ตวแบบเชงคณตศาสตร การจ าลอง และการสรางภาพของดนถลม Mathematical Model, Simulation and Visualization of Landslide

กณณพนต ธรรมหเวศ Kunnapon Thumhiwaid

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต มหาวทยาลยสงขลานครนทร

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master of Science in Applied Mathematics

Prince of Songkla University

2559

ลขสทธของมหาวทยาลยสงขลานครนทร

(1)

ตวแบบเชงคณตศาสตร การจ าลอง และการสรางภาพของดนถลม Mathematical Model, Simulation and Visualization of Landslide

กณณพนต ธรรมหเวศ Kunnapon Thumhiwaid

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต มหาวทยาลยสงขลานครนทร

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master of Science in Applied Mathematics

Prince of Songkla University

2559

ลขสทธของมหาวทยาลยสงขลานครนทร

(2)

ชอวทยานพนธ ตวแบบเชงคณตศาสตร การจ าลอง และการสรางภาพของดนถลม ผเขยน นายกณณพนต ธรรมหเวศ สาขาวชา คณตศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลก คณะกรรมการสอบ

................................................................. (ดร.สมพร ชวยอารย)

................................................... ประธานกรรมการ (ผชวยศาสตราจารย ดร.อาทตย อนทรสทธ)

................................................................. กรรมการ (ดร.สมพร ชวยอารย)

อาจารยทปรกษาวทยานพนธรวม ................................................................. (ผชวยศาสตราจารย ดร.อนรทธ ผลออน)

................................................................. กรรมการ (ผชวยศาสตราจารย ดร.อนรทธ ผลออน)

................................................................. กรรมการ

(ดร.อตชย เอออนนตสนต) ................................................................. กรรมการ

(ผชวยศาสตราจารย ดร.เสนห รจวรรณ)

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร อนมตใหนบวทยานพนธฉบบนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต

.............................................................. (รองศาสตราจารย ดร.ธระพล ศรชนะ)

คณบดบณฑตวทยาลย

(3)

ขอรบรองวา ผลงานวจยนมาจากการศกษาวจยของนกศกษาเอง และไดแสดงความขอบคณบคคลทมสวนชวยเหลอแลว

ลงชอ ................................................................. (ดร.สมพร ชวยอารย)

อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลก

ลงชอ ................................................................. (นายกณณพนต ธรรมหเวศ)

นกศกษา

(4)

ขาพเจาขอรบรองวา ผลงานวจยนไมเคยเปนสวนหนงในการอนมตปรญญาในระดบใดมากอน และไมไดถกใชในการยนขออนมตปรญญาในขณะน

ลงชอ ................................................................. (นายกณณพนต ธรรมหเวศ)

นกศกษา

(5)

ชอวทยานพนธ ตวแบบเชงคณตศาสตร การจ าลอง และการสรางภาพของดนถลม

ผเขยน นายกณณพนต ธรรมหเวศ

สาขาวชา คณตศาสตรประยกต ปการศกษา 2559

บทคดยอ

วทยานพนธนไดศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหโครงสรางดนโดยพจารณาปจจยดานปรมาณน าในดนและความลาดชนทมผลตอการถลมของดน ศกษาการเปลยนรปของลาดดนทมผลจากแรงภายนอก การกระจายความเครยดและเกณฑการวบตของลาดดนดวยตวแบบเชงคณตศาสตรและค านวณหาผลเฉลยดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต ผลเฉลยเชงตวเลข ขนตอนวธและการสรางภาพ 3 มตโดยซอฟตแวร SoilFE 1.0 ซงไดถกพฒนาขนโดยใชซอฟตแวร Lazarus และ

OpenGL ซอฟตแวรนสามารถใชวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนและประเมนการเกดดนถลม และ

สามารถน าไปใชวเคราะหกบพนทอน ๆ ได ซอฟตแวรนสามารถน าผลเฉลยเชงตวเลขทไดมาแสดงใหเหนวาคาความครากมคาแปรผนตามปรมาณน าในดนและพนทบรเวณไหลเขาจะมคาความครากมากกวาพนทดอนหรอพนทอน ๆ ซงพนทนจะมโอกาสวบตมากทสด

(6)

Thesis Title Mathematical Model, Simulation and Visualization of

Landslide

Author Mr.Kunnapon Thumhiwaid

Major Program Applied Mathematics

Academic Year 2016

ABSTRACT

In this research, we propose a mathematical model for analyzing the

soil structure by water content and slope factors that cause to the landslide

problem. A deformation of slope is the result of external forces. A distribution of

stress that occurs along the slope and slope failure criteria are based on

mathematical model and computed by the finite element method. The numerical

solution shows the result from mathematical model, algorithm and visualization

in three-dimensional space by the investigating software namely SoilFE version

1.0 programmed by Lazarus software and OpenGL library. SoilFE 1.0 can analyze

the shear strength along slope and landslide evaluation. The software can be

applied for other regions. An application of this numerical method could be seen

that the yield varies according to the water content. Also a foot of the hill has a

yield more than upland and other areas, so that this area has the biggest

opportunities to fail.

(7)

กตตกรรมประกาศ

ผวจยขอขอบพระคณ อาจารย ดร.สมพร ชวยอารย อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลกททานไดกรณาใหความร ค าแนะน า ค าปรกษาตาง ๆ อกทงยงใหก าลงใจทท าใหวทยานพนธฉบบนส าเรจลลวงไดดวยด

ขอขอบพระคณ ผศ.ดร.อนรทธ ผลออน อาจารยทปรกษาวทยานพนธรวมททานไดกรณาชวยใหค าปรกษา และค าแนะน าทด ท าใหวทยานพนธฉบบนสมบรณยงขน

ขอขอบพระคณ กองทนวจยคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน โครงการเสรมสรางความเขมแขงและการมสวนรวมในภาคใตของประเทศไทย (STEP) โครงการความรวมมอเพอการพฒนาเชงพนทจงหวดสงขลาแบบสรางสรรค (MOU ม.อ.-สกว.)

มหาวทยาลยสงขลานครนทร และศนยความเปนเลศดานคณตศาสตร (CEM) ส าหรบเงนทนสนบสนน

วทยานพนธน

ทายน ผวจยขอขอบพระคณบดา มารดาและภรรยาของผวจยทคอยใหก าลงใจและคอยชวยเหลอใหค าปรกษาในเรองตาง ๆ ตลอดชวงระยะเวลาทท าวทยานพนธน ท าใหผวจยมก าลงใจทจะท าใหวทยานพนธฉบบนส าเรจลลวงไปไดดวยด กณณพนต ธรรมหเวศ

(8)

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย (5)

บทคดยอภาษาองกฤษ (6)

กตตกรรมประกาศ (7)

สารบญ (8)

สารบญตาราง (10)

สารบญภาพ (11)

บทท 1 บทน า 1

1.1 เอกสารและงานวจยทเกยวของ 3

1.2 วตถประสงคงานวจย 7

บทท 2 ตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหเสถยรภาพลาดดน 9

2.1 เสถยรภาพลาดดนและวกฤตของเสถยรภาพลาดดน 9

2.2 ตวแบบการไหลของน าใตดน 14

2.3 ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน 22

2.4 เกณฑการวบตลาดดน 43

บทท 3 การวเคราะหเสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต 50

3.1 สมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการไหลของน าใตดน 51

3.2 สมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน 70

3.3 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดน 80

3.4 การวเคราะหการไหลของน าใตดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต 87

3.5 การวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนดวยแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนต 89

3.6 อลกอรทมการวเคราะหการวบตของลาดดน 92

(9)

สารบญ (ตอ)

หนา บทท 4 การออกแบบและประดษฐซอฟตแวร 94

4.1 โมดลประสานงานกบผใช 94

4.2 โมดลจดการขอมล 96

4.3 โมดลประมวลผลขอมล 100

บทท 5 การจ าลองเสถยรภาพลาดดน 101

5.1 การจ าลองเสถยรภาพลาดดนจากขอมลพนทตวอยาง 101

5.2 การจ าลองเสถยรภาพลาดดนจากขอมลพนทเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา 114

บทท 6 สรปผลการวจย อภปรายผล และขอเสนอแนะ 122

6.1 ตวแบบเชงคณตศาสตร 122

6.2 การวเคราะหดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต 122

6.3 การออกแบบและประดษฐซอฟตแวร 122

รายการอางอง 124

ภาคผนวก ก ปรมาตรของทรงสหนา และความไมเปนเอกฐานของเมทรกซ X 128

ภาคผนวก ข คมอการใชงานโปรแกรม SoilFE 1.0 131

ภาคผนวก ค ผลงานทไดรบการตพมพในรายงานการประชมวชาการ 150

ประวตผเขยนวทยานพนธ 168

(10)

สารบญตาราง

หนา

ตารางท 1.1 สถานการณการเกดดนถลม 1

ตารางท 2.1 คาโดยทวไปของสมประสทธการซมไดของดนชนดตาง ๆ 16

ตารางท 4.1 รายละเอยดสวนหวของแฟมขอมลความสงของภมประเทศ 97

ตารางท 4.2 รายละเอยดโครงสรางขอมลเอลเมนต 98

ตารางท 4.3 รายละเอยดโครงสรางขอมลของแขง 99

ตารางท 5.1 พกดของจดยอดบนผวดนตวอยาง 101

ตารางท 5.2 พารามเตอรของดนตวอยาง 102

ตารางท 5.3 ผลการค านวณปรมาณน าในดน เมอก าหนดใหความเขมฝนเปน 0 – 50 105

มลลเมตรตอชวโมง และอตราเรวการไหลออกเปน 10 มลลเมตรตอชวโมง

ตารางท 5.4 พารามเตอรของแบบจ าลองวอน ไมซส 107

ตารางท 5.5 พารามเตอรของแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร 108

ตารางท 5.6 พารามเตอรของแบบจ าลองลาด – ดงแคน 109

ตารางท 5.7 พารามเตอรของแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ 110

ตารางท 5.8 พารามเตอรของแบบจ าลองโฮลสบ 111

ตารางท 5.9 ผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยก 112

ตารางท 5.10 คาพารามเตอรดนส าหรบการจ าลองในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา 114

ตารางท 5.11 พารามเตอรส าหรบเกณฑวบตลาดดนในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา 117

ตารางท 5.12 พารามเตอรส าหรบการจ าลองการเปลยนรปและความคราก 118

ตารางท 5.13 เปรยบเทยบรปและความครากของลาดดนทเปนผลจากแรงกระท า 119

ภายนอก

ตารางท 5.14 ผลการค านวณคาความครากดวยแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร 121

(11)

สารบญภาพ

หนา

รปท 1.1 ประเภทของการวบต ประเภทของดน และขนการวบตของลาดดน 3

รปท 1.2 ความสมพนธระหวางตวประกอบความปลอดภยกบเวลา 4

รปท 1.3 ตวแบบความเสยหายทเกดขนกบลาดดนในอดมคต 4

รปท 1.4 การไหลของดน ณ เมอง Sarno – Quindici ทางตอนใตของประเทศ 5

อตาล และการไหลของดนบรเวณทราบลมของภเขา Tuostolo

รปท 1.5 พนทเสยงภยพบตดนถลมบรเวณลมน า Himachal Pradesh ใน 6

ประเทศอนเดย

รปท 1.6 ขนตอนการคาดการณการวบตของลาดดนทมผลจากปรมาณน าในดน 8

รปท 2.1 แรงกระท าตอมวลดน 10

รปท 2.2 พนทรบแรงเฉอน 11

รปท 2.3 เสนอตลกษณของน าในดน 13

รปท 2.4 การไหลของน าใตดน 14

รปท 2.5 การไหลของน าผานเอลเมนตดน 17

รปท 2.6 เอลเมนตภายใตสภาวะความเคน และแรงจากมวล 23

รปท 2.7 หนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy ภายใตความเคนกระท า 24

รปท 2.8 การเปลยนรปหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy 27

รปท 2.9 การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง x ของหนาตดเอลเมนตทขนานกบ 28

ระนาบ xy

รปท 2.10 การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง y ของหนาตดเอลเมนตทขนานกบ 29

ระนาบ xy

รปท 2.11 การเปลยนแปลงมมของหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy 30

รปท 2.12 การเปลยนรปของเอลเมนตเมอเกดความเครยด x, y และ z 34

รปท 2.13 การเปลยนแปลงความยาวของเอลเมนตเมอไดรบความเคน x 38

(12)

สารบญภาพ (ตอ)

หนา

รปท 2.14 การเปลยนรปหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy เมอความ 40

เคน xy กระท า

รปท 2.15 การเปลยนรปหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xz เมอความ 41

เคน yx กระท า

รปท 2.16 เสนขอบเขตการวบต และระนาบวบต 43

รปท 2.17 ความหมายเชงกายภาพของคาความเคนไมแปรเปลยน 45

รปท 2.18 พนผวความครากวอน ไมซส 46

รปท 2.19 พนผวความครากดรกเคอร – ปรากเกอร 47

รปท 3.1 เอลเมนตรปทรงสหนา 51

รปท 3.2 จดก าเนดของแกนพกด x – y – z อยทจดศนยกลางมวลของเอลเมนต 59

รปท 3.3 สวนประกอบของดน 65

รปท 3.4 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดน 80

รปท 3.5 กรดขอมลความสงของภมประเทศ 81

รปท 3.6 ภาพจากมมมองดานบนของแบบจ าลองผวดนทไดจากการประกอบกน 81

ของรปสามเหลยม

รปท 3.7 ภาพจ าลองผวดน 82

รปท 3.8 สผวดนตามความสงทงหมด 82

รปท 3.9 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนทมลกษณะเปนรปทรงตน 83

รปท 3.10 ตวอยางลาดดนทถกแบงเปนสวนยอยรปทรงสเหลยม 84

รปท 3.11 ผลการแบงเอลเมนต เมอก าหนด Iteration = 0, 1 และ 2 85

รปท 3.12 แบบจ าลองของลาดดนทถกแบงเปนเอลเมนตดวยคา Iteration = 0, 85

1 และ 2

รปท 3.13 รปทรงสเหลยม ทสามารถแบงเปนรปทรงสหนา 86

รปท 3.14 เอลเมนตรปทรงสเหลยมประกอบดวยจดยอด 8 จด 86

(13)

สารบญภาพ (ตอ)

หนา

รปท 3.15 การแบงเอลเมนตรปทรงสเหลยมใหเปนรปทรงสหนา จ านวน 5 รป 86

รปท 3.16 ฐานรองรบโครงสรางของลาดดน 89

รปท 3.17 ฐานรองรบแบบลอเลอน 89

รปท 3.18 ฐานรองรบแบบขอยด 90

รปท 3.19 ผงงานการวเคราะหและสรางภาพดนโคลนถลม 93

รปท 4.1 โมดลของโปรแกรม SoilFE 1.0 94

รปท 4.2 โมดลประสานงานกบผใช 95

รปท 4.3 โมดลจดการขอมล 96

รปท 4.4 โครงสรางขอมลเอลเมนต 98

รปท 4.5 โครงสรางขอมลของแขง 99

รปท 4.6 ระบบโครงสรางขอมลส าหรบจดเกบขอมลตวแบบไฟไนตเอลเมนตของ 99

ลาดดน

รปท 5.1 ตวอยางลาดดนในมมมองดานบน และมมมองทศนยภาพ 101

รปท 5.2 ลาดดนและระนาบตดจากมมมองดานบน 102

รปท 5.3 เสนไอโซแสดงคาปรมาณน าบนระนาบตดดานขางของลาดดน 103

รปท 5.4 เสนไอโซแสดงคาปรมาณน าบนระนาบตดดานหนาของลาดดน 104

รปท 5.5 ลาดดนตวอยางทมแรงภายนอกขนาด 10 PN 105

รปท 5.6 เปรยบเทยบรปทรงของลาดดนกอนแรงกระท า และหลงแรงกระท า 106

รปท 5.7 การเปลยนรปของลาดดนเมอมแรงภายนอกกระท าขนาด 0, 2, 4, 6, 8 106

และ 10 PN

รปท 5.8 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลอง 108

วอน ไมซส

รปท 5.9 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวย 109

แบบจ าลองดรกเกอร – ปรากเกอร

(14)

สารบญภาพ (ตอ)

หนา

รปท 5.10 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลอง 110

ลาด – ดงแคน

รปท 5.11 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลอง 111

มสซโอกา – นากาอ

รปท 5.12 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลอง 112

โฮลสบ

รปท 5.13 กราฟเปรยบเทยบผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยก 113

ระหวางแบบจ าลองวอน ไมซสและแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

รปท 5.14 ตวแบบไฟไนตเอลเมนตส าหรบการจ าลองการไหลของน าใตดน 114

รปท 5.15 ผลการจ าลองการไหลของน าใตดนบนระนาบตดดานหนาของลาดดน 115

รปท 5.16 ความสมพนธระหวางคาเฉลยของปรมาณน าในดนกบความเขมฝน 116

รปท 5.17 ความสมพนธระหวางปรมาณน าในดนกบรอยละของเอลเมนต 116

รปท 5.18 ความสมพนธระหวางคาเฉลยของเกณฑวบตกบความเขมฝน 117

รปท 5.19 ตวแบบไฟไนตเอลเมนตส าหรบการจ าลองการเปลยนรปและความคราก 118

(15)

สญลกษณ

สญลกษณ ความหมาย พารามเตอรแปรผนตามดกรความอมตว ความเครยด เมทรกซความเครยด

x ความเครยดในทศทาง x

y ความเครยดในทศทาง y

z ความเครยดในทศทาง z

เมทรกซของฟงกชนการกระจด

มมเสยดทานภายในของดน มมเสยดทานภายในของดนรปหนวยแรงประสทธผล b มมแรงเฉอนส าหรบแรงดงน าในดน

d หนวยน าหนกดนแหง

t หนวยน าหนกรวม หรอหนวยน าหนกเปยก

w หนวยน าหนกของน า

sat หนวยน าหนกดนอมตว หนวยน าหนกพยง พารามเตอรวสด

อตราสวนปวสซอง พลงงานศกยรวม

มมโลด ความเคนปกต x ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x

y ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y

z ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z เมทรกซความเคนประสทธผล ความเคนปกตในรปหนวยแรงประสทธผล xy ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x และมทศทางในแนวแกน y

(16)

สญลกษณ (ตอ)

สญลกษณ ความหมาย xz ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x และมทศทางในแนวแกน z

yx ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y และมทศทางในแนวแกน x

yz ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y และมทศทางในแนวแกน z

zx ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z และมทศทางในแนวแกน x

zy ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z และมทศทางในแนวแกน y

เซตของจดยอด

เซตของรปทรงสหนา

A พนทผว

Ao ปรมาณชองวางอากาศ

Av รอยละของชองวางอากาศ

B เมทรกซความสมพนธระหวางการกระจดของจดยอดเอลเมนตและความเครยด

wB เมทรกซความสมพนธระหวางความชนทางชลศาสตรและเฮดทจดยอดเอลเมนต

c แรงเชอมแนน

c แรงเชอมแนนในรปหนวยแรงประสทธผล

Df เมทรกซสตฟเนสของไหล

D เมทรกซความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด

d เมทรกซการกระจด

df ฟงกชนกระจายพลงงาน

di เมทรกซการกระจดทจดยอด i

dn,v เมทรกซการกระจดของจดยอด v ในทศทาง n

wD เมทรกซความสมพนธระหวางอตราเรวการไหลของน าและความชนทางชลศาสตร

E มอดลสยดหยน

e อตราสวนชองวาง หรออตราสวนโพรง

F เมทรกซแรงลพธ

(17)

สญลกษณ (ตอ)

สญลกษณ ความหมาย

if แรงลพธทจดยอด i

f แรงเนองจากมวล

sf แรงจากน าฝนไหลเขาสเอลเมนตดน

df แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว

wF เมทรกซแรงลพธจากการซมน าทจดยอด

if แรงลพธจากการซมน าทจดยอด i

G มอดลสเฉอน

g อตราเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก

Gs ความถวงจ าเพาะของเมดดน

h เฮด

h เมทรกซเฮดทจดยอดเอลเมนต

h เฮดทผวดน

ih เฮดรวมทจดยอด i

hp เฮดความดน

hv เฮดความเรว

i ความชนทางชลศาสตร

i เมทรกซของความชนทางชลศาสตร

I1 ความเคนไมแปรเปลยนล าดบท 1

I2 ความเคนไมแปรเปลยนล าดบท 2

I3 ความเคนไมแปรเปลยนล าดบท 3

J1 ความเคนเบยงเบนไมแปรเปลยนล าดบท 1

J2 ความเคนเบยงเบนไมแปรเปลยนล าดบท 2

J3 ความเคนเบยงเบนไมแปรเปลยนล าดบท 3

k สทฟเนสเมทรกซ

Ke คาโมดลสเชงปรมาตรเทยบเทาของไหล

(18)

สญลกษณ (ตอ)

สญลกษณ ความหมาย Ks คาโมดลสเชงปรมาตรของแขง

Kf คาโมดลสเชงปรมาตรของไหลภายในโพรงดน

k สมประสทธการซมไดของดน

kx สมประสทธการซมไดของดนตามแกน x

ky สมประสทธการซมไดของดนตามแกน y

kz สมประสทธการซมไดของดนตามแกน z

kij สทฟเนสเมทรกซรวมทจดยอด i และ j

wk สทฟเนสเมทรกซการซมน า

L ระยะทางทน าไหล

lx ทศทางโคไซนการไหลตามแกน x

ly ทศทางโคไซนการไหลตามแกน y

lz ทศทางโคไซนการไหลตามแกน z

m พารามเตอรวสด

n เวกเตอรแนวฉากหนงหนวย

n ความพรน

Nf เวกเตอรปกตของระนาบวบต

P เมทรกซโหลดภายนอกทกระท าทจดยอด

p ความเคนเฉลย

p ความเคนประสทธผลเฉลย

p ความดน

pa แรงดนบรรยากาศ

pw ความดนน า

Q ความเคนเบยงเบน

rain,v ความเขมของฝน

drain,v อตราการไหลซมออก

(19)

สญลกษณ (ตอ)

สญลกษณ ความหมาย q อตราการไหลของน า

qxi อตราการไหลของน าเขาสเอลเมนตดนตามแกน x

qyi อตราการไหลของน าเขาสเอลเมนตดนตามแกน y

qzi อตราการไหลของน าเขาสเอลเมนตดนตามแกน z

qxo อตราการไหลของน าออกจากเอลเมนตดนตามแกน x

qyo อตราการไหลของน าออกจากเอลเมนตดนตามแกน y

qzo อตราการไหลของน าออกจากเอลเมนตดนตามแกน z

Sd ดกรความอมตว

su ก าลงรบแรงเฉอนแบบไมระบายน า

T เมทรกซโหลดทกระท าแบบกระจาย

U พลงงานรวม

uA ความดนอากาศสดทายในโพรงดน

ua ความดนในชองวางของเมดดน

ua เมทรกซความดนอากาศ

ue ความดนของน าทเพมขนในชองวางของเมดดน

uF ความดนในโพรงดนสดทาย

uf ความดนของไหลในโพรงดน

uS แรงดงน าในดนสดทาย

uW ความดนน าในโพรงดนสดทาย

uw เมทรกซความดนน า

V ปรมาตรของดน

V เมทรกซอตราการไหลของน าผานดน

v อตราเรวการไหลของน าผานดน

dv อตราเรวการไหลของน าเขาสหรอออกจากลาดดน

vs อตราเรวการไหลของน าจากแหลงก าเนด

(20)

สญลกษณ (ตอ)

สญลกษณ ความหมาย Vs ปรมาตรของเมดดน

Vw ปรมาตรของน าในดน

Va ปรมาตรของอากาศในดน

Vv ปรมาตรโพรงดน

W น าหนกรวมของดน

Wa น าหนกของอากาศในดน

Ws น าหนกของเมดดน

Ww น าหนกของน าในดน

Wd งานจากน าไหลเขาหรอออกผานหนาตด

Ws งานจากแหลงก าเนดทจายน าเขาหรอสบน าออก W งานเนองจากน าหนก

PW งานเนองจากโหลดทกระท าเปนจด

TW งานเนองจากโหลดกระท ากระจาย

W น าหนกดน

w ปรมาณน าในดน

X เมทรกซพกดจดยอดเอลเมนต

z เฮดระดบ

1

บทท 1

บทน า

การเกดดนถลมเปนภยพบตทกอใหเกดความเสยหายขนตอชวตและทรพยสนเปนจ านวนมากซงความสญเสยทเกดขนมากหรอนอยขนอยกบความรนแรงของภยพบตทมปจจยจากสภาพพนทและความหนาแนนของชมชนในเขตภยพบต แตอยางไรกดหากชมชนไดมการศกษา รวมถงการจดวางระบบเฝาระวงและปองกนภยทดแลว ยอมทจะบรรเทาความสญเสยทจะเกดขนได ส าหรบทางภาคใตของประเทศไทยเปนพนททมฝนตกชกตลอดทงป เพราะเปนพนททไดรบอทธพลจากลมมรสมตะวนตกเฉยงใตในชวงกลางเดอนพฤษภาคมถงกลางเดอนตลาคม และลมมรสมตะวนออกเฉยงเหนอในชวงกลางเดอนตลาคมถงกลางเดอนกมภาพนธ ประกอบกบการเปลยนแปลงของสภาวะอากาศในปจจบนทมความรนแรงมากขน กลาวคอในชวงฤดมรสมจะมปรมาณฝนตกอยางตอเนองและหนาแนนเปนอยางมาก อกทงผลกระทบจากการขยายตวทางเศรษฐกจและชมชนทมการเขาไปใชประโยชนในเขตพนทปาไมซงเปนพนทดดซบและกกเกบน าฝนตามธรรมชาต การสรางสงปลกสรางกดขวางการไหลของน ามผลท าใหพนทราบลมเปนพนทเสยงตอการเกดปญหาอทกภย และการสรางบานเรอนบรเวณทราบเชงเขาหรอการปลกพชเศรษฐกจบนพนทลาดชนซงมกจะมไดค านงถงเสถยรภาพของลาดดน เมอเกดสภาวะฝนตกชกพนทดงกลาวจะมลกษณะสภาพเปนพนดนอมน าทมเสถยรภาพต า และมความเสยงตอการเกดภยพบตดนถลม ตามสถตสถานการณการเกดภยพบตดนถลมทเกดขนตงแตป พ.ศ. 2531 – 2557 มดงน

ตารางท 1.1 สถานการณการเกดดนถลม

วน เดอน ป สถานท จ านวน (คน)

เสยชวต สญหาย

20 ส.ค. 57 เมองฮโรชมา ประเทศญปน 27 10

30 ก.ค. 57 หมบานมาลน เมองปเน รฐมหาราษฎร ทางตะวนตกของประเทศอนเดย

17 200

30 ก.ค. 57 สวนพฤกษาสวรรค ม.4 ต.ทบปรก อ.เมองกระบ - -

22 ม.ค. 57 เมองโอโซและดารรงตน ทางตอนเหนอของเมองซแอตเตล รฐวอชงตน ประเทศสหรฐอเมรกา

24 176

26 ก.ย. 56 น าตกวงชมพใน อ.โกสมพนคร จ.ก าแพงเพชร - -

23 พ.ค. 49 อ.ลบแล จ.อตรดตถ 87 49

(ทมา: ThairathOnline. [24])

2

ตารางท 1.1 (ตอ) สถานการณการเกดดนถลม

วน เดอน ป สถานท จ านวน (คน)

เสยชวต สญหาย

10 ส.ค. 44 ต.น ากอ ต.น าชน ต.หนองไขวใน อ.หลมสก

จ.เพชรบรณ

131 -

4 พ.ค. 44 อ.วงชน จ.แพร 23 16

22 พ.ย. 31 ต. กะทน อ.พปน จ.นครศรธรรมราช 700 -

(ทมา: ThairathOnline. [24])

ภมประเทศทมลกษณะเปนดนทมความลาดชน เรยกวาลาดดน (soil slope) เปน

ภมประเทศทมกเกดดนถลม กลาววาดนถลมเปนปรากฏการณทางธรณวทยาทมการเคลอนทของชนดนในบรเวณทมความลาดชนเนองมาจากแรงโนมถวงของโลก มสาเหตมาจากการขาดเสถยรภาพของลาดดน โดยเปนผลจากน าทซมผานในดนไดเตมเตมชองวางในเมดดนท าใหเพมแรงดนระหวางเมดดนเปนผลใหแรงยดเหนยวของดนต าลงจนเมดดนแยกออกจากกน จงเกดการไถลออกของชนดนแลวไหลตอไปเพมน าหนกยงบรเวณถดไป จนเปนผลใหเกดดนถลม [1] Xinpo et al. [21] ไดท าการศกษา

ผลของเสถยรภาพของลาดดนจากการซมผานของน าฝน พบวาปรมาณน าฝนจะมผลตอการเพมขนของระดบน าใตดน และการเพมขนของแรงดนน าในชองวางมวลดน (pore water pressure) ซง

จะเปนผลใหเกดการวบตของลาดดน โดยวเคราะหจากคาก าลงรบแรงเฉอนของดนอาศย เกณฑการวบตของมอร-คลอมบ (Mohr-Coulomb) แตอยางไรกตามหลกการวเคราะหโดยอาศยเกณฑการ

วบตของมอร-คลอมบ มขอจ ากดอนเนองมาจากเกณฑการวบตนถกพฒนาจากเงอนไขความครากในสองมต ซงท าใหฟงกชนความครากนยามไมเรยบ (unsmooth) ท าใหมปญหาในการน าไปใชวธเชง

ตวเลข (numerical method) และนยามสมการส าหรบปญหาสามมต [7] จงน าไปสการใช

แบบจ าลอง ไดแก วอน ไมซส (von Mises) ดรกเคอร-ปรากเกอร (Drucker-Prager) ลาด-ดง

แคน(Lade-Duncan) มสซโอกา-นากาอ (Matsuoka-Nakai) และโฮลสบ (Houlsby)

ส าหรบวทยานพนธนไดบรณาการความรดานปฐพกลศาสตรเกยวกบสมบตพนฐานของดน ความซมน า หนวยแรง และก าลงเฉอนของดน เพอพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบวเคราะหการกระจายพลงงานศกยหรอเฮดของน าทซมในดน วเคราะหการกระจายความเคนและความเครยด ณ จดใด ๆ ของลาดดน เพอประเมนการวบตของลาดดนดวยเกณฑการวบตจากแบบจ าลองแบบตอเนองทงภายใตเงอนไขแบบระบายน าและไมระบายน า โดยการประมวลผลเพอวเคราะหและหาผลเฉลยของตวแบบเชงคณตศาสตร โดยใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตซงเปนระเบยบวธทนยมในการวเคราะหปญหาเชงโครงสรางทางวศวกรรม และประมาณคาผลเฉลยของสมการเชง

3

อนพนธส าหรบปญหาทมความซบซอน และประดษฐซอฟแวรคอมพวเตอรส าหรบประมวลผลตามตวแบบเชงคณตศาสตรทไดพฒนาขน ซงจะเปนเทคโนโลยสารสนเทศทางภมศาสตรทสามารถคาดการณการเกดภยพบตดนถลม และเปนเครองมอในการตดสนใจ ก าหนดหรอวางผงเมอง หรอก าหนดพนทเสยงภยจากการเกดภยพบตดนถลม อนจะน าไปสการเตรยมการรบสถานการณการเกดภยพบตดนถลม และเปนแนวทางในการชวยลดความรนแรงจากดนถลม เพอการใชประโยชนทดนและการจดการทรพยากรธรรมชาตอยางยงยนตอไป

1.1 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

งานวจยทเกยวของกบตวแบบเชงคณตศาสตรและการจ าลองดนถลม ไดมการศกษาและพฒนาขนในรปแบบตาง ๆ ทหลากหลายซงในทนไดท าการรวบรวมและสรปสาระส าคญของงานวจยตาง ๆ ทเกยวของ เพอใหเหนถงแนวความคด ปญหาและการพฒนาดงตอไปน

Asch et al. [15] ไดน าเสนอเทคนค ความกาวหนา ปญหา และแบบจ าลองเชง

ตวเลขส าหรบภยพบตดนถลม ซงไดมการจ าแนกการวบตของลาดดนไว 5 ประเภท ไดแก รวง (fall)

คว า (topple) แผกระจายทางดานขาง (lateral spreading slide) และไหล (flow) จ าแนก

ประเภทของดนและขนของการวบตของลาดดน ไดแก กอนการวบต (pre-failure) วบต (failure)

และหลงการวบต (post-failure) ดงรปท 1.1

รปท 1.1 ประเภทการวบต ประเภทของดน และขนการวบตของลาดดน

(ทมา: Asch et al. [15])

ความสมพนธระหวางตวประกอบความปลอดภย (safety factor) กบเวลา (time) ซงแสดงใหเหน

ถงคาวบต (failure) และคาวกฤต (crisis) ดงรปท 1.2 และตวแบบแสดงความเสยหายทเกดขน

ของลาดหนในอดมคต (an idealized rocky slope) โดยอาศยทฤษฎ brittle creep theory

ดงรปท 1.3

4

รปท 1.2 ความสมพนธระหวางตวประกอบความปลอดภยกบเวลา

(ทมา: Asch et al. [15])

รปท 1.3 ตวแบบความเสยหายทเกดขนกบลาดหนในอดมคต

(ทมา: Asch et al. [15])

กว [1] ไดสรางตวแบบส าหรบการคาดการณจดวกฤตของการขาดเสถยรภาพลาด

ดนเปนผลใหเกดดนถลม อาศยการใชสหวทยาการดวยการบรณาการหลกการของปฐพวทยา ปฐพกลศาสตร การออกแบบคอนกรตเสรมเหลก เพอหาคาก าลงรบแรงเฉอนทเพมขนของดนเนองจากรากตนไม รวมทงความสมพนธระหวางความชนในดนกบคาแรงดนในชองวางดน สรางเปนตวแบบเชงคณตศาสตร โดยจะไดคาความชนในเมดดนทเปนจดเรมตนทท าใหลาดดนขาดเสถยรภาพ บรเวณทท าการทดสอบเปนสวนยางบรเวณทลาดเชงเขาในเขตต าบลพวา จงหวดจนทบร ผลการใชตวแบบเชงคณตศาสตรทตงขนไดคารอยละปรมาณความชนโดยปรมาตรในดนทเปนจดวกฤตของการขาดเสถยรภาพลาดดน คอ 34.45 จากนนไดทดสอบดวย การใหน าแกดนบรเวณเดยวกนทต าบลพวา

อ าเภอแกงหางแมว จงหวดจนทบร ไดคารอยละปรมาณความชนโดยปรมาตรในดนทเปนจดวกฤตของการขาดเสถยรภาพลาดดน เทากบ 35.00 มผลตาง 0.55 ซงถอวานอย จงสามารถน าตวแบบเชง

คณตศาสตรนไปใชในการคาดการณจดวกฤตของเสถยรภาพลาดดน

5

รฐธรรม และวรากร [5] ไดศกษาการจ าลองของรากพชเพอการวเคราะหเสถยรภาพ

ของลาดดนพบวาก าลงของดนทเปลยนแปลงไปเนองจากการเสรมดวยรากพชจะแปรผนกบปจจย 6

อยาง คอความหนาแนน ก าลงรบแรงดง (tensile modulus) อตราสวนความยาวตอขนาดเสนผาน

ศนยกลางความขรขระของพนผว และการวางตวของรากพช การกระจายของรากพบวา ประมาณรอยละ 85 ถง 90 ของปรมาตรรากจะอยครงบนของความลกรากทงหมด และจะลดลงมากเมอความ

ลกมากขน และรากสวนใหญจะอยลกจากผวดน 20 ถง 50 ซม.

