add m4-2-chapter1
TRANSCRIPT
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
บทที่ 1ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ
( 20 ชั่วโมง )
เมทริกซเปนสาระการเรียนรูที่มีประโยชนอยางมากเพราะใชเปนเครื่องมือในการแกปญหาทางคณิตศาสตร ซ่ึงเกี่ยวของกับการทํางานหรือการวางแผนเพื่อตัดสินใจในการลงทุน ตลอดจนสามารถนําไปประยุกตใชทางวิทยาศาสตรและคณิตศาสตรในระดับสูง ซ่ึงในบทเรียนนี้จะเริ่มตนจากการทบทวนความรูของผูเรียนในการแกระบบสมการเชิงเสน แลวจึงใหความรูเกี่ยวกับเมทริกซตามหัวขอดังนี้ สัญลักษณของเมทริกซ สมบัติของเมทริกซ ดีเทอรมิแนนต การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสนโดยวิธีดีเทอรมิแนนต และโดยวิธีการดําเนินการตามแถวเบื้องตน นอกจากนี้ผูเรียนจะไดเห็นความสําคัญของสมบัติของจํานวนจริงซึ่งจะนํามาใชในการพิสูจนสมบัติตาง ๆ ของเมทริกซ
ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมทริกซ และการดําเนินการของเมทริกซ2. หาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ n × n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกไมเกินสี่3. วิเคราะหและหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
2
ขอเสนอแนะ1. การแนะนําใหรูจักเมทริกซ ผูสอนอาจใชตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน เชน รายการ
แสดงราคาอาหารกวยเตี๋ยว ธรรมดา 20 บาท พิเศษ 25 บาทขาวราดแกง ธรรมดา 15 บาท พิเศษ 20 บาท
เมื่อตัดขอความออกจะเหลือตัวเลข ถาลอมตัวเลขดวยวงเล็บ [ ] หรือ ( ) จะไดส่ิงที่วิชาคณิตศาสตรเรียกวา เมทริกซ เชน
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡20152520 หรือ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛20152520
มีขอสังเกตวา เราจะไมนิยามวา เมทริกซคืออะไร แตจะใชวิธียกตัวอยางเมทริกซ เมทริกซที่อยูในบทเรียนนี้เปนเมทริกซที่สมาชิกของเมทริกซเปนจํานวนจริง แตโดยทั่วไปสมาชิกของเมทริกซ ไมจําเปนตองเปนจํานวนจริงเสมอไป สมาชิกของเมทริกซอาจเปนจํานวนเชิงซอนก็ได
2. ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเขาใจเรื่องมิติของเมทริกซ โดยผูเรียนตองบอกมิติไดถูกตอง เพราะจะนําไปใชในการตัดสินใจวาเราจะนําเมทริกซมาบวกกันหรือคูณกันไดหรือไม
3. ตัวอักษรแทนเมทริกซกับสมาชิกของเมทริกซนิยมใชตัวอักษรสัมพันธกัน คือ นิยมใชอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญแทนเมทริกซและอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กแทนสมาชิกของเมทริกซโดยตองเปนอักษรเดียวกัน เชน ถาใช D แทนเมทริกซ จะใช dij เปนสมาชิก เพื่อใหผูเรียนคุนเคยกับสัญลักษณ ดังกลาว ผูสอนอาจกําหนดเมทริกซดังนี้
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−3412 , B = [–1 7 5] , C = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−2315210
แลวใหผูเรียนหา a21, b13, c23
4. ผูสอนตองเนนความสําคัญของการบอกตําแหนงของสมาชิกของเมทริกซ เชน a23 กับ a32 เปนสมาชิกของ A ที่อยูคนละตําแหนง
5. ในการเขียนเมทริกซ A ที่มีมิติ m × n ถา m หรือ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 10 การเขียนสมาชิกในรูป aij เมื่อ i > 10 หรือ j > 10 จะทําใหสับสน เชน a123 อาจแทนสมาชิก ในแถวที่ 12 หลักที่ 3 หรืออาจแทนสมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 23 ก็ได ดังนั้น จึงนิยมเขียนแสดงสมาชิกของ A เชนนี้ในรูป aij แลวบอกคาของ i และ j กํากับไว เชน aij, i = 12, j = 3 เปนตน
20 2515 20
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
3
6. ในหนังสือบางเลมใชสัญลักษณ In แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ n × n เชนI2 แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 2 × 2I3 แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 3 × 3 เปนตน
สําหรับในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 นี้จะใช I แทนเมทริกซจัตุรัสที่เปนเอกลักษณการคูณ ซ่ึงจะมีมิติเทาใดนั้นขึ้นอยูกับมิติของเมทริกซที่เกี่ยวของในขณะนั้น
7. ในการหาตัวผกผันภายใตการคูณของเมทริกซ A ที่เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานในหนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีหา A–1 = Aadj
)Adet(1 ไว เนื่องจากตองการใหผูเรียนไดลองทําดวยตนเอง
ในกรณีที่ผูสอนตองการอธิบาย อาจแสดงไดดังนี้
เนื่องจาก A(adj A) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C
332313
322212
312111
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++++++++++++++++
)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca
333332323131233322322131133312321131
332332223121232322222121132312221121
331332123111231322122111131312121111
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)Adet(000)A(det000)Adet(
= det (A)⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
= det (A) I
ในทํานองเดียวกัน จะได (adj A)A = det (A)I นั่นคือ A(adj A) = (adj A)A = det(A)I
จาก det(A)I = (adj A)Aถา A เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐาน
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
4
จะได ((adj A)A)A–1 = ((det(A)I)A–1
(adj A)(AA–1) = det (A)(IA–1)(adj A)(I) = det(A)A–1
adj A = det(A)A–1
นั่นคือ A–1 = adjA)Adet(
1
หมายเหตุ ถาผูเรียนมีขอสงสัยวาเหตุใดa11C21(A) + a12C22(A) + a13C23(A) = 0ผูสอนอาจจะใหผูเรียนชวยกันหา Cij(A) แลวลองแทนคาดู
8. กอนสอนสมบัติของเมทริกซควรทบทวนสมบัติของจํานวนจริงกอน การทบทวนนี้มีประโยชนคือเปนการทบทวนสมบัติและนําสมบัติของจํานวนจริงไปใชดวย
9. หลังจากการสอนสมบตัติาง ๆทีเ่กีย่วกบัเมทรกิซแลว อาจใหผูเรียนชวยกนัสรปุสมบตัขิองเมทรกิซเกี่ยวกับการบวก การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง และการคูณเมทริกซดวยเมทริกซเปรียบเทียบกันดังนี้
เมื่อ S เปนเซตของ n × n เมทริกซ A, B, C ∈ S และ c, d เปนจํานวนจริง
สมบัติ การบวกเมทริกซดวยเมทริกซ
การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง
การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ
1. การปด
2. การเปลี่ยนกลุมได
3. การมีเอกลักษณ
4. การมีตัวผกผัน
5. การสลับที่
6. การแจกแจง
A + B ∈ S
A+(B+C) = (A+B)+C
เอกลักษณคือ 0
–A เปนตัวผกผันการบวกของ A
A + B = B + A
cA ∈ S
(cd)A = c(dA)
เอกลักษณคือ 1
c(A+B) = cA + cB(c + d)A = cA + dA
AB ∈ S
A(BC) = (AB)C
เอกลักษณคือ I
มีตัวผกผันเฉพาะเมทริกซซ่ึงมิใชเมทริกซเอกฐาน
โดยทั่วไป AB ≠ BA
A(B+C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
5
10. ควรเนนใหผูเรียนสังเกตสมบัติบางประการของเมทริกซที่ไมเหมือนกับจํานวนจริง เชน
จํานวนจริง เมทริกซ1. ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0
2. ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c
3. ab = ba และจากสมบัตินี้ทําให (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
และ (a + b)(a – b) = a2 – b2
1. ถา AB = 0 แลว ไมจําเปนที่ A หรือ B จะตองเปนเมทริกซศูนย เชน ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
1122
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
2. ถา AB = AC แลว ไมจําเปนที่ B ตองเทากับ C เชน ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
3322
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1241 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
3322
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−23
12 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
9362
แต ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1241 ≠ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−23
12
3. AB ไมจําเปนตองเทากับ BA และจากสมบัตินี้ ทําให (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2
แต (A + B)2 = A2 +AB + BA + B2
และ (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2
แต (A + B)(A – B) = A2 – AB + BA – B2
ตัวอยางของเมทริกซที่ใชแสดงสมบัติขอ 1 และ 2 ตองเปนเมทริกซเอกฐานเพราะสมบัติดังกลาวจะเปนจริงสําหรับเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานเทานั้น
11. หลังจากที่สอนเรื่องดีเทอรมิแนนต และทําแบบฝกหัดแลว ผูสอนและผูเรียนควรชวยกันสรุปสมบัติของดีเทอรมิแนนตของ 2 × 2 เมทริกซดังนี้
1) det (AB) = (det A)(det B)2) ถา A เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานมิติ 2 × 2 แลว
det (A–1) det (A) = 1 det (At) = det A det (cA) = c2 det(A) เมื่อ c เปนจํานวนจริง
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
6
12. การแกระบบสมการเชิงเสนอาจทําไดหลายวิธี ผูเรียนอาจจะรูสึกวาการแกระบบสมการโดยใชเมทริกซหรือดีเทอรมิแนนตเปนวิธีที่ชากวาวิธีที่เคยใชกันมา (วิธีกําจัดตัวแปร) ผูสอนควรจะอธิบายวาการแกสมการโดยใชเมทริกซนั้นเหมาะสมกับระบบสมการที่มีหลายตัวแปร และเปนวิธีที่จะนําไปใชกับเครื่องคอมพิวเตอรได
การแกระบบสมการโดยวิธีกําจัดตัวแปรทีละตัว เปนวิธีลัดของการหาระบบสมการที่สมมูลกับระบบสมการเดิม เชน
ระบบสมการ x + 2y = 42x + 3y = 7
สมมูลกับระบบสมการ x + 2y = 4
y = 1และสมมูลกับระบบสมการ x = 2
y = 1เพราะคําตอบของระบบสมการทั้งสามคือ (2, 1)จะเห็นวาการเขียนระบบสมการที่สมมูลกันเปนชุด ๆ ทําใหเสียเวลา จึงทําวิธีลัดคือ
x + 2y = 4 ---------- (1)2x + 3y = 7 ---------- (2) y = 1 ---------- (3)
แทนคา y ใน (1) ดวย 1 จะได x = 2คําตอบของระบบสมการคือ (2, 1)
การหาระบบสมการที่สมมูลกันเรามีวิธีดังนี้1) สลับลําดับที่ของสมการสองสมการใด ๆ ได2) ใชจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมใชศูนย ไปคูณจํานวนทุกจํานวนในสมการใด ๆ ได3) นําจํานวนจริงไปคูณจํานวนทุกจํานวนในสมการหนึ่ง แลวนําสมการใหมที่ไดไปบวก
หรือลบกับอีกสมการหนึ่งได
