อกสารประกอบการสอนportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/175c3qfc.440ect1v3g9.pdf ·...

เอกสารประกอบการสอน

วชาฟสกส 1

สวทย นามมหาจกร

ปร.ด.(ฟสกส)

คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2556

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการสอนวชาฟสกส 1 มเนอหาประกอบดวย สเกลารและเวกเตอร การเคลอนท มวล แรง และกฎการเคลอนท การเคลอนทแบบโพรเจกไทล วงกลม และฮารมอนก

สภาพสมดล งาน พลงงาน โมเมนตม การเคลอนทของวตถแขงเกรง สมบตของของแขง ของไหล ปรากฏการณทางความรอน แกสอดมตและทฤษฎจลน หลกการพนฐานทางอณหพลศาสตรปรากฏการณคลนและเสยง โดยมงเนนใชประกอบการสอนส าหรบนกศกษาชนปท 1 ทตองเรยนพนฐานฟสกส ใหเกดความร ความเขาใจ และสามารถน าไปประยกตใชในการเรยนขนสงและประยกตใชในชวตประจ าวนไดตามโอกาสอนควร

จงหวงเปนอยางยงวา เอกสารประกอบการสอนเลมนจะอ านวยประโยชนใหแกผใชตามสภาพและความเหมาะสม หากมขอผดพลาดหรอขอเสนอแนะประการใด ผเขยนยนดรบฟงความคดเหนและจะน าไปปรบปรงแกไขตอไป

สวทย นามมหาจกร

สงหาคม 2556

สารบญ

หนา

ค าน า (1) สารบญ (3) สารบญภาพ (11) สารบญตาราง (19) แผนบรหารการสอนประจ าวชา (21)

แผนบรหารการสอนบทท 1 1

บทท 1 หนวยและการวด 3

1.1 ระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ 3

1.2 ตวเลขนยส าคญ 6

1.3 ค าอปสรรค 8

1.4 ความเทยง ความแมน และความผดพลาด 10

1.5 การบนทก การน าเสนอ และการแปลความหมายขอมล 11

1.6 การหาผลลพธของขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน 16

แบบฝกหด 18

บรรณานกรม 19


บทท 2 สเกลาร และเวกเตอร 23

2.1 การบอกต าแหนง 23

2.2 ปรมาณสเกลาร 23

2.3 กฎของพชคณตเวกเตอร 27

2.4 เวกเตอรหนงหนวย 28

2.5 เวกเตอรหนงหนวยระบบพกดคารทเชยน 28

2.6 การคณแบบสเกลารและเวกเตอร 29



(4)

สารบญ (ตอ)

หนา


บทท 3 การเคลอนทในหนงมต สองมต และสามมต 39

3.1 การเคลอนทในหนงมต 39

3.2 การเคลอนทอยางเสรภายใตแรงโนมถวงของโลก 45

3.3 การเคลอนทในสองมต 48

3.4 การเคลอนทในสามมต 51




บทท 4 มวล แรง และกฎการเคลอนท 59

4.1 ความเฉอย มวล และแรง 59

4.2 กฎการเคลอนทของนวตน 60

4.3 แรงโนมถวง 65

4.4 กฎของความโนมถวง 67

4.5 แรงเสยดทาน 68




บทท 5 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล วงกลม และฮารมอนก 81

5.1 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล 81

5.2 การเคลอนทแบบวงกลม 85

5.3 การเคลอนทบนทางโคง 89

5.4 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 90



(5)


หนา


บทท 6 สภาพสมดล 105

6.1 สภาพสมดลของวตถแขงเกรง 105

6.2 สมดลตอการเลอนต าแหนง 106

6.3 สมดลตอการหมน 108

6.4 จดศนยกลางมวล 111

6.5 จดศนยกลางของความโนมถวง 112

6.6 การน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต 114




บทท 7 งาน พลงงาน และการอนรกษ 123

7.1 งานและก าลง 124

7.2 พลงงาน 126

7.3 การอนรกษพลงงาน 129

7.4 เครองกลอยางงายและการประยกต 131




บทท 8 โมเมนตม 147

8.1 โมเมนตม 147

8.2 การดลและแรงดล 147

8.3 การอนรกษโมเมนตม 150

8.4 การชน 150

8.5 การระเบด 155



(6)


หนา


บทท 9 การเคลอนทของวตถแขงเกรง 163

9.1 จลนศาสตรของการหมน 164

9.2 ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม 167

9.3 พลศาสตรของการหมน 169

9.4 ทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน 171

9.5 โมเมนตมเชงมม 172




บทท 10 สมบตของของแขง 183

10.1 สภาพยดหยน 184

10.2 ความเคนและความเครยด 185

10.3 มอดลสสภาพยดหยน 188

10.4 ความทนแรงของวตถ 193




บทท 11 ของไหล 203

11.1 ความหนาแนน 203

11.2 ความดน 205

11.3 กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก 210

11.4 หลกของอารคมดสและแรงลอยตว 211

11.5 ความตงผว 213

11.6 กฎของสโตกสและความหนด 216

(7)


หนา

11.7 ทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต 218




บทท 12 ปรากฏการณทางความรอน 229

12.1 มาตราวดอณหภม 229

12.2 ความรอนและหนวยวด 230

12.3 กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร 231

12.4 การขยายตวเนองจากความรอน 237

12.5 การเปลยนวฏภาค 242




บทท 13 แกสอดมคตและทฤษฎจลน 257

13.1 กฎของแกส 257

13.2 แกสอดมคต 261

13.3 การเคลอนทแบบบราวน 265

13.4 แบบจ าลองของแกสอดมคต 266

13.5 แบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคต 267

13.6 ทฤษฎจลนของแกสในชวตประจ าวน 272



(8)


หนา


บทท 14 หลกการพนฐานทางอณหพลศาสตร 279

14.1 ระบบทางอณหพลศาสตร 179

14.2 ความรอน งาน และพลงงานภายใน 285

14.3 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร 291

14.4 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตรในชวตประจ าวน 296




บทท 15 ปรากฏการณคลน 305

15.1 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 305

15.2 การเคลอนทแบบคลน 309

15.3 คลนผวน า 311

15.4 การซอนทบกนของคลน 317

15.5 สมบตของคลน 318



แผนบรหารการสอน บทท 16 341

บทท 16 เสยง 343

16.1 อตราเรวเสยง 343

16.2 ความเขมเสยง 347

16.3 ระดบความเขมเสยง 349

16.4 หและกลไกการไดยน 351

16.5 บตส 352

16.6 ปรากฏการณดอปเปลอร 353

(9)


หนา

16.7 คลนกระแทก 355

16.8 การประยกตใชความรเรองเสยง 357

16.9 มลพษทางเสยง 358




สารบญภาพ

ภาพท หนา

1.1 การบนทกตวเลขทมความส าคญหรอตวเลขนยส าคญ 7

1.2 ความเทยงและความแมน 10

1.3 ความผดพลาดทางทฤษฎกบการแกวงของลกตมนาฬกา 11

1.4 ฮสโทแกรมและเสนโคงความหนาแนน-ความถ 15

2.1 การเขยนสญลกษณแทนปรมาณเวกเตอร 24

2.2 องคประกอบและทศทางของเวกเตอร 24

2.3 การบวกและลบปรมาณเวกเตอรโดยวธการเขยนรป 25

2.4 กฎของไซน 25

2.5 การบวกปรมาณเวกเตอรโดยใชกฎของโคไซน 26

2.6 การลบปรมาณเวกเตอรโดยใชกฎของโคไซน 26

2.7 ตวอยางท 2.1 26

2.8 ตวอยางท 2.2 27

2.9 เวกเตอรหนงหนวยคารทเชยนและองคประกอบ 28

3.1 ตวอยางท 3.1 43

3.2 ตวอยางท 3.2 43

3.3 ตวอยางท 3.3 44

3.4 ตวอยางท 3.4 45

3.5 ตวอยางท 3.5 46

3.6 ตวอยางท 3.6 47

3.7 การเคลอนทในสองมต 48

3.8 ตวอยางท 3.7 50

3.9 ตวอยางท 3.8 51

4.1 การหาขนาดและทศทางของแรงลพธ 59

4.2 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน 61

4.3 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอสองของนวตน 62

4.4 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอสามของนวตน 63

(12)

สารบญภาพ (ตอ)


4.5 ตวอยางท 4.3 64

4.6 ตวอยางท 4.5 66

4.7 แรงโนมถวงระหวางมวล m1, m2, มรศม r1, r2 และสนามโนมถวง g1, g2 ตามล าดบ

67

4.8 แรงเสยดทานสถต 69

4.9 แรงเสยดทานสถตระหวางแผนไมกบผนงจะตองมคามาก 71

4.10 แรงเสยดทานสถตระหวางรองเทากบหมะจะตองมคามาก ขณะเดยวกน

แรงเสยดทานจลนระหวางหมะกบตะเฆจะตองมคานอย

71

4.11 แรงเสยดทานสถตระหวางลงไมกบพนเอยงจะมคามากทสด

ขณะเรมเคลอนทและจะมแรงเสยดทานจลนนอยกวาแรงเสยดทานสถต

ขณะเคลอนท

71

5.1 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล 81

5.2 ตวอยางท 5.1 83

5.3 ตวอยางท 5.2 84


5.5 การแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวระดบ 86

5.6 การแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง 87

5.7 ตวอยางท 5.3 88

5.8 การเคลอนทบนทางโคง 89

5.9 ตวอยางท 5.4 90

5.10 กราฟแสดงความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลาของฟงกชนรปไซน 91

5.11 การเปรยบเทยบการเคลอนทแบบวงกลมกบฟงกชนรปไซน 92

5.12 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการสนของมวลตดกบสปรง 92

5.13 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการแกวงของลกตมอยางงาย 94

5.14 ตวอยางท 5.10 96

6.1 ตวอยางสมดลสถต 106

(13)



6.2 ตวอยางท 6.1 107

6.3 โมเมนตของแรงหรอทอรก 108

6.4 สมดลโมเมนต 109

6.5 โมเมนตของแรงคควบ 109

6.6 ตวอยางท 6.2 110

6.7 ตวอยางท 6.3 110

6.8 จดศนยกลางมวล 111

6.9 ตวอยางท 6.5 112

6.10 จดศนยกลางของความโนมถวง 112

6.11 ตวอยางท 6.5 113

6.12 ตวอยางท 6.6 114

6.13 ตวอยางท 6.7 115

7.1 ตวอยางเกยวกบงานในชวตประจ าวน 123

7.2 งานทท าเนองจากแรงคงตว F 124

7.3 ตวอยางท 7.1 125

7.4 ตวอยางท 7.2 126

7.5 พลงงานจลนทเกดขนกบวตถเคลอนท 126

7.6 พลงงานศกยโนมถวงทขนอยกบต าแหนงความสงของจดศนยถวง

ของวตถ

127

7.7 พลงงานศกยยดหยนทสะสมอยในสปรง 128

7.8 ตวอยางท 7.7 130

7.9 อารคมดสและกฎของคาน 131

7.10 ลกษณะของคานและองคประกอบ 132

7.11 ชนดของคานและการประยกต 133

7.12 ลกษณะของลอและเพลา 134

7.13 รอกเดยวและรอกพวง 135

(14)



7.14 พนเอยง 136

7.15 ลม 137

7.16 สกร 137

8.1 การดลและโมเมนตม 148

8.2 ตวอยางท 8.1 148

8.3 ตวอยางท 8.2 149

8.4 ตวอยางการอนรกษโมเมนตม 150

8.5 การชนของวตถมวล 1m และ 2m 151

8.6 ตวอยางการชนและกฎการอนรกษโมเมนตม 151

8.7 ตวอยางท 8.3 153

8.8 ตวอยางท 8.4 153

8.9 ตวอยางท 8.5 154

8.10 ตวอยางท 8.6 156

9.1 ตวอยางการเคลอนทแบบหมนตาง ๆ 163

9.2 การบอกต าแหนงของอนภาคในระบบพกดเชงขว 164

9.3 แสดงการเคลอนทแบบหมนของอนภาคของวตถ 168

9.4 ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมมของ

การเคลอนทแบบหมน

168

9.5 อนภาคมวล mi เคลอนในแนววงกลมรศม r

i ในระนาบ XY รอบแกน Z 169

9.6 แทงวตถมวล M ยาว L 170

9.7 โมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ 171

9.8 แสดงการเคลอนทแบบหมนตามทฤษฎบทงาน-พลงงานจลน 172

9.9 แสดงการสายแบบควงของลกขาง 173

9.10 ตวอยางท 9.4 174

10.1 ตวอยางวตถทเปลยนรปแลวสามารถกลบคนสสภาพเดมได 183

(15)



10.2 กราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงดงกบการยดออกของ

เสนลวดทองแดง

184

10.3 แรงดง แรงอด และแรงเฉอน 185

10.4 ความเคนทเกดขนกบวตถ 186

10.5 ความเครยดทเกดขนกบวตถ 187

10.6 ตวอยางความเคนและความเครยดแบบดงและเฉอน 187

10.7 มอดลสของยง 189

10.8 มอดลสสภาพยดหยน 189

10.9 ตวอยางการวดความทนแรงดง 193

10.10 ตวอยางการทดสอบความทนแรงอด 193

10.11 ตวอยางความทนแรงเฉอน 194

11.1 แรงดนของน าทกระท าตอเขอน 2047

11.2 เรอไททานก 208

11.3 แมนอมเตอร 209

11.4 บารอมเตอรปรอท 209

11.5 กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก 210

11.6 หลกของอารคมดสและแรงลอยตว 211

11.7 การหาปรมาตรและความหนาแนนของมงกฎโดยใชหลกของอารคมดส 212

11.8 ปรากฏการณเกยวกบแรงตงผว 213

11.9 แรงตงผวมทศขนานกบผวของเหลว 214

11.10 การซมตามรเลกและการโคงของผวของเหลว 214

11.11 การซมตามรเลก 215

11.12 การทดลองเกยวกบความตงผวของน า 216

11.13 กฎของสโตกสและการเคลอนทของวตถทรงกลมในของเหลว 217

11.14 ความดนในของไหลตามทฤษฎบทของแบรนลล 218

11.15 การอนรกษพลงงานในของไหลตามทฤษฎบทของแบรนลล 219

(16)



11.16 การค านวณหาความดนอากาศดานบนและลางของปกเครองบน 220

12.1 ตวอยางการถายโอนความรอนโดยการน า การพา และการแผรงส 229

12.2 ตวอยางการขยายตวเชงเสน 231

12.3 ตวอยางการขยายตวเชงพนท 233

12.4 ตวอยางการขยายตวเชงปรมาตร 235

12.5 การรบและคายความรอนกบการเปลยนวฏภาค 238

12.6 มาตรความรอน 243

12.7 การถายโอนความรอนโดยการน า 246

12.8 เครองกระจายความรอนโดยการพา 247

12.9 ตวอยางการถายโอนความรอนโดยการแผรงส 250

13.1 กฎของบอยลและกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาตรกบความดน 258

13.2 กฎของชารลและกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาตรกบอณหภม 259

13.3 กราฟแสดงความสมพนธระหวางความดนกบอณหภมตามกฎของ

เกย-ลสแซก

259

13.4 สมมตฐานของอาโวกาโดรและเลขอาโวกาโดร 264

13.5 การเคลอนทของโมเลกลแกสภายในกลองรปลกบาศก 267

14.1 แกสภายในกระบอกสบพนทหนาตด A ขณะออกแรงกระท ากบลกสบ F 280

14.2 กราฟแสดงความดน P เปนฟงกชนของปรมาตร V ตามสมการ

dW = PdV

281

14.3 รถไฟพลงแมเหลก 294

14.4 โฮเวอรคราฟท 294

14.5 ไฮโดรฟอยล 295

14.6 เครองบนซปเปอรโซนค 296

15.1 การเคลอนทแบบคลน 305


(17)



15.3 กราฟแสดงความสมพนธระหวางการกระจด ความเรว และความเรง กบเวลา

307

15.4 ตวอยางการเคลอนทแบบคลน 309

15.5 คลนแมเหลกไฟฟา 310

15.6 ถาดคลนส าหรบการศกษาเกยวกบคลนผวน า 311

15.7 การพจารณาลกษณะและนยามตางๆ เกยวกบคลนผวน า 312

15.8 เฟสของคลน 313

15.9 เฟสตรงกนและเฟสตรงขามกน 314

15.10 หนาคลน 314

15.11ก. การรวมกนของคลน 318

15.11ข. การหกลางกนของคลน 318

15.12 การสะทอนของคลนในเสนเชอก 319

15.13 การสะทอนของคลนผวน า 320

15.14 กฎการสะทอน 320

15.15 การหกเหของคลนผวน า 322

15.16 กฎการหกเห 322

15.17 การแทรกสอดของคลนผวน า 324

15.18 ต าแหนงตางๆ ของการแทรกสอดของคลนผวน าวงกลม 325

15.19 การแทรกสอดของคลนผวน าวงกลมทมเฟสตรงกน 326

15.20 การแทรกสอดของคลนผวน าวงกลมทมเฟสตรงขามกน 327

15.21 การหาคา part difference 328

15.22 การเลยวเบนของคลนผวน า 330

15.23 หลกการของฮอยเกนส 330

15.24 ลกษณะการเลยวเบนของคลนผวน า 331

15.25 การแทรกสอดทเกดจากการเลยวเบนของคลนน า 331

15.26 การเลยวเบนและการแทรกสอดของคลนผวน า 332

(18)



16.1 คลนตามยาวในของไหล 346

16.2 แสดงความเขมของเสยงทระยะหางจากแหลงก าเนดเสยง r และ 2r 348

16.3 แสดงสวนประกอบของหมนษย 352

16.4 แสดงการเกดบตส 352

16.5 แสดงการเกดปรากฏการณดอปเปลอร 354

16.6 แสดงกรวยของคลนกระแทกและเลขมค 356

สารบญตาราง

ตารางท หนา

1.1 หนวยฐานในระบบเอสไอ 4

1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ 5

1.3 ค าอปสรรคใชแทนตวพหคณ 9

4.1 สมประสทธของความเสยดทานตางๆ 70

9.1 เปรยบเทยบสมการของการเคลอนทแบบเสนตรงและแบบหมน 166

10.1 ตวอยางคามอดลสของยงของวสดตางๆ 190

10.2 ตวอยางคามอดลสเฉอนของวสดตางๆ 191

10.3 ตวอยางคามอดลสเชงปรมาตรของวสดตางๆ 191

10.4 ตวอยางความทนแรงดงของวสดตางๆ 195

11.1 ความหนาแนนของสารตางๆ 204

11.2 ความหนาแนนของน าและอากาศทความดน 1 atm 204

11.3 เปรยบเทยบหนวยความดนตางๆ 206

12.1 สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน 232

12.2 สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตร 236

12.3 ความจความรอนจ าเพาะ 239

12.4 จดหลอมเหลว จดเดอด และความรอนแฝงจ าเพาะ 240

12.5 สภาพน าความรอนทสภาวะหองทดลอง 246

12.6 สมประสทธการพาความรอน 248

12.7 สภาพเปลงรงสทอณหภม 300 เคลวน 251

14.1 ความจความรอนจ าเพาะ Cv และ Cp ของแกสทอณหภมหอง 288

แผนบรหารการสอน

รายวชา ฟสกส 1 (PY01101) 3(3-0-6)

ค าอธบายรายวชา

ศกษาการวดและปรมาณเวคเตอร จลศาสตร พลศาสตร งานและพลงงาน การเคลอนทของกลมอนภาค การเคลอนทของวตถแขงเกรง การแกวง คลนในตวกลางยดหยน เสยง ทฤษฏจลนของกาซ อณหพลศาสตร ปรากฏการขนสง และของไหล

จดประสงคการเรยนร

1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ ตวเลขนยส าคญ ความเทยง ความแมน และความผดพลาด การบนทก การน าเสนอ และการแปลความหมายขอมล

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบปรมาณสเกลาร ปรมาณเวกเตอร 3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทในลกษณะตาง ๆ

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความเฉอย มวล แรง กฎการเคลอนทของนวตน

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบตางๆ

6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสภาพสมดล สมดลตอการเลอนต าแหนง สมดลตอการหมน จดศนยกลางมวล จดศนยถวง และการน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต

7. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบงานและก าลง พลงงาน การอนรกษพลงงาน เครองกลอยางงายและการประยกต

8. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบโมเมนตม การดลและแรงดล การอนรกษโมเมนตม การชน และการระเบด

9. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบจลนศาสตรของการหมน ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม พลศาสตรของการหมน ทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน โมเมนตมเชงมม

10. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความยดหยน ความเคนและความเครยด มอดลสของยง ความทนแรงของวตถ ความดน กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก หลกของอารคมดสและแรงลอยตว และทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต

(22)

11. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความหนาแนน ความดน กฎของพาสคลและเครองอด ไฮดรอลก หลกของอารคมดสและแรงลอยตว และทฤษฎบทของแบรนลลและ

การประยกต

12. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบมาตราวดอณหภม ความรอนและหนวยวด กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร การขยายตวเนองจากความรอน การเปลยนวฏภาค การถายโอนความรอน ไดแก การน า การพา และการแผรงส

13. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของแกส แกสอดมคต การเคลอนทแบบบราวน แบบจ าลองของแกสอดมคต แบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคต ทฤษฎจลนของแกสในชวต ประจ าวน และสมการแวนเดอรวาลส

14. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบระบบทางอณหพลศาสตร ความรอน งาน

พลงงานภายใน กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร กฎขอทหนงของอณหพลศาสตรในชวตประจ าวน

ประสทธภาพของเครองยนตและการประยกตอณหพลศาสตรกบพลงงานและเทคโนโลยในอนาคต

15. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย การเคลอนทแบบคลน คลนผวน า การซอนทบกนของคลน สมบตของคลน ไดแก การสะทอน การหกเห การแทรกสอด และการเลยวเบน

16. เพอใหเกดความรความเขาใจปรมาณตางๆ เกยวกบเสยง

17. เพอใหเกดทกษะกระบวนการทางวทยาศาสตรและการใชวธการทางวทยาศาสตรแกปญหาในชวตประจ าวนได

ก าหนดการเรยนการสอน 45 คาบ

บทท 1 หนวยและการวด 2 คาบ

บทท 2 สเกลารและเวกเตอร 2 คาบ

บทท 3 การเคลอนท 3 คาบ

บทท 4 มวล แรง และกฎการเคลอนท 3 คาบ

บทท 5 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล วงกลม และฮารมอนก 3 คาบ

บทท 6 สภาพสมดล 3 คาบ

บทท 7 งาน พลงงาน 3 คาบ

บทท 8 โมเมนตม 3 คาบ

บทท 9 การเคลอนทของวตถแขงเกรง 3 คาบ

บทท 10 สมบตของของแขง 3 คาบ

(23)

บทท 11 ของไหล 3 คาบ

บทท 12 ปรากฏการณทางความรอน 3 คาบ

บทท 13 แกสอดมตและทฤษฎจลน 3 คาบ

บทท 14 หลกการพนฐานทางอณหพลศาสตร 3 คาบ

บทท 15 ปรากฏการณคลน 3 คาบ

บทท 16 เสยง 2 คาบ

กจกรรมการเรยนร

1. การบรรยายและศกษาเอกสารประกอบการสอนรายวชาฟสกส 1

2. การศกษาคนควาดวยตนเองจากเอกสาร หนงสอ ต ารา อนเทอรเนต และอน ๆ

3. การอภปรายเนอหาทไดรบมอบหมายและท าแบบฝกหดรวมกนในชนเรยน

4. การรายงานและน าเสนอผลการศกษาคนควาจากแหลงความรตามทไดรบมอบหมาย

5. การทดสอบและการท ากจกรรมกลมรวมกนทงภายในและนอกหองเรยน

6. ปฏบตการทดลองและรายงาน

การวดและประเมนผล

1. คะแนนระหวางภาคครงท 1 (บทท 1, 2, 3, 4 และ 5) 25%

2. คะแนนระหวางภาคครงท 2 (บทท 6, 7, 8, 9 และ 10) 25%

3. คะแนนปลายภาค (บทท 11, 12, 13, 14 และ 15) 25%

4. รายงานและกจกรรม 25%

เกณฑการวดและประเมนผล

คะแนน ระดบคะแนน ความหมายของผลการเรยน คาระดบคะแนน

80 - 100 A ดเยยม 4.0

75 - 79 B+ ดมาก 3.5

70 - 74 B ด 3.0

65 - 69 C+ ดพอใช 2.5

60 - 64 C พอใช 2.0

55 - 59 D+ ออน 1.5

50 - 54 D ออนมาก 1.0

0 - 49 E ตก 0

(24)

หนงสอ/เอกสารอานประกอบ

สวทย นามมหาจกร. (2556). เอกสารประกอบการสอนรายวชาฟสกส 1. มหาวทยาลยราชภฏ

อดรธาน

การประเมนผลการสอน

มการประเมนผลการสอนโดยนกศกษาและมหาวทยาลย

แนวทางการปรบปรงพฒนาการเรยนการสอน

มการปรบปรงและพฒนาการเรยนการสอนใหทนสมยและเปนปจจบนอยตลอดเวลา


บทท 1 หนวยและการวด

เนอหา/สาระการเรยนร ( 2 คาบ)

1.1 ระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ

1.2 ตวเลขนยส าคญ

1.3 ค าอปสรรค

1.4 ความเทยง ความแมน และความผดพลาด

1.5 การบนทก การน าเสนอ และการแปลความหมายขอมล

1.6 การหาผลลพธของขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน

แบบฝกหด บรรณานกรม


1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ 2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบเลขนยส าคญและค าอปสรรค

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความเทยง ความแมน และความผดพลาด

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการบนทก การน าเสนอ และการแปลความหมาย

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการหาผลลพธของขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน

กจกรรมการเรยนการสอน






2

สอการเรยนการสอน

1. เอกสารประกอบการสอนรายวชาฟสกส 1

2. หนงสอ ต าราตางๆ ทงในและตางประเทศ

3. Microsoft Word, Excel, PowerPoint, and Internet

การวดผลและประเมนผล

1. คณธรรมจรยธรรม 5%

2. การอภปรายและท าแบบฝกหด 25%

3. การรายงานและน าเสนอผลการศกษาคนควา 30%

4. การทดสอบและการท ากจกรรมกลมรวมกน 40%

3

บทท 1

หนวยและการวด

ฟสกสเปนวทยาศาสตรกายภาพแขนงหนงซงมงเนนศกษาคนควาหาความจรงแทของปรากฏการณทเกดขนในธรรมชาต จงตองมการทดลองเพอท าการวดปรมาณตางๆ แลวเกบรวบรวมขอมล น าขอมลมาผกโยงความสมพนธทมตอกน จากนนท าการวเคราะหขอมลซงจะน าไปสการสรปเปนทฤษฎ กฎเกณฑ หรอหลกการเฉพาะทจะยอนกลบไปอธบายหรอท านายปรากฏการณธรรมชาตนนๆ หรอในความฝนอนสงสดคอ เขยนแบบจ าลองทางคณตศาสตรเพยงสมการเดยวแลวใชสมการนอธบายไดในทกปรากฏการณธรรมชาตและทกปรากฏการณในหองทดลอง นนคอฟสกสจะตองเกยวของกบการวดปรมาณตางๆ จนเกดเปนนยามหนงของวชาฟสกสวา ฟสกสคอ วชาทวาดวยการวด (measurement) และระบหนวยของการวดปรมาณนนๆ ดวย ประเทศตาง ๆ จะมหนวยทใชวดปรมาณเปนของตนเองหรอใชหนวยวดปรมาณตามความนยมของแตละก ลมประเทศ เ มอมนษยทวโลกมความสมพนธกนมากขน ท าให เ กดปญหา

ความเขาใจในหนวยวดปรมาณตางๆ ไมตรงกน ดงนนเพอทจะใหมระบบหนวยวดปรมาณเปนระบบหนวยสากลเปนอยางเดยวกนทวโลก ในป พ.ศ. 2503 จงมการประชมกนของผเกยวของตกลงใหมระบบการวดปรมาณตาง ๆ เปนระบบมาตรฐานระหวางชาต เรยกชอวา ระบบหนวยระหวางชาต (International System of unit) และก าหนดใหใชอกษรยอแทนชอระบบคอ SI เพอใชในการวดทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย

1.1 ระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ

ระบบหนวยระหวางชาตหรอหนวยเอสไอ (Systèm International d' Unitès or SI units) คอระบบหนวยวดทตกลงใชรวมกนเปนสากล ประกอบดวยหนวยฐาน (base units) หนวยเสรม

(supplementaryunit) หนวยอนพทธ (derived units) และค าอปสรรค (prefixes) ซงมรายละเอยดดงน

1.1.1 หนวยฐาน (base units) ใชเปนหลกของหนวยเอสไอ ม 7 หนวย ดงแสดงในตารางท 1.1

4

ตารางท 1.1 หนวยฐานในระบบเอสไอ

ปรมาณ สญลกษณ

ปรมาณ

หนวยฐาน สญลกษณ

หนวย

ความยาว (length) L เมตร (metre) m

มวล (mass) M กโลกรม (kilogramme) kg

เวลา (time) T วนาท (second) s

กระแสไฟฟา(electric current) I แอมแปร(ampere) A

อณหภมอณหพลวต (thermodynamic temperature)

T เคลวน(kelvin) K

ความเขมของการสองแสง lv แคนเดลา(candela) cd

(luminous intensity)

ปรมาณของสาร (amount of substance)

N โมล(mole) mol

โดยมนยามปรมาณของหนวยฐานจากตารางท 1.1 ดงน

เมตร ความยาว 1 เมตรหมายถง ระยะทางทแสงเดนทางไดในสญญากาศในชวงเวลา 1/299

792 458 วนาท

กโลกรม เปนหนวยของมวลซงเทากบมวลรปทรงกระบอกท าดวยโลหะพลาตนม-

อรเดยม (platinum-irridium cylinder) เกบไวท ส านกงานมาตราชงตวงวดระหวางชาตท แชรเรอ ใกลกบกรงปารส ประเทศฝรงเศส

วนาท คอหนวยของชวงเวลา 9 192 631 770 เทาของคาบการแผรงสทเกดจาก

การเปลยนสถานะระดบไฮเพอรไฟนของสถานะพนของอะตอมซเซยม-133 ทอณหภม 0 เคลวน

แอมแปร คอ หนวยของกระแสไฟฟาคงตวซงเมอใหอยในตวน าตรงและขนานกน

2 เสน ทมความยาวไมจ ากดและมพนทหนาตดนอยจนไมตองค านงถง และวางหางกน 1 เมตร

ในสญญากาศ แลวจะท าใหเกดแรงระหวางตวน าทงสองเทากบ 2x-7

10 นวตนตอความยาว 1 เมตร

เคลวน คอ หนวยวดอณหภมอณหพลวต ซงทประชมใหญแหงมาตราชงตวงวดครงท 10 ไดวนจฉยใหนยามมาตราสวนของอณหภมอณหพลวต โดยอาศยจดรวมสาม (triple point)

ของน าเปนจดหลกมล และใหจดดงกลาวมอณหภมเทากบ 273.16 เคลวน อยางแมนตรง

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%AA%E0%B8%87

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%8D%E0%B8%8D%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A8&action=edit

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A1

5

แคนเดลา คอ หนวยความเขมของการสองสวางในทศตงฉากของพนผววตถด าทมพนท

1/600000 ตารางเมตร ณ อณหภมซงธาตแพลทนมแขงตว ภายใตความดน 101325 นวตนตอตารางเมตร

โมล คอ หนวยปรมาณของสารในระบบซงประกอบดวยธาตใดๆ ทเทยบเทากบธาตคารบอน 12 จ านวน 0.012 กโลกรม

1.1.2 หนวยเสรม (supplementary units) หนวยเสรมของระบบเอสไอ ม 2 หนวย คอ

1) เรเดยน (radian) สญลกษณของเรเดยน คอ rad เปนหนวยวดมมระนาบ (plane

angle)

2) สตเรเดยน (steradian) สญลกษณของสตเรเดยน คอ sr เปนหนวยวดมมตน

(solid angle)

1.1.3 หนวยอนพทธ (derived units)

หนวยอนพทธ (derived units) เปนหนวย ซงมหนวยฐานหลายหนวยมาสมพนธกน ตวอยางเชน ความเรวมหนวยเปน เมตรตอวนาท ซงเกดจากความสมพนธของหนวยฐาน คอ เมตรและวนาท หนวยอนพทธมหลายหนวยทไดจากความสมพนธของหนวยฐานหลายหนวย แลวเรยกชอเฉพาะเปนอยางอน ดงแสดงในตารางท 1.2

ตารางท 1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ


ปรมาณ หนวยอนพทธ

สญลกษณหนวย

เทยบหนวย

ความถ (frequency)

แรง (force)

งาน (work)

พลงงาน (energy)

ความดน (pressure)

ก าลง (power)

ประจไฟฟา (electric charge)

ความตางศกย (potential

difference)

F

W

E

P

P

q

V

เฮรตซ (hertz)

นวตน(newton)

จล (joule)

จล (joule)

พาสคล(pascal)

วตต (watt)

คลอมบ(coulomb)

โวลต (volt)

Hz

N

J

J

Pa

W

C

V

s-1

kg . m/s2

N.m

N.m

N/m2

J/s

A.s

W/A

6

ตารางท 1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ (ตอ)


ปรมาณ หนวยอนพทธ

สญลกษณหนวย

เทยบหนวย

ความจ (capacitance)

ความตานทาน (resistance)

ความน า (conductance)

ฟลกซแมเหลก (magnetic

flux)

ความหนาแนนฟลกซแมเหลก

(magnetic flux density)

ความเหนยวน า (inductance)

ฟลกซสองสวาง (luminous

flux)

ความสวาง (illumination)

C

R

G

B

L

L

ฟารด (farad)

โอหม (ohm)

ซเมนส (siemens)

เวเบอร (weber)

เทสลา (tesla)

เฮนร (henry)

ลเมน (lumen)

ลกซ (lux)

F

S

Wb

T

H

lm

lx

A.s/V

V/A

-1

V.s

Wb/m2

V.s/A

cd.sr

lm/m2

ทมา (วนชย เคยนทอง. 2542 : หนา 4)

1.2 ตวเลขนยส าคญ

การบนทกขอมลทเปนตวเลขจะตองไมเกนความละเอยดของเครองมอวด ควรบนทกเฉพาะตวเลขทมความส าคญหรอตวเลขนยส าคญ (significant figures) เทานน ซงประกอบดวยตวเลขทถกตองโดยแทจรงรวมกบคาทไดจากการคาดคะเน เชน การวดความยาวดงแสดงในภาพท 1.5 อานคาได 4.72 หรอ 4.73 cm ตวเลขสดทายคอ 2 หรอ 3 เปนคาทไดจากการคาดคะเน อยางไรกตาม เลข 2 หรอ 3 ยงมความส าคญทจะบอกใหทราบถงสถานะการณคราวๆ ดงนน ในกรณนตวเลขนยส าคญจงมอย 3 ตว รวมทงเลข 2 หรอ 3 ดวย ส าหรบการวางต าแหนงจดทศนยมจะไมมผลตอตวเลขนยส าคญแตอยางใด กลาวคอ คาทอานไดอาจจะเปน 47.2 mm หรอ 0.0472 m กได โดยตวเลขนยส าคญกยงคงมอย 3 ตว เหมอนเดม

7

4 5 4.7 4.8

4.72 or 4.73

1 2 3 4 5 0

ภาพท 1.1 การบนทกตวเลขทมความส าคญหรอตวเลขนยส าคญ

ทมา : Damelin, 2007.

หลกการนบจ านวนตวเลขนยส าคญ

1. เลขทกตวทไมใช 0 เปนเลขนยส าคญ (เลข 1-9) เชน 234, 6.54, 8.6 และ 9.231 มตวเลขนยส าคญ 3, 3, 2 และ 4 ตามล าดบ

2. เลข 0 ทอยระหวางเลขนยส าคญเปนเลขนยส าคญ เชน 304, 3406, 6.08 และ 90.01 มเลขนยส าคญ 3, 4, 3 และ 4 ตามล าดบ

3. เลข 0 ทอยดานซายหรอหลงจดทศนยมและไมมเลข 1-9 ตาม ไมใชเลขนยส าคญ เชน 0123, 0.456, 0.00749 และ 0.0000102 ทกจ านวนมตวเลขนยส าคญ 3 ตว

4. เลข 0 ทอยดานขวาหรออยดานขวาหลงจดทศนยมเปนเลขนยส าคญ เชน 120.0,

34.50, 0.6700, 0.008900 และ 0.01020 ทกจ านวนมตวเลขนยส าคญ 4 ตว

5. เลข 0 ทอยดานขวาของเลขจ านวนเตมอาจชบงตวเลขนยส าคญไมชดเจน เชน 9800 อาจเขยนใหมไดดงน 9.80010 หรอ 9.8010 หรอ 9.810 ถาเปนจ านวนทมตวเลขนยส าคญ 4 หรอ 3 หรอ 2 ตามล าดบ

การบวก ลบ คณ หาร เลขนยส าคญ

การค านวณหาผลลพธของเลขนยส าคญควรจะเนนตวเลขทมาจากการประมาณ ซงเปนคาทไมแนนอนโดยการขดเสนใต เชน 6.54 cm ส าหรบการบวก ลบ คณ หาร ตวเลขเหลาน ผลลพธทไดกจะไมแนนอนดวย ส าหรบผลลพธทจะน าเอาไปค านวณตอ (intermediate results)

8

จะเกบตวเลขทไมแนนอนไวสองตว สวนผลลพธสดทาย (final results) จะเกบตวเลขทไมแนนอนไวเพยงตวเดยว

หลกการปดตวเลข มดงน

1. ตวเลขทถดจากตวเลขทจะเกบไวเทากบ 5 และตวเลขทจะเกบไวเปนเลขคใหปดขนอก 1 เชน 2.15 = 2.2 แตถาตวเลขทจะเกบไวเปนเลขคใหตดทงไดเลย เชน 2.25 = 2.2

2. ตวเลขทถดจากตวเลขทจะเกบไวมคามากกวา 5 ใหปดขนอก 1 เชน 2.27 = 2.3

3. ตวเลขทถดจากตวเลขทจะเกบไวมคานอยกวา 5 ใหตดทง เชน 2.23 = 2.2

ตวอยางท 1.1 การบวกและลบเลขนยส าคญ

การบวก 34.5672 การลบ 4.5673 2.436 2.14

5.62 2.4273

42.6232

ผลลพธทจะน าเอาไปค านวณตอ คอ 42.623 และ 2.427

ผลลพธสดทาย คอ 42.62 และ 2.43

ตวอยางท 1.2 การคณและหารเลขนยส าคญ

การคณ 3038 การหาร 156 53976 346.0 3.142 468

6076 717 12152 624

3038 936 9114 936

9545.396 000

ผลลพธทจะน าเอาไปค านวณตอ คอ 9545.4 และ 346.0

ผลลพธสดทาย คอ 9545 และ 346

1.3 ค าอปสรรค

เมอหนวยฐานหรอหนวยอนพทธ มปรมาณมากหรอนอยเกนไปจะไมสะดวกในการเขยนและการอาน จงนยมใชค าอปสรรค (prefixes) เปนตวพหคณวางไวขางหนา หนวยฐานหรอหนวยอนพทธ ค าอปสรรคใชแทนตวพหคณ ดงแสดงในตารางท 1.3

9

ตารางท 1.3 ค าอปสรรคใชแทนตวพหคณ

ตวพหคณ ค าอปสรรคใชแทนตวพหคณ

ชอ สญลกษณ

10-18

10-15

10-12

10-9

10-6

10-3

10-2

10-1

10

102

103

106

109

1012

1015

1018

อตโต (atto)

เฟมโต (femto)

พโก (pico)

นาโน (nano)

ไมโคร (micro)

มลล (milli)

เซนต (centi)

เดซ (deci)

เดคา (deca)

เฮกโต (hecto)

กโล (kilo)

เมกะ (mega)

จกะ (giga)

เทระ (tera)

เพตะ (peta)

เอกซะ (exa)

a

f

p

n

m

c

d

da or D

h

k

M

G

T

P

E

ทมา (Alonso & Finn. 1992 : p.23)

องคการมาตรฐานระหวางชาต (international organization of standard) ไดแนะน าใหพยายามใชตวคณทเปนจ านวนเทาของ 10

3 ตวอยางเชน

6000000V = 6 x 106 V = 6 MV

0.004 A = 4 x 10-3 A = 4 mA

10

1.4 ความเทยง ความแมน และความผดพลาด

ความเทยง (accuracy) การทดลองทมความเทยงคอการทดลองทใหคาตรงกบคาจรง

ความแมน (precision) การทดลองทมความแมนสงคอการทดลองทเมอท าหลายๆ ครง จะไดคาใกลเคยงกนมาก แตไมจ าเปนทจะตองถกตองเสมอไป ส าหรบเครองมอทมความแมนสงหมายถงเครองมอทเมอน าไปวดปรมาณใดๆ หลายๆ ครง จะไดคาใกลเคยงกนมาก

ภาพท 1.2 ความเทยงและความแมน

ทมา : Nazeeri, 2013.

ความผดพลาด (error) ไมมการวดปรมาณใดๆ ทถกตองสมบรณ หรอพดอกนยหนงวา การวดทกชนดจะตองมขอบเขตทปรมาณทวดไดเรมมความไมแนนอน ท งนโดยสาเหตทวา

ความถกตองของการวดจะถกจ ากดโดยเครองมอทใชวด วธการวด และความช านาญของผวดเสมอ ความไมแนนอนของปรมาณทไดจากการทดลองจะถกรวมเรยกวา "ความผดพลาดการทดลอง

(experimental error)" ความหมายของความผดพลาดนจะไมรวมถงความผดพลาดทมาจากความบกพรองหรอเผอเรอของผทดลอง ความผดพลาดจ าแนกไดดงน

1. ความผดพลาดเนองจากระบบ (systematic error) เปนความผดพลาดทเกดขนซ าๆ คลายๆ กน หรอท านองเดยวกน ซงจะมผลตอความถกตองของคาทวดได สาเหตของความผดพลาดแบบน อาจเกดจากหลายสาเหตดงน

1.1 ความคลาดเคลอนของเครองมอ เชน เครองชงอนหนงอานคาได 0.1 g เมอไมมมวลอย ดงนน เมอชงมวลใดๆ ดวยตาชงน จะมคาเกนความจรงไป 0.1 g เสมอ เพอใหไดคาทถกตองจะตองเอา 0.1 g ไปลบออกจากมวลทวดไดทกครง

11

l

mg

1.2 ความผดพลาดเนองจากสภาพแวดลอม เชน ไมบรรทดยาวขนเมออณหภมสงขน หรอหดสนลงในฤดหนาว สงเหลานมกแกไขโดยการค านวณ

1.3 ความผดพลาดเนองจากผวด ผวดอาจจะอานคามากหรอนอยกวาคาทควรเปน เนองจากสภาพของสายตาผดปกต เชน สายตาเอยง ถนดตาขางเดยว เปนตน ความผดพลาดแบบนแกไขโดยการเปรยบเทยบกบผอน

1.4 ความผดพลาดทางทฤษฎ (theoretical error) เชน การแกวงของลกตมนาฬกาดงแสดงในภาพท 1.3 จะมคาบ (period, T) ทถกตองเมอมมของการแกวงมคาเขาใกลศนย

...sin

64

9

2sin

2

112 42

g

lT

จะมคาถกตองเมอ 0

จะไดวา g

lT 2

ภาพท 1.3 ความผดพลาดทางทฤษฎกบการแกวงของลกตมนาฬกา

ทมา : Kindersley, 2007.

2. ความผดพลาดทเกดจากธรรมชาตของความไมแนนอน (random error or statistical

error) เปนความผดพลาดทเกดจากหลายสาเหต ซงจะชบงลงไปทงหมดไมได ความผดพลาดแบบนจะท าใหปรมาณทวดไดมโอกาสทจะมากกวาหรอนอยกวาทควรเปนเทาๆ กน ซงจะมผลตอ

ความแมนของคาทวดได

1.5 การบนทก การน าเสนอ และการแปลความหมายขอมล

การบนทกขอมลจากการทดลองในเชงปรมาณ จะตองไมบนทกตวเลขลงไปเกน

ความละเอยดของเครองมอทใชวด กลาวคอ ควรบนทกคาทอานไดโดยตรงรวมกบคาทไดจากการประมาณตวแรก ซงเรยกตวเลขทงหมดทวดไดนวาเลขนยส าคญนนเอง

การน าเสนอและการแปลความหมายขอมลทนยมใชกนมากทสดม 2 รปแบบ ดงน

1. การน าเสนอและการแปลความหมายขอมลในรปแบบของตาราง ซงจะชวยให

อานคาไดสะดวกและชดเจน

2. การน าเสนอและการแปลความหมายขอมลในรปแบบของแผนภมทางสถต ซงจะชวยใหมองเหนขอมลเปนรปธรรมมากขน

12

ในการทดลองทางวทยาศาสตรจะตองกระท าหลายๆ ครง หลงจากนนจะน าขอมลทไดไปวเคราะหหาความเชอมนของผลทไดจากการทดลอง ตลอดจนการหาคาความผดพลาดตางๆ ดงตอไปน

คาทสงเกตไดหรอวดได (observed of measured values, Xi) เปนการบนทกขอมลทไดจากการสงเกตหรอการวดปรมาณตาง ๆ

ni XXXXX ,...,,, 321 1.1

เมอ n เปนจ านวนทสงเกตไดหรอวดไดทงหมด

พสย (rang, R) หาไดจากขอมลทสงเกตไดหรอวดไดทมคามากทสดลบดวยคาทนอยทสด

minmax )()( ii XXR 1.2

ฐานนยม (mode, Mo) คอ ขอมลทซ ากนหรอมความถมากทสด เชน ขอมลทสงเกตไดหรอวดได คอ 105 96 103 104 97 105 105 ฐานนยม คอ Mo = 105

มธยฐาน (median, Me) คอ คาทอยตรงกลางของขอมลทสงเกตไดหรอวดไดเมอน าขอมลทงหมดเรยงกน เชน 96 97 103 104 105 105 105 มธยฐาน คอ Me = 104

คาเฉลย (mean value or average mean or arithmetic mean, X ) หาไดจากขอมลทสงเกตไดหรอวดไดทงหมดรวมกนแลวหารดวยจ านวนทสงเกตไดหรอวดได

n

X

n

XXXXX in

...321 1.3

คาเบยงเบนจากคาเฉลย (mean deviation of variation from mean, vi) คอคาทสงเกตไดหรอวดไดแตกตางไปจากคาเฉลย

XXv ii 1.4

หรอ XvX ii 1.5

คาจรง (true value, 0X ) คอ ขอมลทถกตองทสด

คาเบยงเบนจากคาจรง (true deviation or variation from true value, xi) คอคาทสงเกตไดหรอวดไดแตกตางไปจากคาจรง

0XXx ii 1.6

หรอ 0XxX ii 1.7

จากสมการ 1.5 และ 1.7 จะไดวา

0XxXv ii 1.8

หรอ ii vxXX 0 1.9

แทนคาจากสมการ 1.7 ลงใน 1.3 ไดดงน

13

n

XxXxXxXxX n )(...)()()( 0030201

n

XnxxxxX n 0321 )...(

0Xn

xX i

1.10

หรอ n

xXX i

0 1.11


หรอ n

xvx i

ii

1.12

การวดทเชอถอได (measures of reliability) จะตองท าการวดหลาย ๆ ครง และจะมคา 0

n

xi และ 0 iv ดงนน จากสมการ 1.11 และ 1.12 จะไดวา

นนคอ 0XX 1.13

ii vx 1.14

จากสมการ 1.13 หมายความวา คาจรงคอคาเฉลย

จากสมการ 1.14 หมายความวา คาเบยงเบนจากคาจรงคอคาเบยงเบนจากคาเฉลย

คาผดพลาดก าลงสองเฉลย (mean square error, ) ของความแตกตางระหวาง iX กบ 0X

n

x

n

xxxx in222

322

21 ...

เมอ 5n 1.15

11

... 2223

22

21

n

x

n

xxxx in เมอ 5n 1.16

คาเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation, s) ของความแตกตางระหวาง iX กบ X

n

v

n

vvvv in222

322

21

s

...

เมอ 5n 1.17

11

... 2223

22

21

s

n

v

n

vvvv in เมอ 5n 1.18

คาผดพลาดมาตรฐาน (standard error, m)

n

v

nn

v

n

ii

22s

m)(

เมอ 5n 1.19

)1(

2s

m

nn

v

n

i เมอ 5n 1.20

คาดทสด (best value) คอ mX

14

ตวอยางท 1.1 พจารณาการวดระยะทางทงหมด 10 ครง ซงไดคาตางๆ ตามตาราง และสามารถหาคาเฉลย คาเบยงเบนมาตรฐาน คาผดพลาดมาตรฐาน และ

คาดทสด ไดดงน

วธท 1 การแจกแจงความถ (frequency distribution)

iX (m) XXv ii 22XXv ii

68.161

68.162

68.161

68.163

68.160

68.162

68.164

68.161

68.160

68.161

0.0005

0.0005

0.0005

0.0015

0.0015

0.0005

0.0025

0.0005

0.0015

0.0005

0.00000025

0.00000025

0.00000025

0.00000225

0.00000225

0.00000025

0.00000625

0.00000025

0.00000225

0.00000025

Xi 681.615 m vi 0.0000 2iv 0.00001450

ทมา: Barry, 1978: 33.

คาเฉลย: m1615.6810

615.681

n

XX i

คาเบยงเบนมาตรฐาน: m00127.0110

00001450.0

1

2

s

n

vi

คาผดพลาดมาตรฐาน: m0004.010

00127.0sm

n

คาดทสด: m0004.01615.68m X

15

วธท 2 แฟกเตอรความถ (frequency factor)

iX (m)

f ifX

)( XXffv ii 22 )( XXffv ii

68.160

68.161

68.162

68.163

68.164

2

4

2

1

1

136.320

272.644

136.324

68.163

68.164

0.0030

0.0020

0.0010

0.0015

0.0025

0.00000450

0.00000100

0.00000050

0.00000225

0.00000625

n = 10 ifX 681.615 m ifv 0.0000 2ifv 0.00001450

ทมา: Barry, 1978: 35.

คาเฉลย: m1615.6810

615.681

n

fXX i

คาเบยงเบนมาตรฐาน: m00127.0110

00001450.0

1

2

s

n

fvi

คาผดพลาดมาตรฐาน: m0004.010

00127.0sm

n

คาดทสด: m0004.01615.68m X

จากวธท 2 สามารถเขยนฮสโทแกรมและเสนโคงความหนาแนน-ความถ (histogram

and frequency density curve) ไดดงแสดงในภาพท 1.8

68.160 68.161 68.162 68.163 68.1640

1

2

3

4

5

ความ

ถ,f

Xi (m)

ภาพท 1.4 ฮสโทแกรมและเสนโคงความหนาแนน-ความถ

16

1.6 การหาผลลพธของขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน

การบวกและลบขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน ใหน าขอมลทไดมาบวกหรอลบกน สวนความไมแนนอนใหน ามาบวกกน เชน

การบวก (3.20.2)+(2.010.01) = 5.210.21 = 5.20.2

การลบ (3.20.2)(2.010.01) = 1.190.21 = 1.20.2

การคณและหารขอมลและคาผดพลาดมาตรฐาน ใหน าขอมลทไดมาคณหรอหารกน สวนความไมแนนอนใหคดเปนเปอรเซนตแลวบวกกน เชน

(5.00.1) 5.0 มความไมแนนอน 0.1 คดเปนเปอรเซนต %21000.5

1.0

(2.50.1) 2.5 มความไมแนนอน 0.1 คดเปนเปอรเซนต %41005.2

1.0

จะไดความไมแนนอน คอ 2+4 = 6%

การคณ (5.02.5)6% = 12.506%

คด 6 % ของ 12.50 ได 75.050.12100

6

จะไดค าตอบของการคณ คอ 120.8

การหาร (5.02.5)6% = 2.06%

คด 6% ของ 2.0 ได 12.00.2100

6

จะไดค าตอบของการหาร คอ 2.00.1

สรป การหาผลลพธของ XX กบ YY ไดดงน

การบวก R = X+Y และ R = X+Y

จะไดค าตอบของการบวก คอ R R = (X+Y) (X+Y)

การลบ R = XY และ R = X+Y

จะไดค าตอบของการลบ คอ R R = (XY) (X+Y)

การคณ R = XY และ

Y

Y

X

X

R

R

หรอ

Y

Y

X

XRR หรอ

Y

Y

X

XXYR

จะไดค าตอบของการคณ คอ

Y

Y

X

XXYXYRR

การหาร R = Y

X และ

Y

Y

X

X

R

R

หรอ

Y

Y

X

XRR หรอ

Y

Y

X

X

Y

XR

17

จะไดค าตอบของการหาร คอ

Y

Y

X

X

Y

X

Y

XRR

ตวอยางท 1.2 ก าหนดให (5.00.1) และ (2.50.1) จงค านวณหาผลลพธของการบวก การลบ การคณ และการหาร

วธท า ก าหนดให X = 5.0, X = 0.1, Y = 2.5, Y = 0.1

การบวก R R = (X+Y) (X+Y)

R R = (5.0+2.5) (0.1+0.1)

R R = (7.5 0.2)

การลบ R R = (XY) (X+Y)

R R = (5.02.5) (0.1+0.1)

R R = (2.5 0.2)

การคณ

Y

Y

X

XXYXYRR

2.5

1.0

5.0

1.0)5.2)(0.5()5.2)(0.5(RR

8.012RR

การหาร

Y

Y

X

X

Y

X

Y

XRR

2.5

1.0

5.0

1.0

2.5

5.0

2.5

5.0RR

1.00.2RR

จะเหนไดวา ผลลพธทไดเทากบการคดเปนเปอรเซนตตามทไดกลาวมาแลว

18

แบบฝกหด

1. การสรางถนนทางโคงแหงหนงเอยงท ามมกบแนวระดบเทากบ 15o เพอความปลอดภย

คดเปนก rad

2. วดความกวางได 1 cm คดเปนก m ?

3. ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกประมาณ 9.8 m/s จะมคาเทาไรในหนวย

km/s

4. เครองซกผา (clothes washer) 840 W 3.8 A จะมก าลงไฟฟาตรงกบขอใด

5. อนภาคแอลฟาเปนนวเคลยสของอะตอมฮเลยมประกอบดวย 2 โปรตอน และ

2 นวตรอน มประจ +2e มวล 4.001506 u จะมพลงงานเทาไร

6. จงบอกจ านวนตวเลขนยส าคญตอไปน

2.655 = .......... 0.050009 = .......... 9.0701 = .......... 0.2000 = .......... 80.7170 = .......... 1.0510 = .......... 0345 = .......... 9.91010 = .......... 0.0101 = .......... 1.010 = .......... 7. จงหาผลลพธทจะน าเอาไปค านวณตอและผลลพธสดทายตอไปน

(12.75+20.25)38.50 = ................... = ................... 158.5(32.47+40.003) = ................... = ................... (5.8242.6871)(13.2451.2375) = ................... = ................... 0.1150.02 = ................... = ................... (3.5) = ................... = ................... 8. จงเปรยบเทยบความแตกตางระหวางความเทยงกบความแมน พรอมทงยกตวอยางประกอบการอธบายมาโดยละเอยด

9. ในหนงปมจ านวน 365.25 วน จะเปนกวนาท

10. มนษยมก าเนดมาในโลกประมาณ 106 ป ขณะทเอกภพมอายประมาณ 10

10 ป ถาอาย

ของเอกภพเทยบไดเทากบ 1 วน อายการก าเนดของมนษยจะเทยบไดกวนาท

11. สมมตวาขอมลทวดไดคอ 10.1, 10.0, 10.0, 10.2, 10.1, 12.1, 10.1, 10.0, 10.1, 10.2 จงหาคาเฉลย คาเบยงเบนมาตรฐาน คาผดพลาดมาตรฐาน และคาดทสด

ขอสงเกต ขอมลทวดไดบางคาอาจเกดจากความผดพลาด (mistake) สามารถตดทงไดเลย

12. หองเรยนกวาง 6.000.03 m ยาว 6.500.03 m จงค านวณหาพนท

19

บรรณานกรม

ราชบณฑตยสถาน. 2546. ศพทวทยาศาสตรฉบบราชบณฑตยสถาน. พมพครงท 5. กรงเทพฯ:

สหธรรมมก.

Barry, B.A. 1978. Errors in Practical Measurement in Science Engineerinf, and Technology.

New York: Wiley & Sons, Inc.

Damelin, D. 2007. Significant Digits. Retrieved March 21, 2013, from http://chemsite.lsrhs.net/

measurement/sig_fig.html.

Hautefeuille A. & Ingham, R. 2011. Kilogramme Faces Quantum Diet After Weight Problem.

Retrieved March 21, 2013, from http://phys.org/news/2011-11-quandary-kilo-triggers-

weighty-reflexion.html.

Instant Display Teaching Resources. n.d. Shape, Space and Measures. Retrieved March 21,

2013, from http://www.instantdisplay.co.uk/shapespacemeasures.htm.

Kindersley, D. 2007. Motion. Retrieved March 21, 2013, from http://www.factmonster.com/dk/

science/encyclopedia/motion.html.

Nazeeri, F. 2013. Accuracy & Precision. Retrieved March 21, 2013, from http://extensionengine.

com/blog/.

New World Encyclopedia. 2008. Metric System. Retrieved March 21, 2013, from http://www.

newworldencyclopedia.org/entry/Metric_system.

Serway, R.A. & Jewett, J.W. 2004. Physics for Scientists and Engineers. 6th ed. Belmont:

Brooks/Cole-Thomson Learning.

The National Institute of Standards and Technology. 2010. NIST Offers U.S. Interpretations of

Recent SI (Metric) Changes. Retrieved March 21, 2013, from

http://www.nist.gov/pml/ metric_051308.cfm.

Walker, J.S. 2004. Physics. 2nd ed. New Jersey: Pearson Education.

http://chemsite.lsrhs.net/

http://phys.org/news/2011-11-quandary-kilo-triggers-

http://www.factmonster.com/dk/

http://extensionengine/

http://www/


บทท 2 สเกลารและเวกเตอร

เนอหา/สาระการเรยนร (2 คาบ)

2.1 ปรมาณสเกลาร

2.2 ปรมาณเวกเตอร

2.3 กฎของพชคณตเวกเตอร

2.4 เวกเตอรหนงหนวย

2.5 เวกเตอรหนงหนวยระบบพกดคารทเชยน

2.6 การคณแบบสเกลารและเวกเตอร




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบปรมาณสเกลาร

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบปรมาณเวกเตอร

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของพชคณตเวกเตอร

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบเวกเตอรหนงหนวย

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบเวกเตอรหนงหนวยระบบพกดคารทเชยน

6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการคณแบบสเกลารและเวกเตอร



2. การศกษาคนควาดวยตนเองจากเอกสาร หนงสอ ต ารา อนเทอรเนต และอนๆ




22










23

บทท 2

สเกลารและเวกเตอร

ในชวตประจ าวน การสอสารเพอบอกขนาดของปรมาณทางกายภาพบางอยางดวยตวเลข และหนวยกสามารถสอความหมายไดอยางชดเจน เราเรยกปรมาณนวา ปรมาณสเกลาร(scalar) เชน มวล ระยะทาง อตราเรว อตราเรง ความดน ความหนาแนน เวลา เปนตน แตบางปรมาณการบอกขนาดเพยงอยางเดยวอาจท าใหแปรความหมายไดไมตรงกน ตองบอกทศทางก ากบดวยจงจะมความหมายสมบรณ เชน การกระจด ความเรว ความเรง น าหนก แรง เปนตน เรยกวาปรมาณเวกเตอร (vector)

ซงบทนจะเปนการปพนฐานทางดานพชคณตอยางเชน การบวก การลบ ผลคณแบบสเกลารหรอ

การดอท ผลคณแบบเวกเตอรหรอการครอส รวมทงระบบโคออรดเนทและการอางองพกดจด การประยกตใชเวกเตอรกบปญหาทางฟสกสในสถานการณตางๆ

2.1 ปรมาณสเกลาร

ปรมาณสเกลาร (scalar quantity) เปนปรมาณทมเฉพาะขนาดเพยงอยางเดยวหรอปรมาณทบอกเฉพาะขนาดเพยงอยางเดยวกเขาใจตรงกน เชน ระยะทาง (distance) เวลา (time) อตราเรว (speed) ปรมาตร (volume) มวล (mass) เปนตน การเขยนสญลกษณแทนปรมาณสเกลาร ใหเขยนหรอพมพเปนตวเอยงธรรมดา เชน ระยะทาง (s) เวลา (t) อตราเรว (v) ปรมาตร (V) มวล (m) เปนตน

2.2 ปรมาณเวกเตอร

ปรมาณเวกเตอร (vector quantity) เปนปรมาณทบอกขนาดเพยงอยางเดยวจะเขาใจ

ไมตรงกนจงตองบอกทศทางดวย เชน ความเรว (velocity) ความเรง (acceleration) แรง (force) การกระจด (displacement) เปนตน การเขยนสญลกษณแทนปรมาณเวกเตอร ใหเขยนหรอพมพเปนตวตรงธรรมดาและมลกศรไวบนปรมาณนน ๆ หรอพมพเปนตวตรงหนา เชน แรง ( F หรอ F) ความเรว ( v หรอ v) และความเรง ( a หรอ a) ดงแสดงในภาพท 2.1

24

F

Fx

Fy

X

Y

F หรอ FF หรอ F

ภาพท 2.1 การเขยนสญลกษณแทนปรมาณเวกเตอร

องคประกอบของเวกเตอร (component of vector) เปนการก าหนดขนาดและทศทางของเวกเตอรในทศทางตาง ๆ ดงแสดงในภาพท 2.2

องคประกอบในแนวแกน X คอ Fx = Fcos

องคประกอบในแนวแกน Y คอ Fy = Fsin

ขนาดของ F คอ 22yx FFF

ทศทางของ F คอ x

y

F

Ftan หรอ

x

y

F

F1tan

ภาพท 2.2 องคประกอบและทศทางของเวกเตอร

2.2.1 การบวกและลบปรมาณเวกเตอร สามารถหาไดโดยวธการเขยนรปหรอการค านวณโดยใชกฎของไซนและโคไซน (law of sine and cosine) ผลลพธทไดจากการบวกและลบเวกเตอร เรยกวา เวกเตอรลพธ (resultant vector) 1) การเขยนรป โดยการใชหางลกศรตอหวลกศรดงแสดงในภาพท 2.3 แลว

วดขนาดและทศทางของเวกเตอรลพธ

25

A B

C

ab

c

a b c

a

b

a

bc

ab b

caa+b a+b+cab ab+c

ภาพท 2.3 การบวกและลบปรมาณเวกเตอรโดยวธการเขยนรป

2) กฎของไซน สามารถพจารณาไดจากอตราสวนของดานตรงขามมมกบ

คาไซนของมมไดดงแสดงในภาพท 2.4

sinsinsin

cba

ภาพท 2.4 กฎของไซน

3) กฎของโคไซน สามารถพจารณาไดโดยการสรางเปนสามเหลยมมมฉากแลวใชทฤษฎบทของพทาโกรสและฟงกชนตรโกณมตหาขนาดและทศทางของเวกเตอรลพธ ซงแบงออกเปน 2 กรณ ดงน

(1) การบวกปรมาณเวกเตอร ดงแสดงในภาพท 2.5

26

PQ

P

AB

C

D

R = P+Q

Q

Q

PA

B

C

D

R= PQ

P

Q

222 CD)BDAB(AC

222 )sin()cos( QQPR

cos222PQQPR

cos

sin

BDAB

CDtan

QP

Q

ภาพท 2.5 การบวกปรมาณเวกเตอรโดยใชกฎของโคไซน

(2) การลบปรมาณเวกเตอร ดงแสดงในภาพท 2.6

222 CD)BDAB(AC

222 )sin()cos( QQPR

cos222PQQPR

cos

sin

BDAB

CDtan

QP

Q

ภาพท 2.6 การลบปรมาณเวกเตอรโดยใชกฎของโคไซน

ตวอยางท 2.1 แรง 1000 N ทศท ามม 53 กบแกน X จงค านวณหาองคประกอบของแรง

ในแนวแกน X และ Y

วธท า พจารณาภาพท 2.7 สามารถค านวณหาองคประกอบของแรงไดดงน

53 53Fx

Fy

Fx

Fy1000

N

1000

N

(ก) สเหลยมมมฉาก (ข) สามเหลยมมมฉาก

ภาพท 2.7 ตวอยางท 2.1

27

องคประกอบของแรงในแนวแกน X: N8.601)6018.0)(1000(53cos1000 o xF

องคประกอบของแรงในแนวแกน Y: N6.798)7986.0)(1000(53sin1000 o yF

ตอบ องคประกอบของแรงในแนวแกน X และ Y เทากบ 601.8 N และ 798.6 N ตามล าดบ

ตวอยางท 2.2 เรอล าหนงเคลอนทไปทางทศเหนอดวยความเรว 12 km/h แตกระแสน า

มทศไปทางทศตะวนตกดวยความเรว 5 km/h จงค านวณหาขนาดและทศทาง

ของความเรวลพธของเรอ

วธท า พจารณาภาพท 2.8 สามารถค านวณหาขนาดและทศทางของความเรวลพธไดดงน

WN

R

5

12

W

N

R

5

12

(ก) สเหลยมมมฉาก (ข) สามเหลยมมมฉาก


km/h13169)0)(5)(12(22514490cos)5)(12(2512 22 R

,4167.05(0)12

5

5cos9012

5tan

α = 22.6

o = 23

o

ตอบ ขนาดของความเรวลพธเทากบ 13 km/h ทศท ามมประมาณ 23o กบทศการ

เคลอนท

2.3 กฎของพชคณตเวกเตอร

ก าหนดใหปรมาณเวกเตอร A, B, และ C และปรมาณสเกลาร m และ n กฎของพชคณตเวกเตอร (laws of vector algebra) มดงตอไปน

1. A+B = B+A Commutative Law for Addition

2. A+(B+C) = (A+B)+C Associative Law for Addition

3. mA = Am Commutative Law for Multiplication

28

4. m(nA) = (mn)A = n(m)A Associative Law for Multiplication

5. (m+n)A = mA+nA Distributive Law

6. m(A+B) = mA+mB Distributive Law

2.4 เวกเตอรหนงหนวย

ก าหนดใหเวกเตอร A มขนาดเทากบ 0A ดงนน คอ เวกเตอรหนงหนวย (unit

vector) ซงมทศเดยวกบเวกเตอร A สญลกษณ a หรอ a

นนคอ ขนาดของเวกเตอร AA และ 0A

เวกเตอรหนงหนวยของ และ 1a

a

2.5 เวกเตอรหนงหนวยระบบพกดคารทเชยน

เวกเตอรหนงหนวยคารทเชยน (cartesian unit vectors) ตามแนวแกน X, Y และ Z คอ i ,

j , และ

k ตามล าดบ ดงแสดงในภาพท 2.9(ก) และองคประกอบของเวกเตอร A

ในระบบพกดคารทเชยน คอ ixA ,

jyA และ

kzA เรยกวา เวกเตอรองคประกอบคารทเชยน (cartesian component vectors) ดงแสดงในภาพท 2.19(ข)

Z

O

X

YO

X

Y

A

Z

AxiAyj

Azk

ij

k^

^^

^^

^

(ก) เวกเตอรหนงหนวยคารทเชยน (ข) เวกเตอรองคประกอบคารทเชยน

ภาพท 2.9 เวกเตอรหนงหนวยคารทเชยนและองคประกอบ

จากภาพท 2.9 จะไดเวกเตอร ขนาดของเวกเตอร และเวกเตอรหนงหนวย ดงน

เวกเตอร

kji zyx AAAA

ขนาดของเวกเตอร 222zyx AAA A

A

A

A

AaA

a

29

เวกเตอรหนงหนวย 222

kjia

zyx

zyx

AAA

AAA

A

Aa

ตวอยางท 2.3 ก าหนดให r1 = 3i 2

j

k , r2 = 2

i 4

j3

k และ r3 =

i 2

j2

k

จงค านวณหาขนาดและเวกเตอรหนงหนวยของ (ก) r1, r2, r3 (ข) r1r2r3

(ค) 2r13r25r

วธท า (ก) ขนาดของเวกเตอร 14)1()2()3( 22211 rr

เวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร 14

kj2i3

1

11

r

rr

ขนาดของเวกเตอร 29)3()4()2( 22222 rr


k3j4i2

2

22

r

rr

ขนาดของเวกเตอร 3)2()2()1( 22233 rr


k2j2i

3

33

r

rr

(ข) j4i4)k2j2i()k3j4i2()kj2i3(321 rrr

ขนาดของเวกเตอร 2432)4()4( 22321321 rrrrrr


j4i4

321

321321

rrr

rrrrrr

(ค) kj2i5)k2j2i(5)k3j4i2(3)kj2i3(2532 321 rrr

ขนาดของเวกเตอร 30)1()2()5(532532 222321321 rrrrrr


kj2i5

532

532532

321

321321

rrr

rrrrrr

2.6 การคณแบบสเกลารและเวกเตอร

การคณแบบสเกลาร (dot or scalar product) ของเวกเตอร A และ B มนยามคอการคณของขนาดเวกเตอร A และ B และโคไซนของมมระหวางเวกเตอร สญลกษณ AB อานวา A dot

B นนคอ ,cos ABBA 0 ผลลพธเปนปรมาณสเกลาร

กฎการคณแบบสเกลารมดงน

1. AB = BA Commutative Law for Dot Products

30

2. A(B+C) = AB+AC Distributive Law

3. m(AB) = (mA)B = A(mB) = (AB)m, เมอ m คอ ปรมาณสเกลาร

4. i

i =

j

j =

k

k = 1,

i

j =

j

k =

k

i = 0

5. ถา A = Ax

i +A

y

j +A

z

k และ B = B

x

i +B

y

j +B

z

k , ดงนน

AA = A2 = 222

zyx AAA BB = B2 = 222

zyx BBB AB = AxBx+A

yBy+A

zBz

6. ถา AB = 0 แสดงวา A และ B ตงฉากกน

การคณแบบเวกเตอร (cross or vector product) ของเวกเตอร A และ B มนยามคอ

การคณของขนาดเวกเตอร A และ B และไซนของมมระหวางเวกเตอร สญลกษณ AB อานวา A

cross B นนคอ ,usin

ABBA 0 ผลลพธเปนปรมาณเวกเตอรมทศ u ซงจะตอง

ตงฉากกบเวกเตอร A และ B เสมอ

กฎการคณแบบเวกเตอร มดงน

1. AB = BA Commutative Law for Cross Products Fails

2. A (B+C) = AB+AC Distributive Law

3. m(AB) = (mA) B = A (mB) = (AB)m, เมอ m คอ ปรมาณสเกลาร

4. i

i =

j

j =

k

k = 0,

i

j =

k ,

j

k =

i ,

k

i =

j

5. If A = Ax

i +A

y

j +A

z

k and B = B

x

i +B

y

j +B

z

k , then

k)(j)(i)(

kji

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx BABABABABABA

BBB

AAABA

6. ถา AB = 0 แสดงวา A และ B ขนานกน

7. ขนาดของ AB คอ พนทสเหลยมดานขนาน

การคณสามครง (triple product) ของสามเวกเตอร A, B และ C ซงอาจจะเปนการคณแบบสเกลาร แบบเวกเตอร หรอทงสองแบบรวมกน เชน (AB)C, A(BC) หรอ A(BC)

กฎการคณสามครง มดงน

1. (AB)C A(BC)

2. A(BC) = B(CA) = C(AB) = ปรมาตรของลกบาศก

ถา A = Ax

i +A

y

j +A

z

k , B = B

x

i +B

y

j +B

z

k และ C = C

x

i +C

y

j +C

z

k ดงนน

31

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

)( CBA

)()()( xyyxzzxxzyyzzyx CBCBACBCBACBCBA

3. A(BC) (AB)C

4. A(BC) = (AC)B(AB)C

(AB)C = (AC)B(BC)A

A(BC) เรยกวา การคณสามครงแบบสเกลาร (scalar triple product or box product) สญลกษณ คอ [ABC]

A(BC) เรยกวา การคณสามครงแบบเวกเตอร (vector triple product)

ตวอยางท 2.4 จงค านวณหามมระหวางเวกเตอร A = 2i 2

j

k และ B = 6

i 3

j 2

k

วธท า การคณแบบสเกลาร cosABBA หรอ AB

BA cos

42612)2)(1()3)(2()6)(2( zzyyxx BABABABA

3)1()2()2( 222222 zyx AAAA

7)2()3()6( 222222 zyx BBBB

1905.021

4

)7)(3(

)4(cos

AB

BA จะไดวามม o79

ตวอยางท 2.5 ก าหนดให A = 2i 3

j

k และ B =

i 4

j2

k จงค านวณหา AB และ BA

วธท า

241

132

kji

BA

k11j3i10k)]1)(3()4)(2[(j)]2)(2()1)(1[(i)]4)(1()2)(3[(BA

132

241

kji

AB

k11j3i10k)]2)(4()3)(1[(j)]1)(1()2)(2[(i)]3)(2()1)(4[(AB

32

ตวอยางท 2.6 ก าหนดให A = 3i

j2

k , B = 2

i

j

k และ C =

i 2

j2

k

จงค านวณหา (AB)C

วธท า

112

213

kji

BA

BA [(1)(1)(2)(1)]i +[(2)(2)(3)(1)]

j +[(3)(1)(1)(2)]

k =

i +7

j +5

k

221

571

kji

CBA

CBA [(7)(2)(5)(2)]i +[(5)(1)(1)(2)]

j +[(1)(2)(7)(1)]

k = 24

i +7

j 5

k

33

F

Fx

Fy

X

Y

Fx

FyF


1. ชายคนหนงเดนทางจากทพกไปทางทศเหนอไดระยะทาง 2 km แลวเลยวไปทาง

ทศตะวนตกเฉยงเหนออก 3 km จงหาวาถาเขาจะเดนทางกลบทพกเปนเสนตรงเขาจะตองเดนไป

ทางทศใด และระยะทางเทาใด

2. ชายคนหนงตลกกอลฟสามครงกลงหลมพอด ครงแรกตไปทางทศเหนอได

ระยะทาง 12 m ครง ทสองตไปทางทศตะวนออกเฉยงใตไดระยะทาง 6 m และครงทสาม ตไปทางทศตะวนตกเฉยงใตไดระยะทาง 3 m จงหาวาถาตองการตลกกอลฟเพยงครงเดยวใหลงหลมพอดจะตองตใหไดระยะทางเทาใด และในทศทางใด

3. ก าหนดให F = 5 N และ = 30o องคประกอบของแรงในแนวแกน X และ Y

มคาเทาไร

4. ก าหนดให Fx = 1.2 N และ Fy = 2.0 N แรงลพธ F และมม มคาเทาไร ?

