กรุณาอ่านค าอธิบายให้เข้าใจ...

ขอสอบ Semi-final Test ความถนดทางวศวกรรม

โครงการแนะแนวความถนดทางวศวกรรมสนอง ม.ปลาย ครงท 8 คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

วนอาทตยท 25 มกราคม 2558 เวลา 08.00 – 11.00 น.

ชอ-นามสกล …………………………………………………………………………..…… รหสประจ าตวสอบ ………………………… โรงเรยน ……………………………………………………………….……..………………หองสอบ ………………………………….......

กรณาอานค าอธบายใหเขาใจ กอนลงมอท าขอสอบ 1. ขอสอบมทงหมด 2 ตอน จ านวน 70 ขอ (32 หนา รวมหนาน) คะแนนเตม 300 คะแนน

ตอนท 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จ านวน 60 ขอ ขอละ 4 คะแนน ตอนท 2 แบบอตนย จ านวน 10 ขอ ขอละ 6 คะแนน

2. กอนตอบค าถามใหเขยนชอ-นามสกล รหสประจ าตวสอบ โรงเรยน และหองสอบ บนหนาปกขอสอบ 3. ใหกรอกขอมล ชอ-นามสกล รหสประจ าตวสอบ โรงเรยน และหองสอบลงในกระดาษค าตอบใหเรยบรอย 4. ใชดนสอด าเบอร 2B หรอเขมกวา ระบายวงกลมตวเลอกในกระดาษค าตอบใหเตมวงในกระดาษค าตอบท

ก าหนดใหเทานน (หามระบายนอกวง) ถาตองการเปลยนตวเลอกใหม ตองลบใหสะอาดจนหมดรอยด าแลวจงระบายวงกลมตวเลอกใหม

5. เมอสอบเสรจ ใหสงกระดาษค าตอบกบพหอง 6. อนญาตใหน าขอสอบออกจากหองสอบไดเมอหมดเวลาสอบ 7. ไมอนญาตใหผเขาสอบออกจากหองสอบ กอนหมดเวลาสอบ 8. การทจรตเปนเหตใหไดรบ 0 คะแนนทนท 9. เมอหมดเวลาสอบแลว นองๆสามารถตดตามเฉลยขอสอบแตละขอไดทาง www.fecampchula.net

***หากมขอสงสยเกยวกบขอสอบ ใหสอบถามพทคมสอบไดทนท***

of 32

ขอก าหนด

ใหนองๆใชคาคงท หนวย และแนวทางการค านวณทไดก าหนดใหดงตอไปนในการหาค าตอบ เวนแตจะมการแจงก ากบไวในแตละขอไวเปนอยางอน

คาคงท g (คาความโนมถวงโลก) = 10 เมตรตอวนาท2

G (คาความโนมถวงสากล) = 6.67 x 10-11 นวตน•เมตร2 ตอกโลกรม2 R (คาคงทของกาซ) = 8.314 กโลปาสคาล•ลกบาศกเมตร ตอ กโลโมล•เคลวน kB (คาคงทของ Boltzmann) = 1.38 x 10-23 จลตอเคลวน

Patm (ความดน 1 บรรยากาศ) = 100 กโลปาสคาล

kE (คาคงทตามกฎคลอมบ) = 0

1

4 = 9 x109 นวตน•เมตร2 ตอคลอมบ2

e (ประจของอเลกตรอน 1 อนภาค) = 1.6 x 10-19 คลอมบ

NA (เลขอะโวกาโดร) = 6.0 x 1023 โมล-1 me (มวลของอเลกตรอน) = 9.1 x 10-31 กโลกรม ความหนาแนนของน า = 1000 กโลกรมตอลกบาศกเมตร

22

7 2 1.414 3 1.732

3sin37

5o log2 0.301 log3 0.477

การแปลงคาอณหภม

เคลวน = องศาเซลเซยส + 273

of 32

ตอนท 1 : ปรนย 5 ตวเลอก (60 ขอ) 1. ครรและยายะชวยกนออกแรงดงกลองซงมมวล 5 กโลกรมไปในแนวราบ 100 นวตน และแนวดง 40 นวตน ตามรป ถามวาแรงลพธทงหมดตอกลองนเปนเทาใด ถาพนลนไมมแรงเสยดทาน 40 N 100 N

2. เครองบนตรวจการล าหนงก าลงบนเปนเสนทางตรงดวยอตราเรวคงตว 105.0 m/s ในแนวระดบทความสง 6480 m เหนอพนดน ขณะทเครองบนอยเหนอหวชายชดด าคนหนงพอด ชายชดด ากยงขปนาวธออกไปเปน วถโคง จงหาอตราเรวตนนอยสดในการยงขปนาวธเพอใหชนเครองบนตรวจการ (ไมตองค านงถงแรงตาน อากาศ) 1. 315 m/s 2. 330 m/s 3. 345 m/s 4. 360 m/s 5. 375 m/s 3. ชโระกบคโระวงแขงกนเปนเวลา 1 ชวโมงโดยผชนะจะไดรบคกกกลองสแดงเปนรางวล กอนจะเรมการ แขงขนคโระตอใหชโระ โดยเรมตนท 0.36 กโลเมตรหลงจดสตารท แลวทง 2 คนจงออกวงพรอมกน คโระ วงดวยความเรวเรมตน 5 เมตรตอวนาท (ท าไดเพราะแอบตดไอพนทหลง) และวงชาลง 0.002 เมตร/วนาท2 สวนชโระวงดวยความเรวคงท 1.5 เมตรตอวนาท เมอจบการแขงขนใครจะไดคกกกลองสแดงและทง 2 คน จะอยหางกนเทาใด

1. ชโระ , 0.72 กโลเมตร 2. ชโระ , 0.36 กโลเมตร 3. ทงสองไดระยะทางรวมเทากน 4. คโระ , 0.36 กโลเมตร 5. คโระ , 0.72 กโลเมตร

5 kg

1. 140 นวตน 2. 100 นวตน 3. 90 นวตน

4. 20 29 นวตน 5. 10 101 นวตน

of 32

4. ทรงกระบอกมวล m รศม r และวงแหวนมวล m รศม 6r ตางกหมนรอบแกนกลางของมนไดโดยไรความฝด ทแกนกลาง ทรงกระบอกและวงแหวนหมนโดยไมไถลระหวางกน จะตองใหทอรก ตอทรงกระบอกเทาไร จงท าใหวงแหวนหมนดวยอตราเรงเชงมม

ก าหนด โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกมวล m รศม r เปน 212 mr และโมเมนตความเฉอยของวง

แหวนมวล m รศม r เปน 2mr

1. 23mr 2. 24mr 3.

26mr 4. 29mr 5. 212mr

5. พจารณาระบบรอกและมวล 2 กอนดงรป มเชอกสองเสน (เสนบางกบเสนหนา) ผกอยกบแกนของรอกตว ลาง เชอกและรอกเบามาก จงหาอตราเรงของมวล m กอนซาย

1. g

7 2.

g

5 3.

2g

7 4.

4g

7 5.

3g

5

of 32

6. ก าหนดกราฟแสดงความเรว v กบเวลา t ของวตถดงรป กราฟทแสดงความสมพนธระหวางแรง F กบเวลา t คอกราฟในขอใด 1. 2. 3. 4. 5. ไมมขอใดถก 7. แพลอยน าท าจากพลาสตกเบามากความหนาแนนสม าเสมอลอยอยในน านงความหนาแนน 1000 กโลกรม/ เมตร3 รบแรงกดจากเสา 2 ตนแสดงดวยลกศรดงรป จงค านวณหาคาความยาว L ทท าใหแพไมพลกคว า ก าหนดใหแพมความหนา 2 มลลเมตรและสามารถละทงผลจากน าหนกของแพได 1. 1 เมตร 2. 3 เมตร 3. 5 เมตร 4. 7 เมตร 5. 9 เมต

น านง 4 m. L

300 N 500 N

of 32

8. นายรกแมวปาลกระเบดใสแมวสามส โดยทลกระเบดนมมวลคงท โดยทแรงลพธเปนฟงกชนของเวลา ได กราฟดงรป ถามวาเมอเวลาผานไป 3 วนาท โมเมนตมของลกระเบดจะเปลยนแปลงไปเทาใด (กราฟในขอน เปนกราฟเสนตรง) t (s) 4 F (N) 0 2 4 6 9. ลอเลอนมวล M ก าลงเคลอนทบนพนราบลนดวยความเรวคงท u ดงรป ตอมาคอยๆปลอยมวล m ลงไปบน ลอเลอน (ความเรวกอนมวล m ถงลอเลอนคอศนยเทยบโลก) ก าหนดใหสมประสทธความเสยดทานระหวาง ลอเลอนกบ m คอ จงหาวา m จะไถลไปบนลอเลอนเปนระยะทางเทาใด กอนมวล m จะมความเรวเทา

ลอเลอนนน ใหคาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกคอ g

1. 2u M

2g M m

2.

2u m

2g M m

3.

21 Mu

2g M m

4.

21 mu

2g M m

5.

2u mu

2g M m

1. 4.00 N.s 2. 4.50 N.s 3. 8.00 N.s 4. 10.50 N.s 5. 16.00 N.s

u m

คอยๆวางลงไป

of 32

10. จากรป จงหาแรงลพธทจด C ถาจด A และ B มประจลบขนาด 3 ไมโครคลอมบและจด C และ D มประจบวก ขนาด 6 ไมโครคลอมบ

1. 0 N 2. 1296 μN ไปทางซาย 3. 1296 N ไปทางขวา 4. 5184 μN ไปทางซาย 5. ไมมขอใดถก

11. จากวงจรทก าหนดใหจงหาคา C เมอประจไฟฟารวมในวงจรมคาเทากบ 600 ไมโครคลอมบ

1. 5 μF 2. 8.45 μF 3. 10 μF 4. 15 μF 5. ไมมขอใดถก

15 F

5 F

of 32

12. จากรป จงหาคา R ถาแอมมเตอรอานคาได 0 1. 18 Ω 2. 36 Ω 3. 54 Ω 4. 72 Ω 5. ไมมขอใดถก

13. จากรปสมมตใหเวลาผานไปนานมากและโวลตมเตอรเปนอดมคต แลวจะโวลตมเตอรอานคาไดเทาใด 1. 14.4 V 2. 36.0 V 3. 48.0 V 4. 57.6 V 5. ไมมชอใดถก

of 32

14. วงจรไฟฟากระแสสลบ ประกอบดวยแหลงจายขนาด 120 โวลต และขดลวดเหนยวน าขนาด 0.70 เฮนร จงหาวากระแสไฟฟาทผานขดลวดเหนยวน า และก าลงเฉลยทสญเสยไปในขดลวดเหนยวน ามคาเทาใด ตามล าดบ ก าหนดใหแหลงจายมความถ 60 เฮรท

1. 0.46 แอมแปร, 55.2 วตต 2. 0.46 แอมแปร, 84 วตต 3. 0.46 แอมแปร, 0 วตต 4. เกดการลดวงจร 5. ไมมขอใดถก

15.

วงจรไฟฟากระแสสลบวงจรหนงมตวเกบประจ XC = 15 Ω ตวตานทานขนาด 24 Ω ถาฟวส 5 A ก าหนดใหแหลงจายไฟฟากระแสสลบ 125 V และมความถ 50 Hz จงหาวาวงจรตองใชขดลวดเหนยวน า ขนาดเทาใดฟวสจงไมขาด

1. 8.1 Ω 2. 11.3 Ω 3. 16.5 Ω 4. 21.9 Ω 5. 24.6 Ω

of 32

16. ล าแสงเดนทางผานจากอากาศ (ดรรชนหกเห n 1) เขาสเสนใยแกวน าแสง มมตกกระทบ ตองม คา sin ไมเกนเทาใด จงจะท าใหแสงเดนทางไปตาม Core ของเสนใยแกวน าแสง ซงมดรรชนหกเห 1n

โดยไมทะลออกไปยง Cladding ซงมดรรชนหกเห 2n (ก าหนดให 1 2n n )

1. 2 2

1 2

1

n n

n 2.

2 21 2

21

n n

n 3. 2 2

1 2n n

4.

2 21 2

2

n n

n 5.

