21 2( ) ( )F D y D a D a y แลว 1 1 2 2py L y L y เปนผลเฉลยเฉพาะของ

สมการ ( ) ( )F D y f x โดยที่ 1 2, L L เปนฟงกชันของ x ซึ่งสอดคลองกับสมการ

1 1 2 2 0L y L y และ 1 1 2 2 ( )L y L y f x

พิสูจน ให 1 1 2 2py L y L y

ดังนั้น pDy = 1 1 1 1 2 2 2 2L y L y L y L y = 1 1 2 2

0

L y L y

1 1 2 2L y L y

= 1 1 2 2L y L y

2

pD y = 1 1 1 1 2 2 2 2L y L y L y L y = 1 1 2 2 1 1 2 2

( )f x

L y L y L y L y

= ( )f x 1 1 2 2L y L y

นํา 2, , p p py Dy D y , แทนลงใน ( )F D y = 21 2D a D a y

จะได ( ) pF D y = 1 1 2 2( ( ) )f x L y L y 1 1 1 2 2( )a L y L y 2 1 1 2 2a L y L y

= 1 1 1 1 2 1L y a y a y 2 2 1 2 2 2 ( )L y a y a y f x

= 21 1 2 1L D a D a y 2

2 1 2 2 ( )L D a D a y f x

= ( )f x [ เนื่องจาก 1 2,y y เปนผลเฉลยของ ( )F D y 0 ]แสดงวา py = 1 1 2 2L y L y เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ ( )F D y = ( )f x #

ทฤษฎีบท 4.5.2 ถา 1 1 2 2 n ny c y c y c y เปนฟงกชันเติมเต็มของสมการ ( )F D y = 1 2

1 2( ) ( )n n nnD a D a D a y f x

แลว y = 1 1 2 2 n nL y L y L y เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ ( )F D y = ( )f x

โดยที่ 1 2, ,..., nL L L สอดคลองสมการ n สมการ 1 1 2 2 3 3 0n nL y L y L y L y 1 1 2 2 3 3 n nL y L y L y L y = 0

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

1 1 2 2 3 3n n n n

L y L y L y L yn n = 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2 3 3

n n n nL y L y L y L yn n

= ( )f x

พิสูจน การพิสูจนทําวิธีการเชนเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.5.1จากทฤษฎีบท 4.5.1 และ 4.5.2 สามารถสรุปขั้นตอนการหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีการแปรผันพารามิเตอร ไดดังนี้

จากสมการเชิงอนุพันธอันดับ n )()( xfyDF ………………. ( * )


ขั้นที่ 1 หาผลเฉลยฟงกชันเติมเต็ม cy ของสมการ ( * ) ในที่นี้สมมติให cy = 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nc y x c y x c y x

ขั้นที่ 2 เปลี่ยนตัวคงคา nccc ,...,, 21 เปนตัวพารามิเตอร )(),...,(),( 21 xLxLxL n แลวกําหนด py จะได py = 1 1 2 2 n nL y L y L y

ขั้นที่ 3 กําหนดเงื่อนไขให 1 1 2 2 n nL y L y L y = 0

1 1 2 2 n nL y L y L y = 0

= 0

( 2) ( 2) ( 2)1 1 2 2

n n nn nL y L y L y = 0

และ ( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2

n n nn nL y L y L y = )(xf

ขั้นที่ 4 แกสมการเพื่อหาคา 1 2, ,..., nL L L จากสมการในขั้นที่ 3

ขั้นที่ 5 หาคา 1 2, ,..., nL L L โดยการหาคาปริพันธ (integral) ของ 1 2, ,..., nL L L ที่หาไดใน ขั้นที่ 4

เพื่อความเขาใจลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 4.5.1 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 1 tanD y x

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 2 1m = 0

ได m = i

ดังนั้น cy = 1 2cos sinc x c x

หา py โดยสมมติเลียนแบบ cy นั่นคือให py = 1 2cos sinL x L x

หา 21, LL จากสมการ xLxL sincos 21 = 0 …………. .(1)

1 2sin cosL x L x = tan x .…………. (2)โดยหลักเกณฑของคราเมอร (Cramer’s rule)

1L =

0 sin

tan cos

cos sin

sin cos

x

x x

x x

x x

= xx tansin = x

x

cos

sin 2


และ 2L =

cos 0

sin tan

cos sin

sin cos

x

x x

x x

x x

= xx tancos = xsin

หา ,1L 2L โดยการหาปริพันธ

1L = 1L dx = 2sin

cos

xdx

x = sin ln(sec tan )x x x

2L = 2L dx = sin xdx = xcos

จะได py = sin ln(sec tan ) cos sin cosx x x x x x

ดังนั้น y = cy + py

= xcxc sincos 21 sin ln(sec tan ) cos sin cosx x x x x x

= xcxc sincos 21 xxx cos)tanln(sec Ans.