34

A B

C

ab

c

P

Q

5. ก าหนดให a = 2 N, = 30o, = 80

o และ = 70

o จงหาขนาดของ b และ c มคา

เทาไร

6. ก าหนดให P = 3.0 N, Q = 2.8 N และ = 60o จงหา P+Q และ PQ มคาเทาไร

7. เรอล าหนงเคลอนทดวยความเรว 200 km/h ในขณะเดยวกนกระแสน ามความเรว 150 km/h ทศท ามม 60

o กบทศการเคลอนทของเรอ จงหาความเรวลพธและทศการเคลอนทของ

เรอ

8. ก าหนดให P = 3 มทศทางไปในแนวระดบ และ Q = 5 มทศทางท ามมกบแนวระดบ 30

o จงหาขนาดและทศทางของ P+Q และ PQ

9. ก าหนดให r1 = 2i 4

j5

k และ r2 =

i 2

j3

k จงหาเวกเตอรลพธ

ขนาดเวกเตอรลพธและเวกเตอรหนงหนวยของ r1r2

10. ก าหนดให r1 = 2i

j

k , r2 =

i 3

j2

k , r3 = 2

i

j3

k และ

r4 = 3i 2

j5

k จงหาคาของ a, b และ c เมอ r4 = ar1br2cr3

11. ก าหนดให A = 3i

j4

k , B = 2

i 4

j3

k และ C =

i 2

j

k จงหา

2AB3C, ,CBA CBA 423 และเวกเตอรหนงหนวยทขนานกบ CBA 423

12. ก าหนดให A = i 2

j3

k , B = 2

i

j

k และ C =

i 3

j2

k

จงหา ,CBA ,CBA C,BA CBBA และ CBBA

35


Barruetabeña, J. 2013. AP CALCULUS: Three Dimensional Coordinate Systems. Retrieved

March 21, 2013, from http://middletownhighschool.wikispaces.com/AP+CALCULUS.

Schaum, D. & Duffin, W.J. 1977. Schaum's Outline of Theory and Problems of College

Physics. New York: McGRAW-HILL.



Spiegel, M.R. 1981. Theory and Problems of Vector Analysis. Jalan Boon Lay: McGraw-Hill.


http://middletownhighschool.wikispaces.com/AP+CALCULUS

http://middletownhighschool.wikispaces.com/apcalcThree+Dimensional+Coordinate+Systems


บทท 3 การเคลอนท


3.1 การเคลอนทในหนงมต

3.2 การเคลอนทอยางเสรภายใตสนามโนมถวงของโลก

3.3 การเคลอนทในสองมต

3.4 การเคลอนทในสามมต




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทในหนงมต

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทอยางเสรภายใตแรงโนมถวงของโลก

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทในสองมต

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทในสามมต









2. หนงสอ ต าราตาง ๆ ทงในและตางประเทศ


38






39

บทท 3

การเคลอนท

ในบทนจะศกษาและท าความเขาใจเกยวกบการเคลอนทในหนงมตกอนแลวน าไปประยกตใชกบการเคลอนทในสองมตและสามมตตอไป ปรมาณเบองตนทจะตองพจารณาการเปลยนแปลงเทยบกบเวลาคอระยะทางและการกระจด ซงจะไดผลลพธคออตราเรวและความเรว เปนปรมาณสเกลารและเวกเตอร ตามล าดบ ถาพจารณาการเปลยนแปลงความเรวเทยบกบเวลาจะไดผลลพธคอความเรงหรอความหนวง ซงขนอยกบวาความเรวจะเพมขนหรอลดลง นอกจากน

ถามการเปลยนแปลงความเรงเทยบกบเวลาจะเรยกวาเจอรค (jerk) ส าหรบในบทนจะพจารณาเฉพาะการเคลอนทแบบเสนตรงดวยความเรวคงตว ความเรวไมคงตว ความเรงคงตว และการเคลอนทอยางเสรภายใตแรงโนมถวงของโลก โดยจะแยกพจารณาการเคลอนทในหนงมต สองมต และ

สามมต ตามล าดบ

3.1 การเคลอนทในหนงมต การเคลอนทในหนงมต (one-dimensional motion) ของวตถ สามารถพจารณาปรมาณตางๆ ทเกยวของกบการเลอนต าแหนงตามเสนทางการเคลอนทเทยบกบเวลา (time, t) ไดดงน

ระยะทาง (distance, s) หมายถงระยะทวดไดจรงตามเสนทางการเคลอนทของวตถ เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนเมตร (m)

การกระจด (displacement, s) หมายถงระยะทสนทสดทวดไดตามเสนทางการเคลอนทของวตถ ซงเปนปรมาณทบอกใหทราบถงการเปลยนต าแหนงของวตถ เปนปรมาณเวกเตอร

มหนวยเปนเมตร (m)

อตราเรว (speed, v) หมายถงระยะทางทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา เปนปรมาณ สเกลาร มหนวยเปนเมตรตอวนาท (m/s)

t

sv 3.1

อตราเรวเฉลย (average speed, vav) หมายถงอตราสวนระหวางระยะทางทงหมดทวตถเคลอนทไดกบเวลาทงหมดทใชในการเคลอนท

t

s

tt

ssvav

12

12 3.2

อตราเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous speed, vin) หมายถงอตราสวนระหวางระยะทางทเคลอนทไดกบเวลา โดยทเวลาเขาใกลศนย

40

dt

ds

t

sv

tin

0

lim 3.3

ความเรว (velocity, v) หมายถงอตราการเปลยนแปลงการกระจดหรอการกระจดใน

หนงหนวยเวลา เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปนเมตรตอวนาท (m/s)

t

s

v 3.4

ความเรวเฉลย (average velocity, vav) หมายถงอตราการเปลยนแปลงการกระจดทงหมดในชวงเวลาทเกดการเปลยนแปลงการกระจด

ttt

av

sss

v12

12 3.5

ความเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous velocity, vin) หมายถงอตราการเปลยนแปลงการกระจดในชวงเวลาใดเวลาหนง โดยทเวลาเขาใกลศนย

dt

d

ttin

ssv

0

lim 3.6

ความเรง (acceleration, a) หมายถงอตราการเปลยนแปลงความเรวทเพมขนใน

หนงหนวยเวลา เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปนเมตรตอวนาท (m/s)

tt

vvva 12 Δ

3.7

ความเรงเฉลย (average acceleration, aav) หมายถงอตราการเปลยนแปลงความเรวท

เพมขนกบชวงเวลาทเกดการเปลยนแปลงความเรว

ttt

av ΔΔvvv

a 12

12

3.8

ความเรงขณะใดขณะหนง (instantaneous acceleration, ain) หมายถงอตราการเปลยนแปลงความเรวทเพมขนในชวงเวลาใดเวลาหนง โดยทเวลาเขาใกลศนย

dt

d

ttin

vva

ΔΔ

0lim 3.9

ถาความเรงขณะใดขณะหนงทเวลาใด ๆ มคาเทากบความเรงเฉลยตลอดชวงเวลาทงหมด อาจกลาวไดวา วตถเคลอนทดวยความเรงสม าเสมอหรอความเรงคงตว (constant acceleration)

ความหนวง (deceleration, a) หมายถงอตราการเปลยนแปลงความเรวทลดลงใน

หนงหนวยเวลา ซงมความหมายตรงขามกบความเรง

ส าหรบการเคลอนทของวตถในแนวเสนตรงในหนงมต ระยะทางทวตถเคลอนทไดคอขนาดของการกระจด และอตราเรวของวตถคอขนาดของความเรวของวตถนนเอง ซงสามารถแยกพจารณาลกษณะการเคลอนทได 3 กรณ ดงน

กรณท 1 วตถเคลอนทดวยอตราเรวคงตว v

vts 3.10

41

กรณท 2 วตถเคลอนทดวยอตราเรวไมคงตว v, v, v,…, vn

n

... n321 vvvvvav

และ tvs av 3.11

กรณท 3 วตถเคลอนทดวยความเรงคงตว a

พจารณาความสมพนธระหวางอตราเรว ความเรง และเวลา ไดดงน

dt

dva หรอ adtdv 3.12

ทเวลาเรมตน t = 0, ระยะทาง s = 0, อตราเรวเรมตน vi (initial speed)

เมอเวลาผานไป t, ระยะทาง s, อตราเรวสดทาย vf (final speed)

tv

vdtadv

f

i

0

atvv if

atvv if 3.13

พจารณาความสมพนธระหวางระยะทาง อตราเรว ความเรง และเวลา ไดดงน

dt

dsv หรอ vdtds 3.14

แทนคา atvvv if ไดดงน

dtatvds i )(

t

i

s

dtatvds

0

0 )(

tt

i

s

tdtadtvds

0

0

0

2

2

1attvs i 3.15

พจารณาความสมพนธระหวางระยะทาง อตราเรว และความเรง ไดดงน

a

dvvvvdtds

if

2

dvvva

ds if 2

1

f

i

v

vif

s

dvvva

ds

0 2

1

ifif vvvva

s 2

1

222 if vvas

asvv if 222 3.16

กราฟแสดงความสมพนธระหวางอตราเรวและเวลา มดงน

42

1. อตราเรวคงตว (a เทากบศนย)

vts

ระยะทาง = อตราเรว เวลา

ระยะทาง = กวาง ยาว

ระยะทาง = พนทใตกราฟ

2. อตราเรวเพมขนอยางสม าเสมอ (a คงตว)

tvv

tvsfi

av

2

ระยะทาง = อตราเรวเฉลย เวลา

ระยะทาง = 2

1 (ผลบวกดานคขนาน) สง


3. อตราเรวลดลงอยางสม าเสมอ (a คงตว)

tvv

tvsfi

av

2


ระยะทาง = 2

1 (ผลบวกดานคขนาน) สง


4. อตราเรวเพมขนและลดลงไมสม าเสมอ (a ไมคงตว)

tvs av


ระยะทาง = กวาง ยาว


เวลา (s)

อตราเรว (m/s)

0

s

v

t

เวลา (s)


0

s

vf

vi

t

เวลา (s)


0

s

vi

vf

t

เวลา (s)


0

s

vav

t

43

ตวอยางท 3.1 รถไฮโดรฟอยล (hydro foil car) ดงแสดงในภาพท 3.5 ขณะเคลอนทบนถนน

ดวยอตราเรวสม าเสมอในแนวเสนตรงไดระยะทาง 120 mi ในเวลา 1 h จงค านวณหาอตราเรวเฉลย


ทมา : Associated Newspapers Ltd, 2008.

วธท า อตราเรวเฉลย m/s 63.53s )6060(

m )1609120(

12

12

ttt

av

sssv

ตวอยางท 3.2 เรอล าหนงเคลอนทออกจากฝงอยางชา ๆ ดวยอตราเรวคงตว 1.50 m/s ดงแสดงในภาพท 3.2 หลงจากออกจากฝงไปแลว กปตนเรอพยายาม

เพมความเรวใหสงขนดวยความเรง 2.40 m/s เมอเวลาผานไป 5.00 s จงค านวณหาอตราเรวและระยะทางทเคลอนทได

a = 2.40 m/s2

X


ทมา : Walker, 2004: 30.

44

วธท า อตราเรว m/s 5.13)s 00.5)(m/s 40.2()m/s 50.1( 2 atvv if

ระยะทาง m 5.37)s 00.5)(m/s 40.2(2

1)s 00.5)(m/s 50.1(

2

1 222 attvs i

ตวอยางท 3.3 เจาหนาทดแลอทยานขบรถดวยความเรวสม าเสมอ 11.4 m/s ดงแสดงในภาพท 3.3 ขณะเดยวกนเขามองเหนกวาง "frozen" และเบรคดวยความหนวง 3.80 m/s จนกระทงหยดพอด จงค านวณหาระยะทางและเวลาหลงจากเรมเบรก


ทมา: Walker, 2004: 34.

วธท า ระยะทาง asvv if 222

s)m/s 80.3(2m/s) 4.11()0( 222

m 1.17s

เวลา atvv if

t)m/s 80.3()m/s 4.11()0( 2

s 00.3t

a = 3.80 m/s2

vi

= 11.4 m/s vf= 0

45

ตวอยางท 3.4 กราฟแสดงความสมพนธระหวางอตราเรวกบเวลา ดงแสดงในภาพท 3.4

จงหาความเรงในชวง AB ความหนวงในชวง CD และระยะทางทงหมด


ทมา : Science Aid, 2010.

วธท า ความเรงในชวง AB 2

AB

AB m/s2.0s)150250(

m/s)1030(

ttdt

d vvva

ความหนวงในชวง CD 2

AB

AB m/s5.0s)300350(

m/s)305(

ttdt

d vvva

ระยะทาง

))50)(530(

2

1()50)(30())100)(3010(

2

1()150)(10(s = 5875 m

3.2 การเคลอนทอยางเสรภายใตสนามโนมถวงของโลก

การเคลอนทอยางเสรภายใตสนามโนมถวงของโลก (freely falling objects) เปนการเคลอนทเขาหาหรอออกจากจดศนยกลางของโลก แบงออกได 2 กรณ ดงน

กรณท 1 วตถเคลอนทลงอยางเสรจะมความเรวเพมขน จนกระทงถงพนโลก ซงเปนการเคลอนทดวยความเรง g 9.8 m/s (ขอสงเกต วตถตกลงอยางเสรจะมความเรวเรมตนเทากบ 0) กรณท 2 วตถเคลอนทขนอยางเสรจะมความเรวลดลง จนกระทงถงจดสงสด ซงเปนการเคลอนทดวยความหนวง g 9.8 m/s (ขอสงเกต ความเรวถงจดสงสดเทากบ 0)

การเคลอนทอยางเสรภายใตสนามโนมถวงของโลก สามารถพจารณาไดเชนเดยวกนกบการเคลอนทในหนงมต

46

gtvv if 3.17

2

2

1gttvs i 3.18

gsvv if 222 3.19

ตวอยางท 3.5 นกธรณวทยาสงเกตการระเบดของภเขาไฟ ดงแสดงในภาพท 3.1 เขาใชนาฬกา

จบเวลาของลาวาขณะระเบดออกจากปากปองภเขาไฟขนไปถงจดสงสดและตกลง

ถงต าแหนงเดมไดเวลาทงหมด 4.75 s จงค านวณหา

(ก) ความเรวของลาวาขณะระเบดออกจากปากปองภเขาไฟ

(ข) ระยะทางทลาวาเคลอนทขนถงจดสงสดจากปากปองภเขาไฟ

(ค) เวลาทใชในการเคลอนทถงจดสงสดของลาวาหลงจากระเบดออกจากปากปอง

ภเขาไฟ

a

vi


ทมา : Walker, 2004: 39.

วธท า (ก) ขณะทลาวาตกลงถงต าแหนงเดมจะไดระยะทาง s = 0

2

2

1gttvs i

22 )s 75.4)(m/s 8.9(2

1)s 75.4)((0 iv

m/s 3.23iv

47

(ข) ขณะทลาวาเคลอนทขนถงจดสงสดจะมความเรว vf = 0

gsvv if 222

s)m/s 8.9(2m/s) 3.23()0( 222

m 6.27s

(ค) เวลาทลาวาเคลอนทถงจดสงสด

atvv if

t)m/s 8.9()m/s 3.23()0( 2

s 375.2t

ตวอยางท 3.6 บอลลนลอยขนในแนวดงดวยความเรวคงตว 6.5 m/s ดงแสดงในภาพท 3.6

และขณะอยสงจากพนดน 20.0 m มวตถตกลงจากบอลลน จงค านวณหา

(ก) ระยะทางทวตถเคลอนทขนไปถงจดสงสดหลงจากตกลงจากบอลลน

(ข) เวลาทวตถตกลงจากบอลลนแลวเคลอนทถงจดสงสด

(ค) เวลาทวตถลอยอยในอากาศจนกระทงตกลงถงพนดน

X

tt = 0

20.0 mO


ทมา : Walker, 2004: 43.

วธท า (ก) หลงจากทวตถตกลงจากบอลลน วตถจะเคลอนทขนดวยความเรวเทากบบอลลน คอ

vi = 6.5 m/s จนกระทงถงจดสงสดมความเรว v

f = 0 จงจะตกลงมาอยางเสร

gsvv if 222

s)m/s 8.9(2m/s) 5.6()0( 222

48

m 15.2s

(ข) เวลาทวตถตกลงจากบอลลนแลวเคลอนทถงจดสงสด

atvv if

t)m/s 8.9()m/s 5.6()0( 2

s 663.0t

(ค) เวลาทวตถลอยอยในอากาศจนกระทงตกลงถงพนดนเคลอนทไดระยะทาง s = 20.0 m

2

2

1gttvs i

22 ))(m/s 8.9(2

1))(m/s 5.6(m 0.20 tt

s 80.2t

3.3 การเคลอนทในสองมต การเคลอนทในสองมต (two-dimensional motion) สามารถทจะพรรณนาเกยวกบปรมาณตางๆ ของวตถไดโดยการใชเวกเตอรบอกต าแหนง (position vector, r) ในระนาบ XY ดงแสดงในภาพท 3.7

A

Br

i

rf

r

X

Y

O

ti

tf

A

Br

i

rf

v

X

Y

O

vi

vf

vi

vf

ภาพท 3.7 การเคลอนทในสองมต

ทมา: Serway & Jewett, 2004: 78-80.

จากภาพท 3.7 ทเวลาเรมตน ti วตถอยทจด A ซงมเวกเตอรบอกต าแหนง ri เมอเวลาผานไปเปน tf วตถอยทจด B และมเวกเตอรบอกต าแหนง rf

49

เวกเตอรการกระจด if rrr 3.20

ความเรวเฉลย t

av

r

v 3.21

ความเรวขณะใดขณะหนง dt

d

ttin

rrv

0

lim 3.22

ความเรงเฉลย ttt if

if

av

vvv

a 3.23

ความเรงขณะใดขณะหนง dt

d

ttin

vva

0

lim 3.24

พจารณาการเคลอนทในสองมต ดวยความเรงคงตว

เวกเตอรบอกต าแหนง

ji yxyxr 3.25

ความเรว dt

d

dt

d

dt

d yxrv

ji yxyx vvvvv 3.26

จาก atvv if จะไดวา yfxff vvv

ji yfxff vvv

ji tavtav yyixxifv 3.27

จาก 2

2

1attvs i จะไดวา if rrr

j

2

1i

2

1 22tatvtatv yyixxir

2)ji(2

1)ji( taatvv yxyixi

r

2

2

1tti avr 3.28

เวกเตอรบอกต าแหนงสดทาย 2

2

1ttiif avrr 3.29

i

2

1 2tatvx xxiifx 3.30

j

2

1 2tatvy yyiify 3.31

50

ตวอยางท 3.7 เตาตวหนงเรมเคลอนทจากจดก าเนด O ทเวลา t = 0 เคลอนทดวยอตราเรวคงตว 0.26 m/s ทศท ามม 25

o กบแกน X ดงแสดงในภาพท 3.8 จงค านวณหาอตราเรว

และระยะทางทเตาเคลอนทไดในแนวแกน X และ Y เมอเวลาผานไป 5.0 s

Y

XO25o

0.26 m/s

vi

vxi

=vicos25o

v yi=

v isin2

5o

25o

sx

sy

s



วธท า เนองจากเตาเคลอนทดวยอตราเรวคงตว vi = 0.26 m/s ดงนน ความเรง a = 0

m/s2356.0)9063.0)(m/s26.0(25cos o ixi vv

m1782.10)s0.5)(m/s2356.0(2

1 2 tatvs xxix

m/s1099.0)4226.0)(m/s26.0(25sin o iyi vv

m5494.00)s0.5)(m/s1099.0(2

1 2 tatvs yyiy

m30.1)m 5494.0()m1782.1( 2222 yx sss

หรอ m30.10)s0.5)(m/s26.0(2

1 2 attvs i

m1782.1)9063.0)(m30.1(25cos o ssx

m5494.0)4226.0)(m30.1(25sin o ss y

ตวอยางท 3.8 อนภาคเคลอนทจากจดก าเนดดวยความเรวเรมตน vxi = 20 m/s และ vyi = 15 m/s ความเรง axi = 4.0 m/s และ ayi = 0 ดงแสดงในภาพท 3.9 จงค านวณหา

(ก) องคประกอบของความเรวและความเรวทเวลาใด ๆ

(ข) ความเรวและอตราเรวของอนภาคทเวลา t = 5.0 s

(ค) องคประกอบของการกระจดและการกระจดทเวลาใด ๆ

(ง) การกระจดและระยะทางของอนภาคทเวลา t = 5.0 s

51

XY


ทมา: Serway & Jewett, 2004: 82.

วธท า (ก) ความเรวในแนวแกน X m/si0.420i

ttav xxixfv

ความเรวในแนวแกน Y m/s j15m/s j)0(15j

ttav yyiyfv

ความเรวทเวลาใด ๆ m/s j15i0.420

tyfxff vvv

(ข) ความเรวทเวลา t = 5.0 s m/s )j15i40(m/s j15i)0.50.4(20

fv

อตราเรวทเวลา t = 5.0 s m/s 43m/s 15)((40) 22 ffv v

(ค) การกระจดในแนวแกน X m i)0.4(2

1200i

2

1 22

tttatvx xxiifx

m i)0.220( 2

ttfx

การกระจดในแนวแกน Y m j)0(2

1150j

2

1 22

tttatvy yyiify

m j15

tfy

การกระจดทเวลาใด ๆ m j15i)0.220( 2

tttfff yxr

(ง) การกระจดทเวลา t = 5.0 s m j)0.5(15i)0.5(0.2)0.5(20 2

fr

m )j75i150(

fr

ระยะทางทเวลา t = 5.0 s m 170m )75()150( 22 ffr r

3.4 การเคลอนทในสามมต การเคลอนทแบบสามมต (three-dimensional motion) ไดแก การเคลอนทในระบบพกดคารทเชยน ทรงกระบอก หรอทรงกลม ซงสามารถพจารณาความสมพนธของปรมาณตางๆ ไดเชนเดยวกบการเคลอนทในหนงมตและสองมต โดยทวไปการก าหนดต าแหนงหรอการกระจดจะอยในรปของเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย คอ (

i , j ,

k ), (

r ,

,

k ) หรอ (

r , ,

)

52

การเคลอนทของอนภาคใดๆ ในหนงมต สองมต และสามมตในระบบคารทเชยนสามารถเปรยบเทยบไดดงแสดงในภาพท 3.9

การเคลอนทในหนงมต การเคลอนทในสองมต การเคลอนทในสามมต

ภาพท 3.10 เปรยบเทยบการเคลอนทของอนภาคใด ๆ ในหนงมต สองมต และสามมต

ทมา: Katzmire & Shivayah, 2010.

ตวอยางท 3.9 รถยนตเคลอนทจากต าแหนง r1 = (2i 3

j

k ) m ไปยง r2 = (

i 5

j4

k ) m

จงหาการกระจดและระยะทางของรถคนน

วธท า การกระจด r = r2 r1

r = ( i 5

j4

k ) m (2

i 3j

k ) m

r = (3i 2

j5

k ) m

ระยะทาง rr

m )5()2()3( 222 r

m 16.6r

ตวอยางท 3.10 ต าแหนงของวตถอนหนงก าหนดโดย r(t) = (10ti 5t

j2

k ) m จงหาความเรว

และอตราเรวของวตถทเวลา 0, 1 และ 2 s

วธท า เวกเตอรบอกต าแหนง r(t) = (10ti 5t

j2

k ) m

ความเรว v

k)2(

j)5(

i)10( 2

dt

d

dt

td

dt

td

dt

dr m/s

v )j10i10(

t m/s

ทเวลา 0 s ความเรว v )i10()j)0(10i10(

m/s

53

อตราเรว v 10)10( 2 v m/s

ทเวลา 1 s ความเรว v )j10i10()j)1(10i10(

m/s

อตราเรว v 14.14)10()10( 22 v m/s

ทเวลา 2 s ความเรว v )j20i10()j)2(10i10(

m/s

อตราเรว v 36.22)20()10( 22 v m/s

54


1. รถยนตคนหนงเคลอนทดวยความเรวเพมขนอยางสม าเสมอจาก 10 m/s เปน 30 m/s ในเวลา 5 s จงหาความเรงของรถยนตและระยะทางทเคลอนทได

2. วตถเรมเคลอนทจากหยดนงดวยความเรง 3 m/s เมอเวลาผานไป 8 s จงหาอตราเรวของวตถและระยะทางทวตถเคลอนทได

3. เครองบนล าหนงเคลอนทดวยความเรว 140 mi/h ( 63 m/s) จงค านวณหาความหนวงทท าใหเครองบนหยดนงภายในเวลา 2.0 s และระยะทางทเคลอนทได

4. ชายคนหนงโยนวตถขนไปในแนวดงดวยความเรว 40 m/s จงค านวณหา

4.1 เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสด

4.2 ระยะทางสงสดทวตถเคลอนทได

4.3 ความเรวขณะตกถงจดเดม

4.4 เวลาทวตถตกถงจดเดม

5. ขณะทบอลลนก าลงลอยขนสงจากพนดน 400 m กปลอยถงทรายลงมา ปรากฏวาถงทรายตกถงพนดนในเวลา 20 s จงหา

5.1 ความเรวของถงทรายทถกปลอยจากบอลลน

5.2 ถงทรายใชเวลานานเทาไรจงจะตกลงมา

5.3 ขณะตกถงพนดนถงทรายมความเรวเทาไร

6. โยนวตถกอนทหนงขนไปในแนวดงดวยความเรวเรมตน vi เมอถงจดสงสด h

กโยนวตถกอนทสองขนไปดวยความเรวเทากน จงพสจนวา หลงจากโยนวตถกอนทสองขนไปวตถทงสองกอนจะชนกนทเวลา t = v

i /2g และชนกนทความสง gvi 8/3 2 หรอ 3h/4

7. การเคลอนทของอนภาคมสมการเปน x = (204t)

i m จงหา

7.1 การกระจดของอนภาคทเวลา t = 2 s และ t = 5 s

7.2 ความเรวเฉลยของอนภาคในชวงเวลา t = 2 s ถง t = 5 s

7.3 ความเรงขณะใดขณะหนงท t = 2 s

8. รถยนตคนหนงเคลอนดวยความเรงคงตว มการเปลยนแปลงความเรวจาก v = i 5

j2

k m/s เปน v = 3

i 2

j3

k m/s ในเวลา 20 s จงหาความเรงและอตราเรงของ

รถยนตคนน

55

9. จากกราฟระหวางระยะทางของการกระจดในแนวเสนตรงกบเวลาดงแสดงในภาพ

จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา 0 s ถง 25 s

10. เดกชายคนหนงขวางลกบอลขนไปในแนวดง เมอลกบอลขนไปไดสง 5 m อตราเรวของลกบอลเทากบ 10 m/s ในแนวขน อตราเรวเรมตนและระยะสงสดทลกบอลเคลอนทไดมคาเทาใด

11. จากกราฟแสดงความสมพนธระหวางความเรวกบเวลาของการเคลอนตามภาพ

พบวาภายหลงการเดนทางไปได 4 s ระยะทางการเคลอนทมคา 16 m จงหาความเรงทเวลา 3 s

12. นาย ก ยนบนดาดฟาตกซงสงจากพนดน 20 m ปลอยกอนหนลงไปในแนวดง ขณะเดยวกนนาย ข ซงยนอยทพนดน โยนกอนหนขนไปตรง ๆ ดวยความเรว 20 m/s กอนหนทงสองจะพบกนทสงจากพนดนเทาไร

56


Associated Newspapers Ltd. 2008. The High-Speed Sports Car that Turns into a Boat at the

Touch of a Button. Retrieved March 22, 2013, from http://www.dailymail.co.uk/

sciencetech/article-511331/The-high-speed-sports-car-turns-boat-touch-button.html.

Basler, D. 2011. Science Songs for Kids All Ages. Retrieved March 22, 2013, from http://access.

aasd.k12.wi.us/wp/baslerdale/2009/09/27/science-songs-for-kids-all-ages/.

Davis, D. 2002. Speed & Velocity. Retrieved March 22, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~

cfadd/1150/02-1DMtn/Speed.html.

Force Dynamics. 2012. What is Motion Simulation?. Retrieved March 22, 2013, from

http://www.force-dynamics.com/motion/.

Katzmire, K.D. & Shivayah, O.N. 2010. Dimensions. Retrieved March 22, 2013, from http://

kalarhythms.org/cycles-theory/dimensions.htm.

LJ Create Ltd. 2012. Speed and Velocity. Retrieved March 22, 2013, from http://www.ljcreate.

com/products/product.asp?id=548&program=160&curr=1.

Personal Math Online Help, 2012. Distance Speed Time Calculator. Retrieved March 22, 2013,

from http://www.personal-math-online-help.com/distance-speed-time-calculator.html.

Science Aid. 2010. Speed and Motion. Retrieved March 22, 2013, from http://scienceaid.co.uk/

physics/forces/motion.html.




http://www.dailymail.co.uk/

http://access/

http://www.ux1.eiu.edu/~

http://www.ljcreate/

http://www.facebook.com/pages/Personal-Math-Online-Help/165108600198564

http://scienceaid.co.uk/


บทท 4 มวล แรง และกฎการเคลอนท


4.1 ความเฉอย มวล และแรง

4.2 กฎการเคลอนทของนวตน

4.3 แรงโนมถวง

4.4 กฎของความโนมถวง

4.5 แรงเสยดทาน


เฉลยแบบฝกหด



1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความเฉอย มวล และแรง

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎการเคลอนทของนวตน

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบแรงโนมถวง

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของความโนมถวง

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบแรงเสยดทาน







58










59

บทท 4

มวล แรง และกฎการเคลอนท

กลศาสตรพนฐานมาจากกฎธรรมชาตสามขอคนพบโดย Sir Isaac Newton (1642-1727)

นกวทยาศาสตรผมชอเสยงชาวองกฤษ นวตนพมพเผยแพรผลงานของเขาในป ค.ศ.1686 หนงสอชอ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ชอภาษาองกฤษวา The Mathematical Principles

of Natural Science แมวากอนหนานจะมหลายคนเคยศกษามากอนกตามโดยเฉพาะกาลเลโอ (Galileo Galilei; 1564-1642) ซงไดท าการศกษาการคลอนทของวตถแบบมความเรงและผลของการศกษากลายเปนรากฐานส าคญของกฎการเคลอนทของนวตน

4.1 มวล และแรง

มวล (mass, m) คอ ปรมาณเนอของสสารหรอวตถทจบตวอดกนอยภายในวตถนน มวลมสมบตทส าคญอยางหนงคอการตานสภาพการเคลอนท โดยวตถใดๆ ไมวาจะอยทใดกตามจะยงคงมมวลเทาเดม เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนกโลกรม (kg)

แรง (force, F) คออ านาจหรอความพยายามทจะท าใหวตถเปลยนสภาพการเคลอนท เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปนนวตน (N)

แรงลพธ (resultant force, F) หรอแรงสทธ (net force) คอผลรวมองคประกอบของแรงทงหมดทกระท าบนวตถ การหาขนาดและทศทางของแรงลพธสามารถพจารณาไดดงน

ก าหนดใหแรง 1F และ 2F กระท ากบวตถ ดงแสดงในภาพท 4.1

A B D

F1

F2

F1

F2 F

C

ภาพท 4.1 การหาขนาดและทศทางของแรงลพธ

จากภาพท 4.1 จะไดวา 222 CD)BDAB(AC

22

221

2 )sin()cos( FFFF

ขนาดของแรงลพธ cos2 212

22

1 FFFFF 4.1

60

ทศทางของแรงลพธ

cos

sin

BDAB

CDtan

21

2

FF

F 4.2

นอกจากน การหาขนาดและทศทางของแรงลพธสามารถหาไดจากองคประกอบของแรงในแนวแกน (x,y,z)

ตวอยางท 4.1 ออกแรง F1 = 80 N ดงวตถไปในทศ +X ขณะเดยวกนมแรง F2 = 100 N

ดงวตถเดยวกนทศท ามม 60 กบแรง 80 N จงค านวณหาขนาดและทศทาง

ของแรงลพธ วธท า ขนาดของแรงลพธ cos2 21

22

21 FFFFF

N 15660cos)N 100)(N 80(2)N 100()N 80( 22 F

ทศทางของแรงลพธ 6662.060cos)N 100()N 80(

60sin)N 100(

cos

sintan

21

2

FF

F

67.33 กบแกน X

4.2 กฎการเคลอนทของนวตน

กฎการเคลอนทของนวตนมสามขอ ดงรายละเอยดตอไปน

กฎการเคลอนทขอหนงของนวตน (Newton's first law of motion)

"วตถจะรกษาสภาพหยดนงหรอสภาพเคลอนทอยางสม าเสมอเปนเสนตรง นอกจากจะมแรงลพธทมคาไมเปนศนยมากระท า"

"Every object persists in its states of rest or uniform motion in a straight line unless it

is compelled to change that state by forces impressed on it."

นนคอ 0a และ 0F 4.3

61

ภาพท 4.2 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน

ทมา: NASA's HEASARC, 2010.

กฎการเคลอนทขอสองของนวตน (Newton's second law of motion)

"เมอมแรงลพธทมคาไมเปนศนยกระท าตอวตถ จะท าใหเกดความเรงในทศเดยวกบแรงลพธ ความเรงจะแปรผนตรงกบแรงลพธและแปรผกผนกบมวลของวตถ"

"The acceleration of an object is directly proportional to, and in the same direction as,

the unbalanced force acting on it, and inversely proportional to the mass of the object."

นนคอ Fa และ m

1a

m

Fa หรอ aF km 4.4

ระบบหนวยระหวางชาตก าหนดใหแรง 1 N เปนแรงทท าใหวตถมวล 1 kg เคลอนทดวยความเรง 1 m/s ดงนน เมอแทนคาลงในสมการ 4.4 คอ aF km จะไดคา k = 1

จะไดวา aF m 4.5

http://www.nasa.gov/

62

ภาพท 4.3 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอสองของนวตน


กฎการเคลอนทขอสามของนวตน (Newton's third law of motion)

"ทกแรงกรยายอมมแรงปฏกรยาขนาดเทากนกระท าในทศตรงขามเสมอ หรอแรงกระท าซงกนและกนของวตถสองกอนยอมมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขามกน"

"To every action, there is always opposed an equal reaction or mutual actions of two

bodies upon each other are always equal and directed to opposite part."

และเนองจากแรงเปนปรมาณเวกเตอร จงสามารถเขยนเวกเตอรแทนแรงกรยาและแรงปฏกรยาไดดงน

ก าหนดใหวตถทงสองมอตรกรยาตอกน โดย F เปนแรงกรยาของวตถท 1 กระท าบนวตถท 2 และ F เปนแรงปฏกรยาของวตถท 2 กระท าบนวตถท 1 จากกฎการเคลอนทขอสามของนวตน จะไดวา

2112 FF 4.6

จะเหนไดวา แรง F และ F เปนแรงกรยาและแรงปฏกรยาทมขนาดเทากนแต

ทศทางตรงขามกน


63

ภาพท 4.4 ตวอยางเกยวกบกฎการเคลอนทขอสามของนวตน


ตวอยางท 4.2 จงค านวณหาแรงทกระท ากบวตถมวล 6 kg ใหเคลอนทดวยความเรง 4 m/s2

วธท า กฎการเคลอนทขอสองของนวตน maF

N 24)m/s 4)(kg 6( 2 F

ตวอยางท 4.3 นกพายเรอคาน (canoeists) พบกนทกลางทะเลสาบแหงหนง หลงจากนน คนในเรอคาน 1 กผลกเรอคาน 2 ดวยแรง F12 = 46 N ดงแสดงในภาพ ถามวล

ของเรอคาน 1 และ 2 คอ m1 = 150 kg และ m2 = 250 kg ตามล าดบ

(ก) จงหาความเรงของเรอคานแตละล า

(ข) เมอเวลาผานไป 1.2 s เรอคานทงสองล าอยหางกนเทาไร


64

X0

1 2

F21 F12


ทมา: Walker, 2004: 115.

วธท า กฎการเคลอนทขอสามของนวตน 2112 FF แรงกรยา คอ N 4612F กระท ากบเรอคาน 2 และแรงปฏกรยา คอ N 4621F กระท ากบเรอคาน 1

(ก) แรงทกระท ากบเรอคาน 1 เปนแรงปฏกรยา N 4621F

1121 amF

1)kg 150(N 46 a

21 m/s 31.0a

แรงทกระท ากบเรอคาน 2 เปนแรงกรยา N 4612F

2212 amF

2)kg 250(N 46 a

22 m/s 18.0a

(ข) เรอคาน 1 m 22.0)s 2.1)(31.0(2

10

2

1 22111 tatus

เรอคาน 2 m 13.0)s 2.1)(18.0(2

10

2

1 22222 tatus

เรอคานทงสองล าอยหางกนเทากบ (0.22+0.13) m = 0.35 m

65

ตวอยางท 4.4 วตถ A, B และ C มมวล 20 kg, 5 kg และ 15 kg ตามล าดบ อยบนพนลน ถกแรงกระท า ดงแสดงในภาพ ถา F2 = 150 N, a = 3 m/s

2 จงหา F1, T1 และ T2

A BF1 F2

a

CT1 T2

วธท า พจารณาทงระบบ maF

ammmFF )( CBA21

)m/s 3)(kg 15kg 5kg 20(N 150 21 F

N 2701 F

พจารณาวตถ A amTF A11

)m/s 3)(kg 20(N 270 21 T

N 2101 T

พจารณาวตถ C amFT C22

)m/s 3)(kg 15(N 150 22 T

N 1952 T

4.3 แรงโนมถวง

แรงโนมถวง (gravitational force, Fg) คอแรงดงดดของโลกทกระท ากบวตถใดๆ มทศเขาหาจดศนยกลางของโลก และแรงโนมถวงนคอน าหนก (weight, w) ของวตถนนเอง ส าหรบวตถทตกอยางเสรจะตกลงดวยความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก (g = 9.8 m/s) จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน F = ma

แทนคา a = g และ F = Fg จะไดวา Fg = mg 4.7

ขนาดแรงโนมถวง Fg ทกระท าตอวตถมวล m ใหตกลงดวยความเรง g กคอน าหนกของวตถนนเอง หนวยของน าหนกจงเปนหนวยเดยวกบหนวยของแรงคอนวตน (N) และเปนปรมาณเวกเตอร ซงมทศพงเขาหาจดศนยกลางของโลก ตวอยางเชน ชายคนหนงมวล 50 kg จะมน าหนกเทากบ 509.80 = 490 N

ถามวตถมวล m และ m อตราสวนของมวลจะเกยวของกบอตราสวนของน าหนกดงน

66

g

g

F

F

2

1

2

1

m

m

g

g 4.8

ถาวตถมวล m และ m อยในบรเวณเดยวกนจะมคา g เทากน

2

1

2

1

m

m

g

g F

F 4.9

จะเหนไดวา อตราสวนระหวางมวลของวตถทงสองจะเทากบอตราสวนระหวางน าหนกของวตถทงสอง เมออยบรเวณเดยวกน

ตวอยางท 4.5 นกดบเพลงมวล 97 kg พยายามรดเสาลงมาจากทสง 3.0 m ดงแสดงในภาพท 4.11 โดยเรมตนจากหยดนงลงมาดวยความเรงคงตวจนกระทงถงพนใชเวลา 1.2 s จงค านวณหาความเรงของนกดบเพลงทรดเสาลงมาและแรงพยายาม F ทนกดบเพลงจบเสาไว

Y

0

3.0 m

w

F


ทมา: Walker, 2004: 122.

วธท า หาความเรง 2

2

1atuts

2)s 2.1(2

10m 0.3 a

2m/s 17.4a

หาแรงพยายาม maF

maFw

67

)m/s 17.4)(kg 97()m/s 8.9)(kg 97( 22 F N 546F

4.4 กฎของความโนมถวง

กฎของความโนมถวงของนวตน (Newton's law of gravitation) "แรงของการดงดดระหวางมวล m และ m' จะเปนปฏภาคโดยตรงกบผลคณระหวางมวลทงสอง และเปนปฏภาคผกผนกบระยะทาง (r) ระหวางมวลก าลงสอง"

2

'

r

mmF 4.10

2

'

r

mmGF 4.11

G คอคาคงตวของความโนมถวง (constant of gravitation, 6.6710 Nm/kg

พจารณาวตถมวล m, m, มรศม r, r และสนามโนมถวง (gravitational field) g, g ตามล าดบ ซงตางกอยภายใตสนามโนมถวงซงกนและกนดงแสดงในภาพท 4.7

m2m1

r

g1 g2

r1 r2F F

ภาพท 4.7 แรงโนมถวงระหวางมวล m, m, มรศม r, r และสนามโนมถวง g, g ตามล าดบ

มวล m อยในสนามโนมถวง g; 2

2121

r

mmGgm 4.12

มวล m อยในสนามโนมถวง g; 2

2112

r

mmGgm 4.13

นนคอ 2

1

2

1

m

m

g

g 4.14

ถา m>>m และ r>>r จะไดวา g>>g เมอน าวตถมวล m ไปวางไวบนวตถมวล m นนคอ วตถมวล m จะอยในสนามโนมถวง g จะไดวา

2

2112

r

mmGgm 4.15

หรอ 2

1

11

r

mGg 4.16

ถาพจารณาจากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน F = ma ทบรเวณใกลผวโลก ซงมความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก g คงตว จะพบวา แรงทโลกดงดดวตถจะมขนาดมากหรอ

68

นอยขนอยกบมวลของวตถ เพราะมวลของโลกคงตว แตถาน าวตถนไปไวทอน เชน ดวงจนทร

ซงมมวลนอยกวาโลก จะพบวา แรงทดวงจนทรดงดดวตถจะมคานอยกวาแรงทโลกดงดดวตถนน ทงน เพราะมวลของดวงจนทรนอยกวามวลของโลก ดงนน จงพอสรปไดวา แรงดงดดนอกจากจะขนอยกบมวลของวตถแลว ยงขนอยกบมวลของดวงจนทรอกดวย

นวตนใชกฎเกณฑตางๆ เกยวกบการเคลอนทของวตถมาอธบายเกยวกบปรากฏการณ

ทดาวเคราะหโคจรรอบดวงอาทตยวา แรงดงดดระหวางมวลของดวงอาทตยกบดาวเคราะหซงมทศเขาสศนยกลาง จะเปนปฏภาคผกผนกบระยะทางเฉลยจากดาวเคราะหถงดวงอาทตยก าลงสอง

ตวอยางท 4.6 วตถใด ๆ มวล m วางอยบนผวโลก จงค านวณหามวลของโลก M

ก าหนดให รศมของโลก R = 6.3810 m และ g = 9.80 m/s2

วธท า 2

R

mMGmg

kg 1098.5)/kgmN 106720.6(

)m 1038.6)(m/s 80.9( 24

2211

2622

G

gRM

ตวอยางท 4.12 ทความสงจากพนผวโลก h ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกเทากบ g4

3 ถารศมของโลกเทากบ R จงค านวณหาความสง h

วธท า ทพนผวโลก 2

R

MGg

ทความสง h 2)(4

3

hR

MGg

จะไดวา 2

2

)(4

3

hR

R

22

3

4)( RhR

RhR3

4

RRRh 15.03

4

4.5 แรงเสยดทาน

เมอออกแรงกระท ากบวตถใดๆ ใหเกดการเคลอนทไปตามแนวแรง จะมแรงอกชนดหนง

ท าหนาทตานสภาพการเคลอนท เรยกวาแรงเสยดทาน (force of friction) โดยจะเกดขนทผวสมผสของวตถ และมทศตรงขามกบทศการเคลอนทของวตถเสมอ

69

แรงเสยดทานสถต (force of static friction) เปนแรงทเกดขนระหวางผวสมผสของวตถทยงไมเคลอนท และจะมคามากทสดเมอวตถเรมจะเคลอนท

Ffs

w

N

s

ภาพท 4.8 แรงเสยดทานสถต

ทมา: Davis, 2002.

พจารณาภาพท 4.14 ก าหนดให F แรงทกระท ากบวตถ

w น าหนกของวตถ

N แรงปฏกรยาในแนวตงฉาก

fs แรงเสยดทานสถต

s สมประสทธของความเสยดทานสถต

แรงลพธในแนวแกน X 0x F

0s fF

sfF 4.17

แรงลพธในแนวแกน Y 0y F

0wN

gwN m 4.18

แต wF จะไดวา gwF mss 4.19

หรอ gNf msss 4.20

เมอ s เปนคาคงตวของการแปรผนเรยกวาสมประสทธของแรงเสยดทานสถต

แรงเสยดทานจลน (force of kinetic friction or sliding friction) เปนแรงทเกดขนระหวางผวสมผสของวตถขณะทวตถหนงเคลอนทและอกวตถหนงหยดนง ซงจะมความสมพนธคลายกบแรงเสยดทานสถต

70

ก าหนดให fk แรงเสยดทานจลน และ k สมประสทธของความเสยดทานจลน จะไดวา

gNf mkkk 4.21

นอกจากน ยงมแรงเสยดทานทเกดขนกบวตถทหมนหรอกลง (rolling friction) ซงจะมลกษณะแตกตางกนไป และสามารถพจารณาไดในท านองเดยวกน

สมประสทธของความเสยดทานสถตและสมประสทธของความเสยดทานจลนระหวางผวสมผสของวสดตาง ๆ มคาตามตารางท 4.1

ตารางท 4.1 สมประสทธของความเสยดทานตางๆ

วสด s k

ยางบนคอนกรต (แหง) เหลกกลากบเหลกกลา

อะลมเนยมบนเหลกกลา

แกวกบแกว

ทองแดงบนเหลกกลา

ยางบนคอนกรต (เปยก) ไมกบไม

เหลกกลาบนน าแขง

โลหะกบโลหะ (หลอลน) สกบนหมะ

น าแขงกบน าแขง

เทฟลอนกบเทฟลอน

0.90

0.74

0.61

0.94

0.53

0.30

0.025-0.50

0.10

0.15

0.10

0.10

0.04

0.80

0.57

0.47

0.40

0.36

0.25

0.20

0.06

0.06

0.05

0.03

0.04

ทมา : Serway & Jewett, 2004: 122. และ Walker, 2004: 139.

ส าหรบตวอยางการน าความรเรองแรงเสยดทานไปประยกตใชในชวตประจ าวนดงแสดงในภาพท 4.9 - 4.11

71

fs

F N

w

ภาพท 4.9 แรงเสยดทานสถตระหวางแผนไมกบผนงจะตองมคามาก

ทมา: Walker, 2004: 168.

fsledfsled

FF30o

30o

ffather ffather

ภาพท 4.10 แรงเสยดทานสถตระหวางรองเทากบหมะจะตองมคามาก ขณะเดยวกน

แรงเสยดทานจลนระหวางหมะกบตะเฆจะตองมคานอย


ภาพท 4.11 แรงเสยดทานสถตระหวางลงไมกบพนเอยงจะมคามากทสดขณะเรมเคลอนท

และจะมแรงเสยดทานจลนนอยกวาแรงเสยดทานสถตขณะเคลอนท

ทมา: Walker, 2004: 143.

N

w

fs

Truck bed +Y

+X

72

ตวอยางท 4.7 ออกแรงผลกหนงสอมวล 500 g บนพนทมสมประสทธของความเสยดทาน

เทากบ 0.1 จงค านวณหาแรงเสยดทานสถตขณะหนงสอเรมจะเคลอนท

วธท า Nf ss

mgf ss

)m/s 8.9)(kg 5.0)(1.0(s2f

N 49.0s f

ตวอยางท 4.8 ออกแรงกระท า F = 90 N ทศท ามม 30 กบกลองมวล 18 kg ซงอยนงบนพน

ในแนวระดบ ดงแสดงในภาพท 4.21 ท าใหกลองเคลอนทจนกระทงมความเรว 7.5 m/s ในเวลา 3 s จงค านวณหาสมประสทธของความเสยดทานจลน k

30o

90 N

a

k

Fcos30

F Fsin30

mg (ก) (ข

วธท า ความเรงของกลอง atvv if

)s 3(a0m/s 5.7

2m/s 5.2a

กฎการเคลอนทขอสองของนวตน maF

mafF k30cos

maNF k30cos

maFmgF )30sin(30cos k

30sin

30cosk

Fmg

maF

)2

1)(N 90()m/s 8.9)(kg 18(

)m/s 5.2)(kg 18()2

3)(N 90(

2

2

k

149.0k

73

ตวอยางท 4.9 ออกแรงกระท า F กบกลองมวล 50 kg บนพนเอยง 30 ดงแสดงในภาพท 4.22 ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนเทากบ 0.25 จงหาขนาดของแรง F ทท าใหกลองเคลอนทขนดวยอตราเรวอยางสม าเสมอ

30o

F

30o

Fa = 0

mgmgcos30m

gsin30 30o

a = 0

f

(ก) (ข)

วธท า กฎการเคลอนทขอสองของนวตน 0F

030sin k fmgF

030sin k NmgF

030cos30sin k mgmgF

0)30cos30(sin k mgF

0)]2

3)(25.0()

2

1)[(m/s 8.9)(kg 50( 2 F

N 351F

74


1. แรง 100 N กระท ากบวตถทศท ามม 120 ดงแสดงในภาพ จงหาขนาดและทศทาง

ของแรงลพธ

100 N

100 N120

2. วตถมวล 8 kg อยบนพนทไมมความเสยดทาน ดงแสดงในภาพ ถกแรงกระท า

ในแนวระดบ คอ F1 = 45 N, F2 = 10 N, F3 = 25 N, และ F4 ท าใหวตถเคลอนทดวยความเรวคงตว 3 m/s จงหาขนาดและทศทางของแรง F4

8 kgF1F2 F3

3. วตถหนก w = 200 N ผกตดกบเชอก ถาแรงทดงเสนเชอก คอ T เทากบ 200 N,

150 N และ 300 N ดงแสดงในภาพ จงหาขนาดและทศทางของความเรง

w = 200 N

T = 200 N

w = 200 N

T = 150 N

w = 200 N

T = 300 N

75

25o 15o

4. วตถมวล 2 kg ผกตดกบเชอก ดงแสดงในภาพ ถาวตถเคลอนทขนและลงดวยความเรง 5

m/s จงค านวณหาแรงทใชดงเชอก T

2 kg 2 kga = 5 m/s2 a = 5 m/s2

T T

w w

5. ดาวเคราะหมเสนผานศนยกลาง 1/2 ของเสนผานศนยกลางของโลก มมวล 1/10 ของมวลของโลก ชายคนหนงหนก 600 N บนโลก ถาเขาไปอยบนดาวเคราะหจะหนกเทาไร

6. กลองวตถวางอยบนไมกระดานในแนวระดบ เมอยกไมกระดานขนท ามม 25 กลองวตถจะเรมเคลอนท ดงแสดงในภาพ หลงจากนน จะเคลอนทดวยอตราเรวสม าเสมอเมอ

ไมกระดานเอยงท ามม 15 ดงแสดงในภาพท บ4.13(ข) จงหาสมประสทธของความเสยดทานทงสองกรณดงกลาว

(ก) (ข)

7. มวล 1 kg วางอยบนพนเอยงมวล 10 kg ซงท ามม 30o กบแนวระดบ ถามวล 1 kg

สามารถวางอยบนพนเอยงไดในขณะทพนเอยงเคลอนทดวยความเรวคงท 5 m/s จงหาวาพนเอยงจะตองออกแรงกระท าในแนวตงฉากกระท าในมวล 1 kg เทาใด

76

8. ถามแรงขนาด 12.0 N และ 16.0 N กระท าตอวตถซงมมวล 4.0 kg โดยแรงทงสองกระท าในทศตงฉากซงกนและกน วตถนนจะเคลอนทดวยอตราเรงเทาใด

9. วตถมวล 5 kg วางอยบนโตะทไมมความเสยดทาน ปลายทงสองขางผกเชอกเบาแลวคลองผานรอกทไมมความฝด น าวตถมวล 3 kg ผกตดกบปลายเชอกทงสองดานดงแสดงในภาพท บ4.25 เมอปลอยใหมวลทงหมดเคลอนทแรงทเชอกดงมวล 3 kg และ 2 kg เปนเทาใด

10. เชอกแขวนไวกบเพดานมลงมวล 20 kg โหนเชอกอยสงจากพน 10 m ไดรดตวลงมากบเชอกดวยความเรงคงทถงพนใชเวลา 2 s ความตงของเชอกเปนเทาใด

77


Davis, D. 2002. Friction. Retrieved March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1150/

04Nwtn/frict.html.

McCrone, J. 2006. Action~Reaction. Retrieved March 23, 2013, from http://www.dichotomistic.

com/logic_dichotomies_history_three.html.

NASA's HEASARC. 2010. Newton's First Law of Motion: Inertia and Unbalanced Forces.

Retrieved March 23, 2013, from http://swift.sonoma.edu/education/newton/newton_1/

index.html.

NASA's HEASARC. 2010. Newton's Second Law of Motion: Force, Velocity and

Acceleration. Retrieved March 23, 2013, from

http://swift.sonoma.edu/education/newton/ newton_2/index.html.

NASA's HEASARC. 2010. Newton's Third Law of Motion: Actions and Reactions. March 23,

2013, from http://swift.sonoma.edu/education/newton/newton_3/index.html.




http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1150/

http://www.dichotomistic/


http://swift.sonoma.edu/education/newton/newton_1/




บทท 5 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล วงกลม และฮารมอนก


5.1 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

5.2 การเคลอนทแบบวงกลม 5.3 การเคลอนทบนทางโคง 5.4 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย แบบฝกหด บรรณานกรม


1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบโพรเจกไทล 2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบวงกลม

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทบนทางโคง

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย







80










81

บทท 5

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล วงกลม และฮารมอนก

ส าหรบบทเรยนนจะศกษาเกยวกบการเคลอนทแบบโพรเจกไทลซงเปนการเคลอนท

ทงในแนวระดบและแนวดงพรอมกน โดยมความเรงเนองจากแรงโนมถวงท าใหแนวการเคลอนทเปนแบบวถโคง การเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตวซงจะมแรงและความเรงสศนยกลางทสามารถน าไปประยกตใชส าหรบการสรางถนนบนทางโคงไมใหเกดอนตรายได และการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายซงเปนการเคลอนทกลบไปกลบมาผานต าแหนงสมดล โดยจะพจารณาในกรณทมคาบหรอความถคงตว การเคลอนทดงกลาวยงสามารถน าไปใชอธบายปรากฏการณตางๆ เกยวกบแมเหลกไฟฟาและคลนไดอกดวย ดงนน จงควรศกษาใหเขาใจมากทสดเพอเปนพนฐานในการศกษาตอไป

5.1 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (projectile motion) เปนการเคลอนททงในแนวระดบ (แกน X) และแนวดง (แกน Y) พรอมกน ท าใหแนวการเคลอนทเปนแบบวถโคง ดงแสดงในภาพท 5.1 โดยการเคลอนทในแนวระดบเปนการเคลอนทดวยความเรวคงตว (v

x constant) หรอ

ความเรงเปนศนย (ax = 0) สวนการเคลอนทในแนวดงเปนการเคลอนทอยางเสรภายใตแรงโนม

ถวงของโลก (ay = g) กลาวคอ ถาวตถตกลงอยางเสรจะมความเรวเรมตนเปนศนย (v

yi = 0) หรอ

ถาวตถเคลอนทขนอยางเสรเมอถงจดสงสดจะมความเรวเปนศนย (vyf = 0)

Y

g

X

i

i

O

vi

v

v

v

vxi

vxi

vxi v

xi

vxi

vyi

vy

vy

vyi

vy= 0

75o

60o

45o

30o

15o

vi= 50 m/s

X (m)

Y (m)

50 100 150 200 250

50

100

150

O

ภาพท 5.1 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล


82

พจารณาองคประกอบการเคลอนทแบบโพรเจกไทลในแนวแกน X

ความเรวในแนวแกน X มคาคงตว iixi vv cos 5.1

ความเรงในแนวแกน X เปนศนยax = 0 และ xi = 0

ระยะทางในแนวแกน X tvtvx iixif )cos( 5.2

พจารณาองคประกอบการเคลอนทแบบโพรเจกไทลในแนวแกน Y

ความเรวเรมตนในแนวแกน Y iiyi vv sin 5.3

ความเรงในแนวแกน Y คอ ay = g และ yi = 0

ระยะทางในแนวแกน Y 2

2

1tatvy yyif

2)(2

1)sin( tgtvy iif 5.4

เวลาถงจดสงสด (peak point) tavv yyiyf

gtv ii sin0

g

vt ii

sin 5.5

ระยะทางสงสด (maximum height)2

max

sin

2

1sin)sin(

g

vg

g

vvy iiii

ii

g

vy ii

2

sin 22

max

5.6

ระยะทางในแนวระดบ (horizontal rang)

g

vvtvx ii

iiii

sin2)cos()2)(cos(

g

v

g

vx iiiii

2sincossin2 22

5.7

ระยะทางไกลทสด (maximum projectile) maxx เมอ ,12sin i ,902 oi o45i

จะไดวา g

vx i

2

max 5.8

ความสมพนธระหวางระยะทางในแนวแกน X และ Y

ระยะทางในแนวแกน X คอ tvx iif )cos(

หรอ ii

f

v

xt

cos 5.9

ระยะทางในแนวแกน Y คอ 2)(2

1)sin( tgtvy iif

จะไดวา

2

cos)(

2

1

cos

sin

ii

f

f

ii

iif

v

xgx

v

vy

83

2

22 cos2)(tan f

ii

fif xv

gxy

5.10

ตวอยางท 5.1 เครองบนล าหนงเคลอนทในแนวระดบดวยความเรว 40.0 m/s ขณะอยสงจาก

พนดน 100 m กปลอยสมภาระลงมา ดงแสดงในภาพท 5.2 จงค านวณหาเวลา

และระยะทางในแนวระดบทสมภาระตกลงถงพนดน

40.0 m/s

100 m

X

Y



วธท า เวลาทสมภาระตกลงถงพนดน 2

2

1gttvy yif

22 )m/s 8.9(

2

10m 100 t

s 52.4t

ระยะทางในแนวระดบ tvx xif

)s 52.4)(m/s 0.40(fx

m 181fx

84

ตวอยางท 5.2 ชายคนหนงพยายามตกอลฟใหผานตนไมสง 3.00 m ซงอยหางจากจดตกอลฟ

เปนระยะทาง 14.0 m โดยตกอลฟในทศท ามม 54.0 กบแนวระดบ ปรากฏวา

ลกกอลฟลอยอยในอากาศ 2.24 s และตกลงทระยะหางจากจดตกอลฟ 17.8 m ดงแสดงในภาพท 5.3 จงค านวณหาอตราเรวเรมตนของลกกอลฟและความสง

ของลกกอลฟขณะผานตนไม


ทมา: Walker, 2004: 88-89.

วธท า อตราเรวเรมตนของลกกอลฟ g

vx ii

2sin2

2

2

m/s 8.9

)0.54(2sinm 8.17

iv

m/s 5.13iv

ความสงของลกกอลฟขณะผานตนไม

2

22 cos2)(tan f

ii

fif xv

gxy

2

22

2

)m 0.14(0.54cos)m/s 5.13(2

m/s 8.9)m 0.14)(0.54(tan

fy

m 11.4fy

85

5.2 การเคลอนทแบบวงกลม

การเคลอนทแบบวงกลม (circular motion) เปนการเคลอนทในสองมต ดงแสดงในภาพท 5.4 โดยสามารถบอกต าแหนงของการเคลอนทได 2 ระบบ คอ

1. ระบบพกดฉาก (rectangular coordinate) จะบอกต าแหนงในระนาบ (x,y)

2. ระบบพกดโพลาร (polar coordinate) จะบอกต าแหนงในระนาบ (r,)

ส าหรบองคประกอบและความสมพนธของปรมาณตาง ๆ พจารณาไดดงตอไปน

^

X

Y

O

r

r

^

X

Y

O

ri

rf

vi

vf

v

r

vi

vf

X

Y

O

a

ar

at

a ar a

t

ภาพท 5.4 การเคลอนทแบบวงกลม


การเปลยนแปลงของต าแหนง if rrr 5.11

การเปลยนแปลงของความเรว if vvv 5.12

ความสมพนธระหวางต าแหนงและความเรว rv

rv

5.13

เมอขนาดของความเรวหรออตราเรวเชงเสน fi vvv และรศม fi rrr

ความเรงเฉลย ttt if

if

av

vvva 5.14

ขนาดของความเรงเฉลย tr

v

tav

rva 5.15

ถา ,0t ava เรยกวา ความเรงสศนยกลาง (centripetal acceleration, ac)

r

v

tr

va avc

2

ra 5.16

คาบ (period, T) v

rT

2 5.17

ความถ (frequency, f) r

v

Tf

2

1 5.18

86

ความถเชงมม (angular frequency, ) Tdt

d

2 5.19

แต f

T1

r

vf 2 5.20

จะไดอตราเรวเชงเสน rv 5.21

ความเรงเชงเสนสมผสวงกลม (tangential acceleration, at)

dt

dat

v 5.22

dt

dt

va 5.23

ความเรงเชงรศม (radial acceleration, ar)

r

vaa cr

2

5.24

r2

r

vra 5.25

ความเรงรวม (total acceleration, a) rt aaa 5.26

แทนคา at และ a

r

rˆ

2

r

v

dt

d va 5.27

แรงสศนยกลาง (centripetal force, Fc)

r

mvmaF cc

2

5.28

แต rv rmFc2 5.29

พจารณาการแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวระดบ (horizontal circular

motion) ดงแสดงในภาพท 5.5 แรงปฏกรยาในเสนเชอกจะตองเทากบแรงสศนยกลางของลกบอล เพอรกษาสภาพการเคลอนทใหคงตวอยตลอดเวลา แตถาแรงสศนยกลางมคามากกวาแรงปฏกรยา ลกบอลจะเคลอนทเขาหาจดศนยกลางวงกลม ในทางตรงขาม ถาแรงสศนยกลางมคานอยกวาแรงปฏกรยา ลกบอลกจะเคลอนทออกจากจดศนยกลางวงกลม

Centripetal force

)(2

r

mv

Mass of ball(m)

Speed of ball(v)

Velocity of ball(v)

vv

vv

Fc

Fc

Fc

Fc

Fc

ภาพท 5.5 การแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวระดบ

ทมา: Pilot's Wab, 2005.

87

พจารณาการแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง (vertical circular motion) ดงแสดงในภาพท 5.7 ซงอาจจะมอตราเรวคงตวหรอไมคงตวกได โดยมแรงปฏกรยาในเสนเชอก ณ ต าแหนงตางๆ คอ T1, T2, T3, …, T8 ตามล าดบ

73

1

5

T7

T8

T1

T2

T3

T4

T5

T6

mg

mg mg

mgmg

mgmg

mg

2 8

64

mgcos mgcos

mgcos mgcos

mgsin mgsin

mgsin mgsin

ภาพท 5.6 การแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง

ทมา: Gibbs, 2010.

จากภาพท 5.6 ขนาดของแรงสศนยกลาง ณ ต าแหนงตาง ๆ มคาดงน

ต าแหนงท 1; mgTFc 11

ต าแหนงท 2; 122 cos mgTFc

ต าแหนงท 3; 33 TFc


ต าแหนงท 5; mgTFc 55


ต าแหนงท 7; 77 TFc


88

ตวอยางท 5.3 การโคจรของโลกรอบดวงอาทตยมรศมเฉลย m 1050.1 11 และการโคจรครบ 1 รอบ ใชเวลาประมาณ 365 days, 5 h, 48 min, 46 s ดงแสดงในภาพท 5.7

จงค านวณหาอตราเรว ความเรง และแรงสศนยกลางของโลก


ทมา: Glogster, 2007.

วธท า รศมวงโคจรเฉลย m 1050.1 11r

คาบการเคลอนท s) 46(s) 6048(s) 60605(s) 606024365( T

s 1016.3 7T

อตราเรวเชงเสน T

rv

2

s) 1016.3(

)m 1050.1)(2(7

11

v

m/s 1099.2 4v

ความเรงสศนยกลาง r

vac

2

m) 1050.1(

)m/s 1099.2(11

24

ca

23 m/s 1095.5 ca

แรงสศนยกลาง r

mvmaF cc

2

)m/s 1095.5)(kg 1098.5( 2324 cF

N 1056.3 22cF

89

5.3 การเคลอนทบนทางโคง

การเคลอนทบนทางโคงสามารถแยกพจารณาไดสองลกษณะ คอ การเคลอนทบนทางโคงพนราบ และการเคลอนทบนทางโคงพนเอยง ดงแสดงในภาพท 5.11(ก) และ (ข) ตามล าดบ

N

mg

Fc

= fk

mg

N

(ก) (ข)

Nsin

Ncos

ภาพท 5.8 การเคลอนทบนทางโคง

ทมา: The Open Door Web Site, 2012.

