รงเรียนสตรีนนทบุรีว ชาคณ ตศาสตร...

โรงเรยนสตรนนทบร

วชาคณตศาสตร (ค30205/ค33291)

ชนมธยมศกษาปท 6

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ……………..

เรอง แคลคลสเบองตน-การอนทเกรต

(Basic Calculus- Integration)

ชอ ............................................... ชน .............. เลขท ..........

ครผสอน : นายพบลย ชมสมบต

โรงเรยนสตรนนทบร 120 ถนนพบลสงคราม ต าบลสวนใหญ อ าเภอเมอง จงหวดนนทบร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 3

สารบญ

หนา

ปฏยานพนธ 1

แบบฝกหด เรอง ปฏยานพนธ 3

ปรพนธไมจ ากดเขต 4

แบบฝกหด เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต 9

ปรพนธจ ากดเขต 13

แบบฝกหด เรอง ปรพนธจ ากดเขต 15

พนททปดลอมดวยเสนโคง 16

แบบฝกหด เรอง พนททปดลอมดวยเสนโคง 18

แบบฝกหดเสรมทกษะ 1 20

แบบฝกหดเสรมทกษะ 2 24

ตารางสรปงานของ ชอ......................................................... ชน ............. เลขท ..........

ท งาน ก าหนดสง หมายเหต ตรวจโดย

วชาคณตศาสตร (ค30205/ค33291) เรอง แคลคลสเบองตน-การอนทเกรต (Basic Calculus- Integration) ชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร

Page 1 of 27

ใบความร

เรอง ปฏยานพนธ

กระบวนการตรงกนขามกบการหาอนพนธ หรอ การหาฟงกชน f(x) เมอก าหนด f/(x) มาให เรยกวา การหาปฏยานพนธ โดยปฏยานพนธของฟงกชน f ใดๆ นยามดงน

บทนยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธหนงของ f เมอ F/(x) = f(x) ส าหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f การหาปฏยานพนธของฟงกชน มขนตอนดงน 1. ก าหนด f(x) 2. ลองให y = F(x) 3. หา F/(x) 4. ทดสอบวา F/(x) = f(x) หรอไม - ถา F/(x)= f(x) แลว y = F(x) + C เปนปฏยานพนธของฟงกชน f - ถา F/(x) f(x) ใหด าเนนการตามขนตอนท 2 ใหม ตวอยางท 1 จงแสดงวา F(x) = x2 เปนปฏยานพนธหนงของฟงกชน f(x) = 2x วธท า จาก F(x) = x2 F/(x) = 2x ดงนน F/(x) = f(x) ดงนน F(x) = x2 เปนปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = 2x ตวอยางท 2 ก าหนดให f(x) = x – 1 จงหาปฏยานพนธของฟงกชน f

วธท า ให F(x) = 2

1 x2 – x จะได F/(x) = x – 1

F1(x) = 2

1 x2 – x + 2 จะได F1/(x) = x – 1

F2(x) = 2

1 x2 – x + 7 จะได F2/(x) = x – 1

จะเหนวา F1 , F2 ตางกเปนปฏยานพนธของ f(x) = x – 1

ดงนน F(x)=2

1 x2 – x + C เมอ C เปนคาคงตว เปนรปทวไปของปฏยานพนธของ

f(x) = x – 1


Page 2 of 27

ตวอยางท 3 จงหาฟงกชน F เมอก าหนด F/(x) = 3x2 วธท า ให F(x) = x3 จะได F/(x) = 3x2 ซงไดสงทก าหนดให นนคอ F(x) = x3 + C เมอ C เปนคาคงตว ตวอยางท 4 จงหาปฏยานพนธของ f เมอ f(x) = 3x2 + x วธท า ให f(x) = 3x2 + x จะหา F(x) ท F/(x) = 3x2 + x

ลองให F(x) = x3 + 2

1 x2

จะได F/(x) = 3x2 + 2

1 (2x)