ตัวอยาง 4.5.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 3 cscD D y x

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย mm 3 = )1( 2 mm = 0

m = 0, i

ดังนั้น cy = 1 2 3cos sinc c x c x

หา py โดยสมมติเลียนแบบ cy ได py = xLxLL sincos 321 ดังนั้น xLxLL sincos 321 = 0 …………..... (1)

2 3sin cosL x L x = 0 ...………….. (2) xLxL sincos 32 = csc x ……………. (3)

นําเอา (1) + (3) จะได 1L = csc x

ดังนั้น 1L = csc xdx = ln csc cotx x

นํา sin x คูณกับสมการ (2) และนํา cos x คูณกับสมการ (3) แลวนําผลที่ไดมารวมกัน จะได 2 2

2 2sin cosL x L x = cos cscx x

)cos(sin 222 xxL =

cos

sin

x

x

นั่นคือ 2L = cot x

ดังนั้น 2L = cot xdx = ln sin x

นําเอาสมการ (2) ที่คูณดวย cos x ลบดวยสมการ (3) ที่คูณดวย sin x จะได xLxL 2

32

3 sincos = sin cscx x


)sin(cos 223 xxL =

x

x

sin

sin

3L = 1

ดังนั้น 3L = dx = x

ดังนั้น py = ln csc cotx x ln(sin ) cos ( )sinx x x x

= ln csc cotx x cos ln(sin ) sinx x x x

จาก y = cy + py

ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไป ของสมการ คือ y = 1 2 3cos sin ln csc cotc c x c x x x cos ln(sin ) sinx x x x Ans.

หมายเหตุ ในกรณีที่ )(xf เปนฟงกชันที่หาอนุพันธได และมีรูปจํากัด ซึ่งเคยแกปญหาดวยวิธีการตาง ๆ ดังไดกลาวมาแลวก็สามารถแกปญหา โดยวิธีการแปรผันพารามิเตอรได เชน- เดียวกัน แตอาจเสียเวลาในการแกปญหามากกวาก็ได

ตัวอยาง 4.5.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xxyD tansec)1( 2

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 12 m = 0 , m = i

นั่นคือ cy = 1 2cos sinc x c x

หา py โดยสมมติเลียนแบบ cy ได py = xLxL sincos 21

และกําหนด xLxL sincos 21 = 0 ……………. (1) xLxL cossin 21 = xx tansec .………….... (2)

จาก xx cos)2(sin)1( จะได xLxL 2

22

2 cossin = xtan

2L = xtan

ดังนั้น 2L = tan xdx = ln(sec )x

จาก xx sin)2(cos)1( จะได xLxL sincos 1

21 = x2tan

1L = x2tan 1L = 2tan xdx = 2(sec 1)x dx = )(tan xx = xx tan

นั่นคือ py = ( - tan (cos (ln sec )sinx x x x x

= ( tan )cos sin ln(sec )x x x x x

ผลเฉลยทั่วไปคือ y = 1 2cos sin ( tan )cos sin ln(sec )c x c x x x x x x Ans.


ตัวอยาง 4.5.4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 3

22

( 6 9)xe

D D yx

วิธีทํา หา cy สมการชวย 2 6 9m m = 0 , m = 3,3

นั่นคือ cy = 3 31 2

x xc e c xe

หา py โดยสมมติเลียนแบบ cy ได py = 3 31 2

x xL e L xe

และกําหนด 3 31 2

x xL e L xe = 0 …………………… (1)

3 31 2 2(3 ) 3x xL L e L xe =

xe

x

3

2 …………………… (2)

จัดสมการ (2) ใหมจะได 3 3 31 2 23( )x x xL e L xe L e =

xe

x

3

2 …………………… (3)

แทน (1) ลงใน (3) ได 320 xL e =

xe

x

3

2 หรือ 2L = 2

1

x ได 2 2

1L dx

x

นั่นคือ 2 2

1 1L dx

xx และแทน 2L ลงใน(1) ได 1L =

1xx

จะได 11

lnL dx xx

นั่นคือ py = 3 3 3 31( ln ) ( ) lnx x x xx e xe e x e

x

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ y = 3 3 3 3

1 2 lnx x x xc e c xe e x e = 3 3 31 2 lnx x xC e C xe e x Ans.


จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอไปนี้ โดยวิธีแปรผันพารามิเตอร1. xyD cot12 2. xyD 22 tan)1(

3. xyD sec)1( 2 4. xyD 32 sec)1(

5. xyD 2sec)4( 22 6. 3

32 )96(

x

eyDD

x

7. xeyDD x sec)44( 22 8. 2( 2 1) lnxD D y e x

9. xxeyDD x ln)12( 2 10. xxeyDD )12( 2

11. xeyDD x 12 sin)12( 12. 2( 3 2) xD D y e

13. xe

yDD

1

1)23( 2 14. 2( 3 2) 1 xD D y e

15. 2( 1) 1 sinD y x 16. xxxyD cos4sin2)1( 2

17. xeyD 2sin)1( 2 18. 2( 2 1) cosxD D y e x

19. xyDD 23 sec)( 20. 2 2( 1) sec cos ecD y x x

4.6 วิธีการใชตัวดําเนินการผกผัน 189

4.6 วิธีการใชตัวดําเนินการผกผัน (Method Involving Inverse Operators) การหาผลเฉลยโดยวิธีการใชตัวดําเนินการผกผันนี้ เปนอีกวิธีหนึ่งในการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว วิธีการนี้สามารถหาผลเฉลยไดอยางรวดเร็วในบางครั้ง และเปนพื้นฐานในการศึกษาวิธีการแปลงลาปลาซ ซึ่งใชกันมากในทางวิทยาศาสตรและวิศวกรรมศาสตร แตก็ไมไดรับความนิยมมากนัก เพราะตองอาศัยเทคนิคการหาปริพันธซ้ําหลายครั้ง จึงมีความยุงยากกวาวิธีอื่น ๆ ที่ไดกลาวมาแลว

