Naresuan University Publishing Housewww.nupress.grad.nu.ac.th

มฑตา สงฆจนทร

ตวอยาง

ขอมลทางบรรณานกรมของสานกหอสมดแหงชาต

National Library of Thailand Cataloging in Publication Data

มฑตา สงฆจนทร.ระบบควบคม = Control Systems.-- พษณโลก : สานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร, 2561. 398 หนา.

1. การควบคมอตโนมต. I. ชอเรอง.

629.8

ISBN 978-616-426-109-9

ISBN (e-book) 978-616-426-110-5

สพน. 51

ราคา 380 บาท

พมพครงท 1 มถนายน พ.ศ. 2561 จานวนพมพ 300 เลม

สงวนลขสทธ ตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537 โดยสานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร หามการลอกเลยนไมวาสวนใดสวนหนงของหนงสอเลมน

ไมวาในรปแบบใด ๆ นอกจากจะไดรบอนญาตเปนลายลกษณอกษรจากสานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร เทานน

ผจดพมพ สานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร

มวางจาหนายท 1. ศนยหนงสอแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย สาขา ศาลาพระเกยว กรงเทพฯ โทร. 0-2218-7000-3

สยามสแควร อาคารวทยกตต กรงเทพฯ โทร. 0-2218-9881, 0-2255-4433

มหาวทยาลยนเรศวร จงหวดพษณโลก โทร. 0-5526-0162-5

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร จงหวดนครราชสมา โทร. 044-216131-2

มหาวทยาลยบรพา จงหวดชลบร โทร. 0-3839-4855-9

โรงเรยนนายรอยพระจลจอมเกลา (รร.จปร.) จงหวดนครนายก โทร. 037-393-023, 037-393-036

จตรสจามจร กรงเทพฯ โทร. 0-2160-5301

มหาวทยาลยพะเยา โทร. 0-5446-6799, 0-5446-6800

มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน โทร. 044-922662-3

สาขายอยคณะครศาสตรจฬาฯ โทร. 0-2218-3979

สาขาหวหมาก โทร. 02-374-1378

2. ศนยหนงสอมหาวทยาลยเกษตรศาสตร อาคารวทยบรการ มหาวทยาลยเกษตรศาสตร 50 ถนนงามวงศวาน

แขวงลาดยาว เขตจตจกร กรงเทพฯ 10900 โทร. 0-2579-0113

3. ศนยหนงสอมหาวทยาลยธรรมศาสตร อาคารอเนกประสงค ชน 1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร ถนนพระจนทร

แขวงพระบรมมหาราชวง เขตพระนคร กรงเทพฯ 10200 โทร. 0-2613-3899, 0-2623-6493

สาขา ศนยหนงสอมหาวทยาลยเชยงใหม จงหวดเชยงใหม โทร. 0-5394-4990-1

ศนยหนงสอมหาวทยาลยสงขลานครนทร จงหวดสงขลา โทร. 0-7428-2980, 0-74282981

ศนยหนงสอมหาวทยาลยราชภฏยะลา จงหวดยะลา โทร. 0-7329-9980

4. ศนยหนงสอมหาวทยาลยขอนแกน 123 หม 16 ถนนมตรภาพ ตาบลในเมอง อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน 40000

โทร. 0-4320-2842

5. ศนยหนงสอมหาวทยาลยมหาสารคาม 41/20 ตาบลขามเรยง อาเภอกนทรวชย จงหวดมหาสารคาม 44150

โทร. 0-4375-4319

กองบรรณาธการ กองบรรณาธการจดทาเอกสารสงพมพทางวชาการของสานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร

ออกแบบปก สรญา แสงเยนพนธ

ออกแบบรปเลม สญญา จนทา

พมพท รตนสวรรณการพมพ 3 30-31 ถนนพญาลไท อาเภอเมอง จงหวดพษณโลก 65000 โทร. 0-5525-8101

สานกพมพนเปนสมาชกสมาคมผจดพมพ และผจาหนายหนงสอแหงประเทศไทย

http://www.thaibooksociety.com

nu_publishing

กรณตองการสงซอหนงสอปรมาณมาก หรอเขาชนเรยนตดตอไดท ฝายจดจาหนายสานกพมพมหาวทยาลยนเรศวร

พมพบน

กระดาษถนอมสายตากรนรด กระดาษคณภาพ เพอผลงานคณภาพ

ตวอยาง

คำนำ

ตาราเลมนจดทาขนเพอใชประกอบการเรยนการสอนในรายวชา 303352 ระบบควบคม

(Control System) ซงอยในกลมวชาบงคบเฉพาะสาขา ตามหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑต สาขา

วศวกรรมไฟฟา ภาควชาวศวกรรมไฟฟาและคอมพวเตอร คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร

เนอหาในตาราเลมนจะกลาวถงแบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบ ฟงกชนถายโอน แผนผง

บลอก กราฟการไหลของสญญาณ แบบจาลองของระบบในโดเมนเวลาและโดเมนความถ ผลตอบสนอง

ของระบบพลวต ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงและอนดบสอง การควบคมวงเปดและวงปด การควบคม

แบบปอนกลบและความไว หลกการและเงอนไขของระบบทมเสถยรภาพ วธทดสอบความมเสถยรภาพ

ทางเดนราก แผนภาพโบเด แผนภาพไนควสต ซงเนอหาในแตละบทไดถกจดทาขนเพอใหสอดคลอง

กบแผนการสอนและรายละเอยดเนอหารายวชาตามทสภาวศวกรกาหนด และในตอนทายของแตละบท

จะมคาถามทายบทเพอใหผ เรยนสามารถทดสอบความเขาใจจากการนงฟงบรรยายในชนเรยน

และยงเปนการทบทวนบทเรยนทไดเรยนไปแลวอกดวย อยางไรกดนสตจะตองไปศกษาหาความรเพมเตม

ดวยตนเองจากหนงสอทเกยวกบระบบควบคมอนๆ เพอเพมพนความรและเพมแนวทางในการออกแบบ

และแกปญหาโจทยไดดยงขน

สดทายนผ เขยนขอขอบพระคณคณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร เปนอยางยง

ทใหความอนเคราะหทนสนบสนนในการผลตตาราเลมน

ผชวยศาสตราจารย ดร.มฑตา สงฆจนทร ผเขยนและผเรยบเรยงตว

อยาง

สารบญ บทนำ ............................................................................................................... 1 ความรเบองตนเกยวกบระบบควบคม .................................................................................... 1 องคประกอบของระบบควบคม ..............................................................................................3 ประเภทของระบบควบคมแบบปอนกลบ ............................................................................... 7 ผลกระทบทเกดจากระบบควบคมแบบปอนกลบ ...................................................................8 ตวอยางของระบบควบคมแบบปอนกลบ .............................................................................13 โปรแกรมคอมพวเตอรทชวยในการวเคราะหระบบควบคม .................................................17 แบบฝกหดทายบทท 1 ...................................................................................................19

คณตศำสตรพนฐำนสำหรบระบบควบคมและฟงกชนถำยโอน .........................20 ตวแปรเชงซอนและฟงกชนเชงซอน .....................................................................................20 การแปลงลาปลาซ ................................................................................................................25 ทฤษฎบททสาคญของการแปลงลาปลาซ .............................................................................27 การแปลงลาปลาซผกผนโดยใชวธการกระจายเศษสวนยอยบางสวน ..................................31 การประยกตใชการแปลงลาปลาซในการหาผลเฉลยของสมการอนพนธเชงเสนทวไป .........46 ฟงกชนถายโอน ....................................................................................................................50 การวเคราะหโดยใชโปรแกรมแมตแลบ ................................................................................63 แบบฝกหดทายบทท 2 .........................................................................................................70