= 3x2 + x

ดงนน ปฏยานพนธของ f(x) = 3x2 + x คอ F(x) = x3 + 2

1 x2 + c เมอ c เปนคาคงตว

หมายเหต : 1) ถา F เปนปฏยานพนธหนงของ f แลว ฟงกชน G ทนยามโดย G(x) = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว จะเปนปฏยานพนธของ f ดวย 2) ในคณตศาสตรระดบทสงขนไป มการพสจนโดยชดแจงวา ปฏยานพนธของฟงกชนเดยวกนจะตางกนเพยงคาคงตวเทานน

Note :


Page 3 of 27

แบบฝกหด

จงหาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน (1) f(x) = 5x (2) f(x) = x3

(3) f(x) = xx (4) f(x) = 5x1

(5) f(x) = 2x + 1 (6) f(x) = 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1

(7) f(x) = 32 x3

x2+ (8) f(x) = (x2 – 1)(4 – x2)

(9) f(x) = x

1 (10) f(x) = 2x x1+


Page 4 of 27


เรอง ปรพนธไมจ ากดเขต จากรปทวไปของปฏยานพนธของ f คอ ฟงกชน y = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว เพอความสะดวกในการค านวณ จงมการเขยนรปทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f ดวยสญลกษณ dx f(x) อานวา

“ปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชน f” เทยบกบตวแปร x”

นยาม เมอ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง และ F./(x) = f(x) ส าหรบทก x ทอยในโดเมนของ f ปรพนธไมจ ากดเขตของ ฟงกชน f เขยนแทนดวยสญลกษณ dx f(x) โดยท dx f(x) = F(x) + C

เมอ C เปนคาคงตวใด ๆ จากบทนยาม เรยกกระบวนการ dx f(x) วา “การอนทเกรต” หรอ “การหาปรพนธ”

เครองหมาย “ ” เรยกวา “เครองหมายอนทกรล” หรอ “เครองหมายปรพนธ”

เรยก f(x) วา “ตวถกอนทเกรต” หรอ “ตวถกหาปรพนธ” และ dx เปนสญลกษณทบอกวา “การอนทเกรตนเทยบกบตวแปร x” หรอเปนตวอยางบอกใหรวา เปน “การหาปรพนธเทยบกบตวแปร x” สตรเกยวกบการหาปรพนธไมจ ากดเขตของฟงกชน สตรท 1 ถา f(x) = k แลว +== C kx dx k dx f(x)

เมอ k และ C เปนคาคงตว ตวอยางท 1 จงหา dx 5 และ dx (-8)

วธท า dx 5 = 5x + C

dx (-8) = -8x + C

สตรท 2 ถา f(x) = xn เมอ n -1

++

==+

C 1 n

x dx x dx f(x)

1 n n

ตวอยางท 2 จงหา dx x 5 และ dx x

13

วธท า จากสตรท 2 dx x n = C 1 n

x 1 n

++

+

จะได dx x 5 = C 1 5

x 1 5

++

+


Page 5 of 27

= C 6

x 6

+

dxx

13

= dxx -3

= C 1 3-

x 1 -3

++

+

= C 2-

x -2

+

= C 2x

1-2+

สตรท 3 = dx f(x)k dx f(x)k เมอ k เปนคาคงตว และ f(x) มปรพนธ

ตวอยางท 3 จงหา dx 5x 2

วธท า dx 5x 2 = dx x 5 2

= C 3

x 5

3

+

= C x3

5 3 +

สตรท 4 +=+ dx g(x) dx f(x) dx g(x)] [f(x)