2 21 2

22

n n

n

17. ขอใดถกตอง 1. เมอน าขดลวดมาหมนในสนามแมเหลก สนามแมเหลกจะมคาลดลง 2. เมอน าขดลวดมาหมนในสนามแมเหลก จะเกดแรงเคลอนไฟฟาในขดลวด 3. เมอน าขดลวดมาหมนในสนามแมเหลก ขดลวดจะเคลอนทตงฉากกบสนามแมเหลก 4. ถาวางสารแมเหลกกอนหนงในสนามแมเหลก จะเกดกระแสไฟฟาไหลในสารแมเหลก 5. ถาวางสารแมเหลกกอนหนงในสนามแมเหลก โมเลกลของสารแมเหลกจะแตกตวเปนแมเหลกแทง เลกๆ ทมทศทางเดยวกบสนามแมเหลก

of 32

18. จงพจารณาขอความตอไปน ก. เสาวทยทใชรบคลนวทยจะถกตงใหตงฉากกบสนามไฟฟา จงจะสามารถรบสญญาณได ข. คลนไมโครเวฟมคณสมบตสะทอนโลหะไดด แตไมสะทอนกบบรรยากาศชนไอโอโนสเฟยร จงใชท าเรดาห ค. รงสแกมมาไมสามารถเกดขนเองไดตามธรรมชาต ง. แสงเลเซอรเกดจากแหลงก าเนดแสงทมความรอนสงมาก ใชในการสอสารและการแพทย จ. remote control ใชรงสอนฟราเรดในการสงสญญาณจากตวรโมตไปยงเครองรบ ขอความตอไปนขอใดถก 1. ขอ ก. ข. ค. ผด 2. ขอ ก. ข. จ. ผด 3. ขอ ค. ง. จ. ผด 4. ขอ ก. ค. ง. ผด 5. ขอ ก. ข. ค. ง. จ. ผด 19. เครองอดไฮดรอลกเครองหนง มลกสบสองฝงอยระดบเดยวกน มพนทหนาตดตางกน ฝงหนงมขนาดเลก กวาเปนรปวงกลมรศม 20 เซนตเมตร อกฝงหนงมขนาดใหญกวา โดยมรศม 40 เซนตเมตร วศวกร A ตองออกแรง 60 นวตน ในฝงลกสบใหญ เพอยกกอนหนกอนหนงในฝงลกสบเลกใหเคลอนทขน หลงจาก นนวศวกร A กเลกออกแรง แตขนไปนงบนลกสบใหญแทน แลวเรยกใหวศวกร B มาออกแรงกดทฝงเลก เพม เพอใหตวเองไมเคลอนทลง จงหาแรงทวศวกร B ตองออก เมอวศวกร A หนก 600 นวตน 1. 125 นวตน 2. 130 นวตน 3. 135 นวตน 4. 140 นวตน 5. 150 นวตน

กอนหน

of 32

20. ลกโลหะชนดหนงมวล 2 กโลกรม ถกใหความรอนจนมอณหภมสงขนเปน 151 องศาเซลเซยส และถก น าไปใสในภาชนะเซรามกมวล 5 กโลกรม ซงบรรจน าผสมน าแขงอณหภม 0 องศาเซลเซยส โดย ประกอบดวยน า 1 กโลกรม และน าแขง 0.2 กโลกรม จงหาอณหภมผสม ก าหนดให คาความจความรอนจ าเพาะของน า = 4200 จล/กโลกรม-เคลวน คาความจความรอนจ าเพาะของโลหะ = 7000 จล/กโลกรม-เคลวน คาความจความรอนจ าเพาะของเซรามก = 8400 จล/กโลกรม-เคลวน และคาความรอนแฝงของการหลอมเหลวของน า = 336 กโลจล/กโลกรม 1. 31 องศาเซลเซยส 2. 32 องศาเซลเซยส 3. 33 องศาเซลเซยส 4. 34 องศาเซลเซยส 5. 35 องศาเซลเซยส 21. ไอน ารอนไหลผานทอทมความยาวมาก เกดการแลกเปลยนความรอนกบบรรยากาศและควบแนนเปนน า หากความดนของของไหลในทอคงท อณหภมของของไหลในทอทระยะทางตางๆ ควรเปนดงรปใด

of 32

22. ตองเตมน าลงในสระวายน าดวยความสงเทาไร จงจะท าใหกลองทวางบนกนสระเรมลอยขนไดโดยกลองม ดานกวางและดานยาว 0.2 เมตร หนก 250 นวตน และใหความหนาแนนของน าเทากบ 1 กรมตอ ลกบาศกเซนตเมตร 1. 0.5 เมตร 2. 0.625 เมตร 3. 1.5 เมตร 4. 1.625 เมตร 5. ไมมขอใดถก 23. พจารณา 2 การทดลองตอไปน

(1) ไมมวล m วางบนกอนน าแขงมวล M ทงสองลอยนงอยในน า (2) เหลกมวล m เทากบไม วางบนกอนน าแขงมวล M ทงสองลอยนงอยในน า ตอนเรมตน ระดบน าในทงสองแกวเทากน ตอมา เมอปลอยใหน าแขงละลายหมด ระดบน าในแกว (1) และ (2) จะเปลยนแปลงอยางไร 1. (1) คงเดม (2) ลดลง 2. (1) ลดลง (2) เพมขน 3. (1) ลดลง (2) คงเดม 4. (1) คงเดม (2) เพมขน 5. (1) ลดลง (2) ลดลง 24. มกขอความทไมสามารถใชสมการแบรนลในการค านวณได ก. การดดน าหวานของผง ข. การไหลของแมน าเจาพระยาในวนฝนตกหนก ค. การไหลของอากาศบรเวณใบพดเฮลคอปเตอรขณะก าลงลงจอด ง. การฉดสเปรยฆาแมลง 1. 1 ขอความ 2. 2 ขอความ 3. 3 ขอความ 4. 4 ขอความ 5. ไมมขอใดถกตอง

of 32

25. ทอน าเรมแรกมขนาดใหญ ตอมาขอดเลกลงไปดงรป สวนทงสองของทอมหลอดใสเสยบอยโดยมระดบน า ในหลอดอยตางกนเปนระยะ (h) 15 cm ถาน าทไหลในทอประพฤตตวเปนของไหลในอดมคต จงหา ความเรวของน าในทอใหญ ถาความเรวของน าในทอเลกเปนสองเทาของความเรวของน าในทอใหญ ก าหนดให ความหนาแนนของน า 1000 kg/m3 คาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก (g) 10 m/s2

1. 1 m/s 2. 2 m/s 3. 0.5 m/s 4. 0.25 m/s 5. ไมมขอใดถกตอง 26. แกสไนโตรเจนจ านวน 5 โมล บรรจอยในกระบอกสบปรมาตร 2 ลกบาศกเมตร อณหภม 300 เคลวน ปาเฟรนใหความรอนกบระบบ ท าใหแกสขยายตวแบบความดนคงทจนมปรมาตรเปนสองเทาของปรมาตรเรมตน จงหาวาระบบมการเปลยนแปลงเอนทาลปเทากบเทาใด สมมตใหแกสไนโตรเจนมพฤตกรรมเปนแกสอดมคต การเปลยนแปลงพลงงานภายในเทากบ 5

2 nR T และก าหนดใหใชคา R = 8 J / mol K

นยาม การเปลยนแปลงเอนทาลป( H ) ดงน H U PV

1. 36 kJ 2. 38 kJ 3. 40 kJ 4. 42 kJ 5. 44 kJ

h ระดบน า

ระดบน า

of 32

27. ภาชนะทรงกระบอกผนงลนวางตงอยในแนวดง โดยมลกสบอยในภาชนะ กนระหวางแกสในกระบอกกบ บรรยากาศ ลกสบมมวล M และพนทหนาตด S ความดนบรรยากาศเปน p ดงรปดานลาง ตอมาจบทรงกระบอกคว าปากลง โดยอณหภมแกสในกระบอกคงท พบวาปรมาตรแกสมคาเปน k เทา ของเดม จงหา p ในรปของ k, M, g และ S

1.

k 1 Mg

k 1 S 2.

k Mg

k 1 S 3.

k 1 Mg

2k S

4. k 1 Mg

k S 5.

k Mg

k 1 S

28. วศวกรเคมทานหนง ไดรบขอความเกยวกบงานทางวศวกรรมเคมมาทงหมด 5 ขอความ ก. เครองยนตเบนซน เมอเผาไหมจะกอใหเกดควนด ามากกวาเครองยนตดเซล ทงนเนองจากน ามน

แกสโซลนมปรมาณสารอนทรยประเภทอะโรมาตกเปนสวนผสมนอยกวาน ามนดเซล ข. การตดไฟประกอบไปดวย 3 องคประกอบส าคญ คอ สารออกซไดซ เชอเพลง และพลงงานกระตน ค. กฎของแกสอดมคต ใชไดดกบแกสทอณหภมสงและความดนต า ดงนนในอตสาหกรรมการผลตสารเคมทตองใชแกสความดนสงมาก ความสมพนธ PV=nRT จะไมสามารถน ามาพจารณาได ง. Cathodic Protection คอกระบวนการปองกนการกดกรอนของโลหะ โดยโลหะทถกปองกนการกดกรอนจะถกตอเปนขวแคโทดเพอปองกนการเกดปฏกรยารดกชน จ. รปแบบของการถายเทของพลงงานมอยสองประเภทคอ งาน (W) และความรอน (Q)

ขอความใดกลาวถกตอง 1. ก. ข. และ ค. 2. ก. ข. และ ง. 3. ข. ค. และ จ. 4. ข. ค. จ. และ ง. 5. ก. ข. ค. และ จ.

of 32

29. พจารณาขอมลของธาต 3 ชนด ดงน ธาต A - ท าปฏกรยากบ Na ไดสารประกอบ 2Na A

- สามารถท าปฏกรยากบอากาศกอใหเกดแกสทท าใหเกดฝนกรดได ธาต B - มสถานะเปนของแขง มนวาว สามารถน าไฟฟาได เกดปฏกรยารนแรงกบน า

- เปนสวนผสมหลกของเกลอแกงและผงฟ

ธาต C - คนพบจากการทดลองระเบดไฮโดรเจนในป ค.ศ. 1952 - เปนของแขงสขาวเงน - ตงชอตามผคนพบคอ Albert Einstein

ธาต A, B และ C สามารถคอธาตชนดใด ตามล าดบ 1. Oxygen, Sodium, Hydrogen 2. Sulfur, Lithium, Einsteinium 3. Sulfur, Sodium, Einsteinium 4. Oxygen, Sodium, Einsteinium 5. Oxygen, Lithium, Einsteinium 30. ระบบซงประกอบดวยแกส 3 ชนด คอ HI, H2 และ I2 อยในสภาวะสมดล H2 + I2 2HI แลว เมอน า ระบบนมาท าการทดลองอยางหนง โดยท าทอณหภมคงท พบวาความเขมขนของแกสทง 3 ชนด เปลยนแปลงดงกราฟ ขอใดกลาวไมถกตองเกยวกบการทดลองน

1. คาคงทสมดล = 2

2 2

[HI]

[H ][I ]

2. ท าการทดลองโดยเตมแกส H2 3. ระบบเขาสสมดลใหมทเวลา t2

4. คาคงทสมดลทเวลา t2 มมากกวาทเวลา t0

5. เมอเวลามากกวา t2 แกสตางๆในระบบยงคง มการเปลยนแปลงทงไปขางหนาและยอนกลบใน อตราทเทาๆกน

ความเขมขน (mol/dm3)

เวลา (s)

HI

H2

I2

t2 t1 t0

of 32

31. สงเกตปฏกรยาทเกดขนจากการน าแทงโลหะสงกะสรปทรงกลม 1 cm3 ใสลงในกรดไฮโดรคลอรก เขมขน 0.1 mol/dm3 ปรมาตร 20 cm3 แลวเขยาเบาๆ ถาหากเปลยนแปลงการทดลองดงน

ก. เพมพนทผวของแทงสงกะส ข. ลดอณหภม ค. เพมปรมาตรของกรดไฮโดรคลอรก ง. เพมความเขมขนของกรดไฮโดรคลอรก จ. ใสตวเรง

ขอใดตอไปน สงผลท าใหอตราเรวของการเกดแกส H2 เพมมากขน 1. ก, ข, ค 2. ก, ค, ง 3. ก, ง, จ 4. ข, ค, ง 5. ค, ง, จ

32. ธาต X สามารถท าปฏกรยาแกสออกซเจนไดสารประกอบ 2XO ซงมออกซเจนรอยละ 50 โดยมวล แต

หากมการใสตวเรงปฏกรยาจะท าใหได 3XO เปนผลตภณฑดวย ซง 3XO นน สามารถท าปฏกรยากบน า

ในไดสาร Y เปนผลตภณฑดงสมการ

3 2XO (g) H O(l) Y (ดลสมการเรยบรอยแลว)