แผนผงบลอกและกรำฟกำรไหลของสญญำณ ................................................ 73 แผนผงบลอก .......................................................................................................................74 กราฟการไหลของสญญาณ ..................................................................................................83 แบบฝกหดทายบทท 3 .........................................................................................................99

แบบจำลองคณตศำสตรในทำงโดเมนเวลำ:ปรภมสถำนะ ................................113 รปแบบทวไปของปรภมสถานะ ..........................................................................................119 การประยกตใชปรภมสถานะกบระบบทางกายภาพ ..........................................................123 การเปลยนรปฟงกชนถายโอนใหอยในรปปรภมสถานะ .....................................................132 การเปลยนรปแบบปรภมสถานะใหอยในรปแบบฟงกชนถายโอน ......................................142 การทาใหเปนเชงเสน .........................................................................................................144 การแปลงรปแบบจาลองทางคณตศาสตรโดยใชแมตแลบ ..................................................148 แบบฝกหดทายบทท 4 .......................................................................................................152

บทท

01

บทท

02

บทท

03

บทท

04

ตวอยาง

กำรวเครำะหผลตอบสนองชวครและผลตอบสนองทสภำวะคงตว ....................157 ระบบอนดบหนง ................................................................................................................160 ระบบอนดบสอง .................................................................................................................166 การกาหนดนยามตางๆ สาหรบผลตอบสนองชวคร ...........................................................176 ผลตอบสนองตอฟงกชนอมพลสของระบบอนดบสอง ........................................................189 ระบบอนดบสงกวา .............................................................................................................192 การวเคราะหผลตอบสนองชวครโดยใชแมตแลบ ...............................................................196 แบบฝกหดทายบทท 5 .......................................................................................................200

คำผดพลำดทสภำวะคงตว ...........................................................................205 คาผดพลาดทสภาวะคงตวสาหรบระบบปอนกลบทมอตราขยายการปอนกลบ เทากบหนง .........................................................................................................................209 คาคงทคาผดพลาดสถตยและชนดของระบบ .....................................................................217 การระบรายละเอยดสาหรบคาผดพลาดทสภาวะคงตว ......................................................223 คาผดพลาดทสภาวะคงตวสาหรบระบบทมสญญาณรบกวน ..............................................226 คาผดพลาดทสภาวะคงตวสาหรบระบบปอนกลบทมอตราขยายการปอนกลบ ไมเทากบหนง .....................................................................................................................229 คาผดพลาดทสภาวะคงตวของระบบในปรภมสถานะ ........................................................234 แบบฝกหดทายบทท 6 .......................................................................................................240

เสถยรภำพของระบบ .....................................................................................251 เกณฑของรทธ – เฮอรวทช ................................................................................................256 เกณฑของรทธ – เฮอรวทช: กรณพเศษ ............................................................................259 ตวอยางเพมเตมสาหรบเกณฑของรทธ – เฮอรวทซ...........................................................266 แบบฝกหดทายบทท 7 .......................................................................................................274

แผนภำพทำงเดนรำก ...................................................................................287 นยามทางเดนราก ..............................................................................................................292 คณสมบตของทางเดนราก .................................................................................................296 การวาดทางเดนราก ...........................................................................................................301 การวาดทางเดนรากใหละเอยดยงขน .................................................................................306 รปรางทวไปของทางเดนราก ..............................................................................................324 การวาดทางเดนรากโดยใชแมตแลบ ..................................................................................326 แบบฝกหดทายบทท 8 .......................................................................................................331

บทท

05

บทท

06

บทท

07

บทท

08

ตวอยาง

กำรวเครำะหผลตอบสนองเชงควำมถ ...........................................................239 แผนภาพโบเด ....................................................................................................................348 การวาดแผนภาพโบเดโดยใชแมตแลบ ...............................................................................364 แผนภาพเชงขว ..................................................................................................................366 รปรางทวไปของแผนภาพเชงขว ........................................................................................376 การวาดแผนภาพเชงขวโดยใชแมตแลบ .............................................................................380 แบบฝกหดทายบทท 9 .......................................................................................................384 บรรณำนกรม ...............................................................................387 ดชน .............................................................................................388

บทท

09

ตวอยาง

บทท 1

บทนำ

ในชวงหลายปทผานมาระบบควบคมไดเขามามบทบาทสาคญมากขนเรอย ๆ ทงในเรองของการพฒนา

และการเจรญเตบโตของเทคโนโลยในยคสมยใหม ซงกจกรรมของมนษยในทก ๆ ดานลวนแลวแตใชงานทเกยวกบ

ระบบควบคมแทบทงสน โดยสวนมากจะเหนไดในทกสวนของงานทเกยวกบอตสาหกรรม ยกตวอยางเชน สวนการควบคม

คณภาพการผลต สวนของสายงานการประกอบอตโนมต การควบคมเครองกลงหรอตดโลหะเปนรปตาง ๆ และยงสามารถ

เหนไดในงานทเกยวกบเทคโนโลยทางดานอวกาศและระบบขปนาวธ ระบบการขนสงและลาเลยง ระบบหนยนต

เทคโนโลยนาโน และอกหลากหลายทสามารถพบไดทวไป ซงระบบทกลาวถงทงหมดนไดมาจากทฤษฎของการควบคม

อตโนมตทงสน

ควำมรเบองตนเกยวกบระบบควบคม

ระบบควบคมโดยทวไปประกอบไปดวยระบบรอง (Subsystem) และกระบวนการ (Process) ทนามาประกอบ

เขาดวยกนเพอกอใหเกดผลลพธหรอเอาตพตทตองการเมอปอนอนพตเขาไปคาใดคาหนง โดยในรปท 1.1 แสดงให

เหนถงระบบควบคมทมรปแบบทงายทสดซงเมอทาการปอนอนพตเขาไปในระบบ ระบบจะใหคาผลลพธทตองการ

ออกมา

ระบบควบคมอนพต เอาตพต

ผลตอบสนองทตองการ ผลตอบสนองจรง

รปท 1.1 รปแบบอยางงายของระบบควบคม

ตวอยาง

ระบบควบคม 2

บทท 1 | บทนำ

ยกตวอยางการทางานของลฟต เมอผโดยสารทอยในลฟตในชนทหนงกดแปนควบคมหมายเลข 4 ในลฟต

ลฟตจะเคลอนทขนไปยงชนทสดวยความเรวและหยดทตาแหนงทถกออกแบบไว ซงในทนการกดแปนควบคม

หมายเลข 4 จะเปนอนพตทแสดงถงคาเอาตพตหรอผลลพธทตองการ โดยกราฟของอนพตจะแสดงในรปแบบของฟงกชน

ขนบนไดและเอาตพตหรอผลการทางานของลฟตแสดงโดยเสนโคงผลตอบสนองของลฟต ดงในรปท 1.2

ตาแห

นงขอ

งลฟต

(ชน)