เมอ f(x) และ g(x) มปรพนธ ตวอยางท 4 จงหา + dx 2x) (x 2

วธท า + dx 2x) (x 2 = + 2xdx dxx 2

= C 2

2x

3

x 23

++

= C x 3

x 23

++

ตวอยางท 5 จงหา ++ dx 5x) 3x (x 22

วธท า ++ dx 5x) 3x (x 22 = ++ dx5x dx 3x dxx 24

= C 2

5x

3

3x

5

x 235

+++

= C x2

5 x

5

x 235

+++


Page 6 of 27

สตรท 5 = dx g(x) -dx f(x) dx g(x)] - [f(x) เมอ f(x) และ g(x) มปรพนธ

ตวอยางท 6 จงหา

dx

x

1 -2x

2

วธท า

dx

x

1 -2x

2 = dx

x

1 - dx2x

2

= dx x - dxx 2 -2

= C 1-

x -

2

x 2

-12

+

= C x

1 x 2 ++

ตวอยางท 7 จงหา

dx

x2

1 -

x

1

2

วธท า

dx

x2

1 -

x

1

2 =

dx x

2

1 - x 2

1 -

2-

= −

dx x2

1 - dx x 2

1

2-

= C

2

1

x

2

1 -

1-

x 2

1

1-

+

= C x - x

1 - +

ตวอยางท 8 ถา dx

dy = 5x4 + 3x2 – 2 จงหา y

วธท า จาก dx

dy = 5x4 + 3x2 – 2

จะได y = )23x(5x 24

−+ dx

= 23x5x 24

−+ dxdxdx

= 2x3x5 24

−+ dxdxdx

= cxxx

+−+ 23

3

5

5 35

= x5 + x3 – 2x + c


Page 7 of 27

โจทยเกยวกบการน าปรพนธไมจ ากดเขตไปใช การน าปรพนธไมจ ากดเขต สามารถน ามาประยกตใชดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 9 ถาก าหนดความชนของเสนโคงทจด (x, y) ใด ๆ เปน 3x2 – 4x – 5 แลว จงหาสมการของเสนโคงทผานจด (1, -6) วธท า ให y = f(x) เปนสมการของเสนโคง ดงนน f/(x) คอ ความชนของเสนโคงทจด (x, y) ใด ๆ จากโจทย จะได f/(x) = 3x2 – 4x – 5 ใชวธการหาปรพนธ จะได dx (x)f / = dx 5) -4x - (3x 2

f(x) = C 5x - 2

4x -

3

3x 23

+

= x3 – 2x2 – 5x + C (1) แตเสนโคงผานจด (1, -6) จะไดวา x = 1 และ f(x) = -6 แทนคา x และ f(x) ใน (1) -6 = 1 – 2 – 5 + C C = 0 แทนคา C ใน (1) จะไดสมการเสนโคงคอ f(x) = x3 – 2x2 – 5x ตวอยางท 10 ในขณะเวลา t ใด ๆ วตถเคลอนทดวยความเรง -3t เมตร/วนาท2 ขณะทเรมตนจบเวลาวตถเคลอนทดวยความเรว 1 เมตร/วนาท และไดระยะทาง 3 เมตร จงหาสมการการเคลอนทของวตถ

วธท า เนองจาก 3t- dt

dv a ==

จะได v = 1

2 C t2

3 - dt3t - +=

แตขณะทเรมตนจบเวลาวตถเคลอนทดวยความเรว 1 เมตร/วนาท นนคอ ขณะ t = 0 , v = 1

จาก v = 1

2 C t2

3 - +

1 = 0 + C1 C1 = 1

ดงนน ความเรวขณะเวลา t คอ v = 1 t2

3 - 2 +

เนองจาก 1 t2

3 -

dt

dS v 2 +==

จะได S = ++=

+ 2

32 C t

2

t - dt 1 t

2

3-


Page 8 of 27

แตขณะเรมตนจบเวลาวตถเคลอนทไดระยะทาง 3 เมตร นนคอ ขณะ t = 0 , S = 3

จาก S = 2

3

C t 2

t ++−

3 = 0 + 0 + C2 C2 = 3

ดงนน สมการการเคลอนทของวตถ คอ S = 3 t 2

t

3

++−

ตวอยางท 11 ปลอยวตถชนหนงใหตกจากทสง โดยกฎของนวตน แรงทท าใหวตถเคลอนท F ก าหนดโดยสตร F = ma เมอ m เปนมวล a เปนความเรง แตแรงทท าใหวตถเคลอนทคอ น าหนกของวตถ (w) ซงเปนแรงทโลกดงดดวตถ โดย w = mg เมอ g เปนความเรงทโลกดงดดวตถและใชหนวยของระยะทางเปนเมตร หนวยของเวลาเปนวนาท g = 9.8 เมตร/วนาท2 จากสตร ma = mg จงหาระยะทท าใหวตถตก (s) ในรปของ t ก าหนดใหวา เมอ t = 0 จะได s = 0 และ v = 0 วธท า จาก ma = mg จะได a = g

