ชุดการเรยีน แบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม

วิชา ค42101 คณติศาสตรพื้นฐาน เรื่อง ความนาจะเปน ระดบัชัน้มัธยมศกึษาปที่ 5

ชุดที่ 2 เรื่องแฟคทอเรียล

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียนราชวินิตบางแกว ในพระบรมราชูปถัมภ

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟคทอเรียล ( Factorial )

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง เม่ือนักเรียนศึกษาชุดการเรียนชุดท่ี 2 แลว นักเรียนสามารถ บอกความหมายและหาคาของแฟคทอเรียล n ได เวลาท่ีใช 100 นาที แบงเปน 2 คาบ ส่ือการสอน ชุดการเรียนแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม ชุดที่ 2 แฟคทอเรียล - เอกสารแนะแนวทาง - ใบงาน - ใบความรู - เอกสารแบบฝกหัด - แบบทดสอบทายชุดการเรียน

คําแนะนําการใชชุดการเรียนแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม เรื่อง ความนาจะเปน

ชุดท่ี 2 แฟคทอเรียล ( Factorial ) คําชี้แจง 1. ชุดการเรียนตองการใหนกัเรียนเกดิการเรียนรูดวยตนเอง โดยศึกษาชุดการเรียนรวมกัน เปน

กลุมๆ กลุมละ 4 – 5 คน 2. นักเรียนในแตละกลุมศึกษาผลการเรียนรูท่ีคาดหวังและเนื้อหาสาระดวยความต้ังใจ 3. ใหนกัเรียนในแตละกลุมศึกษาเอกสารแนะแนวทาง ใบงาน และชวยกนัพิจารณา ภายในกลุม 4. ใหนกัเรียนในแตละกลุมสรุปความหมายและหาคาของแฟคทอเรียลลงในใบงานท่ีไดรับโดย

สรุปเปนความคดิรวบยอดของกลุม 5. ใหนกัเรียนในแตละกลุมศึกษาใบความรู เพื่อตรวจสอบการสรุปความคิดรวบยอดวาถูกตอง

หรือไม 6. ใหนกัเรียนแตละกลุมสงตัวแทนกลุมมาสรุปเปนความคิดรวบยอดของกลุมหนาช้ันเรียน เพื่อ

สรุปเปนความคิดรวบยอดของหอง 7. ใหนกัเรียนทําเอกสารแบบฝกหัดทายบทของชุดการเรียน 8. นักเรียนในกลุมท่ีมีปญหา หรือ ขอสงสัย ไมเขาใจ ใหสอบถามกับครูผูสอน 9. นักเรียนสามารถตรวจคําตอบของใบงาน และแบบฝกหดัทายบทไดจากเฉลย ซ่ึงอยูดานหลัง

ชุดการเรียน 10. นักเรียนแตละคนจะตองทําแบบสอบทายชุดการเรียน ชุดท่ี 2 เพื่อประเมินผลการเรียนรูท่ี

คาดหวัง

เอกสารแนะแนวทางที่ 2.1

( ความหมายของแฟคทอเรียล ) คําชี้แจง ใหนกัเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ

คําถาม ขอท่ี คําตอบ 1 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = ............ 8! 2 4 x 3 x 2 x 1 = ............... 4! 3 k x (k-1) x (k-2) x …. x 3 x 2 x 1 = ........... เม่ือ k I k! 4 6 x 5 x 4 ! = ............... 6! 5 8765! = ............... ……… 6 ( 3)

!

n

n

! = ( 3)( 2)( 1)

!

n n n n

n

! = .............. (n+3)(n+2)(n+1)

7 (n 2)!

n!

= ............ ………..

8 (n-3)(n-4)(n-5) = .............. )!6(

)!3(

n

n

9 654 = 654!3

!3 = .............. !3

! 6

10 876 = 8765 !

5 ! = .............. …………

ใบงานท่ี 2.1

ใหนกัเรียนเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 1. 5! = 5 4 3 2 1 2. 3!4! = …………………………………

3. !9

!12 = …………………………………

4. 100! = 100 99 98 …!

5. (n+1) = (………)x (………..)x (……….) ... 3 2 1

6. (n+3)! = (………)x (………)x (………) n (n – 1) ... 3 2 1

7. (n – 4)! = (n – 4) x (n – …..) x (……….) !

