acevedo glz. - lógica_matemática_unad

8/10/2019 Acevedo Glz. - Lgica_Matemtica_UNAD

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LGICA MATEMTICA

versiones 2006 a 2009: GEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ

primera versin 2005: NUBIA JANETH GALINDO PATIO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD -

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

BogotD. C, 2009


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Versin del 6 de febrero de 2009

OpenOffice 3.0.0

General

MDULO

LGICA MATEMTICASEGUNDA EDICIN8 de febrero de 2009

Editor de texto: OpenOffice 3.0.0

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

ISBN

2009

Bogot, Colombia

__________________________________________________________________________ Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. comentarios en: [email protected]

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mailto:georffrey@gmailmailto:georffrey@gmail


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OH dicha de

entender, mayor que la de

imaginar o la de sentir!

Borges.

Introduccin

Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio al apasionante mundo de la lgica

Matemtica, ha sido diseado para ser un curso transversal a todos los programas acadmicos de la UNAD.

Para leer el mdulo slo se necesitan los conceptos de conjuntos numricos, y operacionesalgebraicas como destruccin de signos de agrupacin, factor comn, ecuaciones e inecuaciones de primer

grado que pueden ser recordados de manera simultnea.

La intencin es que el estudiante pueda aprender de este mdulo por smismo, en este sentido es un

texto escrito ms para los estudiantes que para el profesor.

En el primer captulo, analizaremos las diferentes operaciones entre conjuntos, tales como unin,

interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nos permitirn llegar a la compresin de los

conectivos lgicos usados en el lenguaje natural, partiendo de una representacin grfica. A la par

desarrollaremos las destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste:

De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la

UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamente

gustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si

10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman ser

fanticos de Juanes?

El segundo captulo es una herramienta que permite adquirir habilidades para comprender conceptos

como los conectivos lgicos que usamos diariamente en nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a

analizar y comprender, por ejemplo, nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo

predilecto harfiesta, pasado un tiempo encontramos que Boole estfestejando pero que su equipopredilecto ha perdido, Se estcontradiciendo el amigo Boole?, en este curso descubriremos y analizaremos

el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin, para concluir sobre este asunto.

Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguaje nos permitir

disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en la construccin gramatical.

Posteriormente aprenderemos ha hacer simplificaciones de expresiones complejas o difciles de

descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio de smbolos. Por


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ejemplo, al expresar en lenguaje natural que Es falso que Augustus no miente, por medio de la

lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus miente utilizando leyes lgicas bsicas que

nos permiten validar la simplificacin hecha con un argumento ms allde la simple intuicin.

Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestros argumentos. Por ejemplo,analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmacin: Si llueve hace fro, posteriormente

ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir que llueve?, por medio de la lgica

transformaremos esta expresin en lenguaje simblico que posteriormente podremos analizar por medio de

una tabla de verdad y descubrir en que caso especfico el argumento se contradice.

En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicos bsicos que

estudiaremos en este apasionante curso, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos fuertes,

basados en los cimientos de la lgica.

Agradezco a toda la comunidad acadmica su valiosa colaboracin.

Que estas pginas os brinden muchas horas de diversin.

Georffrey Acevedo G.


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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

MODULO DE LOGICA MATEMTICA

Contenido

Unidad 11 Teora de conjuntos y principios de Lgica.

Capitulo 1 Teora de conjuntos

Representacin grfica

Formas para determinar un conjunto

Conjuntos Finitos

Conjuntos especiales

Relaciones entre conjuntos

Operaciones entre conjuntos

lgebra de conjuntos

Capitulo 2 Principios de Lgica

Historia y clasificacin

Clasificacin de la lgica

Conceptualizacin

Lgica y lingstica

Simbolizacin

Proposiciones

Conectivos Lgicos

Proposiciones simples

Proposiciones Compuestas

Tablas de verdad

Leyes de la lgica

Leyes del lgebra de proposiciones

Cuantificadores

Capitulo 3 Preliminares sobre las proposiciones

Proposiciones categricas

Proposicin categrica universal afirmativa

Proposicin Categrica Universal negativa

Proposicin categrica afirmativa particular

Proposicin Categrica Negativa particular

Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas

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Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias

Smbolo y diagramas para proposiciones categricas

Capitulo 4 Deduccin

El mtodo cientfico Silogismos categricos

Forma Estndar de un silogismo categrico

Argumento deductivo

Argumento Vlido

Prueba formal de validez

Prueba de invalidez

Argumento Invalido

Inferencias lgicas

9 Reglas de inferencia

La demostracin

Demostracin directa

Demostracin indirecta

Demostracin por recursin

Demostracin por refutacin

Refutacin por contradiccin

Refutacin por contraejemplo

Capitulo 5 Induccin

El problema de la induccin:

Argumento inductivo por analoga

Evaluacin de los argumentos analgicos

La fuerza de las conclusiones con respecto a sus premisas.

Refutacin por medio de una analoga lgica

Unidad 2 Un lgebra Booleana2 Un lgebra Booleana

Capitulo 1 Axiomas del lgebra Booleana

propiedades o axiomas

lgebra booleana en sistemas numricos

lgebra booleana de los conjuntos

lgebra booleana de la lgica


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Capitulo 2 Expresiones Booleanas

Forma normal disyuntiva Forma normal conjuntiva

Capitulo 3 Simplificacin de Expresiones Booleanas

Simplificacin de expresiones booleanas mediante mapas de Karnaugh

Capitulo 4 Definicin y representacin de los circuitos lgicos

Circuito de disyuncin

Circuito de negacin

Adicin o suma lgica. Multiplicacin o producto lgico

Complementacin o inversin lgica

Otras compuertas lgicas

Capitulo 5 Aplicacin de los circuitos lgicos

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ndice de contenido

1.Unidad 1............................................................................................................................................13

1.1.Captulo 1 Teora de conjuntos.....................................................................................................13

Objetivo general...................................................................................................................................13

1.1.1.Representacin grfica de los conjuntos...................................................................................14

1.1.1.Formas para determinar un conjunto.........................................................................................15

1.1.1.1. Por extensin...........................................................................................................................15

1.1.1.2. Por comprensin ....................................................................................................................15

