aalto-yliopisto elec-a4130 sähkö ja magnetismi2. maaliskuuta 2016 24 (31) sähköpotentiaali (yf...

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Jari J. Hänninen

2015–16/IV–V

Luentoviikko 2TavoitteetSähkövaraus ja sähkökenttä

SähködipoliGaussin laki

Varaus ja sähkövuoSähkövuon laskeminenGaussin lakiGaussin lain sovelluksiaVaratut johdekappaleet

SähköpotentiaaliSähköinen potentiaalienergia

+q

r

d~A

~E

ELEC-A4130 / Hänninen2. maaliskuuta 2016

2 (31)

Luentoviikko 2 Tavoitteet

Tavoitteena on oppia

Ï laskemaan sähködipoleiden ominaisuuksiaÏ miten määritetään pinnan sisällä olevan sähkövarauksen määrä

tutkimalla sähkökenttää pinnallaÏ mitä sähkövuo tarkoittaa ja miten vuo lasketaanÏ miten Gaussin laki yhdistää suljetun pinnan läpi tulevan sähkövuon ja

pinnan sisään jäävän varausmääränÏ miten Gaussin lakia käytetään symmetrisen varausjakautuman

sähkökentän laskemiseenÏ missä varatun johteen sähkövaraus majaileeÏ miten lasketaan varausjoukon sähköinen potentiaalienergia


3 (31)

Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli

SähködipoliÏ Sähködipolissa on kaksi yhtäsuurta mutta vastakkaismerkkistä

pistevarausta (+q ja −q) etäisyydellä d toisistaanÏ Tulo qd= p on dipolimomentti; dipolimomenttivektori~p osoittaa

[määritelmän mukaan] negatiivisesta varauksesta positiiviseen päinÏ Dipoleilla voi mallintaa aineiden sähköistä vastettaÏ Esim. vedellä on pysyvä dipolimomentti (pH2O ≈ 6.13×10−30 Cm)

=⇒ hyvä liuotin =⇒ vesiliuosten kemia mahdollinen (elämä)Ï Jos dipoli asetetaan tasaiseen ulkoiseen sähkökenttään ~E,

sähködipoliin kohdistuu voima ~F =~F++~F− =~0 (ei nettovoimaa)

~E~E~E

~F+ = q~E

~F− =−q~E

+q

−q

~d

~p= q~d


4 (31)


Sähködipoliin kohdistuva vääntömomentti

Ï Voimapari ~F± ei vaikuta samaa suoraa pitkin, joten dipoliin kohdistuuvääntömomentti

Ï Kummankin voiman varsi on (d/2)sinφ, jos φ on sähkökenttävektorin jadipolimomenttivektorin välinen kulma (φ= 0 =⇒ vektoritsamansuuntaiset

Ï Kummankin voiman vääntömomentti dipolin keskikohdan suhteen on

~τ± =~r×~F± = (±~d/2)× (±q~E)= 12~p×~E,

joten kokonaisvääntömomentti~τ=~τ++~τ− on

~τ=~p×~E =⇒ τ= pEsinφ

Ï Momentti pyrkii aina kääntämään dipolin sähkökentän suuntaiseksi


5 (31)


Sähködipolin potentiaalienergiaÏ Sähkökenttä tekee työn dW, kun dipoli kääntyy kulman dφ:

dW = τdφ=−pEsinφdφ

(miinusmerkki: kenttä kääntää dipolia pienenevän kulman φ suuntaan)Ï Kokonaistyö

W =∫ φ2

φ1

(−pEsinφ)

dφ= pEcosφ2 −pEcosφ1

Ï Työ on potentiaalienergian negatiivinen muutos: W =U1 −U2; valitaansähködipolin potentiaalienergiaksi U(φ)=−pEcosφ ja tunnistetaanlausekkeessa pistetulo

=⇒ U =−~p ·~EÏ Esim. ruohonsiemenet ulkoisessa sähkökentässä polarisoituvat (saavat

dipolimomentin) ja asettuvat pitkin kenttäviivoja(minimipotentiaalienergian asentoon)


