รงเรียนสตรีนนทบุรี‘’ลิมิตของฟังก์ชัน’’...

โรงเรยนสตรนนทบร

วชาคณตศาสตร (ค30205/ค33291)

ชนมธยมศกษาปท 6

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ……………..

เรอง แคลคลสเบองตน 1 ลมตและความตอเนอง (Basic Calculus- Integration)

ชอ ............................................... ชน .............. เลขท ..........

ครผสอน นายพบลย ชมสมบต

โรงเรยนสตรนนทบร 120 ถนนพบลสงคราม ต าบลสวนใหญ อ าเภอเมอง จงหวดนนทบร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 3

สารบญ

หนา

ใบความรท 1 เรอง ลมตของฟงกชน 1

แบบฝกหด เรองลมตของฟงกชน (1) 7

แบบฝกหด เรองลมตของฟงกชน (2) 11

ใบความรท 2 เรอง ความตอเนองของฟงกชน 15

แบบฝกหด เรองความตอเนองของฟงกชน 19

แบบฝกทกษะ เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน 21

วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) เรอง แคลคลสเบองตน 1 (Basic Calculus I) ระดบชนมธยมศกษาปท 6

สอนโดย :ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร

1

ใบความรท 1

เรอง ลมตของฟงกชน โดยทวไป ส าหรบฟงกชน f ใด ๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง ถาคาของ f(x)

เขาใกลจ านวนจรง L เมอ x มคาเขาใกล a เรยก L วา ลมตของ f ท a และเขยนแทนดวยสญลกษณ L f(x) lim

a x =

→

แตถาไมมจ านวนจรง L ซง f(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a แลว จะกลาววา f ไมมลมตท a และเขยนแทนวา f(x) lim

a x →หาคาไมได

นอกจากน สญลกษณ L f(x) lima x

=→

อาจแทนดวย L f(x) → เมอ a x →

ซงอานวา “f(x) เขาใกล L เมอ x เขาใกล a” ในการหาคาของฟงกชน f(x) เมอ x เขาใกล a นน เราจะพจารณาคาของฟงกชน f(x) วา เขาใกลจ านวนจรงคาใดในขณะท x มคาเขาใกล a แต x ≠ a นนหมายความวา เราจะไมพจารณาคาของฟงกชน f(x) ท x = a ดงนน ฟงกชน f อาจจะนยามหรอไมนยามท x = a กได อยางไรกตาม ฟงกชน f จะตองนยามทแตละจดทใกล a

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1x

1-x lim

21 x −→โดยการสรางตารางแสดงคาของฟงกชน

วธท า สงเกตวา ฟงกชน 1x

1-x)(

2 −=xf ไมนยามท x = 1

อยางไรกตาม การหา f(x) lim1 x →

เราจะพจารณาคาของ f(x)

เมอ x เขาใกล 1 แต x ≠ 1 เทานน ตารางแสดงคาของ f(x) เมอ x เขาใกล 1 แต x ≠ 1

x<1 f(x) x>1 f(x) 0.5 0.666667 1.5 0.400000 0.9 0.526316 1.1 0.476190 0.99 0.502513 1.01 0.497512 0.999 0.500250 1.001 0.499750 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

จากตารางจะเหนวา f(x) เขาใกล 0.5 เมอ x เขาใกล 1

ดงนน 1x

1-x lim

21 x −→ = 0.5

โดยทวไป ส าหรบฟงกชน f ใด ๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง ถาคาของ f(x) เขาใกลจ านวนจรง L1 เมอ x มคาเขาใกล a ทางดานซาย เรยก L1 วา ลมตซายของ

f(x) เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ 1a x

L f(x) lim-

=→

ถาคาของ f(x) เขาใกลจ านวนจรง L2 เมอ x มคาเขาใกล a ทางดานขวา เรยก L2 วา ลมตขวาของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวยสญลกษณ 2

a x L f(x) lim =

+→



2

ตวอยางท 2 ก าหนดกราฟของฟงกชน y = f(x) ใหดงแสดงในรป

จงหา

(1) f(x) lim-1 x →

(2) f(x) lim1 x +→

(3) f(x) lim1 x →

(4) f(x) lim5 x →

(5) f(5)