Chung and Fabbri [10] น าเสนอตวแบบทางสถตส าหรบท านายการเกดภย

พบตดนถลม โดยใชคาความนาจะเปนทวเคราะหไดจากภาพถายทางอากาศ ซงตวแบบทางสถตทน ามาใชในงานวจยไดแก ตวแบบทางตรง (direct model) ตวแบบความถดถอย (regression

model) และตวแบบเบยเซยน (modified Bayesian model) และไดกลาวถงการศกษารายกรณ

บนพนทเมอง Rio Chinclna ในประเทศโคลมเบย

Cascini et al. [16] ไดน าเสนอตวแบบแสดงการเกดปรากฎการณดนถลมเมอ

เดอนพฤษภาคม 1998 ณ เมอง Sarno-Quindici ทางใตของประเทศอตาล ดงรปท 1.4

รปท 1.4 การไหลของดน ณ เมอง Sarno-Quindici ทางตอนใตของประเทศอตาล และการไหล

ของดนบรเวณทราบลมของภเขา Tuostolo

(ทมา: Cascini et al. [16])

K. Pareta and Pareta [20] ศกษาและพฒนาตวแบบดนถลมจากสภาพความ

ลาดชนของภมประเทศจากภาพถายทางอากาศบรเวณลมน า Himachal Pradesh ในประเทศ

อนเดย ดงรปท 1.5

6

รปท 1.5 พนทเสยงภยพบตดนถลมบรเวณลมน า Himachal Pradesh ในประเทศอนเดย

(ทมา: K. Pareta and Pareta [20])

Hassani et al. [23] น าเสนอการเพมประสทธภาพของแบบจ าลองดนถลม โดย

การพจารณาปญหาความหยดนงของระนาบรบแรงเฉอน (the stationary anti-plane) โดยการ

ค านวณอยในพจนของความเรวและแรงเคนใน 2 มต วเคราะหองคประกอบก าลงรบแรงเฉอน ตว

ประกอบความปลอดภยและระเบยบวธเชงตวเลขส าหรบการหาผลเฉลยจากแบบจ าลองดนถลม

Georgiadis [19] ไดประดษฐโปรแกรมส าหรบการวเคราะหดนทอมตวดวยน า

บางสวนโดยระเบยบวธไฟไนตเอลเมต ซงในงานวจยไดกลาวถงพฤตกรรมของดนทอมตวดวยน าบางสวนทมพฤตกรรมทางกลศาสตรทแตกตางจากดนแหงและดนอมตวดวยน าทงหมด โดยพฤตกรรมทางกลศาสตรทกลาวถงไดแก ตวแปรสถานะของความเคน (stress state variables) ความเคน

หลกประสทธผล (effective stress principle) พฤตกรรมการเปลยนแปลงของปรมาตร และ

ความเคนเฉอน ตวแบบความสอดคลองกน (constitution model) และการวเคราะหดวยระเบยบ

วธไฟไนตเอลเมนต Popa and Batali [18] ไดใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในงานออกแบบ

ทางดานธรณเทคนค และไดมการศกษาสมบตองคประกอบของดนและเปรยบเทยบพารามเตอรส าหรบเกณฑการวบตของลาดดน ไดแก ตวแบบมอร-คลอมป (Mohr-Coulomb model) ตวแบบ

โนวา (Nova model) และตวแบบของเวอรเมย (Vermeer’s model) รวมถงศกษากรณการรบ

แรงเฉอนของก าแพงดน

การศกษาและวเคราะหปญหาดานปฐพกลศาสตรโดยเฉพาะอยางยงการวเคราะหเสถยรภาพของลาดดนเปนงานทมความยงยากซบซอน เพราะเปนการวเคราะหลกษณะเชงกลของดน

7

ซงเปนสารเนอผสมทไดรบอทธพลจากแรงอนเนองมาจากน าหนกของดนซงจะมคาเพมขนเมอมน าไหลซมลงสดน น าหนกของวตถบนผวดน ไดแก ตนไม กอนหน หรอสงกอสราง เปนตน รวมถงแรงยดเหนยวดนของรากไม แรงยดเหนยวและแรงเสยดทานระหวางเมดดนทรกษาเสถยรภาพของลาดดนไวซงจะมคาลดลงเมอแรงดนน าโพรงมากขน ดวยเหตนจงไดประดษฐเครองมอเพออ านวยความสะดวกในการประมวลผลขอมลเพอวเคราะหปญหาเสถยรภาพของลาดดน รฐธรรม [4] ไดน าเสนอโปรแกรม

KUslope version 2.0 ทไดรบการพฒนาขนโดยศนยวจยและพฒนาวศวกรรมปฐพและฐานราก

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร ซงโปรแกรมนสามารถวเคราะหเสถยรภาพของลาดดนแบบ 2 มต โดยอาศยหลกการสมดลลมต (limit equilibrium) ประกอบดวยลกษณะดงน

ก. วเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของลาดดนจากอทธพลของรากพชได (vegetation)

ข. วเคราะหลกษณะผวการวบตได 2 แบบ คอ สวนโคงของวงกลม และไมสวนโคงวงกลม

ค. เลอกสมบตของดนได 2 แบบ คอ Mohr-Coulomb material หรอ anisotropic

strength

ง. วเคราะหเสถยรภาพลาดดนโดยใช 4 ทฤษฎ ไดแก ordinary, simplified Janbu,

simplified Bishop และ spencer

จ. วเคราะหผลกระทบของความดนน าได 3 แบบ คอ no seepage, water line และ

pore water pressure ratio

ฉ. วเคราะหผลจากปจจยภายนอกได 5 ปจจย คอ seismic load, tension crack,

external load, anchor และ vegetation

แบบจ าลองตาง ๆ ในงานวจยทไดกลาวไปนน ลวนเปนแนวความคดในการพฒนาตวแบบและการประดษฐโปรแกรมส าหรบการวเคราะหการเกดภยพบตดนถลมในงานวทยานพนธน

1.2 วตถประสงคในงานวทยานพนธ

1. เพอศกษาตวแบบความซมน า ก าลงรบแรงเฉอน และการวบตของลาดดน

2. เพอพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบคาดการณการวบตของลาดดน

3. เพอประดษฐซอฟตแวรเพอวเคราะหความซมน า ก าลงรบแรงเฉอน และการวบตของลาดดน

งานวทยานพนธนจะมการศกษาตวแบบเชงคณตศาสตร ไดแก ตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงท ตวแบบก าลงรบแรงเฉอน และตวแบบการวบตของลาดดน โดยตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตวจะน ามาใชเพอวเคราะหหาความซมน าในดนหรอปรมาณน าดนเพอก าหนดเปนคาเรมตนในการค านวณน าหนกของดนทขนอยกบปรมาณของน าในดน ตวแบบก าลงรบ

8

แรงเฉอนจะน ามาใชเพอวเคราะหการกระจายความเคนและความเครยดในดน ซงในการหาผลเฉลยของตวแบบทงสองนจะใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตโดยใชเอลเมนตชนดรปทรงสหนา ส าหรบตวแบบการวบตของลาดดนเปนตวแบบทจะใชเปนเกณฑการประเมนการวบตของลาดดนประกอบดวยเกณฑการวบตในเงอนไขแบบไมระบายน า ซง ในงานวทยานพนธนจะน าตวแบบเชงคณตศาสตรทงหมดทไดกลาวมาน มาใชเพอเปนตวแบบเชงคณตศาสตรและประดษฐซอฟตแวรส าหรบคาดการณการวบตของลาดดนทมผลมาจากปรมาณในดน โดยมขนตอนดงรปท 1.6

บทตอไปของวทยานพนธจะน าเสนอเนอหาดงตอไปน บทท 2 ตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหเสถยรภาพลาดดน โดยในบทนผเขยนได

น าเสนอตวแบบเชงคณตศาสตร ไดแก ตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว หลกการเชงทฤษฎยดหยนของวสดในงานวศวกรรมธรณเทคนค และเกณฑวบตลาดดน

บทท 3 การวเคราะหเสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต ซงผเขยนได

ด าเนนการหาสมการไฟไนตเอลเมนตของตวแบบเชงคณตศาสตรจากบทท 2 รวมถงน าเสนอ

ขนตอนการค านวณเพอหาปรมาณน าในดน ความเคนและความเครยด

บทท 4 การออกแบบและประดษฐซอฟตแวรเพอหาผลเฉลยโดยสมการทไดจากบทท 3

บทท 5 การจ าลองเสถยรภาพลาดดน โดยการน าสมการไฟไนตเอลเมนตและซอฟตแวรท

ประดษฐขนไปใชในการจ าลองเพอวเคราะหเสถยรภาพลาดดนตวอยางและพนทจรง บทท 6 สวนสดทายจะกลาวถงสรปผลการวจย การอภปรายผล และขอเสนอแนะ

รปท 1.6 ขนตอนการคาดการณการวบตของลาดดนทมผลจากปรมาณในดน

ตวแบบการไหลของน าในดน

การประมาณคาเฮดของน าในดน

โปรแกรมเพอประมาณ

คาเฮดของน าในดน

ตวแบบการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนดน

การกระจายความเคนและความเครยดในดน

โปรแกรมวเคราะห ก าลงรบแรงเฉอนของ

ดน

เกณฑการวบต

การคาดการณการวบตของลาดดน

9

บทท 2

ตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหเสถยรภาพลาดดน

บทนจะน าเสนอตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหเสถยรภาพลาดดนทมผลจากปรมาณน าหรอความชน (water content or moisture content) ในดน เพอคาดการณ

การเกดดนถลม โดยตวแบบเชงคณตศาสตรนประกอบดวยตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน และเกณฑการวบตลาดดน

ตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตวเปนตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบประมาณคาพลงงานศกยและปรมาณน าทต าแหนงใด ๆ ในลาดดน โดยตวแบบการไหลของน าใตดนไดมาจากกฎทรงมวล (the law of conservation of mass) ส าหรบตวแบบก าลงรบแรงเฉอน

ของดนเปนตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนในลาดดน ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดนไดมาจากหลกการเชงทฤษฎยดหยนของวสดในงานวศวกรรมธรณเทคนค โดยการพจารณาเงอนไขอนประกอบดวย ความสมดล (equilibrium) การเขากนได (compatibility)

พฤตกรรมเชงกลของวสด (constitutive law) และเงอนไขขอบ (boundary conditions)

2.1 เสถยรภาพลาดดน (slope stability) และวกฤต (critical) ของเสถยรภาพลาดดน

เสถยรภาพลาดดนเปนผลมาจากก าลงรบแรงเฉอนของดนซงเปนก าลงตานทานการเฉอนสงสดทดนสามารถรบไดโดยไมวบต หรอพงทลาย (failure) [6] โดยพฤตกรรมของดนทไม

อมตวดวยน า (unsaturated soil) บนลาดดนจะมก าลงรบแรงเฉอนเปลยนแปลงไปตามปรมาณน า

ในดน กลาวคอ เมอปรมาณน าในดนเพมขนจะมผลท าใหความดนน าในโพรงดน (pore water

pressure) เพมขน [21] แตจะท าใหแรงดงน าในดน (soil suction) และก าลงรบแรงเฉอนของดน

ลดลง [7] ซงเปนผลใหเกดการวบตของลาดดน

ก าลงรบแรงเฉอนของดนโดยทวไปมกเกดจากแรงในสามรปแบบ ไดแก แรงทเกดจากการขดกนระหวางเมดดน (interlocking of particles) แรงเสยดทาน (friction) ระหวางผว

เมดดน และแรงเชอมแนน (cohesion) ระหวางเมดดนซงเปนแรงจากประจไฟฟา [6] ก าลงรบแรง

เฉอนของดน s สามารถเขยนในรปสมการ

s c tan (1)

เมอ c แทน แรงเชอมแนน

แทน ความเคนปกต (normal stress)

และ แทน มมเสยดทานภายในของดน (internal friction angle)

10

ดนแตละประเภทจะมก าลงรบแรงเฉอนจากแรงในแตละรปแบบทตางกน โดยดนเมดหยาบหรอดนทรายมกมอตราสวนของน าหนกตอพนผวเมดดนมากกวาดนเมดละเอยดมาก ดงนนก าลงรบแรงเฉอนในดนทรายจงมกเปนผลมาจากแรงทเกดจากการขดกนระหวางเมดดนและแรงเสยดทานระหวางผวเมดดน สวนก าลงรบแรงเฉอนในดนเหนยวมกเปนผลจากแรงเชอมแนน [6]

การคาดการณการวบตของลาดดนจะตองพจารณาถงคาวกฤตของเสถยรภาพลาดดนทเปนผลจากปรมาณน าในดน สวนนจะน าเสนอการวเคราะหคาวกฤตของเสถยรภาพลาดดนทเปนผลจากปรมาณน าในดนโดยใชเสนอตลกษณของน าในดน (soil water characteristic curve)

โดยพจารณาแผนผงภาพวตถอสระ (free body diagram) ของลาดดนอยางงายดงรปท 2.1

รปท 2.1 แรงกระท าตอมวลดน

จากรปท 2.1 แสดงภาคตดของลาดดนทมความชน สมมตใหมวลดนมหนวย

น าหนกดนเปยกเทากบ t และมระนาบวบต (failure plane) ขนานกบผวดนทระดบความลก y

ดงนนบนระนาบวบตพนท fA มวลดนจะมน าหนกเทากบ W โดยท

3t f

W A y ,W j j W

เมอ W แทน ขนาด (magnitude) ของน าหนกมวลดน และ t f

W A y

ตอไปจะพจารณาความเคนทเกดขนบนระนาบวบตทเปนผลจากน าหนกของมวลดน โดยสมมตใหมวลดนมลกษณะเปนรปทรงสเหลยมขนาด a3 ลกบาศกหนวย น าหนกของมวลดนท าให

เกดระนาบวบตความชน ซงมเวกเตอรแนวฉากหนงหนวย 3f f,N N ดงรปท 2.2 จะไดวา

ระนาบวบตมพนท fA โดยท

2

f

aA

cos

W

b

P

P

y

R

n

Failure plane

11

รปท 2.2 พนทรบแรงเฉอน

ความเคนปกต คออตราสวนของแรงทกระท าในแนวฉากกบระนาบวบตตอหนวยพนท

2 2f ft2 2

f f f

cos1 cos Wcos y cos

A a a

W N W N

N N (2)

ความเคนเฉอน คออตราสวนของแรงทกระท าในแนวสมผสกบระนาบวบตตอหนวยพนท

t2

Wsin( ycos )sin

acos

(3)

และแรงเสยดทานตอหนงหนวยพนท

2t2

f

(Wcos )tanf( ycos )tan

A acos

(4)

ในป ค.ศ. 1959 Bishop ไดน าเสนอสมการหนวยแรงประสทธผลของดนไมอมตวดวยน า [7] ดงน

fu (5)

เมอ แทน ความเคนประสทธผล (effective stress)

และ fu แทน ความดนของไหลในโพรงดน

จดรปสมการ (5) จะไดความเคนประสทธผล

fu (6)

คาความปลอดภย (factor of safety, F.S.) ของลาดดน คออตราสวนของก าลง

รบแรงเฉอนตอแรงเฉอนของดนเขยนในรปของแรงประสทธผล (effective force) ตามสมการ

0 a

a

Failure plane

Y

X

Z

Nf

12

c tan

F.S. (7)

แทน ในสมการ (7) จะได

fc tan u tan

F.S. (8)

จากสมการ (2) และ (3) แทน และ ลงในสมการ (8) จะได

2

t f

t

c ( ycos )tan u tanF.S.

ycos sin

เมอปรมาณน าในดนเพมขนกระทงลาดดนวบต ความดนน าในโพรงดนขณะทลาดดนวบต เรยกวา ความดนของไหลในโพรงดนสดทาย (final pore fluid pressure) แทนดวย F

u

และเมอลาดดนวบตคาความปลอดภยของลาดดน เทากบ 1 ดงนน

2

t F

t

c ( ycos )tan u tan1

ycos sin (9)

เนองจากความดนของไหลในโพรงดนสดทาย Fu ซงเปนไปตามความสมพนธ [7]

F A A Wu u (u u ) (10)

เมอ Au แทน ความดนอากาศในโพรงดนสดทาย

Wu แทน ความดนน าในโพรงดนสดทาย

และ แทน พารามเตอรแปรผนตามดกรความอมตว dS

จากสมการ (10) แทน Fu ในสมการ (9) จะได

2

t A A W

t

c ( ycos )tan (u (u u ))tan1

ycos sin (11)

จดรปสมการ (11) จะได

2

t A A W

t

c ( ycos u )tan (u u ) tan1

ycos sin (12)

เนองจาก แรงดงน าในดน (matric suction) คอ ผลตางระหวางความดนอากาศกบความดนน าใน

โพรงดน [21] โดยท

s a wu u u

ดงนน S A Wu u u เมอ S

u แทน แรงดงน าในดนสดทาย

และ btan tan เมอ b แทน มมแรงเฉอนส าหรบแรงดงน าในดน

13

จากสมการ (12) จะได

2 b

t A S

t

c ( ycos u )tan u tan1

ycos sin

แตเนองจากเมอลาดดนใกลวบต Au เขาใกล 0 ดงนน 2 2

t A tycos u ycos และ b

เขาใกล จะได

2

t S

t

c ( ycos )tan u tan1

ycos sin (13)

และจดรปสมการ (13) จะไดแรงดงน าในดนสดทาย จะได

t

S

( ycos )(sin cos tan ) cu

tan (14)

เมอน าคาทไดจากการทดสอบแทนลงในสมการ (14) จะไดคาแรงดงน าสดทายใน

ดนซงเปนคาวกฤตของเสถยรภาพลาดดน และสามารถหาปรมาณน าสดทายในดนกอนทลาดดนจะเกดการวบตไดจากเสนอตลกษณของน าในดน ตามรปท 2.3

รปท 2.3 เสนอตลกษณของน าในดน

(ทมา: สทธศกด [9])

การหาคาวกฤตของเสถยรภาพลาดดนตามทไดกลาวมาขางตนนท าใหสามารถคาดการณไดวาลาดดนจะเกดการวบตขนเมอมปรมาณน าในดนเปนเทาใด แตอยางไรกตามการหาคาวกฤตโดยสมการ (14) จะตองทราบความชนของระนาบวบตทเกดขนภายในมวลดน ดงนนในการ

ประเมนการวบตของลาดดนจงตองอาศยระเบยบวธอน ๆ เพอใชในการหาระนาบวบตซงระเบยบวธทนยมใชกนโดยทวไปไดแก สมดลขดจ ากดและไฟไนตเอลเมนต ส าหรบในงานวทยานพนธนจะเลอกใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเนองจากมความเหมาะสมกบลาดดนธรรมชาตซงมลกษณะเปนรปทรงอสระ โดยในสวนตอไปจะกลาวถงตวแบบเชงคณตศาสตรทจะน ามาใชอธบายการไหลของน าใตดน ก าลงรบแรงเฉอนของดนและเกณฑการวบตลาดดนส าหรบการคาดการณการเกดดนถลม

14

2.2 ตวแบบการไหลของน าใตดน (groundwater flow model)

ตามทไดกลาวมาขางตนวาการเพมขนของความดนน าในโพรงดนมผลท าใหเกดการวบตของลาดดน ดงนนการศกษาการวบตของลาดดนจงจ าเปนตองพจารณาถงปรมาณน าหรอปรมาณความชน (moisture content) ในดน โดยวเคราะหลกษณะการไหลของน าใตดน เรมจากน าทผว

ดนซมลงสชนใตดนผานทางชองวางระหวางเมดดนทมความตอเนองกน เรยกกวาน าใตผวดน (subsurface water) โดยน าใตผวดนจะไหลจากต าแหนงทมพลงงานสงไปสต าแหนงทมพลงงานต า

ซงพลงงานนในทางวศวกรรมจะอยในรปของเฮด (head) น าใตผวดนมลกษณะการไหลแบบลามนาร

(laminar flow) คอน าจะไหลซมผานดนดวยอตราเรวทต าและคอนขางคงท [6]

น าใตดน สามารถแบงตามการกระจายในแนวดงไดเปนน าทอยในเขตอากาศแฝง (zone of aeration) หรอเขตดนไมอมตว (unsaturated zone) และน าทอยในเขตดนอมตว

(zone of saturation) โดยทงสองสวนถกแบงดวยระดบน าใตดน (water table) [3] โดย

ธรรมชาตการไหลของน าใตดนในเขตดนไมอมตวจะมลกษณะไมคงตว (unsteady flow) ซงเปน

การไหลของน าทมอตราเรวการไหลไมคงท และปรมาณน าไมคงทตามเวลาทเปลยนแปลงไป แตเพอความสะดวกในการวเคราะหปรมาณน าในดน ในงานวทยานพนธนจงสมมตใหลาดดนทวเคราะหไดรบฝนในปรมาณคงทและตอเนองจนท าใหน าฝนทซมลงดนไหลผานดนมลกษณะคงตว (steady flow)

ดงนน การพจารณาปรมาณน าในดนจะวเคราะหจากการไหลของน าใตดนโดยใชสมการการไหลในสภาวะคงตว (steady state flow)

ในป ค.ศ. 1856 Henry Darcy ไดน าเสนอหลกการค านวณดานชลศาสตรการ

ไหลของน าใตดน โดยกลาววา อตราการไหลของน าผานดนหรอวสดพรนเปนสดสวนกบคาการสญเสยพลงงานและแปรผกผนกบระยะทางการไหล [3]

รปท 2.4 การไหลของน าใตดน

datum

zA

L A

B

pA/

w

pB/

w

zB

hB

hA

soil

15

จากรปท 2.4 ดารซท าการทดลองการไหลของน าผานวสดพรน โดยใชแทงดนทราย

ทรงกระบอกซงวางเอยงและมมานอมเตอร (monometer) หรอปโซมเตอร (piezometer)

ส าหรบวดความดนหางกนเปนระยะทาง L

พลงงานของการไหลของน าในดนทต าแหนง A และ B หาไดจากสมการเบอรนลล

(Bernoulli’s equation) คอ

2 2

A A B BA B

w w

p v p vz z h

2g 2g

เมอ Ap และ B

p แทน ความดนน าทต าแหนง A และ B ตามล าดบ

Av และ B

v แทน อตราเรวในการไหลของน าทต าแหนง A และ B ตามล าดบ

Az และ B

z แทน เฮดระดบทต าแหนง A และ B ตามล าดบ

w แทน หนวยน าหนกของน า

g แทน อตราเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก

และ h แทน เฮดทสญเสย

สมการเบอรนลลสามารถเขยนเฮดทต าแหนงใด ๆ [6] ไดตามสมการ

2

w

p vh z

2g (15)

เมอ h แทน เฮดทต าแหนงใด ๆ

ก าหนดให p

h แทน เฮดความดน (pressure head) โดยท

wp

w

ph

และ vh แทน เฮดความเรว (velocity head) โดยท

2

v

vh

2g

จากสมการ (15) จงเขยนไดเปนสมการ

p v

h h h z

เนองจากอตราเรวของน าไหลผานดนมคานอยมาก ก าหนดให A Bv v 0

ดงนน เฮดทสญเสยจากการไหลจากต าแหนง A ไปต าแหนง B หาไดจากสมการ

A BA B

w w

p ph z z

16

จากรปท 2.4 พจารณาการไหลของน าผานดน ทจด A มเฮดสงกวาจด B ดงนนน า

จงไหลผานดนจากจด A ไปยงจด B โดยมความชนทางชลศาสตร (hydraulic gradient) ดงน

h

iL

เมอ i แทน ความชนทางชลศาสตร

L แทน ระยะทางทน าไหลระหวางจด A และ B

และ hแทน ผลตางของเฮดระหวางจด A และ B

จากกฎของดารซ (Darcy’s law) กลาววาอตราเรวการไหลของน าผานดนแปรผน

ตรงกบความชนทางชลศาสตร นนคอ

v ki

เมอ v แทน อตราเรวการไหลของน าผานดน

และ k แทน สมประสทธการซมไดของดน (permeability of soil)

พจารณาการไหลของน าผานหนาตดของดนจะไดวาอตราการไหลผานหนาตดตอหนวยเวลาเทากบผลคณของอตราเรวการไหลของน าผานดนกบพนทหนาตด นนคอ

q vA

เมอ q แทน อตราการไหลผานหนาตดตอหนวยเวลา

และ A แทน พนทหนาตดของดนทตงฉากกบทศทางการไหลของน า

สมประสทธการซมไดของดนเปนสมบตเฉพาะของดนแตละชนดและแตละแหง จงตองมการทดสอบเพอหาคานส าหรบดนนน ๆ สมประสทธการซมไดของดนจะมหนวยเชนเดยวกบอตราเรว [6] โดยทวไปคาสมประสทธการซมไดของดนแสดงตามตารางท 2.1

ตารางท 2.1 คาโดยทวไปของสมประสทธการซมไดของดนชนดตาง ๆ

ชนดของดน สมประสทธการซมได (เซนตเมตรตอวนาท) ทรายสะอาด (clean sand) 1 – 100

ทรายเมดหยาบ (coarse sand) 1 – 0.01

ทรายเมดละเอยด (fine sand) 0.01 – 0.001

ดนตะกอน (silt) 0.001 – 0.00001

ดนเหนยว (clay) < 0.00001

(ทมา: วศษฐ [6])

17

ในสวนนจะอธบายถงตวแบบการไหลของน าใตดนซงเปนตวแบบเชงคณตศาสตรทไดมาจากกฎทรงมวล โดยการพจารณาการไหลของน าผานสวนยอยของมวลดนหรอเอลเมนตดน (soil element) ทมลกษณะการไหลแบบลามนารและอยในสภาวะการไหลคงตว

รปท 2.5 การไหลของน าผานเอลเมนตดน

จากรปท 2.5 แสดงลกษณะการไหลของน าผานเอลเมนตดนในทกทศทาง โดย

สมมตใหเอลเมนตดนมลกษณะเปนรปทรงสเหลยมกวาง dx ยาว dy สง dz และก าหนดใหปรมาณ

ตาง ๆ ในหนงหนวยเวลา เปนดงตอไปน

xiq ,

yiq และ zi

q แทน อตราการไหลเขาตามแกน x, y และ z ตามล าดบ

xoq ,

yoq และ zo

q แทน อตราการไหลออกตามแกน x, y และ z ตามล าดบ

xk ,

yk และ z

k แทน สมประสทธการซมไดของดนตามแกน x, y และ z ตามล าดบ

และ h แทน เฮดทต าแหนงใด ๆ ในเอลเมนตดน

โดยท h, xk ,

yk และ z

k เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป

ตอไปจะพจารณาปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนตอหนวยเวลาในทศทาง x สมมต

ใหน าไหลเขาสเอลเมนตดนดาน x และไหลออกดาน x + dx ผานหนาตดทตงฉากกบทศทางการ

ไหลของน ามพนทเทากบ dydz ส าหรบดาน x ของเอลเมนตดนมคาสมประสทธการซมไดของดน

เทากบ kx และความชนทางชลศาสตร xii โดยท

xii

xh

จากกฎของดารซจะไดปรมาณน าไหลเขาสอนภาคดนตอหนวยเวลาในทศทาง x

y

z

dy

x

dz

dx

qzi

qzo

qyo

qxo

qyi

qxi

18

xi x xi x

q i A dydzxh

k k (16)

ส าหรบดาน x + dx ของเอลเมนตดนมคาสมประสทธการซมไดของดน เทากบ

xx

dxx

kk

และคาความชนทางชลศาสตร xoi โดยท

2

xo 2i dx

x x

h h

จะไดปรมาณน าไหลออกจากอนภาคดนตอหนวยเวลาในทศทาง x เทากบ

2

x xxo x xo x 2

q dx i dA dx dx dydzx x x x

k k h hk k (17)

จดรปสมการ (17) จะได

2 2

x xxo x x 2 2

q dydz dx dxdydzx x x xx x

k kh h h hk k (18)

เนองจากปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนสทธตอหนวยเวลาในทศทาง x เทากบ xq โดยท

x xi xoq q q (19)

แทน xiq และ xo

q ในสมการ (19) จะได

2 2

x xx x 2 2

q dx dxdydzx x xx x

k kh h hk (20)

ก าหนดใหคาสมประสทธการซมไดมคาคงทในทศทาง x ดงนน

x

x

k= 0

จากสมการ (20) จะได

2

x x 2q dxdydz

x

hk (21)

ในท านองเดยวกนปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนตอหนวยเวลาในทศทาง y

2

y y 2q dxdydz

y

hk (22)

และปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนตอหนวยเวลาในทศทาง z

2

z z 2q dxdydz

z

hk (23)

19

ดงนน ปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนสทธตอหนวยเวลา เขยนแทนดวย q เมอ

x y z

q q q q (24)

แทน xq ,

yq และ z

q ในสมการ (24) จะได

2 2 2

x y z2 2 2q dxdydz

x y z

h h hk k k (25)

เนองจากน าไหลในสภาวะคงตว ดงนน q จงมคาเปนศนย จะได

2 2 2

x y z2 2 20 dxdydz

x y z

h h hk k k

เนองจาก dxdydz คอปรมาตรของเอลเมนตดนมคาไมเปนศนย ดงนน

2 2 2

x y z2 2 20

x y z

h h hk k k (26)

สมการ (26) เปนตวแบบการไหลของน าใตดนอยางตอเนองในทกทศทาง เนองจาก

ตวแบบเชงคณตศาสตรนไดจากการพจารณาการไหลของน าผานเอลเมนตดนเทานน แตโดยทวไปอตราการไหลของน าจากแหลงก าเนด (water supply) และอตราการไหลเขา (pour in) หรอ

ระบายออก (drain) จากลาดดนเปนปจจยส าคญทมผลตอการไหลของน าใตดน ซงน าทไหลเขาส

ลาดดน ไดแก น าฝนทตกลงบนผวดนแลวซมลงสชนใตดน หรอน าทาทไหลมาจากบรเวณทสงกวา ส าหรบน าทไหลออกจากลาดดนบางสวนจะถกกกเกบเปนน าบาดาลหรอถายเทลงสแหลงน าตอไป ในงานวทยานพนธนจะน าตวแบบตามสมการ (26) มาเพมปจจยและเงอนไขทไดกลาวมาขางตน

ตอไปจะพจารณาตวแบบการไหลของน าใตดนทมปจจยจากแหลงก าเนดของน าในดน สมมตใหภายในเอลเมนตดนตามรปท 2.5 มแหลงก าเนดน ากระจายอยางตอเนองและตลอดทว

ทงเอลเมนตดน และน าไหลจากแหลงก าเนดดวยอตราเรว sv ปรมาณน าทไหลจากแหลงก าเนด

ภายในเอลเมนตตอหนวยเวลา เทากบ sv dxdydz ดงนน ปรมาณน าไหลผานเอลเมนตดนสทธตอ

หนวยเวลาเขยนไดตามสมการ

x y z sq q q q v dxdydz (27)

แทน xq ,

yq และ z

q ในสมการ (24) จะได

2 2 2

x y z s2 2 2q dxdydz v dxdydz

x y z

h h hk k k (28)

เนองจากน าไหลในสภาวะคงตว ดงนน q จงมคาเปนศนย จะได

20

2 2 2

x y z s2 2 20 v dxdydz

x y z

h h hk k k

เนองจาก dxdydz คอปรมาตรของเอลเมนตดนมคาไมเปนศนย ดงนน

2 2 2

x y z s2 2 2v 0

x y z

h h hk k k

และเนองจากอตราเรวการไหลของน าเขาสหรอออกจากเอลเมนตดนเทากบผลคณของอตราเรวการไหลของน าผานเอลเมนตดนกบเวกเตอรแนวฉากหนงหนวยของดานเอลเมนตดนทน าไหลออก นนคอ

dv v n (29)

เมอ v แทน อตราเรวการไหลของน าผานเอลเมนตดน โดยท

x y zx y zv i j k

h h hk k k

และ n แทน เวกเตอรแนวฉากหนงหนวยของดานเอลเมนตดน โดยท

x y zn n nn i j k

จากสมการ (29) จะได

d x y z x y zv (n n n )

x y zi j k i j kh h h

k k k

ดงนน

x x y y z z dn n n v 0

x y zh h h

k k k

ROSS [9] ไดเสนอแบบจ าลองการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว เมอรวม

อตราเรวการไหลของน าจากแหลงก าเนด เขยนในรปสมการเชงอนพนธยอยคอ

2 2 2

x y z s2 2 2v 0

x y z

h h hk k k (30)

