agf matlab skripta 21032013

7/30/2019 AGF Matlab Skripta 21032013

1/92

Strana 1

1. Uvod u MATLAB

1.1. Uvod

Postoje dvije klase softverskih paketa za rjeavanje matematikih problema:

- programi zasnovani na simbolikom rjeavanju i- programi zasnovani na numerikom rjeavanju problema.Tipian predstavnik prve klase programa je Mathematica, a druge MATLAB.MATLAB (MATrix LABoratory) je interpreter i oslanja se na matrini raun kaoosnovu svog rada.

MATLAB je dostupan u vie verzija, koje su prilagoene razliitim raunarskimplatformamaod PC i Macintosh raunara, preko UNIX radnih stanica do Convex iCray raunara. Predstavlja najee korien paket u svojoj oblasti. VerzijeMATLAB-a za razliite raunarske sisteme se razlikuju donekle samo po korisnikominterfejsusve komande se jednako izvravaju na svim platformama.Ovdje e biti ukratko prikazan MATLAB u verziji za Windows operativne sisteme.

MATLAB predstavlja moderan i multifunkcionalan programski sistem koji je,

prvenstveno, namijenjen rjeavanju problema u tehnici. Korisniku se pruamogunost numerike i logike obrade podataka, vizuelnog prikazivanja podataka,kao i kreiranja i izvravanja sopstvenih programa.MATLAB je koncipiran kao proiriv programski paket pored osnovnog paketamogue je nabaviti i dodatne module specijalizovane za rad u oblastima kao to suautomatsko upravljanje (Control System Toolbox), obrada signala (Signal Processing

Toolbox) ili simulacija neuronskih mrea (Neural Network Toolbox).

Osnovno okruenje MATLAB-a predstavlja tekstualni prozor u kome se zadajuMATLAB komande. Komande se izvravaju neposredno nakon unosa. Posebansimbol () predstavlja MATLAB prompt. Pored toga, mogue je pisati i programe u

programskom jeziku koji nudi MATLAB. Sam MATLAB programski jezik je nalik

drugim proceduralnim jezicima, izuzimajui njegovu prilagoenost radu samatricama.

Pored osnovnog prozora za unos komandi (MATLAB Command Window), mogueje otvoriti jo neke prozore (npr. za grafiki prikaz podataka).Mogunosti MATLAB-a su predstavljene MATLAB programom koji se pokree

komandom demo.

1.2. Osnovni MATLAB

Osnovna karakteristika MATLAB-a je da nalazi numerika rjeenja razliitih vrstamatematikih problema, od onih najjednostavnijih do izrazito sloenih. Druga bitnakarakteristika MATLAB-a je irok spektar mogunosti za grafiko prikazivanje.MATLAB generie grafike specifine po boji, osvijetljenosti, vrsti linija i tekstualnomsadraju.


2/92

Strana 2

1.2.1. Komandni prozor MATLAB-a

Nakon pokretanja MATLAB-a, pojavljuje se komandni prozor (sl. 1), koji je sada

aktivni prozor. U njemu je omoguena komunikacija sa MATLAB programskimprevodiocem (engl. interpreter). Program daje znak , kojim oznaava da je spreman

da prihvati komande od korisnika.

Sl. 1. Komandni prozor MATLAB-a

1.3. Uvod u radOsnovni element kojim manipulie MATLAB je pravougaona numerika matrica ijielementi mogu biti i kompleksni brojevi. Specijalni sluajevi pravougaone matrice sumatrice tipa 1x1 koje predstavljaju skalare, dok su vektori matrice sa samo jednom

vrstom ili kolonom.

1.3.1. Unoenje podatakaMatrice se u MATLAB mogu unositi na nekoliko naina:

direktnim unoenjem elemenata, generisanjem pomou funkcija ili izraza ugraenih u MATLAB,

definisanjem u M datoteci, prenoenjem iz spoljne datoteke sa podacima.

Kada su u pitanju matrice malih dimenzija, najpogodniji je prvi nain. Elementi jednevrste se upisuju jedan za drugim, meusobno razdvojeni preznim mjestom ilizapetom. Kraj svake vrste matrice oznaava se znakom ; (taka zapeta). Matrica semora ograniiti uglastim zagradama [ ].

Korienjem strelica i kontrolnih znakova omogueno je korisniku da ponovo

aktivira, promijeni ili pozove komande koje je prethodno otkucao.


3/92

Strana 3

Opisi funkcija tastera ili kombinacija tastera koji omoguavaju ureivanje komandnelinije prikazani su u Tabeli1.

Tabela 1. Opisi funkcija tastera ili kombinacija tastera koji omoguavaju ureivanjekomandne linije

Taster, Alternativa Funkcija

, Ctrl+P Pozivanje prethodne linije, Ctrl+N Pozivanje naredne linije, Ctrl+B Pomjeranje kursora ulijevo za jedan znak, Ctrl+F Pomjeranje kursora udesno za jedan znakCtrl+, Ctrl+L Pomjeranje kursora ulijevo za jednu rijeCtrl+, Ctrl+R Pomjeranje kursora udesno za jednu rijeHome, Ctrl+A Pomjeranje kursora na poetak komandne linijeEnd, Ctrl+E Pomjeranje kursora na kraj komandne linije

Esc, Ctrl+U Brisanje komandne linijeDel, Ctrl+D Brisanje znaka na mjestu kursora

Backspace Brisanje znaka lijevo od kursora

Ctrl+K Brisanje sadraja komandne linije do kraja

1.3.2. Brisanje sadraja u komandnom prozoruAko je potrebno izbrisati sadraj komandnog prozora, koristi se komanda clc. Tako jeispranjen komandni prostor, a ne radna povrina. Ako se npr. upotrijebi taster ,bievidljiva prethodna komanda.

1.3.3. Prekid programa

Pritiskom na kombinaciju tastera Ctrl+C rad programa se prekida.

1.4. Komanda formatOvom komandom se definie numeriki format za vrijednosti koje se prikazuju naekranu, ali to nema uticaja na registrovanje u memoriji.

Da bi se pojasnila ova komanda, potrebno je u komandnom prozoru (Command

Window) otkucati:

>> a=[2/5 1.22333e-6] i pritisnutiEnter.

U komandnom prozoru e biti vidljivo:>> a=[2/5 1.22333e-6]

a =

0.4000 0.0000

>>

Na ovaj nain smo definisali vektor a sa dva elementa. Prikazani format je kratkiformat (short), standardne forme (etiri cifre iza decimalne take).Ako elimo da se prikau brojevi sa mantisom i eksponentom, to postiemokomandom format short e (zadran je kratki format, ali su brojevi prikazani samantisom i eksponentom), a nakon toga pritisnemo tasterEnter:

>> format short e>> a


4/92

Strana 4

a =

4.0000e-001 1.2233e-006

>>

Prikazaemo i ostale numerike formatekoristei funkcijuformat.

>> format short g>> a

a =

0.4 1.2233e-006

>> format long

>> a

a =

0.40000000000000 0.00000122333000

(dugaki format 14 cifara)

>> format long e>> a

a =

4.000000000000000e-001 1.223330000000000e-006

(brojevi se daju mantisom i eksponentom)

>> format long g

>> a

a =

0.4 1.22333e-006

>> format bank

>> a

a =

0.40 0.00

(prikaz brojeva sa dva decimalna mjesta)

>> format +

>> a

a =

++

(prikazuje se samo znak)>> format rat

>> a

a =

2/5 1/817441

(prikazuje se razlomak, drugi broj je zaokruen broj)

>> format compact

>> a

a =

2/5 1/817441

(izmeu redova sa nekim sadrajem nee biti praznih redova)


5/92

Strana 5

>> format loose

>> a

a =

2/5 1/817441(prikazuju se prazni redovi izmeu redova sa odreenim sadrajem).

Izborom File Preferences Command Window Command Window

Preferences vri se izbor eljenog numerikog formata.

Sl. 2. Izbor eljenog numerikog formata za vrijednosti koje se prikazuju na ekranu

Ako nije definisan neki drugi format, automatski se koristi format short, tj.standardni format sa 5 znaajnih cifara.

PRIMJER:

Broj prikazati korienjem razliitih oblika naredbe format.

>> format short, pi

ans =

3.1416

>> format long, pi

ans =

3.141592653589793>> format long e, pi

ans =3.141592653589793e+000

>> format short e, pi

ans =

3.1416e+000

>> format rat, pi

ans =

355/113


6/92

Strana 6

Napomena: Sljedei broj sa kojim budemo radili bie automatski u formatu kojismo posljednji koristili. Da bismo se vratili u uobiajeni, format short, dovoljno jeotkucati samo naredbu format.

1.5. Prikaz rezultataPritiskom na tasterEnterna ekranu se automatski prikazuju rezultati. Ako je potrebno

da se rezultati ne prikazuju na ekranu, neophodno je da se red zavri znakom ;To omoguava izvrenje prorauna, ali se rezultat ne prikazuje na ekranu.

1.5.1. Prikaz komandi u vie redovaDa bi se komande prikazale u vie redova, neophodno je na kraju svakog redaotkucati tri uzastopne take.Primjer:

>> a=2-1/2+1/3-1/4+1/5 ...

- 1/6 + 1/7;

>> a

a =1.7595

>>

Napomena: prije kucanja tri uzastopne take, potrebno je unijeti jedan prazan znak.

1.6. Korienje komandi savei loadFormiraemo niz sa dva elementa: a i b (element a je ve formiran, a element b jereciprona vrijednost elementa a):a =

1.7595>> b=1/a

b =

0.5683

>> c=[a b]

c =

1.7595 0.5683

Formirali smo niz c sa dva elementa

>> save rp Sauvali smo sadraj radnog podruja u zapisu rp.mat>> clear Brisanje sadraja radnog podruja>> load rp Unoenje podataka iz zapisa rp.mat>> c Prikazivanje niza c na ekranuc =

1.7595 0.5683

>> clear Brisanje sadraja radnog podruja>> d=[2/3 .23]; Formirali smo niz dsa dva elementa>> save rp.dat -ascii Radno podruje kopirali smo u tekstualni zapis>> clear Brisanje sadraja radnog podruja>> load rp.dat Unoenje podataka iz zapisa rp.dat (formiran je niz rp)>> rp

rp =

0.6667 0.2300

Prikazivanje niza rpna ekranu


7/92

Strana 7

>> e=rp

e =

0.6667 0.2300

Formirali smo niz esa dva elementa (jednak nizu rp) iprikazali ga na ekranu

>> clear Brisanje sadraja radnog podruja>> f=[2 3];g=4.5; Formirali smo niz fsa dva elementa i promjenljivu g

>> save rp1 Sauvali smo kopiju radnog podruja u zapisu rp1.mat>> clear Brisanje sadraja radnog podruja>> load rp1 Unoenje sadraja zapisa rp1.dat>> rp1 Pokuaj prikaza niza??? Undefined function or variable 'rp1'.

>>

MATLAB javlja greku

1.7. Funkcije za pomo

Komanda helpAko zadamo komadnu

>> help

MATLAB prikazuje listu svih direktorija sa opisom kategorije funkcija koje se nalaze

u pojedinom direktoriju.

Ako zadamo zajedno sa komandom help i ime neke od funkcija (ime funkcije sezadaje malim slovima), MATLAB kao odgovor daje informacije o navedenoj funkciji

u komandnom prozoru.

Lista imena svih funkcija, npr. iz oblasti linearne algebre, nalazi se u direktorijumu

matfun, i ako elimo vidjeti listu imena svih ovih funkcija (sa opisom svake od njih)zadaemo komandu: help matfun.

