acotaci on, entre espacios de lebesgue variables, de ... · tales espacios se conocen como los...

Acotación, entre espacios de Lebesgue variables,de ciertos operadores integrales.

LXV Reunión anual de comunicaciones cient́ıficas - UMA 2016.

Marta Urciuolo - Lucas Vallejos

FAMAF-UNC, CIEM-CONICET

Septiembre 2016

Introducción

En el presente trabajo estudiaremos la acotación, entre espacios deLebesgue variables, de ciertos operadores integrales de tipofraccionario, de la forma

Tαf (x) =

∫Rn|x − A1y |−α1 ...|x − Amy |−αm f (y)dy . (1)

donde A1, ...Am son ciertas matrices invertibles, αi > 0,α1 + ...+ αm = n − α, 0 ≤ α < n.

Marta Urciuolo - Lucas Vallejos FAMAF-UNC, CIEM-CONICET

Acotación, entre espacios de Lebesgue variables, de ciertos operadores integrales.

En el trabajo Two parameter maximal functions in theHeissemberg group, Match. Z., 199, 4, 1988 F. Ricci y P. Sjögrenprueban la acotación, sobre el L2(R), del operador

Tf (x) =

∫|x − y |−α|x + y |α−1f (y)dy ,

para 0 < α < 1. Luego en 1993 el Dr. T. Godoy junto con la Dra.M. Urciuolo, en About the Lp boundedness of some integraloperators, Revista de la UMA 38, 1993, probaron el siguiente,

Teorema

Sea Ω una funci ón en el L∞(R2n). Entonces para0 < α < n, el operador definido por

Tf (x) =

∫Ω(x , y)|x − y |−α|x + y |−n+αf (y)dy ,

es acotado del Lp(Rn) en el Lp(Rn), para todo 1 < p

Posteriormente en el trabajo Weighted inequalities for integraloperators with some homogeneous kernels, CzechoslovakMathematical Journal, 55, 2005 la Dra. M.S. Riveros con la Dra.M. Urciuolo consideran el siguiente operador

Tf (x) =

∫Rn|x − a1y |−α1 ...|x − amy |−αm f (y)dy , (2)

donde a1, ..., am son números reales, α1 + ...+ αm = n,αi ∈ R− {0} para i = 1, ...,m.. Denotamos por Ap a la familiaclásica de pesos de Muckenhoupt. En este trabajo las autorasobtienen el siguiente resultado:



Teorema

Sea T definido por (2). Supongamos que existe c ≥ 1 tal queω(aix) ≤ cω(x) para 1 ≤ i ≤ m y p.c .t.x ∈ Rn.

i) Si ω ∈ Ap, 1 < p 0 tal que, para todoλ > 0 y f ∈ S(Rn),

ω({x : |Tf (x)| > λ}) ≤ c̃λ

∫|f (x)|ω(x)dx .



Pesos A(p,q)

B. Muckenhoupt y R.L. Wheeden introducen los pesos de claseA(p, q). Ellos definen ω ∈ A(p, q), 1 < p

Resultados con pesos

En el trabajo Weighted Inequalities for Fractional Type Operatorswith Some Homogeneous Kernels, Acta Mathematica Sinica, 29,2013, M.S. Riveros y M. Urciuolo consideran operadores integralesde tipo fraccionario de la forma

Tαf (x) =

∫Rn|x−A1y |−α1 |x−A2y |−α2 ...|x−Amy |−αm f (y)dy (3)

donde αi > 0, 1 ≤ i ≤ m, α1 + ...+ αm = n − α, 0 ≤ α < n y Aison ciertas matrices invertibles. (1 ≤ i ≤ m). En dicho trabajo seobtiene la acotación Lp(Rn, ωp)− Lq(Rn, ωq) para ciertosω ∈ A(p, q).



Dadas las matrices A1, ...,Am,

i) diremos que estas matrices satisfacen la hipótesis (H) siAi son invertibles, i : 1...m y Ai − Aj son invertibles parai 6= j , 1 ≤ i , j ≤ m.,

ii) diremos que un peso ω satisface la hipótesis (P) si existeC > 0 tal que

ω(Aix) ≤ Cω(x), p.c .t.x ∈ Rn, 1 ≤ i ≤ m.



Tenemos el siguiente resultado del ”tipo fuerte”:

Teorema (S.Riveros-M.Urciuolo)

Sea 0 ≤ α < n y α1, ..., αm > 0 tales que α1 + ...+ αm = n − α.Sea Tα definido como en (3) donde A1, ...,Am satisfacen (H).Si 1 < p < nα ,

1q =

1p −

αn y ω ∈ A(p, q) satisface (P), entonces

existe C > 0 tal que(∫Rn|Tαf (x)|qωq(x)dx

) 1q

≤ C(∫

Rn|f (x)|pωp(x)dx

) 1p

,

para f ∈ Lp(Rn).