พจารณาภาพท 5.8(ก) การเคลอนทบนทางโคงพนราบซงมความโคงไมมาก

แรงในแนวตงฉาก (vertical) mgN 5.30

แรงในแนวระดบ (horizontal) kc fF 5.31

แรงสศนยกลาง r

mvFc

2

5.32

หรอ r

mvf k

2

5.33

และ mgNf k r

mvmg

2

5.34

จะไดวา rgv 5.35

สมการ 5.35 หมายความวา การเคลอนทบนทางโคงพนราบจะตองมอตราเรวไมเกน rgv ซงจะท าใหการเคลอนทอยบนทางโคงไดโดยไมหลดออกจากเสนทางการเคลอนท

พจารณาภาพท 5.8(ข) การเคลอนทบนทางโคงพนเอยงซงมความโคงมากๆ จะตองสรางถนนใหเอยงท ามมกบแนวระดบ เพอชวยใหการเคลอนทอยบนทางโคงไดอยางปลอดภย

แรงในแนวดง mgN cos 5.36

แรงในแนวระดบ r

mvN

2

sin 5.37

90

จะไดวา rg

v2

tan 5.38

หรอ tanrgv 5.39

สมการ 5.39 หมายความวา การเคลอนทบนทางโคงรศม r เอยงท ามม กบแนวระดบ

จะตองจ ากดอตราเรว t anrgv โดยไมคดแรงเสยดทาน

ตวอยางท 5.4 รถยนตคนหนงก าลงแลนบนถนนโคงรศม r = 200 m พนถนนเอยงท ามม = 45 กบแนวระดบ ถาฝนตกถนนลน จงค านวณหาอตราเรวสงสดทจะ

แลนไดอยางปลอดภย


ทมา: Mastering Physics Solutions, 2012.

วธท า อตราเรวสงสดหาไดจากสมการ 5.39 ดงน

tanrgv

45tan)m/s8.9)(m200( 2v

m/s27.44v

5.4 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

การเคลอนทกลบไปกลบมา เชน สายกตารเมอถกดดจะสนกลบไปกลบมา วตถทยดตดกบสปรงเมอดงใหออกจากต าแหนงสมดลแลวปลอยใหเคลอนทกลบไปกลบมา ลกตมเมอดงใหเอยงท ามมกบแนวดงแลวปลอยใหแกวงกลบไปกลบมา เปนตน การเคลอนทดงกลาวจะผานต าแหนงสมดลและมคาบคงตว เรยกวา การเคลอนทแบบพรออดก (periodic motion)

91

ส าหรบการเคลอนทแบบพรออดกทมกราฟของการกระจดกบเวลาอยในรปของฟงกชนโคไซนและไซน (cosine and sine function) ซงมความถคงตวคาเดยว เรยกวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (simple harmonic motion, SHM) อาจกลาวไดวาการเคลอนทแบบฮารมอนก อยางงายเปนการเคลอนทแบบ พรออดกชนดหนงนนเอง

สมการทวไปของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายหรอ SHM สามารถเขยนในรปของการกระจด x เปนฟงกชนของเวลา t ตามสมการ 5.40

)cos( txx m 5.40

mx คอการกระจดสงสด เรยกวา แอมพลจด (amplitude)

คอความถเชงมม มคาเทากบ f2 หรอ T

2

คอคาคงตวทางเฟส (phase constant) ซงเปนเฟสเรมตนทเวลาเทากบศนย )0( t

ถา 0 กราฟการเคลอนทจะเปนฟงกชนโคไซน ถา 2

กราฟการเคลอนทจะ

เปนฟงกชนไซน ซงจะแตกตางกนทเฟสเทานน จงเรยกรวมกนวาเปนฟงกชนรปไซน (sinusoidal

function) ดงแสดงในภาพท 5.10

t

x

2 30

ภาพท 5.10 กราฟแสดงความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลาของฟงกชนรปไซน

สมการการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย สามารถเขยนใหมไดตามสมการ 5.41

tAx sin 5.41

ถาการเคลอนทเรมจากต าแหนงสมดล (x = 0) จะไดกราฟมลกษณะเชนเดยวกบสมการ )

2cos(

tAx

92

การเปรยบเทยบการเคลอนทแบบวงกลมกบกราฟแสดงความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลาของฟงกชนรปไซน ดงแสดงในภาพท 5.11

t

x

2 30

y

x

a

v

r 4 2

ภาพท 5.11 การเปรยบเทยบการเคลอนทแบบวงกลมกบฟงกชนรปไซน

ต าแหนงบนแกน x trrx sinsin 5.42

ความเรวบนแกน x trdt

dxvx cos 5.43

ความเรงบนแกน x xtrdt

xdax

22

2

2

sin 5.44

สมการ 5.44 ถาความถเชงมม มคาคงตว ความเรงจะเปนปฏภาคกบการกระจดแตมทศตรงกนขาม กลาวคอ ความเรงจะมทศเดยวกบแรงซงมทศเขาหาจดสมดล สวนการกระจดมทศออกจากจดสมดล

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการสนของมวลตดกบสปรง (mass on a spring) จะมลกษณะการเคลอนท ดงแสดงในภาพท 5.12

x = 0

x = 0

x

x

v

F = kx

F = kx

m

m

m

(ก)

(ข)

(ค)

ภาพท 5.12 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการสนของมวลตดกบสปรง

93

พจารณาภาพท 5.12 เมอออกแรงดงวตถมวล m ใหสปรงยดออกจากต าแหนงสมดลไปทางขวาตามภาพท 5.12(ก) ขณะเดยวกนจะมแรงดงกลบ (restoring force) ของสปรงไปทางซาย ซงจะแปรผนตรงกบระยะยดหรอหดของสปรงหรอขนาดของการกระจด และจะมทศตรงขามกบการกระจดตามสมการ 5.45

kxF 5.45

เมอ F คอแรงดงกลบของสปรง k คอคาคงตวของสปรง (spring constant) และ x คอขนาดของการกระจด

เมอปลอยวตถมวล m แรงดงกลบของสปรงจะดงวตถกลบไปทางซายเขาหาต าแหนงสมดลดวยความเรงและมความเรวเพมขน แตแรงดงกลบจะลดลงเนองจากการกระจดลดลง จนกระทงถงต าแหนงสมดล การกระจด แรงดงกลบ และความเรง จะเปนศนย แตความเรวจะมคามากทสดและมทศไปทางซาย ตามภาพท 5.15

(ข) หลงจากนน วตถกจะเคลอนทออกจากต าแหนงสมดลดวยความเรงไปทางซายตอไปอกและอดสปรงใหหดเขา ขณะเดยวกนแรงของสปรงจะมทศไปทางขวาและตานการเคลอนทของวตถ ท าใหมความเรวลดลงจนกระทงเปนศนย ตามภาพท 5.12(ค) และจะเคลอนทกลบไปกลบมาเปนการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน kxmaF 5.46

xm

ka 5.47

แทนคา xa2 , x

m

kx 2

m

k 5.48

แต f 2 , m

kf

2

1 5.49

และ f

T1

, k

mT 2 5.50

จากสมการ 5.48, 5.49 และ 5.50 จะเหนไดวา ความถเชงมม ความถ f และคาบ T จะมความสมพนธกบมวลของวตถ m และคาคงตวของสปรง k

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการแกวงของลกตมอยางงาย (simple

pendulum) จะมลกษณะการเคลอนท ดงแสดงในภาพท 5.16 ซงตามอดมคต วตถมวล m จะมขนาดเลกๆ เปนจด ผกดวยเชอกออนหรอดาย และแขวนหอยในแนวดงเปนต าแหนงสมดล เมอออกแรงดงวตถมวล m ใหเอยงท ามมเลก ๆ กบแนวดง แลวปลอยใหวตถเคลอนทแกวงกลบไปกลบมาเปนการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

94

mg

mgsinmgcos

m

l

xs

T

ภาพท 5.13 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายกบการแกวงของลกตมอยางงาย

ทมา: Kovačević & Simić, 2010: 3301-3307.

แรงปฏกรยาในเสนเชอกมคาตามสมการ 5.51

cosgT m 5.51

แรงดงวตถมวล m กลบสต าแหนงสมดล

singF m 5.52

ถา 18

10

ระยะทางการเคลอนทของวตถตามเสนโคง s จะประมาณไดวาเปน

เสนตรง x นนคอ l

s

l

xsin แทนคาลงในสมการ 5.52 ไดดงน

l

smg

l

xmgF 5.53

จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน maF แทนคาลงในสมการ 5.53 ไดดงน

l

xmgma

l

xga 5.54

แทนคา xa2 จากสมการ 5.44 ลงใน 5.54 ไดดงน

l

xgx 2

l

g 5.55

แต f 2 , l

gf

2

1 5.56

และ f

T1

, g

lT 2 5.57

95

จากสมการ 5.55, 5.56 และ 5.57 จะเหนไดวา ความถเชงมม ความถ f และคาบ T จะมความสมพนธกบความยาว l

ตวอยางท 5.5 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของวตถมวล 0.1 kg ซงยดตดกบสปรง

ทมคา k = 100 N/m ถาแอมพลจดของการเคลอนทเทากบ 1 cm จงค านวณหาคาบ ความถ ความถเชงมม ความเรวสงสด และความเรงสงสด

วธท า คาบ k

mT 2

s199.0N/m100

kg1.02 T

ความถ m

kf

2

1

Hz033.5kg1.0

N/m100

2

1

f

หรอ Hz033.5s199.0

11

Tf

ความถเชงมม m

k

rad/s623.31kg1.0

N/m100

หรอ rad/s623.31)Hz033.5(22 f

ความเรวสงสด xv

m/s316.0m)01.0rad/s)(623.31( v

ความเรงสงสด xa2

22 m/s0.10m)01.0(rad/s)623.31( a

96

ตวอยางท 5.6 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของลกตมมวล 0.1 g ดงแสดงในภาพv

จงค านวณหาความถ ความถเชงมม ความเรวสงสด และความเรงสงสด

t (s)

x (cm)

1.00

2.0

1.0


วธท า จากภาพท 5.18 จะไดวา คาบ T = 2.0 s และแอมพลจด x = 1.0 cm

ความถ T

f1

Hz5.0s0.2

1f

ความถเชงมม T

2

rad/s14.3s0.2

2

ความเรวสงสด xv

m/s0314.0m)01.0rad/s)(14.3( v

ความเรงสงสด xa2

22 m/s987.0m)01.0(rad/s)14.3( a

97

g1.25 m

1.30 m/s


1. นกบาสเกตบอลก าลงเดนดวยความเรว 1.30 m/s ขณะเดยวกนกปลอยลกบาสเกตบอลจากความสง 1.25 m ดงแสดงในภาพท บ5.1 จงค านวณหา

1.1 ระยะทาง x และ y ของลกบาสเกตบอลทเวลา t = 0.250 s และ t = 0.500 s

1.2 ความเรวและทศการเคลอนทของลกบาสเกตบอลทเวลา t =0.500 s


2. นกเลนสกเคลอนทดวยความเรว 25.0 m/s ในแนวระดบ และกระโดดลงบนพนเอยง 35.0 ดงแสดงในภาพ จงหาวานกเลนสกจะตกลงบนพนเอยงทต าแหนงใด

25.0 m/s

35.0o

x

y d


3. คนฝกปลาโรมาปลอยลกบอลซงอยสงจากผวน า 4.10 m ขณะเดยวกนปลาโรมา

ซงอยหางออกไปในแนวระดบ 5.50 m พงขนจากผวน าดวยความเรว 12.0 m/s ทศท ามม ดงแสดงในภาพ ปลาโรมาจะชนลกบอลเมอไร และทความสงเทาไร

98

5.50 m

4.10 m

X

Y

O


4. จงค านวณหาความถเชงมม อตราเรวเชงเสน และขนาดของความเรงสศนยกลางของวตถทอยบนเสนศนยสตรของโลก ก าหนดใหโลกหมนรอบตวเอง 1 รอบ ใชเวลา 24 h และรศมของโลกเทากบ 6,400 km

5. จงค านวณหาความถเชงมมและรศมของดาวเทยมสอสารทโคจรรอบโลกดงแสดงในภาพ ก าหนดใหคาบของดาวเทยมสอสารเทากบคาบการหมนรอบตวเองของโลกคอ 24 h มวลของโลกเทากบ 5.9810 kg และ G = 6.6710 Nm/kg

ทมา: Educational Blog, 2007.

http://1.bp.blogspot.com/_xW3FQUQ2DYI/RqXpbVm8JKI/AAAAAAAAAiY/BDlNb2hamZc/s1600-h/satellite-radio.jpg

99

6. วตถมวล 0.2 kg ผกดวยเชอกยาว 1 m ถาแกวงวตถใหเคลอนทแบบวงกลมในแนวดงดวยอตราเรวคงตว 5 m/s ดงแสดงในภาพ จงค านวณหาแรงปฏกรยาในเสนเชอกขณะทวตถอยในแนวระดบ จดสงสด และจดต าสด


7. รถยนตมวล 3,000 kg ก าลงแลนดวยอตราเรว 80 km/h บนถนนโคงซงมรศม 200

m ถาไมคดแรงเสยดทาน พนถนนควรเอยงท ามมเทาไรกบแนวระดบ รถจงจะแลนไดอยางปลอดภย

mg

N

Nsin

Ncos

mg


100

8. การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายมความถ 2.0 Hz และแอมพลจด 10 cm จงค านวณหาความถเชงมม อตราเรวสงสดของการเคลอนท และความเรงทต าแหนงการกระจด 5.0 cm

9. ดาวเทยมโคจรรอบโลกทความสง 600 km จากผวโลก และมอตราเรงเนองจากความโนมถวงเปน 8.2 m/s

2 จงหาอตราเรวเชงเสนของดาวเทยม (รศมของโลก = 6400 km)

10. นกบาสเกตบอลยงลกจากระยะในแนวราบ 5 m หางจากหวง ขณะทลกเขาหวง พบวามความเรว 10 m/s ท ามม 60 กบแนวราบ จงหาเวลาทลกบาสเกตบอลใชในการเคลอนทมาถงหวงในหนวยวนาท

11. วตถมวล m แขวนไวดงแสดงในภาพเชอก TA ท ามม กบแนวดง เมอเชอก T ถกตด มวล M กแกวงกลบไปกลบมาโดยมมเรมตนเปน เชนกน จงหาอตราสวนของแรงดง TB (หลงตด) กบ TA (กอนตดเชอก T)

12. พจารณาภาพท บ5.40 ออกแรงดง 5 N ท าใหสปรงยดออกจากต าแหนงสมดล 0.1 m เมอปลอยจะมคาบของการสนเทาไร

ภาพท บ5.40 แบบฝกหด 4

101


Davis, D. 2001. Circular Motion. Retrieved March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~

cfadd/1350/Hmwk/Ch06/Ch6.html.

Educational Blog. 2007. Banked Curve. Retrieved March 23, 2013, from http://phy-061062.

blogspot.com/2007_07_01_archive.html.

Gibbs, K. 2010. Motion in Vertical Circle. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

schoolphysics.co.uk/age16-

19/Mechanics/Circular%20motion/text/Motion_in_a_vertical_ circle/index.html.

Glogster. 2007. Earth. Retrieved March 23, 2013, from http://www.glogster.com/glog.php?glog_

id=17947370&scale=54&isprofile=true.

Kovačević, M.S. & Simić, S. 2010. Plastic Optical Fiber as a Tool for Experimenting with Simple

Pendulum. Revista Brasileira de Ensino de Fίsica, 32(3), 3301-3307.

Mastering Physics Solutions. 2012. Banked Frictionless Curve, and Flat Curve with Friction.

Retrieved March 23, 2013, from http://www.masteringphysicssolutions.net/mastering-

physics-solutions-banked-frictionless-curve-and-flat-curve-with-friction/.

Pilot's Wab. 2005. Forces Acting on an Airplane. Retrieved March 23, 2013, from

http://pilotsweb.com/principle/forces.htm.



The Open Door Web Site. 2012. Mechanics. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

saburchill.com/physics/ chapters/0011.html.




http://www/

http://www.glogster.com/glog.php?glog_

http://www.masteringphysicssolutions.net/mastering-

http://www/


บทท 6 สภาพสมดล


6.1 สภาพสมดลของวตถแขงเกรง

6.2 สมดลตอการเลอนต าแหนง

6.3 สมดลตอการหมน

6.4 จดศนยกลางมวล

6.5 จดศนยกลางของความโนมถวง

6.6 การน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต แบบฝกหด



1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสภาพสมดลของวตถแขงเกรง

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสมดลตอการเลอนต าแหนง 3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสมดลตอการหมน

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบจดศนยกลางมวล

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบจดศนยกลางของความโนมถวง

6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต







104










105

บทท 6

สภาพสมดล

กฎการเคลอนทขอหนงของนวตนหรอกฎของความเฉอยซงกลาววา "วตถจะรกษาสภาพหยดนงหรอสภาพเคลอนทอยางสม าเสมอเปนเสนตรง นอกจากจะมแรงลพธทมคาไมเปนศนยมากระท า" หมายความวาวตถจะไมเปลยนสภาพการเคลอนทถาไมมแรงลพธกระท ากบวตถนน วตถจะคงสภาพอยนงตลอดไปหรอเคลอนทดวยอตราเรวคงตวตลอดไป การทวตถไมเปลยนสภาพการเคลอนทนเรยกวาวตถอยในสภาพสมดล (equilibrium) โดยทวไปจะพจารณากรณทวตถหยดนงและมแรงลพธเปนศนยหรอผลรวมองคประกอบของแรงทงหมดเทากบศนย นอกจากน ยงมปรมาณอนๆ อกทเกยวของกบสภาพสมดล เชน โมเมนต มวล และน าหนก ส าหรบบทท 6 จะไดศกษาเกยวกบสภาพสมดลของวตถแขงเกรง ไดแก สมดลตอการเลอนต าแหนงทมผลรวมของแรงเปนศนย และสมดลตอการหมนทมผลรวมของโมเมนตเปนศนย นอกจากน จะไดศกษาถงผลรวมโมเมนตของมวลและน าหนกเพอใชในการหาจดศนยกลางมวลและจดศนยกลางของความโนมถวง ตลอดจนการน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต

6.1 สภาพสมดลของวตถแขงเกรง

สภาพสมดลของวตถทจะกลาวตอไปน เปนสภาพสมดลของวตถแขงเกรง (equilibrium

of a rigid body) ซงสามารถแบงออกได 2 กรณ ดงตอไปน

1. สมดลตอการเลอนต าแหนง (translational equilibrium) ผลรวมของแรง (F) หรอองคประกอบของแรง (Fx และ Fy) ทกระท ากบวตถมคาเทากบศนย

นนคอ 0F 6.1

องคประกอบของแรงในแนวแกน X; 0x F 6.2

องคประกอบของแรงในแนวแกน Y; 0y F 6.3

2. สมดลตอการหมน (rotational equilibrium) ผลรวมของโมเมนต (M) ของแรงหรอองคประกอบของแรงทกระท ากบวตถมคาเทากบศนย

นนคอ 0M 6.4

และ M ตามเขมนาฬกา = M ทวนเขมนาฬกา 6.5

106

6.2 สมดลตอการเลอนต าแหนง

วตถใดๆ ทอยในสภาพสมดลตอการเลอนต าแหนง วตถนนจะไมเปลยนแปลงสภาพการเคลอนท โดยวตถจงคงสภาพอยนงตลอดไป หรอวตถจะเคลอนทดวยอตราเรวคงตวตลอดไป และเงอนไขส าคญของสมดลตอการเลอนต าแหนง คอ แรงลพธทกระท าตอวตถเทากบศนย ซงเปนไปตามกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน แบงออกได 2 ชนด ดงน

1. สมดลสถต (static equilibrium) เกดขนกบวตถทอยนงซงเปนกรณทนาสนใจมากและพบเหนอยทวไป เชน บานเรอนทอยในสภาพสมดลจะไมพงทลายลงมา รถจอดอยทลานจอดรถ หนงสอวางอยบนโตะ เปนตน ตวอยางสมดลสถตดงแสดงในภาพท 6.1

2. สมดลจลน (kinetic equilibrium) เกดขนกบวตถทเคลอนทดวยอตราเรวสม าเสมอ เชน การเคลอนทขนหรอลงของลฟตดวยอตราเรวสม าเสมอ รถไฟก าลงเคลอนทไปตามรางดวยอตราเรวคงตว การโคจรของโลกรอบดวงอาทตย เปนตน

ภาพท 6.1 ตวอยางสมดลสถต

ทมา: Davis, 2001. และ Gray, 2011.

107

การพรรณนาถงวตถทอยในสภาพสมดลตอการเลอนต าแหนง จะพจารณาเกยวกบแรงและองคประกอบของแรงทกระท ากบวตถในลกษณะตางๆ วามแรงอะไรบางทกระท ากบวตถ และกระท ากบวตถในทศทางไหน อยางไร ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 6.1 วตถวางอยบนพนราบทไมมความเสยดทานและถกแรงกระท า 3 แรง คอ F1, F2

. และ F3 ดงแสดงในภาพท 6.2(ก) ถา F1 = 100 N จงหาแรง F2 และ F3 ทจะ

ท าใหระบบสมดล

F3

F1

F2

F3

30

F1

F2

F3

30F1

F2

F3

30

F1

F2

F1sin30

F1co

s30

(ก) (ข) (ค) (ง)

15012090


วธท า วธท 1 พจารณาจากองคประกอบ (component) ของแรง ดงแสดงในภาพท 6.2(ข) ในแนวแกน X; 030sin 21 FF

0)5.0)(N 100( 2 F

N 502 F

ในแนวแกน Y; 030cos 31 FF

0)8660.0)(N 100( 3 F

N 6.863 F

วธท 2 พจารณาจากรปสามเหลยม (triangle) ดงแสดงในภาพท 6.2(ค)

3

230tanF

F จะไดวา N 50)5574.0)(N 6.86(30tan32 FF

1

330cosF

F จะไดวา N 6.86)8660.0)(N 100(30cos13 FF

108

วธท 3 พจารณาจากกฎของลาม (Lame' s law) ดงแสดงในภาพท 6.2(ง)

120sin150sin90sin

321 FFF

N 50)1(

)5.0)(N 100(

90sin

150sin12

F

F

N 6.86)1(

)8660.0)(N 100(

90sin

120sin13

F

F

6.3 สมดลตอการหมน

การออกแรงกระท ากบวตถใดๆ แลวมผลท าใหวตถนนหมนรอบจดหมนซงเรยกวา โมเมนตของแรงหรอทอรก (moment of force or torque, ) เปนปรมาณเวกเตอร ขนาดของโมเมนตหรอทอรกหาไดจากผลคณระหวางระยะทางตงฉากจากจดหมนถงแนวแรงทกระท า

พจารณาภาพท 6.3 ออกแรงกระท า F กบวตถ ท าใหวตถหมนรอบจด O จะไดวา

Frτ หรอ sinFr 6.6

ภาพท 6.3 โมเมนตของแรงหรอทอรก


สมดลโมเมนต (moment equilibrium) จะเกดขนไดกตอเมอมแรงตงแตสองแรงขนไปกระท ากบวตถใหอยในสภาพสมดล โดยผลรวมของโมเมนตรอบจดหมนจะมคาเทากบศนย หรอผลรวมของโมเมนตตามเขมนาฬกาเทากบโมเมนตทวนเขมนาฬกา

พจารณาภาพท 6.4(ก) ไมเมตรมน าหนก w1 และ w2 หอยอยหางจากจดหมน r1 และ r2 ตามล าดบ ถาระบบอยในสภาพสมดล จะไดวา

2211 rwrw 6.7

r

109

ส าหรบภาพท 6.4(ข) ขณะทระบบอยในสภาพสมดล โมเมนตตามและทวนเขมนาฬกาเทากบ 20 Nm เทากน

w2 w1

r2 r1

Fulcrum (ก) (ข) Fulcrum

1 m 2 m

2 kg 1 kg

Moment 20 Nm

Anti-clockwise

Moment 20 Nm

Clockwise

Turning Moments in Equilibrium

ภาพท 6.4 สมดลโมเมนต

ทมา: Wikimedia Commons, 2011.

โมเมนตของแรงคควบ (moment of couple force, c) เกดจากแรงสองแรงกระท ากบวตถ โดยมทศตรงขามและขนาดเทากนดงแสดงในภาพท 6.5 เมอออกแรงกระท ากบวตถ F หางกนเปนระยะ r โมเมนตของแรงคควบสามารถพจารณาไดจากการคณแบบเวกเตอรตามสมการ 6.8

Frc 6.8

F

F

r Direction?

Use right hand!

Curl finger is sense of F

Thumb points in

Direction of c

c

ภาพท 6.5 โมเมนตของแรงคควบ

ทมา: Raman, 2012.

110

ตวอยางท 6.2 จงค านวณหาทอรกมากทสดทเกดจากการออกแรง 50 N หมนนอต ดงแสดง

ในภาพท 6.6

Pivot


ทมา: Pilot's Wab, 2005.

วธท า จากสมการ 6.6 จะไดวา sinFr

90sin)m 10.0)(N 50(

mN 0.5

ตวอยางท 6.3 พจารณาภาพท 6.7 เดกชายหนก w1 = 140 lb นงอยหางจากจดหมน r1 = 2 ft เดกหญงหนก w2 = 70 lb จะตองนงอยหางจากจดหมนเทาไร r2 = ? จงจะท าให

ทงสองคนอยในสภาพสมดลในแนวระดบ

w1 w2

r1 r2


ทมา: Carroll, 2009.

111

วธท า จากสมการ 6.7 จะไดวา 90sin90sin 2211 rwrw

2)lb 70()ft 2)(lb 140( r

ft 42 r

6.4 จดศนยกลางมวล

พจารณาภาพท 6.8 ถาออกแรงกระท ากบวตถใดๆ ใหเคลอนทโดยไมหมน เมอลากเสนตรงตามแนวแรงในแตละครงเมอเปลยนต าแหนง จะพบวา แนวแรงจะตดกนทจดๆ หนง เรยกวา จดศนยกลางมวล (center of mass, c.m.) ซงเปนเสมอนทรวมของมวลวตถทงกอน แตถาออกแรงกระท าไมผานจดศนยกลางมวล วตถจะเกดการหมนรอบจดศนยกลางมวล

F1 F2 F3 F4

F1

F1

F1

F2

F2

F3

c.m.

ภาพท 6.8 จดศนยกลางมวล

ส าหรบวตถทมความสมมาตร (symmetry) สามารถระบจด c.m. ไดดงน

1. วงกลมหรอทรงกลม จด c.m. อยทจดศนยกลาง

2. รปสเหลยม จด c.m. อยทจดเสนทะแยงมมตดกน

3. รปสามเหลยม จด c.m. อยทจดเสนมธยฐานตดกน

การพจารณาจด c.m. ของระบบใดๆ ทมวตถมากกวาหนง สามารถหาไดดงน

กรณท 1 การหาจด c.m. ของวตถทอยในแนวเสนตรงเดยวกน หาไดจากสมการ 6.9

Mrm )( 6.9

เมอ m คอ ผลรวมของมวลวตถทงหมด

r คอ ระยะหางระหวางจด c.m. เทยบกบจดอางอง

M คอ ผลรวมโมเมนตของมวลวตถทงหมด )( mrM

กรณท 2 การหาจด c.m. ของวตถทไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน ใหสรางแกน XY

แลวสมมตใหจด c.m. อยทจด ),( yx

112

โดย xMxm )( ; xM คอ ผลรวมโมเมนตของมวลวตถในแนวแกน X 6.10

yMym )( ; yM คอ ผลรวมโมเมนตของมวลวตถในแนวแกน Y 6.11

ตวอยางท 6.4 วตถมวล m1 = 5 kg และ m2 = 10 kg ตอเชอมกนดวยแกนเหลกเบายาว 3 cm ดงแสดงในภาพท 6.9 จงหาจด c.m. ของระบบ

m1 m2

3 cm

r r3c.m.


วธท า สมมตใหจด c.m. อยหางมวล m1 เทากบ r และใหมวล m1 เปนจดหมน

จากสมการ 6.9 Mrm )(

)()()( 221121 rmrmrmm )cm 3kg 10(0)kg 5()kg 10kg 5( r

cm 2r

6.5 จดศนยกลางของความโนมถวง

พจารณาภาพท 6.10 ถาน าวตถใดๆ มาผกแลวหอย เมอลากเสนตรงตามแนวเสนเชอกแตละครงเมอเปลยนต าแหนง ซงเปนแนวเดยวกบน าหนกของวตถ จะพบวา แนวแรงตามเสนเชอกจะตดกนทจดๆ หนง เรยกวา จดศนยกลางของความโนมถวง (center of gravity, c.g.) หรอจดศนยถวง ซงเปนเสมอนทรวมของน าหนกวตถทงกอน

T1 T2 T3 T4T1

T1

T1

T2

T2

T3

c.g.

mg mg mg mg

ภาพท 6.10 จดศนยกลางของความโนมถวง

113

โดยปกต จด c.g. และ c.m. จะอยทต าแหนงเดยวกน แตจด c.m จะอยทต าแหนงเดมตลอดไป ไมวาวตถนนจะอยทใด สวนจด c.g. จะเปลยนไปเมอคา g แตกตางกน และถาวตถอยในสภาพไรน าหนก จะไมมจด c.g.

การพจารณาจด c.g. ของระบบใด ๆ ทมวตถมากกวาหนง สามารถหาไดดงน

กรณท 1 การหาจด c.g. ของวตถทอยในแนวเสนตรงเดยวกน หาไดจากสมการ 6.12

Mrw )( 6.12

เมอ w คอ ผลรวมของน าหนกวตถทงหมด

r คอ ระยะหางระหวางจด c.g. เทยบกบจดอางอง

M คอ ผลรวมโมเมนตของน าหนกวตถทงหมด )( wrM

กรณท 2 การหาจด c.g. ของวตถทไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน ใหสรางแกน XY แลวสมมตใหจด c.g. อยทจด ),( yx

โดย xMxw )( ; xM คอ ผลรวมโมเมนตของน าหนกวตถในแนวแกน X 6.13

yMyw )( ; yM คอ ผลรวมโมเมนตของน าหนกวตถในแนวแกน Y 6.14

ตวอยางท 6.5 วตถมวล m1 = 3 kg, m2 = 5 kg และ m3 = 7 kg วางอยทมมของสามเหลยม

มมฉากในบรเวณทมคา g1 = 10 m/s2, g2 = 9.8 m/s

2 และ g3 = 9.7 m/s2

ตามล าดบ ดงแสดงในภาพท 6.11 จงหาต าแหนงจดศนยถวงของระบบ

4 m

2 m

m1

m2 m3 X

Y


114

วธท า สมมตใหจด c.g. อยทจด ),( yx และใหมวล m2 เปนจดหมน

จากสมการ 6.13 xMxw )(

)()()()( 333222111332211 xgmxgmxgmxgmgmgm

)m 2m/s 9.7kg 7(00)]m/s 9.7kg 7()m/s 9.8kg 5()m/s 10kg 3[( 2222 x m 92.0x

จากสมการ 6.14 yMyw )(

)()()()( 333222111332211 ygmygmygmygmgmgm

00m) 4m/s 10kg 3()]m/s 9.7kg 7()m/s 9.8kg 5()m/s 10kg 3[( 2222 y

m 82.0y

6.6 การน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกต

ส าหรบตวอยางการน าความรเรองสภาพสมดลไปประยกตใชในชวตประจ าวนมดงน

ตวอยางท 6.6 การเปดตเยนแตละครงจะตองออกแรงดง F 80 N ถาระยะจากแนวแรงถง

จดหมน r 45 cm ดงแสดงในภาพท 6.12 จงหาโมเมนตของแรงหรอทอรก

ในการเปดตเยน

F

r


ทมา: Liew, 2009.

วธท า โมเมนตของแรงหรอทอรก mN 36)1)(m 45.0)(N 80(90sin Fr

115

ตวอยางท 6.7 ตหนก 2000 N สง 2.5 m ดานหนากวาง 2 m และดานขางกวาง 1 m อยบน

พนราบทมสมประสทธของความเสยดทานสถตระหวางผวสมผสกบพน 0.25 ดงแสดงในภาพท 6.13

(ก) จะตองออกแรงผลกในแนวราบอยางนอยทสดเทาไรตจงจะเรมเคลอนท

(ข) จะตองออกแรงผลกในแนวราบดานหนาทความสงไมเกนเทาไรตจงจะไมลม

mg

d

N

h

fs

F

1 m


วธท า (ก) ขณะทตเรมเคลอนท N 500)N 2000)(25.0(sss mgNfF

(ข) สมดลโมเมนต mgdFh

)m 5.0)(N 2000()N 500( h

m 00.2h

116

1010

20 N

30 T

200 N

3045

60

T1

T2

T3

20 Nw


1. โคมไฟหนก 20 N หอยดวยเชอกและตรงอยกบฝาผนง ดงแสดงในภาพ จงค านวณหาขนาดของแรงตงในเสนเชอก T1 และ T2

2. ลกตมน าหนก 200 N ผกตดกบเชอกตรงอยกบฝาผนงและมไมค าอย จงค านวณหาแรงตงในเสนเชอก T และแรงทไมกระท ากบฝาผนง

3. เชอกตรงอยทฝาผนงและมน าหนกหอย ดงแสดงในภาพท บ6.3 จงค านวณหาแรงตงในเสนเชอก T1, T2, T3 และน าหนก w

117

15

F 5000 N

4. ออกแรงพยายาม F ลากกลองสนคาหนก 5000 N บนพนเอยง 15 กบแนวระดบ ดงแสดงในภาพท บ6.12 ถาสมประสทธของความเสยดทานสถตระหวางกลองสนคากบพนเทากบ 0.2 จงหาแรงพยายาม F ทใชดงในแนวระดบแลวท าใหกลองสนคาเรมเคลอนท

5. บนไดมวล 50 kg ยาว 5.0 m วางพาดกบก าแพงทศท ามม 60 กบพน ซงมสมประสทธของ ความเสยดทานสถต 0.40 ดงแสดงในภาพ ถาไมคดแรงเสยดทานระหวางก าแพงกบบนได จงหาแรงปฏกรยาของพนกระท าตอบนได แรงเสยดทานสถตระหวางพนกบบนไดแรงปฏกรยาของก าแพงกระท าตอบนได และโมเมนตรอบจดทบนไดกดลงบนพน

6 . บานพบ A และ B ยดประตหนก 400 N บานพบ A รบน าหนกประต 3/4

ของน าหนกทงหมด จงหาขนาดของแรงทบานพบ B กระท าตอประต ถาความกวางของประตเทากบ 1 m และบานพบทงสองหางกน 2 m

Nw

Ng

fsg

mg

60

l

118

7. ทรงกลมตนหนก 5 N วางอยบนระนาบเอยงทไมมแรงเสยดทานสองอน ซงท ามม

30๐ และ 60

๐ กบพนราบ ดงแสดงในภาพท บ6.16 จงหาคา N1N2

ก าหนดให tan60๐ = 1.732, tan30

๐ = 0.577

8. แขวนวตถมวล m ดวยเชอกเบาดงแสดงในภาพท บ6.18 ถาแรงตงในเชอกตามแนวระดบมขนาด 60 N จงหาน าหนกของวตถนน

9. ผกมวล m ตดกบปลายเชอกทมมวล m แลวแขวนไวกบเพดานดงแสดงในภาพท บ 6.19 ความตงเชอกทจดกงกลางเชอกเปนเทาใด

119

10. แทงวตถขนาด ไมสม าเสมอยาว L = 1.4 m ถกแขวนอยในสมดลดวยสปรงเบาทปลายทงสองของแทงวตถดงแสดงในภาพท บ6.23 ถาแรงดงสปรง F1 = 60 N และ F2 = 20 N จงหาต าแหนงจดศนยกลางมวลวดจากปลาย A ของแทงวตถ


11. ชายคนหนงหนก 500 N ก าลงขนบนไดขนาดสม าเสมอยาว 5.0 m และหนก 100 N ถาบนไดพาดอยกบผนงลน โดยปลายบนไดบนพนอยหางจากผนง 3.0 m และสมประสทธความเสยดทานระหวางพนกบบนไดเทากบ 0.5 ชายคนนจะขนบนไดไปไดระยะเทาไรกอนทบนไดจะไถล

12. ออกแรง F = 160 N ผลกตเยนมวล 40 kg บนพนฝด ทมความสง 90 cm จากพน โดยตเยนไมลม จงหาความกวางนอยทสดของฐานตเยน (X) ก าหนดใหความสงของตเยนคอ 20 cm

และจดศนยกลางมวลอยสงจากพน 40 cm ดงแสดงในภาพ

120


Carroll, B.W. 2009. Law of the Lever. Retrieved March 23, 2013, from http://physics.weber.edu/

carroll/Archimedes/lever.htm.

Davis, D. 2001. Static Equilibrium. Retrieved March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~

cfadd/1350/12Statics/ToC.html.

Dreamstime. 2013. Nippers Cutting Wire. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

dreamstime.com/stock-photos-nippers-cutting-wire-image19487723.

Gray, A. 2013. Stone Balancing. Retrieved March 23, 2013, from http://www.stonebalancing.

com/index.php.

Jones, J.D. 2011. Equilibrium and Elasticity. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

mcasco.com/Physics-1/eande.html.

Kent, M. 2007. Force Couple. Retrieved March 23, 2013, from http://www.answers.com/topic/

force-couple.

Kuo, W. & Watterson, S. 1999. Translational Equilibrium. Retrieved March 23, 2013, from

http://library.thinkquest.org/25844/equilibrium/translational.htm.

Liew, B. 2009. Keep Your Food Fresh The Green Way. Retrieved March 23, 2013, from http://juiceonline.com/juice-heart/keep-your-food-fresh-the-green-way/.

Pilot's Wab. 2005. Vectors, Forces and Moments. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

pilotsweb.com/principle/vectors.htm.

QA International. 2013. Cross-country Bicycle. Retrieved March 23, 2013, from http://visual.

merriam-webster.com/sports-games/cycling/mountain-biking/cross-country-bicycle-

cyclist.php.

Raman, C.V. 2013. Force Couple. March 23, 2012, from http://way2science.com/force-couple/.

RC Aeronautics for Dodos. 2013. Airplane Stability and Control for Dummies. Retrieved

March 23, 2013, from

http://www.modelairplane.cadblog.net/airplane_stability_control. htm.



SimCraft, Inc. 2012. SimCraft Motion Simulation Technology Architecture. Retrieved March

23, 2013, from http://www.simcraft.com/architecture.html.

TutorVista. 2010. Force. Retrieved March 23, 2013, from http://www.tutorvista.com/content/

physics/physics-i/forces/force.php.

Wikimedia Commons. 2011. Category: Lever, Simple Machine. Retrieved March 23, 2013,

from http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lever,_Simple_machine.

http://physics.weber.edu/


http://www/

http://www.stonebalancing/

http://www/

http://www.answers.com/topic/

http://www/

http://visual/

http://www.tutorvista.com/content/

http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lever,_Simple_machine


บทท 7 งาน และพลงงาน


7.1 งานและก าลง

7.2 พลงงาน

7.3 การอนรกษพลงงาน

7.4 เครองกลอยางงายและการประยกต




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบงานและก าลง

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบพลงงาน

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการอนรกษพลงงาน

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบเครองกลอยางงายและการประยกต







122










123

บทท 7

งานและพลงงาน

งานทท ากนโดยทวไปเปนการปฏบตภารกจตางๆ เชน การท าความสะอาด การซกและรดผา ฯลฯ การประกอบอาชพตางๆ เชน แพทย นกธรกจ เกษตรกร เปนตน การท างานดงกลาวตองอาศยพลงงาน เชน การท าความสะอาดตองใชพลงงานจากกลามเนอ โดยเฉพาะพลงงานไฟฟาใชกนมากทสดในการประกอบอาชพและการด ารงชวตประจ าวน เนองจากสามารถเปลยนไปเปนพลงงานอนๆ ไดตามตองการ แตงานทจะศกษาในบทนเปนผลมาจากการออกแรงกระท ากบวตถแลวเคลอนทไปไดระยะทางตามแนวแรง โดยความสามารถท างานไดนเรยกวาพลงงาน ไดแก พลงงานจลนทเกดขนกบวตถเคลอนท พลงงานศกยทเกดขนกบวตถหยดนง และผลรวมของพลงงานทงสองจะมคาคงตวเรยกวาการอนรกษพลงงาน นอกจากน จะศกษาเกยวกบเครองกลอยางงายทใชหลกการทางฟสกสไปประยกตใชในชวตประจ าวน ไดแก คานชนดตางๆ ลอและเพลา รอกเดยวและรอกพวง พนเอยง ลม และสกร

ภาพท 7.1 ตวอยางเกยวกบงานในชวตประจ าวน

ทมา: Publitek, Inc., 2013.

124

7.1 งานและก าลง

งาน (work) ตามความหมายทางฟสกส คอ ผลคณระหวางแรงทกระท ากบการกระจดท

วตถเคลอนทได โดยทศของแรงทกระท าจะตองมทศเดยวกนกบทศของการกระจดหรอทศของการเคลอนท งานเปนปรมาณสเกลารและหนวยของงานในระบบหนวยเอสไอ คอ นวตนเมตร (Nm) หรอจล (J)

m F F

s

F

m

F

Fcos Fcos

s

(ก) (ข)

ภาพท 7.2 งานทท าเนองจากแรงคงตว F

พจารณาภาพท 7.2(ก) ออกแรง F มคาคงตวกระท ากบวตถมวล m ท าใหวตถเคลอนทไปในแนวเดยวกบแรงทกระท า ไดการกระจด s งานทท า (W) มคาตามสมการ 7.1

FsW sF 7.1

พจารณาภาพท 7.2(ข) ออกแรง F มคาคงตวกระท ากบวตถในทศท ามม กบทศของการเคลอนทและไดการกระจด s งานทท า (W) มคาตามสมการ 7.2

cosFsW sF 7.2

ส าหรบงานทท าเนองจากแรงไมคงตวสามารถเขยนในรปของอนทกรลไดตามสมการ 7.3

sF dW 7.3

ก าลง (power, P) หมายถง อตราการท างานเทยบกบเวลา เปนปรมาณสเกลาร หนวยของก าลงในระบบหนวยเอสไอ คอ จล/วนาท (J/s) หรอวตต (W) ซงสามารถพจารณาไดดงตอไปน

t

WP 7.4

แต W = Fs, vFsF

t

P 7.5

และสามารถเขยนในรปสมการอนพนธไดดงน

vFs

F dt

d

dt

dWP 7.6

Fcos Fcos

125

จากสมการ 7.5 และ 7.6 ถาการกระจดและความเรวมทศเดยวกบแรงทกระท า จะไดวา

FvP 7.7

ตวอยางท 7.1 เจาหนาทโรงพยาบาลออกแรงผลกรถเขนมวล 15 kg ซงมคนปวยมวล 72 kg จากหยดนงดวยความเรง 0.60 m/s ไปไดระยะทาง 2.5 m ดงแสดงในภาพท 7.3 จงค านวณหาขนาดของแรงทเจาหนาทพยาบาลใชเขนรถและงานทท า (ไมคดแรงเสยดทาน)

2.5 m

0.60 m/s2

F


ทมา: Walker, 2004: 175.

วธท า ขนาดของแรงทเจาหนาทพยาบาลใชเขนรถหาไดจากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน

N 2.52)m/s 60.0)(kg 72kg 15( 2 maF

งานทท าหาไดจากสมการ 7.1 ดงน

J 5.130)m 5.2)(N 2.52( FsW

ตวอยางท 7.2 ชายคนหนงก าลงท าความสะอาดพน โดยลากเครองดดฝ นดวยแรง 50.0 N มทศท ามม 30.0 กบแนวระดบ ดงแสดงในภาพท 7.4 จงค านวณหางานทท าใน

การลากเครองดดฝ นไปไดระยะทาง 3.00 m

126

30.0

mg

N

50 N


ทมา: Surway & Jeweett, 2004: 186.

วธท า งานทท าในการลากเครองดดฝ นหาไดจากสมการ 7.2 ดงน

J 130)8660.0)(m 00.3)(N 0.50(0.30cos FsW

7.2 พลงงาน

พลงงาน (energy) คอ ความสามารถท างานได เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนจล (J) เชนเดยวกบงาน พลงงานในวชากลศาสตร ไดแก พลงงานจลนและพลงงานศกย

พลงงานจลน (kinetic energy, K) เปนพลงงานทเกดขนกบวตถเคลอนท ซงสามารถพจารณาไดจากภาพท 7.5 ดงตอไปน

F Fm

s

vi

vf

ภาพท 7.5 พลงงานจลนทเกดขนกบวตถเคลอนท


127

จากนยามของงานตามสมการ 7.3 sF dW

f

i

f

i

f

i

s

s dt

dsmdvd

dt

dmdmW

s

s

s

ss

vsa

222

2

1

2

1

2if

v

v

v

vmvmv

vmvdvmW

f

i

f

i

KKKW if 7.8

เมอ 2

2

1mvK คอ พลงงานจลน

จากสมการ 7.8 หมายความวางานทท า W คอการเปลยนแปลงพลงงานจลน K

พลงงานศกย (potential energy, U) เปนพลงงานทเกดขนกบวตถหยดนง พลงงานศกยในวชากลศาสตร ไดแก พลงงานศกยโนมถวงและพลงงานศกยยดหยน

พลงงานศกยโนมถวง (gravitational potential energy, Ug) เปนพลงงานศกยทขนอยกบต าแหนงความสงของจดศนยถวงของวตถ สามารถพจารณาไดจากภาพท 7.6 ดงตอไปน

mg

mg

m

s

hi

hf

m

ภาพท 7.6 พลงงานศกยโนมถวงทขนอยกบต าแหนงความสงของจดศนยถวงของวตถ



f

i

h

hdmW

sg)(

if mghmghW

ggigf UUUW 7.9

เมอ mghU g คอ พลงงานศกยโนมถวง

จากสมการ 7.9 หมายความวางานทท า W คอการเปลยนแปลงพลงงานศกยโนมถวง Ug

128

พลงงานศกยยดหยน (elastic potential energy, Us) เปนพลงงานศกยทสะสมอยในสปรงหรอวตถทมความยดหยนอน ๆ สามารถพจารณาไดจากภาพท 7.7 ดงตอไปน

s = 0

s = 0

m

m

m

s

s

F = ks

F = ks

v

K = 0

K = 0

K = mv2

Us

= ks21

2

Us

= ks21

2

Us

= 012

ภาพท 7.7 พลงงานศกยยดหยนทสะสมอยในสปรง

ทมา: Serway & Jewett, 2004: 191 และ 223.

ระยะทสปรงยดออกหรอหดเขาจากต าแหนงสมดลจะแปรผนกบแรงทกระท าดงน

ssF k 7.10

เมอ k คอ คาคงตวของสปรง (spring constant)


22

2

1

2

1fi ksksdkW

f

i

s

sss)(

ssfsi UUUW 7.11

เมอ 2

2

1ksU s คอพลงงานศกยยดหยน

จากสมการ 7.11 หมายความวางานทท า W คอการเปลยนแปลงพลงงานศกยยดหยน

Us

129

ตวอยางท 7.5 โยนวตถมวล 5 kg ขนไปในแนวดงจนกระทงถงจดสงสด 3 m จงค านวณหา. อตราเรวเรมตนทโยนขนไปและพลงานศกยโนมถวงของวตถทจดสงสด

วธท า อตราเรวเรมตน gsvv if 222

)m 3)(m/s 8.9(20 22 iv

m/s 7.7iv

พลงงานศกยโนมถวง mghU g

)m 3)(m/s 8.9)(kg 5( 2gU

J 147gU

ตวอยางท 7.6 เครองชงสปรงแบงสเกลไวตงแต 0-20 N และยาว 0.10 m จงค านวณหาคาคงตว

ของสปรงและพลงงานศกยยดหยนขณะอานคาแรงเตมสเกล

วธท า คาคงตวของสปรง ksF

)m 10.0()N 20( k

N/m 200k

พลงงานศกยยดหยน 2

2

1ksU s

2)m 10.0)(N/m 200(2

1sU

J 1sU

7.3 การอนรกษพลงงาน

"พลงงานในระบบหนงอาจท าใหเปลยนรปแบบได เชนพลงงานจลน พลงงานศกย พลงงานความรอน พลงงานแสง เปนตน กฎการอนรกษของพลงงานดงกลาวไมสามารถสรางขนหรอท าลายได ดงนน ผลรวมของพลงงานทงหมดในระบบมคาคงตว" ในทางกลศาสตร พลงงานรวมของระบบ เรยกวา พลงงานกล (mechanical energy, E)

"Energy in a system may take on various forms (e.g. kinetic, potential, heat, light). The

law of conservation of energy states that energy may neither be created nor destroyed. Therefore

the sum of all the energies in the system is a constant."

นนคอ constantE 7.12

จากสมการ 7.8, 7.9 และ 7.11 จะไดวา

130

UK fiif UUKK

ffii UKUK

fi EE 7.13

เมอ UKE คอ พลงงานรวมของระบบหรอพลงงาน

ตวอยางท 7.7 วตถมวล 0.1 kg ผกกบเชอกยาว 0.1 m ดงแสดงในภาพท 7.9 ถาดงมวล 0.1 kg . ใหเชอกตงอยในแนวระดบ ณ ต าแหนงท A แลวปลอยใหแกวงกลบไปกลบมา จงหาอตราเรวของวตถขณะทเชอกท ามม 30 องศา ณ ต าแหนงท B และ

อตราเรวสงสด ณ ต าแหนงท C

C

0.1 m

30A

B

300.1sin30

0.10.1sin30

C

A

B


วธท า ขณะทเชอกอยในแนวระดบ ณ ต าแหนงท A จะมพลงงานศกยสงสดและพลงงานจลน เทากบศนย เมอปลอยใหแกวงจนกระทงเชอกท ามม 30 ณ ต าแหนงท B พลงงาน

ศกยจะลดลงและเปลยนไปเปนพลงงานจลน fi EE

ffii UKUK

ffi mghmvmgh 2

2

10

ffi ghvgh 2

2

10

)m 30sin1.01.0)(m/s 8.9(2

1)m 1.0)(m/s 8.9(0 222 fv

m/s 99.0fv

ณ ต าแหนงท C พลงงานศกยจะเปลยนไปเปนพลงงานจลนทงหมด ท าใหมพลงงานจลนสงสดและมพลงงานศกยเปนศนย

131

fi EE

ffii UKUK

02

10 2 fi mvmgh

02

10 2 fi vgh

02

1)m 1.0)(m/s 8.9(0 22 fv

m/s 4.1fv

7.4 เครองกลอยางงายและการประยกต

เครองกลอยางงาย (simple machines) ทใชหลกการทางฟสกสไปประยกตใชในชวต ประจ าวน ไดแก คาน ลอและเพลา รอก พนเอยง ลม และสกร เปนตน

คาน (lever) หมายถง วตถแขงเกรงทมจดหมน (fulcrum) เพอทวคณแรงเชงกล

ทกระท าตอวตถ ซงใชหลกการของโมเมนต กฎการเคลอนทของนวตน และสถตยศาสตร

การศกษาในสมยแรกๆ เกยวกบคานทยงมงานเขยนหลงเหลออยทเกาทสดคอผลงานของอารคมดสและกฎของคานตงแต 3 ศตวรรษกอนครสตกาล กลาวไววา "ขอทใหฉนยนเถดแลวฉนจะเคลอนโลก" ค าพดของอารคมดสนเปนหลกการทางคณตศาสตรทถกตองของคาน

"Give me a place to stand on, and I will move the earth."

quoted by Pappus of Alexandria

Synagoge, Book VIII, c. AD 340

ภาพท 7.9 อารคมดสและกฎของคาน

ทมา: Carroll, 2009.

132

การพรรณนาเกยวกบลกษณะของคานและองคประกอบตาง ๆ ดงแสดงในภาพท 7.10

Fw

Ll

ภาพท 7.10 ลกษณะของคานและองคประกอบ

ทมา:Wikipedia, 2013.

จากภาพท 7.10 แรงพยายามหรอแรงทกระท า F (smaller effort force) และแรงตานทานหรอน าหนก w (larger resistance force) จะเปนสดสวนกบอตราสวนของความยาวของแขนคาน L (long lever arm) และ l (short lever arm) ซงวดจากจดหมนกบแนวแรง ตามล าดบ

สมดลโมเมนต (moment equilibrium): wlFL

การไดเปรยบเชงกลอดมคต (ideal mechanical advantage): l

LIMA

การไดเปรยบเชงกลปฏบต (actual mechanical advantage): F

wAMA

ประสทธภาพของเครองกล (efficiency of machine): %100inputWork

outputWorkEff

%100Eff FL

wl

การจ าแนกชนดของคานจะพจารณาตามต าแหนงจดหมนและแรงทกระท า ซงม 3 ระดบ ดงแสดงในภาพท 7.11

133

ภาพท 7.11 ชนดของคานและการประยกต

ทมา: Enchanted Learning, 2010.

คานระดบท 1 (first class lever) มจดหมนอยระหวางแรงพยายามและแรงตานทาน เชน ไมกระดก คนโยกสบน า กรรไกร (คานค) คอน(ส าหรบถอนตะป) เปนตน

คานระดบท 2 (second class lever) จะมแรงตานทานอยระหวางจดหมนและแรงพยายามเชน ทตดกระดาษ รถเขนทราย คมกะเทาะผลไมเปลอกแขง อปกรณหนบกลวย เปนตน

คานระดบท 3 (third class lever) จะมแรงพยายามอยระหวางจดหมนและแรงตานทานเชน คมคบน าแขง การกวาดพน ตะเกยบ เปนตน คานประเภทนจะไมชวยผอนแรง

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B3&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B9%84%E0%B8%81%E0%B8%A3

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%94%E0%B8%B2%E0%B8%A9&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%96%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B8%E0%B8%9B%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%AB%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B9%89%E0%B8%A7%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%B5%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%B3%E0%B9%81%E0%B8%82%E0%B9%87%E0%B8%87&action=edit&redlink=1

134

ลอและเพลา (wheel and axle) เปนเครองกลอยางงายซงประกอบดวยวตถทรงกระบอกสองอนตดกน อนใหญเรยกวาลอมรศม R (radius of wheel) อนเลกเรยกวาเพลามรศม r (radius

of axle) ดงแสดงในภาพท 7.12 โดยใชเชอกเสนหนงพนรอบลอส าหรบแรงพยายามหรอแรงดง F เชอกอกเสนหนงพนรอบเพลาส าหรบแรงตานหรอน าหนก w และตองพนเชอกไปคนละทางดวย

F w

R r

w F

ลอ เพลา

ภาพท 7.12 ลกษณะของลอและเพลา

ทมา: Clark, 2005: 171.

เครองกลอดมคต (ideal machine): Work input = Work output

)2()2( rwRF

wrFR

การไดเปรยบเชงกลอดมคต: r

RIMA

การไดเปรยบเชงกลปฏบต: F

wAMA

ประสทธภาพของเครองกล: %100inputWork

outputWorkEff

%100Eff FR

wr

รอก (pulley) เปนเครองกลอยางงายทมลกษณะเปนลอหมนไดคลองรอบตวและมเชอกคลองผานลอส าหรบออกแรงดงเพอใชยกวตถขนทสงหรอหยอนลงไปในทต า แบงเปน 2 ประเภท คอ รอกเดยว และรอกพวง ดงแสดงในภาพท 7.13

135

F

(ก) (ข) (ค) (ง)

F

w

(จ)

w

F

w

F

ww

F

2F

4F

8F

2F

4F

8F

ภาพท 7.13 รอกเดยวและรอกพวง

รอกเดยว (single pulley) แบงออกเปนรอกเดยวตายตวและรอกเดยวเคลอนท

ภาพท 7.13(ก) รอกเดยวตายตว (single fixed pulley) จะตรงอยกบทและมเชอกคลองผานลอ โดยปลายขางหนงผกตดกบวตถ สวนปลายอกขางหนงใชส าหรบดง เมอออกแรง F ดงวตถหนก w ขนในแนวดง แรงทใชดงจะมคาเทากบน าหนกของวตถ F = w ดงนน รอกเดยวตายตวไมชวยผอนแรง (AMA = 1) แตจะอ านวยความสะดวกเทานน เชน การชกธงชาตขนสยอดเสา การขนล าเลยงวสดอปกรณขนทสง เปนตน

ภาพท 7.13(ข) รอกเดยวเคลอนท (suspended pulley) จะมเชอกคลองผานลอ โดย

ปลายขางหนงผกตดกบเพดาน สวนปลายอกขางหนงใชส าหรบดง เมอออกแรง F ดงวตถขนในแนวดงแรงทใชดงจะมคาเทากบครงหนงของน าหนกวตถ

2

wF ดงนน รอกเดยวเคลอนทจะ

ชวยผอนแรงครงหนง (AMA = 2)

รอกพวง (compound pulley) แบงออกเปน 3 ระบบ คอ รอกพวงระบบท 1 ระบบท 2 และระบบท 3 ดงแสดงในภาพท 7.13(ค), (ง) และ (จ) ตามล าดบ

ภาพท 7.13(ค) รอกพวงระบบท 1 ประกอบดวยรอกเดยวเคลอนทหลายตว แตละตวจะมเชอกคลองหนงเสน โดยปลายขางหนงตรงกบเพดาน สวนปลายอกขางหนงผกกบรอกตวถดไป วตถจะผกตดกบรอกตวลางสด และเชอกทคลองผานรอกตวบนสดใชส าหรบออกแรงดง

n2

wF เมอ n คอ จ านวนรอกเดยวเคลอนท

ภาพท 7.13(ง) รอกพวงระบบท 2 ประกอบดวยรอก 2 ตบ ตบบนตรงกบเพดาน และตบลางผกตดกบวตถ ใชเชอกเสนเดยวคลองผานรอกทกตว โดยปลายขางหนงผกตดกบรอก

136

ตวลางสดของตบบน แลวคลองผานรอกตวบนสดของตบลาง สวนปลายอกขางหนงใชส าหรบออกแรงดง

n

wF เมอ n คอ จ านวนรอกทงหมด

ภาพท 7.13 (จ) รอกพวงระบบท 3 ประกอบดวยรอกเดยวตายตว 1 ตว ตรงกบเพดาน และรอกเดยวเคลอนทหลายตว โดยปลายขางหนงของเชอกทคลองผานรอกทกตวจะผกตดกบคานซงมวตถผกตดอย สวนปลายอกขางหนงของเชอกจะผกกบรอกตวถดไป และเหลอปลายสดทายใชส าหรบออกแรงดง

12n

wF เมอ n คอ จ านวนรอกทงหมด

พนเอยง (inclined plane) เปนเครองกลอยางงายทมลกษณะเปนไมกระดานยาวเรยบพาดบนทสง เพอใชส าหรบขนยายสงของขนหรอลงโดยการลากหรอผลก ดงแสดงในภาพท 7.14 มประโยชน คอ ชวยอ านวยความสะดวกและผอนแรง

L

h

w

F

ภาพท 7.14 พนเอยง

จากภาพท 7.16 ออกแรงพยายาม F ผลกวตถหนก w ขนไปตามพนเอยงยาว L สง h

เครองกลอดมคต: whFL

การไดเปรยบเชงกลอดมคต: h

LIMA


wAMA

ประสทธภาพของเครองกล: %100%100inputWork

outputWorkEff

FL

wh

ลม (wedge) เปนเครองกลอยางงายทใชหลกการของพนเอยงในการแยกวตถออกจากกน โดยการออกแรงกระท าในแนวต งฉากกบสนลมและเกดการถายโอนแรงในแนวต งฉากกบ

พนเอยง ดงแสดงในภาพท 7.15

137

s

w

F

R

s

h w

F

w

ภาพท 7.15 ลม

จากภาพท 7.15 แรงพยายาม F และแรงตานทาน w จะเปนสดสวนกบความกวาง s และความสง h ตามล าดบ กลาวคอ ถาความกวางมากกจะตองออกแรงมาก

เครองกลอดมคต: wsFh

การไดเปรยบเชงกลอดมคต: s

hIMA


wAMA

ประสทธภาพของเครองกล: %100%100inputWork

outputWorkEff

Fh

ws

สกร (screw) เปนเครองกลอยางงายชนดหนงทมรปรางคลายกบบนไดเวยนรอบแกน แรงพยายาม F จะเคลอนทเปนวงกลม ขณะทแรงตานทาน w จะเคลอนทขนหรอลงในแนวดง

ดงแสดงในภาพท 7.16 ถาออกแรงพยายามเคลอนทครบ 1 รอบ จะไดระยะทาง 2R และสกรจะเคลอนทขนหรอลงไดระยะระหวางเกลยว (pitch, s)

ภาพท 7.16 สกร

138

เครองกลอดมคต: wsRF )2(

การไดเปรยบเชงกลอดมคต: s

R

2IMA


wAMA

ประสทธภาพของเครองกล: %100)2(

%100inputWork

outputWorkEff

RF

ws

ตวอยางท 7.9 เดกชายสามคนเลนไมกระดกยาว 3.0 m มจดหมนอยตรงกลาง ดงแสดงในภาพ

เดกชาย A มวล 35 kg อยทปลายดานซาย เดกชาย B มวล 25 kg อยดานขวา

หางจากจดหมน 0.4 m เดกชาย C มวล 40 kg อยดานขวาหางจากจดหมน

เทาไร ระบบจงจะสมดล

A

35 kg

B

25 kg

C

40 kg

ทมา: Irvine, 2013.

วธท า สมมตใหเดกชาย C อยดานขวาหางจากจดหมน l ขณะเกดสมดลโมเมนต จะไดวา

l)kg 40()m 4.0)(kg 25()m 5.1)(kg 35(

m 06.1l

ตวอยางท 7.10 รถเขนบรรทกน าหนก w = 500 N ดงแสดงในภาพ จงค านวณหาแรง F ทใช

ยกขน

139

w0.3 m0.7 m

ทมา: Woodford, 2012.

วธท า ขณะเกดสมดลโมเมนตจะไดวา wlFL

)m 3.0)(N 500(m) 0.3m 7.0)(( F

N 150F

140


1. ชายคนหนงออกแรง 124 N ลากวตถมวล 100 kg ใหเคลอนทจากหยดนงไปบนพนราบทไมมความเสยดทาน โดยแนวแรงท ามม 35 กบพน จงค านวณหาความเรงและงานทท าเมอเคลอนทไปไดระยะทาง 0.5 km

2. ชายคนหนงมวล 75 kg สไลดจากทสง 2.50 m ไดระยะทาง 5.00 m จงค านวณหางานเนองจากแรงโนมถวง และงานเนองจากการสไลด

mg2.50 m 5.00 m

ทมา: Walker, 2004: 177.

3. กลองวตถมวล 1.6 kg ตดอยกบสปรงในแนวระดบ ซงมคาคงตว 1000 N/m และอยบนพนทไมมความเสยดทาน ถาออกแรงดนกลองวตถท าใหสปรงถกอดเขาไปเปนระยะ 2.0 cm แลวปลอย จงค านวณหาอตราเรวของกลองวตถขณะผานต าแหนงสมดล

4. วตถมวล 2 kg เคลอนทบนพนทมสมประสทธของความเสยดทานจลน 0.2 ขณะทก าลงสปรงมความเรว 10 m/s ดงแสดงในภาพ จงหาระยะทสปรงหดเขาไปมากทสด

k = 800 N/m 10 m/s

= 0.2

141

5. คานยาว 1 m น าหนก 30 N ถามน าหนก 40 N และ 50 N อยทปลายคาน จงหาจดฟลครมทจะท าใหคานอยในแนวระดบ

40 N 30 N 50 N

6. ออกแรง 20 N ดงวตถมวล 1 kg ใหเคลอนทไปในแนวระดบบนพนขรขระทมสมประสทธของความเสยดทานจลน 0.5 ไปไดระยะทาง 10 m จงหางานสทธ

7. ลอและเพลามอตราสวนของรศมเทากบ 20:5 ดงแสดงในภาพ ถาตองการยกน ามวล

200 kg จะตองออกแรงพยายาม F เทาไร

F w

R:r = 20:5

8. จงหาการไดเปรยบเชงกลของรอกพวง ดงแสดงในภาพ

F F F F

w w w w

F w

ทมา: Wikipedia, 2013.

142

5 m

m 55

Ak = 1000 N/m

B

9. วตถมวล 2 kg มความเรวเรมตน 4 m/s ความเรง 1 m/s2 จงค านวณหาพลงงาน

จลนเมอวตถเคลอนทไปไดระยะทาง 10 m

10. ปลอยวตถมวล 100 g ใหไถลลงตามพนเอยงยาว m 55 สง 5 m ปรากฏวาวตถยงสามารถไถลไปบนพนราบไดอก 15 m จงจะหยดนง ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนระหวางวตถกบพนทงสองเทากนจะมคาเทาไร


11. วตถ A และ B มวล 10 kg และ 5 kg ตามล าดบ วางอยบนพนราบ โดยมสปรงวางคนอยในแนวระดบ ถาออกแรงดนวตถทงสองใหสปรงหดเขาจากต าแหนงสมดล 50 cm หลงจากนนปลอยใหสปรงดนวตถทงสองเคลอนทแยกออกจากกน จงหาค านวณหาความเรวของวตถทงสองขณะทหลดออกจากสปรง

12. มวลขนาด 8 kg เคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 20 m/s ไปชนกบมวลขนาด 2 kg ทเคลอนทไปทางทศตะวนตกดวยความเรว 10 m/s แลวมวลแรกยงคงเคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 10 m/s พลงงานจลนรวมเปลยนไปกจล

143


Carroll, B.W. 2009. Archimedes and the Law of the Lever. Retrieved March 24, 2013, from

http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/lever.htm.

Clark, B.M. 2005. General Science. Retrieved March 24, 2013, from http://www.gutenberg.org/

files/16593/16593-h/16593-h.htm#CHAPTER_XVII.

Enchanted Learning. 2010. Levers: Simple Machines. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.enchantedlearning.com/physics/machines/Levers.shtml.

Florida Center for Instructional Technology. 2009. Compound Pulley. Retrieved March 24,

2013, from http://etc.usf.edu/clipart/35900/35960/comp_pulley2_35960.htm.

Henderson, T. 2011. Power. Retrieved March 24, 2013, from http://www.physicsclassroom.com/

class/energy/u5l1e.cfm.

Irvine, J. 2013. Moments and Equilibrium. Retrieved March 24, 2013, from

http://www. antonine-education.co.uk/Pages/Physics_2/Mechanics/MEC_03/

Mechanics_Page_3.htm.

Publitek, Inc. 2013. Office Work Stock Photos and Images. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.fotosearch.com/photos-images/office-work.html.

Ryan, V. 2012. Pulleys and Lifting-Questions 3. Retrieved March 24, 2013, from

http://www. technologystudent.com/gears1/pulle11.htm.




Wikipedia. 2013. Lever. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Lever.

Wikipedia. 2013. Pulley. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Pulley.

Woodford, C. 2012. Tools and Simple Machines. Retrieved March 24, 2013, from http://www.

explainthatstuff.com/toolsmachines.html.

http://www.gutenberg.org/

http://www.physicsclassroom.com/

http://www/

http://www/


บทท 8 โมเมนตม


8.1 โมเมนตม

8.2 การดลและแรงดล

8.3 การอนรกษโมเมนตม

8.4 การชน

8.5 การระเบด




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบโมเมนตม

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการดลและแรงดล

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการอนรกษโมเมนตม

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการชน

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการระเบด







146










147

บทท 8

โมเมนตม

การออกแรงกระท ากบวตถใหเกดการเปลยนแปลงสภาพการเคลอนทตามกฎการเคลอนทขอสองของนวตน ถาวตถมความเรงแสดงวาความเรวเพมขนและมความหนวงเมอความเรวลดลง ในทางกลศาสตรคลาสสก (classical mechanics) วตถเคลอนทดวยความเรวจะมพลงงานจลน นอกจากน ยงมอกปรมาณหนงทเกยวของกบความเรวโดยตรงคอโมเมนตม (momentum) ซงในบทเรยนนจะไดศกษาถงนยามของโมเมนตมและการเปลยนแปลงโมเมนตมทท าใหเกดแรงดลและการดล (impulsive force and impulse) โดยเฉพาะการอนรกษโมเมนตม (conservation of momentum) ซงเกยวของกบการอนรกษพลงงาน การชนและการระเบด (collision and explosion) และอนๆ

8.1 โมเมนตม

โมเมนตม (p) เปนอกปรมาณหนงทมความสมพนธและเกยวของกบความเรวโดยตรง ซงมนยามคอผลคณระหวางมวล (m) และความเรว (v) ของวตถตามสมการ 8.1

vp m 8.1

โมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอรและมทศเดยวกบความเรว ในระบบหนวยเอสไอจะมหนวยเปน กโลกรมเมตรตอวนาท (kgm/s) หรอนวตนวนาท (Ns)

8.2 การดลและแรงดล

พจารณาจากกฎการเคลอนทขอสองของนวตนดงตอไปน

aF m

แต t

va ,

tm

v

F 8.2

และ vp m , t

pF 8.3

สมการ 8.3 เรยกวา แรงดล (F) ซงเปนการเปลยนแปลงโมเมนตม p ตอเวลาท

สนมาก ๆ t และเขยนความสมพนธใหมไดดงน

148

pF t 8.4

สมการ 8.4 เรยกวา การดล (Ft) ซงเปนการเปลยนแปลงโมเมนตม p โดยจะมหนวยเชนเดยวกบโมเมนตม คอ 1 Ns = 1 kgm/s

ถา 0t จากสมการ 8.2, 8.3 และ 8.4 สามารถเขยนอยในรปสมการอนพนธไดดงน ,

dt

dm

vF

dt

dpF และ pF ddt ตามล าดบ

ส าหรบตวอยางการดลและโมเมนตมดงแสดงในภาพท 8.3

TimeForceImpulse

15.0 m/s

+2.60 m/s

Before

After

ภาพท 8.1 การดลและโมเมนตม

ทมา: Chegg Inc., 2013. และ Wirt, 1998.

ตวอยางท 8.1 ชดสาธตโมเมนตมมลกตมมวล 200 g แกวงขนไปไดสง 10 cm ดงแสดงใน

ภาพท 8.4 จงหาอตราเรวและโมเมนตมของลกตมขณะตกกระทบ


ทมา: Oxford University Press (China) Ltd., 2003.