บทนิยาม 4.6.1 จะเรียก )(

1

DFวา ตัวดําเนินการผกผัน (inverse operator) ของ )(DF

โดยที่ yDFDF

)()(

1 = y ………………. (4.6.1)

และ )(

1)(

DFDF )(

)(

1DF

DF ………………. (4.6.2)

จากสมการ yDF )( = )(xf ………………. (4.6.3)และอาศัยบทนิยาม (4.6.1) จะไดวา

yDFDF

)()(

1 = )(

)(

1xf

DF

ดังนั้น y = )()(

1xf

DF ………………. (4.6.4)

ทฤษฎีบท 4.6.1 ถา aDDF )( เมื่อ a เปนคาคงตัว แลวจะไดวา

1( )f x

D a

= ( )ax axe e f x dx ……………… (4.6.5)

พิสูจน จาก (4.6.4) จะได

y = )()(

1xf

DF

หรือ y = )(1

xfaD

และอาศัยสมการ (4.6.4) และ (4.6.3) จะไดวา

yaD )( = )(xf

aydx

dy = )(xf (สมการเชิงเสนอันดับ 1)

ดังนั้น y = ( )ax axe e f x dx C เมื่อพิจารณาผลเฉลยเฉพาะ จึงได

y = ( )ax axe e f x dx


ดังนั้นจะไดวา xfaD

1 = ( )ax axe e f x dx

ขอสังเกต ถา 0a จะได aD

1 คือ D

1

และ xfD

1 = ( )f x dx ………………. (4.6.6)

สําหรับการหาผลเฉลยโดยการใชตัวดําเนินการผกผัน จะแยกกลาว 3 วิธี คือก. วิธีลดอันดับ (reduction of order method) ข. วิธีแยกตัวดําเนินการเปนเศษสวนยอย ( partial fraction method) และค. วิธีลัด ( short method)

ก. วิธีลดอันดับ (Reduction of Order Method) ถาสามารถแยกตัวประกอบของ )(DF ใหอยูในรูปของ 1 2( )( ) ( )nD a D a D a

แลวจะหาผลเฉลยของสมการ )()( xfyDF โดยอาศัยสูตร (4.6.5) กระทํากับ )(xf ไปทีละวงเล็บจนหมด

ตัวอยาง 4.6.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ xeyDD 32 2

วิธีทํา py = xeDD

32 2

1

= xeDD

3

)1)(2(

1

=

xe

DD3

1

1

2

1

= 31

2x x xe e e dx

D

= 41

2x xe e dx

D

=

42

1 4xx e

eD

= 42

1 3xe

D

= 3

2 2

4

xx x e

e e dx = 2

4

xx e

e dx = 4

2x

x ee

= 4

3xe

นั่นคือ py = 4

3xe Ans.

ตัวอยาง 4.6.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ xyDDD 2485 23

วิธีทํา py = xDDD

2485

123


= xDDD

2)2)(2)(1(

1

= )2)(1(

1

DD2 2 2 x xe e xdx

= )2)(1(

1

DD

1

2x

= 2 21 1( )

1 2x xe e x dx

D

= 21

1 x

D

=

2x x x

e e dx = )(2

xxx

exee

นั่นคือ py = 2

1

2

x Ans.

ข. วิธีแยกเปนเศษสวนยอย (Partial Fraction Method)ถาสามารถแยกตัวประกอบของ )(DF ได โดยที่ตัวประกอบแตละตัว มีกําลังสูงสุด

เปนหนึ่ง และไมซ้ํากัน จะใชวิธีแยกเปนเศษสวนยอยนี้ไดสมมติให 1 2( ) ( )( ) ( )nF D D a D a D a

และสามารถหา )(

1

DF ไดเปน 1 2

1 2

n

n

AA A

D a D a D a

จากสมการ )()(

1xf

DFy จะไดวา

y = 1 2

1 2

( ) ( ) ( )n

n

AA Af x f x f x

D a D a D a

ดังนั้นจึงได y = 1 1 2 2

1 2n na x a xa x a x a x a x

nA e e dx A e e dx A e e dx

ตัวอยาง 4.6.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ 2 22 3 xD D y e

วิธีทํา จาก 22 3D D y = xe2

py = 22

1

2 3x

eD D

= 21

( 3)( 1)

xe

D D

ดังนั้น py = 21 1 1

4 3 1

xeD D

=

2 21

4 3 1

x xe e

D D

= 3 3 2 21

4x x x x x xe e e dx e e e dx

= 3 31

4x x x xe e dx e e dx

1

( 3)( 1)D D

1 1 1

4 3 1D D


= 3

31( )

4 3

xx ex xe e e

= 2 2

4 12

x xe e

นั่นคือ yp = 2

3

xe Ans.

ตัวอยาง 4.6.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ 12322 xyDD

วิธีทํา จาก 12322 xyDD

py = 2

1(2 1)

2 3x

D D

=

1 1 12 1

4 3 1x

D D

= 1 1 1

2 1 2 14 3 1

x xD D

= 3 312 1 (2 1)

4

x x x xe e x dx e e x dx

= 3 3 312 2

4x x x x x xe e xdx e dx e e xdx e dx

= 3 3 31 2 12

4 3 3x x x x x xe xde e e xde e

= 3 3 3 31

4

2 12

3 3x x x x x x x x

e xe e dx e e xe e dx e

= 3 3 3 31 2 2 12 2

4 3 9 3x x x x x x x xx

e e e e e xe e e

= 3 3

31 22 3

4 3 9

x xx x x xxe e

e e xe e

= 1 2 1

2 34 3 9

xx

=

1 8 28

4 3 9x

= 2 7

3 9

x

ดังนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ py = 2 7

3 9

x Ans.

