ac == − - visionbook.com.tw · 第10 章平面向量 143 例d...

第 1章數與式 …………………………………………………………………………………………… 1

第 2 章 10多項式函數 …………………………………………………………………………

第 3 章 30指數、對數函數 ………………………………………………………

第 4 章 47數列與級數 …………………………………………………………………………

第 5 章 60排列、組合 …………………………………………………………………………

第 6 章 74機　率 ……………………………………………………………………………………………

第 7 章 87數據分析 …………………………………………………………………………………

第 8 章 104三　角 ……………………………………………………………………………………………

第 9 章 126直線與圓 …………………………………………………………………………………

第10章 142平面向量 …………………………………………………………………………………

第11章 160空間向量 …………………………………………………………………………………

第12章 173空間中的平面與直線 ………………………………………

第13章 185矩　陣 ……………………………………………………………………………………………

第14章 196二次曲線 ……………………………………………………………………………………

附　錄 210對話式數學公式總整理 ……………………………

目次目次

第 10 章　平面向量142

學測趨勢與準備方向：本章包含許多處理圖形問題的基本工具，命題上常常和其它章節如空間

向量、直線、圓方程式相結合，光看考古題數量難以顯現出實際占有的比重。遇到向量問題時

要畫圖思考，並聯想到相關的公式再加以應用。

指考相關訊息：本章在指考的數甲及數乙均為三顆星，重要性不容小覷，請同學在學測前就要

把這一章徹底唸透，而且解題時要有處理繁複計算的心理準備。

年　度 99 100 101 102 103 104 105 106

學測命題數 3 1 2 2 2 2 2 2

指考命題數 1 1 1 1 2 2 3基本例題影音教學全部類題影音教學

一、向量的概念與運算

向量定義與坐標表示法

有大小及方向的量即為向量，在平面或空間中，由點 A 向點 B 連成的有向線段

，可看成向量記為 AB，其大小為 AB ，即 AB 的長度。

向量可平移，同向且等長的向量記為相等。

稱 AA 為「零向量」，記為 0，方向任意。

平面上，點 A 向 x 軸方向移 p，再向 y 軸方向移 q，到達 B 點

，則 AB 用數對 ( p , q ) 表示，所以 p qAB 2 2= + 。

若 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )，得 ( , )x x y yAB 2 1 2 1= − − 。

y

B

A

O

q

px

1

例 A 用平行四邊形的頂點及對角線的交點，共可連成　12　個不

同的非零向量。

有、、、、、、

　、、、、、，共 12 個

例 B 有一正立方體，其邊長都是 1。如果向量 a 的起點與終點是此正立方體的頂點，

且 1a = ，則共有　6　個不相等的向量 a 。【86 推甄】

共 6 個

例 C 平面上兩點 A ( 2 , 1 )、B ( - 6 , 7 )，則 AB = 　( - 8 , 6 )　， AB = 　10　，

若 (5 , 3)AC = − ，求 C 點坐標為　( 7 , - 2 )　。

PA D

CB

平面向量10

第 10 章　平面向量 143

例 D 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星

來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極

星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面

，其中天璇的坐標為 ( 9 , 8 ) 及天樞的坐標為 ( 7 , 11 )。依上述資訊可以推得北極星

的坐標為　( - 3 , 26 )　。答對率 56%【101 學測 PMH101C 】

所求 = ( 7 - 10 , 11 + 15 ) = ( - 3 , 26 )

向量的相加、相減與係數積

平行四邊形加法，如圖。

頭尾相連加法，如圖。

減法：規定 ( )a b a b− = + − ，其中 b− 與 b等長但反向。

向量前放一實數 r，則長度變為 | r | 倍，若

r < 0 則反向。

若兩向量 a 、b 同向或反向，則稱 a 與 b 平行，記為 /a b/ ，此時存在實數 r

使 a rb= 。

非零向量 a ，則 a

a1 的長度為 1，稱為「與 a 同向的單位向量」。

窑若 , ,( , ) ( , )a x y b x y r R1 1 2 2 != = ，則：

　 ( , )a b x x y y1 2 1 2+ = + + 。

　 ( , )a b x x y y1 2 1 2− = − − 。

　 ( , )ra rx ry1 1= 。

　若 x1、x2、y1、y2 均不為 0，則 /a b/ 　 ⇔ 　 xx

yy

2

1

2

1= 。

a

a

b

bc

a b+a b c+ +

2

例 A 邊長 1 的正方形 ABCD，則： AB AC 5+ = 　 AB AC 1− = 。

　∴ 　　　∴

例 B 點 B、C、D、E 依次把 AF 五等分，則 ,AD AF EC AD53

32= = − 。

　∴

例 C ( 3 , - 2 ) + ( 5 , 7 ) = 　( 8 , 5 )　　 4 ( 1 , 2 ) - 3 ( - 5 , 1 ) = 　( 19 , 5 )　。

詳答參見詳解本 P44


例 D 如右圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO、QO之和等於零向量？

AO　 BO　 CO　 DO　 EO 【91 學測】

　　答對率 62%

，則所求

得所求故選

例 E 平面向量 ,( 1, 2) ( 2 , 3)a x b x= − = − − ，若 /a b/ ，則 x = 57

。

　∴ - 3x + 3 = 2x - 4　 ⇒ 　

線性組合：設 a 與 b 為不平行的兩平面向量，則：

若實數 p、q 使 pa qb 0+ = ，則 p = 0 且 q = 0。任一平面向量 v ，必有唯一的 p、q，使 pa qb v+ = 。

3

例 A u 與 v 不平行，若 ( 1) ( 5)x y u x y v 0− − + + + = ，則實數 x = - 2 ，y = - 3 。

，2x = - 4　∴ x = - 2，y = - 3

例 B 右圖為每小格皆為全等的平行四邊形，若 xa ybPQ = + ，

則數對 ( , ) ( , )x y27 2= 。

　∴ 2x - y = 5 且 y = 2，得

分點向量與分點坐標：若 P AB! 且 : :AP PB m n= ，

則 m nn

m nmOP OA OB=

++

+。若 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )

，則 P 坐標為 ( , )m nmx nx

m nmy ny2 1 2 1

++

++ ，空間坐標中亦同。

Am

nP

BO

4

例 A ∆ ABC 中， ,5 3AB AC= = ，+BAC 的內角平分線交 BC 於 P，若 x yAP AB AC= +

，數對 ( , ) ( , )x y8385= 。

∵ 　∴

例 B 坐標平面中，A ( a , 3 )，B ( 16 , b )，C ( 19 , 12 ) 三點共線。已知 C 不在 A、B 之間

，且 : :3 1AC BC = ，則 a + b=　19　。答對率 64%【102 學測 PMH102C 】

∴ a = 10，b = 9，所求 = 10 + 9 = 19

A

CD

B

E

O

PQ

P

Q

a

b


共線定理：點 O、A、B、C 滿足 x yOA OB OC= + ，則： A、B、C 三點共線　 ⇔ 　x + y = 1。

5

例 A 下列哪些選項的向量關係，可推得 A、B、C 三點在同一直線上？

OA OB OC= + 3 2OA OB OC= − 　

OC OA OB52

53= + 3 2OB OA OC= +

　　

例 B 在坐標平面上，TABC 內有一點 P 滿足 ( , )AP3465= 及 AP AB AC

21

51= + 。若 A、

P 連線交 BC 於 M，則 ( , )AM2140

2125= 。（化成最簡分數）

【106 學測 PMH106B 】

內積的定義與性質

內積定義：非零向量 a 與 b 夾角為 i，規定 cosa b a b# # i=$ ，即 a 乘上

b 在 a 的投影量。移項得 cosa ba b#

i = $ ，可用來求夾角 i。

坐標算法： ,( , ) ( , )a x y b x y1 1 2 2= = ，則 a b x x y y1 2 1 2= +$ 。

內積性質

　分配律：如 ( )a xb yc xa b ya c+ = +$ $ $ ； ( ) ( )a b c d+ +$ a c a d b c b d= + + +$ $ $ $ 。

　正定性： a a a2= $ ，即「長度平方等於本身內積本身」。

　垂直性：非零向量 a 與 b ，則 a b= 　 ⇔ 　 0a b =$ 。

i a

b

6

例 A 設 u 、v 為兩個長度皆為 1 的向量。若 u v+ 與 u 的夾角為 75˚，則 u 與 v 的內積

為 23− 。（化為最簡根式）答對率 31%【103 學測 PMH103E 】

因、張成的平行四邊形呈菱形，看出、的夾角為 150˚

所求

例 B 平面上五邊形 ABCDE，如右圖，則下列各選項的向量內積何者

最大？何者最小？

AB AB$ 　 AB AC$ 　 AB AD$ 　 AB AE$

　；　

C、D、E 投影到為 C0、D0、E0，以最長且與同向　∴ 最大，選

與夾鈍角　∴ 為最小，選

例 C ,3 2a b a c= =−$ $ ，則 (4 3 )a b c 18− =$ 。所求

設　∵ M 在上，由共線定理得

，得　∴

A B

C

D

E


例 D , ,4 3 2a b a b= = =−$ ，則 a b 21+ = 。

例 E (3 , 4)a = − 、 (12 , 5)b = ，其夾角為 i，則 , cosa b 166516i= =$ 。

例 F 已知 a = ( 2 , 3 )，下列哪些向量與 a 垂直？

( 2 , - 3 )　 ( 3 , 2 )　 ( - 3 , 2 )　 ( 6 , - 4 ) 　　

二、向量的應用

向量的正射影：C 投影到 AB 為 D，則 AD 為 AC 在 AB 上的正射影。

a 在 b 上的正射影為 ( )ba b b2$ ，取絕對值得正射影長為

ba b$ 。

AD

B

C7

例 A 向量 ( - 3 , 5 ) 在 ( 1 , 2 ) 上的正射影為 ( , )57

514 ，正射影長度為

57 5 。

，長度為

例 B 平面向量 (4 , 5) (1, 2)x a= − + ，其中 a 與 ( 1 , - 2 ) 垂直，求 x56= − ，

a = ( , )526

513 。

( 4 , 5 ) 在 ( 1 , - 2 ) 上的正射影為

∴

柯西不等式：由內積定義得 ( )a b a b2 2 2##$ ，等號成立　 ⇔ 　a 與 b 平行。

即 ( px + qy )2 # ( p2 + q2 ) ( x2 + y2 )，兩邊相等　 ⇔ 　 xp

yq= 。

8

例若 x2 + 4y2 = 5，則 5x - 6y 的最大值為 170 ，最小值為 170− 。

( x , 2y ) 與 ( 5 , - 3 ) 代柯西　 ⇒ 　

∴

參數式：過點 ( p , q ) 且與向量 ( a , b ) 平行的直線方程式可寫為

x p aty q bt= += +

* ，t ! R，稱 t 為參數，向量 ( a , b ) 為「方向向量」。

可推廣到空間中的直線。

(a ,b )

(p ,q )

9

例 A 過點 ( 3 , - 2 ) 且方向向量為 ( 5 , 4 ) 的直線參數式為 ,x ty t t R3 5

2 4!