Ako otkucamo:

>> help sqrt

SQRT Square root.

SQRT(X) is the square root of the elements of X. Complex

results are produced if X is not positive.

See also sqrtm, realsqrt, hypot.

Overloaded methods:

codistributed/sqrt

Reference page in Help browser

doc sqrt

Ako kliknemo na doc sqrt, omogieno je korienje Help-a uz pomo Internet-a.

Ako otkucamo:

>> sqrt (-2:2)

ans =

0 + 1.4142i 0 + 1.0000i 0 1.0000 1.4142

Komanda helpwin


8/92

Strana 8

Ovom komandom se, takoe, omoguuje pristup informacijama do kojih se dolazi ipomou naredbe help.

Komanda lookfor

Ovom komandom se omoguava dobijanje informacija o nekoj funkciji na osnovuzadate kljune rijei.Ako otkucamo:

>> lookfor poly

dobija se mnogo odgovora, npr.:

CONV Convolution and polynomial multiplication.

DECONV Deconvolution and polynomial division.

2. Definisanje promjenljivih, unoenje podataka i aritmetiki izrazi u Matlab-u

Promjenljive se definiu tako to im se dodijeli vrijednost. Naziv promenljive je nizslova i cifara koji mora poeti slovom, pri emu se velika i mala slova razlikuju.

Slijedi primjer definicije matrice dimenzije 3 x 3:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Matricu A je mogue definisati i na drugi nain: A = [1 2 3

4 5 67 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Vektor-vrsta se definie kao u sljedeem primjeru:

x = [-1.3 sqrt(3.1) (1+2)/4*5]

x =

-1.300 1.7607 3.7500

Slino kao u prethodnom primjeru s matricom definie se i vektor-kolona.Elemente matrice je neophodno odvojiti bar jednim white space karakterom.

Prilikom dodjeljivanja vrijednosti promjenljivim, MATLAB e ispisati upravododijeljenu vrijednost. Stavljanje znaka taka-zapeta (;) na kraj reda prilikom dodjelevrijednosti promenljivoj e sprijeiti ispis vrijednosti na ekran.

Slijedi primjer:

y = [1.25e-2 sin(5)];

Imaginarna jedinica i moe se eksplicitno definisati na sljedei nain:


9/92

Strana 9

i = sqrt(-1)

i =

0+1.0000i

Ovako definisan skalar se potom moe koristiti u formiranju MATLAB izraza, kao usljedeem primjeru:

C = [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 8];

Napomena: Znak * se moe izostaviti.

2.1. Selekcija elemenata matrice

Elementima matrice pristupa se preko njihovog indeksa. Osim pojedinanih

elemenata matrice, mogue je izdvojiti vrstu, kolonu ili bilo koju podmatricu.Za matricu definisanu izrazom:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

element A(2,2) bi bio:

A(2,2)

ans =

5

Izdvajanje tree kolone matrice A vri se izrazom:

A(:, 3)

ans =

3

6

9

Podmatrica koja predstavlja presjek prve i tree vrste i druge i tree kolone matrice Adobija se izrazom:

A([1 3], [2 3])

ans =

2 3

8 9

Prethodni rezultat se moe dobiti i izrazom:

A([1 3], 2:3)

ili izrazom:

A(1:2:3, 2:3)


10/92

Strana 10

U izrazima za selekciju elemenata matrice mogue je koristiti i prethodno definisanevektorepromjenljive. U MATLAB-u je mogue promijeniti i dimenzije matrice.

Na primjer, izraz

A = [A; 10 11 12]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

e proiriti matricu A novom vrstom. Slino tome, sljedea komanda e uklonitidrugu kolonu iz matrice A.

A = A(:, [1 3])

A =

1 3

4 6

7 9

10 11

Ukoliko se matrica proiruje novim elementima, a ne definiu se vrijednosti svihnovih elemenata, za njihove vrijednosti se uzima nula. Na primjer:

x = 1 : 4;

x(6) = 7x =

1 2 3 4 0 7

Prilikom definisanja vrijednosti promjenljivih posebno je koristan operator dvotaka(:). Ovaj operator je namijenjen za definisanje vektora iji se elementi dobijajuinkrementiranjem poetne vrijednosti za konstantan korak. Slijedi primjer: x = 1:4

x =

1 2 3 4

Mogue je navesti i korak razliit od 1, kao u sljedeem primjeru: y = 1:0.5:3

y =

1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000

Operator dvotaka se moe koristiti i za dodjelu vrijednosti matrici, ali samo u sluajuda je matrica bila prethodno definisana (tj. poznate joj dimenzije).

Sljedei primjer ilustruje ovu mogunost. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

A(:) = 21:29

A =

21 24 2722 25 28


11/92

Strana 11

23 26 29

Ukoliko matrica A prethodno ne bi bila definisana, rezultat bi bio vektor kolona.

MATLAB automatski dodjeljuje vrijednost posljednjeg izraunatog izraza

promjenljivoj ans.Tako se moe dobiti i vrijednost izraza koji nisu dodijeljeni kao vrijednost nijednoj

promjenljivoj.

Slijedi primjer:

sqrt (2)

ans =

1.4142

Pod skalarom se podrazumijeva matrica tipa 1x1. Vektori predstavljaju matrice

jedne vrste ili jedne kolone.MATLAB je jezik izraza i sainjen je od konstanti, promjenljivih, operatora,

specijalnih znakova i funkcija.

Operacije i izrazi u MATLABu se piu na uobiajannain, slino kao to sepie u matematici. Rezultat izvrenja izraza je matrica.

MATLAB operie realnim i kompleksnim brojevima. Koristi se uobiajenadecimalna notacija sa znakom i decimalnom takom.

MATLAB moe da se koristi za izraunavanje jednostavnih matematikihizraza. Tada on radi slino kalkulatoru.

Napomena: MATLAB je veoma strog prema definisanoj sintaksi jezika.Izostavljena zagrada ili zapeta mogu da utiu tako da cijeli program ne funkcionie.Sa druge stane, velika olakica u radu je to se na ekranu ispisuje vrsta uinjenegreke i olakava se korisniku da se greke isprave.

>> y=sin(x

??? y=sin(x

|

Error: Expression or statement isincorrect--possibly unbalanced (, {, or [.

MATLAB-ove promjenjive mogu imati numerike ili znakovne vrijednosti(string).

Mogunost manipulacije matematikim izrazima bez korienja brojeva moeda bude veoma korisna.

Znakovni tip podataka sastoji se iz niza ASCII znakova koji se unose pod

jednostrukim apostrofima 'x'.


12/92

Strana 12

PRIMJER 1:

Napisati rije student.

>> rijec='student'

rijec =

student

PRIMJER 2:

U rijei student odrediti broj slova.

>> size(rijec)

ans =

1 7

U ovom PRIMJERU koriena je naredba size, koja izraunava dimenzijuunijete promjenljive.

Napomena: (Odgovor 1 7 oznaava polje brojeva u jednom redu 7 elementa).

Imena promjenljivih ili funkcijamoraju poeti slovom, iza koga moe slijeditiprizvoljan niz simbola, ali se samo prvih 63 karaktera iz imena pamti.

MATLAB razlikuje velika i mala slova, tj. x i X su dvije razliitepromjenljive.

Imena matricaobino se piu velikim slovima, dok imena skalara i vektora malimslovima.

Imena funkcija moraju se pisati malim slovima.

2.2. Aritmetiki operatori

Aritmetiki izrazise prave korienjem uobiajenih aritmerikih operacija zakoje koristimo sljedee simbole:

+ sabiranje

- oduzimanje

* mnoenje

/ dijeljenje^ stepenovanje

PRIMJER 3:

Izraunati vrijednost izraza 2+4-6.

>> 2+4-6

ans =

0


13/92

Strana 13

Iz ovog PRIMJERA vidimo da MATLAB sam kreira veliinu pod imenom ans(answer odgovor), ukoliko korisnik sam ne dodijeli ime promjenljivoj ili vrijednosti

izraza.

PRIMJER 4:

Izraunati

1422x .

>> x=2+(2*4-1/pi)

x =

9.6817

Broj je definisan kao stalna veliina MATLAB-a i dovoljno je ukucati slovapi (a ne vrijednost 3.14).

PRIMJER 5:Izraunati vrijednost izraza 3y x , ako je 23x .

>> x=3^2;

>> y=3*x

y =

27

2.3. Relacijski operatori

Relacijski operatori su binarni operatori i koriste se za poreenje izraza.Rezultat poreenja je tano ( true ) u oznaci 1 ili netano ( false ) u oznaci 0 .

vee od

vee ili jednako od

= = jednako

~= nejednako

PRIMJER 6: Ispitati istinitosnu vrijednost izraza 5 3 .

>> 5


14/92

Strana 14

PRIMJER 7:

Izraunati vrijednost izraza:

>> 5> 2+2==4

ans

1

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

B = A> 5 i=sqrt(-1)

i =

0 + 1.0000i


15/92

Strana 15

Kompleksni brojevi se definu kao zbir z x iy , gdje je x realni, a y imaginarni dio kompleksnog broja.

PRIMJER 8:

Napisati broj 2 3z i .

>> z=2+3*iz =

2.0000 + 3.0000i

Moduo, argument, realni i imaginarni dio i konjugovano kompleksni broj

dobijaju se korienjem naredbi abs, angle, real, imag, conj.

PRIMJER 9:

Izraunati4

sin

.

>> sin(pi/4)ans =

0.7071

PRIMJER 10:

Za 5x i 59y izraunati vrijednost izraza lnz y x .

> x=5;

>> y=59;

>> z=log(y)+sqrt(x)

z=6.3136

Primijetimo da vrijednosti promjenljivih x i y nisu prikazane na ekranu (jer se

iza promjenljivih nalazio znak ;).

PRIMJER 11:

Izraunati vrijednost izraza logz x y , za vrijednosti x i y , zadate u

prethodnom PRIMJERU.

>> % Komentar: x i y su vrijednosti promjenljivih iz prethodnog PRIMJERA

>> z=log10(x)+abs(y)

z =

59.6990

Napomena: Treba imati u vidu da MATLAB pamti prethodno unijete veliine,pa ih nije potrebno ponovo definisati ako nam kasnije trebaju u radu.

Napomena: Oznaka % koristi se za pisanje komentara.


16/92

Strana 16

2.5. Osnovne konstante u Matlabu

ans vrijednost izraza kada nije pridruen promjenljivoj

i , j imaginarna jedinica 1

pi =3.14159265...

Inf , ili rezultat 1/0 (infinity)

NaN Nije broj, ili rezultat 0/0(Not a Number)

Napomena: Prednost rada u MATLAB-u je to dijeljenje nulom ne dovodi doprekida programa ili greke. Ispisuje se poruka upozorenja i specijalna veliina seponaa korektno u kasnijim izraunavanjima.

PRIMJER 1:

Unijeti matricu

247586

421

A .

>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]

A =

1 -2 4

-6 8 5

7 -4 2

Druga mogunost upisa je da se razmak izmeu elemenata zamijeni zapetom.

>> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]

A =

1 -2 4

-6 8 5

7 -4 2

Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti nain. Ako su vrijednostielemenata ekvidistantne (sa istim korakom), koristi se simbol : .

PRIMJER 2:

Unijeti vektor x=(1, 2, ... , 10).>> x=1:10; x

x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Naredba lengthizraunava duinu vektora.

>> length(x)

ans =

10


17/92

Strana 17

Ako elimo proizvoljan korak, a ne 1, kao u predhodnom PRIMJERU,koristimo naredbu h=a:k:b, gdje su a i bpoetna i krajnja vrijednost, a kje korak.

