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数学ⅡB 基礎問題精講 解説 P107|演習問題64(3)
としない!
(1),(2)の正答率はそれぞれ96.3%、74.1%あったので、(3)の解説をしていきます。
***
突然ですが、次の問題を解いてみてください。
・・・わかりましたでしょうか?
普通、 とするか とするかで迷ってしまいますよね。正解は
です。なぜこうするのでしょう?
その理由は「ルールだから」です。このようにルール決めをしなければどちらも正解になってし
まうから、数学者たちが決めたのです。
「ルートの中を計算したあと、ルートの計算をする」と。
同じようなルールに「2×3-1は、かけざんを計算したあと、割り算を計算する」というものや
「(1+3)×2は、かっこの中から先に計算をする」といったものがあります。
さて、以上を踏まえると、
解説
ポイント
x2 = x
−1( )2 =
−1( )2 = −1 −1( )2 = 1 = 1
−1( )2 = 1 = 1
x2 =
という問題があったとき、
とはしないはずです。なぜなら、もしも だった場合、
としているのと同じだからです。これはルール違反ですよね。
よって、次のような場合分けが必要なのです。
(0≦x)
(x<0)
1つの式にまとめた方がシンプルで見栄えがいいので、 と表記することもあります。
以上が理解できたら、
となったときに、
の正負で場合分けしなければならないことも理解できるはずです。
正負の分けれ道は となるような です。指数に分数があるとわかりにくいので、
と書き換えましょう。
すると、両辺に をかければ となることがすぐわかります。
よって、 で場合分けをして、
・・・となるのです。
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x2 = x
x = −1
−1( )2 = −1
x2 = x
x2 = −x
x2 = x
x2 −1 = 14
a12 − a
−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
2
a12 − a
−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
a12 − a
−12 = 0
a − 1a= 0
a
a a −1= 0
a = 1
14
a12 − a
−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
2
=
12a12 − a
−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
1≤ a( )
12a−12 − a
12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
0 < a <1( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