สนามแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic field · 1.2...
TRANSCRIPT
1
สนามแมเหลกไฟฟา
(Electromagnetic Field)
บทท 1 การวเคราะหเวกเตอร
(Vector Analysis)
3
สเกลลาร คอปรมาณทมขนาดเพยง อยางเดยว เชน • มวล • เวลา
• อณหภม • พนท
เวกเตอร คอปรมาณททงมขนาดและ ทศทาง เชน • แรง • ความเรว • ความเรง
A
สญลกษณของเวกเตอร คอ ใชอกษรตวหนา หรอใชลกศรวางดานบนชอ เชน A หรอ A
A
หรอ
1.1 เวกเตอรและสเกลาร (scalars and vectors)
4
- ปรมาณเวกเตอร( Vector quantities )
- เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector )
A
AaA
AaAA
1.1 เวกเตอรและสเกลาร (scalars and vectors)
คอ ขนาดของเวกเตอร A A
คอ เวกเตอรแสดงทศทางของเวกเตอร Aa
A
5
ABBA
CBACBA
1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
- การบวกเวกเตอร(Vector addition)
6
A
B
A+B
1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
กฎรปสเหลยมดานขนาน (parallelogram rule)
- การบวกเวกเตอร (Vector addition)
7
B
A+B
AA
1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
กฎหวตอหาง (Head-to-tail rule)
- การบวกเวกเตอร (Vector addition)
8 8
B
A
B-BA
-B
1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
- การลบเวกเตอร (Vector subtraction)
BABA
B
9
A
AkB
ขนาดเพมขนแตทศทางคงเดม
1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
-การคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร (Multiplication of a vector by scalar) ตวอยาง AkB
10
ระบบพกดตางๆ
พกดฉาก พกดทรงกระบอก พกดทรงกลม
11
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
ในระบบพกดฉาก มแกนพกด 3 แกน ตงฉากกนและกน ก าหนดใหเปนแกน x y และ z ดงรป
x
y
z
12 12
x
y
z
P(x,y,z)
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
จดในระบบพกดฉาก (Cartesian Coordinate System)
13
x
y
z
P(x,y,z)
- เวกเตอรต าแหนง (Position vectors)
เปนเวกเตอรทเรมทตนก าเนด ไปยงต าแหนงพกด P(x,y,z)
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
14 14 x
y
z
P1(x1,y1,z1)
P2(x2,y2,z2)
- เวกเตอรระยะทาง (Distance vectors)
เปนเวกเตอรเรมจากเวกเตอรต าแหนงหนง ไปยงอกเวกเตอรต าแหนงหนง หรอการกระจดจากจดหนงไปยง อกจดหนง
15 15 x
y
zP2(x2,y2,z2)
P1(x1,y1,z1)
- เวกเตอรระยะทาง (Distance vectors)
16 16 16
1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)
zzyyxx aAaAaAA
ก าหนดเวกเตอรในระบบพกดฉาก คอ
เรยกวาเวกเตอรหนงหนวย ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ
zyx aaa
, และ
เรยกวาองคประกอบสเกลลารของ เวกเตอร ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ
zyx AAA , และ A
x
y
z
A
เรยกวาองคประกอบเวกเตอรของ เวกเตอร ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ
zzyyxx aAaAaA
, และ A
17 17
18 18
x
y
z
A
องคประกอบเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวย
x
y
z
xa ya
za
1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)
zzyyxx aAaAaAA
19 19 19
222
zyx BBBB
คาสมบรณของเวกเตอร ขนาดของเวกเตอร
222
zyx
B
BBB
Ba
เวกเตอรหนงหนวย
B
B
zzyyxx aBaBaBB
ก าหนดเวกเตอร
1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)
วธท ำ
ตวอยำง ก าหนดใหเวกเตอร จงหา 1) คาสมบรณของเวกเตอร 2) เวกเตอรหนงหนวย
zyx aaaB
32
1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)
21
22
เวกเตอรสนาม (Vector Field)
สนาม (Field) ความหมายทางคณตศาสตร คอ เปนฟงกชนของกลมตวแปรในสเปซ (space)
- สนามสเกลลาร (Scalar Field) เปนสนามของตวแปรสเกลลารทจดใดๆในสเปซ (space) อาจใชแทนการกระจายของอณหภม ศกยไฟฟา ความดน เปนตน
- สนามสเวกเตอร (Vector Field) เปนฟงกชนเวกตอร อาจใชแทนความเรวลม ความยาวของเวกเตอรแสดงถงขนาดของความเรว สวนทศทาง แสดงถงทศทางการไหลของลม