6 (31)


Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P

y

x~p

−

+

Py−d/2

y+d/2

Sähkökenttä P:ssä on ~E=Ex ı+Ey +Ezk, nyt Ex =Ez = 0 (miksi?):

Ey = q4πε0

[1

(y−d/2)2− 1

(y+d/2)2

]= q

4πε0y2

[(1− d

2y

)−2−

(1+ d

2y

)−2]


7 (31)


Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P (jatkoa)

Ï Jos yÀ d, voidaan approksimoida

(1+x)n = 1+nx+ n(n−1)x2

2+ . . .

=⇒(1− d

2y

)−2≈ 1+ d

yja

(1+ d

2y

)−2≈ 1− d

y

=⇒ Ey ≈ q4πε0y2

[(1+ d

y

)−

(1− d

y

)]= 2p

4πε0y3

Ï Siis Ey ∝ 1/y3, ja yleisesti etäisyydellä r kaukana dipolista E∝ 1/r3

Ï Vertaa: pistevarauksen E∝ 1/r2


8 (31)

Gaussin laki (YF 22) Varaus ja sähkövuo

Sähkövarauksen määrittämisestäÏ Aiemmin laskettiin sähkökenttä tunnetusta varausjakaumasta, esim.

pistevarauksen q sähkökenttä

~E= 14πε0

qr2 r

Ï Entä toisin päin: Miten otetaan selville varaus, jos sähkökenttätunnetaan? (Ja voisiko taidosta olla hyötyä?)

Ï Ajatellaan, että tuntematon varaus on kuvitteellisessa suljetussalaatikossa

Ï Mitataan testivarausta q0 käyttäen sähköistä voimaa eli sähkökenttää(vektoreita!) laatikon ympäristössä sen ulkopuolella

Ï Jos havaitaan, että 3D-kenttäkuva muistuttaa positiivisen pistevarauksenkenttää, laatikossa varmaankin on postiivista varausta

Ï Jos mittaamme kenttää pelkästään laatikon pinnalla, huomaammekenttien suunnista nopeasti, onko laatikossa positiivista vai negatiivistavarausta (varsinkin jos kenttä aina osoittaa vain ulos- tai sisäänpäin)


9 (31)

Gaussin laki (YF 22) Varaus ja sähkövuo

Sähkövuo ja pinnan sisään suljettu varaus

Ï Ympäröidään tuntematon varauskuvitteellisella pinnalla kokonaan

Ï Kuvitteellinen pinta ei vaikuta kenttäänÏ Jos kenttävektorit osoittavat pinnalla

poispäin, sanomme, että sähkövuopinnan läpi on positiivinen (kuin nestevirtaisi tilavuudesta pois); joskenttävektorit osoittavat pinnallasisäänpäin, sähkövuo on negatiivinen(sisäänvirtaus)

+q

Ω~E

Ï Jos tilavuudessa ei ole nettovarausta, sähkövuo on nollaÏ Jos lähteet ovat pinnan ulkopuolella, sähkövuo pinnan läpi on nollaÏ Sähkövuo on verrannollinen pinnan sisällä olevaan nettovaraukseen

– pinnan koko ei vaikuta (kunhan varausmäärä pysyy samana)


10 (31)

Nettosähkövuo

Useamman varauksen yhteiskenttä tai -vuo lasketaan superpositiolla(huom.: tässä nuolien määrä on tärkeä; suunnat ja pituudet ovat viitteelliset)

+q

+q +q−q−q

+q

+q +q Kentän vuo ulospäin

= +−q−q

Kentän vuo sisäänpäin

Gaussin laki (YF 22) Sähkövuon laskeminen

NestevirtausanalogiaTilavuusvirta (engl. volume flow rate) pinnan A läpi

~v

A

TilavuusvirtadVdt

= vA

A⊥

pinta-alavektori ~A=Ann

~v

A

φ

TilavuusvirtadVdt

= vAcosφ︸︷︷︸=A⊥

=~v ·~A


12 (31)