Y también un resultado del ”tipo débil”

Teorema (S.Riveros-M.Urciuolo)

Sea 0 ≤ α < n y α1, ..., αm > 0 tales que α1 + ...+ αm = n − α.Sea Tα definido como en (3) donde A1, ...,Am satisfacen (H). Seaω ∈ A(1, nn−α) y que satisface la hipótesis (P). Entonces existeC > 0 tal que

supλλ(ω

nn−α {x : |Tαf (x)| > λ})

n−αn ≤ C

∫Rn|f (x)|ω(x)dx .

f ∈ L1(Rn, ω).



Espacios de Lebesgue variables

Dado un conjunto medible Ω ⊆ Rn, y una función mediblep(.) : Ω→ [1,∞) , Lp(.)(Ω) denotará el espacio de Banach defunciones f sobre Ω tales que para algún λ > 0,∫

Ω

(|f (x)|λ

)p(x)dx 0 :

∫Ω

(|f (x)|λ

)p(x)dx ≤ 1

}.

Tales espacios se conocen como los espacios de Lebesgue deexponente variable que generalizan a los espacios de Lebesgueclásicos, Lp(Ω).



A continuación enunciamos algunos resultados claves sobre lasfunciones de Lp(·) que usaremos luego.

Teorema 1

Dado un conjunto abierto Ω y una función mediblep(.) : Ω→ [1,∞), el conjunto de todas las funciones acotadas desoporte compacto, con sop(f ) ⊂ Ω, es denso en Lp(·)(Ω).

Teorema 2

Sean Ω ⊆ Rn y p(.) : Ω→ [1,∞) función medible. Entonces paratodo s, 1p− ≤ s

Una condición estándar para los exponentes variables es la quesigue.

Definición

Dado Ω y una función r(·) : Ω −→ R, diremos que r(·) eslocalmente log-Hölder continua, y la denotamos por r(·) ∈ LH0(Ω),si existe una constante C0 tal que para todo x,y ∈ Ω, |x − y | < 12 ,

|r(x)− r(y)| ≤ C0−log(|x − y |)

Además diremos que r(·) es log-Hölder continua en el infinito, y ladenotamos por r(·) ∈ LH∞(Ω), si existen constantes C∞ y r∞tales que para todo x ∈ Ω,

|r(x)− r∞| ≤C∞

log(e + |x |).



Definición

Dado Ω y p(·) : Ω −→ [1,∞), y dado una función medible f ,definimos

‖f ‖′p(·) = sup‖g‖p′(·)≤1

∫Ω

f (x)g(x)dx ,

Denotamos por Mp(·)(Ω) el conjunto de todas las funcionesmedibles f tales que ‖f ‖′p(·)

Resultados con exponentes variables

En el trabajo About integral operators of fractional type onvariable Lp spaces, Georgia Match. J. 20, 2013, los doctoresP.Rocha y M.Urciuolo, bajo ciertas hipótesis sobre los exponentes,dan resultados sobre la acotación del operador

Tαf (x) =

∫Rn|x−A1y |−α1 |x−A2y |−α2 ...|x−Amy |−αm f (y)dy (4)

donde ahora las matrices Ai , i : 1...m son ortogonales y satisfacenla hipótesis (H).



Obtienen los siguientes resultados...

Teorema (P.Rocha-M.Urciuolo)

Sea 0 ≤ α < n, y sea Tα el operador integral dado por (4), con Aimatrices ortogonales que satisfacen la hipótesis (H). Seah : R −→ [1,∞) tal que 1 < h− ≤ h+ < nα ,h ∈ LH0(R) ∩ LH∞(R). Sea p : Rn −→ [1,∞) dada porp(x) = h(|x |). Entonces Tα es acotado de Lp(·)(Rn) en el Lq(·)(Rn)para 1p(x) −

1q(x) =

αn .

Este teorema da la acotación del tipo fuerte del operador Tα.



También dan una estimación de tipo débil...

Teorema (P.Rocha-M.Urciuolo)

Sea 0 ≤ α < n, h : R −→ [1,∞) una función tal queh ∈ LH0(R) ∩ LH∞(R), h(0) = 1 y h+ 0 tal que,

supλ>0

λ ‖χ{x :Tαf (x)>λ}‖q(·) ≤ C‖f ‖p(·).



Nuestros resultados

En este trabajo obtenemos resultados similares para el casoAi = A

i para alguna matriz invertible nxn A tal que Am = I ycumpliendo la hipótesis (H). Sean 0 ≤ α < n; α1, ..., αm > 0 talesque α1 + ...+ αm = n − α. Definimos el operador TA como sigue,

TAf (x) =

∫Rn|x − Ay |−α1 ...|x − Amy |−αm f (y)dy . (5)



Usando técnicas de extrapolación de Rubio de Francia, obtenemoslos siguientes resultados...

