Download - ชุดการเรียน แบบอุัปนยโดยใช กระบวนการกลุ ม วิชาค42101 คณิต ...math.rwb.ac.th/piboon2.pdf ·
ชุดการเรยีน แบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม
วิชา ค42101 คณติศาสตรพื้นฐาน เรื่อง ความนาจะเปน ระดบัชัน้มัธยมศกึษาปที่ 5
ชุดที่ 2 เรื่องแฟคทอเรียล
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียนราชวินิตบางแกว ในพระบรมราชูปถัมภ
ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟคทอเรียล ( Factorial )
ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง เม่ือนักเรียนศึกษาชุดการเรียนชุดท่ี 2 แลว นักเรียนสามารถ บอกความหมายและหาคาของแฟคทอเรียล n ได เวลาท่ีใช 100 นาที แบงเปน 2 คาบ ส่ือการสอน ชุดการเรียนแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม ชุดที่ 2 แฟคทอเรียล - เอกสารแนะแนวทาง - ใบงาน - ใบความรู - เอกสารแบบฝกหัด - แบบทดสอบทายชุดการเรียน
คําแนะนําการใชชุดการเรียนแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม เรื่อง ความนาจะเปน
ชุดท่ี 2 แฟคทอเรียล ( Factorial ) คําชี้แจง 1. ชุดการเรียนตองการใหนกัเรียนเกดิการเรียนรูดวยตนเอง โดยศึกษาชุดการเรียนรวมกัน เปน
กลุมๆ กลุมละ 4 – 5 คน 2. นักเรียนในแตละกลุมศึกษาผลการเรียนรูท่ีคาดหวังและเนื้อหาสาระดวยความต้ังใจ 3. ใหนกัเรียนในแตละกลุมศึกษาเอกสารแนะแนวทาง ใบงาน และชวยกนัพิจารณา ภายในกลุม 4. ใหนกัเรียนในแตละกลุมสรุปความหมายและหาคาของแฟคทอเรียลลงในใบงานท่ีไดรับโดย
สรุปเปนความคดิรวบยอดของกลุม 5. ใหนกัเรียนในแตละกลุมศึกษาใบความรู เพื่อตรวจสอบการสรุปความคิดรวบยอดวาถูกตอง
หรือไม 6. ใหนกัเรียนแตละกลุมสงตัวแทนกลุมมาสรุปเปนความคิดรวบยอดของกลุมหนาช้ันเรียน เพื่อ
สรุปเปนความคิดรวบยอดของหอง 7. ใหนกัเรียนทําเอกสารแบบฝกหัดทายบทของชุดการเรียน 8. นักเรียนในกลุมท่ีมีปญหา หรือ ขอสงสัย ไมเขาใจ ใหสอบถามกับครูผูสอน 9. นักเรียนสามารถตรวจคําตอบของใบงาน และแบบฝกหดัทายบทไดจากเฉลย ซ่ึงอยูดานหลัง
ชุดการเรียน 10. นักเรียนแตละคนจะตองทําแบบสอบทายชุดการเรียน ชุดท่ี 2 เพื่อประเมินผลการเรียนรูท่ี
คาดหวัง
เอกสารแนะแนวทางที่ 2.1
( ความหมายของแฟคทอเรียล ) คําชี้แจง ใหนกัเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ
คําถาม ขอท่ี คําตอบ 1 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = ............ 8! 2 4 x 3 x 2 x 1 = ............... 4! 3 k x (k-1) x (k-2) x …. x 3 x 2 x 1 = ........... เม่ือ k I k! 4 6 x 5 x 4 ! = ............... 6! 5 8765! = ............... ……… 6 ( 3)
!
n
n
! = ( 3)( 2)( 1)
!
n n n n
n
! = .............. (n+3)(n+2)(n+1)
7 (n 2)!
n!
= ............ ………..
8 (n-3)(n-4)(n-5) = .............. )!6(
)!3(
n
n
9 654 = 654!3
!3 = .............. !3
! 6
10 876 = 8765 !
5 ! = .............. …………
ใบงานท่ี 2.1
ใหนกัเรียนเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 1. 5! = 5 4 3 2 1 2. 3!4! = …………………………………
3. !9
!12 = …………………………………
4. 100! = 100 99 98 …!
5. (n+1) = (………)x (………..)x (……….) ... 3 2 1
6. (n+3)! = (………)x (………)x (………) n (n – 1) ... 3 2 1
7. (n – 4)! = (n – 4) x (n – …..) x (……….) !