Kod matrica sa kompleksnim elementima moemo da koristimo dva nainaunoenja podataka, tako to posebno unosimo realni i imaginarni dio ili broj kaocjelinu.

PRIMJER 3:

Unijeti matricu

ii

iiZ

8473

6251, tako to emo posebno unositi realne, a

posebno imaginarne dijelove kompleksnih brojeva.

>> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i

Z =

-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

PRIMJER 4:Unijeti matricu Z iz prethodnog PRIMJERA tako to elemente odmah

unosimo kao kompleksne brojeve.

>> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]

Z =-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Element matrice A koji se nalazi u presjeku i-te vrste i

j-te kolone moe se dobiti primjenom naredbe A(i,j).

PRIMJER 5:

Iz matrice

654

132

321

A izdvojiti element u presjeku druge vrste i tree

kolone.

>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;

>> A(2 , 3)

ans =

1


18/92

Strana 18

Ako elimo da izdvojimo vrstu koristimo komandu A(k,:) ili kolonukomanduA(:,k),gdje kpredstavlja traenu vrstu, odnosno kolonu.

Dimenzije matriceodreuju se naredbama size(A) ili [m,n]=size(A).

PRIMJER 6:Odrediti dimenzije date matrice A, korienjem naredbe size.

>> size(A)

ans =

3 3

PRIMJER 7:Odrediti dimenzije matrice A korienjem naredbe [m,n]=size(A).

>> [m, n]=size(A)m =

3

n =

3


19/92

Strana 19

3. Osnovne operacije s matricama, vektorima i skalarima

Transponovanje A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

B = A

B =1 4 7

2 5 8

3 6 9

Ve je reeno da matrice sa jednim stupcem ili jedim retkom zovemo vektori.

Vektori se u MATLAB unose na sljedei nain:

>>a=[2 5 6] (ili a=[2,5,6])

a=

2 5 6

>>b=[5;2;1]

b=

5

2

1

Uoiti ta dobijemo za a' i b'.

>>a'

ans= 2

5

6

>>b'

ans= 5 2 1

Sabiranje

C = A + B

C =

2 6 10

6 10 14

10 14 18


20/92

Strana 20

Sabiranje matrice i skalara

Prilikom sabiranja matrice sa skalarom, svaki element matrice se sabira sa datim

skalarom. Sabiranje matrice sa skalarom je komutativno.

C = C2

C =0 4 8

4 8 12

8 12 16

Sabiranje vektora sa skalarom:

>>a+2

ans=

4 7 8

>>b-1

ans=

4

1

0

Mnoenje matrica

Operator * obuhvata i mnoenje matrice i vektora, mnoenje dva vektora i mnoenjematrice ili vektora skalarom. Naredni primjeri ilustruju ove mogunosti MATLAB-a.

D = A * B

D =

14 32 50

32 77 122

50 122 194

x = [1 2 3];

E = D*x

E =228

552

876

y = [4 5 6];

x*y

ans =

4 5 6

8 10 12

12 15 18


21/92

Strana 21

y*x

ans =

32

y*2

ans =

8 10 12

>>a*3

ans=

6 15 18

>>b*-2

ans=

-10

-4-2

Osnovne operacije nad dva vektora su mogue samo ukoliko su istog oblika:

>>a+b

??? Error using ==> plus

Matrix dimensions must agree.

>>a+b'

ans =

7 7 7

>>a'+b

ans =

7

7

7

Pored ovoga, MATLAB posjeduje operatore / i \ koji su namijenjeni za mnoenjematrice inverzijom druge matrice. Pri tome izraz A\B predstavlja mnoenje A-1*B, aizraz A/B predstavlja mnoenje A*B-1. Iz ovoga slijedi da se sistem linearnih

jednaina Ax = b u MATLAB-u moe relativno jednostavno rijeiti, kao u sljedeemprimjeru:

A = [10 2 6; 1 10 9; 2 -7 -10];

b = [28 7 -17]; x = A\b

x =

1.0000

-3.00004.0000


22/92

Strana 22

U sluaju da je matrica sistema singularna, ili bliska singularnoj, MATLAB e ispisatiupozorenje:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

b = [10 4 2]; x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018

x =

1.0e+016 *

-1.8014

3.6029

-1.8014

Operacije sa elementima matrice ili vektora

Elementi dvije matrice ili vektora se mogu pomnoiti po principu element saelementom, pomou operatora .* . Pri tome dimenzije matrica ili vektora koji semnoe moraju biti jednake.

Slijedi primjer:

x = [1 2 3];

y = [4 5 6];

x .* yans =

4 10 18

Analogno prethodnom, postoje i operatori ./ i .\ , koji predstavljaju dijeljenje zdesna,

odnosno slijeva. Sljedei primjer ilustruje upotrebu ovih operatora:

x ./ y

ans =

0.2500 0.4000 0.5000

x .\ y

ans =4.0000 2.5000 2.0000

Stepenovanje

Ako je A kvadratna matrica i x cio broj, tada izraz A^x predstavlja x-ti matrinistepen od A. Ukoliko je x realan broj, tada je A^x = V*D.^x/V, gdje operator .^

predstavlja stepenovanje matrica element po element, V je matrica desnih sopstvenih

vektora, a D dijagonalna matrica sopstvenih vrijednosti.


23/92

Strana 23

Slijedi primjer:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A ^ 2

ans =

30 36 4266 81 96

102 126 150

A .^ 2

ans =

1 4 9

16 25 36

49 64 81

Osnovne operacije s matricama

>>A=[2 1;3 4]

A =

2 1

3 4

>>B=[ 2 3; 3 1/2]

B =

2.0000 3.0000

3.0000 0.5000

Sabiranje matrica + A+B

ans=

4.0000 4.0000

6.0000 4.5000

Oduzimanje matrica - A-B

ans=

0 -2.0000

0 3.5000

Mnoenje matrica * A*B

ans=

7.0000 6.5000

18.0000 11.0000

Desno dijeljenje

matrica/ A/B

ans=

0.2500 0.5000

1.3125 0.1250

Lijevo dijeljenje

matrica\ A\B

ans=

1.0000 2.3000

0 -1.6000

Potenciranje matrica ^ A^2

ans=

7 618 19


24/92

Strana 24

Transponovanje

matrica' A'

ans=

2 3

1 4

Mnoenje elemenata

dviju matrica lan polan

.* A.*B

ans=

4 3

9 2

Desno dijeljenje

elemenata dviju matrica

lan po lan./ A./B

ans=

1.0000 0.3333

1.0000 8.0000

Lijevo dijeljenje

elemenata dviju matrica

lan po lan.\ A.\B

ans=

1.0000 3.0000

1.0000 0.1250

Potenciranje elemenatadviju matrica lan po

lan.^ A.^B

ans=4 1

27 2

Posebne matrice

Jedininu matricu stvaramo naredbom eye:

>>eye(3)

ans =

1 0 00 1 0

0 0 1

Nul-matricu generiemo naredbom zeros:

>>zeros(3)

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Matricu punu jedinica stvaramo naredbom ones:

>>ones(3)

ans =

1 1 1

1 1 1

1 1 1


25/92

Strana 25

Sluajnu matricu generiemo pomou funkcije rand:

>>A=fix(rand(3)*10)

A =

6 0 7

3 4 79 3 1

Osnovne matrine funkcije

diag(A)vraa vektor iji su elementi dijagonalni elementi matrice A

>>diag(A)

ans =

6

4

1

Provjeriti ta je diag(diag(A)).

rank(A)rauna rang matrice A>>rank(A)

ans =

3

sum(A)vraa vektor iji su elementi sume stubaca matrice A>>sum(A)

ans =

18 7 15

prod(A) - vraa vektor iji su elementi umnoci elemenata stubaca matrice A

>> prod(A)

ans =

162 0 49

det(A)rauna determinatu matrice:

>> det(A)

ans =

-291


26/92

Strana 26

inv(A)rauna inverznu matricu matrice A

>> inv(A)

ans =

0.0584 -0.0722 0.0962

-0.2062 0.1959 0.07220.0928 0.0619 -0.0825

Stapanje matrica

esto je potrebno iz manjih matrica napraviti vee. Npr., iz matrica elimo dobitimatricu.

>>A=[1 3;2 4]

A =

1 3

2 4

>>B=[0;5]B =

0

5

>>C=[A B]

C =

1 3 0

2 4 5

U sljedeem PRIMJERU moemo uoiti razliku izmeu A./B i A.\B

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

>> B=A';

>> A./B

ans =

1.0000 0.5000 0.4286

2.0000 1.0000 0.7500

2.3333 1.3333 1.0000

>> A.\B

ans =

1.0000 2.0000 2.3333

0.5000 1.0000 1.3333

0.4286 0.7500 1.0000

Napomena: Izraz X=A\B (X= 1A B) predstavlja rjeenje jednaine AX=B, aizraz X=A/B (X=B 1A ) predstavlja rjeenjejednaine XA=B.

PRIMJER 25: Rijeiti matrinu jednainu AX=B, gdje su date matrice

654

132

321

A i

2

2

1

B .


27/92

Strana 27

(Uputstvo: 1AX B X A B )

>> A ; B ; X=inv(A)*B

X =0.1852-0.37040.5185

ili

>> X=A\B

X =

0.1852

-0.3704

0.5185

PRIMJER 26:

Podijeliti matricu A skalarom 2, slijeva i zdesna.

>> A\2

??? Error using ==> mldivide

Matrix dimensions must agree.

>> A/2ans =

0.5000 1.0000 1.5000

1.0000 -1.5000 0.5000-2.0000 -2.5000 -3.0000

4. Logiki operatori

Logiki operatori u MATLAB-u su sljedei simboli:~ (negacija)

| (disjunkcija)

& (konjunkcija)

Tablica vrijednosti za logike operacije

p q ~p p&q p|q

0 0 1 0 0

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 0 1 1

Napomena:MATLABtretira svaki ne nulti broj kao taan i nulu kao netaan.


28/92

Strana 28

>> ~4

ans =

0

>>

Logiki i relacioni operatori su namijenjeni za formiranje logikih izraza. MATLABne posjeduje logiki tip podataka kao poseban tip, ve se kao vrijednost logikihizraza uzima 1 (ako je izraz taan), odnosno 0 (ako je izraz netaan). Prilikomizraunavanja vrijednosti logikih izraza vrijednosti razliite od nule se tretiraju kaotani izrazi, a nula kao netaan izraz.

Slijede primjeri korienja logikih operatora:

~B

ans =

0 0 0

0 1 1

1 1 1

X = ((B(:, 1) | ~B(:, 2)) & B(:, 3))'

X =

0 0 1

4.1. Upotreba dvotakeJednostavan nain izrade aritmetikih nizova:

>>1:5

ans=

1 2 3 4 5

>>4:-1:-4

ans =

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

>>x=0:pi/3:2*pi

x =

0 1.0472 2.0944 3.1416 4.1888 5.2360 6.2832

>>y=sin(x)

y =

0 0.8660 0.8660 0.0000 -0.8660 -0.8660 -0.0000


29/92

Strana 29

Ispis n do m-tog lana vektora dobijamo na slijedei nain:

>>x(2:4)

ans =

1.0472 2.0944 3.1416

Ukoliko elimo vektor generisati po broju elemenata, a ne prema razmaku izmeususjednih elemenata, koristimo funkciju linspace:

>>s=linspace(0,10,3)

s =

0 5 10

Funkcije zaokruivanja

MATLABposjeduje 4 funkcije za zaokruivanje realnih brojeva (round, fix, floor,ceil).

round - zaokruuje broj prema najbliem cjelobrojnom

fix - zaokruuje broj prema nuli

floor - zaokruuje broj prema -

ceil - zaokruuje broj prema +

>>x=-pi:pi/4:pi

x =

Columns 1 through 7

-3.1416 -2.3562 -1.5708 -0.7854 0 0.7854 1.5708

Columns 8 through 9

2.3562 3.1416

>>round(x)

ans =

-3 -2 -2 -1 0 1 2 2 3

>>fix(x)

ans =

-3 -2 -1 0 0 0 1 2 3


30/92

Strana 30

>>floor(x)

ans =

-4 -3 -2 -1 0 0 1 2 3

>>ceil(x)

ans =

-3 -2 -1 0 0 1 2 3 4

Funkcija signvraa predznak argumenta:

>>sign(x)

ans =

-1 -1 -1 -1 0 1 1 1 1

Zadatak za vjebu

Na osnovu gornjih primjera:

Pomou naredbe "linspace" formirajte niz od 100 vrijednosti ravnomjernorasporeenih izmeu brojeva 250 i 380.