ตัวอยาง 4.6.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ xyDD cos432

วิธีทํา จาก xyDD cos432

py = xDD

cos43

12

= xDD

cos)4)(1(

1

= xDD

cos4

1

1

1

5

1

= x

Dx

Dcos

4

1

5

1cos

1

1

5

1

= 4 41 1cos cos

5 5x x x xe e xdx e e xdx

= 4

4sin sin5 5

x xx xe e

e d x e d x


=

xxee

xxee xxxx

cos4sin175

cossin25

44

= sin cos sin 4cos

10 10 85 85

x x x x =

15sin 25cos

170 170

xx

= 34

cos5

34

sin3 xx = xx cos5sin3

34

1

ดังนั้นผลเฉลยเฉพาะ คือ py = xx cos5sin334

1 Ans.

ขอสังเกต1. กรณีที่ )(DF มีตัวประกอบซ้ํากัน เชน )(DF = )1()2( 2 DD

จะใชวิธีนี้ไมได แตสามารถใชวิธีลดอันดับแกปญหาไดเสมอ2. ถา )(xf เปนฟงกชันเอกซโปเนนเชียล )( axe จะใชวิธีนี้ไดสะดวก แตถา )(xf

ไมใช ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล แมจะใชวิธีนี้ไดแตคอนขางจะเสียเวลา หรือตอง ใชเทคนิค การหาปริพันธซับซอนมากกวาปกติ

ค. วิธีลัด ( Short Method)วิธีนี้ใชไดกับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ )()( xfyDF เมื่อ )(xf

เปนฟงกชันแบบเฉพาะในแบบใดแบบหนึ่ง ตอไปนี้คือ1. )(xf เปนฟงกชันเอกซโปเนนเชียล หรืออยูในรูป axe

2. )(xf เปนฟงกชันพหุนามระดับชั้น r หรืออยูในรูป 0 1r

ra a x a x

3. )(xf เปนฟงกชันตรีโกณมิติ ที่อยูในรูป )sin( bax หรือ )cos( bax

4. )(xf อยูในรูป )(xveax เมื่อ )(xv เปนฟงกชันของ x

5. )(xf อยูในรูป )(xxv

(1) )(xf อยูในรูป axe เมื่อ a เปนคาคงตัว

ทฤษฎีบท 4.6.2 ถาสมการ axeyDF )( แลวจะไดผลเฉลยเฉพาะ

py = axeaF )(

1 เมื่อ 0)( aF ………… (4.6.7)

พิสูจน กําหนด )(DF = 10 1 1...n n

n nb D b D b D b

ดังนั้น axeDF )( = 10 1 1( )n ax

n nnb D b D b D b e

= 10 1 1

n ax n ax ax axn nb D e b D e b De b e

= 10 1 1

n ax n ax ax axn nb a e b a e b ae b e


= 10 1 1( )n n ax

n nb a b a b a b e

จะได axeDF )( = axeaF )(

ฉะนั้น axeDF )(

1 = axe

aF )(

1 เมื่อ 0)( aF

นั่นคือ ผลเฉลยเฉพาะ py = axeDF )(

1 = axe

aF )(

1 เมื่อ 0)( aF #

ทฤษฎีบท 4.6.3 ถาสมการ axeyDF )( และ )()()( DQaDDF k

เมื่อ )(DQ ไมมี )( aD เปนตัวประกอบ แลว

py = axeDF )(

1 =

)(! aQe

kx axk

เมื่อ 0)( aQ ……….. (4.6.8)

พิสูจน เนื่องจาก axeDF )(

1 = ax

k eDQaD )()(

1

=

ax

k eDQaD )(1

)(1

= )()(

1aQ

e

aD

ax

k เมื่อ 0)( aQ

= 1)(1

)(1

kaDaQ

1

( )axe

D a

= )(

1

aQax

k xeaD 1)(1

= )(

1

aQ

2)(1

kaD !2

2 axex

= )(

1

aQ

3)(1

kaD !3

3 axex

= )(

1

aQ kkaD )(1

!pex axk

= !k

x k

)(aQ

eax

นั่นคือ py = !k

x k

)(aQ

eax

ขอสังเกต จากทฤษฎี 4.6.2 และทฤษฎี 4.6.3 สรุปไดวา สมการ )()( xfyDF เมื่อ )(xf อยูในรูป axe

คําตอบเฉพาะ py = axeDF )(

1 =

1

( )axe

F a เมื่อ 0)( aF

และเมื่อ 0)( aF แสดงวา )()()( DQaDDF k เมื่อ 0)( aQ

คําตอบเฉพาะของ py = axeDF )(

1 = ax

k eDQaD )()(

1

= )(! aQ

ekx axk


ตัวอยาง 4.6.6 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xeyDD 42 34

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 342 mm = )1)(3( mm = 0

จะได m = 3,1

ดังนั้น cy = xx ecec 321

หา py จาก py = xeDD

42 34

1

= xe4

2 3)4(4)4(

1

= xe4

3

1 =

3

4xe

เนื่องจาก pc yyy ดังนั้น y = 4

31 2 3

xx x e

c e c e Ans.