Sähkökentän vuo pinnan läpi

Ï Rinnastetaan sähkökentän vuo ja nestevirtausanalogian tilavuusvirtaÏ Tasaisen sähkökentän ~E vuo suunnatun pinnan (engl. vector area)~A=An läpi on

ΦE =~E ·~A=~E ·An,

missä n on pinnan normaalivektori ja A on laakean pinnan pinta-alaÏ Vuo on verrannollinen pinnan läpi kulkevien kenttäviivojen määräänÏ Jos sähkökenttä ei ole vakio, kokonaisvuo saadaan integroimallaÏ Vuo pienen pinta-alkion d~A= ndA läpi on dΦE =~E ·d~A, joten

sähkökentän vuo

ΦE =∫~E ·d~A

Ï ”Sähkökentän vuo jaettuna pinnan alalla on yhtä suuri kuinsähkökentän normaalikomponentin keskiarvo pinnalla”


13 (31)


Esimerkki

Laske sähkökentän vuo pistevarausta q= 3.0µC ympäröivällä 0.20 m-säteisellä pallopinnalla.

+q

r

d~A

~E

Nyt ~E d~A ja E= vakio pinnalla, joten~E ·d~A=EdA:

E= 14πε0

qr2 ≈ 6.75×105 N

C

=⇒ ΦE =∫~E ·d~A=EA

= 6.75×105 NC

×4π× (0.20m)2

≈ 3.4×105 Nm2

C

(Nm2/C=Vm)


14 (31)

Gaussin laki (YF 22) Gaussin laki

Pistevaraus pallopinnan sisällä

Ï Edellisten päätelmien perusteella muotoiltu Gaussin laki sanoo, ettäsähkövuo suljetun pinnan läpi on verrannollinen pinnan sisällä olevaannettovaraukseen – täsmennetään verrannollisuus tarkastelemallakuvitteellista R-säteistä pallopintaa

Ï Pistevarauksen q kenttä etäisyydellä R on

E= 14πε0

qR2

Ï Nyt ~E d~A ja E= vakio pallopinnalla, joten kokonaisvuo

ΦE =∫~E ·d~A=EA= 1

4πε0

qR2 (4πR2)= q

ε0

Ï Vuo on riippumaton pallon R> 0 säteestä, minkä voi päätellä myöstutkimalla erisäteisten samankeskisten pallopintojen läpi kulkevienkenttäviivojen määrää


15 (31)

Gaussin laki (YF 22) Gaussin laki

Gaussin lain yleinen muotoÏ Edellistä ajatusta voi jatkaa tilanteeseen, jossa varaus ja kuvitteellinen

pallo on suljettu kokonaan mielivaltaisen muotoisen pinnan sisälle: vuoon yhä q/ε0 (koska jokaisen pintapalan voi projisioida pallolle)

Ï Kuvitteellinen suljettu tarkastelupinta on nimeltään Gaussin pintaÏ Jos Gaussin pinnan A sisällä on useita varauksia,

Qencl = q1 +q2 +q3 + . . .

ja varausten synnyttämät sähkökentät summataan (encl = engl.enclosed, ”pinnan sisällä oleva”)

Ï Saadaan integraalimuotoinen Gaussin laki

ΦE =∮~E ·d~A= Qencl

ε0

Sähkökentän kokonaisvuo suljetun pinnan läpi onpinnan sisällä oleva nettovaraus jaettuna ε0:lla.


16 (31)

EsimerkkiSähkökentän vuo suljettujen pintojen A, B, C ja D läpi

Ï Pinta A sisältää varauksen−q:

ΦE = −qε0

Ï Pinta B sisältää varauksen+q:

ΦE = +qε0

−q +q

A B

C

D

Ï Pinta C sisältää varaukset +q ja −q:

ΦE = +q−qε0

= 0

(Miten tämä suhteutuu dipolin sähkökenttään? Dipolin sähkökenttähänon nollasta poikkeava?)