1

4

เวลา

ผลตอบสนองชวคร

คาอนพตทตองการ

ผลตอบสนองของลฟต

ผลตอบสนอง คาความผดพลาดทในสภาวะคงตว สภาวะคงตว

รปท 1.2 ผลตอบสนองของลฟต

การวดผลตอบสนองของระบบควบคมแบงออกไดเปน 2 ประเภทหลก ๆ คอผลตอบสนองชวคร

และคาผดพลาดทสภาวะคงตว ยกตวอยางเชนในกรณการทางานของลฟต ความร สกสบายและความอดทนของ

ผโดยสารลฟตนนขนอยกบผลตอบสนองชวคร ถาผลตอบสนองชวครมความเรวเกนไป ความรสกสบายของผโดยสารกจะหายไป

และถาผลตอบสนองชวครชาเกนไปกจะทาใหผโดยสารรสกจะตองอดทนในการเดนทางมากขน สาหรบคาผดพลาด

ทสภาวะคงตวกเปนผลตอบสนองทจะตองคานงถงเชนกน เพราะผโดยสารจะรสกไมปลอดภยและไมไดรบความสะดวก

สบายถาลฟตโดยสารไมสามารถไปถงยงชนทตองการไดอยางแมนยาและเหมาะสม

กอนทจะอธบายรายละเอยดในเชงลกตอไปเกยวกบระบบควบคม มคาศพทเกยวกบระบบควบคมทควร

จะตองทาความเขาใจกอน

1. ตวแปรทถกควบคมและตวแปรจดการ (Controlled Variable and Manipulated Variable) ตวแปร

ทถกควบคม คอ ปรมาณหรอเงอนไขทถกวดคาหรอถกควบคม สวนตวแปรจดการคอปรมาณหรอเงอนไขทผนแปร

โดยตวควบคมซงจะมผลตอคาของตวแปรทถกควบคม โดยปกตแลว ตวแปรทถกควบคมจะเปรยบเสมอนเปนผลลพธหรอ

เอาตพตของระบบ

2. การควบคม (Control) การควบคมหมายถงการวดคาของตวแปรทถกควบคมของระบบและการปอน

คาของตวแปรจดการเขาไปในระบบเพอปรบแกหรอจากดการเบยงเบนหรอความคลาดเคลอนขอคาทวดไดจากคาท

ตองการ

ตวอยาง

บทท 2

คำณตศาสตรพนำฐานำ สหรบระบบคำวบคำมและฟงกชนำ

ถายโอนำ

สงหนง ทสาคญทสดในการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมคอแบบจาลองทางคณตศาสตร

ของระบบควบคม งานของวศวกรระบบควบคมไมใชเพยงแคพจารณาวาจะอธบายระบบอยางไรใหถกตองแมนยา

โดยใชหลกการทางคณตศาสตรแตทสาคญกวานนคอจะตองพจารณาดวยวาจะทาอยางไรเพอใหไดการประมาณคา

หรอสมมตฐานทเหมาะสมเพอทจะทาใหระบบนนมคณลกษณะทเหมอนจรงโดยใชแบบจาลองทางคณตศาสตร

ซงการศกษาเกยวกบระบบควบคมนนตองอาศยคณตศาสตรประยกตเปนสาคญ และหนงในวตถประสงคหลก

ของการศกษาเกยวกบระบบควบคมคอเพอพฒนาเครองมอทใชในการวเคราะหระบบเพอใหผออกแบบสามารถออกแบบ

ระบบไดอยางนาเชอถอและเปนเหตเปนผลโดยไมจาเปนตองทาการทดลองอยางมากมายหรอไมจาเปนตองใชการจาลอง

ทางคอมพวเตอรทใหญโตมโหฬาร

ดงนนในบทนจะไดกลาวถงวธการแปลงลาปลาซตลอดจนทฤษฎและการประยกตใช ซงการแปลงลาปลาซ

ถอเปนเครองมอทางคณตศาสตรอยางหนงทเปนประโยชนและสามารถนามาแกปญหาในระบบควบคมไดเปนอยางด

ตวแปรเชงซอนและฟงกชนเชงซอน

กอนทจะกลาวถงการแปลงลาปลาซในหวขอถดไปจาเปนจะตองทบทวนเรองของตวแปรเชงซอนและฟงกชน

เชงซอนเสยกอน รวมไปถงทฤษฎบทของออยเลอรทเปนความสมพนธระหวางฟงกชนไซนซอยดกบฟงกชนเลขชกาลง

(Exponential)

ตวอยาง

22 ระบบควบคม

บทท 2 | คณตศาสตรพนฐานสำ หรบระบบควบคมและฟงกชนถายโอน

ตวแปรเชงซอน

จานวนเชงซอนประกอบไปดวยสวนจรงและสวนจนตภาพ โดยททงสองเทอมนเปนคาคงท แตถาสวนจรง

หรอสวนจนตภาพเปนตวแปร ปรมาณเชงซอนนจะถกเรยกวาตวแปรเชงซอน ในวธการแปลงลาปลาซจะใชสญลกษณ

s แทนตวแปรเชงซอน ซงจะเขยนแสดงไดเปน

s jσ ω= + (2.1)

โดยท σ แทนสวนจรง และ ω แทนสวนจนตภาพ

ฟงกชนเชงซอน

ฟงกชนเชงซอน G(s) เปนฟงกชนของตวแปร s

( ) x yG s G jG= + (2.2)

เ ม อ Gx และ G

y เ ป นจ านวนจร ง ขนาดของฟ ง ก ช น เ ช ง ซ อน G ( s ) ค อ 2 2

x yG G+

และคามมเฟส θ ของฟงกชนเชงซอน G(s) คอ tan-1(Gy/G

x) โดยทคามมจะวดในทศทางทวนเขมนาฬกาจากแกนจรงทาง

ดานบวก และคาสงยคของฟงกชน G(s) คอ x yG G jG= −

ฟงกชนเชงซอน G(s) อาจกลาวไดวาเปนฟงกชนทสามารถวเคราะหไดภายในขอบเขตทกาหนดถาคา G(s)

และคาอนพนธของมนมจรงในขอบเขตนน ๆ โดยทคาอนพนธของฟงกชน G(s) หาไดจาก

0 0

( ) ( )( ) lim lim

s s

d G s s G s GG s

ds s s∆ → ∆ →= =

+ ∆ − ∆∆ ∆

(2.3)

เนองจากเทอม ∆s = ∆σ + j∆ω สามารถมคาเขาใกลศนยในหลาย ๆ เสนทางทแตกตางกน

ถาคาอนพนธของ G(s) ทสามารถหาไดจากเสนทางเฉพาะสองเสนทางซงคอ ∆s = ∆σ และ ∆s = j∆ω มคาเทากนดงนนจะทาใหคาอนพนธทไดมคาเฉพาะสาหรบเสนทางใด ๆ และสามารถกลาวไดวาคาอนพนธนนมจรง

ตวอยาง

บทท 3

แผนำผงบลอกและกราฟการไหลของสญญาณ

เนองจากแผนผงบลอกเปนแผนภาพทใชแสดงแบบจาลองของระบบไดทกชนดและเปนแผนภาพอยางงาย

และมประโยชนในหลาย ๆ ดาน ดงนนวศวกรควบคมจงมกใชแผนผงบลอกในการอธบายระบบ ซงแผนผงบลอกจะใชใน

การอธบายองคประกอบทงหมดรวมถงการเชอมตอกนของระบบ หรอแผนผงบลอกเมอใชรวมกนกบฟงกชนถายโอน