= +=− +

* ，化

成標準式為　4x - 5y = 22　。


例 B 若 x ty t15 620 4

= += +

* ，0 # t # 3，其圖形為線段，求線段長度為 6 13 ，此線段上共

有　7　個格子點。（即點的 x 坐標及 y 坐標均為整數）

t = 0，得 ( x , y ) = ( 15 , 20 )；t = 3，得 ( 33 , 32 )，兩端點的距離為

t = 0、、1、、2、、3 使 x、y 均為整數，共有 7 個格子點

直線的點法式：平面上與直線垂直的向量稱為法向量。直線 ax + by = c 可取 ( a , b ) 作為法向量。過點 ( p , q )，法向量 ( a , b ) 的直線方程式為 a ( x - p ) + b ( y - q ) = 0，可推廣到空間中的平面。

(a ,b )

(p ,q )

10

例 A 直線 L：3x + 7y = 5 上有兩點 A、B，則：

(3 , 7)AB 0=$ 　 L 的方向向量為　( 7 , - 3 )　　 L 的斜率為 73− 。


例 B 過點 ( 3 , 1 ) 且法向量為 ( 2 , 5 ) 的直線方程式為　2x + 5y = 11　。為 2 ( x - 3 ) + 5 ( y - 1 ) = 0，即 2x + 5y = 11

例 C 平面上，L：3x + 4y = 1 與另一垂直 L 的直線 M 交於 A ( 3 , - 2 )，求 M 上與 A 點

距離為 10 的兩個點坐標為　( 9 , 6 ) 與 ( - 3 , - 10 )　。

L 的法向量為且，則得 ∴ P 為 ( 3 + 6 , - 2 + 8 ) = ( 9 , 6 )，Q 為 ( 3 - 6 , - 2 - 8 ) = ( - 3 , - 10 )

直線的交角：直線 L1 的法向量為 n1、斜率為 m1，L2 的

法向量為 n 2、斜率為 m2，則 cos 交角 n nn n

#

!= $

1 2

1 2 ，

tan 交角 m mm m1 1 2

1 2!=+

−。

L2

L1

n1n2

11

例 A 4x + 3y = 1 與 12x + 5y = 2 的銳交角為 i，則 cos6563i = 。

例 B 兩直線 y = 3x + 1 與 y = - 2x 的交角為　45˚與 135˚　。

tan 交角　∴ 交角為 45˚或 135˚

點線距：點 ( p , q ) 到直線 ax + by = c 的距離為 a b

ap bq c2 2+

+ −。 (p ,q )12


例 A 點 ( 2 , k ) 到直線 3x - 4y = 1 的距離為 3，求 k = 　5 或　。

　∴ 5 - 4k = ! 15，得 k = 5 或

例 B 坐標平面上兩平行線 L1：5x + 12y = 3 與 L2：10x + 24y = 17 的距離為 2611

。

L1 上取一點，到 L2 的距離為

三、三角形的四心

重心 G：為 ∆ ABC 三中線的交點，A ( x1 , y1 )，B ( x2 , y2 )，C ( x3 , y3 )。 G 把中線分為 2：1 的兩段，分割成六個等面積的小三角形。

重心坐標為 ( , )x x x y y y3 3

1 2 3 1 2 3+ + + + 。

O 為任一點，則 OG OA OB OC31

31

31= + + 。

GA GB GC 0+ + = 　 ⇔ 　G 為重心。

G

A

B C

13

例 A G 為 ∆ ABC 的重心，則 AG AB AC31

31= + 。

例 B 平面上，A ( 1 , 4 )、B ( 2 , 0 )、C ( 3 , 5 )，∆ ABC 的重心坐標為　( 2 , 3 )　。

內心 I：為 ∆ ABC 三內角平分線的交點。

由內分比知 : :AB AC BP PC= ，且 : :AB BP AI IP= 。

I 為內切圓的圓心，到三邊等距離。

O 為任一點，則 a b ca

a b cb

a b ccOI OA OB OC=

+ ++

+ ++

+ +。 P

A

CB

I

14

例 ∆ ABC 的三邊長為 a = 8，b = 5，c = 7，I 為內心，則 AI AB AC41

207= + 。

外心 O：為 ∆ ABC 三邊的垂直平分線交點。

O 為外接圓的圓心，到三頂點等距離。

若為銳角三角形，外心在內部；若為直角三角形，外心在

斜邊中點；若為鈍角三角形，外心在外部。

由內積定義可知 ,AB ACAO AB AO AC2 2

2 2= =$ $ 。

常用正弦定理求外接圓半徑 R。

A

CB

O

15


例 AB 6= ，+C = 120˚，O 為 ∆ ABC 外心。

AO AB 18=$ 　外接圓半徑為 2 3 。

　　∴

垂心 H：為 ∆ ABC 三高的交點，由內積的投影算法直接看出

AH AB AH AC AB AC= =$ $ $ ，此式也可由相減化成 0 推出。

此性質有另一寫法，為 HA HB HB HC HC HA= =$ $ $ 。

A

CBH

16

例 H 為 ∆ ABC 之垂心，若 3AB AC =−$ ，則 ,AH AB AH AC3 3= =− −$ $ 。

四、二階行列式及其應用

二階行列式及其性質：規定 acbd

ad bc= − ，加上絕對值恰為平面向量 ( a , b ) 與

( c , d ) 張成的平行四邊形面積，其性質為：

行與列互換，行列式值不變。

兩列（或行）對調，行列式值變號。

任一行（或列）的各項帶 k 倍，則可將 k 提出。

兩行（或列）各項成比例，則行列式值為 0。將一行（或列）乘一常數加到另一行（或列），行列式值不變。

若一行（或列）的各項均為兩項之和，則可拆開成兩個行列式相加。

17

例 A 已知 a、b 為整數且行列式 ba57

4= ，則絕對值 | a + b | 為何？　

16　 31　 32　 39　條件不足，無法確定【99 學測 PMH9902 】

　　答對率 58%

即 35 - ab = 4　∴ ab = 31，則 a 與 b 為 1 與 31 或 - 1 與 - 31　∴ a + b = ! 32，則 | a + b | = 32

例 B k ! 0 且 k ! 1，下列各選項的行列式哪些與 acbd

相等？　

ca

db

　 ab

cd

　 kac

kbd

　 aa kc

bb kd+ +

　 acb kad kc++

　　　為　為　為

解二元一次方程組

方程組 a x b y ca x b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =* ，令 ,a

abb

cc

bbx

1

2

1

2

1

2

1

2T T= = ，

aa

ccy

1

2

1

2T =

若 Δ ! 0，則方程組恰有一組解，為 ,x yx y

T

T

T

T= = ，即兩直線相交於一點，

稱為「克拉瑪公式」。

若 Δ = 0，但 Δx ! 0 或 Δy ! 0，則此方程組無解，即兩直線平行。

若 Δ = Δx = Δy = 0，則此方程組有無限多解，即兩直線重合。

18


例 A 若 , ,2aa

bb

cc

bb

aa

cc8 61

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2= = =− ，則

a x b y ca x b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =* 的解為 x = 　4　，

y = 　 - 3　。

例 B 若 ( )

kx yx k y

52 1 1

+ =+ + =

* 恰有一解，則 k ! 　1 與 - 2　。

　∴ k ! - 2 且 k ! 1

將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點，它們所構成的兩個

正三角形扣除內部六條線段後可以形成一正六角星，如圖所示

的正六角星是以原點 O 為中心，其中 x 、 y 分別為原點 O 到兩

個頂點的向量。若將原點 O 到正六角星 12 個頂點的向量，都

寫成為 ax by+ 的形式，則 a + b 的最大值為何？　　　　

2　 3　 4　 5　 6 答對率 40%【100 指考甲】

Ox

y

向量加法與線性組合1

建立斜坐標看出

其它頂點的寫法其 x、y 不全為正，數值和會更小，可不考慮

∴在發生所求最大的 ( a , b ) = ( 3 , 2 )，得 a + b = 5故選

1 如右圖所示，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選

項中，哪些向量的終點會落在陰影區域內？

2OA OB+ OA OB43

31+

OA OB43

31− OA OB

43

51+

OA OB43

51− 全對率 38%【94 學測】

　　

O

A

B


2 如右圖， ,1 2a c b= = = ，且 b la mc= + ，則 l32 3= 。

3 平面上三點 O ( 0 , 0 )，A ( 3 , 4 )，B ( 1 , - 2 )，若集合 |P OP OA OBa bΩ = = + ，且,3 2 4 5# # # #a b− − ，則 Ω 的圖形為平行四邊形，請問有幾個頂點落在第三

象限？

0 個　 1 個　 2 個　 3 個　 4 個

　　