เงอนไขขอบประกอบดวย

hh (31)

x x y y z z d

n n n v 0x y zh h h

k k k (32)

เมอ h แทน เฮดทผวดน

dv แทน อตราเรวการไหลของน าเขาสหรอออกจากลาดดน

และ x y z

(n ,n ,n )n แทน เวกเตอรแนวฉากหนงหนวยของหนาตดทน าไหลผาน

21

สมการ (30), (31) และ (32) เปนตวแบบเชงคณตศาสตรเพอการวเคราะหการ

ไหลของน าใตดนทมผลจากการไหลของน าจากแหลงก าเนดและการไหลเขาสหรอออกจากลาดดน

การก าหนดคาอตราเรวการไหลของน าจากแหลงก าเนดในสมการ (30) กรณท

แหลงก าเนดเปนแหลงสบน าออกจากลาดดน อตราเรวการไหลมคานอยกวาศนย และกรณทแหลงก าเนดเปนแหลงจายน าเขาสลาดดน อตราเรวการไหลมคามากกวาศนย

เฮดทผวดนหรอทจดขอบใด ๆ ในเอลเมนตดน สามารถก าหนดไดในสมการ (31)

กรณดนแหงเฮดทจดใด ๆ มคาเทากบ 0

การก าหนดคาอตราเรวการไหลของน าเขาสหรอออกจากลาดดนในสมการ (32)

กรณทน าไหลเขาสลาดดน อตราเรวการไหลมคามากกวาศนย และกรณทน าไหลออกจากลาดดน อตราเรวการไหลมคานอยกวาศนย ถาน าทไหลเขาสลาดดนมาจากฝน อตราเรวการไหลของน าเขาสลาดดนมคาเทากบความเขมฝน (rainfall intensity)

การวดปรมาณน าฝนในชวงเวลาทก าหนดจะแสดงผลในหนวยของความลกของน าฝนทตกลงบนพนทโดยถอวาปรมาณฝนแผกระจายและมความลกสม าเสมอ (equivalent

uniform depth) ครอบคลมทงพนท และมสมมตฐานวาไมมการไหลออกของน าทา การซมผานผว

ดนหรอการระเหย [3] หนวยทนยมใชวดความลกฝนคอ มลลเมตร หรอ เซนตเมตร หรอ นว

ความเขมฝน หมายถง ปรมาณความลกฝนเทยบตอหนงหนวยเวลา มหนวยเปน มลลเมตรตอชวโมง หรอ นวตอชวโมง เปนตน ส าหรบในประเทศไทย กรมอตนยมวทยาไดก าหนดใหรายงานอตราการตกของฝนในรปความแรงของฝน ดงน

ฝนตกเลกนอย คอ ความเขมฝน 1 ถง 5 มลลเมตรตอชวโมง

ฝนตกหนกปานกลาง คอ ความเขมฝน 5 ถง 10 มลลเมตรตอชวโมง

ฝนตกหนก คอ ความเขมฝน 10 ถง 20 มลลเมตรตอชวโมง

ฝนตกหนกมาก คอ ความเขมฝนมากกวา 20 มลลเมตรตอชวโมง

ตามทไดกลาวมาขางตนวาตวแบบการไหลของน าใตดนเปนตวแบบทจะน ามาใชเพอวเคราะหลกษณะการไหลของน าภายในลาดดนและประมาณคาเฮดเพอจะน าไปหาปรมาณน าในดนทต าแหนงใด ๆ แลวนน ล าดบตอไปจะกลาวถงตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดนซงเปนตวแบบทจะน ามาใชอธบายการกระจายความเคนและความเครยดในลาดดน ตลอดจนผลจากการทดนไดดดซบน าไวจนท าใหมวลดนดานบนมน าหนกมากขนจนท าใหมวลดนในโครงสรางดานลางไมสามารถรบน าหนกทเพมขนมาไดจนท าใหลาดดนเกดการวบต

22

2.3 ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน (shear strength of soil model)

การวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนเปนขนตอนของการหาก าลงตานทานตอการเฉอนสงสดทดนจะสามารถรบไดโดยไมวบตหรอพงทลาย ซงจะตองใชหลกการวเคราะหโครงสราง (structure analysis) ของลาดดน เพอใหทราบการกระจายความเคนและความเครยดทต าแหนง

ใด ๆ ในลาดดน ตลอดจนถงการวเคราะหวามวลดนสวนใดในลาดดนทรบความเคนมากซงเมอพจารณารวมกบเกณฑการวบตของลาดดนแลวกอาจจะประเมนไดวาเปนมวลดนสวนทมความเสย งตอการวบต โดยการวเคราะหโครงสรางของลาดดนนจะน าหลกการเชงทฤษฎยดหยนของวสดในงานวศวกรรมธรณเทคนค ดงจะกลาวตอไปน

2.3.1 ความสมดล (equilibrium)

ความสมดล เปนสภาพทวตถอยนง หรอเคลอนทในทศทางตรงดวยความเรวคงท ตามกฎขอทสองของนวตน วตถจะอยในสภาพสมดลไดเมอแรงลพธ และโมเมนตลพธทกระท าตอวตถเปนศนย ดงสมการ

0F และ 0M โดยท F, M 3

เมอ F แทน แรงทกระท าตอวตถ

และ M แทน โมเมนตทกระท าตอวตถ

เนองจากลาดดนในธรรมชาตมลกษณะเปนสามมต ดงนนการพจารณาปญหาความสมดลของลาดดนจงพจารณาในปรภมสามมต

การพจาณาถงแรงหรอโมเมนตทกระท าตอวตถใด ๆ จะพจารณาในรปของแรงหรอโมเมนตทกระท าตอหนวยพนทหนาตดทรบแรงนน โดยท แรงทกระท าตอหนวยพนทหนาตด เรยกวา ความเคน แบงไดเปน

ความเคนดง (tensile stress) เขยนแทนดวย T โดยท

TT

F

A

เมอ TF แทน แรงดง

และ A แทน พนทหนาตดทตงฉากกบแรงดง ความเคนอด (compressive stress) เขยนแทนดวย C โดยท

CC

F

A

เมอ CF แทน แรงอด

และ A แทน พนทหนาตดทตงฉากกบแรงอด

23

ความเคนเฉอน (shear stress) เขยนแทนดวย โดยท

SF

A

เมอ SF แทน แรงเฉอน

และ A แทน พนทหนาตดทขนานกบแรงเฉอน

ในกรณของความเคนทกระท าตงฉากกบพนทหนาตด ไดแก ความเคนดง และความเคนอด ตอไปนจะเรยกวาความเคนปกต (normal stress) และในทางปฐพกลศาสตรไดก าหนด

เครองหมายลบส าหรบความเคนดง และบวกส าหรบความเคนอด การหาสมการสมดลเชงอนพนธเปนสมการพนฐานทางทฤษฎยดหยนของวสดจะพจารณาจากเอลเมนตทรงสเหลยม ขนาดกวาง dx ยาว dy และสง dz โดยอยภายใตสภาวะของความเคน และน าหนก ตามรปท 2.6

รปท 2.6 เอลเมนตภายใตสภาวะความเคน และแรงจากมวล

(ทมา: วศษฐ [6])

ก าหนดให x แทน ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x

y แทน ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y

z แทน ความเคนปกตทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z

xy

แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x และมทศทางในแนวแกน y

xz แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน x และมทศทางในแนวแกน z

yx

แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y และมทศทางในแนวแกน x

zx

z

xz

x

y

z y

x

zy

yz

yx

xy

dx

dy

dz Wy

Wz

Wx

24

yz แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน y และมทศทางในแนวแกน z

zx แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z และมทศทางในแนวแกน x

zy แทน ความเคนเฉอนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกน z และมทศทางในแนวแกน y

x แทน แรงเนองจากมวลทศทางในแนวแกน x

y แทน แรงเนองจากมวลทศทางในแนวแกน y

z แทน แรงเนองจากมวลทศทางในแนวแกน z

โดยท x , y, z ,

xy, xz ,

yx,

yz, zx และ

zy เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป

สมมตใหเอลเมนตอยในสภาวะสมดล และเอลเมนตเปนวสดเนอเดยวกนตลอดและสม าเสมอ ความเคนทกระท าบนระนาบทตงฉากกบแกนใด ๆ มคาคงทตลอดทงระนาบ แตจะมคาแปรเปลยนไปตามการกระจดระหวางสองระนาบทขนานกน เพอความสะดวกในการวเคราะหสมดลแรงและโมเมนตของเอลเมนต จงพจารณาสมดลแรงและโมเมนตเฉพาะหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy ส าหรบสมดลแรงและโมเมนตบนหนาตดอน ๆ สามารถพจารณาไดในท านองเดยวกน

รปท 2.7 หนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy ภายใตความเคนกระท า

จากรปท 2.7 แสดงหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy โดยระนาบนมดาน

ทตงฉากกบแกน x ไดแก ดาน x และ x + dx ส าหรบดานทตงฉากกบแกน y ไดแก ดาน y และ

x

y

dx

dy

y

x

xy

yx

Wx

Wy

x x + dx

y

y + dy

25

ดาน y + dy เนองจากความเคนทกระท าบนดาน x ประกอบดวย ความเคนปกต x และความ

เคนเฉอน xy

ดงนน ความเคนทกระท าบนพนผวดาน x + dx ประกอบดวย

ความเคนปกต เทากบ

xx

dxx

และความเคนเฉอน เทากบ

xyxy

dxx

ในท านองเดยวกน ความเคนทกระท าตอพนผวดาน y ประกอบดวย ความเคนปกต

y และความเคนเฉอน

yx ดงนน ความเคนทกระท าตอพนผวดาน y + dy ประกอบดวย

ความเคนตงฉาก เทากบ

yy

dyy

และความเคนเฉอน เทากบ

yxyx

dyy

เนองจากเอลเมนตอยในสภาวะสมดลผลรวมของแรง และผลรวมของโมเมนตเปนศนย ดงนน ผลรวมของแรงทขนานกบแกน x เปนศนย หรอ x

F 0 จะไดสมการ

yxxx x yx yx

dx dydz dydz dy dxdz dxdzx y

zxzx zx x

dz dxdy dxdy dxdydz 0z

ดงนน

yxx zxx

0x y z

ผลรวมของแรงทขนานกบแกน y เปนศนย หรอ y

F 0 จะไดสมการ

y xyy y xy xy

dy dxdz dxdz dx dydz dydzy x

zyzy zy y

dz dxdy dxdy dxdydz 0z

ดงนน

26

xy y zyy

0x y z

และผลรวมของแรงทขนานกบแกน z เปนศนย หรอ zF 0 จะไดสมการ

z xzz z xz xz

dz dxdy dxdy dx dydz dydzz x

yzyz yz z

dy dxdz dxdz dxdydz 0y

ดงนน yzxz zz

0x y z

เพอความสะดวกส าหรบการหาสมดลโมเมนตของเอลเมนตจงก าหนดใหจดก าเนดของแกนพกดอยบนจดศนยกลางของเอลเมนต จะไดผลรวมของโมเมนตรอบแกน x เปนศนย หรอ x

M 0 จะได

yz zyyz yz zy zy

dy dzdy dxdz dz dxdy 0

y 2 z 2

เนองจาก yz zydy dzdxdydz

y 2 z 2 มคานอยมาก ดงนน

yz zy

ผลรวมของโมเมนตรอบแกน y เปนศนย หรอ y

M 0 จะไดสมการ

zx xzzx zx xz xz

dz dxdz dxdy dx dydz 0

z 2 x 2

เนองจาก zx xzdz dxdxdydz

z 2 x 2 มคานอยมาก ดงนน zx xz

ผลรวมของโมเมนตรอบแกน z เปนศนย หรอ zM 0 จะไดสมการ

xy yxxy xy yx yx

dx dydx dydz dy dxdz 0

x 2 y 2

เนองจาก xy yxdx dydxdydz

x 2 y 2 มคานอยมาก ดงนน

xy yx

จะไดวา เมอเอลเมนตอยในสภาวะสมดล ความสมพนธระหวางความเคนและแรงจากมวลเปนไปตามสมการสมดลเชงอนพนธของเอลเมนตสามมตคอ

yxx zxx

0x y z

27

xy y zyy

0x y z

yzxz zz

0x y z

xy yx

xz zx

yz zy

2.3.2 การเขากนได (compatibility)

เมอวตถถกแรงกระท า จะมการยดหรอหดตว อตราสวนระหวางสวนทยดหรอหดของวตถกบความยาวเดม เรยกวา ความเครยด เขยนแทนดวย โดยท

L

เมอ แทน สวนทยดหรอหด

และ L แทน ความยาวเดม และความเครยดจากแรงเฉอน ตอไปนจะเรยกวา ความเครยดเฉอน เขยนแทนดวย

การวเคราะหปญหาทางวศวกรรมธรณเทคนคจะตองพจารณาเงอนไขทางดานการเขากนได (compatibility condition) ซงเปนการพจารณาความสมพนธระหวางความเครยดกบ

การกระจด (strain and displacement relationship) และเงอนไขความตอเนอง เพอความ

สะดวกตอการน าเสนอ ในสวนนจะอธบายความสมพนธระหวางความเครยดและการกระจดในปรภม 2 มต โดยจะพจารณาเฉพาะความสมพนธบนหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy ส าหรบ

ความสมพนธบนหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบอน ๆ สามารถพจารณาไดในท านองเดยวกน

รปท 2.8 การเปลยนรปหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy

x

y

B A

C D

B

A

C

D

28

จากรปท 2.8 แสดงการเปลยนรปหนาตดของเอลเมนตจาก ABCD เปน ABCD ดวยการ

กระจด u และ v ซงเปนการกระจดของจดใด ๆ ตามแกน x และ y ตามล าดบ โดยท u และ v เปน

ฟงกชนตอเนองจาก 2 ไป ดงนน จากพกดของจดยอด A, B, C และ D 2

A = (x, y)

B = (x + x, y)

C = (x + x, y + y)

D = (x, y + y)

มการกระจดโดยฟงกชน u และ v จะได พกดจดยอด A, B, C และ D 2

A= (x + u(x, y), y + v(x, y))

B= (x + x + u(x + x, y), y + v(x + x, y))

C= (x + x + u(x + x, y + y), y + y + v(x + x, y + y))

D= (x + u(x, y + y), y + y + v(x, y + y))

ความสมพนธระหวางความเครยด x กบการกระจดหาไดเมอหนาตดเอลเมนตม

การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง x ดงน

รปท 2.9 การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง x ของหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy

จากรปท 2.9 แสดงความยาวเดมของหนาตดเอลเมนตสวนทขนานกบแกน x

เทากบความยาวดาน AB และเมอเกดความเครยด x ความยาวของหนาตดเอลเมนตมความยาว

เทากบความยาวดาน AB ก าหนดให AB และ AB 2

จาก AB = (x + x, y) – (x, y)

= (x, 0)

x

y

B A

C D B

A

C

D

x + u(x + x, y) –

u(x, y)

v(x + x, y) – v(x, y)

x

y

29

AB = (x + x + u(x + x, y), y + v(x + x, y)) – (x + u(x, y), y

+ v(x, y))

= (x + u(x + x, y) – u(x, y), v(x + x, y) – v(x, y))

จะไดความเครยดเฉลยในทศทาง x บนชวงของสวนตางความยาวหนาตด x แทนดวย x เมอ

x = ( x (x x,y) (x,y)) xx

u u

= (x x,y) (x,y)

xu u

และความเครยดในทศทาง x ทจดใด ๆ เขยนแทนดวย x โดยท

x = x 0

(x x,y) (x,y)lim

xu u

= xu

ความสมพนธระหวางความเครยด y กบการกระจดหาไดเมอหนาตดเอลเมนตม

การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง y ดงน

รปท 2.10 การเปลยนแปลงความยาวในทศทาง y ของหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy

จากรปท 2.10 แสดงความยาวเดมของหนาตดเอลเมนตสวนทขนานกบแกน y

เทากบความยาวดาน AD และเมอเกดความเครยด y ความยาวของหนาตดเอลเมนตมความยาว

เทากบความยาวดาน AD ก าหนดให AD และ AD 2

จาก AD = (x, y + y) – (x, y)

= (0, y)

x

y

B A

C D B A

C D u(x, y + y) – u(x, y)

y + v(x, y + y) – v(x, y)

x

y

30

AD = (x + u(x, y + y), y + y + v(x, y + y)) – (x + u(x, y), y

+ v(x, y))

= (u(x, y + y) – u(x, y), y + v(x, y + y) – v(x, y))

จะได ความเครยดเฉลยในทศทาง y บนชวงของสวนตางความยาวหนาตด y แทนดวย y โดยท

y = ( y (x,y y) (x,y)) y

yv v

= (x,y y) (x,y)

yv v

และความเครยดในทศทาง y ทจดใด ๆ เขยนแทนดวย y โดยท

y =

x 0

(x,y y) (x,y)lim

yv v

= yv

ความสมพนธระหวางความเครยด xy

กบการกระจดสามารถพจารณาไดจากเมอ

หนาตดเอลเมนตเปลยนขนาดมมบนระนาบหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy

รปท 2.11 การเปลยนแปลงมมของหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy

จากรปท 2.11 มมของหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy ซงไดแกมม DAB

ซงเปนมมฉากเปลยนเปนมม DAB จะไดความเครยดเฉอนเฉลย x y

โดยท

x y =

(x x,y) (x,y) (x,y y) (x,y)x y

v v u u

และความเครยดเฉอนทจดใด ๆ เขยนแทนดวย xy

โดยท

x

y

B A

C D B

A

C D u(x, y + y) – u(x, y)

v(x + x, y) – v(x, y)

x

y

31

xy =

x 0 y 0

(x x,y) (x,y) (x,y y) (x,y)lim lim

x yv v u u

= x yv u

(33)

ในท านองเดยวกน ความสมพนธระหวางความเครยดในทศทาง z กบการกระจด ดงสมการตอไปน

z zw

xz x z

w u (34)

yz y z

w v (35)

ดงนน ความสมพนธระหวางความเครยดและการกระจดส าหรบเอลเมนตในปรภม 3 มต มดงตอไปน

x xu

y y

v z z

w

xy x yv u

xz x z

w u

yz y zw v

(36)

โดยท u , v , และ w เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป จากสมการแสดงความสมพนธระหวางความเครยดกบการกระจดแลว เพอให

สวนประกอบของความเครยดในเทอมของ u, v และ w มเพยงคาเดยวและมความตอเนองจงตอง

เพมสมการเงอนไขของการตอเนอง (condition of compatibility)

2xy

x y=

2

x y xv

+2

x y yu

= 2

2 yx

v+

2

2 xy

u

= 2

y

2x+

2x2y

2xz

x z=

2

x z xw

+2

x z zu

= 2

2 zx

w+

2

2 xz

u

= 2

z2x

+2

x2z

32

2yz

y z=

2

y z yw

+2

y z zv

= 2

2 zy

w+

2

2 yz

v

= 2

z2y

+2

y

2z

จะไดสมการเงอนไขการตอเนอง

2

xy

x y=

2y

2x+

2x2y

2

xz

x z=

2z2x

+2

x2z

2yz

y z=

2z2y

+2

y

2z

และสามารถหาความเครยดเชงตงฉากไดดงน หาอนพนธยอยของสมการ (33) เทยบกบ z จะได

xy

z =

2 2

x z y zv u

(37)

หาอนพนธยอยของสมการ (34) เทยบกบ y จะได

xz

y =

2 2

x y y zw u

(38)

หาอนพนธยอยของสมการ (35) เทยบกบ x จะได

yz

x =

2 2

x y x zw v

(39)

น าสมการ (-1) คณสมการ (39) บวกสมการ (38) และบวกสมการ (37) จะได

– yz

x+ xz

y+ xy

z= –

2 2

x y x zw v

+2 2

x y y zw u

+2 2

x z y zv u

= 2

2y zu

(40)

หาอนพนธยอยของสมการ (40) เทยบกบ x จะได

yz xyxz

x x y z=

2

2x y z

u =

2

2y z x

u

33

ดงนน 2

x

y z= yz xyxz1

2 x x y z (41)

น าสมการ (39) ลบสมการ (38) และบวกสมการ (37) จะได

yz

x– xz

y+ xy

z=

2 2

x y x zw v

–2 2

x y y zw u

+2 2

x z y zv u

= 2

2x zv

(42)

หาอนพนธยอยของสมการ (42) เทยบกบ y จะได

yz xyxz

y x y z =

2

2y x z

v =

2

2x z y

v

ดงนน 2

y

x z= yz xyxz1

2 y x y z (43)

น าสมการ (39) บวกสมการ (38) และลบสมการ (37) จะได

yz

x+ xz

y– xy

z=

2 2

x y x zw v

+2 2

x y y zw u

–2 2

x z y zv u

= 2

2x yw

(44)

หาอนพนธยอยของสมการ (44) เทยบกบ z จะได

yz xyxz

z x y z =

2

2z x y

w =

2

2x y z

w

ดงนน 2

z

x y= yz xyxz1

2 z x y z (45)

โดยท x , y, z ,

xy, xz ,

yz เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป

และสมการ (41), (43) และ (45) เรยกวาสมการความเขากนได (Compatibility Equation)

ส าหรบความเครยด ซงเปนเงอนไขทจะท าให u, v และ w เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป [2]

34

2.3.3 พฤตกรรมเชงกลของวสด (constitutive law)

พฤตกรรมเชงกลของวสด เปนความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของวสดทมเนอเดยวกนสม าเสมอ ซงเปนไปตามกฎของฮค (Hook’s law)

E

เมอ แทน ความเคนปกต

E แทน มอดลสยดหยน (modulus of elasticity or Yong’s modulus)

และ แทน ความเครยดปกต พจารณาเอลเมนตทรงสเหลยมทมความเคนทเปนอสระตอกนมากระท า ดงรปท 2.12

รปท 2.12 การเปลยนรปของเอลเมนตเมอเกดความเคน x , y และ z

ตอไปพจารณาความเครยดในทศทาง x ซงเปนผลมาจากความเคนปกต x , y

และ z โดยความเครยดในทศทาง x เทากบ ผลรวมของความเครยดในทศทาง x ทมผลจากแตละ

ความเคนปกต

z

x

y

z y

x

dx dy

dz

x

y

x

y

z

z

(ก) (ข)

(ง) (ค)

35

จากรปท 2.12 (ข) เมอความเคน x มากระท าตอเอลเมนต โดยก าหนดให y

และ z เทากบศนย ดงนน ความเครยดในทศทาง x ทมผลเฉพาะความเคน x แทนดวย xx โดยท

xxx E

จากรปท 2.12 (ค) เมอความเคน y มากระท าตอเอลเมนต โดยก าหนดให x

และ z เทากบศนย ดงนน ความเครยดในทศทาง x ทมผลเฉพาะความเคน y แทนดวย

yxโดยท

yyx E

เมอ แทน อตราสวนปวสซอง (Poisson ration) ซงเปนอตราสวนความเครยดตามขวาง

แกนของแรงตอความเครยดตามแกนของแรง จากรปท 2.12 (ง) เมอความเคน z มากระท าตอเอลเมนต โดยก าหนดให x

และ y เทากบศนย ดงนน ความเครยดในทศทาง x ทมผลเฉพาะความเคน z แทนดวย zx โดยท

zzx E

ดงนน ความเครยดในทศทาง x เขยนแทนดวย x โดยท

x = xx yx zx

x = x y z

1E

(46)

ในท านองเดยวกน ความเครยดในทศทาง y และ z เขยนแทนดวย y และ z ตามล าดบ โดยท

y=

x y z

1E

(47)

และ z = x y z

1E

(48)

และจดรปสมการ (46), (47) และ (48) ไดสมการดงตอไปน

x x y z

E1

1 1 2

y x y z

E1

1 1 2

z x y z

E1

1 1 2

36

ในท านองเดยวกน ความสมพนธของความเคนเฉอน และความเครยดเฉอน

คอ G เมอ G คอมอดลสเฉอน ดงนน ความเครยดเฉอนทดานทงสามของเอลเมนตคอ

xyxy G

, xzxz G

และ yzyz G

สวนความเครยดเฉอนอกสามดานตรงขามจะมขนาด

เทากน แตทศทางตรงกนขาม ถาทราบคาความเครยดเฉอนทงสามกสามารถหาความเคนเฉอนไดคอ

xy xy

G (49)

xz xzG (50)

yz yz

G (51)

เนองจาก G = E

2 1 ดงนน ความเคนในสมการ (49) ถง (51) สามารถ

เขยนในรปของสมการเมทรกซ คอ

Dε (52)

โดยท T 6x y z xy xz yz

[ ] ,

และ ε εT 6x y z xy xz yz

[ ] ,

และเมทรกซ D เรยกวาเมทรกซความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 2E0 0 0 0 0

21 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

D

ส าหรบในการเปลยนรปของมวลดนจากแรงกระท านน สเชษฐ [6] กลาววา การ

เปลยนแปลงแรงดนในสวนทเปนของแขง (solid phase) และสวนทเปนของไหล (fluid phase)

ในมวลดนจะตองเกยวของกนไปพรอมกบการเปลยนแปลงความเครยด ดงนน จากความสมพนธตามสมการท (52) นน จะเปนความเคนรวม (total stress) จากสมการ (5) หนวยแรงประสทธผล

ของดนไมอมตวดวยน า เขยนในรปเมทรกซไดตามสมการ f

u (53)

เมอ แทน ความเคนประสทธผล

37

และ fu แทน ความดนของไหลในโพรงดน

โดยท fu เปนไปตามความสมพนธ [7] เขยนในรปเมทรกซตามสมการ

f a a w( )u u u u (54)

เมอ au แทน ความดนอากาศ (air pressure)

wu แทน ความดนน า (water pressure)

และ แทน พารามเตอรแปรผนตามดกรความอมตว dS โดยทคาของพารามเตอร เปนคาท

ไดจากการทดลอง ในกรณทดนอมตวดวยน า เทากบ 1 และกรณทดนแหง เทากบ 0

ความสมพนธระหวางความดนของไหลในโพรงดน fu กบความเครยด เปนไปตามสมการ

f x

f y

f ze

xy

xz

yz

u 1 1 1 0 0 0

u 1 1 1 0 0 0

u 1 1 1 0 0 0K

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

เขยนในรปยอ จะได f f

u D ε (55)

เมอ fD แทน เมทรกซสตฟเนสของไหล (pore fluid stiffness matrix) และ e

K แทน โมดลส

เชงปรมาตรเทยบเทาของไหล (equivalent bulk modulus of pore fluid)

เนองจากของไหลไมสามารถตานทานแรงเฉอนได ดงนน fD จงมคาเฉพาะ 3 3

พจนแรกของแนวแกนทแยงมมหลกของเมทรกซ

ถาดนมความพรน n ตอหนวยปรมาตรดนแลวของไหลในดนจะมปรมาตรเทากบ n

และปรมาตรของเมดดนเทากบ 1 – n และ ก าหนดให sK แทน โมดลสเชงปรมาตรของแขง (bulk

modulus of soil solid particle) และ fK แทน โมดลสเชงปรมาตรของไหลภายในโพรงดน

(bulk modulus of the pore fluid)

การเพมความดนของไหลในโพรงดน fu เปนการเพมขนทงความดนในของไหล

และความเคนประสทธผลในของแขง ดงนน การเปลยนแปลงของความเครยด จงเปนการเปลยนแปลงเชงปรมาตรของมวลดน (change in volumetric strain) ค านวณไดจากทงการ

เปลยนแปลงเชงปรมาตรทงจากมวลดนและของไหลในดน ดงสมการ

38

f fv

f s

u un (1 n)

K K (56)

จากสมการ (55) จะได

f e x y z e v

u K ( ) K ( ) (57)

จากสมการ (56) และ (57) จะได

s fe

s f

K KK

K n K (1 n)

จากสมการ (5), (52) และ (55) จะไดความเครยดรวม ตามสมการ

εf f

( )u D D (58)

และจากสมการ (52) และ (58) จะได

fD D D (59)

2.3.4 พลงงานความเครยด (strain energy)

เมอวสดใดไดรบความเคน งานทเกดจากการกระท าจะสะสมในเนอของวสดนนในรปแบบของพลงงานความเครยด ตวอยางเชน เมอออกแรงกดสปรง สปรงจะหดตว พลงงานจ านวนหนงจะถกสะสมไวในเนอสปรง และเมอคลายแรงกดออก สปรงจะยดตวกลบมาในสภาพเดม การยดตวออกของสปรงกคอการคายพลงงานทสะสมไว รปแบบของพลงงานความเครยดม 4 ลกษณะคอ

พลงงานความเครยดทเกดจากแรงกระท าตามแนวแกนของเอลเมนต พลงงานความเครยดทเกดจากโมเมนตดดหรอคควบ พลงงานความเครยดทเกดจากโมเมนตบด (torsion) และพลงงาน

ความเครยดทเกดจากแรงเฉอน ส าหรบในสวนของแบบจ าลองนจะพจารณาเฉพาะพลงงานความเครยดทเกดจากแรงกระท าตามแนวแกน และแรงเฉอนเทานน

ตอไปจะพจารณาพลงงานความเครยดของเอลเมนตรปทรงสเหลยม เมอเอลเมนตไดรบแรงกระท าตามแนวแกน และแรงเฉอน

รปท 2.13 การเปลยนแปลงความยาวของเอลเมนตเมอไดรบความเคน x

y

x

z

dy dx

dz

x

dy dx + xdx

dz

39

รปท 2.13 เมอความเคน x กระท ากบเอลเมนต ท าใหเอลเมนตเปลยนแปลง

ความยาวของดานทขนานกบระนาบ xy สมมตใหดานของเอลเมนตเปลยนแปลงความยาว xdx

เมอ x เปนความเครยดในทศทางทขนานกบแกน x ดงนน ความเคน x ทกระท ากบเอลเมนตจะ

ใหเกดงานสะสมในรปของพลงงานความเครยด

เนองจาก W ไดจากแรง 3x x,F F ทท าใหเอลเมนตยดออกดวยการกระจด 3,r r จะได

xW dF r

เพราะวา xF เปนแรงทกระท าตามแกน x และตงฉากกบหนาตดของเอลเมนตขนาด dydz จะได

x xdydzF i

ขนาดของการกระจด r เปนความยาวของเอลเมนตสวนทเพมขนจากความยาวเดม จะได

xdxr i

ดงนน งาน W เขยนในรปของความเคน x และความเครยด x จะได

x x

W dydz d( dx)

กรณทเอลเมนตมความยดหยนเชงเสน จงเปนไปตามกฎของฮค x xE เมอ E

คอโมดลสความยดหยน และเนองจาก dx, dy และ dz เปนคาคงท จะได

W = x

x x0

E d dxdydz

= 2x

1E dxdydz

2

= x x

1dxdydz

2

หรอ xdU

x x

1dV

2

ในท านองเดยวกน เมอเอลเมนตไดรบแรงเคน y

W = y ydxdz d( dy)

= y

y y0

E d dxdydz

= 2y

1E dxdydz

2

= y y

1dxdydz

2

40

หรอ y

dU y y

1dV

2

และเมอเอลเมนตไดรบแรงเคน z

W = z zdxdy d( dz)

= z

z z0

E d dxdydz

= 2z

1E dxdydz

2

= z z

1dxdydz

2

หรอ zdU

z z

1dV

2

กรณทมแรงเคนเฉอน xy

บนหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ yz ท าให

หนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy เกดการเปลยนแปลงขนาดของมมจากเดมทเปนมมฉาก

รปท 2.14 การเปลยนรปหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy เมอความเคน xy

มากระท า

จากรปท 2.14 ความเครยดเฉอน xy x

v และความเคน xy

ท าใหเกดการ

กระจด เทากบ dxxv

ดงนน W = xy xydydz d( dx)

= xy xyd dxdydz

xydU =

xy xyd dV

เนองจาก xy xy

G เมอ G คอคาโมดลสเฉอน

y

x

z

dy dx

dz

xy

xy

41

xydU =

xy

xy xy0

G d dV

= 2xy

1G( ) dV

2

จะได xy xy xy

1dU dV

2

กรณทมแรงเคนเฉอน yx

บนหนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xz ท าให

หนาตดของเอลเมนตทขนานกบระนาบ xy เกดการเปลยนแปลงขนาดของมมจากเดมทเปนมมฉาก

รปท 2.15 การเปลยนรปหนาตดเอลเมนตทขนานกบระนาบ xz เมอความเคน yx

มากระท า

จากรปท 2.15 ความเครยดเฉอน yx y

u และความเคน

yxท าใหเกดการ

กระจด เทากบ dyyu

จะได W = yx yxdxdz d( dy)

= yx yxd dxdydz

yxdU =

yx yxd dV

เนองจาก yx yx

G เมอ G คอคาโมดลสเฉอน

yxdU =

yx

yx yx0

G d dV

= 2yx

1G( ) dV

2

จะได yx yx yx

1dU dV

2

y

x

z

dy dx

dz

yx

yx

42

ในท านองเดยวกน ส าหรบกรณทเอลเมนตไดรบแรงเคนเฉอน xz , zx , yz

และ zy

xz xz xz

1dU dV

2

zx zx zx

1dU dV

2

yz yz yz

1dU dV

2

zy zy zy

1dU dV

2

โดยท xz zx yz zyx z y z

w u w v

จะได งานจากความเคนทงหมด dU จากสมการ

x y z xy yx xz zx yz zydU dU dU dU dU dU dU dU dU dU

x x y y z z xy xy yx yx xz xz zx zx yz yz zy zy

1( )dV

2เนองจากเอลเมนตอยในสภาวะสมดล ดงนน

xy yx, xz zx และ

yz zy จะได

x x y y z z xy xy yx xz xz zx yz yz zy

1dU ( ( ) ( ) ( ))dV

2

เขยนในรปสมการเมทรกซ

x

y

zx y z xy xz yz

xy

xz

yz

1dU dV

2

โดยท xy xy yx xz xz zx yz yz zy

หรอเขยนในรปยอ

T1dU dV

2ε

และพลงงานความเครยดรวม

T

V

1U dV

2ε

43

2.4 เกณฑการวบตลาดดน (slope failure criterion)