ในการสอนเรื่องการแกระบบสมการโดยวิธีการดําเนินการตามแถว ผูสอนอาจจะโยงใหเห็นความสัมพันธกับการแกระบบสมการโดยการหาระบบสมการที่สมมูลกัน โดยเขียนเมทริกซแตงเติมจากระบบสมการดังกลาว และแสดงวิธีหารากของระบบสมการโดยวิธีหาระบบสมการที่สมมูลกันไดดังนี้
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
7
x + 2y = 4 ---------- (1) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 2 4 2x + 3y = 7 ---------- (2) 2 3 7
สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการที่ (2) เปน 0 โดยนํา 2 ไปคูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (1) และนําแตละขางของสมการไปลบจาก (2) จะได
x + 2y = 4 ---------- (3) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 2 4 –y = –1 ---------- (4) 0 –1 –1
สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการที่ (3) เปน 0 โดยนํา 2 ไปคูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (4) แลวนําแตละขางของสมการไปบวกกับ (3) จะได
x = 2 ---------- (5) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 0 2 –y = –1 ---------- (6) 0 –1 –1
สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการที่ (6) เปน 1 โดยนํา –1 คูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (6) จะได
x = 2 เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 0 2 y = 1 0 1 1
คําตอบของสมการนี้คือ (2, 1)
13. ในการสอนเรื่องการใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน ผูสอนควรเนนใหผูเรียนทําความเขาใจความรูพื้นฐานวา ในการหาคําตอบของระบบสมการนั้น คําตอบของระบบสมการจะไมเปล่ียนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงสมการในระบบดวยวิธีตาง ๆ ตอไปนี้
1) การสลับที่ระหวางสมการสองสมการใด ๆ ในระบบ2) การใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยคูณทุก ๆ พจนของจํานวนทั้งสองขางของเครื่องหมายเทากับ3) การเปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งในระบบโดยใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยคูณทุก ๆ พจนของ
จํานวนทั้งสองขางของเครื่องหมายเทากับในสมการที่ตองการเปลี่ยนแปลง และสมการอื่นอีกสมการหนึ่งในระบบ (ใชคาคงตัวคนละจํานวน) แลวนํามาบวกหรือลบกันเปนสมการใหมที่นํามาใชแทนสมการเดิม
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
8
ความรูพื้นฐานขางตนนี้สามารถนํามาใชในการหาคําตอบของระบบสมการคือ ใชในการเปลี่ยนรูปเมทริกซแตงเติมใหอยูในรูป [I C] โดยการทําสมาชิก aij เมื่อ i ≠ j ในแตละหลักใหเปนศูนยใหหมดโดยเริ่มจากหลักที่ 1 กอน ซ่ึงในการทําให aij = 0 นั้น ทําไดโดยการใชคาคงตัวที่เหมาะสม ดําเนินการตามวิธีการในขอ 3 (ขางตน) หลาย ๆ คร้ัง นั่นคือ เปล่ียนแปลงแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ โดยใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยสองจํานวน จํานวนแรกคูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่จะเปลี่ยนจํานวนที่สอง คูณสมาชิกทุกตัวในแถวอื่น แลวนําผลคูณมาบวกกันโดยบวกสมาชิกในลําดับเดียวกันเขาดวยกัน และใชผลบวกแทนที่สมาชิกในแถวที่จะเปลี่ยนนั้น วิธีการดังกลาวนี้เปนการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนที่รวดเร็ววิธีหนึ่ง แตจะไมเรียกวาเปน “การแกระบบสมการเชิงเสนโดยวิธีการดําเนินการตามแถว”
14. ถาแบงระบบสมการเชิงเสนตามจํานวนคําตอบของระบบสมการ จะสามารถแบงได 3 แบบคือ1) ระบบสมการที่มีคําตอบเดียว2) ระบบสมการที่มีคําตอบนับไมถวน3) ระบบสมการที่ไมมีคําตอบ
ซ่ึงในหนังสือเรียนผูเรียนจะไดพบระบบสมการเชิงเสนทั้งที่มีคําตอบเดียว คําตอบนับไมถวน และไมมีคําตอบ
ตัวอยาง ระบบสมการที่มีหลายคําตอบx + 2y + z = 5
x + 3y + 2z = 8 x + 4y + 3z = 11
เขียนเมทริกซแตงเติมไดดังนี้
∼ R2 – R1
R3 – R1
R1 – 2R2
∼R3 – 2R2
1 2 1 51 3 2 81 4 3 11
1 2 1 50 1 1 30 2 2 6
1 0 –1 –10 1 1 30 0 0 0
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
9
จากเมทริกซแตงเติมสุดทายจะพบวา ไมสามารถทําใหสมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 3 เปน 1 ได ดังนั้น ระบบสมการนี้คือ
x – z = –1y + z = 3
ถาให z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริง จะไดวา x = k – 1, y = 3 – kดังนั้น คําตอบจึงมีมากมายนับไมถวน เขียนไดในรูป (k – 1, 3 – k, k)
เมื่อ k เปนจํานวนจริง
ตัวอยาง ระบบสมการที่ไมมีคําตอบx + y + 2z = 3x + 3y + 2z = 9x – y + 2z = –1
เขียนเปนเมทริกซแตงเติมไดดังนี้
∼ R2 – R1
R3 – R1
∼ 2R
21
R1 – R2
∼
จากแถวสุดทายจะไดวา 0x + 0y + 0z = 2 ซ่ึงเปนไปไมได เพราะไมมี x, y, z ใดที่ทําให สมการนี้เปนจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
1 1 2 31 3 2 91 –1 2 –1
1 1 2 30 2 0 60 –2 0 – 4
1 1 2 30 1 0 30 –2 0 – 4
1 0 2 00 1 0 30 0 0 2 R3 + 2R2
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
10
15. ในการสอนเรื่องระบบสมการเชิงเสน ผูสอนควรฝกใหผูเรียนมีทักษะในการเปลี่ยน ระบบสมการใหอยูในรูปเมทริกซแตงเติมและในทางกลับกัน เมื่อกําหนดเมทริกซแตงเติมที่แทน ระบบสมการมาให ผูเรียนควรเปลี่ยนใหอยูในรูประบบสมการไดเชนเดียวกัน เชน
จากระบบสมการ 3x + 2y – z = 5x – 2y + 3z = 23x – y + 3z = 0
สามารถเขียนในรูปเมทริกซแตงเติมไดคือ
และถามีเมทริกซแตงเติมคอื
เขียนเปนระบบสมการไดดังนี้x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 1 หรือ x + 2y + z + 4t = 13x1 – 2x2 + x3 = 2 3x – 2y + z = 2x1 + 5x2 – 4x3 + 3x4 = 0 x + 5y – 4z + 3t = 02x1 + x2 – 8x4 = 4 2x + y – 8t = 4
3 2 –1 51 –2 3 23 –1 3 0
1 2 1 4 13 –2 1 0 21 5 – 4 3 02 1 0 –8 4
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
11
กิจกรรมเสนอแนะ
สัญลักษณแทนเมทริกซ1. ผูสอนยกตัวอยางเมทริกซที่มีมิติตาง ๆ กัน แลวถามผูเรียนวา แตละเมทริกซมีกี่แถวกี่หลัก
หลังจากนั้นแนะนําว า ถา เมทริกซใดมี m แถว และ n หลัก จะเรียกเมทริกซนั้นวา เมทริกซมิติ m × n หรือ m × n เมทริกซ
2. ผูสอนแนะนําสัญลักษณแทนเมทริกซที่ใชในรูปทั่ว ๆ ไป และตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนเมทริกซกับสัญลักษณแทนสมาชิกของเมทริกซ ซ่ึงสัญลักษณที่ใชควรจะสัมพันธกัน เชน ถาใช D เปนชื่อของเมทริกซ แลวเราจะใชอักษร dij แทนสมาชิกของเมทริกซ D เปนตน
3. ผูสอนแนะนําทรานสโพสของเมทริกซและใหผูเรียนฝกหาทรานสโพสของเมทริกซโดยกําหนดเมทริกซให
การบวกเมทริกซ1. ผูสอนยกตัวอยางการเขียนเมทริกซโดยใชเร่ืองที่เกี่ยวกับชีวิตจริง เชน
ตัวอยางที่ 1 ในชวงปดเทอมปานรุง และปานวาด ออกมาชวยแมขายผลไม ผลของการขายสองวันแรกเปนดังนี้
ปานรุง ปานวาดวันแรก วันที่สอง วันแรก วันที่สอง
มังคุด (กิโลกรัม)เงาะ (กิโลกรัม)ทุเรียน (กิโลกรัม)
503020
404518
322530
203020
ใหผูเรียนหาวารวมกันแลวทั้งปานรุงและปานวาดขายผลไมแตละชนิดในแตละวันไดเทาไร
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
12
ตัวอยางที่ 2 ผลผลิตขาวของนายบุญและนายเติมในปนี้สรุปไดดังนี้
นายบุญ นายเติมคร้ังที่ 1 คร้ังที่ 2 คร้ังที่ 1 คร้ังที่ 2
ขาวเจา (เกวียน)ขาวเหนียว (เกวียน)
10250
8030
200100
150 50
ใหผูเรียนหาผลรวมของผลผลิตขาวของนายบุญและนายเติม แตละชนิดในแตละครั้ง
2. เมื่อผูเรียนคุนเคยกับการบวกจํานวนจากตารางแลว ผูสอนจึงใหบทนิยาม การบวก เมทริกซโดยเนนวา เมทริกซที่จะบวกกันไดตองมีมิติเหมือนกัน
3. ผูสอนแนะนําเมทริกซศูนยและใหผูเรียนสังเกตวา เมทริกซศูนยบวกกับเมทริกซใด จะไดเมทริกซนั้น
4. เมื่อผูเรียนสามารถบวกเมทริกซไดถูกตองแลว ผูสอนอาจถามคําถามเพื่อเปนพื้นฐาน ในการสอนสมบัติในหัวขอตอ ๆ ไปดังนี้
1) เมื่อ A, B เปน m × n เมทริกซ ซ่ึงมีสมาชิกเปนจํานวนจริง A + B จะมีสมาชิกเปน จํานวนจริงหรือไม และมิติของ A + B เปน m × n หรือไม2) เมื่อ A, B, C เปน m × n เมทริกซ
(A + B) + C = A + (B + C) เปนจริงเสมอไปหรือไม3) ถา A เปน m × n เมทริกซใด ๆ เมทริกซที่บวกกับ A แลวได A ไดแกเมทริกซใด
4) ถา A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
เมทริกซที่บวกกับ A แลวได 0 ไดแกเมทริกซใด
การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง1. กําหนดเมทริกซ A ใหผูเรียนหา A + A แลวใหสังเกตผลลัพธจะพบวา สมาชิกแตละ
ตําแหนงของ A + A จะมีคาเปน 2 เทาของสมาชิกในแตละตําแหนงของ A2. ผูสอนใหบทนิยามการคูณดวยจํานวนจริง แลวใหผูเรียนฝกทักษะจากการทําแบบฝกหัด
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
13
3. ผูสอนอาจใหโจทยเกี่ยวกับสมบัติของการคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง ดังนี้
ถา A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4321 , B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡8765
จงหา 1) (2 + 3)A และ 2A + 3A แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได2) 5(A + B) และ 5A + 5B แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได3) (2 × 3)A และ 2(3A) แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได
การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ1. เพื่อใหผูเรียนเห็นคุณคาของการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ ผูสอนอาจเริ่มตนดวยปญหา เชน
นายชางตองการหาวาถาซื้อประตู 5 บาน หนาตาง 8 บาน จะตองจายเงินทั้งหมดกี่บาท เมื่อประตูบานละ 2000 บาท หนาตางบานละ 800 บาท จากปญหาดังกลาว
ถานํามาเขียนเมทริกซจะได
จํานวน [ ]85 และ หนาตางประตู
800 2000
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
จะตองจายเงินทั้งหมด [ ]85 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡800
2000
= [ ]16400 2. เร่ิมตนโดยการคูณเมทริกซที่มีแถวเดียวกับเมทริกซที่มีหลักเดียว3. หาผลคูณของเมทริกซที่มีหลายแถวกับเมทริกซที่มีหลักเดียว4. ใหบทนิยามการคูณเมทริกซโดยเนนวาเมทริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อจํานวนหลักของ