在坐標平面上的 ∆ ABC 中，P 為 BC 邊之中點，Q 在 AC 邊上且 2AQ QC= 。已知

(4 , 3)PA = 、 (1, 5)PQ = ，則 BC =　　　　。答對率 27%【96 學測】

詳答參見詳解本 P46向量的分點公式2

∵ ，同乘 3 得

⇒ 　

即

4 若 A、B、C、D 四點滿足 2AB AC AD73

74= + ，則這四個點所連成四邊形的形狀

為下列哪一個選項？

A

B

C

D　

AB

C

D　

A

B

C

D　

AB

C

D　

A

B

C

D

　　

30˚30˚

a b

c


5 如右圖，已知圓 O 與直線 BC、直線 AC、直線 AB 均相切

，且分別相切於 D、E、F。又 4BC = 、 5AC = 、 6AB = 。

假設 BF x= ，試利用 x 分別表示 BD、CD 以及 AE，並

　求出 x 之值。23

若將 AD 表示成 AB ACa b+ ，則 a、b之值為何？ ,85

83a b= =

【105 指考甲】

如右圖，P 為 Δ ABC 內部一點，且 AP AB AC51

52= + ，下列哪些正確？　　　　

: :2 1BD CD = : :AP PD 3 2= ΔABP 面積：ΔACP 面積 = 2：1 ΔBPC 面積：ΔABC 面積 = 3：5

A

CD

P

B

共線定理3

A、P、D 三點共線　 ⇒ 　

∵ B、D、C 三點共線　∴ ，得

　∴ （合）

　∴ 　 ⇒ 　（合）

ΔABP：ΔACP = （合）

如右圖，作，則　ΔADF 中，

　才對

故選

6 坐標平面上 ∆ ABC，D 為平面上一點且 7 8 6AD AB AC= + ，求 ΔABD 面積

ΔABC 面積

76= 。

7 點 P 在 AB 上，點 Q 在 AC 上，BQ 與 CP 交於 R，

AR AB AC52

73= + ，如圖，求

PBAP

37= ，

QCAQ

25= 。

E

C

DO

A B F

本題修改自 92 年學測題

A

R

P

B C

Q


設點 A ( - 2 , 2 )、B ( 4 , 8 ) 為坐標平面上兩點，且點 C 在二次函數 y x21 2=

的圖形上變動。當 C 點的 x 坐標為　　　　時，內積 AB AC$ 有最小值

　　　　。

平面向量的內積　　【101 學測 PMH101D 】

答對率 37%

4

設

∴ ∴ k = - 1 時，所求最小值為 - 3

8 如右圖，平行四邊形 OABC，其中 ,12 8OA OC= = ，

+COA = 60˚，且 ,OD OA OE OC31

21= = ，CF CB

43=

，則：

DF OA OCa b= + ，則數對 ( , ) ( , )125 1a b = 。

DF DE 6=$ 。

9 如右圖，∆ AOB 中，+AOB = 120˚， ,1OA OB 2= = ，

M、N 兩點三等分 AB，則 OM ON95=$ 。

10 設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為 ( 2 , 1 )；若 A、B 分別是正 x 軸及正 y 軸

上的點，使得 PA PB= ，則 ∆ OAB 面積的最大可能值為 1625

。（化成最簡分數）

答對率 13%【94 學測】

C F B

ADO

E

AMN

B

O



向量 ( 2 , - 1 ) 與下列哪一個向量之夾角（介於 0˚與 180˚之間）為最小？　　　　

( , )1 2− − 　 ( ,1)2− 　 ( 1, )2− 　 (1, )2 　 ( , )2 1 【99 指考甲】

求向量的夾角5

各選項的向量大小均為 ( 2 , - 1 ) 與各選項的內積值依序為、、、、

其中以為最大，則夾角會最小，故選

11 平面向量 ( ,1)a 2= 、 (5 , )b 2= − 的夾角介於下列哪一個選項內？　

0˚～ 30˚　 30˚～ 45˚　 45˚～ 60˚　 60˚～ 90˚　大於 90˚ 　　

12 坐標平面中，向量 w 與向量 (2 , )v 5= 互相垂直且等長。請問下列哪些選項是

正確的？全對率 18%【100 學測 PMH10010 】

向量 w 必為 ( , )5 2− 或 ( , 2)5−向量 v w+ 與 v w− 等長

向量 v w+ 與 w 的夾角可能為 135˚若向量 u av bw= + ，其中 a、b 為實數，則向量 u 的長度為 a b2 2+若向量 (1, 0) cv dw= + ，其中 c、d 為實數，則 c > 0

　　

若 , ,5 6 3AB AC AD= = = ，且 2 3AB AC AD+ = ，則 AC 在 AB 上之正射影長

為　　　　。

向量的正射影6

設、夾角為 i，則所求

由知，

得　 ⇒ 　　 ⇒ 　　

∴所求

答對率 70%


13 設 A ( a , 1 )、B ( 2 , b )、C ( 3 , 4 ) 為平面上三點，O 為原點，若向量 OA 與 OB 在 OC 上之正射影相同，下列選項哪些正確？

OA OB= AB OC= AC OB= OA OC OB OC=$ $ a、b 滿足 3a - 4b = 2

　　

14 若向量 ( 3 , k ) 在某向量上的正射影為 ( k , 2 )，求 k = 　1 或 4　。

菲爾普斯在一半徑為 5 公里的半圓形湖休閒區預備進行游泳運

動。他先由湖畔的 A 點沿直線採自由式游到湖邊的某個點 C，

再沿直線採蛙式游到 B 點，如右圖中箭頭表示，其中 AB 為湖的

直徑。已知他游自由式速度為每小時 4 公里，游蛙式速度為每

小時 3 公里，請問他運動的時間最長為　　　　小時。

A

C

B

柯西不等式7

設公里，公里

∵∆ ACB 為直角三角形　∴ a2 + b2 = 102 = 100

則運動的時間為小時 ,

利用柯西不等式

⇒ 　　 ⇒ 　　∴運動的時間最長為小時

15 設 x、y 為正數，且 2x + 3y = 14，求 x y8 3+ 的最小值為 2

7，此時數對 ( x , y ) =

　( 4 , 2 )　。

柯西不等式：

( )a b a b2 2 2##$


16 平面上有兩平行直線 L1：ax + by = 5 與 L2：ax + by = 20，已知 L1 通過點 ( 2 , 3 )，則 L1 與 L2 之間的最大距離為 3 13 。詳答參見詳解本 P48

地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動。甲以每秒 4 公尺向東等速

移動，乙以每秒 3 公尺向北等速移動。在移動不久之後，他們互望的視

線被一圓柱體建築物阻擋了 6 秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直

徑為　　　　公尺。

向量在直線的應用　　【106 學測 PMH106G 】8

t 秒後甲位於 P1( 4t , 0 )，乙位於 Q1( 0 , 3t )t + 6 秒後甲位於 P2( 4t + 24 , 0 )，乙位於 Q2( 0 , 3t + 18 )

的斜率為，

∴ ，由截距式知為，即 3x + 4y = 12t

則 P2 到的距離為（公尺）

《速解》

用 1 秒後甲 ( 4 , 0 )，乙 ( 0 , 3 )；7 秒後甲 ( 28 , 0 )，乙 ( 0 , 21 )

即與求平行線間距

17 坐標平面上有一質點沿方向 (1, 2)u = 前進。現欲在此平面上置一直線 L，使得此

質點碰到 L 時依光學原理（入射角等於反射角）反射，之後沿方向 ( 2 ,1)v = − 前進，則直線 L 的方向向量應為 (1, )w k= ，求 k = 　 - 3　。答對率 30%【97 學測】

鋫平行線間距公式可不用背，用「點線距」即可

鋳此題可用特例求解，如用 1秒及 7 秒的位置來解


18 一物體由坐標平面中的點 ( - 3 , 6 ) 出發，沿著向量 v 所指的方向持續前進，可以

進入第一象限。請選出正確的選項。

v = ( 1 , - 2 ) v = ( 1 , - 1 ) v = ( 0.001 , 0 ) v = ( 0.001 , 1 ) v = ( - 0.001 , 1 ) 全對率 53%【103 學測 PMH10309 】

　　

19 已知直線 L：3x + 4y = 12，P ( 2 , 6 )、O ( 0 , 0 )，點 P 在 L 上之投影為 A 點，點 O在 L 上之投影為 B 點，OP 與 L 交點為 M，則：

: :AM MB 3 2= 　 AB 2= 。

如右圖，∆ ABC 中，G 為重心， , ,3 5 7GA GB GC= = = ，則：

GA GB =$ 　　　　。

∆ ABC 之面積為　　　　。

B

AG

C

三角形的重心9

∵ G 為重心　∴

　 ⇒ 　　 ⇒ 　

　 ⇒ 　　 ⇒ 　　∴

G 是重心

　 ⇒ 　∆ ABC 面積 = 3 ∆ GAB 面積

20 法國數學家尤拉發現，任意三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 三點會在一直線上

，且 : :1 2OG GH = ，我們稱此一直線為「尤拉線」來紀念他。給三點 A ( 2 , 1 )、B ( 2 , 9 )、C ( 5 , 7 )，試求：

垂心 H 坐標為　( 6 , 7 )　　∆ ABC 的尤拉線方程式　4x - 9y = - 39　。


21 平面上有一 ∆ ABC，G 為 ∆ ABC 的重心。O、D 為此平面上的相異二點，且滿足

OD OA OB OC= + + 。請選出正確的選項。

O、G、D 三點共線 OD OG2= 2AD BD CD OD+ + = G 位於 ∆ ABC 的內部 D 位於 ∆ ABC 的外部全對率 18%【101 指考甲】

　　

設實數 a > 0。若 x、y 的方程組 x yx y ax ay

2 12

122

− =− =− =

* 有解，則 a = 　　　　。

二階行列式與克拉瑪公式　　【99 學測 PMH99D 】

答對率 41%

10

由及克拉瑪公式，

代入 x - ay = 122 得，同乘 3，得 2a2 - 2a + 2 = 366

∴ a2 - a - 182 = ( a - 14 )( a + 13 ) = 0　∴ a = 14 或 - 13（不合）

22 設 u x yv x y

23 5

= −= −

* ，今可將 x、y 解出如下 x au bvy cu dv= += +

* ，則下列哪些正確？

a + b > 0　 a + b < 0　 ad - bc < 0　 ad - bc > 0 詳答參見詳解本 P49

　　