ตัวอยาง 4.6.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xeyDDD 223 652 วิธีทํา หา cy จากสมการชวย

652 23 mmm = ( 3)( 1)( 2)m m m = 0

จะได m = 2,1,3

ดังนั้น cy = xxx ececec 232

31

หา py จาก py = 23 2

1

2 5 6xe

D D D = xe

DDD2

)2)(1)(3(

1

= 1

( 2)D

1 2

( 3)( 1)xe

D D

= 1

1!

x xe2

)12)(32(

1

= xex 2

15

1 =

15

2xxe

เนื่องจาก pc yyy ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ คือ

15

22

323

1

xxxx xe

ecececy Ans.

ตัวอยาง 4.6.8 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 4 3( 3) = xD y e

วิธีทํา หา yc จากสมการชวย 4( 3) = 0m จะได m = 3,3,3,3

ดังนั้น 2 3 31 2 3 4 ( ) x

cy c c x c x c x e

หา yp จาก yp =

xeD

343

1

=

!4

34 xex =

24

34 xex

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ = + c py y y

2 3 31 2 3 4 = ( + + + ) xy c c x c x c x e +

24

34 xex Ans.


(2) )(xf อยูในรูปของพหุนามระดับขั้น r (polynomial degree r )ถาให )(xf = 0 1

rra a x a x เมื่อ 0 1, ,.., ra a a เปนคาคงตัว และ 0ra

จาก ( )F D y = rx

y = 1

( )

r

F Dx = 2

0 1 2( )r rrb b D b D b D x

ซึ่ง 20 1 2( )r

rb b D b D b D ไดจากการใช ( )F D ไปหารโดยตรง เชน

1

( )F D = 1

2 1D D =

121 D D

3 41 D D D

21 D D 1 21 D D

2D D 2 3D D D

3D 3 4 5D D D

4 5D D 4 5 6D D D

6D

…

ดังนั้น )(

1

DF =

2

1

1 D D = 3 4(1 )D D D

ซึ่งจะเห็นวาการตั้งหารเราจะคํานวณเพียงเฉพาะพจน rD เทานั้น เพราะวาพจนตั้งแต r ขึ้นไปคือ 1 2, ,...r rD D เมื่อกระทํากับ rx แลว มีคาเทากับศูนยทั้งสิ้น

นั่นคือ 0n rD x สําหรับทุกๆ คา n r

ตัวอยาง 4.6.9 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 12)322( 22 xxyDD

วิธีทํา (1) หา cy ไดสมการชวย 322 2 mm = 0

จะได m = 4

2442 =

2

51 i

ดังนั้น cy = xe 2

1

1 2

5 5( cos sin )

2 2c x c x


(2) หาผลเฉลยเฉพาะ py จาก py = )12(322

1 22

xxDD

หาอนุกรมกําลังของ 2

1

2 2 3D D ดังนี้

21 2 2

3 9 27D D

23 2 2D D 1

2 2 21+ D + D3 3

2

3

2

3

2DD

32

9

4

9

4

3

2DDD

32

9

4

9

2DD

432

27

4

27

4

9

2DDD

43

27

4

27

16DD

…

นั่นคือ py = 2 21 2 2( 2 1)

3 9 27D D x x

= )12(272

1292

)12(31 2222 xxDxxDxx

= )2(27

2)22(

9

2)12(

3

1 2 xxx

= 2

3

1x

27

4

9

4

9

4

3

1

3

2 xx

= 27

25

9

2

3

1 2 xx

ดังนั้น จาก pc yyy ผลเฉลยทั่วไป คือ

y = x

e 2

1

1 2

5 5cos sin

2 2c x c x 27

25

9

2

3

1 2 xx Ans.

หมายเหตุ จากตัวอยาง 4.6.9 จะเห็นวาเราใชถึงพจน 2D เพราะวา 0)12( 23 xxD


ตัวอยาง 4.6.10 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ 3( 2 4) D D y = 4 2 3 5 2x x x

วิธีทํา หาผลเฉลยเฉพาะไดจาก py = 4 23

13 5 2

2 4x x x

D D

2 3 41 1 1 1 3

4 8 16 32 64D D D D

34 2D D 1

11

2D 31

4D

1

2D 31

4D

21 1

2 4D D 41

8D

1 1 12 3 4

4 4 8D D D

2 31 1

4 8D D 51

16D

3 4 51 1 1

8 8 16D D D

3 41 1

8 16D D 61

32D

4 5 63 1 1

16 16 32D D D

4 53 3

16 32D D 73

64D

…

py = 2 3 4 4 21 1 1 1 33 5 2

4 8 16 32 64D D D D x x x

py = 4 2 4 21 13 5 2 3 5 2

4 8x x x D x x x

2 4 2 3 4 21 13 5 2 3 5 2

16 32D x x x D x x x

4 4 233 5 2

64D x x x

= 4 2 31 13 5 2 4 6 5

4 8x x x x x

21 1 312 6 24 24

16 32 64x x

= 4 2 3 23 5 2 3 5 3 3 3 9

4 4 4 4 2 4 8 4 8 4 8

x x x x x x x

py = 4 3 21 1 3 5 7

4 2 2 4 8x x x x Ans.