Ï Pinta D ei sisällä varauksia: ΦE = 0/ε0 = 0 (miksi varauspari ei vaikuta?)

Gaussin laki (YF 22) Gaussin lain sovelluksia

Varatut johteet

Ï Gaussin laki pätee mille tahansa varausjakaumalle ja mille tahansasuljetulle pinnalle

Ï Lakia käyttäen voidaan määrittää joko varausjakauma tai sähkökenttäÏ Varatussa johteessa ylimäärävaraus (vapaa varaus) jakaantuu

pelkästään kappaleen pinnalle, päättely:

+

+

++

+

+

+

+

++

+

+

Ï Sähköstaattisessa tilanteessa varaukset eivät statiikanmääritelmän mukaisesti liiku ⇐⇒ ~Fvaraukset =~0 =⇒johteen sisällä ei ole kenttää (~E=~0)

Ï Kappaleen sisällä olevalle mille tahansa Gaussin pinnalle(katkoviiva) pätee

ΦE =∮~E ·d~A= Qencl

ε0= 0, koska ~E= 0

Ï Siten Qencl = 0 ja varaus voi olla vain johdekappaleen pinnoilla


18 (31)

Gaussin lain käyttäminenEsimerkki: varatun johdepallon kenttä

Gaussin lakia voi käyttää sähkökentän määrittämiseen, josprobleema on niin symmetrinen, että voidaan helposti valitaGaussin pinta, jolla sähkökenttä on vakiosuuruinen jakohtisuorassa pintaa vastaan niillä pinnan osilla, joillasähkökentän vuo ei häviä.

R

r

+

+

++

+

+

+

+

++

+

+

Ï Johdepallolle annettu varaus (q) asettuu pallonpinnalle, ja pallon sisäsähkökenttä on nolla

Ï Symmetrian vuoksi varaus on jakautunuttasaisesti ja kenttä on poispäin pallonkeskipisteestä (radiaalisuuntainen) sekävakiosuuruinen r-säteisellä pallopinnalla

Ï Jos Gaussin pinta on pallo r>R,

ΦE =E× (4πr2)= qε0

=⇒ E= q4πε0r2

Ï Johteen pinnalla r=R ja E(R)= q/(4πε0R2)Ï Johteen sisällä r<R ja E= 0 (Qencl = 0)

Gaussin laki (YF 22) Gaussin lain sovelluksia

Varatun johdepallon kenttä

R+

+

++

+

+

+

+

++

+

+

1R 2R 3R

Gaussin pintojen osia, r=R,2R,3R

E

r

E(R)

E(R)/4E(R)/9


20 (31)

Peruslähteiden kenttiäGaussin lain avulla johdettavia lausekkeita

Pistevaraus ~E = 14πε0

qr2 r

Ääretön viivavarausλ ~E = 1

2πε0

λ

rr

Ääretön tasovaraus σ ~E = σ

2ε0n

R-säteinen varaus-pallo (varauspilvi:tasainen varaus-tiheys 3q/(4πR3);ei johdepallo [sensisällä ~E=~0])

~E = 14πε0

qr2 r, r > R

~E = 14πε0

qrR3 r, r < R

Huomaa: Mitta r on etäisyys varauksesta (niin kuin etäisyys pisteestä tai viivasta taitasosta määritellään). Tasovarauksen kentän voisi kirjoittaa myös ~E= 1

2ε0σr0 r, r= n.

Normaalivektori n osoittaa varaustasosta poispäin molemmilla puolilla tasoa.