23 若實數 a、b、c、d 使得聯立方程組 ax y cx y

84 3+ =

− =*

有解，且聯立方程組

x by dx y34 3

− + =− =

* 無解，則下列哪些選項一定正確？

a ! - 2　 c = - 6　 b = 12　 d ! - 9　聯立方程組 ax y cx by d8

3+ =

− + =*

無解

　　全對率 15%【101 學測 PMH10111 】


坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD，其中點 A 的坐標為 ( 2 , 1 )，點 B 的坐

標為 ( 8 , 2 )，點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12。若平行四邊形 ABCD 的

面積等於 38 平方單位，則點 D 的坐標為　　　　。

利用二階行列式求面積　　【99 學測 PMH99A 】

答對率 29%

11

設 C ( 12 , k ) 且 k > 0，則

　∴ 6k = 54 或 - 22

則 k = 9 或（不合）　∴ C ( 12 , 9 )

設 D ( x , y )，則由，即 ( - 6 , - 1 ) = ( x - 12 , y - 9 )　∴ x = 6，y = 8，則 D ( 6 , 8 )為所求

24 坐標平面上有一面積為 40 的凸四邊形，其四個頂點的坐標按逆時針方向依序為

( 0 , 0 )、( 4 , 2 )、( x , 2x ) 及 ( 2 , 6 )，則 x = 　10　。答對率 46%【100 指考乙】

25 平面上三動點 A ( k , k + 1 )、B ( 2k , 3k - 2 )、C ( 2k + 1 , 4k + 2 ) 連成的三角形面積

之最小值為　1　，此時 k = 　 - 1　。

26 坐標平面上 O 為原點，設 (1, 2)u = 、 (3 , 4)v = 。令 Ω 為滿足 xu yvOP = + 的所有

點 P 所形成的區域，其中 1x21

# # 、 3 y21

# #− ，則 Ω 的面積為 27 平方單

位。（化成最簡分數）答對率 22%【105 學測 PMH105B 】

10 43

( 3 , 4 ) 3x 4y 0 9 16

9 16 0525 5

++ − = =

( 3 , 4 ) 4x 3y 5 16 9

12 12 5519

++ − =

( 3 , 4 ) 4x 3y 0 16 9

12 12 0524

++ − =

( 3 , 4 ) 4x 3y 1 16 9

12 12 1523

++ − =

( 2 , 7 ) 4 49 2a 7b c 0c 2a 7b 53

( 1) 6 0x y a x b y c21

26− + + − + + + + =$ $ $ $

( 2 a ) x ( 12 b ) y ( a 6b 2c ) 04x 3y 14 0

( )a b a b a b42

312

146 2 2 7 53− + = + =

−− + + − −

a ba b3 4 549 10 150

− =− =

) a 10 b 6 c 9

AP 2 1 4 12 2= + − =

TPAO 1 2 1PA OA21

21$ $ $ $

PAOB 2TPAO 2TPAB OP

( x 2 ) ( x 0 ) ( y 1 ) ( y 0 ) 0x2 y2 2x y 0

AB x2 y2 4 0x2 y2 2x y 0

2x y 4 0y 1 m ( x 2 )

( 0 , 0 ) mx y 2m 1 0

2m

m1

0 0 2 12 +

− − + =

4m2 4m 1 4 ( m2 1 )

4m 3 m43= −

1 ( 2)y x43− =− − x 2

3x 4y 10 x 2

10A 12

AB AD AC BD AP BP BA DA CA

DB PA PB12

B 6

6

C ( 8 , 6 ) 10 ( 7 , 2 )

D ( 3 , 26 )

y

x1

11−

1−

( 1 , 2 )

y

x

( 0 , 0 ) L 19 160 0 5

++ − =

3r 1 82 2= + = x2 y2 4r2 2r 6 2 26 1 352 2

#= − =

P ( a , b ) r O ( 0 , 0 ) A ( 2 , 6 )

L ( )xy 1331 −− = − x 3y 10

P ( a , b ) O ( 0 , 0 ) A ( 2 , 6 )P L a 3b 10

10P ( 8 , 15 ) r 16

y 0 x 3y 10 x 10A ( 2 , 6 ) ( 10 , 0 ) 8 6 102 2+ =

P ( a , b ) r PA 10

12

( 7 , 5 ) y 5 m ( x 7 )( 0 , 1 ) mx y 7m 5 0

1m

m1

0 1 7 52 +

− − + =

( 4 7m )2 m2 148m2 56m 15 0( 12m 5 ) ( 4m 3 ) 0

m125 4

3

( )

( )

y x

y x

5125 7

543 7

− = −

− = −* y 0 x 5

y 0 x 31

( 5 , 0 ) ( , 0)31

( 5)31

316− − =

10 6 9 1 2x2 y2 2x y 0 2x y 4 03x 4y 10 x 2

( 3 , 4 ) 5

( 3 , 4 ) 3x 4y 5 49 16

9 16 5520

++ − = =

y

A (2 ,6)

xO (10,0)

y

xA B

(7 , 5)

12 5

4 3

1044

A 23

u v

u v 150

150cosu v# # c

1 123

23

# #= − = −

B C D E AB C0 D0 E0

AD0 AD0 AB

AB AD$

AB AE

0AB AE$

C 18 4 3 12 ( 6) 18a b a c= − = − − =$ $

D 21

( ) ( )a b a b a b+ = + +$

a b a b22 2

= + + $ 16 9 4 21= + − =

E 16 6516

36 ( 20) 16a b = + − =$

cos5 1316

6516

#i

F

A ( , )57

514

57 5

( , )( 3 , 5) (1, 2) (1, 2) (1, 2) ( , )

1 2 53 10

57

514

2 2− = − + =$

( , )57 1 2

57 5

B 56 ( , )

526

513

( 4 , 5 ) ( 1 , 2 ) ( ) (1, 2) (1, 2)5

4 1056

2+ − − = − −

x 56=−

(4 , 5) (1, 2) (4 , 5) ( , ) ( , )a x56

512

526

513= − − = + − =

170 170( x , 2y ) ( 5 , 3 )

(5 6 ) ( 4 )(25 9) 5 3 170x y x y 42 2 2##− + + = =

5 6x y170 170# #

A x ty t t R3 5

2 4!

= +=− +

* 4x 5y 22

B 6 13 7t 0 ( x , y ) ( 15 , 20 )t 3 ( 33 , 32 )

75ﾟ75ﾟ

v

u

u v+

( 7 10 , 11 15 ) ( 3 , 26 )x 2

(7,11)(9,8)

y 3x 10y 15

A 5 1

A

B

D

C AB AC 1 2 52 2+ = + =

A D

CB ( ) 1AB AC+ − =

B 53

32

A FEDCB AD AF EC AD

53

32= =−

C ( 8 , 5 ) ( 19 , 5 )

D

(2 , 3) ( 5 , 2)PO QO= = − PO QO 0+ + = ( 2 , 3) ( 5 , 2) (3 , 5)PO QO CO=− − =− − − = − =

E 57

xx21

32

−− =

− 3x 3 2x 4 x57

A 2 3x yx y

1 05 0

− − =+ + =

* 2x 4 x 2 y 3

B ( , 2)27

(2 , 0) ( 1,1) (5 , 2)a b PQ= = − =

(2 , 0) ( , ) (2 , )xa yb x y y x y y+ = + − = −

2x y 5 y 2 x27

A ( , )8385

5 3BP PC

AP AB AC AB AC5 33

5 35

83

85=

++

+= +

B 19

(16 , ) ( 2 19 , ) ( , 9)b a a2 1 2 1

2 12 3338# #=

++

++ = +

a 10 b 910 9 19

A

B ( , )2140

2125

k k kAM AP AB AC2 5

= = +

M BC k k2 5

1+ =

k710

10 ( , ) ( , )AM AP7 7

103465

2140

2125

A 2

(a , 3) (16 ,b) (19 ,12)

1B C

MB C

A

P

10 45

A 4 3

4 3x y28

26x y

T

T

T

T= = = = = − =−

B 1 2

2 ( 2)( 1) 0kk k k k k

211

2T !=+

= + − = + −

k ! 2 k ! 1

1

3x yOA = +

2x yOB = +

3 2x yOC = +

x yOD = +x y

OC ( a , b ) ( 3 , 2 ) a b 5

32 3

x yOP OA OB= +

x yx y

10 0$ $

+ =) P AB

P x yx y

10 0$

$ $)

1 2 1

143

31

1213 >+ =

143

51

2019 <+ =

a c b a c

l m 0 b la mc2 2= +

4 2l a lma c m c2 2 2 2= + +$

4 2 (1 1 60 )cosl l l l2 2# # # # c= + +

l342 l

32

32 3

a 3 b 4

3(3 , 4) 4(1, 2) ( 13 , 4)OP =− − − = − −a 3 b 5

53(3 , 4) (1, 2) ( 4 , 22)OP +=− − = − −a 2 b 4

2(3 , 4) 4(1, 2) (2 ,16)OP = − − =a 2 b 5

5 112(3 , 4) (1, 2) ( , 2)OP += − = −4 2

O

AD B

C

xy

( ) 618 12 6 3 2 132 2 2 2 2+ = + =

t 0 21 1 2

3 2 25 3 x y

7

A 0 ( 7 , 3 ) 73

B 2x 5y 112 ( x 3 ) 5 ( y 1 ) 0 2x 5y 11

C ( 9 , 6 ) ( 3 , 10 )

L ( , )n 3 4 n 5

2 ( , )nAP 6 8

2 ( 6 , 8)nAQ =− = − −P ( 3 6 , 2 8 ) ( 9 , 6 ) Q ( 3 6 , 2 8 ) ( 3 , 10 )