(3) )(xf อยูในรูป sin(ax+b) หรือ cos (ax+b)

ทฤษฎีบท 4.6.4

2

1sin

( )ax b

F D = 2

1sin

( )ax b

F a

เมื่อ 2( ) 0F a …. (4.6.9)

และ 2

1cos

( )ax b

F D = 2

1cos

( )ax b

F a

เมื่อ 2( ) 0F a …. (4.6.10)

พิสูจน เนื่องจาก F D = 1 2

0 1 2 1n n n

n na D a D a D a D a

2DF = 2 2 2 2 4 20 1 2 1

n n nn na D a D a D a D a

2DF sin ax b = ( 2 2 2 2 4 20 1 2 1

n n nn na D a D a D a D a ) sin ax b

= 2 2 2 2 40 1 2sin sin sinn n na D ax b a D ax b a D ax b

21 sinna D ax b sinna ax b

= 12 2 20 11 sin 1 sin

n nn na a ax b a a ax b

2 2 42 1 sin

n na a ax b 1 2

1 1 sinna a ax b

sinna ax b

= baxaabaxaann

sinsin12

12

0

2 12 2

2 1sin sinn

na a ax b a a ax b

sinna ax b

= 1 22 2 20 1 2

n n na a a a a a

21 sinn na a a ax b

จะได 2DF sin ax b = 2F a sin ax b

นั่นคือ 2

1

DF sin ax b = 2

1

aF sin ax b เมื่อ 2 0F a

ในทํานองเดียวกัน 2

1

DF cos ax b = 2

1

aF bax cos เมื่อ 02 aF

ขอสังเกต แทน D2 ใน F(D2) ดวย -a2 ได 2aF #

ทฤษฎีบท 4.6.5 ถา F D = 1 20 1 2 1


แลวจะมี 21 ,FF วา 22

21 DDFDF = DF

พิสูจน จาก DF = 1 20 1 2 1


ให DF1 = / 2 ( 2) / 20 2 2

n nn na D a D a D a


และให DF2 = ( 1) / 2 ( 3) / 2 1/ 21 3 1

n nna D a D x a D

ดังนั้น 21 DF = 2 2

0 2 2n n

n na D a D a D a

และ 22 DF = 1 3

1 3 1n n

na D a D x a D

22

21 DDFDF = ( 2 2

0 2 2n n

n na D a D a D a ) +

D( 2 31 3 1

n nna D a D x a )

= 1 20 1 2 1


= DF #

ตัวอยาง 4.6.11 จงหาผลเฉลยของสมการ 12cos910 24 xyDD

วิธีทํา หา yc ไดสมการชวย คือ 910 24 mm = 91 22 mm = 0

m = i , 3i

ดังนั้น 1 2 3 4 cos sin cos3 sin 3cy c x c x c x c x

หา yp จาก yp = 12cos910

124

xDD

= 12cos91

122

xDD

= 12cos9212

122

x

= 12cos53

1

x =

1cos 2 1

15x

จาก y = yc + yp ดังนั้นผลเฉลยทั่วไป คือ

1 2 3 4 cos sin cos3 sin 3y c x c x c x c x 1

cos 2 115

x Ans.

ตัวอยาง 4.6.12 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 3 29 2cosD D y x

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 3 9m m = 92 mm = 0 จะได m = 0, 3i

ดังนั้น cy = 1 2 3 + cos3 + sin 3c c x c x

ขอสังเกต จากสมการ F(D)y = sin(ax+b) จะไดคําตอบเฉพาะ

baxDF

y p sin1

และโดยทฤษฎี 4.6.5 เราสามารถเขียน F(D) ในเทอมของฟงกชัน D2 ได หลังจากนั้นเราใชทฤษฎี 4.6.4 แทน D2 ดวย –a2 จะทําใหเราหา py ได


หา py จาก py = 23

12cos

9x

D D

=

2

11 cos 2

9x

D D

= 2 2

1 1cos0 cos 2

9 9x x

D D D D

= 1 11 cos 2

9 5x

D D =

Ddx + cos2x25D19

= 1sin 2

9 10

xx

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไป c py y y

1 2 3

1 = + cos3 + sin 3 + + sin 2

9 10x

y c c x c x x Ans.

ทฤษฎีบท 4.6.6 axaD

sin1

22 = ax

aax

a

xsin

4

1cos

2 2

………. (4.6.11)

และ axaD

cos1

22 = ax

aax

a

xcos

4

1sin

2 2 ………. (4.6.12)

พิสูจน axaD

sin1

22 = ax

iaDiaDsin

1

= axiaD

aiiaD

ai sin2

1

2

1

= ax

iaDiaDaisin

11

2

1

=1

sin sin2

iax iax iax iaxe e axdx e e axdxi a

= 1

2 2

iax iax

iaxe eiaxe e dx

i a i

2

iax iax iax

iaxe e e

e dxi

= 2 211 1

2 2 2

iax iaxiax iaxe e

e dx e dxi a i i

=

xe

aii

ee

aix

i

e

aiaxi

iaxiax

iax22

2

1

22

1

22

1

=

24422

1

i

xe

a

e

a

e

i

xe

ai

iaxiaxiaxiax

= 1 1

2 2 4

iax iax iax iaxxe e e e

i a i a


= 2

1

4 8

iax iax iax iaxxe e e e

a i a

= i

ee

a

ee

a

x iaxiaxiaxiax

24

1

22 2

= axa

axa

xsin

4

1cos

2 2 #

ในทํานองเดียวกัน axaD

cos1

22 = ax

aax

a

xcos

4

1sin

2 2

ทฤษฎีบท 4.6.7

baxaD

cos1

22 = bax

abax

a

x cos

4

1sin

2 2 ..… (4.6.13)

baxaD

sin1

22 = bax

abax

a

x sin

4

1cos

2 2 ….. (4.6.14)