จงหาวาหากเราตองการผลตภณฑ Y จ านวน 98 กรม จากปฏกรยาดงกลาว จะตองใช 3XO เปนสารตงตน

ในการผลตอยางนอยทสดกกรม (สมมตใหเราน ามปรมาณไมจ ากด สามารถใชไดตามตองการ) 1. 60 กรม 2. 80 กรม 3. 100 กรม 4. 120 กรม 5. 140 กรม

33. วศวกรควบคมกระบวนการผสมระหวางเบนซนและโทลอน โดยก าหนดใหเบนซนไหลเขาสเครองผสมใน อตรา 3 กโลกรม/นาท และโทลอนไหลเขาสเครองผสมในอตรา 1 กโลกรม/นาท สมมตใหการผสมครงน ไมมการท าปฏกรยาระหวางสารทงสองเลย จะตองใชเวลานานเทาใดจงจะไดสารผสมรวม 200 กโลกรม และจงหารอยละโดยมวลของโทลอนในสารผสมรวมนน (ค าแนะน า : มวลของสสารไมมวนสญหาย) 1. 50 นาท, รอยละ 25 2. 50 นาท, รอยละ 75 3. 25 นาท, รอยละ 25 4. 25 นาท, รอยละ 75 5. 25 นาท, รอยละ 50

เครองผสมสาร

3.0 kg /min

1.0 kg /min

สารผสม

of 32

34. จงหาวาปฏกรยาตอไปน ดดหรอคายพลงงานเทาไร

4 2 3CH Cl CHCl HCl (สมการยงไมดล) ก าหนดพลงงานพนธะ C-H = 413 kJ/mol, Cl-Cl = 243 kJ/mol, C-Cl = 339kJ/mol, H-Cl = 427 kJ/mol 1. ดดพลงงาน 330 kJ 2. คายพลงงาน 330 kJ 3. ดดพลงงาน 220 kJ 4. คายพลงงาน 220 kJ 5. ไมมขอใดถก 35. จงหาพนทใตกราฟ y = 2x 2x 3 ในชวง 0 x 2

1. 3 ตารางหนวย 2. 6 ตารางหนวย 3. 20

3 ตารางหนวย

4. 22

3 ตารางหนวย 5. 9 ตารางหนวย

36. ถา 3

1 1 1f '(x) ( )

2 x x แลว คาของ

4h 0

f (x 2h) f (x 2h)lim

h

เมอ x=1 มคาเทาไร

1. 1

4 2.

1

2 3. 1 4. 2 5. 4

37. ล าดบเลขคณตชดหนง เมอคดผลรวมของ 32 ล าดบแรกจะมคามากกวาผลรวมของ 25 ล าดบแรกอย 798 ถาตวเลขตวแรกของล าดบนคอ 2 จงหาผลพจนท 10 ของล าดบดงกลาว

1. 38 2. 65 3. 42 4. 46 5. 73

38. จงหาทศนยมซ าของ 6.24 ใหอยในรปเศษสวน

1. 62459

9999 2.

618

990 3.

617

99

4. 618

99 5.

618

990

of 32

39. ก าหนดให f เปนฟงกชนก าลงสาม ก าหนดโดย 3 2f x x x x เมอ x เปนจ านวนจรงใด ๆ

พจารณาขอความตอไปน ก. f ตดแกน X ทจดก าเนด 0,0 เพยงจดเดยว

ข. f ตดแกน Y ทจดก าเนด 0,0

ค. f มคาต าสดสมพทธเทากบ 4 ง. f มคาต าสดสมพทธเทากบ 1

จ. พสย (Range) ของ f คอชวง 5

1,27

จากขอความ ก – จ นน มขอความทถกตองกขอความ 1. 5 ขอความ 2. 4 ขอความ 3. 3 ขอความ 4. 2 ขอความ 5. 1 ขอความ

40. เดกชายใจนกเลงเปนเดกเลยงแกะ ถาเขาตองการลอมรวรปสเหลยมผนผาบรเวณรมแมน าเพอไวใชส าหรบ เลยงแกะ โดยดานทตดกบแมน าไมจ าเปนตองท าการลอมรว และเขามอปกรณไวส าหรบท ารวไดยาว 40 เมตร เดกชายใจนกเลงจะกนรวไดพนทมากทสดเทาใด

1. 125 ตารางเมตร 2. 150 ตารางเมตร 3. 175 ตารางเมตร 4. 200 ตารางเมตร 5. 225 ตารางเมตร

41. ก าหนดให A และ B เปนจ านวนจรงบวกทท าให log 5B A แลว

8

4

lnpow( ,log )

ln

B

AB

B มคา

เทาใด เมอก าหนดให pow , yx y x และ ln logex x

1. 0.10 2. 0.20 3. 0.50 4. 5 5. 10

of 32

42. ถาพกดจด ,a b เปนจดตดกนของกราฟ 3 4 23x y และ 8

810

3

x

yบนระนาบของจ านวนจรงแลว

ชวงในขอใดตอไปน เปนสบเซตของโดเมนของฟงกชน

29 9 9log log log logy x a x b ab

1. ,0 2. 0,1 3. 0,1

4. 1, 5. ไมมขอใดถก

43. คะแนนของนกเรยนกลมหนงมดงน 3,4,2,4,6,2,2,1 ขอใดตอไปนถกตอง

1. สวนเบยงเบนมาตรฐานมากกวาคาเฉลยเลขคณต 2. สวนเบยงเบนมาตรฐานนอยกวามธยฐาน 3. มธยฐานมากกวาคาเฉลยเลขคณต 4. ฐานนยมเทากบมธยฐาน

5. ไมมขอใดถก 44. ลกเตาเทยงตรงลกหนงม 13 หนาแตละหนามตวเลขหนาละ 1 ตวเลขตงแต 1 ถง 13 ไมซ ากน จงหาวาใน การทอยลกเตา 3 ครง ความนาจะเปนทลกเตาจะออกเลขคทง 3 ครง มากกวาความนาจะเปนทลกเตาจะ ออกเลขคใน 2 ครงแรกและออกเลขคในครงทสามเทาไร

1. 0 2. 91

2197 3.

121

2197 4.

141

2197 5.

161

2197

of 32

45. ตวก าหนด (Determinant) ของเมทรกซตอไปน มคาตรงกบขอใด

5 0 1 7

4 0 0 0

1 3 0 2

6 9 2 0

1. 48 2. 48 3. 96

4. 96 5. 0

46. นยามใหเวกเตอร v r เมอ r เปนจ านวนจรงทไมเปนลบ และ 0 2 เปนเวกเตอร บนระนาบ XY ทมจดเรมตนทจดก าเนด 0,0 มขนาดเทากบ r หนวย และท ามมกบแกน X

(มมวดจากแกน X ในจตภาคท 1 ในทศทวนเขมนาฬกา) เทากบ โดยเขยนไดดงภาพตอไปน

Y v r O X ถา A และ B เปนเวกเตอรบนระนาบ XY โดยท 6 148A , 6 88B และเวกเตอร A B เขยนไดในรปของ R แลวขอใดกลาวถกตอง

1. 18A B และ 02

2. 36A B และ

2

3. 36A B และ 3

2

4. 18A B และ

2

5. 18 3A B และ 3

2

47. ขอใดกลาวไดถกตองเกยวกบชวมวล

ก. ชวมวล ประกอบไปดวย ความชน สวนทเผาได และสวนทเผาไมได ข. หากปลอยใหชวมวล เชน มลสตว ใหยอยสลายเองตามธรรมชาตจะเกดกาซเรอนกระจก ค. เราสามารถน ากากการเกษตรมาผลตเปนน ามนได

1. ก. และ ข. 2. ข. และ ค. 3. ก. และ ค. 4. ค. เทานน 5. ถกทกขอ

of 32

48. จากตารางปรมาณการใชวตถดบในการผลตพลงงานไฟฟาขางลางน อยากทราบวาวตถดบชนดใดมอตราการเปลยนแปลงของการใช ในป 2556 (เปลยนแปลงจากป 2555) สงกวาอตราการเพมขนโดยรวม

การใชวตถดบ ปรมาณ (พนลานหนวย)

ปพ.ศ. 2555 ปพ.ศ. 2556 1 ลกไนต 14 16 2 กาซธรรมชาต 109 104 3 พลงงานหมนเวยน 16 21 4 พลงงานน า 3 3 รวม 132 144

1. ลกไนต 2. กาซธรรมชาต 3. พลงงานหมนเวยน 4. พลงงานหมนเวยน และ พลงงานน า 5. ลกไนต และ พลงงานหมนเวยน

49. ขอใดคอรปทรงในภาพฉายน

1.

2. 3.

4. 5.

of 32

50. ขอใดสามารถน ามาประกอบกบรปนไดพอด 1. 2. 3. 4. 5.

of 32

51. ภาพฉายดานนคอวตถอรปใด

1. 2.

3. 4.

5.

of 32

52. ขอใดคอภาพฉายของรปน

1. 2. 3. 4. 5.

of 32

53. ขอความใดกลาวไดถกตอง ก. เครองยนตขนาด 100 แรงมา คอ คอเครองยนตขนาด 76,400 กโลวตต ข. แรงมาเปนหนวยวดของอตราการท างานของมอเตอรไฟฟา เครองจกร เปนตน ค. เครองยนตขนาด 95 แรงมา หมายถง เครองยนตทมแรงบดสงสด 95 แรงมา

1. ก. เทานน 2. ข. เทานน 3. ค. เทานน 4. ก. และ ข. 5. ข. และ ค. 54. การกระท าในขอใดตอไปนควรน ามาปฏบตจรงในงานวศวกรรมมากทสด หากทานเปนวศวกรใน โรงงานผลตกระดาษ

1. ถาในโรงงานมฝนจ านวนมาก ใหตดตงพดลมไอน าเพอใหไอน าไปเกาะกบฝนเพอไมใหฝนกระจายตว 2. ถาในโรงงานมน ารวมาโดนสายไฟเครองจกรทเกบส ารองไวอยเปนเวลานาน แลวทานมาพบ ใหน า

สายไฟของเครองจกรไปผงแดดใหแหง แลวน าเครองจกรมาใชงานตอ 3. ถาชวงเวลาขณะนน ราคาของวตถดบการผลตลดราคาลง ใหซอวตถดบชนนนไวปรมาณมากๆ เพอลด

ตนทนการผลต 4. หากหลอดไฟเหนอเครองจกรเครองหนงดบ สงผลใหวศวกรคมเครองจกรเครองนนมองเหนไมคอยชด

เพราะความสวางไมพอ วศวกรทานนนจงหยดเครองจกรนนทนทเพอเปลยนหลอดไฟ สงผลใหการผลตกระดาษของเครองจกรเครองนลาชาไป 10 นาท

5. วศวกรทานหนงท างานอยในฝายการผลต มอาการเจบคอเนองจากเปนหวด วศวกรทานนนจงพกน าดมเขาไปไวขางๆเครองจกร มฉะนนวศวกรทานนจะไมมสมาธท างาน

55. หากตองการใชสวานเจาะรเพอใหนอตซงมความยาว 200 มลลเมตรใสลงไปไดหมดพอด (หวนอตชด ผวชนงาน) ควรใหปลายสดของสกรลกลงไปจากผวชนงานเทาใด

1. นอยกวา 175 มลลเมตร 2. มากกวา 175 มลลเมตร แต นอยกวา 200 มลลเมตร 3. เทากบ 200 มลลเมตร 4. มากกวา 200 มลลเมตร แต นอยกวา 225 มลลเมตร 5. มากกวา 225 มลลเมตร

of 32

56. ขอใดไมจดเปนแนวทางในการปองกน และ แกไขปญหาสงแวดลอม 1. พฒนาเครองจกรทชวยในการก าจดขยะ เพอเพมประสทธภาพในการท างาน 2. รณรงคใหมการเพมโทษทางกฎหมายเอาผดผทลกลอบตดไมในอทยานแหงชาต 3. รวมกนจดตงชมรมคดคนสงประดษฐตนทนต าทชวยบ าบดน าเสยในแหลงน า 4. การสรางเขอนเพอเพมแหลงผลตพลงงานสะอาด 5. รฐบาลออกนโยบายสงเสรมการใชประโยชนจากแมน า ค คลอง อยางเหมาะสม

57. แนวทางใดทชวยจดการกบปญหาภาวะโลกรอนไดดทสด

1. การขนสงสนคาทไมเนาเสยผานทางเครองบนแทนการใชเรอ 2. ชวงหนารอน ใชการเปดหนาตาง และใชพดลมไอน าในการใหความเยน แทนการใชเครองปรบอากาศ 3. รณรงคใหผทมอาชพตดตนไม ตองปลกตนไมคน 1 ตน ตอ ตนไมทถกตด 10 ตน 4. รวมกนเปดเครองปรบอากาศ และเปดกระจกทงไว เพอใหอากาศเยนจากในบานถายเทไปส

สงแวดลอม 5. รวมกนเดนขบวนตอตานการฆาสตวปาสงวนในวนสงแวดลอมโลก

58. ขอใดไมจดเปนเครองมอวดความยาว

1. 2.