วธท า พจารณา กราฟของ y = f(x) ทก าหนดให

(1) เมอ x เขาใกล 1 ทางซาย (x<1) จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 2 ดงนน f(x) lim

-1 x → = 2

(2) เมอ x เขาใกล 1 ทางขวา (x>1) จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 3 ดงนน f(x) lim

1 x +→ = 3

(3) เนองจาก f(x) lim

-1 x →≠ f(x) lim

1 x +→

ดงนน f(x) lim1 x →

หาคาไมได


-5 x →= f(x) lim

5 x +→= 4


= 4

(5) f(5) ไมนยาม



3

ทฤษฎบทเกยวกบลมต การหาคาลมตของฟงกชน สามารถหาไดโดยการค านวณคาของฟงกชนหรอการเขยนกราฟของฟงกชน อยางไรกตามเราสามารถใชทฤษฎบทเกยวกบลมต หาคาลมตของฟงกชนได ทฤษฎบท 1 เมอ a, L และ M เปนจ านวนจรงใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมน และเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท L f(x) lim

a x =

→ และ

M g(x) lima x

=→

แลว

1. c c lim

a x =

→ เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

2. a x lima x

=→

3. nn

a x a xlim =

→ , n I+

4. cL f(x) limc f(x) c lima x a x

==→→

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

5. M L g(x) lim f(x) lim g(x)] [f(x) lima x a x a x

+=+=+→→→

6. M L g(x) lim f(x) lim g(x)] [f(x) lima x a x a x

−=−=−→→→

7. M L g(x) lim f(x) lim g(x) f(x) lima x a x a x

==→→→

8. 0 M , M

L

g(x) lim

f(x) lim

g(x)

f(x) lim

a x

a x

a x ==

→

→

→

9. nn

a x

n

a x L f(x) lim f(x) lim ==

→→ , n I+

10. n n

a x

n

a x L f(x) lim f(x) lim ==

→→ , n I+ - {1} และ n L R

ตวอยางท 3 จงหา 43x 2x lim 2

5 x +−

→

วธท า 43x 2x lim 2

5 x +−

→ = 4 lim (3x) lim )(2x lim

5 x 5 x

2

5 x →→→+−

= 4 lim x lim3 x2lim5 x 5 x

2

5 x →→→+−

= 2(5)2 – 3(5) + 4 = 39 ดงนน 43x 2x lim 2

5 x +−

→ = 39



4

ตวอยางท 4 จงหา

→

4x - x

3x - 2x lim

2

2

2 x

วธท า จากทฤษฎบทขอ 8 จะได

→

4x - x

3x - 2x lim

2

2

2 x =

4x - xlim

3x - 2x lim

2

2 x

2

2 x

→

→

= xlim 4 - xlim

xlim 3 - xlim2

2 x

2

2 x

2 x

2

2 x

→→

→→

= )2(44

3(2) - 2(4)

− =

2

1 −

ดงนน

→

4x - x

3x - 2x lim

2

2

2 x =

2

1 −

ตวอยางท 5 จงหา 42

2 x 1) (x lim −

→

วธท า 42

2 x 1) (x lim −

→ = 42

2 x 1) (x lim −

→

= 42 x

2

2 x 1 lim xlim

→→−

= [ 22 - 1 ]4 = 81 ดงนน 42

2 x 1) (x lim −

→ = 81

ตวอยางท 6 จงหา 5) - x)(2x (x lim 2

3 x −

−→

วธท า 5) - x)(2x (x lim 2

3 x −

−→ = 5) -(2x lim x) (x lim

3 x

2

3 x −→−→−

= ( ) ( )5 lim 2x lim x lim xlim3 x 3 x 3 x

2

3 x −→−→−→−→−−

= ( )( ) 5 x lim2 (-3) (-3)3 x

2 −−−→

= (9 + 3)[(2 3) - 5] = 12(-11) = -132 อาศยทฤษฎบท 1 ขอ 5 และขอ 6 จะไดผลตามทฤษฎบท ตอไปน ทฤษฎบท 2 ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลว ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ จะไดวา p(a) p(x) lim

a x =

→

ตวอยางเชน ถา p(x) = x2 – 5x + 7 แลว 75(2)-2 p(x) lim 2

2 x +=

→= 1

จากทฤษฎบท 2 จะเหนวา ในการหาลมตของฟงกชนพหนาม เมอ x เขาใกล a นน สามารถหาลมตได โดยการแทนคา x ในฟงกชนพหนามดวย a อาศยทฤษฎบท 1 ขอ 8 และทฤษฎบท 2 จะไดทฤษฎบทตอไปน