เมทริกซแรกเทากับจํานวนแถวของเมทริกซหลัง5. ใหสังเกตผลคูณ AB กับ BA และ (AB)C กับ A(BC) และยกตัวอยางเมทริกซที่ AB ≠ BA
สมบัติเกี่ยวกับการบวกเมทริกซผูสอนควรทบทวนสมบัติของจํานวนจริงกอน และในการสอนเกี่ยวกับสมบัติของการบวก
เมทริกซ อาจจะใหผูเรียนสังเกตตัวอยางแลวใหหาขอสรุป จากนั้นจึงพิสูจนสมบัติดังกลาวอีกครั้งหนึ่งเชน ผูสอนอาจเริ่มตนดังนี้
ประตู หนาตาง ราคา
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
14
ขั้นท่ี 1 กําหนดให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4321 , B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡8765 แลวใหหา A + B และ B + A
แลวดูผลวา A + B = B + A หรือไม
ขั้นท่ี 2 กําหนดให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
aaaa , B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
bbbb
จงหา A + B และ B + A แลวดูผลวา A + B = B + A หรือไม
ขั้นท่ี 3 ผูสอนตั้งคําถามวา ถา A, B เปนเมทริกซใด ๆ ที่มีมิติเทากันA + B = B + A เสมอไปหรือไม แลวชวยกันพิสูจนในรูปทั่วไปดังนี้ให A และ B เปนเมทริกซมิติ m × n
A + B = +
=
B + A =
เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธของ A + B และ B + A แลวพบวา สมาชิกในตําแหนงเดียวกันเทากัน เพราะสมาชิกแตละตัวเปนจํานวนจริงและการบวกจํานวนจริงมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ การบวกเมทริกซมีสมบัติการสลับที่
การสอนสมบัติอ่ืนๆ อาจใชขั้นตอน 3 ขั้นตอนตามที่กลาวมา
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
M M M
am1 am2 ... amn
b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2n
M M M
bm1 bm2 ... bmn
(a11 + b11) (a12 + b12) ... (a1n + b1n)(a21 + b21) (a22 + b22) ... (a2n + b2n) M M M(am1 + bm1) (am2 + bm2) ... (amn + bmn)
(b11 + a11) (b12 + a12) ... (b1n + a1n)(b21 + a21) (b22 + a22) ... (b2n + a2n) M M M(bm1 + am1) (bm2 + am2) ... (bmn + amn)
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
15
สมบัติการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ1. ผูสอนกําหนดให S เปนเซตของ 2 × 2 เมทริกซ
และ A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
aaaa , B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
bbbb เปนสมาชิกใด ๆ ใน S
ใหผูเรียนหา AB แลวตอบคําถามก. สมาชิกของ AB เปนจํานวนจริงหรือไมข. มิติของ AB เปน 2 × 2 หรือไมผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา ถา A, B ∈ S แลว AB ∈ Sนั่นคือ S มีสมบัติปดของการคูณ2. ผูสอนใหผูเรียนยกตวัอยางเมทรกิซ A, B ทีเ่ปน 2 × 2 เมทรกิซ ซ่ึง AB = BA และ AB ≠ BA3. ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางเมทริกซ A, B, C ซ่ึงเปน 2 × 2 เมทริกซ แลวใหหา (AB)C
กับ A(BC) แลวเปรียบเทียบผลคูณของเมทริกซที่ไดวาเทากันหรือไม4. ใหผูเรียนพิสูจนวา (AB)C = A(BC) เมื่อ A, B, C เปน 2 × 2 เมทริกซ5. ใหผูเรียนหาเมทริกซที่คูณกับ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba แลวได ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba
ผูสอนบอกผูเรียนวา เรียกเมทริกซที่คูณกับเมทริกซใดแลวไดเมทริกซนั้นวา เอกลักษณการคูณหรือเมทริกซเอกลักษณและเขียนแทนดวย I
6. ผูสอนยกตัวอยาง 2 × 2 เมทริกซ ที่มีตัวผกผัน เชน ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2112
ใหผูเรียนหาเมทริกซที่คูณกับเมทริกซที่กําหนดใหแลวได I โดยสมมุติ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
เปนเมทริกซที่ตองการหา แลวหาคาของ x1, x2, x3, x4 จากสมการ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2112
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
เรียก ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx วา ตัวผกผันการคูณของ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡2112 และ เรียก ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡2112 วาตัวผกผันการคูณ
ของ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
7. ผูสอนกําหนดเมทริกซ A มิติ 2 × 2 ใด ๆ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba แลวใหผูเรียนหาตัวผกผันของ A
ตามวิธีการในหนังสือเรียน พรอมทั้งแนะนําสัญลักษณ A–1 ซ่ึงผูเรียนควรจะสรุปไดวาเมทริกซ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba
จะมีตัวผกผันก็ตอเมื่อ ad – bc ≠ 0
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
16
ตัวอยางกิจกรรม “รหัสลับกับเมทริกซ”สําหรับกิจกรรมนี้ถาโรงเรียนใดมีเครื่องคิดเลขกราฟกหรือคอมพิวเตอรก็สามารถนํามาใชเปน
เครื่องมือชวยในการคํานวณได และกอนที่จะเริ่มลงมือทํากิจกรรม ผูสอนควรใหความรูกับผูเรียน เพื่อความเขาใจที่ถูกตองตรงกัน ดังนี้
ความรูพ้ืนฐานมนุษยเราใชความรูในเรื่องของจํานวนและตัวเลขสรางประโยค หรือขอความสื่อสารกันในรูป
ของรหัสเพื่อใหผูรับและผูสงเทานั้นที่สามารถทราบความหมายของรหัสนั้นได เชน ใชระบบเลขฐานสองใชมอดูโล เปนตน
เราอาจใชตัวเลข 1 ตัวแทนตัวอักขระภาษาอังกฤษ 1 ตัวและเขียนขอความนั้นใหอยูในรูปของเมทริกซ ซ่ึงเรียกวา เมทริกซขอความ การกําหนดตัวเลขที่ใชแทนตัวอักขระนั้นจะกําหนดไดมากมายหลายรูปแบบตามแตผูสรางรหัสจะกําหนดตัวอยาง
ตัวอยางตารางกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ
ชองวาง ? หรือ • A B C D E0 1 2 3 4 5 6
F G H I J K L7 8 9 10 11 12 13
M N O P Q R S14 15 16 17 18 19 20
T U V W X Y Z21 22 23 24 25 26 27
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
17
จากประโยคภาษาอังกฤษใด ๆ เมื่อแบงกลุมคําออกเปนกลุม ๆ กลุมละ 2 ตัวอักขระ จะเขียนแทนตัวอักขระนั้นดวยตัวเลข โดยเขียนอยูในรูปเมทริกซมิติ 1 × 2 ตัวอยางเชนประโยค I LOVE MY PARENT. เขียนแทนดวยเมทริกซตาง ๆ ดังนี้
I L O V E M Y P A R E N T . [10 0] [13 16] [23 6] [0 14] [26 0] [17 2] [19 6] [15 21] [1 0]
จากเมทริกซขอความขางตนเมื่อเทียบกับตารางกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ ทุกคนก็สามารถแปลงตัวเลขในเมทริกซใหเปนตัวอักขระได ดังนั้นเพื่อใหรูกันเฉพาะผูสงรหัสและผูรับรหัส จึงตองมีการเปล่ียนเมทริกซขอความดังกลาวไปเปนเมทริกซอ่ืน ซ่ึงจะเรียกวาเมทริกซรหัสลับ การเปลี่ยนเมทริกซขอความไปเปนเมทริกซรหัสลับ ทําไดโดยนําเมทริกซสรางรหัส ไปคูณเมทริกซขอความ
เมทริกซสรางรหัส จะเปนเมทริกซมิติ 2 × 2 ที่มีตัวผกผันการคูณ เราจะใชเมทริกซสรางรหัสไปคูณเมทริกซขอความ ทําใหไดเมทริกซรหัสลับ เชน
กําหนดเมทริกซ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 เปนเมทริกซสรางรหัส
เมทริกซขอความเดิม × เมทริกซสรางรหัส ⇒ เมทริกซรหัสลับ
[10 0] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [50 20]
[13 16] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [177 74]
[23 6] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [157 64]
[0 14] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [98 42]
[26 0] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [130 52]
[17 2] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [99 40]
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
18
เมทริกซขอความเดิม × เมทริกซสรางรหัส ⇒ เมทริกซรหัสลับ
[19 6] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [137 56]
[15 21] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [222 93]
[1 0] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [5 2]
รหัสลับที่เปนขอความที่จะสงคือ เมทริกซ ตอไปนี้[50 20] [177 74] [157 64] [98 42] [130 52] [99 40] [137 56] [222 93] [5 2]
ในการแปลงรหัสลับนี้กลับไปเปนขอความที่จะอานไดตองแปลงเมทริกซรหัสลับนี้ไปเปน เมทริกซขอความเดิมกอน โดยใชเมทริกซถอดรหัสซึ่งเปนตัวผกผันการคูณของเมทริกซสรางรหัสไปคูณกับเมทริกซรหัสลับที่ไดมา เมทริกซถอดรหัสซึ่งเปนตัวผกผันการคูณของเมทริกซสรางรหัส
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3725 คือ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5723 ซ่ึงจะใชเมทริกซนี้ไปแปลงเมทริกซรหัสลับกลับไปเปนเมทริกซขอความเดิม
เชน [50 20] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5723 จะไดเมทริกซเดิมคือ [10 0] ซ่ึงแปลกลับไปเปนตัวอักษรได ทําให
สามารถอานขอความที่สงรหัสลับมาใหไดถูกตอง
กิจกรรม 1. ผูสอนอธิบายเรื่องการเขียนรหัสและการถอดรหัสของเมทริกซตามที่ไดกลาวไวในความรูพื้นฐาน ดังนี้
– การกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ– การเขียนขอความใหอยูในรูปของเมทริกซขอความ– การแปลงเมทริกซขอความใหเปนเมทริกซรหัสลับ– การแปลงเมทริกซรหัสลับกลับมาเปนเมทริกซขอความเดิมโดยใชเมทริกซ ถอดรหัส
2. ใหผูเรียนแตละกลุมสรางเมทริกซรหัสลับโดยผูสอนกําหนดเมทริกซสรางรหัสให3. ใหแตละกลุมแขงกันแปลรหัสลับที่กลุมอื่น ๆ สรางไว โดยใชเครื่องคิดเลขกราฟก
หรือคอมพิวเตอร (ถามี) ชวยในการหาผลคูณของเมทริกซหรือหาเมทริกซถอดรหัส
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
19
4. ใหผูเรียนลองสรางเมทรกิซแทนขอความโดยตวัอักขระ 2 ตวั จะเขยีนแทนดวยตวัเลขซ่ึงอยูในเมทริกซมิติ 2 × 1 ดูบาง โดยใชหลักเกณฑเชนเดียวกับการสรางเมทริกซมิติ 1 × 2
คาํถาม 1) ถาสรางเมทรกิซแทนขอความโดยจะใชเมทรกิซมติ ิ 1 × 3 แทนตวัอักขระ 3 ตวั เชน [4 2 21] แทนคําวา CATเมทริกซที่จะใชเปนเมทริกซสรางรหัส จะตองมีมิติเทาไร
2) จงถอดรหัสตอไปนี้ ถาเมทริกซสรางรหัส (X) คือ คําตอบของสมการAX = C เมื่อ
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3211 , C = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡829311
เมทริกซรหัสลับไดแก [159 44] [227 62]
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
20
ใบกิจกรรม รหัสลับกับเมทริกซ (1)
1. เปล่ียนขอความตอไปนี้ใหอยูในรูปเมทริกซรหัสลับLIFE IS LIFE.