8. (n – r)! = (n – r) x (n – r – 1) x (n………..) ... 3 2 1
9. (n+r)! = (n+r) x (………….) x (………….)× ... 3 2 1 ใหนกัเรียนเขียนจํานวนในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวกใหอยูในรูปแฟคทอเรียล
1. 6 5 4 3 2 1 = 6 !
2. 5 4 3 = 5 4 3 2
2
!
! = 5
2
!
!
3. 42 5 4 = ………………………………….
4. 5 6 7 4! = …………………………………
5. (n-4) (n-5) (n-6) … = ( )
( )
n
n
4
7
!
!
6. (n+1) (n+2) (n-2) (n-1) n = …………………………
จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงานนักเรียนชวยกันสรุปความหมาย ของแฟคทอเรียล n ไดอยางไร
ใบความรูที ่2.1
แฟคทอเรียล บทนิยาม ถา n เปนจํานวนเต็มบวกแลว ผลคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต 1 ถึง n ดังนี้ 1 2 3 4 ..... n เขียนแทนดวยสัญลักษณ n! อานวา แฟคทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟคทอเรียล
Factorial
นั่นคือ n! = 1 2 3 4 ... n หรือเรียงจากมากไปนอย
n! = n (n-1) (n-2) …321
สัญลักษณ n! สามารถเขียนเปน n ก็ได
ตัวอยางท่ี 1
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณ และหาคําตอบ 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = 1 2 3 = 6 4! = 1234 = 24 5! = 12345 = 120 6! = 12345 6 = 720
จากตัวอยางท่ี 1 เขียนในรูปการคูณจากมากไปนอยไดอยางไร 1! = 1 2! = 2 1 = 2 3! = 3 2 1 = 3 2! 4! = 4 3 2 1 = 4 3! 5! = 5 4 3 2 1 = 5 4! 6! = 6 5 4 3 2 1 = 6 5!
ถาจะเขียนผลคูณโดยเรียงจากมากไปนอยไดหรือไม
ได
ใชสมบัติอะไร
ใชสมบัติสลับท่ีการคูณของจํานวนเต็มบวก
n! = n (n – 1) (n – 2) … 3 2 1 = n (n – 1) !
ดังนัน้
ลองแทนคา n = 1 จะได 1! = 1×(1-1)! แสดงวา 0! = 1
บทนิยาม 0! = 1
สรุปวาเขียนไดโดยใส ! หลังตัวเลข ตัวสุดทาย เชน 8 7 6! = 8!
การเขียน n! อาจหยุดกอนถึง 1 ไดหรือไม
ได
ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนผลคูณตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล
1. 9876 = 9 8 7 6 5 !
5!
= !5
9 !
2. n (n-1) (n-2) (n-3) = ( 1) (n n 2) ( 3) ( 4)!
( 4)!
n n n
n
= )!4(
!
n
n
ตัวอยางท่ี 3 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปไมมีแฟคทอเรียล
1. )!4(
n =
!
n( 1) ( 2) ( 3) ( 4)!
( 4)!
n n n n n
n
= n (n-1) (n-2) (n-3)
2. !12
15 = !
!12
!12131415
= 2730
เอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.1
คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ ขอท่ี โจทย คําตอบ
1 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของจํานวนเต็มบวก 1.1 3! 1.2 6! 1.3 7!
1.1....................................... 1.2....................................... 1.3.......................................
2 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของ 3 จํานวน 2.1 15! 2.2 25! 2.3 30!
2.1....................................... 2.2....................................... 2.3.......................................
3 จงหาคาของจาํนวนตอไปนี ้
3.1 6!
4!
3.2 8!
5!
3.1....................................... 3.2.......................................
4 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล 4.1 63 ×62 ×61 4.2 3 23 2n n n
4.1....................................... 4.2.......................................
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 2.1
(ความหมายของแฟคทอเรียล)
คําชี้แจง ใหนกัเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ
คําถาม ขอท่ี คําตอบ 1 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = .......... 8! 2 4 x 3 x 2 x 1 = .......... 4! 3 k x (k-1) x (k-2) x …. x 3 x 2 x 1 = ......... เม่ือ k I k! 4 6 x 5 x 4 ! = ........... 6! 5 8765! = .......... 8!