การพิสูจนใหนักศึกษาทําเปนแบบฝกหัด

ขอสังเกต จากสมการ

baxDF

yp sin1 หรือ

bax

DFyp cos

1 อาจ

กลาวโดยสรุปวา

1. 2

1sin

( )py ax bF a

หรือ 2

1cos

( )py ax bF a

เมื่อ 2( ) 0F a

2.

baxa

baxa

xbax

DFyp cos

41sin

2cos1

2 หรือ

baxa

baxa

xbax

DFyp sin

41

cos2

sin1

2เมื่อ 02 aF

ตัวอยาง 4.6.13 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xyD 2cos42

วิธีทํา หา yc จากสมการชวย 2 4 0m จะได 2m i

ดังนั้น yc = 1 2cos 2 + sin 2c x c x

หา yp จาก yp = xD

2cos4

12

= xD

2cos2

122

= 2

1sin 2 cos 2

2(2) 4(2 )

xx x = sin 2 1

cos 24 16

x xx

จาก = + c py y y ดังนั้น

y = xxx

xcxc 2cos16

1

4

2sin2sin2cos 21

= 1 2

1 sin 2cos 2 cos 2 sin 2

16 4

x xc x x c x

= 3 2

sin 2cos 2 sin 2

4

x xc x c x


นั่นคือ ผลเฉลยทั่วไป y = 3 2

sin 2cos 2 sin 2

4

x xc x c x Ans.

ตัวอยาง 4.6.14 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xxyD cossin42

วิธีทํา หา yc จากสมการชวย 2 4 0m จะได 2m i

ดังนั้น yc = xcxc 2sin2cos 21

หา yp จาก yp = xxD

cossin4

12

= xD

2sin4

1

2

12

= 1 1cos 2 sin 2

2 4 16

xx x

= 1

cos 2 sin 28 32

xx x

จาก c py y y xcxc 2sin2cos 21 1cos 2 sin 2

8 32

xx x

ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไป 1 3cos 2 sin 2 cos 28

xy c x c x x Ans.

ตัวอยาง 4.6.15 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xyD 3cos232

วิธีทํา (1) หา cy จากสมการชวย 32 m = 0 จะได m = i3

ดังนั้น cy = xcxc 3sin3cos 21

(2) หา py จากสมการ xyD 3cos232

ดังนั้น py = xD

3cos23

12

=

x

D3cos

31

2 2

= xx

3sin32

2 = xx

3sin3

จาก y = pc yy ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไป คือ

y = xcxc 3sin3cos 21 + xx

3sin3

Ans.

ขอสังเกต จะเห็นไดวาพจน 1sin

24ax

a จะเหมือนกับพจนในคําตอบประกอบ ดังนั้น

ในการหาคําตอบ 1sin cos

2 2 2

xy ax axp

aD a

ก็เพียงพอแลว และเชนกันใน

การหาคําตอบ 1cos sin

2 2 2

xax ax

aD a


(4 ) )(xf อยูในรูป axe v x เมื่อ v(x) เปนฟงกชันของ x

ทฤษฎีบท 4.6.8 ทฤษฎีการเลื่อนตัวดําเนินการ (Operator-shift method) ให v(x) เปนฟงกชันของ x ซึ่งสามารถหาอนุพันธไดจะไดวา

axF D e v x = xvaDFeax ……………… (4.6.15)

xveDF

ax1 = xvaDF

eax

1 ……………… (4.6.16)

พิสูจน xvea axn = xvea ax

n

xvDea axn 1 = 1

ax axna e Dv x ae v x = xvaDea ax

n 1

xveDa axn

22 = 2

axna D De v x = 2

axna D e D a v x

= -2 ax ax

na e D D a v x ae D a v x

= 2 2-2 2

axna e D aD a v x = xvaDea ax

n2

2 #

ในทํานองเดียวกัน xveDa axn 11

= xvaDea nax 11

และ xveDa axn0 = xvaDea nax 0 ดังนั้น

xveDF ax = 1 20 1 2

n nna D a D a D 1

axn na D a e v x

= 10 1

n ax n axa D e v x a D e v x 22

axna D e v x 1

ax axn na D e v x a e v x

= 1 20 1 2

n nax ax axna e D a v x a e D a v x a e D a v x

1ax

na e D a v x axna e v x

= 1 2

1 2 1...n nax

o n n ne a D a a D a a D a a D a a x

นั่นคือ xveDF ax = xvaDFeax

เมื่อแทน xv ดวย xvaDF

1 ลงในสมการขางบนจะได

xv

aDFeDF ax 1 = xv

aDFaDFeax

1

หรือ xveDF

ax1 = xvaDF

eax

1

ขอสังเกต xveDF

ax1 นั้นใหเลื่อน axe ออกไปไวขางหนาและ

เปลี่ยนสวนที่เหลือจาก D เปน D + a


ตัวอยาง 4.6.16 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 32 3 cos 2xD D y e x

วิธีทํา หา yc จากสมการชวย 322 mm = 13 mm = 0 m = 3, 1

ดังนั้น 3 1 2 x x

cy c e c e

หา yp = xeDD

x 2cos32

1 32

=

xDD

e x 2cos3323

12

3

= xDD

e x 2cos128

12

3

= xD

e x 2cos1282

12

3

= xD

e x 2cos88

13

= xD

e x

2cos1

1

8

3

= xD

De x

2cos1

11

8 2

3

=

xDe x

2cos5

11

8

3

= xxDe x

2cos2cos40

3

= xxe x

2cos2sin240

3

= xxe x

2cos2sin240

3

จาก c py y y

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ -31 2 = + x xy c e c e +

3

2sin 2 cos 240

xex x Ans.