A 6563

(4 , 3) ( , )(4 , 3) (12 , 5)

5 13cos

12 548 15

6563

# #i = = + =$

B 45 135

tan 1 3 ( 2)( ) 13 2

55

#! ! !=

+ −− − =

−=

45 135

A 5 25

3k k9 16

6 4 15

5 4+

− − = − =

5 4k ! 15 k 5 25

B 2611

L1 (0 , )41 L2

10 24

0 6 172611

2 2+

+ − =

A 31

31

B ( 2 , 3 )

( , ) (2 , 3)3

1 2 33

4 0 5+ + + + =

41

207

AI AA AB AC

AB AC

8 5 78

8 5 75

8 5 77

41

207

=+ +

++ +

++ +

= +

18 2 3

3 6 18AO AB #$

2sin

R1206

c 2R

236

21

36 3#

3 3 A

35 ab 4 ab 31a b 1 31 1 31 a b ! 32| a b | 32

B

acbd k

acbd k

acbd

L

M

P

A

Q

1046

76

37

25

2( )AD AB AC74

73= +

AD AB AC21

74

73= +

AP AD21 AP AB AC

74

73= +

P B C 3 4BP PC

ABCABD

ABPABD

ABCABP

12

73

76

# #ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ= = =

AR AB AC AP AC52

73

74

73= + = +

AB AP52

74 AP AB

107

PBAP

37

AR AB AC AB AQ52

73

52

53= + = +

AC AQ73

53 AQ AC

75

QCAQ

25

4

( , ) (6 , 6) ( 2 , 2)C k k k kAB AC2 22 2

= = + −

(6 12) (3 12)k kAB AC 2= + + −$ 3 6 3( 1) 3k k k2 2= + = + −

k 1 3

( ,1)125 6 9

5 1625

DF DA AB BF OA OC OA OA OC32

41

125= + + = + − = +

( , ) ( ,1)125

a b

DE OE OD OC OA OA OC21

31

31

21= − = − =− +

( ) ( )DF DE OA OC OA OC125

31

21= + − +$ $

( )OA OA OC OC365

243

212 2

=− − +$

144 (12 8 60 ) 64cos365

243

21

# # # #c=− − +

20 6 32 6

OM ON OA OB OA OB3

232= + +$ $

(2 ) ( 2 )OA OB OA OB91= + +$

[2 5( ) 2 ]OA OA OB OB91 2 2

= + +$

[2 1 5(1 2 120 ) 2 2 ]cos91 2 2

# # # #c= + +

(2 5 8)91

95= − + =

C D

BP

A

2

PQ PA PC31

32= +

3 3 2PQ PA PC= +

2 3 3(1, 5) (4 , 3)( 1,12)

PC PQ PA= − = −= −

2 ( 1,12)BC PC= = −

23 8

5a

83

b

2AB CD 3

4A

C

D

2AB

A B C D AB

C

D

BF BD BD x 4CD CE x= = −

AF x6= + 5 (4 ) 9AE x x= + − = −

AF AE 6 x 9 x x23

4 (4 ) 3 5BD DC x23

25= − = =

AD AB AC AB AC3 55

3 53

85

83=

++

+= +

85

a83

b

3

A P D

( )t t t tAD AP AB AC AB AC51

52

51

52= = + = +

B D C

1t t51

52+ = t 3

5

AD AB AC31

32= + 2 1BD CD

AD AP35 3 5AP AD

3 2AP PD

ABP ACP 2 1BD DC

PE BC AF BC= = /PE AF/

ADF 2 5PE AF PD AD

2 5

BPC ABC BC PE BC AF

PE AF21

21

# #T T

A

CB P

Q

11

2

1

A

C

P

B DEF

10 47

1 4

AB OC=

OA OB

AB OC=

( ) 0AB OC OB OA OC OB OC OA OC= − = − =$ $ $ $ OA OC OB OC$ $

(2 , 1) (3 , 4)a bAB OC= − − =

(2 ) 3 ( 1) 4 3 4 2 0a b a bAB OC = − + − =− + + =$ $ $3a 4b 2

( 3 , k ) ( k , 2 ) ( 3 k , k 2 )( k , 2 )

(3 , 2) ( , 2) 5 4 0k k k k k2− − =− + − =$k 1 4

7

AC a BC b ACB a2 b2 102 100

a b4 3

( ) ( ) ( )a b a b41

31

4 32 2

2 22

$

100 ( )a b14425

4 32

# $ 10a b4 3 12

5625

##+ =

625

27 ( 4 , 2 ) 3 13

2 3 ( ) ( )x y x y2 32 2+ = +

( , )x y2 3

( ) ( )x y x y8 3 8 32 2+ = +

( , )x y8 3

( )xx

yy

2 8 3 3 2$ $

[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]x yx y

2 3 8 32 2 2 2##

( ) (2 3 )( )x yx y

16 9 8 32#

49 14( )x y8 3

#

1449

27

/( , ) ( , )x yx y

2 3 8 3/

x

x

y

y82

33 x 2y

2x 3y 14 x 4 y 2

CDO

B

A

(3 , )k

( , )k 2

A ( k , 0 ) B ( 0 , t ) k 0 t 0

( 2 , 1)kPA = − − ( 2 , 1)tPB = − −

PA PB=

( 2 , 1) ( 2 , 1)k t$( 2k 4 ) ( t 1 ) 0

2k t 5

OAB kt2

Δ =

2k t k t2

2$ $ kt

25 2$

2kt425

$ kt825

$ 21 kt

1625

2$

OAB 1625

5

3( 2 , 1 ) 2 2− + 2 2 1

2 2 2 2 2 12 2 12

( )cosa ba b

3 275 2 2

# #i = = + −$ 4 1.414 0.63

94 2

9#

] ]

45 0.707 60 0.5cos cos22

21c c] ]

i 45 60

0 ( , 2)w 5!= −

v w v w+ = −45

u av bw= +

( ) ( )av bw av bw= + +$

a v b w2 2 2 2= +

a b9 92 2= + ( 1 , 0 ) cv dw

c 0

6

AB AC i

cosACAB

AB AC# i $

2 3AB AC AD+ =

( 2 ) ( 2 ) 3 3AB AC AB AC AD AD+ + =$ $

4 4 9AB AB AC AC AD2 2 2+ + =$

5 4 4 6 9 3AB AC2 2 2+ + =$ $ $

22AB AC =−$

522

x

y

0

P (2 ,1)

B (0 , t )

A (k ,0)

v w+

v w−v

w

y

x

w

cvv

dw

1048

O L L' A L' CO P L

( )AB OC OP PA OB2 2= = − +

( )40518

5122 2= − +

240 36= − =

9

G 0GA GB GC+ + =

GA GB GC+ =−

GA GB GC2 2

+ = −

2GA GA GB GB GC2 2 2+ + =$

9 2 25 49GA GB+ + =$

GA GB215$

G ABC 3 GAB

3 ( )

3

GA GB GA GB21

21 9 25

4225

445 3

2 2 2

#

= −

= − =

$ $

$

( 6 , 7 ) 4x 9y 39

m 2 59 7

32

BC = −− =

− A 1 ( 2)y x23− = −

3x 2y 4

m2 21 9

AB = −− AB

C y 7x 6 H ( 6 , 7 )

( , ) (3 , )G3

2 2 53

1 9 7317+ + + + =

m6 3

7317

94

GH = −

−=

GH 7 ( 6)y x94− = − 4x 9y 39

( )OG OA OB OC OD31

31= + + =

3OD OG

3OD OG AD BD CD

( ) ( ) ( )OD OA OD OB OD OC= − + − + −

3 ( ) 2OD OA OB OC OD= − + + =

10

x yx y a2 12− =− =

*

xL

MB

OCA

y

P(2 ,6)

lL

G D

A

CB

O

L1 ( 2 , 3 ) 2a 3b 5

L1 L2 a b a b5 20 152 2 2 2+

− =+

(2 3 ) (2 3 )( )a b a b2 2 2 2 2#$ $

25 13( )a b2 2# a b

135 2 2

#

a b2 2

L1 L2 3

13515 13

8

t P1( 4t , 0 ) Q1( 0 , 3t )

t 6 P2( 4t 24 , 0 ) Q2( 0 , 3t 18 )

P Q1 1 tt0 43 0

43

−− =−

( )( )

( )( )P Q

tt

tt

0 4 243 18 0

4 63 6

43

2 2 = − ++ − =

− ++ =−

/P Q P Q1 1 2 2/ P Q1 1 tx

ty

4 31+ =

3x 4y 12t

P2 P Q1 1 ( ) .t t3 4

3 4 24 0 12572 14 4

2 2+

+ + − = =

1 ( 4 , 0 ) ( 0 , 3 ) 7 ( 28 , 0 ) ( 0 , 21 )

x y4 3

1+ = 1x y28 21

+ =

3 3 2 2

u v 5 (1, 2) ( 2 ,1) ( 1, 3)u v+ = + − = −

( 1 , 3 ) LL ( 1 , 3 )( 3 , 6 )

x ty t

3 06 2 0

>>

=− += −

) tt

33

><

) x ty t

3 06 0

>>

=− += −

) 3 t 6

v ( 0.001 , 0 ) ( 3 , 6 )

v ( 0.001 , 1 ) ( 3 , 6 )

v ( 0.001 , 1 )

PA3 4

3 2 4 6 12518

2 2

# #=

+

+ − = OB3 4

0 0 12512

2 2=

+

+ − =

PAM OBM AA

3 2AM MB PA OB518

512

xL

y

v

u

11 49

( , 2 3) ( 1, 3 1)k k k kAB AC= − = + +

| | ( ) ( )ABC kk

kk k k k k

21

12 33 1 2

1 3 2 32 2Δ =+

−+

= + − − −

( )k k k21 2 3

21 1 22 2= + + = + +

k 1 1

u v | | 21324

P ABCD

(2 ) 741

27

# #

11A

B BCl A Bl CDl A Bl BCl CDl A Bl AC DBl DDl A Bl

A

B 0 0 12 24

8 0

31 1

cos AMBAM

BM31

31+ 3 1

31

#

A 13

5 13AC AP3 4 5 122 2 2 2= + = = + = B

AH BA= BK KG=

A 6 5

610 8 4 180 52 2 2+ + = = B 24

42

4 12 ' 2 24

A 10

5 6 1031

# #

B 3

16 5

TABC BCDEBC P 3AB BP 2

AP 3 2 52 2= − =

4 531

316 52

# #

A

B

O

C

Du

v

A

B

C

E

P2

24

4

5

5

3

3

3

D

x a a y a a21

12

1 12

32

21

12

211

32 1=

−−

−− =

−− + =

−−

=−−

x ay 122 122a a a32

32 1

−− −

−− =$

3 2a2 2a 2 366a2 a 182 ( a 14 )( a 13 ) 0a 14 13

x y ux y v2

3 5− =− =

) 5 6 113

25

Δ =−−

=− + =

5uv u v2

52xΔ =

−−

=− +

uv

u v13

3yΔ = =− +

5 2x u v u v1

5 2x

ΔΔ= = − + =− + a 5 b 2

y u v u v13 3y

ΔΔ

= = − + =− + c 3 d 1

a b 5 2 3 0 ad bc 5 6 0

ax y cx y

84 3+ =− =

) a1 4

8! 2a ! c

a c1 4

83

=−

= a 2 c 6

x by dx y34 3

− + =− =

) b d13

4 3!