6 ( 3)
!
n
n
! = ( 3)( 2)( 1)
!
n n n n
n
! = ........... (n+3)(n+2)(n+1)
7 (n 2)!
n!
= .......... (n+2)(n+1)
8 (n-3)(n-4)(n-5) = ........... )!6(
)!3(
n
n
9 654 = 654!3
!3 = ........... !3
! 6
10 876 = 8765 !
5 ! = ........... 8!
5!
เฉลยใบงานท่ี 2.1
ใหนกัเรียนเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 1. 5! = 5 4 3 2 1
2. 3!4! = (321)(4321) = 624 = 144
3. !9
!12 = !
!
12 11 10 99
= 1320
4. 100! = 100 99 98 97!
5. (n+1)! = (n+1) (n) (n-1) ... 3 2 1
6. (n+3)! = (n+3) (n+2) (n+1) n (n – 1) ... 3 2 1
7. (n – 4)! = (n – 4) (n – 5) (n-6) !
8. (n – r)! = (n – r) (n – r – 1) (n - r -2) ... 3 2 1
9. (n+r)! = (n+r) (n + r -1) (n + r - 2) ... 3 2 1 ใหนกัเรียนเขียนจํานวนในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวกใหอยูในรูปแฟคทอเรียล
1. 6 5 4 3 2 1 = 6 !
2. 5 4 3 = 5 4 3 !
!
22
= 5
2
!
!
3. 42 5 4 = 7 6 5 4 = !
!
73
)
4. 5 6 7 4! = 7 6 5 4! = 7 !
5. (n-4)(n-5)(n-6 = ( )
( )
!n 4
!n 7
6. (n+1)(n+2)(n-2)(n-1)n =
= ( 2)!
( 3)!
n
n
จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงาน นักเรียนชวยกันสรุปความหมาย ของแฟคทอเรียล n ไดอยางไร สรุป ถา n เปนจํานวนเต็มบวกแลว n! = 123… (n-2) (n-1) n หรือ n! = n (n-1) (n-2) …321
( )( ) ( )( )( ) !
( ) !
n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3
n 3
( )!
( )!
n 7n 7
เฉลยเอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.1
คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ
ขอท่ี โจทย คําตอบ 1 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของจํานวนเต็ม
บวก 1.1 3! 1.2 6! 1.3 7!
1.1 3 2 1 1.2 654321 1.3 7654321
2 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปการคูณของ 3 จํานวน 2.1 15! 2.2 25! 2.3 30!
2.1 151413! 2.2 252423! 2.3 302928!
3 จงหาคาของจาํนวนตอไปนี ้
3.1 !4
!6
3.2 !5
!8
3.1 30 3.2 336
4 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล 4.1 63×62×61 4.2 nnn 23 23
4.1 63!
60 !
4.2 !
( )!
nn 3
เอกสารแนะแนวทางที่ 2.2
(หาผลลัพธของแฟคทอเรียล) ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 6! + 3! = 6 x 5 x 4 x 3! + 3! = 3!(120+1) = 6(121) = 726 (2) 6! - 4! = …………………………… = ………………………….. = ………………………….. = 696
(3) 7 4
3
!
!
! = !
!
7 6 5 4 43
!
* ระวัง
6! + 3! 9! 6! - 4! 2! 5! 3! 15! 8
4
!
! 4!
(3!)2 9!
= !( )
!
4 7 6 5 13
= 4(210-1) = 836 (4) 5! 3! = ………………………… = 720
(5) 8!
4! = 8765
!4
!4
= 1680
(6) ( )
!
n
n
3 ! = ………………….. = (n+3)(n+2)(n+1)
!
( )
nn 2
(7) หาคา n จากสมการ !
= 132
( )( )
!
n n 1 n 2 ! = 132
( )n 2 n(n-1) = 1211 n = 12 หรือ (n-1) = 11 n = 12
ใบงานท่ี 2.2
ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 5! + 3! = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………. = 126 (2) 6! - 5! = ………………………………….. = ………………………………….. = …………………………………. = 600
(3) !
!
6 43 !
= …………………………………
= ………………………………… = ………………………………… = . ……………………………….. (4) 4! 3! = …………………………………. = …………………………………
(5) !
!
73
= ………………………………….
= 840
(6) (
!
n 2n )!
= …………………..
= …………………..
!
( )
nn 3
(7) หาคา n จากสมการ !
= 720
= …………….. = ……………. = .. …………… n = ……………..