5

ทฤษฎบท 3 ถา f เปนฟงกชนตรรกยะ โดยท )(

)()(

xq

xpxf = เมอ p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม แลว

q(a)

p(a) f(x) lim

a x =

→ ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ ท q(a) ≠0

ตวอยางท 7 จงหา 1x

1-x lim

21 x −→

วธท า เนองจาก 1x

1-x2 −

= )1)(1(x

1-x

−+ x เมอ x ≠ 1

= 1x

1

+

ดงนน 1x

1-x lim

21 x −→ =

1x

1 lim

1 x +→ =

2

1

ตวอยางท 8 จงหา 2

2

0 x

39x lim

x

−+

→

วธท า เนองจาก 2

2 39x

x

−+ = 39

3939x

2

2

2

2

++

++

−+

x

x

xเมอ x ≠ 0

= )39(

9)9(

22

2

++

−+

xx

x

= 39

1

2 ++x

ดงนน 2

2

0 x

39x lim

x

−+

→ =

39x

1 lim

20 x ++→=

6

1

ในการหาลมตของฟงกชนบางฟงกชน อาจหาลมตได โดยการหาลมตซายและลมตขวาของฟงกชน และใชเกณฑการตรวจสอบ ดงน Lf(x) lim

x =

→ aกตอเมอ Lf(x) lim

x =

+→ a= f(x) lim

x −→ a

ตวอยางท 9 ก าหนดให f(x) = จงหา (1) f(x) lim

2 x −→ (2) f(x) lim

2 x +→ (3) f(x) lim

2 x →

วธท า (1) f(x) lim2 x −→

เนองจาก x 2 ดงนน f(x) lim2 x −→

= 1)-(x lim2 x −→

= 2 – 1 = 1

(2) f(x) lim2 x +→

เนองจาก x 2 ดงนน f(x) lim2 x +→

= 6)4x-(x lim 2

2 x +

+→ = (2)2 – 4(2) + 6 = 2


2 x −→ f(x) lim

2 x +→


หาคาไมได

x – 1 เมอ x 2 x2 – 4x + 6 เมอ x 2



6

สรปเกยวกบการหา ลมตของฟงกชน

‘’ลมตของฟงกชน’’ จะใชสญลกษณคลายๆกบ ‘’ลมตของล าดบ’’ ตางกนทในเรองนจะใช ax → แทนทจะเปน →n และในเรองน x จะเปนจ านวนจรงอะไรกได ไมตองเปนจ านวนเตมบวกเหมอน n ในเรองล าดบอนนต จะเหนวาวธหา

ax→lim f ( )x แบบงายๆกคอ ใหแทน x = a ลงไปนนเอง

เชน 1

lim→x

2x - 7 = ( )12 - 7 = -5

3

lim−→x

3 +22 xx − = ( ) ( ) 3 +3232

−−− = 3 +6 +9 = 18

1

lim−→x

3 +2 x = 12− + 3 = 3 +2

1 = 2

7

เวลาทเราหา ax→

lim f ( )x เราจะลองแทน x = a กอนเปนอนดบแรกดงตวอยางขางบน

แตกอาจจะมบางกรณทเราไมสามารถค านวณ f ( )a ได ซงไดแกกรณทเกดการหารดวยศนยขน ในกรณน จะมวธตอบคาลมตดงตอไปน

