บทที่ 5 การหาปริพันธ์ · 4 5.3...

1

บทที่ 5

การหาปริพันธ์

(Integration)

5.2 ปฏิยานุพันธ์และคณุสมบัติ (Antiderivatives of their Properties)

บทนิยาม 2.1

ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันที่หาค่าได้บนช่วง 𝐼 ถ้า 𝐹 เป็นฟังก์ชันโดยที่ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

ส าหรับทุกค่า 𝑥 ใน 𝐼

แล้วจะเรียก 𝐹 ว่าเป็นปฏิยานพุันธ์ของ 𝑓บน 𝐼

ตัวอย่าง

ก าหนด 𝐹1(𝑥) = 𝑥2, 𝐹2(𝑥) = 𝑥2 + 2, 𝐹3(𝑥) = 𝑥2 − 2,

𝐹4(𝑥) = 𝑥2 + 𝑐 เมื่อ 𝑐 เป็นค่าคงที่ และ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 จงแสดงว่า

𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, 𝐹4 ต่างเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บน ℝ

2

ทฤษฎีบท 2.1

ถ้า 𝐹′(𝑥) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 แล้ว 𝐹′(𝑥) = 𝐶 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼

เมื่อ 𝐶 เป็นค่าคงตัว (นั่นคือ 𝐹 เป็นฟังก์ชันค่าคงตวับน 𝐼)


ถ้า 𝐹1′(𝑥) = 𝐹2

′(𝑥) ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 แล้วจะมคี่าคงตัว 𝐶 ที่ท าให้

𝐹1′(𝑥) − 𝐹2

′(𝑥) = 𝐶 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼

คุณสมบัติของปฏิยานพุันธ์

1) ถ้า 𝐹 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 และ 𝐹1(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶

ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 เมือ่ 𝐶 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹1 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓

บนช่วง 𝐼

2) ถ้า 𝐹1และ 𝐹2 เป็นปฏิยานุพนัธ์ของ 𝑓1 และ 𝑓2 บนช่วง 𝐼 ตามล าดับ แลว้

𝐹1 + 𝐹2 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓1 + 𝑓2 บนช่วง 𝐼

3) ถ้า 𝑘 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 แล้ว 𝑘𝐹 จะ

เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑘𝑓 บนช่วง 𝐼

4) ถ้า 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, … , 𝑘𝑛 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛 เป็นปฏิยา

นุพันธ์ของ 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛 บนช่วง 𝐼 ตามล าดับ เมือ่ 𝑛 เป็นจ านวนเต็มบวก

แล้ว 𝑘1𝐹1 + 𝑘2𝐹2 + 𝑘3𝐹3 + ⋯ + 𝑘𝑛𝐹𝑛 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ

𝑘1𝑓1 + 𝑘2𝑓2 + 𝑘3𝑓3 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛 บนช่วง 𝐼

3


ถ้า 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 เมื่อ 𝑛 ≠ −1 แล้ว ปฏิยานพุันธ์ของ 𝑓 คือ ฟังก์ชัน 𝐹 เมื่อ

𝐹(𝑥) =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 และ 𝐶 เป็นค่าคงตัว


ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓

4

5.3 ปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต (Indefinite Integrals)

บทนิยาม 5.1

ถ้า 𝑓 เป็นฟังก์ชันที่ก าหนดค่าบนช่วง 𝐼 แล้วจะเรียก ปฏิยานุพันธ์ทีม่ีค่าคงตัวบวกอยู่ด้วย

ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 ว่า ปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตของ 𝑓

และเขยีนแทนด้วยสญัลกัษณ์ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1) การหาปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตเป็นการด าเนินการทีต่รงข้ามกับการหาอนพุนัธ์

2) ถ้า 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) แล้ว ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 เมื่อ 𝐶 เป็นค่า

คงตัว

คุณสมบัติของปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต

1) ∫ [𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

2) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 เมื่อ 𝑘 เป็นค่าคงตัว

3) ∫ [𝑘1𝑓1(𝑥) + 𝑘2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 =

𝑘1∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘2∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ 𝑘𝑛∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥 เมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนเต็มบวก และ 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, … , 𝑘𝑛 เป็นค่าคงตัว