Teorema (M.Urciuolo-L.Vallejos)

Sea m ∈ N, m > 1. Sea A una matriz nxn con Am = I , tal queA, A2, ... ,Am satisfacen la hipótesis (H). Sea 0 ≤ α < n y sea TAel operador integral dado por (5). Sea p ∈ P(Rn) tal que1 < p− ≤ p+ < nα y p(Ax) = p(x) para x ∈ R

n. Dado q ∈ P(Rn)definido por 1p(x) −

1q(x) =

αn . Si el operador maximal M es acotado

sobre el L

(n−αp−np−

q(.))′

entonces TA es acotado de Lp(·)(Rn) en

Lq(·)(Rn).



Esbozo de la prueba. Denotamos por q0 =np−

n−αp− . El Teorema de

S.Riveros-M.Urciuolo implica la acotación del TA de Lp−(wp−) en

Lq0(wq0), para pesos ω ∈ A(p−, q0) tales que ω(Aix) ≤ cω(x).para x ∈ Rn.Denotamos q̃(x) = q(.)q0 , y definimos el siguiente algoritmo (tipoRubio de Francia)

Rh(x) =∞∑k=0

Mkh(Ax)

2k ‖M‖kq̃(.)′+ ...+

∞∑k=0

Mkh(Amx)

2k ‖M‖kq̃(.)′, (6)

Probamos los siguientes ı́tems,

i) Para todo x ∈ Rn, |h(x)| ≤ Rh(x),ii) R es acotado sobre Lq̃(.)′ (Rn) y ‖Rh‖q̃(.)′ ≤ 2m ‖h‖q̃(.)′ ,iii) Rh ∈ A1 y [Rh]A1 ≤ 2 ‖M‖q̃(.)′ .



Y, por la definición y las hipótesis sobre A,

iv) Rh(Aix) ≤ Rh(x), x ∈ Rn.Luego Rh es un peso de clase A1 tal que Rh(Aix) ≤ Rh(x), p.c.t.x ∈ Rn. Ahora tomamos una función acotada f de soportecompacto (éstas son densas en Lp(·)). Se ve que ‖TAf ‖q(.)

‖Tαf ‖q0q(.) = ‖(Tαf )q0‖q̃(.) = c sup

‖h‖q̃(.)′=1

∫(Tαf )

q0 (x)h(x)dx

≤ c sup‖h‖q̃(.)′=1

∫(Tαf )

q0 (x)Rh(x)dx

≤ c sup‖h‖q̃(.)′=1

(∫|f (x)|p− Rh(x)

p−q0 dx

) q0p−,

por la Desigualdad de Hölder y (ii)

≤ c ‖f p−‖q0p−q̃(.) sup‖h‖q̃(.)′=1

∥∥∥∥Rh p−q0 ∥∥∥∥q0p−

q̃(.)′



≤ c ‖f ‖q0p(.) sup‖h‖q̃(.)′=1

‖Rh‖q̃(.)′ ≤ 2mc ‖f ‖q0p(.) ‖h‖q̃(.)′,

= 2mc ‖f ‖q0p(.)

�

Aśı hemos obtenido la acotación de tipo fuerte para el operadordado por (5). Ahora, con técnicas similares, obtenemos unresultado de tipo débil de tal operador...



Teorema (M.Urciuolo-L.Vallejos)

Sea m ∈ N,m > 1. Sea A una matriz nxn con Am = I y tal queA, A2, ... Am satisfacen la hipótesis (H). Sea 0 ≤ α < n y sea TAel operador integral dado por (5). Sea p ∈ P(Rn) tal que1 ≤ p− ≤ p+ < nα , p(Ax) = p(x) para x ∈ R

n y definimosq(.) ∈ P(Rn) por 1p(x) −

1q(x) =

αn . Si el operador Maximal M es

acotado sobre L

(n−αp−np−

q(.))′

entonces existe C > 0 tal que∥∥λχ{x :TAf (x)>λ}∥∥q(.) ≤ C ‖f ‖p(.) .



Algunos ejemplos

Ejemplo 1

Tomamos r ∈ LH0(R2) ∩ LH∞(R2) con 1 < r− ≤ r+ < nα ydefinimos p(x) = r(x) + r(Ax) + r(A2x) + r(A3x) con

A =

∣∣∣∣ 1 2−1 −1∣∣∣∣ , entonces A4 = I y Ai − Aj es invertible para

1 ≤ i , j ≤ 4, i 6= j .

Ejemplo 2

Tomamos p ∈ LH0(R2)∩ LH∞(R2) con 1 < p− ≤ p+ < nα , p par yA = −I , luego A2 = I .



Muchas Gracias!



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