1.1.2.Conjuntos finitos, infinitos y conjuntos especiales...................................................................16

1.1.2.1.Conjuntos infinitos..................................................................................................................16

1.1.2.2.Conjuntos finitos......................................................................................................................16

1.1.3.Conjuntos especia.......................................................................................................................17

1.1.3.1.Conjunto Vaco........................................................................................................................171.1.3.2.Conjunto Unitario ...................................................................................................................18

1.1.3.3.Conjunto Universal..................................................................................................................18

1.1.3.4.Conjunto de partes o conjunto de conjuntos..........................................................................19

1.1.4.Relaciones entre conjuntos.........................................................................................................20

1.1.4.1.Subconjuntos............................................................................................................................20

1.1.4.2. Igualdad entre conjuntos........................................................................................................22

1.1.4.3.Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos:.............................................................23

1.1.4.4.Subconjunto propio.................................................................................................................23

1.1.5.Operaciones entre conjuntos......................................................................................................24

1.1.5.1.Unin .......................................................................................................................................24

1.1.5.1.1.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos).

...............................................................................................................................................................24

1.1.5.1.2. Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Subconjunto propio

...............................................................................................................................................................25

1.1.5.1.3.Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro............................................................25

1.1.5.2.Interseccin..............................................................................................................................26


...............................................................................................................................................................27

1.1.5.2.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn...................................27


1.1.5.3.Diferencia.................................................................................................................................291.1.5.3.1.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos).

...............................................................................................................................................................30



1.1.5.4.Diferencia simtrica...............................................................................................................32


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...............................................................................................................................................................33

1.1.5.4.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn...................................331.1.5.4.3.Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro............................................................34

1.1.5.5. Complemento..........................................................................................................................35


...............................................................................................................................................................35


1.1.5.5.3. Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro............................................................36

1.1.5.6. Producto Cartesiano...............................................................................................................37

1.1.5.7.Algebra de conjuntos ..............................................................................................................39

1.1.6.Principio de dualidad..................................................................................................................44

1.2.Captulo 2: Principios de lgica...................................................................................................48

1.2.1.Historia y clasificacin de la lgica...........................................................................................49

1.2.1.Lgica y Lingstica...................................................................................................................51

1.2.1.Conectivos Lgicos....................................................................................................................53

1.2.2.Clasificacin de las proposiciones.............................................................................................54

1.2.2.1.Proposiciones simples:............................................................................................................54

1.2.2.2.Proposiciones Compuestas......................................................................................................54

1.2.3.Conectivos Lgicos....................................................................................................................56

1.2.3.1.La conjuncin: ...............................................................................................................56

1.2.3.2.La disyuncin v ..................................................................................................................58

1.2.3.3.La negacin ~...........................................................................................................................59

1.2.3.4.El condicional ................................................................................................................591.2.3.5.El bicondicional .............................................................................................................61

1.2.4.Tablas de verdad- Definicin.....................................................................................................62

1.2.4.1.Implicacin directa, contraria, recproca y contrarecproca..................................................66

1.2.5.Leyes de la lgica.......................................................................................................................67

1.2.5.1.Leyes del algebra de proposiciones........................................................................................69

1.2.5.2.Cuantificadores........................................................................................................................72

1.3.Captulo 3 Preliminares sobre las proposiciones.........................................................................75

1.3.1.Proposiciones categricas..........................................................................................................75

1.3.2.Proposicin Categrica Universal afirmativa...........................................................................75

Todos los conductores de automviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en

peligro la vida de los dems................................................................................................................75

1.3.2.1.Proposicin Categrica Universal negativa...........................................................................77

..................................................................................................................................................................77

1.3.2.2.Proposiciones categricas afirmativa particular....................................................................78

1.3.2.3.Proposiciones categricas Negativa particular......................................................................79

1.3.3.Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas..............................................................80

1.3.3.1.Cualidad Afirmativa o Negativa:............................................................................................80

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1.3.3.2.Cantidad Universal o Particular de cantidad:.........................................................................80

1.3.4.Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias......................................................81

1.3.4.1.Proposiciones contradictorias.................................................................................................81

1.3.4.2.Proposiciones contrarias:........................................................................................................82

1.3.4.3.Proposicin Contingente.........................................................................................................831.3.5.Proposiciones Subcontrarias......................................................................................................84

1.3.6.Simbologa y diagramas para proposiciones categricas.........................................................85

1.3.7.Proposiciones categricas..........................................................................................................87

1.3.7.2.Ningn S es P, o, Ningn P es S simbolizadas por SP = 0 y PS = 0, respectivamente, la

representacin grfica en ambos casos es:..........................................................................................87

1.3.8.Algn S es P, simbolizada por SP 0, su representacin grfica es:.....................................88

1.4.Captulo 4: Deduccin...................................................................................................................91

1.4.1.Silogismos categricos...............................................................................................................95

1.4.2.Validez de un argumento............................................................................................................99

1.4.2.1.Argumento deductivo..............................................................................................................99

1.4.2.2.Argumento Vlido...................................................................................................................99

1.4.2.3.Prueba formal de validez.........................................................................................................99

1.4.3.Prueba de invalidez...................................................................................................................100

1.4.3.1.Argumento Invalido..............................................................................................................101

1.4.3.1.Inferencias Lgicas................................................................................................................103

1.4.3.1.1. Modus Ponens (M. P) ..................................................................................................104

1.4.3.1.2.Modus Tollens (M. T).......................................................................................................106

1.4.3.1.3.Silogismo Hipottico (S: H)..............................................................................................106

1.4.3.1.4.Silogismo disyuntivo (S. D)...............................................................................................106

1.4.3.1.5. Dilema constructivo (D.C) ...............................................................................................106

1.4.3.1.6.Absorcin (Abs).................................................................................................................1071.4.3.1.7.Simplificacin (Simp.).......................................................................................................107

1.4.3.1.8.Conjuncin(Conj)...............................................................................................................107

1.4.3.1.9.Adicin (Ad.)......................................................................................................................107

1.4.1.La demostracin........................................................................................................................117

1.4.1.1.La demostracin directa........................................................................................................117

1.4.1.1.La demostracin indirecta.....................................................................................................118