5


∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 เมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 𝑛 ≠ −1

บทแทรก 3.1

∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶


จงหาค่าของ ∫ (7 + 5𝑥5 −3

𝑥3 + 2√𝑥) 𝑑𝑥

6


จงหาค่าของ ∫ (2 − 3𝑥2)4𝑥𝑑𝑥


ถ้า 𝑢 = 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันที่หาอนพุันธ์ได้ และ 𝑛 เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 𝑛 ≠ −1

แล้ว ∫ [𝑓(𝑥)]𝑛𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 =[𝑓(𝑥)]𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 หรือ

∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

7

ตัวอย่าง จงหาค่าของ ∫𝑑𝑥

√5−3𝑥

ตัวอย่าง จงหาค่าของ ∫(2 − 3𝑥2)4𝑥𝑑𝑥

8

5.4 ปริพันธ์จ ากัดเขต (Definite Integrals)

y

x

y = f(x)

x = a x = b

รูปท่ี 5.4.1

0 a b

รูป 5.4.2

แสดงการแบง่บริเวณ

ออกเป็นแทง่สีเ่หลีย่มผืนผ้าแนบใน

รูป 5.4.3

แสดงการแบง่บริเวณ

ออกเป็นแทง่สีเ่หลีย่มผืนผ้าแนบนอก

9

บทนิยาม 5.4.1

ผลแบ่งกั้น (partition) ของช่วงปิด ,a b คือเซต 0 1 2, , ,..., nP x x x x ที่

0 1 2 1... n na x x x x x b เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก

จุด ix จะแบ่ง ,a b ออกเป็นผลผนวก (union) ของช่วงปิดย่อย n ช่วง 1,i ix x เมื่อ

1,2,3,...,i n

ความยาวของแต่ละช่วงปิดย่อย 1,i ix x เขียนแทนด้วย 1i i ix x x เมื่อ 1,2,3,...,i n

และจะเรียกความยาวของช่วงปิดย่อยที่ยาวที่สุดว่า ค่าประจ า (norm) ของผลแบ่งกั้น P

ซึ่งเขียนแทนด้วย


ถ้า : ,f a b แล้วจะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต (bounded function) บน

,a b ก็ต่อเมื่อมีจ านวนจริงบวก M ซึ่ง ( )f x M ส าหรับทุกค่า x ใน ,a b


ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน ,a b และ 0 1 2, , ,..., nP x x x x เป็นผลแบ่งกั้นของ ,a b

และถา้ it เป็นจุดใด ๆ ในช่วงปิดย่อย 1,i ix x เมื่อ 1,2,3,...,i n

แล้วจะเรียก 1

( )n

i i

i

f t x

ว่า ผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ของ f และเขียนแทนด้วย

สัญลักษณ์ ( )nR f

และถ้า 0

lim ( )nR f

หาค่าได้ แล้วจะเรียกค่าลิมิตที่หาได้นี้ว่า ปริพันธ์จ ากัดเขตของ f จาก a

ถึง b

หรือ ปริพันธ์จ ากัดเขตของ f บน ,a b และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ( )

b

a

f x dx

และเรียก f ว่า เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ (integrable function) บน ,a b

จะเรียก a และ b ว่าลิมิตล่าง(lower limit) และลิมิตบน(upper limit) ตามล าดับของ

การหาปริพันธ์

10

ทฤษฎีบท 5.4.1

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ,a b แล้ว f หาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b

หมายเหตุ จากตัวอย่าง 5.4.1 จะได้ว่า พ้ืนที่ของบริเวณท่ีล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง 2y x เส้นตรง 0x เส้นตรง

1x และแกน x คือค่าปริพันธ์จ ากัดเขต 1

2

0

1

3x dx นั่นเอง

Y = f(x)

𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡𝑖 𝑡𝑛−1 𝑡𝑛

𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛

𝑓(𝑡𝑖)

รูป 5.4.4 แสดงการหาปริพนัธ์จ ากดัเขตที่เกิดจากผลบวกรีมนัน์

y

x

11

คุณสมบัติของปริพันธ์จ ากัดเขต (Properties of Definite Integrals)