8. (n – r)! = (n – r) x (n – r – 1) x (n………..) ... 3 2 1

9. (n+r)! = (n+r) x (………….) x (………….)× ... 3 2 1 ใหนกัเรียนเขียนจํานวนในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวกใหอยูในรูปแฟคทอเรียล

1. 6 5 4 3 2 1 = 6 !

2. 5 4 3 = 5 4 3 2

2

!

! = 5

2

!

!

3. 42 5 4 = ………………………………….

4. 5 6 7 4! = …………………………………

5. (n-4) (n-5) (n-6) … = ( )

( )

n

n

4

7

!

!

6. (n+1) (n+2) (n-2) (n-1) n = …………………………

จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงานนักเรียนชวยกันสรุปความหมาย ของแฟคทอเรียล n ไดอยางไร

ใบความรูที ่2.1

แฟคทอเรียล บทนิยาม ถา n เปนจํานวนเต็มบวกแลว ผลคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต 1 ถึง n ดังนี้ 1 2 3 4 ..... n เขียนแทนดวยสัญลักษณ n! อานวา แฟคทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟคทอเรียล

Factorial

นั่นคือ n! = 1 2 3 4 ... n หรือเรียงจากมากไปนอย

n! = n (n-1) (n-2) …321

สัญลักษณ n! สามารถเขียนเปน n ก็ได

ตัวอยางท่ี 1

จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณ และหาคําตอบ 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = 1 2 3 = 6 4! = 1234 = 24 5! = 12345 = 120 6! = 12345 6 = 720

จากตัวอยางท่ี 1 เขียนในรูปการคูณจากมากไปนอยไดอยางไร 1! = 1 2! = 2 1 = 2 3! = 3 2 1 = 3 2! 4! = 4 3 2 1 = 4 3! 5! = 5 4 3 2 1 = 5 4! 6! = 6 5 4 3 2 1 = 6 5!

ถาจะเขียนผลคูณโดยเรียงจากมากไปนอยไดหรือไม

ได

ใชสมบัติอะไร

ใชสมบัติสลับท่ีการคูณของจํานวนเต็มบวก

n! = n (n – 1) (n – 2) … 3 2 1 = n (n – 1) !

ดังนัน้

ลองแทนคา n = 1 จะได 1! = 1×(1-1)! แสดงวา 0! = 1

บทนิยาม 0! = 1

สรุปวาเขียนไดโดยใส ! หลังตัวเลข ตัวสุดทาย เชน 8 7 6! = 8!

การเขียน n! อาจหยุดกอนถึง 1 ไดหรือไม

ได

ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนผลคูณตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล

1. 9876 = 9 8 7 6 5 !

5!

= !5

9 !

2. n (n-1) (n-2) (n-3) = ( 1) (n n 2) ( 3) ( 4)!

( 4)!

n n n

n

= )!4(

!

n

n

ตัวอยางท่ี 3 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปไมมีแฟคทอเรียล

1. )!4(

n =

!

n( 1) ( 2) ( 3) ( 4)!

( 4)!

n n n n n

n

= n (n-1) (n-2) (n-3)

2. !12

15 = !

!12

!12131415

= 2730

เอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.1

คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ ขอท่ี โจทย คําตอบ

1 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของจํานวนเต็มบวก 1.1 3! 1.2 6! 1.3 7!

1.1....................................... 1.2....................................... 1.3.......................................

2 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของ 3 จํานวน 2.1 15! 2.2 25! 2.3 30!

2.1....................................... 2.2....................................... 2.3.......................................

3 จงหาคาของจาํนวนตอไปนี ้

3.1 6!

4!

3.2 8!

5!

3.1....................................... 3.2.......................................

4 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล 4.1 63 ×62 ×61 4.2 3 23 2n n n

4.1....................................... 4.2.......................................

เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 2.1

(ความหมายของแฟคทอเรียล)

คําชี้แจง ใหนกัเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ

คําถาม ขอท่ี คําตอบ 1 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = .......... 8! 2 4 x 3 x 2 x 1 = .......... 4! 3 k x (k-1) x (k-2) x …. x 3 x 2 x 1 = ......... เม่ือ k I k! 4 6 x 5 x 4 ! = ........... 6! 5 8765! = .......... 8!