1. ถาตวตงไมเปนศนย แตตวหารเปนศนย ตอบไดทนทวาax→

lim f ( )x หาคาไมได

เชน xx

2lim

0→ = หาคาไมได

1lim

−→x x

x

+1 = หาคาไมได

1

lim→x 1-x

2+x = หาคาไมได 2

1lim

22 −−

−

→ xx

x

x = หาคาไมได

2. ถาตวตงเปนศนย แตตวหารไมเปนศนย ตอบไดทนทวาax→

lim f ( )x = 0

เชน 1

lim→x 2++

12 xx

x − = 5

0 = 0

3. ถาตวตงเปนศนย และตวหารกเปนศนยดวย ตองเปลยนรป f ( )x ใหมกอน

เปาหมายของการเปลยนรป f ( )x คอ เพอใหเกดการตดกนของ x – a จากนนคอยลองแทน a

ลงไปใหม การเปลยนรป f ( )x จะใชการแยกตวประกอบ หรอไมกใชคอนจเกตคณ

คอนจเกต หรอ สงยค คอเทอมทตวหนากบตวหลงเหมอนเดม แตเปลยนเครองหมายตรงกลางเปนตรงขาม เชน คอนจเกตของ 2+x คอ 2−x เวลาเอาคอนจเกตเขาไปคณ จะท าใหเขาสตร (น + ล)(น – ล) ช น 2 - ล 2 ไดเสมอ



7

แบบฝกหด เรองลมตของฟงกชน (1)

1. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน โดยอาศยการหาคาของฟงกชนเตมในตารางทก าหนดให ส าหรบโจทยในขอ (4) ขอ (5) และขอ (6) อนญาตใหนกเรยนใชเครองคดเลขชวยในการคดค านวณได

(1) 4x

2xlim

4x −

−

→

x 3.9 3.99 3.999 x 4.001 4.01 4.1

f(x) f(x)

(2) 6xx

2xlim 22x −+

−

→

x 1.9 1.99 1.999 x 2.001 2.01 2.1

f(x) f(x)

(3) 1x

1xlim 21x −

−

→

x 0.9 0.99 0.999 x 1.001 1.01 1.1

f(x) f(x)

(4) x

1elim

x

1x−

→

x –0.1 –0.01 –0.001 x 0.001 0.01 0.1

f(x) f(x)

(5) x

sinxlim

1x→

x 1 0.5 0.1 0.05 0.01

f(x)

x -1 -0.5 -0.1 -0.05 -0.01 f(x)



8

2. ก าหนดกราฟของฟงกชน y = f(x) ใหดงแสดงในรป

จงหา

(1) (x) flim1x −→

=

(2) (x) flim

1x +→ =

(3) (x) flim

1x→ =

(4) (x) flim

5x→ =

(5) f(5) =



9

3. ก าหนดกราฟของฟงกชน y = f(x) ใหดงแสดงในรป

จงหา

(1) (x)flim0x→

= (4) (x)flim3x→

=

(2) (x)flim

3x −→ = (5) f(3) =

(3) (x)flim

3x +→ =

4. ก าหนดกราฟของฟงกชน y = g(t) ใหดงแสดงในรป

จงหา (1) (t)glim

0t −→ = (5) (t)glim

2t +→ =

(2) (t)glim

0t +→ = (6) (t)glim

2t→ =

(3) (t)glim

0t→ = (7) g(2) =

(4) (t)glim

2t −→ = (8) (t)glim

4t→



10

5. จากกราฟของฟงกชน y = f(x) ทก าหนดให จงหา

(1) (x) flim1x −→

=

(2) (x) flim1x +→

=

(3) (x) flim1x→

=

6. จากกราฟของฟงกชน y = f(x) ทก าหนดให จงหา

(1) (x) flim2x −→

=

(2) (x) flim2x +→

=

(3) (x) flim2x→

=

(4) (x) flim2x −−→

=

(5) (x) flim2x +−→

=

(6) (x) flim2x −→

=

7. โดยอาศยการเขยนกราฟของฟงกชน จงหา (1) x)(1lim

4x+

→ −

(2) (x) flim2x→

เมอก าหนด f(x) = 2

1 x +

x 2 x 2



11

แบบฝกหด เรองลมตของฟงกชน (2) 1. จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได

(1) 12) 7x (3xlim 20x

−+→

(2) 2x) (xlim 51x

−→−

(3) 2) )(x (xlim 5

5x−

→ (4) 2) 3)(x(xlim 2

1x++

→−

(5)

−

+

→ 52x1x

lim3x

(6)

+

−

→− 5x25x

lim2

5x

(7)

−−

+

→ 2x x1x

lim 21x (8)

++

−−

→ 34x x2x x

lim 2

2

1x



12

(9)

−

−

→ x1x1

lim1x

(10)

−

−

→ x9x3

lim9x

(11)

−

+−

→ 1x3x2

lim1x

(12) 3 220x

1)(xlim −→

2. จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได

(1)4x

4xlim

4x +

+

−→ −

(2)32x3x2x

lim2

1.5x −

−

→

(3)

−

→ + x1

x1

lim0x

(4) 4xlim4x

+→−



13

(5) 2x2x

lim2x −

−

→ (6)

−

→ − x1

x1

lim0x

3. ก าหนดให f(x) = จงหา

(1) f(x)lim2x −→

(2) f(x)lim

2x +→

(3) f(x)lim

2x→

x – 1 เมอ x 2

x2 – 4x + 6 เมอ x 2



14

4. ก าหนดให f(x) = จงหา

(1) f(x)lim0x +→

(2) f(x)lim0x −→

(3) f(x)lim0x→

= 0 (4) f(x)lim2x −→

(5) f(x)lim

2x +→ (6) f(x)lim

2x→

x เมอ x 0

x2 เมอ 0 x 2

8 – x เมอ x 2



15

ใบความรท 2 เรอง ความตอเนองของฟงกชน

ฟงกชนตอเนอง นยามดงน บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a,b) และ c (a,b) จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนอง ท x = c เมอฟงกชน f มสมบต ดงน 1. f(c) หาคาได 2. f(x) lim

c x → หาคาได และ 3. f(c) f(x) lim

c x =

→

จากบทนยาม ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว ฟงกชน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = a ตวอยางท 1 จงพจารณาวา f(x) = x2 + 4 เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม วธท า การท f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 2 นน f จะตองมสมบตครบ 3 ขอตามนยาม จาก f(x) = x2 + 4 1. f(2) = 22 + 4 = 8 แสดงคา หาคา f(2) ได 2. f(x) lim

2 x → = 4 xlim 2

2 x +

→

= 22 + 4 = 8 แสดงวา f(x) lim

2 x → หาคาได

3. จากขอ 1 และ 2 จะไดวา f(x) lim

2 x → = f(2)

ดงนน ทจด x = 2 ฟงกชน f มลกษณะตามสมบตทง 3 ขอ แสดงวา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 2

ตวอยางท 2 ก าหนดให f(x) =

=

2 x , 3

2 x , 2 -x

4 - x

2

จงพจารณาวาฟงกชน f

เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม วธท า การท f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 2 นน f จะตองมสมบตครบ 3 ขอ ตามนยาม

จาก f(x) =

=

2 x , 3

2 x , 2 -x

4 - x

2

1) f(2) = 3 แสดงวาหาคา f(2) ได และมสมบตตามขอ 1

2) f(x) lim2 x →

= 2 -x

4 - x lim

2

2 x →

= 2 -x

2) -2)(x (x lim

2 x

+

→

= 2) (x lim2 x

+→

= 4 แสดงวาหาคา f(x) ได และมสมบตตามขอ 2



16

3) จากขอ 1 และขอ 2 จะเหนวา f(x) lim2 x →

≠ f(2)

ดงนน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 2

ตวอยางท 3 ก าหนดให f(x) =

=

2 x , 4

2 x , 2 -x

4 - x

2

จงพจารณาวาฟงกชน f

เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม วธท า การท f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 2 นน f จะตองมสมบตครบ 3 ขอ ตามนยาม