149

วธท า ขณะทลกตมไดรบการถายโอนโมเมนตมจะมพลงงานจลน แลวแกวงจนถงจดสงสดจะ

มพลงงานศกยโนมถวง นนคอ พลงงานจลนเปลยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวง

จะไดวา mghmv 2

2

1

อตราเรว m/s 4.1)m 10.0)(m/s 8.9(22 2 ghv

โมเมนตม m/skg 280.0)kg)(1.4m/s 200.0( mvp

ตวอยางท 8.2 ลกบอลมวล 0.5 kg ตกลงในแนวดงกระทบพนดวยความเรว v = 25 m/s ในเวลา 0.01 s แลวสะทอนกลบในทศทางเดมดวยความเรว v' = 20 m/s จงค านวณหา

โมเมนตมกอนและหลงการกระทบ การดลของลกบอล และแรงดลทลกบอล

กระท ากบพน

m = 0.5 kg

v =

25

m/s

v' =

20

m/s

t = 0.01 s


วธท า โมเมนตมกอนกระทบ m/skg 5.12)m/s 25)(kg 5.0( vp m

โมเมนตมหลงกระทบ m/skg 0.10)m/s 20)(kg 5.0( vp m

การดล m/skg 5.22)m/skg 0.10()m/skg 5.12( pF t

แรงดล N 2250s 0.01

m/skg 5.22

t

pF

150

8.3 การอนรกษโมเมนตม

จากกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน วตถจะรกษาสภาพหยดนงหรอสภาพเคลอนทอยางสม าเสมอเปนเสนตรง นอกจากจะมแรงลพธทมคาไมเปนศนยมากระท า หมายความวา ถาวตถเคลอนทจะมความเรวคงตว แสดงวา โมเมนตมของวตถจะมคาคงตวดวย นนคอ ถาไมมแรงลพธมากระท ากบวตถ โมเมนตมของวตถจะมคาคงตวทงขนาดและทศทาง ตามสมการ 8.5

จะไดวา constant vp m 8.5

ส าหรบตวอยางการอนรกษโมเมนตมดงแสดงในภาพท 8.6

เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบโมเมนตมและการอนรกษโมเมนตมมากขน จะตองศกษาเกยวกบการชนและการระเบด

p = mv

1 2

p = mv

3 4

ภาพท 8.4 ตวอยางการอนรกษโมเมนตม

ทมา: Silver, 2013. และ Yeates, 2009.

8.4 การชน

พจารณาการชน (collision) ของวตถมวล 1m และ 2m มความเรวกอนชน 1v และ 2v หลงชนมความเรว 1v และ 2v ตามล าดบ ดงแสดงในภาพท 8.7

151

Before Collision After Collision Collision v

1 v

2

111 vp m 222 vp m dtdt 21 FF 111 vp m 222 vp m

1v 2v

m1 m2 m1

m2 m1 m2

ภาพท 8.5 การชนของวตถมวล 1m และ 2m

ทมา: Wikispaces, 2013.

โมเมนตมกอนชน 221121 vvppp mm

โมเมนตมหลงชน 221121 vvppp mm

พจารณาการดล dtdt 21 FF

)( 22221111 vvvv mmmm

22112211 vvvv mmmm

pp 8.6

จากสมการ 8.6 หมายความวา ผลรวมของโมเมนตมกอนชนเทากบผลรวมของโมเมนตมหลงชน เรยกวา กฎการอนรกษโมเมนตม (the law of conservation of momentum)

ภาพท 8.6 ตวอยางการชนและกฎการอนรกษโมเมนตม

ทมา: The Antonine Education Website, 2013.

152

การจ าแนกชนดการชนโดยพจารณาจากทศทางการเคลอนทของวตถ

1. การชนแบบหนงมต เปนการชนกนในแนวเสนตรงผานจดศนยกลางมวล โดยวตถจะเคลอนทในแนวเสนตรงเดยวกนทงกอนชนและหลงชน นยมใชเครองหมายบวกและลบแทน

ทศทางการเคลอนท

2. การชนแบบหลายมต เปนการชนกนในทศท ามมไมผานจดศนยกลางมวล โดยมมของการชนไมใช 0 และ 180 องศา นยมแยกองคประกอบของการชนเปน 2 แนว ตงฉากกน คอ ในแนวแกน X และ Y

การจ าแนกชนดการชนโดยพจารณาจากพลงงานจลนและลกษณะรปรางของวตถ

1. การชนแบบยดหยน (elastic collision) พลงงานจลนจะไมสญหายและไมเปลยนไปเปนพลงงานรปอน โดยภายหลงการชนวตถทงสองจะเคลอนทแยกจากกน ถาลกษณะรปรางของวตถมการเปลยนแปลงกจะกลบคนสสภาพเดมได

การอนรกษโมเมนตม pp

22112211 vvvv mmmm

)()( 222111 vvvv mm 8.7

การอนรกษพลงงาน KK

2

222

11222

211

2

1

2

1

2

1

2

1vvvv mmmm

)()( 22

222

21

211 vvvv mm

))(())(( 2222211111 vvvvvvvv mm 8.8

จากสมการ 8.7 และ 8.8 จะไดความสมพนธใหมตามสมการ 8.9

2211 vvvv 8.9

2. การชนแบบไมยดหยน (inelastic collision) พลงงานจลนจะไมสญหายแตจะเปลยนไปเปนพลงงานรปอน โดยภายหลงการชนวตถทงสองอาจเคลอนทแยกจากกนหรอตดกนไป ถาลกษณะรปรางของวตถมการเปลยนแปลง จะไมกลบคนสสภาพเดมได

ตวอยางท 8.3 ลกปนมวล m1 = 2 g ความเรว v1 = 200 m/s ยงเขาไปในวตถมวล m2 = 10 g ซงอยนง (v2 = 0) ปรากฏวาลกปนฝงอยในวตถและเคลอนทไปดวยกนดวย

ความเรว v' ดงแสดงในภาพท 8.9 จงค านวณหาความเรวของลกปนและวตถ

153

m2, v2 = 0m1, v1 = 200 m/s

m1+ m2v'


วธท า การอนรกษโมเมนตม pp

v)vv 212211 ( mmmm

v )kg 01.0kg 002.0(0)m/s 200)(kg 002.0(

m/s 3.33v

ตวอยางท 8.4 วตถทรงกลมมวล 1 kg ผกตดกบเชอกยาว 8 cm และตรงไวทจด A ดงแสดงใน

ภาพท 8.10 เมอปลอยใหตกลงกระทบกบวตถมวล 4 kg ซงวางนงอยบนพนท

ไมมความเสยดทาน ถาเปนการชนแบบยดหยน จงหาอตราเรวของวตถทงสอง

กอนและหลงการกระทบ

8 cm

1 kg

4 kg

A

v1

v2 = 0


วธท า อตราเรวกอนการกระทบของมวล 1 kg สามารถพจารณาไดจากกฎการอนรกษพลงงาน

fi EE

ffii UKUK

02

10 2

1 mvmghi

154

m/s 25.1)m 08.0)(m/s 8.9(22 21 ighv

อตราเรวกอนการกระทบของมวล 4 kg ซงอยนง คอ 02 v

อตราเรวหลงการกระทบซงเปนการชนแบบยดหยน พจารณาไดจากกฎการอนรกษโมเมนตมและการอนรกษพลงงาน


vvvv 2112211 mmmm

21 )kg 4(kg) 1()0)(kg 4()m/s 25.1)(kg 1( vv

21 425.1 vv (1)

การอนรกษพลงงาน 2211 vvvv

21 0m/s 25.1 vv

1225.1 vv (2)

จากสมการ (1) และ (2) จะไดวา m/s 75.01 v และ m/s 50.02 v

ตวอยางท 8.5 วตถมวล 2 kg และ 4 kg เคลอนทเขาหากนดวยความเรว 10 m/s และ 2 m/s ตามล าดบ ดงแสดงในภาพท 8.11 ถาการชนกนของวตถทงสองผาน

จดศนยกลางมวล จงหาความเรวหลงการชน เมอ

(ก) เปนการชนแบบไมยดหยน โดยหลงการชนวตถทงสองตดกน

(ข) เปนการชนแบบยดหยน (6 m/s เทากน โดยวตถทงสองสะทอนกลบในแนวเดม)

m1 = 2 kg m2 = 4 kgv1 = 10 m/s v2 = 2 m/s


วธท า (ก) การอนรกษโมเมนตม pp

v)vv 212211 ( mmmm

v )kg 4kg 2()m/s 2)(kg 4()m/s 10)(kg 2(

155

m/s 2v ทศเดยวกบวตถมวล 2 kg

(ข) การอนรกษโมเมนตม pp

vvvv 2112211 mmmm

21 )kg 4(kg) 2()m/s 2)(kg 4()m/s 10)(kg 2( vv

21 4212 vv

62 21 vv

การอนรกษพลงงาน 2211 vvvv

21 m/s 2m/s 10 vv

1221 vv

จากสมการ (1) และ (2) จะไดวา m/s 61 v และ m/s 62 v

8.5 การระเบด

การระเบด (explosion) ตามทเขาใจกนทว ๆ ไปเปนการแตกสลายออกจากกนอยางรนแรง ท าใหเกดอนตรายและความเสยหายได การระเบดตามความหมายทางฟสกส หมายถง การทวตถตดอยดวยกนแลวเคลอนทแยกออกจากกนหรอเคลอนทสมพทธกน ซงสามารถจ าแนกได 2 แบบ ดงน

1. การระเบดแบบอสระตอกน เปนการระเบดทภายหลงการระเบดวตถเคลอนทแยกออกจากกนอยางอสระ เชน การยงปน วตถตกลงสพนแลวแตกกระจาย การกระโดดรม เปนตน

2. การระเบดแบบสมพทธกน เปนการระเบดทภายหลงการระเบดวตถยงคงอยดวยกน เชน คนวงอยบนรถไฟ คนเดนอยบนเครองบน เปนตน

การค านวณเกยวกบการระเบดยงคงใชหลกการเดมเชนเดยวกบการชน คอ


ถาเปนการระเบดในสองมต xx pp

และ yy pp

ตวอยางท 8.6 ปนมวล 5 kg ยงลกปนมวล 0.02 kg ออกไปดวยความเรว 500 m/s ดงแสดงใน

. ภาพท 8.12 จงค านวณหาความเรวของปนขณะยง

156

m1 = 5 kg

v1 = 0 m/s

m2 = 0.02 kg

v2 = 0 m/s m1 = 5 kg

v1m2 = 0.02 kg

v2 = 500 m/sกอนการยงปน หลงการยงปน


ทมา: Jackson, 2013.

วธท า การอนรกษโมเมนตม pp

22112211 vvvv mmmm

)m/s 500)(kg 02.0()kg 5(00 1 v

m/s 21 v

ตวอยางท 8.8 ชายคนหนงมวล 80 kg ยนนงอยบนรถมวล 1000 kg ก าลงเคลอนทดวยอตราเรว 10 m/s ครนชายคนนวงไปหลงรถดวยอตราเรว 2 m/s สมพทธกบรถ จงค านวณหาอตราเรวของรถขณะทชายคนนก าลงวง

วธท า การอนรกษโมเมนตม 22112211 vvvv mmmm

)m/s 210)(kg 80()kg 1000()m/s 10)(kg 80()m/s 10)(kg 1000( 1 v

m/s 16.101 v

ตวอยางท 8.9 ชายคนหนงมวล 50 kg ยนนงอยทายเรอมวล 500 kg ก าลงเคลอนทดวยอตราเรว 3 m/s ครนชายคนนเดนไปยงหวเรอดวยอตราเรว 1 m/s สมพทธกบเรอ จงค านวณหาอตราเรวของเรอขณะทชายคนนก าลงเดน

วธท า การอนรกษโมเมนตม 22112211 vvvv mmmm

)m/s 13)(kg 50()kg 500()m/s 3)(kg 50()m/s 3)(kg 500( 1 v

m/s 90.21 v

157

m1

m2

37

37

v1 = 10 m/s v2 = 5 m/s m1

m2

v' = ?

กอนการชน หลงการชน

10 cm

100 g 300 g

ต าแหนงสมดล


1. นกวงแขงขนมวล 75 kg วงระยะทาง 100 m ใชเวลาประมาณ 12 s จงค านวณหาความเรวพลงงานจลน และโมเมนตม โดยสมมตวาวงดวยความเรวสม าเสมอ

2. วตถมวล m1 = 2 kg และ m2 = 8 kg เคลอนทดวยความเรว 10 m/s และ 5 m/s ตามล าดบ โดยมทศการเคลอนท ดงแสดงในภาพ ถาเปนการชนแบบไมยดหยนและหลงการชนวตถทงสองตดกน จงค านวณหาความเรวและทศทาง

3. ชายคนหนงมวล 60 kg ยนนงอยบนรถมวล 440 kg ก าลงเคลอนทดวยอตราเรว 8 m/s ครนชายคนนวงไปหลงรถดวยอตราเรว 2 m/s สมพทธกบรถ จงค านวณหาอตราเรวของรถขณะทชายคนนก าลงวง

4. อดสปรงเขาไปเปนระยะ 10 cm จากต าแหนงสมดล หลงจากนนน าวตถมวล 100 g วางตดกบสปรงแลวปลอยใหสปรงดดวตถมวล 100 g เขาชนวตถมวล 300 g ซงวางอยในแนวเดยวกน ถาเปนการชนแบบยดหยนและไมคดแรงเสยดทาน วตถมวล 100 g จะชนสปรงหดเขาจากต าแหนงสมดลเทาไร โดยสมมตวาสปรงอยทต าแหนงสมดลขณะทถกชน

158

5. ลกบลเลยดมวล 200 g มความเรว 10 m/s ชนกบลกบลเลยดอกลกหนงซงอยนง ปรากฏวาลกบลเลยดทเขาชนมความเรวเปลยนไปเปน 8 m/s ทศท ามม 37 กบแนวเดม ถาเปนการชนแบบยดหยน จงค านวณหาความเรวของลกบลเลยดทถกชน

6. วตถมวล m ตกลงมาในแนวดง ขณะทอยหางจากพน 100 m นน มความเรว 20 m/s และไดเกดระเบดแตกออกเปนสองกอน แตละกอนมมวลเทาๆ กน และยงคงเคลอนทอยใน แนวดงทงค ทนทหลงการระเบดมวลกอนหนงเคลอนทลงมาดวยความเรว 60 m/s จงหาวา

ทเวลา 2 s หลงการระเบด มวลทงสองจะอยหางกนเปนระยะทางเทาใด

7. มวล m วงเขาชนมวล M ทตดสปรงเบามคาคงตวของสปรง k ดวยความเรว u

ดงแสดงในภาพท บ8.24 พลงงานจลนของระบบเปนเทาไร เมอ m กบ M ใกลกนทสด


8. เมลดพชชนดหนงขณะก าลงตกลงสพนดวยความเรวตามแนวดงขนาด V0 เกดการดดตวแยกออกจากกนของเมลดเปนสองสวนเทากน สวนหนงของเมลดมความเรวขนาด V0

ในทศทางเคลอนทขน อกสวนหนงจะมขนาดความเรวเทาใด

9. มวล A วงดวยอตราเรว 1.0 m/s เขาชนมวล B ซงอยนง หลงการชนมวล B วงไปในทศ 30

o กบแนวเดมของ A หลงการชนมวล A จะวงดวยอตราเรวเทาใดและทศท ามมเทาใดกบแนวเดม

10. รถทดลองมวล 1.0 kg เคลอนทดวยความเรว 2 m/s เขาชนรถทดลองอกคนหนง ซงมมวลเทากนและอยนง หลงการชนรถทดลองทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาคาพลงงานความรอนทเกดจากการชน

11. วตถ A มวล 8 kg เคลอนทไปทางแกน +X ดวยความเรว 10 m/s ชนกบวตถ B

มวล 10 kg ซงก าลงเคลอนทไปทางแกน +Y ดวยความเรว 6 m/s ภายหลงการชนวตถทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวลพธภายหลงการชน

159

12. ลกบลเลยด A วงดวยอตราเรว 10 m/s เขาชนลกบลเลยด B ทอยนงและมมวลเทากบ A หลงจากชนกนแลว ลกบลเลยดทงเคลอนทแยกออกจากกน โดย A โดยท ามม 37

o

กบแนวเดมดงแสดงในภาพ ถาการชนเปนแบบยดหยนและไมคดผลจากการหมนและความฝดของพนกบลกบลเลยด อตราเรวของลกบลเลยดทงสองจะเปนเทาใด

160


ARC Forums. 2008. MiG-31 Foxhound. Retrieved March 24, 2013, from http://s362974870.

onlinehome.us/forums/air/index.php?showtopic=146084.

Chegg, Inc. 2013. Momentum and Impulse Questions. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/xi5ssstudentboxborder-

container1-example62how-good-are-the-bumpersgoalfind-an-impulse-and--q665315.

Jackson, K.A. 2013. Chapter 4: Impulse and Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://francesa.phy.cmich.edu/people//andy/Physics110/Book/Chapters/Chapter4.htm.

Oxford University Press (China) Ltd. 2003. Newton's Cradle. Retrieved March 24, 2013, from

http://sciencecity.oupchina.com.hk/npaw/student/glossary/newtons_cradle.htm.

Rougemont School. 2013. Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://rougemontphysics. blogspot.com/.

Silver, J. 2013. Conservation of Kinetic Energy and Linear Momentum in an Elastic

Collision. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.education.com/science-fair/article/ elastic-collisions/.

The Antonine Education Website. 2013. Further Mechanics Tutorial 2 - Conservation of

Momentum. Retrieved March 24, 2013, from http://www.antonine-education.co.uk/

Pages/Physics_4/Further_Mechanics/FMC_02/FMech_Page_2.htm

Wikispaces. 2013. Chapter 7.5 Collisions. Retrieved March 24, 2013, from https://strongphysics.

wikispaces.com/ch7_ccjp.

Wirt, S. 1998. Intro to Impulse & Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.regentsprep.org/Regents/physics/phys01/intromom/sld001.htm.

Yeates, M. 2009. Newton's Laws of Motion. Retrieved March 24, 2013, from

http://simplethinking.com/teaching/newtonlaws.shtml.

Zobel, E.A. 2011. Definition of Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/momentum/definition/moment

umDefinition1.html.

http://s362974870/


http://www.education.com/science-fair/article/

http://www.antonine-education.co.uk/

https://strongphysics/

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/momentum/definition/momentumDefinition1.html

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/momentum/definition/momentumDefinition1.html


บทท 9 การเคลอนทของวตถแขงเกรง


9.1 จลนศาสตรของการหมน

9.2 ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม

9.3 พลศาสตรของการหมน

9.4 ทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน

9.5 โมเมนตมเชงมม




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบจลนศาสตรของการหมน

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบพลศาสตรของการหมน

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบโมเมนตมเชงมม







162










163

บทท 9

การเคลอนทของวตถแขงเกรง

บทเรยนนจะไดศกษาเกยวกบการเคลอนทแบบหมน (rotational motion) ของวตถหลายอนภาครอบแกนนงดงแสดงในภาพท 9.1 ตวอยางเชน ไจโรสโคป (gyroscope) ลกขาง (spinning top) การหมนรอบแกนของโลก (spin axis of the earth) เปนตน โดยมเนอหาตางๆ ประกอบดวย จลนศาสตรของการหมน ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม พลศาสตรของการหมน ทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน และโมเมนตมเชงมม

ภาพท 9.1 ตวอยางการเคลอนทแบบหมนตาง ๆ

ทมา: Pidwirny & Jones, 2010. และ Wikipedia, 2013.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:3D_Gyroscope.png

164

9.1 จลนศาสตรของการหมน

เพอความสะดวกในการพจารณาปรมาณตางๆ เกยวกบการเคลอนทแบบหมน จะสมมตใหวตถในอดมคตมรปรางแนนอนสมบรณ ไมมการเปลยนแปลงรปรางและขนาดเมอวตถเปลยนสภาพการเคลอนท เรยกวา วตถแขงเกรง (rigid body) และการบอกต าแหนงของอนภาคตางๆ จะใชระบบพกดเชงขว คอ (r, ) โดยก าหนดใหวตถแขงเกรงหมนอยในระนาบ XY รอบแกน Z ดงแสดงในภาพท 9.2 ต าแหนงของอนภาคมวล m อยหางจากแกนการหมน r ท ามม กบแกน X และมม น เรยกวา ต าแหนงเชงมม (angular position)

X

Y

Z

m r

Y

Z

m r

X

v

Angular Velocity vector

The right hand rule for angular quantities

Sense of rotation of the wheel

Wrap the right hand around the axis of rotation so that the fingers are pointing in the direction of rotation. The thumb points in the direction of the angular velocity vector.

ภาพท 9.2 การบอกต าแหนงของอนภาคในระบบพกดเชงขว

ทมา: Encyclopedia Britannica, Inc., 2013. และ HyperPhysics, 2011.

พจารณาภาพท 9.2 เมอวตถแขงเกรงหมนรอบแกน Z ต าแหนงเชงมมของอนภาคมวล m จะมการเปลยนแปลง ท าใหเกดการกระจดเชงมม (angular displacement, ) ในชวงเวลา t ขนาดของความเรวเชงมมเฉลย (average angular velocity, av) หาไดจากสมการ 9.1

t

av 9.1

ขนาดของความเรวเชงมมขณะใดขณะหนง (instantaneous angular velocity, ) หาไดโดยการพจารณาทเวลา t 0 ตามสมการ 9.2

dt

d

tt

0

lim 9.2

165

ความเรวเชงมม (angular velocity, ) เปนปรมาณเวกเตอร มทศเดยวกบแกนหมนตามกฎมอขวา (right-hand rule) โดยการก านวทงสไปในทศทวตถก าลงหมน ทศทนวหวแมมอชไปจะแสดงถงทศของความเรวเชงมม และขนาดของความเรวเชงมม เรยกวา อตราเรวเชงมม

(angular speed) มหนวยเปนเรเดยนตอวนาท (rad/s)

ความเรงเชงมม (angular acceleration, ) มนยามคออตราการเปลยนแปลงความเรวเชงมม เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปนเรเดยนตอวนาท2 (rad/s

2) และความเรงเชงมมเฉลย (average

angular acceleration, av) หาไดจากสมการ 9.3

t

ωα av 9.3

ความเรงเชงมมขณะใดขณะหนง (instantaneous angular acceleration) หาไดโดยการพจารณาทเวลา t 0 ตามสมการ 9.4

dt

d

tt

ωωα

0

lim 9.4

เวกเตอรความเรงเชงมม (angular acceleration vector) จะมทศเดยวกบความเรวเชงมม

กตอเมอขนาดของความเรวเชงมมเพมขน และความเรงเชงมมจะมทศตรงขามกบความเรวเชงมมเมอขนาดของความเรวเชงมมลดลง

การเคลอนทแบบหมนดวยความเรงเชงมมตงตว (constant angular acceleration) สามารถพจารณาไดเชนเดยวกนกบการเคลอนทในแนวเสนตรงทมความเรงคงตว และสมการทไดยงมความใกลเคยงกนดวย ดงรายละเอยดตอไปน

ก าหนดให การหมนของวตถทเวลาเรมตน t = 0 มขนาดของความเรวเชงมม i และ

ทเวลา t ใดๆ มขนาดของความเรวเชงมม f

จากสมการ 9.4 จะไดวา dtd

tdtd

f

i 0

tif

tif 9.5

พจารณาการกระจดเชงมมจากความเรวเชงมมเฉลยไดตามสมการ 9.6

ttfi

2av

9.6

จากสมการ 9.5 จะไดวา

if

t แทนคาลงในสมการ 9.6 ไดดงน

2

))(( iffi

166

2

22if

222if 9.7

แทนคา tif จากสมการ 9.5 ลงในสมการ 9.6 ไดดงน

ttii

2

2

2

1tti 9.8

สมการของการเคลอนทแบบเสนตรงดวยความเรงและการเคลอนทแบบหมนดวยความเรงเชงมม สามารถเปรยบเทยบไดตามตารางท 9.1

ตารางท 9.1 เปรยบเทยบสมการของการเคลอนทแบบเสนตรงและแบบหมน

การเคลอนทแบบเสนตรง การเคลอนทแบบหมน

atvv if tif

tvv

sfi

2

t

fi

2

asvv if 222 222if

2

2

1attvs i 2

2

1tti

ตวอยางท 9.1 แกนหมนของลอมทศไปในแนวแกน Z ดวยความเรวเชงมม 2 rad/s ถาแกน

หมนของลอเปลยนทศไปในแนวแกน Y ดวยความเรวเชงมมเทาเดม ในเวลา 1 s จงค านวณหาขนาดของความเรงเชงมม

วธท า ความเรงเชงมม dt

dωα

s1

rad/s)k2j2(

α

2rad/s)k2j2(

α

ขนาดของความเรงเชงมม 222 rad/s)2()2( α

2rad/s22 α

ตอบ ขนาดของความเรงเชงมมเทากบ 22 rad/s2

167

ตวอยางท 9.2 ในการปนจกรยานของชายคนหนง ทต าแหนงเรมตนจากแกน X และเวลา t = 0

s มขนาดของความเรวเชงมม 4.00 rad/s ถาความเรงเชงมมมคาคงตว 2.00 rad/s2

จงค านวณหามมและขนาดของความเรวเชงมมเมอเวลาผานไป 3.00 s

วธท า มมทกวาดไปไดทงหมด 2

2

1ttif

22 )s00.3)(rad/s00.2(2

1)s00.3)(rad/s00.4( f

rad0.21 f

แต 1 รอบ เทากบ 2 rad;

rad2

rev1rad0.21

rev34.3

หรอ

rev1

rad2rev34.0

123rad14.2

ความเรวเชงมม tif

)s00.3)(rad/s00.2()rad/s00.4( 2 f

rad/s0.10 f

หรอ

rad2

rev1rad/s0.10f

rev/s59.1 f

ตอบ มมและขนาดของความเรวเชงมมเทากบ 123 และ 10.0 rad/s หรอ 1.59 rev/s

ตามล าดบ

9.2 ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมม

พจารณาความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมมของการเคลอนทแบบหมน ดงแสดงในภาพท 9.3 อนภาคของวตถ ณ ต าแหนง P เคลอนทเปนวงกลมในระนาบ XY รอบแกน Z เปนระยะ r โดยเรมเคลอนทจากแกน X ไปไดระยะทาง s และมมมกวาดไปได ซงสามารถเขยนความสมพนธเปน rs หรอเขยนในรปสมการอนพนธไดตามสมการ 9.9

168

X

Y

Z

v at

arr

s

P

ภาพท 9.3 แสดงการเคลอนทแบบหมนของอนภาคของวตถ

ทมา: HyperPhysics, 2011.

dt

dr

dt

ds 9.9

rv 9.10

เมอ v คอขนาดของความเรวเชงเสน และ คอขนาดของความเรวเชงมม

ความเรงเชงเสน rrdt

d

dt

dvat

9.11

ความเรงสศนยกลาง rr

vaa rc

22

9.12

ภาพท 9.4 ความสมพนธระหวางตวแปรเชงเสนกบตวแปรเชงมมของการเคลอนทแบบหมน

ทมา: DiMauro, 2008.

http://sdsu-physics.org/physics180/Movies/10_rigidbody.swf

169

9.3 พลศาสตรของการหมน

พจารณาการเคลอนทแบบหมนของวตถแขงเกรง ดงแสดงในภาพท 9.5 โดยอนภาคมวล m

i เคลอนในแนววงกลมรศม r

i ในระนาบ XY รอบแกน Z ดวยความเรวเชงมม

vi

mi

xi

yi

ri

i X

Y

O

ภาพท 9.5 อนภาคมวล mi เคลอนในแนววงกลมรศม r

i ในระนาบ XY รอบแกน Z

จากภาพท 9.5 สามารถพจารณาองคประกอบในการเคลอนทของอนภาคมวล mi ไดดงน

ความเรวเชงเสน ii rv ω เมอ kω 9.13

อตราเรวเชงเสน ii rv เมอ 22iii yxr 9.14

พลงงานจลน 2

2

1iivmK 9.15

และสามารถหาพลงงานจลนรวมของวตถแขงเกรงทก าลงหมนไดตามสมการ 9.16

n

iiivmK

1

2

2

1 9.16

เมอ i เปนดชนของอนภาคมวล m ใด ๆ และแตละอนภาคจะมอตราเรวแตกตางกน แตมอตราเรวเชงมมเทากน ดงนน สามารถเขยนพลงงานจลนในรปของอตราเรวเชงมม ไดดงน

2

1

22

1

2

2

1

2

1)(

2

1

IrmrmK

n

iii

n

iii 9.17

เมอ

n

iii rmI

1

2 เรยกวา โมเมนตความเฉอย (moment of inertia) ซงสามารถเขยน

ในรปของอนทรกรลไดตามสมการ 9.18

dmrI2 9.18

ส าหรบโมเมนตของแรงหรอทอรกของอนภาคมวล mi มคาตามสมการ 9.19

iii Frτ 9.19

170

เนองจาก ,ii Fr iii amF และ ii ra แทนคาลงในสมการ 9.19 ไดดงน

2)()( iiiiiiiii rmrmramr 9.20

จะไดทอรกรวมของวตถแขงเกรงทก าลงหมนมคาตามสมการ 9.21

Irmn

iii

1

2 9.21

ตวอยางท 9.3 แทงวตถมวล M ยาว L ดงแสดงในภาพท 9.6 มความหนาแนนมวลตอ3

ความยาว จงหาโมเมนตความเฉอยขณะหมนอยในระนาบ XY รอบแกน Z

dxX X

Z Z

O OL

(ก)L/2 +L/2dx

(ข)

ภาพท 9.6 แทงวตถมวล M ยาว L

วธท า ความหนาแนนมวลตอความยาว dx

dm

L

M หรอ dxdm

จากสมการ 9.18 จะไดวา dxxI Z2

ภาพท 9.6(ก) 2

0

2

3

1MLdxxI

L

Z

ภาพท 9.6(ข) 22/

2/

2

12

1MLdxxI

L

LZ

ตอบ โมเมนตความเฉอยตามภาพท 9.7(ก) และ (ข) เทากบ 2

3

1ML และ 2

12

1ML


ส าหรบโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตางๆ เชน ทรงกระบอก (cylinder) ทรงกลม (sphere) วงแหวน (ring) แผน (plate) และแทง (rod) ดงแสดงในภาพท 9.8

171

Solid Cylinder or Disc Thick Ring Thin Hoop or Ring

Flat Plate Solid Sphere Thin-Walled Hollow Sphere

Slender Rod Slender Rod R R R1 R2

R R

L L

A

B

M M M

M M M

M M

2

2

1MRI )(

2

1 22

21 RRMI 2

MRI

)(12

1 22BAMI 2

5

2MRI 2

3

2MRI

2

12

1MLI 2

3

1MLI

ภาพท 9.7 โมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ

ทมา: Thacker, 2004.

9.4 ทฤษฎบทงาน-พลงงานจลนของการเคลอนทแบบหมน

พจารณาภาพท 9.9 ถาวตถถกกระท าดวยแรง F ท าใหหมนไปเปนมม d จากนยามของงาน จะไดวา

dFrdFdsdW 9.22

แต dt

dII

แทนคาลงในสมการ 9.22 ไดดงน

dIddt

dIdW

f

i

dIdWW

0

22

2

1

2

1if IIW

KKKW if 9.23

172

สมการ 9.23 แสดงความสมพนธระหวางงานกบการเปลยนแปลงพลงงานจลนเนองจากการเคลอนทแบบหมน เปนไปตามทฤษฎบทงาน-พลงงานจลน (work-kinetic energy theorem) เชนเดยวกนกบการเคลอนทเชงเสน

ส าหรบก าลงของการเคลอนทแบบหมนพจารณาไดตามสมการ 9.24

dt

d

dt

dWP 9.24

ภาพท 9.8 แสดงการเคลอนทแบบหมนตามทฤษฎบทงาน-พลงงานจลน ทมา: Singh, 2009.

9.5 โมเมนตมเชงมม

จากสมการ 9.21 สามารถเขยนใหอยในรปของเวกเตอรไดเปน ατ I โดยททอรกและความเรงเชงมมจะมทศเดยวกนเสมอ และเมอแทนคา

dt

dωα จะไดความสมพนธใหมตาม

สมการ 9.25

dt

d

dt

dI

dt

dI

Lτ ωω

9.25

เมอ L = I คอ โมเมนตมเชงมม (angular momentum) หรอโมเมนตมในเชงการหมน

ซงเมอเปรยบเทยบกบโมเมนตมเชงเสน p = mv กจะมลกษณะคลายคลงกน

173

สมการ 9.25 หมายความวา ทศของการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมจะมทศเดยวกนกบทอรกเสมอ และไมจ าเปนตองเปนทศเดยวกบแกนหมน ซงจะเปนไปตามการบงคบของสมการการสายแบบควง (precession) ของลกขาง ดงแสดงในภาพท 9.9

ภาพท 9.9 แสดงการสายแบบควงของลกขาง

ทมา: HyperPhysics, 2005.

ตวอยางท 9.4 พจารณาภาพท 9.11 วตถ 3 กอน เชอมตอกนดวยแทงโลหะอยในแนวแกน Y และหมนรอบแกน X ดวยอตราเรวเชงมม 2 rad/s จงหา

(ก) โมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1 IK

(ข) อตราเรวเชงเสนและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1iivmK

(ค) โมเมนตมเชงมมของการหมน

174

X

Y

4 kg

2 kg

3 kg

y = 3 m

y = 2 m

y = 4 m


วธท า (ก) โมเมนตความเฉอย

n

iii rmI

1

2

2222 mkg92)m4)(kg3()m2)(kg2()m3)(kg4( I

พลงงานจลนรวม 2

2

1 IK

J184)s/rad2)(mkg92(2

1 22 K

ตอบ โมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนรวมเทากบ 92 kgm2 และ 184 J ตามล าดบ

(ข) อตราเรวเชงเสน ii rv

วตถมวล 4 kg ,s/m6)m3)(s/rad2( v J72)s/m6)(kg4(2

1 2 K


1 2 K


1 2 K

พลงงานจลนรวม J184J96J16J72 K

ตอบ อตราเรวเชงเสนของวตถมวล 4 kg, 2kg และ 3 kg เทากบ 6 m/s, 4 m/s และ 8 m/s ตามล าดบ และพลงงานจลนรวมเทากบ 184 J

(ค) โมเมนตมเชงมม

22 m/skg184)s/rad2)(mkg92( IL

ตอบ โมเมนตมเชงมมเทากบ 184 กโลกรมเมตรตอวนาท2

175

ตวอยางท 9.5 ทรงกลมตนมวล M รศม R กลงบนพนเอยงสง h โดยไมไถล เมอสนสด

พนเอยง

(ก) จดศนยกลางของทรงกลมจะมอตราเรวเทาไร

(ข) จงหาโมเมนตมเชงมมของการหมน

วธท า (ก) จากกฎการอนรกษพลงงาน MghIMv 22

2

1

2

1

แทนคา 2

5

2MRI และ

R

v ไดดงน

MghR

vMRMv 222 ))(

5

2(

2

1

2

1

ghv 2.1

ตอบ เมอสนสดพนเอยงจดศนยกลางของทรงกลมจะมอตราเรวเทากบ gh2.1

ซงจะขนอยกบ

ความสงของพนเอยง ไมขนอยกบมวลและรศม

(ข) โมเมนตมเชงมม IL

)2.1

)(5

2( 2

R

ghMRL

ghMRL 48.0

ตอบ โมเมนตมเชงมมของการหมนเทากบ ghMR48.0

176


1. โลกหมนรอบตวเอง 1 รอบ ใชเวลา 24 ชวโมง และโคจรรอบดวงอาทตย 1 รอบ ใชเวลา 365 วน สวนดวงจนทรโคจรรอบโลก 1 รอบ ใชเวลา 27.3 วน จงค านวณหาอตราเรวเชงมมของโลกหมนรอบตวเอง โลกหมนรอบดวงอาทตย และดวงจนทรโคจรรอบโลก

2. วตถทรงกลมมวล 0.2 kg และ 0.5 kg ตดอยทปลายทงสองของแทงโลหะเบายาว

1.0 m ดงแสดงในภาพ ถาแทงโลหะหมนรอบแกนดวยอตราเรวเชงมม 10 rad/s จงค านวณหา

2.1 โมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1 IK

2.2 อตราเรวเชงเสนและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1iivmK

0.2 kg 0.5 kg10 rad/s

0.75 m

3. พจารณาภาพ วตถ 4 กอน เชอมตอกนดวยแทงโลหะเบาอยในระนาบ XY หมนรอบแกน Z ซงอยทจดศนยกลางของสเหลยม ดวยอตราเรวเชงมม 6.0 rad/s จงหา

3.1 โมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1 IK

3.2 อตราเรวเชงเสนและพลงงานจลนรวมจาก 2

2

1iivmK

3 kg 2 kg

2 kg 4 kg

4 m

6 m

Y

X

4. จานโลหะกลมรศม 10 cm และมวล 50 kg หมนจากอตราเรว 4.0 rad/s เปน 20 rad/s ในเวลา 20 s จงค านวณความเรงเชงมม โมเมนตความเฉอย และทอรกของการหมน

177

5. ใบพดเฮลคอปเตอรแตละใบยาว 5.20 m มวล 250 kg หมนดวยความเรว 350 rev/min จงหาโมเมนตความเฉอยของใบพดรอบแกนหมน พลงงานจลนของการหมน และโมเมนตมเชงมม

ทมา: RD Airplane World, 2002.

6. วตถทรงกระบอกตนและกลวงมวล M และ m ตามล าดบ มรศม R เทากน กลงลงบนพนเอยงสง h โดยไมไถล ดงแสดงในภาพ เมอสนสดพนเอยง จงหาอตราเรวของ

จดศนยกลางของทรงกระบอก และโมเมนตมเชงมมของการหมน

h

25

l

M

178

7. วตถทรงกระบอกกลวงมวล 1.0 kg รศม 10.0 และ 20.0 cm กลงอยบนพนระดบดวยความเรว5.0 m/s แลวกลงขนไปบนพนเอยง 30

o จงหาวาวตถจะกลงขนไปไดสงสดจากพนเทาไร

8. ชายคนหนงยนอยบนแปนหมนซงหมนรอบแกนดง ชายคนนและแปนหมนมโมเมนตควาเฉอย 8.0 kgm2 มอแตละขางถอดมเบลไวขางละอน ดมเบลแตละอนมมวล 2 kg เหยยดแขนใหมวลดมเบลอยหางแกนหมน 1 m แลวแปนหมนจนกระทงมอตราเรวเปน 5 rev/min ตอไปหดแขนใหดมเบลอยหางแกนหมน 20.0 cm จงหาอตราเรวของแปนหมน

9. รอกหนกรศม 0.15 m มเสนเชอกพนรอบ ทปลายเชอกมน าหนกแขวนอย 5 N ขณะเรมสงเกตการเคลอนทของน าหนก รอกก าลงหมนดวยความเรวเชงมม 2 rad/s หลงจากนนอก 3 s พบวารอกหมนดวยความเรวเชงมม 3 rad/s โมเมนตความเฉอยของรอกมคาเทาใด

10. วตถมวล 0.1 kg และ 0.3 kg ตดอยกบปลายทงสองของโลหะเบายาว 1.00 m

ดงแสดงในภาพ จงหาพลงงานจลนของการหมน ถาแทงโลหะหมนรอบแกน AB 10 rad/s

179

11. ทรงกระบอกเสนผานศนยกลาง 0.12 m เมอดงเชอกทพนรอบทรงกระบอกดวยแรง 9.0 N พบวาเชอกมความเรง 0.36 m/s

2 จงหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอก

12. ถาลอมโมเมนตความเฉลย I ถกยดไวใหหมนรอบแกนไดสะดวกโดยไมมแรงเสยดทาน มวล m ผกไวดวยเชอกทพนรอบเพลารศม r จะไดความเรงเชงมมของลอเทาใด

180


Thacker, B. 2004. Unit 16 Rotational Dynamics. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.phys.ttu.edu/~batcam/Courses/semester%201/Labs/UNIT%2016%20ROT

ATI ONAL%20DYNAMICS.htm.

DiMauro, T. 2013. Rotational Motion (Kinematics). Retrieved March 24, 2013, from

http://sdsu-physics.org/physics180/physics180A/units/unit3/rotation.html.

Encyclopedia Britannica, Inc. 2013. Axis of Rotation: Rigid Bodies. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/371907/mechanics/77554/Rotation-

about-a-fixed-axis?anchor=ref612194.

HyperPhysics. 2011. Circular Motion. Retrieved March 24, 2013, from http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/HBASE/circ.html.

HyperPhysics. 2005. Precession of Spinning Top. Retrieved March 24, 2013, from http://

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/top.html.

HyperPhysics. 2011. Rotation Vectors. Retrieved March 24, 2013, from http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/HBASE/rotv.html.

Johnstone, R.W. 2006. Gear. Retrieved March 24, 2013, from http://www.sfu.ca/adm/gear.html.

Pidwirny, M. & Jones, S. 2010. Earth Rotation and Revolution. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.physicalgeography.net/fundamentals/6h.html.

RC Airplane World, 2013. How helicopters fly and are controlled. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.rc-airplane-world.com/how-helicopters-fly.html.

Singh, S.K. 2009. Work - Kinetic Energy Theorem for Rotational Motion. Retrieved March

24, 2013, from http://cnx.org/content/m14307/latest/.

Wikipedia. 2013. Gyroscope. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Gyroscope.

Wikipedia. 2013. Top. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Top.

http://www.phys.ttu.edu/~batcam/Courses/semester%201/Labs/UNIT%2016%20ROTATI

http://www.phys.ttu.edu/~batcam/Courses/semester%201/Labs/UNIT%2016%20ROTATI

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/371907/mechanics/77554/Rotation-

http://hyperphysics.phy-/


http://en.wikipedia.org/wiki/

http://en.wikipedia.org/wiki/Top


บทท 10 สมบตของของแขง


10.1 สภาพยดหยน

10.2 ความเคนและความเครยด

10.3 มอดลสสภาพยดหยน

10.4 ความทนแรงของวตถ




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสภาพยดหยน

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความเคนและความเครยด

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบมอดลสของยง

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความทนแรงของวตถ







182










183

บทท 10

สมบตของของแขง

ส าหรบบทท 10 จะศกษาเฉพาะสมบตของของแขงเมอถกแรงกระท าใหเปลยนรปแลวกลบคนสสภาพเดม ไดแก สภาพยดหยน ความเคนและความเครยด มอดลสสภาพยดหยน และความทนแรงของวตถ

ภาพท 10.1 ตวอยางวตถทเปลยนรปแลวสามารถกลบคนสสภาพเดมได

ทมา: 123RF Limited, 2013., Koyama et al, 2012. และ Stalder Spring Works, Inc., 2012.

184

10.1 สภาพยดหยน

ค.ศ. 1678 รอเบรต ฮก (Robert Hooke, 18 July 1635-3 March 1703) เปนนกปราชญชาวองกฤษ คนพบเกยวกบกฎของสภาพยดหยน (law of elasticity) เรยกวากฎของฮก (Hooke's

law) "The displacement or size of the deformation is directly proportional to the deforming force or load." หมายความวาการกระจดหรอขนาดของการเปลยนรปแปรผนตรงกบแรงทท าใหเปลยนรป เพอใหเขาใจมากยงขน พจารณาภาพท 10.2 กราฟแสดงความสมพนธระหวางแรง (force) ทใชดงกบการยดออก (extension) ของเสนลวดทองแดงทเพมขน เมอออกแรงดงเพมขนเรอยๆ ความยาวของเสนลวดทองแดงจะเพมขน โดยชวงแรกความยาวทยดออกจะแปรผนตรงกบขนาดของแรงดง จนกระทงถงขดจ ากดการแปรผนตรง (proportional limit) ถาออกแรงดงเพมขนอกเลกนอยกจะถงขดจ ากดสภาพยดหยน (elastic limit) เมอหยดออกแรงดงเสนลวดทองแดงจะกลบคนสสภาพเดม แตถาออกแรงดงตอไปอกจะเรมเปลยนรปอยางถาวรจนถงจดคราก (yield point) ซงจะมความยาวเพมขนอยางรวดเรว และเมอออกแรงดงตอไปอกเกนจดแตกหก (failure or

breaking point) เสนลวดทองแดงกจะขาด

Forc

e

Extension

Proportional Limit Elastic Limit

Yield Point

Failure

Elasticity Plasticity

ภาพท 10.2 กราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงดงกบการยดออกของเสนลวดทองแดง

ทมา: Dirac Delta Consultants Ltd., 2013.

ส าหรบแรงทกระท าใหวตถเปลยนรป ม 3 แบบ ดงน

1. แรงดง (tensile forces) เปนแรงทกระท ากบวตถแลวท าใหมความยาวเพมขน

2. แรงอด (forces of compression) เปนแรงทกระท ากบวตถแลวท าใหมความยาวลดลง

3. แรงเฉอน (shear forces) เปนแรงทกระท ากบวตถแลวท าใหเอยงหรอบดไปจากเดม

185

ลกษณะของแรงดง แรงอด และแรงเฉอน ดงแสดงในภาพท 10.3

Uniform tensile and compressional tensile forces applied to materials that we understand create predictable stresses. On the other hand, torsional forces are much more difficult to control and often create more damage.

Tensile forces Compressional

forces

Torsional

forces

ภาพท 10.3 แรงดง แรงอด และแรงเฉอน

ทมา: Holton, 2013. และ Reeves, 2002.

10.2 ความเคนและความเครยด

ความเคน (stress, ) หมายถง อตราสวนระหวางแรงกระท า (F) ตอพนท (A) เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนนวตนตอตารางเมตร และเขยนความสมพนธไดตามสมการ 10.1

A

F 10.1

ความเคนทเกดขนกบวตถม 3 แบบ ตามรปแบบของแรงทกระท า ไดแก ความเคนดง (tensional stress) ความเคนอด (compressive stress) และความเคนเฉอน (shear stress) ดงแสดงในภาพท 10.4 เนองจากแรงดงและแรงอดท าใหความยาวของวตถเปลยนไป จงเรยกความเคนดงและความเคนอดวา ความเคนตามยาว (longitudinal stress)

186

Confining Stress (Stress equal from all directions)

Tensional Stress

Compressive Stress

Shear Stress

Stress = Applied force, normalized by sample cross-sectional area

Cross-Sectional Area, A

Applied Force, F

Stress, = = Area Force F

A

ภาพท 10.4 ความเคนทเกดขนกบวตถ

ทมา: Monterey Bay Aquarium Research Institute, 2013. และ Nelson,

2003.

ความเครยด (strain, ) หมายถง อตราสวนระหวางรปรางทเปลยนไป (L) ตอรปรางเดม (L0) เปนปรมาณสเกลาร ไมมหนวย และเขยนความสมพนธไดตามสมการ 10.2

0L

L 10.2

187

ความเครยดทเกดขนกบวตถม 3 แบบ เชนเดยวกบความเคน ไดแก ความเครยดดง (tensional strain) ความเครยดอด (compressive strain) ความเครยดเฉอน (shear strain) และเรยกความเครยดดงและความเครยดอดวา ความเครยดตามยาว (longitudinal strain) รปแบบของความเครยดทเกดขนกบวตถ ดงแสดงในภาพท 10.5

Strain = Observed deformation, relative to initial size of sample

Force

Change in Length = L

Initial Length = L0

Engineering strain = Change in Length

Initial Length

L

L0 =

True strain t = Incremental Change in Length L

L =

Length at Start of Incremental Increase

ภาพท 10.5 ความเครยดทเกดขนกบวตถ

ทมา : Monterey Bay Aquarium Research Institute, 2013. และ School of Earth and Environment, University of Leeds, 2013.

L

L0

F

Fcos

Fsin

A

L

F

Fcos

Fsin

A

L0

Tensional Stress =Fsin

A

Tensional Strain =L

L0

L

L0

Shear Stress =Fcos

A

Shear Strain =L

L0

L

L0= tan

ภาพท 10.6 ตวอยางความเคนและความเครยดแบบดงและเฉอน

188

ตวอยางท 10.1 ลวดเสนหนงมเสนผานศนยกลาง 1.5 mm แขวนดวยวตถมวล 50 kg จงค านวณ หาความเคนทเกดขนกบเสนลวด

วธท า ความเคนทเกดขนกบเสนลวดหาไดจากสมการ 10.1

2

r

mg

A

F

28

23

2

N/m1077.2)m1075.0(

)m/s8.9)(kg50(

ตอบ ความเคนทเกดขนกบเสนลวดเทากบ 81077.2 N/m2

ตวอยางท 10.2 แทงอลมเนยมกวาง 0.50 in หนา 0.05 in ยาว 10 in ขณะเรมตนก าหนดพกด

ความยาวตรงกลาง 2.00 in เมอออกแรงดงจนมความยาวพกดเปน 2.50 in จงค านวณหาความเครยดและเปอรเซนตการยดของแทงอลมเนยม

วธท า ความเครยดทเกดขนกบแทงอลมเนยมหาไดจากสมการ 10.2

0L

L

25.0in00.2

in00.2in50.2

เปอรเซนตการยดของแทงอลมเนยมเทากบ %25%10025.0

ตอบ ความเครยดและเปอรเซนตการยดเทากบ 0.25 และ 25 % ตามล าดบ

10.3 มอดลสสภาพยดหยน

พจารณาภาพท 10.7 กราฟแสดงความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด ซงเปนกราฟเสนตรงผานจดก าเนด (0,0) มความชนคงตว Y เรยกวามอดลสของยง (Young's modulus)

มคาเทากบอตราสวนระหวางความเคนกบความเครยด ตามสมการ 10.3 มหนวยเปนนวตนตอตารางเมตร (N/m

2) โดยวตถทมคามอดลสของยงสงจะทนตอการเปลยนแปลงความยาว

นอกจากน ยงมมอดลสเฉอน (shear modulus) ซงแสดงถงการทนตอการเลอนผวและมอดลส

เชงปรมาตร (bulk modulus) แสดงถงการทนตอการเปลยนแปลงปรมาตร มอดลสทงสามอยางนเรยกรวมกนวามอดลสสภาพยดหยน (elastic modulus) ดงแสดงในภาพท 10.8

Y 10.3

189

L

L0

F F

Young's modulus = Stress Strain

A

A

Y =

ภาพท 10.7 มอดลสของยง

ทมา: Hefferan, 2013. และ Morris, 2005.

ภาพท 10.8 มอดลสสภาพยดหยน

ทมา: University of Wisconsin-Stevens Point, 2012.

190

ตารางท 10.1 ตวอยางคามอดลสของยงของวสดตาง ๆ

วสด มอดลสของยง

GPa มอดลสของยง

lbf/in2 (psi)

ยาง (rubber, small strain) 0.01-0.1 1,500-15,000

เทฟลอน (PTFE, teflon) 0.5 75,000

พอลเอทลน (low density polyethylene) 0.2 30,000

พอลเอทลน (high density polyethylene, HDPE) 1.379 200,000

พอลโพรไพลน (polypropylene) 1.5-2 217,000-290,000

พอลเอทลนเทเรพทาเลต (polyethylene terephthalate) 2-2.5 or 2.8-3.1 290,000-360,000

พอลสไตรน (polystyrene) 3-3.5 435,000-505,000

ไนลอน (nylon) 3-7 290,000-580,000

ไมเอมดเอฟ (MDF, wood composite) 3.654 530,000

ไมสน (pine wood, along grain) 8.963 1,300,000

ไมโอค (oak wood, along grain) 11 1,600,000

คอนกรต (high-strength concrete, compression) 30-100 4,350,000

โลหะแมกนเซยม (magnesium metal, Mg) 45 6,500,000

โลหะผสมอลมเนยม (aluminium alloy) 69 10,000,000

แกว (glass) 65-90 9,400,000-13,000,000

ทองเหลองและทองสมฤทธ (brass and bronze) 103-124 17,000,000

ไทเทเนยม (titanium, Ti) 105-120 15,000,000-17,500,000

ทองแดง (copper, Cu) 110-130 16,000,000-19,000,000

เสนใยคารบอน (Carbon fiber reinforced plastic, 50/50 fibre/matrix, unidirectional, along grain)

125-150 18,000,000-22,000,000

เหลกกลา (steel and wrought iron) 190-210 30,000,000

เบรลเลยม (beryllium, Be) 287 41,500,000

ทงสเตน (tungsten, W) 400-410 58,000,000-59,500,000

ซลกอนคารไบด (silicon carbide, SiC) 450 65,000,000

ออสเมยม (osmium, Os) 550 79,800,000

ทงสเตนคารไบด (tungsten carbide, WC) 450-650 65,000,000-94,000,000

ทอนาโนคารบอนด (single carbon nanotube) 1,000+ 145,000,000+

เพชร (diamond, C) 1220 150,000,000-175,000,000


191

ตารางท 10.2 ตวอยางคามอดลสเฉอนของวสดตางๆ

วสด มอดลสเฉอนของวตถบางชนด

GPa (ทอณหภมหอง)

เพชร 478

บษราคม 175

เหลกกลา 79.3

ทองแดง 44.7

ไทเทเนยม 41.4

แกว 26.2

อลมเนยม 25.5

พอลเอทลน 0.117

ยาง 0.0006


ตารางท 10.3 ตวอยางคามอดลสเชงปรมาตรของวสดตางๆ

วสด มอดลสเชงปรมาตรของวตถบางชนด

น า 2.2×109 Pa (value increases at higher pressures)

อากาศ 1.42×105 Pa (adiabatic bulk modulus)

อากาศ 1.01×105 Pa (constant temperature bulk modulus)

เหลกกลา 1.6×1011

Pa

แกว 3.5×1010

to 5.5×1010

Pa

ฮเลยมแขง (solid helium)

5×107 Pa (approximate)


192

ตวอยางท 10.3 ลวดโลหะยาว 10.00 m มพนทหนาตด 0.10 cm2 ถาออกแรงดง 10

3 N จะยดออก 1 cm จงค านวณหาความเคน ความเครยด และมอดลสของยง

วธท า ความเคน A

F

28

24

3

N/m1000.1m1010.0

N10

ความเครยด 0L

L

001.0m00.10

m01.0

มอดลสของยง

Y

21128

N/m1000.1001.0

N/m1000.1

Y

ตอบ ความเคน ความเครยด และมอดลสของยงเทากบ 81000.1 N/m2, 0.001 และ

111000.1 N/m2 ตามล าดบ

ตวอยางท 10.4 วตถมวล 50 kg ผกกบปลายเสนลวดทองแดงยาว 1.0 m สวนปลายอกขางหนง

ยดตดกบเพดาน ถาเสนลวดทองแดงมพนทหนาตด 0.2 cm2 และมอดลสของยง

เทากบ 120 GPa จงค านวณหาความเคนดง ความเครยดดง และความยาวทยด

ออกของเสนลวดทองแดง

วธท า ความเคน A

mg

A

F

27

24

2

N/m1045.2m102.0

)m/skg)(9.850(

ความเครยด Y

0002.0N/m10120

N/m1045.229

27

ความยาวทยดออก 0LL

mm2.0)m0.1)(0002.0( L

ตอบ ความเคน ความเครยด และความยาวทยดออกเทากบ 71045.2 N/m2, 0.0002

และ 0.2 mm ตามล าดบ

193

10.4 ความทนแรงของวตถ

ความทนแรง (strength) ของวตถใดๆ เปนสมบตทบอกถงความสามารถในการตานทานความเคนกอนทจะเกดการแตกหก ซงสามารถหาไดจากแรงกระท าสงสดตอหนงหนวยพนทกอนทจะเกดการแตกหก ในกรณทเปนความเคนดงสงสด ความเคนอดสงสด และความเคนเฉอนสงสด จะเรยกวา ความทนแรงดง (tensional strength) ความทนแรงอด (compressive strength) และ

ความทนแรงเฉอน (shear strength) ตามล าดบ ตวอยางการวดความทนแรงดง การทดสอบ

ความทนแรงอด และความทนแรงเฉอน ดงแสดงในภาพท 10.9, 10.10 และ 10.11 ตามล าดบ และตวอยางความทนแรงดงของวสดตางๆ มคาตามตารางท 10.4

ภาพท 10.9 ตวอยางการวดความทนแรงดง

ทมา: Maxon, 2006.

ภาพท 10.10 ตวอยางการทดสอบความทนแรงอด

ทมา: MatWeb, LLC., 2013. และ Michael & Smith, 2013.

194

ภาพท 10.11 ตวอยางความทนแรงเฉอน

ทมา: Potter, 2010.

ตารางท 10.4 ตวอยางความทนแรงดงของวสดตาง ๆ

วสด ความทนแรง

(yield strength) MPa

ก าลงประลย (ultimate strength)

MPa

ความหนาแนน (density)

g/cm³

เหลกกลา (structural steel ASTM A36 steel) 250 400 7.8

เหลกกลา (API 5L X65, fikret mert veral) 448 531 7.8

เหลกกลา (high strength alloy ASTM A514) 690 760 7.8

เหลกกลา (prestressing strands) 1650 1860 7.8

เหลกกลา (AISI 1060 0.6% carbon) 2200-2482 7.8

พอลเอทลน (high density polyethylene, HDPE) 26-33 37 0.95

พอลโพรไพลน (polypropylene) 12-43 19.7-80 0.91

สแตนเลส (AISI 302-cold-rolled) 520 860

เหลก (cast iron 4.5% C, ASTM A-48) 130 200

โลหะผสมไทเทเนยม (6% Al, 4% V) 830 900 4.51

โลหะผสมอลมเนยม (2014-T6) 400 455 2.7

ทองแดง (99.9% Cu) 70 220 8.92

โลหะผสมทองแดงและนเกล (cupronickel 10% Ni, 1.6% Fe, 1% Mn, balance Cu)

130 350 8.94

ทองเหลอง (brass) approx. 200+ 550 5.3

ทงสเตน (tungsten) 1510 19.25

แกว (glass) 50 (in compression) 2.53

แกว (E-glass) N/A 3450 2.57

แกว (S-glass) N/A 4710 2.48

195

ตารางท 10.4 ตวอยางความทนแรงดงของวสดตาง ๆ (ตอ)

วสด ความทนแรง

(yield strength) MPa

ก าลงประลย (ultimate strength)

MPa

ความหนาแนน (density)

g/cm³

เสนใยบะซอลท (basalt fiber) N/A 4840 2.7

หนออน (marble) N/A 15

คอนกรต (concrete) N/A 3

เสนใยคารบอน (carbon fiber) N/A 5650 1.75

ใยแมงมม (spider silk) 1150 1200

ใยไหม (silkworm silk) 500

ยเอชเอมดบเบลยพอ (UHMWPE) 23 46 0.97

เสนใยยเอชเอมดบเบลยพอ (UHMWPE fiber) 2300-3500 0.97

ไซลอน (polybenzoxazole, zylon) 5800

ไมสน (parallel to grain) 40

กระดก (bone, limb) 104-121 130 1.6

ไนลอน (type 6/6) 45 75 1.15

ยาง (rubber) - 15

โบรอน (boron) N/A 3100 2.46

ซลกอน (monocrystalline, m-Si) N/A 7000 2.33

ซลกอนคารไบด (SiC) N/A 3440

บษราคม (sapphire, Al2O3) N/A 1900 3.9-4.1

ทอนาโนคารบอนด (carbon nanotube) N/A 62000 1.34


ตวอยางท 10.5 ออกแรงดงไนลอนยาว 1.0 m เสนผานศนยกลาง 0.5 mm ถามอดลสของยงและ

ความทนแรงดงของไนลอนเทากบ 7 GPa และ 75 MPa ตามล าดบ จงค านวณหาแรงดง ความเครยดดง และความยาวของไนลอนกอนทจะขาด

วธท า แรงดง N73.14)m1025.0)()(Pa1075( 236 AF

ความเครยดดง 01.0Pa107

Pa10759

6

Y

ความยาวทยดออก m01.0)m0.1)(01.0(0 LL

ความยาวของไนลอน m01.1m01.0m0.10 LLL

ตอบ แรงดง ความเครยด และความยาวของไนลอนกอนทจะขาดเทากบ 14.73 N, 0.01

และ 1.01 m ตามล าดบ

196


1. ลกตมนาฬกามวล 0.5 kg ยดตดกบแทงโลหะยาว 50 cm พนทหนาตด 0.25 cm2

ถาการแกวงของลกตมนาฬกาในแตละคาบขนไปสงสด 5 cm ขณะอยทจดต าสด จงค านวณหาอตราเรว แรงสศนยกลางของลกตมนาฬกา และความเคนทเกดขนกบแทงโลหะ

2. ออกแรง 100 N ดงลวดเสนหนงยาว 1.0 m และเสนผานศนยกลาง 2.0 mm

ท าใหลวดมความยาวเพมขนเปน 1.01 m จงค านวณหาความเคนดงและความเครยดดงในเสนลวด

3. พจารณาภาพ จงค านวณหาความเคนเฉอนและความเครยดเฉอนทเกดขนกบวตถ

ก าหนดให a = 1.0 m 1.2 m, h = 2.0 m, F = 106 N, s = 0.6 m

Area, a

Force, F

Displacement, s

Separationheight, h

Stress = F/a

Velocity, vv = s/time

Strain = s/hStrain rate = v/h

ทมา: Chaplin, 2012.

4. ลวดอลมเนยมยาว 5.0 m มพนทหนาตด 0.5 cm2 ถาออกแรงดง 10

4 N จะยดออก 2 cm จงค านวณหาความเคน ความเครยด และมอดลสของยง

5. เสนลวดเหลกยาว 2.0 m พนทหนาตด 0.05 cm2 ยดตดกบเพดาน สวนปลายอก

ขางหนงผกตดกบมวล 100 kg ถามอดลสของยงเทากบ 200 GPa จงค านวณหาความเคนดง ความเครยดดง และความยาวทยดออกของเสนลวดทองแดง

197

6. พจารณาภาพ จงค านวณหาความเคนเฉอน ความเครยดเฉอน และมอดลสเฉอน

ก าหนดให A = 20 cm 25 cm, h = 5.0 cm, F = 10 N, x = 1.2 cm

F (hand)

h

x

A

ทมา: Davis, 2002.

7. เหลกกอนหนงถกอดใหมปรมาตรลดลง 0.01 % ถามอดลสเชงปรมาตรของเหลกเทากบ 160 GPa จงค านวณหาความเคนทเกดขน

8. ลวดเหลกกลาส าหรบดงลฟตตวหนงมพนทหนาตด 5 cm2 ตวลฟตและสมภาระ

ในลฟตมมวลรวม 2,000 kg จงหาความเคนในสายเคเบลขณะทลฟตก าลงเคลอนทขนดวยความเรงสงสด 2.0 m/s

2

9. แขวนมวล 400 kg กบเสนลวดโลหะชนดหนงยาว 10 m มพนทหนาตด 210–4

cm2 เสนลวดนจะยดออกเปนระยะเทาใด ถาก าหนดใหคามอดลสของยงของเสนลวดเปน 210

11 N/m

10. ในการท าใหขดลวดเสนหนงอยภายใตความเคน และความเครยด งานทท าตอ 1 หนวยปรมาตรมคาเทาใด

11. โลหะชนดหนงมคามอดลสของยง 21010

N/m2 มคาความเคนทขดจ ากดสภาพ

ยดหยน 3109 N/m

2 ถามลวดทท าจากโลหะชนดนยาว 10 m พนทหนาตด 10 mm2 แขวนลวด

ดงกลาวในแนวดงและตองการใหมนยดและยาวสทธ 12 m ตองแขวนดวยมวลเทาใด

12. ลวดท าดวยโลหะตางชนดกนสองเสนยาวเทากนมพนทหนาตด 0.1 และ 0.8 cm2

เมอดงลวดทงสองนดวยแรงเทากน มนจะยดออกเทากบ 0.3 และ 0.2 cm ตามล าดบ จงหาอตราสวนของมอดลสของยงของลวดเสนทหนงตอมอดดลสของยงของลวดเสนทสอง

198


123RF Limited. 2013. Stock Photo - Bunch of Colorful and Elastic Rubber on Black

Background. Retrieved March 25, 2013, from http://www.123rf.com/photo_3961154_

bunch-of-colorful-and-elastic-rubber-on-black-background.html.

Chaplin, M. 2012. Hydrocolloid Rheology. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. btinternet.com/~martin.chaplin/hyrhe.html.

Davis, D. 2002. Elastic Properties of Solids. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. ux1.eiu.edu/~cfadd/1150/10FldRst/elastic.html.

Dirac Delta Consultants Ltd. 2013. Hooke's Law. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. diracdelta.co.uk/science/source/h/o/hookes%20law/source.html.

Koyama, Y., Takayama, K., Umetani, N. & Igarashi, T. 2012. Real-Time Example-Based

Elastic Deformation. In Proceedings of the ACM SIGGRAPH/Eurographics

Symposium on Computer Animation (SCA'12). Eurographics Association, Aire-la-

Ville, Switzerland, Switzerland, 19-24.

MatWeb, LLC. 2011. Compressive Strength Testing of Plastics. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.matweb.com/reference/compressivestrength.aspx.

Michael, R. & Smith, P.E. 2013. Exploration, Testing & Inspection. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.cowanassociates.com/c_services-explorationtestinginspection.php.

Monterey Bay Aquarium Research Institute. 2013. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.mbari.org/staff/conn/botany/methods/methods/stress.htm.

Nelson, S.A. 2003. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013, from

http://www.tulane.edu/~ sanelson/geol111/deform.htm.

Potter, D.M. 2011. Making the Grade a Technical Discussion. Retrieved March 25, 2013, from

http://www.rockcrawler.com/techreports/fasteners/index.asp.

Reeves, M. 2002. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013, from

http://homepage.usask.ca/~ mjr347//prog/geoe118/geoe118.031.html.

http://www.123rf.com/photo_3961154_

199

School of Earth and Environment, University of Leeds. 2013. Tangential Longitudinal Strain.

Retrieved March 25, 2013, from

http://www.see.leeds.ac.uk/structure/folds/mechanisms/ how/tls.htm.

Stalder Spring Works, Inc. 2012. Stalder Spring Works. Retrieved March 25, 2013, from

http://www.stalderspring.com/.

University of Wisconsin-Stevens Point. 2004. Elastic Properties of Solids. Retrieved March 25,

2013, from http://www.uwsp.edu/physastr/kmenning/Phys203/Lect37.html.

Wikipedia. 2013. Bulk Modulus. Retrieved March 25, 2013, from

http://en.wikipedia.org/ wiki/Bulk_modulus.

Wikipedia. 2013. Shear Modulus. Retrieved March 25, 2013, from

http://en.wikipedia.org/ wiki/Shear_modulus.

Wikipedia. 2013. Young's Modulus. Retrieved March 25, 2013, from

http://en.wikipedia.org/ wiki/Young's_modulus.


บทท 11 ของไหล


11.1 ความหนาแนน

11.2 ความดน

11.3 กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก

11.4 หลกของอารคมดสและแรงลอยตว

11.5 ความตงผว

11.6 กฎของสโตกสและความหนด

11.7 ทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความหนาแนน

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความดน

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบหลกของอารคมดสและแรงลอยตว

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความตงผว

6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของสโตกสและความหนด

7. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต






202











203

บทท 11

ของไหล

ของไหล (fluid) คอสารใดๆ ทสามารถเปลยนแปลงรปรางตามภาชนะบรรจและไหลได ไดแก ของเหลว (liquids) แกส (gases) และพลาสมา (plasmas) การศกษาเกยวกบปรากฏการณตาง ๆ ของของไหลสามารถแบงออกไดเปนสองสวนคอสถตยศาสตรของไหล (fluid statics) และพลศาสตรของไหล (fluid dynamics) ส าหรบบทนจะศกษาเกยวกบสมบตของของไหล ไดแก ความหนาแนน ความดน กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก หลกของอารคมดสและแรงลอยตว ความตงผว กฎของสโตกสและความหนด ทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต

11.1 ความหนาแนน

ความหนาแนน (density, ) ของสารใดๆ หมายถง มวลตอหนงหนวยปรมาตร มหนวยกโลกรมตอลกบาศกเมตร (kg/m) ในระบบหนวย SI หรอกรมตอลกบาศกเซนตเมตร (g/cm) ในระบบหนวย CGS หรอปอนดตอลกบาศกฟต ( lb/ft) ในระบบหนวย FPS โดยสามารถเปรยบเทยบความหนาแนนของระบบหนวยตางๆ ไดดงน

1 kg/m = 10 g/cm = 0.062428 lb/ft

จากนยามของความหนาแนน ถาก าหนดให m คอมวลของสารใด ๆ ทมปรมาตร V

จะไดวา V

m 11.1

จากสมการ 11.1 เรยกวา ความหนาแนนมวล (mass density) บางครงอาจแทนมวล m ดวยน าหนก คอ w = mg เรยกวา ความหนาแนนน าหนก (weight density) ตวอยางความหนาแนนของสารตาง ๆ น า และอากาศ มคาตามตารางท 11.1 และ 11.2

204

ตารางท 11.1 ความหนาแนนของสารตาง ๆ

สาร ความหนาแนน (10 kg/m) แพลตนม

ทอง

ยเรเนยม

ปรอท

ตะกว

เงน

ทองแดง

เหลก

อลมเนยม

แมกนเซยม

น าทะเล

น าบรสทธ

21.450

19.300

18.700

13.600

11.300

10.500

8.920

7.860

2.700

1.750

1.025

1.000

ทมา: Serway & Jewett, 2004: 9. และ Walker, 2004: 463.