จะใชเพออธบายความสมพนธระหวางเหตและผลทเกดขนทวทงระบบ ยกตวอยางเชนในรปท 3.1 แสดงแบบจาลอง

ของระบบวงเปดทควบคมความเรวของมอเตอรกระแสตรง แผนผงบลอกในกรณนแสดงใหเหนถงลกษณะการเชอมตอกน

ขององคประกอบแตละตวของระบบและทสงเกตไดอยางชดเจนคอไมมรายละเอยดใด ๆ เกยวกบคณตศาสตรปรากฏ

ในแผนผงบลอกน แตถาทราบความสมพนธทางคณตศาสตรและฟงกชนของทก ๆ องคประกอบในระบบแลว

แผนผงบลอกสามารถถกนาไปใชเปนเครองมอในการวเคราะหและคานวณหาผลเฉลยของระบบไดอกดวย

วงจรขยาย มอเตอรไฟฟากระแสตรง

โหลดแรงดนอนพต ความเรวเอาตพต

แรงบดรบกวน

รปท 3.1 แผนผงบลอกของระบบควบคมของมอเตอรไฟฟากระแสตรง

ทมา: เอกสารการอบรมเรองระบบควบคมแบบปอนกลบ

ตวอยาง

74

บทท 3 | แผนผงบลอกและกราฟการไหลของสญญาณ

ระบบควบคม

( )iv t

( )iV sav

iv( )av t

( )aV siK

R Ls+1

B Js+

( )LT s

( )tω

( )sΩ

+_

รปท 3.2 แผนผงบลอกทมฟงกชนถายโอนและคณลกษณะของวงจรขยาย

โดยทวไปแลวแผนผงบลอกนสามารถใชแสดงแบบจาลองของระบบเชงเสนและระบบไมเปนเชงเสนไดดวย

ยกตวอยางเชน ความสมพนธระหวางอนพตและเอาตพตของระบบควบคมมอเตอรไฟฟากระแสตรงทแสดงในรปท 3.2

จากรปแสดงใหเหนวาแรงดนอนพตทปอนใหกบมอเตอรคอเอาตพตของวงจรขยายกาลงซงในความเปนจรง

จะมคณลกษณะทไมเปนเชงเสน ถามอเตอรทใชมคณลกษณะเปนเชงเสนหรอมอเตอรนถกใชงานในชวงการใชงาน

ทเปนเชงเสนจะไดความสมพนธของอนพตและเอาตพตของมอเตอรสามารถแสดงอยในรปของฟงกชนถายโอนได

อตราขยายของวงจรขยายทไมเปนเชงเสนสามารถอธบายไดดวยความสมพนธระหวางตวแปรทางเวลา vi(t) และ v

a(t)

แตจะไมสามารถหาฟงกชนถายโอนทเปนความสมพนธระหวาง Vi(s) และ V

a(s) ได แตถาขนาดของ v

i(t) ถกจากด

อยในชวงการใชงานทเปนเชงเสนของวงจรขยายจะทาใหวงจรขยายสามารถถกพจารณาเปนระบบเชงเสนและยงสามารถ

อธบายไดโดยใชฟงกชนถายโอนคอ

( )( )

a

o

V sK

V s= (3.1)

เมอ K คอ คาคงทซงคอคาความชนในชวงการใชงานทเปนเชงเสนของคณลกษณะของวงจรขยาย

แผนผงบลอก(BlockDiagram)

ในบางครงระบบควบคมนนประกอบดวยองคประกอบเปนจานวนมาก ดงนนเพอแสดงใหเหนถงฟงกชน

การทางานของแตละองคประกอบในระบบควบคมจะใชแผนภาพทเรยกวาแผนผงบลอก ซงในหวขอนจะอธบายถง

ความหมายของแผนผงบลอกและกระบวนการในการใชแผนผงบลอกแทนระบบทางกายภาพตาง ๆ และเทคนค

ในการลดรปแผนผงบลอกใหอยในรปอยางงาย

ตวอยาง

บทท 4

แบบจำลองคำณตศาสตรในำทางโดเมนำเวลา: ปรภมสถานำะ

ในการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมแบบปอนกลบนนมวธทเปนทนยมและสามารถใชไดอย 2 วธ

วธแรกนนไดกลาวไปแลวในบทท 2 ซงเปนเทคนคดงเดมหรอทเรยกวาเทคนคในทางโดเมนความถ โดยทเทคนคนจะเปลยน

รปสมการอนพนธของระบบทอยในโดเมนเวลาใหอยในรปของฟงกชนถายโอนซงอยในโดเมนความถ และทาใหได

แบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบในรปแบบสมการพชคณตทแสดงถงความสมพนธระหวางอนพตกบเอาตพต

ในโดเมนความถ แตเทคนคดงเดมนกมขอเสย คอ การประยกตใชงานทคอนขางจากดเนองจากวธนสามารถประยกตใชได

กบระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาเทานน สาหรบขอดของวธดงเดมทสาคญคอวธนสามารถแสดงขอมลเกยวกบ

เสถยรภาพและผลตอบสนองชวครของระบบไดอยางรวดเรว ซงจะทาใหผออกแบบระบบสามารถเหนผลทเกดขน

จากการปรบคาพารามเตอรของระบบจนกระทงไดคาทตองการและเปนทยอมรบได

จนกระทงเมอมการคนพบปรภมใหมและการคานวณในระบบควบคมมความซบซอนเพมมากขน

การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบโดยใชสมการอนพนธเชงเสนไมแปรผนตามเวลาและฟงกชนถายโอนนน

ไมเพยงพออกตอไปแลว วธปรภมสถานะ (State Space) เปนวธทรวบรวมหลาย ๆ วธเขาดวยกนสาหรบการสราง

แบบจาลอง การวเคราะห และการออกแบบในขอบเขตทกวางขน วธนมกจะถกเรยกวาเปนวธยคใหมหรอวธในทางโดเมน

เวลา และวธนยงสามารถใชไดกบระบบทเงอนไขเรมตนไมเทากบศนยและระบบทแปรผนตามเวลาไดเปนอยางด

พจารณาตวอยางสองตวอยางตอไปนเพอเปนจดเรมตนในการสงเกตแนวคดของวธปรภมสถานะ

ซงจะมขนตอนวธในวเคราะหทแสดงในแตละตวอยาง

ตวอยาง

114 ระบบควบคม

บทท 4 | แบบจำ ลองคณตศาสตรในทางโดเมนเวลา: ปรภมสถานะ

ตวอยางท 4.1 พจารณาวงจร RL ในรปท 4.1 ทมคากระแสเรมตน i(0)

+_v(t) L

R

i(t)

รปท 4.1 วงจร RL

1. กาหนดทศทางของกระแส i(t) เพอใชในการเขยนสมการอนพนธและใชในการแปลงลาปลาซ

2. เขยนสมการแรงดนทวงรอบปดโดยใชกฎของเคอรชอฟ

( )

( ) ( )di t

L Ri t v tdt

+ = (4.1)

3. ใชการแปลงลาปลาซกบสมการท (4.1) และแทนคาเงอนไขเรมตน

[ ]( ) (0) ( ) ( )VL sI s i RI s s− + = (4.2)

สมมตใหอนพต v(t) มคาเปนฟงกชนขนบนได u(t) ซงผลการแปลงลาปลาซคอ V(s) = 1/s ดงนนจะหา

คา I(s) ไดเปน

1 1 1 (0)