1.4.1.2.La demostracin por recursin.............................................................................................118

1.4.1.3.La demostracin por refutacin............................................................................................120

1.4.1.3.1.La refutacin por contradiccin.........................................................................................120

1.4.1.3.2.La refutacin por contraejemplo........................................................................................120

1.5.Captulo 5: La induccin.............................................................................................................1221.5.1.Argumentos inductivos............................................................................................................124

1.5.2.Argumento inductivo por analoga ........................................................................................125

1.5.3.Evaluacin de los argumentos analgicos...............................................................................127

1.5.3.1.Nmero de entidades entre las que se establece la analoga (Analoga por EXPERIENCIA)

.............................................................................................................................................................127


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1.5.3.2.Nmero de aspectos en los cuales las cosas involucradas se dice que son anlogas --

OBSERVACICN---........................................................................................................................127

1.5.3.3.La fuerza de las conclusiones con respecto a sus premisas.................................................1281.5.4.Refutacin por medio de una analoga lgica........................................................................128

2.Unidad 2 .........................................................................................................................................131

2.1.Captulo 1: Algebra Booleana y Circuitos Lgicos..................................................................133

2.1.1.Variables y constantes booleanas............................................................................................134

2.1.2.Axiomas del Algebra Booleana...............................................................................................135

2.1.3.Algebra Booleana en sistemas numricos...............................................................................136

2.1.4.Algebra Booleana de los Conjuntos........................................................................................137

2.1.5.Algebra Booleana de la Lgica................................................................................................138

2.2.Captulo 2: Expresiones Booleanas............................................................................................141

2.2.1.Expresiones Booleanas y sus propiedades..............................................................................141

2.2.2.Forma Normal Disyuntiva........................................................................................................142

2.2.3.Forma Normal Conjuntiva.......................................................................................................146

F1 (x, y, z) = (x + y + z) ( x + y + z). Ya esta simplificada................................150

Captulo 3 .............................................................................................................................151

2.3.Captulo 3: Simplificacin de Expresiones Booleanas..............................................................152

2.3.1.Mapas de karnaugh de dos variables.......................................................................................152

Al simplificar usando los mapas de K, debemos obtener la siguiente simplificacin, deducida

mediante las propiedades del lgebra booleana:..........................................................................155

4) Simplificacin usando las propiedades de los mapas de KARNAUGH:...............................156

2.3.1.Mapas de karnaugh de tres variables.......................................................................................159

2.3.2.Mapas de Karnaugh de cuatro variables..................................................................................1632.4.Captulo 4: Definicin y Representacin de los Circuitos Lgicos..........................................166

2.4.1. Representacin de los circuitos Lgicos................................................................................167

...............................................................................................................................................167

2.4.1.1.Circuito de Conjuncin.........................................................................................................169

2.4.1.2.Circuito de Disyuncin.........................................................................................................170

2.4.1.3.Circuito de Negacin.............................................................................................................171

2.4.2.Operaciones Aritmticas con circuitos Lgicos......................................................................172

2.4.2.1.Adicin o Suma Lgica.........................................................................................................172

2.4.2.2.Multiplicacin o Producto Lgico........................................................................................172

2.4.2.3.Complementacin o inversin Lgica..................................................................................173

2.4.3.Correspondencia entre Lgica-Conjuntos -Algebra booleana y las compuertas lgicas......173

LGICA.........................................................................................................................................173

2.4.4.Compuertas NOR, NAND, XOR y XNOR:............................................................................177

Ejemplo 1...................................................................................................................180

Ejemplo 2...................................................................................................................181

2.5.Captulo 5: Aplicaciones de los circuitos lgicos......................................................................183

2.5.1.Circuito Aritmtico Digital......................................................................................................183

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12/200

2.5.1.1.Circuito Semisumador...........................................................................................................183

2.5.1.2.Circuito Sumador...................................................................................................................186

2.5.2.Control de una estacin de combustible..................................................................................188

S......................................................................................................................................................188

Y...................................................................................................................................188Y...................................................................................................................................188

F......................................................................................................................................................193

SALIDA.........................................................................................................................................194

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIN No. 5.............................................195

ANEXO..................................................................................................................................................197


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13/200



Unidad

11

Teora de conjuntos y

principios de Lgica.

11


14/200

Captulo 11:

Teora de conjuntos


12

AB

C

U


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1.Unidad 1

1.1.Captulo 1 Teora de conjuntos

Objetivo general

Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teor a de conjuntos, bsicos para llegar a la

comprensin de los conectivos lgicos y su relacin con el lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la

solucin de problemas.

Objetivos especficos

1. Identificar las relaciones entre conjuntos.

2. Distinguir las diferentes clases de conjuntos.

3. Representar grficamente los conjuntos.

4. Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos.

5. Resolver problemas con conjuntos.

Definicin y generalidades

Las nociones de conjunto y de elemento son ideas primitivas que se presentan en forma intuitiva. Los

conjuntos estn relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas que

involucran el concepto de cantidad.

Se puede afirmar que un conjunto es una coleccin de objetos, smbolos o entidades bien definidas, que

reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto.

13


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Leccin No.1 Representacin grfica de los conjuntosLeccin No.1 Representacin grfica de los conjuntos

1.1.1.Representacin grfica de los conjuntos

Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la utilizacin de

esquemas grficos llamados circulos de Euler o diagramas de Venn. Estos esquemas estn

compuestos por una regin cerrada del plano (generalmente un rectngulo), la cual representa el conjunto

universal, y por uno o varios crculos que representan los conjuntos a graficar.

Generalmente, los conjuntos se identifican con letras maysculas y sus elementos con minsculas.

Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el

smbolo (se lee pertenece a ) y

para indicar que no esta en el conjunto se utiliza el smbolo

(se lee no pertenece a).