ตารางท 11.2 ความหนาแนนของน าและอากาศทความดน 1 atm

ความหนาแนนของน า ความหนาแนนของอากาศ

อณหภม ความหนาแนน อณหภม ความหนาแนน

oC

oF kg/m

oC

oF kg/m

0.0

4.0

15.0

20.0

25.0

37.0

50.0

100.0

32.0

39.2

59.0

68.0

77.0

98.6

122.0

212.0

999.8425

999.9750

999.1026

998.2071

997.0479

993.3316

988.0400

958.3665

5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

23.0

32.0

41.0

50.0

59.0

68.0

77.0

86.0

1.316

1.293

1.269

1.247

1.225

1.204

1.184

1.164


205

ตวอยางท 11.1 ความหนาแนนมวลของน าในระบบหนวย CGS เทากบ 1 g/cm3 จงค านวณหา

ความหนาแนนมวลและน าหนกของน าในระบบหนวย SI

วธท า น ามมวล 1 g = 10 kg และปรมาตร 1 cm = 10 m

ความหนาแนนมวลของน า V

m

33

36

3

m/kg10m10

kg10

ความหนาแนนน าหนกของน า V

mg

33

36

23

m/N1081.9m10

)m/skg)(9.8110(

ตอบ ความหนาแนนมวลและน าหนกของน าในระบบหนวย SI เทากบ 10 kg/m3

และ9.8110 N/m3 ตามล าดบ

11.2 ความดน

ความดน (pressure, P) คอแรงทกระท าบนพนผวตอหนงหนวยพนท หนวยของความดน

ในระบบ SI คอนวตนตอตารางเมตร (N/m) หรอพาสคล (pascal, Pa) ส าหรบในระบบ CGS จะใชหนวยเปนไดนตอตารางเซนตเมตร โดย 1 N/m = 10 dynes/cm

จากนยามของความดน ถาให F คอขนาดของแรงทกระท าบนพนท A จะไดวา

A

FP 11.2

สมการ 11.2 สามารถเขยนในรปของเวกเตอรไดตามสมการ 11.3

APF dd 11.3

เมอ dF คอแรงนอยยง (infinitesimal force) และ dA คอเวกเตอรพนผวนอยยง (infinitesimal surface vector) ความดนบรรยากาศ (atmospheric pressure, Patm) คอแรงเนองจากน าหนกของบรรยากาศ

ทกระท าบนพนผวตอหนงหนวยพนท โดยทระดบน าทะเล ณ ต าแหนงเสนรงท 45 องศา ซงมความเรงมาตรฐานสากล g = 9.807 m/s จะมคาความดนบรรยากาศมาตรฐาน 1.01325 bar หรอ 1.0110 N/m ซงสามารถเปรยบเทยบกบหนวยความดนอนๆ ไดตามตารางท 11.3

206

ตารางท 11.3 เปรยบเทยบหนวยความดนตาง ๆ

units

pascal

(Pa)

bar

(bar)

technical

atmosphere

(at)

atmosphere

(atm)

torr

(Torr)

pound-force

per

square inch

(psi)

1 Pa ≡ 1 N/m 10 1.019710 9.869210 7.500610 145.0410

1 bar 100,000 ≡ 10 dyn/cm 1.0197 0.98692 750.06 14.504

1 at 98,066.5 0.980665 ≡ 1 kgf/cm 0.96784 735.56 14.223

1 atm 1.0132510 1.01325 1.0332 ≡ 1 atm 760 14.696

1 Torr 133.322 1.333210 1.359510 1.315810 ≡ 1 Torr; 1 mmHg 19.33710

1 psi 6,894.76 68.94810 70.30710 68.04610 51.715 ≡ 1 lbf/in


ความดนเกจ (gauge pressure, Pgauge) คอความดนทไดจากการวดดวยมาตรวดความดน (gauge) ในกรณทเปนความดนทสงกวาความดนบรรยากาศ เนองจากมาตรวดความดนสวนใหญจะตองเปรยบเทยบคาความดนทวดกบคาความดนบรรยากาศรอบ ๆ ขางขณะนน ท าใหคาทอานไดนนเปนคาความแตกตางระหวางความดน P และความดนบรรยากาศ Patm ขณะนน

นนคอ Pgauge = P Patm 11.4

หรอ P = Patm + Pgauge 11.5

นอกจากน ความดนทางอณหพลศาสตรจะตองเปรยบเทยบกบความดนสมบรณ

(absolute pressure, Pabs) และความดนสญญากาศ (vacuum pressure, Pvac) อกดวย

ความดนของของเหลว (pressure of fluid) คอผลรวมของความดนบรรยากาศกบความดนเนองจากน าหนกของของเหลวนน พจารณาไดดงน

A

mgPP atm

A

VgPP

atm

A

gAhPP

)(atm

207

ghPP atm 11.6

จะเหนไดวา ความดนของของเหลวจะขนอยกบความหนาแนน และความลก h

ตวอยางการน าความรเกยวกบความดนไปประยกต ไดแก การสรางเขอนกกเกบน าจะตองออกแบบและสรางใหแขงแรงเพอรบแรงดนเนองจากความลกของน า และใชพลงงานศกยโนมถวงจากน าในการผลตไฟฟาไดอกดวย

H

L

F

ภาพท 11.1 แรงดนของน าทกระท าตอเขอน

ความดนและแรงดนของน าทกระท าตอเขอนหาไดจากผลรวมของความดนบรรยากาศกบความดนเฉลยเนองจากน าหนกของน าดงแสดงในภาพท 11.1 ดงน

จากสมการ 11.6 จะไดวา wateratm PPP

gHPP 2

1atm 11.7

แต A

FP และ HLA gHP

A

F

2

1atm

LgHHLPF2

atm2

1 11.8

จากสมการ 11.8 แสดงวา แรงดนทงหมดของน าทกระท าตอเขอนหรอประตกนน าขนอยกบความสงของระดบน าหรอความลก H

208

ตวอยางท 11.2 เรอไททานกถกพบในป ค.ศ. 1985 ซงจมอยใตมหาสมทรแอตแลนตกเหนอลก 2.5 mi ดงแสดงในภาพท 11.2 จงค านวณหาความดนทความลกน

วธท า จากสมการ 11.6 ghPP atm

)m16095.2)(m/s9.81)(kg/m1025()N/m1001.1( 2325 P

27 N/m101.4 P

ตอบ ความดนทความลก 2.5 mi เทากบ 4.110 N/m2

ภาพท 11.2 เรอไททานก

ทมา: Squidoo, LLC, 2013.

http://www.pbs.org/lostliners/credits.html#titanic_2

http://www.pbs.org/lostliners/credits.html#titanic_2

http://www.amazon.com/gp/redirect.html%3FASIN=1592234240%26tag=ws%26lcode=xm2%26cID=2025%26ccmID=165953%26location=/o/ASIN/1592234240%253FSubscriptionId=19BAZMZQFZJ6G2QYGCG2

209

แมนอมเตอร (manometer) เปนเครองมอวดความดนของของเหลวและแกสประกอบดวยหลอดแกวรปตวยซงจะมของเหลวททราบความหนาแนนบรรจไวภายใน ดงแสดงในภาพท 11.3 โดยระดบของของเหลวในหลอดทงสองขางจะท าใหสามารถหาความดนได

ภาพท 11.3 แมนอมเตอร

ทมา: Boom's Classes Announcements, 2013.

บารอมเตอรปรอท (mercury barometer) ใชส าหรบวดความดนของอากาศประกอบดวยหลอดแกวรปทรงกระบอก ปลายเปดขางหนงและปลายปดขางหนง ยาวประมาณ 80 cm และบรรจปรอทคว าในอาง ดงแสดงในภาพท 11.4 มหนวยเปนมลลเมตรของปรอท (mm-Hg)

ภาพท 11.4 บารอมเตอรปรอท

ทมา: Atkins, 2006.

210

นอกจากน ยงมการประยกตเกยวกบความดนไปใชในชวตประจ าวน เชน เครองวดความดนโลหต เครองดดฝ น ยางตดผนง หลอดดดเครองดมตางๆ เปนตน

11.3 กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก

แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623-1662) นกคณตศาสตร ฟสกส และปรชญาชาวฝรงเศส ไดน าความรเรองความดนไปประยกตใช เรยกวา กฎของพาสคลวาดวยความดนของของไหล (Pascal's law of fluid pressures) มใจความวา ความดนทกระท ากบของไหลในภาชนะปดอนหนง ณ ต าแหนงใดๆ จะถกสงผานไปในทกทศทางเทาๆ กน และกระท าในแนวตงฉากกบทกสวนของพนผวภายในภาชนะปดนน โดยความดนหรอแรงตอหนงหนวยพนทจะมคาเทากนทวทกสวน

พจารณาภาพท 11.5 แรง F และ F กระท ากบสบพนท A และ A ใหเคลอนทไปไดระยะทาง s และ s ตามล าดบ

F

F

A

A

s

s

P PP constant

ภาพท 11.5 กฎของพาสคลและเครองอดไฮดรอลก

ทมา: Serway & Jewett, 2004: 424. และ Walker, 2004: 472.

จากกฎของพาสคล จะไดวา 21 PP

แต A

FP ,

2

2

1

1

A

F

A

F 11.9

งานทท าเนองจากแรงกดลกสบเลก F เทากบงานทไดเนองจากแรงดนลกสบใหญ F 2211 sFsF 11.10

211

จากสมการ 11.9 และ 11.10 จะไดความสมพนธใหมตามสมการ 11.11

2211 sAsA 11.11

แต V = As จะไดวา 21 VV 11.12

การไดเปรยบเชงกลอดมคต 2

1

1

2IMAs

s

A

A 11.13

การไดเปรยบเชงกลปฏบต 1

2AMAF

F 11.14

ประสทธภาพของเครองกล %100Eff11

22 sF

sF 11.15

11.4 หลกของอารคมดสและแรงลอยตว

แรงลอยตว (buoyant force, Fb) คอแรงทดนวตถขนเมอวตถลอยหรอจมอยในของเหลว ซงจะปรากฏวาน าหนกของวตถลดลง โดยจะมคาเทากบน าหนกของของเหลวทถกวตถแทนทตามหลกของอารคมดส (Archimedes' principle) ดวยเหตน น าหนกของวตถจงลดลงเมอชงอยในน า และน าหนกทลดลงจะเทากบน าหนกของน าทถกวตถแทนท ดงนน การชงน าหนกของวตถในอากาศใหแมนจรงๆ จะตองปรบแกน าหนกเลกนอยเผอแรงลอยตวของวตถนน

Fg

h

Fb

ภาพท 11.6 หลกของอารคมดสและแรงลอยตว

ทมา: Kidoguchi, 2008. และ Serway & Jewett, 2004: 428.

212

จากภาพท 11.6 แรงภายนอกทกระท ากบวตถทลอยอยในของเหลวคอแรงโนมถวง

ของโลก Fg และแรงลอยตว Fb จะไดวา

gb FF

mgFb

gVFb )( fluid

gVFb fluid 11.16

เมอ V คอปรมาตรของของเหลวทถกแทนทดวยวตถ

ตวอยางท 11.3 อารคมดสตองการหาปรมาตรและความหนาแนนของมงกฎ โดยชงในอากาศและ

ในน าได 7.84 N และ 6.84 N ดงแสดงในภาพท 11.7(ก) และ (ข) ตามล าดบ จงค านวณหาปรมาตรและความหนาแนนของมงกฎ

Fg

Fg

T1 T2

Fb

(ก) การชงมงกฎในอากาศ (ข) การชงมงกฎในน า

ภาพท 11.7 การหาปรมาตรและความหนาแนนของมงกฎโดยใชหลกของอารคมดส


วธท า จากภาพท 11.7(ข) และกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน จะไดวา

02 gb FTF

2TFF gb

N00.1N84.6N84.7 bF

213

ปรมาตรของมงกฎ g

FVV

w

bwc

)m/s9.80)(m/kg1000(

N00.123

wc VV

34 m1002.1 wc VV

ความหนาแนนของมงกฎ gV

gm

V

m

c

c

c

cc

)m/s9.80)(m1002.1(

N84.7234

c

33 m/kg1084.7 c

ตอบ ปรมาตรและความหนาแนนของมงกฎเทากบ 1.0210 m3 และ 7.8410

kg/m3 ตามล าดบ

11.5 ความตงผว

แรงลอยตวตามหลกของอารคมดสจะชวยพยงวตถทจมในของเหลวดวยแรงเทากบน าหนกของของเหลวทถกแทนทดวยวตถนน นอกจากน คงเคยเหนลวดหนบลอยอยบนผวน าได แมลง ตวเลกๆ สามารถยนหรอวงบนผวน าได หรอน าทอยบนใบไมหลงฝนตก ดงแสดงในภาพท 11.15 แสดงวา จะตองมแรงทผวของของเหลวทท าใหเกดปรากฏการณดงกลาว ซงเปนแรงดงดดระหวางโมเลกลทบรเวณผวของของเหลวและมทศตรงขามกบการยดหรอหดของผวของเหลว เรยกวา แรงตงผว (surface force)

ภาพท 11.8 ปรากฏการณเกยวกบแรงตงผว

ทมา: Costello, 2013. และ Wikipedia, 2013.

214

แรงตงผวของของเหลวจะมทศขนานกบผวของของเหลวและตงฉากกบขอบทของเหลวสมผส ดงแสดงในภาพท 11.8 อตราสวนระหวางขนาดของแรงตงผวกบความยาวของผวสมผส คอ ความตงผว (surface tension)

ภาพท 11.9 แรงตงผวมทศขนานกบผวของเหลว

ทมา: ramé-hart instrument co., 2013.

ก าหนดให F คอขนาดของแรงตงผว l คอความยาวของผวสมผส และ คอความตงผว

จะไดวา l

F 11.17

ความตงผวของของเหลวมหนวยเปนนวตนตอเมตร (N/m) ปรากฏการณทเกยวของกบแรงตงผว เชน การซมตามรเลก (capillary action) และการโคงของผวของเหลว (meniscus effect) ดงแสดงในภาพท 11.10 ซงเกดจากแรงระหวางโมเลกล (intermolecular force) 2 ชนด คอ แรงเชอมแนน (cohesive force) ซงเปนแรงระหวางโมเลกลชนดเดยวกน และแรงยดตด (adhesive force) ซงเปนแรงระหวางโมเลกลตางชนดกน

Adhesion

Cohesion

Adhesion > Cohesion

ภาพท 11.10 การซมตามรเลกและการโคงของผวของเหลว

ทมา: Yan, 2005.

215

การซมตามรเลกเปนปรากฏการณทเกดขนเนองจากความตงผวและแรงตงผวในการยดตดกบผวของของแขง ท าใหความสงแตกตางกนระหวางของเหลวในหลอดรเลก (capillarity tube) กบระดบของเหลวภายนอกหลอด ดงแสดงในภาพท 11.11

. P

. P

. Q

. Q

h

h

2r 2r F F

F F (ก) (ข)

ภาพท 11.11 การซมตามรเลก

ทมา: Chaplin, 2012.

ภาพท 11.11(ก) ระดบของเหลวในหลอดรเลกทจด P จะสงกวาระดบของเหลวภายนอกหลอดทจด Q โดยจะมมมสมผส < 90 เชน น า และแอลกอฮอล

ภาพท 11.11(ข) ระดบของเหลวในหลอดรเลกทจด P จะต ากวาระดบของเหลวภายนอกหลอดทจด Q โดยจะมมมสมผส > 90 เชน ปรอท

ความดนเนองจากน าหนกของของเหลวความสงหรอลก h ในหลอดรเลกรศม r สามารถพจารณาไดดงน

A

FP

cos 11.18

แต ,ghP )2( rlF และ 2rA แทนคาลงในสมการ 11.18

2

cos)2(

r

rgh

grh

cos2

11.19

216

ตวอยางท 11.4 การทดลองเกยวกบความตงผวของน า ดงแสดงในภาพท 11.12 ถาความตงผว

ของน าบรสทธทอณหภม 20.0oC เทากบ 72.8 dynes/cm จงค านวณหามวล m

ทตองใชในการยกแพลตนม-อรเดยมวงกลม (platinum-iridium alloy ring) เสนผานศนยกลางเทากบ 5.00 cm

2r

F

ภาพท 11.12 การทดลองเกยวกบความตงผวของน า

ทมา: Stuart, 2012.

วธท า จากสมการ 11.7 l

F

ความตงผว 72.8 dynes/cm = 72.810 N/m

แรงตงผว F mg = m(9.8 m/s2)

ความยาวของผวสมผส l 2(2r) = 4(2.5010 m)

)m1050.2(4

)m/s8.9(N/m108.72

2

23

m

m 2.33 g

ตอบ มวลทตองใชในการยกแพลตนม-อรเดยมวงกลมประมาณ 2.33 g

11.6 กฎของสโตกและความหนด

การใชชอนคนกาแฟหรอโอวลตนในแกวจะออกแรงมากกวาการคนในอากาศ การคนในน าเชอมจะตองออกแรงมากกวาการคนในน า หรอการคนในของเหลวทมความเขมขนมากขนกจะ ตองออกแรงมากขน เชน การคนในนมขนหวาน การกวนน าออย การกวนมะมวง เปนตน ทงน

217

เพราะของเหลวมความหนด (viscosity) ซงมอทธพลตอการเคลอนทของวตถในของเหลวนน โดยของเหลวทมความหนดมากกจะมแรงตานการเคลอนทมากดวย เรยกวา แรงหนด (viscous force) เซอร จอรจ สโตกส (Sir George Stokes, ค.ศ. 1819-1903) ไดท าการทดลองปลอยวตถทรงกลมลงไปในของเหลว เพอหาแรงหนดทกระท าตอวตถทรงกลมขณะเคลอนทในของเหลวนน พบวา ลกกลมโลหะเคลอนทดวยความเรง a เนองจากแรงลพธในชวงตน หลงจากนนกจะเคลอนท ดวยความเรวคงตว v เรยกวา ความเรวปลาย (terminal velocity) ดงแสดงในภาพท 11.13 โดยจะมแรงหนดแปรผนตรงกบความเรวตามสมการ 11.20

ภาพท 11.13 กฎของสโตกสและการเคลอนทของวตถทรงกลมในของเหลว

ทมา: Gibbs, 2011.

rvF 6 11.20

เมอ F คอ แรงหนดของของไหล

คอ ความหนดของของไหล

r คอ รศมของวตถทรงกลม

v คอ ความเรวปลายของวตถทรงกลม

สมการ 11.20 เรยกวา กฎของสโตกส (Stokes' law)

ตวอยางท 11.5 จากการทดลองตามกฎของสโตกสโดยการปลอยลกกลมเหลกรศม 1 mm ลงไป

ในกลเซอรอล (glycerol) ความหนาแนน 1126.10 kg/m3 และความหนด

0.986 Ns/m2 จงหาความเรวปลายของลกกลมเหลก

วธท า ขณะทลกกลมเหลกเคลอนทดวยความเรวปลายจะมแรงลพธเปนศนย ดงนน น าหนกของ

ลกกลมเหลกเทากบผลรวมของแรงหนดและแรงลอยตว

218

bFFw

gmrvgm gi 6

VgrvVg gi 6

r

Vgv

gi

6

)(

r

gr

vgi

6

)3

4)(( 3

9

)(2 2gr

vgi

m/s01.0)s/mN986.0(9

)m/s8.9()m10)(kg/m10.1126kg/m00.7860(22

22333

v

11.7 ทฤษฎบทของแบรนลลและการประยกต

ดาเนยล แบรนลล (Daniel Bernoulli, ค.ศ. 1700-1782) นกคณตศาสตรชาวสวส ไดเสนอทฤษฎบทของแบรนลลวาดวยอทกพลศาสตร (Bernoulli's theorem on hydrodynamics) ซงกลาววา ณ ต าแหนงใดๆ ในของไหล ผลรวมของความดน พลงงานจลนตอปรมาตร และพลงงานศกยตอปรมาตรมคาคงตวเสมอ

P1

P1

P2

P2

A1

A2

s1

s2

(ก) ต าแหนงของไหลทเวลา t = 0

(ข) ต าแหนงของไหลทเวลา t > 0

ภาพท 11.14 ความดนในของไหลตามทฤษฎบทของแบรนลล

ทมา: 4Physics, 2008.

219

ภาพท 11.14(ก) ต าแนงของไหลทเวลา t = 0 พนท A1 และ A2 มความดน P1 และ P2 ตามล าดบ

ภาพท 11.14(ข) ต าแนงของไหลทเวลา t > 0 พนท A1 และ A2 มความดน P1 และ P2 เคลอนทไปไดระยะทาง s1 และ s2 ตามล าดบ

ผลรวมของงาน ณ ต าแนงของไหลทเวลา t > 0 สามารถพจารณาไดดงน

221121 sFsFWWW 11.21

แตแรงดน PAF , 222111 sAPsAPW 11.22

และปรมาตร 2211 sAsAV , VPPW )( 21 11.23

P1

A1

P2

A2

s1

s2

v1

v2

h1

h2

ภาพท 11.15 การอนรกษพลงงานในของไหลตามทฤษฎบทของแบรนลล

ทมา: 4Physics, 2008.

ภาพท 11.15 ต าแนงของไหลทเวลา t > 0 พนท A1 และ A2 มความดน P1 และ P2 เคลอนทไปไดระยะทาง s1 และ s2 มอตราเรว v1 และ v2 ทความสง h1 และ h2 ตามล าดบ

การอนรกษพลงงาน )()( 112212 gg UKUKEEE 11.24

หรอ )2

1()

2

1( 1

212

22 mghmvmghmvE 11.25

แต EW , )2

1()

2

1()( 1

212

2221 mghmvmghmvVPP 11.26

และ V

m , )

2

1()

2

1( 1

212

2221 ghvghvPP 11.27

22221

211

2

1

2

1ghvPghvP 11.28

220

2

222

1

211

22gh

vPgh

vP

11.29

constant2

2

ghvP

11.30

สมการ 11.30 เรยกวา สมการของแบรนลล (Bernoulli's equation) จากสมการ 11.28 เขยนความสมพนธใหมไดดงน

constant2

1 2 ghqPghvP 11.31

เมอ 2

2

1vq เรยกวา ความดนพลวต (dynamic pressure)

ตวอยางท 11.6 เครองบนเคลอนทดวยอตราเรว 355 km/h ทความดนบรรยากาศ 1.0132510 N/m

2 อณหภม 27oC และความหนาแนน 1.1766 kg/m

3 ถาอตราเรวของอากาศ

ดานบนและลางของปกเครองบนเทากบ 420 km/h และ 320 km/h ตามล าดบ จงค านวณหาความดนอากาศดานบนและลางของปกเครองบน

vi = 320 km/h = 88.89 m/s

Pi = ?

vu = 420 km/h = 116.67 m/s

Pu = ?v = 355 km/h = 98.61 m/s

P = 1.0132510 N/m

T = 273+27 = 300 K

= 1.1766 kg/m

ภาพท 11.16 การค านวณหาความดนอากาศดานบนและลางของปกเครองบน

ทมา: ALLSTAR Network, 2013.

จากสมการ 11.29 2

222

1

211

22gh

vPgh

vP

พจารณาทความสง 21 hh , 22

222

211 vPvP

)(2

22

2112 vvPP

221

ความดนดานบนปกเครองบน

223

25u2 )s/m67.116()s/m61.98(

2

m/kg1766.1)m/N1001325.1( P

25u2 m/N1099038.0 P

ความดนดานลางปกเครองบน

223

25i2 )s/m89.88()s/m61.98(

2

m/kg1766.1)m/N1001325.1( P

25i2 m/N1002397.1 P

ตอบ ความดนอากาศดานบนและลางของปกเครองบนเทากบ 0.9903810 N/m2 และ

1.0239710 N/m2 ตามล าดบ

222


1. จงค านวณหามวลของน าและอากาศซงมปรมาตร 1000 cm3 อณหภม 25.0

oC

ความดน 1 atm

2. จงค านวณหาพนทซงถกแรงกระท า 2.1 N และท าใหเกดความดนเทากบ 3.010 N/m

2

3. อางน ากวาง 2.00 m ยาว 2.00 m และลก 30.0 cm บรรจน าอยเตมพอด

3.1 จงค านวณหามวลและน าหนกของน า

3.2 จงค านวณหาความดนทกนอางเนองจากน าหนกของน า

4. กลองลกบาศกขนาด 20.00 cm จมอยในของเหลวดงแสดงในภาพ ความดนบนกลอง เทากบ 105.0 kPa ความดนใตกลองเทากบ 106.8 kPa จงค านวณหาความหนาแนนของของเหลว

20.00 cm

Ptop

Pbotton

ทมา: Walker, 2004: 468.

5. รถยนตคนหนงมวล 1500 kg อยนงบนเครองอดไฮดรอลกทมอตราสวนของพนทลกสบ 20:1 จะตองออกแรงทลกสบเลกอยางนอยทสดเทาไรจงจะสามารถยกรถยนตคนนได

6. ชายคนหนงมน าหนก 720.0 N ขณะทชงอยในอากาศ ถาชงน าหนกอยในน าดงแสดงในภาพได 34.3 N จงหาปรมาตรและความหนาแนนของชายคนนขณะอยในน า

223

T

Fb

w = mg

ทมา: Walker, 2004: 475.

7. การทดลองน าเสนลวดเลกๆ มาดดใหเปนโครงรปตวยทมระยะหางระหวางขาเทากบ 10 cm และน าลวดอกเสนหนงมาวางพาด แลวจมโครงลวดลงในน าสบ เมอยกโครงลวดขนจะมฟลมน าสบตดขนมา ถาออกแรงดงลวด 0.002 N ไปไดระยะทาง 5 cm ดงแสดงในภาพท บ11.9 จงค านวณหางานทท าและความตงผวของฟลมน าสบ

Fแรงตงผว

5 cm

10 cm

8. ถาน าหลอดรเลกเสนผานศนยกลาง 2.0 mm จมลงไปในน าและปรอทแลววดมมสมผสได 5 และ 120 ตามล าดบ จงหาระดบความสงและความลกของน าและปรอทในหลอดรเลก

9. ปลอยลกกลมเหลกรศม 1 mm ลงไปในน ามนเบนซน ซงมความหนาแนน 0.68010

3 kg/m

3 และความหนด 0.649 Ns/m2 จงค านวณหาความเรวปลายของลกกลมเหลก

10. เครองบนเคลอนทดวยอตราเรว 450 km/h ทความดนบรรยากาศ 1 atm อณหภม 32oC

และความหนาแนน 1.18 kg/m3 ถาอตราเรวของอากาศดานบนและลางของปกเครองบนเทากบ

500 และ 400 km/h ตามล าดบ จงหาความดนอากาศดานบนและลางของปกเครองบน

224

11. พลาสตกสองชน A และ B พลาสตก B มความหนาแนนเปน 1.5 เทาของพลาสตก A ทงสองชนมรปทรงเปนทรงกระบอก ถาชน A มพนทฐานเปนสองเทาของชน B เมอน าชน A มาลอยน าจะจมน าครงหนงของความสงทรงกระบอกพอด จงวเคราะหวาถาน าพลาสตกชน B มาลอยน า ชน B จะจมกสวนของทรงกระบอก D3 เปนกเทาของ D1

12. วตถทรงกลมตนลกหนงลอยอยในของเหลวโดยจมลงไปครงลกพอด ก าหนดวาของเหลวมความหนาแนน 1.2 g/m

3 จงหาวาความหนาแนนของวตถมคาเทาใด

225


4Physics. 2008. The Bernoulli Effect. Retrieved April 1, 2013, from http://www.4physics.com/

phy_demo/bernoulli-effect-equation.html.

ALLSTAR Network. 2013. Bernoulli's Equation. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

allstar.fiu.edu/aerojava/bernoulli.htm.

Atkins, N. 2006. Measuring Pressure. Retrieved April 1, 2013, from http://apollo.lsc.vsc.edu/

classes/met130/notes/chapter8/p_measure.html.

Boom's Classes Announcements. 2013. Chapter 9 Pascal's Law and Bernoulli's Principle.

Retrieved April 1, 2013, from http://boomeria.org/physicslectures/pascal/pascal.html.

Carpenter, P. 2013. Aerodynamic Forces. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.rc-airplane-world.com/how-airplanes-fly.html.

Chaplin, M. 2012. Water Structure and Science. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.lsbu. ac.uk/water/interfac2.html.

Costello, K. 2013. Liquids, Solubility, Concentration. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.chemistryland.com/CHM130S/13-Liquids/LiquidsSolutions.html.

Disposable Syringes Co., Ltd. 2003. Hypodermic Needle. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.syringes.cn/hypodermic_needle.html.

FreeFoto LLC. 2012. Surfing, Saltburn by the Sea. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

freefoto.com/preview/1050-07-53/Surfing--Saltburn-By-The-Sea.

GeekAlerts. 2008. LED Shower Light. Retrieved April 1, 2013, from http://www.geekalerts.

com/led-shower-light/.

Gibbs, K. 2011. Stokes' Law and Terminal Velocity. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

schoolphysics.co.uk/age16-19/Properties%20of%20matter/Viscosity/text/Stokes_law/

index.html.

Kidoguchi, L. 2008. Buoyancy. Retrieved April 1, 2013, from http://spot.pcc.edu/~lkidoguc/

Aquatics/AqEx/Water_Buoyancy.htm.

Lough, B. 2013. Many Types of Barometer Makes for Measuring Air Pressure. Retrieved

April 1, 2013, from http://www.stuffintheair.com/barometermakes.html.

http://www.4physics.com/

http://www/

http://apollo.lsc.vsc.edu/

http://www.syringes.cn/

http://www/

http://www.geekalerts/

http://www/

http://spot.pcc.edu/~lkidoguc/

226

ramé-hart instrument co., 2013. Information on Surface and Interfacial Tension. Retrieved

April 1, 2013, from http://www.ramehart.com/surface_tension.htm.



Squidoo, LLC. 2013. RMS Titanic, Ship of Dreams. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. squidoo.com/Harland-and-Wolffs-Titanic.

Stuart, G.L. 2012. Experiments on Surface Phenomena and Colloids. Retrieved April 1, 2013,

from http://www.funsci.com/fun3_en/exper2/exper2.htm.

The Encyclopedia of Renewable Energy and Sustainable Living. 2013. Hydroelectric Power.

Retrieved April 1, 2013, from http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/AE_

hydroelectric_power.html.

THinKNET Co., Ltd. 2010. Khuean Ubonrat Dam. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

hotelsguidethailand.com/travel/travel_detail.php?l=en&code=1917.


Wallpaperz. 2011. Sea Ship Wallpaper. Retrieved April 1, 2013, from http://indexofwallpapers.

com/sea-ship-wallpapers/.

Wikipedia. 2011. Capillary Action. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Capillary_action.

Wikipedia. 2013. Density. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Density.

Wikipedia. 2013. Gas. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Gas.

Wikipedia. 2013. Liquid. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Liquid.

Wikipedia. 2013. Plasma (physics). Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Plasma_(physics).

Wikipedia. 2013. Pounds per Square Inch. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.

org/wiki/Pound-force_per_square_inch.

Wikipedia. 2013. Surface Tension. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Surface_tension.

Yan, P. 2005. Capillary Action. Retrieved April 1, 2013, from http://www.cs.ucf.edu/~pingkun/

projects/cac.html.

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/AE_

http://www/

http://indexofwallpapers/



http://en.wikipedia/


http://www.cs.ucf.edu/~pingkun/


บทท 12 ปรากฏการณทางความรอน


12.1 ความรอนและหนวยวด

12.2 กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร

12.3 การขยายตวเนองจากความรอน

12.4 การเปลยนวฏภาค

12.5 การถายโอนความรอน




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความรอนและหนวยวด

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎขอทศนยของอณหพลศาสตร

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการขยายตวเนองจากความรอน

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเปลยนวฏภาค

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการถายโอนความรอน







228










229

บทท 12

ปรากฏการณทางความรอน

ส าหรบบทท 12 จะกลาวถงการบอกระดบความรอนและปรากฏการณทางความรอนทท าใหเกดการเปลยนแปลงตางๆ ไดแก ความรอนและหนวยวด กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร การขยายตวเนองจากความรอน การเปลยนวฏภาค รวมท งการถายโอนความรอนโดยการน า (conduction) การพา (convection) และการแผรงส (radiation)

Convection

Radiation

ภาพท 12.1 ตวอยางการถายโอนความรอนโดยการน า การพา และการแผรงส

ทมา: Johnston, 2010.

12.1 ความรอนและหนวยวด

ความรอน (heat) เปนพลงงานรปหนงทมอยในวตถ ซงอาจจะอยในรปพลงงานจลนของการเคลอนท การหมน หรอการสนของอะตอมหรอโมเลกล โดยความรอนอาจจะถกสงผานหรอถายโอนไดดวยการน า การพา และการแผรงส ปรากฏการณทแสดงใหเหนไดชดเจนเมอวตถมความรอนมากหรอนอย ไดแก การเปลยนแปลงอณหภม การเปลยนวฏภาคจากของแขงไปเปน

230

ของเหลว (การหลอมเหลวหรอการละลาย) จากของเหลวไปเปนแกส (การระเหยและการเดอด)

และจากของแขงไปเปนแกส (การระเหด) หนวยวดความรอนทใชในปจจบนมดงน

1. จล (J) เปนหนวยอนพทธของงานและพลงงานในระบบหนวยระหวางชาต โดย 1 J

หมายถงงานทเกดจากการกระท าของแรง 1 N ตอจดๆ หนง แลวท าใหจดๆ นน เคลอนทไปไดระยะทาง 1 m ในทศทางเดยวกบแรง หรอหมายถงงานทเกดจากกระแสไฟฟา 1 A ไหลผานความตานทาน 1 Ω ในเวลา 1 s ตงชอตาม เจมส เพรสคอตต จล หรอจาวล (James Prescott Joule,

ค.ศ. 1818-1889) เชน ออกแรง 5 N กระท าตอวตถใหเคลอนทไปตามแนวแรงไดระยะทาง 10 m

งานทท าเนองจากแรงนเทากบ 50 J (W = Fs) หรอกระแสไฟฟา 0.2 A ไหลผานความตานทาน

5 kΩ ในเวลา 0.1 s งานทเกดขนเนองจากกระแสไฟฟาเทากบ 20 J (W = IRt)

2. แคลอร (cal) เปนหนวยวดของความรอนในระบบหนวยเมตรก โดย 1 cal หมายถงความรอนทท าใหน ามวล 1 g มอณหภมสงขน 1

oC และแคลอร 15

o หมายความวาความรอนทท าใหน ามวล 1 g อณหภม 14.5

oC มอณหภมเพมขนเปน 15.5

oC เชน ตมน ามวล 5 g อณหภม 25

oC

จนเดอดมอณหภมเปน 100oC ความรอนทใชมคาเทากบ 375 cal (Q = mcT)

1 cal = 4.1855 J

แคลอรสากลหมายถง 4.1868 J เปนหนวยความรอนในระบบหนวยระหวางชาต

ถาเปนหนวยแคลอรใหญจะบอกเปน 1000 cal หรอ kcalorie หรอ Calorie

3. บรตช (British thermal units, Btu) เปนหนวยวดของความรอนในระบบหนวยองกฤษ ความรอน 1 Btu หมายถงความรอนทท าใหน า 1 lb มอณหภมสงขน 1

oF

1 Btu = 251.997 cal = 1055.06 J

4. ในทางปฏบต การวดปรมาณความรอนในระบบหนวยจล แคลอร และบรตช จะใหคาตวเลขมาก ท าใหเกดความยงยากในการน าไปใช เพอความสะดวกจงไดมการปรบคาเปนปรมาณความรอนใชงาน (Therm)

1 Therm = 100,000 Btu = 25,200,000 cal = 1.0550610 J

12.2 กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร

ถาทกจดของวตถชนทหนงมอณหภมเทากน เมอน าเทอรมอมเตอรมาสมผสจนกระทงมอณหภมเทากนแลวเอาออก หลงจากนนน าเทอรมอมเตอรอนเดยวกนไปสมผสกบวตถชนทสองปรากฏวาไมมการเปลยนแปลงอณหภมหรอระดบปรอทในเทอรมอมเตอร แสดงวาวตถชนทหนงและวตถชนทสองมอณหภมเทากบวตถชนทสามคอเทอรมอมเตอร ดงนนวตถชนทหนงและวตถชนทสองกตองมอณหภมเทากนดวยหรออยในสภาพสมดลทางความรอนตอกน ความจรงดงกลาว

231

นเกดขนเองและเหนไดชดเจนจากการทดลอง ซงจะเปนพนฐานในการวดอณหภมของวตถหรอระบบตาง ๆ ในปจจบน กลาวโดยสรป "ระบบหรอวตถสองชน ซงตางกมความสมดลทางความรอนหรอมอณหภมเทากนกบระบบหรอวตถชนทสามแลว ระบบหรอวตถทงสองชนจะมความสมดลทางความรอนตอกนหรอมอณหภมเทากน" เรยกวากฎขอทศนยของอณหพลศาสตร (the

zeroth law of thermodynamics)

12.3 การขยายตวเนองจากความรอน

ในฤดหนาวจะสงเกตเหนสายไฟฟาระหวางเสาไฟฟาตงและในฤดรอนจะหยอน แสดงวาสายไฟฟาเกดการขยายตวเมอไดรบความรอน นนคอ ของแขงจะขยายตวเมออณหภมเพมขนนนเอง

ในท านองเดยวกน ของเหลวกจะขยายตวเมออณหภมเพมขน เชน ขณะตมน าปรมาตรจะเพมขน

ส าหรบแกสจะขยายตวเมออณหภมเพมขนทความดนและจ านวนแกสคงตว การขยายตวของสารเมอไดรบความรอนสามารถแบงออกไดเปนการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน เชงพนท และเชงปรมาตร ดงตอไปน

12.3.1 การขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน

การพจารณาเกยวกบการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน โดยทวไปจะพจารณากบสารทเปนของแขง (solid) เนองจากมพลงงานยดเหนยวระหวางโมเลกลมากหรอจดหลอมเหลวสง ซงจะตองใชปรมาณความรอนมากในการเปลยนวฏภาคไปเปนของเหลวและไอ

เชน เหลกเสน ลวดทองแดง เสนโลหะผสมตาง ๆ เปนตน

L

Linear Expansion

Rod

L0 L

ภาพท 12.2 ตวอยางการขยายตวเชงเสน

ทมา: Goalfinder, 2007.

ก าหนดให L0 = ความยาวเรมตน

L = ความยาวสดทาย

232

L = ความยาวทเปลยนไป

T = อณหภมทเปลยนไป

การทดลองเกยวกบการรบและคายความรอนของสาร พบวา อตราสวนระหวางความยาวทเปลยนไปกบความยาวเรมตนจะแปรผนกบอณหภมทเปลยนไป

นนคอ TL

L

0

12.12

หรอ TL

L

0

12.13

เมอ คอคาคงตวของการแปรผนเรยกวาสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน (coefficient of linear thermal expansion) มหนวยตอเคลวน (K) หรอตอองศาเซลเซยส

(oC) จากสมการ 12.13 เขยนความสมพนธใหมไดดงน

TLL 0 12.14

แต LLL 0 12.15

นนคอ )1(0 TLL 12.16

จากสมการ 12.14 และ 12.16 ความยาวขนอยกบการเปลยนแปลงของอณหภมเพยงอยางเดยว เนองจากสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสนของสารแตละชนดมคาคงตวตามตารางท 12.1

ตารางท 12.1 สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน

สาร สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน

10-15 oC-1 10-5

oF-1

แกว

คอนกรต

เงน

ตะกว

ทองแดง

ทองเหลอง

สงกะส

เหลก

อะลมเนยม

0.3

0.7-1.2

2.0

3.0

1.7

1.8

2.6

1.2

2.4

0.17

0.4-0.7

1.1

1.7

0.94

1.0

1.44

0.66

1.3

ทมา: Tippens, 1989: 295.

233

ตวอยางท 12.1 โลหะผสมแพลตนม-อรเดยมมสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอน

เชงเสน 8.910 oC ยาว 1 m อณหภม 0

oC จงหาความยาวของเสนโลหะ

ผสมนทอณหภม 37oC

วธท า ความยาวทเปลยนไปหาไดจากสมการ 12.14

TLL 0

m10293.3)C37)(C109.8)(m1( 4o1o6 L

ความยาวทอณหภม 37oC หาไดจากสมการ 12.15

m0003293.1)m0003293.0()m1( L

ตอบ ความยาวของเสนโลหะผสมทอณหภม 37oC เทากบ 1.0003293 m

12.3.2 การขยายตวเนองจากความรอนเชงพนท การพจารณาเกยวกบการขยายตวเนองจากความรอนเชงพนท จะพจารณากบสารทมลกษณะเปนแผนฟลมหรอแผนโลหะบาง ๆ เนองจากเมอไดรบหรอคายความรอนจะขยายหรอหดตวอยางเหนไดชด เชน แผนสงกะส เหรยญเงน กระจก เปนตน

Superficial Expansion

Thin Sheet

ภาพท 12.3 ตวอยางการขยายตวเชงพนท


ก าหนดให A = พนทเรมตน

A = พนทสดทาย

A = พนททเปลยนไป


234

เพอความสะดวกในการค านวณ จะพจารณาการขยายตวเนองจากความรอนเชงพนทของสารทมลกษณะเปนแผนสเหลยมมมฉากยาวดานละ L

จะไดวา 2LA 12.17

20 LLA 12.18

2020 2 LLLLA 12.19

2

00

20 21

L

L

L

LLA 12.20

ในกรณท 10

L

L และ TL

L

0

จากสมการ 12.20

02120 TLA 12.21

หรอ )1(0 TAA 12.22

เมอ = 2 คอสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงพนท (coefficient of

area thermal expansion) มหนวยตอเคลวน (K) หรอตอองศาเซลเซยส (oC)

แต AAA 0 12.23


TAA 0 12.24

จากสมการ 12.24 การเปลยนแปลงพนทขนอยกบอณหภมทเปลยนไป เนองจากสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงพนทของสารแตละชนดมคาคงตว

ตวอยางท 12.2 แผนทองเหลองกลมเสนผานศนยกลาง 80 mm อณหภม 20oC ถาน า

แผนทองเหลองดงกลาวใสลงไปในน าเดอดอณหภม 100oC จะมพนทเปนเทาไร

ก าหนดให ทองเหลองมสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสน

1.810 oC

วธท า พนทของแผนทองเหลองกลมขณะอณหภม 20oC

200 rA

220 mm57.5028)mm40( A

สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงพนทของแผนทองเหลอง

2

1o51o5 C106.3)C108.1(2

พนทของแผนทองเหลองทเปลยนไป

235

TAA 0

2o1o52 mm48.14)C80)(C106.3)(mm57.5028( A

พนทของแผนทองเหลองขณะอยในน าเดอด

AAA 0

222 mm05.5043)mm48.14()mm57.5028( A

ตอบ พนทของแผนทองเหลองขณะอยในน าเดอดเทากบ 5043.05 mm

12.3.3 การขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตร

ส าหรบการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตรจะพจารณาสารทมวฏภาคเปนของเหลวและแกส เนองจากมพลงงานยดเหนยวระหวางโมเลกลนอยหรอจดหลอมเหลวต า

และเมอไดรบความรอนจะท าใหความดนและปรมาตรเปลยนไป เชน อากาศ ปรอท แอลกอฮอล และแกสโซลน เปนตน

Solid Cube

Volume Expansion

ภาพท 12.4 ตวอยางการขยายตวเชงปรมาตร


ก าหนดให V = ปรมาตรเรมตน

V = ปรมาตรสดทาย

V = ปรมาตรทเปลยนไป


เพอความสะดวกในการค านวณ จะพจารณาการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตรของสารทมลกษณะเปนลกบาศกยาวดานละ L

236

จะไดวา 3LV 12.25

30 LLV 12.26

32

020

30 33 LLLLLLV 12.27

3

0

2

00

30 331

L

L

L

L

L

LLV 12.28

ในกรณท 10

L

L และ TL

L

0

จากสมการ 12.28

003130 TLV 2.29

หรอ )1(0 TVV 12.30

เมอ = 3 คอสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตร (coefficient

of volume thermal expansion) มหนวยตอเคลวน (K) หรอตอองศาเซลเซยส (oC)

แต VVV 0 12.31


TVV 0 12.32

จากสมการ 12.32 การเปลยนแปลงปรมาตรจะขนอยกบอณหภมทเปลยนไป เนองจากสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตรของสารแตละชนดมคาคงตว

ตารางท 12.2 สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตร

สาร สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงปรมาตร

10 oC 10

oF

ไกลเซอรน

น า เบนซน

ปรอท เอทลแอลกอฮอล

5.1

2.1

12.4

1.8

11

2.8

1.2

6.9

1.0

6.1


ตวอยางท 12.3 กระเปาะแกวไพแรกซปรมาตร 50 cm บรรจปรอทอณหภม 20oC อยเตมพอด

จงหาปรมาตรของปรอททไหลออกมาเมอระบบไดรบความรอนจนมอณหภมเปน

60oC

237

ก าหนดให สมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสนของแกวไพแรกซ

0.310 oC และสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอน

เชงปรมาตรของปรอท 1.810 oC

วธท า เนองจากปรอทขยายตวไดดกวาแกว ดงนน ปรมาตรของปรอททไหลออกหาไดดงน

Vไหลออก = Vปรอท Vแกว

การเปลยนแปลงปรมาตรของปรอทและแกวหาไดจากสมการ 12.32

V = VT

Vปรอท = (50 cm3)(1.810

oC)(40

oC) = 0.36 cm

3

Vแกว = (50 cm3)(30.310

oC)(40

oC) = 0.018 cm

3

จะไดวา Vไหลออก = (0.36 cm3)( 0.018 cm

3) = 0.342 cm

3

ตอบ ปรมาตรของปรอททไหลออกเทากบ 0.342 cm3

12.4 การเปลยนวฏภาค

วฏภาคหรอเฟส (phase) หมายถง สวนหนงหรอภาคหนงหรอสถานะหนงของสารทมเนอเดยวกน แตจะมลกษณะทางฟสกสตางกนกบสารอนทรวมกนอยหลายอยางโดยไมมเนอเปนอนเดยวกน เชน ของผสมระหวางน าแขงกบน าเปนระบบสองภาค สวนสารละลายของเกลอในน าจะเปนระบบภาคเดยว นนคอ สวนหรอภาคหนงของสารหรอระบบทผสมกนอยจะไมเปนเนอเดยวกน การรบหรอคายความรอนจะมผลท าใหสารมอณหภมเปลยนแปลงไปจากเดม โดยการเปลยนแปลงอณหภมของสารแตละชนดจะมชวงของการเปลยนแปลงจ ากดเฉพาะตวชวงหนงและเมออณหภมของสารเปลยนแปลงถงคาหนงแตการรบหรอคายความรอนยงด าเนนอยตอไป จะเกดการเปลยนวฏภาค แสดงวา การรบหรอคายความรอนของสารจะมผลตอการเปลยนวฏภาคเมออณหภมพอเหมาะ

พจารณาภาพท 12.5 การเปลยนวฏภาคจากของแขงเปนของเหลวเรยกวาการหลอมเหลว (melting) และเรยกการเปลยนวฏภาคจากของเหลวเปนของแขงวาการแขงตว (freezing) ส าหรบการเปลยนวฏภาคจากของเหลวไปเปนแกสเรยกวาการกลายเปนไอ (vaporization) และเรยก

การเปลยนวฏภาคจากแกสไปเปนของเหลววาการควบแนน (condensation) ทงนขนอยกบวาสารนนจะไดรบหรอคายความรอน สงทมผลตอการเปลยนแปลงสภาพและวฏภาคของสารโดยตรงคอสมบตเฉพาะของสารบางประการและปรมาณความรอน ไดแก ความจความรอนจ าเพาะ ความรอนแฝงจ าเพาะ อตราการถายโอนความรอน เปนตน ซงจะไดกลาวถงรายละเอยด กฎเกณฑ และเงอนไขตางๆ ตอไป

238

ภาพท 12.5 การรบและคายความรอนกบการเปลยนวฏภาค

ทมา: Wikipedia. 2013.

12.4.1 ความจความรอนและความจความรอนจ าเพาะ

เมออณหภมของสารหรอระบบหนงมคาเพมขนจ านวน T อนเนองมาจากการเพมปรมาณความรอน Q อตราสวนระหวางการเพมปรมาณความรอนเทยบกบอณหภมทเพมขนเรยกวาความจความรอน (heat capacity, C)

นนคอ T

QC

12.33

ในทางปฏบต คาความจความรอนทใชจะมหนวยเปนจลตอเคลวน (J/K) หรอแคลอรตอองศาเซลเซยส (cal/

oC) และคาความจความรอนของสารชนดเดยวกนหรอตางชนดกน

อาจเทากนหรอไมเทากนกได เพราะความจความรอนไมใชคณสมบตของสารโดยเฉพาะ ดงนน

คาความจความรอนจงไมสามารถบอกไดวาเปนสารชนดใด

ความจความรอนจ าเพาะ (specific heat capacity, c) หมายถงปรมาณความรอนทตองใชในการท าใหสารหนงหนวยมวลมอณหภมเพมขน 1 องศา หรอหมายถงความจความรอนตอหนงหนวยมวล ซงสามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธไดดงน

Tm

Q

m

Cc

12.34

TmcQ 12.35

จากสมการ 12.35 แสดงวา ปรมาณความรอนทท าใหสารเปลยนแปลงสภาพจะมคามากหรอนอยขนอยกบมวล m และอณหภมทเปลยนไป T เนองจากคาความจความรอนจ าเพาะ

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Phase_change_-_en.svg

239

c ของสารชนดเดยวกนจะมคาเทากน ตางกนเมอสารตางชนดกน และจะมคาคงตวตลอดไมเปลยนแปลง มหนวยเปนจลตอกโลกรมตอเคลวน (J/kgK) หรอแคลอรตอกรมตอองศาเซลเซยส

(cal/goC) มคาตามตารางท 12.3

ตารางท 12.3 ความจความรอนจ าเพาะ

สาร ความจความรอนจ าเพาะ สาร

ความจความรอนจ าเพาะ

kJ/kgK Cal/goC kJ/kgK Cal/goC

แกว

เงน

ตะกว

น า

น าแขง

น ามนสน

ทอง

ทองเหลอง

0.837

0.234

0.130

4.186

2.093

1.758

0.126

0.394

0.20

0.056

0.031

1.000

0.50

0.42

0.03

0.094

ทองแดง

ปรอท

สงกะส

เหลก

เหลกกลา


เอทลแอลกอฮอล ไอน า

0.389

0.138

0.385

0.473

0.477

0.921

2.512

2.010

0.093

0.033

0.092

0.113

0.114

0.22

0.60

0.48


ตวอยางท 12.4 เครองท าความรอนใชแกสหงตมมคาความรอน 50,000 kJ/kg เปนเชอเพลง

ตมน ามวล 500 kg อณหภม 20oC จนกระทงมอณหภมเปน 100

oC โดยไมม

การสญเสยพลงงาน จงหาวาจะตองใชแกสหงตมเทาไร

วธท า ปรมาณความรอนทใชในการตมน าหาไดจากสมการ 12.35 ดงน

TmcQ

)K80)(KkJ/kg186.4)(kg500( Q

kJ167440Q

ปรมาณความรอน 50,000 kJ จะตองใชแกส 1 kg

" 167,440 kJ " kg35.3kJ50000

)kJ167440)(kg1(

ตอบ จะตองใชแกสหงตม 3.35 kg

240

12.4.2 ความรอนแฝงและความรอนแฝงจ าเพาะ

ปรมาณความรอน Q ทสารดดกลนหรอปลอยออกมาระหวางการเปลยนวฏภาคโดยไมมการเปลยนแปลงอณหภม หรอปรมาณความรอนทใชเปลยนวฏภาคของสารโดยอณหภมคงตว (T = 0) เรยกวาความรอนแฝง (latent heat, L)

นนคอ L = Q เมอ T = 0 12.36

ความรอนแฝงไมใชคณสมบตของสารโดยเฉพาะ เนองจากเปนปรมาณความรอน

ทใชในการเปลยนวฏภาคของสาร ดงนน สารชนดเดยวกนหรอตางชนดกนอาจมความรอนแฝงเทากนหรอไมเทากนกได

ความรอนแฝงจ าเพาะ (specific latent heat, l) หมายถงปรมาณความรอนทตองใชในการท าใหสารหนงหนวยมวลเปลยนวฏภาคโดยอณหภมไมเปลยนแปลง หรอความรอนแฝงตอหนงหนวยมวลนนเอง ซงสามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธไดดงน

m

Ll 12.37

แต QL m

Ql 12.38

หรอ mlQ 12.39

จากสมการ 12.39 ปรมาณความรอนทท าใหสารชนดหนงเปลยนวฏภาคโดยอณหภมคงตวจะมคามากหรอนอยขนอยกบมวล m เพยงอยางเดยว เนองจากคาความรอนแฝงจ าเพาะ l ของสารแตละชนดมคาคงตวตลอดไมเปลยนแปลง โดยสารชนดเดยวกนจะมคาความรอนแฝงจ าเพาะเทากน และจะตางกนเมอสารตางชนดกน มหนวยจลตอกโลกรม (J/kg) หรอแคลอรตอกรม (cal/g) มคาตามตารางท 12.4

ตารางท 12.4 จดหลอมเหลว จดเดอด และความรอนแฝงจ าเพาะ

สาร

จดหลอมเหลว

จดแขงตว

ความรอนแฝงจ าเพาะ

ของการหลอมเหลว

จดเดอด

จดควบแนน


ของการกลาย

เปนไอ

K oC kJ/kg cal/g K

oC kJ/kg cal/g

เงน

ตะกว

ทองแดง

น า

1233.95

960.8

600.45

327.3

.

87.92 21

24.53 5.86

175.84 42

334.94 80

2466.15 2193

1893.15 1620

2583.15 2310

373.15

2336.23 558

870.85 208

4777.14 1141

2260.87 540

241

ตารางท 12.4 จดหลอมเหลว จดเดอด และความรอนแฝงจ าเพาะ (ตอ)

สาร

จดหลอมเหลว

จดแขงตว


ของการหลอมเหลว

จดเดอด

จดควบแนน


ของการกลาย

เปนไอ

K oC kJ/kg cal/g K oC kJ/kg cal/g

ปรอท

สงกะส

ออกซเจน

เอทลแอลกอฮอล ฮเลยม

1353.15 1080

273.15

0.0

234.15 39

693.15 420

54.35

218.8

155.85

117.3

3.55

269.6

11.72 2.8

100.48 24

13.82 3.3

104.25 24.9

5.23 1.25

100.0

631.15 358

1191.15 918

90.15 183

351.65

78.5

4.25

268.9

297.26 71

1988.73 475

213.53 51

854.11 204

20.93 5


การเปลยนวฏภาคของสารจะเกดขนเฉพาะทจดเดอด จดหลอมเหลว หรอจดระเหด เทานน ถาพจารณาทอณหภมจะพบวาจดควบแนนจะอยทเดยวกบจดเดอด และจดแขงตวจะอยทเดยวกบจดหลอมเหลว โดยปรมาณความรอนทใชเปลยนวฏภาคจากของแขงเปนของเหลวตอหนงหนวยมวลโดยอณหภมไมเปลยนเรยกวาความรอนแฝงจ าเพาะของการหลอมเหลว จะมคาเทากบความรอนแฝงจ าเพาะของการแขงตว และปรมาณความรอนทใชเปลยนวฏภาคจากของเหลวเปนไอตอหนงหนวยมวลโดยอณหภมไมเปลยนเรยกวาความรอนแฝงจ าเพาะของการกลายเปนไอ จะมคาเทากบความรอนแฝงจ าเพาะของการควบแนน

ตวอยางท 12.5 น าแขงมวล 1.00 g อณหภม 30.0oC เปลยนไปเปนไอน าอณหภม 120.0

oC

จงหาพลงงานความรอนทใชทงหมด

วธท า พจารณาพลงงานความรอนทใชทงหมดไดดงน

ความรอน 1Q ทใชเปลยนน าแขง 30.0 oC ไปเปนน าแขง 0

oC

242

TcmQ ii 1

)C0.30)(CJ/kg2090)(kg1000.1( oo31

Q

J7.621 Q

ความรอน 2Q ทใชเปลยนวฏภาคจากน าแขง 0 oC เปนน า 0

oC

filmQ 2

)J/kg1033.3)(kg1000.1( 532

Q

J3332 Q

ความรอน 3Q ทใชในการเปลยนน า 0 oC เปนน าเดอด 100.0

oC

TcmQ ww 3

)C0.100)(CJ/kg1019.4)(kg1000.1( oo333

Q

J4193 Q

ความรอน 4Q ทใชในการเปลยนวฏภาคจากน าเดอด 100.0 oC เปนไอน า 100.0

oC

vwlmQ 4

)J/kg1026.2)(kg1000.1( 634

Q

J1026.2 34 Q

ความรอน 5Q ทใชในการเปลยนไอน า 100.0 oC เปนไอน า 120.0

oC

TcmQ ss 5

)C0.20)(CJ/kg1001.2)(kg1000.1( oo335

Q

J2.405 Q

ความรอน Q ทใชทงหมด

54321 QQQQQQ

J)2.4022604193337.62( Q

J1011.3 3Q

ตอบ พลงงานความรอนทใชเปลยนน าแขงเปนไอน าเดอดทงหมดเทากบ J1011.3 3

12.5 การถายโอนความรอน

เมอระบบหรอสารตงแตสองชนดขนไปมอณหภมตางกนสมผสกนจะเกดการถายโอนความรอน (heat transfer) โดยจะมการรบและคายความรอนใหแกกน และมผลท าใหระบบหรอสารนนๆ มอณหภมเพมขนและลดลง จนกระทงสดทายเมออณหภมเทากนกจะหยดการถายโอนและส าหรบระบบหรอแหลงความรอนทมขนาดใหญซงมการถายโอนความรอนอยตลอดเวลาอยาง

243

ตอเนองนน อตราการถายโอนความรอนหรอพลงงานความรอนทถายโอนตอหนงหนวยเวลาจะมคาแตกตางกนไป ขนอยกบขนาดของระบบหรอแหลงความรอนนนๆ นอกจากนยงขนอยกบลกษณะกระบวนการถายโอนความรอนอกดวย ไดแก การน า การพา และการแผรงส ในแตละกระบวนการยงขนอยกบความแตกตางของอณหภมและคาคงตวตางๆ คอ สภาพน าความรอน สมประสทธการพาความรอน และสภาพเปลงรงส ในชวตประจ าวนจะพบการถายโอนความรอนหลายๆ รปแบบ เชน การน าความรอนของทบพขณะตกขาวรอน การพาความรอนของอากาศท

พดผาน การแผรงสความรอนของดวงอาทตยมายงโลก เปนตน

12.5.1 สมดลความรอน

ถาน าสารทมอณหภมตางกนมาสมผสกน จะเกดการถายโอนความรอนจนมอณหภมเทากนจงจะหยดถายโอน ภาวะทมอณหภมเทากนเรยกวาสมดลความรอน (thermal

equilibrium) หมายความวาสถานะในระบบหนงทไมมการไหลความรอนระหวางองคประกอบภายในระบบนน ซงแบงออกเปน 2 พวก คอ พวกทรบความรอนจะมความรอนเพมขน (Q เพม)

และพวกทคายความรอนจะมความรอนลดลง (Q ลด) ดงนน จากกฎการอนรกษพลงงาน จะไดวา

Q เพม = Q ลด 12.40

สวตซเครองผสมเครองปน เทอรมอมเตอร

ฉนวนความรอนแหลงความรอนสารตวอยาง

ภาพท 12.6 มาตรความรอน

ทมา: Boles & Çengel, 1998: 30.

244

จากภาพท 12.8 มาตรความรอนหรอแคลอรมเตอร (calorimeter) เปนเครองมอทใชส าหรบวดปรมาณความรอนตางๆ เชน การสงผานความรอน ความจความรอนจ าเพาะ และความรอนแฝงจ าเพาะของสาร เปนตน โดยใชหลกการถายโอนความรอนจนกระทงอยในสภาพสมดลความรอน ชนดงายทสดท าดวยภาชนะทองแดงหรออลมเนยมรปทรงกระบอกหรอท าดวยวตถอนใดททราบคาความจความรอนจ าเพาะ ซงมหลกเกณฑในการพจารณาดงตอไปน

1) สงใดกตามทใสไวในมาตรความรอนจะเกดสมดลทางความรอน หมายความวาทกสงมอณหภมเทากนหมดและเทากบโลหะทใชท ามาตรความรอนดวย

2) ถาน าสงอนมาใสลงไปในมาตรความรอน ผลสดทายจะเกดสมดลความรอน

3) จากกฎทรงพลงงาน Q เพม = Q ลด โดยยดหลกทวา

(1) ถาเปลยนอณหภมโดยไมเปลยนวฏภาค ใช Q = mcT

(2) ถาเปลยนวฏภาคโดยอณหภมไมเปลยน ใช Q = ml

ตวอยางท 12.6 หยอนน าแขงมวล 20 g อณหภม 0oC ลงไปในมาตรความรอนทท าดวยกระปอง

ทองแดงมวล 50 g ซงบรรจน าไว 200 g อณหภม 20oC ถาอณหภมผสมเปน

11oC จงค านวณหาความรอนแฝงจ าเพาะของน าแขง

วธท า สมมตใหความรอนแฝงจ าเพาะของน าแขงเทากบ l

พวกทความรอนเพม -น าแขง 20 g 0oC เปลยนไปเปนน า 20 g 0

oC

Q = ml = 20l

-น า 20 g 0oC เปลยนไปเปนน า 20 g 11

oC

Q = mcT

Q = (20 g)(1 cal/goC)(11oC) = 220 cal

พวกทความรอนลด -ทองแดง 50 g 20oC เปลยนไปเปนทองแดง 50 g 11

oC

Q = mcT

Q = (50 g)(0.093 cal/goC)(9oC) = 41.85 cal

-น า 200 g 20oC เปลยนไปเปนน า 200 g 11

oC

Q = mcT

Q = (220 g)(1 cal/goC)(9oC) = 1800 cal

กฎทรงพลงงาน -ความรอนเพม = ความรอนลด

(20l)+(220 cal) = (41.85 cal)+(1800 cal)

l = 81.09 cal/g

ตอบ ความรอนแฝงจ าเพาะของน าแขงเทากบ 81.09 cal/g

245

12.5.2 การน าความรอน

การน าความรอน (heat conduction) เปนกระบวนการถายโอนความรอนผานอะตอมหรอโมเลกลของตวกลางซงอยนง โดยอะตอมหรอโมเลกลของตวกลางทไดรบความรอนจะสนดวยพลงงานจลนสงเนองจากมอณหภมสง และการสนดงกลาวจะท าใหอะตอมหรอโมเลกลทอยถดไปสนดวยพลงงานจลนสงตอเนองกนไปเรอยๆ ซงเปนการถายโอนพลงงานความรอนในรปพลงงานจลนของการสนของอะตอมหรอโมเลกลของวตถทเปนตวกลาง โดยในแกสเกดจากการกระทบกนระหวางอะตอมหรอโมเลกล ในของเหลวกเชนเดยวกนกบแกสเปนสวนใหญ ส าหรบของแขงทเปนตวน าไฟฟาจะน าความรอนโดยการถายโอนความรอนระหวางอเลกตรอนเสรในของแขงนน ๆ สวนในของแขงทเปนฉนวนไฟฟาจะน าความรอนไดเนองจากการเปลยนแปรไปมาของแรงทยดเหนยวระหวางโมเลกล

พจารณาวตถทเปนตวกลางการน าความรอนดงแสดงในภาพท 12.9 จะไดอตราการถายโอนความรอน Q/t ผานโมเลกลของตวกลางจากจดทมอณหภมสง T ไปยงจดทมอณหภมต า T มความสมพนธกนตามสมการ 12.41

x

TA

t

Q

12.41

เมอ Q = ปรมาณความรอนทถายโอนผานโมเลกลของตวกลาง

t = ชวงเวลาการถายโอนความรอน

= สภาพน าความรอนของตวกลาง

A = พนทหนาตดของตวกลาง

T = ความแตกตางของอณหภม T T

x = ระยะทาง

จากสมการ 12.41 เครองหมายลบหมายถงอตราการถายโอนความรอนจากอณหภมสงไปต า ดงนน T = T T เปนลบ ซงจะไดปรมาณความรอนถายโอนผานโมเลกลของตวกลางเปนบวก ปรมาณ T/x หมายถง อตราการเปลยนแปลงอณหภมเทยบกบระยะทางในตวกลาง เรยกวา เกรเดยนตอณหภม (temperature gradient) และปรมาณ (Q/t)/A เรยกวา ฟลกซความรอน (heat flux) ซงสามารถวดได มหนวยเปนวตตตอตารางเมตร (W/m) ส าหรบสภาพน าความรอน (thermal conductivity) ของสารตาง ๆ ทเปนตวกลางมคาตามตารางท 12.5

246

การถายโอนความรอน A อณหภมสง, Tอณหภมต า, T

x

ภาพท 12.7 การถายโอนความรอนโดยการน า

ทมา: Hornyak & Marion, 1985: 192. ตารางท 12.5 สภาพน าความรอนทสภาวะหองทดลอง

สาร สภาพน าความรอน

สาร สภาพน าความรอน

W/mK Cal/msoC W/mK Cal/msoC

แกว

เงน

ปรอท

เพชร

ทอง

ทองแดง

1.4

429

8.54

2300

317

401

0.33

102.46

2.04

549.34

75.71

95.78

น า

ไม (โอก)

เหลก


อากาศ

ฮเลยม

0.613

0.17

80.2

237

0.026

0.152

0.15

0.04

19.16

56.61

0.006

0.036


ตวอยางท 12.7 กระทะสแตนเลสหนา 2 mm เคลอบดวยทองแดงหนา 1 mm ทผวดานนอกของ

ทองแดงมอณหภม 400oC และผวดานนอกของสแตนเลสมอณหภม 20

oC

ถาสภาพน าความรอนของทองแดงและสแตนเลสเทากบ 403 และ 30 W/moC


ก) จงค านวณหาอณหภมระหวางรอยตอของทองแดงและสแตนเลส

ข) ถาผวดานลางของกระทะมพนท 160 cm จงหาอตราการถายโอนความรอน

ของโลหะทงสอง

วธท า ก) ระหวางรอยตอของโลหะทงสองจะมอตราการถายโอนความรอนและอณหภม

เทากน

t

Q

ทองแดง =

t

Q

สแตนเลส

x

TA ทองแดง =

x

TA สแตนเลส

247

m001.0

C400m016.0CW/m403

o2o T


m002.0

C20m016.0CW/m30

o2o T


T = 386.36oC

ตอบ อณหภมระหวางรอยตอของทองแดงและสแตนเลสเทากบ 386.36 oC

ข)

t

Q


x

TA ทองแดง

=

m001.0

C36.386C400m016.0CW/m403

oo2o = 87.95 kW

t

Q

สแตนเลส =

x

TA สแตนเลส

=

m002.0

C20C36.386m016.0CW/m30

oo2o = 87.93 kW

ตอบ อตราการถายโอนความรอนของทองแดงและสแตนเลสเทากบ 87.93 kW และ

87.95 kW ตามล าดบ

12.5.3 การพาความรอน

การพาความรอน (heat convection) เปนกระบวนการถายโอนความรอนผานตวกลางทเปนของไหล ซงแตกตางไปจากการน าความรอน โดยโมเลกลของตวกลางเคลอนทพาความรอนไป กลาวคอ เปนการสงผานความรอนในของเหลวหรอแกสดวยการทของเหลวหรอแกสเคลอนทไปจรงๆ โดยสวนทกระทบกบตนก าเนดความรอนจะรอนขน เกดการขยายตว ความหนาแนนนอยลง และลอยตวสงขน สวนทเยนกจะไหลเขามาแทนท ท าใหเกดกระแสการพาความรอนขน

เชน อากาศเมอไดรบความรอนจากเตาไฟจะมพลงงานจลนเฉลยสงขน เมอเคลอนทมากระทบกบตวเรากจะถายโอนพลงงานความรอนท าใหรสกรอนขน

ภาพท 12.8 เครองกระจายความรอนโดยการพา


248

พจารณาการพาความรอนของอากาศภายในเครองกระจายความรอนในภาพท 12.10

อตราการถายโอนหรอการไหลความรอน (heat flow) Q/t จะมคาตามสมการ 12.42

ThAt

Q

12.42

เมอ Q = ปรมาณความรอนทไหลไปกบตวกลาง

t = ชวงเวลาการไหลของความรอน

h = สมประสทธการพาความรอน

A = พนทผว

T = ความแตกตางของอณหภม

จากสมการ 12.42 จะพบวาอตราการถายโอนความรอนโดยการพาขนอยกบพนทผว A

ความแตกตางอณหภมระหวางพนผวทตวกลางผาน T และสมประสทธการพาความรอน h

(convection coefficient) ของตวกลางแตละชนด ซงจะมคาแตกตางกนตามตารางท 12.6

ตารางท 12.6 สมประสทธการพาความรอน

ชนดของตวกลาง สมประสทธการพาความรอน (W/mK)

น า

น าเดอด

น ามน

อากาศ

ไอน า

5.684-11,370

2,842-56,849

56.8-1,705

0.568-284

5,685-113,699

ทมา: Look & Sauer, 1982: 412.