ใบความรูที ่2.2 ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลสําเร็จของจํานวนตอไปนี้ 1. 5! + 2! = ( 543 21 ) + ( 21 ) = 120 + 2 = 122
2. !
!
7 55
! =
!( )
!
5 7 6 15
= 42 + 1 = 43
n!70
3!(n 2)!
ตัวอยางท่ี 2 ถา n เปนจาํนวนเต็มบวก จงหาคา n ท่ีทําให
n!70
3!(n 2)!
วิธีทํา
n(n 1)(n 2)!420
(n 2)!
2n n 420 0 (n – 21 )(n + 20) = 0 n = 21 , -20 n = 21
เอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.2
คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ ขอท่ี โจทย คําตอบ
! !
!
6 331.
จงหาคาของ
1. .......................................
2 ! !
!
5 32
จงหาคาของ
2. .......................................
3 ( )
( )
!n 3n 1 !
จงหาคาของ
3. ......................................
4 !
(
nn 3
จงหาคา n จากสมการ )!
= 24
4. ………………………..
5 ! 120nจงหาคา n จากสมการ 5. ………………………..
แบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 2
คําชี้แจง ใหนกัเรียนหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ ขอท่ี คําถาม คําตอบ
มีคาเทาไร คาของ 1 !!
5
7 ...................
2 คาของ 3!4! มีคาเทาไร ...................
3 เขียน(n-3) (n-2) (n-1)nในรูปของแฟคทอเรียลไดอยางไร
...................
4 มีคาเทาไร คาของ )!(!!
26
10 ...................
5 930)!2(
!
n
nคาของ n จากสมการ มีคาเทาไร ...................
6 8!
10!คาของ มีคาเทาไร ...................
7 7! 5!
4!
คาของ มีคาเทาไร ...................
8 คาของ (3!) มีคาเทาไร 2 ...................
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 2.2
(2) 6! - 4! = 654! - 4! = 4! ( 30 – 1 ) = 24 ( 29) = 696 (4) 5! 3! = 120 6 = 720
(6) ( )
!
n
n
3 ! = (n+3)(n+2)(n+1) n!
n!
= (n+3)(n+2)(n+1)
เฉลยใบงานท่ี 2.2
ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ (1) 5! + 3! = 543! + 3! = 3!(54 + 1) = 6(21) = 126 (2) 6! - 5! = 65! - 5! = 5!(6-1) = 120(5) = 600
(3) !
!
6 43 !
= !( )
!
4 6 5 13
= !( )
!
4 3 293
= 4(29) = 116 (4) 4! 3! = (4321)(321) = (24)(6) = 144
(5) !
!
73
= !
!
7 6 5 4 33
= 840
(6) (
!
n 2n )!
= ( )( ) !
!
2 1 n n nn
= (n+2)(n+1)
(7) หาคา n จากสมการ !
( )!
nn 3
= 720
( )( )( )!
( )!
1 2 33
n n n nn( )( )1 2 n n n
, ,10 1 9 2 8 n n n
= 720
= 1098 n = 10
เฉลยเอกสารแบบฝกหัดทายชุดการเรียนท่ี 2.2
คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมคําตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนี้ใหถูกตองสมบูรณ
ขอท่ี โจทย คําตอบ ! !
!
6 33
1. จงหาคาของ
1. 121
2. ! !
!
5 32
จงหาคาของ
2. 57
3. ( )
( )
!n 3n 1 !
จงหาคาของ
3. (n+3)(n+2)
4. !
( )
nn 3
จงหาคา n จากสมการ !
= 24
4. 4
5 ! 120n 5. 5
จงหาคา n จากสมการ
เฉลยแบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 2
คําชี้แจง ใหนกัเรียนหาคําตอบจากโจทยตอไปนี ้ ขอท่ี คําถาม คําตอบ
!!
5
71 คาของ มีคาเทาไร 42
2 คาของ 3!4! มีคาเทาไร 144
3 เขียน(n-3)(n-2)(n-1)nในรูปของแฟคทอเรียลไดอยางไร !
( )!
nn 4
4 มีคาเทาไร คาของ )!(!!
26
10 10080
5 930)!2(
!
n
n มีคาเทาไร คาของ n จากสมการ 31 , 30
6 คาของ 8!
10! มีคาเทาไร 1
90
7 คาของ มีคาเทาไร 7! 5!
4!
205
8 36 คาของ (3!) มีคาเทาไร 2