รหัส 3000-1525 วชิา แคลคลูัส 1คำาสัง่ จงศึกษาตัวอยา่งและสรา้งแบบฝึกหัดเลียนแบบตัวอยา่งด้วยลายมอื ตัวอยา่งละ 2 ขอ้ รวมทั้งหมดให้ได้ 100 ขอ้ สง่ครูต๊ิดในสปัดาห์สดุท้าย-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------การหาค่าของฟงัก์ชนัตัวอยา่ง ท่ี 1 กำ�หนดให้ f(x) = จงห� f(5) - f(2)

วธิทีำา f(x) = f(5) = = f(2) = =

f(5) - f(2) = = ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 2 กำ�หนดให ้ f(x) = จงห� f(-2) f(2)

วธิทีำา f(x) = f(-2) = = =

f(2) = = = f(-2) f(2) = . = 1ตอบ

การหาค่าลิมติของฟงัก์ชนัตัวอยา่งท่ี 3 =?

วธิทีำา ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 4 = ?

1

วธิทีำา = -1 ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 5 = ?

วธิทีำา

ตอบตัวอยา่งท่ี 6 = ?

วธิทีำา ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 7 =?

วธิทีำา

ตอบตัวอยา่งท่ี 8

วธิทีำา

ตอบตัวอยา่งท่ี 9

วธิทีำา

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 10

2

วธิทีำา

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 11

วธิทีำา ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 12 =?

วธิทีำา =

=

=

= = = ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 13

วธิทีำา

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 14 =

3

=

=

= = ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 15

วธิทีำ�

ตอบความต่อเนื่องของฟงัก์ชนัตัวอยา่งที่ 16 จงพจิ�รณ�ว�่ฟงัก์ชนั มคีว�มต่อเ น ื่อ ง ท ี่จ ุด ห ร อื ไ ม ่วธิทีำา

ห�ค่� ห�ค่�

จะเห็นวา่

4

ดังนัน้ มคีว�มต่อเน่ืองที่จุด เพร�ะมสีมบติัครบทัง้ส�มขอ้ ตอบการหาค่าของอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัตัวอยา่งท่ี 17 ถ้� y = 10 จงห�ค่�อนุพนัธข์อง y

วธิทีำา y = 10 = = 0 ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 18 ถ้� y = -2x = -2x = -2 x = -2 ตอบ ตัวอยา่งท่ี 19 ถ้� y = x = x =

ตอบ ตัวอยา่งท่ี 20 ถ้� y =

=

= = =

= ตอบตัวอยา่งท่ี 21 ถ้� จงห�วธิทีำา จ�กจะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 22 ถ้� จงห�

5

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 23 ถ้� จงห�วธิทีำา จ�ก หรอื

จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 24 ถ้� จงห� วธิทีำา จ�กจะได้

6

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 25 ถ้� จงห� วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 26 ถ้� จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

7

ตอบตัวอยา่งท่ี 27 กำ�หนดให ้ จงห�วธิทีำา จ�ก

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 28 จงห� วธิทีำา ต้องก�รห�ค่� จ�ก

เพร�ะว�่

แทนค่� ลงใน จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 29 ถ้� จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

8

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 30 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 31 ถ้� จงห�วธิทีำาจ�ก

จะได้

9

ตัวอยา่งท่ี 32 ถ้�วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 33 ถ้� จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

10

ตอ บ

ต

ตัวอยา่งท่ี 34 ถ้� จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 35 ถ้� y = (4x)(x + 1) = (4x)(x + 1) = 4x (x + 1) + (x + 1) 4x = 4x (1) + (x+1)4 = 4x + 4x + 4 = 8x +4 ตอบ ตัวอยา่งท่ี 36 ถ้� y = (x - 1)(3x) = (x - 1)(3x) = = (x - 1)(3) + (3x)(2x) = 3x - 3+ 6x = 9x - 3 ตอบตัวอยา่งท่ี 37 ถ้� y =

= =

11

= [x(3) - (3x-1)(1)] = [3x-3x+1]

= ตอบตัวอยา่งท่ี 38 ถ้� y = = =

= [ (x + 2)(3)- (3x-5)(2x)]

= [ 3x +6 - 6x+10x)]

= [ -3x +16x)] ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 39 ถ้� y = (2x) = (2x) = ตอบตัวอยา่งท่ี 40 ถ้� y = (x-8) = (x-8) =

=== ตอบ

12

ตัวอยา่งท่ี 41 ถ้� y = จงห�

วธิทีำา y =y =

=

=

=

=

=

= ตอบ

กฎลกูโซ ่(chain Rule)