Na zadani niz vrijednosti primijenite nauene funkcije za zaokruivanje

5. Ugraene funkcije

f-ja objanjenje

sin sinus

cos kosinus

tan tangens

asin arkus sinus

acos arkus kosinus

atan arkus tangens

sinh hiperbolni sinus

cosh hipebolni kosinus

tanh hiperbolni tangens

asinh area sinus hiperbolni

acosh area kosinus hiperbolni

atanh area tangens hiperbolni

abs apsolutna vrijednost

sqrt kvadratni korijen

real realni dio kompleksnog broja


31/92

Strana 31

imag imaginarni dio kompleksnog broja

conj kompleksno konjugiranje

exp exponencijalna funkcija (baza e)

log logaritamska funkcija (baza e)

log10 dekadski logaritam

U ovom dijelu bie prikazane neke od najee korienih ugraenih funkcijaMATLAB-a. Za svaku od funkcija koje su na raspolaganju u MATLAB-u mogue jedobiti kratak opis komandom:

help ime_funkcije

all(X)Rezultat funkcije all je jednak 1, ako su svi elementi vektora X razliiti od nule; usuprotnom, rezultat je 0. Ako je X matrica, rezultat je vektor vrsta iji su elementi

rezultati funkcije za svaku kolonu matrice posebno. X= [1 2 -3 0; 4 0 -8 0];

all(X)

ans =

1 0 1 0

any(X)

Rezultat funkcije any je jednak 1 ako postoji bar jedan element vektora X koji je

razliit od nule; u suprotnom, rezultat je 0. Ukoliko je X matrica, rezultat je vektorvrsta iji elementi su rezultati funkcije za svaku kolonu matrice posebno.

any(X)ans =

1 1 1 0

sin(X)Vraa matricu iji su elementi vrijednosti sinusa odgovarajuih elemenata matrice X.Funkcija oekuje vrijednosti za veliinu ugla u radijanima.

exp(X)

Vraa matricu iji su elementi vrijednosti funkcije exp za odgovarajue elementematrice X.

x = (0:0.2:1); y = sin(x) .* exp(-x);

[x y]

ans =

0 0

0.2000 0.1627

0.4000 0.2610

0.6000 0.3099

0.8000 0.3223

1.0000 0.3096


32/92

Strana 32

max(X)

Vraa vektor koji sadri maksimalne elemente po kolonama matrice X.

mean(X)Vraa vektor koji sadri aritmetike sredine elemenata u odgovarajuim kolonama.

size(X)

Vraa dimenzije argumenta u obliku vektora.

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

max(A)

ans =

7 8 9

mean(A)

ans =

4 5 6

size(A)

ans =

3 3

ones(m,n)

Vraamatricu dimenzije m x n iji su elementi jedinice.

zeros(m,n)

Vraa matricu dimenzije mxn iji su elementi nule.

sort(X)Rezultat je matrica dobijena sortiranjem kolona matrice X u rastuem redoslijedu.

inv(X)

Vraa inverznu matricu kvadratne matrice X.

det(X)

Vraa determinantu matrice X.

rank(X)Rezultat funkcije je rang matrice X.

cond(X)Vraa kondicioni broj matrice X.

norm(X)

Vraa normu matrice X.

eig(X)Izraz eig(X) predstavlja vektor iji su elementi karakteristine vrijednosti matrice X.

Ukoliko se funkcija pozove sljedeim izrazom: [V, D] = eig(X);


33/92

Strana 33

tada je D dijagonalna matrica sa karakteristinim vrijednostima matrice X, a V jematrica ije su kolone odgovarajui desni karakteristini vektori.

poly(X)Ako je X kvadratna matrica dimenzije n, tada je poly(X) vektor sa n+1 elementom

koji predstavljaju koeficijente karakteristinog polinoma matrice X. Ukoliko je Xvektor, tada je poly(X) vektor iji su elementi koeficijenti polinoma koji za svojekorijene ima elemente vektora X.

roots(X)

Rezultat funkcije je vektor iji su elementi korijeni polinoma datog koeficijentima uvektoru X.


34/92

Strana 34

6. Grafika

6.1. 2D grafika

Osnovna naredba dvodimenzionalne grafike uMATLAB-u je plot.

Ukoliko elimo nacrtati graf funkcije f(x)=2sin(pi*x)cos(pi/2+pi*x) na intervalu[1,1] koristei ukupno 100 taaka, radimo na sljedei nain:

1. Odaberemo uzorke na x - osi>>x=linspace(-1,1,100);

2. za svaki uzorak sa x osi izraunamo vrijednost funkcije y>>y=2*sin(pi*x).*cos(pi/2+pi*x);

3. pozivom naredbe plot kreiramo graf koji se iscrtava na nain da se sparujutake iz x i y matrica, te se iscrtavaju u koordinantnom sistemu>>plot(x,y)

Ime grafa, te oznake x i y osi dodaju se na sljedei nain:>>title('Graf')

>>xlabel('x os')

>>ylabel('y os')

Dodavanje mree na sliku izvodi fja grid.

>>grid


35/92

Strana 35

Mreu uklanjamo sa grid ili grid off.

Mijenjanje boje linije kojom je graf nacrtan izvodimo treim parametrom funkcijeplot.

>>plot(x,y,'r+')


36/92

Strana 36

gdje trei parametar moe imati sljedee vrijednosti:

BOJE LINIJE

y yellow .

m magenta oc cyan x

r red +

g green -

b blue :

w white -.

k black --

Na isti crte moe se prikazati i vie grafikona. Npr.:

>>plot(x,y,'k', x,y/2,'g');

Ukljuimo jo prikaz legende:

>>legend('Funkcija','Pola funkcije');

Poziv funkcije plot prebrie sadraj postojeeg crtea.

Naredba holdomoguava da svi daljnji pozivi funkciji plot crtaju grafikone na istom

crteu. Iskljuuje se sa hold off.


37/92

Strana 37

Za brisanje crtea koristimo clg (ili clf).

Za poveavanje prikaza koristimo naredbu zoom.Klikom na sliku poveavamo eljeni dio. Zoom out vraa prikaz na standardnuveliinu.

Mijenjanje podruja x i y ose vri f-ja axis u obliku axis([xmin xmax ymin ymax]).

Npr:

>>axis ([-2 2 -1 1])

PRIMJER 1:

Nacrtati vektor (1, 2,4,8,16)x .

>> x=[1,2,4,8,16];plot(x)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16


38/92

Strana 38

Iz ovog PRIMJERA moemo vidjeti da je MATLAB za vrijednosti nezavisnopromjenljive x uzeo redni broj elementa, a njihove slike su vrijednosti vektora x , tj.

take nacrtanog grafika imaju koordinate 1,1 , 2,2 , 3,4 , 4,6 .... U optem sluaju naredba plot(x) crta grafik spajajui take (i, x(i)), i=1, 2,

3,, N, gde je N duina vektora.Nezavisno promjenljiva moe biti zadata posebno. U tom sluaju se koristi

naredba plot(x,y).

PRIMJER 2:

Nacrtati vektor zadat koordinatama (1, 2,4,8,16)x i ( 1, 2, 4,8,16)y .

>> x=[1,2,4,8,16]; y=[-1,2,-4,8,16]; plot(x,y)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Naredba plot se koristi i za crtanje funkcija jedne promjenljive.

PRIMJER 3:

Nacrtati funkciju 2 xy e u domenu 1,1x sa korakom 0.1 .

>> x=-1:0.1:1; y=2*exp(x); plot(x,y)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

PRIMJER 4:


39/92

Strana 39

U istom koordinatnom sistemu nacrtati funkcije xy 2 i 2 xy e , u domenu

1,1x sa korakom 0.1

>> x=-1:0.1:1; y1=2*x ;y2=2*exp(x); plot(x,y1,x,y2)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

PRIMJER 5:

U prethodnom PRIMJERU uvedimo oznake za vrstu i boju linije.

>> x=-1:0.1:1;y1=2*x; y2=2*exp(x);

>> plot(x,y2,'g',x,y1,'m+')

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Za crtanje grafika funkcija moemo da koristimo naredbu fplot(f,xmin,xmax).

Funkcija koju crtamo ima oblik f x , gde je x vektor iji je prvi elementxmin, a poslednji element xmax.

U naredbi fplot funkcija se pie pod navodnicima ' f '.


40/92

Strana 40

PRIMJER 6:

Nacrtati funkciju 92 xy u domenu 3,3x .

>> y='x^2-9'; fplot(y,[-3,3])

-3 -2 -1 0 1 2 3-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

6.2. Oznaavanje grafika i osaMATLAB nudi mogunosti oznaavanja osa, pisanja razliitog teksta i razne

druge mogunosti.

Oznaka Opis

title naziv grafika

xlabel naziv x oseylabel naziv y ose

text naziv teksta na grafiku

gtext tekst na poziciji oznaenoj miemgrid crtanje linija mree

Tekst u prethodnim naredbama pie se u zagradi pod navodnicima. Naredbahold onzadrava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off. U naredbi gtextkorisnik naknadno sam odreuje miem mjesto na koje eli da smjesti tekst.

PRIMJER 9:Nacrtati funkciju siny x na domenu 2 , 2x i korienjem naredbi iz

tabele obiljeiti sliku.

>> y='sin(x)';fplot(y,[-2*pi,2*pi])

>> hold on

>> grid

>> title('sinusna funkcija')

>> xlabel('x osa')

>> ylabel('y osa')

>> gtext('max')


41/92

Strana 41

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1sinusna funkcija

x osa

y

osa

max

Naredba subplot(m, n, p) formira vie grafika na ekranu. Ekran se dijeli nam n dijelova, a grafik se crta u p -tom dijelu ekrana.

PRIMJER 11:

Korienjem naredbe subplot, nacrtati funkcije: 1,1y x x ,

0,1xy xe x , 2 2,2y x x , cos ,y x x .

>> x1=-1:1:1; y1=x1;

>> x2=0:0.5:1; y2=x2.*exp(x2);

>> x3=-2:.1:2; y3=x3.^2;

>> x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4);

>> subplot(2,2,1),plot(x1,y1)

>> subplot(2,2,2),plot(x2,y2)>> subplot(2,2,3),plot(x3,y3)

>> subplot(2,2,4),plot(x4,y4)

-4 -2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 10

1

2

3

-2 -1 0 1 20

1

2

3

4


42/92

Strana 42

Skaliranje osa

Ose x i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i maksimalne

vrijednosti koordinata.