ขอความ L I F E - I S - L I F E ⋅ -รหัสตัวเลขเมทริกซขอความ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
ถากําหนดให A เปนเมทริกซสรางรหัสมีมิติ 2 × 2โดยที่ a11 = –3, a12 = –1 , a21 = 7 และ a22 = 2
เมทริกซรหัสลับ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
2. จงสรางเมทริกซรหัสลับของขอความตอไปนี้ เมื่อใชเมทริกซ A ในขอ 1 เปนเมทริกซสรางรหัสTODAY IS BETTER THAN TWO TOMORROWS.
3. จงถอดรหัสตอไปนี้ ถาเมทริกซรหัสลับตอไปนี้สรางขึ้นมาดวยเมทริกซสรางรหัส A ในขอ 1 [–30 –10] [73 19] [–27 –11] [105 30] [99 26] [43 11] [11 1][42 12] [– 47 –17] [101 28] [–63 –21] [34 6] [–59 –20]
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
21
ใบกิจกรรม รหัสลับกับเมทริกซ (2)
เมทริกซรหัสลับตอไปนี้ สรางจากเมทริกซขอความที่แตละเมทริกซแทนตัวอักขระ 3 ตัว และ
เมทริกซสรางรหัสคือเมทริกซ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
861523312
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
206170105
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
22012070
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1988748
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
383824
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
13310162
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
20515192
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
214731
เมทริกซถอดรหัสคือ...............................................................................................................
ขอความที่เขียนไวคือ..............................................................................................................
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
22
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. ถา (x0, y0, z0) และ (x1, y1, z1) เปนคําตอบของระบบสมการa1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
จงแสดงวา ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++2
zz,
2yy
,2
xx 101010 เปนคําตอบของระบบสมการดวย
2. จงแกสมการ 2X + A = B เพื่อหา X เมื่อA = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −5041 และ B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−1243
3. กําหนดให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
5413 และ B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−213127
จงหา AB และ BA
4. ให A, B, C, D, E และ F เปนเมทริกซตอไปนี้
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −7052 , B =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
− 311
5213 , C =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
023
2250
D = [7 3] , E = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
210
, F = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
2251035
016
จงหา 1) FE2) A2
3) 5B + 2C4) DA
5. จงแกสมการเพื่อหาคา x และ y เมื่อ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡01x6
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
1y = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1184
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
23
6. ให A เปนเมทริกซมิติ n × n ใด ๆ เรานิยาม An เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกดังนี้A1 = AAn = A(An–1) เมื่อ n ≥ 2
ถา A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011 จงหา A2, A3, A4 และสรุปรูปแบบทั่วไปของ An
7. ถา A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111 จงหา A2, A3, A4 และสรุปรูปแบบทั่วไปของ An
เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
8. 1) กําหนดให A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
326011101
จงหา A–1 (ถามี)
2) กําหนดให B =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
232021213
จงหา B–1 (ถามี)
9. จงแกระบบสมการตอไปนี้1) x – 3y + z = 4
5x – 4y + 16z = 9
2) 2x – 3y + 4z = 34x – 5y + 9z = 134x + 14z = 0
3) x + y + z + w = 04x + 2w = 0 y – z = 0x + 2z = 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
24
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. เนื่องจาก (x0, y0, z0) และ (x1, y1, z1) เปนคําตอบของระบบสมการดังนั้น a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1 ---------- (1)
a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2 ---------- (2)a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3 ---------- (3)
และ a1x1 + b1y1 + c1z1 = d1 ---------- (4)a2x1 + b2y1 + c2z1 = d2 ---------- (5)a3x1 + b3y1 + c3z1 = d3 ---------- (6)
(1) + (4) a1(x0 + x1) + b1(y0 + y1) + c1(z0 + z1) = 2d1
ดังนั้น )2
xx(a 10
1+ + )
2yy
(b 101
+ + )2
zz(c 10
1+ = d1
ในทํานองเดียวกัน (2) + (5) และ (3) + (6) จะได)
2xx
(a 102
+ + )2
yy(b 10
2+ + )
2zz
(c 102
+ = d2
และ )2
xx(a 10
3+ + )
2yy
(b 103
+ + )2
zz(c 10
3+ = d3
ดังนั้น )2
zz,
2yy
,2
xx( 101010 +++ เปนคําตอบของระบบสมการดวย
2. จาก 2X + A = B 2X = B – A X = )AB(
21 −
X = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−5041
1243
21
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−4284
21
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−2142
3. AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
5413
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−213127
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
143435524
เราไมสามารถหาผลคูณของ BA ได เพราะวา จํานวนหลักของ B ไมเทากับจํานวนแถวของ A
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
25
4. 1) FE =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
210
2251035016
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
6171
2) A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −7052
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −7052 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −490454
3) 5B + 2C =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
− 311
5213
5 + ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
023
2250
2
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
1511
292515
4) DA = [7 3] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −7052 = [14 –14]
5. เนื่องจาก ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡01x6
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
1y = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−1y
x6xy6
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−1y
x6xy6 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1184
จากสมบัติการเทากันของเมทริกซ จะไดวาy = 16 + x = 8x = 2
∴ x = 2 และ y = 1
6. A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1021
A3 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1021 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1031
A4 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1031 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1041
จาก A2, A3, A4 จะไดวา An = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡10n1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
26
7. A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡2222
A3 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2222 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4444
A4 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4444 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡8888
จาก A2, A3, A4 จะไดวา An = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
−−
1n1n
1n1n
22
22
8. 1) 1 0 –1 1 01 –1 0 1 –16 –2 –3 6 –2
เนื่องจาก det(A) = (3 + 0 + 2) – (6 + 0 + 0) = –1 ≠ 0ฉะนั้น A มีตัวผกผัน
A–1 = )A(adj)Adet(
1 ⋅
–1 0 – 1 0 1 –1 –2 –3 6 –3 6 –2
– 0 –1 1 –1 – 1 0= – –2 –3 6 –3 6 –2
0 –1 – 1 –1 1 0–1 0 1 0 1 –1
3 3 4= – 2 3 2
–1 –1 –1
t
t
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
27
3 2 –1= – 3 3 –1
4 2 –1
– 3 –2 1= – 3 –3 1
– 4 –2 1
2) 3 –1 2 3 –1 1 2 0 1 2–2 3 –2 –2 3
เนื่องจาก det(B) = (–12 + 0 + 6) – (–8 + 0 + 2) = 0ฉะนั้น B ไมมีตัวผกผัน
9. 1) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 – 3 1 4 ∼ 1 –3 1 45 – 4 16 9 0 11 11 –11 R2 – 5R1
∼ 1 –3 1 40 1 1 –1 2R
111
∼ 1 0 4 1 R1 + 3R2
0 1 1 –1
จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx + 4z = 1y + z = –1
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ {(x, y, z)⏐x + 4z = 1, y + z = –1} = {(1 – 4t, –1 – t, t)⏐t ∈R}
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
28
2) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
2 –3 4 3 2 –3 4 34 –5 9 13 ∼ 0 1 1 7 R2 – 2R1
4 0 14 0 0 6 6 – 6 R3 – 2R1
2 –3 4 3 ∼ 0 1 1 7
0 1 1 –1 3R61
2 –3 4 3 ∼ 0 1 1 7
0 0 0 –8 R3 – R2
จากเมทริกซแตงเติมแถวที่ 3 จะพบวา0x + 0y + 0z = –8
0 = –8 ซ่ึงเปนเท็จดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
3) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 1 1 1 0 1 1 1 1 04 0 0 2 0 ∼ 0 – 4 – 4 –2 0 R2 – 4R1
0 1 –1 0 0 0 1 –1 0 01 0 2 0 1 0 –1 1 –1 1 R4 – R1
1 1 1 1 0 ∼ 0 1 –1 0 0 R23
0 – 4 – 4 –2 0 0 –1 1 –1 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
29
1 0 2 1 0 R1 – R2
∼ 0 1 –1 0 0 0 0 –8 –2 0 R3 + 4R2
0 0 0 –1 1 R4 + R2
1 0 2 1 0 ∼ 0 1 –1 0 0
0 0 1 41 0 –
81 R3
0 0 0 1 –1 –R4
1 0 0 21 0 R1 – 2R3
∼ 0 1 0 41 0 R2 + R3
0 0 1 41 0
0 0 0 1 –1
1 0 0 0 21 R1 –
21 R4
∼ 0 1 0 0 41 R2 –
41 R4
0 0 1 0 41 R3 –
41 R4
0 0 0 1 –1
คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 21 , y =
41 , z =
41 , w = –1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
30
เฉลยแบบฝกหัด 1.1
1. x + 3y = 8x – 2y = 3วิธีทํา x + 3y = 8 ---------- (1)
x – 2y = 3 ---------- (2)นําสมการ (1) ลบดวยสมการ (2) จะได
5y = 5 y = 1
แทนคา y ในสมการ (2) จะไดx = 5
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (5, 1)
2. x – y = – 42x + 3y = 22วิธีทํา x – y = – 4 ---------- (1)
2x + 3y = 22 ---------- (2)นํา 2 คูณสมการ (1) จะได
2x – 2y = – 8 ---------- (3)นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3) จะได
5y = 30y = 6
แทนคา y ในสมการ (1) จะไดx = 2
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (2, 6)
3. x + y + z = 6x – y + z = 2x + y – z = 0
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
31
วิธีทํา x + y + z = 6 ---------- (1)x – y + z = 2 ---------- (2)x + y – z = 0 ---------- (3)
นําสมการ (3) บวกสมการ (2) จะได2x = 2x = 1
นําสมการ (1) บวกสมการ (2) จะได2x + 2z = 8 ---------- (4)
แทนคา x ในสมการ (4) จะไดz = 3
แทนคา x และ z ในสมการ (3) จะไดy = 2
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (x, y, z) = (1, 2, 3)
4. x + 2y – z = 33x + y = 62x + y = 1 วิธีทํา x + 2y – z = 3 ---------- (1)
3x + y = 6 ---------- (2)2x + y = 1 ---------- (3)
นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3) จะไดx = 5
แทนคา x ในสมการ (3) จะไดy = –9
แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะได–z = 16z = –16
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (5, –9, –16)
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
32
5. 2x – 3y + z = 8–x + 4y + 2z = – 43x – y + 2z = 9วิธีทํา 2x – 3y + z = 8 ---------- (1)
–x + 4y + 2z = – 4 ---------- (2)3x – y + 2z = 9 ---------- (3)
นําสมการ (3) ลบสมการ (2) จะได4x – 5y = 13 ---------- (4)
นํา 2 คูณสมการ (1) จะได4x – 6y + 2z = 16 ---------- (5)
นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (2) จะได5x – 10y = 20 ---------- (6)
นํา 2 คูณสมการ (4) จะได8x – 10y = 26 ---------- (7)
นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (6) จะได3x = 6x = 2
แทนคา x ในสมการ (4) จะไดy = –1
แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะไดz = 1
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (2, –1, 1)
6. x – y + 2z = –3 y – 3z = 5
x + 4y – 8z = 17วิธีทํา x – y + 2z = –3 ---------- (1)
y – 3z = 5 ---------- (2)x + 4y – 8z = 17 ---------- (3)
จากสมการ (2) จะได y = 5 + 3zแทนคา y ลงในสมการ (1) และ (3) จะได