3. 4.

5.

of 32

59. ขอใดถกตอง 1. ในเดอนธนวาคม ประเทศทอยซกโลกเหนอจะมกลางคนยาวกวากลางวน 2. โลกหมนรอบตวเองในทศตามเขมนาฬกา สงผลใหเกดฤดกาลขน 3. ชนโอโซนเปนสวนหนงของชนบรรยากาศโลก ชวยดดซบรงส UV ไวประมาณ 50% ของรงสทแผ

มายงโลก 4. ภายในอากาศจะมกาซไนโตรเจนมากทสด รองลงมาคอกาซไฮโดรเจน และออกซเจน ตามล าดบ 5. ภายในดนจะประกอบไปดวยอนทรยสารมากทสด

60. วสดในขอใดทสามารถรบแรงกดทบไดมากพรอมกบมความยดหยนในตวเองสง

1. คอนกรต 2. เหลก 3. Reinforced concrete 4. ไม 5. กระจก

of 32

ตอนท 2 : อตนย (10 ขอ) 61. 37º

62. นายหลบทกคาบ ปลอยกลองสด ามวล 5 กโลกรม ไปตามทางรางโคงรศม 12 เมตร และเมอกลองลงถงจด ต าสดจากทางราง จะขนมาตามพนเอยง 30 องศา การเคลอนทตลอดชวงรางโคงกบพนเอยงมระยะทาง 6 14 เมตร ก าหนดใหรางโคงและพนเอยงไมมแรงเสยดทาน หลงจากทกลองพนพนเอยงแลว กลองจะเคลอนทบนพนถนนราบซงม k =0.25 จนกระทงหยดนง ดงรป

ถามวา กลองสด านจะเคลอนทไปไดระยะทางทงหมดกเมตร (ให 6= 18.852 และ sin 30º = 0.50) R = 12 m k = 0.25

63. นาย ก นอยใจกบชออนแสนโหลในขอสอบของตวเองเลยคดสนกระโดดลงมาจากดาดฟาโรงเรยนทสง H เพอดงลงไปพนขางลาง จงหาอตราสวนพลงงานศกยตอพลงงานจลนของนาย ก ขณะทดงลงมาได ระยะทาง 2 ใน 5 ของระยะหางระหวางดาดฟากบพน

นองๆทท าขอสอบขอนคนหนงเรมเบอเลยนกสนกฆาเวลาโดยการเอาระบบมวลนไปวางบนดาดฟาหอเอนปซา มวล m จะตองมคากกรม จงจะท าใหระบบหยดนง ก าหนดให

(1) พนเอยงและรอกไมมการเคลอนท และรอกเบา

(2) ไมมแรงเสยดทานระหวางพนเอยงกบกลอง (3) tan37º = 0.75

of 32

30⁰ 60⁰

64. คาน AB ดงรป มมวล 2 กโลกรม ปลาย A ยดตดกบบานพบลนบนก าแพง ปลาย B ผกเชอก BC ไว จงหา ขนาดของแรงตงเชอก BC 65. กาน าไฟฟากาหนงมขดท าความรอนสองขด เมอใชงานขดทหนงอยางเดยว น าในกาจะเรมเดอดเมอเวลา ผานไป 15 นาท และเมอใชงานอกขดหนงอยางเดยว น าในกาจะเรมเดอดเมอเวลาผานไป 30 นาท จงหา วา ถาใชขดทงสองใหความรอนจนน าเรมเดอด โดยตอกนแบบอนกรม ตองใชเวลาตางจากตอแบบขนานก นาท (ไมตองค านงถงการสญเสยความรอนใดๆ) 66. ในเขอนแหงหนงทมหนาตดเปนสเหลยมผนผา ขนาด 50 เมตร x 20 เมตร บรรจน าทมความถวงจ าเพาะ เปน 1.0 แตเนองจากวศวกรทควบคมเขอนไดพบวาทจดลางสดของเขอนเรมมรอยราว จงตองน าอปกรณ ทใชรบแรงชวคราวขนาด 5 เมตร x 5 เมตร ตดไวทต าแหนงดงรป จงหาวาอปกรณรบแรงดงกลาวตองทน แรงไดกกโลนวตน

หมายเหต : รปนแสดงเฉพาะหนาตดของเขอน โดนพนทแรเงาคอพนทสวนทคานสามารถค ายนได

of 32

67. ของเหลว 3 ชนด มความหนาแนน D1 , D2 และ D3 บรรจในหลอดรปตวย ดงรป ถา D2 = 2D1 จงหาวา D3 เปนกเทาของ D1

68. สารละลาย CH3COOH เขมขน 0.1 mol/dm3 ปรมาตร 100 cm3 เมอเตมน าใหมปรมาตรเปน 500 cm3 จงค านวณ pH ของสารละลาย (Ka ของ CH3COOH = 1.8 x 10-5) (log 6 = 0.78) 69. สมชาย และสมศกด ก าลงยนเคารพธงชาตและมองไปทยอดเสา จากรปสมชายยนอยทจด C และมองขน

ไปทยอดเสาดวยมมเงย 45 สวนสมศกดยนทจด D มองขนไปทยอดเสาดวยมมเงย 60 ถาหากเราทราบ วาสมชายยนหางจากสมศกดเปนระยะทางแนวราบเทากบ 80 เมตร เสาธงนจะมความสงกเมตร ถาหากไม

ค านงถงความสงของสมชายและสมศกดและก าหนดใหมมราบ ^

C AD เทากบ 90

A

B

C

D

of 32

70. จงหาปรมาตรของปรซมดงกลาวในหนวยลกบาศกเซนตเมตร ก าหนดใหความยาวหนวยทใหเปนหนวยมลลเมตรและใหปรซมนม s = 30 มลลเมตร (หมายเหต : scale ของรปภาพอาจไมตรงกบขนาดทโจทยก าหนดไวและก าหนดใหภาพฉายเปนแบบ 3rd Angle View)

s

40

60

20

30

Front View

Left side View

Top View

เฉลย Semi-final : ความถนดทางวศวกรรม หนา 1 คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย วนท 25 มกราคม 2558

ตอนท 1 : ปรนย 5 ตวเลอก (60 ขอ) ขอ 1

ตอบ 2. ค าอธบาย จากภาพจะเหนไดวายกวตถไมขนจงไดแรงลพธแคเพยงไปทางขวา 100 N ขอ 2

วชา กลศาสตร เรอง การเคลอนท 2 มต

วดเรอง ปลอยของจากวตถเคลอนท ตอบ 5. ค าอธบาย ตองรวา 1) ขปนาวธจะชนเครองบนได กตอเมอ ความเรวแนวระดบของทงสองเทากน ดงนน ความเรวตนแนวระดบของขปนาวธ xu เปน 105 m/s

2) อตราเรวตนนอยสด เมอ ขปนาวธขนไปไดสงสด 6480 m (ระดบความสงของเครองบน) พอด

ดงนน ความเรวตนแนวดงของขปนาวธ หาไดจากสมการ 2 2y yv u 2ay โดยแทน yv 0 m/s ,

2a 10 m/s และ s 6480 m จะได yu 2 10 6480 360 m/s

ดงนน อตราเรวตนนอยสด 2 2 2 2x yu u u 105 360 375 m/s

ขอ 3

ตอบ 1. ค าอธบาย หาระยะททง 2 คนวงได

วชา กลศาสตร เรอง นวตน

วดเรอง การรวมแรง (vector 2 มต)

วชา กลศาสตร เรอง การเคลอนท 1 มต

วดเรอง การเคลอนทแนวตรง ความเรงคงท


ชโระ ใช s = vt จะได s = (1.5เมตร/วนาท)(3600 วนาท) = 5400 เมตร = 5.40 กโลเมตร

คโระ ใช s = ut+1

2at2 = (5)(3600)+ 21

( 0.002)(3600)2 = 5040 เมตร = 5.04 กโลเมตร

ดงนน ชโระวงไดไกลกวา 0.36 กโลเมตร แตอยาลม ในโจทยก าหนดใหชโระไปกอนอก 0.36 กโลเมตร จงตอบวาชโระชนะไป 0.72 กโลเมตร ขอ 4

วชา กลศาสตร เรอง การหมน

วดเรอง เทยบความเรวเชงมม สายพาน เฟอง ตอบ 4. ค าอธบาย 1) ตองรกอนวา มแรงเสยดทานสถตระหวางทรงกระบอกเลกกบลอใหญ ทศของแรงเสยดทานสถตหาไดโดยสมมตวาผวสมผสลน หากผวสมผสลน ลอใหญจะไมหมนเลย และทรงกระบอกเลกจะโดนทอรก ดงใหหมนทวนเขมนาฬกา ดงนน ทรงกระบอกเลกจะไถลเทยบกบลอใหญขนขางบน แรงเสยดทานสถตทท าตอทรงกระบอกเลกจงมทศตานการไถลน คอลงมาดานลาง และจากกฎขอท 3 ของนวตน แรงเสยดทานสถตทท าตอลอใหญจงมขนาดเทากนและทศตรงกนขาม คอขนขางบน

2) ตงสมการทอรก สมมตวาลอเลกมอตราเรงเชงมมเปน *

ลอเลก 2 *1fr mr 1

2

ลอใหญ 2f 6r m 6r 2fr 6mr 2

ทรงกระบอกเลกและลอใหญหมนโดยไมไถลระหวางกน และ ความเรงเชงเสนเทากน

ท าใหไดวา *6r r

ดงนน * 6 3


แทน 2 , 3 ลงใน 1 จะได 2 2 26mr 3mr 9mr

ขอ 5 วชา กลศาสตร เรอง นวตน

วดเรอง รอกตายตว รอกเคลอนท ความเรงสมพทธ ตอบ 5. ค าอธบาย 1) หาวาความเรงของมวลทงสองตางกนกเทา โดยใชหลกการวาเชอกไมยดไมหด ขอนมเชอก 2 เสน เราจะพจารณาเชอกเสนบน

เมอรอกตวลางขยบขนไปได x มวลกอนซายขยบลงมาได 3x ดงนน ถาความเรงของมวลกอนขวาเปน a แลวความเรงของมวลกอนซายจะเปน 3a

2) หาความสมพนธระหวางแรงตงเชอกทงสองเสน ขอนมเชอก 2 เสน แรงตงเชอกในเชอกแตละเสน เทากนตลอดทงเสน เพราะเชอกไมมมวล

เนองจากรอกไมมมวล ดงนน แรงลพธตอรอกตวลางตองเปน 0 ดงนนถาเชอกเสนบนมแรงตง T แลวเชอกเสนลางจะมแรงตง 3T

3) ใชกฎของนวตนกบมวลทงสองกอน กอนขวา 3T mg ma กอนซาย mg T m 3a

แกสมการทงสองจะได g

a5

ดงนน อตราเรงของมวลกอนซายเปน 3g

3a5


ขอ 6 วชา กลศาสตร เรอง การเคลอนท 1 มต และกฎของนวตน

วดเรอง กราฟ ตอบ 3. ค าอธบาย เนองจากความชนของกราฟ v-t คอ ความเรง และ ความเรงมความสมพมธกบแรง F เปนเสนตรง (แรงแปรผนตรงกบความเรง) ดงนน เมอชวงความเรวคงท ความเรงจะเปนศนย ซงจะหมายความวา แรง F กจะเทากบศนย สามารถตด ขอ 1. ทง และชวงวนาทท 4 – 5 ความชนของกราฟ v-t เปนลบ แสดงวาเปน ความหนวง คาแรง F จะตองตดลบ สามารถตด ขอ 2. และ ขอ 4. ทง ขอ 7

วชา กลศาสตร เรอง สมดลกล

วดเรอง สมดลการหมน ตอบ 3. ค าอธบาย เนองจากแพอยในสมดลตอการหมน เมอเขยนแรงกระท าตอแพจะไดดงรป ใหจดหมนเปนจด A (จดกงกลางคาน) จะพบวาแรงลอยตวเปนแรงทผานจดหมนท าใหไมเกดโมเมนต ดงนน

ทวน ตามM M

L L300( ) 500(4 )