Gaussin laki (YF 22) Varatut johdekappaleet

Ontelo johteessa

++

++++++++++++++++

+ + + + + + + + + + + + ++

Nettovarattu johde: johteen sisällä sähkökent-tä on nolla ja varaukset ovat johteen pinnalla

++

++++++++++++++++

+ + + + + + + + + + + + ++Nettovaratussa johteessa tyhjä ontelo: Gaus-sin lain mukaisesti ontelon pinnalla ei ole va-rausta (Qencl = 0, koska ~E=~0)

++

++++++++++++++++

+ + + + + + + + + + + + ++

-------

-- - - - - -+q

Nettovaraukseton johde ja ontelossa va-raus +q: kokonaisvaraus Gaussin pinnan si-sällä on nolla (koska ~E =~0) =⇒ ontelon pin-nalla on kokonaisvaraus −q ja johteen ulkopin-nalla kokonaisvaraus +q


22 (31)

Faradayn häkkiÏ Johtava laatikko tasaisessa sähkökentässäÏ Kenttä vetää elektroneja vasemmalle

=⇒ oikealle syntyy positiivinen pintavarausÏ Tasapainossa varauskertymien välinen sähkökenttä kumoaa ulkoisen

kentän täysin häkin sisällä (jotta varauksiin kohdistuva voima on nolla)Ï Koaksiaalikaapeli, elektroniikkalaitteiden kuoret, auton kori

+ +

+ +

+ +

+

‒ ‒ ‒ ‒ ‒

E = 0

Ï Huomaa:Ï Kuvassa virhe – kenttäviivojen pitäisi osua kohtisuorasti reunoihinÏ Jotta laatikon sisällä mahdollisesti oleva varaus saataisiin piilotetuksi

ulkomaailmalta, laatikko pitäisi maadoittaa (miksi?)

Gaussin laki (YF 22) Varatut johdekappaleet

Kenttä johteen pinnalla

Ï Johteen pinnalla on pintavaraustiheys σÏ Mikä on johteen pinnalla olevan paikallisen sähkökentän ~E ja

vastaavan paikallisen pintavaraustiheyden σ yhteys?Ï Gaussin pinta = pieni sylinteri (”tonnikalapurkki”), joka on osittain

johteen sisällä ja jonka pohja on pinnan suuntainen; pohjan pinta-ala AÏ Johteen pinnalla sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa vastaan

(tasapainotilanne)Ï Vuo pinnan A läpi: ΦE =~E ·~A=E⊥A (Miksi vuo sylinterin kylkien läpi on nolla?

Miksi vuo johteen sisällä olevan Gaussin pinnan osan läpi on nolla?)

Ï Gaussin pinnan sisällä varaus on Qencl =σAÏ Gaussin laki:

E⊥A= σAε0

=⇒ E⊥ = σ

ε0

= mielivaltaisen johdepinnan paikallinen sähkökenttä


24 (31)

Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia

MekaniikkaaÏ Jos voima siirtää kappaleen pisteiden välillä a→ b, voiman tekemä työ

on viivaintegraali voimasta ja siirtymästä:

Wa→b =∫ b

a~F ·d~

Ï Konservatiivisen voiman tekemän työn voi ilmaista potentiaalienergianU avulla:

Wa→b =Ua −Ub =− (Ub −Ua)=−∆UÏ Sähkökenttä kohdistaa voiman varattuun hiukkaseen & hiukkanen

liikkuu sähkökentässä =⇒ voima tekee työtä hiukkaselleÏ Varauksen sähköinen potentiaalienergia riippuu varauksen paikasta

ulkoisessa sähkökentässäÏ vrt. massa gravitaatiokentässä

Ï Pisteen sähköpotentiaali on sähköinen potentiaalienergia(testivarauksen) varausyksikköä kohden

Ï Jännite on kahden pisteen välinen sähköpotentiaaliero


25 (31)


Sähköinen potentiaalienergia tasaisessa kentässä

Ï Positiivinen varaus q0 varattujenjohdelevyjen välissä

Ï Sähkökenttä ~E on homogeeninenÏ Sähkövoima ~F = q0~E, voimalla on

vain y-komponentti: ~F =− q0EÏ Sähkökentän varaukselle tekemä

työ on (huomaa: d~ =+ dy)

Wa→b =b∫

a

~F·d~ =−q0E(b−a)= q0Ed

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

q0~E d

a

b

y

x

Ï Työ ei riipu polusta =⇒ sähkövoima on konservatiivinen =⇒potentiaalienergia U = q0Ey ja työ Wa→b =−∆U = q0Ed