Esta es la representacin grfica correspondiente:


14

A

U

x A

x

U

x A

Ax

Figura No. 1


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Leccin No.2 Formas para determinar un conjuntoLeccin No.2 Formas para determinar un conjunto

1.1.1.Formas para determinar un conjunto

Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas son:

1.1.1.1.Por extensin

Un conjunto est determinado por extensin cuando se describe el conjunto nombrando cada uno de sus

elementos. Por ejemplo:

A= {2, 4, 6, 8}B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,}

D= {a, e, i, o, u }

1.1.1.2.Por comprensin

Un conjunto est determinado por comprensin cuando se nombra una propiedad, una regla o una

caracterstica comn a los elementos del conjunto. Por ejemplo:

C= {Nmeros impares menores que 10}D= {Vocales}

B= {Dgitos}

Lenguaje:

E = {x R / 0 x < 9},en este caso se utiliza un lenguaje muy especfico, el cual se lee as:

E igual al conjunto de todos los nmeros reales tales que (o que verifican que) cero (0) es

menor o igual a x, y, xa su vez es menor que 9, esta notacin se usa con mucha frecuencia para

describir intervalos, para escribir la solucin de una inecuacin o para representar el dominio de una funcin

real.

15


18/200

Leccin No.3 Conjuntos finitos, infinitos y conjuntos especialesLeccin No.3 Conjuntos finitos, infinitos y conjuntos especiales

1.1.2.Conjuntos finitos, infinitos y conjuntos especiales

1.1.2.1.Conjuntos infinitos

Existen conjuntos como por ejemplo:

A = {x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par}

Que no se pueden expresar por extensin debido a que nunca se terminara de escribir la lista de los nmeros

reales que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el

nombre de INFINITOS;

1.1.2.2.Conjuntos finitos

Mientras que otros, como por ejemplo:

C = {x / x es vocal} D = {x / x es dgito par}

Que estn formados por cierto nmero de elementos distintos, reciben el nombre de conjuntos FINITOS.

Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir por extensin?

El anlisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar ms ejemplos que justifiquen la

respuesta para que sean analizados con el tutor y luego socializados en los equipos de trabajo.


16


19/200



1.1.3.Conjuntos especia

1.1.3.1.Conjunto Vaco

Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza as:

Naturalmente el conjunto forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puede afirmar que:

A

El conjunto (vaco) es un subconjunto de todo conjunto?

Ejemplo 1.

Si D = {x N / x x ),obviamente Des un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe

ningn nmero natural que sea diferente a smismo.

17

U

A

A =

Figura No. 2.

{ }


20/200

1.1.3.2.Conjunto Unitario

Se denomina conjunto unitario al conjunto formado por un slo elemento.

Ejemplo:

E = {x / x es un primo par}

El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el nmero 2, por lo tanto E =

{2}se llama unitario.

1.1.3.3.Conjunto Universal

Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos, porejemplo:

Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i, o, u} , es

decir, A V, este conjunto Vconstituye el universo del conjunto A, por esta razn se dice que Ves un

conjunto Universal.


18

UA U = Conjunto Universal

A = {a,e,i}

U = V = {a,e,i,o,u}

ae

i

o

u

Figura No. 4

UA

A = Conjunto Unitario

A = {7}7

Figura No. 3


21/200



Similarmente, si A = {x N / x es primo}sus elementos son elementos del conjunto de los nmeros

naturales N, A Ny en este caso, Nse constituye en el conjunto universal. Generalmente, el conjunto

universal se simboliza con la letra U.

1.1.3.4.Conjunto de partes o conjunto de conjuntos

Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) estformado por todos los subconjuntos

que se pueden formar del conjunto A.

Ejemplo 1.

Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto de partes de Aesta formado por los siguientes subconjuntos:

P (A) = {{1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}, }.

P(A) y 2nsubconjuntos

Note que:

Como ya habamos analizado, el conjunto vaco esten todo conjunto y este caso no es la excepcin, por esta

raznP(A). Adems, cave anotar que los elementos del conjunto Ason a su vez conjuntos, por lo quese dice que el conjunto P(A)constituye una familia de conjuntos.

El nmero de elementos del conjunto P(A)depende del nmero de elementos de A; en el ejemplo, Atiene 3

elementos y P(A) tiene 8 = 23 elementos, en general, Si A tiene n-elementos se pueden formar 2n

subconjuntos del conjuntoA.

Cuntos y cules son los subconjuntos que se pueden formar de un conjunto

A = { 1,3,5} ?

Ejemplo 2.

Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}.Bno es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B sonconjuntos y otros no. Para que el conjunto Bfuera un conjunto de partes o una familia de conjuntos debera

estar expresado de la siguiente forma:

B = { {2}, {1,3}, {4}, {2,5} }.

19


22/200

Leccin No.4 Relaciones entre conjuntosLeccin No.4 Relaciones entre conjuntos

1.1.4.Relaciones entre conjuntos

1.1.4.1.Subconjuntos

Un conjunto Aes un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A tambin es elemento del

conjunto B.

Simblicamente esta relacin se expresa as:

A B (se lee A esta contenido en B)si todo elemento x que esten el conjunto A entonces

x tambin esten B, es decir;

A B si todo x A, entonces x B

Ejemplo 1:

Si A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito},claramente A B ya que todo dgito par

es dgito. Por extensin la situacin se expresa as:

A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Entonces A es un subconjunto de B.


20

B

A

U

A B

x A

x B

x

Figura No. 5


23/200



Un resultado muy til e importante acerca de la contenencia entre conjuntos es el siguiente:

Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C;simblicamente este enunciado se escribe as:

S A B y B C, entonces, A C

La demostracin es la siguiente:

S x A; entonces x Bporque A B, pero x tambin esta en n porque

B C; por lo tanto si xA, entonces x C y esto se cumple para todo elemento xque esten A, debidoa que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y Ba su vez, esta contenido en C; por consiguiente

queda demostrado que A C.

Si A, By Cson tres conjuntos no vacos que verifican las condiciones A B y B C, quse puede

concluir de A con respecto a C?

21

CU A B

B C

_____

A C

x A

x B

Ax

B

Figura No. 6


24/200

1.1.4.2.Igualdad entre conjuntos

El conjunto Aes igual al conjunto Bsi ambos conjuntos tienen los mismos elementos, esdecir, si todos los elementos de Apertenecen a By si todos los elementos de Bpertenecen

al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma:

A = B si A B y B A

Ejemplo 1.

Si M = {1, 1, 0, 2} y N = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M, por lo tanto

M = N.

Ejemplo 2.Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par},se puede observar que B Apero A B,

por lo tanto el conjunto Ano es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A B.