หรอ g dt

dv =

ดงนน v = 1gdt cgt += เมอ c1 เปนคาคงตว

เมอ t = 0 จะได v = 0 ฉะนน c1 = 0 ดงนน v = gt

จาก dt

ds v =

จะได dt

ds = gt

และ s = 2

2

2

1gtdt cgt += เมอ c2 เปนคาคงตว

ขณะ t = 0 จะได s = 0 ฉะนน c2 = 0

ดงนน s = 2

2

1gt = 22 9.4)8.9(

2

1tt =

นนคอ ระยะทวตถตก คอ s = 4.9t2


Page 9 of 27


1. จงหาปรพนธไมจ ากดเขตตอไปน (1) (x4 + 3x2 + 5x)dx (2) (2x3 −3x2 + 6 − 2x−2)dx

(3) dx)x1(x 3

10 − (4) dx)

x2

x1( 42 +

(5) dxx (6) )dxx(x 32

23

−

(7) dx)x2

2x1( 2 − (8) x2(x − 3)dx

(9) 1)dx(xx + (10) dxx

2x3

−

(11) (x2 + 5x +1)dx (12) 15)dxx(6 +

(13) (x3 + 5x2 + 6)dx (14) )dxx8x

6( +


Page 10 of 27

2. ถา f(x) = x และ f(2) = 2 แลว จงหา f(x) 3. จงหาสมการเสนโคง y = f(x) เมอก าหนดความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด (x, y) ใด ๆ และจดทเสนโคงผานดงน

(1)dxdy =x2 – 3x + 2 , ทจด (2, 1)

(2) dxdy = 2x3 + 4x , ทจด (0, 5)

(3) dxdy = 6 + 3x2 – 2x4 , ทจด (1, 0)


Page 11 of 27

4. จงหาความเรว v(t) และต าแหนงของวตถ s(t) ขณะเวลา t ใด ๆ เมอก าหนดความเรง a(t) และต าแหนงของวตถเมอ t = 0 ดงน (1) a(t) = 6 – 2t, 0 t 3, v(0) = 5, s(0) = 0

(2) a(t) = 120t – 12t2, 0 t 10, v(0) = 0, s(0) = 4 (3) a(t) = t2 + 5t + 4, 0 t 15, v(0) = –2, s(0) = –3

5. โยนวตถชนหนงขนไปบนอากาศในแนวดงดวยความเรว 98 เมตร/วนาท ก าหนดใหg = 9.8 เมตร/วนาท2 จงหา (1) สมการของการเคลอนทของวตถชนน (2) วตถขนไปสงสดเมอเวลาผานไปนานเทาใด (3) ระยะทางสงสดทวตถขนไปได (4) ตองใชเวลาเทาใดวตถจงอยสง 249.9 เมตร จากจดเรมตน


Page 12 of 27

6. ในขณะเวลา t ใด ๆ รถไฟขบวนหนงแลนออกจากสถานดวยความเรง t)(2041

− เมตร/วนาท2 จนวนาท

ท 20 หลงจากนนรถไฟแลนตอไปดวยความเรวเทาเดมโดยตลอด จงหาวาหลงวนาทท 20 รถไฟแลนดวยความเรวเทาใดและเมอเวลาผานไป 30 วนาท รถไฟจะอยหางสถานตนทางเปนระยะทางเทาใด

ใบความรท 18 เรอง ปรพนธจ ากดเขต

Note :


Page 13 of 27


เรอง ปรพนธจ ากดเขต

ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ปรพนธจ ากดเขตของฟงกชน f บนชวง