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
33
x – z = 2 ---------- (4)x + 4z = –3 ---------- (5)
นําสมการ (4) ลบดวยสมการ (5) จะได–5z = 5
z = –1แทนคา z ในสมการ (2) จะได
y = 2แทนคา y และ z ในสมการ (1) จะได
x – 2 – 2 = –3x = 1
ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (1, 2, –1)
7. x + y = 2x + 3y + z = 53x + y – z = 3วิธีทํา x + y = 2 ---------- (1)
x + 3y + z = 5 ---------- (2)3x + y – z = 3 ---------- (3)
จากสมการ (1) จะได x = 2 – y แทนคาลงในสมการ (2) และ (3) จะได2 + 2y + z = 5 หรือ 2y + z = 3
และ 6 – 2y – z = 3 หรือ 2y + z = 3ดังนั้น ระบบสมการนี้มีไดหลายคําตอบ คือ (x, y, z) = (2 – y, y, 3 – 2y) เมื่อ y ∈ R
8. 2x + 2y + 3z + 2t = 11x + y + 2z + 2t = 6 2y + 5z + 2t = 5x + y + 3z + 4t = 1วิธีทํา 2x + 2y + 3z + 2t = 11 ---------- (1)
x + y + 2z + 2t = 6 ---------- (2)2y + 5z + 2t = 5 ---------- (3)
x + y + 3z + 4t = 1 ---------- (4)
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
34
นํา 2 คูณสมการ (2) จะได2x + 2y + 4z + 4t = 12 ---------- (5)
นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (1) จะไดz + 2t = 1 ---------- (6)
นํา 2 คูณสมการ (4) จะได2x + 2y + 6z + 8t = 2 ---------- (7)
นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (1) จะได3z + 6t = –9
หรือ z + 2t = –3 ---------- (8)เห็นไดชัดวา ไมมี z, t ที่ทําใหสมการ (6), (8) เปนจริงพรอมกันดังนั้น ระบบสมการที่กําหนดไมมีคําตอบ
เฉลยแบบฝกหัด 1.2
1. (1)
2C – 3E =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
312014313
2 – ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
022111542
3
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
6423159100
(2)
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡412021
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
231201
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡91625
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
35
BA =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
231201
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡412021
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
887454021
(3)D2 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −0223
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −0223
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
4665
AB + D2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4665
91625
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −522410
(4)
2C2 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
312014313
2 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
312014313
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
304322463236222
BA – 2C2 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
304322463236222
887454021
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
2242520112836421
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
36
(5)
AtBt =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
401221
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡210321
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
840852741
2E =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
0 4 422 2
10 84
AtBt + 2E =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
840852741
+ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
0 4 422 2
10 84
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
8 8 46 7 4
17 45
(6)(AB)D = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡91625
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −0 223
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 3266
10 19
(7)
C + E =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
3 1 20 1 43 13
+ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
0 2 211 15 42
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
3 3 412 58 55
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
37
BA(C + E) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
887454021
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
3 3 412 58 55
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
27 5 10739 2 61 6 115
2. (1) ABC = A(BC)
BC = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−031 231
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
23 1 0 2 1
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5 137
A(BC) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
3 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−5 137
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−1151
21 4
(2) AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
3 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−031 231
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 43 3
2122
ACt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
3 1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−21 2 3 0 1
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−8 1 43 3 5
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
38
AB + ACt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 43 3
2122 + ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−8 1433 5
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−21 2 7151 7
(3) A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
3 1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
3 1
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡7007
A2 – 2BC = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡7007 – ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−10 2
614
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−32 6 7
3. AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2321
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−4 312
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−5 0 7 4
BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−4 312
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2321
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−29 21
∴ AB ≠ BA
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
39
4. (1) 2At = 2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 21
31
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 42
62
2At – A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 4 2
6 2 – ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 311
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2 5
7 1
∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ 2At คือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2 5
7 1
(2) A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 311
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 311
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−1 9 32
A2 – A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−1 9 32 – ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 311
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
1 6 2 3
∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ A2 คือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
1 6 2 3
(3) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡tzyx – ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2311 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−2t3z1y1x เมื่อ x, y, z, t เปนจํานวนจริง
∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡tzyx คือ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−2t3z1y1x
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
40
5. (1) A + X = 2A – X2X = AX = A
21
∴ เมทริกซ X ที่ทําให A + X = 2A – X เปนจริงคือ X = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−23
21
21
121
21
(2) AAt = 2I2 + XX = 2I2 – AAt
2I2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2002
AAt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31 1
211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
3 211 11
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡11666
∴ เมทริกซ X ที่ทําให AAt = 2I2 + X เปนจริง คือ X = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
9664
(3) 2AtA = X – I3
X = 2AtA + I3
2AtA = 2⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
321111
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31 1
21 1
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
26 1021040
204
I3 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
10001 0001
∴ เมทริกซ X ที่ทําให 2AtA = X – I3 เปนจริง คือ X = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
270121050
205
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
41
6. (1) A + B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 011 + ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡2101
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 112
(A + B)2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 112
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 112
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −51 663
A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 011
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 011
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 031
B2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2101
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2101
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4301
2AB = 2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 011
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2101
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −8 440
A2 + 2AB + B2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 031 + ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −8 440 + ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4301
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −61 772
∴ (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
42
(2) A – B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2 011 – ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡2101
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−0 110
(A + B)(A – B) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 112
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−0 110
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
1421
A2 – B2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −4 031 – ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4301
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−0 330
∴ (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2
7. A2 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000b001a0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000b001a0
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000000ab00
≠ 0 เพราะ ab ≠ 0
A3 = A2⋅A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000000ab00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000b001a0
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000000000
∴ n = 3 คือ จํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด ที่ทําให An = 0
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
43
8. (1) ให B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
bbbb โดยที่ b11, b12, b21 และ b22 เปนจํานวนจริง
AB = 0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4221
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
bbbb = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
22122111
22122111
b4b2b4b2b2bb2b = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได
b11 + 2b21 = 02b11 + 4b21 = 0b12 + 2b22 = 02b12 + 4b22 = 0
∴ b11 = –2b21
b12 = –2b22