( )i

I sR RR s s sL L

= − ++ +

(4.3)

ตวอยาง

บทท 5

การวเคำราะหผลตอบสนำองชวคำร และผลตอบสนำองทสภาวะคำงตว

จากทกลาวมาแลววาขนตอนแรกในการวเคราะหระบบควบคมคอตองเขยนแบบจาลองทางคณตศาสตร

ของระบบใหได และเมอไดแบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบแลว กจะใชวธการตาง ๆ ซงมหลากหลายวธ

ในการวเคราะหหาสมรรถนะของระบบ

ในการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมจะตองใชหลกการพนฐานนนคอ การเปรยบเทยบกนของพฤตกรรม

ท เกดขนของระบบควบคมต าง ๆ โดยหลกการพนฐานนทาได โดยกาหนดสญญาณอนพตทดสอบขนมา

และโดยการเปรยบเทยบผลตอบสนองของระบบทแตกตางกนสาหรบอนพตทดสอบเหลาน มาตรฐานในการออกแบบ

ระบบควบคมสวนใหญจะขนอย กบผลตอบสนองตอสญญาณอนพตทดสอบเหลานหรอขนอย กบผลตอบสนอง

ของระบบต อการเปลยนแปลงของเงอนไขค าเรมต น การใช อนพตทดสอบพสจน แล วว ามความถกต อง

เพราะเกดความสมพนธขนจรงระหวางผลตอบสนองลกษณะเฉพาะของระบบตอสญญาณอนพตกบความสามารถ

ของระบบในการจดการกบสญญาณอนพตจรง ๆ ทเขามา

ชนดของสญญาณทดสอบ

สญญาณอนพตทดสอบทใชโดยทวไปคอฟงกชนขนบนได (Step Function) ฟงกชนลาดเอยง (Ramp Func-

tion) ฟงกชนความเรง (Acceleration Function) ฟงกชนอมพลส (Impulse Function) ฟงกชนไซนซอยด (Sinusoidal

Function) เมอใชสญญาณทดสอบเหลาน การวเคราะหระบบควบคมไมวาจะเปนการวเคราะหทางคณตศาสตร

และการวเคราะหจากการทดลองจะสาเรจไดโดยงายเนองจากสญญาณทใชนนเปนฟงกชนของเวลาอยางงาย

ตวอยาง

158 ระบบควบคม

บทท 5 | การวเคราะหผลตอบสนองชวครและผลตอบสนองทสภาวะคงตว

การเลอกสญญาณอนพตทดสอบทจะใชสาหรบวเคราะหคณลกษณะเฉพาะของระบบจะพจารณาจากรปแบบ

ของอนพตของระบบทเกดบอยทสดภายใตกระบวนการทางานปกต ถาอนพตของระบบควบคมคอย ๆ เปลยนแปลง

ตามเวลา อนพตในลกษณะฟงกชนลาดเอยงจะเปนตวเลอกทดทสดสาหรบอนพตทดสอบ ในทานองเดยวกน

ถาระบบถกกระตนโดยสญญาณรบกวนลกษณะทนททนใดจะใชฟงกชนขนบนไดเปนอนพตทดสอบ เมอระบบควบคมน

ถกออกแบบโดยตงอยบนพนฐานของสญญาณอนพตทดสอบแลวนน ผลตอบสนองของระบบเมอปอนอนพตจรง ๆ

กจะมคาเปนทนาพอใจ

เพอชวยใหการวเคราะหระบบในทางโดเมนเวลามความงายขนจะใชอนพตทดสอบทจะกลาวถงโดยละเอยด

ตอไปน

ฟงกชนขนบนได อนพตฟงกชนขนบนไดจะแสดงถงการเปลยนแปลงอนพตอางองแบบทนททนใด ยกตวอยาง

เชน ถาอนพตคอตาแหนงเชงมมของเพลาทางกล อนพตแบบขนบนไดจะหมายถงการหมนของเพลาอยางกะทนหน

สมการทางคณตศาสตรทแสดงฟงกชนขนบนไดหรอคาขนาด R ใด ๆ สามารถเขยนไดเปน

0

( )0 0R t

r tt≥

=<

(5.1)

เมอ R คอคาคงทจานวนจรงใด ๆ หรออาจเขยนในรปแบบ

( ) ( )sr t Ru t= (5.2)

เมอ u(t) คอ ฟงกชนขนบนไดหนงหนวย ฟงกชนขนบนไดคอฟงกชนของเวลาทแสดงไดดงในรปท 5.1(ก)

ฟงกชนขนบนไดนมประโยชนมากสาหรบการใชเปนอนพตทดสอบเนองจากการเปลยนคาทนททนใดของขนาด

ของสญญาณทตาแหนงเรมตนแสดงใหเหนถงความสามารถในเรองความเรวของระบบทตอบสนองตอคาอนพต

ทเปลยนแปลงทนททนใดไดดเยยม และเนองจากฟงกชนขนบนไดนตามหลกการแลวจะประกอบดวยชวงความถ

ของสเปกตรมทกวางซงผลลพธของสเปกตรมจะเปนสญญาณไมตอเนอง ซงเปรยบไดกบการใชสญญาณไซนซอยด

ทชวงความถทกวาง

ตวอยาง

บทท 6

คำาผดพลาดทสภาวะคำงตว

จากทกลาวมาแลวในบททหนงวาการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมจะมงความสนใจไปทขอกาหนด

สามประการ คอ (1) ผลตอบสนองชวคร (2) ความมเสถยรภาพ (3) คาผดพลาดทสภาวะคงตว โดยในบทนจะไดกลาวถง

คาผดพลาดทสภาวะคงตวซงจะมการนยามถงคาความผดพลาดในกรณตาง ๆ และการแสดงใหเหนถงขนตอนวธ

ในการควบคมคาผดพลาดทเกดขน

นยามและอนพตทดสอบ

คาผดพลาดทสภาวะคงตวคอคาความแตกตางระหวางอนพตกบเอาตพตสาหรบอนพตทดสอบเมอ t เขาใกล

คาอนนต โดยทอนพตทดสอบสาหรบการวเคราะหและออกแบบคาผดพลาดทสภาวะคงตวแสดงโดยสรปในตาราง 6.1

ตวอยาง

206

บทท 6 | คาผดพลาดทสภาวะคงตว

ระบบควบคม

ตาราง 6.1 รปแบบของอนพตทดสอบทใชในการหาคาผดพลาดทสภาวะคงตว

รปแบบคลน ชอ ชอทางกายภาพ

ฟงกชนทางเวลา

การแปลงลาปลาซ

( )r t

( )r t

( )r t

t

t

t

ขนบนได(Step)

ลาดเอยง(Ramp)

Parabola(Parabola)

ตาแหนงคงท(Constant Position)

ความเรวคงท(Constant Velocity)

ความเรงคงท(Constant Acceleration)

t

212

t

1 1s

2

1s

3

1s

เพออธบายใหเหนวาสญญาณทดสอบแตละสญญาณนมการใชงานอยางไร จะสมมตใหระบบควบคม

เปนการควบคมตาแหนงทซงเอาตพตตาแหนงทไดจะมคาตามคาทอนพตตาแหนงทปอนเขาไป อนพตฟงกชนขนบนได

จะหมายถงคาตาแหนงคงทและจะใชในการพจารณาความสามารถของระบบควบคมตอคาตาแหนงของตวมนเองเทยบ