ความคราก (yielding) หมายถงพฤตกรรมของวสดภายหลงสภาพอลาสตก

(inelastic behavior) กลาวคอ เมอวสดถกแรงกระท าใหเกดการเปลยนแปลงความเคนจนกระทง

ถงจดคราก (yield point) เปนผลใหวสดแสดงพฤตกรรมแบบอลาสโตพลาสตก (elasto-plastic

behavior) หรอมการเปลยนแปลงรปรางอยางถาวร [8] เกณฑการวบตลาดดนคอความสมพนธ

ระหวางความเคนและความเครยดของลาดดนส าหรบการประเมนการวบตของลาดดน นนคอ ถาลาดดนไดรบความเคนอยภายใตเกณฑการวบต ลาดดนยงคงมเสถยรภาพ แตหากลาดดนไดรบความเคนจนกระทงละเมดเกณฑการวบต ลาดดนจะเกดการวบต

2.4.1 แบบจ าลองของมอร-คลอมบ (Mohr-Coulomb Model)

วศษฐ [6] ไดน าเสนอสมการของมอร-คลอมบในรปของหนวยแรงประสทธผล ดงน

s c tan (60)

เมอ c แทน หนวยแรงเชอมแนนรปหนวยแรงประสทธผล

แทน มมเสยดทานภายในรปหนวยแรงประสทธผล แทน ความเคนปกตรปหนวยแรงประสทธผล

รปท 2.16 เสนขอบเขตการวบต และระนาบวบต

(ทมา: วศษฐ [6])

สมการ (60) เรยกกวาเงอนไขการวบตมอร-คลอมบ และกราฟของสมการ (60)

ดงรปท 2.16 มลกษณะเปนกราฟเสนตรง เรยกวา เสนขอบเขตการวบต (Mohr envelope or

failure envelope) เมอมแรงภายนอกมากระท าตอมวลดน ดนจะมก าลงรบแรงเฉอนซงจะตานแรง

เฉอนทเกดขน หากผลของความเคนเฉอนมากระท ามคาเทากบก าลงรบแรงเฉอนของดน ดนกจะเกด

44

การวบต แสดงดวยวงกลมของมอร (Mohr’s circle) ณ จด B คอจดทความเคนเฉอนสงสดเทากบ

ก าลงรบแรงเฉอนของดน วงกลมของมอรจะสมผสกบเสนขอบเขตการวบตพอด ก าหนดให r แทน

เกณฑการวบตของมอร-คลอมบ

1 3

1 3

r2c cos ( )sin

ถา r เขาใกล 1 เอลเมนตจะเขาใกลการวบต

ส าหรบเกณฑการวบตทจะกลาวถงตอไปมลกษณะเปนพนผวความคราก (yield

surface) ซงเปนฟงกชนของความเคน (yield function) ตามแบบจ าลองอลาสโตพลาสตก

(elasto-plastic) ทอธบายพฤตกรรมของดนทงเงอนไขแบบไมระบายน า และเงอนไขแบบระบายน า

สวนนจะน าเสนอนยามส าหรบเกณฑการวบตทจะกลาวถงตอไป

ความเคนทวไป (generalized stresses) คอ ความเคนทกระท าตอมวลดนใน

ปรภมสามมต เปนความเคนทค านวณไดจากตวแบบก าลงรบแรงเฉอน เขยนแทนดวย โดยท

x yx zx

xy y zy

xz yz z

ความเคนหลก (principal stresses) คอ ความเคนทกระท าบนระนาบหลก

(principal stresses) เขยนแทนดวย pT โดยท

1

2

3

เมอ 3 < 2 < 1 สามารถหาโดยเทคนคปญหาคาลกษณะเฉพาะ (eigenvalue problem) ซง

เปนผลเฉลยของสมการ

3 3| | 0T I

เมอ 3I แทน เมทรกซเอกลกษณ (identity matrix)

คาความเคนไมแปรเปลยน (stress invariants) คอ T

1 2 3[I I I ]

เมอ I1, I2 และ I3 เปนความเคนไมแปรเปลยนล าดบท 1, 2 และ 3 (first, second and third

stress invariants) นยามโดยความเคนประสทธผลดงน

45

I1 = 1 + 2 + 3

I1 = 1 2 + 2 3 + 1 3

I3 = 1 2 3

ความเคนเบยงเบนไมแปรเปลยนล าดบท 2 (second deviator stress invariants) คอ

J2 = 16 1 – 2

2 + 2 – 3 2 + 3 – 1

2

คาความเคนประสทธผลเฉลย (mean effective stress) คอ

1I

2p

คาความเคนเบยงเบน (deviator stress) คอ

2

q 3J

และคามมโลด (Lode’s angle) คอ

1 2 3

1 3

1tan 2 1

3

ความหมายเชงกายภาพของคาความเคนไมแปรเปลยน ดงรป 2.17

รปท 2.17 ความหมายเชงกายภาพของคาความเคนไมแปรเปลยน

(ทมา: สเชษฐ [8])

2.4.2 แบบจ าลองวอน ไมซส (von Mises model)

กรณการวเคราะหพฤตกรรมก าลงของดนในระยะสน ในทางทฤษฎสามารถถอวาเปนพฤตกรรมภายใตเงอนไขแบบไมระบายน า เพราะในระหวางทดนไดรบแรงเฉอนน าในมวลดนยงไมระบายออก ดงนนการวเคราะหพฤตกรรมดนในเงอนไขนจะใชความเคนรวม (total stress

46

analysis, TSA) และเรยกก าลงรบแรงเฉอนวาก าลงรบแรงเฉอนแบบไมระบายน า (undrained

shear strength) เขยนแทนดวย su โดยในป ค.ศ. 1985 ปเตอร โลดส และกาย โฮลสบ (Wroth

& Houlsby) ไดสรปคาพารามเตอรก าลงรบแรงเฉอนแบบไมระบายน าทเหมาะส าหรบการปฏบตวา

เปนฟงกชนของแรงเสยดทานภายในและอตราสวนการอดตวคายน า (OCR) นนคอ

0

u

v

s( ,OCR)f

เมอ 0

u

v

s แทนคาพารามเตอรก าลงรบแรงเฉอนแบบไมระบายน า

ในป ค.ศ. 1983 วอน ไมซส (von Mises) น าเสนอแบบจ าลองทน ามาใชอธบาย

พฤตกรรมดนทมความเชอมแนน (cohesive soil) โดยนยามฟงกชนความครากวอน ไมซสตาม

สมการ ดงน

2 u

2J s 0

3f

รปท 2.18 แสดงพนผวความครากวอน ไมซส จะมลกษณะพนผว เปนรป

ทรงกระบอกในปรภมความเคนหลก (principle stress space) ความเคนจะมคาไมแปรเปลยน

ตามคา p เรยกวาความเคนเฉลยทเพมขนตามแกนแรงดนน าสถต (hydrostatic axis)

รปท 2.18 พนผวความครากวอน ไมซส (von Mises yield surface)

(ทมา: สเชษฐ [8])

แบบจ าลองวอน ไมซสทไดกลาวมาขางตนเปนตวแบบส าหรบวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนในเงอนไขแบบไมระบายน า ส าหรบการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนในเงอนไขแบบระบายน าเปนการวเคราะหความเคนในมวลดนเมอน าไดถกระบายออกหมดแลว ดงนนการวเคราะห

47

ก าลงของดนในเงอนไขนจะใชความเคนประสทธผล (effective stress analysis, ESA) และ

แบบจ าลองทน ามาใชอธบายลกษณะของดนภายใตเงอนไขแบบระบายน า มดงตอไปน

2.4.3 แบบจ าลองดรกเคอร-ปรากเกอร (Drucker-Prager model)

แบบจ าลองดรกเคอร-ปรากเกอร (Drucker & Prager, 1952) มฟงกชนดงน

2

3J M( )( c cot ) 0f p

โดยท M ในแบบจ าลองอาจไดจากการเลอกทดสอบดนภายใตเงอนไขดงตอไปน

- กรณการทดสอบแรงอดสามแกน = -30 คอ

c

6sinM( ) M

3 sin

- กรณการทดสอบแรงดงสามแกน = -30 คอ

E

6sinM( ) M

3 sin

จากรปท 2.19 แสดงพนผวความครากดรกเคอร-ปรากเกอร มลกษณะเปนรปทรง

กรวยในปรภมความเคนหลก โดยทความเคนจะแปรเปลยนตาม p ทเพมขนตามแกนแรงดนน าสถต

รปท 2.19 พนผวความครากดรกเคอร-ปรากเกอร (Drucker-Prager yield surface)

(ทมา: สเชษฐ [8])

2.4.4 แบบจ าลองลาด-ดงแคน (Lade-Duncan model)

แบบจ าลองลาด-ดงแคน (Lade & Duncan, 1975) มฟงกชนความครากดงน

1

3

Ik 0

If

48

เมอ k แทนพารามเตอรวสด (material parameter) ขนกบความหนาแนน

ตอมาเพอความเหมาะสมในการค านวณเชงตวเลข จงไดมการแปลงฟงกชนความครากลาด-ดงแคนอย

ในรปแบบตอไปน

23J M( )(p c cot ) 0f

โดยทคา M() ค านวณไดจากการแกสมการก าลงสามเพอหาคา MLD

3 2LD LD LD

2sin2 M 9M 27C 0

เมอ m

a

LD m

a

p

3pC

p27

3p

โดยท และ m คอพารามเตอรวสด

และ pa คอคาแรงดนบรรยากาศ (atmospheric pressure)

2.4.5 แบบจ าลองมสซโอกา-นากาอ (Matsuoka-Nakai model)

แบบจ าลองมสซโอกา-นากาอ (Matsuoka & Nakai, 1974) นยามฟงกชน

ความครากดงน

21 2

3

I I(9 8tan ) 0

If

ในท านองเดยวกน เพอความสะดวกในการค านวณเชงตวเลข จงไดมการแปลงฟงกชนความครากมสซโอกา และนากาออยในรปแบบตอไปน

23J M( )(p c cot ) 0f

โดยทคา M() ค านวณไดจากการแกสมการก าลงสามเพอคา MMN

3 2MN MN MN MN MN

2C sin3 M 9(C 3)M 27(C 9) 0

เมอ CMN = 2C

3 2C C

27 9 M

2M 9M 27

และ MC ไดจากเงอนไขการทดสอบแรงอดสามแกน = -30 โดยท

c

6sinM

3 sin

49

2.4.6 แบบจ าลองโฮลสบ (Houlsby model)

แบบจ าลองโฮลสบ (Houlsby, 1986) เปนแบบจ าลองส าหรบอธบายพฤตกรรม

ของวสดเสยดทาน และกฎการไหลแบบไมสอดคลอง โดยไดเสนอไวในรปแบบฟงกชนกระจายพลงงาน (dissipation function, df) นนคอ

2 2p p p p

f 1 2 1 2 2 3 2 3

12 2p p

3 1 3 1

8d c c c c

9

c c

เมอ = tan แทน แฟกเตอรเสยดทาน (frictional factor) หรอสามารถแปลงฟงกชน

กระจายพลงงานเปนฟงกชนความคราก เขยนแทนดวย f โดยท 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

8c c c c c c

f

จากเกณฑการวบตของลาดดนเหลานเปนเกณฑในการแบงสถานะของดนวาอยในสภาพอลาสตกหรออลาสโตพลาสตก ถาความครากนอยกวาศนยลาดดนจะมพฤตกรรมอลาสตกนนคอความเคนอยภายในพนผวความคราก แตถาความครากเทากบศนยลาดดนจะมพฤตกรรมอลาสโตพลาสตกนนคอลาดดนจะเกดการความครากหรอวบต

ตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบวเคราะหเสถยรภาพลาดดนประกอบดวยตวแบบการไหลของน าใตดน ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน และเกณฑการวบตลาดดน ตวแบบการไหลของน าใตดนตามสมการ (30) จะถกน ามาใชเพอหาคาเฮดทต าแหนงใด ๆ ในดนเพอน ามาประมาณคา

ปรมาณน าในดนและน าหนกรวมซงจะมผลตอก าลงรบแรงเฉอนของดน การวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนจะใชหลกการความสมดล การเขากนได พฤตกรรมเชงกลของวสด และเงอนไขขอบ ส าหรบวเคราะหหาความเคนและความเครยดเพอน ามาใชค านวณคาความครากดวยฟงกชนความครากตามแบบจ าลองทไดน าเสนอในหวขอท 2.4 ความครากเปนคาทใชบงบอกถงสถานะความเคนท

เกดขนภายในซงเปนคาทน ามาใชในการประเมนเสถยรภาพลาดดน เนองจากการหาผลเฉลยแมนตรง (exact solution) ของตวแบบเชงคณตศาสตรส าหรบวเคราะหเสถยรภาพลาดดนทมลกษณะเปน

รปทรงอสระท าไดยาก ดงนนงานวทยานพนธนจงใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเพอหาผลเฉลยเชงตวเลขหรอคาประมาณของเฮด ความเคนและความเครยดทจดใด ๆ ในลาดดน โดยในขนตอนของระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตนนจะตองใชระบบสมการเชงเสน เรยกวาสมการไฟไนตเอลเมนต (finite

element equation) ในการหาผลเฉลยเชงตวเลข ในบทตอไปจะกลาวถงสมการไฟไนตเอลเมนต

รวมถงขนตอนวธในการค านวณหาผลเฉลยของตวแบบเชงคณตศาสตรตามทไดกลาวมาในบทน

50

บทท 3

การวเคราะหเสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

บทนจะน าเสนอการวเคราะหการไหลของน าใตดน และการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต ซงเปนระเบยบวธเชงตวเลขวธหนงทนยมน ามาใชวเคราะหปญหาทางดานวศวกรรม โดยสามารถวเคราะหปญหาทางดานกลศาสตรของแขง เชน การเปลยนแปลงรปราง ความเคน การสนสะเทอนของเครองจกร โครงสรางอาคาร สะพานหรอโครงสรางอน ๆ รวมทงยงสามารถใชวเคราะหปญหาดานการถายเทความรอน การไหลของของไหล และการถายเทมวล เปนตน [2] การวเคราะหโครงสรางทไมซบซอน สามารถหาสมการความสมพนธระหวาง

สงทตองการทราบ เชน การกระจดทต าแหนงใด ๆ ของชนสวนไดโดยใชสมการเชงอนพนธ และผลเฉลยทไดจะเรยกวาผลเฉลยแมนตรง แตโครงสราง หรอชนสวนเครองจกรกลทมความซบซอนซงประกอบดวยสวนเวา สวนโคงตาง ๆ ท าใหพนทหนาตดของชนสวนไมสม าเสมอ จงท าใหไมสามารถหาผลเฉลยแมนตรงจากสมการอนพนธได ฉะนนจงจ าเปนตองใชวธอน เชน วธไฟไนตเอลเมนตทสามารถประมาณคาผลเฉลยโดยวธการทางพชคณต

ส าหรบการวเคราะหการไหลของน าใตดนและก าลงรบแรงเฉอนของดนกประสบปญหาเชนเดยวกบปญหาทไดกลาวมาขางตน เพราะเนองจากลาดดนมลกษณะเปนรปทรงอสระการประมาณคาผลเฉลยของตวแบบเหลานจงตองใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต การใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเพอประมาณคาผลเฉลยเชงตวเลขสามารถหาไดหลายวธ เชน วธสมดลโดยตรง (direct

equilibrium method) วธงานหรอพลงงาน (work or energy method) วธของกาเลอรคน

(Galerkin’s method) และวธการแปรผน (variation method) เปนตน ในงานวทยานพนธน

จะใชวธการแปรผนเพอหาสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว และวธสมดลโดยตรงส าหรบตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน

บทนจะกลาวถงการหาสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบเชงคณตศาสตรทไดอธบายไวในบทท 2 ไดแก ตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว และตวแบบก าลงรบแรงเฉอน

รวมถงขนตอนวธในการค านวณหาผลเฉลยเชงตวเลขดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตโดยจะเรมจากการน าขอมลความสงต าของภมประเทศมาสรางเปนแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนต การหาสมการรวมของระบบ การก าหนดเงอนไขคาขอบในตวแบบเชงคณตศาสตรและการหาผลเฉลย สดทายจะกลาวถงอลกอรทมซงเปนภาพรวมของกระบวนการทงหมดในการวเคราะหเสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต ส าหรบในสวนแรกของบทนจะน าเสนอสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการไหลของน าใตดน

51

3.1 สมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการไหลของน าใตดน

จากบทท 2 ไดน าเสนอแบบจ าลองการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว โดยเขยนใน

รปสมการเชงอนพนธยอยคอ

2 2 2

x y z s2 2 2v 0

x y z

h h hk k k

เงอนไขขอบประกอบดวย

hh

x x y y z z d

n n n v 0x y zh h h

k k k

เมอ h แทน เฮดทผวดน

dv แทน อตราเรวการไหลของน าเขาสหรอออกจากลาดดน

และ x y z

(n ,n ,n )n แทน เวกเตอรแนวฉากหนงหนวยของหนาตดทน าไหลผาน

ในสวนนจะน าเสนอสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบดงกลาว ซงหาไดจากวธการแปรผนโดยใชเอลเมนตชนดรปทรงสหนา (tetrahedron) สมมตใหเอลเมนตประกอบดวยจด

ยอด ไดแก P(xP, yP, zP), Q(xQ, yQ, zQ), R(xR, yR, zR) และ S(xS, yS, zS) ดงรปท 3.1

รปท 3.1 เอลเมนตรปทรงสหนา

สมมตใหการกระจายเฮดในลาดดนจ าลองดวยฟงกชน h โดยท h เปนฟงกชน

ตอเนองจาก 3 ไป ดงสมการ 1 2 3 4

(x,y,z) a a x a y a zh (61)

เมอ a1, a2, a3 และ a4 เปนจ านวนจรงใด ๆ

เขยนในรปสมการเมทรกซ ไดดงน

1

2

3

4

a

a(x,y,z) [1 x y z ]

a

a

h (62)

y

x

z

P

Q

R

S

52

แทนคาพกดของจด P, Q, R และ S ลงในสมการ (61) จะได

hP = h(xP, yP, zP) = a1 + a2xP + a3yP + a4zP

hQ = h(xQ, yQ, zQ) = a1 + a2xQ + a3yQ + a4zQ

hR = h(xR, yR, zR) = a1 + a2xR + a3yR + a4zR

hS = h(xS, yS, zS) = a1 + a2xS + a3yS + a4zS

เขยนในรปสมการเมทรกซ ไดดงน

P P P P 1

Q Q Q Q 2

R R R R 3

S S S S 4

h 1 x y z a

h 1 x y z a

h 1 x y z a

h 1 x y z a

(63)

ก าหนดให T

P Q R S[h h h h ]h

P P P

Q Q Q

R R R

S S S

1 x y z

1 x y z

1 x y z

1 x y z

X

และ T1 2 3 4

[a a a a ]a

สมการ (63) เขยนในรปยอ

h Xa

จากภาคผนวก ก.2 แสดงใหเหนวา X เปนเมทรกซไมเอกฐาน (non – singular matrix) ดงนน

สามารถน า X-1 ทงสองขางของสมการ จะได

1a X h (64)

เนองจาก X-1 =1

adjdet

XX

=

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )1C ( ) C ( ) C ( ) C ( )detC ( ) C ( ) C ( ) C ( )

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

เมอ ij

C ( )X แทน โคแฟกเตอร (cofactor)

จากสมการ (64) จะได

53

1 11 21 31 41 P

2 12 22 32 42 Q

3 13 23 33 43 R

4 14 24 34 44 S

a C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h

a C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h1a C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) hdeta C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

(65)

จากสมการ (65) ท าใหสมการ (62) เขยนไดดงน

11 21 31 41 P

12 22 32 42 Q

13 23 33 43 R

14 24 34 44 S

C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h

C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h1(x,y,z) [1 x y z ]

C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) hdetC ( ) C ( ) C ( ) C ( ) h

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

h (66)

และจากภาคผนวก ก.1 จะได det 6VX เมอ V คอปรมาตรของเอลเมนต

ก าหนดให

P= C11(X) P = C12(X) P = C13(X) P = C14(X)

Q = C21(X)

Q = C22(X)

Q = C23(X)

Q = C24(X)

R = C31(X) R = C32(X) R = C33(X) R = C34(X)

S = C41(X) S = C42(X) S = C43(X) S = C44(X)

และ

P P P P P

1N ( x y z)

6V

Q Q Q Q Q

1N ( x y z)

6V

R R R R R

1N ( x y z)

6V

S S S S S

1N ( x y z)

6V

จดรปสมการ (66) จะได

P

QP Q R S

R

S

h

hN N N N

h

h

h (67)

ก าหนดให w P Q R S

[N N N N ]N

สมการ (67) เขยนในรปยอ

54

wN hh

จากสมการ (67) หาอนพนธ h เทยบกบ x, y และ z จะได

QP R S

P

Q QP R S

R

QP R S S

NN N Nhx x x xx

N hN N Nhy y y y y

NN N N hz z z z z

h

h

h

ดงนน

PP Q R S

QP Q R S

RP Q R S

S

hx

h1hy 6Vh

z

h

h

h

(68)

ก าหนดให เมทรกซของความชนทางชลศาสตร เขยนแทนดวย i โดยท

hxhyhz

i

และ P Q R S

w P Q R S

P Q R S

16V

B

สมการ (68) เขยนในรปยอ

wi B h

จากกฎของดารซจะไดอตราเรวการไหลของน าผานดน เขยนแทนดวย v โดยท

x x

y y

z z

hxv k 0 0h

v 0 k 0y

v 0 0 k hz

(69)

55

ก าหนดให T

x y z[v v v ]v

x

w y

z

k 0 0

0 k 0

0 0 k

D (70)

สมการ (69) เขยนในรปยอ

wv D i

เมอไดสมการอตราเรวการไหลของน าผานดนตามสมการ (69) แลว ตอไปจะหา

พลงงานศกยต าสดของน าภายในดน โดยการพจารณาพลงงานศกยรวมของน าจากกฎการอนรกษพลงงาน (conservation of energy) จะไดวาพลงงานศกยรวม เขยนไดตามสมการ [2]

s dU W W

เมอ U แทน พลงงานการไหลของน าภายในเอลเมนตดน

sW แทน งานจากแหลงก าเนดทจายน าเขาหรอสบน าออก

และ dW แทน งานจากน าไหลเขาหรอออกผานจากเอลเมนตดน

พลงงานการไหลของน าภายในเอลเมนตดนสามารถหาไดจากพลงงานทสญเสยจากการไหลของน าผานดน เนองจากความชนทางชลศาสตรคออตราการเปลยนแปลงของเฮดตอหนวยระยะทางการไหลของน าใตดน ดงนนเมอน าไหลผานดนในทศทาง x เปนระยะทางหนงหนวยจะเกด

การสญเสยเฮด เทากบ

xi

xh

ในหนงหนวยเวลาน าไหลผานดนไดระยะทาง

x x xv k i

และเพราะวา พลงงานทสญเสยจากการไหลของน าผานดน เทากบ พลงงานการไหลของน าผานดน

ดงนน พลงงานการไหลของน าผานดนทจดใด ๆ ในทศทาง x ตอหนวยเวลา เทากบ

x x 2v i

2x x x x x x x x x

0 0

1 1dU i dv k i di k i k

2 2 xh

และพลงงานการไหลของน าผานเอลเมนตดนในทศทาง x ตอหนวยเวลา เทากบ ผลรวมของพลงงาน

การไหลของน าผานดนทกจดในเอลเมนตดนในทศทาง x ตอหนวยเวลา จะได

56

2

x xV

1U k dV

2 xh

ในท านองเดยวกน พลงงานการไหลของน าผานเอลเมนตดนในทศทาง y ตอหนวยเวลา เทากบ

2

y yV

1U k dV

2 yh

พลงงานการไหลของน าผานเอลเมนตดนในทศทาง z ตอหนวยเวลา เทากบ

2

z zV

1U k dV

2 zh

และพลงงานการไหลของน าภายในเอลเมนตดนเทากบผลรวมพลงงานการไหลในทกทศทาง นนคอ

x y zU U U U

ดงนน พลงงานการไหลของน าภายในเอลเมนตดน คอ

2 2 2

x y zV

1U k k k dV

2 x y zh h h

(71)

เนองจาก

2 2 2 xT

x y z y w

z

hxk 0 0

h h h hk k k 0 k 0

x y z x y z y0 0 k h

z

i D ih h h

จากสมการ (71) พลงงานการไหลของน าภายในเอลเมนตดนจงเขยนในรปเมทรกซ จะได

T

wV

1U dV

2i D i (72)

ตอไปจะพจารณางานจากแหลงก าเนดน าภายในเอลเมนตดน สมมตใหเอลเมนตดนปรมาตรเทากบ dV เปนเอลเมนตทมจดภายในมคาเฮดเทากนทกจด เรยกวาเอลเมนตสมศกย (equipotential element) และก าหนดใหแตละจดภายในมเฮด เทากบ h เนองจากอตราเรวการ

จายน าเขาหรอสบน าออกโดยแหลงก าเนดภายใน เทากบ sv ดงนนปรมาตรน าทแหลงก าเนดจายเขา

หรอสบออกในหนงหนวยเวลา เทากบ

sv dV

แรงทแหลงก าเนดน าน าทมมวล w sv dV จายเขาหรอสบออก เขยนแทนดวย s

dF โดยท

57

s w s w sdF ( v dV)g v dV

และงานทแหลงก าเนดจายน าเขาสหรอสบน าออกจากเอลเมนตสมศกย เขยนแทนดวย sdW โดยท

s s w sdW (dF )h v hdV

เนองจากแตละจดภายในเอลเมนตดนโดยทวไปแลวมเฮดทแตกตางกน สมมตใหเฮดทจดใด ๆ ภายในเอลเมนตดน เทากบ h โดยท h เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป ดงนน งานทแหลงก าเนดจาย

น าเขาสหรอสบน าออกจากเอลเมนตใด ๆ คอ

s w sV

W v dVh (73)

แทน h ในสมการ (73) จะได

T Ts w s w w w s

V V

W v dV v dVN h h N (74)

พจารณางานจากน าไหลเขาสหรอออกจากเอลเมนตดน สมมตใหพนผวเอลเมนตดนมพนทเทากบ dS เปนพนผวททกจดมคาเฮดเทากน เรยกวาพนผวสมศกย (equipotential

surface) และก าหนดใหแตละจดบนพนผวมเฮด เทากบ h เนองจากอตราเรวการไหลเขาหรอออก

ผานพนผว เทากบ dv ดงนนปรมาตรน าทไหลผานพนผวสมศกยในหนงหนวยเวลา เทากบ

dv dS

แรงทท าใหน ามวล w dv dS ไหลผานพนผวสมศกย เขยนแทนดวย d

dF โดยท

d w d w ddF ( v dS)g v dS

จะได งานทท าใหน าไหลผานพนผวสมศกย เขยนแทนดวย ddW โดยท

d d w ddW (dF )h v hdS

เนองจากแตละจดบนพนผวเอลเมนตดนโดยทวไปแลวมเฮดทแตกตางกน สมมตใหเฮดทจดใด ๆ บนพนผวเอลเมนตดน เทากบ h โดยท h เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป ดงนน งานจากน าไหล

เขาสหรอออกจากเอลเมนตดน คอ

d w dS

W v dSh (75)

แทน h ในสมการ (75) จะได

T Td w d w w w d

S S

W v dS v dSN h h N (76)

จากสมการ (71) ถง (75) จะได พลงงานศกยรวม คอ

58

=

2 2 2

x y z w s w dV V A

1k k k dV v dV v dS

2 x y zh h h

h h

จากสมการ (72), (74) และ (76) จะได

= T T T T Tw w w s w w d

V V A

1dV v dV v dS

2i D i h N h N

= T T T T T Tw w w w w s w w d

V V A

1dV v dV v dS

2h B D B h h N h N

เนองจาก h และ Th ไมขนกบ V ดงนน

= T T T T T Tw w w w w s w w d

V V A

1dV v dV v dS

2h B D B h h N h N

หาอนพนธ เทยบกบ Th จะได

T T Tw w w w w s w w dT

V V A

dV v dV v dSB D B h N Nh

หาพลงงานศกยต าสด โดยก าหนดให T

0h

จะได

T T Tw w w w w s w w d

V V A

0 dV v dV v dSB D B h N N (77)

จดรปสมการ (77) จะได

T T Tw w s w w d w w w

V A V

v dV v dS dVN N B D B h (78)

จากสมการ (78) ก าหนดให sf แทน แรงจากน าไหลเขาสเอลเมนตดนปรมาตร V โดยท

Ts w w s

V

v dVf N (79)

df แทน แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว A ของเอลเมนตดน โดยท

Td w w d

A

v dSf N (80)

และ wf แทน แรงการไหลของน ารวม โดยท

w s df f f (81)

จากสมการ (78) และสมดลของแรงแตละเอลเมนต จะไดสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการ

ไหลของน าใตดน โดยเขยนในรปของเมทรกซตามสมการ w w

f k h (82)

59

ก าหนดให wk แทน สทฟเนสเมทรกซ (stiffness matrix) ของการซมน า โดยท

T Tw w w w w w w

V

dV Vk B D B B D B (83)

3.1.1 สมการแรงจากแหลงก าเนดทจายน าเขาหรอสบน าออก

จากหวขอทผานมาไดอธบายถงการหาสมการไฟไนตเอลเมนตของตวแบบการไหลของน าใตดน ท าใหไดสมการ (82) และสทฟเนทเมทรกซของการซมน า w

k ในสวนนจะอธบายการ

หาแรงจากแหลงก าเนดทจายน าเขาหรอสบน าออกจากเอลเมนตดน จากสมการ (79)

Ts w w s

V

v dVf N

เพอหาแรงจากแหลงก าเนดทจายน าเขาหรอสบน าออกจากเอลเมนตดน จะตองหาอนทกรล (integral) ในสมการน

รปท 3.2 จดก าเนดของแกนพกด x – y – z อยทจดศนยกลางมวลของเอลเมนต

เพอความสะดวกในการอนทเกรต (integrate) ก าหนดให O แทน จดก าเนดของ

แกนพกดฉาก และเปนจดทอยบนจดศนยกลางมวลของเอลเมนต ดงรปท 3.2 เนองจาก (x, y, z)

เปนจดศนยกลางมวลของเอลเมนต โดยท

P Q R Sx x x x

x ,4

P Q R Sy y y y

y4

และ P Q R Sz z z z

z4

และเนองจากก าหนดใหแกนพกดฉากส าหรบการอนทเกรตดงนนจดก าเนดของแกนพกดฉากจงอยทจดศนยกลางมวล ดงนน x = 0, y= 0 และ z= 0 จะได

P Q R Sx x x x

0 ,4

P Q R Sy y y y

04

และ P Q R Sz z z z

04

y

x

z

P

Q

R

S

O

60

ดงนน

P Q R S

0 x x x x (84)

P Q R S

0 y y y y (85)

P Q R S

0 z z z z (86)

การด าเนนการตามแถวเบองตน (elementary low operation) โดยน า 1 คณแถวท 2 ถง 4

แลวน าไปบวกกบแถวท 1 ของ X และจากสมการ (84), (85) และ (86) จะไดวา

P Q R S P Q R S P Q R S

Q Q Q Q Q Q

R R R R R R

S S S S S S

4 x x x x y y y y z z z z 4 0 0 0

1 x y z 1 x y z

1 x y z 1 x y z

1 x y z 1 x y z

จะได

Q Q Q

R R R

S S S

4 0 0 0

1 x y z

1 x y z

1 x y z

(87)

เมอน า 1 คณแถวท 1, 3 และ 4 แลวน าไปบวกกบแถวท 2 ของ X จะได

P P P

R R R

S S S

1 x y z

4 0 0 0

1 x y z

1 x y z

(88)

เมอน า 1 คณแถวท 2 ถง 4 แลวน าไปบวกกบแถวท 3 ของ X จะได

P P P

Q Q Q

S S S

1 x y z

1 x y z

4 0 0 0

1 x y z

(89)

เมอน า 1 คณแถวท 1 ถง 3 แลวน าไปบวกกบแถวท 4 ของ X จะได

P P P

Q Q Q

R R R

1 x y z

1 x y z

1 x y z

4 0 0 0

(90)

61

เนองจากเมทรกซ (87), (88), (89) และ (90) ไดจากการบวกแถวใดแถวหนงของ X ดวยผลคณ

ของแถวอนกบคาคงตว ดงนนตวก าหนด (determinant) ของเมทรกซทงหมดจงมคาเทากน นนคอ

P P P P P P P P P

Q Q Q Q Q Q Q Q Q

R R R R R R R R R

S S S S S S S S S

4 0 0 0 1 x y z 1 x y z 1 x y z

1 x y z 4 0 0 0 1 x y z 1 x y z

1 x y z 1 x y z 4 0 0 0 1 x y z

1 x y z 1 x y z 1 x y z 4 0 0 0

ดงนน 4C11(X) = 4C21(X) = 4C31(X) = 4C41(X)

หรอ C11(X) = C21(X) = C31(X) = C41(X)

เนองจาก P = C11(X) Q = C21(X) R = C31(X) S = C41(X)

ดงนน P = Q = R = S (91)

และเนองจาก ปรมาตรของเอลเมนต 1

V det6

X

ดงนน

P P P

Q Q QP Q R S

R R R

S S S

1 x y z

1 x y z1 1V ( )

1 x y z6 61 x y z

จากสมการ (91) จะได

P

4V

6

เพราะฉะนน

P Q R S

3V

2 (92)

และจากนยามของจดศนยกลางมวล

x dV y dVx , y

dV dV และ

z dVz

dV

แตเนองจาก x = 0, y= 0 และ z= 0 ดงนน

x dV y dV0 , 0

dV dV และ

z dV0

dV

จะได

62

0 x dV (93)

0 y dV (94)

0 z dV (95)