1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b

1.1) ถ้า ( ) 0f x ส าหรับทุก ๆ ,x a b แล้ว ( ) 0b

af x dx

1.2) ถ้า ( ) 0f x ส าหรับทุก ๆ ,x a b แล้ว ( ) 0b

af x dx

2. ถ้า k เป็นค่าคงตัวแล้ว ( )b

akdx k b a

3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว

( ) ( )a b

b af x dx f x dx

4. ( ) 0a

af x dx

5. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และถ้า k เป็นค่าคงตัวใด ๆ

แล้ว kf จะเป็นฟังก์ชันหาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b ด้วย และ

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx

6. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว f g จะเป็น

ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b ด้วย และ

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

7. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และถ้า ( ) ( )f x g x

ส าหรับทุก ,x a b แล้ว ( ) ( )b b

a af x dx g x dx

8. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b โดยที่ a c b แล้ว

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

9. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว f จะเป็น

ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b ด้วย และ ( ) ( )b b

a af x dx f x dx

12


ถ้า f เปน็ฟังก์ชันค่าคงตัว (constant function) บนช่วงปิด ,a b โดยที่

( )f x k ส าหรับทุก ๆ ,x a b เมื่อ k เป็นค่าคงตัว แล้ว

( )b

akdx k b a

ทฤษฎีบท 5.4.3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และ k เป็น

ค่าคงตัวแล้ว kf เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b และ

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx

หมายเหตุ ส าหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชัน การหาค่าปริพันธ์จ ากัดเขตโดยวิธีที่กล่าว

ข้างต้นมีความยุ่งยากมากแต่ถ้าหาโดยอาศัยทฤษฏีบทหลักมูลของปริพันธ์แคลคูลัส

ซึ่งจะกล่าวต่อไปนี้ จะหาค่าได้ง่ายกว่า

13

ทฤษฎีบทหลักมูลของปริพันธ์แคลคูลัส

(Fundamental Theorem of Integral Calculus)

ทฤษฎีบท 5.4.4 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่หนึ่งของปริพันธ์แคลคูลัส (First

Fundamental Theorem of Integral Calculus)

ถ้ า f เ ป็ น ฟั ง ก์ ชั น ที่ ห า ป ริ พั น ธ์ ไ ด้ บ น ,a b แ ล ะ F เ ป็ น ฟั ง ก์ ชั น ที่

( ) ( )x

aF x f t dx ส าหรับแต่ละ ,x a b แล้ว F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f

บน ,a b นั่นคือ

( ) ( ) ( )x

a

dF x f t dt f x

dx

ส าหรับทุก ,x a b

ทฤษฎีบท 5.4.5 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของปริพันธ์แคลคูลัส (Second

Fundamental Theorem of Integral Calculus)

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b และ G เป็นฟังก์ชันที่เป็นปฎิยานุพันธ์

ของ f บน ,a b แล้ว

( ) ( ) ( )b

af x dx G b G a

14

ตัวอย่าง 5.4.2 จงหาค่าของ 1

2

0x dx

วิธีท า

ตัวอย่าง 5.4.3 จงหาค่าของ

22

31

3(7 5 2 )x x dx

x

วิธีท า

15


2 4

0(2 3 )x xdx

วิธีท า

16

แบบฝึกหัด 5.3 จงหาค่าของปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้โดยใชผ้ลบวกรีมันน์

1. 1

0( 1)x dx 2.

22

1( 2)x dx

3. 3

3

0x dx 4.

33

1( 3)x dx

จงหาค่าของปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้โดยใชท้ฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของปริพันธ์

แคลคูลัส

5. 6

0(5 3 )x dx 6.

54 3 2

1( 5 3 1)x x x dx

7. 4

22

1( )u duu

8. 3

2

0( 3 )v dv

9. 3 2

8

31

1( )

sds

s

10.

9

4

( 1)mdm

m

11. 5

1 2 1

dw

w 12.

4

0 9 2

dq

q

13. 3

20 16

tdt

t 14.

2

20 25 4

ydy

y

15. 3

26 5

sds

s 16.