ตวอยางท 12.8 จงวเคราะหการถายโอนความรอนผานชองกระจกหนา 2 mm พนท 1.5 m

โดยมอณหภมขางใน 22oC และอณหภมขางนอก 0

oC

ก าหนดให สภาพการน าความรอนของกระจก 0.8 W/moC

ก) อตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของกระจกมคาเทาไร

ข) ถาความแตกตางอณหภมของกระจกวดไดจากการทดลองประมาณ

0.2 oC จงค านวณหาอตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของ

กระจก

249

ค) ถาอณหภมขางนอกของกระจกเทากบ 11 oC และอตราการถายโอน

ความรอนโดยการพาของโมเลกลอากาศเทากบ 100 W จงค านวณหา

สมประสทธการพาความรอนของอากาศ

วธท า ก) พจารณาอตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของกระจกขณะท T = 22oC

kW20.13m002.0

C22m5.1CW/m8.0

o2o

x

TA

t

Q

ตอบ อตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของกระจก 13.20 kW

ข) พจารณาอตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของกระจกขณะท T = 0.2 oC

kW12.0m002.0

C0.2m5.1CW/m8.0

o2o

x

TA

t

Q

ตอบ อตราการถายโอนความรอนผานโมเลกลของกระจก 0.12 kW

ค) พจารณาสมประสทธการพาความรอนของอากาศ

ThAt

Q

)C11)(m5.1(W100 o2h

CW/m06.6 o2h

ตอบ สมประสทธการพาความรอนของอากาศ 6.06 W/moC

12.5.4 การแผรงสความรอน

การแผรงสความรอน (heat radiation) เปนการถายโอนความรอนทแตกตางไปจากการน าและการพาความรอนโดยสนเชง เนองจากการแผรงสความรอนไมตองอาศยตวกลางในการถายโอน แตจะแผรงสออกมาในรปคลนแมเหลกไฟฟาและสามารถสงผานไปในสญญากาศได

โดยทวไปจะเปนการแผรงสในรปการเคลอนทของคลนหรออนภาคตางๆ ออกจากแหลงก าเนด

เชน แอลฟา บตา แกมมา นวตรอน เปนตน ตวอยางการแผรงสความรอนทพบในชวตประจ าวน

ไดแก การแผรงสความรอนจากดวงอาทตยมายงโลก การแผรงสจากดาวฤกษ การแผรงสจากพนผวของแหลงความรอนตางๆ เปนตน

250

ภาพท 12.9 ตวอยางการถายโอนความรอนโดยการแผรงส

ทมา: Cool N Lite Solar Film Pte Ltd., 2012.

ปรมาณพลงงานความรอนทแผออกมาจากพนผวตอหนงหนวยเวลาหรออตราการถายโอนความรอน Q/t เรยกวา ก าลงปลดปลอย (emissive power) ของพนผว มคาเปนไปตามกฎของสเตฟาน-โบลตซมนน (law of Stefan-Boltzmann) ตามสมการ 12.43

4AT

t

Q

12.43

เมอ = สภาพเปลงรงส

= คาคงตวของสเตฟาน (5.6710 W/mK)

A = พนทผว

T = อณหภมสมบรณ

ส าหรบแหลงการแผรงสความรอนทมลกษณะพนผวราบเรยบมากๆ เปนมนเงาจะมสภาพเปลงรงสต าประมาณ 0.03 และแหลงการแผรงสความรอนสมบรณแบบเปนทรจกกนดคอวตถด า (black body) ซงจะมสภาพเปลงรงสเทากบ 1 และอตราก าลงปลดปลอยตอหนงหนวยพนท E ตามสมการ 12.44

4TE 12.44

จากสมการ 12.44 จะพบวา อตราก าลงปลดปลอยตอหนงหนวยพนทผวของวตถด า

แปรผนตรงกบอณหภมสมบรณก าลงส เนองจาก เปนคาคงตว และส าหรบสภาพเปลงรงสของแหลงก าเนดตางๆ มคาตามตารางท 12.7

251

ตารางท 12.7 สภาพเปลงรงสทอณหภม 300 เคลวน

สาร สภาพเปลงรงส สาร สภาพเปลงรงส

กระดาษขาว

เงน (มนเงา)

ถนนลาดยาง

ทอง (มนเงา)

ทองแดง (มนเงา)

น า

พช

พนดน

0.92-0.97

0.02

0.85-0.93

0.03

0.03

0.96

0.92-0.96

0.93-0.96

ภาพวาด (สขาว)

ภาพวาด (สด า)

ไม


อฐ (สแดง)

อะลมเนยม (แผน)

อะลมเนยม (เคลอบ)

0.90

0.98

0.82-0.92

0.17

0.93-0.96

0.07

0.82


ตวอยางท 12.9 จงค านวณหาอตราการแผรงสทปลอยออกมาทงหมดจากแผนทองแดงขนาด

2040 cm อณหภม 600oC และมสภาพเปลงรงส 0.60

วธท า พนทผวของแผนทองแดงทงสองดาน

22 m161.0)cm4020)(2( A

อณหภมของแผนทองแดง

K15.873K)15.273600( T

หาอตราการแผรงสทปลอยออกมา

4AT

t

Q

kW16.3)K15.873)(m160.0)(KW/m1067.5)(60.0( 42428

t

Q

ตอบ อตราการแผรงสทปลอยออกมาทงหมดจากแผนทองแดง 3.16 kW

252


1. ปรอทมจดเดอด 630 K และจดเยอกแขง 234 K ทความดนบรรยากาศ จงเปลยนอณหภมนใหเปนองศาเซลเซยส องศาฟาเรนไฮต และแรงคน

2. เทอรมอมเตอรสรางขนเองมจดเยอกแขงของน าเทากบ 3C จดเดอดของน าเทากบ

101.5C เทอรมอมเตอรนจะวดอณหภมไดถกตองทอณหภมเทาใด

3. ตะกวยาว 50 ft ทอณหภม 20C เมอไดรบความรอนจนมอณหภมเปน 30 C

จะมความยาวเพมขนจากเดม 0.90 in จงค านวณหาสมประสทธของการขยายตวเนองจากความรอนเชงเสนของตะกว

4. ความหนาแนนของปรอททอณหภม 0 C มคาเทากบ 1.36010 kg/m จงค านวณหา

ความหนาแนนของปรอททอณภม 50 C ก าหนดใหสมประสทธของการขยายตวเนองจากความ

รอนเชงปรมาตร 1.8210 C

5. แผนนกเกลหนา 0.4 cm มอณหภมระหวางดานทงสองแตกตางกน 32 C ถาอตรา

การถายโอนความรอนผานพนท 5 cm เทากบ 800 kJ/h จงค านวณหาสภาพน าความรอนของนกเกล

6. น ามวล m ระเหยกลายเปนไอในอตรา 1 h/cm โดยถายโอนความรอนใหกบแผนเหลกหนา 0.2cm ถาอณหภมระหวางดานทงสองของแผนเหลกตางกน 100

C จงหามวลของน า ก าหนดใหความจความรอนจ าเพาะของน า 4.186 kJ/kgC ความรอนแฝงจ าเพาะของการกลายเปนไอของน า 2260 kJ/kg และสภาพน าความรอนของเหลก 80 W/mC

7. ผนงบานท าดวยอฐหนา 8 in ขนาด 1045 ft จงหาอตราการถายโอนความรอนตอชวโมง ถาอณหภมดานนอกและดานในเทากบ 85 และ 70

F ตามล าดบ ก าหนดใหสภาพน าความรอนของอฐ 0.40 W/mC

8. อากาศรอนอณหภม 80C พดผานพนทผว 24 m ไปยงทมอณหภม 30oC

ถาสมประสทธการพาความรอนของอากาศเทากบ 55 W/mC จงหาอตราการถายโอนความรอนจากอากาศผานพนทผวนน

9. แผนเหลกขนาด 0.2 m วางอยในอากาศอณหภม 20C ถาอตราการถายโอนความรอนผานอากาศเทากบ 1000 W และสมประสทธการพาความรอนของอากาศเทากบ 35 W/mC จงหาอณหภมของแผนเหลก

10. วตถทรงกลมเสนผานศนยกลาง 1 m อณหภม 2500 K ปรากฏวามอตราการแผรงสความรอนเทากบ 2000 kW จงหาสภาพเปลงรงสของวตถ

253

11. ไสหลอดทงสเตนมพนทผว 1 cm อณหภม 3000 K และสภาพเปลงรงสเทากบ

0.34 จงหาอตราการแผรงสทปลดปลอยออกมา

12. จากการทดลองวดคาความจความรอนของระบบทประกอบดวยแคลอรมเตอรซงบรรจน าทมเทอรมอมเตอรและแทงแกวคนอยมมวลรวม 0.5 kg ใหความรอนแกระบบโดยการผานกระแสไฟฟาเขาไปในขดลวดตานทานดงแสดงในภาพ (ก) เมอวดและเขยนกราฟระหวางอณหภมของระบบกบเวลาไดดงแสดงในภาพ (ข) ถาขดลวดใหความรอน 50 W ระบบมคาความรอนจ าเพาะเทากบเทาไร

(ก) (ข)

254


Boles, M.A. & Çengel, Y.A. 1998. Thermodynamics an Engineering Approach. 3rd ed.

New York: McGRAW-HILL.

Cool N Lite Solar Film Pte Ltd. 2012. Methods of Heat Transfer. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.coolnlite.com/TechnologyHeatTransfer.htm.

Goalfinder. 2007. Heat and Temperature - Thermal Expansion Concepts (Science - Tech

Animation). Retrieved April 1, 2013, from http://www.goalfinder.com/product.asp?

productid=60.

Hornyak, W.F. & Marion, J.B. 1985. General Physics with Bioscience Essays. 2nd ed.

New York: John Wiley & Sons.

Johnston, J. 2010. Heat Transfer – The Basics. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. roasterproject.com/2010/01/heat-transfer-the-basics/.

Look, D.C. & Sauer, H.J. 1982. Thermodynamics. California: Wadsworth.



Tippens, P.E. 1989. Basic Technical Physics. 2nd ed. New York: McGRAW-HILL.

Wikipedia. 2013. State of Matter. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Phase_transitions.

http://www.goalfinder.com/product.asp


บทท 13 แกสอดมคตและทฤษฎจลน


13.1 กฎของแกส

13.2 แกสอดมคต

13.3 การเคลอนทแบบบราวน 13.4 แบบจ าลองของแกสอดมคต

13.5 แบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคต

13.6 ทฤษฎจลนของแกสในชวตประจ าวน

13.7 สมการแวนเดอรวาลส




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎของแกส

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบแกสอดมคต

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบบราวน

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบแบบจ าลองของแกสอดมคต

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบแบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคต

6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบทฤษฎจลนของแกสในชวตประจ าวน

7. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสมการแวนเดอรวาลส






256











257

บทท 13

แกสอดมคตและทฤษฎจลน

ในบทท 13 น จะไดน าความรพนฐานทางกลศาสตรคลาสสกมาใชในการอธบายเกยวกบแกสอดมคตและทฤษฎจลนดงตอไปน

13.1 กฎของแกส

กฎของแกส (gas laws) เปนกฎทใชอธบายพฤตการณตางๆ ของแกสเกยวกบการเปลยนแปลงของปรมาตร ความดน และอณหภม ซงโดยทวไปจะพจารณาทมวลหรอจ านวนแกสคงตว ไดแก กฎของบอยล กฎของชารล กฎของเกย-ลสแซก และกฎแกส

13.1.1 กฎของบอยล

รอเบรต บอยล (Robert Boyle, ค.ศ. 1627-1691) นกวทยาศาสตรชาวองกฤษได รายงานการคนพบเกยวกบอากาศวามสมบตยดหยนในป ค.ศ. 1660 อกสองปตอมา รายงานใหทราบวา "แกสปรมาณหนงทอณหภมคงตว ปรมาตรของแกสจะแปรผกผนกบความดนทกระท าตอแกสนน" ขอความดงกลาวน เรยกวา "กฎของบอยล (Boyle's law)"

พจารณาแกสมวล m อณหภมคงตว T มปรมาตร V และความดน P จากกฎของบอยลสามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธไดดงน

P

V1

(ท m และ T คงตว) 13.1

P

kV 1 (เมอ k1 คอคาคงตว) 13.2

หรอ 1kPV 13.3

ถาแกสปรมาณหนงทอณหภมคงตวมความดนและปรมาตร P1 และ V1 ถกท าใหเปลยนเปน P2 และ V2 ตามล าดบ จากสมการ 13.3 จะไดความสมพนธใหมดงสมการ 13.4

2211 VPVP 13.4

258

ภาพท 13.1 กฎของบอยลและกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาตรกบความดน

ทมา: Universidad de Somoso, 2009.

13.1.2 กฎของชารล

จาก-อาเลกซองดร-เซซา ชารล (Jacques-Alexandre-Cèsar Charles, ค.ศ. 1746-

1823) เปนนกวทยาศาสตรชาวฝรงเศสไดคนพบกฎเกยวกบการขยายตวของแกสเมอป ค.ศ. 1787

ชารลไดศกษาและทดลองกบแกสตางๆ ไดแก อากาศ ออกซเจน ไนโตรเจน ไฮโดรเจน และคารบอนไดออกไซด โดยท าใหขยายตวจากอณหภม 0 ถง 100

oC และพบวา "ทความดนคงตว

แกสปรมาณหนงจะขยายตว 1/273 ของปรมาตรของมน เมออณหภมเพมขนแตละองศาเซลเซยส"

พจารณาแกสปรมาณหนงมวล m ความดนคงตว P ปรมาตร V0 ทอณหภม

0oC และปรมาตร Vt ทอณหภม t

oC จะไดวา

00 )273

1( VtVVt 13.5

หรอ )273(273

0 tV

Vt 13.6

ถาให k2 = V0/273 (คาคงตว) และ T = 273+t (อณหภมสมบรณ) จะไดวา

TkV 2 13.7

2kT

V 13.8

นนคอ TV (ท m และ P คงตว) 13.9

จากสมการ 13.9 สรปไดวา "แกสปรมาณหนงทความดนคงตว ปรมาตรของแกสจะแปรผนตรงกบอณหภมสมบรณ" ขอสรปดงกลาวปจจบนเรยกวา "กฎของชารล (Charles'

law)" ถาแกสปรมาณหนงมปรมาตรและอณหภม V1 และ T1 ถกท าใหเปลยนเปน V2 และ T2

ตามล าดบ ทความดนคงตว จากกฎของชารลจะไดความสมพนธใหมดงสมการ 13.10

2

2

1

1

T

V

T

V 13.10

259

ภาพท 13.2 กฎของชารลและกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาตรกบอณหภม

ทมา: Universidad de Somoso, 2009.

13.1.3 กฎของเกย-ลสแซก

โชแซฟ-ลย เก-ลซก (Joseph-Louis Gay-Lussac, ค.ศ. 1778-1850) ชาวฝรงเศส

ทดลองและยนยนวา "แกสปรมาณหนงทปรมาตรคงตว ความดนจะแปรผนตรงกบอณหภมสมบรณ" ขอความดงกลาวน เรยกวา "กฎของเกย-ลสแซก (Gay-Lussac's law)"

นนคอ TP (ท m และ V คงตว) 13.11

TkP 3 (เมอ k3 คอคาคงตว) 13.12

หรอ 2kT

P 13.13

ถาแกสปรมาณหนงมความดนและอณหภม P1 และ T1 ถกท าใหเปลยนเปน

P2และ T2 ตามล าดบ ทปรมาตรคงตว จากกฎของเกย-ลสแซกจะไดความสมพนธดงน

2

2

1

1

T

P

T

P 13.14

ภาพท 13.3 กราฟแสดงความสมพนธระหวางความดนกบอณหภมตามกฎของเกย-ลสแซก

ทมา: Hartin, 2013.

260

ตวอยางท 13.1 แกสแอมโมเนยปรมาตร 1.20 m3 และความดน 1.010

5 N/m

2 จงหาปรมาตร

ของแกสเมอความดนเปลยนไปเปน 0.84105 N/m

2 ทอณหภมคงตว

วธท า เมอความดนเปลยนแปลงปรมาตรกจะเปลยนแปลงดวยตามกฎของบอยล

จากสมการ 13.4 2211 VPVP

(1.0105 N/m

2)(1.20 m

3) = (0.8410

5 N/m

2)(V2)

V2 = 1.43 m3

ตอบ ปรมาตรของแกสแอมโมเนยเทากบ 1.43 m3

13.1.4 กฎแกสทวไป

ส าหรบแกสปรมาณเดยวกน เมอน ากฎของบอยล กฎของชารล และกฎของเกย- ลสแซก มาพจารณารวมกนจะไดความสมพนธดงน

P

TV (ท m คงตว) 13.15

P

TkV 4 (เมอ k4 คอคาคงตว) 13.16

หรอ 4kT

PV 13.17

จากสมการ 13.17 ถาแกสมความดน ปรมาตร และอณหภม เปลยนไปจากเดม

คาคงตว k4 ยงคงมคาเทาเดมเปนสมการ "กฎแกสทวไป (general gas law)" ดงนน แกสปรมาณหนงมความดน ปรมาตร และอณหภมเปน P1, V1 และ T1 ถกท าใหเปลยนเปน P2, V2 และ T2

ตามล าดบ จะไดความสมพนธใหมดงสมการ 13.18

2

22

1

11

T

VP

T

VP 13.18

ตวอยางท 13.4 แกสปรมาณหนงมปรมาตร 1 dm3 ความดน 1.010

5 N/m

2 และอณหภม -20

oC

ถกอดใหลดลงเหลอปรมาตร 0.5 dm3 อณหภม 40

oC จงหาความดนของแกส

วธท า จากสมการ 13.18 2

22

1

11

T

VP

T

VP

K )27340(

)dm 5.0)((

K )27320(

)dm 1)(N/m 100.1(3

2325

P

P2 = 2.47105 N/m

2

ตอบ ความดนของแกสเทากบ 2.47105 N/m

2

261

ตวอยางท 13.6 อณหภมของแกสภายในภาชนะปดใบหนงลดลงจาก 27 เปน -3oC ความดน

จะเพมขนหรอลดลงกเปอรเซนต

วธท า จากกฎของเกย-ลสแซก เมออณหภมลดลงความดนจะลดลง

นนคอ ความดนจะลดลง %1001

21 P

PP

จากกฎแกสทวไป 2

22

1

11

T

VP

T

VP

แตแกสบรรจภายในภาชนะปดจะมปรมาตรคงตว (V1 = V2) จะได 1

212

T

TPP

ความดนลดลง %1001%100%1001

2

1

1

211

1

21

T

T

P

T

TPP

P

PP

%10011

2 T

T

%10%100K )27273(

K )3273(1

ตอบ ความดนจะลดลงจากเดม 10%

13.2 แกสอดมคต จากการศกษาเกยวกบสมบตตางๆ ของแกสจ านวนหนง เมอความดนหรออณหภมของแกสเปลยนแปลงกจะมผลท าใหปรมาตรของแกสเปลยนไปดวย ซงเปนไปตามกฎของแกสตามทไดกลาวมาแลวนน และเรยกแกสทมสมบตเปนไปตามกฎของแกสนวาแกสอดมคต (ideal gas)

นอกจากน ยงมปรมาณทยงไมไดน ามาพจารณาในกฎของแกสคอจ านวนโมลและจ านวนโมเลกลปรมาณทงสองจะมความสมพนธกบความดน อณหภม และปรมาตร อยางไรจะไดศกษาตอไป

13.2.1 กฎแกสอดมคต พจารณาสภาวะมาตรฐาน S.T.P. หรอ N.T.P. (standard or normal temperature

and pressure) คอทความดน 1 atm อณหภม 0oC แกสจ านวน 1 mol จะมปรมาตร 22.4146 L และ

ส าหรบแกสทมจ านวนโมล n จะมปรมาตร ความดน และอณหภม ดงตอไปน

P = 1 atm = 1.01325105 N/m

2

V = 22.4146 L/mol = 22.414610-3n m

3/mol

T = 0oC = 273.15 K

แทนคา P, V และ T ลงในกฎแกสทวไป จะไดวา

262

K )15.273(

)/molm 1041461.22)(N/m 1001325.1( 3325n

T

PV

)KJ/mol 3147.8()Km/molN 3147.8( nnT

PV

หรอ nRT

PV 13.19

เมอ R คอคาคงตวแกสสากล (universal gas constant) มคาและหนวยตางๆ

คอR = 8.314 J/molK = 0.287 kJ/kgK = 1.986 cal/molK

จากสมการ 13.19 สามารถเขยนใหมไดดงน

nRTPV 13.20

RnT

PV 13.21

สมการ 13.20 เรยกวา "กฎแกสอดมคต (ideal gas law)" และแกสอดมคตทมความดน ปรมาตร อณหภม และจ านวนโมลเปน P1, V1, T1 และ n1 ถกท าใหเปลยนไปเปน P2,

V2, T2 และ n2 ตามล าดบ จากสมการ 13.21 จะไดความสมพนธใหมดงน

22

22

11

11

Tn

VP

Tn

VP 13.22

ตวอยางท 13.7 จงใชสมการของกฎแกสอดมคต PV = nRT และคาคงตวแกสสากล

R = 8.314 J/molK ในการแกปญหาตอไปน

(ก) ทอณหภม 18oC ความดน 10

5 N/m

2 ปรมาตร 1.29 dm

3 แกสอดมคตมวล

2.71 g จะมมวลโมเลกลเทาไร

(ข) แกสออกซเจนมวล 8.00 g อณหภม 15oC ความดน 0.98710

5 N/m

2

จะมปรมาตรเทาไร (มวลโมเลกลของแกสออกซเจนเทากบ 32.0 u)

(ค) จงหาความหนาแนนของแกสมเทนทอณหภม 20oC ความดน 510

5 N/m

2 (มวลโมเลกลของแกสมเทนเทากบ 16.0 u)

วธท า (ก) หามวลโมเลกล PV

mRT

n

mM

u 8.50kg/mol 0508.0)m 00129.0)(N/m 10(

)K 291)(KJ/mol 314.8)(kg 00271.0(325

M

ตอบ มวลโมเลกลของแกสอดมคตเทากบ 50.8 u

263

(ข) หาปรมาตร MP

mRT

P

nRTV

33

253m 1006.6

)N/m 10987.0)(kg/mol 100.32(

)K 288)(KJ/mol 314.8)(kg 008.0(

V

ตอบ ปรมาตรของแกสออกซเจนเทากบ 6.0610-3 m

3

(ค) หาความหนาแนน RT

MP

V

m

3253

kg/m 28.3)K 293)(KJ/mol 314.8(

)N/m 105)(kg/mol 100.16(

ตอบ ความหนาแนนของแกสมเทนเทากบ 3.28 kg/m3

ตวอยางท 13.8 แกสไฮโดรเจนมวล 2 g บรรจอยในภาชนะปดมอณหภม 47oC ถาใชแกสไป

จนเหลอความดน 5/8 เทาของความดนเดม และอณหภมลดลงเปน 27oC

จงหาวาใชแกสไปเทาไร


22

11

11

Tn

VP

Tn

VP

แต n = m/M โดยท M คอมวลโมเลกลของแกสไฮโดรเจนซงเทากน

และแกสไฮโดรเจนบรรจอยภายในภาชนะปดซงมปรมาตรคงตวคอ V1 = V2


2

11

1

Tm

P

Tm

P

แทนคา K) 300)((

)8/5(

)K 320)(g 2( 2

11

m

PP

m2 = 1.33 g

ตอบ ปรมาณแกสทใชไปเทากบ m2m2 = (21.33) g = 0.67 g

13.2.2 กฎของอาโวกาโดร

อาเมเดโอ อาโวกาโดร (Amedeo Avogadro, ค.ศ. 1776-1856) นกวทยาศาสตรชาวอตาลไดคดเกยวกบกฎของแกสขนในป ค.ศ. 1811 กลาววา "ทความดนและอณหภมเดยวกน

แกสปรมาตรเดยวกนจะประกอบดวยจ านวนโมเลกลเทากน" ซงเรยกวา กฎของอาโวกาโดร

(Avogadro's law) และสารปรมาณ 1 mol จะมจ านวน 6.022521023 molecules

264

ภาพท 13.4 สมมตฐานของอาโวกาโดรและเลขอาโวกาโดร

ทมา: Dutta, 2013.

ถาให N คอจ านวนโมเลกล จะไดวา

molmolecules/ 1002252.6 23

N

n 13.23

แทนคา n และ R ลงในสมการ 13.19 ไดดงน

)KJ/mol 314.8(molmolecules/ 1002252.6 23

N

T

PV

J/K) 10380.1( 23 NT

PV 13.24

หรอ BNkT

PV 13.25

kB คอคาคงตวของโบลตซมนน (Boltzmann's constant) มคาและหนวยตาง ๆ

คอ kB = 1.38010

-23 J/K = 3.29710

-24 cal/K

จากสมการ 13.25 สามารถเขยนความสมพนธใหมไดดงน

TNkPV B 13.26

หรอ BkNT

PV 13.27

และส าหรบแกสทมความดน ปรมาตร อณหภม และจ านวนโมเลกลเปน P1, V1,

T1 และ N1 ถกท าใหเปลยนเปน P2, V2, T2 และ N2 ตามล าดบ ดงนน จากสมการ 13.27 จะไดความสมพนธใหมดงน

265

ผลบวกของก าลงสองแตละตวของตวแปรคา

จ านวนตวแปรคาทงหมด

R.M.S. =

22

22

11

11

TN

VP

TN

VP 13.28

สมการ PV = nRT และ PV = NkBT สามารถใชอธบายการทดลองเกยวกบความ

ดน ปรมาตร และอณหภมของแกสได ยกเวนในกรณทแกสก าลงเปลยนวฏภาคจะมอณหภมคงตว

ตวอยางท 13.9 จงหาจ านวนโมเลกลของแกสปรมาตร 1 m3 ความดน 2 atm ทอณหภม 47

oC

วธท า จ านวนโมเลกลของแกสหาไดจากสมการ 13.26 ดงน

TNkPV B

K) 320(J/K) 10380.1()m 1)(N/m 10013.12( 23325 N

1059.4 25N

ตอบ จ านวนโมเลกลของแกสเทากบ 4.59 x 1025 molecules

13.3 รากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย

เนองจากโมเลกลของแกสมการเคลอนทแบบบราวน ความเรวในการเคลอนทแตละโมเลกลจะแตกตางกน มการเปลยนแปลงทศทางและความเรวอยตลอดเวลา จงมการก าหนดคาความเรวเฉลยขนมาเพอใชศกษาพฤตการณตางๆ ของแกส เรยกวา รากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย (root mean square velocity, v

rms) ซงจะมคาใกลเคยงกบคาความเรวเฉลยของแกสมาก

และจากนยามคา root mean square (R.M.S.) ของคาใดคอรากทสองของก าลงสองเฉลยของคานนทไดจากชวงเวลาหนงมคาตามสมการ 13.38

13.38

ดงนน รากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย มคาดงสมการ 13.39

N

vvvvv N

rms

223

22

21 ...

13.39

เมอ v1, v2, v3, . . . , vN เปนความเรวของแกสแตละโมเลกล จ านวน N โมเลกล

ซงจะไดกลาวถงรายละเอยดเพมเตมเกยวกบ vrms

ในเรองแบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคต

ตวอยางท 13.13 จงค านวณหาคาความเรวเฉลย v และรากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย vrms

ของ 4 อนภาค ซงมความเรวเทากบ 1, 2, 3 และ 4 m/s

266

วธท า ความเรวเฉลยหาไดดงน

m/s 50.24

43214321

N

vvvvv

ตอบ ความเรวเฉลยเทากบ 2.5 m/s

รากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยหาไดดงน

m/s 74.24

4321... 2222223

22

21

N

vvvvv N

rms

ตอบ รากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยเทากบ 2.74 m/s

จากตวอยางท 13.13 ความเรวทหาไดจากทงสองวธจะมคาแตกตางกนเลกนอย แตถาคดทศทางหรอเครองหมายดวยจะไดคาแตกตางกนมาก เชน ความเรวของอนภาค +1, 2, 3 และ

+4 จะไดคาความเรวเฉลยเทากบ 0 แตคารากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยเทากบ 2.74

ซงเทาเดม ดงนน การอธบายพฤตการณตางๆ ของแกส จะใชรากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย

13.4 แบบจ าลองของแกสอดมคต จากการพจารณาแกสจ านวนหนงทบรรจในภาชนะ ปรมาตรของแกสจะเปลยนไปตามปรมาตรของภาชนะ และถาแกสจ านวนนถกบบหรออดกจะท าใหมปรมาตรนอยลงกวาเดมไดมาก

แสดงวาระหวางโมเลกลของแกสยงมทวางอยอกมาก โมเลกลของแกสจ านวนมากเหลานจะอยนงหรอเคลอนทอยางไรนนไมสามารถมองเหนไดเนองจากมขนาดเลกมาก นกวทยาศาสตรจงสรางแบบจ าลองของแกสอดมคตขนเพอใชอธบายสมบตตางๆ ของแกส โดยอาศยขอมลทไดจากการทดลอง ซงสรปไดดงน

1. แกสประกอบดวยอนภาคหรอโมเลกลขนาดเลกๆ จ านวนมาก โดยจะมขนาดเลกมากเมอเทยบกบระยะหางระหวางโมเลกล นนคอ ระหวางโมเลกลมทวางอยมาก

2. โมเลกลของแกสไมมแรงดงดดหรอแรงผลกระหวางกนเลย หรอมอยบางเลกนอย

เรยกวาแรงแวนเดอรวาลส (Van der Waals' force) ดงนน โมเลกลของแกสจงเคลอนทไดอยางเสร

และเปนการเคลอนทอยางไรระเบยบ (random motion) หรอมทศทางและความเรวไมแนนอน

และเนองจากไมมอทธพลจากโมเลกลใกลเคยง การเคลอนทของโมเลกลจะถอวาเปนแบบเสนตรง

3. ขณะทโมเลกลของแกสเคลอนทอาจชนกนเองหรอชนกบผนงภาชนะทบรรจบาง และเปนการชนแบบยดหยน กลาวคอ พลงงานของโมเลกลขณะวงเขาชนจะมคาเทากบพลงงานของโมเลกลทสะทอนกลบออกมาหรอไมมการสญเสยพลงงานเนองจากการชนเลย

267

4. การชนกนระหวางโมเลกลของแกสจะไมมแรงกระท าเกดขนระหวางโมเลกล แตถาเปนการชนกนระหวางโมเลกลของแกสกบผนงภาชนะทบรรจจะมแรงกระท าเกดขนในชวงสน

5. คาเฉลยของพลงงานจลนของโมเลกลของแกสจะเปนสดสวนกบอณหภมสมบรณ

จากแบบจ าลองของแกสดงกลาวน สามารถน าไปใชในการอธบายสมบตอนๆ ของแกสเกยวกบการเคลอนทไดเปนอยางด ซงเรยกวาทฤษฎจลนของแกสอดมคต

13.5 ทฤษฎจลนของแกสอดมคต ทฤษฎจลนของแกสอดมคตเปนการอธบายพฤตการณของแกสตามแบบจ าลองของแกสอดมคต โดยโมเลกลของแกสเคลอนทอยตลอดเวลา อาจชนกนเองหรอชนกบผนงภาชนะแบบยดหยน ขณะทชนกบผนงภาชนะโมเลกลจะสงแรงดนผนงภาชนะท าใหเกดความดน และเนองจากโมเลกลของแกสมจ านวนมากแรงดนจงเกดขนอยางตอเนอง ซงแสดงใหเหนวาแกสไดดนผนงภาชนะอยตลอดเวลา ความดนของแกสทเกดจากโมเลกลของแกสชนผนงภาชนะจะขนอยกบความเรว สวนพลงงานจลนขนอยกบอณหภมสมบรณ

13.5.1 โมเมนตมและแรงดน

ดาเนยล แบรนลล (Daniel Bernoulli, ค.ศ. 1700-1782) ไดเสนอแนวคดเกยวกบทฤษฎบทของแบรนลลวาดวยอทกพลศาสตร (Bernoulli's theorem on hydrodynamics) ซงกลาววา

"แรงดนของแกสเกดจากการทโมเลกลของแกสเคลอนทดวยความเรวสงเขาชนกบพนทซงไดรบแรงดน เนองจากโมเลกลของแกสมจ านวนมาก แรงทเกดขนจากการชนจะเกดอยางตอเนองกนกลายเปนแรงดนแกส" ซงสามารถใชอธบายรวมกบแบบจ าลองของแกสอดมคตไดดงตอไปน

สมมตวาแกสจ านวน N โมเลกล แตละโมเลกลมมวล m เคลอนทอยางเสรใน

ทกทศทางอยภายในภาชนะกลองสเหลยมยาวดานละ l ดงแสดงในภาพท 13.5

m vx

vy

vz

l

l

l

X

Y

Z

ภาพท 13.5 การเคลอนทของโมเลกลแกสภายในกลองรปลกบาศก

ทมา: Kwality E-Solution Ltd., 2009.

268

พจารณาการเคลอนทของแกสตามแนวแกน X ดวยความเรว vx โมเมนตมของแตละ

โมเลกลทเคลอนทเทากบ mvx เมอชนกบผนงภาชนะจะสะทอนกลบดวยโมเมนตมเทากบ mv

x

ดงนน จะไดการเปลยนแปลงโมเมนตมคอ mvx(mv

x) = 2mv

x

ขณะทโมเลกลของแกสเคลอนทเขาชนผนงภาชนะ 1 ครง แลวสะทอนกลบ จะไดระยะทางไปกลบเปน 2l และเวลาทแกสเคลอนทเทากบ 2l/v

x จะไดการเปลยนแปลงโมเมนตมใน

หนงหนวยเวลาเทากบ (2mvx)(v

x/2l) = m 2

xv /l เนองจากแกสมจ านวนทงหมด N โมเลกล และเคลอนทในแนวแกน X, Y และ Z จ านวนเทา ๆ กน ดงนน จ านวนแกสทเคลอนทในแนวแกน

X จงมจ านวน N/3 โมเลกล จะไดการเปลยนแปลงโมเมนตมในหนงหนวยเวลาคอ (N/3)( m 2xv /l)

แตการเปลยนแปลงโมเมนตมในหนงหนวยเวลาคอแรงดน (F) ทโมเลกลของแกสกระท าตอผนงภาชนะ จะไดแรงดนในแนวแกน X ตามสมการ 13.40

l

mvNF x

x

2

3 13.40

13.5.2 ความดนและความเรวเฉลย

แรงดนทแกสกระท าตอผนงภาชนะในหนงหนวยพนท (A) คอความดน (P) ทเกดขน ดงนน จะไดความดนในแนวแกน X ดงน

A

FP x

x 13.41

แทนคา Fx

Al

mvNP x

x

1

3

2

13.42

พนท A = l2

2

21

3 ll

mvNP x

x 13.43

3

2

3 l

mvNP x

x 13.44

ปรมาตร V = l3

V

mvNP x

x

2

3 13.45

คา Px ในสมการ 13.45 เปนความดนทเกดขนกบผนงภาชนะเนองจากโมเลกล

ของแกสเคลอนทในแนวแกน X แตเนองจากแกสเคลอนทอยางเสรทกทศทางไดเทาๆ กน ดงนน

ความดนทเกดขนกบผนงภาชนะเนองจากการชนของโมเลกลของแกสในแนวแกน X, Y และ Z

จงมคาเทากน ตามสมการ 13.46

zyx PPP 13.46

ดงนน จากสมการ 13.45 สามารถเขยนใหอยในรปของสมการทวไปไดดงน

269

V

vmNP

2

3 13.47

เมอ 2v คอความเรวก าลงสองเฉลยของโมเลกลแกส มคาตามสมการ 13.48

N

vvvvv N

223

22

212 ...

13.48

และความหนาแนน = Nm/V จะไดวา

2

3

1vP 13.49

จากสมการ 13.49 จะพบวา ถาระบบมความหนาแนนคงตว ความดนของแกสจะขนอยกบความเรวก าลงสองเฉลยของโมเลกล 2

v หรอ vrms

ยกก าลงสองนนเอง

13.5.3 พลงงานจลนเฉลยของแกส

พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสจะมคาขนอยกบปรมาณใดนน สามารถพจารณาไดจากความดนของแกสจากสมการ 13.47 ไดดงน

2

3vm

NPV 13.50

)2

1(

3

2 2vmNPV 13.51

KNPV3

2 13.52

นนคอ PVKN2

3 13.53

เมอ KN คอพลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสทงหมด

และเมอแทนคา PV = NkBT จากสมการ 13.26 ลงในสมการ 13.53 จะไดวา

TNkKN B2

3 13.54

หรอ TkK B2

3 13.55

เมอ K คอพลงงานจลนเฉลยตอโมเลกลของแกส

และเมอแทนคา PV = nRT จากสมการ 13.20 ลงในสมการ 13.53 จะไดวา

nRTKN2

3 13.56

หรอ RTn

KN

2

3 13.57

เมอ n

KN คอพลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสทงหมดตอโมล

จากสมการ 13.55 และ 13.57 จะพบวา พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสขนอยกบอณหภมสมบรณเพยงอยางเดยวเทานน

270

แทนคา 2

2

1vmK ลงในสมการ 13.55 ไดดงน

Tkvm B2

3

2

1 2 13.58

หรอ m

Tkvv B

rms

32 13.59

แทนคา 2

2

1vmK ลงในสมการ 13.57 ไดดงน

RTvmn

N

2

3

2

1 2

13.60

แต n

NmM คอมวลโมเลกลของแกสทงหมด เมอแทนคาลงในสมการ 13.60

จะไดวา M

RTvv rms

32 13.61

จากสมการ 13.59 และ 13.61 จะพบวารากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย 2v

หรอ r msv ของโมเลกลของแกสจะขนอยกบอณหภมสมบรณ กลาวโดยสรป พลงงานจลนและหรอรากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยตามแบบจ าลองทฤษฎจลนของแกสอดมคตจะมคาขนอยกบอณหภมสมบรณ ซงจะสงผลใหความดน แรงดน และโมเมนตม เปลยนแปลงไปดวยเมออณหภมเปลยนแปลง

ตวอยางท 13.14 จงหาความดนของแกสไนโตรเจนความหนาแนน 0.6 kg/m3 และรากทสองของ

ความเรวก าลงสองเฉลยของโมเลกล 500 m/s


3

1vP

243 N/m 100.5)m/s 500)(kg/m 6.0(3

1P

ตอบ ความดนของแกสไนโตรเจนเทากบ 5.0104 N/m

2

ตวอยางท 13.15 แกสชนดหนงบรรจอยในภาชนะปด ถารากทสองของความเรวก าลงสองเฉลย

เพมขน 2 เทา ความดนของแกสจะเพมขนกเทา


3

1vP และ 2

121

222

3

4)4(

3

1

3

1vvvP


3

13

4

21

21

1

2

v

v

P

P

12 4PP

ตอบ ความดนของแกสจะเพมขน 4 เทา

271

ตวอยางท 13.16 จงค านวณหาพลงงานจลนเฉลยของแกสคารบอนไดออกไซดทงหมดทมปรมาณ

1 mol ทความดน 1 atm

วธท า จากสมการ 13.53 PVKN2

3

kJ 39.3)m 104.22)(N/m 1001.1(2

3 3325 KN

ตอบ พลงงานจลนของแกสคารบอนไดออกไซดทงหมดเทากบ 3.39 kJ

ตวอยางท 13.17 จงหาพลงงานจลนเฉลยของโมเลกลแกสแอมโมเนยจ านวน 10 g อณหภม 20oC

(ก าหนดให มวลโมเลกลของแกสแอมโมเนยเทากบ 17.03 g) วธท า จากสมการ 13.56 nRTKN

2

3

kJ 14.2)K 293)(KJ/mol 314.8(kg 1003.17

kg 1010

2

33

3

KN

ตอบ พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสแอมโมเนยทงหมดเทากบ 2.14 kJ

ตวอยางท 13.18 ถาอณหภมของแกสลดลงจาก 27 เปน 21oC พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของ

แกสจะลดลงจากเดมกเปอรเซนต

วธท า จากสมการ 13.55 TkK B2

3 ถาอณหภมลดลงพลงงานจลนเฉลยจะลดลง

จะไดวา %100%100

2

32

3

2

3

%1001

21

1

21

1

21

T

TT

Tk

TkTk

K

KK

B

BB

%2%100K 300

K 294K 300

ตอบ พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสจะลดลงจากเดมเทากบ 2%

ตวอยางท 13.19 จงหาอตราสวนระหวางรากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยของ N2 กบ O2

ทอณหภมเดยวกน

วธท า จากสมการ 13.61 M

RTvrms

3

แกสไนโตรเจน 2

2

N

N)(

3)(

M

RTvrms และ kg 1028g )142()( 3

N2

M

แกสออกซเจน 2

2

O

O)(

3)(

M

RTvrms และ kg 1032g )162()( 3

O2

M

272


4

kg 1028

kg 1032

)(

)(

)(

)(

3

3

N

O

O

N

2

2

2

2

M

M

v

v

rms

rms

ตอบ อตราสวนระหวางรากทสองของความเรวก าลงสองเฉลยของ N2 กบ O2 เทากบ

14:4

13.6 ทฤษฎจลนของแกสในชวตประจ าวน

แกสประกอบดวยอะตอมหรอโมเลกลจ านวนมากและอยหางกนมาก จนถอไดวาไมมแรงกระท าตอกนระหวางอะตอมหรอโมเลกลของแกส ท าใหอะตอมหรอโมเลกลเคลอนทไดอยางเสรดวยอตราเรวตาง ๆ กน และฟงกระจายไปทวภาชนะทบรรจ อะตอมหรอโมเลกลของแกสอาจชนกนเองหรอชนกบผนงภาชนะท าใหเกดการเปลยนแปลงโมเมนตมและความดน โดยพลงงานจลนเฉลยของโมเลกลแกสจะมคาแปรผนตรงกบอณหภมสมบรณของแกส หรออาจกลาวไดวาอณหภมของแกสจะบอกถงระดบพลงงานจลนเฉลยของอะตอมหรอโมเลกลนนเอง และจากความรเรองทฤษฎจลนของแกสสามารถน าไปใชอธบายเหตการณตางๆ ทเกดขนในชวตประจ าวนได เชน การเปลยนสมบตของสาร การขยายตวของสาร การเปลยนวฏภาค เปนตน

1. แกสเมอไดรบความรอนจะท าใหอะตอมหรอโมเลกลของแกสมพลงงานจลนสงขนหรอเคลอนทดวยอตราเรวสงขน มผลท าใหอะตอมหรอโมเลกลของแกสชนกบผนงภาชนะทบรรจดวยแรงมากขนหรอมความดนสงขน เมอแกสมพลงงานจลนสงขน ความเรวเฉลยสงขน หรอ

ความดนสงขน หมายถงอะตอมหรอโมเลกลของแกสจะเคลอนทไดระยะทางมากขนหรอระยะหางระหวางโมเลกลมากขน ซงจะสงผลใหการฟงกระจายของแกสมากขนและเกดการขยายตวนนเอง

2. ของเหลวมแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลมากพอทจะท าใหโมเลกลอยรวมกนเปนกลมได โดยทโมเลกลของเหลวยงคงเคลอนทไปมาไดตลอดเวลาแตไมฟงกระจายอยางเสรเหมอนกบอะตอมหรอโมเลกลของแกส เมอของเหลวไดรบความรอนพลงงานจลนของโมเลกลของของเหลวจะสงขน และเคลอนทไดเรวขนเชนเดยวกนกบแกส ท าใหระยะหางระหวางโมเลกลมากขนและเกดการขยายตว ถาใหความรอนเพมขนไปเรอยๆ กจะท าใหแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลไมเพยงพอทจะยดเหนยวใหอยดวยกนได จงหลดออกจากกนและเปลยนวฏภาคกลายเปนแกส

3. ของแขงมโมเลกลอยใกลกนมากจนแทบจะไมมทวางในการเคลอนทไดเลย แรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของแขงมคามากพอทจะท าใหระยะหางระหวางโมเลกลเกอบจะไมเปลยนแปลง การเคลอนทของโมเลกลของของแขงจะเปนแบบการสน (vibration) ไปมารอบต าแหนงหนงเปนระยะทางสน ๆ เทานน ของแขงจงมรปทรงทแนนอนไมเปลยนแปลงไปตาม

273

ภาชนะทใสเหมอนกบของเหลวและแกส เมอของแขงไดรบความรอนจะท าใหพลงงานจลนของการสนของโมเลกลมากขน ท าใหชวงระยะทางของการสนเพมมากขน และระยะหางระหวางโมเลกลโดยเฉลยเพมมากขนดวย หรอเกดการขยายตวนนเอง และในท านองเดยวกน เมอของแขงไดรบความรอนเพมมากขนเรอย ๆ กจะมผลท าใหแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลลดลง เนองจากมพลงงานจลนและอตราเรวสงขน จนกระทงไมสามารถคงสภาพอยได จงเปลยนวฏภาคไปเปนของเหลวและแกสตามล าดบ

274


1. แกสปรมาณหนงมอณหภม 27oC ปรมาตร 1.010

-3 m

3 ถาอณหภมเพมขนเปน 57

oC

จะมปรมาตรเทาไร

2. แกสในถงใบหนงมความดน 1.20105 N/m

2 อณหภม 27

oC เมอเปดใชจนกระทง

ความดนลดลงเหลอ 1.15105 N/m

2 จงหาอณหภมของแกสภายในถงใบน

3. ความดนของแกสจะเปลยนไปเทาไร เมอแกสปรมาตร 1 L ความดน 1.0105 N/m

2

และอณหภม -27oC ถกอดใหมปรมาตรลดลงครงหนงและมอณหภม 40

oC

4. จงค านวณหาจ านวนโมลของแกสทมความดน 1 atm อณหภม 27oC และปรมาตร

0.831 m3

5. จงค านวณหาจ านวนโมเลกลของแกสทมปรมาตร 1 m3 ความดน 2 atm และอณหภม

47oC

6. แกสปรมาตร 2.25 L ความดน 1 atm อณหภม 27oC ครนถกท าใหมปรมาตรเพยง

1.01 Lความดน 1.5 atm อณหภม 30oC จงหาวาแกสจะรวออกหรอเพมขนกเทาของจ านวนเดม

7. เมออณหภมลดลงจาก 32 เปน 25oC ทความดนปกต จงหาวาอากาศซงมความ

หนาแนน 1.29 kg/m3 จะเขาไปในหองขนาด 60 m

3 เทาไร

8. แกสจ านวนหนงมความดน 1 atm และปรมาตร V พลงงานจลนของโมเลกลของแกสจะตองเพมเปนกเทาของพลงงานจลนเดมจงจะท าใหแกสมปรมาตรเปน 2V ทความดนเทาเดม

9. แกสชนดหนงมอณหภม 27oC หากตองการใหพลงงานจลนของโมเลกลของแกส

เพมขนเปน 2 เทาของพลงงานจลนเดม อณหภมจะตองเพมเทาไร

10. อตราเรวเฉลยของแกสนออนทอณหภม 10oC เทากบ 200 m/s เมออณหภมของ

แกสเพมขนเปน 859oC อตราเรวเฉลยของโมเลกลของแกสจะมคาเทาไร

11. จงค านวณหาความดนของไอน า (H2O) จ านวน 1 mol ปรมาตร 1 L และอณหภม

27oC โดยใชกฎของแกสอดมคตและสมการแวนเดอรวาลส ก าหนดให R = 0.0821 Latm/molK,

a = 5.46 atmL2/mol

2, b = 0.0305 L/mol

12. จงหาแกสไนโตรเจนทอณหภมเทาใดทมคาเฉลยของก าลงสองของอตราเรวโมเลกลเทากบของแกสออกซเจนทอณหภม 47

oC ก าหนดน าหนกโมเลกลของไนโตรเจนและออกซเจน

เทากบ 28 และ 32 ตามล าดบ

275


Callen, H.B. 1985. Thermodynamics and an Introcuction to Thermostatistics. 2nd ed.


Clark, J. 2010. Real Gases. Retrieved April 1, 2013, from http://www.chemguide.co.uk/physical/

kt/realgases.html

Dutta, S. 2013. Avogadro's Hypothesis and Avogadro Number. Retrieved April 1, 2013, from

http://allensindia.com/research-development.html.

Emily, A. 2013. Brownian Motion. Retrieved April 1, 2013, from http://apphysicsc.com/

molecular-model/.

Hartin, E., 2013. Gas Cooling: Part 3. Retrieved April 1, 2013, from

http://cfbt-us.com/ wordpress/?paged=2.

Kwality E-Solution Ltd. 2009. Kinetic Theory of Gases. Retrieved April 1, 2013, from

http://physicscatalyst.com/heat/kinectic_th.html.

Science Enthusiast. 2013. The Ideal Gas Law Poster. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. scienceenthusiast.com/product/ideal-gas-law-poster.html.

Taylor, L.H. 2004. A Gas Laws Primer. Retrieved April 1, 2013, from

http://www-personal. umich.edu/~lpt/primer.htm.

Universidad de Somoso. 2009. The Gas Laws. Retrieved April 1, 2013, from

http://chemistry32. blogspot.com/2008/11/vi-gas-laws.html.

http://www.chemguide.co.uk/physical/

http://apphysicsc.com/


บทท 14 หลกการพนฐานทางอณหพลศาสตร


14.1 ระบบทางอณหพลศาสตร

14.2 ความรอน งาน และพลงงานภายใน

14.3 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร

14.4 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตรในชวตประจ าวน

14.5 ประสทธภาพของเครองยนตและการประยกต

14.6 อณหพลศาสตรกบพลงงานและเทคโนโลยในอนาคต

14.7 อณหพลศาสตรกบสงมชวต




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบระบบทางอณหพลศาสตร

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบความรอน งาน และพลงงานภายใน

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรในชวตประจ าวน

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบประสทธภาพของเครองยนตและการประยกต 6. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบอณหพลศาสตรกบพลงงานและเทคโนโลยในอนาคต

7. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบอณหพลศาสตรกบสงมชวต




278













279

บทท 14

หลกการพนฐานทางอณหพลศาสตร

ส าหรบบทท 14 จะศกษาถงหลกการเบองตนทางอณหพลศาสตรหรอเทอรมอไดนามกส (thermodynamics) ซงเปนสาขาหนงของฟสกสทศกษาความสมพนธเกยวกบ อณหภม ความรอน งาน และพลงงาน ภายใตเงอนไขของกฎการอนรกษพลงงานและการควบคมตวแปรทเกยวของ โดยเฉพาะกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรซงเปนกฎการอนรกษพลงงานแหงความรอนทท าใหเกดกระบวนการตางๆ สามารถน าไปประยกตใชประโยชนในชวตประจ าวน เครองยนตชนดตางๆ พลงงานและเทคโนโลยในอนาคต

14.1 ความรอน งาน และพลงงานภายใน

การวเคราะหปญหาทางอณหพลศาสตรจ าเปนตองเขาใจความหมาย การเปลยนแปลง

และความสมพนธของความรอน งาน และพลงงานภายในระบบ ซงเปนคณสมบตทส าคญในการก าหนดกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร และเมอมการควบคมตวแปรบางอยางทเกยวของ เชนอณหภม ปรมาตร หรอความดน กจะท าใหเกดกระบวนการตางๆ ตลอดจนสามารถน าไปใชอธบายสมการอตราและกฎการอนรกษมวลไดอยางถกตอง

14.1.1 ความรอนภายในระบบ

ความรอนภายในระบบใดๆ คอความรอนทถายโอนระหวางระบบกบสงแวดลอม

จะมคาเพมขนหรอลดลงขนอยกบความแตกตางของอณหภม ซงจะสงผลใหความดนและปรมาตรเปลยนแปลงไปดวย ในการพจารณาความรอนภายในระบบของของแขง ของเหลว และแกส

สามารถพจารณาจากนยามของความจความรอนจ าเพาะไดดงตอไปน

1) ความจความรอนจ าเพาะของของแขงและของเหลวจะพจารณาจากความรอน Q ทท าใหสารมวล m มอณหภมเปลยนไป T มนยามตามสมการ 14.1

TmcQ 14.1

เมอ c คอความจความรอนตอมวลหรอความจความรอนจ าเพาะ มหนวยเปนจลตอกโลกรมตอเคลวน (J/kgK) หรอแคลอรตอกรมตอองศาเซลเซยส (cal/gC)

2) ความจความรอนจ าเพาะของแกสจะพจารณาจากความรอ Q ทท าใหสารจ านวน n โมล มอณหภมเปลยนไป T มนยามตามสมการ 14.2

280

TnCQ 14.2

เมอ C คอความจความรอนตอโมลหรอความจความรอนโมลาร มหนวยเปนจลตอโมลตอเคลวน (J/molK) หรอแคลอรตอโมลตอองศาเซลเซยส (cal/molC)

ถาระบบมปรมาตรคงตว TnCQ v 14.3

เมอ Cv คอความจความรอนโมลารขณะทปรมาตรของระบบคงตว

ถาระบบมความดนคงตว TnCQ p 14.4

เมอ Cp คอความจความรอนโมลารขณะทความดนของระบบคงตว

ผลตางของอณหภม T จะมผลตอการเปลยนแปลงความรอนภายในระบบดงน

if TTT 14.5

เมอ Ti และ Tf คออณหภมเรมตนและอณหภมสดทาย ตามล าดบ

ถา Ti > Tf ความรอนจะลดลง ระบบคายความรอน Q มเครองหมายเปนลบ

Ti < Tf ความรอนจะเพมขน ระบบรบความรอน Q มเครองหมายเปนบวก

14.1.2 งานเนองจากระบบ

พจารณาแกสปรมาณหนงภายในกระบอกสบพนทหนาตด A ดงแสดงในภาพท

14.1 ถาขณะเรมตนออกแรง F กระท ากบลกสบเพอใหระบบอยในสถานะสมดล จะไดความดนของแกส P ภายในกระบอกสบดงสมการ 14.6

A

FP 14.6

หรอ PAF 14.7

ds dV = Ads

Area, A Pressure, P

External Pressure, Pex

F

F

ภาพท 14.1 แกสภายในกระบอกสบพนทหนาตด A ขณะออกแรงกระท ากบลกสบ F

ทมา: Mombourquette, 2010.

281

สมมตวาคอยๆ ออกแรงกระท าเพมขนกบลกสบดวยแรงกณกนนต dF ความดนของแกสภายในกระบอกสบกจะเปลยนไปดวยขนาดกณกนนต dP เชนกน ท าใหลกสบเคลอนทไดระยะทาง ds งานทกระท าตอระบบจะเกดจากความดนและการเปลยนแปลงของปรมาตร

ซงสามารถพจารณาไดดงน

PdVdsPAFdsW )( 14.8

เมอ dV = Ads คอปรมาตรทเปลยนไป และความดน P เปนฟงกชนของปรมาตร V ซงเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางความดน P กบปรมาตร V ตามสมการ dW

= PdV ไดดงแสดงในภาพท 14.5

d

W =

Pd

V

dV V1 V2

P

P2

P1

1

2

ไอโซเทอรมล อณหภมคงตว)

พนทใตกราฟคองานทท า

P1

P2

V

ภาพท 14.2 กราฟแสดงความดน P เปนฟงกชนของปรมาตร V ตามสมการ dW = PdV


จากภาพท 14.2 ความดน P เปนฟงกชนของปรมาตร V ซงเขยนความสมพนธไดเปน P = f(V) พนทใตกราฟคองานทกระท าตอระบบ dW = PdV และปรมาณงานทงหมดทกระท าตอระบบในการเปลยนปรมาตรของแกสจากปรมาตรเรมตน Vi เปนปรมาตรสดทาย Vf

หาไดโดยการอนทเกรตสมการ 14.8 ไดดงน

f

i

V

VPdVW 14.9

สมการ 14.9 สามารถแยกพจารณาตามความดนได 2 กรณ ดงตอไปน

1) ความดนคงตว จากสมการ 14.9 จะไดวา

282

)( if

V

VVVPdVPW

f

i

แต if VVV VPW 14.10

และจากกฎแกสอดมคต PV = nRT หรอ P = nRT/V เมอแทนคาลงในสมการ

14.9 แลวเขยนสมการแสดงความสมพนธใหมไดดงน

2

1

2

1

V

V

V

V V

dVnRTdV

V

nRTW

12 lnlnln 2

1VVnRTVnRTW

V

V

2

1

2ln

V

VV

VnRTW

14.11

สมการ 14.11 แสดงความสมพนระหวางงาน W ทเกดขนเนองจากการเปลยนสถานะจากปรมาตร Vi ไป Vf ทจ านวนโมล n และอณหภม T คงตว

2) ความดนไมคงตว จากสมการ 14.9 จะไดวา

f

i

f

i

f

i

V

V

V

V

V

VdPdVPdVdVdPPW )(

f

i

V

VPdVW 14.12

สมการ 14.12 ปรมาณงานทไดจะแทนดวยพนทใตกราฟทงหมดดงแสดงในภาพท 14.6 แตโดยทวไปแลวการพจารณาจะเปนไปตามกฎของแกส กลาวคอ ถาในกรณทความดนไมคงตว อาจตองพจารณารวมกบตวแปรอนเพอใหไดคาคงตว เชน PV หรอ PVn มคาคงตว

ตามตวอยางตอไปน

ตวอยางท 14.1 พจารณาระบบทมแกสบรรจอยภายในกระบอกสบความดน 2.0105 N/m

2 และ.

ปรมาตร 0.05 m3 จงใชสมการ

f

i

V

VPdVW แกปญหาตอไปน

(ก) ถาใหความรอนแกระบบจนกระทงมปรมาตรเพมขนเปน 0.20 m3

โดยมความดนคงตว จงหางานทเกดขนเนองจากระบบ

(ข) ถาคอยๆ ออกแรงกระท ากบลกสบดวยแรงกณกนนต เพอใหความดนและ

ปรมาตรภายในกระบอกสบเปนไปตามสมการ PV = k (คาคงตว) จนกระทง

สถานะสดทายมปรมาตรเทากบ 0.20 m3 จงหางานของระบบ

(ค) ถาออกแรงกระท ากบลกสบแลวท าใหระบบมความสมพนธระหวางความดน

กบปรมาตรเปนPVn = k (คาคงตว) โดย n = 2 และปรมาตรทสถานะสดทาย

เทากบ 0.20 m3 จงหางานทเกดขนในระหวางเกดกระบวนการน

283

วธท า (ก) ความดนคงตว P งานทเกดขนเนองจากระบบหาไดดงน

)( 12

2

1

VVPdVPWV

V

kJ 30m )05.020.0)(N/m 100.2( 325 W

ตอบ งานออกจากระบบหรองานภายนอก 30 kJ

(ข) PV = k (คาคงตว) จะไดวา PV = P1V1 = P2V2 = k

ความดนทสถานะสดทาย

2

112

V

VPP

25

3

325

2 N/m 105.0)m 20.0(

)m 05.0)(N/m 100.2(

P

งานของระบบ 2

1PdVW

แต V

kP ,

1

211

2

1

2

1ln

V

VVP

V

dVkdV

V

kW

kJ 86.1305.0

20.0ln)m 05.0)(N/m 100.2( 325

W

หรอ

1

222 ln

V

VVPW

kJ 86.1305.0

20.0ln)m 20.0)(N/m 105.0( 325

W

ตอบ งานออกจากระบบหรองานภายนอก 13.86 kJ

(ค) kPVn (คาคงตว) จะไดวา kVPVPPV

nnn 2211

ความดนทสถานะสดทาย

n

n

V

VPP

2

112

25

23

2325

2 N/m 10125.0)m 20.0(

)m 05.0)(N/m 100.2(

P

งานทเกดขนในระหวางเกดกระบวนการนหาไดจาก

2

1PdVW

แต n

V

kP ,

2

1

12

1 1

n

VkdV

V

kW

n

n

n

VPVPVV

n

kW

nn

11

112211

12

284

kJ 5.721

)m 05.0)(N/m 100.2()m 20.0)(N/m 10125.0( 325325

W

ตอบ งานออกจากระบบหรองานภายนอก 7.5 kJ

14.1.3 พลงงานภายในระบบ

พลงงานภายใน (internal energy) หมายถงผลรวมของพลงงานทงหมดทเกดขนกบมวลสารนนๆ ไดแก พลงงานจลน พลงงานศกยโนมถวง พลงงานศกยไฟฟา พลงงานเคม พลงงานความรอน พลงงานนวเคลยร เปนตน ซงขนอยกบวาระบบนนๆ เกดจะพลงงานชนดใด เชน

ในทางกลศาสตรวตถทก าลงเคลอนทขนหรอลงในแนวดงอยางเสร พลงงานทเกดขนกบวตถคอพลงงานจลนกบพลงงานศกยโนมถวง และในทางฟสกสอะตอมอเลกตรอนทโคจรรอบๆ นวเคลยส

พลงงานทเกดขนกบอเลกตรอนคอพลงงานจลนกบพลงงานศกยไฟฟา ส าหรบพลงงานภายในระบบ

(U) ของแกสในทางอณหพลศาสตร จะพจารณาเฉพาะพลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสทงหมดในระบบหนง ๆ เทานน

นนคอ KNU 14.13

จากสมการ 13.53 PVKN2

3 แทนคาลงในสมการ 14.13 จะไดวา

PVU2

3 14.14

แต PV = nRT nRTU2

3 14.15

และ PV = NkBT TNkU B

2

3 14.16

สมการ 14.14 ถาระบบมความดนคงตว พลงงานภายในระบบจะขนอยกบปรมาตรเพยงอยางเดยว กลาวคอ ถาระบบมปรมาตรเปลยนแปลง กจะท าใหพลงงานภายในระบบเปลยนแปลงดวย

จะไดวา VPU 2

3 14.17

ถา Vi > Vf พลงงานภายในระบบจะลดลง U มเครองหมายเปนลบ

Vi < Vf พลงงานภายในระบบจะเพมขน U มเครองหมายเปนบวก

สมการ 14.15 และ 14.16 ถามวลของแกสภายในระบบคงตว พลงงานภายในระบบจะขนอยกบอณหภมเพยงอยางเดยว ดงนน ถามการเปลยนแปลงอณหภมจะท าใหพลงงานภายในระบบเปลยนแปลงดวย

จะไดวา TnRU 2

3 14.18

และ TNkU B2

3 14.19

285

ถา Ti > Tf พลงงานภายในระบบจะลดลง U มเครองหมายเปนลบ

Ti < Tf พลงงานภายในระบบจะเพมขน U มเครองหมายเปนบวก

ตวอยางท 14.2 อดแกสจ านวน 1 กโลโมล จากปรมาตร 2.24104 dm

3 อณหภม 0

oC ความดน

1.01105 N/m

2 ใหมปรมาตร 1.4010

4 dm

3 ทความดนเดยวกน จงค านวณหา

งานทใชในการอดแกส อณหภมภายหลงการอดแกส และพลงงานภายในระบบท

เปลยนไป

วธท า งานทใชในการอดแกส )( 12

2

1VVPdVPW

MJ 848.0m )4.220.14)(N/m 1001.1( 325 W

ตอบ งานเขาสระบบหรองานภายในเทากบ 0.848 MJ

อณหภมภายหลงการอดแกส nRTPV

)K)(J/mol mol)(8.314 10()m 0.14)(N/m 1001.1( 3325T

K 170T

ตอบ อณหภมภายหลงการอดแกสเทากบ 170 เคลวน

พลงงานภายในระบบ

VPU 2

3

MJ 272.1m )4.220.14)(N/m 1001.1(2

3 325 U

ตอบ พลงงานภายในระบบลดลง 1.272 MJ

14.2 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร

กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร (the first law of thermodynamics) เปนกฎการอนรกษพลงงานแหงความรอนทเปนไปตามหลกของสมมลความรอนเชงกล (mechanical equivalent of

heat) โดยในระบบทมมวลคงตวจะไมมการสรางหรอท าลายความรอน "ส าหรบในกระบวนการทางอณหพลศาสตร ปรมาณความรอนสทธทถกดดกลนหรอคายออกมาโดยระบบจะมคาเทากบผลรวมสมมลความรอนของงานทท าโดยระบบและพลงงานภายในระบบทเปลยนแปลง" จะเหนวากฎขอทหนงของอณหพลศาสตรเปนกฎเกยวกบการแปลงรปของพลงงาน กลาวคอ การอนรกษพลงงานของระบบแยกตวอสระ ถาหากมการสญเสยพลงงานรปใดรปหนง พลงงานนยอมตอง

286

ปรากฏขนในพลงงานอกรปหนงหรอหลายรป ซงเมอรวมคาของพลงงานรปเหลานแลวยงคงมคาเทากบพลงงานเดมทสญเสยไป ซงสามารถเขยนเปนสมการแสดงความสมพนธไดดงน

UWQ 14.20

หรอเขยนอยในรปสมการอนพนธไดดงสมการ 14.21

dUdWdQ 14.21

ในการศกษาเกยวกบการเปลยนแปลงปรมาณตางๆ ตามกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรจ าเปนตองควบคมตวแปรทเกยวของอยางนอยหนงตวแปรใหมคาคงตว ซงท าใหเกดกระบวนการตาง ๆ ดงตอไปน

14.2.1 กระบวนการไอโซเทอรมล

กระบวนการไอโซเทอรมล (isothermal process) เปนกระบวนทระบบมอณหภม

คงตวทความดนเดยวกน ซงจะท าใหการเปลยนแปลงพลงงานภายในระบบมคาเทากบศนย และพลงงานความรอนทเกดขนจะมคาเทากบงานทท าโดยระบบ

นนคอ 02

3 nRdTdU

และ 02

3 dTNkdU B

จากสมการ 14.21 ตามกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะไดวา

PdVdWdQ 0 14.22

สมการ 14.22 หมายความวา ปรมาณความรอนทเกดขนกบระบบจะมผลท าใหเกดการเปลยนแปลงปรมาตรของระบบ หรอเปนกระบวนการทเกดงานอยางชา ๆ โดยอณหภมและความดนไมเปลยนแปลง

14.2.2 กระบวนการไอโซคอรก

กระบวนการไอโซคอรก (isochoric process) เปนกระบวนการทระบบมปรมาตรคงตว ซงจะท าใหงานทเกดขนกบระบบมคาเทากบศนย นนคอ 0 PdVdW

จากสมการ 14.21 ตามกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะไดวา dUdQ 0

dUdTnCv

dT

dU

nCv

1 14.23

287

สมการ 14.23 หมายความวาปรมาณความรอนทเกดขนกบระบบจะมคาเทากบอตราการเปลยนแปลงของพลงงานภายในระบบนนเอง

14.2.3 กระบวนการแอเดยแบตก

กระบวนการแอเดยแบตก (adiabatic process) เปนกระบวนการทไมมการถายโอนความรอนเนองจากระบบ หรอเปนกระบวนการทเกดงานโดยไมมความรอนผานเขาหรอออกจากระบบ

นนคอ 0dQ

จากสมการ 14.21 ตามกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะไดวา

dUdW 0

dWdU 14.24

ส าหรบแกสจ านวน n โมล จะม dU = nCvdT และงาน dW = PdV

จะไดวา PdVdTnCv 14.25

dVV

nRTdTnCv 14.26

เมออณหภมเปลยนจาก T1 เปน T2 กจะท าใหปรมาตรเปลยนจาก V1 เปน V2

ดงนน จากสมการ 14.26 จะไดวา

2

1

2

1

V

V

T

Tv

V

dVR

T

dTC

1

2

1

2 lnlnV

VR

T

TCv

2

1

1

2 lnlnV

VR

T

TCv

vCR

V

V

T

T/

2

1

1

2

14.27

1

/

2

12 T

V

VT

vCR

14.28

งานทเกดขนกบระบบหาไดจากสมการ 14.24 ดงน

dTnCdW v

)( 12 TTnCW v

1

/

2

11

vCR

vV

VTnCW 14.29

288

14.2.4 กระบวนการไอโซบารก

กระบวนการไอโซบารก (isobaric process) เปนกระบวนการทระบบมความดนคงตว ดงนน จากสมการ 14.21 ตามกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะไดวา

dTnCnRdTdTnCPdVdTnC vvp

vp CRC

RCC vp 14.30

สมการ 14.30 ถาระบบมความดนคงตว ผลตางของความจความรอนโมลารของแกสทความดนและปรมาตรคงตวมคาเทากบคาคงตวแกสสากลคอ R = 8.314 J/molK โดย

Cp, Cv และ Cp/Cv ของแกสตางๆ มคาดงแสดงในตารางท 14.1 ส าหรบนยามและความสมพนธระหวาง Cp และ Cv กบตวแปรอนๆ ในเชงฟงกชน จะไดกลาวถงรายละเอยดเพมเตมในเรองความรอนจ าเพาะ

ตารางท 14.1 ความจความรอนจ าเพาะ Cv และ Cp ของแกสทอณหภมหอง

แกส Cv (J/kgdeg) C

p (J/kgdeg) = C

p/C

v

คารบอนมอนอกไซด คารบอนไดออกไซด

ไนโตรเจน

อารกอน

ออกซเจน

แอมโมเนย

ฮเลยม

ไฮโดรเจน

73

639

739

314

651

1,672

3,134

10,061

1,037

833

1,037

524

912

2,190

5,202

14,186

1.40

1.30

1.40

1.67

1.40

1.31

1.66

1.41

ทมา: Hornyak & Marion, 1985: 191.