22

BU

A B

B A

_____B = A

1

A

2

43

5

BU B A

A B

______

A

B

6

A

2 4

3 8

15

7

9

Figura No. 8

Figura No. 7.


25/200



1.1.4.3.Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos:

Es importante destacar que cuando dos conjuntos son completamente diferentes (no tienen ningn elementoen comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.

Ejemplo 3.

Los conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito impar}no tienen ningn elemento en

comn, es decir Ay Bson disyuntos.

1.1.4.4.Subconjunto propio

Todo conjunto es subconjunto de smismo, es decir, A A (con A un conjunto cualquiera), si ese subconjuntose llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio de A, este hecho se simboliza as:

23

BU

A B y

B A y no hay

elementos

A

7

1

5

29

Figura No. 9.


26/200

Leccin No.5 Operaciones entre conjuntosLeccin No.5 Operaciones entre conjuntos

1.1.5.Operaciones entre conjuntos

Ascomo las operaciones suma, resta, multiplicacin y divisin estn definidas sobre los nmeros reales,

tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos como la unin, interseccin, complemento,

diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano; stas se estudiarn en las siguientes secciones.

1.1.5.1.Unin

Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y B como el conjunto de todos los

elementos que pertenecen al conjunto Ao al conjunto B.

Simblicamente la unin se define as:

A U B = {x / x A,v, x B}, donde el smbolov se leeo.

Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relacin que exista

entre ellos, segn los siguientes casos:

1.1.5.1.1.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en

comn. (conjuntos disyuntos).

La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos Ay B.


24

A BU

A U B

A BU

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {5,6,7}

A U B = {1,2,3,4,5,6,7}

5

6

Figura No. 10.


27/200



1.1.5.1.2. Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en

comn. Subconjunto propio

1.1.5.1.3.Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

la parte sombreada indica la operacin.

25

A BU

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {5,6,7}

A U B =

{1,2,3,4,5,6,7}

32

576

AU

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {5,6,7}

A U B =

{1,2,3,4,5,6,7}

32

4

B

5

76

Figura No. 12

Figura No. 11


28/200

Ejemplo 1.

Si A = {x N / x es dgito par o dgito primo}, grficamente la representacin de estunin es:

La figura No.3 permite apreciar que el nico dgito que es a la vez par y primo es el nmero 2; esto conlleva ala formulacin de la siguiente operacin entre conjuntos:

1.1.5.2.Interseccin

Se define la interseccin entre dos conjuntos Ay Bcomo el conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen simultneamente al conjunto Ay al conjunto B.

Simblicamente la interseccin se expresa as:

A B = {x / x A, ,x B}

el smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee y.


26

U

A B U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,5,7,9}

B = {2,4,6,8}

A U B =

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3 75 2

8

4

Figura No. 13

69


29/200



1.1.5.2.1.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento encomn. (conjuntos disyuntos).

La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B.

Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interseccin es vaca y los conjuntos se

llaman disyuntos, como ya se haba mencionado;

1.1.5.2.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos encomn.

27

A B

U

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {5,6,7}

A B = { }3 2

41 5

76

Figura No. 14.

Figura No. 15

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {5,6,7}

A B = {5,6 }

A BU

8

9

32

47

5

6


30/200


La parte sombreada indica la operacin:

Esto permite afirmar que si A B, entonces. A B = A; anlogamente se puede inferir que si B A,

entonces, A B = B.

A continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3 de la figura No. 16, la otra situacin si B

A,entonces, A B = B, se deja como ejercicio complementario (se encuentra al final del captulo), esta

demostracin es muy similar a la que se har a continuacin, sin embargo la puede consultar en el libro,

Teora de conjuntos de Seymour Lipschutz.

Si A B, por definicin de contenencia entre conjuntos se puede afirmar que todo elemento x A,

entonces x B; por definicin de interseccin, stos elementos x forman el conjunto A By comotodos estos son elementos de A, se puede concluir que A B = A.

Ejemplo 1.

Dados los conjuntos:

M= {x N / x es mltiplo de 2}

N= {x N / x es mltiplo de 3}

P= {x N / x es impar}

Se pueden analizar las siguientes intersecciones:

1. M N= {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es:

M N= {x N / x es mltiplo de 6}.

2. M P = , no existe ningn nmero natural que sea mltiplo de 2y a la vez impar.3. M =, El conjunto vaco estcontenido en cualquier conjunto, en particular en M, esto es

M, luego se puede concluir que M =.__________________________________________________________________________ Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. comentarios en: [email protected]

28

U

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {5,6,7}

A B = {5,6,7 } = B3

2B

5

76

Figura No. 16


31/200



4. Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la interseccin de Mcon Ny luego con

el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y P.

En este caso M N = {x N / x es mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est

formado por los mltiplos de 6 que son impares, es decir, M N P = {x N / x es impar y

mltiplo de 6}, por extensin el conjunto es:

M N P =,pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6.Ejercicio propuesto:

Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn

1.1.5.3.Diferencia

Segn los tres casos estudiados, se puede afirmar que al comparar dos conjuntos no vacos, puede suceder

que:

1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente diferentes).

2. Slo algunos elementos sean comunes, (conjuntos parcialmente diferentes o parcialmente

iguales)

3. Un conjunto este contenido en el otro.

4. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales)

En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para

ser igual a otro, este conjunto asformado, se denomina diferencia entre conjuntos.

Si Ay Bson dos conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre Ay Bas:

A B = {x / x A, , x B}

29

U =M =

N =

M N =

M P =

M N P =

M NU

Figura No. 17

P


32/200

Esto se lee: Amenos B, es el conjunto formado por los elementos que estn en el conjunto A pero no en el

B.

En la siguientes grficas, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos Ay B.



Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su diferencia es vaca y los conjuntos se llaman

disyuntos, como ya se haba mencionado;

1.1.5.3.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en

com

n.


30

A B8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {5,6,7}

A - B = A = {1,2,3,4}

B - A = B = 5,6,7

3 2

5

76

Figura No. 18.

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {5,6,7}

A - B = {1,2,3,4}

A BU

8

9

34

Figura No. 19

56


33/200




La parte sombreada indica la operacin.