น า P, P และ P คณสมการ (93), (94) และ (95) ตามล าดบ จะได

P P

0 x dV, 0 y dVและ P

0 z dV (96)

น า Q, Q และ Q คณสมการ (93), (94) และ (95) ตามล าดบ จะได

Q Q

0 x dV, 0 y dV และ Q

0 z dV (97)

น า R, R และ R คณสมการ (93), (94) และ (95) ตามล าดบ จะได

R R

0 x dV, 0 y dVและ R

0 z dV (98)

น า S, S และ S คณสมการ (93), (94) และ (95) ตามล าดบ จะได

S S

0 x dV, 0 y dVและ S

0 z dV (99)

ดงนน

PP P P P P

1N dV ( x y z)dV

6V 6V

QQ Q Q Q Q

1N dV ( x y z)dV

6V 6V

RR R R R R

1N dV ( x y z)dV

6V 6V

SS S S S S

1N dV ( x y z)dV

6V 6V

เนองจาก

Tw

V

dVN = TP Q R S

V

[N N N N ] dV

TP Q R S

V

1[ ] dV

6V

TP Q R S

1[ ] V

6V

จากสมการ (92) จะได

63

Tw

V

1

1VdV

141

N

ดงนน แรงจากแหลงก าเนดจายน าเขาสหรอสบน าออกจากเอลเมนตดน จากสมการ (79) จะได

T Ts w w s w s w w s

V V

1

1Vv dV v dV v

141

f N N

เมอ V แทน ปรมาตรของเอลเมนตดน

3.1.2 สมการแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานจากเอลเมนตดน

การหาสมการแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานเอลเมนตดน จากสมการ (80)

Td w w d

A

f v dSN (100)

เพอการหาสมการแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานเอลเมนตดนจะตองหาอนทกรลในสมการนโดยด าเนนการในท านองเดยวกบหวขอท 3.1.1 จะได

Tw

A

1S

dS 13

1

N

ดงนน จากสมการ (100) จะไดแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผวแตละดานของเอลเมนตดนดงน

แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผวของ PQS เขยนแทนดวย d, (P,Q,S)f โดยท

(P,Q,S)

d, (P,Q,S) w d

1S 1

v031

f

เมอ (P,Q,S)

S แทน พนทของ PQS

แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว QRS เขยนแทนดวย d, (Q,R,S)f โดยท

64

(Q,R,S)

d, (Q,R,S) w d

0S 1

v131

f

เมอ (Q,R,S)

S แทน พนทของ QRS

แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว RPS เขยนแทนดวย d, (R,P,S)f โดยท

(R,P,S)

d, (R,P,S) w d

1S 0

v131

f

เมอ (R,P,S)

S แทน พนทของ RPS

และแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว PQR เขยนแทนดวย d, (P,Q,R)f โดยท

(P,Q,R)

d, (P,Q,R) w d

1S 1

v130

f

เมอ (P,Q,R)

S แทน พนทของ PQR

และแรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผว S ของเอลเมนตดน เทากบผลรวมของ

แรงจากน าไหลเขาหรอออกผานพนผวทงหมดของเอลเมนต นนคอ

d d, (P,Q,S) d, (Q,R,S) d, (R,P,S) d, (P,Q,R)f f f f f (101)

และจากสมการ (81) และ (101) จะไดแรงการไหลของน าใตดนรวม wf ดงสมการ

w s d, (P,Q,S) d, (Q,R,S) d, (R,P,S) d, (P,Q,R)f f f f f f (102)

และแทน d, (P,Q,S) d, (Q,R,S) d, (R,P,S) d, (P,Q,R), , ,f f f f และ s

f ในสมการ (102) จะไดสมการ

(P,Q,R)

(P,Q,S)d sw w

(R,P,S)

(Q,R,S)

1 1 1 0 1S1 1 0 1 1Sv v

VS1 0 1 1 13 4S0 1 1 1 1

f (103)

65

ในหวขอทผานมาขางตนนนไดกลาวถงสมการไฟไนตเอลเมนต สทฟเนทเมทรกซของการซมน า และสมการแรงการไหลของน าใตดนรวมไปแลว ซงสมการเหลานจะน ามาใชในการหาผลเฉลยจากตวแบบจ าลองการไหลของน าใตดนโดยสมการ (82) จะไดคาประมาณของเฮดทต าแหนง

จดยอดของเอลเมนตดน ในขนตอนตอไปจะน าคาประมาณเฮดทไดนไปใชค านวณหาน าหนกของน าทอยในเอลเมนตดนและน าหนกรวมของเอลเมนตดนซงจะเปนคาพารามเตอรทส าคญทจะ ใชในการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนตอไป ในหวขอถดไปจะอธบายถงการหาน าหนกรวมของเอลเมนต

3.1.3 น าหนกรวมของดน

กอนทจะกลาวถงการหาน าหนกรวมของดนในล าดบถดไปจะขออธบายถงสมบตของดนดงตอไปน

รปท 3.3 สวนประกอบของดน

(ทมา: วศษฐ [6])

จากรปท 3.3 ดนมสวนประกอบไดแก เมดดน ชองวางระหวางเมดดน หรอโพรงดน

ซงภายในโพรงดนจะมน าอยหรอไมขนอยกบสภาพและสถานะของดนนน ๆ สวนประกอบดนแสดงในรปไดอาแกรม (phase diagram) [6]

น าหนกของดนเทากบผลรวมของน าหนกของเมดดนกบน าหนกของน าในดนและน าหนกของอากาศในดน เขยนไดเปนสมการดงน s w a

W W W W

เมอ W แทน น าหนกของดน

sW แทน น าหนกของเมดดน

wW แทน น าหนกของน าในดน

และ aW แทน น าหนกของอากาศในดน

เมดดน (soil grain)

น า (water)

อากาศ (air)

ชองว

าง (v

oid)

Wa =

0

Ww

Ws

Vv

Va

Vw

Vs

66

แตน าหนกของอากาศในดนมคานอยมากจงก าหนดใหน าหนกของอากาศในดนมคาเปนศนย ดงนนน าหนกของดนเทากบผลรวมของน าหนกของเมดดนและน าหนกของน าในดน นนคอ

s wW W W (104)

และปรมาณน าในดน (water content) เทากบอตราสวนของน าหนกน าในดนตอน าหนกเมดดน

w

s

Ww

W (105)

เมอ w แทน ปรมาณน าในดน

จะไดน าหนกของน าในดน เทากบผลคณของปรมาณน ากบน าหนกของเมดดนตามสมการ w s

W wW

แทน wW ในสมการ (104) จะได

sW W(1 w) (106)

เนองจากน าหนกของเมดดนเทากบผลคณของหนวยน าหนกดนแหง (dry unit weight) กบ

ปรมาตรเมดดน s d s

W V (107)

เมอ d แทน หนวยน าหนกดนแหง

และ sV แทน ปรมาตรเมดดน

แทน sW ในสมการ (106) จะไดน าหนกของดนตามสมการ

d s

W V 1 w (108)

และเนองจากความพรน (porosity) เทากบอตราสวนของปรมาตรโพรงดนตอปรมาตรรวมของดน

vV

nV

(109)

เมอ n แทน ความพรน

V แทน ปรมาตรของดน

และ vV แทน ปรมาตรโพรงดน

เพราะวาปรมาตรของโพรงดนเทากบผลตางระหวางปรมาตรดนกบปรมาตรเมดดน

v sV V – V

แทน vV ในสมการ (109) จะได

sV V

nV

(110)

67

เพอจะหา sV จดรปสมการ (110) จะได

s

V V 1– n

แทน sV ในสมการ (108) จะได

d

W V 1– n 1 w (111)

ตอไปพจารณาอตราสวนของน าหนกตอปรมาตรของดนเรยกกวาหนวยน าหนกรวม หรอหนวยน าหนกดนเปยก (bulk unit weight or total unit weight)

t

WV

เมอ t แทน หนวยน าหนกรวมหรอหนวยน าหนกดนเปยก

เนองจากปรมาตรของดนเทากบผลรวมของปรมาตรเมดดนกบปรมาตรโพรงดน และน าหนกของดนเทากบผลรวมของน าหนกของเมดดนและน าหนกของน าในดน ท าใหหนวยน าหนกรวมเขยนไดดงสมการ (112)

s w s s w wt

s v s v

W W V VWV V V V V

(112)

เนองจากหนวยน าหนกของเมดดนเทากบผลคณของความถวงจ าเพาะของเมดดน (specific

gravity of solids) กบหนวยน าหนกของน า

s s wG (113)

เมอ sG แทน ความถวงจ าเพาะของเมดดน

ปรมาตรน าในดนเทากบผลคณของดกรความอมตว (degree of saturation) กบปรมาตรโพรงดน

w d vV S V (114)

และปรมาตรโพรงดนเทากบผลคณของอตราสวนชองวาง หรออตราสวนโพรง (void ratio) กบ

ปรมาตรเมดดน

v sV eV (115)

น า vV แทนในสมการ (114) จะได

w d s d sV S (eV ) eS V (116)

แทน s , wV และ v

V ในสมการ (112) จะได

s w s w d s s dt w

s s

(G )V (eS V ) G eS

V eV 1 e (117)

เพอจะหาพจน deS จดรปสมการ (116) จะได

68

w w s w sd

s w s s w

V W WeS

V W W (118)

เนองจากพจน sG จากสมการ (113) จะได

ss

w

G (119)

จากสมการ (105) และสมการ (119) จงท าใหสมการ (118) เขยนไดดงสมการ

d seS wG (120)

แทน deS ในสมการ (117) จะได

st w

G (1 w)

1 e

หนวยน าหนกดนรวมในกรณทดนอมตวดวยน า เรยกวา หนวยน าหนกดนอมตว (specific weight

of saturated) คาดกรความอมตว dS เทากบ 1 จากสมการ (117) จะได

ssat w

G e

1 e

เมอ sat แทน หนวยน าหนกดนอมตว

หนวยน าหนกดนรวมในกรณทดนแหง เรยกกวา หนวยน าหนกของดนแหง (unit weight of dry)

คาดกรความอมตว dS เทากบ 0 จากสมการ (117) จะได

s s w td

W G

V 1 e 1 w

เมอ d แทน หนวยน าหนกดนแหง

และหนวยน าหนกพยง (unit weight of submerged) คอ ผลตางระหวางหนวยน าหนกดนอมตว

กบหนวยน าหนกของน า sat w

เมอ แทน หนวยน าหนกพยง ส าหรบอตราสวนทเกยวของกบปรมาตรของอากาศในดน ไดแก รอยละของชองวาง

อากาศ (percentage of air void) คอ รอยละปรมาตรอากาศในดนตอปรมาตรดน

av

VA 100%

V

เมอ vA แทน รอยละของชองวางอากาศ

และ aV แทน ปรมาตรอากาศในดน

69

และปรมาณชองวางอากาศ (air content) คอ รอยละปรมาตรอากาศในดนตอปรมาตรโพรงดน

ao

v

VA 100%

V

เมอ oA แทน ปรมาณชองวางอากาศ

การวเคราะหการไหลของน าใตดน ซงผลจากการวเคราะหโดยสมการ (82) จะท า

ใหทราบถงคาเฮดทต าแหนงใด ๆ ในดน และเพอหาปรมาณความชนหรอปรมาณของน าทจะมผลตอหนวยน าหนกรวมของดน

เนองจากความเรวการไหลของน า v เปนสนามเวกเตอร (vector field) ปกคลม

พนผวเอลเมนตดน จากการวเคราะหเพอหาคาเฮดทต าแหนงจดยอดของเอลเมนตโดยสมการ (82)

การหาความเรวการไหลของน าผานเอลเมนตดนสามารถหาไดจากสมการ w w

v D B h (121)

เขยน v ในรปเวกเตอร จะได v = vx i + vy j + vz k จากสมการ (121) เนองจาก vx, vy และ

vz เปนคาคงตว จงท าให v = 0 ดงนน v จงเปน divergence free velocity field ถา

ก าหนดใหปรมาตร S เปนสวนทซอนทบกน (intersection) ระหวางสวนปกคลมเอลเมนตดน M กบจดภายใน (interior point) เอลเมนตดน ขอบเขต (boundary) ของ S เขยนแทนดวยพนผว

S และ n() คอเวกเตอรแนวฉากหนงหนวยของพนผว จากทฤษฎบทของเกาสจะได ฟลกซ

(flux) ของ v บนพนผว S

S S

( ) d dS 0v n v (122)

เนองจาก S ประกอบดวยพนผวสวนทน าไหลผานเขาสเอลเมนตดน in

S และพนผวสวนทน า

ไหลออกจากเอลเมนตดน out

S โดยท out

S = S– in

S จะได S=in

S out

S และ

inS

outS = จากสมการ (122) จะได

in outS S S

( ) d ( ) d ( ) d 0v n v n v n (123)

ก าหนดให A แทนพนทผว จะไดฟลกซของ v บน in

S แทนปรมาตรน าไหลเขาตอหนวยเวลา

inin

SS

( ) d ( ) Av n v n (124)

และฟลกซของ v บน out

S แทนปรมาตรน าไหลออกตอหนวยเวลา

70

outout

SS

( ) d ( ) Av n v n (125)

จากสมการ (123) ถง (125) ปรมาตรน าทไหลเขาสเทากบปรมาตรน าทไหลออกจากเอลเมนตดน

in outS S

( ) A ( ) Av n v n

ดงนน ปรมาตรน าทไหลผานเอลเมนตดนตอหนวยเวลา Vw หาไดจากสมการ

w

S

1V ( ) A

2v n (126)

และเมอน าในดนเพมขนดวยปรมาตร wV จากสมการ (111) จะได

d w w

W V 1– n 1 w V    (127)

เมอ w แทน หนวยน าหนกของน า (unit weight of water) ทอณหภม 4 องศาเซลเซยส

และความดน 1 บรรยากาศ มคาประมาณ 39.81 10 นวตนตอลกบาศกเมตร

3.2 สมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน

การวเคราะหความเคนและความเครยดในดน จะแบงเนอดนออกเปนเอลเมนตรปทรงสหนาเชนเดยวกบการหาสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบการไหลของน าใตดน พจารณาเอลเมนตในรปท 3.3 โดยเอลเมนตดนประกอบดวยจดยอด ไดแก P(xP, yP, zP), Q(xQ, yQ, zQ),

R(xR, yR, zR) และ S(xS, yS, zS)

เนองจากความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยดเปนปญหาสามมต และการยดหยนของเนอดนเปนเสนตรง ดงนนจงใชฟงกชนพหนามเชงเสน 3 ตวแปรเปนแบบจ าลองการ

กระจด ก าหนดให u, v และ w เปนฟงกชนตอเนองจาก 3 ไป ดงสมการ

1 2 3 4(x,y,z) a a x a y a zu (128)

5 6 7 8(x,y,z) a a x a y a zv (129)

9 10 11 12(x,y,z) a a x a y a zw (130)

เมอ ia โดยท i = 1, 2, …, 12

สมการ (128) ในรปสมการเมทรกซ

1

2

3

4

a

a(x,y,z) [1 x y z]

a

a

u (131)

71

แทนคาพกดของจด P, Q, R และ S ลงในสมการ (128) จะได

uP = u(xP, yP, zP) = a1 + a2xP + a3yP + a4zP

uQ = u(xQ, yQ, zQ) = a1 + a2xQ + a3yQ + a4zQ

uR = u(xR, yR, zR) = a1 + a2xR + a3yR + a4zR

uS = u(xS, yS, zS) = a1 + a2xS + a3yS + a4zS

ซงเขยนในรปสมการเมทรกซ ไดดงน

P P P P 1

Q Q Q Q 2

R R R R 3

S S S S 4

1 x y z a

1 x y z a

1 x y z a

1 x y z a

u

u

u

u

(132)

ก าหนดให T

P Q R S[ ]u u u uu

P P P

Q Q Q

R R R

S S S

1 x y z

1 x y z

1 x y z

1 x y z

X

และ T1 2 3 4

[a a a a ]a

สมการ (132) เขยนในรปยอ

Xau

จากภาคผนวก ก.2 แสดงใหเหนวา X เปนเมทรกซไมเอกฐาน (non – singular matrix) ดงนน

สามารถน า X-1 ทงสองขางของสมการ จะได

1a X u (133)

เนองจาก 1 1adj

detX X

X

=

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )1C ( ) C ( ) C ( ) C ( )detC ( ) C ( ) C ( ) C ( )

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

เมอ ij

C ( )X แทน โคแฟกเตอร

จากสมการ (133) จะได

72

1 11 21 31 41 P

2 12 22 32 42 Q

3 13 23 33 43 R

4 14 24 34 44 S

a C ( ) C ( ) C ( ) C ( )

a C ( ) C ( ) C ( ) C ( )1a C ( ) C ( ) C ( ) C ( )deta C ( ) C ( ) C ( ) C ( )

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

u

u

u

u

(134)

น า a จากสมการ (134) แทนลงในสมการ (131) จะได

11 21 31 41 P

12 22 32 42 Q

13 23 33 43 R

14 24 34 44 S

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )1(x,y,z) [1 x y z]

C ( ) C ( ) C ( ) C ( )detC ( ) C ( ) C ( ) C ( )

X X X X

X X X X

X X X XXX X X X

u

uu

u

u

(135)

ก าหนดให

P= C11(X) P = C12(X) P = C13(X) P = C14(X)

Q = C21(X)

Q = C22(X)

Q = C23(X)

Q = C24(X)

R = C31(X) R = C32(X) R = C33(X) R = C34(X)

S = C41(X) S = C42(X) S = C43(X) S = C44(X)

จากภาคผนวก ก.1 จะได det 6VX เมอ V คอปรมาตรของเอลเมนต ก าหนดให

P P P P P

1N ( x y z)

6V (136)

Q Q Q Q Q

1N ( x y z)

6V (137)

R R R R R

1N ( x y z)

6V (138)

S S S S S

1N ( x y z)

6V (139)

จดรปสมการ (135) จะไดฟงกชนการกระจดทศทางขนานแกน x

P

QP Q R S

R

S

[N N N N ]

u

uu

u

u

(140)

ในท านองเดยวกน ฟงกชนการกระจดทศทางขนานแกน y

73

P

QP Q R S

R

S

[N N N N ]

v

vv

v

v

(141)

และฟงกชนการกระจดทศทางขนานแกน z

P

QP Q R S

R

S

[N N N N ]

w

ww

w

w

(142)

จากสมการ (140), (141) และ (142) เขยนเปนสมการเมทรกซ และจดล าดบ

ของการกระจดโดยเรยงตามล าดบของจดยอด P, Q, R และ S จะได

P

P

P

Q

QP Q R S

QP Q R S

RP Q R S

R

R

S

S

S

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N

u

v

w

u

vu

wv

uw

v

w

u

v

w

(143)

ก าหนดให T[ ]u v w

P Q R S

P Q R S

P Q R S

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N

N

และ TP P P Q Q Q R R R S S S

[ ]d u v w u v w u v w u v w

สมการ (143) เขยนในรปยอ

Nd (144)

74

ความสมพนธระหวางความเครยดกบการกระจดตามสมการ (36) เขยนในรป

สมการเมทรกไดดงน

x

y

z

xy

xz

yz

x

y

z

x y

x z

y z

u

v

w

v u

w u

w v

(145)

อนพนธยอยของฟงกชนการกระจด u เทยบกบ x, y และ z ในรปสมการเมทรกซไดดงน

QP R S

P

Q QP R S

R

QP R S S

NN N N

x x x xxNN N N

y y y y yNN N N

z z z z z

uu

uuu

u u

จะได

PP Q R S

QP Q R S

RP Q R S

S

x

y

z

uu

uuu

u u

(146)

ในท านองเดยวกน อนพนธยอยของฟงกชนการกระจด v เทยบกบ x, y และ z

PP Q R S

QP Q R S

RP Q R S

S

x

y

z

vv

vvv

v v

(147)

และอนพนธยอยของฟงกชนการกระจด w เทยบกบ x, y และ z

75

PP Q R S

QP Q R S

RP Q R S

S

x

y

z

ww

www

w w

(148)

จากสมการ (146), (147) และ (148) ท าใหสมการ (145) เขยนไดดงน

P

P

P

x P Q R S Q

y P Q R S Q

z P Q R S Q

xy P P Q Q R R S S R

xz P P Q Q R R S S R

yz P P Q Q R R S S R

S

S

S

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

u

v

w

u

v

w

u

v

w

u

v

w

(149)

ก าหนดให

P Q R S

P Q R S

P Q R S

P P Q Q R R S S

P P Q Q R R S S

P P Q Q R R S S

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

B

สมการ (149) เขยนในรปยอ

Bdε (150)

เนองจากเมทรกซ B ขนอยกบต าแหนงของจดตอ แตไมขนกบพกด x, y และ z

ดงนนความเครยดจะเปนคาคงตว ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยดส าหรบเอลเมนตสามมต คอ

76

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 2E0 0 0 0 0

21 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

เขยนในรปยอ

Dε (151)

น า ε จากสมการ (150) แทนลงในสมการ (151) จะได

DBd (152)

จากพลงงานศกยรวม

U W (153)

เมอ U แทน พลงงานความเครยด

และ W แทน พลงงานจากแรงภายนอก

เนองจาก T

V

1U dV

2ε

และ Dε

จะได

T

V

1U dV

2Dε ε (154)

ส าหรบงานจากแรงภายนอก ประกอบดวย 3 สวนคอ งานจากน าหนกของเอลเมนต

ดน โหลดทกระท าเปนจด และโหลดกระท ากระจาย โดยงานแตละสวนสามารถหาไดดงน งานเนองจากน าหนกของเอลเมนตดน คอ งานทเกดขนจากแรงโนมถวงทมากระท า

กบเอลเมนตดนใหเคลอนท หาไดจากสมการ (155)

s

V

W dV (155)

เมอ W แทน งานเนองจากน าหนกของเอลเมนตดน

แทน ฟงกชนการกระจด

และ s แทน หนวยน าหนกของดน

77

งานเนองจากโหลดทกระท าเปนจด คอ งานทเกดขนจากแรงภายนอกมากระท ากบเอลเมนตดนทจดใด ๆ หาไดจากสมการ (156)

TP

W d P (156)

เมอ PW แทน งานเนองจากโหลดทกระท าเปนจด

d แทน การกระจดทจดยอดของเอลเมนต และ P แทน โหลดภายนอกทกระท าทจดยอด

งานเนองจากโหลดกระท ากระจาย คอ งานทเกดขนจากแรงภายนอกมากระท ากบเอลเมนตดน โดยแรงทมากระท านจะกระจายทวบนพนผวใด ๆ ของเอลเมนตดนอยางตอเนองและสม าเสมอ หาไดจากสมการ (157)

TT

S

W dST (157)

เมอ TW แทน งานเนองจากโหลดกระท ากระจาย

และ T แทน โหลดทกระท าแบบกระจายทกระท าตอพนท S มหนวยเปนแรงตอพนท

ดงนน พลงงานจากแรงภายนอก

P TW W W W (158)

น า W จากสมการ (158) แทนลงในสมการ (153) จะได

P TU W W W (159)

จากสมการ (154) ถง (157) ท าใหสมการ (159) เขยนไดเปนดงน

T T Ts

V V S

1dV dV dS

2D d P Tε ε

น า และ ε จากสมการ (144) และ (150) ตามล าดบ แทนลงในสมการ (153) จะได

T T T T T T Ts

V V S

1dV dV dS

2d B DBd d N d P d N T

เนองจาก d หรอการกระจดทจดตอไมขนอยกบพกด x, y และ z จงเขยนสมการใหมไดดงน

T T T T T T Ts

V V S

1dV dV dS

2d B DB d d N d P d N T

จะเหนวาสามพจนทายของสมการนนคอพลงงานทเกดจากแรงภายนอกคณดวยการกระจด ถาให f

เทากบแรงทงหมดทกระท าบนเอลเมนต จะได T T

sV S

dV dSf N P N T (160)

78

ดงนนพลงงานศกยรวมเขยนใหมไดดงน

T T T

V

1dV

2d B DB d d f

หาพลงงานศกยต าสด โดย 0d

นนคอ

T T T

V

1dV 0

2d B DB d d f

d d

จดรปสมการจะได T

V

dVf B DB d (161)

ก าหนดให k แทน สทฟเนสเมทรกซ โดยท

T

V

dVk B DB (162)

เนองจาก TB DB ไมขนอยกบ x, y และ z เมออนทเกรตสมการ (162) จะได

T Vk B DB (163)

น า Dจากสมการ (59) แทนในสมการ (163) จะได

Tf

Vk B D D B (164)

แทน k ในสมการ (161) จะไดสมการไฟไนตเอลเมนตส าหรบตวแบบก าลงรบแรงเฉอนของดน

f kd (165)

3.2.1 การหาแรงเนองจากมวล

พจนแรกของสมการ (160) แรงเนองจากมวล (body force) กระท าทจดยอด

ของเอลเมนตรปทรงสหนา เนองจาก T

sV

dVf N (166)

โดยทเมทรกซ N ไดจากสมการ (144) นนคอ

P Q R S

P Q R S

P Q R S

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N

N

79

และ x

s y

z

เมอ x,

y และ z แทน หนวยน าหนกเอลเมนตดนในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ

เนองจาก T

P Q R S xT

s P Q R S y

P Q R S z

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N

N (167)

แทนสมการ (136) ถง (139) ลงในสมการ (167) จะได

P P P P x

P P P P y

P P P P z

Q Q Q Q x

Q Q Q Q y

Q Q Q Q zTs

R R R R x

R R R R y

R R R R z

S S S S x

( x y z)

( x y z)

( x y z)

( x y z)

( x y z)

( x y z)1( x y z)6V( x y z)

( x y z)

( x y z)

(

N

S S S S y

S S S S z

x y z)

( x y z)

(168)

แทนสมการ (168) ในสมการ (166) และจาก (96) ถง (99) จะได T

P Q R S x

P Q R S y

P Q R S z

0 0 0 0 0 0 0 01

0 0 0 0 0 0 0 06

0 0 0 0 0 0 0 0

f

จากสมการ (92) จะได P = Q = R = S = 3

V2

ดงนน

T

x

y

z

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0V

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 04

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

f (169)

80

สมการไฟไนตเอลเมนตของตวแบบเชงคณตศาสตรทไดน าเสนอในหวขอท 3.1 และ

3.2 นนเปนสมการจะถกน าไปใชในการค านวณหาผลเฉลยเชงตวเลข โดยล าดบถดไปจะน าเสนอ

แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนและขนตอนของระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

3.3 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนต (finite element model) ของลาดดน

แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนต เปนแบบจ าลองโครงสรางของระบบทถกแบงออกเปนสวนยอยเรยกวาเอลเมนต ซงแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตจะตองเหมอนหรอสอดคลองกบโครงสรางเดมใหมากทสด งานวทยานพนธนไดก าหนดใหแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนมองคประกอบหลก 4 สวน ไดแก ผวดน ผวขาง ฐาน และเอลเมนต ดงรปท 3.4

รปท 3.4 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดน

เพอความสะดวกในการอธบายตอไปนก าหนดให (,) แทนแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดน

เมอ แทนเซตของจดยอด โดยท 3

แทนเซตของรปทรงสหนา ทม แทนเซตของจดยอด และ

{ : n( ) 3}

p,q{ : p,q }

t s, และ b แทนเซตของจดยอดบนผวดน ผวขาง และฐาน ตามล าดบ

โดยท t s b, ,

การสรางแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนจะน าขอมลความสงของภมประเทศจากภารกจส ารวจขอมลภมประเทศดวยเรดาหดาวเทยม (Shuttle Radar Topography

Mission, SRTM) [25] ทมการจดเกบในรปแบบกรด (grid) โดยอางองพกดฉากดงรป 3.5 ซง

ก าหนดแกน x และ z เปนแกนพกดบนระนาบกรด และแกน y เปนแกนตงฉากกบระนาบกรด ความ

81

สงของภมประเทศทต าแหนง (x, z) ใด ๆ มทศทางตามแกน y ถาขอมลภมประเทศมความละเอยด

dx dz หมายถงกรดขอมลมระยะหางระหวางเสนกรดตามแกน x เทากบ dx และระยะหาง

ระหวางเสนกรดตามแกน z เทากบ dz ส าหรบการส ารวจขอมลภมประเทศโดยทวไปจะก าหนด

ระยะหางในการเกบขอมลตามแกน x และแกน z เทากน

รปท 3.5 กรดขอมลความสงของภมประเทศ

3.3.1 การจ าลองผวดน (a soil surface modeling)

การจ าลองผวดนเปนการจ าลองภาพผวดนโดยสรางจากการประกอบกนของรปสามเหลยมทมจดยอดเปนจดตดของเสนกรด พจารณาสวนทแรเงาซงเปนภาพจากมมมองดานบนของผวดนทมจดยอดทจด (x, z), (x + dx, z), (x + dx, z + dz) และ (x, z + dz) ไดจากการ

ประกอบกนของรปสามเหลยมทมจดยอดทจด (x, z), (x + dx, z + dz) และ (x, z + dz)

และสามเหลยมทมจดยอดทจด (x, z), (x + dx, z) และ (x + dx, z + dz) รปท 3.6

รปท 3.6 ภาพจากมมมองดานบนของแบบจ าลองผวดนทไดจากการประกอบกนของรปสามเหลยม

เมอน าขอมลความสงทงหมดมาสรางภาพผวดนจะไดแบบจ าลองผวดนดงรป 3.7

dx

(x,z)

x

y

z

z

dz

x

82

รปท 3.7 ภาพจ าลองผวดน

3.3.2 การลงสผวดน (shading)

สผวดนทต าแหนงใด ๆ ทมความสงเปน y ถกก าหนดตามคาความสงสมพทธ yr

ตามสมการ

minr

max min

y yy

y y (170)

เมอ ymin แทนความสงทมคาต าสด

ymax แทนความสงทมคาสงสด

เมอค านวณความสงสมพทธทต าแหนงใด ๆ แลวน าความสงสมพทธมาหาคาระดบส หาไดจาก

color rL y 255 (171)

เมอ Lcolor แทนคาระดบส แลวน าคาระดบสมาหาคาสผวดน โดยท (red, green,

blue) แทนสผวดนทต าแหนงใด ๆ ไดดงน

Red = Lcolor , Green = color256 L

2, Blue = 0

ส าหรบสผวดนตามความสงทงหมดแสดงไดดงรปท 3.8 โดยสผวดนจะแสดงถงระดบความสงของ

พนทลาดดน กลาวคอ สเขยวแสดงพนทต าและสเหลองแสดงพนทสง

รปท 3.8 สผวดนตามความสงทงหมด

83

3.3.3 การสรางแบบจ าลองลาดดนใหเปนรปทรงตน

เนองจากการวเคราะหการวบตของลาดดนนอกจากจะตองพจารณาลกษณะรปรางภายนอกของลาดดน ไดแก ความสงของต าแหนงใด ๆ หรอความชนทผวดนแลว การวเคราะหจ าเปนตองพจารณาคาความชน หรอแรงเคนทเกดขนภายในโครงสรางของลาดดนดวย ดงนน แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนจงตองมลกษณะเปนรปทรงตนเพอการวเคราะหหาคาเฮด หรอการกระจายความเคนและความเครยดทต าแหนงใด ๆ ภายในโครงสรางของลาดดน การสรางแบบจ าลองของลาดดนใหเปนรปทรงตนสามารถด าเนนการไดจากการน าแบบจ าลองของผวดนมาสรางเปนรปทรงปด โดยประกอบผวดานบนของรปทรงตนซงไดจากแบบจ าลองผวดนเขากบผวดานขางทงสดาน ไดแก ดานซาย ขวา หนา และหลง ส าหรบฐานของแบบจ าลองสรางจากรปสเหลยมโดยความสงของฐานวดจากระดบน าทะเล เทากบ datum ดงรปท 3.9

รปท 3.9 แบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนทมลกษณะเปนรปทรงตน

3.3.4 การแบงเอลเมนต (discretization) ของแบบจ าลองลาดดน

ในการวเคราะหปญหาโดยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตจะตองแบงแบบจ าลองลาดดนทไดจากหวขอ 3.3.3 ออกเปนสวนยอย ๆ อยางตอเนอง ตามรปรางลกษณะทแทจรงของลาดดน

และเรยกสวนยอยของดนเหลานวาเอลเมนตดน ซงเมอท าการวเคราะหปญหาแลวผลเฉลยทไดรบนนจะเปนผลเฉลยทจดตอ (node) ของแตละเอลเมนตดน เนองจากแบบจ าลองลาดดนมลกษณะเปน

รปทรงตน 3 มต และส าหรบในงานวทยานพนธนไดเลอกใชเอลเมนตดนทมลกษณะเปนรปทรงสหนา

ดงนนเพอใหไดเอลเมนตดนรปทรงสหนาจงท าการแบงแบบจ าลองลาดดนออกเปนเอลเมนตดนตามขนตอนดงตอไปน

ขนทหนง แบงแบบจ าลองลาดดนออกเปนเอลเมนตดนรปทรงสเหลยมอยางตอเนอง และใหมรปรางลกษณะใกลเคยงกบลาดดนเดมใหมากทสด ดงรปท 3.10

84

รปท 3.10 ตวอยางลาดดนทถกแบงเปนสวนยอยรปทรงสเหลยม

การแบงเอลเมนตของลาดดนเปนรปทรงสเหลยม จะเปนการแบงเอล เมนตเพอก าหนดความละเอยดในการวเคราะห โดยสามารถก าหนดคาความละเอยดไดจากการก าหนดรอบของการแบงหรอ Iteration ในแตละรอบการแบงเอลเมนตจะมการประมาณคาความสงของต าแหนงจด

กงกลางระหวางจดยอดทอยตดกนดวยคาความสงเฉลย ตามความสมพนธดงน

x

y(x,z) y(x dx,z) dxy , x x

2 2 (172)

z

y(x,z) y(x,z dz) dzy , z z

2 2 (173)

l l 1l

y (x,z) y (x,z)y

2 (174)

เมอ l แทนระดบชน (layer) ทไดจากการแบงลาดดนตามระดบความสง โดยชนผวดนจะม l = 0

การประมาณคาความสงทต าแหนงจดศนยกลางของแตละหนาเอลเมนตหาไดจาก

A B C Df

y y y yy

4 (175)

เมอ A, B, C และ D เปนจดยอดของแตละหนาเอลเมนตทรงสเหลยม

การประมาณคาความสงทต าแหนงจดศนยกลางเอลเมนตหาไดจาก

A B C D E F G Hc

y y y y y y y yy

8 (176)

เมอ A, B, C, D, E, F, G และ H เปนจดยอดของเอลเมนตทรงสเหลยม

ขนตอนวธการแบงเอลเมนตของลาดดนเปนรปทรงสเหลยม ด าเนนการไดดงน 1. User defines Iteration.