ตัวอยาง 4.6.17 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xexeyDD xx 2cos8434 32

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 342 mm = 13 mm = 0 m = 3, 1

ดังนั้น 31 2 = + x x

cy c e c e

หา yp = xexeDD

xx 2cos8434

1 32

= 32 2

1 14 8 cos 2

4 3 4 3x xe x e x

D D D D

=

xDD

exDD

e xx 2cos3141

18

3343

14

223

= xDD

exDD

e xx 2cos2

18

2

14

223


= xD

exDD

e xx 2cos22

18

2

114

23

= 3 1 1 1 8 14 cos 2

2 4 2 2x xe D x e x

D D

= xD

Dex

De xx 2cos

4

24

4

1

2

114

23

= xD

exx

e xx 2cos8

24

4

1

22

14

23

=

8

2cos22sin24

44

23 xx

exx

e xx

3 2 sin 2 cos 2x xpy e x x e x x

จาก c py y y

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไป y xx ecec 321 xxexxe xx 2cos2sin23 Ans.

(5) )(xf อยูในรูป x v(x) เมื่อ v(x) เปนฟงกชันของ x

ทฤษฎีบท 4.6.9 ถา ( ) ( )F D y x v x แลว

จะไดวา y = 2

1 ( )( ) ( )

( ) ( )

F Dx v x v x

F D F D

……………. (4.6.17)

พิสูจน ให ( )u x เปนฟงกชันที่หาอนุพันธได ขั้นแรก ตองการพิสูจนวา ( )F D xu x = ( )xF D u x F D u x ให y = ( )xu x

จะได Dy = ( ) ( )xDu x u x

yD 2 = 2 ( ) 2 ( )xD u x Du x yD3 = 3 2( ) 3 ( )xD u x D u x

… yDn = 1( ) ( )n nxD u x nD u x

ดังนั้น ( )F D y = ( ) ( ) ( ) ( )xF D u x F D u x

นั่นคือ ( ) ( )F D xu x = ( ) ( ) ( ) ( )xF D u x F D u x …………….. (*)

ให ( )v x = ( ) ( )F D u x จะได 1( ) ( )

( )u x v x

F D

แทนคา 1( ) ( )

( )u x v x

F D ลงใน (*) จะได


1( ) ( )

( )F D x v x

F D

= 1( ) ( ) ( )

( )xv x F D v x

F D

( )xv x = 1 ( )( ) ( )

( ) ( )

F DF D x v x v x

F D F D

1( )

( )xv x

F D = 1 1 1 ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

F DF D x v x v x

F D F D F D F D

= 2

1 ( )( ) ( )

( ) ( )

F Dx v x v x

F D F D

นั่นคือ 1( )

( )xv x

F D =

2

1 ( )( ) ( )

( ) ( )

F Dx v x v x

F D F D

#

ตัวอยาง 4.6.18 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xxyDD 2sin232

วิธีทํา หา cy จากสมการชวย 2 3 2 ( 2)( 1) 0m m m m

2, 1m

ดังนั้น 2 1 2= + x x

cy c e c e

หา py จากสมการ xxyDD 2sin232

py = xxDD

2sin23

12

=

xDD

Dx

DDx 2sin

23

322sin

23

1222

py = 4 3 2

1 2 3sin 2 sin 2

4 3 2 6 13 12 4

Dx x x

D D D D D

=

xDD

Dx

Dx 2sin

412413464

322sin

23

12

=

xD

Dx

D

Dx 2sin

3212

322sin

49

232

=

xD

DDx

Dx 2sin

649

8332

4

12sin

40

232

= 26 7 246cos 2 2sin 2

sin 240 400

D Dx xx x

= 200

2cos72sin242sin2cos3

20

xxxx

x

=

xx

xx

2sin100

1252cos

200

730

จาก c py y y

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไป 2 1 2 = + x xy c e c e

xx

xx

2sin100

1252cos

200

730

Ans.



จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธในแตละขอตอไปนี้

1. 22 423 xyDD

2. 2 2 3( 2 8) 4 2 lnx xD D y e e

3. xxyDD 2cos72sin6522 4. xyDD 4sin10222

5. xyDD 4cos422 6. 3 2 22 3 10 8 xD D D y xe

7. 2 22 8 2 xD D y e 8. 3 33 xD y e

9. 3 2 22 5 6 xD D D y e 10. 3 2 3 5 5sin2 3 7D D D y x x

11. xxyDDD 833544 323 12. 2 2 36 10 18 6 11x xD D y e e x

13. 222 4362 xeeyDD xx 14. xx eeyDD 18443 23

15. xx eeyDDD 3223 8922 16. xxyDD sin42 23

17. xeeyDDD xx 66323 2234 18. xxx eexeyDDD 4223 646116

19. xx eexyDDD 73254 223

20. 94161832 32234 xx exexyDDD

21. xxyDDDD 2sin12sin56575 234

บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธ เชิงเส...

Documents