− =−

b 12 9d !

11

C ( 12 , k ) k 0 (6 ,1) (10 , 1)kAB AC= = −

| | 38ABCD k k610

11

6 166 =−

= − =

6k 54 22 k 9 311 C ( 12 , 9 )

D ( x , y ) BA CD ( 6 , 1 ) ( x 12 , y 9 )x 6 y 8 D ( 6 , 8 )

10 1 1 27

| |xx2

1 0042 2

2600

x x x x21 0 8 6 0 0 2 4 0= + + + − − − −

40x x21 8 4

x 10 10

PMH401P $140

出版者

課後練習本

白德超．葉晉宏

學測複習講義高中數學　　　　　冊1-4

二階行列式與面積

空間向量的內積與外積

41

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

211 ABCDEF bOB fOF M EF E D

C

BA

F OM

xb y fAC BM+ = + ( , )x y

( ) 2

( ) ( )

b f

b f

AC AO AB OA OF OB OF OF

BM BO OM OB OE OF OB OB OF21

21

23

21

= + =− − =− + − =− −

= + =− + + =− + − + =− +

( 2 ) ( )b f b f b f23

21

25

23= − − + − + =− − x

25=− y

23=−

2 x yOP AB EF= + ( , )x y ( 5 , 2 )OP = − ( , )AB 3 8 (1, 2 )EF = −

( 5 , 2 ) ( 3 , 8 ) (1, 2 ) ( 3 , 8 ) ( , 2 ) ( 3 , 8 2 )x y x x y y x y x y− = + − = + − = + −

x yx y3 58 2 2

+ =−− =

) x74=− y

723=−

3 ABCT 3 2AP PD BD DC 1 4

x yAP AB AC= + ( , )x y

O ABCT OP OA OB OCa b c= + +

( , , )a b c

( )AP AD AB AC AB AC53

5354

51

2512

253= = + = + ( , ) ( , )x y

2512

253

( ) ( ) ( )OP OA AP OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC2512

253

2512

253

52

2512

253= + = + + = + − + − = + +

( , , ) ( , , )522512

253

a b c

4 B AC 2AB CB 0+ = 5 3 2OB OA OC= + OB OA OC

72

75= +

4 3OB OC OA= − OA OB OC 0+ + = 2AB CB=− OB OA OC

53

52= + B AC

172

75

! A B C

4 3OC OA OB= + OC OA OB43

41= + C AB

OB OA OC=− − 1 ( 1) 1!− + − A B C

5 B D 90c+ + AB 4 AD 3 ( )AC AB AD+ =$ D

C

BA

CAB+ a CAD+ b

| | | | | | | || | | |

cos cosAC AB AC AD AC AB AC ADAB AD 4 3 252 2 2 2

a b= + = += + = + =

$ $

O

P

A

F

E

B

A

B CD

P

42

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

6 ABC AB 3 AC 2 BAC 60c+ x yAP AB AC= +x y 1+ = P x y 1+ = 0x $ 0y $ P

x 1 P ABC 3 3 BC 7 x y 1+ = (1 )x x x xAP AB AC AB AC AC= + − = + − ( )xAP AC AB AC− = −

xCP CB BCx y 1+ = 1y x= − 0y $ 1 0x $ 1x # 1x0 # # xCP CB BC

yAP AB AC= + yBP AC AC

3 2 60sinABC21

23 3

# # # cT

cosBC 2 3 2 2 3 60 4 9 6 72 2# # c= + − = + − =

7 ( , )OA 3 1 ( 1, 2 )OB = − OC OB= //BC OA OC ( , )x yOC

OC OB= ( , ) ( 1, 2 ) 2 0x y x yOC OB = − =− + =$ $

/( 1, 2 ) ( 3 ,1)x yBC OC OB= − = + − / x y31

12+ = − 3 7x y− =−

x 14 y 7 (14 , 7 )OC

8 ABCDEF 1AC AD$ AB AF$ a aAC 3 2aAD

2 30 3 1cosa a aAC AD 3 2# # c$ a

31

120cosAB AF31

31

61

# # c= =−$

9 | |a 2 7 | |b 1 | |c 2 2 3a b c 0+ + =

a b$ | 2 3 |a b− = 2 3a b c+ =− | 2 | | 3 | 6a b c+ = − = 36 ( 2 ) ( 2 ) | | 4 4 | | 28 4 4a b a b a a b b a b2 2= + + = + + = + +$ $ $

4 4a b$ 1a b$

| 2 3 | ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4 | | 12 9 | |a b a b a b a a b b 112 12 9 1092 2− = − − = − + = − + =$ $

10 ABC A 90c+ AB 3 AC 4 ABDEACFG BCPQ AQ BF$

A AB x AC y

( 3 , 0 )B ( 0 , 4 )C ( , )Q 7 3 ( , )F 4 4

( 7 , 3 )AQ ( 7 , 4 )BF = −

49 12 37AQ BF =− + =−$

2

360°

C

BA

A F

E

DC

B

AG

F C

P

Q

B

E D

A4

4

43

3

F C

B

y

x

Q

43

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

221 ( , )a 3 2= − ( , )b 1 4= − ( , )c k 6 a c b c

k

2 2( ) ( )c

a c cc

b c c$ $| | | |

a c b c$ $ 0a c b c− =$ $ ( ) 0a b c− =$

( 4 , 6 ) ( , 6 ) 0k$− = k4 36 0− + = 9k

2 (1, 2 )A ( 3 , 4 )C AB 6 AB AC 135cAB AC$ B AC ( 2 , 2 )AC | |AC 4 4 2 2= + =

| | | | 135 6 2 ( ) 12cosAB AC AB AC 222

# #c= = − =−$

( , )B p ql 2( ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )AC

AB AC AC812$= = − = − −AB

| |l

( 1, 2 ) ( 3 , 3 )p q− − = − − p 2=− q 1=− ( , )B 2 1l

3 ( , )p a b ( , )q x y ( , ) 3f x y ax by= + + | | 1p | |q 2 ( , )f x y

| | | | 2cos cosp q ax by p q$ i i= + = =

2 2 2cos# #i 2 2ax by# #− + 3ax by1 5# #

4 ( , )A 2 2 ( , )B 10 4

AB x ty t

2 45 3

=− += −

) t

( , 2 )P 1 AB t

t2 4 22 4 10

− + =− + =

) tt13) 1 3t# #

x ty t3 6 124 20 12

g

g

=− += −

)t x y3 4 14 0+ − =

( , ) | 3 8 14 |d P AB3 4 5

32 2

=+

+ − =

5 L1 x y7 24 0− = L2 x y4 3 1+ = L1 L2 cos

| | | || |

| ( 7 , 24 ) | | ( 4 , 3 ) || ( , ) ( , ) | | |

n nn n 7 24 4 3

25 528 72

12544

1 2

1 2

# # #

$= =−− = − =$

( x , y ) | | | |x y x y25

7 245

4 3 1− = + − 7 24 5( 4 3 1)x y x y!− = + −

13 39 5x y+ = x y27 9 5− =

c

ab

44

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

6 L ( , )2 1 l x y2 6 0+ − = 45 L L m l 2

45( )( )tan

mm1 2

2#

c =+ −

− − 1m

m1 2

2=−

+ (1 2 ) ( 2 )m m2 2− = +

1 4 4 4 4m m m m2 2− + = + + 3 8 3 0m m2 − − = ( 3 1)( 3 ) 0m m+ − =

m31=− m 3 L 1 ( 2 )y x

31− =− − 1 3( 2 )y x− = − L 3 5 0x y+ − = x y3 5 0− − =

7 x y R x y3 4 1+ = ( ) ( )x y1 22 2− + − x y3 4 1+ = ( , )x y (1, 2 ) | | 2

9 163 8 1

510

++ − = =

(1, 2 ) x y3 4 1+ =

8 L ( 2 , 5 ) L 1 L L 5 ( 2 )y m x− = − ( 0 , 0 ) L 2 5 0mx y m− − + = 1

mm1

2 52 +

− + =

4 20 25 1m m m2 2− + = + 3 20 24 0m m2 − + = m6

20 1123

10 2 7! !