22 32,, zyxzyxF
zzyyxx azyxFazyxFazyxFzyxF
,,,,,,,,
1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)
การคณเวกเตอร
-การคณเชงสเกลารหรอแบบจด (Scalar or Dot product) -การคณเชงเวกเตอรหรอแบบไขว (Vector or Cross product)
24
ABBA
กฎของการสลบท
ABBABA cos
กำรคณแบบจดของเวกเตอรหนงหนวย
x
y
z
x
ya
za
a
zzyyxx aaaaaa
yx aa
xy aa
zx aa
xz aa
zy aa
yz aa
คณดวยตวมนเอง
1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)
1
0
25 25
ABn BAaBA sin
BAAB
x
y
z
x
ya
za
a
การคณแบบไขวของเวกเตอรหนงหนวย
การคณตวมนเอง
yx aa
zy aa
xz aa
za
xa
ya
0 zzyyxx aaaaaa
1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)
สตร
26
zzyyxx aAaAaAA
zzyyxx aBaBaBB
ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ
และ
1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)
ก. การคณตามเขมนาฬกา ข.การคณทวนเขมนาฬกา
27
zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBA
zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBA
zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBA
zzyyxxzzyyxx aBaBaBaAaAaABA
ya
)( xa
za
)( ya
xa
)( za
)0(
)0(
)0(
x
y
z
zxyyx
yzxxzxyzzy
aBABA
aBABAaBABABA
จะได
1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)
28
1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)
zzyyxxzzyyxx aBaBaBaAaAaABA
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
yx
yx
yx
BB
AA
aa
BA
xyzzy aBABA
. yzxxz aBABA
.
zxyyx aBABA
.
29
zyx aaaA
12625
zyx aaaB
304
ตวอยำง ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ และ
จงหา BA
AB
และ
30
31
32
33
ทดสอบยอยครงท 3 จงหา A B
x y z x y zA B a a a a a a
34
35
การหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางทก าหนด
36
การหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางทก าหนด
จากรป a สามารหาองคประกอบสเกลารของเวกเตอร ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย ได
B
a
37
1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)
ตวอยาง ก าหนดใหเวกเตอร zyx aaaA
4912
จงหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางแกน y
วธท า yy aAA
yzyx aaaa
4912
yzyyyx aaaaaa
4912
9yA
38
ระบบพกดฉาก (Cartesian Coordinate System)
39
x
y
z
ระนาบ x=0
x
y
z
ระนาบ y=0
x
y
z
ระนาบ z=0
ระนาบ x y และ z ตงฉากกนและกน
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
40 40 zzyyxx aAaAaAA
ก าหนดเวกเตอรในระบบพกดฉาก คอ
อธบายต าแหนง จด P ดวยระนาบ
41
อนพนธเชงเสน (Differential Length)
อนพนธเชงผว (Differential Surface)
อนพนธเชงปรมาตร (Differential Volume)
คณสมบตเชงอนพนธของระบบพกดฉาก
42 x
y
z
P
P x
dxx
y
z
dyy
dzz
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
43
P
dy
dx
dzdxdy
dydz
dxdz
x
y
z
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
44
1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)
x
y
zอนพนธเชงเสน (Differential Length)
zyx adzadyadxld
dxdy
dz
45
Sd
xx adydzSd
yy adxdzSd
zz adxdySd
x
y
z อนพนธเชงผว (Differential Surface)
46
x
y
z
dxdy
dz
อนพนธเชงปรมาตร Differential Volume
dxdydzdv
47
ระบบพกดทรงกระบอก (Circular Cylindrical Coordinates)
48
x
y
z
x
y
z
z
ระบบพกดทรงกระบอก
zP ,,r
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
49
x
y
z
คงท z
คงท x
y
z
คงท
y
x
z
- ต าแหนงของจด P อธบายดวยระนาบ
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
50
51
z
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
P
z
zP ,,
- ต าแหนงของจด P
52
z
a
a
za