กบเปาหมายทคงท ยกตวอยางเชนดาวเทยมทมวงโคจรคงทอยบนฟา การควบคมตาแหนงของสายอากาศเปนตวอยาง

หนงของระบบทสามารถทดสอบโดยใชอนพตฟงกชนขนบนไดเพอหาคาความถกตองแมนยา

สาหรบอนพตฟงกชนลาดเอยงจะแสดงถงคาอนพตความเรวคงททปอนใหกบระบบควบคมตาแหนง

โดยมคาแอมพลจดทเพมขนแบบเชงเสน รปแบบอนพตลกษณะนจะถกใชในการทดสอบความสามารถของระบบ

ในการตดตามอนพตทเพมขนเปนเชงเสนหรอตดตามเปาหมายแบบความเรวคงท ยกตวอยางเชนระบบควบคมตาแหนง

ทใชตดตามดาวเทยมทเคลอนทขามผานทองฟาทความเรวเชงมมคงทคาหนงจะถกทดสอบดวยอนพตฟงกชนลาดเอยง

เพอใชในการหาคาผดพลาดทสภาวะคงตวระหวางตาแหนงเชงมมของดาวเทยมกบตาแหนงเชงมมจากระบบควบคม

อนพตฟงกชนสดทายคอพาลาโบลาซงมคาอนพนธอนดบสองเปนคาคงทจะแสดงถงอนพตความเรงคงททปอน

ใหกบระบบควบคมตาแหนงและยงแสดงถงเปาหมายทมความเรงยกตวอยางเชนจรวดขปนาวธ

ตวอยาง

บทท 7

เสถยรภาพของระบบ

ความมเสถยรภาพของระบบเปนสงหนงทมความสาคญมากทสดในการพจารณาระบบ ถาระบบไมมเสถยรภาพ

จะทาให ผลตอบสนองชวคร และคาผดพลาดทสภาวะคงตวมค าท ไม น าเชอถอ ซงระบบท ไม ม เสถยรภาพ

จะไมสามารถถกออกแบบใหมคาผลตอบสนองชวครและคาผดพลาดทสภาวะคงตวทตองการได มนยามมากมาย

ทใชในการอธบายความมเสถยรภาพซงขนอยกบประเภทของระบบหรอมมมองตาง ๆ โดยทในบทนจะจากดระบบ

ทพจารณาคอระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลา

จากทไดอธบายมาในบทกอน ๆ จะพบวาเราสามารถควบคมเอาตพตของระบบไดถาผลตอบสนองทสภาวะ

คงตวประกอบดวยผลตอบสนองบงคบเพยงอยางเดยว แตผลตอบสนองรวมของระบบมกจะเปนผลรวมจากผลตอบสนอง

บงคบและผลตอบสนองธรรมชาต และโดยการใชหลกการนจะนยามความมเสถยรภาพ (Stability) ความไมมเสถยรภาพ

(Instability) และความมเสถยรภาพอยางมขอบเขต (Marginal Stability) ของระบบไดดงน

ระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาจะกลาวไดวามเสถยรภาพถาผลตอบสนองธรรมชาตมคาเขาใกลศนย

เมอเวลาเขาใกลระยะอนนต

ระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาจะกลาวไดวาไมมเสถยรภาพถาผลตอบสนองธรรมชาตมคาเตบโตขน

อยางไมมขอบเขตเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต

ระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาจะกลาวไดวามเสถยรภาพอยางมขอบเขตถาผลตอบสนองธรรมชาต

ไมมการเตบโตและไมเสอมถอยแตมคาคงทหรอมการแกวงเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต

ดงนนนยามของความมเสถยรภาพช ให เหนว ามเฉพาะผลตอบสนองบงคบเท านนทยงคงคาเดม

ในขณะทผลตอบสนองธรรมชาตเขาใกลระยะอนนต

นยามเหลานอยบนพนฐานของคาอธบายทเกยวของกบผลตอบสนองธรรมชาต เมอพจารณาผลตอบสนอง

รวมของระบบจะเปนการยากมากทจะแยกผลตอบสนองธรรมชาตและผลตอบสนองบงคบออกจากกน แตอยางไรกตาม

เราทราบวาถาอนพตมขอบเขตจากดและผลตอบสนองรวมไมเขาใกลระยะอนนตเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต ดงนน

จะไดผลตอบสนองธรรมชาตมคาไมเขาใกลระยะอนนต แตถาอนพตมขอบเขตไมจากดจะทาใหเกดผลตอบสนอง

ตวอยาง

252

บทท 7 | เสถยรภาพของระบบ

ระบบควบคม

รวมทมขอบเขตไมจากดดวยและจะไมสามารถหาผลลพธเกยวกบความมเสถยรภาพของระบบได ซงจะไมสามารถ

บอกไดวาผลตอบสนองรวมนมขอบเขตไมจากดเพราะผลตอบสนองบงคบมขอบเขตไมจากดหรอเพราะผลตอบสนอง

ธรรมชาตมขอบเขตไมจากด ดงนนนยามสาหรบความมเสถยรภาพในอกนยหนงกลาวไดวา

ระบบจะมเสถยรภาพถาทก ๆ อนพตทมขอบเขตจากดกอใหเกดเอาตพตทมขอบเขตจากด

โดยจะเรยกคากลาวทวานวานยามอนพตขอบเขตจากดและเอาตพตขอบเขตจากด (Bounded-Input,

Bounded-Output; BIBO) ของเสถยรภาพ

นยามสาหรบความไมเสถยรภาพอกนยามหนงมาจากผลตอบสนองรวมของระบบ ถาอนพตมขอบเขตจากด

แตผลตอบสนองรวมมขอบเขตไมจากดจะทาใหระบบไมมเสถยรภาพเนองจากจะสามารถสรปไดวาผลตอบสนองธรรมชาต

จะเขาใกลระยะอนนตเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต ถาอนพตมขอบเขตไมจากดจะไดผลตอบสนองรวมทมขอบเขตไมจากด

ดวยทาใหไมสามารถสรปเกยวกบความมเสถยรภาพของระบบไดเพราะไมสามารถระบไดวาผลตอบสนองรวม

ของระบบทมขอบเขตไมจากดนเปนผลมาจากผลตอบสนองบงคบทมขอบเขตไมจากดหรอผลตอบสนองธรรมชาต

ทมขอบเขตไมจากด ดงนนนยามความไมเสถยรภาพของระบบคอ

ระบบจะถกเรยกวาเปนระบบไมมเสถยรภาพถามอนพตทมขอบเขตจากดแมเพยงบางตวกอใหเกดเอาตพต

ทมขอบเขตไมจากด

ซงนยามทกลาวมาทงหมดนจะชวยในการใหคานยามเกยวกบความมเสถยรภาพอยางมขอบเขต

ทซงหมายความถงระบบจะมเสถยรภาพสาหรบอนพตทมขอบเขตจากดบางตวและจะไมมเสถยรภาพสาหรบอนพต

ตวอน ๆ ทเหลอ ยกตวอยางเชน ถาผลตอบสนองธรรมชาตเปนแบบไมมการเสอมถอย (undamped) อนพตสญญาณ

ไซนซอยดทมขอบเขตจากดทความถเดยวกนนนจะกอใหเกดผลตอบสนองธรรมชาตทมการแกวงทมคาเพมสงขน ดงนน