En la figura 20, se puede observar que todos los elementos que estn en B, estn en A(debido a que B

A),por lo tanto no existe ningn elemento que pertenezca a la diferencia B Ay en consecuencia B A

= . Surge ahora, la siguiente inquietud:

Cu

l ser

la diferencia entre Ay B (A B)cuando B

A?

Esta pregunta se plantea formalmente en el numeral 4de los ejercicios complementarios y el propsito es

realizar la demostracin con el apoyo del tutor.

31

U

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {5,6,7}

A - B = {1,2,3,4}

B - A =

32

4 5

6

Figura No. 20


34/200

Ejemplo 1.

Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito}y B = {0, 2, 3, 7}hallar A B y B A y hacer la

representacin grfica.

Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin, as:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7},entonces:

A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = ,

1.1.5.4.Diferencia simtrica

Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los

elementos que pertenecen al conjunto Ao al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos

conjuntos.

Simblicamente la diferencia simtrica entre Ay Bse escribe as:

A B = {x / x A, v, x B, , x A B}.


32

AU

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B = {0,2,3,7}

A - B = {1,4,5,6,8,9}

B - A = { }

6

5

41

B

273

Figura No. 21

89 0


35/200



En la siguientes grficas, la parte sombreada representa la diferencia simtrica entre los conjuntos Ay B.



Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interse es vac a y los conjuntos se llaman

disyuntos.

1.1.5.4.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos encomn.

33

A B8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {5,6,7}

A B = {1,2,3,4,5,6,7}B A = {1,2,3,4,5,6,7}

3 2

4 5

76

Figura No. 22.

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {5,6,7}

A B = {1,2,3,4,7}B A = {1,2,3,4,7}

Figura No. 23

A BU

8

9

32

4

7

5

6


36/200

1.1.5.4.3.Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.La parte sombreada indica la operacin.

Ejemplo 1.

Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x es una letra de la

palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M, S, T}.

Ejercicio propuesto:


Ejemplo 2.

Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simtrica entre My Nes:

M N = {1, 2, 3, 5},claramente se puede observar que el nmero 4, no pertenece a la diferencia

simtrica porque forma parte de la interseccin entre My N.


34

AU

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {5,6,7}

A B = {1,2,3,4}

B A ={1,2,3,4}

32

4 5

6

Figura No. 24

U =

A =

B =A B =

A B =

A U B =

A BU

Figura No. 25


37/200





1.1.5.5.Complemento

Si Aes un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, estformado por todos los

elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,

A = Ac= A*= ~A = A = A = {x / x A}

En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el complemento del conjunto A.



35

U =

A =

B =

A B =

A B =

A U B =

A BU

Figura No. 26

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {5,6,7}A = {5,6,7,8,9}3 2 5

76

Figura No. 27.

A B


38/200

1.1.5.5.2.Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en

comn


La parte sombreada indica la operacin.

Ejemplo 1.

Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los estudiantes de Ingeniera de sistemas de la UNAD

y Acomo el conjunto de los estudiantes que estn en el primer semestre, el complemento del conjunto A(A)

ser el conjunto formado por todos los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que no cursan

primer semestre, esto es:

U= {x UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}.

A= {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}.

A= {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}.


36

Figura No. 28

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {5,6,7}

A = {7,8,9}

U

8

9

7

A B

43

26

5

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {5,6,7}

A = {8,9}

83 2

4 576

A


39/200



1.1.5.6.Producto Cartesiano

Par ordenado o pareja ordenada:

La expresin (x , y ) representa una pareja ordenada , que cumple la condicin de que su primera

componente, (x) pertenece al conjunto Ay la segunda componente (y) pertenece al conjunto B.

Plano cartesiano:

Los pares ordenados (x,y),(-x,y), (x,-y), (-x,-y)se representan en el plano cartesiano como sigue:

Producto Cartesiano:

Si Ay Bson dos conjuntos no vacos, se define el producto cartesiano entre Ay Bas:

A X B = {(x , y ) / x A , , y B }.

Ejemplo 1.

Si A = {1, 2,3} y B = {-1, 0, 2} el producto cartesiano de A X B es:

A X B = {(1,-1),(1,0),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,-1),(3,0),(3,2)} y el producto de BXAes

B X A = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

De donde se observa que el producto cruz no es conmutativo, es decir:

A x B B x A

37

x-x

-y

y(-x,y) (x,y)

(-y,-x) (x,-y)

Y

X

Figura No. 30


40/200

Se puede observar que el producto cartesiano entre A y B no es conmutativo, puesto que la pareja ordenada

( x, y ) es diferente a la pareja ordenada ( y, x ), en particular, (-1,1) es diferente a (1, -1) y ( 1,1) es diferente a

(-1,-1).

La siguiente grfica muestra la diferencia.


Realiza el siguiente producto cartesiano y luego ubica los pares ordenados en el plano cartesiano: Si A =

{2,3} y B = {1, -2} A x Bes:


38

1-1

-1

1(-1,1) (1,1)

(-1,-1) (1,-1)

Y

X

Figura No. 31

Figura No. 32


41/200



Leccin No.6 lgebra de conjuntosLeccin No.6 lgebra de conjuntos

1.1.5.7.Algebra de conjuntos

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Las siguientes cuatro propiedades, son vlidas para las operaciones de unin e interseccin:

a. Leyes de idempotencia:

A U A = A

A A = A

b) Leyes asociativas:

(A U B) U C = A U (B U C)

(A B) C = A (B C)

b. Leyes conmutativas:

A U B = B U A

A B = B A

d) Leyes distributivas:

A U (B C) = (A U B) (A U C)

A (B U C) = (A B) U (A C)

Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos Universal U y vaco :

e) Leyes de identidad:

A U U = U A U = A

A U = A A =

Propiedades con respecto al complemento.

f) Leyes del complemento:

A U A' = U A A' =

(A' )' = A ' = U

g) Leyes de DMorgan:

(A U B)' = A' B'

(A B)' = A' U B'

39


42/200

Estas leyes se pueden representar grficamente de la siguiente forma:

a) Leyes de idempotencia:

A U A = AA A = A

Quobtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo?