ตวอยางท 14.3 แกสอดมคตจ านวน 5 mol ทสภาวะมาตรฐาน S.T.P. ถาปรมาตรของแกสเพมขน

อยางชาๆ ตามกระบวนการไอโซเทอรมล จนกระทงมปรมาตรเปน 1.5 เทา

จงหางานและความรอนทเกดขนกบระบบ

289

วธท า งานทเกดขนกบระบบหาไดจากสมการ 14.11 ดงน

i

f

V

VnRTW ln

i

i

V

VW

5.1ln)K 273(K)J/mol (8.314)mol 5(

kJ 60.4W

ตอบ งานออกจากระบบหรองานภายนอกเทากบ 4.60 kJ

เนองจากกระบวนการไอโซเทอรมลไมมการเปลยนแปลงพลงงานภายในระบบ

นนคอ U = 0 ดงนนจากสมการ 14.20 จะไดวา

0WQ

kJ 60.4Q

ตอบ ความรอนเพมขนหรอระบบรบความรอนเทากบ 4.60 kJ

ตวอยางท 14.4 แกสฮเลยมจ านวน 2 mol มพลงงานภายใน nRTU2

3 ถาอณหภมของแกส

เพมขนจากเดม 100 K และมปรมาตรคงตว จงหาความจความรอนโมลาร และ

พลงงานภายในระบบทเปลยนไป

วธท า ความจความรอนโมลารขณะทปรมาตรคงตวหาไดจากสมการ 14.23 ดงน

RnRTdT

d

ndT

dU

nCv

2

3

2

311

K)J/mol (8.3142

3vC

KJ/mol 47.12 vC

ตอบ ความจความรอนโมลารเทากบ 12.47 J/molK

เนองจากปรมาตรคงตว (W = 0) จากสมการ 14.20 จะไดวา

UQ 0

UdTnCv

U )K 100(K)J/mol (12.47)mol 2( kJ 49.2U

ตอบ พลงงานภายในระบบเพมขน 2.49 kJ

290

ตวอยางท 14.5 แกสนออนปรมาณหนงทความดน 1 atm และอณหภม 25oC มความจความรอน

โมลาร Cv และ Cp เทากบ 12.47 และ 20.78 J/molK ตามล าดบ ขยายตวตาม

กระบวนการแอเดยแบตกจากปรมาตร 1.00 เปน 1.50 dm3 จงค านวณหางานท

ท าระหวางการขยายตว

วธท า หาจ านวนโมลจาก RT

PVn

mol 040.0)K 298(K)J/mol (8.314

)m 10)(N/m 10( 3325

n

หาอตราสวนของ 667.0KJ/mol 12.47

KJ/mol 8.314

vC

R

หางานทกระท าระหวางการขยายตวไดจากสมการ 14.29 ดงน

1

/

2

11

vCR

vV

VTnCW

1

50.1

00.1)K 298)(KJ/mol 12.47)(mol 040.0(

667.0 v

W

J 36.35W

ตอบ งานทกระท าระหวางการขยายตวเทากบ 35.36 J

ตวอยางท 14.6 แกสอะตอมเดยวจ านวน 1 mol มพลงงานภายในระบบ RTU2

3

จงหาอตราสวนระหวางความจความรอนโมลารของแกส (g) ทความดน

และปรมาตรคงตว

วธท า ความจความรอนโมลารขณะทปรมาตรของระบบคงตว หาไดดงน

RRTdT

d

dT

dUCv

2

3

2

3

KJ/mol 471.12K)J/mol (8.3142

3vC

ความจความรอนโมลารขณะทความดนของระบบคงตว หาไดดงน

RRRRCC vp2

5

2

3

KJ/mol 785.20K)J/mol (8.3142

5pC

291

อตราสวนระหวางความจความรอนโมลาร หาไดดงน

67.13

5

2

32

5

R

R

C

C

v

p

ตอบ อตราสวนระหวางความจความรอนโมลารของแกสอะตอมเดยวเทากบ 1.67

14.3 อณหพลศาสตรกบพลงงานและเทคโนโลยในอนาคต

พลงงานเปนปจจยส าคญในการเสรมสรางสวสดภาพและความผาสกของมนษยตอการด ารงชวตตงแตสมยโบราณจนถงปจจบน ไดแก พลงงานจากแรเชอเพลงธรรมชาต พลงงานจากแหลงธรรมชาต และพลงงานชวมวล รวมทงการวจยและพฒนาพลงงานทดแทนชนดใหม ซงมสวนเกยวของกบความมนคงของประเทศชาตทงในดานเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และการเมองการปกครองอยางยง นอกจากน ยงสงผลไปถงการพฒนาความกาวหนาทางดานเทคโนโลยตางๆเชน การเกษตร การคมนาคมขนสง การสอสารโทรคมนาคม การแพทย คอมพวเตอร และอนๆทงน จะตองมองเหนถงความจ าเปนและความส าคญในการพฒนาใหเกดประโยชนอยางคมคาและเกบรกษาความสมดลทางธรรมชาตใหอยไดเปนอยางดตลอดไป

14.3.1 อณหพลศาสตรกบพลงงานในอนาคต

มนษยไดน าพลงงานตางๆ เขามาใชในการด ารงชวตตงแตสมยโบราณ เรมจากการใชไฟทเกดจากการเสยดสของไมหรอหน น ามาใชในการใหความอบอน แสงสวาง และหงตมอาหาร การน าพลงงานมาใชในสมยแรกๆ นน เปนพลงงานทหาไดงายๆ ตามธรรมชาต เชน

แสงแดด ลม น า จากสตวเลยง และพลงงานจากการออกแรงของตนเองเปนสวนใหญ เชน การทจะเดนทางไปไหนกเดนไปหรออาจจะขมา วว หรอควาย การต าขาวกใชครกและใชมอต า การเอาน าเขาทนาเพอท าการเพาะปลกกใชถบระหดดวยเทา หรอการหงตมกใชไมเปนเชอเพลง การใชไตหรอน ามนมะพราวจดตะเกยงเพอใหแสงสวาง ฯลฯ พลงงานทน ามาใชเหลานจะไมมวนหมดสนไปจากโลก เพราะมการทดแทนอยตลอดเวลา ตอมาเมอมนษยสามารถน าเชอเพลงตางๆ เชน

น ามน ถานหน รวมไปถงน าทน ามาเปลยนเปนพลงงาน ดงนน การใชพลงงานของตนเองจงลดนอยลง สามารถทจะน าเอาเวลาวางจากการท างานนนมาคดพฒนาเรองตางๆ ทางดานวทยาศาสตร

แพทย วศวกรรม และศลปะตางๆ ได ท าใหเรามอารยธรรม รวมทงมความเจรญรงเรอง

ความสะดวกสบายมากยงขน โดยใชพลงงานเปนหลกส าคญในการด าเนนกจกรรม แตพลงงานดงกลาวเหลานนบวนจะหมดสน เชน ถานหน แกสธรรมชาต หนน ามน ทรายน ามน แรกมมนตรงสและโดยเฉพาะอยางยงน ามนนบวนจะหมดสนไปและมราคาแพงขนเรอย ๆ

292

ปจจบน มการวจยและพฒนาพลงงานชนดใหมเพอใหสามารถน าไปใชทดแทนไดยาวนานทสด ซงเปนพลงงานทไดจากแหลงธรรมชาต ไดแก พลงงานจากน า แสงอาทตย

ลมความรอนใตพภพ และชวมวล เปนตน ซงจะน าไปสการยกระดบความเปนอยของประชาชนทงประเทศใหสงขน

1) พลงงานน าเปนพลงงานทไดจากแหลงธรรมชาต ซงมนษยสามารถน ามาใชในการผลตกระแสไฟฟา โดยการปลอยใหน าจากระดบสงไปขบกงหนหมนเครองก าเนดไฟฟากจะกอใหเกดพลงงานไฟฟาขน การผลตกระแสไฟฟาขนาดใหญดวยพลงงานจากน าจะตองมบรเวณกกเกบน าขนาดใหญ โดยทวไปจะตองสรางเขอนควบคกนไปเพอใหมระดบน าสงขน นอกจากการพฒนาแหลงพลงงานน าขนาดใหญทสามารถน ามาใชประโยชนในการผลตไฟฟาแลว ยงจะน าไปใชประโยชนในดานอนๆ อก เชน การขนสง การประมง การเกษตร เปนตน และในอนาคตจะใชพลงงานน าขนน าลงมาผลตกระแสไฟฟาไดอกดวย

2) พลงงานแสงอาทตยเปนพลงงานทไดจากแหลงธรรมชาตทถาวรยนยาวนาน มใหใชไดตลอด ในยคทมการตนตวในดานวกฤตการณเกยวกบพลงงานเปนผลมาจากการเพมของประชากรในอตราสงกบการใชทรพยากรในรปของพลงงานกนอยางฟมเฟอยเกนความจ าเปน

กระบวนการเปลยนพลงงานแสงอาทตยไปเปนพลงงานความรอนและพลงงานไฟฟาไดพฒนาเพอทจะน าพลงงานแสงอาทตยไปใชใหเกดประโยชนในลกษณะทแตกตางกน เชน การท าน ารอน

การหงตมอาหาร การอบแหงพชผลทางการเกษตร เปนตน นอกจากน พลงงานแสงอาทตยยงน าไปใชในการผลตกระแสไฟฟาส าหรบใชงานในยานอวกาศ ดาวเทยม และเครองยนตตาง ๆ

3) พลงงานลมเปนพลงงานจากแหลงธรรมชาตทสะอาดบรสทธและมสะสมอยในแหลงตางๆ ของโลก สามารถพฒนาน ามาใชใหเปนประโยชนไดไมยาก โดยอาศยเครองมอทเรยกวา "กงหนลม" เปนตวสกดกนพลงงานจลนของกระแสลม แลวเปลยนไปเปนพลงงานกล

สงผานเขาไปในเครองก าเนดไฟฟา และแปรสภาพเปนพลงงานไฟฟาน าไปใชประโยชนตอไป

นอกจากน พลงงานลมยงสามารถน าไปใชผลตกระแสไฟฟารวมกบพลงงานแสงอาทตยเพอการใชงานใหไดมากทสดในทอยอาศยหรอการขบเคลอนเครองยนตปลอดมลพษไดอกดวย

4) พลงงานความรอนใตพภพเปนแหลงพลงงานธรรมชาตทมขนาดใหญมากแหลงหนงของโลก ซงพลงงานประเภทนเกดขนและสะสมตวอยภายใตพนผวโลก โดยยงลกลงไปมากเทาใดอณหภมกจะยงสงขน การศกษาวจยเกยวกบแหลงพลงงานความรอนใตพภพยงอยในขอบเขตจ ากด แตกไดน ามาใชประโยชนในการผลตกระแสไฟฟาดงทไดกลาวมาแลว

นอกจากน ยงมแหลงพลงงานทไดจากวสดเหลอทงจากการเกษตร เชน ขเลอย

แกลบ ฟางขาว ชานออย รวมไปถงวสดเหลอใชจากชวตประจ าวน ไดแก ขยะ ผลตภณฑจากพช

293

เชน ฟน ถานไม พช น าเนา เปนตน ชวมวลเหลานจะน ามาใชเปนพลงงานทงในรปเดมหรออาจแปรรป และในอนาคตหากมการพฒนาชวมวลมาใชประโยชนอยางจรงจงและมประสทธภาพมากขนกจะเปนแหลงพลงงานทมความส าคญมากทสดอกชนดหนง

14.3.2 อณหพลศาสตรกบเทคโนโลยในอนาคต

จากความรความเขาใจพนฐานทเกดขนในธรรมชาต จะเปนพนฐานทน าไปสการพฒนาวธการผลตและใชสงตางๆ เพออ านวยประโยชนหรอสนองความตองการของมนษยทเรยกกนวาเทคโนโลย (technology) โดยจะมวทยาศาสตรเปนหวใจส าคญในการพฒนาเทคโนโลยดานตางๆ เชน การขนสง การสอสาร การพลงงาน เปนตน ปจจบน วทยาศาสตรและเทคโนโลยเขามามบทบาทในชวตประจ าวนและสงคมมากขน และความกาวหนาทางเทคโนโลยจะสงผลใหวทยาศาสตรกาวหนาตอไปเรวขน หรออาจกลาวไดวา ความกาวหนาทางดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยตางกมสวนเกอหนนซงกนและกน

ความเจรญกาวหนาทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย มววฒนาการมาตงแตสมยโบราณจนกระทงถงปจจบน และในอนาคตจะเปนอยางไรนนจะตองท าการศกษาคนควา ท าการวจยและพฒนา ตลอดจนการประดษฐคดคนสงใหมๆ อยเสมอ ส าหรบเทคโนโลยทเกยวของโดยตรงกบอณหพลศาสตรและมการพฒนาใหกาวหนาอยตลอดเวลานน จะไดกลาวถงดงตอไปน

1) การขนสงทางบกเรมจากการใชสตว ทอนซงหนนของหนก ๆ ลอมลกษณะ เหมอนเขยง ลอทท าจากไมตดกบเกวยน ลอทมซลอน าหนกเบาตดกบรถมาท าใหวงไดเรวขน และการใชเครองกลจกรไอน าแทนมาลาก ในปจจบนใชเครองยนตเบนซนและเครองยนตดเซล

แนวโนมของยานพาหนะขนสงทางบกทใชเครองยนตในอนาคตทมตนแบบออกมาแลวไดแก รถยนตไฟฟา รถยนตพลงไฮโดรเจน รถยนตพลงแกสธรรมชาต รถยนตพลงงานนวเคลยร รถยนตพลงไอพน รถยนตใชไฟฟาและน ามน รถยนตใชแกสธรรมชาตและไฟฟา และรถบน เปนตน นอกจากน ยงมรถไฟพลงแมเหลก (magnetic levitation) ทมความเรวสงมาก

โดยขณะเคลอนทตวรถจะลอยเหนอรางเลกนอย การยกตวเกดจากการผลกระหวางสนามแมเหลกของรางและตวรถซงเกดจากแมเหลกทท าจากตวน ายวดยง การยกตวเปนการลดแรงเสยดทานท าใหรถไฟสามารถเคลอนทไดอตราเรวสง

294

JR-Maglev at Yamanashi, Japan Transrapid 09 at the Emslnd

test track in November, 2005 test facility in Germany

ภาพท 14.3 รถไฟพลงแมเหลก


2) การขนสงทางน ามววฒนาการเรมตงแตการใชขอนไมหรอทอนซงในการชวยพยงตว การน าขอนไมมาผกตดกนเปนแพ เรอขดหรอเรอคาน (dug-out canoes or canoes) เรอใบหรอเรอส าเภาใชพลงงานจากลม เรอกลไฟใชกลจกรไอน า เครองยนตดเซล เครองยนตนวเคลยร

และเรอด าน า เปนตน นอกจากน ยงมเรอสมยใหมความเรวสง ไดแก โฮเวอรคราฟท (hovercraft)

และไฮโดรฟอยล (hydrofoil)

แนวโนมของยานพาหนะขนสงทางน าในอนาคตจะตองมขนาดใหญขน เดนทางไดเรวขนและน าพลงงานนวเคลยรมาใชในการขบเคลอน เชน เรอบรรทกน ามนขนาดใหญ เรอด าน าพลงงานนวเคลยร เรอโดยสารและเรอบรรทกสนคาพลงงานนวเคลยร เรอไฮโดรฟอยลขนาดยกษ เรอโฮเวอรคราฟทขนาดยกษ เรอพลงแสงอาทตย เรอบน เปนตน

ภาพท 14.4 โฮเวอรคราฟท ทมา: Dery, 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:JR-Maglev-MLX01-2.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Transrapid-emsland.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/JR-Maglev

http://en.wikipedia.org/wiki/Yamanashi_Prefecture

http://en.wikipedia.org/wiki/Japan

http://en.wikipedia.org/wiki/Transrapid

http://en.wikipedia.org/wiki/Germany

295

ภาพท 14.5 ไฮโดรฟอยล ทมา: Dery, 2011.

3) การขนสงทางอากาศเปนความกาวหนาทางเทคโนโลยทมนษยคดขนมา

ซงสามารถใหบรการขนสงทงสนคาและผโดยสารไดรวดเรวทสด โดยมววฒนาการเรมตงแตการใชวาว บอลลน เรอเหาะ เครองรอน เครองบนปกสองชน เครองบนไอพน และเฮลคอปเตอร

ปจจบน เครองบนไดรบการพฒนาใหมคณภาพดขนสามารถขนสงผโดยสารไดครงละมากๆ เชนเครองบนดซ-10 บรรทกผโดยสารไดถง 260 คน เครองบนโบอง 747 บรรทกผโดยสารไดถง

370 คน และยงมเครองบนเรวกวาเสยงคอนคอรดซเปอรโซนคสามารถบนไดเรวถง 1,400 mi/h

แนวโนมยานพาหนะขนสงทางอากาศในอนาคต ไดแก เครองบนโดยสารขนาดใหญ เครองบนทมทงปกและโรเตอร เครองบนพลงงานนวเคลยร เครองบนพลงงานแสงอาทตย เครองบนพลงงานนวเคลยร และเครองบนซปเปอรโซนค เปนตน

296

Nevada’s Aerion Corporation is advertising its Aerion Supersonic Business Jet (SBJ),

described as an $80 million, super fast executive plane which the company says is able

to reach a speed of Mach 1.5 (1,840 km/h).

ภาพท 14.6 เครองบนซปเปอรโซนค

ทมา: Luxuo, 2010.

14.4 อณหพลศาสตรกบสงมชวต

สงมชวตทงพชและสตวเปนระบบเปดทางอณหพลศาสตร ซงมการแลกเปลยนมวลสารกบสงแวดลอม มการดดพลงงานจากสงแวดลอมและคายพลงงานใหกบสงแวดลอมตลอดเวลา

เชน สตวกนอาหาร พชตรงแรธาตตางๆ จากสงแวดลอม หลงจากนน จะมการขบถายมวลสารคนใหกบสงแวดลอม หรอการเกดปฏกรยาตางๆ ในพชและสตว โดยจะมการใชและเปลยนรปของพลงงาน ซงเปนไปตามกฎขอทหนงและสองของอณหพลศาสตร

http://www.luxuo.com/wp-content/uploads/2010/07/aerion-supersonic-business-jet1.jpg

http://www.luxuo.com/wp-content/uploads/2010/07/aerion-supersonic-business-jet.jpg

297

การเจรญเตบโตในสงมชวตจะตองน าเอามวลสารและพลงงานตางๆ จากสงแวดลอมในธรรมชาตทไมคอยจะมระบบระเบยบสกเทาไรนก มาสรางระบบในตวเองใหมระเบยบมากขน ในขณะทสงมชวตเจรญเตบโตขนนนจะมเอนโทรปลดลง แตเมอรวมการเปลยนแปลงเอนโทรปในสงแวดลอมทงหมดอนเนองมาจากการเจรญเตบโตของสงมชวตแลว การเปลยนแปลงเอนโทรปจะเพมขนเสมอ นนหมายถงการท าใหโลกมระบบระเบยบลดลงไปเรอยๆ หรออาจกลาวไดวาสงทมชวตทงหลายเปนผทเพมเอนโทรปหรอความไมเปนระเบยบมากยงขน

การสงเคราะหแสงของพชเพอการเจรญเตบโตและสรางระเบยบใหมากขน จะตรงหลายสงหลายอยางจากสงแวดลอมในธรรมชาต เชน พลงงาน แสงแดด คารบอนไดออกไซด น า และแรธาตตางๆ ทงทเปนของแขงและของเหลว เพอเปลยนรปเปนน าตาลซงละลายอยในเซลลหรอเซลลโลสตามผนงเซลล จากทกลาวมานเปนการท าใหเอนโทรปลดลงอยางมาก

ปจจบน มนษยไดเพมจ านวนมากขน ท าใหการใชทรพยากรในธรรมชาตเปนไปอยางรวดเรว ทรพยากรทมอยในดน น า หรออากาศ จะถกน าไปใชตามความตองการของมนษย เพอการเจรญเตบโตและการเปลยนแปลงหลายอยาง เชน การเคลอนยายมวลสารในรางกาย อวยวะ เนอเยอ หรอเซลลตางๆ การสนดาประหวางออกซเจนกบน าตาลกลโคสใหเปลยนไปเปนน าและคารบอนไดออกไซด การสรางเซลลสมองจากสารอาหารทถกยอยแลว การสงผานไอออนทะลผนงหรอเยอหมเซลลจากความเขมขนสงไปต า หรอการสงกระแสไฟฟาจากสมองไปยงประสาทสมผสตางๆ เปนตน การสรางระเบยบดงกลาวนจะท าใหทกสงทกอยางในสงแวดลอมตามธรรมชาตถกน าไปใชอยางรวดเรว ความเปนระเบยบและสภาพสมดลทางธรรมชาตกจะลดลงไปเรอย ๆ เนองจากการสรางระเบยบอนมากมายหลายอยางของมนษยจากสงทมระเบยบนอยในธรรมชาตจะเกดขนเองไมได จะตองใชพลงงานจากแหลงอนทมอย แตส าหรบการสลายจากสงทมระเบยบมากไปเปนสงทมระเบยบนอยจะเกดขนไดงายมาก เชน การเนาเปอยผพงหรอยอยสลายของสารอนทรย เปนตน

ดงนน เพอใหสภาพสมดลทางธรรมชาตคงอยนานทสด จะตองพยายามใชทรพยากรทเหลออยในธรรมชาตอยางชาๆ และในขณะเดยวกนกจะตองหาทรพยากรทดแทนจากแหลงอนๆ มาใชอยางประหยดและคมคามากทสด เชน การสรางบานใหอยสบายโดยอาศยการถายโอนอากาศตามธรรมชาตและใชพลงงานนอยทสด ไดแก การสรางรมเงาใหกบบานเรอนดวยการปลกตนไม การท ากนสาด หรอใชไมระแนง การออกแบบบานใหมชองลมทถายโอนไดสะดวก การปองกนความรอนทสะสมอยตามพนผวคอนกรตโดยใชอฐบลอกทมรอง หรอการปลกหญาทบรเวณสนามหนาบาน และการใชวสดกนความรอนตามหลงคาและผนงบาน กจะชวยใหอยไดอยางสบายโดยทไมตองสนเปลองพลงงานมากนก และเปนการเสรมสรางสภาพสมดลใหกบธรรมชาตอกดวย

298

นอกจากน การใชทรพยากรธรรมชาตอยางกระจดกระจายเปนเศษขยะทวไป หรอสงทมนษยประดษฐขนมาเพอใชประโยชน เชน พลาสตกทแทบจะไมสามารถเปลยนกลบไปเปนมวลสารเดมไดเลย หรอการเผาไหมสงตางๆ ลวนแตท าใหเกดมลพษตอสงแวดลอมและสรางความไมเปนระเบยบใหแกธรรมชาต ในทสดทกสงทกอยางทอยรอบตวเรากจะเสอมคณคาลง การสญเสยพลงงาน และขาดสมดลทางธรรมชาต กอใหเกดภยวบตขน ดงนน จงควรตระหนกถงอนตรายทจะมผลตอสงมชวต ระบบนเวศ และสงแวดลอม ทนบวนจะมแนวโนมสงขนเรอยๆ ถาขาดการปองกนและแกไขอยางถกวธ มจตส านกและความรบผดชอบในการสรางสรรคและปองกนไมใหเกดผลกระทบ และการอนรกษทรพยากรธรรมชาตและสงแวดลอมใหคงอยในสภาพทดตลอดไป

299


1. จงหางานเนองจากระบบในการอดแกสออกซเจนมวล 2 g ทสถานะเรมตน S.T.P.

ใหมปรมาตรลดลงเหลอเพยงครงหนง เมอความดนคงตวและอณหภมคงตว

2. ทสภาวะมาตรฐาน S.T.P. แกสอดมคต 1 kmol ถกอดใหมปรมาตรลดลงเปน

0.5 เทาของปรมาตรเดมตามกระบวนการไอโซเทอรมล จงหางานและความรอนทเกดขน

3. แกสอารกอนความดน 1 atm อณหภม 25oC มความจความรอนโมลารทปรมาตร

คงตวเทากบ 12.47 J/molK ขยายตวตามกระบวนการแอเดยแบตกจากปรมาตร 0.50 เปน

1.00 dm3 จงหาปรมาณงานทกระท าระหวางการขยายตว

4. ทความดน 105 N/m

2 น ามวล 1 g ปรมาตร 1 dm

3 เมอไดรบความรอนกลายเปน

ไอจนหมดมปรมาตร 1.5 dm3 ทความดนเดยวกน พลงงานภายในระบบจะเพมขนหรอลดลงเทาไร

(ก าหนดใหความรอนแฝงจ าเพาะของน ามคาเทากบ 2.256106 J/kg)

5. แกสไนโตรเจนมวล 5 kg อณหภมเพมขนจาก 10 เปน 130oC ความดนคงตว จง

ค านวณหาพลงงานความรอน พลงงานภายใน และงาน

6. จงหางานทท าใหแกสความดน 20105 Pa ปรมาตร 3 L มปรมาตรเปลยนไปเปน

24 L ทอณหภมเดยวกน

7. เครองยนตความรอนมประสทธภาพเชงความรอน 40% จงค านวณหาปรมาณความรอนทจะตองใชเพอใหไดงานออกมา 1,000 J และปรมาณความรอนทปลอยออกมา

8. การใชพลงงานนวเคลยรมขอดและขอเสยอยางไรบาง พรอมทงอธบายวาเหตใดการใชพลงงานนวเคลยรจงไมแพรหลายในปจจบน และในอนาคตนาจะมการน าพลงงานนมาใชประโยชนในดานใดบาง อยางไร

9. ในปจจบนมการน าพลงงานแสงอาทตยมาใชประโยชนในดานใดบาง อยางไร และในอนาคตจะมแนวโนมการน าพลงงานแสงอาทตยไปใชประโยชนในดานใดบาง

10. เครองยนตไอพนมหลกการและขนตอนการท างานอยางไร สามารถน าไปใชในการขบเคลอนกบยานพาหนะใดไดบาง และในอนาคตจะมแนวโนมอยางไร

11. แกสฮเลยมบรรจในถงสองใบทเชอมตอกนผานวาลว ถงแรกมความดน 2 atm

ปรมาตร 10 L ถงทสองมความดน 3 atm ปรมาตร 15 L ถาเปดวาลวใหแกสรวมกนโดยไมมการถายโอนความรอนจากนอกระบบ ความดนของแกสผสมเปนเทาไร

300

12. ของเหลวชนดหนงผสมจากไซลนซงมความาหนาแนน 900 kg/m3 ในอตราสวน 4:1

โดยปรมาตร เมอหยดน าผงลงไปปรากฏวาหยดน าผงจมลงไปเลกนอยและลอยนงอยในของเหลวน

ความหนาแนนของน าผงทหยดลงไปมคาเปนเทาใด

301


กองพฒนาพลงงานทดแทน ฝายพฒนาและแผนงานโครงการ การไฟฟาฝายผลตแหงประเทศไทย. ม.ป.ป. เครองท าน ารอนพลงงานแสงอาทตย. คนเมอ 1 เมษายน 2556 จาก

http://www2. egat.co.th/re/egat_business/egat_heater/egat_heater.htm.

สถาบนวจยและพฒนาวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเชยงใหม. ม.ป.ป. โรงไฟฟา

พลงความรอนใตพภพฝาง. คนเมอ 1 เมษายน 2556 จาก

http://teenet.cmu.ac.th/sci/fang_th.php.

Boles, M.A. & Çengel, Y.A. 1998. Thermodynamics an Engineering Approach. 3rd ed. New

York: McGRAW-HILL.

Dery, B. 2011. Hovercraft. Retrieved April 2, 2013, from http://www.infovisual.info/05/

060_en.html.

Dery, B. 2011. Hydrofoil Boat. Retrieved April 2, 2013, from http://www.infovisual.info/05/

061_en.html.

Encyclopaedia Britannica, Inc., 2007. Diesel Engine. Retrieved April 2, 2013, from

http://kids. britannica.com/comptons/art-167213/The-typical-sequence-of-cycle-

events-involves-a-single-intake.

Encyclopaedia Britannica, Inc., 2007. Internal-Combustion Engine: Four-Stroke Cycle.

Retrieved April 2, 2013, from http://kids.britannica.com/comptons/art-89315/An-

internal- combustion-engine-goes-through-four-strokes-intake-compression.



Lower, S. 2007. Thermodynamics of Chemical Equilibrium. Retrieved April 2, 2013, from

http://www.chem1.com/acad/webtext/thermeq/TE3.html.

Luxuo. 2010. Aerion Supersonic Business Jet. Retrieved April 2, 2013, from http://www.luxuo.

com/aircraft/aerion-supersonic-business-jet.html.

Mombourquette, M. 2010. Chem 211>3 First Law>Internal Energy. Retrieved April 2, 2013,

fromhttp://www.chem.queensu.ca/people/faculty/Mombourquette/Chem221/3_FirstLa

w/ InternalEnergy.asp.

http://www.ist.cmu.ac.th/


http://www.infovisual.info/05/


http://kids.britannica.com/comptons/art-89315/An-internal-

http://kids.britannica.com/comptons/art-89315/An-internal-

http://www.luxuo.com/aircraft/first-supersonic-private-jet.html

http://www.luxuo/

http://www.chem.queensu.ca/people/faculty/Mombourquette/Chem221/3_FirstLaw/

http://www.chem.queensu.ca/people/faculty/Mombourquette/Chem221/3_FirstLaw/

302

TECHBERTH Mechanical Engineering and Mechatronics. 2011. Jet Engine Diagram for Easy

Comparison. Retrieved April 2, 2013, from

http://www.techberth.com/category/thermal/ jet-engines/.

Saundry, P. 2008. AP Environmental Science Chapter 1- Flow of Energy. Retrieved April 2,

2013, from http://www.eoearth.org/article/AP_Environmental_Science_Chapter_1-

_Flow_ of_Energy#gen10.

The Full Wiki. 2013. Pressurized Water Reactor. Retrieved April 2, 2013, from

http://www. thefullwiki.org/Pressurised_water_reactor.

Truman State University. 2006. The First Law and the Sign Convention used in

Thermodynamics. Retrieved April 2, 2013, from

http://chemlab.truman.edu/CHEMLAB_BACKUP/CHEM130Labs/CalorimetryFiles/T

hermoBackground.htm.

Wikipedia. 2013. Maglev. Retrieved April 2, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_

levitation_train.

http://www.techberth.com/category/thermal/

http://www.eoearth.org/article/AP_Environmental_Science_Chapter_1-_Flow_

http://www.eoearth.org/article/AP_Environmental_Science_Chapter_1-_Flow_

http://chemlab.truman.edu/CHEMLAB_BACKUP/CHEM130Labs/CalorimetryFiles/T

http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_


บทท 15 ปรากฏการณคลน



15.2 การเคลอนทแบบคลน

15.3 ลนผวน า

15.4 การซอนทบกนของคลน

15.5 สมบตของคลน




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบคลน

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบคลนผวน า

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการซอนทบกนของคลน

5. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบสมบตของคลน







304










305

บทท 15

ปรากฏการณคลน

ส าหรบบทท 15 จะไดศกษาถงการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายเพอใชเปนพนฐานในการอธบายการเคลอนทแบบคลน โดยจะมงเนนไปทคลนผวน า (surface water wave) และสมบตตาง ๆ ของคลน ไดแก การสะทอน การหกเห การแทรกสอด และการเลยวเบน ความรความเขาใจทจะไดจากการศกษาปรากฏการณคลนในบทนสามารถน าไปใชเปนพนฐานในการศกษาเกยวกบปรากฏการณคลนชนดอนๆ ไดอก เชน ธรรมชาตของเสยงและการไดยน ธรรมชาตของแสงและการมองเหน และคลนแมเหลกไฟฟา เปนตน ดงนน จงควรศกษาและท าความเขาใจใหมากทสดเพอทจะน าไปใชประโยชนในการศกษาระดบสงตอไป

ภาพท 15.1 การเคลอนทแบบคลน

ทมา: The Florida Center for Instructional Technology, College of

Education,University of South Florida, 2005.


การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (simple harmonic motion, SHM) เปนการเคลอนทแบบกลบไปกลบมาผานแนวสมดลของระบบ ตวอยางเชน การเลนชงชา การแกวงของลกตม และการเคลอนทของมวลตดสปรง เมอวตถเคลอนทผานแนวสมดลของระบบจะมแรงดงกลบ (restoring force) ซงมทศตรงขามกบการกระจด ท าใหวตถเคลอนทกลบไปกลบมา

http://fcit.usf.edu/

306

การพรรณนา (description) เกยวกบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายดงกลาวสามารถเปรยบเทยบไดกบเงาของวตถซงเคลอนทแบบวงกลมดงแสดงในภาพท 15.2

Q

Q

Q

QQ

Q

Q

Q

X

Y

Q

Q

Q QO tx

A

Q

Q

Q

Q

QQ

Q

Q

Q

Q

X

Y

Q

Q

O t

yA

(ก) (ข)

ภาพท 15.2 การเคลอนทแบบวงกลม

ภาพท 15.3 ก าหนดไห วตถ Q เคลอนทเปนวงกลมรศม A ดวยอตราเรวเชงมม และขณะเคลอนทผานแกน +X ทเวลา t = 0 เมอเวลาผานไป t เสนตรง OQ จะท ามม t กบแกน +X และเงาของวตถ Q จะมขนาดของการกระจดเทยบกบจด O บนแกน X และ Y เทากบ x และ y ตามล าดบ

ภาพท 15.2(ก) เงาของวตถ Q เคลอนทกลบไปกลบมาบนแกน X โดยมแกน Y เปนแนวสมดล และมขนาดของการกระจดเทยบกบจด O ตามสมการ 15.1

tAx cos 15.1

ภาพท 15.2(ข) เงาของวตถ Q เคลอนทกลบไปกลบมาบนแกน Y โดยมแกน X เปนแนวสมดล และมขนาดของการกระจดเทยบกบจด O ตามสมการ 15.2

tAy sin 15.2

สมการ 15.1 และ 15.2 จะไดการกระจดสงสดเทากบ A เรยกวาแอมพลจด (amplitude)

พจารณาทเวลา t = 0 มม t = 0 จะไดขนาดของการกระจดอยในแนวแกน Y ตามสมการ 15.2 และสามารถหาขนาดของความเรวและความเรงไดดงน

307

t

t

t

tAx cos

tAv sin

tAa cos2

การกระจด

ความเรว

ความเรง

A

t

t

tAy sin

tAv cos

tAa sin2

t

การกระจด

ความเรว

ความเรง

A

ขนาดของความเรว tAdt

dyv cos 15.3

หรอ tAv 2222 cos 15.4

tAv

22

2

2

cos 15.5

จากสมการ 15.2 tAy 222 sin 15.6

สมการ 15.5 + 15.6 )sin(cos 2222

2

2

ttAyv

15.7

)( 2222yAv 15.8

22yAv 15.9

เครองหมาย แสดงทศของความเรวตามแกน Y

ขนาดของความเรง tAdt

dva sin2 15.10

หรอ ya2 15.11

เครองหมายลบ แสดงทศของความเรงตรงขามกบการกระจดตามแกน Y

ส าหรบการพจารณาขนาดของการกระจด ความเรว และความเรง บนแกน X สามารถพจารณาไดเชนเดยวกน ดงน

แกน Y แกน X

การกระจด tAy sin tAx cos

ความเรว 22cos yAtAv

22sin xAtAv

ความเรง ytAa22 sin xtAa

22 cos

และสามารถเขยนกราฟแสดงความสมพนธไดดงแสดงในภาพท 15.3

ภาพท 15.3 กราฟแสดงความสมพนธระหวางการกระจด ความเรว และความเรง กบเวลา

308

ในกรณทวไป ทเวลาเรมตน t = 0 วตถ Q จะอยทต าแหนงเสนตรง OQ ซงท ามม

กบแกน +X เมอเวลาผานไป t เสนตรง OQ จะท ามมเพมขนอก t หรอท ามม (0 + t) กบแกน +X ดงนน จะไดสมการของการกระจดในกรณทวไปตามสมการ 15.12 และ 15.13

)cos( 0 tAx 15.12

)sin( 0 tAy 15.13

การหาอนพนธเทยบกบเวลาสามารถพจารณาไดในท านองเดยวกนดงน

จากสมการ 15.12 จะไดวา )sin( 0 tAdt

dxv 15.14

)cos( 02

tAdt

dva 15.15

จากสมการ 15.13 จะไดวา )cos( 0 tAdt

dyv 15.16

)sin( 02

tAdt

dva 15.17

ตวอยางท 15.1 การเคลอนทแบบ SHM บนพนระดบทมแอมพลจด 10 cm ทจดซงหางจาก

แนวสมดล 6.0 cm มอตราเรว 24 cm/s จงค านวณหาคาบ

วธท า จากสมการ 15.9 2222 2yA

TyAv

22222 )m100.6()m1010(2

m/s1024

T

s1.2T

ตวอยางท 15.3 สปรงมคาคงตว 162 N/m ยดตดกบเพดานอยในแนวดง และมวตถมวล 4 kg

ผกตดกบปลายสปรงดานลาง (ก าหนดให g = 2 m/s

2) (ก) ถาคอยๆ ปลอยวตถ จงหาระยะทสปรงยดออก

(ข) ถาปลอยวตถทนท จงหาระยะทสปรงยดออก แอมพลจด ความถ และ

สมการเคลอนท

วธท า (ก) ถาคอยๆ ปลอยวตถ แรงทกระท ากบสปรงใหยดออกคอน าหนกของวตถ

kxmg

))(16()m/s)(kg4( 222x

ระยะทสปรงยดออก m25.0x

(ข) ถาปลอยวตถทนท พลงงานศกยโนมถวงเปลยนไปเปนพลงงานศกยยดหยน

2

2

1kxmgx

309

))(16(2

1))(m/s)(kg4( 2222

xx

ระยะทสปรงยดออก m50.0x

แอมพลจด m25.02

m50.0

2

xA

ความถ Hz12

1

m

kf

สมการเคลอนท tftAtAx 2cos25.02coscos

tdt

dvv 2sin5.0

tdt

dva 2cos0.1 2

15.2 การเคลอนทแบบคลน

การเคลอนทแบบคลนจะมลกษณะคลายกบ SHM แตเปนการถายโอนพลงงานจากแหลงก าเนดคลนแผกระจายออกไป ตวอยางการเคลอนทแบบคลน เชน การกระตกเสนเชอก การออกแรงกระท ากบสปรง การกระเพอมขนลงของน าทแพรกระจายออกไป เปนตน ซงสามารถแบงออกไดเปน 2 ชนด ดงน

Transverse waves

Longitudinal wavesWave direction

Wave direction

Handmotion

Handmotion

Compression Rarefaction

A ripple in water causing waves

ภาพท 15.4 ตวอยางการเคลอนทแบบคลน

ทมา: Lee, 2006. และ Odman, 2011.

1. คลนกล (mechanical wave) เปนคลนทเกดขนในตวกลางยดหยน ไดแก ของแขง ของเหลว และแกส โดยเกดจากการใชแรงกระตนและสามารถถายโอนพลงงานผานโมเลกลของ

310

ตวกลางได เชน คลนในเสนเชอก คลนในสปรง คลนผวน า คลนเสยง เปนตน คลนกลแบงตามลกษณะของการเคลอนทได 2 แบบ ดงน

1.1 คลนตามขวาง (transverse wave) เปนคลนทมทศการเคลอนทตงฉากกบ

การสนของโมเลกลของตวกลาง ไดแก คลนในเสนเชอก คลนผวน า เปนตน จากภาพท 15.4

การกระตกเสนเชอกขนลงในแนวดง (แกน Y) จะเกดคลนในเสนเชอกเคลอนทผานโมเลกลของตวกลางไปในแนวระดบ (แกน X) 1.2 คลนตามยาว (longitudinal wave) เปนคลนทมทศการเคลอนทในแนวเดยวกบการสนของโมเลกลของตวกลาง ไดแก คลนในสปรง คลนเสยง เปนตน จากภาพท 15.4 การอดและยดสปรงในแนวระดบ (แกน X) จะเกดคลนในสปรงมลกษณะเปนชวงของการอดและขยายไปในแนวเดยวกน

2. คลนแมเหลกไฟฟา (electromagnetic wave) เปนคลนทเกดจากการเหนยวน าของสนามไฟฟาและสนามแมเหลกสลบตอเนองกนไป และเคลอนทไปโดยไมจ าเปนตองอาศยตวกลาง ดวยอตราเรวสงมากประมาณ 310

8 m/s ไดแก คลนแสง คลนวทยโทรทศน คลนจลภาค รงส

เหนอมวง รงสใตแดง รงสเอกซ รงสแกมมา เปนตน คลนแมเหลกไฟฟาเปนคลนตามขวางเนองจากสามารถเกดปรากฏการณโพลาไรเซชน (polarization) ได ซงเปนปรากฏการณเฉพาะของคลนตามขวางเทานน สวนคลนตามยาวไมสามารถเกดปรากฏการณโพลาไรเซชนได

Electric Field Vibration

Magnetic Field Vibration

Direction of

Motion

Time

ภาพท 15.5 คลนแมเหลกไฟฟา

ทมา: Blake, 2003. และ Kirksville Public Schools, 2007.

311

15.3 คลนผวน า

อปกรณทใชส าหรบการศกษาเกยวกบคลนผวน าเรยกวาถาดคลน (ripple tank)

มโครงสรางและสวนประกอบส าคญดงแสดงในภาพท 15.6 มอเตอรจะท าหนาทกระตนผวน าใหกระเพอมและเกดคลนผวน าอยางตอเนองเคลอนทออกไป เมอฉายแสงลงบนถาดคลนซงท าดวยแผนโปรงใส แสงจะหกเหผานคลนผวน าไปปรากฏบนฉากรบแสงดานลาง ซงจะเหนเปนแถบมดและแถบสวาง (dark and bright spots) เคลอนทไปในแนวเดยวกบคลนผวน า

ภาพท 15.6 ถาดคลนส าหรบการศกษาเกยวกบคลนผวน า

ทมา: Swarthmore College Physics and Astronomy Department, 2012. และ

Wikipedia, 2013.

http://mobilephone.110mb.com/index.php?l=Image:Simple_ripple_tank.svg

http://mobilephone.110mb.com/index.php?l=Image:Simple_ripple_tank_paddle.svg

312

การพจารณาลกษณะและนยามตาง ๆ เกยวกบคลนผวน าดงแสดงในภาพท 15.7

Amplitude, A

Trough

Wavelength, Crest

Direction of Travel

Movement of Water Molecules

A B

C D

E

F

+y y

Period, T

Frequency,

Tf

1

fT

vSpeed,

ภาพท 15.7 การพจารณาลกษณะและนยามตาง ๆ เกยวกบคลนผวน า

ทมา: Harris, 2013.

สนคลน (crest) คอต าแหนงสงสดของคลน เชน จด A และ B

ทองคลน (trough) คอต าแหนงต าสดของคลน เชน จด C และ D

แอมพลจด (amplitude, A) คอความสงของสนคลนหรอทองคลนวดจากระดบน าปกต

ความยาวคลน (wavelength, ) คอระยะระหวางสนคลนถดกนหรอระยะระหวาง

ทองคลนถดกน เชน AB และ CD

การกระจด (displacement) คอระยะจากระดบน าปกตถงต าแหนงใดๆ บนคลน เชน จด E มการกระจดเทากบ +y (อยเหนอระดบน าปกต) จด F มการกระจดเทากบ y (อยต ากวาระดบน าปกต)

คาบ (period, T) คอเวลาทใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ หรอ 1 ความยาวคลน

ความถ (frequency, f) คอจ านวนรอบของการเคลอนทในหนงหนวยเวลาหรอจ านวนคลนทเคลอนทผานต าแหนงหนงไปในหนงหนวยเวลา เปนสวนกลบของคาบ

T

f1

15.18

อตราเรวคลน (speed, v) คอระยะทางทคลนเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา หรอระยะทาง 1 ความยาวคลน ในเวลา 1 คาบ

fT

v 15.19

313

เฟส (phase) คอการก าหนดต าแหนงของคลนเปนมมในหนวยองศา () หรอเรเดยน (rad) ดงแสดงในภาพท 15.8 เชน จด a, b, c, d, e บนคลนมเฟส 0, 90 หรอ

2

, 180 หรอ

, 270 หรอ 2

3 และ 360 หรอ 2 ตามล าดบ

ทศทางการเคลอนทของคลน

a

b

c

d

e

0o 90o 180o 270o 360o

2

2

3 2

Direction of Travel

Phase,

In Phase, n where n = 1, 2, 3, …

Out of Phase, where n = 0, 1, 2, …

x

2x

)

2

1(n

ภาพท 15.8 เฟสของคลน

ส าหรบการหาเฟสบนคลนสามารถค านวณไดจากสมการ 15.20

x

2

15.20

เมอ คอเฟสบนคลน (rad) และ x คอระยะจากจดทมเฟส 0 ถงต าแหนงเฟสใด ๆ

เฟสตรงกน (in phase) คอต าแหนงหรอจดบนคลนทมการกระจดเทากน เคลอนทในทศเดยวกน และอยหางกน n เมอ n = 1, 2, 3,…

เฟสตรงขามกน (out of phase) คอต าแหนงหรอจดบนคลนทมการกระจดเทากนแตมเครองหมายตรงขาม เคลอนทในทศตรงขามกน และอยหางกน )

2

1(n เมอ n = 0, 1, 2,…

ตวอยางเฟสตรงกนและเฟสตรงขามกนดงแสดงในภาพท 15.9

หนาคลน (wavefront) คอแนวของสนคลนหรอทองคลนทมเฟสตรงกน โดยแนวของหนาคลนจะตองตงฉากกบทศการเคลอนทของคลนเสมอดงแสดงในภาพท 15.10

314

In PhaseWaves add together

180 Out of PhaseWaves cancel each other

Different WavesNew wave created

ภาพท 15.9 เฟสตรงกนและเฟสตรงขามกน

ทมา: Owen, Scratch & Holt, 2013.

ภาพท 15.10 หนาคลน

ทมา: Encyclopædia Britannica, Inc., 2013.

ชนดของคลนแบงตามลกษณะเฉพาะไดดงน

1. คลนดลวงกลม (circular pulse wave) จะมแนวหนาคลนเพยงแนวเดยวมลกษณะเปนวงกลมแผกระจายออกไป

2. คลนดลเสนตรง (linear pulse wave) จะมแนวหนาคลนเพยงแนวเดยวมลกษณะเปนเสนตรงแผกระจายออกไป

3. คลนตอเนอง (continuous wave) จะถกสงออกมาจากแหลงก าเนดคลนอยางตอเนองตลอดเวลา อาจมลกษณะเปนวงกลมหรอเสนตรงกได

315

ตวอยางท 15.4 พจารณาคลนตามภาพท 15.11 ถาจด A มเฟสเทากบ 0 จงหาเฟสทจด B

4.0 m

2.8 m

A

B

วธท า จากสมการ 15.20 )m8.2()m0.4(

22

x

252rad4.1

ตวอยางท 15.5 พจารณาคลนตามภาพท 15.12 จงหาจดทมเฟสตรงกนและเฟสตรงขามกนกบจด A และ B

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

วธท า กรณทมเฟสตรงกน กรณทมเฟสตรงขามกน

1. อยหางกน n เมอ n = 1, 2, 3,… 1. อยหางกน )2

1(n เมอ n = 0, 1, 2,…

2. มการกระจดเทากน 2. มการกระจดเทากนแตมเครองหมายตรงขาม

3. เคลอนทในทศเดยวกน 3. เคลอนทในทศตรงขามกน

316

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

2

3

)2

10(

)2

11(

)2

12(

พจารณาจด A จดทมเฟสตรงกนกบจด A คอ จด E, I, M

จดทมเฟสตรงขามกนกบจด A คอ C, G, K

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

2

3

)2

10(

)2

11(

)2

12(

พจารณาจด B จดทมเฟสตรงกนกบจด B คอ จด F, J, N

จดทมเฟสตรงขามกนกบจด B คอ D, H, L

ตวอยางท 15.6 จงค านวณหาความถและอตราเรวคลนทมความยาวคลน 10 cm และคาบ 0.02 s

วธท า ความถหาไดจากจากสมการ 15.18 T

f1

Hz50s02.0

1f

อตราเรวคลนหาไดจากจากสมการ 15.19 fv

m/s0.5)m10.0)(Hz50( v

317

ตวอยางท 15.7 พจารณาภาพท 15.13 คลนผวน าเคลอนทดวยอตราเรว 0.5 m/s จงค านวณหา

คาบและความถ

v = 0.5 m/s

0.7 m

วธท า จากภาพท 15.13 จะไดวา m7.02

13

m2.0

คาบหาไดจากสมการ 15.19 T

v

T

m2.0m/s5.0

s4.0T

ความถหาไดจากสมการ 15.18 Hz5.2s4.0

11

Tf

15.4 การซอนทบกนของคลน

พจารณาภาพท 15.14ก. คลนดล a และ b มแอมพลจด A1 และ A2 ทศเดยวกนตามภาพท 15.14ก.(ก) เมอคลนดลทงสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนของคลน มแอมพลจดเพมขน A1+A2 ตามภาพท 15.14ก.(ข) หลงจากนนคลนดลทงสองยงคงมลกษณะเหมอนเดม โดยเคลอนทในทศทางเดมออกจากกนไป ตามภาพท 15.14ก.(ค)

318

(ก)

(ข)

(ค)

a b

a, b

b a

A1

A2

A1+A2

A1

A2

ภาพท 15.11ก. การรวมกนของคลน

พจารณาภาพท 15.14ข. คลนดล a และ b มแอมพลจด A1 และ A2 ทศตรงขามกนตามภาพท 15.14ข.(ก) เมอคลนดลทงสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการหกลางกนของคลน มแอมพลจด ลดลง A1+A2 ตามภาพท 15.14ข.(ข) หลงจากน นคลนดลท งสองยงคงมลกษณะเหมอนเดม โดยเคลอนทในทศทางเดมออกจากกนไป ตามภาพท 15.14ข.(ค)

(ก)

(ข)

(ค)

a b

a, b

b a

A1

A1+A2

A1

A2

A2

ภาพท 15.11ข. การหกลางกนของคลน

15.5 สมบตของคลน

สมบตของคลน ไดแก การสะทอน (reflection) การหกเห (refraction) การแทรกสอด (interference) และการเลยวเบน (diffraction)

319

15.5.1 การสะทอนของคลน

การสะทอนของคลนจะเกดขนเมอคลนเคลอนทตกกระทบกบสงกดขวางแลวเกดการสะทอน เชน การสะทอนของคลนในเสนเชอกดงแสดงในภาพท 15.15 และการสะทอนของคลนน าดงแสดงในภาพท 15.16

การสะทอนของคลนในเสนเชอกม 2 แบบ ดงน

1) การสะทอนของคลนในเสนเชอกทมปลายยด (fixed end) ดงแสดงในภาพท 15.15(a) คลนสะทอนจะมเฟสตางกบคลนตกกระทบ 180 เสมอ เนองจากจดสะทอนทมปลายยดจะมแอมพลจดเปนศนยเสมอ

2) การสะทอนของคลนในเสนเชอกทมปลายเสร (free end) ดงแสดงในภาพท 15.15(b) คลนสะทอนจะมเฟสตรงกนกบคลนตกกระทบเสมอ เนองจากจดสะทอนทมปลายอสระไมจ าเปนตองมแอมพลจดเปนศนย

(a) Reflection of a Pulse from a Fixed End (b) Reflection of a Pulse from a Free End

ภาพท 15.12 การสะทอนของคลนในเสนเชอก

ทมา: Kirksville Public Schools, 2007.

320

ส าหรบการสะทอนของคลนผวน าเมอเคลอนทตกกระทบกบสงกดขวางมหลายแบบซงจะขนอยกบลกษณะของสงกดขวาง เชน การสะทอนของคลนผวน าจากผวตรงและการสะทอนจากผวโคง ดงแสดงในภาพท 15.16(ก) และ (ข) ตามล าดบ เปนตน

(ก) (ข)

ภาพท 15.13 การสะทอนของคลนผวน า


พจารณาภาพท 15.17 สามารถสรปเปนกฎการสะทอน (the law of reflection)

ไดดงน

1) คลนตกกระทบ (incident wave) คลนสะทอน (reflected wave) และเสนปกต (normal) อยบนระนาบเดยวกน

2) มมตกกระทบ (angle of incidence) เทากบมมสะทอน (angle of reflection) i = r 15.21

Incident Wave Reflected Wave

Normal

i r

Reflecting Surface

Angle ofIncidence

Angle ofReflection

ภาพท 15.14 กฎการสะทอน

ทมา: France, 2012.

321

ตวอยางท 15.10 คลนดลวงกลมเปนคลนผวน าอตราเรว 2 m/s ถกสงออกมาจากจด O หางจาก

สงกดขวาง XY เปนระยะ 1 m ดงแสดงในภาพท 15.18(ก) เมอเวลาผานไป 2 s ระยะทหนาคลนสะทอนอยไกลจากสงกดขวางมากทสดจะเปนเทาไร

O

(ก) (ข)

1 m

X

Yd

O O

X

YR

efle

cted

wav

e fr

ont

วธท า คลนดลวงกลมทเคลอนทออกจากจด O ไปตกกระทบกบ XY จะสะทอนและเปนไป

ตามกฎการสะทอน คอ มมตกกระทบเทากบมมสะทอน ถาตอแนวทางเดนของ

คลนสะทอนออกไปอกดานของ XY จะตดกนทจด O ดงแสดงในภาพท 15.18(ข) และสามารถพสจนไดวาหางจาก XY เทากบ 1 m เชนเดยวกบจด O ดงนน จงดเหมอนกบวาหนาคลนสะทอนเกดจากแหลงก าเนดคลนดลวงกลมทอย ณ ต าแหนง O เมอเวลาผานไป 2 s หนาคลนสะทอนจะอยไกลจาก O เปนระยะ 22 = 4 m

แตระยะจาก O ถง XY เทากบ 1 m ดงนน ระยะ d = 4 – 1 = 3 m

นนคอ ระยะทหนาคลนสะทอนอยหางจาก XY มากทสดเทากบ 3 m

15.5.2 การหกเหของคลน

การหกเหของคลนจะเกดขนเมอคลนเคลอนทผานตวกลางตางชนดกน ส าหรบการหกเหของคลนผวน าจะเกดขนระหวางบรเวณน าลก (deep water) กบน าตน (shallow water) ดงแสดงในภาพท 15.19 ซงจะมผลท าใหอตราเรวและความยาวคลนเปลยนไป แตมความถเทาเดม

322

v1

v2

1 2

Deep Water Shallow Water

Incident Wave Refracted Wave

Angle ofIncidence

Angle ofRefraction

1

2

Medium 1 Medium 2

Normal

Boun

dary

ภาพท 15.15 การหกเหของคลนผวน า

ทมา: France, 2012.

กฎการหกเห (the law of refraction) สามารถพจารณาไดจากภาพท 15.20 ดงน

ACAC

BCsin 1

1

และ

ACAC

ADsin 2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

/

/

sin

sin

v

v

fv

fv

2

1

2

1

2

1

sin

sin

v

v

15.22

Incident Wave

Refracted Wave

A

B

1

2

1

2

C

D Normal

ภาพท 15.16 กฎการหกเห

ทมา: Bigelow, 2013.

จากการทดลองพบวาอตราเรวคลนในน าตนจะนอยกวาในน าลก และความยาวคลนกจะสนกวาดวย โดยความถยงคงมคาเทาเดมดงทไดกลาวมาแลว

มมวกฤต (critical angle, c) คอมมตกกระทบทท าใหเกดมมหกเหเทากบ 90o

และถามมตกกระทบมากกวามมวกฤตกจะเกดการสะทอนกลบหมด (total reflection) เปนไปตามกฎการสะทอน โดยมมวกฤตจะเกดจากการเคลอนทของคลนจากบรเวณน าตนไปสบรเวณน าลก หรอจากตวกลางทมอตราเรวคลนนอยกวาไปสตวกลางทมอตราเรวคลนมากกวา

323

จากสมการ 15.22 ถา c1 sinsin จะไดวา 190sinsin 2

นนคอ 2

1

2

1csin

v

v

15.23

ตวอยางท 15.12 คลนผวน าเสนตรงตอเนองเคลอนทจากบรเวณน าตนเขาสน าลกดงแสดงในภาพท 15.21(ก) จงเขยนภาพแสดงคลนผวน าทเคลอนทผานน าลกในบรวเวณ A

Wavefront

Deepwater

Shallowwater

Shallowwater

Deepwater

Boundary Boundary

Wavefront

A

(ก) (ข)

วธท า คลนผวน าเสนตรงตอเนองจะมหนาคลนขนานกนตลอด เมอคลนเคลอนทถงบรเวณ A

จะมลกษณะเปนเสนโคงดงแสดงในภาพท 15.21(ข)

ตวอยางท 15.13 คลนผวน าเสนตรงความถ 9 Hz เคลอนทจากบรเวณ A ไป B เกดการหกเห

ดงแสดงในภาพท 15.22 จงค านวณหาความยาวคลนและอตราเรวของคลนผวน า

ในบรเวณ A และ B

4530

A

B

14.0 cm1

2

ทมา: ExploreLearning, 2013.

324

วธท า จากภาพท 15.22 จะไดวา cm0.27

cm0.141

จากสมการ 15.22 จะไดวา 2

cm0.2

30sin

45sin

cm41.12

จากสมการ 15.19 จะไดวา 11 fv

cm/s0.18)cm0.2)(Hz9(1 v

และ 22 fv

cm/s7.12)m41.1)(Hz9(2 v

15.5.3 การแทรกสอดของคลน

การแทรกสอดของคลนเกดจากการเคลอนทของคลนในตวกลางเดยวกนซอนทบกน แลวเกดการรวมกนทงแบบเสรมและหกลางดงแสดงในภาพท 15.23 ถาแหลงก าเนดคลนตอเนองมความถ ความยาวคลน อตราเรวคลน และแอมพลจดเทากน เรยกวาแหลงก าเนดอาพนธ (coherent sources) หรอเปนแหลงก าเนดคลนชนดเดยวกนทมเฟสตรงกนหรอเฟสตรงขามกน

ภาพท 15.17 การแทรกสอดของคลนผวน า

ทมา: Darling, 2013.

325

การพจารณาต าแหนงตาง ๆ ของการแทรกสอดดงแสดงในภาพท 15.24

A0

S1 S2

A1A1A2A2

A3A3

N1N1 N2N2

N3N3

Crest

Trough

ภาพท 15.18 ต าแหนงตาง ๆ ของการแทรกสอดของคลนผวน าวงกลม

1) การแทรกสอดแบบเสรม (constructive interference) จะมแอมพลจดมากและเรยกต าแหนงนวาปฏบพ (antinode, A) ไดแก

(1) ต าแหนงทสนคลนรวมกบสนคลน (น านนขนมาก) สญลกษณ

(2) ต าแหนงททองคลนรวมกบทองคลน (น าเวาลงมาก) สญลกษณ

2) การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) จะมแอมพลจดนอยเกอบเปนศนย หรอเปนศนย เรยกต าแหนงนวาบพ (node, N) ซงเปนต าแหนงทสนคลนรวมกบทองคลน สญลกษณ

3) เสนปฏบพ (antinode line, An) คอเสนทลากผานต าแหนงทมการแทรกสอดแบบเสรมกน แทนดวยเสนทบ

4) เสนบพ (node line, Nn) คอเสนทลากผานต าแหนงทมการแทรกสอดแบบหก ลางกน แทนดวยเสนประ

การพจารณาต าแหนงตาง ๆ บนเสนปฏบพและบพแบงออกเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 แหลงก าเนดคลน S1 และ S2 เปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตรงกน จะไดเสนปฏบพและบพดงแสดงในภาพท 15.25 โดยจะมเสนปฏบพ A0 อยตรงกลาง

326

A0

S1 S2

A1A1A2A2

A3A3

N1N1 N2N2

N3N3

Crest

Trough

P0

P1P1

P2P2

P3P3

Q1Q1

Q2Q2

Q3Q2

ภาพท 15.19 การแทรกสอดของคลนผวน าวงกลมทมเฟสตรงกน

พจารณา part difference บนเสนปฏบพ

จด P0 ตรงกลาง S1P0 S2P0 = 4 4 = 0

S2P0 S1P0 = 4 4 = 0

จด P1 ดานขวา S1P1 S2P1 = 4 3 = 1

ดานซาย S2P1 S1P1 = 4 3 = 1

จด P2 ดานขวา S1P2 S2P2 = 4 2 = 2

ดานซาย S2P2 S1P2 = 4 2 = 2

ndifferencepart n = 0, 1, 2,… 15.24

พจารณา part difference บนเสนบพ

จด Q1 ดานขวา S1Q1 S2Q1 = 4 2

13 = )

2

11(

ดานซาย S2Q1 S1Q1 = 4 2

13 = )

2

11(


12 = )

2

12(


12 = )

2

12(


11 = )

2

13(


11 = )

2

13(

)2

1n(differencepart , n = 1, 2, 3,… 15.25

กรณท 2 แหลงก าเนดคลน S1 และ S2 เปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตรงขามกน จะไดเสนปฏบพและบพดงแสดงในภาพท 15.26 โดยจะมเสนบพ N0 อยตรงกลาง

327

P1

N0 N1N1N2N2

N3N3

A1A1 A2A2

A3A3

Crest

Trough

Q0

Q1Q1

Q2Q2

Q3Q3

P1

P2P2

P3P2

S1 S2

ภาพท 15.20 การแทรกสอดของคลนผวน าวงกลมทมเฟสตรงขามกน

ในท านองเดยวกนกบกรณท 1 จะไดวา

บนเสนบพ ndifferencepart , n = 0, 1, 2,… 15.26

บนเสนปฏบพ )2

1n(differencepart , n = 1, 2, 3,… 15.27

การหาคา part difference นอกจากจะพจารณาจากคา แลว ยงสามารถพจารณาไดจากคาตางๆ ทเกยวของ ดงแสดงในภาพท 15.27 ก าหนดใหจด O เปนจดกงกลางระหวาง S1 และ S2 ซงอยหางกน d จด P เปนต าแหนงใด ๆ ทอยหางจากแนวของ S1S2 เปนระยะ L อยหางจากแนวกลาง x และเบนไปจากแนวกลางเปนมม

ลากเสน S2BS1P ทจด B ถา 0 จะได S1P BP และ sin tan L

x

แต part difference = S1P S2P = BP S2P = S1B

พจารณา S1S2B จะได sind

BS1 หรอ S1B =L

dxd sin

นนคอ L

dxd sindifferencepart 15.28

n,190sin d , n = 1, 2, 3,… 15.29

328

S1 S2

d

PA

O

B

L

x

ภาพท 15.21 การหาคา part difference

ตวอยางท 15.15 แหลงก าเนดอาพนธ S1 และ S2 อยหางกน 8 cm มความยาวคลน 4 cm จะเกด

จดปฏบพและจดบพกจดระหวาง S1 และ S2 ถามเฟสตรงกนและเฟส

ตรงขามกน

วธท า เฟสตรงกน จดปฏบพ ndifferencepart , n = 0, 1, 2,…

cm) n(4cm 8

2n , มจดปฏบพ 5 จด

จดบพ )2

1n(differencepart , n = 1, 2, 3,…

cm) (4)2

1n(cm 8

2.5n , มจดบพ 4 จด

เฟสตรงขามกน จดปฏบพ )2


cm) (4)2

1n(cm 8

2.5n , มจดปฏบพ 4 จด

จดบพ ndifferencepart , n = 0, 1, 2,…

cm) n(4cm 8

2n , มจดบพ 5 จด

329

ตวอยางท 15.16 แหลงก าเนดอาพนธ S1 และ S2 มเฟสตรงกน จด P อยบนแนวเสนบพสดทาย N4 ถา part difference เทากบ 7 cm จงหาระยะหางระหวาง S1 กบ S2

วธท า เฟสตรงกน จดบพ )2


)2

14(cm 7

cm 2

ระยะหางระหวาง S1 กบ S2 หาไดจากสมการ 15.29

d = n = 4

d = 4(2 cm) = 8 cm

ตวอยางท 15.17 แหลงก าเนดอาพนธ S1 และ S2 มเฟสตรงกน หางกน 10 cm มความยาวคลน 4 cm จงค านวณหาความกวางของแนวเสนปฏบพ A0 ซงอยหางจากแนว S1 และ S2 เทากบ 1 m

วธท า แนวเสนปฏบพ A0 จะอยระหวางแนวเสนบพ N1 กบ N1

จากสมการ 15.25 และ 15.28 ส าหรบแนวเสนบพ N1 จะไดวา

)2

1n(

L

dx

)cm 4)(2

11(

)cm 100(

)cm 10(

x

cm 20x

ความกวางของแนวเสนปฏบพ A0 คอ cm 402 x

15.5.4 การเลยวเบนของคลน

เมอคลนเคลอนทตกกระทบสงกดขวางจะเกดการสะทอนดงทไดกลาวมาแลวนน แตถาสงกดขวางกนการเคลอนทของคลนเพยงบางสวน จะพบวามคลนอกสวนหนงทสามารถแผออกจากขอบของสงกดขวางไปทางดานหลงของสงกดขวางนนไดดงแสดงในภาพท 15.34 การทมคลนปรากฏอยดานหลงของสงกดขวางในบรเวณนอกทศทางการเคลอนทเดมของคลนนแสดงวา คลนเกดการเลยวเบน ซงสามารถอธบายไดโดยใชหลกการของฮอยเกนส (Huygens' principle) กลาววา "แตละจดบนหนาคลนสามารถประพฤตตวเปนแหลงก าเนดคลนใหมและใหก าเนดคลนเคลอนทออกไปทกทศทางดวยอตราเรวเทากบอตราเรวของคลนเดมนน" ดงแสดงในภาพท 15.28

330

ภาพท 15.22 การเลยวเบนของคลนผวน า

ทมา: Darling, 2013.

Wave front 1 Wave front 1Wave front 2 Wave front 2

WaveletSource point

WaveletSource point

A plane wave A spherical wave

ภาพท 15.23 หลกการของฮอยเกนส

ทมา: Micklavzina, 2011.

การเลยวเบนของคลนผวน าเกดขนไดหลายลกษณะ ดงตอไปน

1) การเลยวเบนของคลนผวน าเมอเคลอนทผานขอบสงกดขวางพบวามคลนผวน าสวนหนงแผจากขอบของสงกดขวางไปทางดานหลงดงแสดงในภาพท 15.30(ก) 2) การเลยวเบนของคลนผวน าเมอเคลอนทผานชองแคบทมความกวางเทากบหรอนอยกวาความยาวคลนพบวาชองแคบนนท าหนาทเปนแหลงก าเนดคลนใหมใหหนาคลนวงกลมออกมารอบๆ ชองแคบดงแสดงในภาพท 15.30(ข)

331

3) การเลยวเบนของคลนผวน าเมอเคลอนทผานชองแคบทมความกวางมากกวาความยาวคลนจะเกดการเลยวเบนและเกดการแทรกสอด โดยแนวกลางจะไมมการแทรกสอดหรอไมม n = 0 และทงสองขางจะเกดแนวเสนบพดงแสดงในภาพท 15.30(ค)

(ก) (ข) (ค)

ภาพท 15.24 ลกษณะการเลยวเบนของคลนผวน า ทมา: SparkNotes LLC, 2013.

ถาคลนผวน าเคลอนทผานชองแคบคทมความกวางของชองแคบเทากบหรอนอยกวาความยาวคลนดงแสดงในภาพท 15.31 คลนทเลยวเบนผานชองแคบคจะเปนคลนวงกลมทมลกษณะเหมอนกนทกประการ และจะท าใหเกดการแทรกสอดเชนเดยวกนกบการแทรกสอดของแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ดงทไดกลาวมาแลว และจะไดความสมพนธเชนเดยวกบสมการ 15.24, 15.25, 15.26 และ 15.27

ภาพท 15.25 การแทรกสอดทเกดจากการเลยวเบนของคลนน า

ทมา: Crowell, 2011.

332

พจารณาภาพท 15.32(ก) การเลยวเบนและการแทรกสอดของคลนผวน าเมอเคลอนทผานชองแคบทมความกวางมากกวาความยาวคลน โดยแนวกลางจะไมมการแทรกสอดและทงสองขางจะเกดแนวเสนบพ N1, N2, N3,…

พจารณาภาพท 15.32(ข) ก าหนดใหความกวางของชองแคบเทากบ d และ P คอจดใด ๆ ทอยบนแนวเสนบพ N โดยเบนไปจากแนวกลางเปนมม หางจากแนวกลาง x และระยะจากแนวชองแคบถงแนวของการแทรกสอด ณ จด P เทากบ L

จะไดวา nsinL

dxd , n = 1, 2, 3,… 15.30

N1 N1 N2 N2 N3 N3 (ก)

P

L

x

S1 S2

d

(ข)

ภาพท 15.26 การเลยวเบนและการแทรกสอดของคลนผวน า

ทมา: Andre Gunther Photography, 2013.