22 3

02 1x x dx

17

5.5 เทคนิคของการหาปริพันธ์ (Techniques of Integration)

สูตรของการหาปริพันธ์ (integration formulas)

ก าหนดให้ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x และให้ a และ C เป็นค่าคงตัว จะได้

สูตรที่ 1 du u C

สูตรที่ 2 ( )du dv du dv

สูตรที่ 3 ( )u v dx udx vdx

สูตรที่ 4 audx a udx

สูตรที่ 5 1

1

nn u

u du Cn

เมื่อ 1n (power

formula)

สูตรที่ 6 1

lndu u Cu

สูตรที่ 7 ln

uu a

a du Ca

เมื่อ 0a และ 1a

สูตรที่ 8 u ue du e C

สูตรที่ 9 sin cosudu u C

18

สูตรที่ 10 cos sinudu u C

สูตรที่ 11 tan ln cos ln secudu u C u C

สูตรที่ 12 cot ln sin ln cscudu u C u C

สูตรที่ 13 sec ln sec tanudu u u C

สูตรที่ 14

csc ln csc cot ln csc cotudu u u C u u C

สูตรที่ 15 2sec tanudu u C

สูตรที่ 1 6 2csc cotudu u C

สูตรที่ 1 7 sec tan secu udu u C

สูตรที่ 18 csc cot cscu udu u C

19


22( 2)xdx

x

วิธีท า

20

ตัวอย่าง 5.5.2 จงหาค่าของ 3( 3 3 3 )x x x xx e e dx

วิธีท า

21


(sec tan )x x dx

วิธีท า

22

แบบฝึกหัด 5.4

จงหาค่าของปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. 3 3( 3)

3

xdx

x

2. ( )x x x xa e a e dx เมื่อ a เป็นค่าคงตัว

3. (3 )

5

x x

x

edx

4. (sec 1)x dx

5. 2(1 tan )x dx

6. (tan cot )x x dx

7. 2(csc cot )x x dx

8. 22

( 2cot )cot

x dxx

23

เทคนิคของการหาปริพันธ์บางเทคนคิ (Some Techniques of

Integration)

เทคนิคของการหาปริพันธ์ที่จะกล่าวถึงในที่นี้ จะกล่าวเพียง 3 วิธี

ดังต่อไปนี ้

1. การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า (integration by substitution)

2. การหาปริพันธ์โดยวิธีการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (integration by

method of partial fractions)

3. การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (integration by parts)

การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

ตัวอย่าง 5.5.4 จงหาค่าของ 3 19 2(2 5)x x dx

วิธีท า

24

ตัวอย่าง 5.5.5 จงหาค่าของ 2 3

dx

x

วิธีท า

25


(3 2)

1 4 3

x dx

x x

วิธีท า

26


xdx

x

วิธีท า

27


3

x dx

x

วิธีท า

28


25 3 7

2 1

x xdx

x

วิธีท า

29


32 (2 ).3 xx dx

วิธีท า

30

ตัวอย่าง 5.5.11 จงหาค่าของ 4x x dx และ 5

04x x dx

วิธีท า

31

ตัวอย่าง 5.5.12 จงหาค่าของ sin3 cos3xe xdx

วิธีท า

32


2

2 4(2 )

x

x

e dx

e

วิธีท า

33

ตัวอย่าง 5.5.14 จงหาค่าของ 2 3 x

dx

e

วิธีท า

34


2sec

3 5 tan

xdx

x

วิธีท า

35

ตัวอย่าง 5.5.16 จงแสดงว่า sin 2

ln(sin )1 cos2

xdxx C

x

วิธีท า

36

การหาปริพันธ์โดยวิธีการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Integration by

Method of Partial Fractions)


ถ้า 2

0 1 2( ) n

nP x a a x a x a x เมื่อ ia เป็นจ านวนจริง

ส าหรับ 0,1,2,3,...,i n และ 0na โดยที่ 0n เป็นจ านวนเต็ม

แล้วจะเรียก ( )P x ว่าเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)

ของ x ระดับขั้น(degree) n


ให้ ( )P x และ ( )Q x เป็นฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions)