ตัวอยา่งท่ี 42 ถ้� และ จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

จ�ก

จะได้

13

โดย chain Rule จะได้ ตอบ

ตัวอยา่ง ท่ี 43 ถ้� y = u – 3u และ u = 3x + 2 จงห�

จ�กสตูร = = = ==

= แต่ u = 3x + 2=== ตอบ

ตัวอยา่ง ท่ี 44 ให้ y = 3u + 2u + 5 , u = 4v - 1 , v = 3x จงห�

= === (6u – 2)(4)(6x) แต่ u = 4v -

1= (6(4v – 1) – 2)(24x)= (24v – 6 – 2)(24x) แต่ v = 3x= (24(3x ) – 8)(24x)= (72x - 8)(24x)= 8(9x - 1)(24x)

14

= (9x - 1)(192x) ตอบการหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัโดยปรยิายตัวอยา่ง ท่ี 45 กำ�หนดให ้ x +2y = x จงห� และ

ห�อนุพนัธเ์ทียบกับ x ทัง้สองข�้ง จะได้== 1

= 1= 1

=ในทำ�นองเดียวกัน จ�กโจทย ์ x2 + 2y3 = xห�อนุพนัธเ์ทียบกับ y ทัง้สองข�้ง จะได้

= =

= = =

= ตอบการหาอนุพนัธอั์นดับสงูตัวอยา่ งท่ี 46 กำ�หนดให ้ y = 2x + 4x - 2x จงห� ,

, , และ จ�ก y= 2x +4x -2x =

= ==

15

= = = = = = =

และ = = = 240 ตอบ

การหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัอดิศัยตัวอยา่งท่ี 47 กำ�หนดให้ y = cos 5x จงห� วธิทีำา y = cos 5x

= cos 5x= - sin 5x= - sin 5x (5 )= -5 sin 5x ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 48 กำ�หนดให้ y = tan (2x+5) จงห�

วธิทีำา y = tan (2x+5) = tan (2x+5)

= sec2(2x+5) (2x+5)= sec2(2x+5) ( )= 2sec2(2x+5) ตอบ

16

ตัวอยา่งท่ี 49 กำ�หนดให้ y = sin 8x – cos 5x + tan 4x จงห�

วธิทีำา จ�ก y = sin 8x – cos 5x+ tan 4x

= (sin 8x – cos 5x+ tan 4x)

= sin 8x – cos 5x+ tan 4x

= cos 8x + sin 5x + sec24x

= 8cos 8x + 5sin 5x + 4sec24x ตอบตัวอยา่งท่ี 50 กำ�หนดให้ y = จงห�

วธิทีำา จ�ก y = =

= sin(x2+5)

= .

= (x+2) = ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 51 กำ�หนดให้y = tan2 จงห� วธิทีำา จ�ก y = tan2

จะได้ว�่ = tan2 (2x – 10)= 2 tan2-1 (2x – 10) tan (2x – 10)

17

= 2 tan (2x – 10) .sec2 (2x – 10) . (2x – 10)

= 2 tan (2x – 10) .sec2 (2x – 10) . (2)

= 2 tan (2x – 10) .sec2 (2x – 10) .

= ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 52 กำ�หนดให ้ sin y + cos x = 7 จงห�

วธิทีำา จ�ก sin y + cos x = 7 ห�อนุพนัธเ์ทียบกับ x ทัง้สองข�้ง

(sin y + cos x) = sin y + cos x = 0

cos y – sin x = 0cos y – sin x = 0cos y = sin x

= ตอบตัวอยา่งท่ี 53 กำ�หนดให ้ y = arctan จงห�

วธิทีำา จ�ก y = arctan = arctan

= .

= .

18

=

= = ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 54 กำ�หนดให ้ y = arcsec (2x + 1) จงห�

วธิทีำา จ�ก y = arcsec (2x + 1)

= arcsec (2x + 1)= (2x + 1)= = =

= ตอบตัวอยา่งท่ี 55 กำ�หนดให ้ y = arcsec (x + 7) + arccosec (x + 7) จงห� วธิทีำา จ�ก y = arcsec (x + 7) + arccosec (x + 7)

= arcsec (x + 7) + arccosec (x + 7)

= (x + 7) +(x + 7)

= – = 0 ตอบ

19

ตัวอยา่งท่ี 56 กำ�หนดให ้ y = + arcsec จงห�

วธิทีำา จ�ก y = + arcsec = + arcsec

= + = x (x – 4) – (x – 4) +

arcsec

= x2 (x2 – 4) – (x2 – 4) (2x) +

= – 2x +

= – 2x + .