2. For i = 1 to Iteration do

85

2.1 For each element. Determine new vertices are middle point on each

edge and center point on face and volume.

2.2 Create new element that a vertices’ coordinate from step 2.1

3. End For

ผลการด าเนนการตามขนตอนขางตน แสดงไดดงรปท 3.11

รปท 3.11 ผลการแบงเอลเมนต เมอก าหนด Iteration = 0, 1 และ 2

(a) (b) (c)

รปท 3.12 แบบจ าลองของลาดดนทถกแบงเปนเอลเมนตดวยคา Iteration = 0, 1 และ 2

รปท 3.12 (a) แสดงแบบจ าลองของลาดดนจากกรดขอมลเรมตน (Iteration =

0) ขนาด 44 ซงจะประกอบดวยชนดน 2 ชน ไดแก ชนผวดนและฐาน มจดยอดทงหมด 50 จด

และมเอลเมนตทรงสเหลยมทงหมด 16 เอลเมนต (b) แสดงแบบจ าลองของลาดดนทถกแบงเปนเอล

เมนตดวยคา Iteration = 1 จะไดแบบจ าลองของลาดดนทประกอบดวยชนดน 3 ชน มจดยอด

ทงหมด 243 จด และมเอลเมนตทรงสเหลยมทงหมด 128 เอลเมนต (c) แสดงแบบจ าลองของลาด

ดนทถกแบงเปนเอลเมนตดวยคา Iteration = 2 จะไดแบบจ าลองของลาดดนทประกอบดวยชนดน

5 ชน มจดยอดทงหมด 1,445 จด และมเอลเมนตทรงสเหลยมทงหมด 1,024 เอลเมนต

Iteration = 0 Iteration = 1 Iteration = 2

86

กรณทวไปถาแบบจ าลองลาดดนจากกรดเรมตนขนาด mn เมอถกแบงเปนเอล

เมนตดวยคา Iteration = k จะไดแบบจ าลองของลาดดนทประกอบดวยชนดน k2 1 ชน มจด

ยอดทงหมด k k k(2 1)(2 m 1)(2 n 1)จด และมเอลเมนตทงหมด 3k2 mn เอลเมนต

ขนทสอง แบงเอลเมนตดนรปทรงสเหลยมแตละรปเปนรปทรงสหนา ดงรปท 3.13

รปท 3.13 รปทรงสเหลยม ทสามารถแบงเปนรปทรงสหนา

ขนตอนนจะแบงแตละเอลเมนตรปทรงสเหลยมใหเปนรปทรงสหนาจ านวน 5 รป

ซงวธการแบง สมมตใหเอลเมนตรปทรงสเหลยมประกอบดวยจดยอด 8 จด ไดแก จด A, B, C, D,

E, F, G และ H ดงรป 3.14

รปท 3.14 เอลเมนตรปทรงสเหลยมประกอบดวยจดยอด 8 จด

เมอน าเอลเมนตรปทรงสเหลยมดงรปท 3.14 มาแบงจะไดเอลเมนตรปทรงสหนาดงรปท 3.15

รปท 3.15 การแบงเอลเมนตรปทรงสเหลยมใหเปนรปทรงสหนา จ านวน 5 รป

A B

C D

E F

G H

87

กรณทวไปถาแบบจ าลองของลาดดนจากกรดขอมลเรมตนขนาด mn เมอถก

แบงเปนเอลเมนตดวยคา Iteration = k จะไดแบบจ าลองของลาดดนทประกอบดวยเอลเมนต

รปทรงสหนาทงหมด 3k5 2 mn เอลเมนต

3.4 การวเคราะหการไหลของน าใตดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

เงอนไขขอบ

เนองจากแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดนนไดถกก าหนดใหสวนทไดรบน าฝนคอสวนผวลาดดน และน าจะไหลซมออกจากระบบผานทางผวดานขางและฐาน ฉะนนเงอนไขขอบจงเปนดงตอไปน ส าหรบแตละ

- ความเขมของฝนของเอลเมนต เขยนแทนดวย rain,v โดยท

rain train,

t

v , ,

0 , ,v (177)

เมอ rainv แทน คาพารามเตอรความเขมฝน

- อตราเรวการไหลซมออกของเอลเมนต เขยนแทนดวย drain,v โดยท

drain s bdrain,

s b

v , ,

0 , ,v (178)

เมอ drainv แทน คาพารามเตอรอตราเรวการไหลซมออก

และเมอก าหนดเงอนไขของส าหรบความเขมฝนและอตราเรวการไหลซมออกของแตละเอลเมนตแลวจะน า rain,

v หรอ drain,v แทนคา d

v ในสมการ (103)

ส าหรบแตละ t

- ก าหนดเฮด h ตามสมการ

h y (179)

เมอy แทนเฮดระดบทจด

และเมอก าหนดเงอนไขของส าหรบเฮดของแตละเอลเมนตแลวจะน า h แทนคา h ในสมการ (82)

88

สมการรวมของระบบ

สมการรวมของระบบทมจดยอดทงหมด m จด เขยนในรปของเมทรกซไดดงน

w w wF K H (180)

เมอ w i m[f ]F โดยท i

f แทนแรงลพธจากการซมน าทจดยอด i

w i m[h ]H โดยท i

h แทนเฮดรวมทจดยอด i

และ w ij m m

[k ]K โดยท ij

k แทนสทฟเนสเมทรกซรวมทจดยอด i และ j

ก าหนดให สทฟเนสเมทรกซของ , จากสมการ (83) เขยนแทนดวย k

และสทฟเนสเมทรกซยอยของ k ทจดยอด i และ j เขยนแทนดวย ij,

k จะได

i, j

ij ij,k k (181)

และเมทรกซแรงการไหลของน ารวมของ , จากสมการ (103) แทนดวย f และเมทรกซ

แรงการไหลของน ารวมของ f ทจดยอด i เขยนแทนดวย i,f จะได

i

i i,f f (182)

การหาผลเฉลยของระบบสมการ การวเคราะหการไหลของน าใตดน จากสมการ (180) เขยนในรปเมทรกซ จะได

1 11 12 1n 1

2 21 22 2n 2

m m1 m2 mn n

f k k k h

f k k k h

f k k k h

(183)

จากสมการ (183) เมอพจารณาเงอนไขขอบพบวามแรงเนองจากการซมน า if ทไม

ทราบคา การหาผลเฉลยจะด าเนนการตดแถวและหลกของเมทรกซ wF , wK และ w

H ทสมนยกบ

if ทไมทราบคา จะไดสมการ

w w wF K H (184)

เมอ w i m[f ]F

w ij m m[k ]K

และ w i m[h ]H

โดยท i และ j แทนล าดบของแถวและคอลมนของแรงปฏกรยาททราบคาในเมทรกซ

89

ด าเนนการหาผลเฉลยของสมการ (184) โดยระเบยบวธการก าจดแบบเกาส

(Gauss eliminate) จะไดเฮด wH ทต าแหนงจดยอดใด ๆ ของแตละเอลเมนต

3.5 การวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนดวยแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนต

เงอนไขขอบ

เนองจากการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนเปนการวเคราะหโครงสรางของลาดดนภายใตแรงกระท าทเกดขนจากน าหนกของลาดดน ซงแรงกระท านจะมการถายเทไปสฐานรองรบ (support) เพอยดลาดดนใหตรงกบท ส าหรบฐานรองรบในงานวทยานพนธนจะหมายถงดนบรเวณ

รอบหรอชนดนทอยลกกวาชนดนในโครงสรางของแบบจ าลองลาดดนทก าลงพจารณา ดงรปท 3.16

รปท 3.16 ฐานรองรบโครงสรางของลาดดน

ฐานรองรบโครงสรางโดยทวไปมหลายรปแบบ และฐานรองรบแตละรปแบบจะมความสามารถในการรบแรงและโมเมนตตางกน จงท าใหมการกระจดและแรงปฏกรยา (reaction

force) ทเกดขนตางกน แตในทนจะกลาวถงเฉพาะฐานรองรบทน ามาใชรองรบโครงสรางของลาดดน

ทเหมาะสมกบตวแบบเชงคณตศาสตรและลกษณะของเอลเมนต ไดแก ฐานรองรบแบบลอเลอน (roller) และขอยด (link)

- ฐานรองรบแบบลอเลอน

ฐานรองรบประเภทนสามารถเคลอนตวไปมาตามพนผวเรยบทรองรบฐาน ดงนนฐานรองรบจงสามารถรบแรงทมทศทางตงฉากกบพนผวของฐานเทานน ดงรปท 3.17

รปท 3.17 ฐานรองรบแบบลอเลอน

90

การก าหนดเงอนไขขอบ ส าหรบแตละ s bv เปนฐานรองรบแรง มการ

กระจดและแรงปฏกรยา ดงสมการตอไปน

n,v0d (185)

เมอ n,vd แทนการกระจดของจดยอด v ในทศทาง n

โดยท n แทนเวกเตอรปกตของระนาบรองรบฐาน

m,v

0R (186)

เมอ m,vR แทนแรงปฏกรยาทจดยอด v ในทศทาง m โดยท 0m n

- ฐานรองรบแบบขอยด

ฐานรองรบประเภทนมตวขอยดทมจดตอเปนจดหมน สามารถรบแรงดงหรอแรงอดไดตามแนวเดยวกบขอยด แตไมสามารถรบแรงเฉอนหรอโมเมนตดดได ดงรปท 3.18

รปท 3.18 ฐานรองรบแบบขอยด

การก าหนดเงอนไขขอบ ส าหรบแตละ s bv เปนฐานรองรบแรง มการ

กระจดและแรงปฏกรยา ดงสมการ n

0d (187)

เมอ nd แทนการกระจดของจดยอด v

สมการรวมของระบบ

สมการรวมของระบบทมจดยอดทงหมด m จด เขยนในรปของเมทรกซไดดงน

s s sF KD (188)

เมอ s i m[f ]F โดยท i

f แทนแรงลพธทจดยอด i

s i m[d ]D โดยท i

d แทนการกระจดทจดยอด i

และ s ij m m

[k ]K โดยท ij

k แทนสทฟเนสเมทรกซรวมทจดยอด i และ j

91

ก าหนดให สทฟเนสเมทรกซของ , จากสมการ (164) เขยนแทนดวย

k และสทฟเนสเมทรกซยอยของ k ทจดยอด i และ j เขยนแทนดวย ij,

k จะได

i, j

ij ij,k k (189)

และเมทรกซแรงรวมของ , จากสมการ (165) แทนดวย f และเมทรกซแรงรวมของ f

ทจดยอด i เขยนแทนดวย i,f จะได

i

i i,f f (190)

การหาผลเฉลยของระบบสมการ การวเคราะหก าลงรบแรงเฉอน จากสมการ (188) เขยนในรปเมทรกซ จะได

1 11 12 1n 1

2 21 22 2n 2

m m1 m2 mn n

f k k k d

f k k k d

f k k k d

(191)

จากสมการ (191) เมอพจารณาเงอนไขขอบพบวามแรงปฏกรยา if ทฐานรองรบ

บางแรงเปนแรงทไมทราบคา การหาผลเฉลยจะด าเนนการตดแถวและหลกของเมทรกซ sF , sK และ

sD ทสมนยกบ i

f ทไมทราบคา จะไดสมการ

s s sF KD (192)

เมอ i m[f ]F

i m[d ]d

และ ij m m

[k ]k

โดยท i และ j แทนล าดบของแถวและคอลมนของแรงปฏกรยาททราบคาในเมทรกซ

เมอด าเนนการหาผลเฉลยของสมการ (192) โดยระเบยบวธการก าจดแบบเกาส จะ

ได sD และน าไปแทนในสมการ (165) จะได F ซงเปนแรงภายใน (internal force) ทต าแหนง

จดยอดใด ๆ ของแตละเอลเมนต

92

3.6 อลกอรทมการวเคราะหการวบตของลาดดน

ในสวนทายของบทนจะกลาวถงภาพรวมของกระบวนการทงหมดในการวเคราะหเสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต โดยล าดบขนตอนการวเคราะหเสถยรภาพลาดดน ไดแก สรางแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตของลาดดน วเคราะหการไหลของน าใตดน วเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดนและค านวณเกณฑวบตของลาดดนแสดงตามผงงาน ดงรป 3.19

กระบวนการว เคราะห เสถยรภาพลาดดนดวยระเบยบวธ ไฟไนต เอล เมนต ประกอบดวยขนตอนดงตอไปน 1. สรางแบบจ าลองผวดน (create soil surface) โดยน าขอมลความสงของภมประเทศมา

ด าเนนการตามหวขอท 3.3.1 ถง 3.3.3 จะไดแบบจ าลองผวดนและแบบจ าลองลาดดนตามล าดบ

2. แบงเอลเมนต (discretization) น าแบบจ าลองลาดดนทไดจากขนตอนท 1 มาสรางแบบจ าลอง

ไฟไนตเอลเมนตตามหวขอท 3.3.4 โดยแบงเปนเอลเมนตของแบบจ าลองตามจ านวนรอบการท าซ า

iteration และระดบอางอง datum

3. วเคราะหการไหลของน าใตดน (groundwater flow analysis) น าแบบจ าลองไฟไนตเอล

เมนตทไดจากขนตอนท 4 มาวเคราะหตามหวขอท 3.4 ในขนตอนนจะไดลกษณะการไหลของน าใต

ดน ปรมาณน าในดนและน าหนกดนรวม 4. วเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดน (shear strength of soil) น าผลทไดจากขนท 3 มา

วเคราะหตามหวขอท 3.5 จะไดการเปลยนรปของลาดดน ความเคนและความเครยดทจดยอดของแต

ละเอลเมนตดน

5. ประเมนการวบต (failure assessment) ของลาดดนโดยน าความเคนทไดจากขนตอนท 4 มา

ประเมนการวบตดวยเกณฑการวบตตามหวขอท 2.4

93

รปท 3.19 ผงงานการวเคราะหและสรางภาพดนโคลนถลม

ในบทตอไปจะกลาวถงการออกแบบและประดษฐซอฟตแวร SoilFE 1.0 เพอ

น ามาใชในการค านวณผลเฉลยของตวแบบเชงคณตศาสตรดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

Terrain data

(SRTM)

1. Create soil surface

model

Soil surface

model

Iteration &

Datum 2. Discretization

3. Water flow analysis

4. Shear strength of soil

Water flow?

5. Failure assessment

Rain fall intensity

& Drain

Soil

properties

Criterion

parameter

End.

Start

Finite element

model

Water flow

surface

Deformation

Yield value

surface

Yes

No

94

บทท 4

การออกแบบและประดษฐซอฟตแวร

โปรแกรม SoilFE 1.0 ไดถกประดษฐขนส าหรบวเคราะหการวบตของลาดดนตาม

ผงงานดงรปท 3.19 โดยโปรแกรมประกอบดวย 3 โมดล (module) ไดแก โมดลประสานงานกบผใช

(user interface module) โมดลจดการขอมล (data management module) และโมดล

ประมวลผลขอมล (data processing module) โมดลหลกทงหมดมการประสานกนดงรปท 4.1

รปท 4.1 โมดลของโปรแกรม SoilFE 1.0

4.1 โมดลประสานงานกบผใช

โมดลประสานงานกบผใชเปนสวนการท างานรบและแสดงผลขอมล ขอมลน าเขา ไดแก ความสงของลาดดน สมบตของดน สมบตการไหลของน า และคาพารามเตอรของเกณฑการวบต เปนตน ขอมลน าออก ไดแก ตวแบบไฟไนตเอลเมนตของลาดดน คาเฮด การกระจด ความเคน ความเครยด และคาวบต เปนตน การแสดงผลขอมลสามารถแสดงผลไดทงในรปแบบเชงตวเลขและภาพเสมอนจรง ดงรปท 4.2

โมดลประสานงานกบผใชประกอบดวยโมดลยอย 2 โมดล ไดแก โมดลรบขอมลเขา

(input module) และโมดลน าขอมลออก (output module)

Data Transfer

Graphics User Interface

Data Management

Data

Processing Data Transfer Data Transfer

User User

User

95

รปท 4.2 โมดลประสานงานกบผใช

Hard Disk

Geographic

Data File

Keyboard & Mouse

Input Module

Data Management &

Processing

Output Module

Parameter &

Setup Data

Monitor

Graphics Numeric

Binary Data

Numeric or

String Data

Numeric or String Data

Data Array or Other Structure

Input

and S

tora

ge D

ata

Dev

ice

Sof

twar

e O

utp

ut

Dev

ice

OpenGL Libraries

96

4.2 โมดลจดการขอมล

โมดลจดการขอมลเปนสวนท างานทมหนาทน าเขามลจากโมดลรบขอมลเขามาจดการรปแบบโครงสรางใหเหมาะสมกบการประมวลผลหรอการแสดงผล ดงรปท 4.3

รปท 4.3 โมดลจดการขอมล

ขอมลและโครงสรางขอมลทใชในโปรแกรมมดงน

4.2.1 แฟมขอมลความสงของภมประเทศ (geographic data file)

แฟมขอมลความสงของภมประเทศ เปนแฟมขอมลทจด เกบเปนรปแบบ Esri ASCII raster ดงน

- Header format

Ncols xxx

Nrows xxx

Xllcorner xxx

Yllcorner xxx

Cellsize xxx

NODATA_value xxx

Input Module

Data Management

Data Processing

Data Management

Output Module

Numeric or String Data

Data Array or Other Structure

Data Array or Other Structure

Data Array

97

ตารางท 4.1 รายละเอยดของสวนหวแฟมขอมลความสงของภมประเทศ

Parameter Description Requirements

NCOLS Number of cell

columns

Integer greater than 0.

NROWS Number of cell rows Integer greater than 0.

XLLCORNER X – coordinate of the

origin by lower left

corner of the cell

Match with y – coordinate

type.

YLLCORNER Y – coordinate of the

origin by lower left

corner of the cell

Match with x – coordinate

type.

CELLSIZE Cell size Greater than 0.

NODATA_VALUE The input values to be

NoData in the output

raster

Optional. Default is -9999.

(ทมา: ArcGis [25])

- Data Format

xxx xxx xxx

xxx xxx xxx

xxx xxx xxx

เมอ xxx แทนขอมลความสงของภมประเทศทต าแหนง (x, y) ใด ๆ

การจดเกบขอมลความสงของภมประเทศเพอน าไปใชในการประมวลผล โปรแกรมจะท าการจดเกบในรปแบบอารเรยขอมลประเภทจ านวนจรงแบบ 2 มต

NROWS

NCOLS

98

4.2.2 โครงสรางขอมลเอลเมนต

เมอตวแบบไฟไนตเอลเมนตของลาดดนถกสรางขน ขอมลแตละเอลเมนตจะถกจดเกบในขอมลทมโครงสรางดงน

รปท 4.4 โครงสรางขอมลเอลเมนต

จากรปท 4.4 Element แทนโครงสรางขอมลเอลเมนต ประกอบดวยรายละเอยด

ตามตารางท 4.2

ตารางท 4.2 รายละเอยดโครงสรางขอมลเอลเมนต

Attributes Mean

vertices ขอมลจดยอด ไดแก เลขท และพกดของจดยอด โดยแตละเอลเมนตจะประกอบดวยจดยอดจ านวน 4 จด

unit weight หนวยน าหนกดน

elastics โมดลสของความยดหยน

Poisson ratio อตราสวนปวสซง

porosity ความพรนของดน

Ke โมดลสเชงปรมาตรเทยบเทาของไหล

permeability สมประสทธการซมไดของดน

rainfall intensity ความเขมฝน

drain อตราการไหลเขาหรอออก

Element Unit weight

Vertices

Elastics

Poisson Ratio

Porosity

Drain

Ke

Permeability

Rainfall Intensity

99

4.2.3 โครงสรางขอมลของแขง

ส าหรบตวแบบไฟไนตเอลเมนตของลาดดนจะถกจดเกบในโครงสรางขอมลดงน

รปท 4.5 โครงสรางขอมลของแขง

จากรปท 4.5 Solid แทนโครงสรางขอมลของแขงรายละเอยดตามตารางท 4.3

ตารางท 4.3 รายละเอยดโครงสรางขอมลของแขง

Attributes Mean

geographic ขอมลความสงของภมประเทศในรปอารเรยแบบ 2 มต

elements ขอมลเอลเมนต

iteration จ านวนรอบการแบงเอลเมนต

จากโครงสรางขอมลทกลาวไวในหวขอ 4.2.1 – 4.2.3 สามารถน าเสนอในรปของ

ระบบโครงสรางขอมลส าหรบจดเกบขอมลตวแบบไฟไนตเอลเมนตของลาดดนไดดงรปท 4.6

รปท 4.6 ระบบโครงสรางขอมลส าหรบจดเกบขอมลตวแบบไฟไนตเอลเมนตของลาดดน

Solid

Geographic Data

Elements

Iteration

Element Unit weight

Vertices

Elastics

Poisson

Porosity

Drain

Ke

Permeability

Rainfall

Solid Geographic Iteration

100

4.3 โมดลประมวลผลขอมล

โมดลประมวลผลขอมล ประกอบดวยหนวยการค านวณตอไปน - พชคณตเชงเสน

- พหนาม

- ไฟไนตเอลเมนต - IsoLine และ IsoSurface

- การแสดงผลภาพ 3 มต และภาคตดลาดดน

ในบทตอไปจะกลาวถงผลการวจยซงเปนผลจากการน าตวแบบเชงคณตศาสตรทไดกลาวไวในบทท 2 มาใชในวเคราะหการไหลของน าใตดนและประเมนการวบตของลาดดนตวอยาง

โดยใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตทไดกลาวถงในบทท 3 และประมวลผลโดยซอฟตแวรทไดตามทได

ออกแบบและประดษฐขนดงรายละเอยดทไดกลาวไวในบทน

101

บทท 5

การจ าลองเสถยรภาพลาดดน

บทนจะน าเสนอการจ าลองเสถยรภาพลาดดน โดยใชขอมลความสงของภมประเทศจากตวอยางลาดดนและพนทในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา การจ าลองเสถยรภาพลาดดนในพนทแตละแหงไดด าเนนการและปรากฏผลเปนดงน

5.1 การจ าลองเสถยรภาพลาดดนจากขอมลพนทตวอยาง

รปท 5.1 ตวอยางลาดดนในมมมองดานบน (รปซาย) และมมมองทศนยภาพ (รปขวา)

ตารางท 5.1 พกดของจดยอดบนผวดนตวอยาง

เลขทจด x y z

เลขทจด x y z

0 0 218 0 13 180 34 270

1 0 251 90 14 180 75 360

2 0 265 180 15 270 146 0

3 0 202 270 16 270 147 90

4 0 95 360 17 270 187 180

5 90 183 0 18 270 132 270

6 90 220 90 19 270 74 360

7 90 244 180 20 360 118 0

8 90 150 270 21 360 115 90

9 90 76 360 22 360 158 180

10 180 144 0 23 360 112 270

11 180 178 90

102

ในการจ าลองนจะใชขอมลจากตวอยางลาดดนทมความละเอยด 90 90 ตาราง

เมตร ซงมพนท 360 360 ตารางเมตร และแบงเปนพนท 90 90 ตารางเมตร จ านวน 16 สวน

ดงรป 5.1 ผวดนประกอบดวยจดยอดจ านวน 25 จด มพกดดงตารางท 5.1 และก าหนด

คาพารามเตอรของดนตามตารางท 5.2

ตารางท 5.2 คาพารามเตอรของดนตวอยาง

Parameter Value Unit

modulus of elastic 10 MPa

Poisson ratio 0.30 -

dry unit weight 16 kN/m3

porosity 0.35 -

bulk modulus of soil solid particle 56.7 GPa

bulk modulus of the pore fluid 2.16 GPa

permeability 54 mm/hr

rain fall intensity 20 mm/hr

drain 1 mm/hr

unit weight of water 9.81 kN/m3

การจ าลองจะแบงเปน 3 สวน ไดแก สวนท 1 จ าลองการไหลของน าใตดน สวนท 2

จ าลองการกระจดของจดยอดทมผลจากแรงภายนอก และสวนท 3 ประเมนการวบตของลาดดน

รปท 5.2 ลาดดนและระนาบตดจากมมมองดานบน

103

เพอความสะดวกตอการน าเสนอผลการจ าลอง ในสวนนจะน าเสนอผลการค านวณในลกษณะรประนาบตดลาดดน จากรปท 5.2 แสดงภาพของลาดดนจากมมมองดานบน เสนสแดงคอ

ระนาบตดลาดดนดานหนา และเสนสน าเงนคอระนาบตดลาดดนดานขาง ระนาบตดลาดดนทงดานหนาและดานขางจะมหมายเลขก ากบไวตงแตหมายเลข 0 ถง 8

5.1.1 ผลการจ าลองการไหลของน าใตดน

ผลการจ าลองการไหลของน าใตดนจะแสดงในรปเสนไอโซ (isoline) ของปรมาณ

น าในดนเมอการไหลของน าใตดนเขาสสภาวะคงตว โดยรปท 6.3 แสดงระนาบตดลาดดนดานขาง

ตงแตระนาบตดหมายเลข 0 ถง 5 และรปท 6.4 แสดงระนาบตดลาดดนดานหนาตงแตระนาบตด

หมายเลข 0 ถง 5 ระนาบตดแสดงบรเวณพนทสน าเงนเขมจะมปรมาณน าในดนสงกวาพนทสออน

รปท 5.3 เสนไอโซแสดงคาปรมาณน าบนระนาบตดดานขางของลาดดน

104

รปท 5.4 เสนไอโซแสดงคาปรมาณน าบนระนาบตดดานหนาของลาดดน

จากรปท 5.3 และ 5.4 แสดงใหเหนวาดนในบรเวณใกลผวดนซงเปนสวนทรบน าฝน

จะมปรมาณน าในดนสงกวาดนทอยลกลงไป และดนบรเวณเชงเขาทมความลาดชนสงจะมปรมาณน าในดนสงกวาดนบรเวณอน ๆ ทงนเพราะเนองจากการไหลของน าใตดนอยภายใตอทธพลของแรงโนมถวงโลกเมอน าฝนไหลซมจากชนผวดนลงสใตดนบรเวณเชงเขาทมความลาดชนสงซงมลกษณะเปนแองกระทะจะรบน าจากพนทสวนอน ๆ ไวจงท าใหมปรมาณน าในดนสงกวาพนทบรเวณอน ๆ ซงผลการจ าลองนกเปนผลทควรจะเปน ผลการค านวณพบวาปรมาณน าในดนมคาเฉลยเทากบ 8.1610-3

คาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1.342910-2 คาปรมาณน าในดนสงสด 1.7710-1 และต าสดเทากบ

1.9710-5 และเมอหาปรมาณน าในดนโดยก าหนดความเขมฝนในชวง 0 – 50 มลลเมตร/ชวโมง

และอตราการไหลออก 10 มลลเมตร/ชวโมง ปรากฏผลการค านวณดงตารางท 6.5

105

ตารางท 5.3 ผลการค านวณปรมาณน าในดน ก าหนดความเขมฝนในชวง 0 – 50 มลลเมตร/ชวโมง

และอตราเรวการไหลออก 10 มลลเมตร/ชวโมง

rain Fall Intensity mean S.D. max min

0 0 0 0 0

10 8.3210-3 1.3110-2 1.7010-1 9.8310-6

20 8.6110-3 1.342910-2 1.7710-1 1.9710-5

30 8.9010-3 1.3810-2 1.8510-1 2.9510-5

40 9.1910-3 1.4210-2 1.9310-1 3.9310-5

50 9.4810-3 1.4610-2 2.0010-1 4.9110-5

ตารางท 5.3 แสดงใหเหนวาเมอก าหนดความเขมฝนเพมขน คาเฉลย สวนเบยงเบน

มาตรฐาน คาสงสดและต าสดของปรมาณน าในดนจะมคาเพมขน

5.1.2 ผลการจ าลองการกระจดของจดยอดทมผลจากแรงภายนอก

การจ าลองการกระจดของจดยอดทมผลจากแรงกระท าภายนอกขนาด 10 PN โดย

แรงกระท าบนลาดดนทพกด (225, 198.5, 180) ดงรปท 5.5 และก าหนดใหทกจดบนฐานของลาด

ดนมลกษณะเปนฐานรองรบแบบขอยด

รปท 5.5 ลาดดนตวอยางทมแรงภายนอกขนาด 10 PN

รปท 5.6 แสดงผลการจ าลองการกระจดของจดยอดพบวาเมอลาดดนไดรบแรง

กระท าภายนอก ณ บรเวณพกดทก าหนด แรงกระท าจะกระจายไปยงโครงสรางสวนตาง ๆ ของลาดดน ความเครยดทเกดขนภายในโครงสรางดนท าใหเกดการเปลยนรป นนคอดนบรเวณทไดรบแรงกระท าโดยตรงจะเกดการยบตวตามทศทางของแรงกระท า และในขณะเดยวกนดนบางสวนในบรเวณอนจะมการยกตวสงขนหรอลาดตวออกไป

106

ลาดดนดานหนา

ลาดดนดานขาง รปท 5.6 เปรยบเทยบรปทรงของลาดดนกอนแรงกระท า (รปซาย) และหลงแรงกระท า (รปขวา)

เมอจ าลองการกระจดของจดยอดทมผลจากแรงกระท าภายนอกขนาด 0, 2, 4, 6,

8 และ 10 PN ปรากฏผลการทดสอบ ดงรป 5.7

(0 PN) (2 PN)

(4 PN) (6 PN)

(8 PN) (10 PN)

รปท 5.7 การเปลยนรปของลาดดนเมอมแรงภายนอกกระท าขนาด 0, 2, 4, 6, 8 และ 10 PN

107

จากรปท 5.7 แสดงใหเหนวาเมอก าหนดแรงภายนอกกระท าตอลาดดนเพมขน

ความเคนภายในโครงสรางของดนทสงขนท าใหลาดดนมการเปลยนรปจากเดมมากขน

5.1.3 ประเมนการวบตของลาดดน

สวนนจะท าการประเมนการวบตของลาดดนทไมมแรงกระท าภายนอกโดยจะท าการทดสอบทงกรณดนแหงและดนเปยก ส าหรบกรณดนเปยกจะแบงการทดสอบเปน 2 เงอนไข ไดแก

เงอนไขท 1 ค านวณการวบตของลาดดนดวยเงอนไขแบบไมระบายน า โดยท าการวเคราะหพฤตกรรม

ดนดวยแบบจ าลองวอน ไมซส และเงอนไขท 2 การค านวณการวบตของลาดดนดวยเงอนไขแบบ

ระบายน า ตอไปนจะน าเสนอผลการประเมนการวบตของลาดดนกรณดนแหง ดงน

การประเมนการวบตของลาดดนกรณดนแหง จากหวขอ 5.1 ทราบวาเมอก าหนดใหความเขมฝนเทากบ 0 เมตรตอนาท ท าให

ปรมาณน าในดนเฉลยเทากบ 0 ความเคนรวมเทากบความเคนประสทธผล ดงนนการค านวณกรณดน

แหงจงใชความเคนรวมในการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนของดน และวเคราะหพฤตกรรมของดนดวยแบบจ าลอง ไดแก แบบจ าลองวอน ไมซส, แบบจ าลองดรกเคอร-ปรากเกอร, แบบจ าลองลาด-ดง

แคน, แบบจ าลองมสซโอกา-นากาอ และแบบจ าลองโฮลสบ เนองจากเปนการค านวณในกรณดนแหง

จงไมแบงกรณการค านวณตามเงอนไขการระบายน า

การค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองวอน ไมซส

การค านวณการวบตดวยแบบจ าลองวอน ไมซส ก าหนดพารามเตอร ไดแก ก าลงรบแรงเฉอนแบบไมระบายน ามคาตามตารางท 5.4

ตารางท 5.4 พารามเตอรของแบบจ าลองวอน ไมซส

parameter value unit

undrained shear strength 710-8 -

ผลการค านวณแสดงดวยเสนและพนผวไอโซ โดยสเสนและพนผวไอโซของลาดดนถกก าหนดโดยฟงกชนความครากวอน ไมซส เสนและพนผวไอโซสแดงจะเปนสวนทมคาฟงกชนความครากสงเปนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบต รปท 5.8 แสดงใหเหนวาดนบรเวณเชงเนนทมความ

ลาดชนสงเปนบรเวณทมคาความครากสงซงมความเสยงสงตอการวบต

108

รปท 5.8 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลองวอน ไมซส

คาการวบตจากการค านวณดวยแบบจ าลองวอน ไมซส มคาเฉลย 8.4010-6 สวน

เบยงเบนมาตรฐาน 5.4110-6 สมประสทธการแปรผน 6.4410-1 คาสงสด 2.2810-5 คาต าสด

6.0410-8 และดนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเปนรอยละ 3.70 ของปรมาตรดนทงหมด

การค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร

ก าหนดพารามเตอร ไดแก แรงยดเหนยวของดน, มมเสยดทาน และก าหนดคา M ในแบบจ าลองจากการทดสอบแรงอดสามแกน ดงตารางท 5.5

ตารางท 5.5 พารามเตอรของแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

triaxial test compression -

ผลการค านวณแสดงดวยเสนและพนผวไอโซ รปท 5.9 พบวาดนบรเวณทรองรบ

ลาดดนทมความชนสงเปนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเชนเดยวกบแบบจ าลองวอน ไมซส

109

รปท 5.9 เสนและพนผวไอโซจากการค านวณการวบตดวยแบบจ าลองดรกเกอร – ปรากเกอร

จากการค านวณคาการวบตดวยแบบจ าลองดรกเกอร – ปรากเกอร พบวามคาเฉลย

2.7210-5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1.6710-5 สมประสทธการแปรผน 6.1310-1 คาสงสด

6.3110-5 คาต าสด 5.6210-7 และบรเวณทเสยงตอการวบตสงเปนรอยละ 9.87 ของปรมาตรดน

การค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองลาด – ดงแคน

ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองลาด – ดงแคน ก าหนดพารามเตอร ไดแก แรงยดเหนยวของดน, มมเสยดทาน ก าหนดคา M ในแบบจ าลองจากการทดสอบแรงอดสามแกน และแรงดนบรรยากาศ นอกจากนมการก าหนดพารามเตอรของวสดไดแก และ m

แสดงตามตารางท 5.6

ตารางท 5.6 พารามเตอรของแบบจ าลองลาด – ดงแคน

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

triaxial test compression -

atmospheric pressure 101.4 atm

41.7 -

m 0.5 -

110

ผลการค านวณแสดงดวยเสนและพนผวไอโซ รปท 5.10 แสดงใหเหนวาดนบรเวณท

รองรบลาดดนทมความชนสงเปนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบต

รปท 5.10 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลองลาด – ดงแคน

คาการวบตจากการค านวณดวยแบบจ าลองลาด -ดงแคน พบวามคา เฉล ย

4.3710-5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.0210-4 สมประสทธการแปรผน 6.92 คาสงสด 6.9710-4

คาต าสด 2.1210-3 และดนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเปนรอยละ 54.32 ของปรมาตรดน

การค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

ก าหนดพารามเตอร ไดแก แรงยดเหนยวของดน มมเสยดทาน และก าหนดคา M ในแบบจ าลองจากการทดสอบแรงอดสามแกน ดงตารางท 5.7

ตารางท 5.7 พารามเตอรของแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

triaxial test compression -

111

ผลการค านวณแสดงดวยเสนและพนผวไอโซ รปท 5.11 แสดงใหเหนวาดนบรเวณท

รองรบลาดดนทมความชนสงเปนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเชนเดยวกบกรณการทดสอบดวยแบบจ าลองลาด – ดงแคน

รปท 5.11 เสนและพนผวไอโซจากการค านวณการวบตดวยแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

คาการวบตจากการค านวณดวยแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ พบวามคาเฉลย

2.8610-5 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.2510-4 สมประสทธการแปรผน 7.84 คาสงสด 5.2310-4

คาต าสด 1.5710-3 และดนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเปนรอยละ 48.56 ของปรมาตรดน

การค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองโฮลสบ

ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยแบบจ าลองโฮลสบ ก าหนดพารามเตอร ไดแก แรงยดเหนยวของดน และมมเสยดทาน แสดงตามตารางท 5.8

ตารางท 5.8 พารามเตอรของแบบจ าลองโฮลสบ

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

ผลการค านวณแสดงดวยเสนและพนผวไอโซ รปท 5.12 แสดงใหเหนวาดนบรเวณท

รองรบลาดดนทมความชนสงเปนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบต

112

รปท 5.12 เสนและพนผวไอโซจากการทดสอบการค านวณการวบตดวยแบบจ าลองโฮลสบ

คาการวบตจากการค านวณดวยแบบจ าลองโฮลสบ พบวามคาเฉลย 3.8410-17

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.9810-17 สมประสทธการแปรผน 1.04 คาสงสด 2.0510-16 คาต าสด

3.2710-20 และดนบรเวณทมความเสยงสงตอการวบตเปนรอยละ 2.88 ของปรมาตรดน

ประเมนการวบตของลาดดนกรณดนเปยก

การทดสอบกรณดนเปยกจะแบงการทดสอบเปน 2 เงอนไข ไดแก เงอนไขท 1

ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยเงอนไขแบบไมระบายน า โดยท าการวเคราะหพฤตกรรมดนดวยแบบจ าลองวอน ไมซส และเงอนไขท 2 ทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนดวยเงอนไข

แบบระบายน าโดยท าการวเคราะหพฤตกรรมดนดวยแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ การทดสอบ

กรณดนเปยกทงสองกรณจะมการก าหนดคาความเขมฝนเทากบ 0, 10, 20, 30, 40 และ 50

มลลเมตรตอชวโมง ไดผลการทดสอบการค านวณตามตารางท 5.9

ตารางท 5.9 ผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยก

Rain Fall Intensity Von Mises Matsuoka – Nakai

Mean S.D. Mean S.D.