จาก f(x) =

=

2 x , 4

2 x , 2 -x

4 - x

2

1) f(2) = 4 แสดงวาหาคา f(2) ได และมสมบตตามขอ 1

2) f(x) lim2 x →

= 2 -x

4 - x lim

2

2 x →

= 2 -x

2) -2)(x (x lim

2 x

+

→

= 2) (x lim2 x

+→

= 4 แสดงวาหาคา f(x) ได และมสมบตตามขอ 2 3) จากขอ 1 และขอ 2 จะเหนวา f(x) lim

2 x → = f(2)

นนคอ f มสมบตครบ 3 ขอ ดงนน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2

ตวอยางท 4 จงพจารณาวา f(x) = 3 -x

9 - x 2

เปนฟงกชนตอเนองท x = 3 หรอไม

วธท า การท f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 3 นน f จะตองมสมบตครบ 3 ขอตามนยาม

จาก f(x) = 3 -x

9 - x 2

ดงนน f(3) = 3 - 3

9 - 32

= 0

0 ซงไมมความหมาย

แสดงวา หาคา f(3) ไมได ดงนน ฟงกชน f ไมมลกษณะตามสมบตขอท 1 แสดงวา f ไมเปนฟงกชนตอเนองทจด x = 3 ทฤษฎบทเกยวกบความตอเนองของฟงกชน ทฤษฎบท 1 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x = a แลว 1. f + g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 2. f - g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 3. f · g เปนฟงกชนตอเนองท x = a

4. g

f เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ g(a) ≠ 0



17

เราทราบมาแลววา ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลว ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ จะไดวา p(a) p(x) lim

a x =

→ดงนน จะไดทฤษฎบท ดงน

ทฤษฎบท 2 ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ ฟงกชนพหนาม p(x) เปนฟงกชนตอเนองท x = a โดยอาศยทฤษฎบท 1 และทฤษฎบท 2 จะไดขอสรปเกยวกบความตอเนองของฟงกชนตรรกยะ ดงน

ทฤษฎบท 3 ถา f เปนฟงกชนตรรกยะ โดยท )(

)()(

xq

xpxf = เมอ p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม แลว

f เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ a เปนจ านวนจรงใดๆ ซง q(a) ≠0 ความตอเนองของฟงกชนบนชวงเปดและชวงปด 1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) เมอฟงกชน f นนตอเนองททก ๆ จดบนชวง (a, b) 2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] เมอ (1) f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) (2) f(a) f(x) lim

a x =

+→

(3) f(b) f(x) limb x

=−→

3. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b] เมอ (1) f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) (2) f(b) f(x) lim

b x =

−→

4. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b) เมอ (1) f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) (2) f(a) f(x) lim

b x =

−→

ตวอยางท 5 ก าหนด f(x) = 2 x- 9 จงแสดงวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3,3] วธท า ให c เปนจดใดๆ ในชวง (-3,3) จาก f(x) = 2 x- 9 จะได f(c) = 2c - 9 และ f(x) lim

x =

−→ c

2

x x-9 lim

c−→

= )9(lim 2xcx

−→

= 29 c− ดงนน f(x) lim

x =

−→ cf(c)



18

สรปวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-3, 3) และพบวา 0 f(-3) f(x) lim

3 x ==

+−→

0 f(3) f(x) lim3 x

==−→

ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3, 3] ตวอยางท 6 ฟงกชน f(x) = x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (0, ) หรอไม วธท า จาก f(x) = x ให a (0, ) f(a) = a f(x) lim

a x → = x lim

a x → = a

f(x) lima x →

= f(a)

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองททก x (0, )



19

แบบฝกหด เรองความตอเนองของฟงกชน

1. จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง ณ จดทก าหนดหรอไม (1) f(x) = 3x – 1 ท x = 0

(2) f(x) = 16x4x

2 −

− ท x = 4

(3) f(x) =1x1x

3

2

−

− ท x = 1

(4) f(x) = x ท x = 0

(5) f(x) = 1x1x

+

+ ท x = –1



20

2. จงหาคา k ทท าใหฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนองบนชวง (–, )

(1) f(x) =

(2) f(x) =

7x – 2 เมอ x 1

kx2 เมอ x 1

kx2 เมอ x 2

2x + k เมอ x 2



21

แบบฝกทกษะ เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน 1.จงหาคาลมตในแตละขอตอไปน

1. xxx

−→

2

22lim 2.