ดังนั้น B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
2221
2221
bbb2b2
(2) ให C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
cccc โดยที่ c11, c12, c21 และ c22 เปนจํานวนจริง
CA = 0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
cccc
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4221 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
22212221
12111211
c4c2c2cc4c2c2c = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
44
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดc11 + 2c12 = 02c11 + 4c12 = 0c21 + 2c22 = 02c21 + 4c22 = 0
∴ c11 = –2c12
c21 = –2c22
ดังนั้น C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
2222
1212
cc2cc2
9. ให A = a bd d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
มีสมบัติวา AB = BA ทุกเมทริกซ B ที่มีมิติ 2 × 2
ให B1 = 1 10 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
และ B2 = 0 01 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
เนื่องจาก AB1 = B1A จึงไดวา
a ac c⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= a c b d0 0+ +⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
ฉะนั้น a = b + d และ c = 0 ---------- (1)เนื่องจาก AB2 = B2A จึงไดวา
b bd d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= 0 0a c b d⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
ฉะนั้น b = 0 และ d = a + c ---------- (2)จาก (1) และ (2) จึงสรุปไดวา a = d และ b = c = 0
ดังนั้น A = a 00 a⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= aI2 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ
c
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
45
10. จะแสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2
พิสูจน สมมติวา มีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2
ให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba , B = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡zyxw โดยที่ a, b, c, d, w, x, y, z
เปนจํานวนจริง
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
dzcxdycwbzaxbyaw
BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++zdybzcyaxdwbxcwa
จากที่สมมุติไวAB – BA = I2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
+−+−ybcx)zcya()dycw(
)xdwb()bzax(xcby = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จะไดวา by – xc = 1 ---------- (1)cx - yb = 1 ---------- (2)
สมการ (1) = (2)by – xc = cx – yb2by = 2cxby = cx
แทนคา by = cx ลงในสมการ (1) จะได0 = 1 เปนไปไมได
ดังนั้น แสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
46
เฉลยแบบฝกหัด 1.3
1. ให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3021 และ A–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
เนื่องจาก A–1A = Iดังนั้น ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3021 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
433
211
x3x2xx3x2x = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 = 1
2x1 + 3x2 = 0x3 = 0
2x3 + 3x4 = 1∴ x1 = 1, x2 =
32− , x3 = 0 และ x4 =
31
ดังนั้น A–1 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
310
321
ตอบ
ให B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 01
21 และ B–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
เนื่องจาก B–1B = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 01
21 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
343
121
y2yyy2yy = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
47
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดy1 – y2 = 12y1 = 0y3 – y4 = 02y3 = 1
∴ y1 = 0, y2 = –1 y3 = 21 และ y4 =
21
ดังนั้น B–1 =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
21
21
10ตอบ
ให C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2112 และ C–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
เนื่องจาก C–1C = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2112 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
4343
2121
x2xxx2x2xxx2 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได2x1 + x2 = 1x1 + 2x2 = 02x3 + x4 = 0x3 + 2x4 = 1
แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงไดx1 =
32 , x2 =
31− , x3 =
31− และ x4 =
32
ดังนั้น C–1 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
32
31
31
32
ตอบ
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
48
ให D = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−2113 และ D–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
เนื่องจาก D–1D = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−2113 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+−−
4343
2121
y2yyy3y2yyy3 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได3y1 – y2 = 1–y1 + 2y2 = 03y3 – y4 = 0–y3 + 2y4 = 1
แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซ่ึงจะไดy1 =
52 , y2 =
51 , y3 =
51 และ y4 =
53
ดังนั้น D–1 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
53
51
51
52
ตอบ
ให E = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4321 และ E–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
เนื่องจาก E–1E = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4321 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
4343
2121
x4x2x3xx4x2x3x = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
49
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 + 3x2 = 12x1 + 4x2 = 0x3 + 3x4 = 02x3 + 4x4 = 1
แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงจะได
x1 = –2, x2 = 1, x3 = 23 และ x4 =
21−
ดังนั้น E–1 =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
21
23
12ตอบ
ให F = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−3112 และ F–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
เนื่องจาก F–1F = I
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−3112 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−+−+−
4343
2121
y3yyy2y3yyy2 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได–2y1 + y2 = 1–y1 + 3y2 = 0–2y3 + y4 = 0–y3 + 3y4 = 1
แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซ่ึงจะไดy1 =
53− , y2 =
51− , y3 =
51 และ y4 =
52
ดังนั้น F–1 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
52
51
51
53
ตอบ
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
50
2. จากโจทยตองแสดงวา AB = I
AB =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
113201112
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
21
21
21
25
21
27
101
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
∴ B เปนตัวผกผันของ A
3. ให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง และ A2 = 0
A2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba =
2
2
a bc ab bd
ca dc bc d
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
เนื่องจาก A2 = 0 จะไดวาa2 + bc = 0 --------- (1)b(a + d) = 0 --------- (2)c(a + d) = 0 --------- (3)d2 + bc = 0 --------- (4)
จาก (2) จะไดวา b = 0 หรือ a + d = 0กรณี b = 0เมื่อแทน b = 0 ลงใน (1) และ (4) จะไดวา a = d = 0
∴ A = 0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
กรณี a + d = 0 จะได d = –aจาก (1) จะไดวา bc = –a2
ถา b = 0 แลวจะได A = 0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
ดังในกรณีแรก
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
51
ถา b ≠ 0 แลว c = ba 2− ทําให A = 2
a b
a ab
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
สรุปไดวา A = a bc d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
ซ่ึง A2 = 0 ทั้งหมดคือ
0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, 2
a b
a ab
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ a, b, c ∈ R และ b ≠ 0
4. ให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง และ A2 = I2
A2 = 2
2
a bc ab bd
ca dc bc d
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
เนื่องจาก A2 = I2 จะไดวาa2 + bc = 1 ---------- (1)b(a + d) = 0 ---------- (2)c(a + d) = 0 ---------- (3)d2 + bc = 1 ---------- (4)
แยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ กรณี a + d ≠ 0 และกรณี a + d = 0กรณี a + d ≠ 0จาก (2) และ (3) จะไดวา b = c = 0และจาก (1) และ (4) จะไดวา a = ±1, d = ±1ดังนั้น A = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001 , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−10
01 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−1001 , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1001
กรณี a + d = 0
จาก (1) และ (4) จะไดวา a2 = d2 = 1 – bcเนื่องจาก 0 ≤ a2 ฉะนั้น bc ≤ 1 และทําใหไดวา
a = bc1−± , d = bc1−± เมื่อ bc ≤ 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
52
แต a + d = 0 หรือ a = –dฉะนั้น(a, d) = ( bc1,bc1 −−− ) , ( bc1−− , bc1− )
ดังนั้น A = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
bc1cbbc1 ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
bc1cbbc1 เมื่อ bc ≤ 1
สรุปไดวา เมทริกซ A = a bc d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
ซ่ึง A2 = I2 ทั้งหมด คือ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001 , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−10
01 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−1001 , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1001 ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
bc1cbbc1 ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
bc1cbbc1
เมื่อ bc ≤ 1
5. จาก A + B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 21
1331
จะได 3A + 3B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 21
1331
และ 3A + 3B + (3A – 3B) = 6Aหรือ 6A = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− 21
13 + ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−0111
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 22
0261
B =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−32
31
311
– ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−31
31
031
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
310
31
32
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
53
ให A–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx และ B–1 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
เนื่องจาก A–1A = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−31
31
031
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
443
221
x31x
31x
31
x31x
31x
31
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได21 x
31x
31 − = 1
2x31 = 0
43 x31x
31 − = 0
4x31 = 1
∴ x1 = 3, x2 = 0, x3 = 3 และ x4 = 3
เนื่องจาก B–1B = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
310
31
32
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
433
211
y31y
31y
32
y31y
31y
32
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
54
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได1y
32 = 1
21 y31y
31 + = 0
3y32 = 0
43 y31y
31 + = 1
∴ y1 = 23 , y2 =
23− , y3 = 0 และ y4 = 3
ดังนั้น A–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3303 และ B–1 =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
3023
23
6. เนื่องจาก A–1 + B–1 + 2A–1 – B–1 = 3A–1
จะได 3A–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31
22 + ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3411
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6333
A–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2111
ให A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
เนื่องจาก A–1A = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2111
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
4231
4231
x2xx2xxxxx = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
55
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 + x3 = 1x1 + 2x3 = 0x2 + x4 = 0x2 + 2x4 = 1
แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงจะได
x1 = 2, x2 = –1, x3 = –1 และ x4 = 1
จาก A–1 + B–1= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31
22
จะได B–1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31
22 – ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2111
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 12
11
ให B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy
เนื่องจาก B–1B = I
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 12
11⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
yyyy = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−
++
4231
4231
yy2yy2yyyy = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดy1 + y3 = 1–2y1 + y3 = 0y2 + y4 = 0–2y2 + y4 = 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
56
แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซ่ึงจะไดy1 =
31 , y2 =
31− , y3 =
32 และ y4 =
31
∴ A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1112 และ B =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
31
32
31
31
เฉลยแบบฝกหัด 1.4
1. ให A แทนเมทริกซในแตละขอ
(1) 2 –1 0 2 –14 2 1 4 24 2 1 4 2
det (A) = (4 – 4 + 0) – (0 + 4 – 4) = 0
(2) –2 2 3 –2 2 1 –1 0 1 –1 0 1 4 0 1
det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3
(3) –2 1 4 –2 1 1 4 –2 1 4 3 6 –6 3 6
det (A) = (48 – 6 + 24) – (48 + 24 – 6) = 0
(4) 2 3 1 2 3 0 5 –2 0 5 0 0 –2 0 0
det (A) = (–20 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0) = –20
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
57
(5) ใชสมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 4 จะได
det (A) = 3540323 8 3
2⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
= 2(–27 – 48 + 66) = –18
(6)
det (A) =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
10122101321022 11
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
10120310321022 11
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
34300310321022 11
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
34303132 1
ใชสมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 1
= –9 – 6 + 15 = 0
นําแถวที่ 1 ไปบวกกับแถวที่ 3
คูณแถวที่ 1 ดวย 2 แลวนําไปบวกกับแถวที่ 4
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
58
2. (1)–
adj (A) = – –
–
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
2322755522823
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
2352222587523
(2)–
adj (A) = – –
–
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
3315251618545217
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
33554151652
21817
5 6 4 6 4 5–3 1 2 1 2 –3
2 1 –3 1 –3 2–3 1 2 1 2 –3
2 1 –3 1 –3 2 5 6 4 6 4 5
t
t
3 1 6 1 6 3–7 –8 4 –8 4 –7
4 2 –3 2 –3 4–7 –8 4 –8 4 –7
4 2 –3 2 –3 4 3 1 6 1 6 3
t
t
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
59
(3)–
adj (A) = – –
–
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
5923402918216 112
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
5929623181402112
(4)–
adj (A) = – –
–
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
1505050 10010 5530030100
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
150100 3005010 30 5055 100
12 4 1 4 1 12 6 3 1 3 1 6
1 –3 5 –3 5 1 6 3 1 3 1 6
1 –3 5 –3 5 1 12 4 1 4 1 12
t
t
0 10 30 10 30 0 10 1 0 1 0 10
–5 5 10 5 10 –5 10 1 0 1 0 10
–5 5 10 5 10 –5 0 10 30 10 30 0
t
t
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
60
3. (1) เนื่องจาก det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผันA–1 =
)Adet(1 adj(A)
–
= 31 – –
–
= 31
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
033285144
= 31
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
021384354
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
032
31
138
34
135
34
(2) เนื่องจาก det (A) = (– 44 + 0 – 33) – (0 – 42 – 34) = –1 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผัน
–1 0 1 0 1 –1 1 4 0 4 0 1
2 3 –2 3 –2 2 1 4 0 4 0 1
2 3 –2 3 –2 2–1 0 1 0 1 –1
t
t
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
61
–
A–1 = – – –
–
=t
532641321
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
563342211
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
563342211
(3) เนื่องจาก det (A) = (9 – 3 + 32) – (36 – 4 + 6) = 0ดังนั้น A ไมมีตัวผกผัน
(4) เนื่องจาก det (A) = (6 + 0 + 0) – (–4 + 0 + 0) = 10 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผัน
–
A–1 = 101 – –
11 –7 –1 –7 –1 11 3 –2 0 –2 0 3
–17 11 2 11 2 –17 3 –2 0 –2 0 3
–17 11 2 11 2 –17 11 –7 –1 –7 –1 11
t
–2 0 1 0 1 –2 0 3 1 3 1 0
0 2 –1 2 –1 0 0 3 1 3 1 0
0 2 –1 2 –1 0 –2 0 1 0 1 –2
t
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
62
= t
224050236
101
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
202253406
101
(5) เนื่องจาก det (A) = 1 ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันหา Cij(A) ทุก i, j จะไดC11(A) = 1 , C12(A) = 1 , C13(A) = 3 , C14(A) = 8C21(A) = 0 , C22(A) = 1 , C23(A) = 1 , C24(A) = 3C31(A) = 0 , C32(A) = 0 , C33(A) = 1 , C34(A) = 1C41(A) = 0 , C42(A) = 0 , C43(A) = 0 , C44(A) = 1
A–1 =
=
(6) เนื่องจาก det (A) = 1 ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันหา Cij(A) ทุก i, j จะไดC11(A) = –1 , C12(A) = – 4 , C13(A) = 0 , C14(A) = 3C21(A) = 2 , C22(A) = 9 , C23(A) = 1 , C24(A) = –5C31(A) = –1 , C32(A) = –5 , C33(A) = –1 , C34(A) = 3C41(A) = –1 , C42(A) = – 6 , C43(A) = –1 , C44(A) = 3
1 1 3 80 1 1 30 0 1 10 0 0 1
t
1 0 0 01 1 0 03 1 1 08 3 1 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
63
A–1 =
=
4. ให A แทนเมตริกซในแตละขอ
(1) 1 2 3 1 20 5 – 4 0 52 8 x 2 8
det (A) = (5x – 16 + 0) – (30 – 32 + 0)= 5x – 14
ให det (A) = 0ดังนั้น 5x – 14 = 0
x = 5
14 ∴ x เปนจํานวนจริง โดยท่ี x ≠
514
(2) x –1 x x –1 1 x 0 1 x 0 1 –1 0 1
det (A) = (–x2 + 0 + x) – (0 + 0 + 1)= –x2 + x – 1
ให det (A) = 0ดังนั้น –x2 + x – 1 = 0
x2 – x + 1 = 0
–1 – 4 0 3 2 9 1 –5–1 – 5 –1 3–1 – 6 –1 3
t
– 1 2 –1 – 1– 4 9 –5 – 6 0 1 –1 – 1 3 – 5 3 3
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
64
จากสูตร x =a2
ac4bb 2 −±−
จะได x =2
i31±
∴ x เปนจํานวนจริง
(3) x–1 x–1 x x–1 x–1 x 2 1 x 2
21 1 2
21 1
det (A) = (4x – 4 + 21x
21 − + x2) – (x + x – 1 + 2x2 – 2x)
= –x2 + x29 –
27
ให det (A) = 0ดังนั้น –x2 + x
29 –
27 = 0
2x2 – 9x + 7 = 0(2x – 7)(x – 1) = 0
x =27 , 1
∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x ≠ 1 และ x ≠ 27
(4) x+2 0 x x+2 0 –2 x –1 –2 x 1 1 x 1 1
det (A) = (x3 + 2x2 + 0 – 2x) – (x2 – x – 2 + 0)= x3 + x2 – x + 2
ให det (A) = 0ดังนั้น x3 + x2 – x + 2 = 0
(x + 2)(x2 – x + 1) = 0∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x ≠ –2
5. เพราะวา det (A) ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันจาก A–1 = )A(adj
)Adet(1
จะได adj (A) = det(A) A–1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
65
ดังนั้น det (adj (A)) = det (det(A) A–1)= (det (A))n det (A–1) , n ≥ 2 และ det (A) เปนคาคงตัว= (det (A))n
)Adet(1
Q det (A) det(A–1) = 1
= (det (A))n–1
= det (A)n–1
6. A2 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
13116774974
, B2 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
19 100411 042 1
adj (A) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
110112314
, adj (B) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
1502303213
adj (A2) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
022821014814
, adj (B2) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
111004190
3217169
At =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
312221111
(1) det (2A–1B) = 23det(A–1)det(B)= )13)(
21(8 −
= –52
(2) det (Atadj(B)) = det(At)det(adj(B))= 2(169)= 338
(3) det (BAtadj(A)) = det(B) det(At) det(adj(A))= (–13)(2)(4)= –104
(4) det (2adj(A2)B) = 23det(adj(A2))det(B)= 8(16)(–13)= –1664
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
66
(5) det(A2adj(B2)) = det(A2)det(adj(B2))= 4(28561)= 114,244
(6) det (–A–1Badj(A)) = –det(A–1)det(B)det(adj (A))= )
21(− (–13)(4)
= 26
7. วิธีท่ี 1 ให l เปนเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และ Q(c, d)
กรณี a = c จะไดวา l เปนเสนตรงที่ขนานแกน Y และผานจุด P(a, b)ฉะนั้นเสนตรง l มีสมการเปน x = a
พิจารณา สมการx y 1a b 1c d 1
= 0 เมื่อ a = c
จะไดx y 1a b 1a d 1
= 0 เมื่อ b ≠ d
(bx + ay + ad) – (ab + dx + ay) = 0 (b – d)x – a(b – d) = 0
(x – a)(b – d) = 0 ∴ x – a = 0 เพราะ b – d ≠ 0หรือ x = a ซ่ึงคือสมการของเสนตรง l
กรณี a ≠ cถา b = d แลว l เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และผานจุด (a, b)ฉะนั้นเสนตรง l มีสมการเปน y = b
เมื่อ b = d สมการ x y 1a b 1c b 1
= 0
คือสมการ (bx + cy + ab) – (bc + bx + ay) = 0หรือ (c – a)y + b(a – c) = 0
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
67
หรือ y – b = 0 เพราะ a – c ≠ 0ฉะนั้น ไดสมการ y = b ซ่ึงคือสมการของเสนตรง lพิจารณากรณี b ≠ dเราทราบมาแลววาเสนตรง l ตองมีสมบัติเปน
Ax + By = C ---------- (1)เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัว และ A, B ไมเปน 0 พรอมกันเนื่องจากเสนตรง l ผานจุด (a, b) และ (c, d) เราจึงไดวา
Aa + Bb = C ---------- (2)Ac + Bd = C
ฉะนั้น A(a – c) + B(b – d) = 0 ---------- (3)เนื่องจาก a – c ≠ 0 และ b – d ≠ 0 ฉะนั้น A = 0 ก็ตอเมื่อ B = 0แตเนื่องจาก A, B ไมเปน 0 พรอมกัน ฉะนั้น A, B ≠ 0จาก (1) จะไดวา A x y
B+ = C
B----------(4)
จาก (3) จะไดวา AB
= d ba c−−
จาก (2) ไดวา A a bB
+ = CB
ฉะนั้น CB
= d ba c−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠ a + b = ad ab ab bc
a c− + −
− = ad bc
a c−−
แทน AB
= d ba c−−
และ CB
= ad bca c−−
ลงใน (4) จะไดสมการd ba c−−
x + y = ad bca c−−
ดังนั้น สมการของเสนตรง l คือ(d – b)x + (a – c)y = ad – bc
จากสมการx y 1a b 1c d 1
= 0
จะได (bx + cy + ad) – (bc + dx + ay) = 0(b – d)x + (c – a)y = –ad + bc
หรือ (d – b)x + (a – c)y = ad + bcซ่ึงก็คือสมการของเสนตรง l นั่นเอง
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
68
วิธีท่ี 2 ความชันของเสนตรง PQ = cadb
−−
สมการเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และมีความชัน cadb
−−
คือ y – b = )ax)(cadb( −
−−
(y – b)(a – c) = (b – d)(x – a)ay – ab – cy + bc = bx – ab – dx + aday – cy + bc – bx + dx – ad = 0 ---------- (1)
จาก x y 1a b 1 = 0c d 1
จะได bx + cy + ad – bc – dx – ay = 0หรือ ay – cy + bc – bx + dx – ad = 0 ---------- (2)เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2)ดังนั้น สมการของเสนตรงที่ผานจุด P และ Q คือ
8.
พื้นที่ ∆ ABC = พื้นที่ APQC + พื้นที่ CQRB – พื้นที่ APRB= )ab)(ba(
21)cb)(cb(
21)ac)(ca(
21
112211221122 −+−−++−+
= 2121122121212112 cccbcbbbcaccaaca[21
−+−+−+−
Y
X
c2
b2
a2 A(a1, a2)
B(b1, b2)
C(c1, c2)
P Q Ra1 c1 b1
Y
X
Q (c, d)d
b P (a, b)
a c
•
•
x y 1a b 1 = 0
c d 1
]babbaaba 21212112 +−+−
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
69
พื้นที่ ∆ ABC = [ ]211221122112 babacbcbcaca 21
+−+−−
= [ ]121221211221 cbbacacbcaba 21
−−−++ ---------- (1)
1cc 1bb 1aa
21
21
21
21
= [ ]122112211221 bacacbcbcaba 21
−−−++
= [ ]121221211221 cbbacacbcaba 21
−−−++ ---------- (2)
เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2)
ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับ 1cc 1bb 1aa
21
21
21
21
9. วิธีท่ี 1 ให A, B, C เปนจุดในระนาบ XYถามีจุด 2 จุดใน A, B, C เปนจุดเดียวกัน แลว
a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1
เพราะดีเทอรมิแนนตที่ปรากฏจะเปนดีเทอรมิแนนตของเมทริกซที่มี 2 แถวเหมือนกันเชน ถา A(a1, a2) = B(b1, b2) แลว a1 = b1 และ a2 = b2
a1 a2 1 a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 = a1 a2 1 = 0
c1 c2 1 c1 c2 1
สมมติวา A, B, C แตกตางกันทั้งหมดจากขอ 7 จะไดวา สมการเสนตรง l ที่ผานจุด B,C คือ