[a, b] แทนดวยสญลกษณ b

adx f(x) ซงในการค านวณปรพนธจ ากดเขตของฟงกชน y = f(x)

บนชวง [a, b] นน จะใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ในการค านวณจะท าใหหาปรพนธจ ากดเขตไดรวดเรวยงขน และสามารถน าไปใชในการหาพนททปดลอมดวยเสนโคงอกดวย

ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลแคลคลส เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนบนชวง [a, b]

โดยท F/(x) = f(x) แลว b

adx f(x) = F(b) – F(a)

จากทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลแคลคลส เราจะเขยนสญลกษณ F(x) b

a แทน F(b) – F(a)

ถา F/(x) = f(x) ดงนน b

adx f(x) = F(x) b

a = F(b) – F(a)

วธการหาปรพนธจ ากดเขต b

adx f(x) โดยใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ท าไดดงน

1. หา F(x) โดยการน า f(x) ไปหาปรพนธไมจ ากดเขต แตไมตองมาบวกคาคงตว dx f(x) = F(x)

หรอ F/(x) = f(x) 2. เมอได F(x) จากขอ 1 แลวใหน าคา a และ b ไปแทนในฟงกชน F(x) และค านวณคา F(b) – F(a)

ตวอยางท 1 จงหา 1

0

2 dx x

วธท า เนองจาก f(x) = x2 เปนฟงกชนตอเนองใน R ดงนน ฟงกชน f จงเปนฟงกชนตอเนองในชวง [0, 1]

และเนองจากปฏยานพนธของ f(x) = x2 คอ F(x) = C 3

x 3

+

จะได 1

0

2 dx x = 1

0

3

C 3

x

+

= C) (0 - C 3

1 +

+

= 3

1


Page 14 of 27


0

2 dx )x-(4

วธท า cx

xdxx +−=− 34)4(

32 เมอ c เปนคาคงตว

ดงนน ปฏยานพนธ f(x) = 4 – x2 คอ F(x) = cx

x +−3

43

ฉะนน 2

0

2 dx )x-(4 = 2

0

3

3

x-4x

= 0 3

2-4(2)

2

0

3

−

= 3

16


1-

2 dx 2x) - (3x

วธท า วธท 1 ให f(x) = 3x2 – 2x

จะได dx f(x) = 2

1-

2 dx 2x) - (3x

= 2

2x -

3

3x 23

= x3 – x2 นนคอ F(x) = x3 – x2 จากโจทย a = -1 และ b = 2 หา F(b) = F(2) = 23 – 22 = 4 หา F(a) = F(-1) = (-1)3 – (-1)2 = -2 ดงนน F(b) – F(a) = F(2) – F(-1) = 4 – (-2) = 6

วธท 2 2

1-

2 dx 2x) - (3x = ( ) 2

1-

23 x- x

= F(2) – F(-1) = (23 – 22) – ((-1)3 – (-1)2) = 4 – (-2) = 6


Page 15 of 27


จงหาปรพนธจ ากดเขตตอไปน โดยใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส

1. +43

3 3)dx(x 2. +−31

2 3)dx2x(x

3. +11-

3 2x)dx(4x 4. 1-3- 2 dx

x1

5. +42 3

2 )dxx3(x 6. −+−

11-

24 1)dxxx(

7. +10

2 1)dxx(x 8. +10

222 dx1)(xx

9.