6 ( 3)

!

n

n

! = ( 3)( 2)( 1)

!

n n n n

n

! = ........... (n+3)(n+2)(n+1)

7 (n 2)!

n!

= .......... (n+2)(n+1)

8 (n-3)(n-4)(n-5) = ........... )!6(

)!3(

n

n

9 654 = 654!3

!3 = ........... !3

! 6

10 876 = 8765 !

5 ! = ........... 8!

5!

เฉลยใบงานท่ี 2.1

ใหนกัเรียนเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 1. 5! = 5 4 3 2 1

2. 3!4! = (321)(4321) = 624 = 144

3. !9

!12 = !

!

12 11 10 99

= 1320

4. 100! = 100 99 98 97!

5. (n+1)! = (n+1) (n) (n-1) ... 3 2 1

6. (n+3)! = (n+3) (n+2) (n+1) n (n – 1) ... 3 2 1

7. (n – 4)! = (n – 4) (n – 5) (n-6) !

8. (n – r)! = (n – r) (n – r – 1) (n - r -2) ... 3 2 1

9. (n+r)! = (n+r) (n + r -1) (n + r - 2) ... 3 2 1 ใหนกัเรียนเขียนจํานวนในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวกใหอยูในรูปแฟคทอเรียล

1. 6 5 4 3 2 1 = 6 !

2. 5 4 3 = 5 4 3 !

!

22

= 5

2

!

!

3. 42 5 4 = 7 6 5 4 = !

!

73

)

4. 5 6 7 4! = 7 6 5 4! = 7 !

5. (n-4)(n-5)(n-6 = ( )

( )

!n 4

!n 7

6. (n+1)(n+2)(n-2)(n-1)n =

= ( 2)!

( 3)!

n

n

จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงาน นักเรียนชวยกันสรุปความหมาย ของแฟคทอเรียล n ไดอยางไร สรุป ถา n เปนจํานวนเต็มบวกแลว n! = 123… (n-2) (n-1) n หรือ n! = n (n-1) (n-2) …321

( )( ) ( )( )( ) !

( ) !

n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3

n 3

( )!

( )!

n 7n 7

เฉลยเอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.1

คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ

ขอท่ี โจทย คําตอบ 1 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของจํานวนเต็ม

บวก 1.1 3! 1.2 6! 1.3 7!

1.1 3 2 1 1.2 654321 1.3 7654321

2 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของ 3 จํานวน 2.1 15! 2.2 25! 2.3 30!

2.1 151413! 2.2 252423! 2.3 302928!

3 จงหาคาของจาํนวนตอไปนี ้

3.1 !4

!6

3.2 !5

!8

3.1 30 3.2 336

4 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล 4.1 63×62×61 4.2 nnn 23 23

4.1 63!

60 !

4.2 !

( )!

nn 3

เอกสารแนะแนวทางที่ 2.2

(หาผลลัพธของแฟคทอเรียล) ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 6! + 3! = 6 x 5 x 4 x 3! + 3! = 3!(120+1) = 6(121) = 726 (2) 6! - 4! = …………………………… = ………………………….. = ………………………….. = 696

(3) 7 4

3

!

!

! = !

!

7 6 5 4 43

!

* ระวัง

6! + 3! 9! 6! - 4! 2! 5! 3! 15! 8

4

!

! 4!

(3!)2 9!

= !( )

!

4 7 6 5 13

= 4(210-1) = 836 (4) 5! 3! = ………………………… = 720

(5) 8!

4! = 8765

!4

!4

= 1680

(6) ( )

!

n

n

3 ! = ………………….. = (n+3)(n+2)(n+1)

!

( )

nn 2

(7) หาคา n จากสมการ !

= 132

( )( )

!

n n 1 n 2 ! = 132

( )n 2 n(n-1) = 1211 n = 12 หรือ (n-1) = 11 n = 12

ใบงานท่ี 2.2

ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 5! + 3! = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………. = 126 (2) 6! - 5! = ………………………………….. = ………………………………….. = …………………………………. = 600

(3) !

!

6 43 !

= …………………………………

= ………………………………… = ………………………………… = . ……………………………….. (4) 4! 3! = …………………………………. = …………………………………

(5) !

!

73

= ………………………………….

= 840

(6) (

!

n 2n )!

= …………………..

= …………………..

!

( )

nn 3

(7) หาคา n จากสมการ !