333

ตวอยางท 15.18 คลนผวน าตอเนองแบบเสนตรงมความยาวคลน 2 cm เคลอนทผานชองแคบค ในแนวตงฉากดงแสดงในภาพท 15.33 ถาชองแคบคหางกน 15 cm จด P

เปนบพหรอปฏบพ

m62

1 mP

d

วธท า ถาจด P เปนปฏบพ nsind

m)n(0.02

)m62()m1(

1)m15.0(

22

5.1n

เนองจาก n เทากบ 1.5 ไมเปนเลขจ านวนเตม แสดงวาจด P ไมใชปฏบพ ถาจด P เปนบพ )

2

1n(sind

m)(0.02)2

1n(

)m62()m1(

1)m15.0(

22

2n

เนองจาก n เทากบ 2 เปนเลขจ านวนเตม แสดงวาจด P เปนบพ

ตวอยางท 15.19 คลนผวน าตอเนองแบบเสนตรงเคลอนทผานชองแคบเดยวกวาง 0.18 m และเกด

การแทรกสอดไดแนวเสนบพทงหมด 10 แนว ดงแสดงในภาพท 15.34 จงหาความยาวคลน

334

X Y

N1 N1

N2N2

N3 N3

N4

N4

N5

N5

d = 0.18 m

วธท า จากภาพท 15.34 ความกวางของชองแคบจะมคาเทากบ 9 เทาของ /2 จะไดวา

2

9d

2

9m18.0

m04.0

ตวอยางท 15.20 คลนผวน าเคลอนทผานชองแคบกวาง 0.5 m แลวเกดแทรกสอด ทระยะหางจาก

ชองแคบออกไป 20 m มแนวปฏบพกลางกวาง 2.0 m จงค านวณความยาวคลน

20 m

N1

N1

ความกวางของแนวปฏบพกลาง

335

วธท า จากภาพท 15.35 ระยะระหวางแนวเสนบพ N1 คอความกวางของแนวปฏบพกลาง 2.0 m

ดงนน ระยะหางจากแนวปฏบพกลางถง N1 คอ x = 1.0 m

จากสมการ 15.30 nL

dx , n = 1, 2, 3,…

m)20(

)m0.1)(m5.0(

m025.0

336


1. คลนผวน ามความยาวคลน 2 cm ขณะเวลาหนงจดทหางจากจดทมเฟสเทากบ 0o เปนระยะ 11.2 cm จะมเฟสตางไปเทาไร

2. คลนในเสนเชอก ณ เวลาหนงเปนไปตามภาพ(ก) หลงจากนน 0.5 s เปนไปตามภาพ(ข) จงหาความถและอตราเรวคลน

3. คลนทะเลลกหนงมแอมพลจด 4 m มระยะหางระหวางสนคลน 150 m ชายคนหนงจบเวลาทสนคลนนจมหายลงไปในน าทะเลแลวโผลขนมาอกครงหนงใชเวลา 5 s ในขณะเกดคลน คลนจะเคลอนทผานโมเลกลของน า ท าใหโมเลกลของน าเคลอนทเปนวงกลมมรศมเทากบแอมพลจดของคลน จงหาอตราเรวของโมเลกลของน าจะเปนกเทาของอตราเรวของคลน

4. เมอท าใหเกดคลนดลหนาตรงขนในชดถาดคลนโดยใชคานก าเนดคลนตรงกระทมน า 1 ครง พบวาคลนดลเคลอนทไปถงขอบถาดทอยหางออกไป 40 cm ในเวลา 10 s และมคลนสะทอนจากขอบถาดนอยมาก ถาท าใหคานก าเนดคลนกระทมน าดวยความถ 10 Hz อยางสม าเสมอ จะพบวาเวลาทยอดคลน 2 ยอด ทอยใกลกนทสดจะเคลอนทมาถงขอบถาดคลนหางกนเทาไร

5. คลนหนาตรงเคลอนทจากบรเวณ A ไปสบรเวณ B ในถาดคลนดงแสดงในภาพ ท าใหเกดการหกเหของคลนซงมสเกลเซนตเมตรวางเทยบไว ถาคลนนเกดจากแหลงก าเนดคลนทมความถ 9 Hz อตราเรวของคลนผวน าบรเวณ B จะเปนเทาไร

337

6. คลนตอเนองในลวดสปรงมความยาวคลน 8 cm เคลอนทไปยงปลายขางหนง ซงยดแนนไว ถาลวดสปรงยาว 20 cm จะเกดคลนนงทมบพและปฏบพกต าแหนง

7. พจารณาภาพ โดยม S1 และ S2 เปนแหลงก าเนดคลนผวน าความยาวคลน 5 cm

และเฟสตางกน 1800 จะเกดปฏบพระหวางแนวเสน S1 S2 กต าแหนง

8. พจารณาภาพ โดยม S1 และ S

2 เปนแหลงก าเนดคลนอาพนธทมความยาวคลน

และ P เปนต าแหนงทเกดการแทรกสอดแบบเสรมกนท 2 จากจดกงกลาง อยากทราบวามม จะมคาเทาไร

338

9. พจารณาภาพ คลนผวน าหนาตรงเคลอนทเขาหาชองแคบคท ามมตกกระทบ 30o จด

P ทอยหางออกไปมแนวบพ N6 ถาระยะระหวางชองแคบคมคาเทากบ 1311 cm ความยาวคลนของคลนผวน าจะเปนเทาไร

10. แหลงก าเนดคลนน าอาพนธใหหนาคลนวงกลมสองแหลงอยหางกน 10 cm มความยาวคลน 2 cm ทต าแหนงหนงหางจากแหลงก าเนดคลนทงสองเปนระยะ 10 cm และ 19 cm ตามล าดบ จะอยบนแนวบพหรอปฏบพทเทาใดนบจากแนวกลาง

11. คลนน าแบบตอเนองทมหนาคลนตรงเคลอนทผานรอยตอระหวางบรเวณน าลกและน าตนแลวท าใหเกดคลนหกเหหนาคลนตรง ถาแนวทางเดนของคลนตกกระทบท ามมกบรอยตอระหวางตวกลางเทากบ 30

o จงหามมหกเห ถาความยาวคลนในน าตนลดลงเปน 3/1 ของความยาวคลนในน าลก

12. ถาคลนน าเคลอนทผานจากเขตน าลกไปยงน าตนแลวท าใหความยาวคลนลดลงครงหนง จงหาอตราสวนระหวางอตราเรวของคลนในน าลกกบอตราเรวของคลนในน าตน

339


Andre Gunther Photography. 2013. What is Diffraction?. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.aguntherphotography.com/tutorial/diffraction-limits-of-resolution.html.

Bigelow, K. 2013. Refraction, Part 1. Retrieved April 3, 2013, from http://www.play-

hookey.com/optics/reflection_refraction/refract1.html.

Blake, W. 2003. Lecture V: The Light Modern Astrophysics. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.pas.rochester.edu/~afrank/A105/LectureV/LectureV.html.

Crowell, B. 2011. Chapter 32. Wave Opticss. Retrieved April 3, 2013, from

http://www. lightandmatter.com/html_books/lm/ch32/ch32.html.

Crowell, B. 2011. Chapter 8. Waves. Retrieved April 3, 2013, from http://www.lightandmatter.

com/html_books/7cp/ch08/ch08.html.

Darling, D. 2013. Diffraction. Retrieved April 3, 2013, http://www.daviddarling.info/

encyclopedia/D/diffraction.html.

Darling, D. 2013. Interference. Retrieved April 3, 2013, from http://www.daviddarling.info/

encyclopedia/I/interference.html.

Encyclopædia Britannica, Inc. 2013. Diffraction: Relation to Huygens’ Principle. Retrieved

April 3, 2013, from http://www.britannica.com/EBchecked/media/3156/Huygens-

principle-applied-to-both-plane-and-spherical-waves.

ExploreLearning. 2013. Refraction. Retrieved April 3, 2013, from http://www.explorelearning.

com/index.cfm?method=cResource.dspExpGuide&ResourceID=552#.

France, C. 2012. Waves. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.gcsescience.com/pwav41.htm.

France, C. 2012. Waves. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.gcsescience.com/pwav42.htm.

Harris, W. 2013. Transverse Wave. Retrieved April 3, 2013, from http://electronics. howstuffworks.com/noise-canceling-headphone.htm.

IITJEE, AIEEE & CBSE Board. 2007. Some Useful Relationships for SHM. Retrieved April 3,

2013, from http://iitjee-aieee-cbse.blogspot.com/2007_12_01_archive.html.

http://www.play-/

http://www.lightandmatter/

http://www.daviddarling.info/


http://www.britannica.com/EBchecked/media/3156/Huygens-

http://www.explorelearning/

http://electronics/

340

Kirksville Public Schools. 2007. Physical Science II Wave. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.kirksville.k12.mo.us/khs/Teacher_Web/alternative/waves.html.

Lee, N. 2006. Talking About Sound and Music. Retrieved April 3, 2013, from http://cnx.org/

content/m13512/latest/.

Micklavzina, S. 2011. Huygen's Principle. Retrieved April 3, 2013, from http://pages.uoregon.

edu/stanm/PHYS152SUMMER2011/LECTURES3and4-WAVES.html.

Odman, A. 2011. Types of Wave. Retrieved April 3, 2013, from http://spot.pcc.edu/~aodman/

physics%20122/light-electro-pictures/light-electro-lecture.htm.

Owen, D., Scratch, R. & Holt, A. 2013. How Sound Waves Interact with Each Other.

Retrieved April 3, 2013, from http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-

interaction. html.

SparkNotes LLC. 2013. Diffraction. Retrieved April 3, 2013, from http://www.sparknotes.com/

physics/optics/phenom/section2.rhtml.

Swarthmore College Physics and Astronomy Department. 2012. Ripple Tank. Retrieved April 3,

2013, from http://www.swarthmore.edu/NatSci/aneat1/demos/Ripple%20tank.html.

The Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South

Florida. 2005. Beach Profiles. Retrieved April 3, 2013, from http://fcit.usf.edu/florida/

teacher/science/mod2/beach.profiles.html.

Wikipedia. 2013. Ripple Tank. Retrieved April 3, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Ripple_tank.

http://cnx.org/

http://pages.uoregon/

http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-interaction

http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-interaction

http://www.sparknotes.com/


http://fcit.usf.edu/florida/


341


บทท 16 เสยง


16.1 อตราเรวเสยง

16.2 ความเขมเสยง

16.3 ระดบความเขมเสยง

16.4 หและกลไกการไดยน

16.5 บตส

16.6 ปรากฏการณดอปเปลอร

16.7 คลนกระแทก

16.8 การประยกตใชความรเรองเสยง

16.9 มลพษทางเสยง




1. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบคลนเสยง

2. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบอตราเรวเสยง

3. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบปรากฏการณทางเสยงทส าคญ

4. เพอใหเกดความรความเขาใจเกยวกบการการประยกตเรอเสยง




3. การอภปรายเนอหาทไดรบมอบหมายและท าแบบฝกหดรววมกนในชนเรยน

4. การรายงานและน าเสนอผลการศกษาคนควาจากแหลวงความรตามทไดรบมอบหมาย

5. การทดสอบและการท ากจกรรมกลวมรววมกนทงภายในและนอกหองเรยน

342



2. หนงสอ ต าราตวางๆ ทงในและตวางประเทศ






4. การทดสอบและการท ากจกรรมกลวมรววมกน 40%

343

บทท 16

เสยง

เสยงเกดจากการทแหลวงก าเนดถกรบกวน แลวกระจายพลงงานออกไปทกทศทางแบบคลนผวานตวกลางยดหยวนซงในทนคออากาศนนเอง เมอคลนนกระทบหผฟงจะรบความรสกเปนเสยงไดเฉพาะคลนในชววงความถระหววาง 20 – 20,000 Hz เทวานน ถาความถสงหรอต ากววานหคนจะรบฟงไมวได เรองราวทเกยวกบเสยงจะเรมตงแตวแหลวงก าเนดเสยงจนกระทงการไดยนเมอเขาสว หผฟง การศกษาสมบตทส าคญของเสยงคอ การสะทอน การหกเห การเลยวเบนและการแทรกสอดตลอดจนการออกแบบเครองมอทเกยวกบเสยงเรยกววาอคสตกส (acoustic) . คลนเสยงเปนคลนความดน ความดนนหมายถงความดนทมความากกววาหรอนอยกววาความดนปกต(ความดนเกจ)เมอคลนเสยงแผวไปในอากาศจะท าใหความดนเปลยนแปลงแลวโมเลกลของอากาศรวมกนและมผลตวอโมเลกลขางเคยง ท าใหโมเลกลของอากาศสนไป-มาพรอมกบถวายโอนพลงงานใหกบโมเลกลอนๆอยวางตวอเนองแลวกลบคนสวต าแหนวงเดม

16.1 อตราเรวเสยง (Speed of Sound) อตราเรวของคลนกลตามขวางขนอยวกบทงสมบตยดหยวนและสมบตทางความเฉอย(Inertia) ของตวกลางซงใชไดกบคลนเสยง อตราเรวของเสยงในตวกลางแตวละชนดจะแตกตวางกน โดยอตราเรวของเสยงในตวกลางทมสถานะของแขงจะมอตราเรวทสด รองลงมาคอของเหลวและกาซ ตามล าดบ อตราเรวของเสยงในของแขงมความสมพนธกบความอดลสของยง(Y ) และความหนาแนวน() ของแทวงวตถ

Y

v

16.1

มอดลสของยง(Y ) คอความยดหยวนตามยาวของวสดหาไดจากอตราสววนของความเคนตวอความเครยด

F

AY

L

L

16.2

344

16.1.1 อตราเรวเสยงในของไหล

เมอคลนตามยาวเคลอนทในของไหล จะท าใหเกดการอดและขยายตวของของไหลท าใหความดนและปรมาตรเปลยนแปลง ปรมาณทแสดงสมบตยดหยวนของตวกลางอดไดคอมอดลสเชงปรมาตร( B ) ปรมาณทบอกสมบตอเนอรเชยของตวกลางคอ ความหนาแนวนเชงปรมาตร( )

ของตวกลาง

B

v (16.3)

บลคมอดลส(Bulk modulus) คอ มอดลสเชงปรมาตรหาไดจากอตราสววนของความเคนเชงปรมาตร ( P ) ตวอความเครยดเฉอน ( /V V )

VV

PB

/

(16.4)

16.1.2 อตราเรวเสยงในแกส

ส าหรบในแกสอตราเรวของเสยงจะเปลยนไป เมออณหภมเปลยนแปลง

โดยแปรผนตรงกบรากทสองของอณหภมในหนววยองศาสมบรณ Tv นนคอ

P

M

RTv (16.5)

เมอ T คอ อณหภมในหนววยเคลวน

R คอ ควานจของกาซ = 8.314 จลตวอโมล-เคลวน

M คอ มวลโมเลกลของกาซ

คอ ควาคงตวทเปนอตราสววนของความจความรอนทความดนคงตวตวอความจ

ความรอนท ปรมาตรคงตวของแกส = 1.40

หรอโดยประมาณในอณหภมองศาเซลเซยส เทวากบ tVt 6.0331

ขอส าคญ ความถของคลนเสยงจะเปนปรมาณคงตวไมวเปลยนไปตามตวกลางทคลนเสยงแผวผวานไป

16.1.3 อตราเรวของเสยงในอากาศ

จากกฎของแกส ความดน P สมพนธกบปรมาตร V คลนเสยงในกาซนน การอดตวจะเรวมากพอทจะถอววาการเปลยนแปลงนนเปนแบบ adiabatic change ดงนน

PV ควาคงท หาความสมพนธระหววาง V กบ V โดยการหาอนพนธเทยบกบ P จะไดววา

0

1

P

VPVV

(16.6)

P

V

P

V

(16.7)

345

แตว /V P กคอการเปลยนควาของ V เทยบกบ P นนเอง ซงกคอ /V P

ดงนน P

V

P

V

หรอ P

VV

P

/

(16.8)

แตว B P

p

v

( / )PV m M RT nRT

ดงนน V

nRTv

(16.9)

แตว /M V

ดงนน RTm

nv (16.10)

n คอ จ านวนโมลของกาซ = m/M เมอ M คอ มวลโมเลกล

ดงนน RTM

v

(16.11)

สามารถเปลยน T = 273 + เมอ เปนองศาเซลเซยส และ << 273 แลว

273 273 1273

T

ในกรณท << 273 จะไดววา

2732732

1273

1273

T (16.12)

เมอใชสตรการกระจายทวนาม ..........2

111

2/1 xx

546273

tR

Mv (16.13)

แตวปรมาณในรากทสองกคออตราเรวของเสยงท 0 C ดงนน

546

00

vvv (16.14)

ในกรณของอากาศ 0v = 331 m s−1

ดงนน

o331 0.6 Cv t (16.15)

346

16.1.4 อตราเรวของคลนตามยาวในของไหล

การหาอตราเรวของคลนตามยาวหาไดจากสมบตเชงกลของตวกลาง พจารณา

ของไหล(ของเหลว แกส) ทมความหนาแนวน อยวในทวอทมพนทหนาตด A ภายใตความดน P ดงแสดงในภาพท 16. 1 ทเวลา 0t ของไหลหยดนง เมอท าใหลกสบทปลายซายของทวอเคลอนไปทางขวาดวยความเรว u อนภาคของของไหลทอยวทางซายของบรเวณทถกอดจะเคลอนไปทางขวาดวยความเรว u และอนภาคของของไหลทอยวทางขวายงคงหยดนง ทเวลา t ลกสบเคลอนทไปไดระยะทาง ut แตวสววนทอยวน าหนาบรเวณจด B จะเคลอนไปทางขวาดวยความเรวของคลน v ไดระยะทาง vt

ภาพท 16.1 คลนตามยาวในของไหล

ทมา: http://slideplayer.in.th/slide/2066720/

ใหความดนในการอดลกสบเปน P P เมอ P เปนความดนทเพมขนในการอดของไหล ดงนนแรงภายนอกทท าใหลกสบเคลอนไปทางขวาเปน ( )P P A แรงรวมทกระท าตวอบรเวณทถกอดของของไหลเปน

( ) P P A PA A P (16.16)

ปรมาณของไหลทเคลอนทในเวลา t คอของไหลทอยวภายในทวอยาว vt พนทหนาตด A ดงนนของไหลในบรเวณนมมวลเปน vtA และมโมเมนตมเปน vtAu

จากทฤษฎการดล-โมเมนตม

( )A P t vtAu (16.17)

จากนยามบลคมอดลส ( B )

VV

PB

/

(16.18)

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://slideplayer.in.th/slide/2066720/&ei=VQ8iVfqmAoyQuQS9n4CYDQ&bvm=bv.89947451,d.c2E&psig=AFQjCNHoyi0BXiyTJzUnjSRq9RZg0N3c9w&ust=1428381890699479

347

เมอ V เปนปรมาตรทเปลยนแปลงไปเนองจากการอด Aut และ V เปน

ปรมาตรเดมของของไหลสววนทถกอด Avt

AvtAut

vB

/

2 (16.19)

B

v (16.20)

นนคออตราเรวของคลนตามยาวในของไหลขนอยวกบบลคมอดลส ( B ) และ

ความหนาแนวนของตวกลาง

16.1.5 อตราเรวของคลนตามยาวในของแขง

เมอคลนตามยาวเคลอนทในของแขง แรงกระท าตวอชนสววนของแขงจะท าใหชนสววนของแขงเกดการเปลยนแปลงปรมาตร

จากกฎของนวตน F ma (16.21)

2

2

yF Ax

x t

(16.22)

จากนยามของ Young’s modulus /

/

F AY

L L

(16.23)

/ /L L y x (16.24)

ดงนน y

F YAx

(16.25)

จะได

2

2

y yYA Ax

x x t

(16.26)

2

2

y yY x

x x t

(16.27)

2 2

2 2

y y

x t Y x t

(16.28)

Y

v

16.2 ความเขมเสยง

ความเขมเสยง (Intensity) หมายถงอตราพลงงานของคลนเสยงตวอหนงหนววยเวลา เคลอนทไปตกกระทบในแนวตงฉากกบพนททใชรบเสยงขนาดหนงหนววย ในระบบ SI อตราพลงงานของคลนเสยงตวอหนงหนววยเวลามหนววยเปน J.s

-1 หรอ Watt (W)

348

ภาพท 16.2 แสดงความเขมของเสยงทระยะหวางจากแหลวงก าเนดเสยง r และ 2r

ทมา: http://thegeniusphysics.blogspot.com/p/8.html

จากภาพท 16.2 P คอ แหลวงก าเนดเสยงใหคลนเสยงทรงกลมออกมาดวยก าลง P คงท ถาไมวคดการสญเสยพลงงาน สามารถเขยนสมการแสดงความเขมของเสยงทระยะหวาง r ใดๆ จากแหลวงก าเนดเสยงไดววา

24 r

PI

(16.29)

ความเขมเสยงมหนววยเปน W.m-2 ความเขมเสยงนอยสดทหของมนษยรบไดคอ 10

-12 W.m

-2

ความเขมเสยงขนาดสงสดทหของมนษยทนฟงไดคอ 1 W.m-2

จากสมการ (9-7) ความเขมเสยงแปรผกผนกบระยะทางก าลงสอง ถา 1I และ 2I

เปนความเขมเสยงทระยะ r และ r2 ตามล าดบ จะเขยนไดววา

2

2

2

1

1

2

r

r

I

I (16.30)

ตวอยาง 16.1 ถาแหลวงก าเนดเสยงมก าลง 1 W จงหา

ก) ความเขมเสยงทระยะหวางจากแหลวงก าเนดเสยง 100 m

ข) ระยะทางทเรมจะไมวไดยนเสยงจากแหลวงก าเนด

วธท า

ก) จากสมการความเขมเสยง 24 r

PI

26

2.105

)100(4

1 mWxm

W

349

ข) ความเขมเสยงนอยสดทหมนษยรบไดทระยะทาง r คอ 10-12

W.m-2 ดงนน

10-12

W.m-2 =

2

1

4

W

r

r = 2.82 x 105 m = 282 km

จะสงเกตเหนววาตองอยวหวางมากเพราะไมวคดการสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอม

วธท 2 จากสมการ

2

2

2

1

1

2

r

r

I

I

2

11

2

I

Irr

212

26

.10

.108100

mW

mWxm

= 2.82x105 m

16.3 ระดบความเขมเสยง ระดบความเขมเสยง (Intensity level; ) คอปรมาณสบเทวาของลอการทม (logarithmic)

ของอตราสววนระหววางความเขมเสยง I ใดๆ ตวอความเขมเสยงนอยสดทหมนษยรบได I0 นนคอ

0

β 10log I

I (16.31)

ระดบความเขมเสยงมหนววยเปนเดซเบล (decibel ;db) เปนระดบความเขมเสยงนอยสดทหมนษยรบได ระดบความเขมเสยงสงสดทหมนษยทนรบฟงไดคอ 120 db

ตารางท 16.1 แสดงตวอยวางความเขมเสยงระดบความเขมเสยงของแหลวงตวาง ๆ

แหลวงก าเนดหรอผลของเสยง ความเขมเสยง (W.m-2) ระดบความเขมเสยง (db)

เรมเกดอนตรายตวอห 1 120

เครองยงหมดย า (Riveter) 3.2 95

รถไฟวง 10 90

ถนนทมการจราจรหนาแนวน 10 70

การสนทนาทวไป 3.2 65

350

ตารางท 16.1 แสดงตวอยวางความเขมเสยงระดบความเขมเสยงของแหลวงตวางๆ (ตวอ)

แหลวงก าเนดหรอผลของเสยง ความเขมเสยง (W.m-2) ระดบความเขมเสยง (db)

เครองยนตเดนเบา 10 50

เสยงวทยเบาๆ 10 40

เสยงกระซบ 10 20

ใบไมรววง 10 10

เสยงเบาสด 10 0

ทมา; University Physics, Francis W. Sears, et al. 1982.

หมายเหต 1 เดซเบลมควาเทวากบ 1/10 เบล ค าววาเบลตงเปนเกยรตแกวนกวทยาศาสตรชาวองกฤษ

ชอ เกรแฮม เบล (Alexander Graham Bell)

ตวอยาง 16.2 เครองบนโดยสารไอพวนล าหนงก าลงบนขนจากสนามบน ท าใหเกดเสยง ณ ต าแหนวงทหวางจากเครองบนเปนระยะทาง 200 m มระดบความเขมเสยง 120 db

อยากทราบววาจะตองปลกบานหวางจากสนามบนไกลเทวาไรจงจะไดยนเสยง

เครองบนดงไมวเกน 80 db

วธท า จากสมการระดบความเขมเสยง

0

β 10log I

I

ณ ต าแหนวงหวางจากเครองบน 200 m

120 db = 10log0

2)200(4/

I

mP (1)

ณ ต าแหนวงหวางจากสนามบนระยะทาง r เมตร

80 db = 10 log0

24/

I

rP (2)

สมการ (1) – (2)

10 db = 10 log 2

200

r

2

200

r

=104

r = 2 x 104 m = 20 km

351

ตวอยาง 16.3 แหลวงก าเนดเสยง A และ B มก าลงเสยง 10 W และ 40 W ตามล าดบ น าแหลวงก าเนดเสยงทงสองมาวดระดบความเขมเสยงทระยะทางแตกตวางกน อยากทราบววาระดบความเขมเสยงจากแหลวงก าเนด B ทระยะทาง 2 m จากตวาง

กบระดบความเขมเสยงจากแหลวงก าเนด A ทระยะทาง 1 m เทวากบกเดซเบล

วธท า ทระยะหวางจากแหลวงก าเนด A = 1 m

A oo

A

I

mW

I

I 2)1(4/10log10log10

(1)

ทระยะหวางจากแหลวงก าเนด B = 2 m

A oo I

mW

I

mW22 )1(4/10

log10)2(4/41

log10

(2)

สมการ (1) – (2)

A - B = 0 db หรอ A = B

16.4 หและกลไกการไดยน การพดและการไดยนเสยงของมนษยเปนสววนส าคญของการสอสาร เสยงทผวานชวองห

เขาสว เยอหซงกนระหววางหชนนอกกบหชนกลาง เยอหจะสนแลวสวงผวานหชนกลางทบรรจไวดวยอากาศและกระดก 3 ชน คอกระดกรปคอน, รปทงและรปโกลน กระดกทง 3 ชนตวอถงกนในระบบคานและมการไดเปรยบเชงกลประมาณ 2 หชนกลางตวอกบ ล าคอสววนบนผวานหลอดยสเตเชยน (Eustachian) ซงปกตจะปดและเปดขณะกลนท าใหหสววนกลางมความดนเทวากบบรรยากาศ ชวองทางเขาสวหสววนในมลกษณะเปนหนาตวางรปไขว หสววนในประกอบดวยสววนส าคญ 2 สววน ไดแกวหลอดครงวงกลม 3 หลอด (semicircular canals) มหนาทส าคญคอควบคมสมดลของรวางกาย กระดกกนหอย (cochlea) ภายในบรรจของเหลวเหมาะแกวการสวงเสยงผวานเสยงไปยงระบบประสาท การรบรเกยวกบเสยงจะเกดโดยปลายประสาททมอยวตามเยอบาซลาร (basilar membrane)

ของกระดกกนหอย เยอบาซลารสามารถแยกความถของเสยงได เสยงดงจะท าใหอมปลจดการสนของเยอบาซลารสง สววนการแยกอยวางละเอยดจะกระท าทระบบประสาททกระจายอยวตามเยอบาซลารดงกลวาว

352

ภาพท 16.3 แสดงสววนประกอบของหมนษย

ทมา: http://www.vcharkarn.com/lesson/1284

16.5 บตส คลนนงทเกดจากการแทรกสอดของคลนเสยง 2 ลกคลนทศทางตรงขาม ไมวววาจะม

อมปลจดเทวากนหรอไมวกตาม ถาความถของคลนทงสองตวางกนเลกนอย จะท าใหเกดคลนรวมทอมปลจดเปลยนแปลงไป บรเวณทมอมปลจดสง(ปฏบพ)เสยงจะดงสววนบรเวณทมอมปลจดต า (บพ) เสยงจะควอย ผสงเกตจงไดยนเสยงดงควอยสลบกนไปเปนจงหวะดงภาพท 16.4 ปรากฏการณนเรยกววาบตส (beats) บตสสามารถเกดไดแมววาแหลวงก าเนดเสยงทงสองจะตวางชนดกน เชวน เสยงจากกตารสามารถเกดบตสกบเสยงเปยโนได เปนตน

ภาพท 16.4 แสดงการเกดบตส

ทมา: http://www.sa.ac.th/winyoo/Sound/sound_beat.htm

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.sa.ac.th/winyoo/Sound/sound_beat.htm&ei=XhAiVbCpCNSMuATT94GoBg&psig=AFQjCNHt-4GVIeMrsho0Wn_1St-m83YPTA&ust=1428382134153910

http://www.sa.ac.th/winyoo/Sound/sound_beat.htm

353

จ านวนอมปลจดทเปลยนแปลงตวอหนงวนาทหรอจงหวะเสยงดงและควอยตวอหนงวนาทเรยกววาความถบตส (beat frequency ; b) นนคอ

(16.32)

ถา แทนความถของเสยงทไดยนขณะเกดบตสจะไดววา

(16.33)

ความรเรองบตสถกน าไปใชในการปรบแตวงเสยงของเครองดนตรชนดตวางๆ เขาดวยกน เมอปรบความถไดเทวากนเสยงบตสจะหายไป โดยทวไปแลวความถบตสไมวควรเกน 7 บตส เพราะถาเกนนหของสงเกตจะแยกบตสไมวออก แตวอยวางไรกตามกรณของการเลวนดนตร นกดนตรมกจะนยมท าใหเกดบตสเลกนอยเพอความไพเราะของเสยงดนตร

ตวอยาง 16.4 แหลวงก าเนดเสยง 2 แหลวงใหความถ 500 Hz และ 503 Hz อยากทราบววา

ผสงเกตจะไดยนเสยงความถของเสยงทท าใหเกดบตสและความถบตสเทวาใด

วธท า ความถของเสยงทท าใหเกดบตส = 2

21 = Hz

2

503500 = 501.5 Hz

บตส b = 1 - 2 = 3 Hz

16.6 ปรากฏการณดอปเปลอร

เมอแหลวงก าเนดเสยงและผฟงมการเคลอนท ผฟงไดยนระดบเสยง(ความถ) แตกตวางจากกรณแหลวงก าเนดเสยงและผฟงหยดนงอยวกบท เชวน ระดบเสยงของแตรรถทวงผวานไปขางหนาจะมระดบเสง(ความถ)ลดลง ท านองเดยวกนผฟงจะไดยนเสยงจากแหลวงก าเนดมความถลดลงถาผฟงเคลอนทออกจากแหลวงก าเนด กรณผฟงเคลอนทเขาหาแหลวงก าเนดหรอแหลวงก าเนดเคลอนทเขาหาผฟง ผฟงจะไดยนเสยงมความถสงขน ดงรป

1 2 b

f f f

1 2

2

f

354

ภาพท 16.5 แสดงการเกดปรากฏการณดอปเปลอร

ทมา: http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/983

ถาให v แทนอตราเรวของเสยงในอากาศ Lf และ

Sf แทนความถเสยงทผฟงไดยน ความถเสยงของแหลวงก าเนด

Lv และ Sv แทนอตราเรวของผฟง อตราเรวของแหลวงก าเนด

ตามล าดบ สามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธตามปรากฏการณดอปเปลอรไดววา

( )LL S

S

f f

(8.34)

หลกการคดเครองหมาย

Lv เปน + เมอผฟงเคลอนทเขาหาแหลวงก าเนด

Lv เปน – เมอผฟงเคลอนทออกจากแหลวงก าเนด

Sv เปน – เมอแหลวงก าเนดเคลอนทเขาหาผฟง

Sv เปน + เมอแหลวงก าเนดเคลอนทออกจากผฟง

Lv เปน 0 หรอ Sv เปน 0 เมอผฟงหรอแหลวงก าเนดหยดนงอยวกบท

ตวอยาง 16.5 ให Sf = 300 Hz และ v = 300 m s−1

จงหาความถทผฟงไดรบในกรณตวอไปน

ก) ผฟงหยดนงและแหลวงก าเนดเคลอนทออกจากผฟงดวยอตราเรว 30 m.s-1

ข) แหลวงก าเนดหยดนงและผฟงเคลอนทออกจากแหลวงก าเนด ดวยอตราเรว 30 m.s

-1

ค) ผฟงและแหลวงก าเนดเคลอนทเขาหากนดวยอตราเรวเทวากนคอ 30 m.s-1

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/983-%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%96%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B9%83%E0%B8%99%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%8F%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%9B%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C?groupid%3D157&ei=4BAiVe3VN9eKuAT9_oDYBg&psig=AFQjCNGI_R0PRo7YzokCcVdnGZkg2EDCHw&ust=1428382284040828

355

วธท า ก) จากสมการ

L = S )(S

L

= 300 Hz )30300

0300(

= 273 Hz

ข) L = 300 Hz )0300

30300(

(300 - 30) = 270 Hz

ค) L = 300 Hz )30300

30300(

= 367 Hz

16.7 คลนกระแทก

เมอแหลวงก าเนดเสยงอตราเรวเขาใกลอตราเรวของเสยงในตวกลางหนาคลนเสยงขางหนาแหลวงก าเนดจะเขาใกลกนดงภาพท 16.6 ถาแหลวงก าเนดเสยงมอตราเรวมากกววาอตราเรวของเสยง หนาคลนจะมลกษณะเปนกรวยกลม หนาคลนของแตวละจดจะมจดศนยกลางอยวทต าแหนวงของแหลวงก าเนดขณะทสวงคลนนนๆ ออกมา หนาคลนมการแทรกสอดแบบเสรมกนท าใหมการรวมของพลงงานคลนลกษณะเชวนนเรยกววาคลนกระแทก (shock wave) ตวอยวางของคลนกระแทกทคนเคยด ไดแกว คลนกระแทกจากเรอทเคลอนทเรวกววาอตราเรวของคลนน า คลนกระแทกจากการผวานของลกปน เปนตน คลนกระแทกจากเครองบนทบนเรวกววาเสยง (supersonic speed)

เรยกววาโซนคบม (sonic boom) โซนคบมมพลงงานมากพอจะท าใหหนาตวางบานเรอนแตกหรอเกดความเสยหายอนๆ ได นกบนของเครองบนซปเปอรโซนคจงตองบนในระดบสง หวางจากชมชนเพอหลกเลยงความเสยหายดงกลวาว

https://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=https://ikaen2520.wordpress.com/1-%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C%E0%B8%A1-4/5-%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%8F%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%9B%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0/&ei=WxEiVa6jC4qUuASJ3ICYCw&psig=AFQjCNEQn1XZu-VBdS5SnMAR-MuxfzdB1w&ust=1428382384741414

356

ภาพท 16.6 แสดงกรวยของคลนกระแทกและเลขมค

ทมา: https://ikaen2520.wordpress.com/1

จากภาพท 16.6 พจารณากรวยของคลนกระแทกทเกดจากเครองบนซปเปอรโซนค คลนมอตราเรว v อตราเรวของเครองบน(แหลวงก าเนด)

Sv มมระหววางเสนสมผสคลนทรงกลมกบเสนทางเดนของเครองบนแทนดวย เขยนความสมพนธไดววา

sinS

vt

v t (16.34)

s

(16.35)

ปรมาณอตราสววนระหววางอตราเรวของแหลวงก าเนดคลนเสยงกบอตราเรวของเสยง เรยกววาเลขมค (Mach number) เพอเปนเกยรตแกวเอรนสต มค (Ernst Mach) เขยนแทนดวย M

M s

(16.36)

https://ikaen2520.wordpress.com/1

357

เลขมค M = 1 แสดงววาแหลวงก าเนดเคลอนทดวยอตราเรวเดยวกบอตราเรวของคลน ถาเลขมค M

1 แสดงววาอตราเรวของแหลวงก าเนดมากกววา หรอเทวากบอตราเรวของคลนและสามารถเกดคลนกระแทกได

ตวอยาง 16.6 เครองบนซปเปอโซน มมมกรวยของคลนกระแทกเทวากบ 30 เครองบนล าน

เลขมคเทวาไรและจะตองบนดวยอตราเรวเทวาไรถาบนในอากาศทมอณหภม 0 C

เพอมมมเทวาเดม

วธท า จากสมการ sinS

vt

v t

เลขมค

sin

1s

230sin

1

อตราเรวของเสยงในอากาศขนกบอณหภมตามสมการ

331 0.6 S

v t

ดงนนอตราเรวของเครองบนซปเปอรโซนคซงเปน 2 เทวาของอตราเรวเสยงทอณหภม 0 C

12(331 m s 0)S

v

= 662 m.s−1

16.8 การประยกตใชความรเรองเสยง การประยกตใชประโยชนจากความรเ รองเส ยงโดยตรงในชวตประจ าว นมนอย การประยกตใชสววนมากจะอาศยความรหลกการสะทอนและหกเหของคลนเสยงเชวน การสะทอนของคลนเสยงความถสงจากวตถใตน าประเภทฝงปลา เรอด าน าหรอเรอทอบปางเพอหาต าแหนวงและทศทางของการเคลอนท เรยกววาโซนาร (sonar) จากการทดลองพบววาเสยงจะสะทอนไดดถาตวสะทอนแขงและเรยบ ตวสะทอนมขนาดใกลเคยงกบความยาวคลน การตรวจจบคลนจกการระเบดหรอแผวนดนไหวทสะทอนและหกเหระหววางชนดน เพราะแตวละชนดนมความหนาแนวนและความยด หยวนแตกตวางกน การวเคราะหคลนเหลวานน าไปสวความรความเขาใจเกยวกบสภาพทางธรณวทยา มตตลอดจนสมบตของชนตวางๆ ของเปลอกโลก ตลอดจนการส ารวจทรพยากรธรรมชาตประเภทน ามนและกาซธรรมชาต การท าความสะอาดดวยคลนเสยงความถสง การตรวจสภาพภายในสงกวอสรางโดยไมวท าลายสงนน ฯลฯ

358

การประยกตใชความรเรองเสยงในทางการแพทยคอตวอยวางทส าคญ ทงเพอการวนจฉยและการรกษาโรค โดยเฉพาะคลนเหนอเสยง (ultrasound) เพราะคลนเหนอเสยงสะทอนทรอยตวอของเนอเยอแตวละสววนและอวยวะภายในไดไมวเทวากน แลวอาศยวงจรอเลกทรอนกสท าใหเกดภาพจงสามารถตรวจสภาพภายในได เชวน การวเคราะหความผดปกตของเนองอก วเคราะหการท างานของลนหวใจ ตรวจดทารกในครรภ เปนตน นอกจากนคลนเหนอเสยงทมพลงงานสงยงชววยรกษาอาการกลามเนออกเสบหรอขออกเสบไดด ดวยขอเดวนคอมความชดเจนมากกววาเอกซเรย สะดวกและรวดเรวตลอดจนมอนตรายนอยกววา

16.9 มลพษทางเสยง

มลพษทางเสยง (sound pollution) หมายถงเสยงทท าลายโลหตประสาทของมนษยท าใหเกดการเปลยนแปลงทงชวคราวและถาวรแกวระบบการรบเสยง เปนอนตรายตวอจตใจและสขภาพทวไป เสยงเกดจากการสนสะเทอนของวตถ โดยปกตหของคนจะรบระดบความเขมของเสยงไดอยวในชววง 0 – 120 db ความถของเสยง 20 – 20,000 Hz มลภาวะทางเสยงสววนใหญวมสาเหตส าคญมาจาก เครองยนต การจราจร ขนสวง เครองบน การกวอสรางกจกรรมในบานและโรงงานอตสาหกรรม ฯลฯ

อนตรายของมลภาวะทางเสยง แบวงออกเปน 2 ลกษณะ คอ

1. อนตรายตวอระบบการรบฟงเสยงโดยตรงไดแกว อาการหออ หตงชวคราว ระบบประสาทหเสอมเกดความเจบปวด จนถงหตงหรอหพการถาวรถาระดบความเขมของเสยงมากพอ

2. อนตรายตวอจตใจและสขภาพทวไปไดแกว เกดอาการอวอนเพลย คลนไสอาเจยน หงดหงด จตใจฟงซวาน นอนไมวหลบ สขภาพอนามยเสอมลง เกดอบตเหตไดงวายระบบยวอยอาหาร ประสทธภาพการท างานของรวางกายเสอมลง ฯลฯ

จากความหมายของมลภาวะทางเสยงถอไดววาเสยงตฉนนนทาเปนมลภาวะทางเสยงเชวนกน

359

แบบฝกหดทายบท

1. สมการของคลนนงในเสนลวดเปน

0.04sin 4π cos800πt (m)y

จงหา

ก) ระยะทางระหววางบพ ข) ความยาวคลนทท าใหเกดคลนนง ค) ความถของการสน ง) อตราเรวของคลน จ) อมปลจดของคลนทท าใหเกดคลนนง 2. คลนสองขบวนแตวละขบวนความยาวคลน 20 cm และมอมปลจดเทวากน เคลอนทในทศทางตรงขามบนเสนเชอกขงตง ถาเสนเชอกยาว 1.0 m คลนนงทเกดมทงหมดกบพ 3. ลวดเหลกของเปยโนยาว 50 cm มวล 5 g ถกขงดวยแรง 400 N จงหาความถมลฐานของการสนและโอเวอรโทนสงสดของการไดยน ถาความถของการไดยนของมนษยเทวากบ 10,000 Hz

4. เสนเชอกขงตงมความถมลฐานของการสน 30 Hz ทระยะ 60 cm อมปลจด

ทต าแหนวงปฏบพสง 3 cm ถาเชอกมมวล 30 g จงหาอตราเรวของการเคลอนทของคลนตามขวางและแรงตงในเสนเชอก 5. เสนลวดขงตงยาว 180 cm เกดคลนนงของคลนตามขวาง 3 ปฏบพ ความถของการสน 270 Hz อตราเรวของคลนมควาเทวาไร 6. เสนลวดมวล 3 g ความยาว 60 cm ตองมแรงดงเทวาไรจงจะสนตามขวางดวยความถของโอเวอรโทนทหนงขนาด 200 Hz

7. จงหาความถมลฐานของการสนและ 4 โอเวอรโทนแรกของทวออากาศปลายเปด 2

ดานยาว 6 นว ก าหนดอตราเรวของเสยงในอากาศ v = 1130 ft.s−1

8. จงหาความยาวของแทวงเหลกมความถมลฐาน 320 Hz ตรงทจดกงกลางถาคลนตามยาวมอตราเรว 5000 m.s

-1

9. แทวงโลหะยาว 6 m ตรงทจดกงกลางและสนตามยาวโอเวอรโทนทหนง เทวากบสอมเสยงขนาด 1200 รอบตวอวนาท จงหาอตราเรวของเสยงในแทวงโลหะ 10. วดความเขมเสยงทระยะ 2.5 เมตร จากแหลวงก าเนดเสยงได 1.91 x 10

-4 W.m

-2 ถา

ไมวคดการสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอม อยากทราบววาแหลวงก าเนดเสยงมก าลงเทวาไร

360

11. ถาความเขมเสยงนอยสดทหมนษยรบไดคอ I0 = 10-12

W.m-2 จงแสดงววาระดบ

ความเขมเสยงของเสยงความเขม I (ในหนววย W.m-2) คอ β 120 10log I

12. รถไฟขบวนหนงเคลอนทเขาหาสถานพรอมกบเปดหวดดวยความถ 1,000 Hz

ก าหนดใหความเรวของเสยงในอากาศขณะนนมควาเทวากบ 343 m.s-1

ก) จงหาววาถารถไฟเคลอนทดวยความเรว 40 m.s-1 คนบนสถานจะไดยนเสยง

หวดดวยความถเทวาไร ข) จงหาววาถารถไฟจอดนวงบนสถานและชายคนหนงขบรถเขาหาสถานดวยความเรว 40 m.s

-1 เขาจะไดยนเสยงหวดความถเทวาไร

361



Retrieved April 3, 2013, from http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-

interaction. html.




Recent SI (Metric) Changes. Retrieved March 21, 2013, from

http://www.nist.gov/pml/ metric_051308.cfm.

Walker, J.S. 2004. Physics. 2nd ed. New Jersey: Pearson Education

http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-


กองพฒนาพลงงานทดแทน ฝายพฒนาและแผนงานโครงการ การไฟฟาฝายผลตแหงประเทศไทย. ม.ป.ป. เครองท าน ารอนพลงงานแสงอาทตย. คนเมอ 1 เมษายน 2556 จาก

http://www2. egat.co.th/re/egat_business/egat_heater/egat_heater.htm.

ราชบณฑตยสถาน. 2546. ศพทวทยาศาสตรฉบบราชบณฑตยสถาน. พมพครงท 5. กรงเทพฯ:

สหธรรมมก.

สถาบนวจยและพฒนาวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเชยงใหม. ม.ป.ป. โรงไฟฟาพลง ความรอนใตพภพฝาง. คนเมอ 1 เมษายน 2556 จากhttp://teenet.cmu.ac.th/sci/

fang_th.php.

123RF Limited. 2013. Stock Photo - Bunch of Colorful and Elastic Rubber on Black

Background. Retrieved March 25, 2013, from http://www.123rf.com/photo_3961154_

bunch-of-colorful-and-elastic-rubber-on-black-background.html.

4Physics. 2008. The Bernoulli Effect. Retrieved April 1, 2013, from http://www.4physics.com/

phy_demo/bernoulli-effect-equation.html.

ALLSTAR Network. 2013. Bernoulli's Equation. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. allstar.fiu.edu/aerojava/bernoulli.htm.

Andre Gunther Photography. 2013. What is Diffraction?. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.aguntherphotography.com/tutorial/diffraction-limits-of-resolution.html.

ARC Forums. 2008. MiG-31 Foxhound. Retrieved March 24, 2013, from

http://s362974870. onlinehome.us/forums/air/index.php?showtopic=146084.

Associated Newspapers Ltd. 2008. The High-Speed Sports Car that Turns into a Boat at the

Touch of a Button. Retrieved March 22, 2013, from http://www.dailymail.co.uk/

sciencetech/article-511331/The-high-speed-sports-car-turns-boat-touch-button.html.

Atkins, N. 2006. Measuring Pressure. Retrieved April 1, 2013, from

http://apollo.lsc.vsc.edu/ classes/met130/notes/chapter8/p_measure.html.

Barruetabeña, J. 2013. AP CALCULUS: Three Dimensional Coordinate Systems. Retrieved

March 21, 2013, from http://middletownhighschool.wikispaces.com/AP+CALCULUS.



http://www.123rf.com/photo_3961154_

http://www.4physics.com/

http://www.dailymail.co.uk/

http://middletownhighschool.wikispaces.com/AP+CALCULUS

http://middletownhighschool.wikispaces.com/apcalcThree+Dimensional+Coordinate+Systems

364

Barry, B.A. 1978. Errors in Practical Measurement in Science Engineerinf, and Technology.

New York: Wiley & Sons, Inc.

Basler, D. 2011. Science Songs for Kids All Ages. Retrieved March 22, 2013, from

http://access. aasd.k12.wi.us/wp/baslerdale/2009/09/27/science-songs-for-kids-all-

ages/.

Bigelow, K. 2013. Refraction, Part 1. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.play-hookey.com/optics/reflection_refraction/refract1.html.

Blake, W. 2003. Lecture V: The Light Modern Astrophysics. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.pas.rochester.edu/~afrank/A105/LectureV/LectureV.html.

Boles, M.A. & Çengel, Y.A. 1998. Thermodynamics an Engineering Approach. 3rd ed.

New York: McGRAW-HILL.

Boom's Classes Announcements. 2013. Chapter 9 Pascal's Law and Bernoulli's Principle.

Retrieved April 1, 2013, from http://boomeria.org/physicslectures/pascal/pascal.html.

Callen, H.B. 1985. Thermodynamics and an Introcuction to Thermostatistics. 2nd ed.


Carpenter, P. 2013. Aerodynamic Forces. Retrieved April 1, 2013, from http://www.rc-airplane-

world.com/how-airplanes-fly.html.

Carroll, B.W. 2009. Archimedes and the Law of the Lever. Retrieved March 24, 2013, from

http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/lever.htm.

. 2009. Law of the Lever. Retrieved March 23, 2013, from http://physics.weber.edu/

carroll/Archimedes/lever.htm.

Chaplin, M. 2012. Hydrocolloid Rheology. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. btinternet.com/~martin.chaplin/hyrhe.html.

. 2012. Water Structure and Science. Retrieved April 1, 2013, from http://www.lsbu.

ac.uk/water/interfac2.html.

Chegg, Inc. 2013. Momentum and Impulse Questions. Retrieved March 24, 2013, from


container1-example62how-good-are-the-bumpersgoalfind-an-impulse-and--q665315.

Clark, B.M. 2005. General Science. Retrieved March 24, 2013, from http://www.gutenberg.org/

files/16593/16593-h/16593-h.htm#CHAPTER_XVII.

http://www.rc-airplane-/

http://physics.weber.edu/

http://www.lsbu/


http://www.gutenberg.org/

365

Clark, J. 2010. Real Gases. Retrieved April 1, 2013, from http://www.chemguide.co.uk/physical/

kt/realgases.html.

Cool N Lite Solar Film Pte Ltd. 2012. Methods of Heat Transfer. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.coolnlite.com/TechnologyHeatTransfer.html.

Costello, K. 2013. Liquids, Solubility, Concentration. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.chemistryland.com/CHM130S/13-Liquids/LiquidsSolutions.html.

Crowell, B. 2011. Chapter 32. Wave Opticss. Retrieved April 3, 2013, from

http://www. lightandmatter.com/html_books/lm/ch32/ch32.html.

. 2011. Chapter 8. Waves. Retrieved April 3, 2013, from http://www.lightandmatter.

com/html_books/7cp/ch08/ch08.html.

Damelin, D. 2007. Significant Digits. Retrieved March 21, 2013, from http://chemsite.lsrhs.net/

measurement/sig_fig.html.

Darling, D. 2013. Diffraction. Retrieved April 3, 2013, http://www.daviddarling.info/

encyclopedia/D/diffraction.html.

. 2013. Interference. Retrieved April 3, 2013, from http://www.daviddarling.info/

encyclopedia/I/interference.html.

Davis, D. 2002. Elastic Properties of Solids. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. ux1.eiu.edu/~cfadd/1150/10FldRst/elastic.html.

. 2002. Friction. Retrieved March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/

1150/ 04Nwtn/frict.html.

. 2002. Speed & Velocity. Retrieved March 22, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/

~ cfadd/1150/02-1DMtn/Speed.html.

. 2001. Circular Motion. Retrieved March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/

~ cfadd/1350/Hmwk/Ch06/Ch6.html.Davis, D. 2001. Static Equilibrium. Retrieved

March 23, 2013, from http://www.ux1.eiu.edu/~ cfadd/1350/12Statics/ToC.html.

Dery, B. 2011. Hovercraft. Retrieved April 2, 2013, from http://www.infovisual.info/05/

060_en.html.

. 2011. Hydrofoil Boat. Retrieved April 2, 2013, from http://www.infovisual.info/05/

061_en.html.

http://www.chemguide.co.uk/physical/

http://www.lightandmatter/

http://chemsite.lsrhs.net/



http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/



366

DiMauro, T. 2013. Rotational Motion (Kinematics). Retrieved March 24, 2013, from

http://sdsu-physics.org/physics180/physics180A/units/unit3/rotation.html.

Dirac Delta Consultants Ltd. 2013. Hooke's Law. Retrieved March 25, 2013, from

http://www. diracdelta.co.uk/science/source/h/o/hookes%20law/source.html.

Disposable Syringes Co., Ltd. 2003. Hypodermic Needle. Retrieved April 1, 2013, from

http://www.syringes.cn/hypodermic_needle.html.

Dreamstime. 2013. Nippers Cutting Wire. Retrieved March 23, 2013, from

http://www. dreamstime.com/stock-photos-nippers-cutting-wire-image19487723.

Dutta, S. 2013. Avogadro's Hypothesis and Avogadro Number. Retrieved April 1, 2013, from

http://allensindia.com/research-development.html.

Educational Blog. 2007. Banked Curve. Retrieved March 23, 2013, from

http://phy-061062. blogspot.com/2007_07_01_archive.html.

Emily, A. 2013. Brownian Motion. Retrieved April 1, 2013, from http://apphysicsc.com/

molecular-model/.

Enchanted Learning. 2010. Levers: Simple Machines. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.enchantedlearning.com/physics/machines/Levers.shtml.

Encyclopedia Britannica, Inc. 2013. Axis of Rotation: Rigid Bodies. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/371907/mechanics/77554/Rotation-

about-a-fixed-axis?anchor=ref612194.

. 2013. Diffraction: Relation to Huygens’ Principle. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.britannica.com/EBchecked/media/3156/Huygens-principle-applied-to-both-

plane-and-spherical-waves.

. 2007. Diesel Engine. Retrieved April 2, 2013, from http://kids. britannica.com/

comptons/art-167213/The-typical-sequence-of-cycle-events-involves-a-single-intake.

. 2007. Internal-Combustion Engine: Four-Stroke Cycle. Retrieved April 2, 2013,

from http://kids.britannica.com/comptons/art-89315/An-internal-combustion-engine-

goes-through-four-strokes-intake-compression.

ExploreLearning. 2013. Refraction. Retrieved April 3, 2013, from http://www.explorelearning.

com/index.cfm?method=cResource.dspExpGuide&ResourceID=552#.

http://www.syringes.cn/

http://apphysicsc.com/

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/371907/mechanics/77554/Rotation-

http://www.britannica.com/EBchecked/media/3156/Huygens-principle-applied-to-both-

http://kids.britannica.com/comptons/art-89315/An-internal-combustion-engine-

http://www.explorelearning/

367

Florida Center for Instructional Technology. 2009. Compound Pulley. Retrieved March 24,

2013, from http://etc.usf.edu/clipart/35900/35960/comp_pulley2_35960.htm.

Force Dynamics. 2012. What is Motion Simulation?. Retrieved March 22, 2013, from

http://www.force-dynamics.com/motion/.

France, C. 2012. Waves. Retrieved April 3, 2013, from http://www.gcsescience.com/

pwav41.htm.

. 2012. Waves. Retrieved April 3, 2013, from http://www.gcsescience.com/

pwav42.htm.

FreeFoto LLC. 2012. Surfing, Saltburn by the Sea. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. freefoto.com/preview/1050-07-53/Surfing--Saltburn-By-The-Sea.

GeekAlerts. 2008. LED Shower Light. Retrieved April 1, 2013, from http://www.geekalerts.

com/led-shower-light/.

Gibbs, K. 2010. Motion in Vertical Circle. Retrieved March 23, 2013, from

http://www. schoolphysics.co.uk/age16-19/Mechanics/Circular%20motion/text/

Motion_in_a_vertical_ circle/index.html.

. 2011. Stokes' Law and Terminal Velocity. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. schoolphysics.co.uk/age16-19/Properties%20of%20matter/Viscosity/text/

Stokes_law/ index.html.

Glogster. 2007. Earth. Retrieved March 23, 2013, from http://www.glogster.com/glog.php?glog_

id=17947370&scale=54&isprofile=true.

Goalfinder. 2007. Heat and Temperature - Thermal Expansion Concepts (Science - Tech

Animation). Retrieved April 1, 2013, from http://www.goalfinder.com/product.asp?

productid=60.

Gray, A. 2013. Stone Balancing. Retrieved March 23, 2013, from http://www.stonebalancing.

com/index.php.

Harris, W. 2013. Transverse Wave. Retrieved April 3, 2013, from http://electronics. howstuffworks.com/noise-canceling-headphone.htm.

Hartin, E., 2013. Gas Cooling: Part 3. Retrieved April 1, 2013, from http://cfbt-us.com/

wordpress/?paged=2.

http://www.gcsescience.com/

http://www.geekalerts/

http://www.glogster.com/glog.php?glog_

http://www.goalfinder.com/product.asp

http://www.stonebalancing/

http://electronics/

http://cfbt-us.com/

368

Henderson, T. 2011. Power. Retrieved March 24, 2013, from http://www.physicsclassroom.com/

class/energy/u5l1e.cfm.



Hautefeuille A. & Ingham, R. 2011. Kilogramme Faces Quantum Diet After Weight Problem.

Retrieved March 21, 2013, from http://phys.org/news/2011-11-quandary-kilo-triggers-

weighty-reflexion.html.

HyperPhysics. 2011. Circular Motion. Retrieved March 24, 2013, from http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/HBASE/circ.html.

. 2011. Rotation Vectors. Retrieved March 24, 2013, from http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/HBASE/rotv.html.

. 2005. Precession of Spinning Top. Retrieved March 24, 2013, from

http:// hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/top.html.

IITJEE, AIEEE & CBSE Board. 2007. Some Useful Relationships for SHM. Retrieved April 3,

2013, from http://iitjee-aieee-cbse.blogspot.com/2007_12_01_archive.html.

Instant Display Teaching Resources. n.d. Shape, Space and Measures. Retrieved March 21,

2013, from http://www.instantdisplay.co.uk/shapespacemeasures.htm.

Irvine, J. 2013. Moments and Equilibrium. Retrieved March 24, 2013, from http://www.

antonine-education.co.uk/Pages/Physics_2/Mechanics/MEC_03/Mechanics_

Page_3.htm.

Jackson, K.A. 2013. Chapter 4: Impulse and Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://francesa.phy.cmich.edu/people//andy/Physics110/Book/Chapters/Chapter4.htm.

Jones, J.D. 2011. Equilibrium and Elasticity. Retrieved March 23, 2013, from

http://www. mcasco.com/Physics-1/eande.html.

Johnston, J. 2010. Heat Transfer – The Basics. Retrieved April 1, 2013, from

http://www. roasterproject.com/2010/01/heat-transfer-the-basics/.

Johnstone, R.W. 2006. Gear. Retrieved March 24, 2013, from http://www.sfu.ca/adm/gear.html.

Katzmire, K.D. & Shivayah, O.N. 2010. Dimensions. Retrieved March 22, 2013, from

http:// kalarhythms.org/cycles-theory/dimensions.htm.

http://www.physicsclassroom.com/

http://phys.org/news/2011-11-quandary-kilo-triggers-



http://www/

369

Kent, M. 2007. Force Couple. Retrieved March 23, 2013, from http://www.answers.com/topic/

force-couple.

Kidoguchi, L. 2008. Buoyancy. Retrieved April 1, 2013, from http://spot.pcc.edu/~lkidoguc/

Aquatics/AqEx/Water_Buoyancy.htm.

Kindersley, D. 2007. Motion. Retrieved March 21, 2013, from http://www.factmonster.com/dk/

science/encyclopedia/motion.html.

Kirksville Public Schools. 2007. Physical Science II Wave. Retrieved April 3, 2013, from

http://www.kirksville.k12.mo.us/khs/Teacher_Web/alternative/waves.html.

Kovačević, M.S. & Simić, S. 2010. Plastic Optical Fiber as a Tool for Experimenting with Simple

Pendulum. Revista Brasileira de Ensino de Fίsica, 32(3), 3301-3307.

Koyama, Y., Takayama, K., Umetani, N. & Igarashi, T. 2012. Real-Time Example-Based

Elastic Deformation. In Proceedings of the ACM SIGGRAPH/Eurographics

Symposium on Computer Animation (SCA'12). Eurographics Association, Aire-la-

Ville, Switzerland, Switzerland, 19-24.

Kuo, W. & Watterson, S. 1999. Translational Equilibrium. Retrieved March 23, 2013, from

http://library.thinkquest.org/25844/equilibrium/translational.htm.

Kwality E-Solution Ltd. 2009. Kinetic Theory of Gases. Retrieved April 1, 2013, from

http://physicscatalyst.com/heat/kinectic_th.html.

Lee, N. 2006. Talking About Sound and Music. Retrieved April 3, 2013, from http://cnx.org/

content/m13512/latest/.

Liew, B. 2009. Keep Your Food Fresh The Green Way. Retrieved March 23, 2013, from http://juiceonline.com/juice-heart/keep-your-food-fresh-the-green-way/.

LJ Create Ltd. 2012. Speed and Velocity. Retrieved March 22, 2013, from http://www.ljcreate.

com/products/product.asp?id=548&program=160&curr=1.

Look, D.C. & Sauer, H.J. 1982. Thermodynamics. California: Wadsworth.

Lough, B. 2013. Many Types of Barometer Makes for Measuring Air Pressure. Retrieved

April 1, 2013, from http://www.stuffintheair.com/barometermakes.html.

Lower, S. 2007. Thermodynamics of Chemical Equilibrium. Retrieved April 2, 2013, from

http://www.chem1.com/acad/webtext/thermeq/TE3.html.

Luxuo. 2010. Aerion Supersonic Business Jet. Retrieved April 2, 2013, from http://www.luxuo.

com/aircraft/aerion-supersonic-business-jet.html.

http://spot.pcc.edu/~lkidoguc/

http://www.factmonster.com/dk/

http://cnx.org/

http://www.ljcreate/

http://www.luxuo.com/aircraft/first-supersonic-private-jet.html

http://www.luxuo/

370

Mastering Physics Solutions. 2012. Banked Frictionless Curve, and Flat Curve with Friction.

Retrieved March 23, 2013, from http://www.masteringphysicssolutions.net/mastering-

physics-solutions-banked-frictionless-curve-and-flat-curve-with-friction/.

MatWeb, LLC. 2011. Compressive Strength Testing of Plastics. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.matweb.com/reference/compressivestrength.aspx.

McCrone, J. 2006. Action~Reaction. Retrieved March 23, 2013, from http://www.dichotomistic.

com/logic_dichotomies_history_three.html.

Michael, R. & Smith, P.E. 2013. Exploration, Testing & Inspection. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.cowanassociates.com/c_services-explorationtestinginspection.php.

Micklavzina, S. 2011. Huygen's Principle. Retrieved April 3, 2013, from http://pages.uoregon.

edu/stanm/PHYS152SUMMER2011/LECTURES3and4-WAVES.html.

Mombourquette, M. 2010. Chem 211>3 First Law>Internal Energy. Retrieved April 2, 2013,

from http://www.chem.queensu.ca/people/faculty/Mombourquette/Chem221/3_

FirstLaw/ InternalEnergy.asp.

Monterey Bay Aquarium Research Institute. 2013. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013,

from http://www.mbari.org/staff/conn/botany/methods/methods/stress.htm.

NASA's HEASARC. 2010. Newton's First Law of Motion: Inertia and Unbalanced Forces.


index.html.

. 2010. Newton's Second Law of Motion: Force, Velocity and Acceleration.


index.html.

. 2010. Newton's Third Law of Motion: Actions and Reactions. March 23, 2013,

from http://swift.sonoma.edu/education/newton/newton_3/index.html.

Nazeeri, F. 2013. Accuracy & Precision. Retrieved March 21, 2013, from http://extensionengine.

com/blog/.

Nelson, S.A. 2003. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013, from http://www.tulane.edu/~

sanelson/geol111/deform.htm.

New World Encyclopedia. 2008. Metric System. Retrieved March 21, 2013, from http://www.

newworldencyclopedia.org/entry/Metric_system.


371

Odman, A. 2011. Types of Wave. Retrieved April 3, 2013, from http://spot.pcc.edu/~aodman/

physics%20122/light-electro-pictures/light-electro-lecture.htm.


Retrieved April 3, 2013, from http://www.mediacollege.com/audio/01/wave-interaction.

html.

Oxford University Press (China) Ltd. 2003. Newton's Cradle. Retrieved March 24, 2013, from

http://sciencecity.oupchina.com.hk/npaw/student/glossary/newtons_cradle.htm.

Personal Math Online Help, 2012. Distance Speed Time Calculator. Retrieved March 22, 2013,

from http://www.personal-math-online-help.com/distance-speed-time-calculator.html.

Pidwirny, M. & Jones, S. 2010. Earth Rotation and Revolution. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.physicalgeography.net/fundamentals/6h.html.

Pilot's Wab. 2005. Forces Acting on an Airplane. Retrieved March 23, 2013, from

http://pilotsweb.com/principle/forces.htm.

Pilot's Wab. 2005. Vectors, Forces and Moments. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

pilotsweb.com/principle/vectors.htm.

Potter, D.M. 2011. Making the Grade a Technical Discussion. Retrieved March 25, 2013, from

http://www.rockcrawler.com/techreports/fasteners/index.asp.

Publitek, Inc. 2013. Office Work Stock Photos and Images. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.fotosearch.com/photos-images/office-work.html.

QA International. 2013. Cross-country Bicycle. Retrieved March 23, 2013, from http://visual.

merriam-webster.com/sports-games/cycling/mountain-biking/cross-country-bicycle-

cyclist.php.

Raman, C.V. 2013. Force Couple. March 23, 2012, from http://way2science.com/force-couple/.

ramé-hart instrument co., 2013. Information on Surface and Interfacial Tension. Retrieved

April 1, 2013, from http://www.ramehart.com/surface_tension.htm.

RC Airplane World, 2013. How helicopters fly and are controlled. Retrieved March 24, 2013,

from http://www.rc-airplane-world.com/how-helicopters-fly.html.

Reeves, M. 2002. Stress and Strain. Retrieved March 25, 2013, from

http://homepage.usask.ca/~ mjr347//prog/geoe118/geoe118.031.html.

Rougemont School. 2013. Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://rougemontphysics. blogspot.com/.

http://www.facebook.com/pages/Personal-Math-Online-Help/165108600198564

372

Ryan, V. 2012. Pulleys and Lifting-Questions 3. Retrieved March 24, 2013, from http://www.

technologystudent.com/gears1/pulle11.htm.

Saundry, P. 2008. AP Environmental Science Chapter 1- Flow of Energy. Retrieved April 2,

2013, from http://www.eoearth.org/article/AP_Environmental_Science_Chapter_1-

_Flow_ of_Energy#gen10.

Schaum, D. & Duffin, W.J. 1977. Schaum's Outline of Theory and Problems of College

Physics. New York: McGRAW-HILL.

Science Aid. 2010. Speed and Motion. Retrieved March 22, 2013, from http://scienceaid.co.uk/

physics/forces/motion.html.

Science Enthusiast. 2013. The Ideal Gas Law Poster. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

scienceenthusiast.com/product/ideal-gas-law-poster.html.

School of Earth and Environment, University of Leeds. 2013. Tangential Longitudinal Strain.

Retrieved March 25, 2013, from http://www.see.leeds.ac.uk/structure/folds/

mechanisms/ how/tls.htm.



Silver, J. 2013. Conservation of Kinetic Energy and Linear Momentum in an Elastic

Collision. Retrieved March 24, 2013, from http://www.education.com/science-

fair/article/ elastic-collisions/.

SimCraft, Inc. 2012. SimCraft Motion Simulation Technology Architecture. Retrieved March

23, 2013, from http://www.simcraft.com/architecture.html.

Singh, S.K. 2009. Work - Kinetic Energy Theorem for Rotational Motion. Retrieved March

24, 2013, from http://cnx.org/content/m14307/latest/.

SparkNotes LLC. 2013. Diffraction. Retrieved April 3, 2013, from http://www.sparknotes.com/

physics/optics/phenom/section2.rhtml.

Spiegel, M.R. 1981. Theory and Problems of Vector Analysis. Jalan Boon Lay: McGraw-Hill.

Squidoo, LLC. 2013. RMS Titanic, Ship of Dreams. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

squidoo.com/Harland-and-Wolffs-Titanic.

Stalder Spring Works, Inc. 2012. Stalder Spring Works. Retrieved March 25, 2013, from

http://www.stalderspring.com/.

373

Stuart, G.L. 2012. Experiments on Surface Phenomena and Colloids. Retrieved April 1, 2013,

from http://www.funsci.com/fun3_en/exper2/exper2.htm.

Swarthmore College Physics and Astronomy Department. 2012. Ripple Tank. Retrieved April 3,

2013, from http://www.swarthmore.edu/NatSci/aneat1/demos/Ripple%20tank.html.

Taylor, L.H. 2004. A Gas Laws Primer. Retrieved April 1, 2013, from http://www-personal.

umich.edu/~lpt/primer.htm.

TECHBERTH Mechanical Engineering and Mechatronics. 2011. Jet Engine Diagram for Easy

Comparison. Retrieved April 2, 2013, from http://www.techberth.com/category/

thermal/ jet-engines/.

The Antonine Education Website. 2013. Further Mechanics Tutorial 2 - Conservation of

Momentum. Retrieved March 24, 2013, from http://www.antonine-education.co.uk/

Pages/Physics_4/Further_Mechanics/FMC_02/FMech_Page_2.htm

The Encyclopedia of Renewable Energy and Sustainable Living. 2013. Hydroelectric Power.

Retrieved April 1, 2013, from http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/AE_

hydroelectric_power.html.

The Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South

Florida. 2005. Beach Profiles. Retrieved April 3, 2013, from http://fcit.usf.edu/florida/

teacher/science/mod2/beach.profiles.html.

The Full Wiki. 2013. Pressurized Water Reactor. Retrieved April 2, 2013, from http://www.

thefullwiki.org/Pressurised_water_reactor.


Recent SI (Metric) Changes. Retrieved March 21, 2013, from http://www.nist.gov/

pml/ metric_051308.cfm.

The Open Door Web Site. 2012. Mechanics. Retrieved March 23, 2013, from http://www.

saburchill.com/physics/ chapters/0011.html.

THinKNET Co., Ltd. 2010. Khuean Ubonrat Dam. Retrieved April 1, 2013, from http://www.

hotelsguidethailand.com/travel/travel_detail.php?l=en&code=1917.

Tippens, P.E. 1989. Basic Technical Physics. 2nd ed. New York: McGRAW-HILL.


374

Truman State University. 2006. The First Law and the Sign Convention used in

Thermodynamics. Retrieved April 2, 2013, from http://chemlab.truman.edu/

CHEMLAB_ BACKUP/CHEM130Labs/CalorimetryFiles/ThermoBackground.htm.

TutorVista. 2010. Force. Retrieved March 23, 2013, from http://www.tutorvista.com/content/

physics/physics-i/forces/force.php.

Universidad de Somoso. 2009. The Gas Laws. Retrieved April 1, 2013, from http://chemistry32.

blogspot.com/2008/11/vi-gas-laws.html.

University of Wisconsin-Stevens Point. 2004. Elastic Properties of Solids. Retrieved March 25,

2013, from http://www.uwsp.edu/physastr/kmenning/Phys203/Lect37.html.


Wallpaperz. 2011. Sea Ship Wallpaper. Retrieved April 1, 2013, from http://indexofwallpapers.

com/sea-ship-wallpapers/.

Wikimedia Commons. 2011. Category: Lever, Simple Machine. Retrieved March 23, 2013,

from http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lever,_Simple_machine.

Wikipedia. 2013. Maglev. Retrieved April 2, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_

levitation_train.

. 2013. Lever. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Lever.

. 2013. Pulley. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Pulley.

. 2013. Gyroscope. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Gyroscope.

. 2013. Top. Retrieved March 24, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Top.

. 2013. Bulk Modulus. Retrieved March 25, 2013, from http://en.wikipedia.org/

wiki/Bulk_modulus.

. 2013. Shear Modulus. Retrieved March 25, 2013, from http://en.wikipedia.org/

wiki/Shear_modulus.

. 2013. Young's Modulus. Retrieved March 25, 2013, from http://en.wikipedia.org/

wiki/Young's_modulus.

. 2013. Density. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Density.

. 2013. Gas. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Gas.

. 2013. Liquid. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/Liquid.

375

Wikipedia.. 2013. Plasma (physics). Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Plasma_(physics).

. 2013. Pounds per Square Inch. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.

org/wiki/Pound-force_per_square_inch.

. 2013. Surface Tension. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Surface_tension.

. 2013. State of Matter. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Phase_transitions.

. 2013. Ripple Tank. Retrieved April 3, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Ripple_tank.

. 2011. Capillary Action. Retrieved April 1, 2013, from http://en.wikipedia.org/wiki/

Capillary_action.

Wikispaces. 2013. Chapter 7.5 Collisions. Retrieved March 24, 2013, from https://strongphysics.

wikispaces.com/ch7_ccjp.

Wirt, S. 1998. Intro to Impulse & Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://www.regentsprep.org/Regents/physics/phys01/intromom/sld001.htm.

Woodford, C. 2012. Tools and Simple Machines. Retrieved March 24, 2013, from http://www.

explainthatstuff.com/toolsmachines.html.

Yan, P. 2005. Capillary Action. Retrieved April 1, 2013, from http://www.cs.ucf.edu/~pingkun/

projects/cac.html.

Yeates, M. 2009. Newton's Laws of Motion. Retrieved March 24, 2013, from

http://simplethinking.com/teaching/newtonlaws.shtml.

Zobel, E.A. 2011. Definition of Momentum. Retrieved March 24, 2013, from

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/momentum/definition/

momentumDefinition1.html.

อกสารประกอบการสอนportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/175c3qfc.440ect1v3g9.pdf ·...

Documents