เวกเตอรหนงหนวยของพกดทรงกระบอก
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
53
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
54
zdl d a d a dza
อนพนธเชงเสน (Differential Length)
55
อนพนธเชงผว (Differential Surface
Sd
adzdSd
zz addSd
adzdSd
56
อนพนธเชงปรมาตร (Differential Volume
dzdddv
57
x
y
z
022 yx
x
y1tan
z
z z
cos
sin
การแปลงจากพกดฉากเปนพกดทรงกระบอก
การแปลงจากพกดทรงกระบอกเปนพกดฉาก
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
x
y
z
A
58
100
0cossin
0sincos
z
y
x
z
a
a
a
aaa
aax
sin
aay
sin
1 zz aa
ตวอยางการใชตาราง
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
- ความสมพนธระหวางระบบทรงกระบอกกบพกดฉาก
59
z
a
a
za
A
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
za
a
aA
60
zzyyxx aAaAaAA
ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ
ถาตองการหาองคประกอบเวกเตอรในพกดทรงกระบอก จะได
zzaAaAaAA
เปนฟงกชนของ x,y และ z
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
เปนฟงกชนของ และ z,
61
zzyyxx aAaAaAA
ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ
ตองกำรหำองคประกอบเวกเตอรในพกดทรงกระบอก
องคประกอบในทศทางของ a
องคประกอบในทศทางของ a
องคประกอบในทศทางของ za
aAA
aAA
zz aAA
za
a
aA
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
62
aaAaaAaaA zzyyxx
aAA
องคประกอบในทศทางของเวกเตอร a
100
0cossin
0sincos
z
y
x
z
a
a
a
aaa
cos )0(sin
zzyyxx aAaAaAA
a
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
63
100
0cossin
0sincos
z
y
x
z
a
a
a
aaa
zzyyxx aAaAaAA
a
องคประกอบในทศทางของเวกเตอร a
aAA
aaAaaAaaA zzyyxx
)sin( cos )0(
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
64
100
0cossin
0sincos
z
y
x
z
a
a
a
aaa
zz aAA
zzyyxxz aAaAaAA
องคประกอบในทศทางของเวกเตอร za
za
zzzzyyzxx aaAaaAaaA
)0( )0( )1(
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
65 65
ดงนนเวกเตอรพกดฉาก
อยในรปพกดทรงกระบอก จะได
cylA
zzyyxx aAaAaAA
aAA xy
sincos zzaA
aAA yx
sincos
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
66 66
ตวอยาง ก าหนดเวกเตอร จงหาแปลงเวกเตอร ใหอยในระบบพกดทรงกระบอก
1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)
zyx azaxayB
วธท า
67
ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates)
68 x
y
z
r
,,r
P
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
69
y
x
z
r คงท
x
y
z
คงท
x
z
คงท
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
70
71
y
x
z
P
r
a
ra
a
เวกเตอรหนงหนวยของ ระบบพกดทรงกลม
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
72
เมอพกดตางในทรงกลมเปลยนไปในรปอนพนธ คอ
จะไดระยะทาง
จะไดระยะทาง
จะไดระยะทาง
dr
rd
dr sin
drrr
dr
dr
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
73
y
x
z
rd
drsin
dr
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
74
adrardadrdl r
sin
อนพนธเชงเสน (Differential Length)
rd
drsin
dr
75 75
อนพนธเชงผว
ds
rdrd
ddr sin2
drdr sinrd
drsin
dr
อนพนธเชงผว (Differential Surface
76
rd
drsin
dr
อนพนธเชงปรมาตร dv
ddrdr sin2
อนพนธเชงปรมาตร(Differential Volume
77
x
y
z
cossinr
sinsinr
cosr
การแปลงจากพกดทรงกลมเปนพกดฉาก
การแปลงจากพกดฉากเปนพกดทรงกลม
r
0;222 rzyx
222
1coszyx
z
1tany
x
x
y
z
P
r
,,r
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
78
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
z
y
x
r
a
a
a
aaa
ตวอยางการใชตาราง rx aa
cossin
aay
sincos
0 aaz
1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)
- ความสมพนธระหวางระบบทรงกลมกบพกดฉาก