ของ x โดยที่ ( ) 0Q x

ส าหรับทุก ๆ ค่าของ x

- ถ้าระดับขั้นของ ( )P x น้อยกว่าระดับขั้นของ ( )Q x แล้วจะเรียก ( )

( )

P x

Q x ว่าฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) ที่เป็นเศษส่วน

แท้ (proper fraction)

- ถ้าระดับขั้นของ ( )P x มากกว่าหรือเท่ากับระดับขั้นของ ( )Q x

แล้วจะเรียก ( )

( )

P x

Q x ว่าฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) ที่

เป็นเศษเกิน (improper fraction)

37


ถ้า ( )

( )

P x

Q x เป็นฟังก์ชันตรรกยะท่ีเป็นเศษสว่นแท้

แล้วจะสามารถเขยีน ( )

( )

P x

Q x เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย (partial

fractions) ในรูป ( )k

A

ax b หรือ 2( )k

Ax B

ax bx c

เมื่อ , , , ,A B a b c เป็นค่าคงตัว และ 1,2,3,...k

38

หลักเกณฑ์ในการท าเศษส่วนแท้ให้เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย

ถ้า ( )

( )

P x

Q x เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วนแท้ แล้วเรามีเกณฑ์

ในการเขียน ( )

( )

P x

Q x ให้อยู่ในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย ดังนี้

39


(2 41)

5 14

xdx

x x

วิธีท า

40


4 3 2

3 2

(3 4 19 31 12)

8 12

x x x x dx

x x x

วิธีท า

41


3

4 2

( 2 )

2 1

x x dx

x x

วิธีท า

42

การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (Integration by Parts)

- ใช้ช่วยในการหาปริพันธ์ที่ตัวถกูหาปริพันธ์อยูใ่นรูปผลคูณของ

ฟังก์ชันสองฟังก์ชนัซึ่งหาปริพันธ์ไม่ได้หรือยาก เช่น การหาคา่

ของ 3 6, ln , sinx xx e dx x xdx e xdx เป็นต้น

- การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนต้องอาศัยสูตรดงัทฤษฎีบทต่อไปนี้


ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันของตัวแปรอสิระ 1 ตัวแปร

แล้ว udv uv vdu

ซึ่งเรียกว่า สูตรส าหรับการหาปรพิันธ์โดยการแยกสว่น (formula

for integration by parts)

43

การใช้สูตรส าหรบัการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

มีข้อสังเกตดังนี ้

1. ให้ปริพันธ์ที่ต้องการหาค่าเทา่กับ udv

2. เลือกฟังก์ชัน u และเลือก dv ให้เหมาะสม

o เลือก u มักจะเลือกฟังก์ชันพหุนามหรอืฟังก์ชันลอการิทมึ

เป็นต้น

o ส่วนการเลือก dv มกัจะเลือกส่วนทีส่ามารถหาปริพันธ์ได้

ทันที เช่น ส่วนที่มฟีังก์ชันเลขชี้ก าลัง หรือสว่นที่มีฟังกช์ัน

ตรีโกณมิติ เป็นตน้

3. หาค่าของ du และหาค่าของ v

44

4. แทนค่า , ,u dv du และ v ในสูตรการหาปริพันธ์โดยการแยก

5. โจทย์บางข้อต้องใช้สูตรส าหรบัการหาปรพิันธ์โดยการแยกส่วน

มากกวา่ 1 ครั้ง

45

ตัวอย่าง 5.5.20 จงหาค่าของ xxe dx

วิธีท า

46

ตัวอย่าง 5.5.21 จงหาค่าของ 2 xx e dx

วิธีท า

47

ตัวอย่าง 5.5.22 จงหาค่าของ 6 lns sds

วิธีท า

48


25

v dv

v

วิธีท า

49

ตัวอย่าง 5.5.24 จงหาค่าของ 2cscu udu

วิธีท า

50

ตัวอย่าง 5.5.25 จงหาค่าของ 3sec xdx

วิธีท า

51

ตัวอย่าง 5.5.26 จงหาค่าของ sinxe xdx และ 0sinxe xdx

วิธีท า

52

ตัวอยา่ง 5.5.27 จงหาค่าของ sin(ln )x dx

วิธีท า

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ · 4 5.3...

Documents