2 2L 5

จะไดคาความยาวของแพคอ 5 เมตร

300 N 500 N

แรงลอยตว (B)

A


ขอ 8 วชา กลศาสตร เรอง โมเมนตม

วดเรอง กราฟการดล ตอบ 4. ค าอธบาย เปลยนกราฟใหอยในรปของ F-t กอน F (N) 6 0 1 2 3 4 t (s) ระวง ! โจทยขอนถามแค 3 วนาท ขอ 9

วชา กลศาสตร เรอง โมเมนตมเชงเสนและการชน

วดเรอง การชนแบบไมยดหยนโดยสมบรณ ตอบ 1. ค าอธบาย เนองจากไมมแรงภายนอกมากระท าตอระบบทพจารณา (ลอเลอนกบมวล m) ดงนนโมเมนตมของระบบจะมการอนรกษ

จาก p F t

= พนทใตกราฟ F-t

=

15 2 3

2

= 10.5 N.s

5

2

4

m

v

กอนชน หลงชน


fiP P

Mu (M m)v

ดงนนจะไดวา Mu

vM m

เปนสมการท 1

เนองการชนดงกลาวเปนการชนแบบไมยดหยนโดยสมบรณ(หลงชนแลวตดกนไป) จะมพลงงานจลนสญเสยไประหวางการชน ซงค านวณหาไดจาก

kหาย ki kf

2 2kหาย

E E E

1 1E Mu (M m)v

2 2

เนองจากพลงงานจลนทสญเสยไปนนจะเปลยนไปเปนงานเนองจากแรงเสยดทาน ดงนน

2 2kหาย friction

1 1E Mu (M m)v W

2 2

2 21 1Mu (M m)v fs

2 2

เมอ s คอระยะทางทมวลไถลไปเทยบกบลอเลอน

2 21 1Mu (M m)v mgs

2 2

จะได 2 2Mu (M m)v

s2 mg

น า v จากสมการท 1 มาแทนจะไดวา 2 2

2

MuMu (M m)( )

M ms2 mg

u Ms

2g M m


ค าเตอน หามนองท าแบบนเดดขาดนะครบ พจารณาทมวล m เนองจาก

k 1 2

k 2 k1 1 2

2f

2

2

E W

E E W

1mv 0 W

21 Mu

m( ) 0 mgs2 M m

1 Mus

2g M m

ท าแบบนผดครบ เนองจาก s ของสมการขางบนเปนระยะทางทมวลไถลเทยบพนโลกซงโจทยไมไดถามระยะทางตรงสวนนน โจทยถามระยะทางทมวลไถลเทยบลอเลอนซงเปนคนละตวกน

ขอ 10

วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟาสถต

วดเรอง แรงระหวางประจ ตอบ 4. ค าอธบาย เราจะสามารถสราง FBD ไดดงรป


ตอมาเราจะสามารถแตกแรงเขาแกน x ได F13cos + F23cos + F34

แกน y ได F13sin - F23sin

จาก 1 22

KQ QF

R F =Kq1q2/R2 ; F13 = F23

แรงลพธในแกน y จงเทากบ 0

แรงลพธแกน x = F13cos + F23cos + F34 6 6 9 6 6

2 2

9 6 6

2

(9 10 )(3 10 )(6 10 ) 6 (9 10 )(3 10 )(6 10 ) 6

10 10 10 10

(9 10 )(6 10 )(6 10 )

10

= 5184 μN ไปทางซาย ขอ 11

วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟาสถต

วดเรอง ความตางศกย ตวเกบประจ ตอบ 4. ค าอธบาย จากสมการ Q = CV จะได Cรวม = Q/V = (600 x 10-6)/50 = 1.2 x 10-5 โดยท Cรวมไดจากการรวมตวเกบประจทงวงจร ใชหลก Cรวม = C1 + C2 เมอ C1 ตอขนานกบ C2

รวม 1 2

1 1 1

C C C หรอ 1 2

รวม1 2

C CC

C C

เมอ C1 ตออนกรมกบ C2

จะไดสมการ รวม

(15 C)(5 C)C

(15 C 5 C)

แกสมการหาคา C ไดคา C เทากบ 15 μF


ขอ 12 วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟากระแสตรง

วดเรอง บรจสมดล ตอบ 3. ค าอธบาย ในขณะทบรจอยในสภาพสมดลจะไมมกระแสไฟฟาไหลผานกลวานอมเตอร เพราะฉะนนวงจรในโจทยจงอยในสภาพบรจสมดล จะได 18 x 42 = 14 x R ไดคา R = 54 Ω

ขอ 13

วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟากระแสตรง

วดเรอง วงจรไฟฟา/โวลตมเตอร/แอมมเตอร ตอบ 4. ค าอธบาย จะไดทศทางกระไหลของกระแสไฟฟาในวงจรดงรป เพราะ 1. ตวเกบประจในวงจรไฟฟากระแสตรงเปรยบเสมอนวงจรขาด นนคอ กระแสไมไหลผานตวเกบประจ 2. เนองจากเปนโวลตมเตอรในอดมคต จงมความตานทานมากท าใหไมมกระแสไฟฟาไหลผาน จงไมไหลผานเสนทมโวลตมเตอรและตวตานทาน 15 Ω จากสมการ V = IR


I = V/Rรวม

รวม

36 18R

36 18

+ 16 + 32 = 60

เพราะฉะนน I = 72/60 = 1.2 A และจดทโวลตมเตอรครอมจะมความตางศกย Vโวลตมเตอร = IRครอม

= 1.2 x (16 + 32) = 57.6 V

ขอ 14

วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟากระแสสลบ

วดเรอง ก าลงในขดลวดเหนยวน า ตอบ 3. ค าอธบาย ความตานทานเชงเหนยวน า = 2*3.14*60*0.7 = 263.8 โอหม กระแสไฟฟา = 120/263.8 = 0.46 แอมแปร เนองจากระบบมแคขดลวดเหนยวน า ซงมก าลงเฉลยเทากบ 0 ดงนนจงตอบขอ 3. ขอ 15

วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟากระแสสลบ

วดเรอง ฟวส/วงจรไฟฟา ตอบ 5. ค าอธบาย จาก V = IZ จะได Z =V/I = 125/5 = 25 Ω เพราะฉะนน Z ทนอยทสดทฟวสจะไมขาดคอ 25 Ω แตเราตองการทราบขนาดของขดลวดทท าใหฟวสไมขาด จะได 25 < (242 + (15 - XL)2)1/2

625 < 576 + 225 - 30XL + XL2

XL2 - 30XL + 176 > 0

(XL - 8) (XL - 22) > 0 เพราะฉะนนขนาดขดลวดทจะไมขาดอยในชวง ( ,8) และ (22, ) จงตอบขอ 5


ขอ 16 วชา คลน เรอง แสง

วดเรอง การหกเห ตอบ 3. ค าอธบาย 1) พจารณาทรอยตอแรก (อากาศ – Core) สมมตให รงสแสงจากอากาศมมมหกเหตอนเขา Core เปน Snell’s law บงวา 1sin n sin 1

2) พจารณาทรอยตอทสอง (Core – Cladding)

จากเรขาคณต เราไดวามมตกกระทบของรงสแสงเปน

2

รงสแสงจะอยแตใน Core พอดเมอมมหกเหเปน

2

Snell’s law บงวา

1 2n sin n sin

2 2 จงได 2

1

ncos 2

n

จากสมการ 2 ได

2

2

1

nsin 1

n น าไปแทนในสมการ 1 จะได 2 2

1 2sin n n

พจารณาความมากนอยของ sin

รงสแสงจะยงคงอยใน Core ถา

2 มคามากๆ (มากกวามมวกฤตระหวาง Core กบ Cladding)

ดงนนรงสแสงจะยงอยใน Core ถา มคานอยๆ สมการ 1 บอกเราวา ถา มคานอย แลว กมคานอยดวย

ดงนน 2 21 2sin n n


ขอ 17 วชา ไฟฟา เรอง ไฟฟาแมเหลก

วดเรอง สอทางแมเหลก ตอบ 2. ค าอธบาย 1. ผด เพราะ สนามแมเหลกมคาเทาเดม 2. ถก เพราะ เมอลวดตวน าเคลอนทในสนามแมเหลกจะเกดแรงเคลอนไฟฟาเหนยวน า 3. ผด 4. ผด 5. ผด เพราะ โมเลกลของสารแมเหลกจะแตกตวเปนแมเหลกแทงเลกๆ ทมทศทางตรงขามกบสนามแมเหลก ขอ 18

วชา ไฟฟา เรอง คลนแมเหลก

วดเรอง การเหนยวน า ตอบ 4. ค าอธบาย ก. ผด เพราะตองตงใหขนาน ข. ถก ค. ผด เพราะสามารถเกดจากการแผสลายของสารกมมนตรงส หรอรงศคอสมคจากอวกาศ ง. ผด เพราะเกดจากแหลงก าเนดอาพนธ จ. ถก ขอ 19

วชา สมบตสาร เรอง ของเหลว

วดเรอง เครองอดไฮดรอลกส ตอบ 3. ค าอธบาย ขนแรกสดตองหาความสมพนธระหวางการออกแรงทงสองฝงกอน โดยใชหลกของปาสคาลชวย


Left Right

RightLeft

Left Right

RightLeft2 2

2Right

Left Right2

P P

FF

A A

FF

(20) (40)

F20F F

40 4

โดย FLeft คอฝงทเปนลกสบขนาดเลก FRight คอฝงทเปนลกสบขนาดใหญ โจทยบอกวาหากดนลกสบขนาดใหญ

60 นวตน จะยกกอนหนอกฝงหนงขนมาได แสดงวากอนหนตองมน าหนก 60

154 N ตอมาวศวกร A ทม

น าหนก 600 นวตน ไปนงทบทลกสบใหญแทน ท าใหลกสบเลกเคลอนขน เพราะน าหนกกอนหนไมพอตอการ

ท าใหลกสบสมดล ดงนน ลกสบเลกจงตองออกแรงเพมจนมคาเปน 600

1504 N ถงจะท าใหระบบลกสบ

สมดล จะตองออกแรงเพมขน 150-15 = 135 N เพอใหระบบสมดล ตอบขอ 3 ขอ 20

วชา สมบตสาร เรอง ความรอน

วดเรอง Qลด=Qเพม ตอบ 4. ค าอธบาย จากโจทย ตองการหาอณหภมผสม สามารถค านวณไดจากจดทเกดสมดลความรอน Qลด=Qเพม ให x คออณหภมผสม จะตงสมการไดวา

metal metal ice ice water waterm c (151 x) m L (m m )c x +mceramiccceramicx

o

(2)(7000)(151 x) (0.2)(336000) (1.2)(4200)(x) (5)(8400)(x)

2114000 14000x 67200 5040x 42000x

61040x 2046800

x 33.53 34 C

จงตอบขอ 4


ขอ 21 วชา สมบตสาร เรอง ความรอน

วดเรอง กราฟความรอนในทอการไหล ตอบ 4. ค าอธบาย จากโจทยไดอธบายวา ในทอทางเขาจะเปนไอน ารอน (สถานะกาซ) ทางออกจะถกควบแนนจนเปนน า (ของเหลว) แสดงวาไอน าเดมตองมอณหภมสงกวาตอนทเปนน า จงสามารถเปนไดทงกราฟขอ 1 และ 4 แตเนองจากวาไอน าจะตองลดอณหภมมาจนถงคาๆ นง (ตาม Q mc T ) แลวถงคอยๆ ควบแนนจนไอน าทงหมดเปลยนสถานะเปนน า (ตาม Q=mL) ดงนนกราฟจงเปนตามขอ 4 ขอ 22


วดเรอง แรงลอยตวผสมกฎของนวตน ตอบ 2. ค าอธบาย หาปรมาตรของกลองทเรมลอยตวขนพอด จาก

f f

f

f

F 0

V g mg

1000 V 10 250

V 0.025

fV คอ ปรมาตรของกลองทจมน า

0.2 0.2 h 0.025 h = 0.625 เมตร ดงนน ตองเตมน าไป 0.625 เมตร กลองจงเรมลอย ขอ 23


วดเรอง แรงลอยตวแบบถามถกผด ตอบ 1.