+

20

3dx2x

3x 10. +

20

22 dx1)x(x


Page 16 of 27


เรอง พนททปดลอมดวยเสนโคง การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) จาก x = a ถง x = b สามารถหาไดโดยอาศยทฤษฎบทดงน บทนยาม เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยกราฟของ f จาก x = a ถง x = b (1) ถา f(x) 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a, b] และA เปนพนท

เหนอแกน X แลว A = b

a dx f(x)

(2) ถา f(x) 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a, b] และ A เปนพนท

ใตแกน X แลว A = – b

a dx f(x)

ตวอยางท 1 จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ f(x) = x2 - 9 จาก x = -2 ถง x = 1 วธท า ให A แทนพนททปดลอมดวยเสนโคง f(x) = x2 - 9 จาก x = -2 ถง x = 1 f(x) 0 ส าหรบทก x ในชวง [-2, 1]

จะได A = −1

2-

2 dx 9)-(x

= 1

2-

3

9x -3

x

−

=

+

− 18

3

8- - 9 -

3

1

= 24 ตารางหนวย ตวอยางท 2 จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถง x = 2. วธท า ให A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถง x = 2. และ f(x) 0 ส าหรบทก x ในชวง [-2, 2]

จะได A = - b

a dx f(x)

= +−2

2-

2 dx 15) -2x (x

= 2

2-

23

15x - 2

2x

3

x

+−

= 2

2-

23

15x - x 3

x

+−

=

+

+− 15(-2) - (-2)

3

(-2) - 15(2) - 2

3

2 2

32

3


Page 17 of 27

=

− 60 -

3

16

= 3

164 ตารางหนวย

ตวอยางท 3 จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 4x – x2 จาก x = 1 ถง x = 3 วธท า ให A แทนพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 4x – x2 จาก x = 1 ถง x = 3 และ f(x) 0 ส าหรบทก x ในชวง [1, 3]

ดงนน A = 3

1

2 dx ) x-(4x

= 3

1

32

3

x -

2

4x

= 3

1

32

3

x - 2x

=

3

1 - 2(1) -

3

3 - 2(3)

32

32

=

3

1 - 2 - 9) - (18

= 9 - 3

5

= 3

22 ตารางหนวย


Page 18 of 27

แบบฝกหด พนททปดลอมดวยเสนโคง

1. จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ y = x2 จาก x = –3 ถง x = 0

2. จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ y = x + 1 จาก x = –1 ถง x = 1

3. จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ y = 6 + x – x2 จาก x = –1 ถง x = 1

4. จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ y = 9 – x2 จาก x = –1 ถง x = 3


Page 19 of 27

5. จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ y = x2 – 9 จาก x = –1 ถง x = 3

6. ก าหนดให ฟงกชน f แสดงดงรป ถา F(x) = f(x) และ F(0) = 0 แลว จงหา F(b) เมอ b 1, 2, 3, 4, 5

7. ก าหนดให ฟงกชน F(x) แสดงดงรป ถา F(0) = 3 จงหาคาของ F(2), F(5) และ F(6)


Page 20 of 27

แบบฝกหดเสรม 1

1. ใหหาคา F (x) ทท าให F’(x) = f (x) เมอก าหนดให 1.1 f (x) = 2x 1.2 f (x) = 7 1.3 f (x) = 3x2 1.4 f (x) = x3

1.5 f (x) = xx 1.6 f (x) = 5

1

x

2. ใหหาคา dxxf )( เมอก าหนดให

2.1 f (x) = 5x4 + 3x2 – 2 2.2 f (x) = 2x - 2

1

x

2.3 f (x) = x2 (x-3) 2.4 f (x) = x3 - 3

3

x+ 4


Page 21 of 27

2.5 f (x) = 3

2

x

x − 2.6 f(x) = (4x2 + 1)(x - 1)

3. f (x) = 3x2 – 3 และ F เปนปฏยานพนธของ f หาก F(0) = 4 แลว ใหหาคา F(1)

4. ถา xxxdx

dy435 24 −+= และ -y(1) = y(-1) แลว ใหหาคาของ y(0)

5. โคง C มความชนทจดใด ๆ เปน x2 + 2x – 3 ใหหาสมการของโคงนน ถาโคงผานจด (0, 1)