ระบบจะมเสถยรภาพสาหรบทก ๆ อนพตทมขอบเขตจากดยกเวนสญญาณอนพตในรปแบบไซนซอยด ดงนน

ระบบทมเสถยรภาพอยางมขอบเขตโดยใชนยามจากผลตอบสนองธรรมชาตจะถกพจารณาเปนระบบทไมมเสถยรภาพ

ภายใตนยามจากอนพตขอบเขตจากดและเอาตพตขอบเขตจากด

ดงนนจากทกลาวมานสามารถสรปนยามของความมเสถยรภาพสาหรบระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาดงน

เมอพจารณาจากผลตอบสนองธรรมชาต:

1. ระบบจะมเสถยรภาพถาผลตอบสนองธรรมชาตมคาขาใกลศนยเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต

2. ระบบจะไมมเสถยรภาพถาผลตอบสนองธรรมชาตมคาเขาใกลระยะอนนตเมอเวลาเขาใกลระยะอนนต

3. ระบบจะมเสถยรภาพอยางมขอบเขตถาผลตอบสนองธรรมชาตมคาไมลดทอนและไมสงขนแตยงคงคาเดม

หรอมการแกวง

ตวอยาง

บทท 8

แผนำภาพทางเดนำราก

ทางเดนราก (Root Locus) เปนแผนภาพทใชแสดงตาแหนงโพลของระบบวงปดเมอคาพารามเตอร

ของระบบมการเปลยนแปลง ซงวธทางเดนรากนเปนวธทมประโยชนมากในการวเคราะหและการออกแบบสาหรบ

การวเคราะหเสถยรภาพและผลตอบสนองชวครของระบบ ซงระบบควบคมแบบปอนกลบโดยสวนใหญจะอธบาย

ในรปของสมการการทางคณตศาสตรซงทาใหยากตอความเขาใจ ทาใหวธการแสดงแผนภาพทางเดนรากทจะไดกลาวถง

ในบทนเปนเทคนคทนาสนใจเพราะเปนวธทสามารถอธบายเกยวกบผลตอบสนองของระบบควบคมทตองการ

และยงเปนวธทสามารถแสดงรายละเอยดทมากกวาวธอน ๆ ทไดอธบายไปกอนหนาน

จากทไดอธบายมากอนหนานแลวนนจะพบวาคาอตราขยายและคาพารามเตอรตาง ๆ ของระบบสามารถ

ออกแบบเพอใหไดผลตอบสนองชวครทตองการเฉพาะสาหรบระบบอนดบหนงและอนดบสองเทานน ซงวธทางเดนรากน

แมวาจะสามารถใชแกปญหาไดเหมอนกนแตวธนยงสามารถใชแกปญหาสาหรบระบบทมอนดบมากกวาสองไดอกดวย

ยกตวอยางเชนภายใตเงอนไขทถกตองนน คาพารามเตอรของระบบอนดบสสามารถถกออกแบบใหไดคาโอเวอรชต

และคาเวลาคงตวโดยใชหลกการในบทท 5 ได

วธทางเดนรากยงสามารถใชอธบายสมรรถนะของระบบเมอคาพารามเตอรตาง ๆ เกดการเปลยนแปลง

ยกตวอยางเชน ผลกระทบของการเปลยนแปลงคาอตราขยายตอคาโอเวอรชต คาเวลาคงตว และคาเวลาทผลตอบสนอง

มคาสงสดสามารถแสดงใหเหนไดและสามารถตรวจสอบไดโดยใชการวเคราะห นอกจากในเรองของการวเคราะหผลตอบ

สนองชวคร แล ว ทางเดนรากยงสามารถใช แสดงถงเสถยรภาพของระบบได อกด วย ซงจะทาให เหนช วง

ของความมเสถยรภาพและความไมมเสถยรภาพไดอยางชดเจน รวมไปถงเงอนไขททาใหระบบเกดการแกวงของสญญาณ

กอนจะนาเสนอวธการวเคราะหทางเดนรากน จะตองทาความเขาใจเกยวกบระบบควบคมและจานวนเชงซอน

พรอมทงการเขยนแสดงคาในรปแบบของเวกเตอรเสยกอน

ปญหาของระบบควบคม จากการสงเกตระบบควบคมในบทกอน ๆ จะพบวาโพลของฟงกชนถายโอนวงเปด

จะสามารถหาไดง ายกวาโพลของฟงก ชนถายโอนวงปด ซงโดยทวไปแลวโพลของฟงก ชนถายโอนวงปดน

จะไมสามารถหาไดถาไมทาการแยกตวประกอบของสมการพหนามคณลกษณะเฉพาะของระบบหรอพหนามทาง

ตวอยาง

288

บทท 8 | แผนภาพทางเดนราก

ระบบควบคม

ดานสวนของฟงกชนถายโอน และนอกจากนนโพลของระบบวงปดจะมการเปลยนแปลงเมอคาอตราขยายของระบบ

เปลยนแปลงไป

พจารณาระบบปอนกลบวงปดโดยทวไปทแสดงในรปท 8.1(ก) ซงฟงกชนถายโอนวงเปดสามารถหา

ไดจาก KG(s)H(s) โดยปกตแลวเราสามารถหาคาโพลของ KG(s)H(s) ไดเลยเนองจากโพลเหลานไดมาจากการนา

ระบบยอยแตละระบบมาตอเรยงกน และคาอตราขยาย K จะไมมผลกระทบตอตาแหนงของโพลดวย แตในทางตรงขาม

เราไมสามารถพจารณาหาคาโพลของฟงกชนถายโอนวงปดไดถาไมทาการแยกตวประกอบของพหนามทางดานสวนของ

T(s) = KG(s)/[1+ KG(s)H(s)] และจะสงเกตเหนวาคา โพลของ T(s) จะมการเปลยนแปลงถาคาอตราขยาย K

มการเปลยนแปลง

( )H s

( )KG s+ _( )R s ( )C s

( )1 ( ) ( )

KG sKG s H s+

( )R s ( )C s

(ข)

InputActuating

signal( )aE s

Output

Forwardtransferfunction

Feedbacktransferfunction

(ก)

รปท 8.1 ระบบควบคมวงปด

กาหนดให

( )

( )( )

G

G

N sG s

D s= (8.1)

และ

ตวอยาง

339

การวเคราะหผลตอบสนองเชงความถ | บทท 9

CONTROL SYSTEMS

บทท 9

การวเคำราะหผลตอบสนำองเชงคำวามถ

เทอมของผลตอบสนองเชงความถ (Frequency Response) นนจะหมายความถงผลตอบสนองทสภาวะคงตว

ของระบบตออนพตไซนซอยด ซงกระบวนการวธทางผลตอบสนองเชงความถนนจะปรบเปลยนคาความถของสญญาณ

อนพตในชวงเวลาทแนนอนและศกษาถงผลลพธทเกดขน

โดยในบทนจะแสดงการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมผานทางผลตอบสนองเชงความถ ซงขอมล

ทไดจากการวเคราะหผานทางผลตอบสนองเชงความถนจะแตกตางจากทไดจากการวเคราะหโดยใชทางเดนราก

โดยในความเปนจรงนนวธผลตอบสนองเชงความถและวธทางเดนรากเปนวธทเปนองคประกอบซงกนและกน

ประโยชนประการหนงของวธผลตอบสนองเชงความถคอสามารถใชขอมลทไดจากการวดคาจากระบบทางกายภาพ