ค าอธบาย คดโดย เอาวตถทงสองออกไปกอน แลวคอยใสกลบลงมาทละอยาง แกวท (1) เทยบระดบน า แกวท (2) เทยบระดบน า 1 เอาไมและน าแขง

ออกไป ระดบน าลดลงเทากน (มวลน า M+m ไมถกแทนทแลว)

เอาเหลกและน าแขงออกไป

ระดบน าลดลงเทากน (มวลน า M+m ไมถกแทนทแลว)

2 ละลายน าแขงมวล M แลวใสแกว

ระดบน าเพมขนเทากน (มวลน าเพมขน M)

ละลายน าแขงมวล M แลวใสแกว

ระดบน าเพมขนเทากน (มวลน าเพมขน M)

ตองรวา แรงลอยตวตอวตถ มคาเทากบน าหนกของน าสวนทถกแทนท

ไมลอยอยนง แรงลอยตวตอไมตองเทากบน าหนกของไม จงไดวา มวลของน าสวนทถกแทนท เทากบมวลของไม

เหลกจมลง แรงลอยตวตอเหลกจะนอยกวาน าหนกเหลก จงไดวา มวลของน าสวนทถกแทนท นอยกวามวลของเหลก (โจทยก าหนดใหมวลเทากบไม) 3 ใสไมลงไป ระดบน าเพม (มวลน า m ถก

แทนท) สดทายระดบน าคงเดมเทาตอนแรก

ใสเหลกลงไป ระดบน าเพม (มวลน านอยกวา m ถกแทนท) สดทายระดบน าลดลงจากตอนแรก

ขอ 24

วชา สมบตสาร เรอง ของไหล

วดเรอง แบรนลล แบบทฤษฎ ตอบ 3. ค าอธบาย

สมการแบรนลเขยนไดดงน 21P V gh cons tan t

2

สมการนใชไดกบของไหลในอดมคตเทานน ซงของไหลในอดมคตมคณสมบต 4 ประการ (มาจากการพสจนสมการน)คอ 1. ไมมความหนด 2. อตราการไหลคงตว 3. ความหนาแนนคงตว 4. ไมมการหมน ขอ ก ไมสามารถใชสมการแบรนลได เพราะน าผงมความหนด ขอ ข ไมสามารถใชสมการแบรนลได เพราะในวนฝนตกหนกจะท าใหอตราการไหลไมคงตว ขอ ค ไมสามารถใชสมการแบรนลได เพราะมการหมนของอากาศ


ขอ ง สามารถใชสมการแบรนลได เพราะเปนของไหลอดมคต ขอ 25

วชา สมบตสาร เรอง ของไหล

วดเรอง Bernoulli แบบค านวณ ตอบ 1. ค าอธบาย เนองจากก าหนดใหของไหลทพจารณาเปนของไหลในอดมคต จากสมการแบรนลล

2 21 1 1 2 2 2

1 1P gh v P gh v

2 2

เนองจากทอทงสองตอนมจด c.m. (ตรงกลางทอ) อยในระดบเดยวกน ดงนน

1 2gh gh

ดงนนสมการแบรนลลขางตนจะสามารถจดรปไดเปน

2 211 2 2

1P P (v )v

2 เกบไวเปนสมการทหนง

โดยผลตางความดน( 1 2P P )ทางฝงซายของสมการจะสามารถหาไดจากการพจาณาน าทอยนงในหลอดแกวท

ปกไว

เนองจากน าทอยในหลอดแกวเปนของไหลสถตย(อยนง) จงไดผลตางความดน( 1 2P P )คอ gh

และเนองจากโจทยก าหนด 2 1v 2v

แทนคาผลตางความดนและ 2v ลงไปในสมการท 1 จะไดวา

2 21 1

1gh ((2v ) v )

2

แทนคา g, h ทโจทยก าหนดลงไปจะแกหาความเรวของน าในทอใหญมาไดเทากบ 1 m/s

จด 1 จด 2


ขอ 26 วชา สมบตสาร เรอง แกส และกฎของเทอรโมไดนามกส

วดเรอง การค านวณ 2 ขน ตอบ 4. ค าอธบาย จาก PV=nRT

แทนคาจะได 5 8 300

P 6000Pa2

จาก 5 5

U nR T PV2 2

เนองจาก P คงท ดงนน 5 5

U P V (6000)(4 2) 30kJ2 2

ในท านองเดยวกน PV P V 6000(4 2) 12kJ

ดงนน H U PV 42kJ

ขอ 27

วชา สมบตสาร เรอง แกส

วดเรอง PV=nRT แบบสองเหตการณ/สองการทดลองเปรยบเทยบ ตอบ 1. ค าอธบาย 1) สมดลแรงของลกสบ ตอนแรก 1p S pS Mg 1 ตอนหลง 2p S pS Mg 2

1

2

p pS Mg1 2 : 3

p pS Mg

2) อณหภมคงท 1 2

2 1

p V

p V แตโจทยก าหนดวา 2

1

Vk

V ดงนน 1

2

pk

p แทนคาใน 3

pS Mgk

pS Mg แกสมการไดวา

k 1 Mgp

k 1 S


ขอ 28 วชา เคม เรอง ผสม

วดเรอง ทฤษฎทวๆไปทางวศวกรรมเคม ตอบ 3. ค าอธบาย ขอ ข. ค. และ จ. ถกตองแลว ขอ ก. ผด เพราะ ในความเปนจรงแลวน ามนแกสโซลนมปรมาณอะโรมาตกสงกวาน ามนดเซล (35% และ 11% โดยประมาณตามล าดบ) แตทเครองยนตดเซลเผาไหมแลวเกดควนด ามากกวาเครองยนตเบนซนเพราะวาชนดของการเผาไหมแตกตางกน - ส าหรบเครองยนตเบนซน จะท าการผสมไอน ามนกบอากาศใหอยในรปของแกสกอน ท าใหออกซเจนในอากาศผสมกบไอน ามนอยางทวถงแลวคอยท าการจดระเบดใหเผาไหม (ผสมกอนแลวคอยใหความรอน) - ส าหรบเครองยนตดเซล ใชวธการฉดน ามนใหกลายเปนหยดของเหลวเลกๆ เขาไปผสมกบอากาศรอน การเผาไหมจะเกดอยทรอยตวผวสมผสระหวางหยดน ามนกบอากาศ (ผสมพรอมๆกบอากาศทรอนอยแลวทนท) ขอ ง. ผด เพราะ Cathodic Protection คอกระบวนการปองกนการกดกรอนของโลหะ โดยโลหะทถกปองกนการกดกรอนจะถกตอเปนขวแคโทดเพอปองกนการเกดปฏกรยาออกซเดชน ขอ 29

วชา เคม เรอง สมบตของธาตตามตารางธาต

วดเรอง การวเคราะหสารจากคณสมบตทใหมา ตอบ 3. ค าอธบาย - ขอ 30

วชา เคม เรอง สมดลเคม

วดเรอง ใหกราฟ ถามทฤษฎทเกยวของ ตอบ 4.


ค าอธบาย สภาวะสมดล H2 + I2 2HI จะไดคาคงทสมดล คอ

K = 2

2 2

[HI]

[H ][I ] ดงนน ขอ 1 จงกลาวถกตอง

จากกราฟจะเหนวามการเตมแกส H2 เขาไป เพราะความเขมขนของ H2 ทเวลา t1 ไดเพมขนเปนกราฟเสนตรง ดงนน ขอ 2 จงกลาวถกตอง ระบบเขาสสมดลใหมทเวลา t2 เพราะเวลาหลงจากชวง t2 ความเขมขนของแกสทกชนดในระบบมคาคงท แตยงคงมการเปลยนแปลงทงไปขางหนาและยอนกลบในอตราทเทาๆกน ตามเงอนไขของการเกดสมดล ดงนน ขอ 3และ5 จงกลาวถกตอง เนองจากการทดลองน ท าโดยการเตมแกส H2 เขาไปในระบบเทานน ถอเปนการรบกวนสมดลโดยความเขมขน และท าการทดลองนทอณหภมคงท ซงไมท าใหคาคงทสมดลเปลยนไปจากเดม ดงนน ขอ 4 จงกลาวผด ขอ 31

วชา เคม เรอง อตราการเกดปฏกรยาเคม

วดเรอง ถามทฤษฎเกยวกบการเกดปฏกรยาเคมเชน ตวเรง พนทผวสมผส Ea ตอบ 3. ค าอธบาย ปจจยทมผลตออตราการเกดปฏกรยาเคม ไดแก

1. ธรรมชาตของสารตงตน (พนธะแขงแรง จะเกดไดชา) 2. พนทผวของสารตงตน มผลตอปฏกรยาเนอผสมเทานน (พนทผวมาก จะเกดเรว) 3. อณหภม (อณหภมสง จะเกดเรว) 4. ตวเรงปฏกรยา (ท าใหเกดเรว ลดคา Ea) 5. ความดน (มผลเฉพาะสารสถานะแกส) คลายกบความเขมขน

และปฏกรยาทเกดขนในการทดลองนคอ

Zn (s) + HCl (aq) ZnCl2 (aq) + H2 (g) ดงนน ก. เพมพนทผวของแทงสงกะส ง. เพมความเขมขนของกรดไฮโดรคลอรก จ. ใสตวเรง จะท าใหปฏกรยาเกดเรวขน ซงกคออตราเรวของการเกดแกส H2 เพมมากขน สวน ข. ลดอณหภม จะท าใหปฏกรยาเกดชาลง และ ค. เพมปรมาตรของกรดไฮโดรคลอรก ไมมผลตออตราการเกดปฏกรยา


ขอ 32 วชา เคม เรอง ปรมาณสารสมพนธ

วดเรอง สารก าหนดปรมาณและปฏกรยาเคม ตอบ 2. ค าอธบาย 1. จากขอมลทวา 2XO มออกซเจนรอยละ 50 โดยมวล ดงนนสมมตให X มมวลโมเลกล = m

เนองจาก O มมวลโมเลกล = 16 ดงนน 16 * 2

50m 16 * 2

จะไดวา m = 32 ซงคอซลเฟอร (S)

2. หลงจากทราบวา X คอ S จะไดวาปฏกรยาทโจทยกลาวถงคอ 3 2 2 4SO (g) H O(l) H SO (aq)

ดงนนเราตองการ Y หรอ ซลฟวรก 98 กรม คดเปน 1 โมล ดงนนเราจะตองใช 3SO นอยทสด 1 โมลในการ

ท าปฏกรยาเชนกน (กรณทนอยทสดคอ 3SO เปนสารก าหนดปรมาณ)

ขอ 33

วชา เคม เรอง ปรมาณสารสมพนธ

วดเรอง ปรมาณสารสมพนธในระบบเปด ตอบ 1. ค าอธบาย 1. เพราะวามวลของสารไมมวนสญหาย ดงนน อตราการไหลออกของสารผสม = อตราการไหลเขาของเบนซน + อตราการไหลเขาของโทลอน = 4 กโลกรม/นาท ดงนนตองใชเวลาทงหมด 50 นาทจงจะไดสารผสมรวม 200 กโลกรม 2. เนองจากไมมการท าปฏกรยา มวลของโทลอนในสารผสม ตองมคาเทากบมวลของโทลอนทไหลเขาทงหมด ดงนนปรมาณโทลอนในสารผสม = (1กโลกรม/นาท) * 50 นาท = 50 กโลกรม คดเปนรอยละ 25 โดยมวลของสารผสมทงหมด


ขอ 34 วชา เคม เรอง พนธะเคม

วดเรอง การค านวณพลงงานของปฏกรยาจากพลงงานพนธะ ตอบ 1. ค าอธบาย ดลสมการจะได 4 2 3CH 3Cl CHCl 3HCl

ดงนนพลงงานของปฏกรยา = 3(427) + (413+3*339) - 3(243) – 4(413) = + 330 kJ (เปนบวก = ดดพลงงาน) ขอ 35

วชา คณตศาสตร เรอง แคลคลส

วดเรอง การอนทเกรตหาพนทใตกราฟ ตอบ 4. ค าอธบาย

พจารณา

จะพบวาชวง 0 x 2 กราฟอยเหนอแกนX จงสามรถอนทเกรตหาพนทใตกราฟไดเลย

x 2322 2

0 x 0

x( x 2x 3) x 3x

3

2

2

y x 2x 3

(x 2x 3)

(x 3)(x 1)

8( 4 6) 0

322

3


ขอ 36 วชา คณตศาสตร เรอง แคลคลส

วดเรอง อตราการเปลยนแปลง ณ ขณะใดขณะหนง ตอบ 5. ค าอธบาย

จากนยามของ อตราการเปลยนแปลง ณ ขณะใดขณะหนง คอ h 0

f (x h) f (x)f '(x) lim

h

และจากสงทโจทยก าหนดมา คอ 4h 0


h

ให y = x – 2h จะไดวา

4h 0 4h 0

f (x 2h) f (x 2h) f (y 4h) f (y)lim lim

h h

จดรป ให t = 4h จะได t 0 t 0

f (y t) f (y) f (y t) f (y)4lim lim

t / 4 t

= 4 f’(y) (จากนยาม) ------***

เมอแทนคา x=1 และ limit ของ h เขาใกล 0

จาก *** 4h 0


h

เมอ x=1 มคาเทากบ 4 f’(1)

