Intervalos de confianza para la media poblacional en muestras pequeñas.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- = 95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con = 10% o = 1%.

Intervalos de confianza para medias con muestras pequeñas ( n 30 )La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una curva normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce ó2 en los problemas de la vida real.

Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no puede utilizarse para obtener intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar procedimientos en los cuales se utilice S 2 en lugar de ó2 , de esta manera en lugar del estadígrafo z utilizaremos el tn1 para deducir inferencias acerca de la media. Si la media de la población es ì la distribución muestral de n-1 t es una distribución t, teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,. xn son elegidas aleatoriamente y extraídas de una población normal.

Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución muestral es la distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la distribución normal, reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la curva a diferencia de la distribución normal.64

La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal distribución t se va pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30 no existen diferencias entre la distribución normal y la distribución t. Entonces, cuando n < 30 existe una curva diferente para cada valor de "n".

Grados de libertad. Números de elementos en una muestra que pueden variar después de haber seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen dos elementos en una muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para especificar sólo uno de los dos valores, ya que el otro queda determinado automáticamente; queda claro que el total de los dos valores es dos veces la media.

En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos uno, es decir: g.l = tn-1

Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media ì, muestras pequeñas.1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar.

2. Obtener los grados de libertad g. 1 = n - 1

3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con grados de libertad y con ayuda de la tabla del anexo.

4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de libertad, y las siguientes columnas corresponden a los niveles de significancía que son 0.5,0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y 0.001

5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de significancía del 10% y 18 grados de libertad hay que buscar la intersección de la columna del 10% y de la fila 18 g . 1, obteniendo un valor de t = 1.734

6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral

7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población, sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:

con n . 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de confianza.