0 7.9710-7 9.1310-7 2.7210-7 7.0410-5

10 8.1310-7 9.2910-7 4.3110-7 2.0610-5

20 8.1310-7 9.2910-7 4.3910-7 2.1210-5

113

ตารางท 5.9 (ตอ) ผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยก

Rain Fall Intensity Von Mises Matsuoka – Nakai

Mean S.D. Mean S.D.

30 8.1410-7 9.3010-7 5.0010-7 2.1910-5

40 8.1410-7 9.3010-7 5.8810-7 2.3010-5

50 8.1510-7 9.3110-7 7.2510-7 2.4610-5

จากตารางท 5.9 แสดงผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยกทง

เงอนไขแบบไมระบายน าและระบายน า พบวาเมอความเขมฝนเพมขนการวบตของลาดดนจะมคาเพมขน และเมอพจารณากราฟแสดงการเปรยบเทยบแนวโนมของผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยกระหวางเงอนไขแบบไมระบายน าและระบายน า ดงรปท 5.13

รปท 5.13 กราฟเปรยบเทยบผลการทดสอบการค านวณการวบตของลาดดนเปยก

ระหวางแบบจ าลองวอน ไมซสและแบบจ าลองมสซโอกา – นากาอ

จากรปท 5.13 พบวาเมอความเขมฝนเพมขนคาการวบตของลาดดนกรณเงอนไข

แบบไมระบายน าจะมคาคอนขางคงตว แตส าหรบคาการวบตของลาดดนกรณเงอนไขแบบระบายน า จะมคาเพมขน ซงเปนไปตามลกษณะพฤตกรรมก าลงของดน กลาวคอ กรณเงอนไขแบบไมระบายน าความเคนหลกจะไมแปรเปลยนไปตามคาความเคนเฉลยทเพมขนตามแรงดนน าสถต แตกรณเงอนไขแบบระบายน าความเคนหลกจะแปรเปลยนไปตามคาความเคนเฉลยทเพมขนตามแรงดนน าสถต

0.00E+00

2.00E-07

4.00E-07

6.00E-07

8.00E-07

1.00E-06

1.20E-06

1.40E-06

1.60E-06

0 20 40 60 80 100 120

Mea

n o

f Y

ield

Rainfall Intensity (mm/hr)

von Mises

Matsuoka - Nakai

114

5.2 การจ าลองเสถยรภาพลาดดนจากขอมลพนทเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา

ในสวนนจะน าเสนอการจ าลองและสรางภาพเสมอนการไหลของน าใตดน การเปลยนรปของลาดดนและการประเมนการวบตของลาดดนโดยใชขอมลจากพนทเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา ดงตอไปน

5.2.1 ผลการจ าลองการไหลของน าใตดน

ตวแบบไฟไนตเอลเมนต:

ขอมลส าหรบการจ าลองในสวนนเปนขอมลทไดจากการส ารวจขอมลภมประเทศจากเรดาหดาวเทยม (SRTM) มความละเอยดประมาณ 9090 เมตร โดยเลอกขอมลจากพนท

ตงแต 6.683 ถง 6.693 ละตจดเหนอ และตงแต 100.745 ถง 100.752 ลองจจดตะวนออก

ซงเปนพนทภเขาในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา มพนทประมาณ 0.5184 ตารางกโลเมตร ตวแบบ

ไฟไนตเอลเมนตทถกสรางขนจะถกแบงเปนพนท 88 สวน และก าหนดพารามเตอรดนดงน

ตารางท 5.10 คาพารามเตอรดนส าหรบการจ าลองในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา

Parameter Value Unit

modulus of elastic 10 MPa

Poisson ratio 0.35 -

dry unit weight 16 kN/m3

porosity 0.33 -

bulk modulus of soil solid particle 56.7 Gpa

bulk modulus of the pore fluid 2.16 Gpa

permeability 54 mm/hr

unit weight of water 9.81 kN/m3

ส าหรบตวแบบไฟไนตเอลเมนตส าหรบการจ าลองนแสดงในรปท 5.14

(ก) (ก) รปท 5.14 ตวแบบไฟไนตเอลเมนตส าหรบการจ าลองการไหลของน าใตดน

(ทมา: Kunnapon [26])

115

การก าหนดเงอนไขคาขอบ:

เนองจากตวแบบไฟไนตเอลเมนตนไดรบฝนทบรเวณผวดนและเมอน าไหลซมลงสใตดนน าจะไหลออกจากตวแบบทางดานฐานและผวดานขางทกดานของเอลเมนตดน ดงนนทบรเวณผวดนจะก าหนดใหอตราการไหลขาวของน าเทากบความเขมฝนเทากบ 10 มลลเมตรตอชวโมง และท

ฐานและผวดานขางของเอลเมนตดนจะก าหนดใหอตราเรวการไหลออกของน าเทากบ 5 มลลเมตรตอ

ชวโมง ทผวดนมคาเฮดระดบเทากบคาความสงของภมประเทศ ผลการจ าลอง:

ผลการจ าลองพบวาส าหรบแตละระนาบตดดานหนาของลาดดนนนจะแสดงใหเหนวาบรเวณพนทราบลมจะมปรมาณน าในดนสงกวาบรเวณอน ๆ เนองจากการไหลของน าใตดนนอยภายใตอทธพลแรงโนมถวงโลก แสดงดงรปท 5.15

No Front Plane Section Perspective View

1

2

3

4

5

รปท 5.15 ผลการจ าลองการไหลของน าใตดนบนระนาบตดดานหนาของลาดดน

(ทมา: Kunnapon [26])

116

และเมอจ าลองการไหลของน าใตดน โดยก าหนดคาความเขมฝนตงแต 10 – 100 มลลเมตรตอชวโมง

อตราเรวการไหลออกของน า เปน 1, 10, 20, 30 และ 40 มลลเมตรตอชวโมง แสดงดงรปท 5.16

รปท 5.16 ความสมพนธระหวางคาเฉลยของปรมาณน าในดนกบความเขมฝน

(ทมา: Kunnapon [26])

จากรปท 5.16 แสดงใหเหนความสมพนธระหวางคาเฉลยของปรมาณน าในดนกบ

ความเขมฝนพบวาบนกราฟแตละเสนจะมอตราเรวการไหลออกของน าเปนคาคงตว จะไดวาคาเฉลยของปรมาณน าในดนจะแปรผนตามความเขมฝน แตในทางกลบกนเมอพจารณาความสมพนธระหวางกราฟแตละเสนทระดบความเขมฝนเทากนพบวาปรมาณน าในดนจะลดลงเมอก าหนดอตรา เรวการไหลออกของน ามากขน

รปท 5.17 ความสมพนธระหวางปรมาณน าในดนกบรอยละของเอลเมนต

(ทมา: Kunnapon [26])

4.50

4.70

4.90

5.10

5.30

5.50

5.70

5.90

6.10

6.30

6.50

0 20 40 60 80 100 120

Ave

rage

of W

ater

Con

tent

(%

)

Rainfall Intensity (mm/hr)

1 mm/hr

10 mm/hr

20 mm/hr

30 mm/hr

40 mm/hr

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5

Ele

men

ts (

%)

Average of Water Content (%)

10 mm/hr

50 mm/hr

100 mm/hr

117

ความสมพนธระหวางคาเฉลยของปรมาณน าในดนกบรอยละของเอลเมนตดนจากรปท 5.17 แสดงเอลเมนตดนรอยละ 52 มคาเฉลยของปรมาณน าในดนนอยกวา 20% และเอลเมนต

สวนใหญจะมปรมาณน าในดนประมาณ 0.0 – 1.0 % เมอก าหนดความเขมฝนเปน 10, 50 และ

100 มลลเมตร/ชวโมง และอตราเรวการไหลออกของน าเปน 1 มลลเมตรตอชวโมง อยางไรกตาม

ความสมพนธนจะขนอยกบลกษณะของภมประเทศและปรมาณน าในดน

ตอไปจะท าการประเมนเสถยรภาพลาดดนโดยใชแบบจ าลองของดรกเกอร – ปราก

เกอรเปนเกณฑการวบตลาดดน โดยจะก าหนดคาพารามเตอรดงตารางท 5.11

ตารางท 5.11 พารามเตอรส าหรบเกณฑวบตลาดดนในเขตอ าเภอนาทว จงหวดสงขลา

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

triaxial test compression -

รปท 5.18 กราฟแสดงความสมพนธระหวางคาเฉลยของเกณฑวบตกบความเขมฝน

พบวาคาวบตจะแปรผนตามความเขมฝนเชนเดยวกบปรมาณน าในดนตามกราฟรปท 5.16

รปท 5.18 ความสมพนธระหวางคาเฉลยของเกณฑวบตกบความเขมฝน

(ทมา: Kunnapon [26])

5.2.2 การจ าลองการเปลยนรป และความคราก

ในสวนนจะท าการจ าลองการเปลยนรป และการความครากของลาดดนซงเปนผลจากแรงกระท าภายนอกและปรมาณน าในดน

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

0.30

0.32

0.34

0 20 40 60 80 100 120

Ave

rage

of Fai

lure

Cri

teri

a

Rainfall Intensity (mm/hr)

1 mm/hr

10 mm/hr

20 mm/hr

30 mm/hr

40 mm/hr

118

ตวแบบไฟไนตเอลเมนต:

ขอมลภมประเทศส าหรบสรางตวแบบไฟไนตเอลเมนตในสวนนจะเลอกพนทสวนหนงมาจากการจ าลองในหวขอ 5.2.1 เปนพนทตงแต 6.685 ถง 6.689 ละตจดเหนอ และตงแต

100.745 ถง 100.748 ลองจจดตะวนออก มพนทประมาณ 0.1296 ตารางกโลเมตร และแบงตว

แบบไฟไนตเอลเมนตเปนพนท 44 สวนดงรปท 5.19 และก าหนดพารามเตอรดงตารางท 5.12

(ก) (ข) รปท 5.19 ตวแบบไฟไนตเอลเมนตส าหรบการจ าลองการเปลยนรปและความคราก

(ทมา: Kunnapon [26])

ตารางท 5.12 พารามเตอรส าหรบการจ าลองการเปลยนรปและความคราก

parameter value unit

cohesion intercept 0 -

angle of internal friction 30 degrees

triaxial test compression -

การก าหนดเงอนไขคาขอบ:

สมมตใหจดยอดทกจดบนผวดานไดแก หนา หลง ซายและขวาของตวแบบมฐานรองรบประเภทลอเลอนและส าหรบฐานของตวแบบมฐานรองรบประเภทขอยด

ผลการจ าลอง:

ผลการจ าลองจะแสดงใหเหนวาถามแรงภายนอกทมขนาด 10, 50, 100, 500

และ 900 PN กด (compress) ลงบนจดสแดงบนลาดดนแลวจะท าใหลาดดนเปลยนรป บรเวณท

เปนพนทสแดงทแสดงในแตละรปตามตารางท 5.13 หมายถงพนททมความเคนสงกวาบรเวณอนอน

เนองมาจากแรงภายนอกมากระท าสงผลใหบรเวณดงกลาวมคาความครากสงและมความเสยงทจะเกดการวบตมากทสด และเมอพจารณาแนวโนมของการขยายพนทเสยงกพบวาเมอแรงภายนอกทมากระท ามขนาดเพมมากขนพนททเสยงตอการวบตกจะขยายตวเพมขนดวยเชนกน

119

ตารางท 5.13 เปรยบเทยบการเปลยนรปและความครากของลาดดนทเปนผลจากแรงภายนอก

force cross-sectional area perspective view

F

front view

side view

10 PN

front view

side view

50 PN

front view

side view

(ทมา: Kunnapon [26])

120

ตารางท 5.13 เปรยบเทยบการเปลยนรปและความครากของลาดดนทเปนผลจากแรงภายนอก (ตอ)

force cross-sectional area perspective View

100 PN

front view

side view

500 PN

front view

side view

900 PN

front view

side view

(ทมา: Kunnapon [26])

121

ในสวนทายนจะท าการจ าลองเพอศกษาความสมพนธระหวางปรมาณน าในดนกบคาความครากโดยใชแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร ส าหรบกรณการวเคราะหปรมาณน าในดนพนท

สน าเงนเขมคอบรเวณทมปรมาณน าในดนสง และส าหรบกรณการค านวณคาความครากพนทสแดงคอบรเวณทมคาความครากสง ปรากฏผลตามตารางท 5.14

ตารางท 5.14 ผลการค านวณคาความครากดวยแบบจ าลองดรกเคอร – ปรากเกอร Case (i) (ii)

Water Content

Yield

(ทมา: Kunnapon [26])

จากตารางท 5.14 แสดงผลการจ าลองซงจะแบงเปน 2 กรณประกอบดวยกรณ (i)

ก าหนดความเขมฝน 10 มลลเมตรตอชวโมง และกรณ (ii) ก าหนดความเขมฝน 50 มลลเมตรตอ

ชวโมง โดยทงสองกรณจะก าหนดอตราเรวการไหลออกเปน 5 มลลเมตรตอชวโมง กรณท (i) พบวา

ปรมาณน าเฉลยเปน 5.9510-2 และคาเฉลยของความครากเปน 4.43 10-3 และกรณท (ii)

พบวาปรมาณน าเฉลยเปน 1.6610-1 และคาเฉลยของความครากเปน 5.15 10-3 จะเหนไดวากรณ

(ii) ลาดดนไดรบฝนดวยความเขมสงกวา (i) ซงหมายถงกรณท (ii) จะมปรมาณน าในดนเฉลยและ

ความครากสงกวา ดงนนกรณ (ii) จงมความเสยงตอการวบตสงกวา (i)

122

บทท 6

สรปผลการวจย อภปรายผล และขอเสนอแนะ

6.1 ตวแบบเชงคณตศาสตร

ตวแบบการไหลของน าใตดนในสภาวะคงตว โดยผลการค านวณจากหวขอ 5.1.1

และ 5.2.1 แสดงใหเหนวาแบบจ าลองสามารถแสดงการกระจายเฮด ทศทางการไหลของน าใตดน

และปรมาณน าในดนไดด แตอยางไรกตามการวเคราะหการไหลของน าใตดนดวยตวแบบนยงคงมขอจ ากดเนองจากการวดอตราเรวการไหลของน าออกจากลาดดนในทางปฏบตท าไดยาก จงตองอาศยคาประมาณทเหมาะสมจะท าใหผลการวเคราะหมความแมนย ามากขน

ตวแบบก าลงรบแรงเฉอนในดน โดยผลการค านวณจากหวขอ 5.1.2 และ 5.2.2

แสดงใหเหนวาแบบจ าลองสามารถแสดงการเปลยนรปของลาดดนไดตามแรงกระท า รวมถงแสดงการกระจายความเคนและความเครยดทเกดขนในลาดดนไดด แตทงนความแมนย าของการวเคราะหยงตองพจารณาปจจยอน ๆ ทเกยวของ ไดแก ความแมนย าในการวดคาพารามเตอรของดน การก าหนดฐานรองรบทสอดคลองกบสภาพของปญหาจรง โหลดทกระท าบนลาดดน เปนตน

6.2 การวเคราะหดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

การวเคราะหการไหลของน าใตดน และการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนในดนดวยระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในงานวจยนเปนการวเคราะหปญหาในปรภม 3 มต จงใชเอลเมนตรปทรง

สหนาซงสามารถประกอบเปนแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตทมรปทรงใกลเคยงกบลกษณะภมประเทศจรง แตอยางไรกตามความคลาดเคลอนในการค านวณยงคงขนอยกบการก าหนดความละเอยดหรอจ านวนของเอลเมนตในแบบจ าลอง และถงแมวาในแบบจ าลองจะใชเอลเมนตจ านวนมากขนซงนอกจากจะตองใชทรพยากรของระบบเปนอยางมากแลว ความคลาดเคลอนในการค านวณยงคงเกดขนอนเนองมาจากการปดเศษทเกดขนในกระบวนการท าซ าทมรอบการท าซ าอยางมหาศาล

นอกจากนในการวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนในดน ยงคงมขอจ ากดจากลกษณะของเอลเมนตทใชรปทรงสหนาและฟงกชนเชงเสนสามตวแปรทสามารถอธบายลกษณะการเปลยนรปของลาดดนทเกดจากแรงปกตมากระท าเทานน แตไมสามารถอธบายลกษณะการเปลยนรปทเกดจากโมเมนตได

6.3 การออกแบบและประดษฐซอฟตแวร

เนองจากการแสดงผลลพธของการค านวณสามารถแสดงผลในรปแบบ 3 มต จงท า

ใหผใชสะดวกตอการพจารณาถงบรเวณทมความเสยงตอภยพบตดนถลม ซอฟตแวรไดรวมโมดลของระบบการวเคราะหการไหลของน าใตดนและระบบวเคราะหก าลงรบแรงเฉอนในดนซงท าใหสะดวกตอ

123

การพจารณาก าลงรบแรงเฉอนทมผลจากการซมน าในดน รวมถงผใชสามารถก าหนดปจจยตาง ๆ ใหสอดคลองกบปญหาจรงได ไดแก ความเขมฝน ลกษณะดน ลกษณะของฐานรองรบ เงอนไขการระบายน า และเกณฑในการวเคราะหทเหมาะสม เปนตน ซอฟตแวรไดถกออกแบบมาในรปแบบกราฟกทสะดวกตอการน าไปไปใชวเคราะหความเสยงพนทอน ๆ ได แตอยางไรกตามซอฟตแวรนยงคงมขอจ ากดอนเนองจากการใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตตามทไดกลาวไวในหวขอ 6.2 การ

พฒนาใหการประมวลผลมความรวดเรวและแมนย าขนเปนสงส าคญ การค านวณเชงขนานจงเปนแนวทางหนงในการแกปญหาทท าใหซอฟตแวรนจะไดรบการพฒนาตอยอดตอไป

วทยานพนธนเปนการบรณาการของการค านวณเชงวทยาศาสตร คอมพวเตอร ปฐพกลศาสตร และภมศาสตรสารสนเทศเพอประโยชนตอการเตอนภยพบตดนถลมและการจดการทรพยากรทดน

124

รายการอางอง

[1] กว ไกรระว. “แบบจ าลองการคาดการณจดวกฤตของการขาดเสถยรภาพลาดดนเปนผลใหเกดดน

ถลม” วารสารอนรกษดนและน า, ปท 25, ฉบบท 3, หนา 36 – 45, สงหาคม 2552.

[2] เดช พทธเจรญทอง. การวเคราะหดวยวธไฟไนตเอลเมนต. กรงเทพฯ: พมพด, 2541.

[3] นตยา หวงวงศวโรจน. อทกวทยา. กรงเทพฯ: มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร,

2551.

[4] รฐธรรม อสโรฬาร. คมอการใชโปรแกรม KUslope version 2.0. กรงเทพฯ: ศนยวจยและ

พฒนาวศวกรรม ปฐพและฐานราก, 2550.

[5] รฐธรรม อสโรฬาร และวรากร ไมเรยง. “การจ าลองลกษณะรากพชเพอการวเคราะหเสถยรภาพ

ลาดดน” ในเอกสารประกอบการประชมวชาการวศวกรรมโยธาแหงชาต ครงท 8, 2545,

หนา 178 – 180.

[6] วศษฐ อยยงวฒนา. ปฐพกลศาสตร. พมพครงท 3, กรงเทพฯ: โฟรเพซ, 2554.

[7] สเชษฐ ลขตเลอสรวง. วธไฟไนตอลเมนตในงานวศวกรรมธรณเทคนค. กรงเทพฯ: จฬาลงกรณ

มหาวทยาลย, 2550.

[8] สเชษฐ ลขตเลอสรวง. ปฐพกลศาสตรพลาสตกซตและทฤษฎสถานะวกฤต. กรงเทพฯ:

จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2553.

[9] C. T.F. Ross. Finite Element Methods in Engineering Science. Wiltshire:

Ellis Horwood, 1935.

[10] C.J. F. Chung and A. G. Fabbri. “Probabilistic Prediction Models for

Landslide Hazard Mapping.” Photogrammetric Engineering and

Remote Sensing, vol. 65, pp. 1389 – 1399, December 1999.

125

[11] C.P. Wroth and G.T. Houlsby. “Soil mechanics – Property

characterization and analysis procedures.” Proceedings of the

Eleventh International Conference on Soil Mechanics and Foundation

Engineering. San Francisco, 1985.

[12] D.C. Drucker. “A more fundamental approach to plastic stress – strain

relations.” ASME, Proceedings of the 1st U.S. National Congregation

of Applied Mechanics, 1951, pp. 487 – 491.

[13] D.M. Potts and L. Zdravković. Finite Element Analysis in Geotechnical

Engineering: Theory. New York: Thomas Telford, 1999.

[14] G.T. Houlsby. “A general failure criterion for frictional and cohesive

materials.” Soils and Foundations, vol. 26, pp. 97 – 101, 1986.

[15] Th.W.J. van Asch, J.-P. Malet, L.P.H. van Beek and D. Amitrano.

“Techniques, Advances, Problems and Issues in Numerical Modeling

of Landslide Hazard.” Internet: www.arxiv.org/abs/0709.2642, April

6, 2012 [September 9, 2014].

[16] L. Cascini, S. Cuomo, M. Pastor, G. Sorbino and L. Piciullo. “Modeling of

Propagation and Entrainment Phenomena for Landslides of The

Flow Type: The May 1998 case study.” Landslides and Engineered

Slopes: Protecting Society through Improved Understanding –

Eberhardt et al. (eds), 2012, pp. 1723 – 1729.

[17] H. Matsuoka and T. Nakai. “Stress – deformation and strength

characteristics of soil under three Different principal stresses.”

Proceedings of JSCE, No.232, 1974, pp. 59 – 70.

126

[18] H. Popa and L. Batali. “Using Finite Element Method in geotechnical

design. Soil constitutive laws and calibration of the parameters:

Retaining wall case study.” WSEAS Transactions on Applied and

Theoretical Mechanics, vol. 5, pp. 177 – 186, July 2010.

[19] K. Georgiadis. “Development, implementation and application of partially

saturated soil models in Finite element analysis.” Ph.D. Thesis,

University of London, Faculty of Engineering, London, 2003.

[20] K. Pareta and U. Pareta. “Landslide Modeling and Susceptibility

Mapping of Giri River Watershed, Himachal Pradesh (India).”

International Journal of Science and Technology, vol. 2, pp. 91 – 104,

February, 2012.

[21] L. Xinpo, W. Chenghua and X. Jun. “Sufficient Stability Analysis of

Unsaturated Loess Slopes Subjected to Rainfall Infiltration Effects.”

Wuhan University Journal of Natural Science, vol. 11, pp. 825 – 828,

2006.

[22] P.V. Lade and J.M. Duncan. “Elasto – plastic stress – strain theory for

cohesionless soil.” Proceedigs ASCE, Journal Soil Mechanics and

Foundation Division, No.99, 1975, pp. 421 – 427.

[23] R. Hassani, I. R. Ionescu and T. Lachand – Robert. “Optimization

techniques in landslides modeling.” Annals of University of Craiova,

Math. Comp. Sci. Ser., vol. 32, pp. 158 – 169, October 2004.

[24] ThairathOnline. “ดนถลม” Internet: www.thairath.co.th/tags/ดนถลม,

November 8, 2014 [December 12, 2014].

127

[25] ArcGis Resources, URL:http://resources.esri.com/help/9.3/arcgisdesktop

/com/gp_toolref/spatial_analyst_tools/esri_ascii_raster_

format.htm [May 28, 2016].

[26] K. Thumhiwaid, S. Chuai-Aree and A. Phon-On. “Numerical Algorithm

for Simulation and Visualization of Landslide by Water Content and

Slope Factors” Proceedings of the 20th International Annual

Symposium on Computational Science and Engineer, 2016,

pp. 31 – 44.

128

ภาคผนวก ก

129

ภาคผนวก ก. ปรมาตรของทรงสหนา และความไมเปนเอกฐานของเมทรกซ X

ทฤษฎบท 1 ก าหนดให u, v และ w เปนเวกเตอรใน 3

ปรมาตรของทรงสหนาทสรางจาก u, v และ w เทากบ 1 | ( ) |6u v w

บทพสจน

รปท 1 รปทรงสหนาทสรางจากเวกเตอร u, v และ w

เนองจาก ปรมาตรของทรงสหนา = 13

× พนทฐาน × สง

พนทฐาน = 1

|| ||2v w

ความสง = | u ( ) ||| ||v wv w

ดงนน ปรมาตรของทรงสหนา = 1 1 | u ( ) | 1|| || | ( ) |

3 2 || || 6v w

v w u v wv w

(ก.1) ถารปทรงสหนาตามรปท 1 มจดยอด P(xP, yP, zP), Q(xQ, yQ, zQ), R(xR, yR, zR)

และ S(xS, yS, zS) จะได ปรมาตรของทรงสหนา เทากบ 1 | det6

X| โดยท

P P P

Q Q Q

R R R

S S S

1 x y z

1 x y z

1 x y z

1 x y z

X

u

v

w P

Q

R

S

130

ก าหนดให u = (ux, uy, uz) = (xQ – xP, yQ – yP, zQ – zP)

v = (vx, vy, vz) = (xR – xP, yR – yP, zR – zP)

และ w = (wx, wy, wz) = (xS – xP, yS – yP, zS – zP)

เนองจาก

ปรมาตรของทรงสหนา = 1 | ( ) |6u v w

= y z x z x yx y z

y z x z x y

v v v v v v1(u ,u ,u ) , ,

w w w w w w6

= y z x z x yx y z

y z x z x y

v v v v v v1u u u

w w w w w w6

= x y z

x y z

x y z

u u u1

v v v6

w w w

= Q P Q P Q P

R P R P R P

S P S P S P

x x y y z z1

x x y y z z6

x x y y z z

=

P P P

Q P Q P Q P

R P R P R P

S P S P S P

1 x y z

0 x x y y z z10 x x y y z z60 x x y y z z

=

P P P

Q Q Q

R R R

S S S

1 x y z

1 x y z11 x y z61 x y z

= 1

| det6

X|

ทฤษฎบท 2 ถา u, v และ w เปนเวกเตอรใน 3 เปนเวกเตอรทมจดเรมตนรวมกนและอยบน

ระนาบเดยวกน กตอเมอ ( ) 0u v w

(ก.2) เนองจากในทางปฏบตแลวจะมการแบงแบบจ าลองไฟไนตเอลเมนตใหเปนรปทรงสหนาทม

ปรมาตรไมเปนศนย ดงนน โดยทฤษฎบท 2 จะได det 0X

131

ภาคผนวก ข

132

ภาคผนวก ข. คมอการใชงานโปรแกรม SoilFE 1.0

โปรแกรม SoilFE 1.0 ไดถกพฒนาขนส าหรบวเคราะหการวบตของลาดดนดวย

ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

1. สวนประกอบของโปรแกรม

โปรแกรมประกอบดวยแสดงผลภาพกราฟกในมมมองดานบน (top view)

ดานหนา (front view) ดานขาง (side view) และทศนยภาพ (perspective view) สภาพ

พนผวลาดดนจะแสดงสตามระดบความสงต าของลาดดน ดงรปท 1

รปท 1 หนาตางงานหลก (main window) ของโปรแกรม

1.1. สวนประกอบของหนาตางงานหลก หนาตางงานของโปรแกรม มสวนประกอบ 3 สวน ไดแก

สวนเมนหลก (main menu) ดงรปท 1 ประกอบดวย

รปท 2 เมนหลกของโปรแกรม

File

ส าหรบการด าเนนการเปด (open) ปด (close) ไฟลขอมลสงต าของลาดดน และ

ออกจากโปรแกรม

133

View

ส าหรบเปดหนาตาง map image เพอแสดงภาพลาดดนในมมมองดานบน ก าหนด

หนวยวดตาง ๆ (units) ทใชในการค านวณ และก าหนดคาพารามเตอรของหนาตางงาน (view

port)

Parameters

ส าหรบก าหนดคาพารามเตอรของวสด (materials) ในแบบจ าลอง ไดแก ดนและ

การซมน า เปนตน

Boundary Condition

ส าหรบก าหนดเงอนไขคาเรมตนในการค านวณทงกรณการวเคราะหความเคนความเครยด และการไหลซมของน าผานดน

Execute

ส าหรบการด าเนนการประมวลผล ไดแก

- Discretization คอการแบงลาดดนเปนเอลเมนตยอย

- Force Only คอการประมวลผลคาความเคนและความเครยด

- Principle Stress คอคาความเคนหลก

- Yield Function คอคาฟงกชนความครากโดยสามารถเลอกฟงกชนความครากไดตามตว

แบบของ Von mises, Drucker-Prager, Lade-Duncan, Matsuoka-Nakai หรอ

Houlsby

Help

ส าหรบแสดงคมอการใช และระบบชวยเหลอผใช

สวนด าเนนการและแสดงผล (operation and output)

สวนด าเนนการและแสดงผลคอสวนส าหรบการด าเนนการเกยวกบการเลอกจด (vertex) หรอเอลเมนตของลาดดน การก าหนดเงอนไขของจดรองรบ (support vertex) การ

ก าหนดแรงทกระท าบนจดใด ๆ บนลาดดน รวมถงการแสดงผลทงในรปแบบภาพกราฟก (graphics) และตารางคา (table) สวนด าเนนการและแสดงผลประกอบดวย 4 สวน ไดแก

- สวนแสดงผลแบบภาพกราฟก (graphics)

- สวนด าเนนการและแสดงขอมลจด (vertices)

134

- สวนด าเนนการและแสดงขอมลเอลเมนต (elements)

- สวนแสดงรายงาน (report)