และ3

1 14f '(1) 2( ) 4

1 1

ขอ 37

วชา คณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม

วดเรอง โจทยปญหาอนกรมเลขคณต ตอบ 1. ค าอธบาย

32232 1S (2a 31d) ________ (1) 25225 1S (2a 24d) ________ (2)

(1) - (2); 32 25 1S S 7a 196d 798 เนองจาก 1a 2 แสดงวา d=4

10 1a a 9d

10a 2 9(4)

10a 38


ขอ 38 วชา คณตศาสตร เรอง จ านวนจรง

วดเรอง การเปลยนทศนยมซ าใหเปนเศษสวน

ตอบ 4. ค าอธบาย ให x = 6.24 หรอ x = 6.24242424… --------------- (1) 100x = 624.2424242424… --------------- (2) (2) - (1) จะได 99x = 618

หรอ 618

x99

ขอ 39

วชา คณตศาสตร เรอง แคลคลส

วดเรอง จดต าสดสมพทธและจดตดบนแกน Y ตอบ 4. ค าอธบาย จาก 3 2f x x x x

พจารณาจดตดแกน X ให 0f x จะได 3 2 0x x x

2 1 0x x x

0x หรอ 2 1 0x x

0x หรอ 1 5

2x

หรอ

1 5

2x

กราฟของ f ตดแกน X ทจด 1 5

0,0 , ,02

และ 1 5

,02

ก. ผด

พจารณาจดตดแกน Y ให 0x จะได 3 20 0 0 0 0f

กราฟของ f ตดแกน X ทจด 0,0 ข. ถก

พจารณาคาสงสดและต าสดสมพทธ


พจารณาคาวกฤตของ f ให 0f x 23 2 1 0x x

3 1 1 0x x 1

3x และ 1x เปนคาวกฤตของ f

พจารณาวาคาวกฤตแตละคาวาใหคาสงสดสมพทธ หรอคาต าสดสมพทธ 6 2f x x

1 16 2 4

3 3f

1

3x ใหคาสงสดสมพทธ เนองจาก

10

3f

1 6 1 2 4f 1x ใหคาต าสดสมพทธ เนองจาก 1 0f

เนองจาก 1x ใหคาต าสดสมพทธ ดงนน 3 21 1 1 1 1 f

คาต าสดสมพทธของ f คอ 1 ค. ผด ง. ถก

พจารณาเรนจ ในขอ จ. นน เราสามารถตรวจสอบไดหลายวธ เชน - (เกนหลกสตร) ลกษณะกราฟของฟงกชนพหนามก าลงสามนน จะมเรนจเปนเซตของจ านวนจรง

เสมอ โดยกราฟของฟงกชน 3 2f x x x x คอ

(ภาพจาก wolframalpha.com) - เนองจากโดเมนของ f เปนเซตของจ านวนจรง

ลองแทนคา x อน ๆ ทท าใหคาของ 5

1,27

f x เชน

3 210 10 10 10 890f ซงท าใหขอ จ. ผด


ขอ 40 วชา คณตศาสตร เรอง แคลคลส

วดเรอง โจทยปญหาจดสงสดสมพทธ ตอบ 4. ค าอธบาย ใหดานกวางมขนาด X เมตร จะไดดานยาวมขนาด 40-2X เมตร

พนทสเหลยมมขนาด X(40-2X) = 40X-2 2X

สมมต A(X)=40X-2 2X จะไดวา พนทของรปสเหลยมมคามากทสดเมอ dA

0dx

2

dA0

dx

d(40X 2X )0

dx40 4X 0

X 10

พนททมากสดทสามารถลอมรวไดคอ 10 20 200 ตารางเมตร

ขอ 41 วชา คณตศาสตร เรอง Expo&Log

วดเรอง สมบตของลอการทม ตอบ 5.

ค าอธบาย จาก

8

4

lnpow( ,log )

ln

B

AB

B เราจดรป

4

88

4

lnlog log log

ln

B B B

AA

B

8

log log4B B A

8 8log log

44

ln 8pow( ,log ) log 2 5 10

ln 4

B B A

B B

AB B A

B

X X

40-2X


ขอ 42 วชา คณตศาสตร เรอง Expo&Log

วดเรอง การตดกนของกราฟโดยใชสมบตของลอการทม ตอบ 2. ค าอธบาย จากระบบสมการ 2 83x y -------------------------------------------(1)

3

102

3x

y -------------------------------------------(2)

Take log ฐาน 3 ทงสองสมการ จะได 3 32log log 8x y ----------------------(1)

3 33log 2log 10x y ----------------------(2)

สมมตให 3logA x และ 3logB y จะได 2 8A B -------------------------------------------(1)

3 10A B -------------------------------------------(2) เมอแกระบบสมการเชงเสน (1) และ (2) แลว จะได 6A และ 4B

3log 6x และ 3log 4y นนคอ 63x และ 43y

จากโจทย เราให ,a b เปนค าตอบ ดงนน 63a และ 43b

พจารณา 29 9 9log log log logy x a x b ab

2 6 4 6 49 9 9log log 3 log 3 log 3 3x x

29

1 1log 6 4 log 9

2 2x x

2log 3 2 1x x

พจารณาฟงกชน 2log 3 2 1y x x เราพบวามเงอนไขเดยวของ x คอ หลง log 0 23 2 1 0x x

23 2 1 0x x 3 1 1 0x x

+ - + 1

3 1

1

,13

x

โดเมนคอชวง 1

,13


เมอพจารณาตวเลอก กพบวามตวเลอกเดยวทเปนสบเซตของ 1

,13

คอ 2. 0,1

ขอ 43

วชา คณตศาสตร เรอง สถต

วดเรอง คาเฉลย คามธยฐาน คาฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน ตอบ 2. ค าอธบาย

คาเฉลยเลขคณต = 3 4 2 4 6 2 2 13

8

มธยฐาน = 2 32.5

2

สวนเบยงเบนมาตรฐาน = 2

1

1 1( ) (0 1 1 1 9 1 1 4) 1.5

8

N

i

i

x xN

ฐานนยม = 2 ดงนน ขอทถกตอง คอ ขอ 2 ขอ 44

วชา คณตศาสตร เรอง ความนาจะเปน

วดเรอง กฎการคณ ตอบ 2. ค าอธบาย ลกเตามหนาทเปนเลขค 7 หนา และเลขค 6 หนา จ านวนเหตการณทงหมด = 13x13x13 = 2197 วธ จ านวนวธทลกเตาจะออกเลขคทง 3 ครง = 7x7x7 = 343 วธ จ านวนวธทลกเตาจะออกเลขคใน 2 ครงแรกและออกเลขคในครงทสาม = 6x6x7 = 252 วธ ดงนน ความนาจะเปนทลกเตาจะออกเลขคทง 3 ครง มากกวาความนาจะเปนทลกเตาจะออกเลขคใน 2 ครง

แรกและออกเลขคในครงทสาม = 343 252 91

2197 2197 2197


ขอ 45 วชา คณตศาสตร เรอง เมทรกซ

วดเรอง การหาดเทอรมแนนต ตอบ 3.

ค าอธบาย เนองจากเมทรกซ

5 0 1 7

4 0 0 0

1 3 0 2

6 9 2 0

เปนเมทรกซขนาด 4x4

ดงนนการหาดเทอรมแนนตตองใชการกระจายโคแฟกเตอรตามแถว เราเลอกแถวท 2 จะไดวา

21 22 23 24

5 0 1 7

4 0 0 04 0 0 0

1 3 0 2

6 9 2 0

C C C C

2 1

0 1 7

4 1 3 0 2

9 2 0

4 1 0 18 42 0 0 0

4 1 24 96

ขอ 46

วชา คณตศาสตร เรอง เวกเตอร

วดเรอง การรวมกนของเวกเตอร 2 เวกเตอร ตอบ 4. ค าอธบาย เมอเราวาดรปเวกเตอรแตละเวกเตอรลงบนระนาบ XY เราสามารถเปลยนจากรปของ

v r เปน v a i bj ไดดวยการโปรเจกชนตามแนวแกน X และ Y (คลาย ๆ กบการโปรเจกชนจดบนวงกลมหนงหนวย)


B 6sin148

A 88 148 X X

จากภาพ เราจะไดวา 6cos148 6sin148A i j

และ 6cos88 6sin88B i j

พจารณา 6cos148 6cos88 6sin148 6sin88A B

36 cos148 cos88 sin148 sin88

36cos 148 88 36cos60 18

พจารณาผลบวกเวกเตอร A B : โดยวธทงายทสดนน เราจะน าเวกเตอร A ตอดวยเวกเตอร B Q ดวยวธแบบหวตอหาง ดงภาพ (จะไดวามม เปนดงภาพดวย)

Y

B

A B P R

A X พจารณา OPQ ทเกดจากการรวมกนแบบหวตอหางของเวกเตอร A B ดงนนจะไดวา OPQ เปนสามเหลยมหนาจว (เนองจาก เวกเตอร A มขนาด (ความยาว) เทากบเวกเตอร B ดงนน QP OP )

- เนองจาก OPQ เปนสามเหลยมหนาจว ดงนน ˆ ˆQOP OQP เราให ˆ ˆQOP OQP x

จากความสมพนธของสามเหลยม 180 88 32 x x จะได ˆ ˆ 30 QOP OQP x

6cos148

Y Y 6sin88

6cos88

88

O

32

Q

- เนองจากมม คอ 148 ดงนน มม 180 148 32

- เราลาก PR ขนานแกน X จะไดวา ˆOPR เปนมมแยง ดงนน ˆ 32OPR

- เราน าเวกเตอร B เลอนแกนทางขนานมาตอกบหางของเวกเตอร A ดงนน ˆ 88QPR


- เนองจากแกน X เปนเสนตรง ดงนนจะไดวา 32 30 180 นนคอ 118 ขอ 47

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง พลงงาน

วดเรอง พลงงานชวมวล ตอบ 5. ค าอธบาย ก. ถก เพราะทง 3 อยางเปนสวนประกอบของชวมวล ข. ถก หากปลอยใหชวมวล เชน มลสตว ใหยอยสลายเองตามธรรมชาตจะเกดกาซเรอนกระจก = กาซมเทน ค. ถก เชน กากกาแฟ

ขอ 48

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง พลงงาน

วดเรอง อตราการใชพลงงาน ตอบ 5. ค าอธบาย ลกไนต มอตราการเปลยนแปลง = 14.28% (2/14) กาซธรรมชาต มอตราการเปลยนแปลง = - 4.58% (5/109) พลงงานหมนเวยน มอตราการเปลยนแปลง = 31.25% (5/16) พลงงานน า มอตราการเปลยนแปลง = 0% (0/3) รวม มอตราการเปลยนแปลง = 9.09% (12/132)

O

P 120

x

x 32

ดงนน

2

X


ขอ 49 วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง Drawing

วดเรอง การมองรป3มต ตอบ 2. ค าอธบาย ขอ 1. ผดตรง Top View ขอ 2. ถก ขอ 3. ผดตรง Front View ขอ 4. ผดตรง Right Side View ขอ 5. ผดตรง Front View ขอ 50

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง Drawing

วดเรอง การน ารปมาประกบกน ตอบ 5. ค าอธบาย - ขอ 51

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง Drawing

วดเรอง การมองภาพฉาย ตอบ 2. ค าอธบาย ขอ 1 ผดตรง Front View ขอ 2 ถก ขอ 3 ผดตรง Right Side View ขอ 4 ผดตรง Front View ขอ 5 ผดตรง Right Side View


ขอ 52 วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง Drawing

วดเรอง การมองภาพฉาย ตอบ 4. ค าอธบาย ขอ 1 ผดตรง Bottom View ขอ 2 ผดตรง Top View ขอ 3 ผดตรง Left Side View ขอ 4 ถก ขอ 5 ผดตรง Left Side View ขอ 53

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง อนๆ

วดเรอง แรงมา ตอบ 2. ค าอธบาย ก. ผด เพราะ 1 แรงมา = 746 Watt ดงนน 100 แรงมา = 74.6 กโลวตต ข. ถก เพราะ แรงมาเปนหนวยวดของก าลง หรอกคอ อตราการท างาน ค. ผด เพราะเครองยนตขนาด 95 แรงมา หมายความวา เครองยนตนมก าลงเคลอนสงสด 95 แรงมา ขอ 54