Oznaka Opis

axis('equal') Provjerava se da li je prirataj po osama isti

axis(xmin,xmax,ymin,ymax) Zadaju se granice u kojima e biti nacrtan grafik

axis('normal') Vraanje na prvobitne dimenzije grafika

axis('axis') Vraanje na prvobitno skaliranje

axis Dobija se informacija o trenutnim dimenzijama

PRIMJER 12:

Nacrtati funkciju siny x za -2 2x , a zatim postaviti da opseg po x

osi bude - x , a po y osi bude 2, 2 .

>> x=-2*pi:pi/16:2*pi; y=sin(x);plot(x,y),grid

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

>> axis([-pi,pi,-2,2])

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


43/92

Strana 43

VJEBA:

1. Nacrtati funkcije siny x i cosy x u opsegu od 0,2 .2. Nacrtati krug sa centrom u taki (2,2) i poluprenikom 4.3. Nacrtati funkciju 2 5 6y x x u proizvoljnom opsegu i opisati je tekstom.4. Korienjem naredbe subplot, nacrtati funkcije , 1, 6ny x n .

6.3. Specijalni oblici 2D grafikih prikaza

Prikazaemo i dvije specijalne grafike naredbe za 2D prikaz.Prvi primjer prikazuje funkcije dvije varijable kao konturni dijagram (naredba

contour), to je zapravo prikaz izo-linija matrice Z.Funkcija dvije varijable Z u ovom primjeru generisana je demo naredbom peaks.[X,Y,Z] = peaks;

contour(X,Y,Z,25)

axis([-2 2 -2 2])

Na narednoj slici je prikazankonturni dijagram funkcije dvije varijable.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Sl. Konturni dijagram funkcije dvije varijable


44/92

Strana 44

Drugi primjer prikazuje vektor u takama 2D prostora.Naredbom quiver(X,Y,U,V) u svakoj x-y koordinati (matrice X i Y) definisan je vektorsa svojim x i y koordinatama (matrice U i V).

[U,V] = gradient(Z,.25);

hold on

quiver(X,Y,U,V)

Na narednoj slici prikazan je istovremeno konturni dijagram funkcije s dvije varijable

s vektorskim prikazom gradijenta funkcije.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

6.4. 3D grafika

Osnovna naredba kojukoristimo za prikaz 3D

grafike je plot3.

>>t = 0:pi/50:10*pi;

>>plot3(sin(t),cos(t),t)

>>grid on

>>axis square

Slika Konturni dijagram funkcije s dvije varijable s vektorskim

prikazom gradijenta funkcije


45/92

Strana 45

Druga naredba koja se koristi za prikaz 3D slike je naredba " mesh(x,y,z)". Pri tom, x i

y su vektori dimenzija n, odnosno m, a z je matrica dimenzija nxm. Ako izostavimo x

i y, u tom e sluaju odgovarajuim vrijednostima na x, odnosno y osi biti pridruenaodgovarajua vrijednost matrice z.

Konkretno:

>>a=1:10;

>>b=11:20;

>>c=21:30;

>>d=linspace(25,30,10);

>>e=linspace(35,40,10);

>>m=[a;b;c;d;e;e;d;c;b;a];

>>mesh(m)

rezultira prikazom

Takoe je mogue oblike prikazati s ispunjenim povrinama >>surf(m), to rezultiraprikazom:


46/92

Strana 46

Zadatak za vjebu

Napisati naredbu u MATLAB-u koja rauna traenu funkciju, a zatim nacrtati graffunkcije za zadane intervale varijable x sa korakom 0.01.

1. f(x)=(x+1).^(0.5) , x=[1,100]

2. f(x)=(x+1).^(1/3) , x=[1,100]

3. f(x)=sqrt(1./(4+x.^2)) , x=[1,10]

4. f(x)=sqrt(x.^2-2) , x=[1.5,10]

5. f(x)=(-(cos(x))./(3*((sin(x)).^3))+4/3*1./tan(x) , x=[1,3], x=[6,7], x=[10,20],

x=[1,100]


47/92

Strana 47

7. Polinomi

MATLAB-omje vrlo jednostavno pronai nultake polinoma, skicirati njegov graf iliodrediti vrijednost za proizvoljan argument.

Ako elimo nai nultake polinoma f(x)=3x4-2x3+x2-5x-7, skicirati njegov graf na

podruju 10f=[3 -2 1 -5 -7]

f =

3 -2 1 -5 -7

Funkcija rootstrai nultake polinoma:

>>roots(f)

ans =

1.6293

-0.0781 + 1.3303i

-0.0781 - 1.3303i

-0.8064

f(3+2i) lako izraunamo koristei f-ju polyval:

>>polyval(f,3+2*i)

ans =

-3.5600e+002 +2.7000e+002i

Skiciranje polinoma u rasponu10x=-10:0.1:10;

>>plot(x,polyval(f,x))


48/92

Strana 48

7.1. Numeriko rjeavanje sistema linearnih jednaina

MATLAB znaajno olakava rjeavanje sistema linearnih jednaina.Npr.potrebno je rijeiti ovakav sistem linearnih jednaina:

4x1+9x2+2x3+4x4+6x5=63x1+9x2+6x3+7x4+2x5=3

8x1+7x2+3x3+2x4+8x5=8

4x2+9x3+4x4+6x5=8

7x1+4x2+7x3+9x4+1x5=5

Koeficijente uz nepoznate unesemo u matricu A, dok lanove s desne strane unesemou vektor B. Raun se svodi na AX=B, to se formalno rjeava jednostavnimdijeljenjem X=A\B.

>>A=[4 9 2 4 6

3 9 6 7 28 7 3 2 8

0 4 9 4 6

7 4 7 9 1];

>>B=[6 3 8 8 5]'

B =

6

3

8

8

5

>>X=A\B

X =

-0.0000

-0.40000

0.6000

1.2000

Dakle, vrijednosti nepoznatih su:

x1=0

x2=-0.4

x3=0

x4=0.6

x5=1.2


49/92

Strana 49

PRIMJER 1:

Odrediti nule polinoma 2 5 6 0x x .

>> p=[1 -5 6];

>> r=roots(p)

r =

3.0000

2.0000

Sa druge strane, kada su poznata rjeenja polinoma, pomou naredbe polymoguse odrediti koeficijenti polinoma, odnosno napisati polinom.

Naredba ima oblik

p=poly (r), gdje je r vektor koji sadri rjeenja polinoma, a p vektor kojisadri koeficijente polinoma.

PRIMJER 2:

Odrediti polinom ija su rjeenja 2x i 3x .

>> r=[2 3];

>> p=poly(r)

p =

1 -5 6

Dakle, traeni polinom je 2 5 6x x .

7.1.1. Operacije sa polinomimaPolinomi se sabiraju i oduzimaju tako to se saberu, odnosno oduzmu

koeficijenti polinoma (odgovarajuih monoma).

PRIMJER 3:

Sabrati polinome 3 21 3 2 4 6p x x x x i 4 3 2

2 2 7 3 1p x x x x x .

>> p1=[3 -2 -4 6];

>> p2=[1 2 -7 -3 1];

>> p=[0 p1]+p2

p =

1 5 -9 -7 7

Kako polinomi nisu istog stepena, krai vektor se mora dopuniti nulama da bibio iste veliine kao dui vektor.


50/92

Strana 50

Polinomi se mnoepomou naredbe conv.

Naredba ima oblik:

c=conv (a,b), gdje je c vektor koeficijenata polinoma rezultata, a a i b su

vektori koeficijenta polinoma koji se mnoe.

PRIMJER4: Pomnoiti polinome1

p i2

p .

>> c=conv(p1,p2)

c =

3 4 -29 3 49 -32 -22 6

Dakle, rjeenje je polinom 7 6 5 4 3 23 4 29 3 49 32 22 6x x x x x x x

Polinomi se dijelepomou naredbe deconv.

Naredba ima oblik

[q,r]=deconv (a,b), gdje je q vektor koeficijenata polinoma kolinika, r vektor

koeficijenata polinoma ostatka, a je vektor koeficijenta polinoma brojioca, bje

vektor koeficijenta polinoma imenioca.

PRIMJER 5: Podijeliti polinome 3 21 2 9 7 6p x x x x i 2 3p x x .

>> p1=[2 9 7 -6];

>> p2=[1 3];>> [q r]=deconv(p1,p2)

q =

2 3 -2

r =

0 0 0 0

Dobijamo da je kolinik polinom 22 3 2x x , bez ostatka.

7.1.2. Rjeavanje jednaina sa jednom promjenljivomJednaina sa jednom promjenljivom ima oblik 0f x .Za izraunavanje nula funkcije koristi se naredba fzero.

Naredba ima oblik

x=fzero('funkcija',x0)

x je skalarna vrijednost

Funkcija se unosi u obliku znakovnog niza ( string ). Funkcija se prethodno

moe definisati u funkcijskom fajlu, a ime funkcije se zadaje u obliku znakovnogniza.


51/92

Strana 51

0x je vrijednost promjenjive x u blizini mjesta gde funkcija presijeca x osu.

0x moe biti skalar ija je vrijednost bliska taki preseka funkcije sa x osom ili

vektor sa dva elementa ije su vrijednosti take na suprotnim stranama rjeenja. Akoima vie rjeenja, svako se izraunava za sebe.

Poetno rjeenje 0x se moe odrediti grafikim putem.Funkcija fzeropronalazi samo rjeenja u kojima funkcija presijeca x osu.

PRIMJER 6:

Nai rjeenja jednaine 0.2xxe

Priblina rjeenja odreujemo grafiki.

>> fplot('x*exp(-x)-0.2',[0 8]);grid

Sa slike vidimo da su priblina rjeenja 0,7 i 2,8 .

>> x1=fzero('x*exp(-x)-0.2',0.7)

x1 =

0.2592

>> x1=fzero('x*exp(-x)-0.2',2.8)

x1 =

2.5426


52/92

Strana 52

7.1.3. Rjeavanje sistema linearnih jednainaAko je determinanta sistema od n linearnih algebarskih jednaina sa n

promjenljivih razliita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rjeenje dato formulom

, ( 0, 1, 2,..., )j

j

Dx D j n

D

,

gdje je D determinanta tog sistema, a jD determinanta dobijena tako to su u

D koeficijenti uz jx zamijenjeni, redom, slobodnim lanovima jb .

Navedene formule su poznate Kramerove formule.

PRIMJER 7:

Kreirati fajl Cramer za rjeavanje sistema linearnih algebarskih jednainakoristei Kramerovo pravilo.

% Novi fajl pod imenom Cramer

%Rjesavanje sistema AX=B Cramerovim pravilom

function X=Cramer(A,B)

[m,n]=size(A);

if m ~= n,

error('Matrica nije kvadratna'),

end

if det(A)==0,

error('Matrica je singularna'),

endfor j=1:n,

C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A);

end

X=X';

PRIMJER 8:

Koristei kreirani fajl Cramer, rijeiti sistem jednaina

2 4 0

2 2 6

3 6 6

x y z

x y z

x y

>> A=[2 4 1 ;1 2 2 ; 3 6 0];>> B=[0 ; 6 ; 6];

>> Cramer(A , B)

ans =

2

0

4


53/92

Strana 53

PRIMJER 9:

Koristei kreirani fajl Cramerrijeiti sistem jednaina

2 3 1

3 2 1

6 3

x y z

x y z

x y z

.

>> A1=[2 3 1;1 32;16 1]A1 =

-2 3 1

1 3 -2

1 -6 1

>> B1=[1;1;3]

B1 =

11

3

Cramer(A1,B1)

??? Error using ==> cramer

Matrica je singularna

PRIMJER 10:Rjeiti sistem jednaina matrinom metodom

2 3 1

3 2 16 3

x y z

x y zx y z

.