1lim

2

1 −

−

−→ x

xx

x

3. x

1+lim

20 −→ x

x

x 4.

1

1lim

21 −

+

−→ x

x

x

5. 4+4

2+3lim

2

2

2 xx

xx

x −

−

→ 6.

x

xx

x −→ 1

4-3+lim

2

1

7. 2

lim→x 10+2

2+32

2

−

−

xx

xx 8. 1

lim→x 1

4+52

−

−

x

xx

9. 1

lim−→x 25+

12+

−

−

x

x 10. 1

lim→x 1

2

−

−

x

xx



22

2.

−−

−→ 21 +32

1

1

1lim

xxxx มคาเทาใด [PAT1/54]

3.จงหาคาของ 330 8-8+

limxx

x

x +→ [PAT1/54]

4. จงหาคา 1

lim→x

( )xf เมอ

−

+=

14

12)(

x

xxf


lim→x

( )xf เมอ

+

−=

13

2)(

x

xxf


lim→x

( )xf เมอ

−

−

+−

=

32

2

23

)(

2

x

x

xx

xf

เมอ x 1

เมอ x < 1

เมอ x 0 เมอ x < 0

เมอ x 2

เมอ x < 2



23


lim→x

( )xf เมอ1

1)(

2 −

−=

x

xxf

8. จงหาคา −→2

limx

( )xf เมอ23

2)(

2 +−

−=

xx

xxf

9. จงหาคา −→0

limx

( )xf +1 เมอ

+=

12)(

2

x

xxf

10. ก าหนดให

−=

x

x

x

xf

3

12)(

2

คาของ −→0

limx

( )2xf + −→0

limx

( )xf −1 เทากบเทาใด

เมอ x 1 เมอ x < 1

เมอ x < 0 เมอ 0 ≤ x < 1

เมอ x > 1



24

11. จงเตมค าในชองวาง 1. ( )2f =

−→2limx

( )xf =

+2lim→x

( )xf =

2lim→x

( )xf =

2. ( )1f =

−→1limx

( )xf =

+1lim→x

( )xf =

1lim→x

( )xf =

3. ( )2f =

−→2limx

( )xf =

+2lim→x

( )xf =

2lim→x

( )xf =

4. ( )0f =

−→0limx

( )xf =

+0lim→x

( )xf =

0lim→x

( )xf =

12. ก าหนดให ( )xf = 2x + 1 จงพจารณาวา ( )xf ตอเนองทคา x ตอไปนหรอไม 1. X = 0 2. X = - 1



25

13. ก าหนดให ( )xf = 1-x

2-x+ 2x จงพจารณาวา ( )xf ตอเนองทคา x ตอไปนหรอไม

1. x = - 1 2. x = 1

14. ก าหนดให ( )xf =

+

−

1

1

2

2

x

x จงพจารณาวา ( )xf ตอเนองทคา x ตอไปนหรอไม

1. x = - 1 2. x = 0

15. ก าหนดให ( )xf = x

x จงพจารณาวา ( )xf ตอเนองทคา x ตอไปนหรอไม

1. x = - 1 2. x = 0

เมอ x ≥ -1

เมอ x < -1



26


−

−

1

2

x

xx

k

จงหาคา k ทท าให ( )xf ตอเนองท x = 1

17. จงหาคา a และ b ทท าให ( )xf =

−

−

+

bax

a

ax

12 เปนฟงกชนตอเนอง


−

−

a

xx

x

13+10+2

3

โดยท a เปนจ านวนจรง

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 3 แลว a เทากบเทาใด [PAT1 (ม.ค.54)/44]

เมอ x = 1 เมอ x ≠ 1

เมอ x = 1 เมอ x > 1

เมอ x < 1

เมอ x ≠ 3

เมอ x = 3

ตารางสรปการสงงานของ ................................................................. ชน ................ เลขท ..................

ท งาน ก าหนดสง หมายเหต ตรวจโดย

รงเรียนสตรีนนทบุรี‘’ลิมิตของฟังก์ชัน’’...

Documents