= – + = + = +

= + = + =

= ตอบตัวอยา่งท่ี 57 กำ�หนดให ้ จงห�

20

วธิทีำา จ�ก

ตอบตัวอยา่งท่ี 58 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 59 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 60 กำ�หนดให ้ 2sin (3 2)y x จงห�วธิทีำา จ�ก

21

จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 61 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 62 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบตัวอยา่งท่ี 63 กำ�หนดให ้ จงห�วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

22

ตัวอยา่งท่ี 64 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 65 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก

ตัวอยา่งท่ี 66 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 67 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

23

ตอบ

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 68 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 69 กำ�หนดให ้ จงห�ค่� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 70 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 7 1 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

24

ตอบ

ตอบ

ตอบ

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 7 2 กำ�หนดให้ จงห�วธิทีำาจ�ก

จะได้

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 7 3 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

25

ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 7 4 กำ�หนดให ้ จงห�

วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 7 5 กำ�หนดให ้ จงห� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 7 6 กำ�หนดให ้ จงห�ค่� วธิทีำา จ�ก จะได้

ตัวอยา่งท่ี 7 7 กำ�หนดให้ จงห�วธิทีำาจ�ก

26

ตอบ

ตอบ

ตอบ

ตอบ

จะได้

การประยุกต์อนุพนัธข์องฟงักชนั

ตัวอยา่งท่ี 78 จงห�คว�มชนัของเสน้โค้ง y = 4 – x2 ท่ีจุด (-1, 3) วธิทีำา คว�มชนัของเสน้โค้งท่ีจุดใดๆ คือ อนุพนัธข์องเสน้โค้งที่จุดนัน้

จ�ก y = 4 – x2

= (4 – x2)=

= -2xดังนัน้ คว�มชนัของเสน้โค้งท่ีจุด (-1, 3) คือ –2(-1) = 3ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 79 จงห�คว�มชนัของเสน้โค้ง x2 - 4y2 = 5 ท่ีจุด (4, 1)

วธิทีำา คว�มชนัของเสน้โค้งท่ีจุดใดๆ คือ อนุพนัธข์องเสน้โค้งที่จุดนัน้

จ�ก x2 + 4y2 = 5 ห�อนุพนัธเ์ทียบกับ x ทัง้สองข�้ง = = 0 = -2x

27

ตอบ

= =

คว�มชนัของเสน้โค้งท่ีจุดใดๆ คือ

ดังนัน้ คว�มชนัของเสน้โค้งท่ีจุด (4, 1) =ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 80 จงเขยีนกร�ฟพรอ้มทัง้ห�ค่�สงูสดุสมัพทัธห์รอืค่�ตำ่�สดุสมัพทัธ์

วธิทีำา จ�ก y = x3 – 3x2 + 4 = =

= 3x(x – 2) จุดวกิฤต คือ จุดที่ทำ�ให ้ = 0

จุดวกิฤต คือ 3x (x – 2) = 0 x = 0, 2พจิ�รณ�ท่ีจุด x = 0 โดยเลือกชว่ง [–1, 1]

ในชว่ง [–1, 1] ม ีx = 0 เป็นจุดวกิฤต เพยีงจุดเดียวจะเหน็ว�่เมื่อ x = 1; = > 0 เป็นบวก

และ x = 1; = < 0 เป็นลบ ค่�คว�มชนัเปล่ียนจ�กบวกเป็นลบในชว่ง [–1, 1] ท่ีจุด x =

0จะใหค่้�สงูสดุสมัพทัธ ์ f(0) = 03– 3(0)2 + 4 = 4จุดสงูสดุสมัพนัธ ์ คือ (0, 4) ตอบ

พจิ�รณ�ท่ีจุด x = 2 โดยเลือกชว่ง [1, 3]เมื่อ x = 1 ; = < 0 เป็นลบเมื่อ x = 3 ; = > 0 เป็นบวก

ค่�คว�มชนัเปล่ียนจ�กลบเป็นบวกในชว่ง [1, 3] ท่ีจุด x = 2

จะใหค่้�ตำ่�สดุสมัพทัธ ์ f(2) = 23 – 3(2)2 + 4 = 0 จุดตำ่�สดุสมัพทัธ ์คือ (2, 0) ตอบ

28

จ�ก y = ให ้ y = 0 จะได้ว�่ = 0

=0 x = –1, 2, 2

จุดตัดแกน x คือ จุด (–1, 0), (2, 0)ให ้x = 0 จะได้ y = 03– 3(0)2+ 4 = 0จุดตัดแกน y คือ (0, 4)

ห�ค่� y เมื่อ x = 1 y = 13 – 3(1)2 +

4 = 2ห�ค่� y เมื่อ x = 3 y = 33 – 3(3)2 +

4 = 4 ตอบ

29