Ï U pienenee, kun varaus liikkuu voiman ~F = q0~E suuntaan


26 (31)


Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia

Ï Coulombin lain mukaan pistevarauksen qaiheuttama voima testivaraukseen q0

~F = 14πε0

qq0

r2 r

Ï q0 siirtyy a→ b:

Wa→b =rb∫

ra

~F · rdr= qq0

4πε0

rb∫ra

drr2 = qq0

4πε0

[1ra

− 1rb

]

Ï Väite: Työ ei riipu reitistä

r

~F

q

q0

a

b


27 (31)


Kaksi pistevarausta: yleinen tapaus

Ï Yleisessä tapauksessa

Wa→b =∫ rb

ra

F cosφd`

=∫ rb

ra

14πε0

qq0

r2 cosφd` q

d~

~F φ

Ï cosφd`= dr on siirtymä säteittäissuunnassa

=⇒ reitistä riippumatta Wa→b = qq04πε0

[1ra

− 1rb

]=Ua −Ub

⇐⇒ voima ~F on konservatiivinen (m.o.t.)

Ï Koska voima on konservatiivinen, järjestelmän mekaaninenkokonaisenergia (kineettisen ja potentiaalienergian summa) säilyy(toistaiseksi kineettinen energia on ollut nolla = hitaat siirrot)


28 (31)


Kahden pistevarauksen potentiaalienergiaKun testivaraus q0 on etäisyydellä r varauksesta q, olkoonpotentiaalienergia

U = 14πε0

qq0

r(→ 0, kun r→∞)

U

0 r

U0 r

q ja q0 samanmerkkiset q ja q0 vastakkaismerkkiset


29 (31)


Usean pistevarauksen potentiaalienergia

Ï Pistevaraukset q1,q2,q3, . . . etäisyyksillä r1,r2,r3, . . . varauksesta q0=⇒ q0:n potentiaalienergia

U = q0

4πε0

(q1

r1+ q2

r2+ q3

r3+ . . .

)= q0

4πε0

∑i

qi

ri

Ï Jokaisen staattisen varausjakautuman synnyttämän sähkökentänaiheuttama voima on konservatiivinen

Ï Varausten potentiaalienergian voi kirjoittaa myös

U = 14πε0

∑i<j

qiqj

rij

= summaus yli kaikkien varausparien (etäisyydet rij) siten, ettei varauksenitseisvuorovaikutusta lasketa (i 6= j) ja kunkin parin vuorovaikutuslasketaan vain kerran (i< j)


30 (31)


Potentiaalienergian tulkitseminen

Ï Tähänastinen lähestymistapa: Potentiaalienergiaero on sähkökentänvaraukselle tekemä työ, Wa→b =Ua −Ub

Ï Jos Ua >Ub =⇒ Wa→b > 0⇐⇒ Kenttä tekee positiivista työtä, kun hiukkanen ”putoaa” matalampaan

potentiaaliin

Ï Toinen lähestymistapa: Tarkastellaan, paljonko työtä ulkoinen voima~Fext tekee (”me teemme”) työtä varaukselle, kun ulkoinen voima siirtäävarausta sähkökentässä ~E pisteestä b pisteeseen a

Ï Jottei varaus saa kineettistä energiaa, sitä siirretään hitaasti, jolloin(tasapainotilanteen takia) ulkoinen voima on yhtä suuri muttavastakkaissuuntainen sähkökentän aiheuttaman voiman kanssa

Ï Tällöin erotus Ua −Ub on ulkoisen voiman varaukselle tekemä työ(huomaa: voiman suunta ja siirtosuunta ovat aiemmalle vastakkaiset =kaksi miinusmerkkiä = lopputulos samanmerkkinen)

Ï Molempia lähestymistapoja käytetään sähköpotentiaalinmäärittelemisessä


31 (31)

aalto-yliopisto elec-a4130 sähkö ja magnetismi2. maaliskuuta 2016 24 (31) sähköpotentiaali (yf...

Documents