>> A=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 -1]

A =

-2 3 1

1 3 -2

1 -6 -1

>> B=[1;1;3]

B =

1

1

3

>> X=inv(A)*B

X =

-2.5000

-0.5000

-2.5000


54/92

Strana 54

PRIMJER 11:

Rijeiti sistem jednaina matrinom metodom i koristei kreirani fajl Cramer.

Uporediti ovako dobijena rjeenja.

2 3 113 5 2 19

2 3 14

x y zx y z

x y z

>> M=[2, 3, 1 ; 3, 5, 2 ; 1, 2, 3]

M =

2 3 1

3 5 2

1 2 3

>> N=[11 ; 19 ; 14]

N =

11

19

14

>> X1=inv(M)*N

X1 =

1.0000

2.0000

3.0000

>> X2=Cramer(M,N)

X2 =

1

2

3

Zadaci

1) Nai nultakepolinoma, izraunati vrijednost za traeni x i skicirati polinom nazadanom intervalu:

a. f(x)=2x2-4x-5, f(4+4i), [0,5]

b. f(x)=3x

3

+2x

2

-x, f(-5), [-1000,1000]c. f(x)=5x4+x2+x+2, f(-1-i), [-1,1]


55/92

Strana 55

2) Rijeiti sljedee sisteme linearnih jednaina:

Sistem 1: Sistem 2:

3x1+2x2+8x3=5 8x1-3x3+5x4=2

x1+9x2+6x3=1 x2+7x4=3

x1-x2+3x3=2 4x1+12x2-2x3+2x4=-5

2x1-3x2+4x3=5

3) Odrediti koeficijente polinoma 1 2 3y x x x .

4) Rijeiti jednainu 4 22 1 0x x .

5) Rijeitijednainu2

5 2 0ax bx .

6) Rijeiti sistem jednaina 22 2 1 0x x y i 2 1 0y x .

7) Rijeiti sistem jednaina matrinom metodom i koristei kreirani fajl Cramer.

Uporediti ovako dobijena rjeenja.

2 3 9

3 2 4 11

2

x y z

x y z

x y z

.


56/92

Strana 56

8. Programiranje u MATLAB-u

Iako je osnovni nain rada MATLAB-a interaktivan rad, za rjeavanje sloenijihproblema potrebno je napisati odgovarajue MATLAB programe. MATLABprogrami se smjetaju u tekstualne ili binarne datoteke. Tekstualne datoteke (sa

ekstenzijom .m) su zapravo ASCII datoteke sa tekstom programa. Binarne datoteke(sa ekstenzijom .mat) su datoteke zapisane u posebnom MATLAB-ovom formatu koji

omoguuje razmjenu datoteka izmeu razliitih raunarskih platformi.

8.1. MATLAB kao programski jezikSlino kao u FORTRAN-u i drugim programskim jezicima, MATLAB naredbe seizvravaju onim redoslijedom kojim su napisane.Redoslijed izvravanja naredbi se moe promijeniti, ukoliko to zahtijeva algoritamrjeenja nekog zadatka, korienjem funkcija za kontrolu toka programa.Kombinacijom ovih funkcija formiraju se programske konstrukcije poznate kao

ciklusi.MATLAB karakteriu tri tipa ciklusa: if, for i while.Funkcija if u kombinaciji sa else i elseif omoguava konstruisanje vie razliitihformi if ciklusa.

Tabela 2: Kontrola toka programa

Funkcija Opis

break zaustavljanje izvrenja (for, while)else koristi se sa funkcijom if

elseif koristi se sa funkcijom ifend kraj petlje (for, while)

error pokazivanje poruke o grecifor ponavljanje bloka naredbi definisani broj puta

if oznaavanje uslovnog izvrenja naredbireturn povratak na pozivnu funkciju

while ponavljanje izvravanja naredbi neodreen broj puta (sve dok...)

8.2. Kontrola toka MATLAB programa

MATLAB ima vie naredbi koje omoguavaju korisniku da upravlja tokom programa.

To su: if, for, while, else, break, error, while...

Posebno e se prikazati tri uobiajene strukture za kontrolu toka programa: for, ifiwhile.

Naredba forima sljedei opti oblik:

for brojac = vektor

naredbe

end


57/92

Strana 57

pri emu vektor moe biti bilo koji vektor definisan u MATLAB-u. Promjenljivabrojac e u svakoj iteraciji petlje kao vrijednost primati odgovarajui element vektora.

Naredba ifima sljedei opti oblik:

Naredba ifse koristi za uslovnoizvravanje programa.

Oblik if naredbe je:

if izraznaredbe

endili

if izraznaredba 1

elsenaredba 2

endiliif izraz 1

naredba 1

elseif izraz 2naredba 2

elsenaredba 3

end

gdje su izraz 1,izraz 2,... logiki izrazi.

Ako uslovni izraz u iskazu ima vrijednost tano - true (1), program izvravakomande koje neposredno slede sve do komande end.Ako je uslovni izraz netaan false (0 ) , program preskae grupukomandi izmeu if i endi nastavlja da izvravakomande iza end.

Vrijednost nezavisno promjenljive moe da se unese i korienjem naredbeinput(tekst).

x=input ('unesi promenljivu x=');

y=input ('unesi promenljivu y=');

Za ispisivanje izlaznih rezultata koristi se naredba disp(tekst).

PRIMJER 1: Unijeti godine starosti, i ako je broj godina manji od 21, na izlazu

ispisati 'zabranjen alkohol', a u suprotnom izai iz programa.


58/92

Strana 58

start

Unesi godine

Ako su

godine

manje od

21

Nema alkohola

Formirati m-file: ab% primjer jednograne if naredbe

function y=ab

godine=input('god=');

if godine


59/92

Strana 59

PRIMJER 3: Za unaprijed zadatu vrijednost promjenljive x izraunati vrijednostizraza y , tako da, ako je 2x , slijedi da je 2y x , za 2x je 2y , inae je

2y x .

x=input('x=')

if x=broj2) disp(broj2);

else disp(broj2);

end

PRIMJER 5: Za unijeta tri broja ispisati najvei:broj1=input('prvi broj ');

broj2=input('drugi broj ');

broj3=input('trei broj ');

if(broj1>=broj2)

if(broj1>=broj3) disp(broj1);

end

else if (broj2>=broj3) disp(broj2);

else disp(broj3);

end

end


60/92

Strana 60

PRIMJER 6: Za unijeti broj n ispisati da li je on paran ili neparan.

a=input('unesi a:');

if rem(a,2)==0

disp(broj je paran)

else

disp('broj je neparan)

end

PRIMJER 7: Formirati script u kome su dva vektora-vrste X i Y, sa po pet

elemenata. Odrediti skalarni proizvod tih vektora: S = XY' i u zavisnosti od

vrijednosti S definisati promjenljivu P prema formulama: P= 1 za S>0 ; P= 0 za S=0

;P=-1 za S0

P=1

else if S==0

P=0

else

P=-l

end

end


61/92

Strana 61

PRIMJER 8: Formirati MATLAB skript u kome e biti obavljene sljedee operacije:(l) Unoenje preko tastature: rednog broja mjeseca i indikatora 1 ako je godina

prestupna ili indikatora 0 ako nije.

(2) Odreivanje broja dana u datom mjesecu.(3) Prikazati rezultat na ekranu.

Predvidjeti prikaz teksta 'podaci su neispravni, ako su podaci koji su zadati pogreni(tj. ako je redni broj mjeseca pogreno zadat).mjesec=input('unesi mjesec:);

godina=input('unesi indikator za prestupnu godinu:');

switch mjesec

case{l,3,5,7,8,10,12}

dani=31

case{4,6,9,11}

dani=30

case 2

if godina

dani=29

else

dani=28

end

otherwise

disp(podaci su neispravni)

disp (mjesec)

disp (godina)

end

For petlja omoguava ponavljanje dijela programa zadati broj puta. Zavrava se

komandom end.Oblik petlje:

for promjenljiva=izraznaredbe

end


62/92

Strana 62

PRIMJER 9: Za sve vrijednosti promjenljive 1,2,3,4,5x izraunati vrijednostfunkcije sin2y x .

poetak

x=1

y(x)=sin(x)x=x+1

for x=1:5

y (x)=sin(2*x);

end

PRIMJER 10: Napisatiprogram koji rauna matricu A iji se elementi izraunavaju

po zakonu 1,2 2

a i ji j

, a koja ima 4 vrste i 3 kolone.

for i=1:4

for j=1:3

A(i,j)=1/(2*i+j-2);

end

end

A

U ovom PRIMJERU koriena je dupla for petlja.

PRIMJER 11:Napisati program koji rauna sumu svih brojeva do unijetog broja?function y=unos

x=input(Unesi broj );s=0;

for i=1:x

s=s+i;

end

disp ('Suma do unesenog broja =');

disp(s);NAPOMENA: Ako se iza izraza s=s+i izostavi znak ; bie vidljiva promjena sume s.


63/92

Strana 63

PRIMJER 12:Napisati program koji rauna 20. lan fibonaijevog niza.

function fibo=niz(pr1)

pr=0;

pr1=1;

for i=1:18

s=pr+pr1;

pr=pr1;

pr1=s;

end

disp ('20-ti clan fibonaci-jevog niza je:')disp(s);

PRIMJER 13: Ako je potrebno ispisati sve neparne brojeve Fibonai-jevog niza

manje od 300:

function fibo=niz(pr1)

pr=0;

pr1=1;

for i=1:18

s=pr+pr1;pr=pr1;

pr1=s;

if (s


64/92

Strana 64

x=2*x;

end

disp(x);

Dio programa izmeu while i endizvrava se sve dok je izraz koji slijedi posle whileistinit.

PRIMJER 2: Izraunati zbir reda

21

1 1 1 11

4 9 16

n

n

sn

sa tanou

410 .

s=0;

n=1;

while abs((-1) n/n^2)>10^(-4)

s=s+(-1)^n/n^2;

n=n+1;

end

disp(s);

PRIMJER 3: Napisati kd koji za unijeti broj n ispisuje da li je on prost ili nije?

n=input('Unesi broj n= ');

brojac=0;

for i=2:n-1

if(rem(n,i)==0)brojac=brojac+1;

end

end

if(brojac==0)disp('Broj je prost ');

else disp('Broj nije prost ');

end

PRIMJER 4: Napisati kd koji za unijeti broj n ispisuje sve brojeve do n koji su

djeljivi sa 2 ili sa 3?

n=input('broj n= ');

for i=1:n;

if(rem(i,2)==0 | rem(i,3)==0) disp(i);

end

end


65/92

Strana 65

PRIMJER 5: Napisati kd koji za unijeti broj n ispisuje proste inioce tog broja.Primjer broj 36 ima proste inioce 2,2,3,3.

function zaok=yy


i=2;

while n>1if rem(n,i)==0

n=fix(n/i);

disp(i);

else

i=i+1;

end

end

PRIMJER 6: Napisati kd koji unosi niz brojeva a(n) i zatim ga sortirati u opadajui.function niz=zzz


for i=1:n

a(i)=input(' ');

end

for i=1:n-1

for j=i+1:n

if(a(j)>a(i))

c=a(i);

a(i)=a(j);

a(j)=c;

end

end

end

disp(a);

PRIMJER 7: Napisati kd koji unosi niz brojeva a(n) i izdvaja one koji su parni i

smjeta u novi niz b.function par=parni


for i=1:n

a(i)=input(' ');

end

c=1;

for i=1:n

{Omoguuje unos element po element(nakon unosa prvog elementa pritisne se

Enter, pa se unosi drugi element, ...)}


66/92

Strana 66

if rem(a(i),2)==0

b(c)=a(i);

c=c+1;

end

end

disp(b);

PRIMJER 8: Dati su realni brojevi a i , kao i broj x u dvostrukoj tanosti (|x| < l).