สวนแสดงผลแบบภาพกราฟก (graphics)

สวนแสดงผลแบบภาพกราฟก คอสวนด าเนนการและแสดงพนผวของลาดดน

รปท 3 สวนแสดงผลแบบภาพกราฟก

จากรปท 3 สวนแสดงผลแบบภาพกราฟกแบงเปน 3 สวน ไดแก

- สวนมมบนดานซาย แสดงภาพลาดดนในมมมองดานบน ดงรป 4

รปท 4 แสดงภาพลาดดนในมมมองดานบน

- สวนมมลางดานซาย แสดงภาพลาดดนในมมมองดานขางหรอมมมองดานหนา ดงรปท 5

135

รปท 5 ภาพลาดดนในมมมองดานขาง และดานหนา

ผใชโปรแกรมสามารถเลอกใหโปรแกรมแสดงภาพดานขางหรอดานหนาของลาดดนไดโดยการเลอก radio box ดงรป 6

รปท 6 radio box ส าหรบเลอกแสดงมมมองของลาดดนบนสวนมมลางดานซาย

ภาพของลาดดนทแสดงบนมมมองดานขางหรอดานหนานนคอภาพของหนาตดลาดดนทตดโดยระนาบทมเวกเตอรปกตทตงฉากกบระนาบ XY และ YZ ทแสดงดวยเสนสแดงและสน า

เงนตามล าดบ ดงรปท 7

- สวนดานขวา แสดงภาพลาดดนในมมมองทศนยภาพ ดงรปท 7

รปท 7 ภาพลาดดนในมมมองทศนยภาพ

136

การแปลง (transformation) ภาพของลาดดนในมมมองนสามารถควบคมโดยใช

เมาส (mouse) ดงน

- การหมน (rotation) ด าเนนการโดยกดปมเมาสดานซาย (left click)

- การเลอน (pan) ด าเนนการโดยกดปมเมาสดานขวา (right click)

- การยอ – ขยาย (zoom in – zoom out) ด าเนนการโดยกดปมเมาสทงสองขาง (left &

right click)

2. สวนด าเนนการและแสดงขอมลจด (vertices)

สวนด าเนนการและแสดงขอมลจด คอสวนส าหรบเลอกจด หรอก าหนดแรงทกระท าบนจดใด ๆ บนลาดดน ประกอบดวย 2 สวน ดงรปท 8

2.1. ตารางส าหรบเลอกและแสดงขอมลจด (vertices table) ประกอบดวย

- Vertex ID

- พกดบนระนาบ 3 มต

- ประเภทจด ม 3 ประเภทคอ จดบนพนผว (surface) จดภายใน (interior) จดฐาน

(base)

- แรงทกระท า (action force)

- การกระจด (displacement)

- คาฟงกชนความคราก (yield function)

รปท 8 สวนด าเนนการและแสดงขอมลจด

137

2.2. สวนก าหนดแรง การกระจดส าหรบเงอนไขคาเรมตน

รปท 9 สวนก าหนดแรง และการกระจด

เมอเลอกจดทม Vertex ID ใด ๆ แลวบนสวนแสดงกราฟกจดทเลอกจะถกท าเครองหมายสแดง

รปท 10 การเลอกจดบนสวนด าเนนการและแสดงจดทเลอกดวยเครองหมายกากบาทสแดง

138

3. สวนด าเนนการและแสดงขอมลเอลเมนต (elements)

คอสวนส าหรบเลอกและแสดงขอมลเอลเมนตบนลาดดน ดงรปท 11

รปท 11 สวนการด าเนนการและแสดงขอมลเอลเมนต (elements)

4. สวนแสดงรายงาน (report)

สวนแสดงรายงาน คอสวนแสดงผลขอมลของจด เอลเมนต ผลการค านวณไดแก คาความเคนและความเครยด การกระจดของจดใด ๆ ในรปแบบของขอมลตวเลขทสามารถน าออก (export) ไปใชรวมกบโปรแกรมประมวลผลอน ๆ ได ดงรปท 12

รปท 12 สวนแสดงรายงาน (report)

139

5. สวนแสดงสถานะโปรแกรม (program status)

สวนแสดงสถานะโปรแกรม คอสวนแสดงสถานการณท างานในกระบวนการตาง ๆ ของโปรแกรม ไดแก แสดงต าแหนงขอมลจากไฟลขอมลทถกอานเขามาในโปรแกรม ขนาดของขอมล คาพารามเตอรทผใชก าหนด สถานะของการค านวณวาอยในขนตอนใด ดงรปท 13

รปท 13 แสดงสวนแสดงสถานโปรแกรม (program status)

6. การใชโปรแกรมค านวณคาฟงกชนความคราก การค านวณคาฟงกชนความครากโดยโปรแกรม SoilFE 1.0 ด าเนนการตาม

ขนตอนดงน

1. เปดโปรแกรม SoilFE 1.0 เลอกเมน File Open แลวเลอกไฟลขอมลลาดดนใน

หนาตาง Open file ดงรป 14

รปท 14 หนาตาง Open existing file

2. Drag mouse เพอเลอกพนทของลาดดนบนหนาตาง Map Image แลวคลก OK แสดง

ดงรปท 15

140

รปท 15 หนาตาง Map Image

3. ภาพของลาดดนทเลอกตามขอท 2 จะปรากฏบนสวนแสดงผลภาพกราฟก ทงมมมองดานบน

ดานขาง และมมมองทศนยภาพ ผใชสามารถเลอกสวนหนาตดใดใหแสดงบนมมมองดานขางโดยการใชเมาสเลอนทระนาบตดสน าเงนบนมมมองทศนยภาพ ดงรป 16 (ก) และ (ข)

(ก)

(ข) รปท 16 (ก) ภาพตดลาดดนดานขาง และ (ข) แสดงภาพตดลาดดนดานขาง

141

และเมอเลอนระนาบตดสแดงบนมมมองทศนยภาพ ภาพหนาตดดานหนาจะถกแสดง ดงรปท 17

รปท 17 แสดงภาพตดลาดดนดานหนา

4. แบงลาดดนเปนสวนเอลเมนตยอย จากรปท 4.20 แสดงภาพลาดดนทตองการวเคราะห

รปท 18 ลาดดนทตองการวเคราะห

เลอกค าสง Execute Discretization จะปรากฏหนาตาง Discretization Properties ดง

รปท 19

รปท 19 แสดงหนาตาง Discretization Properties

ก าหนดรอบของการแบงเอลเมนตยอย (iteration)

142

กรณ Iteration = 0 ดงรปท 20

รปท 20 แสดงภาพลาดดนทแบงเปนเอลเมนตยอยโดยการก าหนดคา Iteration = 0

กรณ Iteration = 1 ดงรปท 21

รปท 21 แสดงภาพลาดดนทแบงเปนเอลเมนตยอยโดยการก าหนดคา Iteration = 1

5. ก าหนดคาพารามเตอรของดน โดยเลอกเมนค าสง Parameter Soil จะปรากฏ

หนาตางงาน Soil Properties ดงรปท 22

รปท 22 แสดงหนาตางงาน Soil Properties

143

ในทนไดก าหนดคาพารามเตอรของดนดงน

ตารางท 1 พารามเตอรของดน

Parameter Value Unit

modulus of elastic 10 MPa

dry unit weight 16 kN/m3

permeability 54 Mm/hr

Poisson ratio 0.35 -

porosity 0.33 -

bulk modulus of soil solid particle 56.7 GPa

bulk modulus of the pore fluid 2.16 GPa

6. ก าหนดคาพารามเตอรปรมาณน าในดน โดยเลอกเมนค าสง Parameter Water จะ

ปรากฏหนาตางงาน Soil Properties ดงรปท 23

รปท 23 แสดงหนาตางงาน Water Properties

ส าหรบกรณทมการแบงเอลเมนตยอยของลาดดน ลาดดนจะถกแบงเปนแผนในแนวระดบในทนเรยกวา Layer ถาก าหนดคา Iteration = 1 ลาดดนจะม 2 Layer ไดแก Layer 0 และ

Layer 1 โดยท Layer 0 จะเปนพนผวลาดดนชนบนสด และ Layer 1 จะเปนพนผวลาดดนชนถด

ลงมา ดงรปท 24 การก าหนดคาพารามเตอรปรมาณน าในดน โดย Layer 0 ก าหนดใหมคา Water

Content = 0.35 และ Layer 1 ก าหนดใหมคา Water Content = 0

144

รปท 24 ลาดดนทถกแบงเปน 2 Layer

7. สมมตใหทจดสแดงบนลาดดนมแรงกระท าขนาด 1 KN. ดงรปท 25 (ก) แลวค านวณความ

เคน ความเครยด และการกระจด โดยเลอกเมน Execute Force Only จะปรากฏผล

ดงรปท 26 (ข)

(ก)

(ข)

รปท 25 (ก) ลาดดนกอนทแรงกระท า และ (ข) ลาดดนหลงจากแรงกระท า

รปท 26 แสดงการกระจดตามแกน x, y และ z เทากบ -1.610-1, 1.45 และ -2.6910-11

เมตร ตามล าดบ

145

รปท 26 ตารางแสดงขอมลของจดยอดใด ๆ

ถาสมมตใหมแรงมากระท ากบลาดดนขนาด 11018 KN. ทจดสแดงดงรปท 27

รปท 27 ลาดดนกอนถกแรงกระท า

เมอค านวณคาความเคน ความเครยด และคาการกระจด โดยเลอกเมน Execute

Force Only จะปรากฏผลดงรปท 28 – 32

146

รปท 28 ภาพลาดดนดานขางกอนถกแรงกระท า

รปท 29 ภาพลาดดนดานขางภายหลงจากถกแรงกระท า

147

รปท 30 ลาดดนดานหนากอนถกแรงกระท า

รปท 31 ภาพลาดดนดานหนาภายหลงจากถกแรงกระท า

148

รปท 32 เปรยบเทยบลาดดนกอน (ซาย) และหลง (ขวา) ทแรงมากระท า

8. การหาคาความครากของจดใด ๆ ของลาดดน โดยใชฟงกชนความครากของ Houlsby

เลอกเมน Execute Failure criteria Houlsby Model ดงรปท 33 – 35

รปท 33 คาฟงกชนความครากของลาดดนดานขาง

149

รปท 34 คาฟงกชนความครากของลาดดนดานหนา

รปท 35 คาความคราก โดย Houlsby Model ของลาดดนดานขาง (ซาย) และดานหนา (ขวา)

จากรปท 35 ท าใหทราบวาพนทบรเวณทมสแดงเปนสวนทมคาฟงกชนความคราก

เขาใกล 1 นนคอพนทบรเวณดงกลาวมเกณฑทจะเกดการวบตมากทสด

150

ภาคผนวก ค

151

Numerical Algorithm for Simulation and Visualization of

Landslide by Water Content and Slope Factors

Kunnapon Thumhiwaid1, Somporn Chuai-Aree

2 and Aniruth Phon-On

3

1,2,3Department of Mathematics and Computer Science,

Faculty of Science and Technology, Prince of Songkla University,

Pattani Campus, Pattani, Thailand C

E-mail: t_kunnapon@yahoo.com; Fax: +66 73 312179; Tel. +66 8 7478 3378

ABSTRACT

In this research, we propose a mathematical model for analyzing the soil structure by

water content and slope factors that affect to the landslide problem. A deformation of

slope is the result of external forces. A distribution of stress that occurs along the slope

and slope failure criteria are based on mathematical model and computed using the

finite element method. The numerical solution shows the result from mathematical

model, algorithm and visualization in three-dimensional space by the investigated

software namely SoilFE version 1.0 programmed by Lazarus software and OpenGL

library. SoilFE 1.0 can analyze the shear strength along slope and landslide evaluation.

This research can be applied for other regions. An application of this numerical

method could be see that a foot of the hill has a yield more than upland and other area so

that this area has the most opportunities to fail. It could be see that the yield varies

according to the water content.

Keywords: Landslide, Groundwater Flow, Finite Element Method, Simulation and

Visualization.

1. INTRODUCTION

Landslides in mountainous terrain often occur during or after heavy rainfall, resulting in the

loss of life and damage to the natural and built environment [19]. Landslide means that part of

the soil shears and declines overall oriented the free surface along the slope [21]. The sloped

stability is a result of shears strength in soil profile. The shear strength of soil is the maximum

shear force resistance properties that still stable without failure or collapse [8]. The behaviour of

the unsaturated soil on the natural slope can be changed by the amount of water in the soil. It

means when the water content increases in the soil, soil suction is reduced and the shear strength

of the soil is also decreased [7]. The rainfall rate also affects to the rise of groundwater levels and

increases the pore water pressure. It causes the failure of the slope [3]. The analysis of soil

mechanics problem, especially the slope stability analysis is very complicated since the soil

properties are heterogeneous substances and granular material. When water flows into the soil,

the weight of the soil and water pore pressure are increased but cohesion and friction are

decreased. The numerical method can be used to solve and describe this complicated issue. It

152

helps to analyse the water flow in soil profile and soil stability. Computer simulation and

visualization are the tools for supporting people to understand this problem.

Previously, the research of landslides geology disaster, mainly based on mathematical

physics [21], combines with Traditional statics [11-18], modern rock mechanics [19, 20],

modern mathematical mechanics and nonlinear science theory. Researching with the aid of

two-dimensional planar graph, simple 3D modeling and 2D topographic analysis can’t

provide Image description for Landslide. It is not conducive to in-depth analysis and control

strategies of landslide disaster.

The main objective of this paper is to propose a numerical algorithm based on finite element

method. It would be used for simulation including a groundwater flow, deformation of slope,

distribution of stress and failure criteria. The numerical solution would be shown a yield that

depends on the water content for a failure evaluation. We simulate and visualize a soil slope by

the SoilFE 1.0 that we develop.

2. THEORY AND RELATED WORKS

In this section, we review the basic ideas behind the construction of generalized finite element

approximations in a three-dimensional (3D). The mathematical model of groundwater flow in

steady state was obtained by using the principle of mass conservation and the Bernoulli’s

equation. The theory of elastic material in geotechnical engineering that they include equilibrium,

compatibility, orthogonal strain and constitutive law would be used in analysing for the soil

shear strength. And we assessment a slope failure with a yield criterion of soil is Drucker-Prager

model.

Groundwater Flow Model

This model is used to calculate h be a potential energy or water head in arbitrary position in

soil. Assume that the soil permeability in x, y and z are kx, ky and kz respectively. Let vs be the

water supply rate and vd be infiltration capacity. This gives [22]

2 2 2

2 2 20x y z s

h h hk k k v

x y z

(1)

with two following boundary conditions

,h h

0,x y z d

h h hk k k v

x y z

x y zn n n

where h is a head on a soil surface and ( , , )x y zn n nn is an unit normal vector of soil surface.

Shear Strength of Soil Model

Let ,x y and z be a normal stress in the x, y and z axis respectively, yx and zx be

shear stress in the direction x and act on a plane that has a normal vector in direction y and z

153

respectively, , ,xy zy xz and yz be similarly described, ,x y and z be normal strain in the

direction x, y and z axis respectively, ,yz xz and xy be a shear strain on a plane that has a

normal vector in the direction x, y and z respectively, ,x y and z be a unit weight in the

direction x, y and z axis respectively, ,u v and w represent a displacement function in

direction x, y and z respectively, E represent a modulus of elastic and let represent a

Poisson’s ratio . In [1] as follows:

A. Equilibrium

0,yxx zx

xx y z

0,xy y zy

yx y z

0,yzxz z

zx y z

, ,xy yx xz zx yz zy

B. Compatibility

xx

u, y

y

v, ,z

z

w

xyx y

v u, xz

x z

w u, yz

y z

w v

and compatibility condition

2 2 2 22 2 22 2

2 2 2 2 2 2, ,

xy y yz yx xz xz z

x y x y x z x z y z y z

C. Orthogonal Strain

2 1,

2

yz xyx xz

y z x x y z

21

,2

y yz xyxz

x z y x y z

2 1

2

yz xyxzz

x y z x y z

154

D. Constitutive law

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 20 0 0 0 0

21 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

E

(2)

Write in abbreviated form as follows:

.Dε (3)

The Slope Failure Criteria

A yield surface is a yield function based on an elasto-plastic model that described a soil

aspect in drained condition [4]. The analysis was soil drainage is analyzed in terms of stress in

the soil when the water was drained out. Thus, analyses of soil used in this condition are

effective stress. And the model used to describe the nature of the soil under the water as a

Drucker-Prager model [10] has a yield function f as follows:

23 ( )( cot ) 0.f J M p c (4)

The configuration of the M models may be selected from the soil under the following

conditions. The three-axis compression testing = -30 is given by

6sin

( )3 sin

cM M

(5)

and the three-axis tensile testing = -30 is given by

6sin

( ) .3 sin

EM M

(6)

The Drucker-Prager yield surface is a cone surface. It is in a principle stress space

according to the ,p where 1 2 3

3p

is called an effective mean stress that is

increased according to a hydrostatic axis, 2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1( ) ( ) ( )

6J is

called an effective second stress invariants, 1, 2 and 3 be an effective principal stress, c

be an effective cohesion intercept and let be an effective internal friction.

155

3. COMPUTATIONAL METHOD

Modeling and Discretization

In this research, we conduct a terrain data to build a finite element model of soil slope by

triangulation method and divide a model into rectangular elements and tetrahedron

respectively. Let the rectangular element consist of 8 vertices as A, B, C, D, E, F, G and H

that are divided into 5 tetrahedron elements shown in figure 1.

Figure 1. The rectangular is divided into 5 tetrahedron elements

Finite element Equation

The slope model is discretised to be tetrahedral elements that it is shown in figure 2.

Figure 2. The tetrahedral element

Assume that a tetrahedron element is composed of four vertices including P(xP, yP, zP), Q(xQ,

yQ, zQ), R(xR, yR, zR) and S(xS, yS, zS). We obtain a matrix X,

1

1.

1

1

P P P

Q Q Q

R R R

S S S

x y z

x y z

x y z

x y z

X

156

Groundwater Flow Equation:

The finite element equation from the groundwater flow based on equation (30) is obtained by

the variation method as follows:

.w wf k h (7)

A total force of groundwater flow fw can be expanded as below

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1{ } ,

1 0 1 1 13 4

0 1 1 1 1

P Q R

P Q Sd sw w

R P S

Q R S

A

Av vV

A

A

f (8)

where ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ), ,P Q R P Q S R P S Q R SA A A and A are triangle areas of PQR, PQS, RPS and

QRS respectively.

Let wk be a stiffness matrix of permeability, where

12 22 32 42 12 22 32 42

13 23 33 43 13 23 33 43

14 24 34 44 14 24 34 44

0 01

0 0 ,36

0 0

T

x

w y

z

c c c c k c c c c

c c c c k c c c cV

c c c c k c c c c

k (9)

where ijc is a cofactor of X and

{ } .T

P Q R Sh h h hh (10)

The rate of water flow which flows through soil element is given by

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

0 0

0 0 .

0 0

P

x

Q

y

R

z

S

hk c c c c

hk c c c c

hk c c c c

h

v (11)

The water volume which flow through soil element per unit time is given by

1

V ( )2

wS

A

v n (12)

and the soil weight is given by equation (127),

d w wW V 1– n 1 w V , (13)

when wV is a water volume in soil, and w is a unit weight of water at temperature 4 degrees

centigrade and pressure 1 atm. approximately 39.81 10 newton per cubic meter.

Shear Strength of Soil Equation:

The shear strength of slope analysis must consider a relation between stress and

strain. And a finite element equation is obtained by the minimum potential energy given by

157

.s sf k d (14)

All forces acting on the element are given by

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 ,4

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

T

x

s y

z

V

f P (15)

where ,x y and z are units weight of a soil element in direction x, y and z respectively, P

is an external force that it is act in a soil surface and ks represent stiffness matrix is given by

,T

s Vk B DB (16)

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

12 13 22 23 32 33 42 43

12 14 22 24 32 34 42 44

13 14 23 24 33 34 43 44

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0,

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c c c c c

c c c c c c c c

c c c c c c c c

B

where ijc is a cofactor of X and

{ } .T

P P P Q Q Q R R R S S Sd u v w u v w u v w u v w

By [3] while deforming of soil, both a pressure in solid phase and fluid phase are

varied by a strain change thus in equation (3) is a total stress. In 1959 Bishop issues a unit

effective force of unsaturated soil. That is an equation is defined as follows:

,f u (17)

where represent Effective Stresses and fu represents Pore Fluid Pressure. A relation

between a fluid pore pressure fu and a strain have been respected this equation.

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

xf

yf

zf

exy

xz

yz

u

u

uK

Write in abbreviated form as follows:

f fu D ε, (18)

where fD represent a pore fluid stiffness matrix and eK represent an equivalent bulk modulus

of pore fluid. And it is following.

158

,(1 )

s f

e

s f

K KK

K n K n

(19)

where sK represent a bulk modulus of soil solid particle, fK represent a bulk modulus of the

pore fluid and n represent porosity of soil. From equations (3), (17) and (18) we obtain a total

stress equation.

( )f f u D D ε (20)

From an equation (3) we obtain D from

.f D D D (21)

Algorithm

We conduct above these theories for a simulation and visualization to assessment slope

stability. The concrete steps are as follows:

1. Create the finite element model,

1.1 Use terrain data to create a soil surface and generate it to a soil volume,

1.2 Divide the soil volume into rectangular elements and tetrahedron, respectively,

1.3 Calculate a surface area and volume,

2. Simulate the groundwater content,

2.1 Initialize and determine boundary conditions,

2.2 Determine a water flow force and permeability matrix for each element by equation (8)

and equation (9), respectively,

2.3 Create a water flow force and permeability matrix of model,

2.4 Create equation (7) and solve it determining a head which is an equation (10),

2.5 Use the solution from step 2.4 to calculate velocity of a water flow through each

element and replace to equation (121) will obtain a flow rate,

2.6. Use the result from step 2.5 replace to equation (126) in order to calculate a quantity

through element per unit time, weight of water by equation (127) and water content,

respectively,

3. Simulation shears strength of soil,

3.1 Initialize and determine boundary condition,

3.2 Determine an external force and stiffness matrix for each element by equation (169)

and equation (16), respectively,

159

3.3 Create an external force and stiffness matrix of model,

3.4 Create equation (14) and solve it determining a displacement matrix,

4. Calculate a principle stress by the eigenvalue method,

5. Determine a yield by equation (4).

4. APPLICATION OF THE NUMERICAL METHOD AND DISCUSSION

In this section, simulation and visualization in the study were investigated by using the

Lazarus programming namely SoilFE 1.0 software. We would be simulated and visualized

including the groundwater flow, deformation and yield. They are proposed as follows.

Groundwater Flow Simulation

Finite Element Model:

The terrain data used in this study that it was collected during the Shuttle Radar

Topography Mission (SRTM) with an approximate resolution of 90 by 90 meters [9]. We

choose a data area from 6.683 to 6.693 degrees north latitude and 100.745 to 100.752 degrees

east longitude which it has an area about 0.5184 square kilometers. The modeling is created

with this terrain data that it is divided into 8 by 8 sub-areas. The parameters of the soil are the

modulus of elastic as 10 MPa, Poisson’s ratio as 0.35, dry unit weight as 16 kN/m3, porosity as

0.33, Permeability as 54 mm/hr, bulk modulus of soil solid particle as 56.7 GPa and bulk

modulus of the pore fluid as 2.16 GPa. It is demonstrated in figure 3.

(a) (b)

Figure 3. The terrain model for the groundwater flow simulation

This simulation would be shown a groundwater flow feature, relationship of rainfall

intensity and average of water content, a distribution of water content data, relationship of a

water content and failure criteria. They will show that this numerical method provides a result

that it can show the slope stability depend water content.

Boundary Conditions:

A rainfall was applied on the soil surface and drain out of model through side and bottom.

160

Result:

Simulation and visualization of the groundwater flow in terrain that are received a rain.

Simulation shows the results by determining the level of rainfall intensity as 10 mm/hr lasting 72

hours and drain 5 mm/hr. We found that for each a front plane section shows the lowland area

has higher water content than the above highland area caused by gravitational force that it show

in figure 4.

No Front Plane Section Perspective View

1

2

3

4

5

Figure 4. The groundwater flow simulation in each a front plane section

An average of water content when rainfall intensity from 10-100 mm/hr lasting 72 hours with

drain as 1, 10, 20, 30 and 40 mm/hr are changed by rainfall intensity demonstrated in figure 5.

161

Figure 5. Relationship of a rainfall intensity and average of water content

Figure 5 shows trends of average of water content which it depends on rainfall intensity with a

constant drain rate. If the rainfall intensity increase, the average of water content increase. On the

other hand, trends of average of water content which it depends on drain rate with constant

rainfall intensity. If the drain rate increase, the average of water content decrease.

Figure 6. Relationship of an average of water content and a number of elements

Figure 6 illustrates 92% of elements have an average of water content less than 20% and the

most elements have an average of water content about 0.0 – 1.0 % when rainfall intensity from

10, 50 and 100 mm/hr lasting 72 hours with drain as 1 mm/hr. However this relation depends on

topography and water content.

The Drucker-Prager model that it is a failure criterion would be used to evaluate the slope

stability. Parameters of this criterion are cohesion intercept as 0 and angle of internal friction as

30 degrees.

4.50

4.70

4.90

5.10

5.30

5.50

5.70

5.90

6.10

6.30

6.50

0 20 40 60 80 100 120

Avera

ge o

f W

ate

r C

on

ten

t (%

)

Rainfall Intensity (mm/hr)

1 mm/hr

10 mm/hr

20 mm/hr

30 mm/hr

40 mm/hr

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5

Ele

men

ts (

%)

Average of Water Content (%)

10 mm/hr

50 mm/hr

100 mm/hr

162

Figure 7. Relationship of a rainfall intensity and average of failure criteria

From figure 7 we observe that an average of failure criteria also depend on a rainfall

intensity which is as same as an average of water content in figure 5.

Deformation and yield Simulation

In this simulation, we would like to show a slope deformation and yield which they are a

result of an external force act and water content.

Finite Element Model:

We choose a data area that it is sub-area from the groundwater flow simulation. It is an

area from 6.685 to 6.689 degrees north latitude and 100.745 to 100.748 degrees east longitude

which it has an area about 0.1296 square kilometers. The modeling is created with this terrain

data that it is divided into 4 by 4 sub-areas. It is demonstrated in figure 8.

(a) (b)

Figure 8. The terrain model for the deformation and yield simulation

The parameters of the soil are the modulus of elastic as 10 MPa, Poisson’s ratio as 0.35, dry

unit weight as 16 kN/m3, porosity as 0.33, Permeability as 54 mm/hr, bulk modulus of soil solid

particle as 56.7 GPa, bulk modulus of the pore fluid as 2.16 GPa, Cohesion Intercept as 0 and

angle of Internal Friction as 30 degrees.

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

0.30

0.32

0.34

0 20 40 60 80 100 120

Avera

ge o

f F

ail

ure C

rit

eria

Rainfall Intensity (mm/hr)

1 mm/hr

10 mm/hr

20 mm/hr

30 mm/hr

40 mm/hr

163

Boundary condition:

Assume that model sides (front, back, left and right) are supported by a roller and model

bottom is supported by link.

Result:

The simulation is shown that if an external force with magnitude as 10, 50, 100, 500 and 900

PN act a soil slope, a soil slope will be deformed as we can see in Table 1.

Table 1.Compare the deformation and yields are the result of external force

Force Cross-sectional area Perspective View

F

Front View

Side View

10 PN

Front View

Side View

164

Table 1.Compare the deformation and yields are the result of external force (Cont.)

Force Cross-sectional area Perspective View

50 PN

Front View

Side View

100 PN

Front View

Side View

500 PN

Front View

Side View

165

Table 1.Compare the deformation and yields are the result of external force (Cont.)

Force Cross-sectional area Perspective View

900 PN

Front View

Side View

Table 1 shows the result after given the external force with the magnitude 10, 50, 100, 500

and 900 PN in vertical direction that compress on the red point of the sloping soil surface. A red

area has the most yields which causes a highest risk to fail.

In order to facilitate the implementation of the calculated shear strength to the assessment of

failure of the slope, we used the Drucker-Prager model for explaining the behaviour of soil and

evaluate the yield strength. A result of calculation is shown with an equipotential line and surface

in red, indicating the areas which high shear and high risk of failure.

Table 2. An equipotential line and surface show a result from a calculation with the

Drucker-Prager failure criteria.

Case (i) (ii)

Water Content

Yield

Table 2 shows the results of the calculations including case (i) we define rainfall intensity 10

mm/hr and drain 1 mm/hr and case (ii) we define rainfall intensity 50 mm/hr and drain 5 mm/hr.

166

Case (i) has a result including an average of water content as 5.9510-2 and an average of yield

as 4.43 10-3

and case (ii) has a result including an average of water content as 1.6610-1 and

an average of yield as 5.15 10-3

. They are shown that in case (ii), the soil slope is received a

rainfall intensity more than case (i). Which means that case (ii) has more an average of yield than

case (i) therefore case (ii) has to fail more than case (i).

5. CONCLUSION

The slope stability depending on water content and slope factor has been studied by using

the groundwater flow model, shear strength and Drucker-Prager model and all models are

derived and implemented by finite element method. The numerical solution illustrates the water

flow in the soil slope. From figures 4-7, it could be see that a foot of the hill has a yield more than

upland and other areas so that this area has the most opportunities to fail. Moreover, also the

upland and lowland area are in neighbourhood of it are affected. Likewise, (Table 1 and 2) the

result of this simulation shows that the yield varies according to the water content as if rainfall

intensity increases, these areas will raise opportunities to fail.

REFERENCES

1. Phutcharoenthong, D., The Analysis with Finite Element Method, Pimdee, Bangkok,

1998.

2. Tunmung, P., Science and Technology, 2015, 96, 184-196.

3. Xinpo, L., Chenghua, W., and Jun, X., Wuhan University Journal of Natural Science,

2006, 11, 825-828.

4. Likitlersuang, S., Finite Element Method in Geotechnical Engineering, Chulalongkorn

University Press, Bangkok, 2007.

5. Likitlersuang, S., Soil Mechanics: Plasticity and Critical State Theory, Chulalongkorn

University Press, Bangkok, 2010.

6. Thaiyuenwong, S., National Conferences Civil Engineer, 2012, 17, 1-9.

7. Mairaing, W., Research Seminar for Highway Development, 2005, 1-7.

8. Yooyongwattana, W., Soil Mechanics, 3th edition, Forepace, Bangkok, 2005.

9. Web Gis, URL: http://www.webgis.com/srtm3.html, June 15, 2016.

10. Drucker, D.C., ASME, Proceedings of the 1st U.S. National Congregation of Applied

Mechanics, 1951, 1, 487-491.

11. Potts, D.M., and Zdravković, L., Finite Element Analysis in Geotechnical Engineering:

Theory, Thomas Telford, New York, 1999.

12. Houlsby, G.T., Soils and Foundations, 1986, 26, 97-101.

13. Cascini, L., Cuomo, S., Pastor, M., Sorbino, G., and Piciullo, L., Landslides and

Engineered Slopes: Protecting Society through Improved Understanding –Eberhardt et

al. (eds), 2012, 1723-1729.

14. Matsuoka, H., and Nakai, T., Proceedings of JSCE, 1974, 232, 59-70.

15. Popa, H., and Batali., WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics,

2010, 5, 177-186.

167

16. Georgiadis, K., Ph.D. Thesis, University of London, London, 2003.

17. Lade, P.V., and Duncan, J.M., Proceedigs ASCE, Journal Soil Mechanics and

Foundation Division, 1975, 99, 1975, 421-427.

18. Hassani, R., Ionescu, I.R., and Lachand – Robert, T., Annals of University of Craiova,

Math. Comp. Sci. Ser., 2004, 32, 158-169.

19. Pareta, K., and Pareta, U., International Journal of Science and Technology, 2012, 2,

91-104.

20. Chung, C.J. F., and Fabbri, A. G., Photogrammetric Engineering and Remote Sensing,

1999, 65, 1389-1399.

21. Weihua, H., and Yanyun, L., Journal of Theoretical and Applied Information

Technology, 2012, 46(1), 445-452.

22. Ross, C. T.F., Finite Element Methods in Engineering Science, Wiltshire: Ellis

Horwood, New York, 1935.

ACKNOWLEDGMENTS

We would like to thank the department of Mathematics and Computer Sciences for their

assistance and guidance as well as Pattani Bay Watch (PB Watch) at the Prince of Songkla

University, Pattani campus. Also the creative area-based collaborative research development

project for Songhla province and the southern Thailand empowerment and participation:

STEP for financial support.

168

ประวตผเขยนวทยานพนธ

ชอ-สกล นายกณณพนต ธรรมหเวศ

รหสประจ าตวนกศกษา 5520320701

วฒการศกษา

วฒ ชอสถาบน ปทส าเรจการศกษา

ปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตหาดใหญ

2541

ทนการศกษา 1. ทนสนบสนนคาธรรมเนยมการศกษาระดบปรญญาโท กองทนวจยคณะวทยาศาสตรและ

เทคโนโลย มหาวทยาสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน 2. ทนสนบสนนการวจย โดยโครงการเสรมสรางความเขมแขงและการมสวนรวมในภาคใตของ

ประเทศไทย STEP

3. ทนอดหนนการวจยเพอวทยานพนธ ประจ าป 2556 โดยโครงการความรวมมอเพอการพฒนาเชง

พนทจงหวดสงขลาแบบสรางสรรค (MOU ม.อ. – สกว.) มหาวทยาลยสงขลานครนทร

4. ทนสนบสนนผชวยวจยเพอศกษาในระดบบณฑตศกษาหลกสตรของมหาวทยาลยเครอขาย ประจ าป 2559 ศนยความเปนเลศดานคณตศาสตร (CEM)

การตพมพเผยแพรผลงาน

K. Thumhiwaid, S. Chuai-Aree and A. Phon-On. “Numerical Algorithm for

Simulation and Visualization of Landslide by Water Content and

Slope Factors” Proceedings of the 20th International Annual

Symposium on Computational Science and Engineer, 2016,

pp. 31 – 44.