9 ( , )cos sinA i i ( , )cos sinB i i ( , )C21 0 O ABC

OA OB OC+ + = OA OB$ O OA OB OC 0+ + =

( , ) ( , ) ( , 0 ) ( 2 , 0 )cos sin cos sin cosOA OB OC21

21 0i i i i i+ + = + − + = − =

cos41

i ( ) 2 2 1 2 ( ) 1cos sin cos cosOA OB41

872 2 2 2

#i i i i= + − = = − = − =−$

10 AB 5 BC 7 CA 4 H x yAH AB AC= +

AB AC$ AH AB$ ( , )x y

5 4 4AB AC2 5 4

25 16 4928= + − = − =−$ $ $

$ $A

B C

45

7

4AH AB AH AC AB AC= = =−$ $ $x yAH AB AC= + 4AH AB AH AC= =−$ $( ) ( ) 4x y x yAB AC AB AB AC AC+ += =−$ $

25 4 4 16 4x y x y− =− + =−x yx y29 20

4 1=

− + =−) x

245=− y

9629=−

45

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

23

1 x yx y

2009 2010 12011 2012 0

+ =+ =

) ( , )x y

2009 2011 220092011

20102012

20092011

11

T = = = − =−

( 1)#

2012 20111020102012

20092011

10x yT T= = = =−

1006x y2

201222011

22011x y

T

T

T

T= =

−=− = =

−− =

2 x y ax y a3 2 94 5 3

− =+ = +

) 5 4x y a2+ = a

3 8 11 19 6 9 21aa

a aa

a34

21

95 3

21

34

95 3x yT T T=

−= + = =

+−

= + =+

= −

x a y a11

19 611

9 21x y

T

T

T

T= = + = = − 5 4 4x y a+ =

5( ) 4( ) 2a a a11

19 611

9 21+ + − = 95 30 36 84 22a a a+ + − = a a11 66 22+ = a11 66 a 6

3 ax by ecx dy f

+ =+ =

) ( , )2 5 bx ay edx cy f4 5 3 04 5 3 0

− + =− + =

)

ac

bd

ef

bd

ac

efx yT T T

20 20 20bd

ac

bd

ac

ac

bd

44

55

T T=−−

=− = =l

15 15 12 12ef

ac

ef

ac

bd

ef

bd

ef

33

55

44

33x y y xT T=

−−

−−

= =− =−−

=− =T Tl l

( ) 5x2015

43

43

415x y y

#T T

T

T

T= =

−=− =− =−

Tl

l

l( ) 2y

2012

53

53

56y x x #

T T

T

T

TTl

l

l

( , )415

56

4 ( )

( )x a y aa x y a6 2 7 17

5 2 8 24+ − = −+ − =− −

) ( , )x y 4x y2 2

a

aa

a56

22

8 247 17

+=

−− =

− −− 1a =− 2

x yx y6 3 244 2 16

− =−− =−

) x ty t2 8

== +

) 4 4 ( 2 8 ) 8 32 64 8( 4 4 ) 32 64 8( 2 ) 32 32x y t t t t t t t2 2 2 2 2 2 2

$+ = + + = + + = + + − + = + +

32

5 xyz 0! x y x zx y x z2 3 2

5 3 8− = −+ = +

) xy yz zxx y z3 22 2 2

+ ++ − =

x y zx y z

03 3 0

+ − =− + =

) ( 2) ( 4) ( 6) 1 2 3x y z 13

11

1113

13

13

=−

− −−

= − − − =

x t y 2t z 3t 2 6 312 18

115

xy yz zxx y z

t t tt t t

tt3 2

1152 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

+ ++ − =

+ ++ − = − =−

46

嚴晟選景

用教書師

伴

守護

教育最前線

6 | |a 2 | |b 3 | |a b3 2 6− = a b | 3 2 | 6a b− = 36=12( ) 4 | |2 − +$ 29 | |a a b b

36 12( ) 36 36a b− + =$ 12( )a b 36$ 3a b$

2 | | ( )$−| |a b a b21

21 4 9 9

23 32 2

#= = − =

7 ( , )a 77 78 ( 7 , 7 )b 6 7 1 a b a b a b3 2 a b5

a b a b 2

a

b

−ba−b

a+b ( , )a x y1 1 ( , )b x y2 2 | | 1xx

yy

1

2

1

2| | 1x y x y1 2 2 1− =

3 2 ( 3 2 , 3 2 )a b x x y y1 2 1 2− = − − 5 ( 5 , 5 )a b x x y y1 2 1 2+ = + +

| | ( ) ( ) ( ) ( ) |x x y y x x y y3 2 5 5 3 2= − + − + −|x x

x xy y

y y3 2

53 2

51 2

1 2

1 2

1 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1

−+

−+

| | | |x y x y x y x y17 17 17 17 1 17#= − = − = =

8 ( , )A 2 3 ( , )B 1 2 ( , )C 0 5ABC

P r sAP AB AC= + 1 3r# # s 21 # # P ( 1, 1) ( 2 , 2 )AB AC= − − = −

A

C

r = 1 r = 3s = 2

s = −1B

ABC 21 1

212

=−−

− | 4 | 221

#= − =

6 12 24ABC# T

9 ( , )A k 2 ( , )B k5 2 ( , )C k4 6 ABC 29 k

( 5 , 4 ) ( 4 , 8 )k k k kAB AC= − − = − −

kk

kk2

1 54

48

=−−

−−

| 5 24 |k21

29= − = | 5 24 | 9k − =

k5 24 9!− = k533 3

10 ( , )A 3 0 ( , )B 0 4 P C x y 252 2+ = APB ( , )P x y ( 3 , )x yPA = − − ( , 4 )x yPB = − − −

APBT

x y21 4 3 12= − −

| |x

xy

yy x xy xy

21 3

4 21 12 3 4=

−−

−− −

= − − + + −

( ) ( 4 ( 3 ) ) ( 4 3 )x y x y2 2 2 2 2$+ + − − ( 4 3 )x y 252 2

#

4 25x y3 # 25 4 3 25x y# # 37 4 3 12 13x y# #

APBT 21 37

237− =

Ox

y

P x , y

A 3 , 0

B 0 , −4

14 1 4

x y1 3= + ( 3 2 ) ( 4 ) 10y y2 2− + − =

L

O 2 , 2

P 3 , 4

y y10 20 20 102 − + =

y y10 20 10 02 − + =

2 1 0y y2 − + = ( 1) 0y 2− =

y 1 ( 4 ,1)

O ( , ) ( 2 , 2 )2

0 42

3 1+ + =

m3 24 2 2OP =

−− = OP

21

4 ( 3 )y x21− =− −

y x2 8 3− + = − 2 11 0x y+ − = (1, 0 )O r 3

( , ) 3d O L r1

( , ) 3d O L r2

( , ) | |d O L r5

3 0 1057

3 != + − =

( , ) | | 3d O L r25

24 0 514 = + + = =

( 4 , 4 )O5 r 25 5OO 9 165 = + =

r r OO3 2 55 5+ = + = =

y x y xx yy x

2 6+ ==

) 3x 6 xy

22)

( 2 , 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 4x y2 2− + − =

x yy x

2 6+ ==−

) x 6 xy

66

=−=

) ( 6 , 6 ) 6 ( ) ( )x y6 6 362 2+ + − =

( , )Q 2 0 m ( 2 )y m x= − mx y m2 0− − =

( 0 , 0 ) 1

( )| 0 0 2 | 1

mm m

12 2

#

+ −− − = m

31!

0x y3

13

2− − + =

( 2 , )h h3

4 3

21

AC AO AB OA OF= + =− −

( ) b fOB OF OF 2=− + − =− −

( )BM BO OM OB OE OF21= + =− + +

( ) b fOB OB OF21

23

21=− + − + =− +

( 2 ) ( )b f b f b f23

21

25

23= − − + − + =− −

x25=− y

23=−

( 5 , 2 )OP = − ( , )AB 3 8 (1, 2 )EF = −

( , ) ( , ) ( , )x y5 2 3 8 1 2− = + −

( , ) ( , ) ( , )x x y y x y x y3 8 2 3 8 2= + − = + −

x yx y

3 58 2 2

+ =−− =

) x74=− y

723=−

20

r 5OC r= − AC 15

r−5

15D

E( 5 ) 15r r2 2 2= − + 25r

OEQT

24OE OQ EQ 25 72 2= = − =−2 2

OE OC CE= + 24 20 CE= +

4CE PQ2 4 0x y x y a2 2+ − + + = ( 1) ( 2 ) 5x y a2 2− + + =− +

(1, 2 ) r a 52 =− +

ba2 2

5 25− = +− + =

) 20a =− 4b =−

OA 3x y k+ =

x−3y=1

O

A 4 , 1

( 4 ,1) k 13

OA 3x y 13+ =OA

( ,13 3 )t t

OA r ( ) ( )t t4 12 3 102 2− + − =

10 80 160 10t t2 − + =

8 15 0t t2 − + = ( 3 )( 5 ) 0t t− − = t 3 5

( 3 , 4 ) ( 5 , 2 ) ( 3 , 4 ) 3 1x y $ ( 5 , 2 )