Priblino odrediti vrijednost f koja je data sljedeom formulom:

...!3!2!1

1 33221 xa

xa

xa

f gdje su:

),...21

)(11

(1

),11

(1

,1

321

aaa Vrijednost f odrediti u dvostrukojtanosti. Proraun prekinuti kada posljednji lan reda bude po apsolutnoj vrijednosti

manji od broja . Na izlazu prikazati date podatke i dobivenu vrijednost f. Program

izvriti sa sljedeim podacima: =3., x=0.2, =1.10-5

alfa=input('alfa=');

x=input('x=');

eps=input('epsilon:');

c=l.;

f=l.;

a=l/alfa;

i=1.;

fk=1.;

while abs(c)>=eps

fk=fk*i;

c=a*x^i/fk;f=f+c;

a=a*(l/alfa-i);

i=i+1;

end

alfa

eps

x

f

i


67/92

Strana 67

9. Vrste MATLAB datotekaMATLAB aplikacija se sastoji od M i MAT datoteka.

MAT datoteke sadre binarne podatke i u imenu imaju nastavakmat.M datoteke su ASCII datoteke koje sadre obian tekst i u imenu imaju nastavakm.Oba tipa datoteka se mogu prenositi izmeu razliitih raunarskih sistema i

arhitektura.M datoteke se mogu prenositi izmeu razliitih raunara zato to sadre mainskusignaturu u zaglavlju datoteke. Kada se datoteka pozove, MATLAB provjerava

signaturu, i ako ona oznaava da se radi o stranoj datoteci, izvodi neophodnukonverziju. Prenoenje datoteka izmeu razliitih mainskih arhitektura omoguavajukomunikacijski programi.

MAT datoteke omoguuju prenoenje podataka izmeu razliitih platformi, kao iprebacivanje MATLAB podataka u druge aplikacije i obrnuto. Direktorijum

matlab\extern sadri funkcije koje omoguavaju uitavanje i ispisivanje MATdatoteka korienjem programa napisanih u FORTRAN-u ili C-u, ime se

pojednostavljuje korienje MAT datoteka u drugim aplikacijama.

Trea vrsta datoteka koja je posebno znaajna sa stanovita proirenja opsegamogunosti MATLAB-a su MEX datoteke pod kojima se podrazumijevaju C iFORTRAN programi koji se mogu pozvati iz MATLAB-a. Ponaaju se isto kao Mdatoteke ili ugraene funkcije, tako da ih MATLAB moe automatski pozvati iizvriti.MEX datoteke su zapravo dinamiki povezani potprogrami napisani u C iliFORTRAN izvornom kodu. MATLAB za Windows podrava dva formata MEXdatoteka: REX i DLL format. MEX datoteke imaju nastavak .mex za REX format i

.dllza DLL format. Ukoliko u jednom direktoriju postoje datoteke sa istim imenom

koje imaju nastavke .m, .mex i .dll, prednost imaju .mex nad .dll, odnosno .dllnad .m.

M-datotekeM-datoteka se formira tekst-editorom i smjeta u odgovarajui direktorijum. Programkoji se nalazi u M-datoteci poziva se navoenjem imena datoteke u komandnoj linijiMATLAB-a. MATLAB e datoteku potraiti u svom tekuem direktorijumu i udirektorijumima koji su navedeni kao matlabpath u okviru konfiguracione datoteke

matlabrc.m. Podrazumijevani tekui direktorijum MATLAB-a je direktorijum u komese nalazi datoteka matlab.exe (najee je to \matlab\bin). Tekui direktorijum semoe promijeniti komandom cd, koja ima sintaksu identinu odgovarajuoj DOSkomandi.

Postoje dvije vrste M-datoteka: komandne (skript) i funkcijske. Komandna datoteka

sadri niz MATLAB izraza i komandi. U toku izvravanja skripta sve prethodnodefinisane promjenljive su vidljive i imaju odgovarajue vrijednosti. Promjenljivekoje su definisane u okviru skripta vidljive su i nakon izvravanja skripta.Funkcijske datoteke su namijenjene za definisanje novih funkcija od strane korisnika.

Nakon formiranja, funkcije definisane u odgovarajuim funkcijskim datotekamakoriste se jednako kao i ugraene funkcije MATLAB-a.

Funkcijska M-datoteka mora da u prvoj liniji sadri izraz sljedeeg oblika:

function [y1, y2, ] = ime_funkcije (x1, x2, )

gdje y1,y2, predstavljaju rezultate izvravanja funkcije, ime_funkcije je nazivMATLAB funkcije koja se definie, a x1, x2, su ulazni parametri funkcije.


68/92

Strana 68

Promjenljive koje su definisane prije poziva funkcije nisu vidljive unutar same

funkcije. Slino tome, promjenljive koje se definiu unutar funkcije nisu vidljiveizvan nje. Ukoliko je potrebno da neke promjenljive budu vidljive i unutar funkcije,

one moraju biti proglaene globalnim pomou naredbe global. Naziv funkcije morabiti jednak nazivu datoteke u kojoj je smjetena funkcija.

Korisnike funkcije je mogue definisati i u okviru REX ili DLL datoteka (u verzijiMATLAB-a za Windows operativne sisteme).

Dodatni skupovi funkcija organizovani u toolbox-ove se, nakon instaliranja, nalaze u

nekom od poddirektorijuma \matlab\toolbox direktorijuma. Da bi stalno bila vidljiva,

promjenljivu matlabpath definisanu u matlabrc.m datoteci treba dopuniti

odgovarajuim vrijednostima. Tu se nalaze primjeri M, MAT, REX, i DLLfunkcijskih datoteka.

MATLAB posjeduje i skup komandi namijenjen debagiranju komandnih i funkcijskih

datoteka.

Dosadanju komunikaciju s MATLAB-om izvodili smo u prozoru programa gdje biMATLAB odmah po upisivanju naredbi vraao rezultat. Ovaj nain zgodan je kadaradimo neto kratko i neto to nije potrebno ponavljati, odnosno raunati vie puta.Osim ovakvog naina rada, MATLAB omoguava da mu se slijed naredbi zada uobliku tekstualne datoteke (tzv. m-file zbog ekstenzije .m). Pozivanje imena te

datoteke u komandnom prozoru MATLAB-a pokree izvravanje slijeda naredbipohranjenih u njoj.

Npr., u nekom tekst editoru (Notepad ili MATLAB editor) napiemo sljedee:

clear

A=fix(rand(3)*10)

B=fix(rand(3)*10)

Whos

Datoteku snimimo pod imenom test.m. Ukoliko sada u MATLAB-u napiemo:

>>test

MATLAB e potraiti m-file sa navedenim imenom i izvriti naredbe zapisane unjemu, to e rezultirati brisanjem svih postojeih varijabli (clear), stvaranjem dviju

sluajnih matrica A i B, te ispisivanjem trenutnih varijabli sa prikazom potronjememorije svake varijable (whos). Imena m-datoteka ne smiju biti ista kao i imenastandardnih naredbi ili funkcija, te se one moraju snimiti u neki od foldera koji

MATLAB pregledava prilikom izvoenja (path).

A =

3 7 0

6 0 0

1 2 8

B =

6 0 7

3 4 79 3 1


69/92

Strana 69

Name Size Bytes Class Attributes

A 3x3 72 double

B 3x3 72 double

Funkcijski M-file, osim obinog izvoenja slijeda naredbi m-datoteke, mogu se

programirati tako da izvravaju neke funkcije.

Npr., sljedei m-file rauna povrinu trougla stranica a, b, c, po formuli:P=(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))^0.5, s=(a+b+c)/2.

function P=povrsina(a,b,c)

s=(a+b+c)/2;

P=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

Ukoliko ovaj m-file snimimo pod imenom povrsina.m, pozivamo ga u MATLAB-u na

sljedei nain:

>> povrsina(3,4,5)

ans =

6

ili ukoliko rezultat elimo pridruiti nekoj varijabli:

S=povrsina(3,4,5)

S =

6

Naredbe input i disp

% m- file izbor.m

r=input('izaberite \n a \n b ili \n c \n');

if r=='a'disp('izabrali ste a');

elseif r=='b'

disp('izabrali ste b');

elseif r=='c'

disp('izabrali ste c');

else

disp('pogresan izbor');

end


70/92

Strana 70

>> izbor

izaberite

a

b ili

c

'b'izabrali ste b

>>

PRIMJER 1:

Odrediti zbir kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i sauvati fajl pod imenomzbir.

s=0;

for i=1:10

s=s+i^2;

end

disp(s);

Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati rijezbir, pod kojom smo upamtili ovaj fajl.

Ovako sauvani fajl je otvoren prema podacima koje smo unosili tokom rada,tako da moe da se dogodi greka. Zato je bolje formirati funkcijskefajlove koji suzatvoreni sistemi i zatieni od nepoeljnih podataka.

Funkcijski fajl omoguava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije.

Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadre naredbu oblika:

function [y1, y2,] =ime funkcije (x1, x2,)

function ime funkcije (x1, x2,)

function [y1, y2,] = ime funkcije

Ulazni argumenti su 1 2, ,x x , izlazni argumenti 1 2, ,y y su funkcije, koje

se dobijaju kada se funkcija pozove.

Poslije ovoga izraza slijedi niz MATLAB komandi i izraza.

PRIMJER 2:

Formirati funkcijski fajl u kome se definie nova funkcija sinxf x e x pod imenom fi.

% funkcijski fajl

% ime nove funkcije je fi

function y=fi(x)

y=exp(x)+sin(x);


71/92

Strana 71

Ako elimo da izraunamo vrijednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo

funkciju fi i definiemo vrijednost promjenljive, na PRIMJER2

x

.

>> fi(pi/2)

PRIMJER 3:

Formirati funkcijski fajl u kome se definie nova funkcija sinxf x e x pod imenom fa, a da se vrijednost nezavisno promjenljive unese korienjem naredbeinput (tekst).

% ime nove funkcije je fa

function y=fa

x=input('unesi promjenljivu x=')

y=exp(x)+sin(x);

Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobiemo odgovor:>> faunesi promjenljivu x=3

x = 3

ans = 20.2267

PRIMJER 4: Formirati funkcijski fajl pod imenom ime, kojim se odreuje brojslova u nekom imenu.

% funkcijski fajl ime kojim se odredjuje broj slova u imenu

function n=br(x)

x=input('unesi svoje ime:','s');

% oznaka s u naredbi oznacava da se unose stringovi

n=length(x);

disp(['broj slova u imenu je',num2str(n)];

U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, ija je prvakomponenta znak (string), a druga koja je kao rezultat programa broj koji mora da se

naredbom num2str prebaci u znak (string).

PRIMJER 5:Napisati program za raunanje faktorijel broja.function f=fakt(x);

if(x==0)f=0;

else

f=1;

for i=1:x

f=f*i;

end

end


72/92

Strana 72

PRIMJER 6: Napisati program koji ispisuje trocifrene brojeve kojima je zbir

faktorijela cifara jedanak tom broju. Zadatak uraditi pomo'u potprograma iz

prethodnog zadatka.

for i=100:999

c1=fix(i/100);

c2=fix((rem(i,100))/10);c3=rem(i,10);

suma=fakt(c1)+fakt(c2)+fakt(c3);

if(suma==i)disp(i);

end

end


73/92

Strana 73

10. Rjeavanje integrala

Pod numerikom integracijom (koristi se i termin kvadratura) podrazumijeva seaproksimacija odreenog integrala:

b

a

dxxf )(

U MATLAB-u postoje dvije glavne funkcije za kvadraturu: quad i quad8, kojerade za konane vrijednosti a i b i za sluaj da podintegralna funkcija f(x) nemasingularitet u [a,b].