x y 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
70
ถาเสนตรง l ผานจุด A(a1, a2) (นั่นคือ A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน)แลว เมื่อแทน x ดวย a1 และ y ดวย a2 ลงในสมการของเสนตรง l สมการจะยังคงเปนจริง
a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 = 0
c1 c2 1
a1 a2 1ตอไปจะแสดงวา ถา b1 b2 1 = 0 แลว A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
c1 c2 1
โดยการแสดงวา ถา A, B, C ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน แลว
a1 a2 1b1 b2 1 ≠ 0c1 c2 1
เพราะขอความทั้งสองสมมูลกันสมมติวา A, B, C ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
ฉะนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ (มากกวา 0) เทากับ คร่ึงหนึ่งของคาสัมบูรณของ
a1 a2 1b1 b2 1 จากขอ 8c1 c2 1
a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 ≠ 0
c1 c2 1
วิธีท่ี 2 ใหแสดงวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ก็ตอเม่ือ
a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
71
ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว
จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน นั่นคือ ความชันของเสนตรง AB เทากับความชันของเสนตรง ACความชันของเสนตรง AB =
11
22
baba
−− ---------- (1)
ความชันของเสนตรง AC = 11
22
caca
−− ---------- (2)
สมการ (1) เทากับสมการ (2) จะได (a2 – b2)(a1 – c1) = (a2 – c2)(a1 – b1)a1a2 – a2c1 – a1b2 + b2c1 = a1a2 – a2b1 – a1c2 + b1c2
a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0 ---------- (3)
a1 a2 1จาก b1 b2 1 = 0
c1 c2 1
จะได a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0 ---------- (4)สมการ (3) เทากับสมการ (4)
ดังนั้น ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว
ถา = 0 แลวจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
a1 a2 1จาก b1 b2 1 = 0
c1 c2 1
a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1
a1 a2 1b1 b2 1 = 0
c1 c2 1
a1 a2 1b1 b2 1 = 0
c1 c2 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
72
จะได a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 + a1a2 – a1a2 = 0(a1a2 – a1b2 – a2c1 + b2c1) – (a1a2 – a1c2 – a2b1 + b1c2) = 0(a1 – c1)(a2 – b2) – (a1 – b1)(a2 – c2) = 0
11
22
baba
−− =
11
22
caca
−− ---------- (5)
แตความชันของเสนตรง AB = 11
22
baba
−− ---------- (6)
ความชันของเสนตรง AC = 11
22
caca
−− ---------- (7)
จากสมการ (5) สมการ (6) และสมการ (7)จะไดวา ความชันของเสนตรง AB = ความชันของเสนตรง ACดังนั้น จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
นั่นคือ ถา เทากับ 0 และจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
จากที่แสดงมาขางตนสรุปไดวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันก็ตอเมื่อ
a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1
a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
73
เฉลยแบบฝกหัด 1.5
การแกระบบสมการในแบบฝกหัดนี้ ผูสอนอาจจะใหผูเรียนใชกฎของคราเมอร หรือวิธีการใดก็ได แตสําหรับเฉลยในคูมือครูเลมนี้จะใชการดําเนินการตามแถว
1. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
2 4 –2 0 1 2 –1 03 5 0 1 3 5 0 1
1 2 –1 00 –1 3 1
1 2 –1 00 1 –3 –1
1 0 5 20 1 –3 –1
เราไดวา x + 5z = 2 และ y – 3z = –1ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x + 5z = 2, y – 3z = –1}
= {(2 – 5c, –1 + 3c, c) ⏐c ∈ R}
2. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 2 1 8 1 2 1 83 7 6 26 0 1 3 2
1 0 –5 40 1 3 2
เราไดวา x – 5z = 4 และ y + 3z = 2ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x – 5z = 4, y + 3z = 2}
= {(4 + 5c, 2 – 3c, c) ⏐c ∈ R}
∼
∼ R2–3R1
∼ –R2
∼R1 – 2R2
1R21
∼
∼R1–2R2
R2–3R1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
74
3. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
1755240319321
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
111053109321
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
42005310
19901
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
21005310
19901
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
210010101001
คําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ x = 1, y = –1, z = 2
4. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 0 –3 –2 1 0 –3 –23 1 –2 5 ∼ 0 1 7 11 R2 – 3R1
2 2 1 4 0 2 7 8 R3 – 2R1
1 0 –3 –2∼ 0 1 7 11
0 0 –7 –14 R3 – 2R2
1 0 –3 –2∼ 0 1 7 11
0 0 1 2 3R71−
1 0 0 4 R1 + 3R3
∼ 0 1 0 –3 R2 – 7R3
0 0 1 2คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 4, y = –3, z = 2
R2 + R1
R3 – 2R1
R1 + 2R2
R3 + R2
3R21
R1 – 9R3R2 – 3R3
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
75
5. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินตามแถวไดดังนี้
1 –1 2 4 1 –1 2 41 0 1 6 0 1 –1 2 R2 – R1
2 –3 5 4 ∼ 0 –1 1 – 4 R3 – 2R1
3 2 –1 1 0 5 –7 –11 R4 – 3R1
1 0 1 6 R1 + R2
0 1 –1 2 ∼ 0 0 0 –2 R3 + R2
0 0 –2 –21 R4 – 5R2
ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา0x + 0y + 0z = –2
ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = –2 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
6. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
3 1 4 2 –1 2 8 4 R12
–1 2 8 4 3 1 4 2 2 5 20 10 ∼ 2 5 20 10 2 8 32 16 2 8 32 16
1 –2 –8 – 4 –R1
3 1 4 2 ∼ 2 5 20 10
2 8 32 16
1 –2 –8 – 4 0 7 28 14 R2 – 3R1
∼ 0 9 36 18 R3 – 2R1
0 12 48 24 R4 – 2R1
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
76
1 –2 –8 – 4 0 1 4 2 2R
71
∼ 0 1 4 2 3R91
0 1 4 2 4R121
1 0 0 0 R1+ 2R2
0 1 4 2∼ 0 0 0 0 R3 – R2
0 0 0 0 R4 – R2
เราไดวา x = 0 , y + 4z = 2ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x = 0, y + 4z = 2}
= {(0, c, 4
c2− )⏐c ∈ R}
7. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 5 2 6 1 5 2 62 10 2 6 0 0 –2 – 6 R2 – 2R1
1 5 1 3 ∼ 0 0 –1 –3 R3 – R1
4 20 5 15 0 0 –3 –9 R4 – 4R1
1 5 2 6 0 0 1 3 2R
21−
∼ 0 0 1 3 3R−
0 0 1 3 4R31−
1 5 0 0 R1 – 2R2
0 0 1 3 ∼ 0 0 1 3
0 0 1 3
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
77
เราไดวา z = 3, x + 5y = 0ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z)⏐z = 3, x + 5y = 0}
= {(–5c, c, 3)⏐c ∈ R}
8. จากสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
2 1 –1 2 –16 1 5 2 6 –3 R13
3 4 0 1 1 3 4 0 1 11 5 2 6 –3 2 1 –1 2 –165 2 –1 –1 3 5 2 –1 –1 3
1 5 2 6 –3 0 –11 –6 –17 10 R2 – 3R1
0 –9 –5 –10 –10 R3 – 2R1
0 –23 –11 –31 18 R4 – 5R1
1 5 2 6 –3 0 1 –1 –3 2 2R2 – R4
0 –9 –5 –10 –100 –23 –11 –31 18
1 0 7 21 –13 R1 – 5R2
0 1 –1 –3 20 0 –14 –37 8 R3 + 9R2
0 0 –34 –100 64 R4 + 23R2
จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx + 7z + 21t = –13 ---------- (1)y – z – 3t = 2 ---------- (2)–14z – 37t = 8 ---------- (3)–34z – 100t = 64 ---------- (4)
จากสมการ (3) และ (4) จะได z = 11.041, t = – 4.394แทนคา z และ t ในสมการ (1) และ (2) จะได x = 1.986, y = –0.141∴ คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 1.986, y = – 0.141, z = 11.041 และ t = – 4.394
∼
∼
∼
∼
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
78
9. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
4 12 –7 –20 22 1 3 –47 –5
211 1R
41
3 9 –5 –28 30 3 9 –5 –28 30
1 347− –5
211
0 041 –13
227 R2 – 3R1
1 347− –5
211
0 0 1 –52 54 4R2
1 3 0 –96 100 R1 + 2R47
0 0 1 –52 54
เราไดวา z – 52t = 54 และ x + 3y – 96t = 100ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z, t)⏐z – 52t = 54, x + 3y – 96t = 100}
10. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมตริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 2 2 4 11 1 2 2 4 113 6 5 12 30 0 0 –1 0 –3 R2 – 3R1
1 2 2 4 110 0 1 0 3 –R2
1 2 0 4 5 R1 – 2R2
0 0 1 0 3
เราไดวา z = 3 และ x + 2y + 4w = 5ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z, w)⏐z = 3, x + 2y + 4w = 5}
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
79
11. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
2 1 –3 4 1 1 1 6 R14
1 2 2 10 1 2 2 101 0 –2 12 ∼ 1 0 –2 121 1 1 6 2 1 –3 4
1 1 1 6 0 1 1 4 R2 – R1
∼ 0 –1 –3 6 R3 – R1
0 –1 –5 –8 R4 – 2R1
1 0 0 2 R1 – R2
0 1 1 4 ∼ 0 0 –2 10 R3 + R2
0 0 – 4 – 4 R4 + R2
1 0 0 2 0 1 1 4
∼ 0 0 1 –5 3R21−
0 0 1 1 4R41−
1 0 0 2 0 1 0 3 R2 – R4
∼ 0 0 0 – 6 R3 – R4
0 0 1 1
ในแถวที่ 3 ของเมตริกซแตงเติม จะพบวา0x + 0y + 0z = – 6
ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = – 6 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
80
12. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
2 4 2 10 1 2 1 5 1R21
1 0 3 9 1 0 3 93 –2 0 4 ∼ 3 –2 0 41 1 1 8 1 1 1 8
1 2 1 5 0 –2 2 4 R2 – R1
∼ 0 –8 –3 –11 R3 – 3R1
0 –1 0 3 R4 – R1
1 2 1 5 0 –2 2 4
∼ 0 –8 –3 –110 1 0 –3 –R4
1 0 1 11 R1 – 2R4
0 0 2 –2 R2 + 2R4
∼ 0 0 –3 –35 R3 + 8R4
0 1 0 –3
1 0 1 11 0 0 1 –1 2R
21
∼ 0 0 –3 –350 1 0 –3
1 0 0 12 R1 – R2
0 0 1 –1∼ 0 0 0 –38 R3 + 3R2
0 1 0 –3
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
81
ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติม จะพบวา0x + 0y + 0z = –38
ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = –38
ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
13. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
0 1 1 –2 –3 1 2 –1 0 2 R12
1 2 –1 0 2 0 1 1 –2 –32 4 1 –3 –2 2 4 1 –3 –21 – 4 –7 –1 –19 1 – 4 –7 –1 –19
1 2 –1 0 2 0 1 1 –2 –30 0 3 –3 – 6 R3 – 2R1
0 – 6 – 6 –1 –21 R4 – R1
1 0 –3 4 8 R1 – 2R2
0 1 1 –2 –30 0 3 –3 – 60 0 0 –13 –39 R4 + 6R2
1 0 –3 4 8 0 1 1 –2 –30 0 1 –1 –2 3R
31
0 0 0 1 3 4R131−
∼
∼
∼
∼
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
82
1 0 0 1 2 R1 + 3R3
0 1 0 –1 –1 R2 – R3
0 0 1 –1 –2 0 0 0 1 3
1 0 0 0 –1 R1 – R4
0 1 0 0 2 R2 + R4
0 0 1 0 1 R3 + R4
0 0 0 1 3
คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = –1, y = 2, z = 1, w = 3
14. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
4 4 2 1 4 1 2 3 4 2 R12
1 2 3 4 2 ∼ 4 4 2 1 42 0 – 4 –7 –1 2 0 – 4 –7 –1
1 2 3 4 2 0 – 4 –10 –15 – 4 R2 – 4R1
0 – 4 –10 –15 –5 R3 – 2R1
1 2 3 4 2 0 – 4 –10 –15 – 40 0 0 0 –1 R3 – R2
ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา0x + 0y + 0z + 0t = –1
ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z, t ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z + 0t = –1
ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ
∼
∼
∼
∼
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
83
15. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 6 0 0 4 –2 1 0 – 6 0 –14 –8 R1 – 6R2
0 1 1 0 3 1 0 1 1 0 3 10 1 –1 1 –1 1 ∼ 0 0 –2 1 – 4 0 R3 – R2
0 0 0 1 5 2 0 0 0 1 5 2
1 0 –6 0 –14 –8 0 1 1 0 3 1 ∼ 0 0 1
21− 2 0
21− R3
0 0 0 1 5 2
1 0 0 –3 –2 –8 R1 + 6R3
0 1 0 21 1 1 R2 – R3
∼ 0 0 1 21− 2 0
0 0 0 1 5 2
1 0 0 0 13 –2 R1 + 3R4
0 1 0 0 23− 0 R2 – 2
1 R4
∼ 0 0 1 0 29 1 R3 + 2
1 R4
0 0 0 1 5 2
จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx1 + 13x5 = –2x2 – 5x
23 = 0
x3 + 5x29 = 1
x4 + 5x5 = 2ดังนั้น เซตคําตอบของสมการที่กําหนด คือ {(x1, x2, x3, x4, x5)⏐x1 + 13x5 = –2, x2 – 5x
23 = 0,
x3 + 5x29 = 1, x4 + 5x5 = 2} = {(–2 – c, c
23 , 1 – c
29 , 2 – 5c, c)⏐c ∈ R}
คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔
ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร
ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ
84
16. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้
1 3 –2 0 2 0 1 3 –2 0 2 02 6 –5 –2 4 0 0 0 –1 –2 0 0 R2 – 2R1
0 0 5 10 0 0 ∼ 0 0 1 2 0 0 51 R3
1 3 0 4 2 0 0 0 2 4 0 0 R4 – R1
1 3 0 4 2 0 R1 + 2R3
0 0 0 0 0 0 R2 + R3
∼ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 R4 – 2R3
จากเมทริกซแตงเติมจะไดวา x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0, x3 + 2x4 = 0ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x1, x2, x3, x4, x5)⏐x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0,
x3 + 2x4 = 0}