โดยไมจาเปนตองหาแบบจาลองทางคณตศาสตร ในการออกแบบระบบควบคมในทางปฏบตโดยสวนใหญจะใชทงวธผล

ตอบสนองเชงความถและวธทางเดนราก ซงทาใหวศวกรผออกแบบจะตองทาความคนเคยกบทงสองวธนใหเปนอยางด

วธผลตอบสนองเชงความถนถกพฒนาขนมาในทศวรรษท 1930 และ 1940 โดยไนควสต (Nyquist)

โบเด (Bode) และนโคลส (Nichols) และคนอน ๆ ซงวธผลตอบสนองเชงความถนมประโยชนอยางมากในทางทฤษฎ

การควบคมรวมไปถงทฤษฎการควบคมแบบทนทาน (Robust Control)

เกณฑ การม เสถยรภาพของไนควสต สามารถใช ตรวจสอบได ท งความม เสถยรภาพสมบรณ

และความมเสถยรภาพสมพทธของระบบวงปดเชงเสนโดยใชคณลกษณะเฉพาะของผลตอบสนองเชงความถของ

ระบบวงเปด ประโยชนของวธผลตอบสนองเชงความถคอโดยทวไปนนการทดสอบโดยใชผลตอบสนองเชงความถ

จะเรยบงายและสามารถทาใหถกตองและแมนยาไดโดยใชเครองกาเนดสญญาณไซนซอยดและอปกรณการวด

คาทมความถกตองและไดมาตรฐาน ซงโดยสวนมากฟงกชนถายโอนขององคประกอบทคอนขางซบซอนสามารถหาคา

ไดจากการทดสอบผลตอบสนองเชงความถ นอกจากนแลว ประโยชนของผลตอบสนองเชงความถยงสามารถออกแบบ

ใหผลกระทบทเกดจากสญญาณรบกวนทไมตองการหายไปไดและการวเคราะหในเชงความถนยงนาไปใชกบระบบไมเปน

เชงเสนไดอกดวย

ตวอยาง

340

บทท 9 | การวเคราะหผลตอบสนองเชงความถ

ระบบควบคม

การพจารณาคาเอาตพตทสภาวะคงตวเมอปอนอนพตไซนซอยด

ตอไปนจะแสดงใหเหนถงคาเอาตพตทสภาวะคงตวของระบบ ซงฟงกชนถายโอนสามารถหาไดโดยตรงจาก

ฟงกชนถายโอนไซนซอยด กลาวคอ เทอมตวแปร s ในฟงกชนถายโอนจะถกแทนคาดวย jω เมอ ω คอ คาความถ

พจารณาระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาทมเสถยรภาพดงแสดงในรปท 9.1 ซงคาอนพตและเอาตพต

ของระบบแสดงดวย x(t) และ y(t) ตามลาดบ และฟงกชนถายโอนของระบบมคา G(s) ถาอนพต x(t) เปนสญญาณ

ไซนซอยด จะไดคาเอาตพตทสภาวะคงตวเปนสญญาณไซนซอยดทมความถเดยวกบสญญาณอนพตแตจะแตกตางกน

ทขนาดและมมเฟสของสญญาณ

( )G s( )X s ( )Y s

( )x t ( )y t

รปท 9.1 ระบบเชงเสนไมแปรผนตามเวลาทมเสถยรภาพ

กาหนดใหสญญาณอนพตมคาเปน

( ) sinx t X tω= (9.1)

สมมตใหฟงกชนถายโอน G(s) สามารถเขยนใหอยในรปของอตราสวนของสมการพหนามในเทอมตวแปร s

นนคอ

1 2

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )n

p s p sG s

q s s s s s s s= =

+ + + (9.2)

ผลการแปลงลาปลาซของ y(t) ซงคอ Y(s) สามารถเขยนไดเปน

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

p sY s G s X s X s

q s= = (9.3)

ตวอยาง

แนะนำ หนงสอกลมวทยาศาสตรและเทคโนโลย

ทฤษฎ มความสมพนธโดยตรงกบการปฏบต การศกษาทฤษฎ

การคำานวณจงมสวนสำาคญในการเขาใจการทำางานของคอมพวเตอร

โดยทวไป เราจะคดวาคอมพวเตอรเปนเครองจกรทมความซบซอน

และมการทำางานยงยาก ดงนนเมอตองการแกปญหาทซบซอนดวย

เครองมอทซบซอนจงเปนเรองไมงายหนงสอเลมนนำาเสนอรปแบบ

ทเขาใจงาย ไมซบซอนสำาหรบการอธบายการทำางานของคอมพวเตอร

เพอใชในการกำาหนดวธการในการแกปญหาทซบซอนรวบรวม

เนอหาเรองรปแบบการคำานวณและทฤษฎทเกยวของ ประกอบดวย

เครองสถานะจำากด นพจนพนฐาน ไวยากรณท ไมมบรบท

เครองสถานะจำากดแบบดนลง และเครองจกรทวรรง แตละเนอหา

จะอธบายทฤษฎทเกยวของพรอมทงการพสจนทฤษฎ ตวอยาง

ของปญหา และแนวคดวธการแกปญหาอยางเปนระบบ

ตำาราเลมนอธบายกฎและทฤษฎตาง ๆ ทใชวเคราะหวงจร

ไฟฟา โดยเรยบเรยงเนอหาอยางเปนลำาดบและเปนเหตเปนผล

ในแตละบท มตวอยางโจทยทแสดงวธทำาเปนขนตอนซงอธบาย

อยางละเอยด เพอใหผอานสามารถทำาความเขาใจไดงาย รวมทง

มแบบฝกหดทายบท พรอมคำาตอบใหผอานไดฝกฝนเพอเพมทกษะ

ในการวเคราะหวงจรไฟฟา ตำาราเลมนมเนอหาครบถวนตามทระบ

โดยสภาวศวกรสำาหรบ วชา Electric Circuits ซงเปนหนงในกลม

วชาพนฐานทางวศวกรรม ในหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑต

สาขาวชาวศวกรรมไฟฟาของ คณะวศวกรรมศาสตรทกสถาบน

การศกษา เพอใหนสต นกศกษา มคณสมบตครบถวนในการ

ขอรบใบประกอบวชาชพวศวกรรมควบคมใน แขนงวศวกรรม

ไฟฟากำาลง และในแขนงวศวกรรมไฟฟาสอสาร นอกจากน

ย งสามารถใชกบรายวชาในหลกสตรอ นท เร ยนพ นฐาน

ทางวศวกรรมไฟฟา เชน วศวกรรมอตสาหการ วศวกรรมเครองกล

วศวกรรมเคม และยงเหมาะกบ ผทตองการศกษาดวยตนเอง

แนวทางใหมเชงรกการพฒนาวทยาการ ความกาวหนาของ

“นาโนเทคโนโลย” สการประยกตใชดานสงแวดลอม

ปพมพ : 1/2561

ปพมพ : 1/2561

ปพมพ : 1/2557

ผแตง: ผศ. ดร.พงศพนธ กจสนาโยธน

ผแตง: ผศ. ดร.นพทธ จนทรมนทร

ผแตง: รศ. ดร.พวงรตน ขจตวชยานกล

ทฤษฎการคำานวณ :

รปแบบการคำานวณและทฤษฎทเกยวของ

การวเคราะห

วงจรไฟฟา 1

นาโนเทคโนโลยเพอสงแวดลอม

ตวอยาง