วดเรอง ทกษะการคดแบบวศวกร ตอบ 4. ค าอธบาย 1. ไมเหมาะสม เพราะ ไอน าจะไปโดนสนคาซงเปนกระดาษท าใหเกดความเสยหายจ านวนมากได 2. ไมเหมาะสม เพราะ หากสายไฟโดนน าเปนเวลานาน สายไฟอาจเปอยได และหากน ามาใชงานอาจเกดอนตรายรนแรงได 3. ไมเหมาะสม เพราะ หากซอวตถดบเกบไวเวลานาน จะสงผลใหวตถดบอาจเสอมสภาพได และสงผลใหสนคาดอยคณภาพ


4. เหมาะสมทสด เพราะหากวศวกรท างานกบเครองจกรมองเหนไมคอยชด อาจเกดอนตรายไดจากหลายสาเหต และการผลตลาชายอมคมคากวาอนตรายทอาจจะเกดขนแนนอน 5. ไมเหมาะสม เพราะ ไมควรน าเครองดมไปไวใกลเครองจกรเพราะเครองดมอาจหกลงไปโดนเครองจกรและอาจเกดอนตรายได ขอ 55


วดเรอง เครองมอและอปกรณ ตอบ 4. ค าอธบาย การใชสกรเจาะรเพอใสนอตจะตองมการเผอปลายสกรสวนทเจาะแลวใชงานไมไดเลกนอยดงนนการจะใสนอตไดพอดจะตองมากกวา 200 มลลเมตร แตหากมากกวา 225 มลลเมตรจะเผอมากเกนไป ขอ 56


วดเรอง ปญหาสงแวดลอม ตอบ 4. ค าอธบาย 1. ชวยลดปญหาสารพษจากขยะไหลลงสแหลงน าท าใหน าเนาเสย 2. ชวยลดการท าลายปาไม 3. ชวยลดปญหาน าเสย 4. ถงแมวาการสรางเขอนกจรง แตสงทตองท าคอรกรานพนทปาไมท าใหพนทปาไมลดลง 5. ชวยใหประชาชนเหนความส าคญของแหลงน า และชวยกนอนรกษ ขอ 57


วดเรอง ปญหาสงแวดลอม ตอบ 2. ค าอธบาย 1. ไมดเพราะสนคาทไมเนาเสยสามารถสงโดยใชเรอได และเครองบนสนเปลองพลงงานมากกวา


2. ดเพราะเปนการชวยลดการปลอยกาซ CFCs 3. ไมดเพราะ หากตด10ตนแตปลก1ตน ตนไมยอมโตไมทน สงแวดลอมกจะแยลง 4. ไมดเพราะวธนจะยงท าใหโลกรอน 5. ไมเกยวของ ขอ 58


วดเรอง เครองมอและอปกรณ ตอบ 5. ค าอธบาย ตวเลอกท 5. เปนเครองมอวดอณหภม ขอ 59


วดเรอง ความรทวไปเกยวกบโลก ตอบ 1. ค าอธบาย 2. โลกหมนรอบตวเองในทศทวนเขมนาฬกา 3. ชนโอโซนเปนสวนหนงของชนบรรยากาศโลก ชวยดดซบรงส UV ไวประมาณ 97-99% ของรงสทแผมายงโลก 4. ภายในอากาศจะมกาซออกซเจนมากกวากาซไฮโดรเจน 5. ภายในดนประกอบดวยอนทรยสารนอยทสด ขอ 60

วชา ความถนดทางวศวกรรม เรอง วสด

วดเรอง วสดทางวศวกรรม ตอบ 3. ค าอธบาย คอนกรต รบแรงกดทบไดมาก เหลกมความยดหยนสง Reinforced concrete ซงเกดจาก คอนกรต และ เหลกจงมคณสมบตทง 2 อยาง


ตอนท 2 : อตนย (10 ขอ) ขอ 61

วชา กลศาสตร เรอง สมดล

วดเรอง สมดลตอการเลอนท ตอบ 1666.67 กรม ค าอธบาย

เขยน FBD 1.1 T2 1.2 2. ขอ 62

วชา กลศาสตร เรอง นวตน

วดเรอง การเคลอนทโดยมความเรง,แรงเสยดทาน ตอบ 52.85 เมตร ค าอธบาย ขนตอนท 1 หาความเรวตนตอนทกลองขนพนเอยงไปแลว เตมขอมลทโจทยใหใหครบ

ขนตอนท 1(เกยวกบรอก) หา T2

ดตรงขวาสด ระบบหยดนง F 0 ใหทศขนเปนบวก 2T (20 2) 0 ; T2 = 40 N

ดตรงมวล 5 kg ระบบหยดนง F 0 ใหทศขนเปนบวก 1 2T T 50N ; T1 = 10 N

ขนตอนท 2(พนเอยง) หา T1

ดตรงมวล m ระบบหยดนง F 0 ใหทศขนเปนบวก 1T mgsin37 ; 10N=

mgsin37

m = 5

3 kg เปลยนเปนกรม m = 1666.67 g


จากกฎอนรกษพลงงาน

พลงงานรวมตอนเรมปลอย=พลงงานรวมตอนขนไปสด ; 21mg(5) mv

2 ; v = 2(10)(5) = 10 m/s

ขนตอนท 2 หาระยะทางทเคลอนทไดบนถนนกอนหยด เขยน FBD ขอ 63

วชา กลศาสตร เรอง งานและพลงงาน

วดเรอง กฎการอนรกษพลงงาน ตอบ 1.50 ค าอธบาย พลงงานรวม = พลงงานศกย + พลงงานจลน คดตอนเรมบนดาดฟา พลงงานรวมของนาย ก = mgH (H เปนระยะความสงทวดจากระดบอางอง(พน),ไมมพลงงานจลน) คดตอนโดดลงมาไดระยะทาง 2 ใน 5

พลงงานรวมของนาย ก = mg (3

5H) + พลงงานจลน

ระวง ดงลงมาไดระยะทาง 2 ใน 5 ของระยะหาง แปลวา เขาอยสงกวาระดบอางอง 3

5H

mgH (พลงงานไมสญหายจากตอนแรก) = mg (3

5H) + พลงงานจลน

เพราะฉะนน พลงงานจลน = 2

5 mgH

ใหทศทางขวาเปนบวก F ma ; - f ma ; - kmg ma

ka g (0.25)(10) 2.5 m/s2

v2 = u2+2as แทนคา v=0 (หยด) และ a ลงไป จะไดวา s = 20 เมตร เพราะฉะนนระยะทางรวมทกลองเคลอนทได = 6 14 + 20 = 18.852+14+20 = 52.85 เมตร

f


ดงนน พลงงานศกย/พลงงานจลน =

3mgH

52

mgH5

= 3

2= 1.50

ขอ 64

วชา กลศาสตร เรอง สภาพสมดล

วดเรอง สมดลสถตย ตอบ 17.32 นวตน ค าอธบาย จากโจทยจะพบวามแรงกระท าตอไมคาน 3 แรงเทานนคอ แรงตงเชอก (T) น าหนก (mg) และ แรงปฎกรยาจากบานพบ (RA) และเนองจากไมคานอยในสภาพสมดล พจารณาสมดลโมเมนต : ก าหนดใหจด A เปนจดหมน และสมมตใหไมยาว l (คดเฉพาะแรงทตงฉากกบไมเทานน)

ทวน ตามM M

l2T sin30 (l) mgsin60 ( )

3T mg

2

3T 2 10 17.32 N

2


ขอ 65 วชา สมบตสาร เรอง ความรอน

วดเรอง เปรยบเทยบการใหความรอนสองครง ตอบ 35.00 ค าอธบาย

ถาความตานทานรวมเปน R ก าลงไฟฟาจะเปน 2V

Rซงใหความรอน Q แกน าในเวลา t ดงนน

2Q V

t R

การตมน าทงสามครง ใหความรอน Q เทากนแกน า, ตอขดลวดครอมความตางศกย V เทากน (เพราะตอกบไฟบาน) จงไดวา t kR เมอ k เปนคาคงท ขดทหนง มความตานทาน 1R ท าใหน าเดอดในเวลา 15 นาท ดงนน 115 kR

ขดทสอง มความตานทาน 2R ท าใหน าเดอดในเวลา 30 นาท ดงนน 230 kR

ถาตอแบบอนกรม จะมความตานทาน 1 2R R ดงนน น าเดอดในเวลา 1 2k R R 45 นาท

ถาตอแบบขนาน จะมความตานทาน

1 2

11 1

R R

ดงนน น าเดอดในเวลา

1 2 1 2

k 1 1101 1 1 1 1 1

R R kR kR 15 30

นาท

ดงนน ใชเวลาตางกน 45 – 10 = 35 นาท ขอ 66


วดเรอง แรงขางเขอน ตอบ 4375 ค าอธบาย จากรป ถาอยากจะหาวาคานค าจะตองทนแรงไดกนวตน กตองหาวาของเหลวในเขอนมแรงกระท าเทาไหร ซงจะหาไดจากน าความดนขอบบนของพนทมาเฉลยกบความดนขอบลางของพนท คณกบพนททใชค ายน จะไดวา


top bottomavg

gh ghF P A A

2

g(15 20) 1000 10 35F (5 5) (25)

2 2

F = 4375000 N = 4375 kN ขอ 67


วดเรอง หลอดตวย ตอบ 4.00 ค าอธบาย ใหรอยตอของของเหลวความหนาแนน D2 กบ D3 เปนจด B และก าหนดจด A ทอยในระดบเดยวกบจด B แตอยในของเหลว D3 ดงรป

จากกฎของปาสคาล จะไดวา A BP P

1 3 2

h 3h h 3hD g D g D g

2 4 2 4

1 3 2

h h 3hD g D g D g

2 4 4

1 3 2D D 3D

2 4 4

1 3 22D D 3D

A B


เนองจาก D2 = 2D1 และโจทยถามวา D3 เปนกเทาของ D1 จงแทนคา D2 ดวย 2D1 จะไดวา 1 3 12D D 3(2D ) 1 3 12D D 6D

3 1 1 1D 6D 2D 4D

ดงนน D3 มคาเปน 4 เทาของ D1 ขอ 68

วชา เคม เรอง กรด-เบส

วดเรอง การหาคา pH ของสารละลาย ตอบ 3.22 ค าอธบาย สารละลาย CH3COOH ถกเจอจาง ค านวณความเขมขนใหมไดจากสตร M1V1 = M2V2

0.1 (100) = M2(100+400) M2 = 0.02

CH3COOH เปนกรดออน ค านวณไดจากสตร [H+] = aK M

= -51.8 ×10 × 0.02 = 6 x 10-4

คา pH ค านวณไดจากสตร pH = -log [H+] = -log (6 x 10-4) = 4 - log6 = 4 - 0.78 = 3.22


ขอ 69 วชา คณตศาสตร เรอง ตรโกณมต

วดเรอง มมเงย, ความสมพนธของสามเหลยม ตอบ 69.28 ค าอธบาย

.ใหเสาธงมความสง h ใชสมบตของตรโกณมตจะทราบวา AB

tan(45 )AC หรอ AC h

และ AB

tan(60 )AD หรอ hAD

3

เมอเราใชทฤษฎบทพทากอรสมาใช : 2 2 2

AD AC CD

จงไดวา 24 2CD h h 80

3 3

หรอ h 40 3 69.28

A

B

C

D

h

80


ขอ 70 วชา คณตศาสตร เรอง พนทและปรมาตร

วดเรอง การหาปรมาตรปรซมสเหลยมทถกตดปลาย ตอบ 42 ค าอธบาย เพอความงายจงหมนรปใหเปนดงภาพ ถาหากสงเกตดๆจะมองเปนพรามดฐานสเหลยมทถกตดยอดออกได ลองมองภาพฉายแบบ 2 มตเพอหาความสงพรามดทถกตดออกโดยใชหลกสามเหลยมคลาย

h h 30

30 60

จงไดวา h 30 มลลเมตร

Note : ปรมาตรพรามด = 1

3x พนทฐาน x สง

ปรมาตรของพรามดตดยอด = ปรมาตรพรามดรวมทงหมด – ปรมาตรพรามดสวนทถกตดออกไป

= 1

x(60x40)x(60)3

- 1

x(30x20)x(30)3

= 48000 6000 42000 ล.บ. มลลเมตร = 42 ลบ. เซนตเมตร

20 30

60

40

30

30

60

30

h

กรุณาอ่านค าอธิบายให้เข้าใจ...

Documents