Page 22 of 27

6. ถาเสนโคง y = f (x) ผานจด (0, 1) และ (4, c) เมอ c เปนจ านวนจรง และความชนของเสน

โคงนทจด (x, y) ใดๆ มคาเทากบ 1−x แลว c มคาเทาใด

7. ถาเสนโคง y = f (x) มอตราการเปลยนแปลงของความชนทจด (x, y) ใดๆ บนโคงเปน 2x- 1 และเสนสมผสเสนโคงทจด (1, 2) ตงฉากกบเสนตรง x + 2y – 1 = 0 แลวความชนของโคงนทจดซง x = 0 เทากบเทาใด

8. จดตดระหวางวงกลมทมจดศนยกลางอยท (0, 1) รศม 2 หนวย กบเสนโคงทผานจด (3, 10) และมความชนทจด (x, y) ใด ๆ เปน 2x จะอยในจตภาคใด

9. ก าหนดให f เปนฟงกชนซง f(2) = -1, f’(1) = -3 และ f’’(x) = 3 ทกๆ คา x แลว f(0) มคาเทาใด


Page 23 of 27

10. ในเวลา t วนาท รถไฟวงดวยความเรง a ฟตตอวนาท2 โดย a = 12t2 + 6t +10 หากเมอเวลา

เรมตนพบวาระยะทางเปน 10 ฟต และความเรวเปนศนย ใหหาระยะทางเมอเวลาผานไป 5 วนาท

11. ถาวตถชนหนงเคลอนทดวยความเรงขณะเวลา t ใด ๆ เปน 24t2 เมตร/วนาท2 และขณะเวลาเปน t = 1 วนาท มความเรว 16 เมตร/วนาท และเคลอนทไดระยะทาง 8 เมตร แลว เมอเวลา t = 2 วนาท วตถจะเคลอนทไดระยะทางเทาไร

12. ถาก าลงคนของบรษทแหงหนงทมในปจจบนท าใหไดผลผลต 3,000 ชนตอวน และเมอคนเพม x คน จะมอตราการเปลยนแปลงผลผลต x680− ชนตอวน ถามวาเมอเพมคน 25 คน บรษทแหงนจะไดผลผลตกชนตอวน


Page 24 of 27

แบบฝกหดเสรมทกษะ 2

1. ใหหาคาของ

1.1 −

4

0

)3( dxx 1.2 −

−

2

2

)12( dxx

1.3 พนทปดลอมดวยเสนตรง y = 3 – x กบแกน x ในชวง x = 0 ถง 4 1.4 พนทปดลอมดวยเสนตรง y = 2x – 1 กบแกน x ในชวง x = -2 ถง 2

2. ใหหาคาของ

2.1 −

−

2

1

2 )23( dxxx 2.2 −

−

3

1

3 )4( dxxx

2.3 −

−+

4

1

2 )6( dxxx


Page 25 of 27

3. ใหหาพนททลอมดวยโคง f(x) = x2 – 1 กบแกน x ในชวงทก าหนดใหตอไปน

3.1 ในชวง x = 1 ถง 2 3.2 ในชวง x = -1 ถง 1 3.2 ในชวง x = -2 ถง 0

4. คาของ dxxdxx

x −+

+1

0

2

2

1

2

4

)4(1 เทากบเทาใด

5. พนทปดลอมดวยโคง y = x2 – 3x + 2 จาก 0 ถง x = 2 เฉพาะสวนทอยเหนอแกน x เทากบเทาใด


Page 26 of 27

6. ให f(x) = x2 – c โดย c เปนคาคงตวซง c ≥ 4 ถาพนททปดลอมดวยโคง y=f(x) จาก x = -

2 ถง x = 1 เทากบ 24 ตารางหนวย แลว c มคาเทาใด

7. ก าหนดให f(x) มกราฟเปนครงวงกลมดงกราฟใหหาคา 8

5

)( dxxf

8. ก าหนดฟงกชน y = f(x) มกราฟเปนเสนตรงตดแกน x ทจด (-1, 0) และผานจด (3, 6) แลว

คาของ −

3

1

)( dxxf


Page 27 of 27

สตรเกยวกบการหาปรพนธ ไมจ ากดเขตของฟงกชน

Note :

รงเรียนสตรีนนทบุรีว ชาคณ ตศาสตร...

Documents