Qupasa si unimos A con A? :

b) Leyes de identidad: A U U = U A U = A

A U = A A =

Quse obtiene de unir el conjunto A con el universo? :

Quse obtiene de unir el conjunto A con el vaco? :


40

Figura No. 33

A

U U U

AAA

Figura No. 35

U =U U

Figura No. 34

UU

U


43/200



Qutienen en comn A y el universo?

Qutienen en comn A y el vaco? :

c) Leyes del complemento:

A U A' = U A A' =

(A' )' = A ' = U

Quse obtiene de unir A con lo que no es A?

41

Figura No. 36

A

U U

=

A

U

Figura No. 37

A

U

=

Figura No. 38

A

U U U

U =

A

UU


44/200

Qutienen comn A con lo que no es A?

d) Leyes de D Morgan:

(A U B)' = A' B'(A B)' = A' U B'

La demostracin grfica de (A U B)' = A' B' es la siguiente:

Ashemos encontrado el rea que representa a la primera parte de la igualdad, ahora representamos

la segunda parte, se espera que los resultados sean iguales:


42

Figura No. 39

A U U U

=

A

U

8

A B

413

2 65

A U B

U

8

A B

413

2 65

(A U B)

Figura No. 40

A

U

8

4 65

U

B

8

43 65

U

A' B'

8

43 65


45/200




Realiza la demostracin grfica del teorema de D Morgan para: (A B)' = A' U B' para ello subraya

el rea correspondiente.

Primera parte

Las anteriores leyes estn formuladas por pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la teora de conjuntos.


Simplificar aplicando las leyes del Algebra de conjuntos:

1) ( (A B)' )

2) (A ) ( ( (B)' ) )

3) (A' U A' ) U B'

4) (A )'

5) (A )'

43

Figura No. 41

______

U

8B

41

265

U

____

8A B

41

2 65

U

_______

8B

413

265

______

U

8B

413 6

5

U

____

8A B

413

2 65

U

_______

8B

413

265

6) (A U ) '7) (A A)' U (A' U A' )

8) (A U A ) '

9) (A A ) ' U A'

10) ( (A ) U U )' A'

Segunda parte de la igualdad A' U B':


46/200

1.1.6.Principio de dualidad

Si se intercambian las operaciones unin (U)por interseccin ( ), como tambin el conjunto universal (U)por el conjunto vaco (), en cualquier razonamiento sobre conjuntos, el enunciado resultante se llama

DUALdel primero.

Ejemplo 1.

Demostrar que el dual de;

(U U B) (A U ) = A es:

( B) U (A U) = A

Tomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene que:

(U U B) (A U )

U A = A

Ahora, considerando la segunda y nuevamente aplicando las leyes de identidad se tiene que:

( B) U (A U)

U A = A

Con lo cual queda demostrado.


44


47/200



Ejemplo 2.

Demostrar que el dual de(A B) U (A B') = A es

(A U B) (A U B') = A

En este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica as:

i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma:

figura No.42 primera parte

45

9

A

U8

7

B

4132 6

5

U

B

8

9

7

A B

413 2 6

5

U

A B'

8

9

7

A B

413 2 6

5

A

U

8B

413

265

U

( A B' )

8A B

4132 6

5

U

( A B )

8B

413

2 65

U =


48/200

Segunda parte: (A U B) (A U B') = A

i) La segunda parte se puede representar de la siguiente forma:


46

9

A

U 8

7

A B

43

2 65

U

B

8

9

7

A B

4

2 65

9

A

U 8

7

A B

413

2 65

=

A U B

8

9

U A

413

B

65

72

9

U

( A U B )

8

7

A B

432 6

5

A U B

8

9

UA

43

B

65

72

Figura No.43 segunda parte (A U B) (A U B') = A


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Captulo 22

Principios de lgica.

y

o v

No ~

Si entonces

Sy slo si


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1.2.Captulo 2: Principios de lgica

Objetivo general

Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lgicos, utilizando las leyes de la lgica y las de

las inferencias, ya sea para determinar la conclusin, o para determinar la consistencia interna de un

razonamiento.

Utilizar las diferentes leyes de la lgica con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en diferentes

razonamientos.

Objetivos especficos

1. Conocer la historia de la lgica y su clasificacin.

2. Establecer la relacin entre lgica y lingstica.

3. Aprender los conectivos lgicos: disyuncin, conjuncin, negacin, implicacin y equivalencia.

4. Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lgicas.

5. Aplicar las leyes del lgebra de proposiciones para realizar demostraciones.

6. Determinar la conclusin de un grupo de premisas utilizando las inferencias lgicas.

7. Definir y diferenciar conceptos tales como razonamiento, demostracin y argumento.


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Leccin No.7 Historia y clasificacin de la lgicaLeccin No.7 Historia y clasificacin de la lgica

1.2.1.Historia y clasificacin de la lgica

Etimolgicamente la lgicaes la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo

que en un principio se definila lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de

lenguaje.

Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la

filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la

lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dems,

Aristteles, considerado por los griegos. El padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y

evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrollla lgica proposicional estableciendo procedimientos para

determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.

El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica,

planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos

en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un

razonamiento mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llamuna caracterstica universal.

El proceso de la lgica continuen el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Booleen compaa

de Augustus de Morganhizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas,

pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores

lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento

simblico y el anlisis lgico. A Boolese le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la

veracidad de proposiciones compuestas.

Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio

Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de

todas las operacionesconceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formalmoderna se le atribuye a ellos.

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Clasificacin de la lgica

La lgica se puede clasificar como:

1. Lgica tradicional o no formal.2. Lgica simblica o formal.

En la lgica tradicional se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico, y los mtodos de

inferencia que estn relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del

incorrecto; se puede considerar que la lgica no formal resume las experiencias humanas obtenidas del

conocimiento y de la observacin del mundo circundante.

La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y

establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los

sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simb lico, las palabras semanipulan, segn las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

Conceptualizacin

La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar

si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica

es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener

precisin, claridad y generalidad en los razonamientos.

La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las

ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.

La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos

de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado para luego establecer un

lenguaje simblico artificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera, el

smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se

aplica el conocimiento.