4 5 0x y x ky2 2+ − + + = ( 2 ) ( ) 1x y k k2 4

2 22

− + + = −

1 0k4

>2

− k 4 0>2 − ( 2 )( 2 ) 0k k >+ −

2k 2k < −

( , 3 )k k ( 3 ) 4 ( 3 ) 5 0k k k k k >2 2+ − − + − +

3 13 14 0k k >2 − + ( 3 7 )( 2 ) 0k k >− −

k37 k 2

k37 2k < −

6 8 24 0x y x y2 2+ − − + =

Q

P x , y

3 , 4

O 0 , 0

( 3 ) ( 4 ) 1x y2 2− + − =

5OQ 9 16= + =

( ) ( )x y x y0 02 2 2 2+ = − + −

x y2 2 5 1 6OQ r+ = + =

5 1OQ QP ( 3 ,4 ) ( , )OP OQ56

56

518

524

P ( , )5

18524

4 6 12 0x y x y2 2+ + − − =

( 2 ) ( 3 ) 25x y2 2+ + − =

( 2 , 3 )O = − r 5

( , ) | | 4OM d O L9 16

6 12 2= =+

− − − =

AB AM2 2 25 16 6= = − =

OM x y k4 3+ =( 2 , 3 )O k 1 4 3 1x y+ =

x yx y

4 3 13 4 2

+ =− =

) x52 y

51=−

AB ( , )52

51

LM

O 2,3

A B

5 4

1 4 15

22

c

ab

2 2( ) ( )c

a c cc

b c c$ $| | | |

a c b c$ $

0a c b c− =$ $ ( ) 0a b c− =$( 4 , 6 ) ( , 6 ) 0k$− = k4 36 0− + =

9k

( 2 , 2 )AC | |AC 4 4 2 2= + =

| | | | 135 6 2 ( ) 12cosAB AC AB AC 222

# #c= = − =−$

( , )B p ql

2( ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )AC

AB AC AC812$= = − = − −AB

| |l

( 1, 2 ) ( 3 , 3 )p q− − = − − p 2=− q 1=−

( , )B 2 1l

| | | | 2cos cosp q ax by p q i i= + = =$ 2 2 2cos# #i 2 2ax by# #− +

3ax by1 5# #

tt

2 4 22 4 10

− + =− + =

) tt

13) 1 3t# #

x ty t

3 6 124 20 12

g

g

=− += −

)t x y3 4 14 0+ − = ( , ) | 3 8 14 |d P AB

3 4 53

2 2=

++ − =

cos

| | | || |

| ( , ) | | ( , ) || ( , ) ( , ) | | |

n nn n

7 24 4 37 24 4 3

25 528 72

12544

1 2

1 2

# # #= =

−− = − =$ $

( , )x y | | | |x y x y

257 24

54 3 1− = + −

7 24 5( 4 3 1)x y x y!− = + −

13 39 5x y+ = x y27 9 5− =

L m l 2

45( )

( )tanm

m1 2

2#

c =+ −

− − 1m

m1 2

2=−

+

(1 2 ) ( 2 )m m2 2− = +

1 4 4 4 4m m m m2 2− + = + + 3 8 3 0m m2 − − =

( 3 1)( 3 ) 0m m+ − = m31=− m = 3

L 1 ( 2 )y x31− =− − 1 3( 2 )y x− = −

L 3 5 0x y+ − = x y3 5 0− − =

x y3 4 1+ = ( , )x y (1, 2 ) | | 2

9 163 8 1

510

++ − = = (1, 2 ) x y3 4 1+ =

L 5 ( 2 )y m x− = −

( 0 , 0 ) L 2 5 0mx y m− − + = 1m

m1

2 52 +

− + =

4 20 25 1m m m2 2− + = + 3 20 24 0m m2 − + =

m6

20 1123

10 2 7! !

O OA OB OC 0+ + =

( , ) ( , ) ( , )cos sin cos sinOA OB OC21 0i i i i+ + = + − +

( , )cos221 0 0i= − =

cos41

i ( )cos sin cosOA OB 22 2i i i= + − =$

( )cos2 1 241 1

872 2

#i= − = − =−

( )AP AD AB AC AB AC53

53

54

51

2512

253= = + = +

( , ) ( , )x y2512

253

( )

( ) ( )

OP OA AP OA AB AC

OA OB OA OC OA

OA OB OC

2512

253

2512

253

52

2512

253

= + = + +

= + − + −

= + +

( , , ) ( , , )52

2512

253

a b c

2AB CB=− OB OA OC53

52= + B AC

172

75

! A B C

4 3OC OA OB= + OC OA OB43

41= + C AB

OB OA OC=− − 1 ( 1) 1!− + − A B C

CAB+ a CAD+ b

AC AB AC AD= +$ $ | | | | | | | |cos cosAC AB AC ADa b= +

| | | | 4 3 25AB AD2 2 2 2= + = + =

x y 1+ =

2

360°

C

BA

( )x xAP AB AC1= + − x xAB AC AC= + −

( )xAP AC AB AC− = −

xCP CB BCx y 1+ = 1y x= − 0y $ 1 0x $ 1x #

1x0 # # xCP CB BCyAP AB AC= + yBP AC AC

3 2 60sinABC21

23 3

# # # cT

cosBC 2 3 2 2 3 60 4 9 6 72 2# # c= + − = + − =

( , )x yOC OC OB= ( , ) ( 1, 2 ) 2 0x y x yOC OB = − =− + =$ $

/( 1, 2 ) ( 3 ,1)x yBC OC OB= − = + − /

x y3

11

2+ = − 3 7x y− =−

x 14 y 7 (14 , 7 )OCA F

E

DC

B

a aAC 3 2aAD2 30 3 1cosa a aAC AD 3 2

# # c$

a3

1

120cosAB AF3

13

161

# # c= =−$

2 3a b c+ =− | 2 | | 3 | 6a b c+ = − =

36 ( 2 ) ( 2 ) | | 4 4 | |28 4 4

a b a b a a b ba b

2 2= + + = + += + +

$ $$

4 4a b$ 1a b$

| 2 3 | ( ) ( )

| | | |

a b a b a b

a a b b

2 3 2 3

4 12 9 112 12 9 1092 2

− = − −

= − + = − + =

$

$A AB x

AC y ( 3 , 0 )B( 0 , 4 )C ( , )Q 7 3 ( , )F 4 4

( 7 , 3 )AQ ( 7 , 4 )BF = −

49 12 37AQ BF =− + =−$A4

4

43

3

F C

B

y

x

Q

16 1 4

| 3 2 | 6a b− = 36=12( ) 4 | |2 − +$ 29 | |a a b b

36 12( ) 36 36a b− + =$

12( )a b 36$ 3a b$

2 | | ( )$−| |a b a b21

21 4 9 9

23 32 2

#= = − =

a b a b 2

( , )a x y1 1

( , )b x y2 2 | | 1xx

yy

1

2

1

2

| | 1x y x y1 2 2 1− =

3 2 ( 3 2 , 3 2 )a b x x y y1 2 1 2− = − − 5 ( 5 , 5 )a b x x y y1 2 1 2+ = + +

||x x

x xy y

y y3 2

53 2

51 2

1 2

1 2

1 2=

−+

−+

| ( ) ( ) ( ) ( ) |x x y y x x y y3 2 5 5 3 2= − + − + −1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1| | | |x y x y x y x y17 17 17 17 1 17#= − = − = =

( 1, 1) ( 2 , 2 )AB AC= − − = −

A

C

r = 1 r = 3s = 2

s = −1B

ABC 21 1

212

=−−

−

| 4 | 221

#= − =

6 12 24ABC# T

( 5 , 4 ) ( 4 , 8 )k k k kAB AC= − − = − −

kk

kk2

1 54

48

=−−

−−

| 5 24 |k21

29= − =

| 5 24 | 9k − = k5 24 9!− =

k533 3

( , )P x y ( 3 , )x yPA = − − ( , 4 )x yPB = − − −

APBT | |x

xy

y21 3

4=

−−

−− −

y x xy xy21 12 3 4= − − + + −

x y21 4 3 12= − −

( ) ( 4 ( 3 ) ) ( 4 3 )x y x y2 2 2 2 2$+ + − −

( 4 3 )x y 252 2#

4 25x y3 #

25 4 3 25x y# #

37 4 3 12 13x y# #

APBT 21 37

237− =

24

AB AD AE BC BF p 4AB CG DH EH FG q 4

OA E= AB BC= OB BC=

OB OA AB 25 16 412= = + =+2

( )BC OC OB 12 41 1032 2 2= − = − =2

A C

GEi 4

AG 6 5 4 772 2 2= + + =

AE CG AC EG AE EG=

AEGC

a

b

−ba−b

a+b

Ox

yP x , y

A 3 , 0

B 0 , −4

A

B C45

7

5 4 4AB AC2 5 4

25 16 4928= + − = − =−$ $ $

$ $

4AH AB AH AC AB AC= = =−$ $ $x yAH AB AC= + 4AH AB AH AC= =−$ $

( ) ( ) 4x y x yAB AC AB AB AC AC+ += =−$ $25 4 4 16 4x y x y− =− + =−

x yx y

29 204 1

=− + =−

) x245=− y

9629=−

23

2009 2011 220092011

20102012

20092011

11

T = = = − =−

( 1)#

2012 201110

20102012

20092011

10x yT T= = = =−

1006x y2

20122

20112

2011x y

T

T

T

T= =

−=− = =

−− =

3 8 11 19 6

9 21

aa

a

aa

a

34

21

95 3

21

34

95 3

x

y

T T

T

=−

= + = =+

−= +

=+

= −

x a y a11

19 611

9 21x y

T

T

T

T= = + = = − 5 4 4x y a+ =

5( ) 4( ) 2a a a11

19 611

9 21+ + − = 95 30 36 84 22a a a+ + − =

a a11 66 22+ = a11 66 a 6ac

bd

ef

bd

ac

efx yT T T

20 20 20bd

ac

bd

ac

ac

bd

44

55

T T=−−

=− = =l

ef

ac

ef

ac

33

55

15 15x yT=−−

−−

= =−T l

bd

ef

bd

ef

44

33

12 12y xT=−−

=− =T l

( ) 5x2015

43

43

415x y y

#T T

T

T

T= =

−=− =− =−

Tl

l

l

( ) 2y2012

53

53

56y x x #

T T

T

T

TTl

l

l

( , )4

1556

aa

aa

56

22

8 247 17

+=

−− =

− −−

1a =− 2

x yx y

6 3 244 2 16

− =−− =−

) x ty t2 8

== +

) ( )x y t t t t4 4 2 8 8 32 642 2 2 2 2+ = + + = + +

8( 4 4 ) 32 64t t2= + + − +

8( 2 ) 32 32t 2$= + +

32

x y zx y z

03 3 0

+ − =− + =

)

( ) ( ) ( )

x y z 13

11

11

13

13

13

2 4 6 1 2 3

=−

− −−

= − − − =x t y 2t z 3t

2 6 3

12 1811

5xy yz zx

x y zt t t

t t ttt3 2

1152 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

+ ++ − =

+ ++ − = − =−

ac == − - visionbook.com.tw · 第10 章 平面向量 143 例d...

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