Funkcija quadse aktivira na sljedei nain:

q=quad(fun,a,b,tol)

gdje su:

fun tekstualni niz kojim se zadaje ime funkcijskog potprograma u kome seodreuje podintegralna funkcijaa,bgranice intervalatol apsolutna tolerancija greke, koja slui za definisanje eljene tanosti

rezultata. Ako se ne zadaprogram uzima vrijednost 0.001

Funkcija trapz

Koristi se za izraunavanje integrala pomou trapeznog pravila.

z=trapz(x,y)

x, y su vektori iste duine

Odreuje se trapeznim pravilom integral y s obzirom na x.

Mogue je zadati samo jedan argument, tj. vektor y:

z=trapz(y)

gdje se ordinate funkcije uzimaju na jedininom odstojanju.

PRIMJER 1:

Trapeznim pravilom za grubu podjelu intervala [0,2] odreen je integral

2

02

2

cos1

sindx

x

x

Dobijena vrijednost u ovom sluaju ima greku reda veliine 10-7.

x=linspace(0,2*pi,100);

y=sin(x).^2./sqrt(1+cos(x).^2);

trapz(x,y)

ans

2.84783411343745


74/92

Strana 74

Funkcija dblquad

Slui za proraun dvostrukog integrala, naredbom

r=dblquad(dfun,umin,umax,smin,smax)

Odreujemo dvostruki integral funkcije fun(u,s), gdje je u tzv. unutranjapromjenljiva koja se mijenja od umin do umax, a s je spoljanja promjenljiva koja semijenja od smin do smax.

Prvi argument je tekstualni niz ili inline objekat kojim se zadaje podintegralna

funkcija. Ta funkcija mora da bude funkcija od dvije promjenljive oblika: f=fun(u,s),

gdje je u vektor, a s je skalar, dok je rezultat f vektor koji sadri vrijednosti funkcijeza dato s i za svaku od vrijednosti u vektoru u.

Naredba r=dblquad(dfun,umin,umax,smin,smax) znai:

dsdusufunr

s

s

u

u

max

min

max

min

),(

Funkciju dblquad je mogue aktivirati i sa vie argumenata:

r=dblquad(dfun,umin,umax,smin,smax, tol)

r=dblquad(dfun,umin,umax,smin,smax,tol,metod)

tol -pokazatelj grekemetod ime funkcije koja se koristi za izraunavanje jednostrukog integrala

/quad ili quad8/

PRIMJER 2:

Odreivanje numerikim putem integrala:

dydxyxey x

6

4

1

0

2 cos

Formira se funkcijski potprogram za proraun podintegralne funkcije:

function izlaz=fxy(x,y)

izlaz=y^2*exp(x)+cos(y)*x;

Zatim se aktivira funkcija dblquad:

dblquad(fxy,0,1,4,6)

ans =

87.2983


75/92

Strana 75

11. Diferencijalne jednaine

U MATLAB-u postoje funkcije kojima se rjeavaju problemi poetnihvrijednosti i granini problemi. Problem poetnih vrijednosti koji je n-tog redadefinie se diferencijalnom jednainom:

),...)(),(),(,(*)( ...)(

tytytytfdt

tdy n

i poetnim uslovima:

,...)(,)()(..

00

..

0

.

0

.

,00 ytyytyyty

Granini problem moe da bude linearan i nelinearan. Npr. ako je datadiferencijalna jednaina:

0)()()(2

2

xryxqdx

dy

xpdx

yd

zajedno sa uslovima na krajevima intervala [a,b]:

y(a) = i y(b) = ,

onda je rije o linearnom graninom problemu, tj. u diferencijalnoj jednaini sviizvodi stepena su 1.

Za rjeavanje poetnih problema 1. reda u MATLAB-u postoji na raspolaganjunekoliko funkcija.

Obradiemo dvije: ode23 i ode45.Funkcija ode potie od: ordinary differential eqations ode23 koristi metode

Runge-Kutta 2. i 3. reda.

Kako su metode vieg reda tanije, ovdje se metod 3. reda koristi da bi serazlika po rjeenjima dvije metode upotrijebila kao pokazatelj greke metode 2. reda

Funkcija ode45 je analogna po svemu sa funkcijom ode23, osim po tome to seu njoj primjenjuju metodi Runge-Kutta 4. i 5. reda.

Ako je pokazatelj greke izvan zadatih granica u potprogramu, onda se mijenjaveliina koraka integracije i proraun se ponavlja.

Redukovanje koraka i ponavljanje prorauna bie prekinuto ako budeprekoraen u programu prethodno definisani broj ponavljanja, s tim to e biti dataporuka o moguem postojanju singulariteta.

PRIMJER 1Korienje funkcije ode45Rijeiti poetni problem:

,1 tydt

dy

1)0( y

za koji postoji egzaktno rjeenje

tetty )(


76/92

Strana 76

koje emo upotrijebiti radi analize dobijenog numerikog rjeenja. Rjeenjetraimo za vrijeme t koje ispunjava uslove 0 t 1.

NAPOMENA:

Nain definisanja funkcije ode45.[t,y]=ode45(izvod,interval, y0), gdje su:izvod tekstualni niz u kome stoji ime funkcije u kojoj se odreuje izvod

traene funkcije

Funkcija izvod(t,y) t je vrijeme, a drugi argument je vrijednost funkcije y,odreuje izvod za dato t

Interval - [t,y]poetno i krajnje vrijeme za odreivanje funkcije y

y0 je poetna vrijednost funkcije za t=tp

Da bismo dobili rjeenja u eljenim trenucima vremena (za pojedinanetrenutke vremena), drugi argument se zadaje na sljedei nain:

interval = [tp t1 t2 ... tk],gdje lanovi niza moraju da ine rastui, odnosno opadajui niz vrijednosti.

Kod rjeavanja navedenog problemaprvo se formira funkcijski potprogram radiprorauna izvoda:

function dydt=izv(t,y)

dydt=-y+t+1;

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

vrijeme u sec

y(t)

pocetni problem 1. reda

ans=

41 1

ystv=t+exp(-t);

greska=abs(y-zstv);

greskaans=

1.0e-008 *

....

ans=41 1

y0=1;

[t,y]=ode45(izv, [0,1],y0);plot(t,y)xlabel(vrijeme u sec)ylabel(y(t))title(pocetni problem 1. reda)size(t)


77/92

Strana 77

12. Razni zadaci

U nastavku je dat primjer jedne komandne M-datoteke:

sistem.m

A = [10 2 6; 1 10 9; 2 -7 -10];b = [28 7 -17];x = A\b

Datoteka sistem.m se iz MATLAB okruenja poziva na sljedei nain:

sistem

Tokom izvravanja skripta e se u komandnom prozoru MATLAB-a ispisati:

x =

1.0000

-3.00004.0000

Zadatak br. 1:

Nacrtajte graf funkcija sin(n*pi*x) na intervalu1 x=-1:0.05:1

>>for n=1:8

subplot (4,2,n), plot(x, sin(n*pi*x))

end


78/92

Strana 78

Objanjenje: Funkcija subplot(m,n,p) slui nam za "dijeljenje" ekrana na mxndijelova, s tim da parametar "p" naznaava trenutno aktivni dio u kojem se crtanaznaeni graf. Zadatak se moe rijeiti i koritenjem funkcije "hold on", tako dadobijemo 8 grafova na jednom koordinatnom sistemu preko itavog ekrana

>> x=-1:0.05:1>>for n=1:8

plot(x, sin(n*pi*x)), hold on

end

Zadatak br. 2:

Generisanje matrice iji su svi dijagonalni elementi jednaki 2, svi ostali elementi uprvoj vrsti jednaki 1, svi ostali elementi jednaki nuli.

>> n=5;

for i=1:n

for j=1:n

if i==j

a(i,j)=2;elseif abs(i)==1

a(i,j)=1;

else

a(i,j)=0;

end

end

end

>> a

a =

2 1 1 1 10 2 0 0 0


79/92

Strana 79

0 0 2 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 2

Zadatak br. 3:Korienje funkcijske M datoteke koja slui za izraunavanje sljedeeg izraza,odnosno funkcije:

))5.1(5.1sin()5.1(1

2)(

2tarctgtty

Iz menija File komandnog prozora bira se komanda New, a zatim opcija M-file. Pri

tome se otvara prozor programa za ureivanje teksta koji e posluiti za formiranjekomandne ili funkcijske M datoteke.

U novootvorenom prozoru definie se prethodna funkcija pomou MATLABpromjenljivih i funkcija na sljedei nain:

function y=dfun(t)

y=2./sqrt(1+(t*1.5).^3).*sin(1.5*t+atan(-1.5*t));

Po definisanju funkcije, da bi se datoteka snimila, iz menija File prozora programa za

ureivanje teksta bira se funkcija Save As. Otvara se dijalog koji omoguava uvanjedatoteke pod eljenim nazivom (u primjeru je: dfun.m) u odabranom direktorijumu.Kada se u radnom prostoru promjenljivoj t dodijeli neka vrijednost i zatim pozove

funkcija dfun, dobie se odgovarajua vrijednost funkcije.

>>fplot('dfun', [0 30])

>>ylabel('dfun')>>xlabel('t')


80/92

Strana 80

Zadatak br. 4:

Nacrtati funkciju:1

1

23 xxx

>> x=0.1:0.1:10;>> y=1./(x.^3+x.^2+x+1);

>> loglog(x,y)

>> grid

Zadatak br. 5:

Za vektor x=[2 5 9] izraunati funkcije:a) xexy )1(

b) 1)122( xexz

Zadatak br. 6:

Formiran je .m file: dfun1 od f-je:

dxxxz )2( 33

1

2

function z=dfun1(x)

z=x.^2-2*x.^3;

U komandnom prozoru:

>> s=quad('dfun1',1,3)

s =-31.3333


81/92

Strana 81

Zadatak br. 7:

Formiran je .m file: dfun1 od f-je:

dxxxz ))cos(2(

3

1

2

U komandnom prozoru:

s=quad('dfun2',1,3)

s =

10.0674


82/92

Strana 82

13. Kreiranje grafikog interfejsa

Savremeni grafiki korisniki interfejs (Graphical User Interface - GUI) omoguujukorisnicima izbor naredbi pomou razliitih kontrola poput dugmadi (buttons), poljaza unos teksta (text fields), klizaa (sliders), i izbornika (menus). Kontrole je potrebno

dizajnirati na nain da je korisniku jasno koja e akcija slijediti iz njegovog odabira.Osnovna uloga korisnikog interfejsa (engl. user interface) jeste olakavanjekomunikacije ovjeka i raunara.Korienje grafikog interfejsa omoguuje:

Intuitivnost (korisnikpokree aktivnosti u skladu sa poslovnim zahtjevima) Interaktivnost (program korisniku omoguuje dovoljno informacija i

kontrole za pravovremene reakcije)

Estetika (dizajn korisnikog interfejsa omoguava oputeniji i prirodnijidugotrajni rad u programu)

Kreiranje grafikog interfejsa u Matlab-u odvija se u tri koraka:1. dizajniranje grafikog interfejsa dodavanjem i razmjetanjem kontrola2. programiranje aktivnosti d

agf matlab skripta 21032013

Documents