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Leccin No.8 Lgica y lingsticaLeccin No.8 Lgica y lingstica

1.2.1.Lgica y Lingstica

Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los lenguajes

naturales y los lenguajes formales o artificiales.

Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el

francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir

despus de que el lenguaje ya haba madurado.

Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del

establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar

la misma teora.

Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, se tiene la existencia de un conjunto

finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de smbolos simples llamados comnmente letras. En los

lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa, entre otros. En los

formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se

encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito

de oraciones o enunciados que se forman con palabras del diccionario.

En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de smbolos, (lgicos o

matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones estn

perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso.

Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semntico fuera de

sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales

pueden ser usados para modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entre otras.

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La lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento bsico

de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin del lenguaje cotidiano con un significadomucho ms limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposicin como una excepcin

lingstica que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lgicos

complicados; crea un lenguaje simblico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien

definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades del lenguaje corriente.

Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen

un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin del verbo ser.

Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas del alfabeto tales

como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de estaforma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que el lenguaje natural.

Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:

p: Hoy es sbado.

q: Estudio ingeniera de sistemas.

r : New York es llamada la capital del mundo.

s: 1 no es un nmero primo.

x : 4 + 3 = 10.

Es decir, se puede establecer una relacin biunvoca entre el lenguaje natural y el lenguaje formal. Estas

proposiciones generalmente se llaman frases.

En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como por ejemplo:

Las rosas son rojas y tienen espinas.

La seleccin Colombia gano perdi?

En el pas nohay violencia.

Siestudio lgica matemtica entonces serun destacado ingeniero de sistemas.

4 es un nmero par si y slo sise puede dividir por 2.

Estas expresiones se denominan oraciones y para su formacin se utilizaron las letras y, o, no, si

entonces, sy slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.


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Leccin No.9 Conectivos LgicosLeccin No.9 Conectivos Lgicos

1.2.1.Conectivos Lgicos

Estos trminos de enlace reciben el nombre de Conectivos lgicos y al igual que a las proposiciones,

tambin se les asignan un lenguaje simblico, as:

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL

y

o v

No ~

Si entonces

Sy slo si

Vemos varios ejemplos de notacin simblica de las proposiciones:

p: Las rosas son rojas.

q: Las rosas tienen espinas.

P q: Las rosas son rojas y tienen espinas.

r: La seleccin Colombia gan?.

s: La seleccin Colombia perdi?.

r v s: La seleccin Colombia gano perdi?.

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t: En el pas hay violencia.

~ t: En el pas no hay violencia.

x: Estudio lgica matemtica

y: Serun destacado ingeniero de sistemasx y: Si estudio lgica matemtica serun destacado ingeniero de sistemas.

u: 4 es un nmero par.

v: 4 es divisible por 2.

u v : 4 es un nmero par si y slo si es divisible por 2.

1.2.2.Clasificacin de las proposiciones

En lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples y moleculares o

compuestas, veamos:

1.2.2.1.Proposiciones simples:

Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lgicos.

Estos son algunos ejemplos:

p: El eclipse es un fenmeno natural.

q: La luna es un satlite de la tierra.

r : 2 es el inverso multiplicativo de 2.

s: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al

mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin.

1.2.2.2.Proposiciones Compuestas

Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o ms proposiciones simples

mediante trminos de enlace.

Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas:

p :Estlloviendo.

q: El sol brilla.

p q:Estlloviendo y el sol brilla.


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x: Quieres caf?.

y: Quieres t?.x v y: quieres cafo t?.

s : Llueve.

r : Hace fro.

s r: Si llueve entonces hace fro.

p: Un tringulo es equiltero.

q:Un tringulo tiene sus tres lados iguales.

p q: Un tringulo es equiltero si y slo si tiene sus tres lados iguales.

La veracidad o falsedad de una proposicin compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las

proposiciones simples que la conforman y de la forma como estn combinadas; para establecer este valor, se

fijan criterios que se estudiarn en las prximas secciones de este captulo.

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1.2.3.Conectivos Lgicos

Como ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o ms proposicionessimples, se llaman conectivos lgicos, estos son: la conjuncin, la disyuncin, la negacin, el condicional y el

bicondicional.

1.2.3.1.La conjuncin:

Sean py qdos proposiciones simples. La proposicin compuesta py qsimbolizada por

p q, se denomina la conjuncin de py q.

Ejemplos de conjuncin:

Ejemplo 1

La proposicin compuesta r s: 6 es nmero par y entero positivo, estformada por:

r : 6 es un nmero par.

: y

s: entero positivo.

Ejemplo 2

p q: Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugartenis

p: Termino de escribir mi programa de computacin.

: y

q: jugartenis.


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Para establecer el valor de verdad de la conjuncin, surgen las siguientes posibilidades:

1. Que py q sean verdaderas.

2. Que psea verdadera y qsea falsa.

3. Que psea falsa y qverdadera.

4. Que py q sean falsas.

A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1, el anlisis del ejemplo 2 se deja como

ejercicio.

1. r:Verdadera. 6 es un nmero par.

s: Verdadera. 6 es un entero positivo.

r s : Verdadera (V)

2. r: Verdadera. 6 es un nmero par.

s: Falsa. 6 no es un entero positivo.

r s: Falsa (F).

3. r: Falsa. 6 no es un nmero par.

s: Verdadera. 6 es un entero positivo.r s:Falsa (F).

4 r : Falsa. 6 no es un nmero par.

s: Falsa. 6 no es un entero positivo.

r s:Falsa (F).

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1.2.3.2.La disyuncin v

Sean py qdos proposiciones simples. La proposicin po q, simbolizada p v q se llama disyuncin de pyq.

El operador o se puede usar de dos formas: como o incluyente o como o excluyente. En el primer caso

(o incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor

verdadero de la proposicin disyuntiva; mientras que en la segunda forma (o excluyente) el valor de verdad

de una proposicin excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que la proposicin disyuntiva tome el

valor verdadero.

Ejemplo 1.Uso del o incluyente

r v s: Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina.

r: Juan estudia ingeniera.

v: O

s: Paola estudia medicina.

Ejemplo 2. Uso del o excluyente.

x v

acevedo glz. - lógica_matemática_unad

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