= 720

= …………….. = ……………. = .. …………… n = ……………..

ใบความรูที ่2.2 ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลสําเร็จของจํานวนตอไปนี้ 1. 5! + 2! = ( 543 21 ) + ( 21 ) = 120 + 2 = 122

2. !

!

7 55

! =

!( )

!

5 7 6 15

= 42 + 1 = 43

n!70

3!(n 2)!

ตัวอยางท่ี 2 ถา n เปนจาํนวนเต็มบวก จงหาคา n ท่ีทําให

n!70

3!(n 2)!

วิธีทํา

n(n 1)(n 2)!420

(n 2)!

2n n 420 0 (n – 21 )(n + 20) = 0 n = 21 , -20 n = 21

เอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.2

คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ ขอท่ี โจทย คําตอบ

! !

!

6 331.

จงหาคาของ

1. .......................................

2 ! !

!

5 32

จงหาคาของ

2. .......................................

3 ( )

( )

!n 3n 1 !

จงหาคาของ

3. ......................................

4 !

(

nn 3

จงหาคา n จากสมการ )!

= 24

4. ………………………..

5 ! 120nจงหาคา n จากสมการ 5. ………………………..

แบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 2

คําชี้แจง ใหนกัเรียนหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ ขอท่ี คําถาม คําตอบ

มีคาเทาไร คาของ 1 !!

5

7 ...................

2 คาของ 3!4! มีคาเทาไร ...................

3 เขียน(n-3) (n-2) (n-1)nในรูปของแฟคทอเรียลไดอยางไร

...................

4 มีคาเทาไร คาของ )!(!!

26

10 ...................

5 930)!2(

!

n

nคาของ n จากสมการ มีคาเทาไร ...................

6 8!

10!คาของ มีคาเทาไร ...................

7 7! 5!

4!

คาของ มีคาเทาไร ...................

8 คาของ (3!) มีคาเทาไร 2 ...................

เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 2.2

(2) 6! - 4! = 654! - 4! = 4! ( 30 – 1 ) = 24 ( 29) = 696 (4) 5! 3! = 120 6 = 720

(6) ( )

!

n

n

3 ! = (n+3)(n+2)(n+1) n!

n!

= (n+3)(n+2)(n+1)

เฉลยใบงานท่ี 2.2

ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 5! + 3! = 543! + 3! = 3!(54 + 1) = 6(21) = 126 (2) 6! - 5! = 65! - 5! = 5!(6-1) = 120(5) = 600

(3) !

!

6 43 !

= !( )

!

4 6 5 13

= !( )

!

4 3 293

= 4(29) = 116 (4) 4! 3! = (4321)(321) = (24)(6) = 144

(5) !

!

73

= !

!

7 6 5 4 33

= 840

(6) (

!

n 2n )!

= ( )( ) !

!

2 1 n n nn

= (n+2)(n+1)

(7) หาคา n จากสมการ !

( )!

nn 3

= 720

( )( )( )!

( )!

1 2 33

n n n nn( )( )1 2 n n n

, ,10 1 9 2 8 n n n

= 720

= 1098 n = 10

เฉลยเอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.2

คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ

ขอท่ี โจทย คําตอบ ! !

!

6 33

1. จงหาคาของ

1. 121

2. ! !

!

5 32

จงหาคาของ

2. 57

3. ( )

( )

!n 3n 1 !

จงหาคาของ

3. (n+3)(n+2)

4. !

( )

nn 3

จงหาคา n จากสมการ !

= 24

4. 4

5 ! 120n 5. 5

จงหาคา n จากสมการ

เฉลยแบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 2

คําชี้แจง ใหนกัเรียนหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ ขอท่ี คําถาม คําตอบ

!!

5

71 คาของ มีคาเทาไร 42

2 คาของ 3!4! มีคาเทาไร 144

3 เขียน(n-3)(n-2)(n-1)nในรูปของแฟคทอเรียลไดอยางไร !

( )!

nn 4

4 มีคาเทาไร คาของ )!(!!

26

10 10080

5 930)!2(

!

n

n มีคาเทาไร คาของ n จากสมการ 31 , 30

6 คาของ 8!

10! มีคาเทาไร 1

90

7 คาของ มีคาเทาไร 7! 5!

4!

205

8 36 คาของ (3!) มีคาเทาไร 2